Le probleme des "deux tierces" (Pythagore ou Zarlino) la solution psycharithmetrique et experimentaleI

TANNSR RQ. (Pythagore ou Zarlino) La solution psycharithmétique et expérimentale I par R. TANNER Centre de Recherches Physiques, Marseille Sommaire Le débat sur la valeur «juste» de la tierce, 5/4 ou (9/8)?, date de l'Antiquité. La théorie psycharithmétique a apporté une solution à ce problème, essentiellement parce qu’elle admet une pluralité de rapports théoriques possibles pour une même note, selon la fonction harmonique. Cette solution est tirée de la notion de base de psycharithme (issue logique de la notion de «rapport simple») et des données de l’expérience musicale directe. Une suite d’expériences a été entreprise au sonomètre instrumental, pour en confronter les résultats avec les conclusions déjà déduites de l'expérience non provoquée. Das Problem der ,,zwei Terzen“ (Pythagoras oder Zarlino). Die psycharithmetische und die experimentelle Losung. 1 Zusammenfassung Die Debatte um den „wahren“ Wert der Terz, 5/4 oder (9/8)?, begann bereits in der Antike. Die psycharithmetische Theorie hat zu einer Lösung dieses Problems geführt, besonders weil sie für ein und dasselbe Intervall eine Vielzahl von theoretisch möglichen Verhältnissen der Schwingungszahlen zuläßt gemäß der harmonischen Funktion. Diese Lösung wurde gewonnen aus dem Grundprinzip des Psycharithmus (ist also eine logische Folge des Wissens um die „einfachen Zahlenverhältnisse“) und auf der Grundlage der direkten musikalischen Erfahrung. Es wurde eine Folge von Experimenten mit einem instrumentellen Schallmesser vorgenommen, um deren Ergebnisse den bereits vorliegenden Folgerungen aus der reinen Erfahrung gegenüberzustellen. C2caA3) AacWusti The Problem of the “Two Thirds” (Pythagoras or Zarlino). The Psycharithmetic and Experimental Solution. I Summary The debate on the “true” value of the third, 5/4 or (9/8)?, dates from antiquity. The psycharithmetical theory has brought a solution to this problem, essentially because it admits a plurality of possible theoretical ratios for the same note, according to the harmonic function. This solution is derived from the basic concepts of psycharithmetics (logical issue of the idea of “simple ratio”) and from the results of direct musical experience. A series of experiments have been undertaken on the instrumental sonometer in order to compare the results with the conclusions already deduced from casual experience. . 1. Introduction: le réle type de la tierce dans la conception de la gamme C’est pourquoi le débat sur la «gamme juste» s’est pour ainsi dire toujours cristallisé sur cet intervalle type. C’est pourquoi également cet intervalle a été 5/4 ou (9/8)?? Le débat, contrairement à ce ‘qu'on croit généralement, ne date pas de ZARLINO, ou de la théorie selon laquelle les rapports numériques des intervalles musicaux auraient leur explication dans les harmoniques du son complexe. Il date de l'Antiquité («diatonique» de DIDYME et «diatonique» d’ERATOSTHENE) ; et il s’est poursuivi jusqu’à nos jours. choisi, pour lui consacrer une longue suite d’expériences progressives et très diverses, «sonométre instrumental» [2]. Le résultat du prefaites au mier groupe important de ces expériences fait l’objet du présent exposé. Mais auparavant, deux préalables seront nécessaires. D'une part, il sera indispensable de poser cer- La tierce majeure n’est certes qu’un intervalle taines notions d'analyse musicale, en principe inparmi les autres. Mais contrairement aux tout prindépendantes de toute théorie. Une partie de ces cipaux intervalles (octave, quinte, quarte, auxquels notions a déjà été exposée d’un point de vue très tout le monde s’accorde à assigner les rapports 2, général dans un précédent article d’Acustica [1]. 3/2 et 4/3), la tierce est le premier intervalle im- On pourra s’y référer pour plus de précision. Ici, portant dont la valeur théorique [1] diffère selon la conception générale qu’on se fait de la gamme. nous ne les reprendrons que d’une façon à la fois plus brève, plus particulière pour ce qui va spécialeL

Vol. 27 (1972) même but. du phénoméne dont elle traite, d’avance, est forcément impropre à l’expliquer. D'autre part, il ne serait pas possible de comprendre le résultat de ces expériences, sans quelque notion sur la théorie psycharithmétique ', et surtout sans connaître la solution que celle-ci avait déjà apporté au «problème des deux tierces», avant toute expérience provoquée ou de laboratoire. On verra que le résultat expérimental est bien conforme à celte théorie et à certaines idées générales qui en sont inséparables. Toutefois, dans le cadre de celles- Remarquons enfin — car ceci s’avérera très significatif — que pythagoriciens comme zarliniens prétendent détenir les preuves expérimentales de la justesse de leur conception et de la fausseté de l’autre. Pour le classique observateur «extérieur et impartial», ces prétentions incompatibles peuvent à leur tour être considérées comme une donnée d’expérience intéressante, car elles ne peuvent pas s’expliquer simplement par des préjugés de théoriciens. ment nous occuper, et en les complétant dans le ci, les expériences ont fait ressortir un enseignement imprévu. Cet enseignement constitue l'apport proprement positif des expériences. Loin d’infirmer la théorie, il consiste à apprendre que ce phénomène méconnu, l’«identification par tolérance», dont l'intervention avait été prise pour circonstancielle seulement, est en réalité d'intervention beaucoup plus 1.2. La notion de fréquence théorique variable, en Jonction de la fonction harmonique — La notion de valeur préférée ou exécutée variable, en Jonction des fonctions harmonique et melodique Si le désaccord entre pythagoriciens et zarliniens Le problème de la valeur théorique des intervalles est beaucoup plus compliqué qu’on ne croit généralement, et cette valeur théorique ne se confond même pas ou pas forcément — comme on le croit aussi — avec la valeur préférée en audition a toujours offert un caractère calégorique et comme expérimentale (ou exécutée en moyenne par de bons irrémédiable, il est un point, du moins, sur lequel musiciens sur des instruments à sons non fixes). générale. 1.1. Le préjugé de la «gamme juste» les deux conceptions s'accordent. Cet accord réside dans l’idée, communément admise, qu'il existe une «gamme juste», c'est à dire l’idée qu’il existe, pour chaque note de la gamme, une valeur théorique précise et une seule *. Pour les pythagoriciens, cette valeur juste et unique est, pour la tierce, 34/25, soit 81/64 ou (9/8)? (somme de deux tons 9/8), parce que, selon celte conception, tous les intervalles seraient formés exclusivement à partir de la quinte et de l’octave, autrement dit de puissances de 2 et de 3. Pour les zarliniens, cette valeur est 5/4, parce que, selon cette autre conception (après MERSENNE et la découverte des harmoniques) cet intervalle proviendrait de Pharmonique 5 («réduit» de deux octaves). I] est & remarquer que la conception pythagoricienne repose seulement sur le postulat (non expliqué) du rôle fondamental et exclusif des facteurs numériques 2 et 3. Au contraire, la conception basée sur les harmoniques du son complexe (sous ses diverses formes, théorie de la «fusion» notamment) se présente comme une théorie explicative. Mais, sans revenir sur l’examen exhaustif de tout ce qui converge à l’infirmer [5], il suffit de redire qu'une théorie qui ne tient pas compte de la nature 1.2.1. Pluralité de fonctions harmoniques et fréquences théoriques En premier lieu, la diversité et la complexité harmonique de la pratique musicale commandent logiquement de considérer la fréquence théorique comme fonction de la fonction harmonique (par exemple, pour un /a en ut, fonction de sous-dominante, ou fonction septième de dominante), abstraction faite de la fonction mélodique 3. Dans le cadre de la théorie psycharithmétique, la fonction harmonique est elle-même définie par un psycharithme?. Comme, en règle générale, une même note de la 3 Si les notes ou intervalles ne remplissaient qu'une fonction mélodique, leurs valeurs exactes entreraient tout simplement dans la formule générale et uniforme Var. Le problème des valeurs théoriques n'a de sens 12 qu'au regard des fonctions harmoniques, lesquelles, d'abord, font la spécificité de la musique, et qui seules sont et pouvaient être à l'origine des «rapports simples», de la gamme diatonique irrégulière, etc. (Rappelons que cette fonction harmonique n'a rien à voir: 1) avec la simultanéité ou succession des deux sons composant l'intervalle, dont elle est indépendante; 2) avec les harmoniques du son complexe. — Cf. [1], pp. 159 à 160.) 4 La fonction harmonique est définie par le psycha! Y. principalement [3]; sur la propriété la plus fondamentale de l'intervalle, sa propriété qualitative, v. [4]. 2 Cette idée a été réfuiée, d'un point de vue plus général, dans l’article d'Acustica déjà cité (cf. [1]). rithme même, le degré de consonance ou de dissonance est lié à son degré de complexité (au sens de cette théorie). La fonction mélodique est liée à la propriété secondaire du psycharithme, sa propriété grandeur (produit effectué du psycharithme).

Vol. 27 (1972) 337 gamme peut, selon le contexte musical, remplir des fonctions harmoniques différentes, comme il y a lieu de considérer ces fonctions différentes comme déterminées par des psycharithmes différents, donnant des rapports de fréquence soit égaux soit voisins dans la marge de tolérance, l’idée de la «gamme juste» apparaît comme un préjugé, dont on com- Rien n'empêche de procéder à une expérience volontaire sans discerner tout ce qui précède. Mais dans ces conditions comment comprendre, d’abord, la manière dont se posent les données d’expérience directement offertes par la musique; et que dire, a fortiori, de la signification qu’on croira pouvoir attribuer aux résultats de l'expérience volontaire? prend qu'il ait été associé à l’idée abstraite et simplifiée de gamme, mais qui se trouve incompatible avec la réalité complète, et autrement complexe, 2. La solution théorique du problème de la tierce, dans le cadre de la théorie de la pratique musicale. psycharithmétique 2.1. Généralités sur la théorie psycharithmétique 1.2.2. Fonction mélodique En second lieu intervient la fonction mélodique. Comme la fonction mélodique tend à légalisation des intervalles, la valeur préférée à l'exécution doit être considérée comme un compromis entre fonction harmonique et fonction mélodique, c’est à dire entre valeur théorique et valeurs égales. Mais ce n’est pas tout. Contrairement à tous les systèmes qui veulent assigner aux intervalles et notes de Ja gamme des valeurs théoriques fixes, la théorie psycharithmétique admet, dès le principe, la possibilité de valeurs théoriques différentes pour une seule note. Ces valeurs multiples correspondent, sur le plan de Pexpérience musicale, à la multiplicité des fonctions harmoniques, et, sur le plan de la théorie, à une multiplicité de psycharithmes. 1.2.3. Identification par tolérance Cette différence par rapport aux autres systèmes Outre la multiplicité des fonctions harmoniques, outre l'intervention du facteur mélodique, un phénomène vient souvent compliquer la détermination de la valeur théorique: le phénomène d’«identification par tolérance» ([1]; v. plus loin également). 1.2.4. Consonance acoustique et convient de ce que la théorie psycharithmétique repose, non sur un système mathématique préconçu, ni sur une hypothèse en réalité incompatible avec la nature foncière psychique ou cérébrale du phénomène musical, mais sur la donnée expérimentale générale et Jondamentale fournie par la musique elle-même, à savoir la donnée très anciennement connue sous l'appellation de «rapports simples», et dont l'examen sonance musicale logique a conduit à la notion de psycharithme. Enfin, sur le plan de l'expérience provoquée ou Cependant, il West pas toujours facile d’assigner de laboratoire, une dernière complication — qui sur un psycharithme à une fonction harmonique. Les ce plan constitue la diffieuli@ majeure — vient s'ajouter aux précédentes: l'intervention de la «consonance acoustique» [5]. En ellet, lorsqu'on fait concernant la détermination des valeurs théoriques des intervalles. Mais les toutes principales en sont les une expérience sur les intervalles, celle-ci doit porter suivantes. raisons en sont, en partie, celles qui ont été exposées par définition sur la véritable consonance musicale, La hiérarchie de complexité des psycharithmes est Or, il est souvent très difficile, parfois impossible, à une infinité de dimensions, et il existe par conséd'obtenir des sujets qu’ils répondent en fonction de quent une infinité de psycharithmes (ou mieux une la «consonance musicale», à l'exclusion de la «coninfinité puissance infinie). Il est évident que même sonance acoustique». Lorsque leur réponse est telle si Pon imagine un cerveau très supérieur à celui de qu'elle ne peut pas provenir de la seconde, cette réponse est nette, et elle correspond au but de Pexl'homme, les psycharithmes réellement possibles ou périence. Dans le cas contraire, il y a ambiguïté sur la cause de la réponse, et cette ambiguilé peut être qu'ils se bornent à un certain degré de complexité. difficile ou impossible a lever. rale, ne préjuge pas, et n’avail pas à préjuger, des musicalement praliqués sont en nombre limité, et Or la théorie psycharithmélique, en tant que géné- (Pour étre complet, il faut ajouter encore deux sapacités mentales d’un individu ou d'un groupe difficultés, deux facteurs psychologiques, non spéciethnique quelconque. Lorsqu'un psycharithme n'est fiquement auditifs conni oulranciérement complexe ni des plus simples, traste» bien connu des psychologues; un facteur «brillance» ou «corsé», qui tend à faire préférer les ni musicaux: l’«effet de on ne peut donc pas dire, a priori, s’il se trouve intervalles légèrement agrandis.) Comme, inclu ou non dans d’aulre Ja part, pratique musicale réelle. il d’automatismes s’agit

psychiques qui échappent à la conscience, comme il n’est pas question non plus d’une investigation physiologique et physique dans la matière cérébrale, toute réponse expérimentale directe est impossible. Par suite, si un psycharithme assez complexe se présente comme de pratique incertaine au départ, cette incertitude ne peut être levée qu'indirectement, soit, avant tout, par l'analyse des compositions musicales, soit, éventuellement, par des expériences d’acoustique susceptibles de fournir plus ou moins indirectement une réponse, soit par ces deux moyens Vol. 27 (1972) plexe des deux. Méme si l’on s’interdit de poser a priori une formule donnant le degré de complexité dun psycharithme, il semble évident que le psycharithme 34 x 2" est plus complexe que le psycharithme 5x2". On est ainsi conduit a attribuer,à la fonction de tierce, le psycharithme 5 x 2” (exclusivement ou non pour l'instant). Cela dit, un autre fait intervient. Il existe des séquences musicales très classiques, caractérisées par la succession de fondamentales (notes de référence dans chaque accord, elles-mémes réunis. référées consécutivement entre elles, et chacune a la En ce qui concerne le problème de la tierce (et en ne faisant d’abord état que de l'expérience musicale non provoquée), les choses se présentent de la : tonique) manière suivante. Cette séquence classique consiste en un «mouvement 2.2. La solution théorique du problème de la tierce, dans le cadre de la théorie psycharithmétique La théorie psycharithmétique, disions-nous, admet dès le principe, pour une même note de la gamme, une pluralité de psycharithmes ou fonctions harmoniques possibles, et donc de valeurs théoriques possibles de l'intervalle. C’est ainsi que, pour Pintervalle qui nous occupe, elle admet à la fois comme possibles les fonctions harmoniques définies par les psycharithmes 5x2" et 31x2"5, Ces deux psycharithmes donnent, pour la méme note, deux valeurs théoriques différentes, qui coincident précisément avec les valeurs rivales — et qui prétendent s'exclure réciproquement — des conceptions zarlinienne et pythagoricienne. Laissons maintenant ces conceptions. Du point de vue de la théorie psycharithmétique, la question est celle-ci: les deux psycharithmes ontils, dans la pratique ou la réalité musicale concrète, une existence réelle, ou seulement Pun des deux et lequel? Considérons d'abord une tierce isolée (de sons simultanés ou suceessifs peu importe). En vertu de la loi du «moindre effort», qui s'applique au phénomène psychologique musical comme aux autres, il faut admettre que le psycharithme qui (dans la perception musicale, ou dans le cerveau du compositeur) s'établit entre les deux notes est le moins com5 Lorsqu'on ne s'occupe que de fonction harmonique (indépendante de la situation d’octave ou de la fonetion mélodique), il est à la fois plus simple et préférable de faire abstraction de la puissance du facteur 2 (ou «facteur d'octave», placé en dehors du trait d’orientation du psycharithme), en la laissant indéterminée. Par suite, une convention d'écriture commode, lorsqu'il est question de plusieurs psycharithmes, est d'écrire chaque fois 2*, étant entendu que d'un psycharithmeà un autre, n a des valeurs généralement différentes. ul mi la re sol ul. harmonique» de tierce, suivi d’une «marche harmonique par quintes» descendante, opérant le retour à la tonique. Qu'on considère comme tranchée ou non la question du psycharithme de la tierce initiale ut-mi, ce qui est certain, c’est que les quatre intervalles qui lui succédent ne posent aucun probléme: indubitablement, on a une succession de quatre psycharithmes 37! x 2“ ®. Comme, après l'écart initial de tierce, l'impression de retour à la tonique est parfaitement nette, comme Put initial et Put terminal (qu’ils soient ou non rigoureusement les mêmes dans l'exécution) sont musicalement identifiés comme absolument les mêmes, on se trouve cette fois enclin à attribuer à la tierce ut-mi, non le psycharithme 5x2", mais 34x 2" (sommation exacte inversée des quatre mouvements harmoniques 371% 2" de la marche). Cependant, l'argumentation initiale en faveur de 5x2" demeure valable, car, le mouvement de tierce étant antérieur aux autres, donc indépendant, dans sa perception, de tout ce qui peut se produire ensuite, il est normal de vouloir lui appliquer Pargumentation valable pour la tierce considérée seule. Le processus général du phénomène d’identification par tolérance a été expliqué par le détail dans l'exposé antérieur d'Acustica déjà cité [1]. Il y a même élé donné quelques indications sur les différentes formes que pouvait revêtir le phénomène. Dans le cas présent, nous en sommes à la contradiction apparente à laquelle on se heurte chaque fois en deuxième analyse [1]: d’après Pargumentation initiale, la fonction du mi formant tierce doit s'écrire 5 x 2"; d’après l'argumentation relative à la fin de la séquence, ilsemble que ce soit (pour la même tierce initiale) 34x 2" (ou alors, l’ut terminal 5 Sous la forme la plus classique, successivement vers le grave), 371x2% (quarte vers 371x2 (quinte 3-1x2et3 1x2, l'aigu), encore 37

Vol. 27 (1972) LÀ ne devrait pas étre identifié au premier, ce qui est inadmissible puisque cette identification est un fait 339 mes) se comprend et s'explique entièrement de la façon suivante? (Fig. 1). On voit: d'expérience indiscutable). La solution (troisième analyse) est également du type général qui a été exposé. Nous l'énoncerons donc sans explication ni démonstration de détail. Ce qui est confondu en une seule note pensée — à savoir un seul mi musical — ce sont les deux fréquences théoriques 5/4 et 81/64 (dont la fréquence objective d'exécution est voisine). Cette confusion des fréquences théoriques en une seule (qu'on pourrait écrire [5/4 = 81/64]) n'implique pas une confusion parallèle dans les psycharithmes (produits non effectués), ni conséquemment dans les fonctions — que rien n’oblige à croire à l'intervention d'un psycharithme 3* x 2" (malgré les quatre psycharithmes 371 x 2") — que cependant la fréquence théorique du mi n'est pas plus 5/4 que 81/64 (c'est à dire que la «gamme juste» n’est pas plus la gamme de ZARLIN que celle de PYTHAGORE), car au total tout se passe comme si l'on avait (5/4)/(81/64) =1, ce qui revient à dire que cette fréquence théorique est un nombre «double» [5/4 = 81/64] (c’est à dire un nombre harmoniques. qui musicalement est à la fois unique et à la fois 5/4 et 81/64, de la même manière que 2 et 6/3 sont un Désignons par 1 la fréquence théorique (relative) de l’ut initial (tonique). Admettons de plus — puisque c'est Put initial — que cette fréquence seul et même nombre). Passons maintenant aux expériences au sonomètre instrumental, et pour y passer, oublions un théorique se confond exactement avec la fréquence objective (qu'il en soit ou non de même pour Put terminal). Employons le symbole =, pour signifier «égale à la marge de tolérance près», le symbole x , pour signifier «multiplié par à la marge de tolérance instant la tierce, afin Ven parler d'abord dans une optique tout à fait générale. 3. Le premier groupe d'expériences sur la tierce au sonométre instrumental près». En respectant le raisonnement initial conduisant à attribuer à la tierce ut-mi le psycharithme 5 x 2" et non 34 2", en donnant à chaque note sa situation d’octave la plus classique pour fixer les idées, la séquence, objectivement (fréquences réelles) et subjectivement (fonctions harmoniques ou psycharithut = 1x, 5/4 — mt =, Mb x, 113— la, =, „19/4 12/3}x, 4/3— ra 5x7? — sol, té; à 15/4)12/3116/3) x, 2/3 3’2 Te? =, 15/4112/3114/3112/31 x, 4/9— «2 at 15/4112/3N4/3N2/34/3)80/81 =, 1 (instruments è sons ron fixes) u ale 1 f=,15/4112/3114/3112/3114/3)=80/81) (instruments à sons fixes) Fig. 1. Identification par tolérance affectant la tierce, 3.1. Idées directrices et but des expériences De ce qui a été exposé dans la premiére partie, ou expliqué dans le précédent article d'Acustica, ou d'autres publications en référence, il ressort en tout premier lieu ceci. Mis à part la simple mesure des rapports de fréquences (ou de longueurs de cordes dans PAntiquité), les expériences d’«acoustique musicale», telles qu'on les a généralement conçues el surtout interprétées, ont été entachées de deux défauts, qui ont prêté à illusion sur la signification réelle de leurs résultats. Pour que des expériences sur le phénomène musical et les conclusions qu'on en tire offrent un caractère de rigueur scientifique authentique, il faut en effet: 1) Qu'elles ne soient pas dominées par des idées dans une «marche harmonique» classique par quintes. (Il n'y a pas incompatibilité entre le incompalibles avec l'expérience musicale directe, ou psycharithme 5x 2" et les quatre psycharithmes déjà inacceptables par définition du phénomène, tel- 3 12%) les que: l'idée que celui-ci peut s'expliquer par des phénomènes localisés dans l'oreille (alors que, 7 Les fonctions absolues (ou fonction de chaque fondamentale relativement à la tonique) ne sont pas indiquées, car ce n’est pas nécessaire pour comprendre comment la séquence est possible, Seules sont indiquées s'agissant d’un phénomène mental bien que matériales fonctions relatives (ou fonction de chaque fondabraux)*; l’idée qu’il faut subdiviser les intervalles en mentale relativement à la précédente, ou psycharithmes définissant chacun des «mouvements harmoniques» successifs de la marche). Les fréquences dont les fréquences objectives sont «intervalles mélodiques» ou de sons successifs (alors que l'harmonie musicale englobe des structures de voisines (par exemple (5/4) (2/3) (4/3) pour le ré) fréquences successives, autant ou plus que de frédevraient en principe être indiquées plutôt en valeurs effectuées; elles ont été laissées sous forme de produits non effectués afin qu'apparaisse leur provenance. également [6]. lisé en données acoustiques, il se localise essentiellement el nécessairement dans les neurones céré- «intervalles harmoniques» ou de sons simultanés, et 8 Outre réf. déjà cit. (notamment [3] et [5]), v

quences simultanées) ; l'idée parallele, mais adoptée par une minorité seulement, selon laquelle il faudrait distinguer deux gammes: une gamme «harmonique» et une gamme «mélodique» ?; l’idée qu'il existe tne «gamme juste», définie par des rapports théoriques invariables pour chaque note !°; l’idée que les intervalles musicaux, avec leurs «rapports simples», s’expliquent par les harmoniques du son complexe. 2) Que soient comprises les données essentielles directement issues de l'analyse des compositions musicales, et qu'il en soit tenu compte. A celte condition seulement, la multiplicité et l’interpénétration complexe des facteurs qui interviennent dans une expérience d’acoustique musicale ne seront pas considérablement sous-estimées. Cela signifie notamment: ne pas confondre «consonance acoustique» et «consonance musicale» en un concept unique; comprendre qu’un rapport théorique ne peut se définir que par la fonction harmonique (indépendante de la simultanéité ou succession, et indépendante des harmoniques), simultanément ne pas oublier qu'une même note de la gamme peut remplir plusieurs fonctions harmoniques différentes; comprendre que la fonction mélodique — grâce à la tolérance harmonique — peut «noyer» les rapports théoriques au profit de la régularité mélodique; avoir connaissance du phénomène d’ «identification par tolérance». 9 Considérons le canon «Frère Jacques», et supposons d'abord la mélodie exécutée à une seule voix: mi fa sol ... ut ré mi utlut ré mi ut| «gamme harune distinguer faut Si l'on croit qu'il monique» (avec tierce 5/4) et une «gamme mélodique» (avec tierce (9/8)*), on attribuera aux mi successifs, et notamment au troisieme, la valeur «mélodique» (9/8)*. Supposons maintenant le canon exécuté à plusieurs voix: mi fa sol ... ut ré mi ut|ut ré mi ut| [ut ré mi... A l'entrée de la deuxième voix, Vut initial forme tierce de sons simultanés avec le troisième mi de la première voix. En vertu de la même hypothèse, on devra donc attribuer, à ce même mi de la première voix, la valeur «harmonique» 5/4. On voit que cette conception est: 1) inapplicable (c'est à dire d'emblée encore moins défendable que la conception zarlinienne ou la conception pythagoricienne) ; 2) musicalement irrecevable pour cette raison plus précise que tous les mi successifs sont musicalement identiques, de même que tous les ut (tonique), parti- ACUSTICA Vol. 27 (1972) (Sur les expériences antérieures faites sur les intervalles, ainsi que les idées qui leur ont été associées, v. par exemple [7] et [8]: récapitulatifs détaillés; [9] v. d’autre part [10]: expérience peu connue mais exceptionnellement significative.) Cela posé, le but des expériences entreprises au sonomètre instrumental a été essentiellement la détermination des rapports théoriques en fonction de la fonction harmonique, et plus généralement la détermination des valeurs théoriques et préférées, en fonction des fonctions harmoniques et mélodiques ou du contexte musical. Parallèlement, ces expériences peuvent permeltre une vérification de la conception générale de ces rapports dans la théorie psych- arithmétique, ou plus spécialement la détermination ou vérification, pour notre système musical, de rapports théoriques qui a priori se présentent comme douteux ou indéterminés, du fait de la généralité de cette théorie. Etant donné la multiplicité des facteurs à déméler (cf. plus haut) de telles expériences ne se conçoivent qu’à la condition de comporter un assez grand nombre de variantes très diverses, cela, pour chaque Jonction harmonique ou pour un seul et même intervalle musical. La première fonction à étudier, la plus intéressante, comme nous l'avons vu, était celle de tierce majeure (soit tierce majeure de tonique dans un accord, soit enchaînement de tierce majeure dans une succession de fondamentales). C'est ainsi qu'une longue suite d'expériences (une trentaine) portant toutes sur l'intervalle de tierce majeure et son renversement, ont été prévues. (Chacune de ces «expériences» se subdivise elle même en un certain nombre de «sous-expériences», dont nous ferons pour Pinstant abstraction.) Dans cette suite sont prévus des contextes musicaux dans l’ensemble de moins en mains simples. A la limite initiale, on a évidemment le «contexte nul», c’est à dire l'intervalle seul. Les quatre premières expériences sont ainsi: expérience n° 1: intervalle ut-mi de sons simultanés; exp. n° 2: renversement mi-ut de sons simultanés; exp n° 3 el 4: idem en sons successifs. 3.2. Remarque sur les expériences sans contexte culièrement les deux ut initiaux à chaque voix, et que conséquemment toutes les tierces ut-mi sont un seul et même intervalle musical, que le mi succède a l'ut ou qu'il lui soit simultané. simultanés sans contexte). 10 La réfutation de cette idée n'entre pas en contradiction avec la réfutation de la précédente: les rapports théoriques sont variables, mais selon la fonction harmonique, non selon que l'intervalle est de sons simul- 1) Elle tombe sous le coup de la critique du caractère artificiel des expériences de laboratoire trop éloignées des conditions de Ja pratique musitanés ou de sons successifs. Considérons l'expérience n° 1 (tierce de sons Elle soulève deux remarques préliminaires: cale réelle.

Vol. 27 (1972) 2) Elle n'est pas nouvelle, et il semble établi depuis longtemps que le rapport exact de tierce majeure, en sons simultanés du moins, est le rapport 5/4. En effet, des affirmations ou interprétations contradictoires des expérimentateurs antérieurs — pythagoriciens et zarliniens principalement — il semblait du moins ressortir que le rapport théorique exact, établi pour les sons simultanés, de l’intervalle de tierce majeure, était le rapport 5/4, au point qu'on pouvait estimer superflu de le vérifier. Pour ces deux raisons, il y avait d'abord lieu d'hésiter à faire cette première expérience: elle pouvait paraître à la fois «mauvaise», et une répétition inutile. Cependant, trois considérations autres incitaient à la faire tout de mème: 1) Dans des expériences voulues systématiques, il ne convenait pas, par principe, d’exclure le cas limite. 2) Un grand flou règne dans l'ensemble des conclusions expérimentales des zarliniens et pythagoriciens, lequel flou n'était peut-être pas entièrement imputable aux interprétations, mais aussi à la complexité du phénomène perceptif et à la difficulté de déméler les facteurs à l'origine des résultats d’expérience bruts. Il restait donc intéressant d'y regarder de près. 3) Le cas limite (absence de contexte) peut être considéré comme celui où la détermination par le contexte est remplacée par la détermination par l'attitude mentale du sujet. L'expérience des lors n’est pas dépourvue de signification; il importe seulement (ce qui ne veut pas dire que ce soit facile) de bien chercher chaque fois la signification musicale (il peut y en avoir plusieurs, à dépouiller au surplus de significations psychologiques non musicales) de la réponse... 341 valeur, etc. Le choix des «sous-expériences» est souvent déterminé par les résultats des sous-expériences antérieures. Elles sont répétées lorsque les réponses des sujets manquent de netteté. L'expérience n° 1 se subdivise en six «sous-expériences», numérotées la à 1f. (Pour alléger et sauf ambiguïté, dans ce qui suit, le mot expérience sera fréquemment employé pour désigner des «sous-expériences».) 3.3.1. Premières expériences sur la tierce de sons simultanés sans contexte (la à lc) La principale difficulté, au début surtout, a été d'obtenir des sujets, dans ce type inhabituel d’expériences, des réponses suffisamment nettes et significatives. Nous avons vu les multiples facteurs d'ordre acoustique, musicologique et psychologique, qui font que le sujet se comporte, non comme une simple variable dépendante des valeurs d’intervalles offertes à l'audition, mais comme une variable d'ellemême partiellement indépendante (intervention par exemple de l’une ou l’autre consonance), II s’y ajoute que même les sujets très musiciens et sélectionnés se comportent comme un appareil à précision limitée. Au total, la cohérence de leurs réponses est toujours imparfaite, parfois médiocre. Cette difficulté n’a été que peu à peu surmontée, principalement par le choix des sous-expériences. Les deux méthodes utilisées dans les premières expériences ont été pour l'essentiel les suivantes: 1° méthode: — interrogation de «préférence» par paires de tierces (dont la première répétée après la deuxième), doublée d'une interrogation de limite de tolérance Il n’y a pas lieu de regretter d’avoir entrepris l'expérience n° 1. Comme on le verra, son résultat, notamment, est — écart de valeur entre intervalles dans chaque incompatible avec les affirmations zarlinienne aussi — marge totale de variation dans une expérience: paire: 4 ou 2 savarts (selon l'expérience) bien que pythagoricienne, et, plus généralement, impossible avec les conceptions habituelles. 2% méthode: 3.3. Expérience n° 1: Tierce de sons simultanés sans — 5/41 8 0, ou 5/460. d'interprétation Les «sous-expériences» dont l’ensemble compose une «expérience» se caractérisent chacune par des conditions particulières telles que: valeurs d’intervalles offertes à l’audition (par exemple, de 5/4 — 6 o a (9/8)* +2, de savart en savart), durée de l’intervalle, ei. répétition, interrogation directe de justesse ou fausseté, sur des tierces jugées séparément contexte forme rythmique pour chaque — valeur des tierces improvisées en cours d'expérience, en fonction des réponses — sujet soit averti, soit non averti des valeurs données à juger; commande des valeurs ordinairement menée par l'expérimentateur, ou confiée aussi au sujet lui-méme.

Résultats: — Dans l’ensemble, le rapport 5/4 l'emporte sensiblement dans ces premiéres expériences. Cependant: — le rapport pythagoricien (9/8)? est quelquefois !! préféré au rapport 5/4, — toutes les valeurs comprises entre 5/4 et (9]8)* (environ 97 à 1020) sont, d'une fagon générale, jugées acceptables ou justes, — par contre, la chute de justesse, en dessous de 5/4 et au dessus de (9/8)*, est brutale. Détails secondaires mais non négligeables: Parfois (selon le sujet, le moment, etc.), le sentiment de justesse, entre 5/4 et (9/8)?, diminue lentement. Parfois, il diminue d’abord puis croit ensuite. Dans ce second cas, le maximum correspondant 4 5/4 est généralement supérieur au maximum correspondant à (9/8)*; mais il arrive que ce soit le contraire (cf. plus haut). Vol. 27 (1972) C’est par ces tout premiers résultats que s’est révélé l'intérêt inattendu des expériences sans contexte. Premiéres conclusions En premier lieu, on pouvait en tirer deux conclusions essentielles négatives (du moins en première approximation, c’est à dire sous réserve de les confirmer par d’autres expériences, ou éventuellement de les nuancer ou préciser) : 1) Si l’on dit que la valeur exacte de la tierce majeure est la tierce dite pythagoricienne (9/8)*, on énonce une proposition manifestement contredite par Pexpérience TM. 2) Si Pon dit que la valeur exacte de la tierce est la tierce dite zarlinienne (5/4), on énonce une proposition qui, sans doute, peut étre considérée comme vraie en considération du résultat prédominant. Mais par omission d’une réalité secondaire qui reste extrêmement importante (intervention manifeste du L'ensemble de tous ces résultats peut se résumer schématiquement par les trois graphiques qui suivent rapport pythagoricien), on fausse, au total la réalité (Fig. 2). barrassant). (et bénéficie de la suppression d'un problème em- Remarques: ® 5/4 19/8)? 976 1020 a) Ces conclusions s’appliquent, non pas seulement aux expériences précédentes, mais à l’ensemble de celles-ci et des expériences antérieures. En effet, sans doute le résultat des expériences précédentes contredit-il à la fois (füt-ce à un inégal degré) Paffirmation zarlinienne et l'affirmation pythagoricienne, prises séparément. Cependant, ce résultat s'accorde avec l’ensemble des affirmations d’ordre ex11 D'une part selon les sujets; d'autre part pour un même sujet, selon les circonstances: d'un moment à un autre, selon l'état d'esprit, selon les intervalles entendus dans les instants immédiatement antérieurs. Pa? E è 12 A moins de supposer que le rapport 5/4 ne l'a È 5% 19/84 emporté qu'en raison de la consonance acoustique, c'est a dire: que dans l'ensemble les sujets ont mal répondu à l'interrogation voulue (visant la consonance musicale), et que, par conséquent, l'expérience n'est qu'à moitié significative: valable pour les réponses (9/8)°, non valable pour les réponses 5/4. Mais cette supposition n'est pas possible. Des sujets musiciens, mème sensibles à la consonance acoustique et perturbés par elle, n'auraient pu choisir ni accepter 5/4, si 5/4 était musicalement faux. Ce qu'on peut admettre au plus, c'est une influence secondaire et contingeante de la 5/4 19/6)" Intervalle — Fig. 2. Premières expériences sur la tierce de sons simultanés sans contexte. (a) ou (b): cas général (c): moins fréquent ensemble des trois cas: 5/4 l'emporte, mais (9/8) intervient dans les trois cas. consonance acoustique (c'est à dire, pour certaines réponses, la coincidence des deux facteurs et le renforcement de l'un par l'autre), non que la consonance acoustique ait été déterminante, uniquement ni principalement. (Ceci est nettement confirmé par la reprise de l'expérience [10], qui montre que sauf exception les sujets non musiciens répondent en fonction de la consonance acoustique, les musiciens en fonction de la consonance musicale.)

Vol. 27 (1972) périmental, et contradictoires, sur lesquelles ces conceptions prétendaient se fonder. Mème sans considérer les nouvelles expériences, on est bien obligé de conclure, soit que zarliniens comme pythagoriciens n'avaient fait que des expériences fragmentaires, soit qu’ils ne retenaient, des données de fait, que la part conforme à leurs conceptions. b) Le résultat confirme — si besoin était — que la conception selon laquelle il existerait deux tierces, l'une dite «harmonique» ou de sons simultanés, à savoir la tierce 5/4, l’autre dite «mélodique» ou de sons successifs, la tierce pythagoricienne, n’est pas soutenable. S'il en était ainsi, la valeur pylhagoricienne ne serait pas intervenue dans des expériences qui portaient toutes sur des lierces de sons simultanés. Discussion: Bien que n'infirmant en rien les conceptions initialement exposées, le résultat de ces premières expériences était surprenant à plus d’un 343 fausse que 5/4 — 26. Or, comme on l'a vu dans l'énoncé des résultats, ce ne fut nullement le cas. Problème. Oublions un instant les conceptions exposées au début, pour nous replacer dans le seul cadre des conceptions généralement admises. Les bases scientifiques de l’esthétique musicale résident dans les données numériques acoustiques des rapports de fréquences des intervalles, éléments Jondamentaux sur quoi se bátissent toute l'harmonie et mélodie musicales. Ces rapports, peut-on dire en un sens, sont bien connus, et même familiers depuis longtemps. Mais que signifie cette connaissance scientifique, n'est-elle pas embryonnaire seulement et bien décevante — voire irrilante — si, en présence de toutes les données en cause et en n’en omettant aucune, on se trouve devant un problème apparemment insoluble? Donnons-en en effet, maintenant, l'énoncé progressif, à partir des conceptions traditionnelles des musicologues (ce qui sera la meilleure manière de titre. Comme il a été expliqué, elles n'avaient guère été récapituler). entreprises que par esprit de méthode préalablement aux suivantes, et il n’en était attendu rien de plus Le zarlinien dit: la tierce exacte est la tierce 5/4. Le pythagoricien dit qu’elle vaut (9/8)*. Le musiqu'une confirmation du rapport 5/4, qu'on pouvait cologue plus prudent dira: il semble que les deux croire depuis longtemps établi par les expérimentateurs antérieurs, tout au moins pour la tierce de sons tierces interviennent. Mais on lui demandera aussiThéorie psycharithmétique mise à part, la seule simultanés. Cela mis à part, certes, en désaccord avec les conceptions traditionnelles, la théorie psycharithmétique admet l’existence, non pas de deux tierces majeures (le fait est que, musicalement, il n’en existe qu'une), mais de deux fonctions en principe possibles de la tierce, pouvant 5x2" et tot: où el comment? se définir par les psycharithmes 312" (ou un enchaînement de quatre psycharithmes 321 2%), et correspondant aux rapréponse qui ait été proposée, tierce dite «harmonique» et tierce dite «mélodique», n’est pas soutenable, ni devant l'expérience musicale directe (identité musicale absolue, à la seule simultancité pres, entre une tierce de sons simultanés et la même lierce en sons successifs), ni, peul-on maintenant ajouter, après l'expérience sus-décrite. De l'ensemble des expériences antérieures, dont de tout contexte déterminant, on pouvait penser que les conclusions sans doute pouvaient paraître assez confuses, complétées et précisées par celle qui vient le premier psycharithme (moins «complexe» au sens d'être décrite — car son résultat, en dépit du caracports zarlinien el pythagoricien. Mais en l'absence de la théorie psycharithmétique) l'emporterait, et que par conséquent le rapport pythagoricien ne se manifesterail pas. Devant le résultat expérimental contraire, une première idée, évidemment, était de penser que la différence de complexité n'empéchait pas l'attitude mentale correspondant au deuxième psycharithme, et qu'on trouvait déjà là, dans le simple intervalle de tierce sans contexte, une confirmation des conceptions exposées. Mais à la réflexion, il est vite apparu que cette explication v'était qu'à moitié tere éminemment variable et nuancé des réponses, est nel et il a été donné complet — il ressort que les deux valeurs interviennent dans l'intervalle de sons simultanés. Ce résultat, sans doute, confirme la théorie psycharithmétique, qui précisément prévoyait deux fonctions harmoniques numériquement correspondantes. A ce moment, on pourrait s'estimer satisfail, si, d'une part, on pouvait se croire dispensé d’expliquer le détail des courbes relevées, et si, d'autre 4 La proximité des deux valeurs ne peut pas être satisfaisante. En effet, si elle avait été suffisante, on invoquée en réponse, car, en règle générale, les interaurait di trouver une petite zone de fausseté plus valles musicaux voisins different autant ou plus que les intervalles éloignés. Lorsqu'on va, par exemple, de Ja franche entre 5/4 et (9/8)*". Par exemple, la valeur 5/4 plus 20 (distante de 20 de 5/4 et de 30 de (9/8)*) eût du apparaître à peu près aussi quinte juste à la sixte mineure, on passe par des valeurs jugées carrément fausses, et inacceptables 11138 bien comme quinte que comme sixte.

part, l’on oubliait qu’avant toute donnée d’expérience provoquée, il existe des données d'observation directe, fournies par la musique elle-même, et qui en tant que telles restent par définition absolument essentielles. Les deux valeurs, disions-nous, interviennent, et ceci paraît bien conforme à la théorie psycharithmétique. Mais cela ne résoud pas tout, car un musicien pourrait répondre: je ne me soucie de tierce zarlinienne ni pythagoricienne, non plus que de ce que prévoit n’imporle quelle théorie, car je sais bien que, musicalement, il n’existe qu’une seule et unique tierce majeure !4, et aucune expérience ni conception ne saurait changer cette réalité musicale première. On voit maintenant assez clairement le problème, et aussi son caractère rigoureusement insoluble avec les conceptions ordinaires. S'il n'existe qu'une tierce, comment se fait-il que, en expérience provoquée, on discerne si bien les deux? Au surplus, si on les discerne, comment se fait-il que la variation de justesse, de l’une à l’autre, soit relativement faible et continue; pourquoi ne trouve-t-on pas de séparation franche de fausseté? Et l’on pourrait encore demander: pourquoi au juste la tierce 5/4 l’emporte-t-elle, et si elle Pemporte, pourquoi n'est-ce pas de façon absolue 15? Quant à la théorie psycharithmétique, elle peut d’abord sembler, en expérience non provoquée, infirmée plutôt — sinon contredite — par l'existence d’une tierce musicalement unique, confirmée par le fait qu'on peut cependant discerner, en analyse musicale, deux fonctions du même intervalle selon le contexte; en expérience provoquée, elle peut sembler confirmée par le résultat principal (intervention des deux rapports), infirmée par les détails (allure des courbes de justesse). En un mot, comment concilier toutes ces données d'expérience musicale directe et d'expérience provoquée, que ce soil avec ou sans la théorie psycharithmétique ? ACUSTICA Vol. 27 (1972) On congoit difficilement que la réponse puisse se trouver ailleurs que dans la conjonction: théorie psycharithmétique, notion d’identification par tolérance, et bien entendu discernement entre consonance acoustique et consonance musicale. On voit aussi que cette réponse, tout en devant étre très voisine de ce qui a été exposé en deuxième partie (Section 2.2), ne peut pas lui étre simplement et absolument conforme (puisqu’on pouvait penser que sauf contexte particulier, il n’y avait aucune raison pour que le rapport (9/8)? intervienne). Mais il serait prématuré de vouloir dès maintenant donner celle réponse; il convient d'exposer d’abord la suite des expériences. C'est ce qui sera fait dans un prochain article d’Acustica. Celui-ci comprendra donc: fin expérience n° 1 (tierce sons sim. sans contexte), conclusion expérience n° 1; expériences n°* 2, 3 et 4 (renversement sixte mineure sons sim., tierce et sixte sons succ.); conclusion générale sur le groupe des expériences n 1 à 4, (Recu le 7 avril 1972.) Bibliographie [1] Tanner, R., Le phénomène d'identification par tolérance; le préjugé de la gamme juste. Acustica 25 [1971], 158. [2] Tanner, R., Le sonométre instrumental. Acustica 21 [1969], 246. [3] Tanner, R., Le problème des rapports simples — Notion de psycharithme, in colloque intern. CNRS n° LXXXIV: «Acoustique Musicale». Edt. CNRS, Paris 1959, p. 83. [4] Tanner, R., La différenciation qualitative des psycharithmes et des intervalles musicaux, n° spéc. Revue Musicale. Richard-Masse, Paris 1972. [5] TANNER, R., Critique de la théorie de «la résonance», in colloque intern. CNRS «La Résonance dans les Echelles Musicales». Edt. CNRS, Paris 1963, p. 63. 4 Dans des systèmes plus subdivisés que le nôtre, les deux tierces pourraient être musicalement distinctes, Mais le problème, tout en se posant autrement, ne [6] Tanner, R., Le rôle de la fusion dans l’appreciation de justesse des accords, in coll. [3], y. serait que déplacé. [7] Francés, R., La perception de la musique. Vriv. Paris 1958, p. 53. [8] Van Essroeck, G., et MONTFORT, F., Qu'est-ce 13 Comme il a été dit déjà, on ne saurait invoquer ici la consonance acoustique ou le phénomène de fusion. Mais même sur cette seule question de préférence, ce phénomène ne constitue pas une explication valable, ne serait-ce que parce que la fusion de la tierce pythagoricienne est pratiquement nulle, alors que celle de la tierce 5/4 est June des plus grandes. Dans ces conditions, si Ja fusion était la cause cherchée, la tierce 5/4 ne devrait pas seulement ¿tre préférée, mais la seule acceptée, car l'autre exclue comme très franchement fausse. 49, que jouer juste? Lumière, Bruxelles 1946, p. 97. [9] Barxkecuut, M., L'évolution de la gamme dans la musique orientale, in coll. [3], p. 39; Les échelles régulières du cycle des quintes et leurs déformations occasionnelles dans les cadres non pentatoniques, in coll. [5], p. 173. Expérience DUSSAUT, R.: v. intervention R. DusSAUT in coll. [3], p. 74; v. même expérience reprise in coll. [5], p. 91.

(Pythagore ou Zarlino) La solution psycharithmétique et experimentale par R. TANNER Centre de Recherches Physique, Marseille Sommaire Le débat sur la valeur «juste» de la tierce, 5/4 ou (9/8)*, date de l'Antiquité. La théorie psycharithmétique lui a apporté une solution, déduite des données de l'expérience musicale directe. Des expériences ont été entreprises au sonomètre instrumental, pour en confronter les résultats avec les conclusions déjà tirées de l'expérience non provoquée. Les premiers de ces résultats ont été communiqués dans un article précédent [1]; dans la deuxième section qui suit du même exposé, on trouvera la suite des expériences, leurs résultats et les conclusions qui s'en dégagent. Tout en confirmant les idées initialement exposées, elles ont apporté un enseignement nouveau sur la généralité du phénomène d'identification par tolérance. Das Problem der ,,zwei Terzen“ (Pythagoras oder Zarlino) Die psycharithmetische und die experimentelle Lösung. II. Zusammenfassung Die Debatte um den “wahren” Wert der Terz, 5/4 oder (9/8)*, begann bereits in der Antike. Die psycharithmetische Theorie hat zu einer Lösung geführt, die auf der Grundlage der direkten musikalischen Erfahrung beruht. Es wurden Experimente mit einem instrumentellen Schallmesser durchgeführt, um die Ergebnisse den Schlüssen gegenüberzustellen, die schon aus der reinen Erfahrung gezogen werden. Der erste Teil dieser Resultate wurde bereits in einem früheren Artikel veröffentlicht [1]; im zweiten Abschnitt, der daran anknüpft, findet man die Folge von Experimenten, deren Resultate und die Schlüsse, die sich daraus herleiten. Obwohl insgesamt die anfänglichen Vorstellungen bestätigt wurden, ergeben sich daraus neue Aufschlüsse über grundsätzliche Fragen der Erscheinung der Identifizierung über Toleranz. The Problem of the “Two Thirds” (Pythagoras or Zarlino). The Psycharithmetic and Experimental Solution. II Summary The detate on the “true” value of the third, 5/4 or (9/8)*, dates from antiquity. Psycharithmetical theory nas brought a solution for it deduced frum data of direct musical experiments. These have been undertaken with an instrumental sonometer in order to compare the results with the conclusions already drawn from casual observations. The first of these results have been communicated in the preceding article [1]. In this second paper which follows the same theme, a succession of experiments, their results and the conclusions are discussed. In confirming the ideas initially set forth they have brought a new viewpoint on a generality of the phenomenon of identification by tolerance. 3.3.1. Nouveau type d’expérience sans contexte (ld) Après le résultat des premières expériences (1 a à lc, [1]), l'intérêt s'est évidemment fixé sur et autour des valeurs 5/4 et (9/8)?. L'expérience suivante a alors été montée: — enregistrement sur bande magnétique d'une suite arbitraire et irrégulière de 40 tierces, de valeurs comprises entre 5/4 — 5 et (9/8)° +5 0, — chaque valeur donnée sous forme de trois tierces consécutives, assez brèves, — petites variations (de 1 à 20), fréquentes dans l'expérience, autour des valeurs 5/4 et (9/8)°; autres valeurs données plus rarement, — question posée: pour chaque valeur, répondre simplement par «bon», «mauvais», plus, éventuellement, les jugements atténués «assez bon», «peu mauvais». (Cotation arbitraire: «mauvais»: 0; «peu mauvais»: 1; «assez bon»: 2; Le résultat de cette expérience a été décevant. D'une part, il est apparu que la finesse de l’expé-

Vela dem rience, autour des valeurs 5/4 et (9/8)?, dépassait la -- valeurs produites dans Pexpérience: toutes les précision des sujets. D’autre part, la négligence relative, au profit de ces valeurs, des valeurs plus écartées, avait été excessive: malgré des réponses plus nettes pour ces valeurs, il s’avérait que celles-ci avaient été produites un trop petit nombre de fois valeurs comprises, de 2 en 2 0, entre (5/4) —66 et (5/4) +20, et (9/8)°—20 et (9/8)?+60 (entre (5/4) +26 et (9/8)? — 2 o, l'écart est de dans Pexpérience. Toutefois, en interpolant beaucoup, cette expérience a donné une courbe moyenne de «préférence» légèrement ascendante de 5/4 a (9/8)?+ 1 6, avec chute de justesse avant et après. L'écart de lo pouvant s’interpréter comme une erreur d’expérience, on peut estimer que cette expérience confirmait, de façon floue, le résultat général des toutes premières (Fig. 3). | | 1,140) — chaque valeur apparaissant cing fois dans l'expérience — chaque valeur donnée sous la forme (Fig. 4): J 100 Fig. 4. Forme de l’expérience. — expérience faite deux fois par la plupart des sujets. ] ' — 10 =— È = 1 = || = | t | | t | | | | I | | | | |{ | | | | s/t (9/81? | | 5/4 19/81 @) | | Intervalle ——— | Fig. g 3. Nouveau yp type d’expérience | | (essai). La légére préséance de (9/8)? sur 5/4 ne pouvait guére étre considérée comme significative. Cependant, elle était intéressante à relever en ce qu’elle laissait | | | i i 3 5 Ik 19/81 2|© — supposer que la préséance contraire, relevée dans les expériences 1a à 1c, ne l’était probablement pas | AT TS N | N | | | davantage, d'autant moins que, dans ces expériences | | ! L mêmes, ce n’était qu'un résultat d'ensemble, avec 5/4 (9/8? I | aussi préséance de (9/8)? dans certain cas. On ©) pouvait même se demander si, dans les premières expériences, la préséance de 5/4 ne venait pas de Pin | conditions particulières qui les auraient un peu faussées, à savoir: parce que le résultat attendu était 5/4, la marge des valeurs offertes à l’audition avait été également répartie de part et d’autre de 5/4, et cela pouvait avoir un peu favorisé 5/4 au détriment de L’expérience 1 d a surtout servi á apprendre comet réaliser les expériences, pour pouvoir tirer des sujets des réponses plus nettes. 3.3.2. Expérience le Une expérience similaire á la précédente a été montée, avec modifications suivantes: — | | | y L 5/4 19/84 | Intervalle — = Fig.5. (a), (b), (c) exemples de résultats individuels, (a) Réponse sans particularité marquée, d’un bon sujet musicien. (b) Sujet très musicien, doué d’une oreille très fine, acousticien et mathématicien de profession, que l’expérimentateur savait porté à juger, conciemment, en fonction de la «consonance acoustique» (fusion, battements). (c) Sujet très musicien, ignorant tout de l’acou- 50 valeurs d'intervalles en succession irrégulière (durée de l’expérience: 20 minutes; ceci constitue un maximum pour [attention des sujets) | (d) résultat brut moyen d’un groupe. (9/8)?. ment concevoir | (d) stique, et s'étant toujours présenté comme indifférent à tout ce qui peut être auditif sans être spécifiquement musical. Résultat moyen d’un groupe de sujets ayant fait deux fois l'expérience.

Vol. 27 (1972) Les réponses ont été incomparablement plus net- —- tes. Elles Pont même été suffisamment pour faire ressortir des différences personnelles entre les sujets, nettement discernables d'une loi générale commune Pouriénftéerveanlcemthaexoirmngume (Fig. 5). 3.3.3. Dernier type d'expérience (1f) Audition alternée des tierces 5/1 et (9/8), sous des formes diverses (brèves ou longues, répétées ou . Résultat général de l'expérience n° 1 (tierce de sons sim. sans contexte). Contrairement aux conceptions habituelles, il n'est pas expérimentalement ressorti, en fait de rapport théorique, une valeur précise et unique, mais toute une bande de fréquences. (Au ment, la tierce 5/4 est annoncée «x»; la tierce (9/8)? «y», de façon à ce que les sujets puissent les distinguer tout en en ignorant la valeur. Question posée: préférence entre x et y. point de vue acuité auditive, des valeurs comprises entre 5/4 et (9/8)* sont parfaitement Résultat: préférences de (9/8)° légèrement plus discernées; mais musicalement, tout se passe comme si ces valeurs se confondaient en une seule.) nombreuses. (Remarque très intéressante: le sujet de la deuxième des quatre courbes ci-dessus a jugé les deux 3.4. Conclusions sur l'expérience n° 1 (Tierce de sons simultanés sans contexte) 3.4.1. Résultat général des expériences et conclusions principales (en partie sous réserve des ex- L 5/& = 19/8 Intervalle — non, répétées en rythmes divers). A chaque changetierces également bonnes.) 347 — L'identification par tolérance des rapports théoriques 5/4 et (9/8)? n'est pas un phénomène circonstanciel seulement, déterminé par un contexte particulier; il s'agit d'un phénomène gé: néral, se produisant même sans contexte. — Les fonctions psycharithmétiques correspondant aux rapports théoriques musicalement confonpériences ultérieures: sons sucdus (5/4 et (9/8)?), soit les fonctions 5x2" et cessifs, renversement de sixte) 34x 2” (ou enchainement de quatre fonctions 37) x 2”), restent cependant ou peuvent a priori Il est net que la conclusion générale de l’ensemble de toutes ces expériences doit s'exprimer par le graphique suivant, à la fois très simple, mais d'une signification — ou disons plutôt implication — assez complexe !. Cette implication, avec les précisions qui s'y annexent, est la suivante: — tierces 5/4 et (9/8)? également justes musicalement, ainsi que valeurs intermédiaires; — tierces 5/4 et (9/8)? parfaitement discernées auditivement; — tierces 5/4 et (9/8)? non discernées musicalement. (Il n’existe pas, en musique, deux tierces majeures, l'une zarlinienne et l’autre pythagoricienne, mais une seule. Tout se passe, musicalement, comme si la bande objective comprise entre 5/4 et (9/8)? était réduite à zéro, soit comme si on avait: 5/4 = (9/8)? — ce qui est vrai dans la marge de tolérance du mi quelle que soit sa fonction harmonique.) * Les deux parties en pente, dans la courbe de justesse, au lieu d'être droites, pourraient être plus ou moins concaves ou convexes — détail d'ailleurs de peu d'intérêt, et qui dépend de la cotation arbitraire des réponses; par contre, la partie médiane s'entend bien: droite et parallèle à l'axe des abscisses. rester distinctes. (Elles le peuvent suivant le processus général décrit du phénomène d'identification par tolérance: en étant remplies par un intervalle musicalement conçu ou perçu comme unique (conformément à ce qui précède), de la même manière que les fonctions octave de tonique (1x2) et quinte de sous- dominante (37? x 3 x 2), quoique distinctes, sont remplies par le méme intervalle d’octave — sans intervention cette fois de la tolérance, ni, par celle-ci, identification de deux intervalles théoriques différents en un seul.) _ Toutefois, l'existence réelle d'un psycharithme 31 2", dans notre pratique musicale, reste douteuse. C'est, en effet, ce qui ressortira de la discussion qui suit. l’enseignede 3.4.2. Interprétation ment nouveau apporté par les expériences: la généralité du phénomène d’identification par tolérance Par rapport aux conceptions exposées dans les première et deuxième parties [1] l'intervention

même sans contexte du phénomène d'identification par tolérance — soit l'intervention généralisée du phénomène — constitue l'apport proprement positif des expériences, signalé tout au début. (Pour le reste de ces conceplions, elles n’ont fait que les vérifier entièrement; nous y reviendrons en dernier lieu.) Ce résultat émergeant sollicite donc tout spécialement d’être discuté, et si possible expliqué. Deux hypothèses — face à ce résultat — sont possibles en ce qui concerne le ou les psycharithmes intervenant dans la perception musicale de l’intervalle sans contexte: 1) Entre Put et le mi (dont la fréquence théorique est à la fois 5/4 et (9/8)? par identification par tolérance), les deux relations psycharithmétiques (5 x 2" et 34x 2") s’établissent à la fois. 2) Entre les mémes notes (et malgré cette méme fréquence théorique double du mi) seule s’établit la relation psycharithmétique la moins complexe, c’est a dire 5 x 2”. La premiére hypothése, par son allure plus simple ou plus homogène, peut paraître d'abord la plus séduisante. Elle bénéficie aussi de cette objection qu’on pourrait faire à la seconde: pourquoi — dans cette seconde hypothèse — aurait-on trouvé expérimentalement, comme fréquence théorique du mi, la bande de fréquence 5/4 à (9/8)?, et non pas tout simplement 5/4? Cependant, la première hypothèse n'est guère plausible pour les raisons suivantes: a) Du moment qu’un psycharithme suffit pour qu’il y ait perception musicale, on ne voit pas pourquoi — sans cause vraiment déterminante — il s’en produirait deux simultanément. b) Tout intervalle se prête en principe à plusieurs psycharithmes. Mais lorsqu'on fait entendre par exeraple une octave sans contexte, il serait manifestement fantaisiste de soutenir quese produisent alors les deux psycharithmes 1 x 2 et 371% 3 x 2. Le psycharithme 371% 3x2” n'intervient qu’en présence d’une sous-dominante dans le contexte. Vul. 27 (1972) de la deuxième fréquence théorique (9/8)°. Que conclure et d'abord comment poursuivre? Ici se place une remarque essentielle. Le dilemme des deux hypothèses (par lequel on aboutit finalement à pencher plutôt pour la seconde) est imposé par le résultat expérimental; les conclusions évidemment eussent pu être autres si le résultat avait été autre. À première vue, cette supposition peut paraître dénuée de sens, car un résultat expérimental est ce qu'il est. Cependant, si l’on tient compte de la généralité d'application de la théorie psycharithmétique (suffisante, par exemple, pour avoir permis l’explication d’un systeme musical datant de vingt siècles, celui de l’Antiquité Grecque [2]), et, face à cette généralité, de la particularité des sujets utilisés pour les expériences, la supposition acquiert une signification et même une signification importante. Les sujets, en effet, étaient particuliers en ce sens que c’élaient tous des musiciens, et appartenant à une longue culture musicale, la nótre?. A partir de cette remarque, on peut penser que des sujets musicalement vierges — mais déja capables de perception musicale — n’auraient peut-être pas fait apparaître le rapport (9/8)? dans le résultat expérimental *. Les expériences, certes, ne comportaient aucun contexte rendant nécessaire l’identification par tolérance des deux rapports théoriques; mais en s’y prétant, les sujets cultivés apportaient avec eux toute leur expérience musicale passée. Celle-ci leur avait longuement appris cette identification (probablement, à l’origine, par des séquences du type de celle analysée dans la deuxième partie ([1], 2.2). Cette identification assimilée et définitivement assimilée, on conçoit qu’elle ait continué à se produire même Jè où elle n’était pas nécessaire (c'est à dire dans les expériences sur l’intervalle isolé). En un mot, on pourrait presque dire que ces expériences, soi-disant sans contexte, en comportaient un, ou du moins un contexte général: c) Ceci répond ou répond en partie à Pobjection * Du point de vue expérimental, il y a là un dilemme dont on ne peut pas sortir: ou l’on emploie des à la deuxième hypothèse: celle-ci suppose que les sujets non musiciens, mais alors, ou ils sont incapables choses se passent de la même manière pour la tierce, de répondre, ou Von en tire des réponses qui ne sont à l'intervention près de l'identification par tolérance pas celles qu'on leur demande (consonance acoustides fréquences théoriques. que), ou des réponses d’une incohérence telle qu'on ne Ainsi, la première hypothèse (deux psycharithmes) fournit automatiquement une explication du résultat expérimental de l'intervention des deux fréquences théoriques; mais elle est difficilement admissible. La deuxième hypothèse (un seul psycharithme: 5 x 2”) est en soi nettement plus plausible (considérations a et b), et d’abord admissible (considération c). Mais, par elle-même, elle laisse sans explication l'intervention, sans contexte déterminant, peut rien en tirer; ou l'on emploie des sujets musiciens, mais alors on est bien obligé de les accepter tels qu'ils sont: avec leur culture acquise. 3 Cf. note précédente: Il faut remarquer que des sujets musicalement vierges mais capables de perception musicale sont pratiquement déjà une fiction, car précisément, la capacité de perception musicale ne s'acquiert et ne se développe qu'avec la culture musicale. 4 Peut-être eüt-ce été le cas de sujets de l’époque préclassique (celle qui a précédé le tempérament égal).

Vol. 27 (1972) celui de toute la musique antérieurement entendue par les sujets, et enregistré dans leur mémoire. Peut-étre n’est-ce qu’avec les considérations précédentes que l’objection à la deuxième hypothèse peut être considérée comme parfaitement réfutée: pour expliquer l'intervention des deux rapports dans le résultat expérimental, il n’est pas nécessaire d’invoquer l'intervention de deux psycharithmes; la provenance du deuxième rapport réside quasi-certainement dans le «contexte» culturel. 3.4.3.1. Justification 349 expérimentale directe de la distinction des deux sortes de «consonance» On a vu, par différents exposés déjà cités, la nécessité d'une distinction ct d'une distinction fondamentale, entre ce qui a été appelé — a défaut de meilleures étiquettes — la «consonance acoustique» (fusion, battements, perception de timbres a valeur esthétique) ct la «consonance musicale» (consonance liée aux rapports de fréquence, mais indépendante des critéres de la premiére). Cette démonstra- Si, d’après ce qui précède, l'existence effective tion, peut-on estimer, se suffisait à elle-méme. Cepend'un psycharithme 31x 2", dans le réel de notre pratidant, elle se fondait sur des raisonnements dans que musicale, semble plutôt à rejeter”, ce qui reste certain, rappelons-le, c’est l'existence de sommations l’ensemble assez abstraits et indirects. Le résultat qui vient d’être exposé apporte la de psycharithmes 3*! x 2" au nombre de quatre (par justification peut-être la plus directe — bien qu’au mouvements harmoniques successifs de fondamentale à fondamentale, comme exposé dans la deufond superflue — de la distinction entre les deux xième partie), assimilés par identification par toléque», pour le rapport 5/4, est incomparablement supérieure à celle du rapport (9/8)?. Si la «consorance, dans leur aboutissement, à un psycharithme u y Il faut noter que les conclusions exposées jusqu'ici sur l’expérience n° 1, ou une partie d’entre elles, ne peuvent s'entendre d’une validité et portée tout à fait générale que sous réserve d’être confirmées par des expériences analogues, portant sur l'intervalle de sons successifs et le renversement de sixte. (C'est ce qui sera vérifié plus loin.) «consonances». En effet, la «consonance acoustinance musicale» s'identifiait simplement à la «consonance acoustique», on n’aurait pu trouver expérimentalement, pour le rapport (9/8)*, une «préférence» égale — ni même à peu près égale — à celle relevée pour le rapport 5/4. | La nécessité de distinguer deux sortes de «consonances» est donc expérimentalement indiscutable, 3.4.3.2. Démonstration expérimentale la plus directe de ce que la «consonance acoustique» n’est 3.4.3. Conclusions générales annexes Bien qu’elles n'aient pas constitué le but proprement dit des expériences, d’autres conclusions s’en dégagent, Elles sont importantes parce qu’elles sont d'ordre très général et concernent la question capitale de la consonance. (Cette seconde sorte de conclusions peut, cette fois, s'énoncer sans aucune réserve.) 5 On trouve dans la musique moderne, depuis l’époque de Debussy, des accords de quintes superposées (ou renversements) du type ut-sol-ré-la-mi, qui pourraient être par ailleurs invoqués à l'appui de son existence. En discuter à fond nous entrainerait trop loin. Bornons-nous à une série de remarques. Un accord est fait de notes, chaque note ou son est décomposable en harmoniques ou en partiels. En jouant avec les notes, on compose des accords différents; en jouant avec les harmoniques on joue sur le timbre. Il n’est pas impossible de faire interpénétrer les deux jeux, c’est à dire qu'on peut obtenir, par certains assemblages de notes, des effets de timbre. Dans ce cas, on peut soutenir que certaines notes, dans un accord, jouent le rôle non de notes, mais d’harmoniques ou de partiels (comme dans une cloche, ou comme dans un instrument à timbre riche). Les modernes ont de plus en plus recherché les effets de timbre. Sous sa forme la plus pure (classiques), la musique a toujours négligé le timbre. pas à la base des intervalles, des accords, de leur «consonance» véritablement musicale ni de l'harmonie en général Cette seconde conclusion n’est qu’un corrollaire de la précédente. En effet, dans les conceptions exposées, la «consonance acoustique» se définit suivant les conceptions physiques traditionnelles (erronées) de la consonance tout court, c’est à dire: comme essentiellement liée aux rapports entre harmoniques ou entre ‘partiels, et indirectement liée — par voie de conséquence — aux rapports entre fréquences (ceux-ci déterminant automatiquement et mathématiquement des rapports entre harmoniques); la «consonance musicale», elle, est définie comme seulement liée aux rapports de fréquence des intervalles. Si (comme l'expérience le prouve) la «consonance acoustique» se rencontre ailleurs qu’en musique, s’il existe en musique une autre «consonance», loujours présente et indépendante de la première, c'est que la véritable consonance, en musique, n’est pas la première, et qu'elle est la seconde (d’où la justification de son appellation plus restrictive: «consonance musicale»). Ce qui précède expériences à cel — c’est à dire le résultat des égard peut être considéré

comme une justification supplémentaire® de la théorie psycharithmétique. En effet, d’une facon générale quoique sous des aspects plus ou moins différents, toutes les théories antérieures ont tenté d’expliquer la musique par la consonance acoustique. Ce faisant, elles passaient à côté du problème et ne présentaient donc qu'une apparence scientifique. (Car l'emploi de notions scientifiques ne constitue nullement le critère de la science. Celui-ci ne réside véritablement que dans la rigueur des raisonnements et l'adéquation aux données de l'expérience.) La théorie psycharithmetique, en s’attachant à expliquer les propriétés de l'intervalle ou du rapport de fréquence abstraction faite du timbre, de la fusion, etc. («explications» séduisantes mais au départ et par définition de la musique forcément fausses), a bien pris pour objet la véritable consonance musicale, telle qu’elle se pose expérimentalement; et c’est bien de cette consonance, ainsi que des formes et lois musicales qui se bâtissent sur l'élément de base intervalle, qu’elle rend compte dans ses développe- L’equivalent Passons maintenant aux expériences sur le renversement de sixte et les intervalles de sons successifs, c’est à dire au complément nécessaire pour pouvoir confirmer et généraliser — ou au contraire infirmer — ce qui pouvait rester de provisoire dans les conclusions exposées pour la tierce de sons simultanés. 3.5. Expérience n° 2: Sixte mineure de sons simultanés sans contexte La fonction harmonique — telle du moins qu'elle se conçoit dans la théorie psycharithmétique — est indépendante, non seulement de la simultanéité ou succession des deux notes composant l’intervalle (v. plus loin expériences n°* 3 et 4 complétant 1 et 2), ainsi que de la fusion des harmoniques au sens de SrumPF-HELMHOLTZ, mais aussi et avant tout de la situation d’octave de la note référée relativement à la note de référence (fondamentale dans l'accord, tonique dans le morceau). Une premiére chose a vérifier, après l'expérience n° 1 (intervalle ut-mi de sons simultanés), était qu’en faisant des expériences similaires sur le renversement de sixte mineure (intervalle mi-ut de sons simultanés), on aboutissait à des résultats analogues. 6 «Supplémentaire» en ce sens qu'il ne s’agit que d'une justification accessoire par l'absurde, et dont la théorie psycharithmétique eüt pu fort bien se passer: celle-ci se fonde avant tout sur des considérations expérimentales musicalement positives en même temps que générales, et elle se vérifie par la confrontation de ses conséquences a priori avec les données musicales de des Vol. 27 (1972) expériences n°] a donc été repris pour le renversement de sixte (sauf que les enseignements des premières ont permis de supprimer certains tátonnements ou variantes inutiles, et ainsi progresser plus vite). 3.5.1. Expérience 2e — Une suite arbitraire de cinquante sixtes, de valeurs comprises entre 8/5 + 66 et 27/3? G 0, est offerte à l'audition des sujets. Les variations de la suite sont exactement parallèles à celles de la suite de tierces de Pexpérience le. Les valeurs utilisées s’écartent donc de deux en deux savarts (sauf entre 8/5—26 et 2*/3*+126), chaque valeur apparaît cing fois dans l'expérience. — Forme pour chaque valeur (Fig.7): la même, d=100 ments. fait. ACUSTICA R. TANNER: LE PROBLEME DES “DEUX TIERCES” II 350 Fig. 7. Forme de l’expérience. en sixtes, que celle de l’expérience 1 e. — Méme question posée: répondre chaque fois par «bon» (cotation 3), «mauvais» (0), éventuellement «assez bon» (2), «peu mauvais» (1). (L'expérience a été faite deux fois, avec les mémes sujets sélectionnés. Ceux-ci étaient aussi en majeure partie les mêmes que ceux de P'expérience analogue 1 e pour Ja tierce.) Résultat général de l'expérience 2 e (Fig. 8) : ! I I n I I È 7 | Prefer | Ss | | ! +56 + +2 B/S -2 +2 279" -2 Intervalle ——+ -£ -i¢ Fig. 8. Sixte mineure sons simultanés (sans contexte). Pointillé: résultat brut, trait plain: résultat significatif 7. 7 Tenu compte des conditions d'expériences et du détail des réponses, la légère supériorité, dans le résultat brut, du rapport dit zarlinien (8/5), sur le rapport dit pythagoricien (27/34), ne peut pas être considérée comme significative (comme le confirme d’ailleurs le résultat de l'expérience suivante 2 f, faite avec les mêmes sujets). Le léger renflement de la courbe, vers la valeur 8/5 — 2 0, n’est pas significatif non plus, ni la légère concavité ou convexité de la courbe à l'extérieur des valeurs 8/5 et 27/34, (Cette concavité ou convexité, liée à la cotation des appréciations subjectives, n’intervient de toute façon pas dans l'interprétation du résultat.)

Vol. 27 (1972) 8.5.2. Expérience 2f 351 3.6.1. Expérience 3e — Résultat (Fig.9) — Audition alternée de sixtes 8/5 et 27/33, à Pinsu de leurs valeurs par les sujets, sous diverses formes (sixtes brèves ou longues, répétées ou non, etc.). A chaque changement, la sixte 8/5 est annoncée «x»; la sixte 27/31 «y». Question posée: préférence entre x et y. | Préférence Ì | | | 56 -h -2 51 +2 -2 198% +2 Intervalle Résultat de l'expérience 2 f: Brut: le nombre des preferences pour 27/3? est légèrement supérieur à celui des préférences pour 8/5. Significatif: les deux sixtes sont également acceptées $, dl +66 —— Fig. 9. Tierce majeure sons successifs (sans contexte). Pointillé: résultat brut, trait plein: résultat significatif. 3.6.2. Expérience 3f — Résultat Brut: nombre de préférences pour 5/4 légérement supérieur à celui des préférences pour (9/8). 3.5.3. Résultat général de l'Expérience n°2 Significatif: les deux tierces également bonnes. Les résultats de l'expérience n° 3 sont donc bien C'est celui de la courbe «en trapèze» ci-dessus, qui déjà constituait le résultat significatif de l’expérience 2e. Ce résultat général pour le renversement de site conformes à ce qui avait été prévu. 3.7. Expérience n° 4: Sixte mineure de sons successifs (sans contexte) (de sons simultanés) est donc le même que celui de Variantes analogues (4 e et 4 f) l'expérience n° 1 pour la tierce (de sons simultanés Résultats: similaires (Fig.10). également). 3.6. Expérience n° 3: Tierce majeure de sons successifs (sans contexte) Les expériences n® ] et 2 infirmaient: la conception zarlinienne, la conception pythagoricienne, et aussi la conception «raixte», selon laquelle le rapport zarlinien serait le rapport juste en sons simultanés, et le rapport pythagoricien le rapport juste en sons successifs. Plus précisément, elles infirmaient cette conception mixte dans sa première moilié. 11 restait donc à prouver que le rapport (9/8)? (ou 27/31 pour la Ì Préf—érence +66 | | | | ' +4 +2 8/5 -2 +2 DIX -2 Intervalle Lo -66 - Fig. 10. Expérience 4e: sixte mineure sons successifs (sans contexte). 3.8. Conclusions générales sur l’ensemble des expériences n°1 à 4 (tierce et renversement de sixte, de sons simultanés ou successifs, sans contexte) sixte) n’était pas plus spécifique des sons successifs que le rapport 5/4 (ou 8/5) ne l'était des sons simultanés. En termes plus généraux, si — suivant les conceptions exposées plus haut — Ja fonction harmonique et par suite les rapports théoriques sont indépendants de la simultanéité ou succession, on devait vérifier que, en faisant sur Jes intervalles de sons successifs des expériences analogues aux expériences 1 et 2, on obtient le même résultat, et non un résultat différent. (Ces expériences ont élé limitées aux analogues des variantes le, 1 f, 2e, 21, les plus significatives et estimées suffisantes.) Les résultats des expériences n°* 2, 3 et 4 sont exactement ceux qui avaient été prévus a partir des conceptions initialement exposées, à savoir tout simplement: aucune différence lorsqu’on passe des sons simultanés aux sons successifs, ou lorsqu'on passe de l'intervalle de tierce à son renversement. En conséquence, les conclusions générales pour l’ensemble des quatre expériences restent exactement les mêmes que celles qui avaient été déjà tirées pour la première, à ceci près qu'elles prennent un caractère absolu et généralisé, et que les réserves qui avaient été faites peuvent être levées. 8 Dans l'expérience 2f, la légère supériorité des préférences pour 27/31 est manifestement due au hasard. Si on lui rapproche le résultat de l'expérience 2e (où l'on constate le contraire), le caractère non significatif de cette supériorité est confirmé. En particulier, soulignons que beaucoup de musicologues — et non pas seulement pythagoriciens — auraient pu s'attendre à ce que, dans les expériences avec sons successifs (n% 3 et 4), ce soient les rap-

ports (9/8)? et 27/34 qui l’emportent. Nous avons bien vérifié que les rapports pythagoriciens n’étaient pas plus spécifiques des intervalles de sons succes- ACUSTICA Vol. 27 (1972) Tableau, Groupe d’expériences sans contexte sur la tierce majeure, renversement sixte mineure, sons simultanés et successifs, sifs, que les rapports zarliniens ne l’étaient des sons Résultats: simultanés. Enfin rappelons et soulignons, pour terminer, 1) Infirmations: l'apport proprement positif de toutes ces expériences — de la conception pythagoricienne, — de la conception zarlinienne, — de la conception mixte, — de l’idée selon laquelle il existe une (le seul qui n’ait pas été prévu) : l'identification par tolérance n’est pas seulement un phénomène occa- “gamme juste“, définie par un rapsionnel, déterminé par des conditions de contexte constant pour l'intervalle ou la note de la gamme port théorique fixe et unique pour chaque note. Fin controverse ,,pythagoriciens-zarliniens“, par démonstration expériconsidérée. mentale directe: le débat reposait sur musical particulier; c'est un phénomène général, un problème mal posé, issu de l’idée commune précédente. Tel est donc, à proprement parler, le véritable enseignement apporté par ces expériences. Elles ont montré que les idées qui les ont précédées — issues 2) Verifications: de la théorie psycharithmétique et de la notion — de l'existence des deux rapports théoriques pour le même intervalle (conformément à la théorie psycharithmétique), d'identification par tolérance — étaient plus géné- : — de leur indépendance de la simultanéité ou succession, ralement vraies qu’il n’avait été cru. On trouvera, dans le Tableau suivant, l'essentiel de — dela dualité consonance acoustique toutes ces conclusions. Elles sont énoncées, non du — du phénomène d'identification par point de vue de la théorie psycharithmétique, mais tolérance, — de l’invalidité de la théorie de la fusion (vérif. complémentaire directe). — consonance musicale, du point de vue très général des conceptions ad- | mises en musicologie, dont il importe en premier lieu de faire ressortir le caractère erroné. Quant 3) Enseignement aux psycharithmes qui interviennent, on pourra se imprévu: reporter à la discussion et aux conclusions déjà exposées pour la tierce de sons simulanés, et qui bien entendu sont généralisables au renversement de sixte el aux intervalles de sons successifs. Caractére général, et non pas seulement circonstanciel, de l'intervention du phénomène d'identification par tolérance, dans la détermination de la fréquence théorique d’une note de la gamme. (Sur la relation entre psycharithmes et fréquences théoriques, v. texte principal) Bibliographie [1] TANNER, R., Acustica 27 [1972], 335. [2] Tanner, R., La Musique Antique Grecque, expliquée par une conséquence de la théorie psycharithmétique. Richard-Masse, Paris 1961. (Recu le 7 avril 1972.)