La inconmensurabilidad y el problema de la materia en la teoria pitagorica

Munsz mus. INCONMENSURABILIDAD Y EL PROBLEMA DE LA MATERIA EN LA TEORIA PITAGORICA Ca EI teorema de Pitägoras provocé el descubrimento de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con sus lados. Este descubrimiento constituyé un rudo golpe para los primeros pitagóricos, que creían que ‘ las cosas son números enteros” (e. d., creían que la figuras geométricas se identificaban con números enteros, y, en último término, también el mundo físico). Ahora resultaba que el fundamento para la construcción de un triángulo rectángulo no puede encontrarse en ninguna proporción entre números enteros. La fecha del descubrimiento de los irracionales ha sido muy discutida, Es anterior sin duda a Platón.!, Según van der Waerden? el descubrimiento de la irracionalidad del 2 fue obra de la escuela pitagórica a mediados del s. V, partiendo de su teoría de los números pares e impares. (Como indica Aristóteles), si la diagonal fuese commensurable, el mismo número tendria que ser impar y par). ¿ Qué actitud adoptan los pitagóricos ante ese descubrimiento?. Recurrieron a la llamada ‘ teoría del flujo’. En la primera etapa pitagórica, antes de sufrir los embates de Zenón, su creencia era que las unidades aritméticas son puntos ! Teeteto 147 d, en que se indica que el problema era ya conocido ante: riormente. 2 Die Arithmetik der Pythagoreer « Matematische Annalen », 1948, p. 152-53. Sobre este punto véase la obra de K. von Fritz, Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft (Berlin, 1971): ‘ Die Entdeckung der Inkommensurabiltiät durch Hippasos von Metapont’, p. 545 ss. lyt. Prior. 41 a 26.

LA TEORIA PITAGORICA ISIDORO MUNOZ VALLE extensos. Se identifican la unidad aritmética’ y el punto geométrico. Pues bien, esta concepcién de las figuras geométricas (y de la La unidad* genera los demás números. “Dada la identidad entre los materia fisica) como formadas por mimeros enteros sufrié un primer números y las figuras geométricas, ‘ el I es el punto, el 2 la linea, ataque al descubrirse la inconmensurabilidad, según queda dicho: el 3 el triángulo y el 4 la pirámide '* Si el 1 es un punto y los ninguna proporcién entre nümeros enteros puede ser la base para demás números son eagendrodos por él, los demás números son la construccién de un trifingulo rectängulo. Por otra parte, las crfpuntos. La linea, por tanto (que equivale al dos), está constituída ticas de Zenón iban dirigidas contra esa visión de las magnitudes por dos puntos extensos y discretos, colocados uno junto al otro. constituídas por puntos discretos y a la vez extensos. La solución El 3 se identifica con el triángulo (3 puntos), la figura plana más a estas objeciones se buscó en la ‘ teoría del flujo’. simple, y el 4 con la pirámide o tetraedro (4 puntos), que es el sólido Pero antes ya salieron al paso de dichas objeciones Filolao y Eurito de Tarento, dos pitagóricos contemporáneos de Demócrito? Según Kirk-Raven;! en un pasaje de la Metafísica de Aristoteles," más simple. Como resulta que las figuras geométricas tienen existencia real la conclusión es que las magnitudes (la materia física) están formadas por la yuxtaposición de puntos discretos, puntos que son a la vez extensos. (Para los pitagóricos, la generación de los números y la de los elementos de la geometria y la del uni- — se contiene ya una nueva teoría de la constitución de las figuras geométricas (y de la materia): la línea no esta formada por dos puntos extensos y yuxtapuestos; la línea es una extensión de magverso físico es una y la misma: todo procede de la primera unidadgermen;? la coincidencia entre la primera unidad y el germen que origina el cosmos se indica expresamente en Teón de Esmirna.) 4 Cf. Alejandro de Afrodisia, Metaph. 512, 37. el aumento en anchura, a la tríada y a la superficie; el aumento en groso, a la tétrada y al sólido”, Así pues, el mismo proceso da origen a los números, a las figuras geométricas y a los seres del mundo físico. 2D. La, IX 38. Arith., p. 84, 10, ed. de Falco; DK 44 A 13. Este tratado se atribuye a Jámblico Ambos fueron maestros de toda una generación de seguidores del pitagorismo (D. La., VIII, 46). Cebes, el personaje del Fedón (61 e), se contó entre los 5 Espeusipo en Theolog. y se supone que se basa en Nicómaco de Gerasa, que escribe hacia el a. 100 d.C. oyentes de Filolao. Sobre los problemas de la obra y los “ fragmentos ” de su Introd. a la Aritm. Pero el autor indica expresamente que el pasaje citado remonta a Espeusipo, el sobrino de Platón y su sucesor en la dirección de la Academia, que había escrito una obra Sobre los Numeros Pitag6ricos. Fspeu- Filolao, cf. J. E. Raven, Pythagoreans and Eleatica (Cambridge, 1948), p. 94 ss.; A sipo afirma en dicho pasaje que el número diez, además de las relaciones básicas p. 441 ss. Esta hipótesis ya aparece formulada en Raven, Pythag. and El, Kirx-Raven, Los Filós. Presocr. (tr. esp., Madrid, 1969), p. 429 ss.; GUTHRIE, History of Greek Philos. (Cambridge, 1962), I, p. 329 ss. 10 0.c. musicales, contiene también las fórmulas de la línea, de la superficie y del p. 109. Es ahf donde afirma que para refutar las objeciones de Zenén, Filolao sólido; pues el 1 es un punto, el dos una línea, el 3 un triángulo y el 4 una pirámide. Poco después dice que el punto es cl primer principio respecto a y Eurito elaboraron la nueva teoría que aquí exponemos, teoría anterior a la la magnitud; la línea, el segundo; la superficie, el tercero; y el sólido, el cuarto. contemporáneos de los discípulos de Platón que la acogieron. GUTHRIE (o.c., En el mismo pasaje se indica que su obra Sobre los Números Pitagóricos se inspira sobre todo en Filolao (Theol. Arith. 82, 10, ed. de Falco) de quien y Eurito sin hacerla propia ni rechazarla. En cambio, cree que la ‘ teoría del hablaremos más adelante. del “ flujo ”, que, según Raven, se ha de fechar por la época de los pitagóricos I, p. 264) se limita a exponer la hipótesis de Raven sobre la teoría de Filolao 6 Cf. Aristóteles, Metaph. 1090 b 5. La prueba flujo? que exponemos a continuación, es propia de la Academia, posiblemente más palmaria de que tienen existencia real es el tetraedro (compuesto de 4 unidades-puntos-átomos), el sólido geométrica, más simple, que ya es de por de Jenácrates. Como otras doctrinas platónicas fue atribuída a los pitagéricos sí un cuerpo físico, de Pitágoras. De hecho, hay gran influjo pitagórico en Platón y sus seguidores. 7 Cf. Aristóteles, Metaph. 1091 a 12; Phys. 213 b 22: Alejandro de Afrodisia, citado en nota 4. por auteres tardíos que apenas distinguieron entre la escuela de Platón y la 8 Al hablar de la sexta tetraktys Pero, de todos modos, Aristóteles cuando habla de la * teoría del flujo’ (De 97, 17 ed. Hiller. Recoge once tefraktys, tomadas todas probablemente de un An, 409 a 3), lejos de presentarla como pitagórica, da a entender ques es autor pitagórico (si se exceptua la segunda, a propósito de la cual alude exprepropia de Jenócrates y sus compañeros de la Academia. Sobre este punto volsamente al Timeo de Platón). Dice Teón que la ‘ sexta tetraktys corresponde a veremos más adelante. los seres que reciben la existencia por generación. El esperma es semejante a la que expone aquí Aristóteles son los pitagóricos, según indica Alejandro de mónada y al punto; su aumento en longitud se asemeja a la díada y a la línea; Afrodisia (cf. Kirk-RAVEN, 0.c., p. 441). tl Metaph. 1036 b 8. Los partidarios de la teoría

LA TEORIA PITAGORICA ISIDORO MUNOZ VALLE 165 é nitud continua; lo que hacen esos «dos puntos es limitarlo, e.d., los puntos no constituyen la linea sino que son sus limites (la linea esta formada por la continuidad, por lo « ilimitado »). Esta concepciön de los puntos como limites aparece asignada a Eurito por Como queda dicho en líneas precedentes, la ‘ teoría del flujo’ es un paso más allá de la ‘teoria de los puntos-límite * en el propósito de responder a las objeciones de Zenón y de resolver el problema de las magnitudes inconmensurables." Aristóteles en otro pasaje de la Metafisica.” Se cuenta" que Eurito En la más antigua doctrina pitagórica los números, las figuras utilizaba guijarros para delinear la forma externa de un hombre, un caballo, una planta. La explicación que parece más adecuadaTM es que con los guijarros delimitaba las superficies peculiares del hombre, geométricas y los cuerpos físicos se generaban a partir de una prop. ej., y contaba después el numero de puntos que limitaban esas superficies (e.d., el mimero de guijarros). Asf como el tetraedro y la pirámide (1, 2, 3, 4), sino de la generación de la línea, el cuapodia ser representado por el mimero 4 (que es el nümero de punen el libro primero del tratado Sobre el alma," entre las diversas tos que delimitan sus superficies), de la misma manera el hombre o el caballo podia ser representado por el nimero de puntos (guijacomo ‘un número que se mueve a sí mismo”, definición que rerros) necesarios para limitar las superficies que comprendian su dichaza el filósofo. Los principios básicos de esta teoría, segun Aristóbujo (250 para el dibujo del hombre en la suposición que recoge Alejandro de Afrodisia)." Asi la esencia del objeto dibujado expretels son; ‘el punto es una unidad dotada de posición. El punto en movimiento forma una línea; la linea en movimiento forma una sada en sus términos más generales, consistía en el número de superficie”. Como hemos indicado en a nota 10 de este trabajo, puntos limitadores. Aristóteles no cita el nombre del propugnador de estas ideas, aun- Con esta nueva concepción de los puntos como límite de las superficies la generación pitagorica de la época de Filolao y Eurito que hay motivos para creer que se refiere a Jenócrates, el discípulo trató de responder a las objeciones de Zenón.'* gresión aritmética. La nueva doctrina propone una progresión geométrica. Ya no se trata de la generación de la línea, el triángulo drado y el cubo (1, 2, 4, 8). Aristóteles menciona esta innovación teorías sobre la naturaleza del alma. En este caso se define el alma de Platón.” El filósofo escéptico Sexto Empírico, a fines del s. II d.C., en su tratado Adv. Math.” expone también la ‘ teoría del flujo”, advirtiendo que es posterior a la de la de los puntos constitutivos 12 Metaph. 1092 b 8, en que se expone una de las teorías propuestas para explicar cómo los números son la causa de las substancias y del ser. A continuación se expone la de Eurito: los números se conciben como límites, a la de las figuras geométricas. Afirma con toda claridad que es propia igualmente de los pitagóricos, (afirmación que repite Proclo)" pero, según Guthrie, nada puede concluirse sobre seguro.? Sexto Empí- 13 Aristóteles, Metapb., rico escribe: * algunos dicen que el cuerpo se compone a partir de l.c. en la n. 12; Alejandro de Afrodisia, Metaph. 827, 9; Teofrasto, DK 45, 2. un punto. En efecto, este punto fluyendo produce una línea; la manera como los puntos límites de magnitudes. M Kirk-Raven, o.c., p. 440 ss. 15 O.c., l.c., en la nota 13. 16 Por línea fluyendo produce un plano; y éste moviéndose en profundidad otra parte los pitagóricos postparmenídeos ya no conceptuaron la unida como impar sino que, según ellos, participa de la naturaleza de lo impar y de lo par (si se añade a un número par lo hace impar; si se añade a uno impar lo hace par), como indica Teón de Esmirna, p. 21, 20 ed. Hiller. Ahora la unidad no 17 Cornrorb (Plato and Parmenides, Londres, 1950, reimpr., p. 12), suse identifica ya con el Límite, sino que participa de la naturaleza del Límite pone que la “teoría del flujo’ nació del intento de refutar las objeciones de y de lo Ilimitado. No se sigue considerando a la primera unidad como punto de partida «de la cosmogonía en el sentido de que deba su nacimiento a la * inhalación * de vacío desde lo Ilimitado (Estubeo, Ant. 1 18, 1c; Aristóteles, Zenón y resolver las dificultades creadas por el descubrimiento de los irracionales. Sobre otras opiniones al respecto, cf. GuTuait, 0.c., I, p. 265, n. I. Phys. 213 b 22) y de que el Ser se desarrolla cada vez más a partir «del vacío (citado por Temistio en De An, p. 59, 8) nos informan de que la doctrina que definía el alma como ‘un número que se mueve a sí mismo’ era propia de Los pitagóricos postparmenídeos replican así a la objeción de Parménides (fr, 8: Simplicio, Phys. 145, 6-11) que rechazaba el concepto del vacío y la posibilidad de que de lo no-ente nazca algo. 18 409 a 3. Jenócrates. 1 Plutarco (Precr. An. 1012 D) y Andronico de Rodas 2% X 281. 2 In Eucl., p. 97, ed. Friedlinder. nión al respecto de Guthrie queda expuesta en la nota 10. 2 La opi-

ISIDORO MUNOZ VALLE engendra el cuerpo tridimensional '. Proclo# expone juntas ambas teorías (la que define la línea * como la fluxiön de un punto’ y la precedente), advirtiendo que considera la que deriva del punto la linea, el triángulo y a pirámide como * más pitagórica '. Como queda dicho” Cornford y Raven” suponen que la doctrina de la progresión geométrica, que * todo lo construye a partir de un solo punto’, en frase de Sexto Empirico,” fue elaborada por los pitagóricos postparmenídeos con el propósito de modificar, y salvar así, las tradiciones de la escuela ante los intentos demoledores de los eleáticos: la linea (y por tanto los cuerpos físicos) ya no estaba formada por yuxtaposición de puntos discretos y además dotados de magnitud; por tanto las objeciones de Zenón carecían de sentido. Por otra parte, si el descubrimiento de la inconmensurabilidad había demostrado que las figuras geométricas no se identificaban con números enteros, la nueva teoría acusando el impacto, replicaba que las figuras geométricas no estaban formadas por una sucesión de números enteros sino a partir de un solo punto que, fluyendo, daba origen a todas ellas y, en virtud del mismo proceso, al mundo físico. Isınoro Muñoz VALLE * 2 Texto citado en la nota 21 de este trabajo. thagoreans and Eleatics, cita, p. 109. 24 Cf. nota 10, 35 Py. 20 Adv. Math., X 28). Muñoz VALLE I., La incommensurabilidad y el problema de la materia en la teoria pilagórica : PP XXXIV 1979 161-166. | La première théorie pythago* ricienne considérait le point comme ayant une extension dans l’espace et la ligne comme une succession de points. En réponse à la critique éléate et à la découverte, grâce au théorème de Pythagore, de l'incommensurabilité en nombres entiers de la diagonale et des côtés du carré, elle fut modifiée dans le sens que la ligne était désormais représentée comme Issue d’un seul point en Mouvement. * {Le bozze di questo articolo sono state corrette dal Dr, E, Suárez de {a Torre, a causa della morte del Prof. Muñoz Valle, avvenuta il 6 maggio scorso. « La Parola del Passato » si associa, nel ricordo e nel rimpianto, agli amici e ai discepoli dello studioso scomparso].