La philosophie pythagoricienne du nombre et la musique

LA PHILOSOPHIE PYTHAGORICIENNE DU NOMBRE ET LA MUSIQUE WYMEERSCH ) BV: BRIGITTE VAN WYMEERSCH (Louvain-la-Neuve) Van + A _ È > Que la musique et les mathématiques entretiennent des liens étroits, nul ne le teste. Depuis l’Antiquité, cette assertion trouve un écho dans de nombreux écrits riques ou esthétiques, tout en recouvrant parfois des sens très divers. Cette étude Me à retrouver les origines de ce lieu commun, à en comprendre la portée et les ‘implications esthétiques. Pour ce faire, nous nous pencherons sur le système philosoe pythagoricien, le modèle épistémologique qu’il implique, et la place qu'y la musique. tient È5 L'analyse de cette source nous permettra de saisir la profondeur des rapports qu'ont entretenus dès l'Antiquité, musique, science et philosophie dans un type de gonnaissance où l'harmonie du cosmos se laisse contempler à tous les niveaux d’être et de représentation. ne Yue philosophie du nombre ', Pythagore, comme chacun sait, demeure un personnage énigmatique. Il n'a laissé aucun écrit et les faits, voyages et découvertes qu'on lui attribue, sont Rombreux et auréolés de légende"!), Le courant philosophique dont on lui attribue la paternité, eut une influence considérable, notamment sur Platon qui l’élargira en ün système unifié et lui donnera une portée cosmologique (2). È 0) Né vers 580 av. J.-C. à Samos, Pythagore fonde vers 530 une école ésotérique à Crotone. Suite à la dissolution de la secte et 4 sa dispersion vers 500, certains écrits circulent, notamment ceux de Philolaos et .. d’Archytas de Tarente, deux grands représentants de cette école. Selon Diogène Laërce (Vie, doctrines et +» sentences des philosophes illustres, livre VIII, trad. de Robert Genaille (Paris, 1965), L 2, p. 130), Platon «a tentera de se procurer Jes écrits de Philolaos et s'en inspirera pour le Timée. Les néoplatoniciens Porphyre cy, et Jamblique ont rédigé l’un et l’autre une biographie du philosophe (Porphyre, Vie de Pythagore, trad. de in Édouard des Places [Paris, 1982]; Jamblique, Vie de Pythagore, trad. de Luc Brisson et Alain Philippe Segonds [Paris, 1996)). Celles-ci sont largement inspirées des écrits néopythagoriciens, principalement ceux de Nicomaque de Gérase. Diogène Laérce nous livre également quelques éléments biographiques (Vie « de Pythagore, livre VII, chp. 1, dans Vie, doctrines et sentences...). Aristote fait état dans plusieurs de ses « œuvres de positions pythagoriciennes sur telle ou telle matière, cependant les deux traités entièrement : Consacrés au sujet sont aujourd'hui perdus. Seuls quelques fragments sont conservés (Jean-Paul Dumont, Les écoles présocratiques [Paris, 1991], p. 843). mamiei ® L'école pythagoricienne a connu une fortune considérable. On distingue trois stades dans son évolution: le : pythagorisme ancien, représenté notamment par Hippase de Métaponte (VI° siècle av. J.-C.), le pythago+. tisme moyen, avec Aleméon de Crotone (VI*-V* siècles av. J.-C.), et le pythagorisme récent (V*-IV* siècles > av. J.-C.}, où l'on trouve Damon, Polycléte, Philolaos, Archytas de Tarente, Timée de Locres, etc. + Nous avons relativement peu de textes originaux concernant cette tradition philosophique; beaucoup d’élé‚ ments de cette pensée nous sont connus soit par Platon, qui en fut très proche, soit par les écrits des néopythagoriciens du ‘début de notre ère. Les principaux lextes des pythagoriciens présocratiques, ou les frag- Vol. 51, 1997, 5-16 (12)

LA PHILOSOPHIEPYTHAGORICIENNEDU NOMBRE ET LA MUSIQUE BRIGITTE VAN WYMEERSCH (Louvain-la-Neuve) Que la musiqueet les mathematiquesentretiennentdes liens etroits,nul ne le conteste.Depuis l'Antiquite,cette assertiontrouveun echo dansde nombreuxecrits theoriquesou esthetiques,touten recouvrantparfoisdes sens tresdivers.Cetteetude vise a retrouverles origines de ce lieu commun,a en comprendrela portee et les implicationsesthetiques.Pource faire,nous nous pencheronssur le systemephilosophiquepythagoricien,le modele epistemologiquequ'il implique,et la place qu'y tient la musique. L'analysede cette source nous permettrade saisir la profondeurdes rapports qu'ont entretenusdes l'Antiquite,musique,science et philosophiedansun type de connaissanceoiul'harmoniedu cosmosse laisse contemplera tous les niveauxd'etre et de representation. Unephilosophiedu nombre Pythagore,comme chacun sait, demeureun personnageenigmatique.II n'a laisse aucun ecrit et les faits, voyages et decouvertes qu'on lui attribue, sont nombreuxet aureolesde legende(1).Le courantphilosophiquedont on lui attribue la paternite,eut une influenceconsiderable,notammentsur Platonqui l'elargiraen un systemeunifie et lui donneraune porteecosmologique(2). (1) Ne vers 580 av. J.-C. a Samos, Pythagorefonde vers 530 une ecole esoterique a Crotone. Suite a la dissolution de la secte et a sa dispersion vers 500, certains 6crits circulent, notamment ceux de Philolaos et d'Archytas de Tarente,deux grands representantsde cette 6cole. Selon Diogene Laerce (Vie, doctrineset sentences des philosophes illustres, livre VIII, trad. de Robert Genaille [Paris, 1965], t. 2, p. 130), Platon tenterade se procurerles ecrits de Philolaos et s'en inspirerapour le Timee.Les neoplatoniciensPorphyre et Jambliqueont r6dige l'un et l'autre une biographiedu philosophe (Porphyre,Viede Pythagore,trad. de Edouard des Places [Paris, 1982]; Jamblique, Viede Pythagore, trad. de Luc Brisson et Alain Philippe Segonds [Paris, 1996]). Celles-ci sont largement inspir6es des ecrits neopythagoriciens,principalement ceux de Nicomaque de Gerase.Diogene Laercenous livre 6galementquelques 6lementsbiographiques(Vie de Pythagore,livre VIII, chp. 1, dans Vie,doctrineset sentences...). Aristote fait 6tat dans plusieurs de ses aeuvresde positions pythagoriciennes sur telle ou telle matiere, cependant les deux trait6s entierement consacres au sujet sont aujourd'huiperdus. Seuls quelques fragmentssont conserves (Jean-PaulDumont, Les ecolespresocratiques [Paris, 1991], p. 843). (2) L'cole pythagoriciennea connu une fortuneconsiderable.On distingue trois stades dans son evolution: le pythagorismeancien, representenotammentpar Hippase de Metaponte(VIe siecle av. J.-C.), le pythagorisme moyen, avec Alcmeon de Crotone(VIe-Vesiecles av.J.-C.), et le pythagorismerecent (Ve-IVesiecles av. J.-C.), ou l'on trouve Damon, Polyclete, Philolaos, Archytasde Tarente,Tim6e de Locres, etc. Nous avons relativementpeu de textes originauxconcernantcette traditionphilosophique;beaucoupd'elements de cette pensee nous sont connus soit parPlaton, qui en fut tres proche, soit par les ecrits des neopythagoriciens du debut de notre ere. Les principauxtextes des pythagoricienspresocratiques,ou les frag-

PourPythagoreet les siens, tout est nombre.I1est la matieredes etres, ce qui leurdonneformeet les rendintelligibles: Or il apparaitqu'ils [les pythagoriciens]estiment, eux aussi, que le nombreest principe, a la fois comme matiere des etres que comme constituantleurs modifications et leurs etats(3). Connaitrele nombred'une chose, son X6yog,revientdonc a connaitrela chose elle-meme.Nous ne pouvonssaisirle reel que parle nombrequi le structure: Et de fait, tout etre connaissable a un nombre: sans celui-ci, on ne saurait rien concevoir ni rien connaitre.(4) Car la nature du nombre est pour tout homme, cognitive, directrice et institutrice, sur tout ce qui est matieresoit a perplexit6,soit a ignorance.En effet aucune des choses qui existent ne serait6videntepour personne, ni en elle-meme ni dans sa relation avec une autrechose, s'il n'existait pas le nombreet l'essence du nombre. En realite, c'est le nombre qui, en rendanttoutes choses adequatesau nombrepar la sensation, les rend connaissables et commensurables(...).(5) Dans cette philosophiedu nombre,la musiqueoccupeune fonctionessentielle, a la fois comme confirmationdu principefondateur,mais aussi comme manifestation concretede cette intuition. Selonune legendecelebre,Pythagoreauraitdecouvertl'existenced'unecorrespondanceentreles nombreset les sons lors d'une promenadeaux alentoursd'une forge. Ecoutantle martelementdes enclumes, il remarqueque les sons obtenus formententreeux des intervallesqui lui sont familiers.De plus, il constateque les differencessonores sont proportionnellesnon a la force du forgeronou a la forme de ses outils, mais aux poids des marteaux.De retourchez lui, il tente l'experience a l'aide d'une cordetenduesur deux chevalets,le monocorde,qu'il divise en deux parties.I1met en vibrationune moitie de corde, et obtientun son plus aigu d'une octave que le son initial. La meme experiencefaite avec les deux tiers de la corde, puis les trois quarts,lui donne un son hausse d'une quintepuis d'une quarte.Le ments qu'il en reste, furentreunis par H. Diels dans Fragmenteder Vorsokratiker, en 1903 - ouvrage qui connut de nombreuses reeditions. Nous utilisons pour nos citations la traduction qu'en a donnee J.-P.Dumont dans la collection de la Pleiade et nous les accompagnonsde la numerotationde l'edition de reference:Die Fragmenteder Vorsokratiker, Griechischund Deutsch von HermannDiels, hrsg. von Walther Kranz (Berlin, 8/1956); Les presocratiques, ed. etablie par Jean-Paul Dumont avec la coll. de Daniel Delattre et de Jean-LouisPoirier(Paris, 1988). Au debut de l'ere chretienne,les philosophies d'inspirationpythagoricienneet platonicienne connaissent un renouveau.Citons le neopythagoricienNicomaque de Gerase (ca 120-196 ap. J.-C.) dont l'Introduction a l'arithmetiquea remis en valeur la numeriquepythagoricienneet les theories musicales qui lui sont associ6es, et les n6oplatoniciensPorphyre(234-ca 305) et Jamblique(ca 245-ca 325), deux disciples de Plotin qui ecrivirentchacun une Viede Pythagore. (3) Aristote,Metaphysique,A, 5, 986 a, trad.de Jules Tricot(Paris, 1953), t. 1, p. 43-44; <Ceux qu'on designe sous le nom de pythagoriciens se consacrerentles premiers aux mathematiqueset les firent progresser. Nourris de cette discipline, ils estimerentque les principes des mathematiquessont les principes de tous les etres >>(Ibid.A,59, A 5,985 b, t. 1, p. 41). (4) Philolaos, Fragmente,dans Diels-Kranz,Fragmente...,44 B 4, trad.de Dumont,Lespresocratiques,p. 503. (5) Philolaos, Fragmente,dans Diels-Kranz,Fragmente...,44 B 11, trad.de Dumont, dans Lespresocratiques,

philosophe en conclut que les principauxintervallesdu systeme musical grec l'octave, la quinteet la quarte- peuventetred6finisparles quatrepremiersentiers naturels(6). Jambliquerapporteune autreexperiencerealisee avec quatrecordes de meme longueuret de meme grosseurmais tendues de poids diff6rents(7).La corde d'un poids de douze unitesvibreune octaveplus hautque celle tendued'un poids de six unites. La corded'un poids de neuf unitesest en rapportde quinteavec la cordede six unitesmais en rapportde quarteaveccelle de douzeunites.Inversement,la corde de huit unites est en rapportde quinteavec la cordela plus tendue,et en rapportde quarteavec la cordela moinstendue.Ces valeurscorrespondentaux cordesfixes du systememusicalgrec(8): hypate 6 ~I 4/3 mese - paramUse 8 9 3/2 1 I 3/2 I 12 4/3 l 9/8 nete 1 I Outrele fait que ce soit la le premieressai de quantificationd'un phenomene physique,la premiere'loi' connue(9),cette experiences'averefondamentalepourles pythagoricienscar elle confirmel'intuitionde base de leurphilosophie:tout ce qui existe est nombre,y comprisdes phenomenesaussi peu mat6rielsque ne le sont les intervalles musicaux. Son importanceest telle qu'elle figure dans la plupartles (6) Cette legende est rapporteepar de nombreux auteurs.On en trouve la premieremention chez Xenocrate (Fr. 9, Heinze, cite par Geoffrey Stephen Kirk, John Earles Raven et Malcolm Schofield, ThePresocratic Philosophers[Cambridge,2/1983], p. 234). Elle sera reprisepar Nicomaque, Jamblique,Macrobe,Boece, ainsi que par de nombreuxauteursm6dievaux (Nicomaque de Gerase, Manualeharmonicum,in Carl von Jan (ed.) Musiciscriptoresgraeci:Aristoteles,Euclides,Nicomachus,Bacchius, Gaudentius,Alypiuset melodiarumveterumquidquidexstat (Leipzig, 1895; r6ed.: Hildesheim, 1962), 6, p. 242-48; Jamblique, Viede Pythagore,trad.de Brisson, chp. 26, p. 66-69; Macrobe,Commentariiin Somniumscipionis, liber secundus, 1, trad. italienne de Luigi Scarpa (Padova, 1981), p. 248-54; Boece, De institutionemusica, I, X-XI, trad. anglaise de Calvin M. Bower, ed. par ClaudeV. Palisca (New Haven - London, 1989). Theon de Smyrne (Expositiondes connaissancesmathematiquesutilespour la lecturede Platon, II, 12bis, trad.par J. Dupuis [Bruxelles, 1966], p. 97) attribuea Hippase, pythagoriciencontemporaindu maitre, la meme decouverte, non pas a l'aide de cordes, mais de vases remplis d'eau. (7) Jamblique, Viede Pythagore,chp. 26, ? 115-7, trad. de Brisson, p. 66-68. (8) Rappelons que les rapportsentre les intervalles et les fractionsqui les caracterisentsont de type logarithmique, c'est-a-dire que la somme de deux intervalles correspond au produit de leur rapportnumerique, tandis que la difference entre eux s'obtient par la division du rapportde l'un par celui de l'autre. (9) La primaute de cette decouverte n'est cependant pas absolue. La Chine avait decouvert elle aussi de semblables rapports lors d'experiences realisees avec des bambous. Voir Jean Joseph Marie Amiot, MemoireconcernantI 'histoire...des Chinois,tome VI: De la musiquedes Chinois,tantanciensque modernes, ed. par l'abbe Roussier (Paris, 1780), cite par Michel Granet,Lapenske chinoise (Paris, 1968), p. 174-209.

traitesmusicauxou arithmetiquesdu MoyenAge et de la Renaissance,touten etant partiellementfausse, commele demontreraVincenzoGalilei en 1589(1). Developpementsmath6matiques Tout est nombre. Aussi, pour connaitre quelque chose, il faut en saisir le nombre,le X6yog.Les pythagoricienss'attachentdes lors a sonder1'essencede ce dernier,a decouvrirses proprietesarithmetiqueset les relationsqu'il entretientavec <<tout ce qui est et devient>(1). De ce fait, ils developpentune intenserecherche mathematiqueaxee d'unepartsurl'essence du nombre,et de l'autresurles rapports entrenombres. Bien qu'il existe des differences entre leurs doctrines(12),pythagoricienset platonicienss'accordentpour attribueraux nombresune densite superieurea celle que nous leur donnonsaujourd'hui.Ils ne sont pas de simplesoutils de numeration, mais sont en eux-memes structures.Ainsi, ils distinguentles nombrespoints, les nombreslignes, les nombresplans et les nombressolides(13)- complexification croissantequi determineune progressiondansleur apprentissage(14). (10)Pourjustifier des positions esth6tiqueset philosophiquesdiff6rentesde son ancien maitreZarlino,Galilei reprendles exp6riencesde Pythagorerecopi6es de traitesen trait6sduranttout le Moyen Age et en montre les erreurs.II va ainsi faire ce que personnen'a fait ou n'a ose faire durantpres de deux mille ans: contester Pythagore et sa theorie esth6tique. Cette loi n'est en effet valable que pour les longueurs des cordes, les autresparametresetant 6gaux. Lorsqu'onchange la tension, par exemple en suspendantdifferentspoids a des cordes de m8me longueur et de m8me grosseur,comme l'avait fait Pythagore,le rapportest eleve au carre: il ne suffit donc pas de suspendre a une corde un poids deux fois plus grand pour obtenir un son d'une octave plus aigue, mais il faut utiliser un poids quatrefois plus grand (Vincenzo Galilei, Discorso intornoall'opere di messer GioseffoZarlinoda Chioggia,p. 104-5). (1) Aristote, Metaphysique,A, 5, 985 b, trad. de Tricot, t. 1, p. 41): <<Dans les nombres, les pythagoriciens pensaient apercevoirune multituded'analogies avec tout ce qui est et devient >. (12)Pythagoricienset platoniciens donnentaux nombresun statutdifferent.Pourles premiers,les nombresne structurentpas seulement les choses, ils sont ces choses elles-memes, tandis que pour les seconds, le nombre est une Idee sur laquelle les objets sensibles se calquent, se forment en miroir.L'ecole pythagoricienne ontologise le nombre,alors que Platonl'id6alise: o I1[Platon]place les nombresen dehorsdes objets sensibles, tandis que les pythagoriciens pretendent que les choses memes sont nombres > (Aristote, Metaphysique,A 6, 987 b, trad. de Tricot,t. 1, p. 62). (13)Les pythagoriciensse represententles nombrescomme des structuresspatiales. Le nombreun est un point, deux forme la ligne, trois est le premiernombreplan et quatrele premiernombre solide: il faut au moins trois points pour former la premierefigure, le triangle, et quatrepour former le premiersolide a savoir la pyramidea base triangulaire,le premierdes polyedres r6guliers.L'unest donc la source de tous les points, deux de toutes les lignes, trois de tous les plans, quatrede tous les solides. (14) <L'ordreexige qu'imm6diatementapres la deuxieme dimension, on abordela troisieme, c'est-a-dire celle qui est dans les cubes et les objets qui ont de la profondeur> (Platon,La republique,livre VII, 528 b, trad. de tmile Chambry[Paris, 1947-48], p. 166). < Imm6diatementapresla g6om6trievient la science qui 6tudie la dimensionde profondeur;comme elle n'a suscite encore que des recherchespitoyables,je l'ai pass6epour mettre aussitot l'astronomieou mouvementdes solides > (Ibid., livre VII, 528 d, p. 167). A ces nombres, s'ajouterontles nombresharmoniques,principesde cohesion et d'unit6entre les diff6rents6lements. C'est dans cette conception lointaine qu'il faut rechercher les origines du quadrivium. Deja Archytas nommait la geom6trie, l'arithmetique, la sph6rique - science des spheres celestes - et la musique <sciences soeurs>>(Achytas, Fragmente,dans Diels-Kranz, Fragmente...,47 B 1, trad. de Dumont, Les presocratiques,p. 534).

Certainsnombressont plus remarquablesque d'autres,parce qu'ils possedent des proprietesgenerativesimportantes.Ainsi en est-il du tetractys, la tetradepythagoriciennequi designe a la fois un ensemblede quatrechoses, la suite des quatre premiersnombreset un principeorganisateur:il renfermeen puissancele nombre dix, somme des quatrepremiers entiers, et le dix contient l'Un, source de tout nombreet donc de toutes choses(15).A nouveau, la musique vient confirmer les proposdes philosophes,puisquetous les intervallesdu systeme musical grec sont contenusdansles quatrepremiersentiersnaturels.En effet, a partirde la valeurdes troispremiersintervalleset de l'unisson,on peuttrouverles rapportsqui definissent les diff6rentsdegresde l'echelle: le ton ou VJeQoyXqui est le 'surplus'de la quinte par rapporta la quarte(2/3 : 3/4 = 8/9), et le Xet[lLaqui est le 'reste'de la quarte lorsqu'onlui ote deux tons (3/4 : (8/9)2= 243/256)(16). L'etudedes proprietesdes nombreset des correspondancesqui existent entre ceux-ci et la naturesusciteraune litteratureabondante(17). Aristotecondamnasans cette la appel arithmologie, jugeanttroppeu rigoureuse('8). (15)ArmandDelatte, La tetractyspythagoricienne,dans Atudessur la litteraturepythagoricienne(Paris, 1915), p. 249-68. L'examendes effets et de l'essence du nombre doit se faire en fonction de la puissance contenue dans la decade. En effet, la puissance [du nombre] est grande, parfaite, universelle, principe et guide de la vie divine et celeste comme de la vie humaine auxquelles participe (...) aussi la puissance de la decade. (Philolaos, Fragmente,dans Diels-Kranz, Fragmente..., 44 B 11, trad. de Dumont, Les presocratiques,p. 506) Ainsi font-ils de dix un nombreparfait,ou plut6t le plus parfaitde tous, puisqu'il comprenden lui toutes les differences des nombres, toutes les especes de raison, toutes les proportions. (Porphyre, Vie de Pythagore,? 52, trad. de des Places, p. 61) (16) La gamme dite de Pythagorese compose ainsi de cinq tons de valeur 8/9 et de deux intervalles de valeur 243/256, ce qui donne dans le systeme octochordal: nete - paranete - trite - paramese - mese - lichanos - parhypate - hypate - (la) - (do) (mi) (re) (si) (sol) (fa) (mi) 8/9 8/9 243/256 8/9 8/9 8/9 243/256 Le systeme comprenait donc deux 6ieog, deux parties de ton: le ketita (243/256) et l'd7Motofil, ou 'coupure', ce demier 6tant la diff6rence entre le ton et le kXeiLa(9/8 : 256/243 = 2187/2048). (17) Citons par exemple l'6crit de Speusippe sur Les nombrespythagoriciens,et son commentairedu PseudoJamblique(Theologoumenaarithmeticae).Ce type de num6rologie restera un sujet d'election non seulement pour les math6maticienset les th6oriciens de la musique, mais aussi pour les ecrivains, th6ologiens, etc. jusqu'au XVIIe siecle, comme en temoignent les nombreuses sp6culationsarithm6tiquesrecopi6es de trait6sen trait6s.Zarlino,par exemple, y consacre une place non n6gligeable dans la premierepartie de ses Istitutioniharmonichede 1558 (cap. 14: Che dal numeroSenariosi comprendenomoltecose della natura& dell'arte, p. 23; cap. 15: Delle Propietddel numeroSenario,& delle sue parti; & come in esse si ritrovaogni consonanzamusicale,p. 25). (18) <Loin de cherchera r6gler sur les faits observ6s leurs raisonnementset leurs explications par les causes, ils contraignent les faits observ6s a rentrerdans le cadre de certains raisonnements et de certains avis personnels auxquels ils s'efforcent de faire correspondreleur organisationdu monde. >(Aristote, Du ciel, II, 13, 293 a, trad. de Paul Moraux [Paris, 1965], p. 85); <Et si une lacune se revelait quelque part, ils proc6daient en hate aux additions necessaires pour assurer la complete coh6rence de leur theorie. Par exemple, la D6cade paraissaitetre un nombre parfait et embrassertoute la naturedes nombres, ils disent que les Corps celestes en mouvement sont au nombre de dix; mais comme les Corps visibles ne sont que neuf, pour ce motif, ils en supposentun dixieme, l'Antiterre. > (Aristote, Metaphysique,A, 5, 986 a, trad. de Tricot, t. 1, p. 43).

Si le nombrestructureles elements,il gouverneegalementleursrelationset leur composition. Cette mise en rapport d'elements divers constitue l'harmonie: <<L'harmonienait seulement des contraires,car l'harmonie est unification des complexes et accord des opposes >(19).Aussi, apres avoir etudie le Xoyos des elements,les pythagoriciensvont s'attachera comprendreles liens qu'ils forment entreeux et creentla theoriedes avaXoyiat, des proportions,ou encoredes medietes ou moyennes. La theoriedes moyennesse proposede decouvrir,entredeuxtermesdefinis, un ou plusieurstermes moyens qui entretiennentavec les deux nombresinitiauxune relationmathematiqueconstante.Les valeursainsi mises en evidence formentdes progressionsnumeriques.L'analogiepermetdonc de trouverentredes elementsqui semblent divers un principe d'unite, de cohesion, et ce principe est mathematique(20). A nouveau,la musiquevient etayerles recherchespythagoriciennes.C'est en effet a partirde donneesmusicalesque Pythagoreauraittrouveles premieresrelations mathematiquesqui unissentdes nombresdifferents.Comparantla positiondes quarteset des quintesau sein de l'octave, il decouvrela moyennearithmetiquequi fixe le rapportde la quarte,et la moyenneharmoniqueou sub-contraire,qui etablit celui de la quinte(21).I1definit des lors une suite de nombresentiers,les plus petits possibles,tels que l'on retrouveentreeux des rapportsarithmetiquet harmonique: c'est la suite 6, 8, 9 et 12. Ces nombrescorrespondenta l'octave,la quinte,la quarte et l'unisson,lorsqu'onutiliseun monocordegraduede un a douze.Ils deviennentles (19)Philolaos, Fragmente,dans Diels-Kranz, Fragmente..., 44 B 10, trad. de Dumont, Les prdsocratiques, p. 505. (20) Les pythagoriciens decouvrirent au total dix moyennes. Les plus utilisees sont les trois premieres: les moyennes arithm6tique,geom6triqueet harmonique. Archytas (Fragmente, dans Diels-Kranz, Fragmente..., 47 B 2, trad. de Dumont, Les presocratiques, p.535-6), les d6finit comme suit: On parlede moyennearithm6tiquequandtrois termesentretiennententreeux une proportionselon un exces donn6 et que l'exces du premierpar rapportau deuxieme est celui du deuxieme par rapportau troisieme (...). On parle de moyenne g6ometrique quand le rapportdes trois termes est tel que le premier est au deuxieme ce que le deuxieme est au troisieme (...). On parlede moyennesub-contraire,celle que nous appelons harmonique,quand le rapportdes trois termes est le suivant:le premierterme d6passe le deuxieme d'une fraction de lui-meme et le moyen d6passe le troisieme de la meme fractiondu troisieme. En d'autres termes, dans une progression arithm6tique,on passe d'un terme a l'autre par addition d'un facteurconstant: dans la suite 2, 4, 6, le facteur est 2 (2+2 = 4 et 4+2 = 6). Dans une progressiong6ometrique, ce n'est plus un facteurmais un produitconstant: pour passer de 2 a 4, puis de 4 a 8, on multiplie par 2. Et enfin, dans une progressionharmoniquetelle que la suite 3, 4, 6, le terme le plus grandest superieur au terme moyen d'une fraction de lui-meme, a savoir d'un tiers de 6 (6/3 = 2), tandis que le terme moyen est superieurau plus petit de la meme fraction du terme plus petit (a savoir tiers de 3, c'est-a-dire 1). Ainsi, si a > b > c, a-b = a/x et b-c = c/x. Une progressionharmoniqueest en fait constituee de nombres dont les inverses formentune progression arithm6tique. (21) La moyenne arithm6tiqueentre les deux nombres formantl'intervalle de l'octave (1 et 1/2) donne la fraction 3/4, c'est-a-dire le rapportcaract6ristiquede la quarte,tandis que la moyenne harmoniquedes deux memes nombresest egale au rapport2/3 de la quinte.

nombressonoresparexcellencecarils symbolisentles diff6rentesrelationsque l'on peut etablirentredes entitesmathematiqueset des intervallesmusicaux(22). Cette suite est definie par Nicomaquede Gerasecomme < la mediete la plus parfaite(...), la plus utile pourtoutprogresdansla musiqueet dansla connaissance de la nature (..). [Elle] est harmonie au sens propre et veritable >>(23). L'harmonieuniverselle L'harmoniest donc un etat d'equilibreentrediverselements,etatregi pardes rapportsnumeriques.Ce principede cohesiondes etresse retrouvea tous les niveaux - dansl'univers,dansl'ame, dansle corps,ainsi que dansla musiquequi en est la manifestationla plus concrete:<<Ils considererentque les principesdes nombres etaient les elements de tous les etres, et que le ciel tout entier est harmonie et nombre >. (24) C'est pourquoiPhilolaos nomme harmoniel'echelle musicale, en tant que combinaisond'elementsdiversvoire opposes,commela quarteet la quinte,a partir desquelstoutes les 'cordes'du systemepeuventse calculer: La grandeurde l'harmonie est [constitu6epar] la quarteet la quinte. La quinte est plus grande d'un ton que la quarte.En effet une quartes6parela corde la plus haute (hypate)de la corde moyenne (m6se); une quinte la corde moyenne (mese) de la plus basse (nete); une quarte la corde la plus basse (nete) de la tierce (trite); et une quinte la corde tierce (trite) de la plus haute (hypate). Entre la tierce (trite) et la moyenne (mese) il y a un ton. La quartea le rapport3/4, la quinte 2/3 et l'octave 1/2. Ainsi l'harmonie comprend cinq tons et deux demi-tons, la quinte trois tons et un demi-ton et la quarte deux tons et un demi-ton.(25) Si l'on trouvede nombreuxdeveloppementsphilosophiquesconcernantl'harmoniedu mondechez les premierspythagoriciens(26), c'est surtoutPlatonqui donne a la theorieune ampleuret une unitequ'elle n'avaitpasjusqu'alors,notammentdans (22)8 est la moyenne arithmetiquede 6 et de 12, 9 en est la moyenne harmonique;12 est a 8 comme 9 est a 6 (rapportde 3/2) et 12 est a 9 comme 8 est a 6 (rapportde 3/4). De plus, le produitdes extremes est egal au produitdes moyens (12 x 6 = 9 x 8 = 72). (23)Nicomaque de G6rase,Introductionarithmetique,chp. XXIX, trad.de JeanineBertier(Paris, 1978), p. 13940, 206. (24)Aristote,Metaphysique,A, V,986 a, 1-3, trad.de Tricot, 1933, vol. 1, p. 23; ((Beaucoup de penseursdisent, les uns, que l'ame est une harmonie,les autres,qu'elle a de l'harmonie. > (Aristote,Politique, 1340 b, trad. de JeanAubonnet [Paris, 1989], p. 42). (25)Philolaos, Fragmente,dans Diels-Kranz,Fragmente...,44 B 6, trad.de Dumont, Lespresocratiques,p. 504. Platon dira semblablement: < il y a quatreespeces de tons qui servent a composer toutes les harmonies > (La republique,livre III, 400 a, trad. de Chambry,p. 113). (26) Le terme cosmos en tant qu'universordonn6est selon Platon introduitpar les pythagoriciens: <les savants [les pythagoriciens] (...) affirment que le ciel et la terre, les dieux et les hommes, sont lies ensemble par 1'amiti6,le respect de l'ordre, la moderationet la justice, et pour cette raison ils appellent l'univers l'ordre des choses < x6oClov>, non le d6sordre< ax6ooaav > ni le d6erglement) (Platon, Gorgias, 507e-508a, trad. de Alfred Croiset [Paris, 1974], p. 198).

le Timee(27, recitmythiqueoiul'on voit le d6miurgeorganiseret structurerle chaos en cosmosselon des proportionsmusicales. Dans le cadrede la theoriegeneralede l'harmonie,la doctrinede la musique des spheresse presentecomme point particulier.On la trouvementionneepour la premierefois chez Platondans le mythed'Er(28).CependantAristoteen attribuela decouverte aux pythagoriciens(29). Commetout corps qui se meut sur terrea une certainevitesse, emet un son, il est logique que les corps celestes dont le mouvementest parfait- circulaireet etemel -, emettentun son parfaitqui varied'uneplanetea l'autreselon leurvitesse de revolution.On obtientainsi, en assignantune hauteursonorea chacundes astres errants,une gamme complete, une 'harmonie',dont la musique de ce monde en devenirest le reflet imparfait. Quanta la realitephysiquede la musiquedes spheres,les avis sont partages. Pourcertains,il s'agit d'unemusiqueuniquementspirituelle,elle est alorsune application propreaux corps celestes de la theorie generalede I'harmonieuniverselle decriteplus haut. Pourd'autres,la musiqueest bien reelle, mais inaudiblepour le commundes mortels(30. La musique des spheresdevint des l'Antiquiteun lieu communde la litterature(31. Elle est l'exemple parfait de la portee pratiqueet epistemologique du (27) Le Timee,les Lois et la Republiquesont les principauxtextes ou Platon expose ses theories musicales. Le Timee, recit cosmogonique, donne a la musique une envergure macrocosmique. Dans les Lois et la Republique,6crits dans lesquels Platon organise l'action humaine, le caracteremoral de la musique sera plus d6veloppe. (28) < Sur le hautde chaque cercle se tenait une Sirene qui tourait avec lui et qui faisait entendresa note a elle, son ton a elle, en sorte que ces voix r6unies, au nombrede huit composaient un accord unique. ? (Platon, La republique,livre X, 617 b, trad. de Chambry,p. 118). (29) < Selon certains savants [les pythagoriciens],des corps si volumineux devraientn6cessairementproduire un son par leur d6placement,puisque les corps d'ici-bas en produisent6galement, bien que leurs masses ne soient pas 6gales a celles des astres, et que la vitesse de leur transportne soit pas aussi grande. (...) Partantde la, et posant aussi qu'en raison des distances, les vitesses ont entreelles les memes rapportsque les notes d'un accord musical, ils disent qu'est harmonieuxle chant produitpar les transportscirculaires des astres. Et comme il parait inexplicable en bonne logique que nous n'entendions pas ce chant, ils en donnentpour cause le fait que, des notrevenue au monde, ce son nous est pr6sent;il ne peut donc etre mis en 6vidence par contraste avec un silence qui s'y opposerait,car la perception du son et celle du silence sont correlatives. ? (Aristote, Du ciel, II, 9, 290 b, trad.de Moraux,p. 76-77). (30) Pythagore est un des rares inities a avoir pu l'apprecier:<<mais pour son compte, il [Pythagore]ecoutait l'harmonie de l'univers, sensible qu'il etait a l'harmonie universelle des spheres et des astres qui s'y meuvent, que la mediocrite de notre naturenous empeche d'entendre> (Porphyre,Viede Pythagore,? 30, trad.de Des Places, p. 50). (31) On la retrouvea la fois dans des ouvrageslitt6raireet philosophiqueainsi que dans des 6critsde type 'scientifique'. Le Songede Scipionde Cic6ron(La republique,livre sixieme, XVIII, trad.d'EstherBreguet [Paris, 1980], p. 109-10) a ete souvent comment6 parmi les n6opythagoriciens et a eu de ce fait une grande influence sur le Moyen Age. Une autremention importantede cette theorie est celle de Pline l'Ancien (Histoirenaturelle,livre II, ? 22, trad. de Jean Beaujeu [Paris, 1930], p. 36), chez qui l'on trouve, sauf erreurde ma part, la plus ancienne occurrenced'une attributiond'un mode a chacune des planetes: Mais Pythagoreutilise aussi parfois la theorie de la musique et appelle la distance de la Terrea la Lune un ton, celle de la Lune a Mercureet celle de Mercurea Venus, chacune un demi-ton; de Venus au Soleil il

modele pythagoriciende l'harmonie:tout en orientantle travailastronomiquevers une recherchede sens et d'unite, elle permetune appreciationreelle - bien que fausse- des distancesplanetaireset des dimensionsde l'univers(32). L'harmoniest donc generaleet concernetous les degresd'etre.La plus accomplie est celle des spherescelestes, concertdes planetesse mouvantde facon reguliere et parfaiteautourde la terre.Vientensuitel'harmoniedu monde,qui comprend le rythmeet l'alterance des saisons, la compositiondes differentselements entre eux, puis l'harmoniehumaine,union de l'ame et du corps, des partiesrationnelles et irrationnellesau sein de l'ame et des diverselementsdu corps humain,et enfin, l'art musical. Si l'on parled'harmoniea proposde la musiqueinstrumentale,c'est paranalogie.Carla musiquepratiqueest un refletde la musiquecosmique:les principaux intervallesqui la composent sont exprimablespar des proportionsnumeriques, de la meme fa9on que les rapportsentre les differentselements du monde sont regis parles nombres. La musique comme outil du savoir L'harmonieinternede la musiquenous permetd'entrevoiret de comprendre l'harmoniegeneralede l'univers.On saisit des lors l'importanceque les pythagoriciens, et les platoniciensa leur suite, accordenta l'etude des proportionsmusicales: elles sont poureux un paradigmepermettantde visualiserl'harmoniedu cosmos. La musique,comprisecomme etude des proportionsnumeriques,des rapports entre diff6rentsnombres,devient ewQo@la: contemplationde l'univers tout entier. Mise au rangde science, promuea un rangnoetique,elle se distinguede la pratique musicale, qui, pour importantequ'elle soit dans la Grece antique,n'en reste pas moins a un niveautechniqueet sensible- esthetique.Ainsi Platondiff6rencieclairementles simples 'praticiens'des veritablesmusiciens. Les uns ne sont que des compteun tonet demi,du Soleila Marsun ton,c'est-a-direautantquede la Terrea la Lune;de Mercure a Jupiterundemi-ton,ainsiquedeJupitera Satumeet dece derier untonet demijusqu'auzodiaque;cela fait septtonsqui constituentce qu'onappellele 'diapason',c'est-a-direl'accorduniversel;Saturnes'y meutselonle modedorien,Jupiterselonle phrygien,et ainsides autres. il est difficilede comprendre la raisonpourlaquellePlinepretendqueles planetesse meuvent Cependant, selonun mode.En effet,dansla mesureouiun modese definitdansle systemegrecparune succession differentede tons et de demi-tonsau sein de l'octave,les planetesdoiventnecessairement, selonPline, emettrechacunediff6rentsons.Orlogiquement, elles ne peuventle fairequesi leurvitessede rotation varie.Orle mouvementdes corpscelestesest parfait- circulaireet uniforme-et n'enregistredonc aucunevariationde vitesse.I1est doncplusprobableque,dansce texte,Plineait vouludesignerparle terme'modedorien'parexemple,le premierdegrede cetteechelle,et nonsa totalite. (32)Lesintervalles musicauxsonteneffetunoutilpourmesurerla distancentreles astres,pourencomprendre la dispositionet la vitesse de r6volution.Elle permetde trouverun rapportrationnelentrediff6rents elementsquine semblentpasavoird'unite: celle [lamusiquedesspheres]queformel'ensembledes sonsdifferents,separ6sles uns C'est,r6pondit-il, des autrespardes intervallesinegaux,mais qui, cependant,sont entreeux dansun rapportouta fait rationnel.(Ciceron,Larepublique, livresixieme,XVIII,trad.de Br6guet,p. 110).

gratteursde cordesou des acousticiens,tandisque les autress'eleventa la contemplationdes lois de l'univers: - Tuparles de ces bravesmusiciens qui tracassentles cordes, qui les mettenta la question en les tordant sur les chevilles (...), je declare que ce n'est point de ceux-la que je veux parler,mais de ceux que nous nous proposions tout a l'heure d'interrogersur l'harmonie; car ils font la meme chose que les astronomes: ils cherchent des nombres dans les accords qui frappent l'oreille; mais ils ne s'6elvent pas jusqu'aux problemesqui consistent a se demanderquels sont les nombresharmoniqueset ceux qui ne le sont pas, et d'oiuvient entre eux cette difference. - Tu parles 1a,dit-il, d'un travailtranscendant. - En tout cas utile, r6pondis-je,pour decouvrirle beau et le bon, mais inutile, si on le poursuitdans une autrevue. (33) C'est dans cette conceptionde la theoriemusicalecomme outil du savoirque l'on doitrechercherl'originede la d6preciationconstantede la pratiquemusicaleau MoyenAge(34).Jusqu'auXVIe siecle, la musiqueservirade modele scientifique. Elle a un statutde savoiret est integreeau quadrivium(35). La base de la connaissancede la natureest donc l'analogie de rapports.Elle permet,a partird'une compositionsimple- les rapportsmusicauxparexemple-, de comprendredes rapportscomplexesou difficilementsaisissables,comme ceux qui presidenta l'elaborationdu cosmos..Lamusiquey est un moyenessentiel pour s'elever du concreta l'abstrait,pouramenerl'esprita la contemplationdu beau et <<passerdu mondesensiblea la veriteet a l'essence >>(36). Implications ethiques et esth6tiques La theoriede l'harmonieuniversellea des implicationsethiqueset esthetiques importantes. L'homme est lui-meme une composition de diff6rentes parties. (33)Platon, La republique,livre VII, ? 12, 531 bc, trad. de Chambry,p. 171. L'Utudedes nombres conduit a la perception de l'unite qui ? est de celles qui poussent et tournentl'ame vers la contemplationde l'&tre> (Ibid., livre VII, ? 8, 525 a, p. 161). C'est ainsi que les 'gardiens' de la cite ideale devront s'adonner a l'6tude des nombres non pas superficiellement, mais jusqu'a ce qu'ils arriventpar la pure intelligence a penetrerla naturedes nombres,non point pour la faire servir,comme les n6gociantset les marchands,aux ventes et aux achats, mais (...) pour faciliter a l'ame elle-meme le passage du monde sensible a la v6rit6et a I'essence. (Ibid., livre VII, ? 8, 525 c, p. 162). (34) Citons pour exemple la phrasecel6bre de Guy d'Arezzo: < Musicorumet cantorummagna est distantiaisti dicunt illi sciunt quae componitmusica >, citee parEdwardE. Lowinsky,< Music History and Its Relation to the History of Ideas >, in Paul Oskar Kristeller et Philip P. Wiener (ed.), Music in the Cultureof the Renaissance(New York, 1968), p. 3. (35) Le quadriviums'occupe des nombres. Ceux-ci sont soit discrets (stables comme dans l'arithm6tique,ou en mouvement pour la musique) ou continus (stables pour la geom6trie et en mouvement pour l'astronomie). L'arithm6tiquet la geometrie ont donc pour objets les quantit6sstables, discretes pour l'une et continues pour l'autre; la musique et l'astronomie s'occupent des nombres en mouvement, discrets pour la premiereet continus pour la seconde. Ce terme de quadrivium,comme < quadruplevoie du savoirmath6matique? est introduitpour la premiere fois par Boece (Boece, Institutionarithmetique,1, 1, cit6 par Jean Yves Guillaumin, Introduction,dans Bo6ce, Institutionarithmetique(Paris, 1995, p. 54). (36) Platon, La republique,livre VII, 525 b, trad.de Chambry,p. 162.

Microcosmeinsere dans le macrocosme,son propreequilibreest intimementlie a celui de l'univers.II s'agira des lors de favoriserune musiquequi soit bonne pour l'homme,pourson equilibreinterne,et qui imite au mieux les lois de la nature,son principede cohesion, c'est-a-direson harmonie: Si la musique est la partie maitresse de l'education, n'est-ce pas, Glaucon, parce que le rythme et l'harmonie sont particulierementpropresa p6netrerdans l'ame et a la toucher fortement,et que par la beaut6 qui les suit, ils embellissent l'ame.(37) La musiquepossede ainsi un pouvoircathartiquecarelle contribuea equilibrerou a reequilibrerles proportions entre les differents elements de l'ame. Elle peut 'embellir' l'ame, la rendremeilleure.Aussi, la musiquepratique,congue comme imitationdes lois de la nature,a une tachemoraleimportante,celle de nous elevera la vertu: <La musiquedoit aboutira l'amourdu beau >(38). II convientdes lors, pourl'ame humaine,de calquerses mouvementssur ceux de l'ame du monde,en etudiantles harmonieset les revolutionsde celle-ci: Et les mouvementsqui ont de l'affinite avec le principe divin en nous, ce sont les pensees du Toutet ses revolutions circulaires.Ce sont elles que chacun doit suivre:les revolutionsrelatives au devenir,qui ont lieu dans notre tete et qui ont ete troublees, il faut les redresserpar la connaissance de l'harmonieet des revolutions du Tout: que celui qui contemple se rende semblable a l'objet de sa contemplation (...) et qu'il atteigne pour le present et pour l'avenir, l'achevement parfaitde la vie que les Dieux ont proposee aux hommes.(39) La musiqueest un precieuxadjuvantpouracquerirune ame 'equilibree': Qu'il [l'homme] harmonise les trois parties de son ame absolumentcomme les trois termes de l'echelle musicale, le plus eleve, le plus bas, le moyen et tous les tons interm6diairesqui peuvent exister, qu'il lie ensemble tous ces elements et devient un de multiple qu'il etait (...).(40) C'est un don des muses: Car l'harmonie dont les mouvements sont de meme espece que les revolutions regulieres de notre ame, n'apparaitpoint a l'homme qui a un commerce intelligent avec les muses, comme bonne simplement a lui procurerun agr6mentirraisonn6,ainsi qu'il le semble aujourd'hui.Au contraire,les muses nous l'ont donn6e comme alliee de notre ame, lorsqu'elle entreprend de ramener a l'ordre et a l'unisson ses mouvementsperiodiques, qui se sont d6regles en nous.(41) Nous nous trouvonsdonc devantune esthetique de tendance classique dans laquellela beauted'une aeuvreest relativea sa juste proportion,laquelleest definie par la natureelle-meme qu'il convient d'imiter,en son essence et en ses lois. Le (37) Ibid., livre III, 401 d, p. 116. p. 119. Les notions de beau et de bien sont intimement liees dans la philosophie grecque, particulierementchez Platon. Ainsi, par exemple, dans le Banquet,il decrit l'ascension progressive de l'ame qui s'eleve de l'amour du beau sensible a celui du Bien, l'Idee supremepour Platon. (39) Platon, Timee,90 c d, trad. de Albert Rivaud (Paris, 1956), p. 226. (40) Platon, La republique,livre IV,443 d e, trad. de Chambry,p. 44. (38) Ibid., livre III, 403 c,

plaisirque l'on peut eprouverlors d'un concertest compriscommeparticipationa l'harmoniegenerale.C'est un plaisir intellectuelcar notre intelligence est elevee vers l'harmoniegeneralede l'univers,mais il est aussi 'esthetique',sensible,car la musiqueplait a notreame et nos sens parparticipation,en raisond'une similitude de proportionsqu'elle entretientavec un etrebien equilibre: (...) De meme encorel'explication des sons que nous percevonsrapidesou lents, aigus ou graves,et tantot faux, en raison de leur manque d'accord avec les mouvementsqu'ils provoquenten nous, tant6tjustes, en raison de leur accord avec eux. (...) De la vient qu'ils procurentune sensation agreableaux ignorants et une jouissance raisonnee a ceux qui savent, par l'imitation de 1'harmoniedivine qu'ils r6alisentdans les mouvementsmortels.(42) Laphilosophiedu nombred6veloppeeparles pythagoriciensupposeunevision globale de l'univers.Celui-ci est conqucommeune compositiond'elementsdivers qui s'equilibrentles uns les autres.Cette notion d'harmoniecosmique est fondamentaledansla philosophiepythagoriciennecar elle impliqueun modele epistemologiquebase surl'analogiedes rapports,modelequel'on retrouvera la Renaissance et au XVIesiecle. Dans ce systeme de pensee, la musiqueoccupe une place essentielle, tant au niveaudu principefondateurque dansles d6veloppementsarithmetiqueset philosophiquesqui ont suivi. Elle y est miroirde l'univers,materialisationdu macrocosme et des rapportsqui le structurent. (41) Platon, Tim&e, 47 c-d, trad. de Rivaud,p. 165. (42) Ibid., 80 a-b, p. 210-1.