Les pretendues notations pythagoriciennes

alehe A.: Scriptores mathematici, Sur l'origine des nos chiffres, 1892 Ju wes LES PRETEXDUES NOTATIONS PYTHAGORIENNES celui de la notation musicale grecque que leur attribue Aristide LES A l'appui de cette these, Vincent a cité, comme principal argument, un passage de Modératus de Gades dans Porphyre (De PRETENDUES NOTATIONS PYTHAGORIENNES vita Pythagoræ, 48). On ne peut que s'étonner, en se reporiani, à ce passage, d'y voir exposé un ordre d'idées lout à fait diffé- —— SUR L’ORIGINE DE NOS CHIFFRES TANNERY, P. \8a2- I ciencieux, que s'ils ont l'occasion de parler des Pythagoriens, il des règles de critique en fait d'histoire. Nulle part, sans doute, la condescendance pour des légendes sans fondement réel ne s’est mieux accusée que dans les débats relatifs à l’origine de nos chiffres modernes, mais nulle part aussi le préjugé qui semble autoriser l'attribution de l'invention de ces chiffres aux disciples plus ou moins directs du Maitre de Samos, n'a élé exprimé avec plus de netielé que par Vincent, dans un article publié il y a déjà près d'un demi-siècle *. Tant que ce préjugé subsiste et qu'il contribue à obscurcir une question déjà suffisamment. complexe par elle-même, il est indispensable de:le-combattre tout d'abord, d'autant plus que, jusqu'à présent, il a été plus ou moins respeclé par ceux-là même qui se sont catégoriquement prononcés pour l'origine indo-arabe de nos chiffres. Je remonte donc à cette thèse soutenue par Vincent et d'après laquelle les Pythagoriens auraient possédé un symbolisme hiéroglyphique très développé au moyen duquel ils auraient exprimé les nolions les plus diverses el dont il nous serait parvenu deux débris, le système de nos chillres d'une part, et de l'autre, 1846). o.t aurne Il semble de tradilion, méme chez les érudits les plus consleur soit permis d'oublier qu'il y a une méthode en archéologie, rent: mais i] ne sera pas inutile de donner la traduction, puisque c'est là, en somme, l'unique texte ancien qui ail pu être invoqué dans l'objet: #]Py 1. Des notations scientifiques à l'École d'Alexandrie (Revue archeol., E Quintilien. mo«e- APSo,s WEAR | o ; « Quant à la science des nombres, voici pourquoi ils s'y appliquèrent, comme Va dit, entre autres, Modératus de Gades qui a formé, avec une grande intelligence, un recueil de leurs opinions en onze livres. Comme ils ne pouvaient, dit-il, exprimer clairement par le langage les premières idées elles premiers princi pes, à cause de la difficulté qu'il y a à les concevoir età les expliquer, ils eurent recours aux nombres, pour avoir un procédé d'enselgnement avec des signes commodes, imitant en cela les géomètres et les grammairiens. Car lorsque ceux-ci veulent enseigner les lettres et leurs propriétés, ils ont recours aux caractères et, pour commencer, disent que ces caractéressont les lettres elles-mèmes; mais plus tard ils enseignent qu'en fail les caracleres ne sonl pas les lettres * elles-mémes, mais qu'ils procurent la notion des lettres véritables. De méme les géomètres, ne pouvant exprimer par lelangage des formes incorporelles, ont recours à des tracés de figures et disent par exemple que ceci.: A est un triangle 3 ils n’entendent pas par là que le triangle est l’objet qui tombe sous le sens de la vue, mais qu'il lui est pareil et que cet objet procure la notion du triangle. De méme pour les premières raisons et ‘les premières idées, les Pythagoriens, ne pouvant exprimer par le langage des principes incorporels, eurent recours aux nombres pour les rendres manifestes... » | On reconnait clairement dans ce passage une tradition authenj par lettre, signifie, comme on sail a ; traduis 1. Le mot grec otoryetov, que je élément, Moderatus entend donc par là l'élément idéal du langage, à distinguer de la leltre-caraclére,

SUR L'ORIGINE DE NOS CHIFFRES. “* Il semble de tradition, même chez les érudits les plus consciencieux, que s'ils ont l’occasion de parler des Pythagoriens, il leur soit permis d’oublier qu’il y a une méthode en « archéologie, des règles de critique en fait d’histoire. © Nulle part, sans doute, la condescendance pour des légendes sans fondement réel ne s’est mieux accusée que dans les débats relatifs à l’origine de nos chiffres modernes, mais nulle ‘part aussi le préjugé qui semble autoriser l'attribution de l'invention. de ces chiffres aux disciples plus ou moins directs du Maitre de Samos, n’a été exprimé avec plus de netteté que par Vincent, dans un article publié il y a déjà près d’un demi-siècle *. Tant que ce préjugé subsiste et qu'il contribue à obscurcir une question déjà suffisamment complexe par elle-même, il est indispensable de le combattre tout d’abord, d'autant plus que, jusqu’à présent, il a été plus ou moins respecté par ceux-là même qui se sont catégoriquement prononcés pour l’origine indo-arabe de nos chiffres. Je remonte donc à cette thèse soutenue par Vincent et d’après laquelle les Pythagoriens auraient possédé un symbolisme hiéroglyphique très développé au moyen duquel ils auraient exprimé les notions les plus diverses et dont il nous serait parvenu deux débris, le système de nos chiffres d'une part, et de l’autre, 4. Des notations scientifiques à l’École d'Alexandrie (Revue archeol., 1846),

PRETENDUES y) celui de la notation musicale grecque que leur attribue Aristide Quintilien. | A l'appui de cette these, Vincent a cité, comme principal argument, un passage de Modératus de Gades dans Porphyre (De vita Pythagoræ, 48). On ne peut que s’étonner, en se reportant a.ce passage, d'y voir exposé un ordre d’idees tout à fait différent; mais il ne sera pas inutile de donner la traduction, puisque c'est là, en somme, l'unique texte ancien qui ait pu être invoqué dans l’objet : | « Quant à la science des nombres, voici pourquoi ils s'y appliquèrent, comme l’a dit, entre autres, Modératus de Gades qui a formé, avec une grande intelligence, un recueil de leurs opinions en onze livres. Comme ils ne pouvaient, dit-il, exprimer clairement par le langage les premières idées etles premiers principes, à cause de la difficulté qu'il y a à les concevoir et à les expliquer, ils eurent recours aux nombres, pour avoir un procédé d'enseignement avec des signes commodes, imitant en cela les géomètres et les grammairiens. Car lorsque ceux-ci veulent enseigner les lettres et leurs propriétés, ils ont recours aux caractères et, pour commencer, disent que ces caractères sont les lettres elles-mêmes; mais plus tard ils enseignent qu’en fait les caractères ne sont pas les lettres * elles-mêmes, mais qu'ils procurent la notion des ettres véritables. De même les géomètres, ne pouvant exprimer par le langage des formes incorporelles, ont recours à des tracés de figures et disent par exemple que ceci : A est un triangle; ils n’entendent pas par là que le triangle est l’objet qui tombe sous e sens de la vue, mais qu'il lui est pareil et que cet objet procure la notion du triangle. De même pour les premières raisons et es premières idées, les Pythagoriens, ne pouvant exprimer par e langage des principes incorporels, eurent recours aux nombres pour les rendres manifestes. » | | On reconnaît clairement dans ce passage une tradition authen- 1. Lé mot grec otoryeiov, que je traduis par lettre, signifie, comme on sait, élément. Modératus entend donc par là l'élément idéal du langage, à distinguer” de la lettre-caractère,

REVUE ARCHÉOLOGIQUE tique, én ce sens du moins qu'elle est d’accord au fond avec ce qu’Aristote nous rapporte sur l'usage ontologique que les Pythagoriens ont fait des notions des différents nombres; mais Modératus n'indique nullement qu'ils aient joint à leurs spéculations un symbolisme secret; au contraire son langage doit faire exclure * cette idée. , Que les Pythagoriens, anciens ou nouveaux, se soient complua des allégories, les unes profondes, les autres. passablement puériles, nous le savons de reste; qu'ils aient eu des symboles “ secrets, nous pouvons l’admettre sur la foi de Lucien’. Mais si leur pentagramme voulait dire « santé » pour les initiés, ce n'était pas en tout cas un caractère conventionnel, mais bien une figure géométrique possédant par elle-même une signification propre. C'est précisément sur ce point que doit porter le débat, par cette raison surtout que l’emploi en écriture de caractères purement conventionnels autres que les lettres semble avoir été absolument étranger, non seulement aux Pythagoriens, mais aux Grecs en général, avant une période très éloignée de l’âge classique. Les signes, dits hiéroglyphiques, qui sont assez fréquents dans les manuscrits grecs, doivent, en effet, se diviser en trois classes, en mettant d’ailleurs à part, bien entendu, ceux qui ne sont proprement que tachygraphiques : vs L'idéogramme proprement dit, où l’objet désigné se trouve représenté plus ou moins exactement, mais sous une forme net1° tement reconnaissable. Ainsi, au lieu d'écrire le mot zerpa&ywvov (carré), on dessinera un carré. Des signes de ce genre ont sans doute été employés comme abréviations de très bonne heure; j'ai à peine besoin de rappeler qu'en général les véritables hiéroglyphes égyptiens sont primitivement des idéogrammes purs. Quelques-uns, par exemple celui qui signifie eau (deux lignes sinueuses superposées), peuvent avoir été empruntés par les 1. Pro lapsu in salut., 5,

scribes grecs, mais ceux-ci ont pu, tout aussi bien, les adopter d'eux-mêmes. . | 2° D'autres signes représentent également, d’après leur figure, - un objet plus où moins aisé à reconnaître, mais la convention. leur attache, par allégorie, un sens différent; j'appellerai ces. signes des allogrammes. Je me contenterai, pour le moment, de faire remarquer qu’originairement les caractères de l'écriture, s’ils dérivent des signes phonétiques de l’ancienne Égypte,. étaient de véritables allogrammes, puisqu'ils désignaient par convention non pas l’objet figuré, mais le son principal dans le nom de cet objet. 3° Tout système régulier d'allogrammes doit pouvoir être déchiffré; la convention qui lui sert de base ne peut en effet être. arbitraire et, avec des éléments suffisants, ‘on arrive à la déterminer. Mais il est une troisième classe de signes qui par eux-mêmes n’eveillent au contraire aucune idée spéciale, qui paraissent imaginés par la pure fantaisie et ne peuvent être compris que par les initiés auxquels ils ont été enseignés; je les désignerai par l’expression de mystogrammes. Tels nous apparaissent, en réalité, nos chiffres modernes, si on les considère sans parti pris. Nombre de signes, primitivement allogrammes, mais ne faisant pas partie d’un système, sesont successivement déformés et ilest souvent difficile de les distinguer des vrais mystogrammes. On peut à cet égard faire usage de la remarque que ces derniers signes, ne figurant pas des objets réels, ont naturellement des tracés qui rappellent les ductus de l'écriture, sans pouvoir toutefois être confondus avec les lettres. On rencontre dans les manuscrits grecs de véritables mystogrammes; en examinant la table des abréviations dans la Grie_chische Paläographie de Gardthausen, on peut d’ailleurs se convaincre qu'ils ne sont pas exclusivement employés pour des expressions de langages techniques spéciaux; mais ces signes sont très rares; ils sont isolés et ne font nullement partie de systemes même particuliers; enfin, on n’a jusqu'à présent, aucun indice dénotant leur antiquité.

REVUE ARCHÉOLOGIQUE Les papyrus non encore déchiffrés peuvent sans doute, a cet égard, nous apporter des révélations inattendues; mais on doit s’absienir de toute conjecture qui n’est point fondée sur un document positif. Il est au contraire un fait bien constant, c'est qu’en dehots des idéogrammes proprement dits, les Grecs ont, de très bonne heure, employé les allogrammes; mais ce que je voudrais faire particulièrement ressortir, c'est qu’ils ont eu à cet égard une propension toute spéciale à se servir des lettresmémes de leur alphabet. Je citerai tout d’abord leur notation musicale, prétendument pythagorienne; je reviendrai sur cette notation dans un article postérieur; pour le moment, je me contenterai de dire qu’elle est, sans conteste, composée avec des lettres; loutefois comme les vingt-quatre caractères de l'alphabet grec étaient insuffisants, on a eu recours à des accentuations, à des retournements, à des renversements, et pour la notalion instrumentale, c’est un alphabet ancien qui domine ?. En second lieu, je signalerai le systeme de numération écrile des Grecs, constitué, comme Pon sait, avec les lettres de leur alphabet, complété par trois caractères obsolètes. C'est encore là un système d’ailogrammes, puisque les lettres, au lieu d'avoir leur signification vocale ordinaire, désignent des nombres différents d’après leur rang. On sait également que ce système a remplacé un mode de numération écrite antérieur, beaucoup plus imparfait, où l’unité ? était représentée par l’l et les nombres cing, dix, cent, etc., par les initiales de leurs noms grecs (allogrammes). Mais il est à remarquer que la date du système perfectionné est beaucoup plus récente qu'on ne l’admet d'ordinaire; il apparaît en effet, pour la première fois, sur des monnaies de 4. Si Vincent a voulu rapprocher des figures de certaines notes les mystogrammes cabalistiques des planètes, il n’a pas, pour cela, mis en doute l'origine ‘alphabétique de ces figures. Les rapprochements en question ne serviraient done qu’à expliquer les dits mystogrammes; mais ils sont loin d’être décisifs à cet égard. 2. Cette représentation est si naturelle et si commune qu'on peut l’assimiler à un idéogramme.

Ptolémée Philadélphe, vers 266 avant J.-C., et l’ancien mode a continué à être exclusivemént employé dans les inscriptions pendant près d’un siècle. | Le système classique de numération écrite des Grecs doit donc avoir étéimaginé seulementà Alexandrie, précisément vers l'époque où l’on voudrait placer l'invention de nos chiffres par les. Pythagoriens, car on n'ose plus guère, et pour cause, remonter plus haut. Mais, à cetle époque, il n° y avait plus de Pythagoriens; il n’y avait que les faussaires alexandrins qui se sont complu à forger tant de documents relatifs à la vieille école italique. Lettrés au reste assez adroits à tous égards et tout à fait dans le mouvement, s'ils trouvaient avantageux de faire courir leurs fantaisies sous le couvert de noms légendaires, ils n'étaient pas gens à tenir sous le boisseau une invention plus ou moins commode; celle qu'on leur suppose se rapporterait (vu le défaut du zéro) à des calculs sur l’abaque ; improbable dans sa forme de mystogrammes, elle l’est aussi dans son principe, à une époque où la logistique vulgaire n'était nullement en honneur; ils auraient plutôt fait gloire à Pythagoré de l'invention du mode savant de numération par Jes lettres; mais ils ont préféré la faire remonter jusqu'à e Palamèd:. Comme dernier exemple de la tendance dés Grecs instruits à employer comme allogrammes les lettres de leur alphabet, je mentionnerai leurs symboles correspondant à nos signes algébriques. | | u Ces symboles sont purement et simplement des initiales, sauf deux, Pun pour le mot dp:6us¢ (nombre, en particulier la première puissance de l’inconnue), Päutre pour Acive:, qui a la signification de notre mozns. On a beaucoup discuté sur l'origine de ces deux signes, mais je pense qu'il faut n’y voir que des formes de lettres obsolètes. 1. Voir ma Notice sur les deux lettres arithmétiques de Nicolas Rhabdas, p.19 (extrait des Notices et Extraits des manuscrits, t. XXXII, 1886).

REVUE ARCHÉOLOGIQUE Je ferai remarquer tout d’abord que l’usage de lettres de ce genre était familier aux géomètres pour désigner des points de figures quand l’alphabel ordinaire ne suffisait pas *. Le signe de deter, qui, dans les meilleurs manuscrits de Diophante, est A, figure très nettement une des formes archaiques du sanpi, qui a d’ailleurs peut-être été choisie parce qu’elle pouvait être également prise pour un monogramme du à, du & et de I’. Quant au signe d’agıdusc, il se-rencontre dans les manuscrits grecs sous trois formes essentiellement distinctes: l’une Q est l'ordinaire, mais ne se trouve pas dans les manuscrits de Diophante; elle semble dérivée du coppa ©. Des deux autres, la première, 5, est exclusivement employée dans la première partie des manuscrits prototypes de Diophante et est probablement assez semblable à celle dont se servait cet arithméticien; la seconde, y, est au {contraire usitée dans la seconde partie des mêmes manuscrits et doit représenter une forme plus communément employée à l’époque où fut écrit l’archétype de nos textes actuels (vers le vin’ siècle). | Il est à remarquer au reste que le copiste de cet archétype a généralement résolu l’abréviation dans la première partie du texte et qu’il en a assez souvent modifié la forme (en: S) dans les. endroits où il l’a laissée. | En présence de ces divergences, on doit, ce me semble, conclure que les anciens géométres ont concurremment employé comme abréviation d'épuéc, les épisèmes ¢ eth, sous des formes obsolètes et différentes par là même de celles qu’ils donnaient à ces épisèmes en tant que signes numéraux ; le troisième épiséme leur servait, dans les mêmes conditions, pour remplacer le mot Aelyeı. Pour le reste, ils se contentaient des caractères ordinaires. 1. On peut en voir divers exemples dans les éditions critiques d’Archimede et d’Euclide par Heiberg.

Ainsi aucun document authentique ne peut nous faire conjecturer que des mystogrammes analogues à nos chiffres aient été employés par les Grecs de l’antiquité; tous les témoignages concordent pour nous indiquer un tel emploi comme essentiellement contraire à leurs habitudes. On peut à la vérité prétendre que nos chiffres sont de fait originairement des idéogrammes; qu'ils dérivent de l’assemblage de points en nombre déterminé, réunis par des traits de plume. C'est ce qu'a récemment essayé de faire M. G. Dumesnil dans cette Revue mème ‘. Mais il n’a pas tenu compte d'une des principales conditions du problème ; c'est qu'il n’y a pas à partir de la forme de nos chiffres, mais bien de celle des apices du moyen âge, puisque leur dérivation de ces caractères ést établie historiquement, En se posant ainsi la question, il eût du, incontestablement, abandonner son idée. Remontons donc à ces apices qui apparaissent pour la première fois dans des manuscrits d'une Geometria qui porte le nom de Boèce, mais qui est très certainement l’œuvre d'un faussaire postérieur à Gerbert*. C'est dans le texte de cette Geometria que se trouve le célèbre passage, seul fondement effectif de la légende de l’origine pythagorienne. « Pythagorici vero, ne in multiplicationibus et participationibus et in podismis aliquando fallerentur, ut in omnibus erant ingeniosissimi et subtilissimi, descripserunt sibi quandam formulam, quam ob honorem sui præceptoris mensam Pythagoricam nominabant, quia hoc, quod depinxerant, magistro præmonstrante cognoyerant : a posterioribus appellabatur abacus. » 1. Note sur la forme des chiffres usuels (Revue archéol., 1890, p. 342 et suiv.). 2. Je crois absolument inutile de reprendre la démonstration, surabondam‚ment faite par H. Weissenborn (Die Boetiusfrage, Halle, 1882), de la fausseté de l'attribution.

"REVUE ARCHÉOLOGIQUE x L’illustre Michel Chasles, destiné, comme on sait, à se laisser aussi, plus gravement encore, tromper par un faussaire contemporain, fut le premier à relever ce passage et à en arguer contre l'origine indo-arabe de nos chiffres. Son opinion eut une fortune qui West d’ailleurs pas surprenante à une époque où la question avait à peine.été discutée; mais elle eut la chance de séduire en France Vincent, Th.-H. Martin, les seuls érudits qui aient eu chez nous quelque compétence; elle est encore, en Allemagne, soutenue, sauf quelques modifications, dans le meilleur ouvrage sur l’histoire des mathématiques, celui de Moritz Cantor. Dans l’opinion contraire, qui était la seule courante avant Michel Chasles, et à laquelle on est obligé de revenir, après un long cycle de discussions, l'invention pythagorienne est une pure chimère. Voici d’ailleurs les faits constants : _ i Les formes de nos chiffres ne sont fixées à peu près que depuis . le développement de l’imprimerie; auparavant elles ont singuliè-. _rement varié, mais (ce qu'on n’a pas assez remarqué) en se modelant toujours sur le caractère de l’écriture, pour chaque pays et pour chaque époque”. On remonte ainsi par des modifications successives jusqu'aux apices dits de Boèce. Ceux-ci ont une parenté incontestable avec les chiffres arabes occidentaux, dits gobar, déjà usités en Espagne au temps de Gerbert. Les différences, si frappantes qu’elles soient, s'expliquent suffisamment par la différence de l'écriture arabe et de celle des scribes du haut moyen âge. . | Les apices dérivent donc des chiffres gobar ou ceux-ci des apices. On est d'accord sur l'alternative, mais on se prononce dans un sens ou dans l’autre, suivant qu’on admet ou non le témoignage de la Geometria du Ps.-Boèce. D'autre part les chiffres gobar ont une parenté également incontestable, malgré quelques différences, avec les chiffres des Arabes de l'Orient et ceux-ci, de 1. Cette remarque ramène à leur juste valeur les observations de M. Ch, Henry - qui ne voit dans nos chiffres que des sigles abréviatifs des unités de nombre: Sur l'origine de quelques notations juillet 1879). mathématiques (Revue ar chéol., juin et

leur aveu appuyé sur des témoignages précis, ont emprunté ces chiffres aux Hindous. Quant à ces derniers, on n’a rien établi jusqu'à présent de bien précis ni sur la forme originaire de leurs chiffres, ni sur l'époque à laquelle ils en ont été en possession. Ils semblent bien toutefois ne les avoir employés qu’après l’&poque où ils ont été mis en rapport avec les Grecs, à la suite des conquêtes d'Alexandre. | S'il y a une méthode en archéologie, la question se trouve tranchée d'après cet exposé; quand la filiation de nos chiffres est régulièrement constatée d'époque en époque et de nation en nation, on n’a pas à tenir comple de l'asserlion d’un faussaire écri- _ vant dans un milieu où l'on pouvait avoir quelque vague notion qu'en these générale, la science des Arabes leur venait des Grecs, mais où on les confondait encore sous la dénomination commune d’idolätres. ‘ Si, au contraire, on se laisse aller a la légende, on peut faire toutes Jes hypothèses que l'on voudra; on peut notamment sup‘poser que nos chiffres sont une invention antique, communiquée aux Hindous par les Grecs et rapportée en Occident par l’intermédiaire des Arabes, qu'elle eût été d’ailleurs complètement perdue ou qu'elle ait, au contraire, été obscurément conservée dans l'ancien monde gréco-romain. | C'est pour cela que j'ai essayé de combattre la légende ellemême et de montrer qu'elle est en désaccord complet avec la tradition authentique concernant les Pythagoriens, comme avec tout ce que nous savons sur les procédés d’abréviation des Grecs. Ajouterai-je que si l'on parle de néo-pythagoriens, on doit avant tout admettre, pour représenter les véritables, Nicomaque et Jamblique et qu'on trouverait à peine un nom à citer à côté de ceuxlà? Or ce sont précisément des auteurs qui ont longuement et ‘spécialement traité de Varithmétique; s’ils avaient eu à signaler une invention singulière concernant la représentation des nombres, comment n’y auraient pas fait au moins une allusion quelconque? Quant à l'hypothèse de la conservation en Italie, jusqu'au

“REVUE ARCHÉOLOGIQUE 1x°siècle de notre ère, d’une invention grecque relative au calcul, mais abandonnée dans son pays d’origine, cette hypothèse est absolument hors de toute vraisemblance, et pour lui donner un fondement quelconque, il faudrait, sans nul doute, des documents dont l’authenticité ne serait pas suspecte d'autre part. | Si quelque jour un papyrus nous montre des chiffres analogues aux nôtres, sans qu'aucune fraude puisse être constatée, la question changera de face ; pour le moment, elle doit rester décidée en faveür des Hindous. 111 J'ai cependant une remarque complémentaire à faire. Je ne m’arrèterai pas aux noms mystérieux, igin, andras, ormis, elc., qui accompagnent d'ordinaire les apices dans les plus anciens manuscrits où ils se rencontrent, et pour lesquels Vincent a proposé des étymologies absolument fantaisistes. Ces mots restent et resleront probablement longtemps inexpliqués; mais un point est évident à leur seul aspect; quelle que soit leur première origine, ils ont été transcrits d’une langue orientale, et probablement par: l’intermediaire de l'hébreu ; ils constituent donc une preuve sérieuse que les apices ont été imités sur des chiffres arabes. Mais je voudrais signaler une singulière inconséquence des . partisans de la légende pythagorienne. Comme tout d'abord les apices n'ont été employés que sur l’abacus, sans le zéro, et qu'il est surabondamment prouvé que ce dernier signe, le plus important de tous par son rôle, a été enseigné à l'Occident latin par les Arabes, on est d'accord pour laisser aux Hindous la gloire de son invention, c’est-à-dire le seul point qui mériterait vraiment d’être disputé. Orilest parfaitement établi que le zéro, sous sa forme circulaire caractéristique, a été employé par les Grecs dans leur numération sexagésimale, pour marquer une lacune dans la série de-

gré, minute, seconde, etc. Cet emploi du zéro remonte d’ailleurs à l'époque où les Alexandrins adoptèrent la numération sexagisimale pour les calculs astronomiques; on le trouve, par suite, dans les manuscrits d’Hypsicles' qui vivait avant Hipparque (n° siècle av. J.-C.). Or, le plus ancien ouvrage mathématique des Hindous, le Sérya-Siddhanté, est un traité d'astronomie et il est plein d'emprunts évidemment faits à la science grecque. Il est dès lors légitime de supposer que les premiers mathématiciens hindous ont connu le zéro grec et qu’ils l’ort adopté en étendant ‘ son emploi à la numération décimale, ce qui a été, au reste, un progrès décisif. Le zéro des Grecs n'était d’ailleurs pour eux qu’un allogramme, c'est leur omicron, initiale de 053:v, rien*. Mais la numération sexagésimale ne leur appartient nullement; ils l’ont bien certaiment empruntée aux Chaldéens. Ceux-ci devaient donc avoir un zéro, quoique les. assyriologues n’aient pas encore eu, que je sache, l’occasion de le constater; c’est une découverte qu’ils nous doivent; toutefois, la forme circulaire étant étrangère à l’écriture cunéiforme, le zéro chaldéen devait affecter une autre figure, tandis que le nôtre est bien resté à peu près sous celle que les Grecs avaient adoptée. La remarque que j'ai faite n'exclut donc nullement la possibilité que d'autres signes servant de zéro aient été employés dans l’Extrèéme-Orient, même pour lanumération décimale, avant toute communication avec les Grecs; c’est un point sur lequel on a quelques indices qui mériteraient d'être éclaircis. Paul Tannery. 1. Le fait n’a pas été remarqué parce que Jacques Mentel, l’auteur de la version qui accompagne la seule édition du texte d’Hypsiclés (Bartholin, Paris, 1659), a pris ce zéro (0) pour la lettre numérale signifiant 70. ' 2. Les Siddhantds sont composés en vers : les nombres y sont énoncés à l'aide d'artifices particuliers, mais n’y sont nullement écrits en chiffres. 3, Ce qui n’empéchait pas qu’ils ne pussent le lire autrement. Comine le remarque Hultsch, ils devaient pour O Kp:o5 (0° du Bélier) énoncer dpyopévou Kpto5. On a, au reste, des exemples d'autres abréviations pouvant se lire de plusieurs façons différentes. LC SÉRIE, .T. XX.