Pythagorismo e metriche architettoniche nell'antichita

AU SILVA,R TI PYTHAGOREAN CONCEPTS AND MEASURE IN ANCIENT ARCHITECTURE SO CRITICA D ARTE, 1975, 40, 139, p 62-80 _ PITAGORISMO E METRICHE Atem Gechun? ARCHITETTONICHE NELL'ANTICHITA RLADCGIA'HRIA.ERLTNOIAECAFEVIDARILETNEOCZREHI f1sX(NaeAu3crinociL9voIela)o, SIVA,R. 1Gen9aio7-Feb5raio loro pretesa oggettività 4. Nel secolo scorso D. R. Hay sviluppò un vasto sistema, fondato sulla «legge » pitagorica dei numeri, che, nelle intenzioni dell’autore, avrebbe dovuto essere una sistematica «Scienza della Bellezza » 5; i lavori dello Hay ebbero successo ¢, insieme con le opere di molti altri studiosi dello stesso indirizzo 5, hanno contribuito a diffondere questa Aunstwissenschaft pitagosede teorica, dal momento che querizzante. sto trasferimento di valori estetici presupporrebbe che i Greci considerassero autonoma soltanto la musica, mentre le altre arti avrebbero dovuto limitarsi ad accogliere quanto da essa veniva elaborato. Per la cultura ellenica il rapporto architettura-musica non si può dunque configurare altro che in termini squisitamente pitagorici, come Il limite di queste ricerche sta nella volontà, stimolata da romantico entusiasmo, di scoprire leggi fondamentali e invariabili che ricscano a spiegare contemporancaadesione comune di queste due «arti» al valore paradigmatico e cosmopoietico dei numeri, gencratori ed indici di ogni struttura \AS 1q 5 armonica sia naturale che artificiale. Non si tratta perciò di fusione e tanto meno di « confusione » tra le diverse forme espressive, ma di una basilare unità dei linguaggi che, scaturendo indifferenziati dalla medesima sorgente, mirano concordi alla mimesis, cioè alla ristrutturazione della realtà organica su basi ideali ®, Bisogna però subito notare che anche l’interpretazione dell’architettura greca in chiave pitagorica, per quanto del tutto giustificata sul 62 piano teorico, è stata orientata in senso mistico o simbolico da molt’ studiosi che hanno compromesso |; Per comprendere a fondo gli stretti legami che, nella civilta ellenica, uniscono i canoni delle arti visive e della musica !, bisogna anzitutto liberarsi dall’atteggiamento romantico che considera la presenza di sostrati « armonici » come risultato di esperienze individuali, dovute al fascino esercitato dalla musica sull’animo dell’artista, che tradurrebbe in forma concreta ciò che i suoni già esprimono nel loro linguaggio. Per quanto riguarda l’architettura greca, la lettura romantica, che, in certo modo, assimila gli edifici a veri e propri «spartiti » 3, è insostenibile non solo sul piano pratico, poiché è ovviamente impossibile tradurre un brano musicale in architettura, ma anche in comprensione dei fatti artistici at traverso la sovrapposizione di formule pseudoscientifiche, ben più dannose di qualsiasi interpretazione apertamente romantica a causa della mente arte e natura in un unico quadro della realtà; presupposto che comporta, sia pure in diversi gradi, l'adozione di criteri antistorici. Secondo queste interpretazioni sembra che la mentalita scientifica propria della nostra epoca sia stata corrente anche nell’antichità e che i pitagorici abbiano dettato legge incondizionatamente, creando un lessico programmatico {forme « armoniche » usato da og architetto 7, che, in tal modo, sarebbe stato guidato passo per passo dal musicofilosofo. A parte la poca credibilità di queste ipotesi sul piano storico, un’interpretazione di tal genere svaluta a fondo gli architetti greci ridotti, per usare una caustica espressione del Milizia, a discepoli dei «maestri di cappella » $. Non sono d’altronde da trascu-

pitagorismo e architettura rarsi i meriti dello Hay e poi del Ghyka, che consistono nell’aver sottolineato, sia pur troppo unilateralmente, le relazioni esistenti tra l’architettura greca e le dottrine pitagoriche. M. Ghyka, pur facendo troppo affidamento sulle « demiurgiche » proprietà della sezione aurea e sulla presunta corrispondenza tra della stessa dottrina pitagorica ', € tanto meno in formule criptiche !', ma solo in positivi contatti di pensiero, mutevoli nel tempo e dotati arte e natura, più che sostenere un La segretezza dei circoli pitagorici deve essere infatti considerata non come espressione di deteriore misticismo, ma come frutto di quel riserbo che, presso i Greci, caratterizzava le attività più alte dello spirito, attività che bisognava esercitare lontano dal volgo, il quale, non comprendendole, le avrebbe disprezzate, offendendo così la natura divina della conoscenza. Questo carattere religioso-iniziatico della cultura greca trovò stimolo ed alimento nella progressività della ricerca scientifica che attinge gradualmente méte più alte e logicamente connesse, ma solpunto di vista esclusivo, si sforza di dare una corretta interpretazione storica ai fatti artistici presi in esame. Al contrario, gli schemi con cui D. R. Hay cerca di ricostruire la struttura progettuale del Partenone o del Theseion rivelano la loro natura antistorica proprio in quegli aspetti che apparentemente sembrerebbero fornire una conferma alla validità della tesi: l’impeccabile articolazione dei nessi proporzionali «scientificamente » elaborati appare infatti come un prodotto di laboratorio, ben lontano dalla chiarezza sorgiva propria di qualsiasi forma espressiva della cultura ellenica; ed inoltre la perfetta rispondenza degli schemi agli edifici testimonia, senza possibilità di appello, l'uniformità artificiosa di quest’analisi *» Non si tratterebbe, secondo lo Hay, di semplici relazioni tra i nudi quella determinazione ed evidenza logica che, essendo caratteristiche della cultura greca, non si capisce perché dovrebbero venir meno proprio in questo caso. tanto in epoca tardo antica si difposti teorici, che, tra l’altro, possono vantare referenze pitagoriche piutfusero dottrine mistiche come, ad esempio, il neopitagorismo, l’ermetismo e lo gnosticismo, che teorizzavano l’esistenza di una dimensione fisicamente inconoscibile, la cui comprensione poteva essere raggiunta mediante pratiche magiche e riti esoterici !2, La ricerca dei sostrati « armonici» nell’architettura greca, per obiettive esigenze critiche, dovrà dunque tenersi lontana da ogni pretesa di scoprire formule onnicomprensive e sistematiche e dalla tentazione di svelare affascinanti mondi segreti, mentre dovrà avere tosto vaghe. costantemente presente l’interdipen- Se le relazioni tra architettura € pitagorismo, almeno in certe circodenza dei vari campi della conoscenza e la loro omogeneità, senza stanze storiche, non possono essere postulare niente di diverso da quello che il panorama culturale di una certa epoca può offrire. meri che «compongono la gamma musicale pitagorica e le strutture architettoniche, ma di un ben congegnato sistema di sequenze « armoniche », la cui credibilità, a. mio parere, è inversamente proporzionale alla complessità dei presupmesse in dubbio, non appare però lecito cercarle al di là dei limiti

l. Samo, Hekatompedon I: pianta. Questo gli altri disegni sono di Silvana Gabrielli Franco Bartoli, e e concezione statica della realtà, probabile retaggio di cosmogonie protostoriche a cui è forse legato anche il simbolismo della triade, della decade e dei loro multipli. Queste formule metriche non sono | 0 4 } 4 + ut i J 5 10 î ancora sostrati « armonici » nel senso pieno del termine perché manca una L’impiego da parte degli architetti greci di proporzioni armoniche latamente delle analogie presenta organizzazione raziomusicale pitagorico pur basandosi su che permette, un limitatissimo con la scelta dei luoghi per l’edifiuso di consonanze — le symphoniae, cazione dei templi: sembrerebbe infatti costante la determinazione di secondo eleggere come arce sacre i luoghi più ricchi di attrattive naturali e di intonare l’edificio all'ambiente circostante mediante accurate relazioni proporzionali e paesaggistiche, mentre una riflessione più attenta rivela chiaramente che l’ubicazione e le proporzioni dei templi sono determinate da motivi strettamente religiosi 18, Come Phorror l’ambiente dei suoi è sacro boschi o per per la presenza di fonti in cui s’annida ‘una divinità, così i numeri, le proporzioni sono garanti di quell’acla tradizione sono soltanto nere, attraverso pitagorica, cinque: diatessaron, diapente, diapason, diapason-diapente, disdiapason, e sono tutte comprese nei primi quattro numeri della serie naturale, la tetraktys 18 — di ottele combinazioni possibili, una vasta gamma di variazioni. Il pitagorismo ha probabilmente attinto i suoi elementi fondamentali da questa cultura « protoscientifica », organizzando e sviluppando quanto, in origine, non doveva essere altro che un complesso d’intuizioni rivestite di significati religiosi 1%, cordo cosmico per cui dèi e uomini entrano in contatto #, Alle origini della prassi architettonica ellenica La fortuna della triade, ad esempio, potrebbe essere spiegata col fatto che essa rappresenta la forma non si può propriamente parlare di più semplice di simmetria bilaterale proporzioni, implica e contemporaneamente la più elela relatività delle quantità considerate e che si affermerà ad opera dei poiché non v’é dubbio che il posto pitagorici ®, ‘invariabili concetto nel che ma di numeri sacri, non solo nella consistenza monadica, valore ma talora anche metrico, formato da embatéres 5%, come accade, ad esempio, negli hekatömpeda, dove la misura è fissata stabilmente in base ad un modulo fisico. Questa fase affonda le sue radici cultura egiziana e orientale nella ed è legata all’uso di griglie modulari 64 precisa nale e la flessibilità tipica del sistema rigide 7, uso che riflette una mentare disposizione. gerarchica, centrale sia privilegiato; la decade invece, a parte l’innumerevole serie di pregi che vi troveranno i pitagorici 2°, deve proba fascinó primitivo «affi dita, strumento istintivo di calcolo 21. I multipli di questi numeri potenziano la dynamis ?? contenuta nelle loro basi (pythménes), come ad esempio il 100, che unisce la potenza della triade a quella della decade, poiché

pitagorismo e architettura 2. Samo, Hekatompedon II: pianta. i primi quattro interi sommati danno 10, mentre se vengono singolarmente elevati alla terza potenza la loro somma é 100. Tutte queste proprieta dei numeri, facilmente osservabili mediante il raggruppamento di oggetti omogenei, da un lato potevano entusiasmare per il loro « misterioso » manifestarsi, che dava 0.0 0 0 e © © © ®© evoluzione poiché non era connaturato alla cultura ellenica: già anticamente si distingueva infatti tra il modo di pensare degli Egiziani, fondato su strutture rigide, € quello dei Greci, sempre alla ricerca di un adeguato rapporto tra ideale e reale *, Una spinta notevole verso ia liberazione dai vincoli delle norme culturali, o meglio verso una trasformazione di queste norme in un codice articolabile secondo esigenze varie e mutevoli, si ebbe quando si sentì la necessità di costruire gli edifici sacri in pietra. Tutti i problemi strutturali, che i primi costruttori avevano risolto empiricamente, si dovevano ora affacendo i conti con la diversa disponibilità del nuovo mao e e © o 0 © o © o o o o o o e o e o o o 0.00 © 0 o o 0 8 © © © + Ht} all'operatore la sensazione di dominare magicamente le leggi che si profilavano dietro la barriera opaca dei corpi *; dall’altro fornivano lo spunto, attraverso le configurazioni geometriche assunte dai calculi, per un’applicazione spaziale. L’uso di questi schemi geometrico-sacrali nell’architettura arcaica, per quanto fosse ancora lontano da qualsiasi deteriore misticismo, rischiava di cristallizzare ogni vitalità creativa in formule vincolanti e di spengere conseguentemente ogni attività di ricerca volta all'acquisizione di nuove forme. Quest’orientamento intellettuale era però destinato ad una precoce frontare 0.06 10 5 teriale e con la necessità di mantetenere costanti le misure sacre ”, Mentre per i secoli anteriori al VII l’estrema scarsità dei dati a nostra disposizione rende faticosa e punteggiata d’ipotesi una ricostruzione, sia pur sommaria, dei canoni proporzionali, durante il VII e ancor più durante il VI secolo possiamo seguire con maggiore esattezza lo stabilizzarsi di una procedura comune, le cui norme, pur senza sostanziali variazioni, subiranno continui ritocchi fino al raggiungimento del tipo « classico », la cui omogeneità, peraltro, è relativa poiché sussistono all’interno della regola infinite possibilità di variazione. Nella prima metà dell’VIII secolo fu costruito a Samo l’/erazon, il più antico tempio greco a noi noto: questo edificio consisteva in un mégaron lungo 100 piedi e largo 20 (m. 32,86 x 6,50), sorretto al centro da una serie di sostegni lignei su cui poggiava la trave maestra, direttrice assiale dello spazio, ed era forse circondato da una peristasi * (fig. 1). Nell’Heraion di Samo troviamo già applicata la misura sacra di 100 piedi, che sarà caratteristica pressoché costante del tempio greco fino al prevalere di una più duttile teoria proporzionale: in tutti gli hekatémpeda, infatti, il piede, modulo fisico, viene moltiplicato per co65 —__——’’’’Tecc-crierrr rr

3. Olimpia, Heraion: pianta (1 : 400). questo proposito sono |’ Hekatémpedon u st at y stanti numeriche, ottenendo misure investite di significati così religiosi. Sulla base di queste convinzioni il pitagorismo costruirà una scienza caratteristica che chiamerà Teologia aritmetica. Questa dottrina verrà esposta per la prima volta in maniera sistematica da Archita di Taranto ?*, ma le sue radici affondano nella più remota tradizione ellenica come dimostrano le misure del primo Heraion di Samo e dei successivi hekalémpeda, dove la presenza di proporzioni culturali, come accade anche nei canoni plastici indiani di derivazione ellenistica 38, è garante delle interrelazioni cosmiche e di conseguenza consente al fedele di entrare in contatto con la divinità e di veder proprie preghiere. esaudite le I simulacri degli dei, in quest’epoca, non erano considerati come raffigurazioni culturali, ma impersonavano letteralmente la divinità, tanto che le statue venivano lavate, vestite e cibate come esseri viventi 39; di conseguenza il tempio era la luna e le stelle erano ruote piene di fuoco *? i cui raggi stavano nella proporzione di 9: 18: 27. La costante delle proporzioni cosmiche di Anassimandro é il numero 3, e tutto induce a credere che i costruttori dei templi di Samo e di Thermos, e forse anche molti altri a noi ignoti, abbiano attinto come il pensatore milesio ad una fonte risalente ad epoca più antica. E interessante notare che in queste proporzioni song già contenute tre delle pink Joss pitagoriche (diapason = 2 : 1; diapente stinte, non é da escludere che anche il tempio sia stato identificato con il cosmo proprio in virtü delle sue — 3: 2; diapason-diapente = 3 : 1) e ciò dimostra che in quest’epoca ci si rendeva conto, con finissimo intuito, che le ptBorzioni « armoniche » sono quelle generate da piccoli numeri ®, anche se non è possibile affermare con sicurezza che ciò fosse in relazione con l’acustica. proporzioni. Due casi La proporzione numerica tra le colonne di questi templi sembra « casa » in cui il dio o la dea dimoravano, €, come personalita del 66 II di Samo, (fig. 2), costruito dopo il 670 sopra il tempio di Era distrutto da un’inondazione, e il tempio di Apollo a Thermos, risalente all’ultimo terzo del VII secolo. In ambedue questi templi la cella, lunga 100 piedi, è circondata da una peristasi le cui colonne, disposte in rapporto di 1:3 (6x 18 a Samo; 5 x 15 a Thermos), riflettono un'antichissima cosmologia di cui troviamo una precisa elaborazione nel pensiero di Anassimandro di Mileto, vissuto nella prima metà del VI secolo 3°, Anassimandro, che, secondo alcuni, fu il primo a disegnare il cerchio della terra e dell’acqua ed anche a costruire un globo dei cieli 1, affermava che la terra aveva la forma di un cilindro la cui altezza era un terzo della larghezza; mentre il sole, la la statua e la dio non erano dimolto interessanti

4. Selinunte, Tnu—n inoltre anticipare la symmetria tra gruppi di monadi che, sulla scia del pensiero pitagorico, si affermerà incontrastata nel V secolo 54, Già durante il VI secolo, però, si assiste ad una progressiva ma decisa modificazione dei primitivi canoni architettonici, ben rilevabile nonostante la rarefazione dei monumenti. La proporzione triplasia tra le colonne della fronte e quelle dei fianchi, caratteristica dei templi iù antichi, si fa approssimata: nell’Heraion di Olimpia (fig. 3), la peristasi (6 x 16), pur essendo prossima al rapporto | : 3, non lo rispetta integralmente, e così accade nel tempio C di Selinunte (6 x 17) e nel tempio di Apollo a Siracusa (6 x 17), finché, nella seconda metà del secolo, anche questo rapporto approssimato tra fronte e fianchi viene abbandonato a favore della proporzione pollaplasiepimorica (doppia più una parte aliquota). L’abbandono graduale dei canoni più antichi è probabilmente determinato dal prevalere di una nuova sensibilità spaziale e da motivi tecnici, connessi all'impiego della pietra, che non consentivano di mantenere proporzioni slanciate; di qui la ricerca di una modulazione adatta alle nuove esigenze architettoniche e, contemporaneamente, giustificabile sul piano religioso %. Il pitagorismo, che si affermò nella seconda metà del VI secolo, dette una risposta a questi interrogativi e fu in grado di fornire una formula cosmologica aderente. Non si tratta, in questo caso, di un’indebita intromissione ideologiza, ma semplicemente della razionalizzazione e della giustificazione teorica di quanto gli architetti avevano già raggiunto attraverso i loro sforzi: la symmetria armonica, basata su rapporti numerici, viene Acropoli, Tempio C: pianta pitagorismo e architettura le e e o o o o o e 0 0 0 0 0 0 ©. = | | as Li infatti a prendere il posto della più antica symmetria di embatéres, rendendo più fluido il linguaggio architettonico e dando la possibilita di variarlo secondo le norme di una superiore disciplina. Per quanto, come é stato accennato, non siano mancati i tentativi degli studiosi per individuare le «leggi armoniche » che regolano l'architettura greca, fino ad ora le soluzioni proposte difettano spesso di precise referenze storiche e, per lo più, si escludono a vicenda *. « armoniche », Le proporzioni grande scoperta della scuola pitagorica, debbono la loro fortuna presso gli architetti — fortuna destinata a durare almeno fino al XVII secolo 3° — alla loro duttilità, che ne permetteva l’impiego in base alle esigenze più varie. I tipi di proporzione (proporzione s'intende nel suo vetusto significato), secondo la dottrina pitagorica 88, sono cinque: pollapläsios, epimérios, epimerés, pollaplasiepimérios, pollaplasiepimerés; le consonanze musicali sono .generate esclusivamente dai generi pollaplásios ed epimórios ®, rimengono rigorosamente esclusi dal campo armonico l’epimerés e il pollaplasiepimerés, mentre il pollaplasiepimérios, pur non essendo generatore di symphoniae, è da considerarsi come sintesi dei due generi di consonanza. Il genere pollaplésio (multiplex) si ha quando si mettono in

E MMM] 0000000000 rapporto due valori multipli (2 : 1; 3: 1; 6: 2 ecc.); Pepimórios (superparticularis) si ha quando il valore maggiore contiene il minore e lo supera di una parte aliquota (3 : 2; 4: 3; 6 : 4 ecc.); il genere epiméres (superpartiens) è dato dal rapporto tra due valori di cui il maggiore contiene il minore più una parte non aliquota (5: 3; 8: 5 ecc.); i generi pollaplasiepimörios e pollaplastepimerés (multiplex superparticularis e multiplex superpartiens) sono dati dalla combinazione di due generi d’inegualità. Questi sopra elencati sono detti generi di maggiore inegualita (maiores inaequalitates); invertendo i valori dei rapporti, in modo che le ineguaglianze divengano minori dell’unità e quindi «difettive», si hanno i generi di minore inegualità 68 (minores inaequalitates), che si de gnano con gli stessi nomi dei mi giori preceduti nella terminolo; greca da Aypo — e in quella lati da sub —. Le minores inaequalite per il loro carattere privativo n sono atte a produrre armonia rivestono quindi interesse più F la matematicayche per la musica Le console su cui si basa sistema musicale pitagorico so comprese nei primi quattro nume tre di esse pason 4: 1; (diapason 2: 1; disd. diapason-diapente 3 appartengonogal : genere pollapldsi le altre fa 3 : 2; dial saron 4 : 3) all’epimérios 4. Il grado di consonanza di ques symphoniae è facilmente verificab; mediante un ingegnoso procedime to che Porfirio ** attribuisce ai pit gorici Archita e Didimo: basta i

pitagorismo e architettura fatti sottrarre un’unità a ciascuno del genere pollaplasiepimörios, 0, più dei due termini che formano ogni raramente ad consonanza, dopo averli Egina, Heraion II di Argo, «Basilica» di Paestum, [fig. 11] Olympieion di Agrigento), del genere pollapläsios ridotti ai minimi termini (pythménes), e poi sara più consonante la symphonia che dara la somma minore (ad es.: la diapason, 2: 1, é sommarli; (diplásios), l’operazione sopra riferita nel primo caso dà come risultato 1, nel secondo 3). Se osserviamo ora attentaménte i templi greci della madrepatria e delle colonie occidentali, dalla seconda metà del VI secolo fino alla metà del IV, | possiamo facilmente mentre Aphaia mancano quasi del tutto proporzioni di altro tipo. più consonante della diapente, 3 : 2, poiché (tempio di Nella seconda metà del VI secolo prevalgono peristasi di o 6 x 15 di « allungate » 6 x 14 colonne, dove il rapporto tra i fianchi e la fronte è del genere pollaplasiepimérios, ma non ridotto ai pylhménes, come invece avverrà nel V secolo (6 x 13; 8 x 17). Quest’ allungamento « arcaico » nei templi constatare che nella peristasi il rapcompare, porto tra le colonne della fronte e quelle dei fianchi è quasi sempre gesta, di Era II a Paestum * (fig. 12), ad esempio, A, E, F di Selinunte (figg. 5-8), di Se-

9, 10. Selinunte, Tempio G: piante e schematografia (1: 6 î e 0000000000000 e ee == | I] . o o © 0 o + © © 0 06000000 —= e di Eracle ad Agrigento; nella madrepatria sono di questo tipo i templi di Apollo a Delfi, Corinto e Basse. La differenza tra i vari sistemi di distribuzione delle colonne nella peristasi non è dunque ottenuta a capriccio, ma mediante l’utilizzazione di un unico genere proporzionale che, con la sua flessibilità, permette equilibri diversi all’interno della medesima norma: i templi esastili con quattordici o quindici colonne sui fianchi, nonostante il loro allungamento, appartengono quindi già ad un’epoca nuova in 70 cui la symmetria di embatéres cede posto alla symmetria di posötetes4 Questo mutamento è confermato di rapporto tra | ghezza larghezza e la lur dello ‘stilobate, che segu per lo più il genere di proporzion già visto per le colonne, creand quella che potremmo definir « equivalenzá a metrico - monad ca » 45 ) A Selinunte, nel tempio F, (figg. 7,8 alla peristasi di 14 x 6(7:3) — cor trariamente all’uso prepongo il nv mero di colonne dei fianchi quello della facciata perché le pre porzioni considerate abbiano

11. Paestum, Tempio Pianta (1 : 400). Era (Basilica): pitagorismo e architettura ma di maiores inaequalilates — corrisponde il rapporto 5 : 2, anch’esso pollaplasiepimorico, tra lunghezza e larghezza dello stilobate; nel tempio G (figg. 9, 10) le colonne sono 17 x 8, la proporzione dello stilobate è di 9: 4; nel tempio E (figg. 5, 6) le colonne sono 15 x 6,la proporzione dello stilobate è di 5: 2 (la coincidenza dei valori in questo caso non è solo qualitativa ma anche quantitativa); nel tempio di Segesta le colonne sono 14 x 6, la proporzione dello stilobate è di 5: 2; ad Agrigento, nel tempio detto della Concordia, su uno stilobate in proporzione di 7 : 3 sono disposte 13 x 6 colonne; nel tempio di Giunone Lacinia il numero delle colonne è il medesimo, mentre il rapporto del rettangolo dello stilobate è di 9: 4; in Grecia il tempio di Zeus ad Olimpia ha 13 x 6 colonne e lo stilobate in proporzione di 7: 3; nei templi di Apollo a Corinto (fig. 15) e a Basse le colonne della peristasi sono 15 x6, la proporzione dello stilobate 5 : 2; il tempio di Posidone a Capo Sunio ha 13 x 6 colonne e la proporzione planimetrica è di 7 : 3. Questa « equivalenza metricomonadica » rimarrà caratteristica di quasi tutti i templi greci fino al VI secolo e sarà rigorosamente puntualizzata nell’Atene periclea, doveil Partenone (fig. 17) eil Theseion (fig. 18) sono due esempi perfetti d'integrazione proporzionale. Nel Partenone il rapporto planimetrico di 9 : 4, di genere pollaplasiepimórios come la peristasi (17 x 8), è impiegato anche nell’alzato e determina così una stretta connessione nella trama architettonica: il rapporto tra l’interasse delle colonne e il loro diametro è di 2,25 : 1, cioè di 9 : 4; nello stesso rapporto stanno la larghezza e l’altezza fino al e o : Eee PG geison orizzontale, il rettangolo del naos senza le ante ed inoltre, per conseguenza delle precedenti modulazioni, il rapporto lunghezzaaltezza dei lati equivale al quadrato del rapporto precedente, cioé 81 : 16, anch’esso pollaplasiepimörios *, Si puö dunque affermare che il Partenone & la prima opera architettonica greca realizzata integralmente mediante un accordo « armonico » che, in questo caso, rivela apertamente le sue componenti, poiché 9: 4 & costituito dalla diapason più un tono (9: 8: 4). Anche il Theseion (13 x 6) è realizzato mediante l’applicazione costante del rapporto 9 : 4 sia nella pianta che nell’alzato, e di conseguenza valgono le medesime considerazioni fatte per il Partenone, anche se naturalmente quest’ultimo raggiunge un livello formale superiore. Da questi due edifici appare chiaro che il processo di « armonizzazione » delle proporzioni architettoniche, iniziato nella seconda metà del VI secolo, giunge a completa maturità circa un secolo dopo, quando viene impiegata sistematicamente una sola proporzione in ogni aspetto progettuale. Quest’ unificazione « armonica »

12. Paestum, Tempio II di Era, cosiddetto di Poseidone: pianta (1 : 400). mm ee © _- —. 00000 — © — 1 o © © © © © © a © © © O (6) © © © © © © © © © © ©©©e IA Ve ae: "ae + 10 + + 20 dell’edificio presenta però caratteri ben definiti già verso la fine del VI secolo, quando, nel Tesoro degli Ateniesi a Delfi #7, il rapporto tra lunghezza e larghezza, 3: 2, viene ripetuto tra triglifi e metope; si tratta di una proporzione chiaramente desunta dalla gamma musicale, che trova peraltro conferma nella diatessaron (4 : 3) in base alla quale è costruito, sempre a Delfi, il Tesoro di Sicione. Da quanto abbiamo finora detto appare dunque evidente che i sostrati «armonici » ellenica non si schemi coattivi, dell’architettura presentano né come possono essere considerati da un punto di vista musicale nel senso moderno del termine. In epoca «classica» vengono usate proporzioni desunte dalla giungendo ad ammettere come consonanti anche proporzioni di tipo epimerés e pollaplasiepimerés come, ad esempio, 8 : 5 (exachordo minore), 5 : 3 (exachordo maggiore) e 8: 3 (undecima) 49, Il rapporto facciata-fianchi che abbiamo ora esaminato comporta anche, specialmente quando, in epoca classica, la misura degli intercolunni nelle peristasi dei templi diviene costante, una composizione planimetrica in accordo con la tcoria pitagorica dei numeri figurati. Se infatti completiamo, come in un’ideale scacchiera, le file di colonne del tempio periptero ci renderemo facilmente conto che lo spazio dello stilobate é strutturato come una griglia modulare secondo i principi dei numeri poligonali. La teoria dei numeri figurati 5 é fondamentale per la comprensione del pensiero pitagorico e delle sue applicazioni sul piano estetico. I numeri concepiti come cifre, sistema di notazione astratto e convenzionale, hanno per i pitagorici funzione prevalentemente logistica, mentre nella loro forma figurata, e gamma acustica dei pitagorici, ma quindi spaziale, sono ¿Cosmopoietici non visione l’impiego di poiché la mente divifia se n’é serproporzioni numeriche che, pur non essendo quelle adoperate nella musica, appartengono ai medesimi gebilirne le leggi. Il principio su cui si basa la formazione di questi numeri estesi, neri di inegualità e partecipano quindi, secondo la scienza del temaventi ‘ognuno manca, ampia del secondo sistema, una vita per modellare il:‘cosmo e stail combinare cioé ta j segni uguali fungigne di mocaratteristiche nade, é un procedimento spontaneo desse molta importanza all’armoniosità di alcuni generi procome la costruzione intuitiva di una figura geometrica, poiché, per usare le parole di BoezioTM, naturalius est quemlibet numerum, quantas in se repo, alle medesime armoniche. Che si porzionali lo dimostra, oltre alla testimonianza di Boezio #8, anche la stessa tradizione musicale che, 72 solo nel XVI secolo, ad opera di Lodovico Fogliano, si svincolò, e non senza difficoltà, dall’autorità esclusiva degli accordi pitagorici, tinel, tot notulis. unilalibus adsignare quam

13. Siracusa, (1: 400). L’unita quindi s'identifica con il punto e diviene fons et origo numerorum**, ma essa non può essere considerata numero in atto perché priva di dimensioni: infatti moltiplicata per se stessa o per un altro à —- numero non aggiunge nulla, dimostrando così la propria incapacità di generare spazio 53, I numeri figurati, a seconda della figura gcometrica che formano con i loro punti, possono essere: lineari, triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali, promechi, eteromechi, circolari, piramidali, cubici, sferici e di svariate altre forme. Qualsiasi numero, a partire dal 2, può essere considerato lineare **; la prima moltiplicazione che esso subisce genera la seconda dimensione, dando così origine ad un numero poligonale, la seconda moltiplicazione genera un solido, poiché secunda multiplicatio effectrix semper est profunditatis 55. Il Partenone ci offre un interessante esempio di come venivano impiegati i numeri poligonali nell’architettura: infatti, completando idealmente il numero delle colonne sullo stilobate — la cella, com’é naturale, non obbedisce pedissequamente al tracciato modulare ma lo utilizza con libertà — si otten- Tempio di Ds Apo dus pitagorismo plan e architettura = i è 0000000000000. === © . ® © 00000000000000( === infine il quadrato; mentre dal lato dell’apeiron (illimitato) troviamo il pari, il molteplice, il sinistro, la femmina, il moto, il curvo, l’oscurità, il cattivo ed infine l’eteromeco, cioè la figura numerica prodotta da due fattori a rapporto epimorica (3: 4; 4% 5'ecc:). Per i pitagorici, dunque, il quadrato, generato dal dispari, era simbolo della perfezione, mentre Peteromeco, generato dalla successione dei numeri pari, era simbolo dell’infinito divenire e quindi dell’imperfezione 57. Si capisce così perché l’accostamento del rettangolo eteromeco al quadrato sia stato caro agli architetti greci: esso permetteva infatti quel dialettico contrasto tra gli opposti presente in tutte le forme di dal lato del péras (limite) il dispari, Puno, il destro, il maschio, l’immopensiero costruite su basi metafisiche, e non lo permetteva mediante una simbologia inerte, ma tramite il contrasto dinamico di due figure geometriche di cui la prima, il quadrato, è stabile poiché ha, per usare un’espressione musicale, i lati all'unisono; mentre l’altra, l’eteromeco, è in stato di perpetua tensione in quanto la differenza tra i lati, nella progressione verso l’infinito, va sempre assottigliandosi senza mai giungere al quadrato, suo limite. Si può dire inoltre che le symphobile, il diritto, la luce, il buono ed niae pitagoriche sono tutte comprese gono 8 file di 17 monadi-colonne che formano due numeri figurati: un quadrato e un eteromeco. Questo tipo di planimetria, che si ritrova in molti templi greci, è in preciso accordo con quella dottrina dei contrapposti che si può dire costituisca la spina dorsale del pitagorismo. Nello schema delle dieci opposizioni dei contrari secondo la testimonianza di Aristotele * troviamo el ee a

14. Delfi, Tempio di Sicione: pianta. dell’architettura « dorica » che, a differenza di quella « ionica », dove la sacralita dell’edificio è affidata, come in Egitto, al labirinto magico delle colonne e alla loro dimensione sovrumana, trova nella « misura » la propria essenza artistica e religiosa. o++ 1 y 1 y 1î 51 L 4 LE 4 ' 4 1 4 10 ' y dalla successione dei lati di u eteromeco poiché il primo, il se” condo e il terzo di questi rettangol! sono dati dalle proporzioni 2: 1, 3:2, 4: 3, che costituiscono le tre consonanze semplici, L’impiego da parte degli architetti dei numeri eteromechi conferma quindi le relazioni esistenti tra l’architettura ellenica e le coeve teorie musicali e sottolinea che questi sostrati non sono frutto di romantica « melomania », ma di positivi e nitidi nessi di pensiero. Bisogna ancora notare che il contrapposto quadrato-eteromeco non è proprio, come potrebbe sembrare, soltanto dei templi con peristasi di 13 x 6 o di 17 x 8 colonne, ma anche di quelli con peristasi di 14 x 6 e di 15 x 6 colonne. Nei templi con peristasi 14 x 6, quattro sono i quadrati e quattro . gli eteromechi contrapposti a coppie: riducendo infatti 14:6 ai pythménes si ottiene 7: 3, dove il quadrato 3 : 3 si contrappone alPeteromeco 4: 3, opposizione che nell’ intera planimetria si ripete quattro volte; nei templi con peristasi 15 x 6 i quadrati e gli eteromechi formano invece sei coppie di S32 (4328314) La contrapposizione di quadrati ed eteromechi sara tipica soprattutto 74 Se consideriamo che la visione dualistica dei pitagorici ha avuto origine essenzialmente matematica e che con essa i pitagorici hanno creduto di offrire una spiegazione certa al contrasto tra razionale e irrazionale, comprenderemo facilmente il successo riscosso da questa teoria anche nel campo dell’architettura: tramandata dai trattati di aritmetica e dalla stessa tradizione architettonica, essa giungerà perfino in epoca « medievale », caricandosi di significati metafisici secondo le esigenze del tempo 8. Un’ autorevole conferma degli stretti legami esistenti, nell’ambito delle dottrine pitagoriche, tra aritmetica, musica, geometria, astrologia e architettura ci viene da Vitruvio. Nel I libro Vitruvio afferma che similiter cum astrologis et musicis est disputatio communis de sympathia stellarum et symphoniarum in quadratis et trigonis diatessaron et diapente 59. Queste parole si riferiscono senza dubbio ad una prétisa corrispondenza che la tradizione pitagorica istituiva tra le configurazioni gcometriche, considerate come aggregati di monadi e investite di significati astrologici, e-gdi intervalli musicali; ma, mentre? senso dell’affermazione vitruviana è evidente, risulta piuttosto arduo comprendere l’aspetto «tecnico » di queste relazioni. Secondo S. Ferri a diatessaron corrisponde quadratum e a diapente trigonum, ma, se per diatessaron il

Corinto, Tempio di Apollo: pianta pitagorismo e architettura «riferimento a quadratum sembra ovvio, il rapporto tra diapente e trigonum è alquanto problematico. Se conÈ x sideriamo infatti i termini delle proporzioni epimoriche che danno queste due symphoniae, 3 : 2 (diapente) e 4: 3 (diatessaron), ci rendiamo facilmente conto che questi numeri non sono caratterizzanti dal momento che il 3 compare sia nella diapente che nella diatessaron. Parimenti, anche se, come propone Ferri sulla scorta di Porfirio 51, noi sottraiamo una monade a ciascuno dei due termini che compongono queste consonanze € poi sommiamo i resti, il risultato che dà la diapente è 3, ma quello che si ottiene dalla diatessaron è 5, e ciò non chiarisce affatto la relazione tra il trigonum, il tetragonum e le due symphoniae. D'altronde Porfirio, nel brano sopra citato, non vuole sottolineare la parentela tra le consonanze, ma insegnare un procedimento pratico per conoscere i « dissimili » (anómoia), dai quali, come abbiamo visto prima, risulta immediatamente il livello di armoniosità delle consonanze. Credo perciò che geometrico-musicale la di relazione cui parla Vitruvio sia da cercarsi altrove, e precisamente nel numero degli intervalli congiunti per grado che formano queste due consonanze diaAbt: toniche e che sono 3 per la diates| saron e 4 per la diapente (due toni e | mezzo per la diatessaron; tre toni e sa mezzo per la diapente) *. In questo modo il rapporto tra | diapente e tetragonum, tra diatessaron © trigonum diventa facilmente com| Prensibile poiché alla symphonia meno estesa, la diatessaron, viene 0000000000000 === TE TR de Non dobbiamo inoltre dimenticare che gli intervalli diatonici compresi nell’ottava (diapason) sono 7 (5 toni interi e 2 mezzi) e sono dati dalla diapente più la diatessaron, la cui differenza è il tono ®, unità di misura di tutto il sistema musicale, mentre, parallelamente, la diflerenza tra il {etragonum e il trigonum è la monade, fonte e origine ogni numero $, di L’errata interpretazione che è stata finora data del brano di Vitruvio concernente le relazioni tra le consonanze e le figure geometriche è stata determinata soprattutto da fattori linguistici: la prima figura geometrica citata è il quadratum, la prima symphonia è la diatessaron, cosicché l’associazione analogica tra termini, anche in base al loro significato, è spontanea e determina di conseguenza anche quella degli altri due. Alla luce delle chiarificazioni che questi abbiamo proposto viene però spiegato anche l’aspetto filologico di questo passo, che Vitruvio ha probabilmente ripreso, anche nella disposizione dei termini, da una delle sue fonti. È infatti evidente che l’espressione Messa in rapporto la figura aritmein _ €amente minore, mentre alla più diapente è chiastica, forse per evitare Pallineamento monotono dei vo- | Estesa, la diapente, figura maggiore. viene legata la quadratis et trigonis diatessaron caboli tecnici. Un chiasmo molto

16. Capo Sunio, Tempio di Poseidone: pianta ert i i 3 H t i AA + } 10 15 —H 20 simile a questo si trova in Boezio che, come Vitruvio, attinge largamente a testi scientifici greci: Rursus cum quis triangulum respicit vel quadratum, facile id quod oculis intuetur agnoscit, sed quaenam quadrati vel trianguli sit natura, a mathematico necesse est petal ®. I] preciso richiamo di Vitruvio nel V libro® ed un’antica glossa, relativa alla costruzione del teatro, che segue il passo del I libro sopra citato ©?, se da un lato confermano l’interpretazione ora esposta, dall’altro gettano nuova luce sulla presenza di sostrati « armonici » nell’architettura antica. Vitruvio afferma che, nel progettare un teatro, gli architetti greci erano soliti inscrivere tre quadrati nella circonferenza dell’orchestra 55, mentre gli architetti latini usavano iscrivervi quattro triangoli equilateri, in modo da ottenere sempre un dodecagono **. Ora, senza voler negare che un procedimento del genere avesse anche un valore pratico, poiché permetteva di distribuire lo spazio delPorchestra a seconda delle esigenze non si può fare a meno di pensare — ed è lo stesso Vitruvio a ricordarcelo ® — che questo procedimento sia collegato con il simbo- 76 lismo armonico-astrale del /rigom e del zetragonum. Se, in base ; Pinterpretazione che abbiamo pi posto, si considera il fetragonum « me corrispondente aritmogeomet co della diapente ed il trigonum de diatessaron, si può facilmente consi tare, che in ambedue i casi, risu) idealmente inscritto nella circon renza dell’orchestra il grande sistei perfetto, cioè il sistema armoni completo della musica greca, fi mato di quindici suoni — quatt tetracordi dorici collegati insieı due a due e con un suono addiz nale — a cui si poteva aggiunge; in posizione intermedia, un sc cesimo suono con valore modular (trite synemmenon). La corrispondenza tra figure ge metriche e intervalli musicali c abbiamo prima esaminato compo infatti la possibilità di considerar: tre tetragona del teatro greco cor tre diapente, che comprendono 1 loro ambito quattro quindici trigona del suoni, teatro € lati come quattro dialessaron, che coi un’estensione di sed suoni. prendono Il sistema di quindici suoni € detto dai trattatisti ametdbolon, pi ché non ammetteva modulazior mentre veniva chiamato metabo quello in cui compariva il sedic simo suono necessario alla modu! zione 7}, E La poligonizzazione del teati vista da questa angolazione, quista, oltre al valore a puramer tecnico, un significato nuovo € pi gnante, capace. di spiegare i sini Vitruvio ai proble! ‘tici accenni d astrologici e miusicali ad essa co nessi, coerentemente con le dottri pitagoriche che, in quell’epoca, À gidio Figulo e i Sestii andava: rivalutando sotto il profilo etico scientifico ??.

17. Alene, Acropoli, Partenone: pianta (1: 400). pitagorismo e architettura yee 60 © ©00e co... pa = ee: ol (AS?A Le symphoniae inscritte nell'orchestra con questo procedimento « modellavano », secondo una sensibilita squisitamente pitagorica, uno spazio che doveva essere effettivamente capace di risuonare in modo concorde alle vibrazioni delle voci e degli strumenti e che quindi, a maggior ragione del tempio, richiedeva l’applicazione di articolazioni armoni- 1 I canoni «armonici » sono nella civiltà greca onnivalenti, come del resto accade in tutte le culture ordinate ad estetiche metafisiche, e determinano una 10 4 J 15 20 che le quali, per l’unità sinestetica propria della cultura classica, potevano essere considerate realmente capaci di coadiuvare l’effetto « fisico » dei risuonatori bronzei disposti nella cavea e costruiti anch’essi in base al grande sistema perfetto 33. Romano SILVA 2 L'idea che presso i Greci esistesse una reale corrispondenza tra musica e architettura la troviamo già espressa chiarasistematica ricerca di concordanza tra le arti, intesa non come generica tangenza mente nel Faust di Goethe: « Der Saiilenschaft, auch die Triglyphe klingt/Ich glaube gar der ganze Tempel singt! ». di valori espressivi, ma come interdipendenza sul piano teoretico. Perfino là gram- Quest’opinione é stata più volte ripresa e puntualizzata fino a sostenere paradosmatica, in questo quadro di analogie strutturali, è connessa con la musica: « Archytas atque Euenus etiam subiectam ticen musicae putaverunt » (Quint, I, salmente che «le temple entier était une 10, 17). Per una valutazione della musica greca ou tel Hymne orphyque» (R. Puaux, in « Temps », 20 settembre 1926). La verifica «scientifica» di questa pretesa corrispondenza letterale tra musica e architettura ha portato a risultati assai discutibili, come, ad esempio, quelli di e delle sue possibilità espressive vedi E. PoLmann, Griechische Musikfragmente (Ein 4 zur altgriechischen Musik), Nürnberg symphonie musicale en marbre» nelle cui note il pitagorico poteva addirittura « retrouver à la lettre le leitmotiv de tel

18, Alene, Theseion (Hephaisteion): pianta H. Grar, Bibliographie zum Problem der Proportionen, Speyer 1958. ? «The scientific principles of beauty appear to have been known to the ancient Greeks» (D.R. Hay,op. cit., p.15) ; «And that this cause most problably was, that the artists of that period were instructed in a system of fixed principles, based upon the doctrines of Pythagoras and Plato » (Ibidem, p. 91). 8 F, Mitizia, Principi di architettura civile, Bologna 1827, p. 264. A. Georgiadès e C. Bragden. Il primo, nelle conclusioni della sua ricerca, pubblicate ad Atene nel 1926, sosticne che, considerando la lunghezza dello stilobate come una corda sonora, si ottengono numeri rigorosamente proporzionati agli elementi della gamma musicale pitagorica; il secondo tenta, da un punto di vista teosofico, di tradurre le composizioni architettoniche, che egli considera «musica pietrificata », in spartiti (The Beautiful che possono racchiudere », J. HamBIDGE, The Parthenon and other Greek Temples. Their Dynamic Symmetry, New Haven 1924, contrappone alla simmetria aritmetica o Necessity, Rochester 1910). Tra i contributi « statica », più lice scala di coefficienti interi o frazionari, il proporzionamento delle superfici attraverso un ingegnoso metodo basato su rettangoli costruiti su numeri non quadrati, ottenendo quella che egli chiama simmetria «dinamica » perché utilizza valori irrazionali. Per quanto possano essere convincenti le argomentazioni che lo Hambidge porta a sostegno della sua teoria, ci sembra che la simmetria « dinamica » non offra un'alternativa valida sul piano storico alla simmetria «statica » esposta da Vitruvio sulla scorta delle dottrine pitagoriche, anche perché i numeri recenti su questo argomento ricordiamo H. Kayser, Paestum. Die Nomoi der drei altgriechischen Tempel zu Paestum, Heidelberg 1958, opera in cui, come nota giustamente S. Ferri (Vitruvio, De Architectura, Roma 1960, p. 46) «si ha troppo s l’impressione che una visione poetico-romantica del problema, o addirittura una incoercibile e prepotente ondata di iperpitagorismo voglia sommergere e obliterare senza appello tutti i numerosi problemi strutturali », * Cfr. R. Bruno, La vetica della visione o dell'idea, in « Critica Arte », gennaiofebbraio 1972, p. 61. 4 Cfr. R. Silva, Pitagorismo e metriche architettoniche nella tarda antichità, in « Critica d’Arte », gennaio-febbraio 1974, p. 7. 5 D. R. Hay, The Science of Beauty, as devel: in Nature and applied in Art, Edinburgh and London 1856. Quest’opera costituisce un chiaro e sistematico « résumé » della precedente e assai dettagliata elaborazione del problema condotta dall'autore in numerosi volumi. © Vedi M. Guyka, Esthétique des Proportions dans la nature et dans les arts, Paris 1927; Le Nombre d'or. Rites et Rythmes pythagoriciens, 11 voll., Paris 1931; The Geometry of Art and Life, New York 1946; J. F. M. Lun, Ad Quadratum, London 1921; M. BORISSAVLIEVITCH, Golden Number and the coe Aesthetics of Architecture, London 1958. Un’ampia bibliografia questo argomento è stata 78 ® Le concordanze tra musica e arti visive sono esposte da D. R. Hay, of. cit., p. 16, in forma categorica: « There appears, likewise, a striking analogy between the natural constitution of the two kinds of beauty, which is this, that the more physically aesthetic elements of the highest works of musical composition are melody, harmony, and tone, whilst those of the highest works of formative art are contour, proportion, and colour ». 10 Basandosi su un passo del Teetelo (148 A.), in cui Platone parla di « grandezze commensurabili secondo le superfici degli studi su pubblicata da ottenuta mediante una semirrazionali, per quanto noti ai Greci già nel V secolo, sono stati per lo più consapevolmente evitati nell’arte «classica » GHIANTI (Arte greca romana, Problemi di estetica, di poetica e dt forma, speciale di « Critica d’Arte », 29, 1958, in particolare pagine 40 seg. c 76 sgg.). ha dimostrato che i tracciati di Hambidge, Caskey ed altri, dati come esaurienti della costruzione armonica di una serie di: i non solo erano parziali e in parte non significativi, ma csigéVäño integrazioni, O addirittura si potevano spiegare solo con diversi criteri e metodi di costruzione. 11 L’archeologo norvegese F. M. Lunb, op. cit., sostiene che nelle chiese « gotiche » sono individuabili tracciati modulari propri dell’architettura greca; questa corrispondenza, secondo Lund, sarebbe spicgata dall’occulta trasmissione, durante i

pitagorismo e architettura secoli dell’alto medioevo, dell’esoterismo matematico platonico e pitagorico e, in particolare, dei tracciati basati sul pentaa e sulla sezione aurea, Senza voler negare «a priori » la possibilità di analogie tra l’architettuta medievale e quella greca, ci sembra però più opportuno chiamare in causa non la sotterranea trasmissione di segreti scientifici, ma l'/ntroduzione aritmetica di Nicomaco di Gerasa e la notissima traduzione fattane da Boezio, che, insieme con i commenti al Timeo di Platone, gli Elementi di Euclide e il De nuptiis Mercurii et Philologiae di Marziano Capella, servirono di base alla formazione scientifica degli studiosi medievali. Sulla trasmissione medievale, pirmi tramiti Cassiodoro e Boezio, della cultura geometrica e modulare dell'antichità grecoromana, e così di Vitruvio, durante il cosiddetto « medioevo », vedi per contrario C. L. RaGoutanti, Arte in Italia, e sgg. vol II, pp. 589 sgg. e vol III, pp. 177 Di esoterismo pitagorico a proposito dei templi E parla anche H. Kayser, op. cit., p. 27. C. J. Moe, Numeri di Vitruvio, Milano 1945, sostiene, senza alcun fondamento scientifico, che le regole vitruviane di proporzione sono andate perdute e ne propone un’arbitraria ricostruzione. Una tesi simile viene sostenuta anche da H. PLessner, Sterngeborenes Olympia, Diisseldorf 1956. Milano 1914, pp. 741-791; T. H. Hearn, History of Greek Mathematik, Oxford 1921, I, cap. II. 2 Per il concetto di dynamis-polentia vedi Nicomaco, Arithmetikè eisagogé, ed. a cura R. Hocue, Leipzig 1866, I, 8, p. 15; I, 16, p. 44; I, 16, p. 43; Borzio, /nst. arithm., ed. Friedlein, Leipzig 1867, I, 20, p. 44; II, 35, p. 132; Inst. mus., ed. Friedlein, I, 2, p. 188. 23 Cfr. A. Rey, La Jeunesse dela science grecque, Paris 1933. 2 Cfr. E. PANorsky, of. cit., p. 74. 25 Cfr. S. Ferri, Vitruvio, p. 53. 25 Vedi H. Berve-G. GruBEN, op. cil., p. 264; W. B. Dinsmoor, The Architecture of Ancient Greece, London 1950, p. 373. 2? Vedi M. TIMPANARO CARDINI, op. cit., Fase. II, p. 381. 28 Vedi S, Ferri, Vitruvio, pp. 96-97. E H. Berve-G. GRUBEN, of. cit., Pi Cfr. S. Sampursxy, The physical world of the Greeks, London 1956, trad. it., Milano 1967, p. 33. 31 S, SAMBURSKY, op. cit., p. 31. 32 Vedi A. Rey, op. cit, pp. 64-65. 33 Vedi L. e A. Pucctanti, Acustica musicale, Firenze 1954, p. 44, nota. 3 Cfr. S. Ferri, Vitruvio, p. 51. 35 Cfr. S. Ferri, Vitruvio, p. 53. 36 Cfr. R. Wrrrkower, Architectural Principles in the Age of Humanism, London 1962, trad. it., Torino 1964, p. 154. im Vedi R, WrrrkoweRk, op. cit., pp. 101- 12 Vedi L. hae Vel” pria di pensiero Fee H. Berve-G. GRUBEN, Griechio e scientifico, Vol. 1, p. seg. sche Tempel und Heiligtiimer, München 1962, trad. it., Firenze 1962, p. 111. 14 Cfr. S. Ferri, Vitruvio, p. 97 e M. Guyxa, Esthétique des Proportions’ dans la nature et dans les arts, Paris 1927, p. 25, nota. 15 Cfr. S. Ferri, Vitruvio, p. 49 sgg. 16 Cfr. S. Ferri, Vitruvio, p. 55 sgg. 17 Relazione sulla questione in E. PaNOFSKY, Meaning in the Visual Arts, New York 1955, trad. it., Torino, 1962, pp. 62-76. 18 Le fonti migliori per la conoscenza delle teorie pitagoriche sulla musica, oltre 38 Nicomaco, Arithmetikè eisagogé, 1, 17. Attraverso la traduzione di Boezio, Inst. arithm., I, 22, la classificazione nicomachea dei rapporti numerici sarà nota ed applicata fino al XVI secolo. Cfr. T. L. Hearm, op. cit., I, p. 101 sgg. 39 Boezio, Inst, mus., V, ai frammenti su quest’argomento pubblicati da H. Diets, Die Fragmente der Vorsokratiker, XII ed., Berlin 1966, sono il cius aliquam partem ». Manuale di Armonia di Nicomaco di Gerasa, l’Harmonica, i Problemi musicali e la Sectio Düring. canonis di Claudio Tolomeo (cfr. M. TimPANARO CARDINI, Pitagorici, testimonianze e frammenti, II Fasc., Firenze 1962, p. 310). 19 Vedi V, CAPPARELLI, La sapienza di Pitagora, Padova 1941-44. 20 Vedi i Theologumena Arithmeticae, cd. De Falco, Leipzig 1922, p. 82. 21 Sulla logistica greca con riferimento ad altri metodi antichi di calcolo cfr. G. Lorta, Ze scienze esatte nell'antica Grecia, 18, c'informa che Tolomeo aveva criticato Archita perché, nelle sue teorie musicali, non aveva sempre mantenuto proporzioni del genere epimorio. 40 Vedi G. Zarcino, Le Istitutioni harmoniche, Venezia 1562, cap. 50, pp. 144-146. “ La definizione generale della proporzione epimorica si legge in Boezio, Inst. arithm., I, 24: «Superparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet in se totum minorem et 42 Porririo, In Ptol. harm., I, 6, p. 107 43 La peristasi del tempio di Era II a Paestum e quella del tempio di Apollo Epicurio a Basse rappresentano, in pieno V secolo, due casi di proporzione pollaplasiepimorica non ridotta ai pythménes. In gg ig questi templi, però, si arcaizza di proposito motivi prettamente religiosi. Cfr, Ha CO Cross, = cit., pp. 160 e 227; F. Krauss, Paestum, e griechischen Tempel, 11 ed., 1943.

# Cfr. S. Ferri, Vitruvio, p. 51. 4 Nell'analizzare le proporzioni dei templi sotto l’aspetto metrico mi sono quasi sempre attenuto alle misure date da H. Berve-G. Grusen, of. cit., in modo da ottenere una certa uniformità. 4 Cfr. H. Berve-G. GRUBEN, op. cit. p. 00. 4 Cfr. W. B. Dinsmoor, of. cit, p. 368. 48 Boezio, Inst. mus., V, 18. 49 Vedi R, Wrrrkower, op. cit., p. 128. 50 La teoria dei numeri figurati è stata trattata ampiamente da Nicomaco e da Boezio nei rispettivi trattati di aritmetica. 51 Boezio, Inst. arithm., II, 4. 52 Boezio, Ars geometrica, De ratione abaci, ed. Friedlein, p. 398. 53 Nicomaco, Arithmetikè eisagogé, II, 7; Boezio, Inst. arithm., II, 4. 54 NICOMACO, Arithmetikè eisagogé, II, 6; Boezio, /nst. arithm., II, 5. 55 Boezio, Inst. arithm., II, 30. 56 ARISTOTELE, Metafisica, I, 986 a. 5? Cfr. V. CAPPARELLI, of. cit., p. 573. 58 Sull’impiego dei numeri figurati nell'architettura del Medioevo vedi R. Silva, Il problema delle proporzioni armoniche nell'architettura medioevale lucchese, in «La Provincia di Lucca », XII, 4, 1972. 59 Vrrruvio, I, 1, 16. so S. Ferri, Vitruvio, p. 45. 61 S, Ferri, ibidem. 62 Nell’esposizione di S. Ferri, ibidem, non è esatto in numero dei toni e semitoni che costituiscono la diapason, la diapente e la diatessaron. A questo proposito vedi Stoseo, Eel., 1, 21, 7 d., in M. TimPANARO CARDINI, op. cit., Fasc. II, p. 211: « Così la scala armonica comprende cinque toni e due semitoni minori; la quinta tre toni e un semitono minore; la quarta due toni e un semitono minore ». 62 Vedi M. Timpanaro CARDINI, op. cit., Fasc. II, p. 207. 6 Boezio, Ars geometrica, ed. cit., p. 398. 65 Boezio, Inst. mus., I, 1 66 Vitruvio, V, 6, 1. 67 Vitruvio, I, 1, 16. Per l’interpretazione di questa glossa vedi S. Ferri, Vitruvio, p. 46. 68 Vitruvio, V, 7, 1. 59 Sulla poligonizzazione del teatro vedi la nota erudita di S. Ferri, Vitruvio, pp. 190-198. 70 Per quanto riguarda le implicazioni astrologiche connesse al rapporto tra musica e geometria, motivo su cui Vitruvio torna ripetutamente (I, 1, 16; V, 6, 1), vedi le testimonianze di ProcLo, in Eucl., . 130, 8 e Damascio, II, 127, 7 Ruelle, in M. Timpanaro CARDINI, op. cit., Fasc. II, pp. 138-144. 71 Vedi U. Riemann, Storia universale della musica, Torino 1950, p. 90 sgg. 72 Cfr. S. Ferri, Vitruvio, p. 44. 73 Vrrruvio, I, 1, 9: «item theatris | vasa acrea... ad symphonias musicas sive concentus componuntur divisa in circinatione diatessaron et diapente et diapason ad disdiapason ». La disdiapason è costituita da due ottave ed è la massima estensione del sistema musicale greco. Cfr. Norker BALBULUS, De Musica, in GERBERT, Scriptores ecclesiastici de musica sacra potissimum, St. Blasien 1784, pp. 96-97: « veteribus musicis quindecim litterae et quindecim chordac sufficere videbantur; et volebant ut citharae totidem chordas haberent, usque dum suprema infimae corrisponderet in quadruplo. Haes est maxima proportio, et maxima symphonia, quae bis diapason dicitur, atque ex aliis symphoniis constat ».