Nouvelles recherches sur la mathematique pharaonique. Partie IV. Les Egypties ont ils ete pre-pythagoriens?

Résultat de la recherche | DAPHNE pagina | van 1 GE, €: ia. e Résultat abrégé de la recherche Afficher la notice complete Retour à la liste des résultats Titre du document/ titre traduit : < 51/124 > Nouvelles recherches sur la mathématique pharaonique. Partie IV. Les Egyptiens ont ils été pré-pythagoriens? Auteur(s): Titre de revue/ nom d'ouvrage dépouilié : Göttinger Miszellen Edition : Göttingen : Universität der Göttingen, Seminar für Agyptologie und Koptologie Annéo millésime / date de publication ; 1988 Tomaison/Volumaison : 106 Pagination : p. 7-14 ISBNISSN : ISSN : 0344-385X Type de document : extrait Mots-clés : Mathematiques. - Papyrus.— Papyrus Berlin. — Eaypte.— Archéologie du Proche- Base d'origine : Francis rie: Localisation : http://www. daphne.cnrs.fr/daphne/viewNotice.html?daphneldentifier=INIST-89-526-0... 22-1-2009

Nouvelles Recherches sur la Mathématique pharaonique, Partie IV. Les egyptiens o... Göttinger Miszellen Volume 106 / 1988 / Journal Part / Article Nutzungsbedingungen DigiZeitschriften e.V. gewährt ein nicht exklusives, nicht übertragbares, persönliches und beschränktes Recht auf Nutzung dieses Dokuments. Dieses Dokument ist ausschließlich für den persönlichen, nicht kommerziellen Gebrauch bestimmt. Das Copyright bleibt bei den Herausgebern oder sonstigen Rechteinhabern. Als Nutzer sind Sie sind nicht dazu berechtigt, eine Lizenz zu übertragen, zu transferieren oder an Dritte weiter zu geben. Die Nutzung stellt keine Übertragung des Eigentumsrechts an diesem Dokument dar und gilt vorbehaltlich der folgenden Einschränkungen: Sie müssen auf sämtlichen Kopien dieses Dokuments alle Urheberrechtshinweise und sonstigen Hinweise auf gesetzlichen Schutz beibehalten; und Sie dürfen dieses Dokument nicht in irgend einer Weise abändern, noch dürfen Sie dieses Dokument für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, aufführen, vertreiben oder anderweitig nutzen; es sei denn, es liegt Ihnen eine schriftliche Genehmigung von DigiZeitschriften e.V. und vom Herausgeber oder sonstigen Rechteinhaber vor. Mit dem Gebrauch von DigiZeitschriften e.V. und der Verwendung dieses Dokuments erkennen Sie die Nutzungsbedingungen an. Terms of use DigiZeitschriften e.V. grants the non-exclusive, non-transferable, personal and restricted right of using this document. This document is intended for the personal, non-commercial use. The copyright belongs to the publisher or to other copyright holders. You do not have the right to transfer a licence or to give it to a third party. Use does not represent a transfer of the copyright of this document, and the following restrictions apply: You must abide by all notices of copyright or other legal protection for all copies taken from this document; and You may not change this document in any way, nor may you duplicate, exhibit, display, distribute or use this document for public or commercial reasons unless you have the written permission of DigiZeitschriften e.V. and the publisher or other copyright holders. By using DigiZeitschriften e.V. and this document you agree to the conditions of use. Kontakt / Contact DigiZeitschriften e.V. Papendiek 14 37073 Goettingen Email: digizeitschriften@sub.uni-goettingen.de

GM 106 (1988) NOUVELLES RECHERCHES SUR LA MATHÉMATIQUE PHARAONIQUE, PARTIE IV, LES ÉGYPTIENS ONT ILS ETE PRE-PYTHAGORIENS? Au sujet de cet ardu et complexe problème, les opintons des spéctalistes sont divisées: certains auteurs avec George Sarton disent qu'"il n y a pas de raison pour crotre que les égyptiens connasatent le Théoréme de Pythagore exceptée l'allusion suggerée par le Papyrus de Berlin" (1). Je crots qu'on peut déduire que les égyptiens connatssatent par intuttton la propriété sans qu'ils atent nécessairement démontré le théoréme. On peut constaerer que Beatrice Limpkin (2) a la mème opinion puts qu'en menttonannant l'oeuvre de Richard (3), elle remarque ces parties qut peuvent condutre a cette thése. Gillings analyse le Papyrus de Berlin qui est restauré et très muttlé. Celut qui étudia reéllement le Papyrus fut Schack-Schackenburg (4), qut souttent que le sertbe proposatt résoudre un systéme de 2 Equattons qui exprimé avee la notation algébrique moderne résulte ainsi: I x + y? = 100 4x - 3y =0 x? + y* = 100 3 x SZ} 2,2 uf + y” = 400 4x - 3y =0 = 2

Le problème I en termes égyptiens pourratt être ennoncé ainst (5): "Si on te dit que l'aire d'un carré de 100 coudes carrés de surface est égale à deux carrés plus petits et le côté de l'un est 2 4 de l'autre, quels sont les côtés des carrés?" Le côté d'un carré est 1 et celui de l'autre 2 4. La surface carré majeure vol EN) m est 1. La surface carré mineure est 2 16. Les deux surface ajoutées valent 1 2 16, Il faut prendre la racine carrée — — — * 1 2 16 = 1 4. La racine carrée de 100 est 10. En faisant la division de 10 par 1 ze résultat est 8, le côté du carré majeure. Le reste du papyrus est lesé mais la solution peut être suivie; je erois qu'elle seratt la suivante: 1 8 2 4 \ 4 \ 2 */**k Voir page suivante

Ce qui donne 6 coudes pour le côté du carré mineur. La vert fication selon notre méthode de r&olution serait: x? + y? = 100 x=2y Gy)? + y*2 = 100 I y2 4 y? = 100 LE METHODE EGYPTIEN 16 y2 G+ 1) = 100 25 1 14 2 28 7 4 T6 2 _ Te Y= 100 4 14 2 _ 10x 16 Y © 1 (4 3) T6 ~ 25 | 2 1 4 4 T6 3 y = 8 coudes 3 \7 \3 1 _ 3 4 x = 6 coudes \4 \2 14 10 x= X de & za ) Il est important de remarquer iet que dans le mot technique égyotien pour L'imvestigation d'une racine carré: nan À [PF tive est justement l'image du gnomon. knbt, Ze détermina- Celut-ct s'ajoute au carré tnittel pour former un carré plus grand. Dans ?'exemple du Papyrus de Berlin, le gnomon a une surface égale au carré de L'hypotenuse. St les donnés du premier problème sont conservées pour Le second, où les dégâts sont plus grands, cect peut se résoudre rapidement de façon suivante:

u 100 X 4 = 400 11 6 x2= 12 lp 8x25 16 12° = 144 16° = 256 400 Pour le second problème, Gillings propose le renseignement suivant obtenu: "La ratson des côtes des carrés plus petits est donnée comme 2 est à 18. A mon avis, ce qui manque de la solution ce qui suit un côté d'un carré est 2 et celui de l'autre est 12. La surface carrée majeure est 4. La surfado! dol [al S= al ms fol RY A 2) 4 j al m vol mR Ay ce carrée mineure est 2 4: hen nd 1 2 4 64 coudes”+ 36 coudes? = 100 coudes? Le papyrus ne montre pas l'obtention des carrés nt l'extraction des racines carrées, ce qui suggère deux possibilités: 1) les calculs se faisatent mentalement; ou 2) il y avait des tables pour obtenir Les valeurs. A. Schwaller de Lubicz (6) montre après avoir résolu le problème, que le seribe a appliqué sans les connaître les lois géometriques, que je transcris par les deux formules essentielles. Elles forment partie de la base de notre trigonométrte: (a+b)?: a? + 2ab + b2

wt 4 ’ . “ oo CH Q ‘ bd . 4 ; . ' + Q 0 Q eu ‘s . . «° 5 Lay ay , EMA R ’ “, ed se . vw r vo nu on ” . 4. wate eee toh a cess H N , "et “et 4 +ï i Q ‘ H‘ Breranunodeenee oe hid OS , H :H e enge . : . ‘ ‘2 . 7 ‘‘ 4 eeen : : Loc .poroQu..-s0 «e. ‘ . , bosse ob ‘ \ ‘ . N Erie e N * k— a UÊ H: >> A: 2 And : .; . H Les deux surfaces ajoutées ont la valeur 6 4. Il faut prendre la racine % carrée 6 4 = 2 8. La racine carrée de 400 est 20. En faisant la division de 20 par 2 2, elle donne En faut multiplier La vérification selon notre méthode de résolution serait:

an - Hey = 0 (3 y)? + y? = 400 1 el x =— 2 4 9 2 Te + y? = 400 > 3 == GY 9 y” (T6 +1) = 400 , . LE METHODE EGYPTIEN SEy = 400 2 7 *) 25 1 2 ÿ 16 x16 Ar 1 223 \2 \5 N38 = 256 5 y = 16 coudes \14 _ = 22 = Ve x)\1 \8 2 4 \ 4 \ 2 14 10 _ 3 ZT =ZY 3 pare LF XL 4 x = 12 eoudes 256 coudes? + 144 coudes? Beatrice Limpkin, toujours, en référence au travail de Gillings, et en rapport à l'election des unités pour mesurer (en particuler le coude, le "remen" et le double "remen") suggère une connafsance du Théoreme de Pytagore.

Le double remen était la diagonale du carré dont le côté mesurait un coude et que Gillings nomme "hayt". Griffith (7) ne serait pas d'accord avec ce thèse et il la considère un mot incomplet. En me fondant sur L'hynothése de Gillings on arrive à l'hypoténuse d'un triangle rectangulaire qui devait être tsocéle, parce que la diagonale divise tndéfecttblement le carré en deux triangles isocèles égaux. Le trableau de mesures était: le coude le "remen" = 1/2 aroura le "double remen" = 1 aroura = 1 "hayt" Il n'est pas difficile de penser que les égyptiens utilisèrent ces mesures puisqu'ils savaient doubler ou diviser un nombre par 2. Beatrice Limmkin termine son article en disant que var cette relad'unités tout conduit à supposer que les égyptiens connatssatent pour le cas du triangle rectangulaire tsocéle, que la somme des carrés des côtés est égale au carré de l'hyvothénuse. Avec l'objet d'apporter un autre élément de jugement, j'ajoute que R. Schwaller de Lubtez (8) présente Ramsés IX dans sa tombe comme l'hypothénuse d'un triangle de côtés 3-4-5. Quoique il n'est pas tsocéle il permettrait de commencer une étude plus exhaustive de ce sujet CENTRO DE INVESTIGACIONES EGIPTOLOGICAS DE BUENOS AIRES, Juillet, 1988 PROF. CELIA BIBE

. George Sarton, Historia de la Ciencia (Buenos Aires, 1970), 47. . B. Limpkin, "The Egyptians and Pitagorean Triples": Historia Mathemattea 7 (1980), 186-7. . Richard Gillings, Mathematies in the Time of the Pharaohs (Cambridge, Mass., 1975), 161-209. . H. Schack-Schackenburg, ''Das Kleinere Fragment des Berliner Papyrus 6619": Z4S 40 (1902), 65 seq.; 38 (1900), 135-40. . Gillings, o.c., note 3. . R. Schwaller de Lubicz, ''De la Mathematique Pharaonique'': CdÉ 73 (1962), 90. . F.L. Griffith, Hieratie Papyrt from Kahun and Gurob. The Petrie Papyri, I (London, 1897), 15-8. . R. Schwaller de Lubicz, Le miracle égyptien (Paris, 1963), 123-4.