La conception des mathematiques de Varron

FL. AU A LA CONCEPTION DES MATHÉMATIQUES DE VARRON Jean-Yves GUILLAUMIN Dans la grande encyclopédie varronienne, une place revenait naturellement aux mathématiques: même si le prestige de ces sciences n'était plus au ler siècle avant J.-C. ce qu'il avait été pour les Grecs de l'époque de Platon, elles demeuraient un élément incontesté de la tradition intellectuelle ct de la culture encyclopédique. De fait, on sait d'ordinaire que le grand érudit romain avait traité des paOtpatea dans ses Disciplinae : quelques témoignages antiques en font foi et le plus clair est celui de saint Jérôme 1, Parmi les neuf livres des Disciplinae, les trois premiers étaient consacrés A ce qui serait nommé plus tard ie trivium (livre 1, grammaire; livre 2, dialectique ; livre 3, rhétorique) ; les deux derniers concernaient deux sciences que l'on pourrait trouver étrange de voir figurer dans une telle série, la médecine (livre 8) et l'architecture (livre 9) ; entre ces deux blocs prenait place l'ensemble consacré au quadriuium, pour employer un mot dont l'apparition avec cette signification n'est que beaucoup plus tardive 2: il s'agit du groupe des quatre poabrpata, arithmétique, musique, géométrie et astronomie, dans lesquelles l'ancienne tradition grecque, d'origine pythagoricienne, voyait les quatre composantes de la mathématique 3. Varron traitait de la géométrie dans le 1. 2. J. COLLART, Varron grammairien latin, Paris, 1954, p.21 n.1, rappelle que "dans une lettre à Paula, Jérôme énumérait les œuvres de Varron pour établir un parallèle avec celles d'Origène. Cette lettre est aujourd'hui perdue, mais l'inventaire des œuvres varroniennes a été retrouvé en tête de la traduction par Rufin des Homélies d'Origène. Il a été publié par Ritschl (Die Schrifistellerei des Varro in Rhein-Mus. VI (1848), p.481-560 : ibid., XH (1857), p.150-151 ; Op. Phil. TI, p.419-507) et reproduit par Funaioli, G.R.F., p.182. Cette liste comprend au total 486 livres, répartis en 39 traités." Chez Boèce (vers 480-524), Institution arithmétique, 1,1, p.d ligne 28 (Ériedlein). 3. GUILLAUMIN, Jean-Yves. - La conception des mathématiques de Varron. Mélanges F. Kerlouégan (+ 71-16224) 269-281. * Si c'est la tradition pythagoricienne qui a fourni à Varron le cadre général de l'organisation de son exposé avec’ l'intitulé des livres4 à 7 des « Disciplinae », la théorie des mathématiques de Géminos était largement représentée dans l'ouvrage. Astronomie et géométrie, tels étaient les deux moyens essentiels d'enquête sur le monde pour des esprits influencés par le stoicisme, comme Géminos et Varron, (71-06539 La tradition pythagoricienne adinet la primauté de l'arithmétique ; l'ordre dans lequel sont énumérées les trois autres sciences peut varier. Le plus souvent, le classement est le suivant : arithmétique, musique (les deux sciences du nombre : nombre en soi pour l'arithmétique, nombre relatif pour la musique, qui a pour fondement le système des rapports numériques), puis géométrie et astronomie (les deux sciences de la grandeur : grandeur immobile pour la géométrie, grandeur en mouvement pour l'astronomie). Tel est le classement attribué aux Pythagoriciens par Nicomaque de Gérasa

} au livre 4 des Disciplinae, de Varithmétique dans le livre 5, de l'astrologie * | En u ivre 6 et de la musique au livre 7. quelques les rappeler de que plus peu un faire de ici On se propose " oe fragments varroniens habituellement donnés comme provenant de ees vou ait, : sc Disciplinae les ï dans tenus con i ques i ivres sur les mathémati livres cur, ce cohérence en remis et détail leur dans interprétés textes ces d'après mais aussi d'après d'autres fragments varronicns généralement m conn, I tenter de définir la place que pouvaient avoir les, mathématiques Cani 5 ressorliss2 science a l la de Ic vision v ‘He iner A quelle stème de Varron, et détermine de l'as je 4 « comme systeme que l'on a peut-être trop vite fait de définir couramment a ; | | strictement pythagoricien. les Disciplines, ce dans figuraient qui ques mathémati livres Des quatre Funaioli 5 donne trois fragments seulement. re pre ost pese men! tion git de de la dis 6): il s'agit pe Aulu -Gelle (10, (10, 1,1, 6): attribué au livre 5 par sens entre quarto et quarium, qui pouvait bien etre précisée dans le Ue vi l'arithmétique. Le fragment 220, rapporté par x IR È Li 2 de métrique 6, è cer t des problèmes ct concernan était-ilil le Bee dansdans le È re ns le le livre unaio &, dans vraisemblable avec G. Funaioli ; plusplus vraisc : ou, ce que nous croyons 4 ratione quadam geometrica renvoyant à la géométrie qui en était I objet? De l'Astrologie (livre 6) provient le fragment 221, qui explique fausseme par stare l'étymologie de stella 9. La conception des mathématiques de Varron 271 Si l'on s'en tient aux fragments que donne G. Funaioli, le butin est donc maigre, Nous terminerons notre inventaire par quelques textes sans doute moins connus que ceux qui figurent dans tes fragment s donnés par G. Funaioli, mais dont certains se révèlcront essentiels pour notre enquête. Signalons d'abord deux fragments transmis par Aulu-Gelle 1, 20 : l'un (8 4) porte sur le cube ; l'autre ($ 8) est une définition de la ligne: linea est longitudo quaedam sine latitudine et altitudine, avec la curieuse notation de l'absence de la profondeur dans la ligne, notation que l'on retrouve dans les Définitions du Pseudo-Héron (éd. Heiberg, vol. 4, Leipzig, 1912, p.14 ligne 26 : ypapuò BE con prog anAatis Kai aPaBés. Ces définitions du cube et de la ligne proviennent vraisemblablement du livre des Disciplinae qui était consacré à la géométrie. Mais leur forme canonique extrêmement fréquent e dans les textes mathématiques anciens les confine, pour ainsi dire, dans la banalité 10, Mais voici un passage beaucoup plus intéressant pour le problème qui nous occupe. Aulu-Gelle (16, 18) parle de deux "parties" (partes) de la géométrie qu'il désigne de leurs noms grecs d'énnx# ct de xavou«n |L, A la fin de ce chapitre (§ 6), il cite Varron : la persévérance est indispensable si l'on veut parvenir à éprouver un jour l'utilité de telles disciplines (talium disciplinarum), pour lesquelles on ne peut se contenter d'une initiation sommaire. Les deux autres textes se trouvent chez Cassiodore - qui a beaucou p puisé chez Varron. Les Institutions, dans le passage qu'elles consacrent A l'astronomia (p.157 lignes 11-14 Mynors), écrivent : mundi quoque figuram curiosissimus Varro sublongae rotunditati in Geometr iae uolumine (Introduction arithmétique, éd. R. Hoche, Leipzig. 1866), Théon de Smyme ure de (Exposition des connaissances mathématiques utiles pour a jee Platon, éd. Hiller. Leipzig, 1879), Proclus (Commentaire sur ep ve livre des Eléments d'Euclide, éd. G. Friedlein, Leipzig, 1873, réimpr. 1 u et, dans le domaine latin, par Boèce (Institution arishmerigue: é A Friedlein, Leipzig, 1867). Platon a une hiérarchisation ifféren ° : arithmétique, géométrie (et stéréométrie), puis astronomie, enfin musique. Le titre du livre 6 ne doit pas prêter à confusion a ny a pas de dio j © 4. ‘ 2 minologie antique, entre “astro ogi st Li, disuncilon enue les deux ne sera nettement établie que par Isidore de seville dans ses Origines, 3, 24-27. Voir là-dessus, en dernier ae M. LEJBOWICZ, Les antécédents de la distinction isidorienne ar 0 gia/astronomia, dans les Actes du Colloque Observer, lire, écrire le ciel a 5. Moyen Age (Orléans, 22-23 avril 1989), Paris, 1991, pla 1 1907 , G. FUNAIOLI, Grammaticae Romanae Fragmenta, Leipzig, vol. I, 6 258-259. RanGelle invoque l'autorité de Varron à propos de Rnb | 7. 5: voit, expressément attribué au livre 4 des Disciplinae. Un Telle était l'opinion de RISCHI De Varronis disciplinis, 3, p.380, A. op. cit., p.259-260. Vane libvo.en de astrologia conscripsit stellam commemorat ab stando autre fragment beaucoup plus long (/nstitutions, 2, 6, 1, p.151 lignes 2-15 Mynors) donne la tradition relative aux origines de la géométrie telle qu'elle était rapporié e par Varron, évidemment dans le même livre 4, consacré à la géométri e, Il est possible de tirer quelque chose du matériel qui est offert par Aulu-Gelle et par Cassiodore, et nous commencerons par la tradition relative aux origines de la géométrie (Cassiodore, Institutions, 2, 6, 1} parce que ce texte !2 se révèle d'une grande originalité. 10. | En RINK 1 penthémimère : cf. Varron, six exposés et discussions par C, O. 20 NN . 172. COLLART. H. DAHLMANN et alii, Genève, 1963, p.152-154 en - dictam (FUNAIOLI, op. cit, p.260). comparauit, formant ipsius ad oui similitudinem trahens, quod in latitudin e quidem rotundum sed in longitudine probatur oblongum : fragment , on le Fout au plus y a-t-il IA matière à noter que de telles traducti ons Jatines d’Euclide portent à remettre en cause l'idée reçue selon laquelle les mathématiques, grecques d'origine, auraient été étudiées en grec par les rares Latins qui s'y seraient intéressés, les traductions d'Euclide ne pouvant guère dater que d'époques nellement postérieures, au moment où la langue grecque 11. 12. n'était plus connue des Latins, et par exemple de l'époque de Boèce. La petpien dont il s'agit en 16, 18, 5 n'est qu'une subdivis ion de la canonique. Repris, notons-le, avec quelques modifications, par Isidore de Séville, Origines. 3. 10, qui ne cite pas le nom de Varron.

On sait, en effet, que l'Antiquité a laissé un grand nombre de textes 13 qui rappellent l'origine égyptienne de la géométrie : la crue du Nil obligeait chaque année à redéfinir les limites des terrains et c'est ce qui entraina, chez les Egyptiens, la naissance de l'arpentage, première géométrie" : € est ce que dit Hérodote (2, 109) à qui l'on peut comparer différents auteurs anciens. C'est bien cette tradition qui est d'abord présentée par Cassiodore dans ce passage ee des Institutions (p.150 1.20-p.151 1.2 Mynors) 14. Mais Cassiodore enchaîne en donnant alors une “histoire de la ui _ géométrie" inconnuc de nos autres sources ! Sed Varro, peritissimus Latinorum, huius nominis causam sic extitisse commemorat, dicens prius quidem dimensiones terrarum terminis positis uagantibus ac discordantibus populis pacis utilia praestitisse ; deinde totius anni circulum menstruali numero fuisse partitum, unde et ipsi menses, quod annum metiantur, edicti sunt. Verwn postquani ista reperta sunt, prouocati studiosi ad illa inuisibilia cognoscenda coeperuni quaerere quanto spatio a terra luna, a luna sol ipse distaret, et usque ad nerticem caeli quanta se mensura distenderet; quod peritissimos geometras assecutos esse commemorat. Tune et dimensionem uniuersae terrae probabili refert ratione collectam ; ideoque factum est ut disciplina ipsa Geometria nomen acciperel, quod per saecula longa custodit, "Mais Varron, le plus compétent des Latins, rappelle, pour l'origine de ce nom, l'explication suivante : fl est bien certain, dit-il, qu'au début la mesure des terres, avec l'établissement de bornes, a garanti à des populations qui n'avaient rien de fixe et qui étaient dans la discorde les avantages de la paix: ensuile, poursuit-il, l'année, dans sa La conception des mathématiques de Varron 273 Ainsi donc, selon Varron, le premier temps aurait été effectivement celui de la mesure des terrains et le bomage se serait montré utile à l'établissement et à la conservation de la paix parmi les peuples: préoccupation d'agrimensor romain en même temps que préoccupation stoïcienne, et affirmation, certes étrangère à l'esprit pythagoricien, de l'utilité pratique de la géométrie. Ces quatorze lignes (p.151 1.2-15 Mynors) que Cassiodore attribue expressément à Varron montrent la géométrie étendant rapidement son champ d'investigation aux matières qui concernent l'astronomie : cela étant d'autant plus facilement admis que les menses relèvent de la mensura 15, disait l'étymologiste. Il est vrai que les grands géomètres grecs ont été en même temps de grands astronomes: la distance de la terre A la lune (p.151 1.10 Mynors) avait été évaluée à 780.000 stades 16 par Eratosthène 17 : le même Eratosthène estimait à 804.000 stades la distance entre Ic soleil et la terre ‚la différence, facilement déduite, donnait, dans le système des Anciens, la distance entre le soleil et la lune 18, Les considérations que l'on attendait de la part de Varron sur la géométrie et sur son nom portent donc en grande partie sur l'astronomie. Indiquer exactement la source de Varron semble chose difficile. Du moins est-il possible de souligner la ressemblance entre ce texte et certains écrits grecs : on possède par exemple des excerpta sur l'astranomie, insérés sous Ic titre Tis £ æ Ti eUpev Ev naßnnankoig; dans une collection de scolics pscudorévolution tout entière, a été partagée en un certain nombre de mois, dou le nom donné aux mois cux-mémes (menses), parce qu'ils mesurent (metiantur) l'année, Mais après ces découvertes, les savants, s'attaquant à l'étude des objets de connaissance qui échappent à la vue, ont entrepris de calculer la 15. de Am grec "la lune” (le rapport est jusle : mensis est à l'origine “mois lunaire", "le nom du mois se confondant avec celui de la lune", écrivent Ernout et Meillet, Dict. érym., p.398 col.l). Le rapprochement étymologique de mensis avec mensus de metior est fail par Cicéron, De natura deorum 2, 27, 69 : lunae cursus qui, quia mensa spatia conficiunt, menses distance de la terre à la lune ct de la lune au soleil lui-même, ct la mesure de la distance qui s'étend jusqu'au point culminant du ciel ; et il rappelle que des géomètres très compétents y parvinrent. Alors, rapporte-t-il, on calcula la mesure de la terre entière, par unc méthode rationnelle; telle est donc la raison pour laquelle cette science a regu le nom de la Géométrie, qu'elle conserve tout au long des siècles.” ke 13. nomunantur … 16. 17. (Pseudo-jHéron d'Alexandrie. Geometrica, 2, p.176 Tleiberg ; Diodore de Sicile, 1, 81 ; Strabon, 17, 3 : cf. aussi Platon, Phèdre, 274 C, et Aristote, 14. Ce rapprochement ne se trouve pas dans ce que nous avons conservé de la Langue latine : en 6. 10, Varron fait venir menses latin comme HAVE grec Discussion de la valeur du stade chez G. AUJAC, Strabon et la science de son temps, Paris, 1966, p.176-179. Voir Th. L. HEATH, A history of Greek mathematics, Oxford, 1921 (réimpr. 1965), vol. 2, p.108, pour ces évaluations de distances terre-lune et terresoleil par Eratosthène, dédicataire de traités d'Archimède : son Métaphysique, 981 b 23. contemporain Geometria latine dicitur terrae dimensio, quoniam per diuersas formas ipsius héliocentrique, avait écrit un petit traité sur les Dimensions et distances du soleil et de la lune (édité par Th. L. HEATH, Aristarchus of Samos, the ancient Copernicus, Oxford, 1913). Posdidonios, dans ses Météorologiques, écrivait que l'astronomie traite disciplinae, ut nonnulli dicunt, primum Aegyptus dominis proprüs fertur esse partitus ; cuius disciplinae magistri mensores ante dicebantur, "Géométrie se dit en latin mesure de la terre, parce que, au dire de quelquesuns, c'est précisément selon les différentes figures de cette science que l'Egypte a été d'abord partagée entre des propriétaires particuliers, suivant la tradition ; et les maîtres de cette science étaient autrefois appelés "mesureurs” (mensores)". 18. Aristarque de Samos, célèbre par son hypothèse “des distances, pour la terre, le soleil et la lune" (anoompétuv yg te Kai Miou kad ceAtpng), au dire de Géminos, Abrégé des Météorologiques de Paséidonios (cf. Géminos, Introduction aux Phénomènes, éd. Paris, Belles Lettres, 1975, p.111). G. AUJAC,

héroniennes 19 ; l'auteur inconnu déclare tirer ses renseignements d'Eudème, disciple d'Aristote qui nous a aussi laissé le “catalogue” de mathématiciens que nous connaissons notamment par Proclus 20, Naturellement, Eudème n'est pas la source du passage de Varron, qui mentionne des travaux d'astronomie plus récents : mais son œuvre a dû former la base de manuels progressivement augmentés au cours des siècles. C'est dans de tels manuels que Varron aura trouvé la matière qu'il résume et met ici en forme. Un tel passage laisse imaginer quelie importance le livre 4 des La conception des mathématiques de Varron 275 d'après la classification des sciences mathématiques opérée par Géminos, relève des applications de l'arithmétique, non de la géométrie comme on le lit chez Aulu-Gelle ; mais une phrase comme celle de Géminos se prêtait à une mauvaise lecture et à un résumé défectueux : "...sont filles de la géométric” ; cela était d'autant plus facile dans un contexte d'affaiblissement des différences et des spécificités des sciences mathématiques, pour des lecteurs qui étaient plutôt portés A voir les points de contact entre elles, dans une perspective essentiellement utilitariste, dans laquelle la "géométrie" finissait par sc Disciplinae, De geometria, devait accorder 4 des considérations qui touchent substituer au couple originel géométrie-arithmétique : cette dernière science, stricto sensu à l'astronomic. La même réflexion est suggérée par la lecture du fragment varronien sur la figura mundi que donnent les Institutions 2, 7, 4. en effet, était moins susceptible d'adaptation à des techniques concrètes et utilitaires, alors que l'on en tirait en nombre, depuis plusieurs siècles, de la géométrie (optique, catoptrique, scénographie, cic.) 22, "Filles" suggère l'infériorité et la dépendance des applications techniques des mathématiques Ce n'est pas tout: prétendant traiter de la géométrie, le fragment des Institutions 2, 6, 1 traite en réalité de ce que les Grecs appellent la géodésie, c'est-à-dire la géométrie appliquée (mensura terrae), essentiellement différente de la yewpetpia dans la vicille tradition grecque pour laquelle la géométrie pure ct l'arithmétique, science du nombre, l'emportaient respectivement sur ta par rapport aux sciences clics-mémes de Parithmétique et de la géométrie dont elles sont issues ; “parties” classe ces applications techniques comme des composantes d'une géométrie concrète, d'une géométrie appliquée aux diltégéodésic et sur la “logistique”, technique du calcul pratique. Tant d'importance rents domaines d'une pratique utilitaire, vaste ensemble qui regroupe sous une donnée à l'astronomie et à la géodésic alors même que l'on parle de la géométrie suggère une autre conception des sciences mathématiques que celle des Pythagoriciens, et caractéristique d'une autre époque. Aulu-Gelle va permettre de préciser cette conception, partant de mieux dénomination unique géodésie, optique, mécanique, catoptrique, etc. circonscrire ses origines. [ nous faut ici examiner le chapitre 18 du livre 16 des Nuits Artiques auquel il a été fait allusion plus haut. Ce texte traite de plusieurs “parties” de la géométrie: l'optique, quae ad oculos pertinet ; la canonique, théorie de la musique ; et la métrique, qui est une subdivision de la canonique. Il devient plus intéressant encore dans la mesure où Aulu-Gelle indique sa source : Varron. Nous n'avons pas de textes anciens qui traitent l'optique et la canonique comme des "parties" de la géométrie, ainsi que le fait ce passage. Mais nous en avons un qui établit entre ces sciences une relation de sens voisin. C'est un fragment de Géminos, qui dit que “l'optique et la canonique sont filles (écyovoi) de la géométrie et de l'arithmétique" 21, Certes, la canonique, 19. 20. 21. Extraits, pour leur plus grande part, de Géminos, d’Anatalius et de Proclus, insérés à la suite des Définitions du Pseudo-Féron dans l'édition Heiberg précitée : le texte auquel nous nous intéressons ici se trouve p.166-169, Ce "catalogue d'Eudème" est traduit par P. VER EECKE, Proclus de Lycie, les commentaires sur le premier livre des Eléments d'Euclide, Bruges, 1948, p. 55 sq. Géminos, dans La science mathématique, ouvrage perdu dont un extrait a été conservé par Proclus dans son Commentaire sur le premier livre des I faut donc noter, attribuée à Varron par le contexte (§ 6), celte présentation de la géométrie en étroit rapport avec des sciences qui sont considérées comme des applications ("filles" chez Géminos, "parties" chez Aulu- Gelle) de son savoir théorique. Et, plus vaste que le fragment varronien qui est actuellement en question, on introduira ici un extrait d'Anatolius qui permettra d'en saisir toute la substance. L'évêque de Laodicéc (aux environs de 280) avait écrit sur les mathématiques un ouvrage dont on possède encore quelques passages 23. D'après lui, les Pythagoriciens avaient plus proprement désigné par Lalmank la géométrie et l'arithmétique, sciences qui s'intéressaient aux seuls objets d'émotun : plus récemment (ot vedtepor), on a étendu la dénomination aux mathématiques "appliquées", considérant que le paßnnanmkög travaille non seulement sur tv Kodpatov Kal vontiy UANY, mais aussi sur le cop ank dv et sur l'aicBntév. Font done partie de la 22. de l'arithmétique. qui n'est guère représentée que par fa logistique et la Eléments d'Euclide ; il est commode de lire ce texte dans l'édition précitée de Géminos, Introduction aux Phénomènes, par G. AUJAC, p. 116 lignes 7-8. Ce n'est pas ici le heu de développer à propos de Géminos les indications fournies par G. Aujac dans l'introduction de l'édition précitée. Soulignons seulement que cet élève de Poséidonios, qui vint à Rome au cours de la seconde moitié du ler s. avant J.-C. eut une grande influence sur ses contemporains et sur la postérité grâce à la diffusion de son traité sur La science mathématique. qui contenait notamment une classification des sciences mathématiques tout à fail originale par rapport à la classique hiérarchisation pythagoricienne des quatre sciences. La classification des seiences mathématiques par Géminos et Anatolius, dont nous aurons à parler plus loin, confirmera cette “infériorité” pratique 23. canonique dans le domaine des applications conerètes. JL. HEIBERG les a donnés dans le même volume 4 de son édition des œuvres d'Iléron d'Alexandrie dont il a été question précédemment. On les trouvera p.160 sq. : le passage que nous résumons ici se trouve p.160 ligne 24-p.162 ligne 25.

mathématique, à ce titre, astronomie, optique, mécanique, géodésic, logistique et canonique. Anatolius répétait plus loin 24 la même classification, en La conception des mathématiques de Varron 277 veau prodigieux chez les auteurs "néo-pythagoriciens" ou “néo-platoniciens" 27, il a existé A toutes les époques une conception plus technique et précisant cette fois qu'il faut exclure des mathématiques certaines techniques plus utilitaire de cette science: la chaîne, ici, va des sophistes jusqu'à comme la tactique, l'architecture, la musique vulgaire. Dès à présent, on voit apparaître les points communs entre la classification des mathématiques proposée par l'évêque de Laodicée et les éléments de classification offerts par Aulu-Gelle 16, 18 qui se réfère à Varron. L'auteur des Nuits Attiques, certes, ne considère, quant à lui, que deux parties des mathématiques, optique et canonique : cela est dû à sa façon de travailler en abrégcant sa source. Mais il est certain que Varron, dans ses Disciplinae (ce mot, nolons-le, apparaît dans te passage cité par Aulu-Gelle, au § 9: talium disciplinarum), avait proposé une classification des mathématiques comparable à celle qui se retrouverait trois siècles plus tard chez Anatolius. (unxav ós) Héron avait aussi écrit des Metpix & dont la teneur géométrique n'était point négligeable. Mais enfin le regard qu'ils portaient sur les mathématiques n'était pas celui des Pythagoriciens. Certes, ils reconnaissaient l'arithmétique et la géométrie comme les plus nobles parmi ces disciplines, mais c'était en raison de leur parfaite abstraction et intclicctualité, non plus vraiment parce qu'elles permettaicnt d'accéder à la connaissance de l'Etre Le plus vraisemblable est de penser que cette classification se trouvait au début du livre qui inaugurait la série des quatre ensembles consacrés aux sciences mathématiques : le De geometria. Or, il se trouve que l'évêque de Laodicée n'a pas fait autre chose que de ainsi dire sur un pied d'égalité avec l'arithmétique et ta géométrie, les six sciences appliquées qui sont énumérées par Géminos puis Anatolius, ils se situaient résolument en savants concernés par tout ce qui est coneret, SOUrépéter, sans le nommer (du moins dans les passages que nous possédons encore éx tv ’AvatoAlov), de longs extraits de Géminos, qui nous sont connus par Proclus. Dans le premier prologue à son Commentaire sur le premier livre des Eléments d'Euclide 25, celui-ci abordait le problème de la classification des mathématiques. Après avoir donné d'abord la traditionnelle classification pythagoricienne en arithmétique, musique, géométrie et astronomie, Proclus écrivait que “d'autres, comme Géminos, préfèrent découper autrement fa mathématique": suivait la classification que nous venons de voir chez Anatolius, en arithmétique et géométrie d'une part, sciences de Vintelligible pur 26, et d'autre part six sciences qui s'occupent du sensible (mécanique, astronomie, optique, géodésie, canonique, logistique), avec exclusion formelle de la tactique, de l'histoire et de la médecine. Il n'est pas sans importance de mesurer la différence entre les deux systèmes de classification entre lesquels le texte de Proclus, bien que luimême les propose cöte-A-cöte, laisse percevoir une très forte opposition de nature. Parallèlement à la vision pythagorisante et spéculative de la mathématique qui s'est conservée avec une remarquable constance pendant toute l'Antiquité, parvenant même, aux premiers siècles de notre ère, À un renou24. P.164 lignes 9-18, sous le titre daa géen paBnpanr Tg ; 25. Une traduction médioere du passage en question est donnée par P. VER EECKE, op. cit, p.31 sq. : le texte gree est à lire dans l'édition précitée de Friedlein, p.35 sq. ; il est commode aussi de lire texte grec et traduction dans l'édition précitée de Géminos, Introduction aux Phénomènes, par G. AUJAC, p.114-117. Cassiodore, p.150 lignes 4-5 (Mynors) des Institutions (Nunc ad Geometriam ueniamus, quae est descriptio contemplatiua formarum ...), offre encore. avec contemplatina qui est l'équivalent du grec Bewenn«th, une trace de cette classification. 26. Archimède, puis à Géminos ct à Tléron d'Alexandrie, en passant par Poséidonios d'Apamée. Cela ne signifie pas que ces personnages aient été de purs techniciens ct ingénicurs : citant les noms d'Archimède et de Poséidonios, on a tout dit là-dessus; on sait moins que le "mécanicien" véritable; surtout, introduisant dans la famille des mathématiques, ci pour cicux de mise en pratique de la connaissance autant que de spéculation intellectuelle. Telle est l'attitude qui paraît avoir dominé envers les mathématiques dans les derniers siècles avant notre ère ; Aristote, bien sûr, n'y avait pas été pour rien. On conçoit que de telles idées aient pu prospérer particulièrement dans les milieux intellectuels de la Rome du ler siècie avant J.-C. : d'une part, elles s'accordaient bien à l'esprit encyclopédique de l'époque : d'autre part, le génie romain, assurément, se retrouvait mieux dans de telles conceptions que dans l'abstraction spéculative pythagorico-platonicicnne, que cependant il ne méprisa point. C'est à une telle conception des mathématiques que Varron se rallic dans ses Disciplinae, si nous en croyons le contenu des fragments que nous en possédons. Parlant de la géométrie, il cite deux des six “parties” de la mathématique appliquée. Non seulement il les cite, mais il définit (chez. Aulu-Gelle 16, 18) optique et canonique à la manière dont les définissait Géminos copié par Anatolius. Il n'oublie même pas, bien que leur nom ne figure pas expressément dans le fragment transmis par Aulu-Gelle, de mentionner, par leur définition, les subdivisions géminiennes de l'optique 78 : à côté de l'optique proprement dite, la catoptrique (A propos des miroirs) ct la scénographic (science de la perspective). Le parallélisme du texte latin de 27. Dans les années 500 encore, Botce et son beau-père Symmaque, à la cour du roi ostrogoth Théodoric, inscrirant dans leur programme de renaissance des lettres grecques (dont le succès sera éphémère) une initiation poussée à cette théorie pythagaricienne des mathématiques, L'Institution arithmétique et l'institution musicale de Boéce passeront au Moyen Age dont elles constitueront l'un des piliers de la culture et de l'enseignement scolastique. 28. lilles sont bien conservées, par exemple, dans les scolies éditées par Heiberg à la suite des Définitions du Pseudo-Héron : voir p.104 ligne 9 -p.108 ligne 9.

Varron avec le texte grec de Géminos (chez Anatolius, ou chez Proclus) est ici frappant. I} paraît donc clair que la source du fragment varronicn d'AuluGelle 16. 18 est Géminos; nous verrons du reste que cela n'a rien de surprenant. Ajoutera-t-on que la classification gémintenne des mathématiques pourrait aussi rendre compte d'une apparente étrangeté dans la conception d'ensemble des Disciplinae ? Nous voulons parler de la présence, à la fin de cette partic de l'encyclopédie, d'un livre 8 sur la médecine, puis d'un livre 9 sur l'architecture. Chez Géminos 29, ces deux sciences sont soigneusement distinguées des sciences mathématiques, et pourtant, admet-il, elles ont des rapports avec les mathématiques : c'est ainsi que le médecin se sert souvent de méthodes mathématiques, Varron, fidèle, ies sépare effectivement de son corpus mathématique ; mais il leur laisse la place qu'elles méritent, et que leur laissait aussi Géminos: à chacune des deux il accordera un livre distinet des livres mathématiques, mais placé immédiatement après les livres mathématiques. Ainsi peut-on saisir l'organisation d'ensemble des Disciplinue : d'abord trois livres sur les disciplines qui deviendront les artes du triuiunt : étude dont la difficulté est moindre, matières, en tout cas, auxquelles on peut comprendre quelque chose sans s'astreindre A une longue initiation, pensaient les Péripatéticiens 30 ; puis ce qui deviendra le quadrinium, comprenant ici les sciences, aussi bien abstraites qu'appliquées, auxquelles Varron (chez Aulu-Gelle 16, 18, 6) regrette que l'on n'accorde pas assez de temps et de détermination dans l'étude pour parvenir à comprendre le plaisir (uoluptas) procuré par leur heauté (terme pythagoricien et platonicien) et leur utilité (terme géminien, plutôt) : enfin, médecine et architecture, dont les rapports avec la mathématique sont clairs, mais qui ne sont pas pour autant des sciences mathématiques. C'est donc sur la répartition des six derniers livres des Disciplinae qu'aura pu s'exercer l'influence de Géminos. Ce n'est pas à dire, comme on le voit bien, que le pythagorisme ne soit pas nettement présent dans l'organisation des quatre livres qui traitent des sciences mathématiques. Que la mathématique soit divisée en quatre sciences solidaires, cela est typiquement pythagoricien. Même l'ordre dans lequel Varron traite des quatre sciences (géométric-arithmétique-astronomie-musique), ordre qui n'est pas celui que l'on observe dans les classifications pythagoriciennes les plus répandues (arithmétique-musique-géométrie-astronomic), La conception des mathématiques de Varron singulièrement sur l'arithmétique 4!, J'ai montré ailleurs 32 que, dans fa mesure où l'on peut considérer les quatre sciences comme les quatre termes d'une proportion géométrique, la relation qu'elles entretiennent entre elles peut être conservée dans plusieurs présentations de leur ensemble: la primauté de l'arithmétique est ainsi toujours sauvegardée. Ce que l'on doit donc retenir, c'est que chez Varron, la distribution en quatre livres des quatre sciences mathématiques de la tradition grecque la plus anciennement attestée est de stricte obédience pythagoricienne. Mais on distinguera l'organisation structurelle de l'exposé varronicn sur les sciences mathématiques du contenu même de cet exposé. Celui-ci, pour autant que nous ayons pu l'apercevoir grâce aux fragments qui viconent d'être étudiés, présente des éléments qui n'ont rien de pythagoricien. La tradition sur l'origine de la géométrie ct l'historique de son développement, tout comme les considérations sur la géométrie et ses différentes “parties”, ressortissent plutôt à l'autre mentalité grecque en face des mathématiques: celle de Géminos, de ses prédécesseurs et de ses successeurs. Du reste, cela ne revicnt pas à affirmer qu'il n'y avail rien de pythagoricien dans les livres mathématiques des Disciplinae : en bon encyclopédisie désireux de transmettre la Synthèse la plus complete, et aussi, l'a-t-on assez dit, en bon pythagoricicn, Varron donnait certainement la substance des enseignements de la vicille secte mathématico-mystique. On pourrait même se demander si, traitant "scientifiquement" de l'astronomie dans le livre 4 (comme en témoignent son historique de la géométrie et le fragment conservé par Cassiodore, Institutions 2, 7, 4, sur la figura mundi), il n'avait pas réservé la spéculation pythagoricicane concernant cette discipline au livre 6, intitulé De astrologia. La même hypothèse pourrait se formuler à propos de la musique : AuluGelle 16, 18 montre que la canonique, partie "scientifique" de cette discipline, ou du moins son application concrète, étrangère à toute spéculation abstraite, devail être traitée par Varron en même temps que la géoméuie, la musique n'ayant point de place dans la classification géminienne : l'auteur avait pu réserver pour le livre 7 tout ce qui touchait à la spéculation pythagoricienne sur la musique. Cette hypothèse permettrait de se faire une idée de l'esprit 31. ne doit pas porter à de fausses conclusions. Placer Ia géométrie en tête des quatre sciences pour l'exposé des connaissances que requiert l'idéal encyclopédique ne signifie pas lui accorder ipso facto la primauté sur les trois autres cl 29. Dans l'édition Aujac de l'Introduction aux Phénomènes de Géminos, ce 30. passage figure p.114-115. CF. le fragment d'Anatolius donné aux p.160-162 de l'édition Heiberg des Définitions du Pseudo-Héron. 279 32. L'aritlunétique "est comme une racine et pour ainsi dire comme une mère” pour fes trois autres sciences mathématiques, écrit Nicomaque de Gerasa, Introduction arithmétique, \, 4, 1 (éd. R. Hoche, Leipzig, 1866, p.9 ligne 8), repris en latin par Boèce, Institution arithmétique, éd. G. Friedlein, Leipzig. 1867, p.10 ligne 9, Cf. mon article L'ordre des sciences du quadriuium et la proportion géométrique, dans Latomus, t. 50, fase. 3 (juillet septembre 1991), spécialement p.694-695, Si l'on considère comme une proportion géométrique le système suivant : arithmétique / musique = géométrie / astronomie (qui est celui de Nicomaque et de Boèce), il est clair que l'on peut obtenir par permutation : arithmétique / géométrie = musique / astronomie ; puis, en inversant, géométrie / arithmétique = astronomie / musique, ce qui est l'ordre varronien {repris par Martianus Capella).

dans lequel Varron avait conservé la classification pythagoricienne : l'essentiel de la théorie des mathématiques selon Géminos ayant trouvé place dans le livre sur la géométrie (peut-être aussi, mais nous sommes moins renseignés en l'absence de fragments, dans lc livre sur l'arithmétique), il était possible de réserver les livres suivants à un exposé plus strictement pythagoricien. Répétons-le, il ne s'agit ici que d'hypothèses, dans la mesure où nos fragments ne sont pas assez nombreux pour permettre une reconstitution assurée de l'ensemble 33, Ce qui est certain, en revanche, c'est que, ta théorie pythagoricienne fournissant À Varron le cadre général de l'organisation de son exposé avec l'intitulé des livres 4 à 7 des Disciplinae, et sans doute aussi, de manière très vraisemblable, une partie de leur contenu même si nous nc pouvons plus nous en faire une idée exacte, la théorie géminienne des mathématiques était largement entrée dans l'ouvrage. C'est ce que l'on n'a jamais remarqué acttement, du moins à notre connaissance. Ainsi Varron conciliait-i des aspirations pythagoriciennes, génératrices d'une certaine attitude devant la vie (et devant Ja mort, s'il est vrai qu'il se fit faire des funérailies pythagoriciennes), mais sans doute peu créatives - A son €poque du moins - du point de vue scicntifique et ressenties comme telles par le savant, avec les idées plus nouvelles qui s'étaient développées depuis Aristote et qui, répandues ensuite dans le monde intellectuel gréco-romain, lui étaient proposées par ses fréquentations elles-mêmes. Car ceci se passait en La conception des mathématiques de Varron 281 Pa mordiaux : «eóopos … S¢ gna TlooeBóvos … cÜompa tk odpav od cal VMS. »" 35, Ne pourrait-on ici, paraphrasant J. Coltart 36, parler d'une cosmologie stoïcienne appliquée A la mathématique ? “est donc toute la mentalité d'une Époque en face du monde ct des moyens offerts par la science pour en comprendre les mécanismes et la signification, qui se reflète dans la manière dont Varron conçut (vers 35-32 ?) la place des mathématiques dans ses Disciplinae, Lui qui “aime les essais de synthèse" 37, il a su mettre ensemble la vieille classifi cation pythagoricienne des mathématiques et le système plus moderne défini et vulgarisé dans la Science mathématique de Géminos. Pour cela il méritait que des décombres de son Œuvre - du reste insuffisamment connus s'il s'agit de ce qui touche aux mathématiques et à leur place théorique parmi les science s - on tentât de reconstituer la charpente sur laquelle il édifiait son système des mathématiques, beaucoup plus nettement tourné vers l'avenie qu'on ne le soupgonnerait si l'on en restait à l'idée, juste certes mais trop réductrice quand elle est sans nuance, du pythagorisme varronien. des temps étonnants : dans le cercle de Pompée, le milieu intellectuel romain se trouvait en contact avec toute l'intelligence grecque accouruc A Rome. Varron rencontra certainement Géminos 34, et il lut ses ouvrages : non seulement la Science mathématique où se trouvait exposée la division des mathématiques qui faisait pendant à celle des Pythagoriciens, et qui devait contenir aussi l'historique de la géométrie dont te fragment donné par Cassiodore (institutions 2, 6, 1) nous offre encore le lointain reflet ; mais aussi son = tos Introduction aux Phénomènes, traité d'astronomie écrit par un homme qui se voulait mathématicien, et qui affirmait en tant que tel l'interpénétration obligée de fa géométrie et de l'astronomie qui lui emprunte ses méthodes. Astronomie ct géométrie, tels étaient bien les deux moyens essentiels d'enquête sur le monde pour ces esprits influencés par le stoïcisme qu'étaient, comme beaucoup de leurs contemporains, Géminos et Varron, A la suite de Poséidonios, le maitre rhodicn de Géminos et d'une partie de la jeunesse romaine. Car "l'opposition (sc. entre terre ct ciel) est à la base de la physique stoïcienne. Le K6ouog stoïcien se compose de ces deux éléments priQue Fon ne puisse savoir avec certitude quel était le contenu strictement pythagoricien de l'enseignement de Varran sur les mathématiques est un paradoxe à souligner, dans la mesure où l'on est facilement porté, en général, à souligner le pythagorisme de Varron, alors que l'on ne soupçonne guère l'influence exercée par la doctrine de Géminos sur sa conception des 34. mathématiques. Sur tout cela on lira l'introduction de l'édition Aujac de l'introduction aux Phénomènes de Géminos, qui nous dispense ici de longs développements. 35. 36. 37. J. COLLART, Varron grammairien latin, p.277 +} a citation de Poséidonios est chez Diogène Laërce, 7, 138. J. COLLART, ibid, qui parle de “cosmotogie stoïcienne appliquée à la grammaire”. Id. op. cit. p.278.