Sobre a classificacao de triangulos Pitagoricos

Record 26 of 331 in The Philosopher's Index 1940-2004/03 TI: Sobre a Classificacao de Triangulos Pitagoricos AU: Fossa,-John-A; Erickson,-Glenn-W SO: Principios-. JI-D 01; 8(10): 75-85 JN: Principios:-Revista-de-Filosofia IS: 0104-8694 AB: In Ancient Greek mathematics, there were two well-known formulas for generating Pythagorean triangles, one attributed to Pythagoras and the other attributed to Plato. In the present paper, we will analyze these two formulas from the point of view of rhetorical algebra, show how they might have been derived from the Babylonian formula for obtaining Pythagorean triangles, and suggest some reasons for which the Pythagoreans and Platonists might have found their respective sequences of triangles interesting. (edited) DE: ALGEBRA-; LOGIC-; PYTHAGOREAN-; TRIANGLELA: Portuguese DT: Journal-Article PY: 2001 TT Li Ti: Sobre a Classificacao de Triangulos Pitagoricos AU: Fossa -John-A; Erickson,-Glenn-W SO: Principios-. Ji-D 01; 8(10): 75-85 JN: Principios:-Revista-de-Filosofia 1S: 0104-8694 AB: In Ancient Greek mathematics, there were two well-known formulas for generating Pythagorean triangles, one attributed to Pythagoras and the other attributed to Plato. In the present paper, we will analyze these two formulas from the point of view of rhetorical algebra, show how they might have been derived from the Babylonian formula for obtaining Pythagorean triangles, and suggest some reasons for which the Pythagoreans and Platonists might have found their respective sequences of triangles interesting. (edited) Co 33 RS

Sobre a Classificacäo de Triängulos Pitagóricos John A. Fossa! Glenn W. Erickson? A matematica grega antiga conhecia duas förmulas para triângulos pitagoricos’. No presente trabalho, analisaremos estas fórmulas do ponto de vista da algebra retórica (entendida como a algebra näo simbolica, expressa discursivamente), mostraremos como elas poderiam ter sido derivadas do algoritmo babilônico para a geragäo de triängulos pitagóricos, e sugeriremos razöes pelas quais os pitagóricos e acadêmicos se interessaram por triângulos gerados pelas respectivas fórmulas. Num trabalho subseqüente, analisaremos as formulas do ponto de vista da técnica das diferencas das diferengas. A primeira das referidas formulas, a Formula de Pitágoras, afirma que (n, %(n’-1), %(n’+1)) é um terno pitagórico sempre que n é um inteiro impar maior ou igual a 3. De fato, desde que Y(n’+1) - Ya(n?-1) = 1, os triângulos obtidos usando esta formula säo todos pitagóricos primitivos. A segunda, a Formula de Platäo, afirma que (2n, n°-1, n°+1) é um terno pitagórico sempre que n é inteiro e maior ou igual a 2. Aqui, n°+1 - (n°-1) = 2; assim, os triângulos obtidos säo ou primitivos ou o dobro de um primitivo. HEATH (1981, v.1, p. 79-82) especula que as formulas foram obtidas através de investigagöes sobre nümeros figurados. A especulaçäo € atraente, porque, de fato, sabemos que os primeiros pitagóricos ! Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Matematica. ? Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Filosofia. 3 Para os conceitos básicos nao definidos no texto, ver FOSSA e ERICKSON (1997). 4 Ver o ultimo capitulo de ERICKSON e FOSSA (2001). Principios UFRN Natal v.8

estudaram números figurados extensivamente. Listamos os primeiros dez ternos gerados pelas duas fórmulas: Fórmula de Pitágoras Förmula de Platäo (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181) (21, 220,221) (4, 3, 5) (6, 8, 10) = 2x(3, 4, 5) (8, 15, 17) (10, 24, 26) = 2x(5, 12, 13) (12, 35, 37) (14, 48, 50) = 2x(7,24, 25) (16, 63, 65) (18, 80, 82) = 2x(9, 40, 41) (20, 99, 101) (22, 120, 122) = 2x(11, 60, 61) Em cada uma das duas formulas, apresentam-se certas regularidades formidáveis. Mais notavelmente, os triângulos gerados pela Formula de Pitagóras tem os números masculinos (impares), dispostos em ordem consecutiva, no primeiro cateto, enquanto os gerados pela Formula de Platäo têm os femininos (pares) dispostos de modo análogo (embora, nota-se, 1 nao aparece na primeira seqüência e 2 näo aparece na segunda). Como ja vimos, todos os ternos gerados pela Formula de Pitágoras säo primitivos. Os gerados pela Formula de Platäo se alternam entre um primitivo e o dobro de um primitivo; além disso, o dobro é sempre o dobro de um primitivo gerado pela Fórmula de Pitágoras. Do ponto de vista geométrico, tudo que é gerado pela Fórmula de Pitágoras é gerado (inclusive semelhanga) pela fórmula de Platäo. De fato, seria muito fácil recuperar os triângulos primitivos dos dobros; bastaria bissectar um cateto e tragar uma perpendicular ao cateto neste ponto, indo até a hipotenusa. Os antigos provavelmente pensavam que a Formula de Platäo gerava duas vezes o numero de triângulos gerados pela Fórmula de Pitágoras. Há ainda um fato muito curioso que pode nos ajudar a colocar as duas fórmulas em perspectiva. As fórmulas, mesmo em conjungäo, nâo geram todos os triângulos pitagóricos primitivos. Muito antes do tempo de Pitágoras, porém, os Babilônios conheciam uma fórmula, paramétrica como as duas Principios UFRN Natal v.8

formulas gregas, que gera todos os ternos pitagöricos primitivos. Mas, desde que uma das principais fontes da matemática grega era precisamente a matemática babilônica, é altamente inverosimil que os gregos näo conheceram a formula babilônica. Concluimos, entäo, que as duas fórmulas gregas nao foram uma descoberta independente (e menos sofisticada) da formula babilônica, mas que foram derivadas desta, de alguma forma, para fins de destacar os triângulos assim gerados. Mais adiante tentaremos vislumbrar as razöes que poderiam ter induzido os pitagóricos e os académicos a destacar estas duas seqüências de triângulos. Antes, porém, voltamos a nossa atençäo a formula babilônica. 2 Os babilônios usaram a förmula (2nm, n?-m?, n°+m?) onde n>m (Fig. 1). O terno produzido por esta formula é primitivo quando # e m säo primos entre si, isto é, quando o maximo divisor comum de n e m é 1. Ainda mais importante, esta formula gera todos os triangulos pitagóricos primitivos. Fig. 1. 2 n +m 2nm Quais säo as relagöes entre estas trés formulas? Parece óbvio que a fórmula de Platäo é simplesmente duas vezes a formula de Pitágoras; também a fórmula de Platäo € um caso especial da formula babilônica, pondo m=l. No entanto, devemos ter um pouco de cautela aqui porque os antigos nâo tiveram uma álgebra simbólica e, conseqüentemente, näo € claro que estas relagöes seriam percebidas na gênese das Principios UFRN Natal v. 8

formulas gregas. Ha ainda outro problema: na formula de Pitagoras temos a restrigäo de que n deve ser impar, enquanto esta restriçäo ndo se aplica à formula de Platào; é por isto que a formula de Platäo aparentemente gera duas vezes o numero de triângulos que a förmula de Pitagoras. Ainda mais, a formula de Platäo parece ser uma resposta à formula de Pitagoras, o que indica que nao € uma conseqüência direta da fórmula babilônica. Entäo, qual a relagäo entre a formula de Pitágoras e a formula babilônica? A sugestäo de HEATH (1981, v. 1, p.80), à qual aludimos acima, é que Pitigoras’ notou que o gnomon de um quadrado é sempre o impar 2k+1. Ele entäo teria procurado os casos em que o gnomon è um quadrado perfeito, ou seja, 2k+1=n?. Resolvendo para k, ele teria percebido a relaçäo n° + (‘A(n-1)P = (4(n°+1)).? A palavra “resolvendo” na sentenga anterior deveria ser entendida de maneira a nao implicar em manipulagào de formulagöes algébricas simbólicas e, com esta restriçäo, a sugestäo de Heath é plausivel. Uma vez que reconhecemos que Pitágoras conhecia a formula babilönica, porém, há uma alternativa, que apresentaremos a seguir. Lembramos que a fórmula babilônica gera triângulos pitagóricos primitivos quando n e m säo primos entre si. Assim, o problema de achar todos os ternos pitagóricos primitivos se reduz ao problema de achar todos os pares de números naturais (n, m) que säo primos entre si. Dito de uma forma ligeiramente diferente, é mister achar uma maneira sistemática de exibir as razöes irredutiveis n:m com n>m. Notamos que a descoberta de que as concordâncias musicais têm esta forma (oitavo 2:1, quinta 3:2, quarta 4:3 e tom 9:8) era uma descoberta de Pitágoras e, portanto, os pitagóricos tiveram interesse neste tipo de razäo para razöes independentes. Uma maneira de achar estas razöes seria simplesmente verificar a divisäo de n e m por todos os nümeros naturais menores ou iguais a m. Isto implica em 2m divisôes para cada razäo n:m. O trabalho poderia ser 5 Usaremos “Pitágoras” como designagäo conveniente para “Pitägoras e/ou os primeiros pitagóricos” e “Platäo” para “Platäo e/ou os primeiros académicos”. Principios UFRN Natal v.8

reduzido dividindo-se apenas pelos números primos menores ou iguais a m; eventualmente se perceberia que só seria necessário dividir pelos primos menores ou iguais à \m. Mesmo assim, a tarefa seria enorme, especialmente quando lembramos que o sistema de numeragäo dos antigos näo facilitava tais calculos. No procedimento descrito no paragrafo anterior, ainda ha os seguintes dois subproblemas: (i) seria necessário sistematizar a apresentaçäo das razGes n:m para ter certeza que nenhuma fosse esquecida e (ii) seria necessário achar uma maneira de exibir os números primos. Ha uma maneira muito simples de achar qualquer segmento inicial de primos, porém, e, como veremos, ela pode ser modificada para achar as razöes irredutiveis. O método é chamado o Crivo de Eratóstenes por ser atribuido a este matemático, contemporâneo de Arquimedes. O método parece muito com um simples fluxo aritmético e, portanto, provavelmente tem uma origem pitagorica. Listamos em ordem os naturais até qualquer determinado numero N. No primeiro estagio, eliminamos cada segundo numero depois de 2. O primeiro numero depois de dois que nao foi eliminado é 3; assim, eliminamos cada terceiro numero depois de 3. Continuamos eliminando cada p-ésimo numero depois de p, onde p é o primeiro numero que nao foi eliminado no estágio anterior. Os números que restam sao todos os primos menores ou iguais a N. Uma palavra de cautela: em cada estágio, eliminamos cada p-ésimo numero depois de p, nao cada pésimo numero restante — isto é, embora um numero seja “eliminado” ele continua a ocupar sua posiçäo nas contagens subseqiientes. O método pode ser facilmente adaptado para achar as razöes irredutiveis. Simplesmente listamos (Fig. 2) os valores de n em uma coluna e, para cada n, listamos as razöes de n:1 até nin (alternativamente até n:n-1). Desta forma, temos uma listagem sistemätica das n:m, o que resolve o primeiro subproblema mencionado acima. Em seguida, fazemos um crivo na coluna dos n. Na Figura 2, listamos os numeros p que eliminam cada n em uma coluna 4 esquerda do n. Em efeito, temos identificado os fatores primos de cada n. Finalmente, Princípios UFRN Natal v.8

eliminamos cada p-ésima razäo em uma linha em que p aparece na coluna da esquerda. Fig. 2 3 3 s| x Qi | B 1 | 33 fimo i [ah ss | sea x = da di +> | se r a LE vi “a da Ped ices RUA NES es [Cel] ox [oa ET TT aa PTT aes [pre ua Ro [ef bf o tia fois 3 tar | no 125 [ei be | sac ass | ise ies | vsa ay tes | WE [er Ka se Te fins | el ee es | irt san Less | us fit te | <a LUF i2ti | ee ran | um Paseo} ize | aars} Om tous | Sd I te | rev [iet frane | (043 fess | beat Ilustramos o procedimento, o que poderia ser chamado de Crivo Duplo, na linha seis da Fig. 2. Na coluna dos n, eliminamos cada segundo nümero depois de dois, ou seja, 4, 6, 8, 10, etc. Notamos 2 na coluna à esquerda de 6. No próximo estägio, eliminamos cada terceiro nümero depois de 3, ou seja, 6, 9, 12, etc. Anotamos 3 na coluna à esquerda de 6. Em seguida, eliminamos cada quinto nümero depois de 5; mas 6 näo € um quinto numero depois de 5 (€ o primeiro número depois de 5). Logo, nâo anotamos 5 na coluna à esquerda de 6. Finalmente, desde que 2 e 3 aparecem na coluna à esquerda de 6, eliminamos cada segunda razäo (6:2,6:4, e 6:6) e cada terceira razäo (6:3 e 6:6) nesta linha. As razôes restantes (6:1 e 6:5) säo as razöes irredutiveis da sexta linha. A descrigäo do procedimento poderia ser simplificada por se falar em “mültiplos” (“eliminar todos os múltiplos de 2” em vez de “eliminar cada segundo nümero depois de 2”). Rejeitamos a descriçäo mais simples, porém, para sublinhar um ponto muito importante: tanto o Crivo de Eratóstenes, quanto o Crivo Duplo, näo dependem da multiplicaçäo. Basta contar. Assim, é consonante com a hipótese de que era um método conhecido muito cedo na história da matemática. Voltando à Figura 2, vemos num relance que as razöes correspondentes às concordâncias musicais aparecem todas na Princípios UFRN Natal v.8

mesma diagonal, a diagonal em que n-m=1. Poderiamos dividir a Figura 2 em classes diferentes, a p-ésima classe correspondendo 4 p-ésima diagonal da Figura (descartamos a diagonal em que n=m, pois esta näo tem interesse para o problema proposto). Assim, n:m pertence à p-ésima classe se e somente se n-m=p. Notamos que em termos modernos, temos um resultado muito interessante, pois temos uma partiçäo (definida como uma colegäo de subconjuntos disjuntos cuja uniäo é o conjunto original) das razôes e/ou das razôes primas entre si. De fato, sejam R = {n:m/ n, meN com n>m} e RP = {n:m/ n, meN com n>m € (n, m)=1}. Seja n:m~a:b quando n-m=a-b. Entäo ~ é uma relaçäo de equivalência que gera as classes de equivaléncia R, = {n:meR/ n-m=p} em R e RP, = {n:meRP/ n-m=p} em RP. Em todos os dois casos, a partiçäo é infinita. Voltando mais uma vez à Figura 2, vemos que só a primeira classe (p=1), a classe contendo as concordäncias musicais, é composta exclusivamente de razôes irredutiveis. Desta forma, esta classe se destaca como sendo de importância especial. Quais säo os triângulos pitagóricos gerados pelos valores de n e m desta classe? Sao, de fato, exatamente os triângulos dados pela formula de Pitagoras, como podemos ver na seguinte tabela: n m terno gerado 2 3 1 2 (3, 4, 5) (5, 12, 13) 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181) (21, 220,221) 4 3 (7, 24, 25) Pitágoras, investigando estes triângulos, iria notar com muita facilidade que o cateto masculino é a soma dos geradores Principios UFRN Natal v.8

ne m (2+1=3, 3+2=5, 4+3=7, etc.). Também teria notado que o quadrado do cateto masculino é a soma do cateto feminino e a hipotenusa (3°=4+5, 5°=12+13, 7°=24+25, etc). Mas, a hipotenusa é um a mais do que o cateto feminino. Assim, temos (n+m)? = 2xcateto feminino + 1. Lembrando que, nesta classe, n e m säo inteiros consecutivos, temos que n=m+l. Logo, (m+1+m)? = 2xcateto feminino + 1. Assim, o cateto feminino = %[(2m+1)-1]}. A hipotenusa € um a mais, ou seja, %[(2m+1)’+1]. Desta forma, o triängulo gerado é (2m+1, %[(2m+1)?-1], %[(2m+1)’+1]). Na algebra retorica dos antigos, isto seria “um numero impar, metade do seu quadrado diminuido de um, metade do seu quadrado aumentado por um”. Em notagào moderna, pondo k no lugar de 2m+1, temos (k, %4(k?-1), 4(k?+1)) com a restriçäo de que k seja impar. Isto é, claramente, a formula de Pitágoras. Em termos modernos, corresponde a uma troca de variáveis. Vemos, entäo, que uma investigaçäo dos triângulos gerados pela fórmula babilônica, à luz de uma tentativa de exibir sistematicamente os pares de geradores primos entre si, leva-nos naturalmente à formula de Pitágoras. Ainda mais, Marsilio Ficino, um dos mais importantes pitagóricos da segunda metade do Século XV, denomina “numero nupcial” um numero que é o produto de dois numeros consecutivos (ver ALLEN, 1994). Näo se deve confundir esta definiçäo com o “Numero Nupcial” do Livro VIII da Republica de Platäo. De fato, Platäo näo usa esta designaçäo, mas se refere ao seu numero com a frase “nümero geométrico”. Esta terminologia deve ser uma recordaçäo de um termo técnico da matemática pitagórica em que a razäo da forma k+1:k seria uma “razäo nupcial”. Evidentemente, o nome advém do fato de que k+1:k é ou masculino (impar):feminino (par) ou feminino:masculino. Nao sabemos se o nome antecede a descoberta da formula de Pitagoras ou se é conseqüência desta descoberta, mas, em qualquer caso, é apropriado pelos geradores dos triangulos da 5 Note-se que a linguagem é ambigua (embora o seu significado fosse facilmente entendido pelos matemáticos) e é similar 4 linguagem de Platäo na sua descrigäo do “Numero Nupcial” no Livro VIII da Republica. Principios UFRN Natal v.8

primeira classe, pois eles, contendo as concordâncias musicais, provavelmente foram usados pelos pitagóricos na sua cosmogonia. Da nossa observaçäo anterior de que a formula de Platäo € o caso especial da formula babilönica com m=1, é öbvio que os geradores dos triângulos dados pela formula de Platäo säo os da primeira coluna de Figura 2. De fato, descartando o caso nao interessante de n=m, a primeira coluna é a unica coluna que contém somente razöes primas entre si. Podemos, inclusive, definir uma nova partiçäo das nossas razôes através desta observaçäo. Assim, sejam R = {n:m/ n, meN com n>m} e RP = {n:m/ n, meN com n>m e (n,m)=1}. Seja n:m~a:b quando m=b. Entäo ~ é uma relaçäo de equivaléncia que gera as classes de equivalência R, = {n:meR/ m=q} em R e RP, = {n:meRP/ m=q} em RP. De novo, a partigäo € infinita, mas as classes de equivalência, em vez de ser as diagonais da Figura 2, seräo as colunas desta Figura. A formula de Platäo corresponde a primeira classe, RP,, desta nova partiçäo. De novo, a formula de Platäo é uma conseqüência natural 8 T terno gerado eee 1 2 3 (4, 3, 5) (6, 8, 10) (8, 15, 17) 5 6 7 8 9 10 (12, 35, 37) (14, 48, 50) (16, 63, 65) (18, 80, 82) (20, 99, 101) (22, 120, 122) 4 —= mo. ee ee = POO INN BR & D 5 © desta partiçäo, como a seguinte tabela indica: (10, 24, 26) Da tabela, é claro que o primeiro cateto é duas vezes n e que o segundo cateto e a hipotenusa sao, respectivamente, o predecessor e sucessor de n° (3, 2°, 5; 8, 37, 10; 15, 4, 17; etc.). Principios UFRN Natal v. 8

Conseqüentemente, o segundo cateto é n-lea hipotenusa € n°+1, o que nos dä a formula de Platäo: (2n, n°-1, n°+1). Curiosamente, é muito fácil reinterpretar a förmula de Platäo em termos de pares nupciais. Basta colocar r=n-m. Para a primeira classe, m=1; logo, r=n-1 e n:r = n:n-1, a razäo nupcial. A formula para os ternos usando os geradores nupciais n e r é {ntr+1, (n+1)r, (n+1)r + 2). Naturalmente, essa formula se reduz à formula de Platào quando substituimos n-1 por r. O que teria levado Platào a abandonar a fórmula de Pitágoras? Na exibigäo sistematica das razöes n:m, com n>m (Figura 2), há dois conjuntos de destaque: a primeira diagonal e a primeira coluna, pois estes dois conjuntos contém somente razöes primas entre si. Vimos que Pitagoras provavelmente optou pela primeira diagonal, contendo os geradores nupciais, porque contém as consonâncias musicais e, portanto, os triângulos resultantes seriam os mais apropriados para a construgäo do universo. Na cosmogonia platônica, porém, era necessário contemplar os 28 números da alma do mundo (ver Timeo, 35-36) e, portanto, Platäo estaria a procura de triângulos em que estes números aparecessem. Numa interpretagäo, seria necessário multiplicar estes números por 384 para eliminar os valores fracionários. Desta forma, 25 dos números da alma do mundo seriam pares. Mas, nenhum destes 25 tem a forma '4(k’1) e, portanto, nenhuns destes valores aparecem no cateto feminino de um triângulo pitagórico gerado pela férmula de Pitágoras. Ainda mais, os três números ímpares da alma do mundo näo tém a forma '4(k’+1) e, portanto, näo podem aparecer na hipotenusa. Desta forma, a fórmula de Pitágoras só gera três triângulos contendo números da alma do mundo, — cada um dos três números impares aparece como o cateto masculino de um triângulo gerado por esta formula. Mas, este resultado é demasiadamente pobre para os seus propósitos cosmogônicos. Em contraste, todos os 25 números pares da alma do mundo aparecem em triângulos dados pela fórmula de Platäo. Notamos ainda, que os triângulos gerados pela Fórmula de Pitágoras exibem a relagäo nupcial de duas formas: a razäo hipotenusa : cateto feminino é sempre a razäo nupcial n+l:n e Principios UFRN Natal v. 8

os seus perimetros säo sempre da forma n(n+1), ou seja, um numero nupcial no sentido de Ficino. Os perimetros dos triângulos gerados pela Formula de Platäo säo sempre o dobro de um numero nupcial, ou seja, 2n(n+1), fato que poderia ter sido relacionado coma teoria platônica de tempo ciclico. Abstract In Ancient Greek mathematics, there were two well known formulas for generating Pythagorean triangles, one attributed to Pythagoras and the other attributed to Plato. In the present paper, we will analyze these two formulas from the point of view of rhetorical algebra, show how they might have been derived from the Babylonian formula for obtaining Pythagorean triangles, and suggest some reasons for which the Pythagoreans and Platonists might have found their respective sequences of triangles interesting. In a separate paper, we will analyze these two formulas from the viewpoint of the Pythagorean technique of finding the differences of differences. Referéncias ALLEN, Michael J. B. Nuptial Arithmetic: Marsilio Ficinio’s Commentary on the Fatal Number in Book VIII of Plato’s Republic. Berkeley: University of California Press, 1994. ERICKSON, Glenn W., e John A. FOSSA. Estudos Sobre o Numero Nupcial. Rio Claro: SBHMat, 2001. FOSSA, John A. e Glenn W. ERICKSON. “Uma Heuristica Platônica para Ternos Pitagóricos”. Principios 4 (5):147- 158, 1997. HEATH, Thomas L. A History of Greek Mathematics. New York: Dover, 1981. Principios UFRN Natal v.8