Il numerp e il bello nel trasferimento della conoscenza

Dalla tradizione pitagorica INDICE al futuro della cultura e della scienza in Calabria Simposio Internazionale di Studio Pierro De Leo, Presentazione Gaetano-Vallene; Saluti del Sindaco di Tropea (Tropea-Palmi, 12-14 giugno 1997) — a cura di Pietro De Leo 5) Vincenze-Cappelletti, Introduzione 1 Vincenzo Cappelletti, Pescatori di teoremi e promotori di cultura 1 Y) [> dDde 2 Roshi Rashed, Les échanges en Méditerranée: l’exemple de l'optique 3 Saverio Avveduto, La tradizione pitagorica 2313 I7 4 Sandro Petruccioli, Un permanente tema pitagorico: 31 — > $ \24 49-> d25 Se Jib 631, sa) Vittorio Emanuele Esposito, Nel labirinto delle complessità: le coordinate pitagoriche SICA DT dI2$ \ Saverio Ricci, Filosofia e vita della città: il pitagorismo di Nicola Antonio Stigliola 9 dIY 151, 9:35 \\ Vittorio Mathieu, Pitagoriso Giuseppe Lo Cane, I/ senso di una tradizione metodologico-scientifica: Pasquale Galluppi, Rubbettin 8122 25 >» d (33 la matematizzazione del mondo Gabriele Giannantoni, Aristotele e i Pitagorici Enrico Berti, L'origine pitagorica dell'analisi geometrica + Luigi Pepe, I/ Pitagorismo e la matematica Marco Somalvico, Dai numeri ai simboli e dai simboli ai numeri x > YA a\ 127 — gISI filosofo della matematica \3. Simonetta Valtieri, Euclide e Pitagora: proporzioni armoniche e rapporti musicali {Y Giuseppe Frega, I/ ruolo delle Università Regionali \S' Giuseppe Borgia, La Calabria: per un ponte culturale e scientifico tra Europa e Paesi del Mediterraneo 6 Giuseppe Caglioti, I/ nuzzero e il bello nel trasferimento della conoscenza Dan V. Segre, Convergenza e conflittualità mediterranea l . A. ' { 8 Mario Giancotti, L'agorà Telematica: «Nuova» Scuola Italica. \ 149 32 > &\ 35 51 > S'3U ° della Sapienza 153 134 165 3! IG 171 & \ 75-56 bo Vincenzo C'appettttà (a) adis l'ivstorstli l'aammesiiziazazicana:

Giuseppe Borgia È venuta alla luce, quindi, una «questione calabrese», non definita seltanto dai differenziali socio-economici e dagli strumenti di organizzazione culturale che accentuano le distanze della regione rispetto alle altre aree meridionali. Per distinguere e comprendere aspetti e momenti del passato e per chiarirsi la stessa condizione presente, si è andato rafforzando il bisogno di conoscere la propria storia regionale: non solo, fin dove possibile, la propria identità collettiva ma i fatti e le trasformazioni che, in un pluri- Giuseppe Caglioti! Il numeroe il bello nel trasferimento della conoscenza millenario arco di vicende, hanno contribuito a formarla. Senza negare le difficoltà di individuazione dei punti originari della nostra storia e dei contraddittori successivi svolgimenti e senza cancellare le cime di una civiltà magnagreca che in Calabria ebbe un eloquente dispiegamento si vuole proporre una lettura politica della realtà calabrese, capace di essere quel ponte di civiltà mediterranea che è nella realtà geo-politica della regione. E proprio attingendo ai valori della cultura magnogreca che si è sviluppato nel tempo un progressivo approccio alle problematiche socio — politico — culturali dell’area del Mediterraneo. E così dalla Magna Grecia si è dipartita una lunga trama di relazioni che anche oggi fa del nostro Paese il più interessato e il più vicino alle attese di dialogo costruttivo che è dei popoli che si affacciano sul Mediterraneo. La politica estera dell’Italia ha vissuto in questi ultimi decenni significative stagioni di valorizzazione degli scambi culturali e non solo culturali con i Paesi del Mediterraneo, così come di tutela degli interessi socio — economici degli stessi. L'Europa ha, conseguentemente, tratto vantaggi significativi dall’accresciuta conseguente consapevolezza della sua essenza culturale, che affonda le radici nella cultura classica e nella fede cristiana. E di questo la comunità dei Paesi europei non può non sentirsi debitrice al Mezzogiorno d’Italia, e, in particolare, a questa terra di Calabria, che seppe essere fucina di formazione umana attingendo ai valori della cultura classica. Pitagora, come ogni creatura sensibile, fu verosimilmente influenzato dalla bellezza dei luoghi in cui mise a frutto la sua creatività. Lungo le coste calabre, la vegetazione si sviluppa lussureggiante, fino a farsi lambire dalle onde del mare. Sicché l’occhio di chi è attento al bello può cadere su sorprendenti composizioni floreali, ad esempio di alium roseum, quale quella riprodotta in Fig. 1: qui il numero, ma in particolare, guarda caso, i numeri pitagorici (Pepe, 1997) diventano struttura. E stimolano una riflessione sul fascino della bellezza e sul potere di seduzione che la bellezza ha su ciascuno di noi, nonché, a monte, sul perché del bello. Il numeroe il bello dunque. Entriamo così nel vivo della tesi che vorrei sviluppare oggi, anche per rispondere all’esortazione, testé rivoltaci dal Presidente della Regione Calabria, a formulare proposte operative per lo sviluppo della cultura e della scienza nella Magna Grecia, nell’alveo della tradizione pitagorica. i Ecco la tesi. E importante creare conoscenza. Forse però, in una Regione che vanta la percentuale più elevata di laureati in Italia ma che al tempo stesso lamenta il prematuro abbandono della scuola dell’obbligo da parte di oltre il 5% dei giovani, più importante ancora è trasferire conoscenza. Orbene, per recuperare all’educazione, allo studio e all'educazione allo studio questi giovani demotivati e facilmente strumentalizzabili, occorre aumentare l'efficienza del trasferimento di conoscenza. Tale aumento di efficienza può essere ottenuto se si rende piacevole l'apprendimento, sfruttando appunto il senso del bello. Inoltre esso può essere agevolato se si trae vantaggio dal fatto che, accanto alla comprensione, la per-cezione è anch'essa funzionale all’acquisizione di conoscenza (Caglioti, 1996). Nell’attività percettiva la multimedialità assume un ruolo primario. E dunque, in concreto, in una società sempre più audio- e video-dipendente, lo sviluppo dell’editoria multimediale e delle relative competenze e professionalità nel campo del1 Dedico questo lavoro a mio padre Vincenzo, nato a Soriano Calabro, in occasione del suo novantacinquesimo compleanno.

l'informatica potrebbe costituire per la Regione Calabria un obiettivo socialmente rilevante ed economicamente vantaggioso (Caglioti, 1997). Torniamo al numero e al senso del bello. «Quella cosa dice l’uomo essere bella» — scrive Dante — «cui le parti debitamente si rispondono, per che da la loro harmonia risulta piacimento» (Dante, Convivio). Alla radice del bello c’è dunque la corrispondenza tra le parti di una struttura, abbinata a una armonia ovvero a una simmetria tra le parti stes. In altri termini, affinché una struttura appaia bella, occorre che essa sensi un armonico bilancio tra ordine e simmetria (Caglioti e Tchouvileva, 1995 a) e b)). Identifichiamo l'ordine con la disposizione di ogni cosa o evento al posto e all'istante che loro competono in base a una certa regola, ovvero la regola alla base di detta disposizione. E identifichiamo la simmetria con il non mutamento quale esito di un mutamento (Caglioti, 1994). Prendiamo ad esempio una tela bianca molto estesa, al limite illimitata. Ogni punto della tela è un centro di simmetria di inversione in quanto ribaltando rispetto ad esso un punto qualsiasi della tela si perviene alla configurazione di partenza. Inoltre, comunque ci si muova sulla tela, operando una traslazione o una rotazione, nulla cambia, non ci si accorge di alcuna variazione: simzzzetria è dunque invarianza rispetto a una trasformazione; simmetria è, in tre parole, indiscernibilità della trasformazione. Basta però segnare un punto P sulla tela, e la simmetria originaria si riduce drasticamente. Ogni punto della tela, non più omogenea, perde il suo ruolo di centro di simmetria. Ad eccezione, si badi, di P. Contestualmente, con la riduzione della simmetria originaria emerge un criterio per ordinare i punti della tela, ad esempio in base alla loto distanza dal punto P segnato sulla tela stessa (Caglioti, 1995). Analogamente, sulla carreggiata di un’autostrada appena asfaltata uniformemente, è possibile ordinare «veicoli lenti a destra» soltanto una volta che sia stato portato a termine il «rifacimento della segnaletica» mediante un solo asse superstite di simmetria che operi una separazione tra le corsie. In generale, la riduzione della simmetria comporta dunque l'instaurarsi di un ordine. Lungi dall’essere sinonimi, simmetria e ordine, appaiati, costituiscono due ingredienti necessari — ma non sempre sufficienti — affinché una struttura o un processo appaiano belli. Una struttura, in quanto dotata di elementi di simmetria (ad esempio un centro di inversione, un piano di riflessione, un asse di rotazione, uno “La simmetria (dal greco sun-metria, con-misurazione) scomparve dai codici e dalla letteratura dal terzo al sedicesimo secolo. Appare plausibile che Dante, attento ai ritmi della metrica e alla simmetria delle sue architetture poetiche, con la parola barzzonia intenda riferirsi alla simmetria (Nagy, 1996). Il numero e il bello nel trasferimento della conoscenza 155 scambio tra elementi identici) si propone alla nostra attenzione suscitando stimoli che evocano riferimenti invarianti: ne risulta il senso di rassicurazione che nei bambini procura la nenia della ninna nanna, e che poi, più avanti negli anni, gli adulti cercano con il ritmo nella poesia e nella musica, con la battuta nella danza, con la litania nella preghiera, con gli slogan nelle manifestazioni sindacali o di categoria. D'altro canto una struttura, in quanto sbilanciata da interruzioni, discontinuità o pause, si propone alla nostra attenzione suscitando stimoli che evocano accelerazioni e cambiamenti: ne risultano il panico che si propaga tra i passeggeri di un aereo a causa di un vuoto d’aria, il senso di paura che procura un grido nel silenzio della notte, l’ansia che si accompagna ad un’improvvisa rottura della routine quotidiana; oppure, ad esempio, quell’incitamento all’azione o alla scelta che si coglie all’atto della percezione dinamica dell’ambiguità di una figura impossibile ma a prima vista simmetrica, quale, che so, il marchio della Renault. Insieme, simmetria e ordine ingenerano sensazioni di segno opposto — rassicurazione e ansia, ipnosi e presa di coscienza —. Sapientemente calibrati, distribuiti e armonizzati in una stessa struttura, essi fanno presa sull’animo umano gratificandolo: basti pensare alla simmetria del ritmo e all’ordine della melodia in una composizione musicale o nella fuga delle colonne equidistanti, sormontate da capitelli disuguali, in un chiostro romanico. Orbene, il numero è lo strumento principe per ridurre la simmetria e per produrre ordine. Pensiamo ancora alla tela bianca: due suoi qualsiasi elementi possono essere permutati senza che sia possibile percepire alcun mutamento. Ma se su questa tela disegniamo il marchio Citroén, la simmetria di scambio, in essa originariamente onnipresente, si riduce drasticamente, e rimane circoscritta soltanto ai due elementi che evocano un doppio colpo d’ala in campo rosso. Inoltre, a differenza di quanto si verifica nella tela bianca, soltanto una linea tra le infinite in linea di principio eleggibili, la linea mediana verticale, costituisce l’unico elemento di simmetria balatera. Disegnando invece il marchio Mitsubishi o il marchio Mercedes imponiamo un ordine tre all'unico asse di simmetria di rotazione superstite. Pensiamo al marchio CARIPLO: qui quattro è il numero che agisce da elemento ordinatore. Spiccata è la personalità del numero cinque. La sua radice quadrata interviene nell’espressione matematica della sezione aurea ovvero del limite a cui tende il rapporto tra due numeri consecutivi nella successione di Fibonacci (Fig. 2). Questo numero è alla radice della simmetria di scala o autosomiglianza: riconosciamo autosomiglianza nei frattali, caratterizzati dal fatto che ogni parte della struttura è copia di una parte della struttura ed eventualmente dell’intera struttura (Fig. 3); vi è autosomiglianza nelle strutture biologiche, per le quali (si pensi ai dinosauri del Jurassic Park) in ogni frammento della struttura è concentrata l’informazione insita in tutta

la struttura; nelle matrjoske; nel dogma indu, secondo cui se è vero (efpuò apparire banale) che l’universo comprende ogni sua parte, è anche vero che ogni parte dell’universo comprende tutto l’universo; nei templi indu, che di detto dogma costituiscono la proiezione architettonica. Pensiamo a un alveare: qui protagonista è il numero sei. Potremmo continuare con le sette braccia dei candelabri del tempio, con gli ottagoni porta-fortuna del fonte battesimale e via enumerando. Ma è più interessante passare dallo spazio delle immagini ai tempi della musica. La simmetria del silenzio può essere infranta in vari modi. Ma, anche qui, per approdare al bello, occorre rompere la simmetria rispettandola: cosicché, contestualmente alla riduzione della simmetria, subentra l'ordine. Il numeroe il bello nel trasferimento della conoscenza 157 sformazioni di Lorentz» (A. Einstein). L'esigenza estetica di non scartare la radice negativa dell’equazione quantistica relativistica dell’elettrone e di assegnarle un significato fisico, portò PA.M. Dirac nel 1931 a postulare l’esistenza dell’elettrone positivo, ovvero dell’elettrone dell’antimateria, un anno prima che quest’ultimo venisse scoperto da Anderson. Un’esigenza estetica simile a quella che ci porta a rivolgerci a un parquettista quando una delle tessere del pavimento viene danneggiata, spronò i chimici a scoprire nuovi elementi riempiendo via via le lacune nella tabella di Mendeleev, Avendo così presentato il ruolo del numero nel configurare il bello e il ruolo del bello nello sviluppo della conoscenza, torniamo alla tesi proposta all’inizio. Ancora una volta, tuttavia, occorre ricorrere al numero. Nella scala pitagorica i rapporti tra le frequenze delle note musicali sono esprimibili mediante numeri interi (2:1 per l’ottava, 3:2 per la quinta, 4:3 per la terza). E nella scala moderna il rapporto fra le frequenze di due semitoni consecutivi è pari alla radice quadrata di 12. In definitiva, «musiza. Per concretezza e per amor di sintesi, limitiamoci a un solo esempio. Si consideri la «condensazione grafica» di due moduli strutturali, in fig. 4. Se si osserva la struttura condensata (in basso in figura) per un tempo ca est esercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi», ovne, la struttura sembra animarsi, invadendo la terza dimensione. Il centro vero: la musica è un occulto esercizio di aritmetica dell'anima: di un'anima di simmetria scompare e la parete comune ai due moduli cubici sembra portarsi bruscamente a destra (oppure a sinistra) per poi passare a sinistra, eppoi nuovamentea destra, in una successione illimitata di inversioni prospettiche. Chiunque, superata ad esempio l’età di dodici anni, sia in grado di percepire dinamicamente questa figura ambigua, è maturo abbastanza per cogliere gli aspetti essenziali dello spettro di trasferimento di carica, ovvero della risonanza dell’elettrone di valenza nel legame chimico all’atto della misurazione spettroscopica di una struttura quantistica. E parallelamente all’evoluzione periodica P(t) dal suo pensiero visivo, anche se non che non sa di contare (Leibniz, 1712). In definitiva il «piacimento» delle sensazioni — siano esse visive o acustiche — è in ogni caso affidato al numero. Il numero, dunque, è alla radice del senso del bello e delle sensazioni o emozioni gradevoli. Ma il senso del bello agisce da filtro selettivo per la sopravvivenza della specie — si pensi all’insetto che impollina il fiore: insetto e fiore entrano in simbiosi solo se il fiore appare bello all’insetto e, guarda caso, anche a noi (Marchetti, 1993) —. Il senso del bello agisce altresì da filtro selettivo per la sopravvivenza delle idee, delle teorie filosofiche e dei modelli matematici: «nelle mie ricerche — scrive Hermann Weyl — mi sforzai di unire il vero al bello, ma quando dovetti scegliere tra l’uno e l’altro, di solito scelsi il bello»?. Nessuna meraviglia quindi se per Pitagora il numero — che è fonte del bello — è alla radice della realtà. D'altronde il senso del bello agisce da sprone alla ricerca scientifica. L'esigenza estetica di estendere anche ai fenomeni meccanici l’invarianza rispetto alle trasformazioni di H.A. Lorentz, verificata per i fenomeni elettromagnetici, impose ad Einstein «lo sforzo di migliorare, con riguardo all’economia logica, i fondamenti della fisica quali si presentavano alla fine del secolo [scorso]», e costituì per lui uno stimolo a formulare la teoria della relatività: «4/6 le leggi naturali devono essere invarianti rispetto alle tra- 2 Fonte: S. CHANDRASEKHAR in Bellezza e verità. Le ragioni dell'estetica nella scienza, Garzanti, Milano, 1990, pag. 105. La per-cezione, si diceva, è funzionale al trasferimento della conoscensufficientemente lungo, superata una certa soglia di curiosità e di attenzioha studiato matematica, è altresì in grado di calcolare, geneticamente, una formula quale la seguente (G. Caglioti, 1994): P(t)=|S coste = iDsin&t 2 contenente — oltre all’integrale di scambio K caratteristico della struttura e a una costante C presumibilmente dipendente dall’acuità visiva di chi percepisce e dalla capacità che questi ha di mantenere fisso lo sguardo su una stella — un insieme di oggetti matematici ostici per la maggioranza di coloro che abbiano affrontato questa lettura. Alludo all’unità immaginaria i, e alle funzioni trigonometriche seno e coseno che vanno a moltiplicare gli stati sinistra, S, e destra, D, in alto in figura. In definitiva il funambolo è un matematico eccellente, anche se non sa di esserlo. Rinviamo gli improbabili lettori veramente interessati a questo argomento ad altri scritti (G. Caglioti, 1994, 1995, 1996): non senza osservare, peraltro, che il parallelismo ora prospettato tra percezione e misurazione

quantistica potrebbe configurare una risposta all’esigenza, manifestata: da Werner Heisenberg (1948), di un nuovo linguaggio da affiancare a quello verbale per comprendere la meccanica quantistica, allora agli albori. Scrive infatti Heisenberg: «Non è del resto in alcun modo sorprendente [...] che il nostro linguaggio non sia sufficiente alla descrizione dei processi atomici; i suoi concetti infatti provengono dalle esperienze della vita quotidiana, in cui noi abbiamo sempre a che fare con grandi quantità di atomi e mai con atomi singoli. Per la comprensione dei processi atomici, noi non disponiamo così di nessuna indicazione». In conclusione, in un mondo sempre più condizionato dalle tecnologie, per combatter l'ignoranza, e comunque per far fronte all'esigenza crescente di promuovere la capacità di adattamento al nuovo, conviene stimolare la curiosità dei giovani, assecondando la loro spiccata predisposizione alla fruizione degli ipertesti elettronici multimediali e, soprattutto, facendo leva sul senso del bello e quindi, a monte, sul numero: proprio come farebbe un novello Pitagora degli anni 2000. Il numero e il bello nel trasferimento della conoscenza 159 Riferimenti bibliografici [1] A. EINSTEIN in Opere scelte, a cura di Enrico Bellone, Bollati Boringhieri, Torino, 1988, p.570. [2] DANTE ALIGHIERI, Convivio. [3] GIusEPPE CAGLIOTI, Simzzzetrie infrante nella scienza e nell'arte, CittàStudi Edizioni, II edizione, Milano, 1994 [4] G. CAGLIOTI, Eidos e Psiche, struttura della materia e dinamica dell’immagine, Ilisso, Nuoro, 1995. [5] G. CAGLIOTI, Perception ofAmbiguous Figures. A Qualitative Model Based on Synergetics and Quantum Mechanics, in P. KRUSE AND M. STADLER (Eds), A77biguity in Mind and Nature: Multistable Cognitive Phenomena, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1995, p. 463. [6] GIUSEPPE CAGLIOTI, Frozz perception to thought. A nonequilibrium dynamic instability implying symmetry breaking, in T. OGAWA, K. MIURA, T. MASUNARI, D. NAGY (Eds.) Katachi U Symmetry, Springer-Verlag, Tokyo, 1996; pp. 355-361. [7] G. CAGLIOTI, I/ teleteatro globale, in AA.VV., Scienza e informazione, a cura di J. Jacobelli, Laterza, Roma, 1997. [8] GIUSEPPE CAGLIOTI e TATIANA TCHOUVILEVA, La bellezza salverà il mondo, in AA.Vv., L’uomo, i Limiti e la Speranza. Una rotta verso il Terzo Millennio, a cura di G. Giorello e E. Sindoni, Edizioni Piemme, Milano, 1995. [9] GIUSEPPE CAGLIOTI e TATIANA TCHOUVILEVA, Estetica e sue radici scientifiche, in Terzo Millennio: L'uomo, i Limiti e la Speranza, Atti del Convegno Internazionale Varenna, 2-6 ottobre 1994, Edizioni Angelicum, Milano, 1995. Ringraziamenti [10] WERNER HEISENBERG, in I principi fisici della teoria dei quanti, Einaudi, Tori- Mi è gradito ringraziare il mio amico professore Mario Parravicini per molte belle discussioni sugli argomenti qui presentati. [11] G.W. LEIBNIZ, Lettera a Chr. Goldbacb, 17 aprile 1712 in Epistolae ad diverno, 1948. sos, theologici, iuridici, medici, philosophici, mathematici, historici et philologici argumentis, ed. Chr. Kortholt, Lipsia, B.Chr. Breitkopf. [12] C. MARCHETTI, Ox the beauty of sex and the truth of mathematics, IASA, A2361, Laxemburg, April 1993. [13] D. NaGY, The 2500-year old term syrametry in science and art, and its «missing link» between the antiquity and the modern age, in Symmetry - Culture and Science. The Quaterly of the International Society for the Interdisciplinary Study of Symmetry (ISIS-symmetry), Eds G. Darvas and D. Nagy, pp. 18-28. [14] L. PEPE, I/ pitagorismo e la matematica, in questi Atti, 1998.

Il numero e il bello nel trasferimento della conoscenza 161 La progressione di Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21.... Ovvero: LA SEZIONE AUREA \ 5 -1 2 Fig. 2. (realizzazione computerizzata a cura di Rosy Monzani). La successione di Fibonacci (Nn+1 = Nn-1 + Nn) e la sezione aurea. Man mano che si procede verso destra (nu- | j — Fig. 1. (cortesia di Mario e Umberto Parravicini). Una composizione naturale di roseum alium. In prossimità del mare, a S. Andrea Apostolo. mero d’ordine n elevato) il rapporto Nn+1/ Nn tra numeri N consecutivi nella successione tende alla sezione aurea. Parallelamente, i rettangoli costruiti su lati di lunghezza (Nn+1, Nn) e (Nn, Nn-1) tendono ad essere l’uno sempre più simile all’altro. Inoltre, per n molto grande, ogni rettangolo è costituito da un quadrato e da un rettangolo praticamente identico al rettangolo associato al numero d’ordine n-1. La bellezza della sezione aurea deriva forse dal fatto che l'occhio di una persona sensibile percepisce subliminalmente queste forme nascoste ma rassicuranti di autosomiglianza.

Il numero e il bello nel trasferimento della conoscenza 163 È pa n Fig. 3. Brassica botrytis. Se si pone un cespo del cavolfiore sotto una lente d’ingrandimento l’immagine è indistinguibile da quella dell’intero cavolfiore: questa struttura dunque è autosomigliante. Fig. 4. Franco Grignani. Condensazione grafica, 1981, collage, cm 79x31, ovvero lo spettro di trasferimento di carica nell’osservazione spettroscopica del legame chimico in strutture molecolari quantistiche in risonanza.