Prinzipen der griechischen Mathematik: Platon, Aristoteles, Proklos und Euklids Elemente

WASOAKVES„a a= — — —— — —— Hans-Joachim Waschkies (Kiel) Die Prinzipien der griechischen Mathematik: Platon, Aristoteles, Proklos und Euklids Elemente AKAN WZ Die Frage nach den Prinzipien, in denen die Mathematik der Griechen fundiert war, wird unter zwei verschiedenen Aspekten diskutiert. Zum einen kann man das mathematische Wissen, das uns in den Werken von Autoren wie Euklid und Archimedes oder Apollonios überliefert ist, zusammenstellen und im Anschluß daran untersuchen, wie es nach den Maßstäben der Mathematik (oder der Wissenschaftstheorie) von heute zu begriinden ware,! und zum andern ist von wissenschaftshistorischem Interesse, ob es in der Antike auch schon eine wissenschaftstheoretische Deutung samt einer daran orientierten Begriindung der Mathematik gab, die dann natürlich keineswegs in allen Einzelheiten mit den entsprechenden Metatheorien unserer Tage konform sein muß. Ich werde mich im folgenden nur mit dem zuletzt genannten Aspekt der eben aufgeworfenen Frage befassen, und da scheint mir geraten, meinen Ausführungen zu diesem Thema einige Bemerkungen über die Besonderheiten vorauszuschicken, durch die sich die Mathematik der Griechen von der mathematischen Praxis der altorientalischen Völker unterscheidet. Die mathematischen Keilschrifttexte und Papyri? führen exemplarisch Methoden ı Als Beispiele dafür nenne ich F. Beckmanns Arbeit über Neue Gesichtspunkte zum 5. Buch Euklids, Archive for History of Exact sciences, 4 (1967-1968), 1-144, in der Beckmann ein Axiomensystem zusammengestellt hat, mit dem die allgemeine Proportionentheorie aus dem V. Buch der Elemente vollständig begründet werden kann, sowie Chr. M. Taisbaks Monographie Division and logos. A theory of equivalent couples and sets of integers propounded by Euclid in the arithmetical books of the Elements, Odense 1971, die eine axiomatische Begründung der arithmetischen Proportionentheorie aus den Büchern VII-IX der Elemente enthält; dazu verweise ich ergänzend auf H.-J. Waschkies, Anfänge der Arithmetik im Alten Orient und bei den Griechen, Amsterdam 1989, 46-54. 2 Bis auf wenige Ausnahmen sind die überlieferten mathematischen Keilschrifttexte und Papyri in den nachstehend angeführten Monographien bzw. Sammelbänden ediert worden:

zur Lösung von Aufgaben eines bestimmten Typs ein. Dazu genügte noch die Mathematik (spätestens) auf das erste Viertel des 5. Jhs. v. Chr. zu datieren durch sind.$ 92 wenige Fachausdrücke der Handwerker und Schreiber ergänzte Umgangssprache von damals, während die Griechen vom 6. Jh. v. Chr. an nicht nur neue mathematische Termini prägten, sondern auch schon durch Definitionen festzulegen versuchten, was mit diesen Fachausdrücken bezeichnet werden soll. Im übrigen geschah die Einführung besonderer Begriffe zum Benennen von geometrischen Objekten, mit denen man in der mathematischen Praxis bereits seit langem gekonnt umzugehen wußte, zum Teil erstaunlich spät. Ein Beispiel dafür bietet der Terminus Parallele, der in den mathematischen Texten aus dem Alten Orient noch fehlt, obwohl die Schreiber jener Tage das Ziehen von parallelen Strecken durchaus schon als Mittel zum Lösen von Aufgaben zu nutzen wußten.? Noch erstaunlicher ist Jedoch, daß sich das Wort rap&aAnAos (ebenso wie der daraus abgeleitet e Terminus naparAnAöypajıpov) im Griechischen auch erst in den Schriften des Aristoteles nachweisen läßt,* obwohl die Anfänge der spezifisch griechischen Seit dieser Zeit hatten die Griechen außerdem die Fähigkeit entwickelt, allgemeine Sätze zu formulieren.$ Aus diesem Grunde konnten sie ihr mathematisches Wissen weit präziser fixieren und überliefern als die Schreiber aus dem Alten Orient. Die mathematischen Keilschrifttexte und Papyn enthalten nämlich noch weitgehend vorbegrifflich formulierte Aufgaben, zu denen kommentarlos eine Lösung vorgerechnet wird, die exemplarisch in einen allgemeinen Fall einführen soll, von dem selbst nie die Rede ist. Dabei konnten diese zumeist extrem elliptisch formulierten Texte sicherlich bereits zur Zeit ihrer Niederschrift nicht von jedem Leser verstanden werden, der sie phonetisch korrekt abzulesen wußte. Sie hatten cher die Funktion von Aidemémoires für einen Unterricht, bei dem die darauf notierten Worte (und Figuren) Lehrern, die mit dem Kontext vertraut waren, als Auslöser für eine mündliche, durch graphische Darstellungen gestützte Unterweisung dienten, bei der das mathematische Wissen noch nicht so eindeutig und standardisiert reproduziert werden konnte wie beim Kopieren von Sätzen und Beweisen durch die Griechen.’ The Rhind mathematical papyrus. British Museum 100 57 and 100 58. 1: Free translation and commentary by A. B. Chace with the assistance of H. P. Manning. Bibliography by R. C. Archibald; 1: Photographs with a literal translation by A. B. Chace, L. Bull, H. P. Manning. Bibliography. Egyptian and Babylonian mathematics (Supplement) by R. C. Archibald. Mathematical leather roll in the British Museum. Daneben bemühten sich die griechischen Mathematiker offenbar früh, eine Teilmenge dieser Sätze systematisch aus den übrigen abzuleiten. Diese Begründungspraxis induzierte in der Menge ihres geometrischen und arith- Ed. by S. R. K. Glanville, Oberlin (Ohio) 1927-1929. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der schönen Künste in Moskau. Herausgegeben und kommentiert von W. W. Struve unter Benutzung einer hieroglyphischen Transkription von B. A. Turajeff, Würzburg 1973 [! 1930]. Mathematische Keilschrift-Texte. 1-11. Herausgegeben und bearbeitet von O. Neugebauer, Berlin; New York; Heidelberg 1973 (11935-19371. Mathematical cuneiform texts. Edited by O. Neugebauer and A. Sachs. 5 Siehe O. Becker, Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der Euklidischen Elemente. Versuch einer Wiederherstellung in der ursprünglichen Gestalt, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abt. B: Studien, 3 (1934), 533-553, dort 536-539; dazu verweise ich ergänzend auf H.-J. With a chapter Waschkies (wie Anm. 1), 33-36 und 275-279. by A. Goetze, New Haven (Connecticut) 1945. 3 Siehe etwa O. Neugebauer, Zur Geschichte der babylonischen Mathematik, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abt. B: Studien, 1 (1929-1931), 67-80, oder L. Brack-Bernsen und O. Schmidt, Bisectable trapezia in Babylonian mathematics, Centaurus 33 (1990), 1-38. 4 Siehe Ch. Mugler, Dictionnaire historique de la terminolgi e géométrique des grecs, Paris 1958, 328-331, und E. Neuenschwander, Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, Archive for History of Exact Sciences 9 (1972-1973), 325-380, dort 363369. . 6 Siche J. Mittelstraß, Die Entdeckung der Möglichkeit von Wissenschaft. In J. Mittelstra}, Die Möglichkeit von Wissenschaft, Frankfurt a. M. 1974, 29-55 und 209-221 (Anmerkungen), dort 31-33. Der Aufsatz erschien zuerst im Archive for History of Exact Sciences 2 (1962-1966), 410-435. 7 Siehe H.-J. Waschkies, Mündliche, graphische und schriftliche Vermittlung von geometrischem Wissen im Alten Orient und bei den Griechen. In W. Kullmann und 3% Althoff (Herausgeber), Vermittlung und Tradierung von Wissen in der griechischen Kultur, Tübingen 1993, 39-70, dort 57- 58.

Hans-Joachim Waschkies Text aufbaut, mit der eingeübt wird, wie man den metischen Wissens Hierarchien;* denn einige der mathematisch interessanten Sätze ließen sich nunmehr aus andern Sätzen deduzieren, während andere Sätze ohne jede weitere Begründung behauptet wurden (bzw. werden mußten) demselben und dann als Prämissen für Beweise benutzt werden konnten. Dabei kam es im Vergleich mit der Begründungspraxis, die sich in den mathematischen Der Ordnung in den mathematischen Texten der Griechen liegt dagegen eine Betrachtungsweise zugrunde, für deren Beschreibung einige Termini von Nutzen sind, die Arnold Gehlen in die Anthropologie eingeführt hat. Er Keilschrifttexten und Papyri aus dem alten Orient widerspiegelt, zu einer Neuerung, die nicht darin besteht, daß die Griechen als erste die Kunst des logischen Schließens entdeckt haben. Die Vorstellung, nach der die griechische Mathematik erst entstehen konnte, nachdem ihre logischen Argumentationsformen von den Eleaten entwickelt worden waren, ist insbesondere von A. Szabö vertreten worden, der die Ergebnisse seiner 1956 einsetzenden Untersuchungen zu diesem Thema in der Monographie Anfänge der griechischen Mathematik zusammengefaßt hat.? Seine These fand viele Anhänger; aber wie bereits von 1, Mueller betont worden ist, läßt sich Szabós Behauptung, nach der die Entwicklung der frühgriechischen Mathematik auf die Philosophie der Eleaten zurückgeht, durch keinerlei Quellen belegen. Außerdem erschien Mueller Szabös These ohnehin entbehrlich, Binsenweisheit ist, daß Menschen beim weil es eine Argumentieren allenthalben unbewußt Prinzipien der Logik zu beachten pflegen.!® Wie man sich leicht überzeugt, erfordert die Entwicklung der Methoden zur Lösung von oft recht ! Kreisdurchmesser aus dem Kreisumfang ermittelt. spricht von einem Daseinswert objektiver Dinge für den Menschen,” bei denen es sich auch um nur Gedachtes von der Art mathematischer Kenntnisse handeln kann, wenn sie uns in irgendeiner Form zur Bewáltigung von Aufgaben aus der Alltagspraxis dienen. In diesem Sinne spiegeln die mathematischen Keilschrifttexte und Papyri die Bedürfnisse einer Ausbildungspraxis wider; aber wie Gehlen entdeckt hat, gehört es zu den grundlegenden Bedingungen für das Entstehen einer Kultur, daß der Mensch in der Lage ist, (zumindest eine Zeitlang) von dem Daseinswert gewisser Dinge abzusehen und sich allein nach deren Sosein zu richten. Damit wird den betreffenden Objekten ein Selbsrwert im Dasein zugebilligt, und diese Einstellung zu den fraglichen Dingen ermöglicht dem Menschen ein soweit bedürfnisentlastetes Verhalten zu ihnen, daß ein solcher Objektbereich nunmehr auf seine eigenen komplexen mathematischen Problemen durch die Schreiber aus dem Alten Orient diese Fähigkeit auch schon in einem hohen Maße, und schließlich verdient noch Beachtung, daß den Aufgabensammlungen aus den Daseinsbedingungen hin untersucht und schließlich sogar nach Maßgabe der dabei gewonnenen Erkenntnisse behandelt werden kann. Als ein frühes und besonders wichtiges Beispiel dafür nennt Gehlen den Menschen, der seine Pflanzen auf dem Acker und seine Tiere im Stall oder auf der Weide sachgerecht pflegt; denn das Verhalten der Getreideanbauer und Viehzüchter richtet vorgriechischen Quellen (häufig) eine systematische Ordnung zu Grunde liegt, die der Schulpraxis jener Tage entspricht. Ein Beispiel dafür bietet der die Tatsache, daß diese später einmal als Nahrung dienen sollen, lange einge- Keilschrifttext klammert bleibt. BM 85 194, in dem die Aufgabe 21, deren Lösung sich (fast) ausschließlich nach dem Sosein ihrer Pflanzen und Tiere, während voraussetzt, daß man den Durchmesser eines Kreises aus dessen Umfang zu berechnen 8 weiß, systematisch und methodisch auf der Aufgabe 4 D. H. Fowler hat darauf hingewiesen (The mathematics of Plato's aus academy, A new reconstruction, Oxford 1987, 203), daß die Entwicklung der spezifisch griechischen Mathematik erst mit bzw, nach dem Beginn des Prozesses einsetzen konnte, in dessen Verlauf die (weitgehend) miindliche Überlieferung des Wissen bei eine Schriftkultur ergänzt worden ist. 9 10 A. Szabó, Anfünge der griechischen Mathematik, München; den Griechen durch Wien 1969, 243-452. 1. Mueller, Euclid's Elements and the axiomatic method, The British Journal for the Philosophy of Science, 20 (1969), 289-309; dazu verweise ich ergänzend Waschkies (wie Anm. 1), 1-28, 269-275 und 302-326. Selbstwert im absoluten Sinne haben nach Gehlen dann schließlich Dinge, bei denen sich das menschliche Verhalten zu ihnen unter Aufgabe jeglichen Daseinswertes und damit jeder Tendenz, sie zur Erfüllung eigener Bedürfnisse zu nutzen, nur noch an ihrem Eigendasein orientiert. Ein Beispiel dafür auf H.- J. 11 Siehe H.-J. Waschkies, Symmetrie als Begründungsprinzip in der vorgriechischen und griechischen Geometrie. In K. Döring und G. Wöhrle (Herausgeber), Antike Naturwissenschaft und ihre Rezeption. 1-11, Bamberg 1992, 155-183, dort 156-163. ı2 Zum Folgenden verweise ich auf A. Gehlen, Urmensch und na. Philosophische Ergebnisse und Aussagen, Frankfurt a. M.; Bonn 71964 [1956] 1417.

97 bietet die Beschäftigung der griechischen Mathematiker mit ihrem Fachwis- Parallelenaxiom: Sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt, sen, das sie im Unterschied zu den Schreibern der altorientalischen Kulturen der nicht auf a liegt, dann gibt es höchstens eine Gerade durch A, nicht mehr nach seiner pädagogischen Vermittelbarkeit oder seiner technidie a nicht schneidet schen Anwendbarkeit und damit im Hinblick auf seinen Daseinswert fiir den Menschen anordneten und mehrten. Statt dessen suchten sie nach Strukturen und Eigenheiten dieses Wissens selber, um es danach in die Form von hierarzu einem vollständigen Axiomensystem der ebenen Geometrie aus den Elementen ergänzen kann.!® Euklids chisch strukturierten Satzsystemen bringen zu können. Einen Reflex dieses Postulat 1,5: "Wenn eine Gerade zwei andere Geraden schneidet den Wissenschaftsbetrieb bis heute prägenden Spezifikums des von den [und] bewirkt, daß die [beiden] Innenwinkel, die auf derselben Griechen begründeten Umgangs mit Kenntnissen, denen damit ein Selbstwert Seite der [zuerst genannten Geraden] liegen, kleiner als zwei im absoluten Sinne zugeordnet wird, findet man schon in Platons Kratylos!? und dann vor allem in den Schriften des Aristoteles,!* der mehrfach auf den auf der Seite, auf der die beiden Innenwinkel liegen, die kleiner Unterschied zwischen einem begründeten Wissen eingeht, das auf Voraussetals zwei Rechte sind, schneiden, wenn man sie unbegrenzt [nach zungen aufbaut, die eine spezifisch menschliche Sichtweise widerspiegeln, dorthin] auszieht"1? und dem Wissen schlechthin, das in eigentümlichen Prinzipien fundiert ist, die diesem Wissen seiner Natur nach zugrunde liegen. Rechte sind, [fordern wir], daß sich die beiden [andern] Geraden gehört dann zu den ableitbaren Sätze; aber Hilbert hätte statt dessen ebensogut Euklids Postulat 1,5 unter die Axiome der ebenen Geometrie aufnehmen können. Dann wäre sein oben zitiertes Parallelenaxiom allerdings nur Im Gefolge der Entdeckung von nichteuklidischen Geometrien durch J. noch ein ableitbarer Satz, und damit dürfte auch schon klar sein, daß es letzt- Bolyai, C. F. Gauß und N. I. Lobatschevsky!5 hat man schließlich einsehen lich müssen, daß mathematische Theorien keineswegs von sich aus festlegen, abhängt, welchen Satz der euklidischen Geometrie er als Parallelenpostulat welche ihrer Sätze als Axiome dienen sollen. Ein Beispiel dafür bietet die auszeichnet. !® Tatsache, daß man die Axiome der Verknüpfung, der Anordnung, von dem persönlichen 'Geschmack' des einzelnen Mathematikers der Kongruenz und der Stetigkeit mit D. Hilbert durch das 16 D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, "Stuttgart 1962 [11899], 28. 17 Im allgemeinen zitiere ich die Elemente nach der folgenden Ausgabe: 13 Elementa. Post I. L, Heiberg edidit E, S. Stamatis. I: Libri I-IV cum appendicibus 1961), (1969); II: Libri V-IX cum appendice (1970); III: Liber X cum appendice (1972); IV: Libri XI-XIII cum appendicibus (1973); V.1: [J. L. Heibergs] Prolegomena critica, 14 Anal, post. 12, 71b17-72a5 (Aristotle's Prior and Posterior Analytics. A revised text with introduction and commentary by W. D. Ross, Oxford 1965 [!1949)), sowie 15 Euklid, Kratylos 386d2-387d8 (Platon, Cratyle. Texte établi et traduit par L. Méridier, Paris libri XIV-XV, scholia in libros I-V (1977); V.2: Scholia in libros VI-XII cum appen- Phys. 1 1, 184a1-b14 und 5, 188b26-189a10 (Aristotle's Physics. A revised text with dicibus (1977), Leipzig. [Heibergs durch eine lateinische Übersetzung ergänzte introduction and commentary by W. D. Ross, Oxford 1966 [11936]), und Metaph. Y Ausgabe erschien 1883-1888]. Abweichend davon folge ich beim Zitieren der Postu- 1, 1012b34-1013a4 mit 1013a14-19 sowie VII 3, 1029b3-12 (Aristotle's Metaphysics. late und Allgemeinen Vorstellungen aus dem I. Buch der Elemente jedoch der Zählung > revised text with introduction and commentary by W. D. Ross. I- II, Oxford 1966 in der mittelalterlichen Übersetzung Euklids, The mediaeval Latin translation of (11924). Euclid's Elements made directly from the Greek. Introduction, edition and critical Siehe F. Engel und P. Stickel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf apparatus by H. L. L. Busard, Stuttgart 1987. Dazu sei ferner angemerkt, daß die Gauss. Eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der nichteuklidischen Geometrie, Definitionen, Postulate und Allgemeinen Vorstellungen aus den Elementen weder in Leipzig 1895, sowie R. Bonola, Non-Euclidean Geometry. A critical and historical den griechischen noch in den lateinischen Euklidhandschriften numeriert sind, study of its development. With a supplememt containing The science of absolute space by John Bolyai and The theory of parallels by Nicholas Lobachevski, New York 1955. [Die italienische Erstausgabe erschien 1906.] 18 Dazu verweise ich ergänzend auf T. L. Heath, The thirteen books of Euclid's Elements. 1-11, Translated from the text of Heiberg with introduction and commentary by T. L. Heath, New York 1956 ['1908; 21926], 1 220.

Ich schicke meinen nachstehenden Ausführungen zu der Frage nach der wissenschaftstheoretischen Deutung der Mathematik in der Antike noch eine Anmerkung zur Terminologie voraus. Wie man schon oft bemerkt hat, waren die unbewiesenen (bzw. die für unbeweisbar gehaltenen) Pramissen der von den Griechen zusammengestellten, durch logisch-deduktive Beweise struktujener Tage bemüht waren, ihre Theorien aus Prinzipien abzuleiten.2! Dieses Werk wird im allgemeinen mit einem Hinweis auf das sogenannte Geometerrierten Satzsysteme im allgemeinen keine Axiome im Sinne der Wissenschaftstheorie von heute. Aus diesem Grunde haben sich Autoren wie W. D. Ross, J. Hintikka, M. T. Ferejohn, A. Gémez-Lobo und I. Mueller dafür entschieden, die unbewiesenen Satze, in denen die Griechen ihre mathematischen Theorien zu fundieren versuchten, nicht Axiome, sondern Ausgangspunkte (bzw. starting points) zu nennen.!? Im gleichen Sinne werde ich mit K. v. Fritz von den Prinzipien der griechischen Mathematik sprechen;?° denn war, und daraus folgerte er weiter, daß Euklid später gelebt und geschrieben haben könnte als bisher angenommen.? Außerdem war von W. R. Knorr 98 dieser Terminus läßt gleichfalls offen, ob es sich bei den fraglichen Sätzen um Axiome im Sinne der Wissenschaftstheorie von heute handelt, und außerdem entspricht er dem aristotelischen Terminus dpxf weit besser als Ausgangspunkt (oder starting point). 99 verzeichnis des Proklos?? auf die Zeit um 300 v. Chr. datiert; aber wie I. Schneider entdeckt hat, gibt es Indizien dafür, daß Archimedes noch nicht mit der überlieferten Version des X. und XII. Buchs der Elemente vertraut bereits kurz zuvor gezeigt worden,?* daß sich Archimedes bei der Ausarbeitung seiner Beweise nicht auf die allgemeine Proportionentheorie aus dem V. Buch der Elemente gestützt hat, sondern auf die von Aristoteles in seiner Topik erwähnte? und von O. Becker rekonstruierte?$ anthyphairetische Proportionentheorie. Nun wurde bis vor kurzem angenommen, daß diese Lehre nicht zur Begründung der Volumensätze aus dem XII. Buch der Elemente dienen konnte, die Eudoxos von Knidos zugeschrieben werden,?” dessen Lebenszeit auf ca. 391/90 - 338/37 v. Chr. zu datieren ist.28 Man glaubte nämlich, daß sich einige der Sätze aus dem V. Buch der Elemente, die für eine lückenlose Begründung der Lehre aus Buch XII unentbehrlich Die Basis aller wissenschaftsgeschichtlichen Arbeiten über die Prinzipien sind, anthyphairetisch nur für eine eingeschränkte Klasse von geometrischen der griechischen Mathematik bilden seit jeher die Schriften von Platon, Gebilde beweisen lassen. Da die von Eudoxos untersuchten Flächen und Körper nicht dazu gehören, schrieb man ihm mit dem Hinweis auf ein Aristoteles, Euklid und Proklos. Soweit ich sehe, hat man in diesem Zusammenhang jedoch nie hinlänglich beachtet, daß es sich dabei um Quellen von recht unterschiedlicher Art handelt. Die Elemente des Euklid sind ein Stück mathematischer Praxis, die in aller Deutlichkeit zeigt, daß die Mathematiker 21 Darauf ist schon von Proklos expressis verbis hingewiesen worden (In primum Euclidis elementorum librum commentarii. Ex recognitione G. Friedlein, Hildesheim 1967 [11873], 75.27-76.4). 22 Proklos (wie Anm. 21), 64.3-68.23, dort 68.6-23. 23 I. Schneider, Archimedes. Ingenieur, Naturwissenschaftler und Mathematiker, Darmstadt 1979, 47-48 und 61-62. 19 In diesem Sinne sprechen M. T. Ferejohn, Definition and the two stages of Aristotelian demonstration, Review of Metaphysics 36 (1982), 375-395, sowie The origins of Aristotelian science, New Haven; London 1991, 5-6, A. Gömez-Lobo, Aristotle's 24 25 hypotheses and the Euclidean postulates, Review of Metaphysics 30 (1977) 430-439, 26 Euclid. In A. C. Bowen (Herausgeber), Science and philosophy in classical Greece, New York; London 1991, 59-97, von Ausgangspunkten (bzw. starting points) der 158b29-35 (Aristoteles, Organon. 1 [Categoriae, Hermeneutica, O. Becker, Eudoxos-Studie I: Eine voreudoxische Proportionenlehre und ihre Spuren bei Aristoteles und Euklid, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abt. B: Studien, 2 (1933), 311-333; siehe auch H.-J. 27 O. Becker (wie Anm. 26), 321-325; siehe auch H.-J. Waschkies (wie Anm. 26), 95- 28 Siehe H.-J. Waschkies (wie Anm. 26), 34-58. 151. 20 K. v, Fritz, Die APXAI in der griechischen Mathematik, Archiv für Begriffsgeschichte, 1 (1955), 13-103, 13. VIII 3, Waschkies, Von Eudoxos zu Aristoteles. Das Fortwirken der Eudoxischen Proportionentheorie in der Aristotelischen Lehre vom Kontinuum, Amsterdam 1977, 77-100. mathematischen Theorien, die uns aus der griechischen Antike überliefert sind; dazu verweise ich ergänzend auf W. D. Ross, Aristotle's Prior and Posterior Analytics (wie Anm. 14), 56, und Aristotle's Metaphysics (wie Anm. 14), I 262. Topica Analytica priora) - Il [Analytica posteriora, Topica). Edidit T. Waitz, 1844-1846). J. Hintikka, On the ingredients of an Aristotelian science, Nous 6 (1972) 55-69, und I. Mueller, On the notion of a mathematical starting point in Plato, Aristotle, and W. R. Knorr, Archimedes and the pre-Euclidean proportion theory, Archives Internationales d' Histoire des Sciences, 28 (1978), 183-244.

101 Scholion von zweifelhaftem Überlieferungswert?? auch noch die allgemeine ker des Wissenschaftsbetriebs nur selten geneigt, ihre Lehren nach Maßgabe Proportionentheorie aus dem V. Buch der Elemente zu; aber inzwischen hat E. M. Larsen nachgewiesen,3° daß sich alle Sätze aus Euklids V. Buch in voller Allgemeinheit anthyphairetisch begründen lassen, und das hat für die Chronologie der griechischen Mathematik wichtige Konsequenzen. Zusammen mit I. Schneiders Zweifel an der üblichen Datierung von Euklid führt das nämlich zu der Vermutung, daß die allgemeine Proportionentheorie aus dem V. Buch der Elemente von Euklid selber stammt, während die anthyphairetische Proportionentheorie nach B. L. v. d. Waerden auf Theaetet jener Programme zu revidieren.35 Aus diesem Grunde muß man damit rechzurückgehen diirfte,3! der nach E. Sachs von ca. 414/3 - 369 v. Chr. lebte,*2 die Praxis) der Mathematik von damals erstellt worden ist.36 nen, daß die Wissenschaftstheorie des Aristoteles Details enthält, zu denen es in der griechischen Mathematik niemals ein Gegenstück gegeben hat. Auf dieses Problem ist auch schon von W. Kullmann mit der Frage hingewiesen worden, ob man aus der Tatsache, daß die mathematischen Beispiele aus der Zweiten Analytik häufig nicht so recht zu der Wissenschaftstheorie des Aristoteles passen, vielleicht schließen sollte, daß diese Lehre eher mit einem Blick auf die Erfordernisse (und keineswegs durchgängig mit einem Blick auf während er nach H. Thesleff schon im Jahre 390 v. Chr. gefallen ist.?3 Bei Platon sollte dagegen beachtet werden, daß seine Dialoge weder Die Zweite Analytik des Aristoteles, die in dieser Hinsicht durch viele Textstellen aus dem Corpus Aristotelicum ergänzt wird,?4 enthält dagegen eine Wissenschaftstheorie, die zwar ganz offensichtlich von einer mathematischen Praxis beeinflußt ist; doch diese Praxis dürfte wenigstens 50 Jahre älter als Euklids Elemente sein. Noch stärker sollte aber jeder, der an Hand der Mathematikbücher noch wissenschaftstheoretische Schriften sind. In seinen Werken, die zur Literatur im engeren Sinne gehören,?’ findet man zwar immer wieder mathematische Beispiele, doch dabei handelt es sich häufig nur um mit dichterischer Freiheit formulierte Anspielungen,’ die oft so rätselhaft sind, daß sie seit der Antike das Erscheinen einer nicht minder rätselhaften Ausführungen des Aristoteles einen Einblick in die Mathematik der Griechen aus der Zeit um 350 v. Chr. zu gewinnen versucht, einem anderen Aspekt Beachtung schenken. Bis auf den heutigen Tag beschreiben Wissenschaftstheoretiker nicht, wie Wissenschaften betrieben werden. Statt dessen skizzieren sie Programme, die festsetzen, wie Wissenschaft betrieben werden sollte. Diese Programme haben die Fachwissenschaftler zumeist ignoriert, und selbst dann, wenn sie von ihnen zur Kenntnis genommen wurden, waren die Prakti- 35 W. D. Ross nimmt in seinem Kommentar zu den Analytiken des Aristoteles an (wie Anm. 14), 56, daß Euklid, der seine Elemente sicher erst nach dem Tod des Aristoteles zusammengestellt hat, unter dem Einfluß von dessen erkenntnistheoretischen Schriften stand, doch das ist eine Interpretationsmaxime, die ich im scharfen Gegensatz zu Ross keineswegs für wahrscheinlich, sondern für höchst fragwürdig halte. 36 W. Kullmann, Die Funktion der mathematischen Beispiele in Aristoteles’ Analytica 29 Elementa (wie Anm. 17), V.1, Scholion V.1. posteriora. In E. Berti (Herausgeber): Aristotle on science. The ‘Posterior Analytics’. 30 M. E. Larsen, On the possibility of a pre-Euclidean theory of proportions, Centaurus 27 (1984), 1-25; dazu verweise ich ergänzend auf A. Thorup, A pre-Euclidean theory to 15, 1978, Padua 1981, 245-270, dort 246-248; siehe auch I. Mueller (wie Anm. of proportions, Archive for History of Exact Sciences, 45 (1992), 1-16. 31 B. L. v. d. Waerden, Die Arithmetik der Pythagoreer. 1-11, Mathematische Annalen 120 (1947-1949), 127-153 und 676-700, dort 687-695. 32 E. Sachs, De Theaeteto Atheniensi mathematico, Berlin (Dissertation) 1914, 18-40. 33 H. Thesleff, Platonic chronology, Phronesis 34 (1989), 1-26, dort 18. 34 Eine (keineswegs vollständige) kommentierte Sammlung von mathematisch interessanten Stellen aus dem Corpus Aristotelicum findet man bei J. L. Heiberg, Mathematisches zu Aristoteles, Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften 18 (1904), 3-49, sowie bei T. L. Heath, Mathematics in Aristotle, Oxford 1970 [11949]. Proceedings of the eighth Symposium Aristotelicum held in Padua from September 7 10), 293. 37 Dazu verweise ich ergänzend auf H.-J. Waschkies, Kosmologische Spekulationen bei Platon und Aristoteles als Reflex der exakten Wissenschaften ihrer Zeit. In K. Döring und G. Wöhrle (Herausgeber), Antike Naturwissenschaft und ihre Rezeption, III, Bamberg 1993, 31-60, dort 33-34. 38 K. Reidemeister hat im Rahmen seiner kritischen Bewertung der Quellen, denen man etwas über die Mathematik der Griechen im 5. und 4. vorchr. Jh. entnehmen kann (Das exakte Denken der Griechen. Beiträge zur Deutung von Euklid, Plato, Aristoteles, Darmstadt 1972 [11949], 16), auch schon darauf hingewiesen, daß Platons Schriften "nicht lehrhafte Abhandlungen, sondern gedichtete Dialoge [sind], die nie ganz den schwebenden Charakter des Gedichteten verlieren”.

Kommentarflut induziert haben.?? Dazu kommt, daß Platon die Termini der drei Unterarten des rechten, des spitzen und des stumpfen Winkels erklárt 102 103 Mathematiker mitunter durch von ihm selbst geprägte Begriffe ersetzt hat, die wird, bevor Euklid dann schlieSlich noch die ebenen Figuren beschreibt, zu seiner eigenen philosophischen Lehre angepaBt sind und daher den mathemadenen insbesondere das im Liniengleichnis etwas später expressis verbis angeverfremdet führte Quadrat gehört.** Diese Prinzipien der Mathematiker, in denen der wiedergeben können. Das wichtigste Beispiel dafür bietet sein Gebrauch des Beweis für die Inkommensurabilität der Diagonalen des Quadrats mit seiner tisch relevanten Sachverhalt, auf den sie anspielen, extrem Wortes ünöteng in der unter dem Namen Liniengleichnis bekannten Passage Seite fundiert ist,4 auf den Aristoteles immer wieder mit zum Teil extrem aus der Politeia* zur Bezeichnung der mathematischen Prinzipien, die bei elliptischen Formulierungen als cin Musterbeispiel für das mathematische Aristoteles ebenso wie in einigen Handschriften der Elemente*! tec‘? heißen. Denken angespielt hat,4 nennt Platon im Liniengleichnis dnoSécas, um sie Platon spielt an der fraglichen Stelle“ zum einen auf Euklids Definitionenauf diese Weise plakativ gegen das von ihm dort als avunétetov bezeichnete paar VII.6-7 an, das festlegt, wann eine Zahl gerade bzw. ungerade zu oberste Prinzip seiner philosophischen Lehre abzusetzen, bei dem es sich nennen ist, und zum andern verweist er auf die Definitionenfolge I. 8-22 aus genauer um die Idee des Guten handelt. Dabei ist ferner zu beachten, daB der den Elementen, in der zunächst der Begriff des ebenen Winkels mit seinen Terminus avuxéSetov bei Platon nur im Liniengleichnis vorkommt,* und damit dürfte auch schon klar sein, daß er mit seiner Benennung gewisser von 39 Die Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium des Theon von Aristoteles als Gea bezeichneter mathematischer Prinzipien* als tnotécetc Smyrna (Recensuit E. Hiller, Leipzig 1878), dessen Wirken als Astronom auf die exemplarisch sagen wollte, daß die Prinzipien aller Fachwissenschaften im Jahre 127-132 n. Chr. datiert werden kann (siehe O. Pedersen, A survey of the Almagest, Odense 1974, 13), dient ausschließlich der Erklärung von mathematisch interessanten Stellen aus dem Corpus Platonicum, und der Platonikes des Eratosthenes diirfte 44 Politeia 510d4-511a2. zu demselben Zweck geschrieben worden sein (dazu verweise ich auf die in diesem 45 Dazu verweise ich ergänzend auf H.-J. Waschkies (wie Anm. 1), 318-322. Sammelband abgedruckten ‘Anmerkungen zur Musiktheorie des Eratosthenes’ von K. Geus). 40 Politeia VI, 509c1-511e6 (Platon, La république, I-II. Texte établi et traduit par E. Chambry avec introduction d’ A. Dies, Paris 1967-1970 [!1932-1934]). 41 42 Wie ich später begründen werde, hat'Euklid die Listen mit den Prinzipien, die den L. Heiberg (wie Anm. 34), 24, ist inzwischen von S. Maracchia ergänzt worden, der 28 dafür einschlägige Stellen aus dem Corpus Aristotelicum anführt (Aristotele e 1' incommensurabilitä, Archive for History of Exact Sciences, 21 [1980], 201-228). 47 Das Wort avundSetov ist außerdem in einer Passage aus der Metaphysik (IV 3, mathematischen Teiltheorien aus seinen Elementen voranstehen, noch nicht mit Titeln 1005b14) belegbar, in der Aristoteles die erkenntnistheoretischen Betrachtungen aus wie Gpa, aityjiata oder XoLvai ÉvvoLat versehen. Trotzdem werde ich diese unbedem Liniengleichnis dadurch fortführt (siehe W. D. Ross [wie Anm. 14], I, 263), daß wiesenen Sätze aus den Elementen wie üblich als Definitionen, Postulate und Allgeer die Idee des Guten durch den dort als das dvunódetov bezeichneten und zum obermeine Vorstellungen bezeichnen, doch wie bereits gesagt, soll damit nicht unterstellt sten Prinzip aller Wissenschaften erklärten Satz vom Widerspruch ersetzt (1005b19- sein, daß sie von Euklid auch schon mit diesen Namen belegt worden sind. 23; dazu verweise ich ergänzend auf die nachfolgende Anm. 217). Außerdem findet In der Zweiten Analytik ergänzt Aristoteles einen Hinweis auf die Art, in der man man es bei dem von Platon (und Aristoteles) abhängigen Proklos [wie Anm. 21], damals Definitionen zu formulieren pflegte (ata toùc viv tpönoug Tüv öpwv II 7, 11.9, 31.13, 32.15-16 und 75.9, der im Kontext der drei zuerst genannten Stellen das 92b19) durch ein partielles Zitat der Definition 1.15 aus den Elementen, die den Kreis Liniengleichnis aus der Politeia kommentiert, auf das er auch in den Zeilen 75.7-10 beschreibt. Dazu verweise ich ergänzend auf Topica VIII 3, 158a31-159a2, wozu anspielt, und schließlich läßt es sich auch noch in einem Anhang zu den Definitionen noch angemerkt sei, daß Aristoteles in diesem Kapitel zur Bezeichnung der fraglichen aus der Geometria des Hero Alexandrinus belegen (Opera, IV. Edidit J. L. Heiberg, Prinzipien sowohl den Terminus öpog (158433, b8 und b17) als auch den anscheinend 43 46 Die Liste der Belege für dieses mathematische Lieblingsbeispiel des Aristoteles von J. Stuttgart 1976, 11912, 108.10-160:7, dort 126.18-128.5), der nach Ansicht des von ihm selber geprägten und vor allem im Kontext seiner eigenen Lehre benutzten Herausgebers J. L. Heiberg ein Exzerpt aus dem Euklidkommentar des Proklos (bzw. Ausdruck Optop.6g (158b4, b25, b29, b30, b32, b34, b36 und b39) verwendet. Diesen aus einer daraus exzerpierten Sammlung von Scholien) ist (IV), das ein Byzantiner im Terminus übersetze ich im folgenden durchgängig mit den Worten 'kanonische Defini- XI. Jahrhundert an die Definitiones aus Herons Geometria angefügt hat. tion’; denn wenn Aristoteles von einem dptowdc spricht, meint er stets eine verbindlich 48 Dazu sei noch ergänzend angemerkt, daß Aristoteles im Kontext eines Zitats der auch festgelegte Definition, die zu einer als bekannt vorausgesetzten Lehre gehört (siehe H. im Liniengleichnis erwähnten Definition 1.12 aus den Elementen, die festlegt, was Schmitz, Die Ideenlehre des Aristoteles, I [in zwei Teilen] - II, Bonn 1985, I.1 60). unter einem spitzen Winkel zu verstehen ist (siehe Anm. 43), das Verb opíferv Politeia 510c2-7. gebraucht (Metaph. VII 10, 1035b6-8).

Vergleich mit dem obersten Prinzip seiner eigenen Ideenlehre unbegriindete Annahmen sind, die erst noch in jenem œvuréSetov zu fundieren wären.*? Damit ist jede Rekonstruktion der frühgriechischen Mathematik, in die wie in A. Szabös Ausführungen über die Anfänge der griechischen Mathematik grundlegend eingeht, daß die Mathematiker des frühen 4. Jhs. v. Chr. ihre Definitionen (oder gar alle Prinzipien ihrer Wissenschaft) als ünos&oeız bezeichnet haben," aber auch schon als verfehlt erwiesen. 105 Die wichtigste Quelle, der wir etwas über die Struktur der mathematischen Theorien der Griechen entnehmen können, sind Euklids Elemente, und daher beginne ich meine Untersuchung über die APXAI der griechischen Mathematiker mit einer Analyse der Theorien aus diesem Sammelwerk. In allen mır bekannten Arbeiten über die Prinzipien der griechischen Mathematik wird vorausgesetzt, daß Euklid dem I. Buch der Elemente 23 von ihm Gea genannte Sätze vorangestellt hat, auf die dann zunächst fünf von ihm als aitipata bezeichnete Sätze und schließlich noch (höchstens) 10 (aber wenig- Noch größer als im Fall des Corpus Platonicum sind dann schließlich die Schwierigkeiten für jeden, der versucht, die Frühgeschichte der griechischen Mathematik an Hand von Stellen aus dem Kommentar des Proklos zum Ersten Buch der Elemente des Euklid zu rekonstruieren, der erst im 5. Jh. n. Chr. geschrieben worden ist. Proklos bemüht sich im Rahmen seiner Ausführungen nämlich nicht nur, Euklids Praxis mit der Wissenschaftstheorie aus der Zweiten Analytik (sowie Lehren von Geminos und andern spätantiken Autoren) in Einklang zu bringen. Als dezidierter Neuplatoniker neigt er außerdem dazu, platonisches Gedankengut mit der Wissenschaftstheorie des Aristoteles zu vermengen, die er dabei nicht selten mit Hilfe von spezifisch platonischen Termini referiert.5! Ein Beispiel dafür ist, daß Proklos die Definitionen des Aristoteles samt den Begriffsbestimmungen aus Euklids Elementen im stens 3) von ihm xavai Evvası genannte Sätze folgen.’ Einen wichtigen Hinweis auf die Feinstruktur der Elemente bietet außerdem die Tatsache, daß den Büchern IL, III, IV, V, VI sowie den arithmetischen Büchern VII-IX, Buch X und dann weiter den (im wesentlichen stereometrischen) Büchern XIXIII jeweils neue, in den modernen Euklidausgaben gleichfalls mit dem Titel Spa überschriebene Definitionenfolgen voranstehen (wozu noch angemerkt sei, daß in den Text des X. Buchs weitere Listen mit Definitionen integriert sind). Auch den Vorträgen, auf die dieser Aufsatz zurückgeht, lag die Prämisse zugrunde, daß zu den Listen mit den Prinzipien aus Euklids Elementen die eben genannten Titel gehören; aber W. R. Knorrs nachstehend referierte textkritische Ausführungen zu J. L. Heibergs seit ihrem Erscheinen in den Jahren 1883-1888 kanonischer Ausgabe der Elemente’ haben mich Anschluß an das Liniengleichnis aus der Politeia als únodéceis bezeichnet;5? aber andererseits findet man bei Proklos auch wissenschaftstheoretische Einsichten, die weiterführen als die Überlegungen der von ihm kommentierten Autoren. 49 Siehe H.-J. Waschkies (wie Anm. 1), 318-326. 50 Siehe A. Szab6 (wie Anm, 9), 243-452, dort insbesondere 310-328 und 341-346. 51 Proklos schreibt am Anfang des zweiten Teils der wissenschaftstheoretischen Ausführungen, die seinen Zuklidkommentar einleiten, selber (wie Anm. 21), 48.1-5, “er habe im voranstehenden das Allgemeine und jede mathematische Wissenschaft Betreffende mit Platon als Weggenossen dargestellt und dabei von anderen [Autoren] an Gedanken aufgegriffen, was ihm für [seine] Abhandlung [passend schien] ". 52 Passagen, die als typische Beispiele für das oben skizzierte Vorgehen von Proklos dienen können, sind die Zeilen 75.5-77.6 und 178.1-8 aus seinem Euklidkommentar (wie Anm, 21). Dabei verdient Beachtung, daß Proklos die Definitionen aus dem I. Buch der Elemente zwar zumeist bnoSéoetc nennt; aber es gibt auch Stellen, an denen er sie als pot bezeichnet (81.26 und 94.1). 53 Die mittelalterlichen Übersetzungen der Elemente aus dem Griechischen und Arabischen ins Lateinische enthalten eine Liste von 10 ersten Sätze dieser Art (Euklid, The mediaeval Latin translation of Euclid's Elements made directly from the Greek [wie Anm. 17], 28, und Euklid, The Latin translation of the Arabic version of Euclid's Elements commonly ascribed to Gerard of Cremona. Introduction, edition and critical apparatus by H. L. L. Busard. Leiden 1984, 3), wahrend Heron von Alexandria nach einer Notiz aus dem Kommentar des Proklos zum ersten Buch der Elemente nur die ersten drei dieser Prinzipien für erforderlich hielt (wie Anm, 21), 196.15-17. 54 Bei dem Referat vom 6. Treffen des AKAN handelte es sich um die gekürzte Version eines Vortrags, den ich zuerst an 18. 08, 1992 während des International Symposium on the early Greek mathematics in Athen sowie am 17. 12. 1993 im Rahmen eines Kolloquiums des Berliner Forschungsschwerpunkts Wissenschafisgeschichte und Wissenschafistheorie der Fürdergesellschaft Wissenschafiliche Neuvorhaben und schließlich am 21. 06. 1994 im Mathematischen Colloquium des Fachbereichs Mathematik der Universität Bremen gehalten habe. $5 Siehe Anm. 17.

Die Prinzipien der griechischen Mathematik inzwischen überzeugt, daß die fraglichen Titel nacheuklidisch sind. Dazu Theon von Alexandria teilt in seinem um 400 n. Chr. abgefaßten Kommentar zum Almagest mit, daß er die Elemente des Euklid ediert hat, Elemente ins Arabische, deren früheste Version gegen Ende des 9. Jhs. entstanden ist, ein griechischer Text zugrunde lag, in dem Theons Ergänzung zu Satz V1.33 gleichfalls fehlte. Auch sonst entspricht der Wortlaut bei den Arabern verschiedentlich dem Text aus P, und daraus schloß Klamroth, daß uns mit den arabischen Versionen der Elemente ein Textzeuge erhalten ist, wozu er noch ergänzend anmerkt, daß der Satz VI.33 von ihm dabei um den man bei zukünftigen Editionen dieses Werks beachten sollte. schicke ich vorab einige Bemerkungen zu Heibergs Text voraus. einen Zusatz angereichert worden ist.57 Dem entspricht, daß in den meisten griechischen Handschriften der Elemente auf den Titel die Worte &x ic BEwvog Exdösewg bzw. and cuvouaüv tod Oéuvos folgen,5® doch 1814 entdeckte E, Peyrard, daß der im 10. Jh. n. Chr, geschriebene (inzwischen ihm zu Ehren mit dem Sigel P bezeichnete) Codex Vaticanus graecus 190 einen Euklidtext enthalt, in dem nicht nur der eben angeführte Zusatz zu dem Titel, sondern auch Theons Anhang zum Satz V1.33 fehlt. Damit schien die Quelle gefunden, die Euklids Text am verläßlichsten bewahrt hat,5° und ganz in diesem Sinne ist J. L. Heibergs Edition der Elemente im wesentlichen ein an Hand der theonischen Handschriften von typischen Abschreibfehlern befreiter Abdruck des Textes aus dem Kodex P.% Gegen eine Überbewertung dieser Handschrift waren allerdings schon 1881 (und damit noch vor dem Erscheinen von J. L. Heibergs Ausgabe der Elemente) Bedenken angemeldet worden. M. Klamroth hatte nämlich festgesteilt, daß den Übersetzu ngen der 56 W. R. Knorr, Thoughts on Heiberg's Euclid: Some old conjectures and some new ones, Vortrag vom 05. 08. 1994 während des Zeuthen-Heiberg Symposiums in Diesem Rat ist unter den Euklidherausgebern bislang nur C. Thaer in seiner deutschen Übersetzung der Elemente (vom Buch X an) gefolgt.® J. L. Heiberg hielt Klamroths Urteil über die arabischen Euklidhandschriften dagegen für verfehlt. Ihm war bekannt, daß der im 11. Jh. geschriebene, inzwischen zumeist mit dem Sigel b zitierte Codex bibliothecae communalis Bononiensis 18-19, in dem ansonsten die theonische Version der Elemente zu finden ist, von Satz XI.36 an bis zum Ende von Buch XII einen häufig knapper formulierten Euklidtext enthält, der dort weitgehend dem der Übersetzungen ins Arabische entspricht.® Heiberg vermutete jedoch (ohne jede weitere Begründung), daß b der Rest einer Version der Elemente ist, die ein "byzantinischer Lehrer der Mathematik, der eigenmächtig den Text zurechtmachte, wie es ihm für die Unterrichtszwecke gut diinkte",% im 8. Jahrhundert mit nicht geringem Sachverstand erstellt hat. Später soll diese Überarbeitung der Elemente dann den Weg zu den Arabern gefunden haben, und somit schienen Heiberg deren Übersetzungen für die Rekonstruktion des Euklidtextes wertlos. Magleaas (Dänemark). 57 Commentaires de Pappus et de Théon d' Alexandrie sur 1' Almageste. Texte établi et annoté par A. Rome. I: Pappos von Alexandria: Commentaire sur les livres 5 et 6 de i’ Almageste. 11H11: Theon von Alexandria: Commentaire sur les livres 1-4 de I" Almageste, Rom 1931, 1936 und 1943, II 492. $8 Siehe T. L. Heath (wie Anm. 18), 1 46. 59 F. Peyrard erkannte zwar die Bedeutung von P für die Wiedergew innung eines möglichst authentischen Textes; aber seine Ausgabe der Elemente in den Oeuvres d' Euclide, en Latin et grec et en Français d' après un manuscrit très-ancien, qui était resté inconnu jusqu’ à nos jours, Paris 1814-1818, folgt noch weitgehend dem theonischen Text und nennt die davon abweichenden Lesarten aus P zumeist nur in einem ausgedelinten Appendix; siehe T. L. Heath (wie Anm. 18), [ 103. 60 61 Siehe J. L. Heiberg, Prolegomena critica XXXVIID. ( (Element a, [wie Anm. 17], V.1, XXVA M. Klamroth, Uber den arabischen Euklid, Zeitschrift der Deutschen Morgenländ ischen Gesellschaft 35 (1881), 270-326. Nachdem schon von E. Neuenschwander betont worden war, daß die textkritischen Überlegungen von Klamroth und Thaer im Fall der stereometrischen Bücher XI-XIII näher an den Text von Euklid heranführen dürften als 62 Siehe Euklid, Die Elemente. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von C. Thaer. Darmstadt 1971 (11933-1937), dort 447, sowie C. Thaer, Die Euklid-Überlieferung durch al-Tusi, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abt. B: Studien, 3 (1934), 116-121. 63 J. L. Heiberg, Die arabische Tradition der Elemente Euklid's, Zeitschrift für Mathematik und Physik. Historisch-literarische Abtheilung: 29 (1884) 1-22 mit der Tafel II] am Ende des Bandes, und Paralipomena zu Euklid, Hermes 38 (1903) 46-74, 161-201 und 321-356, dort 161-176 und 193-201; der Text und die Beweise der Sätze XL36 XII.18 aus b sind von J. L. Heiberg in Elementa IV (wie Anm. 17) als Appendix II abgedruckt worden. 64 J. L. Heiberg, Paralipomena (wie Anm. 63), 200.

Heibergs Ausgabe,ó ist W. R. Knorr diesem Proble m nunmehr unter Einbeziehung aller Bücher der Elemente von neuem nachgeg angen. Wie er bemerkt, fehlen in P neben einer Reihe von Definit ionen und Korollaren zwar auch noch manche Zweitbeweise aus Theons Ausgab e, abgesehen unterscheidet sich der Text der Elemen doch davon te aus P fast nur noch durch triviale Varianten von der theonischen Rezension.66* Von dem in b partiell überlieferten griechischen Text, der nicht nur den arabischen Versionen entspricht, sondern auch der Gerard von Cremon a zugeschriebenen lateinischen Übersetzung aus dem Arabischen und der im 12. Jahrhun dert von A 109 Die Prinzipien der griechischen Mathematik von P und der theonischen Version versucht, mathematisch wenig geübten Lesern das Nachvollziehen der euklidischen Argumente durch Rückverweise zu erleichtern. Diese angereicherte Ausgabe der Elemente lag spätestens seit dem 4. Jh. vor; denn sie wird von den Kommentatoren Pappos, 7° Proklos und Simplikios zitiert;”! aber daneben gab es noch bis zum 11. Jh. einen heute (mit Ausnahme des XII. Buches sowie einiger Satze aus Buch XI in b) nur an Hand der arabischen und lateinischen Ubersetzungen rekonstruierbaren Text, der uns genauer zeigt als der Kodex P, welchen Umfang Euklids Elemente ursprünglich hatten. einem Anonymus in Sizilien aus dem Griechischen ins Lateinische zugrunde lag, 57 auf die ich mich angefertigten Übertragung im folgenden beziehe, wenn von dieser alten Tradition der Elemente die Rede ist, differiert der (von Heiberg in seiner Ausgabe der Elemente wieder gewonnene) gemeinsame ‘Kern’ des Texts aus P und den theonischen Handsch riften dagegen immer wieder dadurch, daß dessen Redakteur Euklid s Beweise zum Zwecke einer einfacheren Nachvollziehbarkeit durch größere oder auch kleinere Zusätze ergänzt hat. Als ein besonders einprägsames Beispiel dafür bereits früher als anstößig empfundene wörtliche Zitat X.1 im Beweis der Proposition X11.2,6 das in der nennt Knorr das des kompletten Satzes auch sonst sehr viel straffer formulierten Begründung dieses Theorems in den lateinischen Ubersetzungen fehlt, und auch an andern Stellen hat der Autor 65 des gemeinsamen Kerns E. Neuenschwander, Die stereometrischen Bücher der Elemente Euklids, Archive for History of Exact Sciences, 14 (1974-1975), 91-125, dort 98-101. steme fiir metatheoretische Fragen interessiert haben. Wie ich oben bereits erwahnte, gingen bislang alle Arbeiten zu diesem Themenkreis von der Prämisse aus, daß Euklid den Listen mit den von ihm nicht bewiesenen Sätzen die Titel Ga bzw. aituata oder xavat Ewan gegeben hat, doch dagegen hatte man schon auf Grund des Texts in den griechischen Handschriften Bedenken hegen sollen, die Heibergs Ausgabe der Elemente zugrunde liegen. Nach Heibergs Apparat bietet sich dort am Anfang der Bücher I-VII und X-XI nämlich folgendes Bild: Leipzig 1882, 180), "daß der Abstand zwische n der Recension Theons und der von 190 gebotenen in der That keineswegs so groß ist, wie die [älteren EuklidJausgaben ihn erscheinen lassen" . Siehe Anm. 17 und Anm. 53. Definitionen' überschrieben,?? obwohl über den vier Begriffsbestimmungen turgeschichtliche Studien über Euklid, Vatic. [gr.] 68 Von den arabischen Übersetzungen der Elemente gibt es noch keine vollständige Druckausgabe. Die von R. O. Besthorn, J. L. Heiberg, G. Junge und J. Raeder besorgte, in Kopenhagen erschienene Edition des Codex Leidensis 399,1. Euclidis elementa ex interpretatione al-Hadschdscha dschii cum commentariis al-Narizii, 1, 1-2 (1893-1897), 11.1-2 (1900-1905) und III. 1-2 (1910-1 932), enthält nur die Bücher I-VI samt der Definitionen VII.1-7, nach denen integriert hat (siehe auch Anm. 202), abbricht Euklid . Ich habe bislang nur die Teile 111.1-2 zur Einsicht erhalten können und danke Herm Dr. C.-P. Haase für die Hilfe beim Überprüfen des arabischen Textes. Siehe H.-J, Waschkies (wie Anm, 26), am Anfang dieses Buches kein Titel stand. Der Titel öpaı fehlte außerdem am Anfang der Bücher II, III, V, VII und XI, und schließlich ist noch zu beachten, daß er über den Definitionen aus dem IV. Buch zwar in P, aber nicht in den Handschriften der theonischen Rezension steht. Ganz abgesehen davon der Text aus dem Kodex, in den der Ubersetzer den Kommentar des al-Nayrizi zu den (Büchern I-VI der) Elemente des 69 Euklid und seine Vorgänger beim Ausarbeiten ihrer mathematischen Satzsy- In den Archetypen, auf die P und die Rezension von Theon zurückgehen, standen den ersten Sätzen in Buch I und IV die Titel öpaı sowie aitmuata und xavai Eyvoraı voran. Außerdem waren dort die Definitionenfolgen, die in das X. Buch eingefügt sind, mit den Worten 'zweite (bzw. dritte) [Liste der] 66 J. L. Heiberg hat übrigens selber betont (Littera 67 Soweit ich sehe, hat bislang niemand beachtet, daB die textkritischen Uberlegungen von Klamroth, Thaer, Neuenschwander und Knorr für die Beantwortung der Frage von Bedeutung sind, in welchem Umfang sich 128-130. 70 Der älteste dieser Autoren ist Pappos, der nach A. Rome für das Jahr 320 n. Chr. eine (partielle) Sonnenfinsternis vorausberechnet hat (wie Anm. 57), Bd. 1, X-XUL 71 Siehe J. L. Heiberg, Die arabische Tradition der Elemente Euklid's (wie Anm. 63), 5. 72 Beútepol bzw. tpitor Spo, Elementa (wie Anm. 17), Buch X, nach Satz 47 bzw. 84.

wirkt dieser Titel tiber der Definitionenfolge aus dem I. Buch befremdlic h; denn durch die Def. 1.13 aus dieser Liste wird dem Wort öpos nicht die Bedeutung 'Begriffsbestimmung', sondern ’Grenze eines geometris chen Gebildes' zugeschrieben. daraus schließe ich nun insgesamt, daß die Titel, mit denen die Listen der 111 Prinzipien aus Euklids Elementen in einigen Kodizes überschrieben ‚sind, durchweg auf nacheuklidische Redakteure zurückgehen (für deren Existenz damit ein neues Indiz gewonnen ist). Damit ist ein erstes Indiz dafür gewonnen, daß die in Heibergs Text der Elemente aufgenommenen Titel ursprünglich nicht über den Listen mit Euklids mathematischen Prinzipien zu finden waren, Statt dessen scheinen sie im Falle von Buch I (und der Nachträge aus Buch X) von demjenig en Andrerseits kann es kaum einen Zweifel daran geben, daß die fraglichen Listen selber auf Euklid zurückgehen, und das impliziert zunächst, daß Buch I, II, III, IV, V, VI und Buch X, ferner die Arithmetik aus den Büchern VII- Redakteur zu stammen, auf den die uns durch die theonischen Handschr iften Euklid als mathematische Teiltheorien betrachtet wurden, denen er zur ht, während die Begriindung besondere Prinzipien vorangestellt hat; aber wie erst vor kurzem und P überlieferte, erweiterte Version der Elemente zurückge Listen mit den Begriffsbestimmungen aus den andern Büchern ihre Titel wahrscheinlich erst von byzantinischen Schreibern erhalten haben. Eine weitere Stütze für die These, daß die fraglichen Titel durchwe g nacheuklidisch sind, bietet der Papyrus Michigan III. 143.7 Bei dieser auf das 3. Jh. n. Chr. datierbaren Quelle handelt es sich leider nicht um den Rest (bzw. Anfang) einer ehemals kompletten Buchrolle mit dem Text der Elemente, sondern nur um den Teil eines Geschäftsbriefs, dessen leere Rückseite von einem Schreiber als Merkzettel benutzt worden ist. Er hat darauf die Definitionen I.1-10 aus den Elementen notiert, die er dabei (von kleinen Fehlern abgesehen) wörtlich zitiert. Diese Liste ist jedoch nicht mit dem Titel OPOI versehen, und das darf als ein zweites Indiz dafür gelten, daß sie in seiner Vorlage auch noch keinen Titel trug. Dazu kommt, daß die Blöcke mit den unbewiesenen Sätzen in den lateinischen Übersetzungen der Elemente aus dem Griechischen und Arabischen nirgends einen Titel tragen. Dasselbe gilt für die ‘zweite [bzw. dritte Liste der] Definitionen’ aus dem X. Buch, ”* und 73 Eine neue Edition dieses Dokuments findet man bei E. Tumer, D. H. Fowler, L. Koenen und L. C. Youtie, Euclid, Elements 1, Definitio ns 1-10 (P. Mich. II 143). In N. Lewis (Herausgeber), Papyrology, Yale Classical Studies 28 (1985), 13-24 mit einer Tafel, 74 Die fraglichen Definitionen folgen in der lateinisc hen Übersetzungen der Elemente aus dem Griechischen (siehe Anm. 17) wie in Heibergs Text auf die Sätze X.47 und X.34 (siehe Anm. 72), die in der lateinischen Übersetzung der Elemente aus dem Arabischen (siehe Anm. 53) als Satz X.44 und Satz X.82 gezählt noch angemerkt, daß über den Listen mit den Definitio IX und schließlich noch die Stereometrie aus den Büchern XI-XUI von wieder von I. Mueller betont worden ist,” hat bislang noch niemand ein Ordnungsschema ausfindig gemacht, dem Euklid im 1. Buch bei der Verteilung seiner Prinzipien auf drei Blécke durchgängig gefolgt sein konnte. Andererseits suggerierten die Titel über den Prinzipien in Heibergs Ausgabe der Elemente, daß es für sie spätestens seit Euklids Zeit cin strenges Ordnungsschema gab. Die Folge davon war, daB man die Blôcke mit den ersten Sätzen aus dem I. Buch der Elemente immer wieder daraufhin analysierte, ob sie wenigsten einigermaßen zu einem durch jene Titel implizit gegebenen wissenschaftstheoretischen Programm passen. Darüber hinaus versuchte man zumeist noch, nachzuweisen, daß dieses Programm mit der aristotelischen Lehre von den Prinzipien der beweisenden Wissenschaften aus den Kapiteln 2 und 10 des I. Buchs der Zweiten Analytik übereinstimmt, während ich zunächst einmal untersuchen werde, auf welche Strukturen eine von den fraglichen Titeln unbeeinflußte Analyse der Listen mit den Prinzipien aus den Elementen führt. Schon rein formal zerfallen die unbewiesenen Sätze, mit denen das Buch I der Elemente beginnt, in drei Gruppen. Den Anfang bildet ein Block von Aussagen, die eine Folge von geometrischen Objekten beschreiben, zu denen unter anderem der Punkt, die Gerade, der Kreis und schließlich auch noch Scharen von zueinander parallelen Geraden gehören. Danach kommen fünf (Neben)sätze, die grammatisch durchweg von dem ihnen vorangestellten (Haupt)satz "Es soll gefordert werden, ..."7° abhängen. Zu ihnen gehören werden. Ergänzend sei nen aus der Übersetzung des al-Haggag ins Arabische (zumindest im Falle der Bücher IV, V, VI und VII) keine Titel stehen (siehe Anm. 68). 75 1. Mueller (wie Anm. 10), 293. 76 Nuoto.

113 neben drei Konstruktionspostulaten von der Art, daß man zwei Punkte stets Paul Tannery war wohl der erste Wissenschaftshistoriker, der in neuerer durch eine Strecke verbinden kann, die Forderung, daß alle rechten Winkel Zeit bemerkte, daß Euklid versäumt hat, die Erklärung einer Reihe von miteinander gleich sind und schließlich noch Euklids oben bereits zitiertes mathematischen Termini wie den der Raute, des Rhomboids und des Viel- Parallelenpostulat. Darauf folgt dann ein letzter Block von 10 durch ein ‘und' nach dem gleich sein soll, was aufeinander paßt, und schließlich besagt der seits, die in den Lehrsätzen und Beweisen aus den Elementen durch die Begriffe Parallelogramm und Vieleck ersetzt worden sind, zu streichen.” Dazu geht aus dem Geometerverzeichnis des Proklos hervor,# daß Hippokrates von Chios um 430 v. Chr.®! das erste mathematische Lehrbuch mit dem Titel 'Elemente' schrieb, dessen überarbeitete Neuauflagen von Leon, letzte dann noch, daß zwei Geraden keine Fläche umfassen. der ein wenig älter als Eudoxos von Knidos war, von Theudios aus Magnemiteinander verbundenen Sätzen, von denen der erste 'Was mit demselben gleich ist, ist auch miteinander gleich' lautet. Vom gleichen Typ sind außerdem noch sieben dieser Sätze, während der achte ein Gleichheitskriterium ist, sia, der zur Generation des Eudoxos gehörte und schließlich von Euklid Im folgenden will ich die These zu erhärten versuchen, daß die griechischen Mathematiker von der Zeit an, zu der Aristoteles das 10. Kapitel des I. Buchs der Zweiten Analytik schrieb, bis hin zu Euklid in Definitionen von der Art, wie sie am Anfang des I. Buchs der Elemente zusammengestellt sind, die einzigen fachspezifischen Prinzipien sahen, die man für die Begründung einer wissenschaftlichen Spezialdisziplin benötigt. besorgt worden sind. Hippokrates dürfte sich demnach bereits mit einigem Erfolg bemüht haben, eine Vielzahl von Beweisketten und kleinen, logischdeduktiv strukturierten Satzsystemen zu umfangreichen Theorien zusammenzufügen, in die nur noch wenige, möglichst elementare Sätze als unableitbare Prämissen eingingen. Diese Theorien hatten somit schon dieselbe Grundstruktur wie die Bücher aus den Elementen des Euklid, die uns als einziges Werk dieser Art aus der Antike überliefert sind. Schließlich sprechen die Dazu sei zunächst angemerkt, daß solche Definitionen schon früh zu den Satzsystemen der griechischen Mathematiker gehörten. O. Becker hat in oben angeführten Gründe dafür, daß zu den Sätzen, die den Teiltheorien in den Elementen des Hippokrates als unbeweisbare Prinzipien (bzw. als für seinem für die Erforschung der Vorgeschichte von Euklids Elementen richunbeweisbar gehaltene Prämissen) vorangestellt waren, auch Definitionen tungsweisenden Aufsatz über die Lehre von Geraden und Ungeraden nämlich gehörten, und wie ich im folgenden näher begründen werde, setzte sich bei gute Gründe dafür angegeben,”?” daß dieser kleinen Theorie, die auf den den Mathematikern zur Zeit des Aristoteles schließlich sogar die Ansicht Beginn des 5. Jhs. v. Chr, datierbar ist und als das älteste Lehrstück der durch, daß man neben den Definitionen keine fachspezifischen Prinzipien zur spezifisch griechischen Mathematik gilt, bereits eine Folge von Begriffsbe- Begründung von mathematischen Theorien benötigt. Dabei muß allerdings stimmungen vorangestellt war, die insbesondere Euklids Definitionen VII. 6- offen bleiben, ob diese Neuerung schon in die Elemente des Leon einging 7 umfaßte.’® Außerdem zeigt das oben erwähnte Liniengleichnis aus der Politeia, daß einige Definitionen aus Euklids Elementen bereits zu Platons oder ob sie erst von Theudios beachtet wurde, weil die Datierung dieser Autoren bislang nicht mit der nötigen Genauigkeit gelungen ist. Zeiten zur Begründung der Mathematik dienten, und schließlich verrät ein Vergleich zwischen dem Text aus Euklids Elementen und der Liste der Definitionen, die ihrem I. Buch voranstehen, daß dieses Werk die zum Teil nur recht oberflächlich überarbeitete Version eines älteren Ensembles von Teiltheorien ist, denen ebenfalls schon Definitionen als Prinzipien voranstanden. 79 P. Tannery, Sur l' authenticité des Axiomes d' Euclide, Bulletin des Sciences Mathématiques, Serie 2: 8 (1884), 162-175, dort 162-163. 80 Siehe Proklos (wie Anm. 21), 66.4-68.23. 81 A. A. Bjómbo hat Hippokrates von Chios auf die Zeit von ca, 470-400 v. Chr. datiert (Hippokrates, RE, 16. Halbband, Stuttgart 1913, 1780-1801, dort 1781). Wie W. Burkert bemerkt hat (Weisheit und Wissenschaft, Nürnberg 1962, 291), paßt dazu eine Notiz aus der Meteorologie des Aristoteles (Meteorologicorum libri quattuor. Recensuit F. H. Fobes, Cambridge [Mass.] 1919, I 6, 342b35-343b7), nach der eine Kometenerscheinung aus dem Jahre 427 v. Chr. ein astronomisches Lehrstück derer 7? ©. Becker (wie Anm. 5). 78 Dazu verweise ich ergänzend auf H.-J. Waschkies (wie Anm. 1), 29-36 und 261-301. um Hippokrates von Chios, das demnach noch vor diesem Zeitpunkt entstanden war, als unhaltbar erwiesen hat.

Die Prinzipien der griechischen Mathematik 115 implizit durch ein logisch widerspruchsfreies Axiomensystem definiert sind, Die These, daß sich die griechischen Mathematiker (von vornherein) bemüht haben, ihre Theorien in Definitionen zu fundieren, neben denen als Aristoteles ebenfalls noch fern. Prinzipien nur noch theorieübergreifende Axiome zugelassen waren, ist vor kurzem auch von I. Mueller vertreten worden. Die Übereinstimmung Mit der wissenschaftstheoretischen Lehre, nach der Definitionen beschreiben, was eine Sache ist (und keineswegs nur, was irgend ein Term bedeutet), zwischen den Ergebnissen von Muellers Überlegungen und meinen oben vorgreifend skizzierten Vorstellungen ist jedoch rein formal; denn Mueller knüpft Aristoteles wahrscheinlich an einige Ausführungen aus Platons Meno an,®° auf den er gleich zu Beginn seiner Zweiten Analytik expressis verbis beschreibt die Funktion, in einer Wissenschaft verweist.” Platon läßt Sokrates und Menon dort nach einer angemessenen zukommt, vom Standpunkt der Wissenschaftstheorie unserer Tage. Danach wären die Definitionen der griechischen Mathematiker nichts weiter als der Beschreibung dessen suchen, was Tugend ist. Das gelingt nicht, und daher schlägt Sokrates vor, sich an dem Vorgehen der Geometer zu orientieren, ® sprachlichen Ökonomie dienende Erklärungen nichtprimitiver Termini, die deren ihrerseits nur implizit durch die Axiome der fraglichen Theorie definiert wurden. die den Definitionen sind.82 Ähnlich ist auch schon von W. D. Ross behauptet worden, daß Begriffsbestimmungen von Platon mithin für vorbildlich gehalten Dabei verweist er zum einen auf die Definition XI.2 aus den Elementen, in der die Fläche als Grenze eines Körpers beschrieben wird,® und zum andern spielt er im Kontext dieser Stelle (wie im Liniengleichnis aus Aristoteles in den kanonischen Definitionen, die nach der Wissenschaftstheorie aus den Analytica posteriora zu den fachspezifischen Prinzipien gehören, bloße Nominaldefinitionen sah, doch das trifft sicherlich nicht zu; denn Aristoteles betont im 7. Kapitel des II. Buches der Zweiten Analytik,®* es sei der Politeia)? auf die Definitionenfolge 1.13-22 aus den Elementen an, die eine Reihe von ebenen Figuren beschreibt.?! Beachtung verdient dabei außerunsinnig anzunehmen, daß die von ihm zu den Prinzipien der Beweise 86 Meno (Plato's Meno. Edited with introduction and commentary by R. S. Bluck, Cambridge 1961), 71b1-80d4. gerechneten kanonischen Definitionen nichts weiter als eine Erläuterung dessen sein sollen, was ein Name bedeutet. Definitionen, die für eine 87 Die einzigen Verweise des Aristoteles auf Platons Meno findet man nach dem Index Aristotelicus von H. Bonitz (Graz 1955 [11870], 454b) in Anal. priora, Il 21, 67a21 Wissenschaft relevant sind, müssen nach Aristoteles nämlich etwas beschreiben, was existiert. Wie er dazu erläuternd ausführt, kann man nämlich auch erklären, was unter einem Namen wie 'Ziegenhirsch'85 verstanden werden und Anal. post. 1 1, 71229. 88 Meno 75e1-76a7. 89 Wie schon von V. Karasmanis erkannt worden ist (The hypotheses of mathematics in soll, doch das ist keine kanonische Definition, die als Prinzip in einer Plato's Republic and his contribution to the axiomatization of geometry. In P. Nicola- Wissenschaft fungieren kann, weil es keine Ziegenhirsche gibt. Wissenschafcopoulos (Herausgeber), Greek studies in the philosophy and history of science, Amsterdam 1990, 121-135, dort 128), entspricht die Definition der ebenen Figur als ten handeln nach Aristoteles nämlich grundsätzlich nicht von bloßen Phantasiegebilden, und wie ich weiter unten noch erläutern werde, Grenze eines Körpers (ctepEOÙ népag oxic [Eottv], Meno 7646), die nach Platon in der Geometrie seiner Zeit üblich war (Ev zaig yeapetpiatc, 7622), nicht Euklids Def. liegt die Vorstellung, nach der es eine Wissenschaft von Dingen geben kann, die nur 1.14, nach der “eine Figur etwas von einer oder mehreren Grenzen Umfaßtes ist”, sondern der Def. X1.2 (stepeoö de népac Enupaverd [écuv]), mit der die “Fläche als Grenze eines Körpers” eingeführt wird. Der Kontext dieser Stelle bietet übrigens einen weiteren Beleg dafür, daß Platon auf Details der Mathematik seiner Tage anspielt, ohne sich an die Terminologie der Geometer zu halten; denn er bezeichnet 82 I. Mueller (wie Anm. 19), 63-64; auf Muellers oben kritisierte Deutung der aristotelischen Wissenschaftstheorie gehe ich am Ende der hier vorgelegten Untersuchung noch etwas detailierter ein. 83 W. D. Ross, Aristotle's Physics (wie Anm. dort gewisse krummlinig begrenzte Figuren, bei denen es sich u. a. um den Kreis handelt (siehe auch Parmenide. Texte établi et traduit par A. Dies, Paris 1965 14), 525, Kommentar zu den Zeilen [11923], 198a17-18. 137e2 -3), mit dem Wort otpoyyuAéme (73e3-74b7), das in dieser Bedeutung nur hier nachweisbar ist und sonst die Bedeutung von Gekrümmtheit oder 84 Anal. post. 11 7, 92b3-11 und b26-30. Kriimmung hat. 85 Der 'Ziegenhirsch' (tpayéAayoc) wird von Aristoteles häufig als Phantasiegebilde angeführt, von dem man auf Grund seiner kanonischen Darstellung in der Kunst eine 90 Siehe Anm. 40. feste Vorstellung hatte; siehe W. D. Ross, Aristotle's Analytics (wie Anm. 14), 410. Meno 73e3-74e10.

dem, daß die krummlinig begrenzten Figuren im Meno ganz ebenso wie in der Liste der Begriffsbestimmungen aus Euklids Elementen vor den geradlinig begrenzten angeführt werden; denn das ist ein Indiz dafür, daß die fraglichen Definitionen in der Version der voreuklidischen Elemente, die Platon der vorlag, bereits in derselben Reihenfolge aufgelistet waren wie bei Euklid. wesentlichen Mathematik [zu wissen], was das 117 Gerade und das Gekriimmte, oder was eine Kurve und [was] eine ebene Flache ist, um einzusehen, wie vielen Rechten die Winkel [in jedem] Dreieck gleich [sind]. Andrerseits Eigenschaften aber tragt auch [die sehr Kenntnis] der beträchtlich zur Erkenntnis dessen bei, was das [betreffende Ding] ist. Sobald wir Die eben analysierte Stelle aus dem Meno zeigt zunächst, daß F. Solmsens nämlich in der Lage sind, nach [unserem] Vorstellungsvermögen Behauptung, nach der "die Mathematik zu der Zeit, als Plato [das sicher nach dem Meno abgefaßte Liniengleichnis aus der] Politeia niederschrieb,?? noch keine Definitionen kannte" ‚9 ebenso unzutreffend ist wie Solmsens daraus betreffenden] Dinges zu machen, werden wir auch aufs beste in abgeleitete Vermutung, daß die spezifisch griechische Mathematik, die uns punkt jedes Beweises bildet nämlich [die Beschreibung dessen], prototypisch was das [betreffende Ding] ist, und daher sind alle kanonischen in Euklids Elementen überliefert ist, ihre Entstehung Aussagen über alle oder [doch] die meisten Eigenschaften [des der Lage sein, über [dessen] Wesen zu sprechen. Den Ausgangsrichtungsweisenden Anregungen von Platon verdankt.?* Nicht minder wichtig Definitionen, die weder zu einem Erkennen von [dessen] Eigenist unter wissenschaftsgeschichtlichen Aspekten jedoch, daß die Definitionen, schaften führen noch gestatten, darüber plausible Vermutungen die im Meno noch nicht als dpa (oder gar opopol) bezeichnet werden, nach Platon das Wesen der betreffenden Sache beschreiben sollen, damit man aus anzustellen, offensichtlich ein Beispiel für bloße Disputierkunst und leer dahingeredet."?? ihnen verläßlich ableiten kann, welche Eigenschaften die fragliche Sache hat.96 Das ist von Aristoteles übernommen worden; denn er schreibt an der nachfolgend zitierten Stelle aus De anima, der für die Wiedergewinnung seiner wissenschaftstheoretischen Deutung der Mathematik eine Schlüsselrolle zukommt: In den soeben angeführten Zeilen behauptet Aristoteles, daß der von Euklid als Theorem 1.32 in die Elemente aufgenommene Satz von der Winkelsumme im Dreieck aus den Definitionen des Geraden (als unterschieden vom Gekrümmten), der Fläche und des Dreiecks abgeleitet werden kann. Das paßt zu seiner Wissenschaftstheorie aus dem 10. Kapitel des I. Buchs der "Es hat jedoch den Anschein, daß nicht allein die Kenntnis Zweiten Analytik, nach der die (durch einige Existenzpostulate erganzten) dessen, was das [betreffende Ding] ist, nützt, wenn man eine Definitionen®® die einzigen fachspezifischen Prinzipien der einzelnen Wissen- Untersuchung über die Gründe für die Eigenschaften anstellt, die schaften sein sollen,?® während die Praxis, nach der die Mathematiker den den [fraglichen] Wesen eigen sind. [So nützt es] beispielsweise in 92 Zur Datierung der Schriften aus dem Corpus Platonicum verweise ich auf H. Thesleff (wie Anm. 33), 15 und 19-20. 93 F. Solmsen, Platos Einfluß auf die Bildung der mathematischen Methode, Quellen und Studien zur Geschichte der Matbematik, Astronomie und Physik. Abt. B: Studien, 1 (1929-1931) 93-107, dort 103 (sowie 99-101). 94 Damit steht F. Solmsen in einer alten Tradition, die sich bis zum Geomererverzeichnis 96 Meno 71b3-4. 97 De anima 1 1, 402b16-403a2 (Aristoteles, De anima. Edited, with introduction and commentary by W. D. Ross, Oxford 1961). 98 Wie schon von W. Kullmann (Wissenschaft und Methode, Berlin 1974, 177) und A. Gómez-Lobo (wie Anm. 19), 436, mit einem Hinweis auf die zu den Ausführungen in Anal. post. 1 2 und I 10 parallelen Erläuterungen in Topica VII.3 153a15 betont des Neuplatonikers Proklos zurückverfolgen läßt (wie Anm. 21), 67.2-68.23, dessen worden ist, läßt sich der Vorschlag von K. v. Fritz (wie Anm. 20), 40, den Terminus dafür einschlägige Zeilen sicher bis auf den Aristotelesschüler Eudemos von Rhodos üpoç in Anal, post. und nach F. Lassere sogar bis auf Platons Vertrauten Philipp von Opus zurückgehen setzen, auf keinen Fall halten. (De Léodamas de Thasos à Philippe d'Oponte. Témoignages et fragments. Edition, traduction et commentaire par F. Lasserre, Neapel 1987, 613-615). 95 ovcia (Meno 72b1). 12 und I 10 nicht mit ‘Definition’, sondern mit ‘Begriff’ zu über- 99 Anal, post. | 10 (siehe auch II 17, 99a22-23); außerdem spielt Aristoteles in Anal. post. 132, 88b27-29 noch einmal auf die von ihm in Anal. post. 1 2 und I 10 angeführten fachspezifischen Prinzipien der beweisenden Wissenschaften an, die er in diesem Fall als apyat ¡Star bezeichnet.

Winkelsummensatz in der Antike bewiesen haben, schwerlich mit der oben zitierten Passage aus De anima in Einklang zu bringen ist. Eine Textstelle aus der Metaphysik zeigt nämlich,!® daß in den Beweis des Satzes 1.32 aus den Elementen, nach dem die Summe der Winkel in jedem Dreieck zwei Rechte ausmacht, damals bereits dieselben Sätze als Prämisse eingingen wie in Euklids Beweis, und zum andern gibt es Stellen aus dem Corpus Aristotelicum, die erkennen lassen, daß die Definition der Kurve, die Aristoteles voreilig schließen, daß die von Euklid 119 beweistechnisch nirgends mehr verwendeten Prinzipien in der Antike nie zur Begründung von geometrisch interessanten Sachverhalten benutzt worden sind. Ein Beispiel dafür bieten die Definitionen 1.1, 1.2, 1.5 und XI.1 aus den Elementen, die auf Eudoxos von Knidos zurückgehen dürften!® und beschreiben sollen, was ein Punkt, eine Kurve, eine Fläche und ein Körper sind. Danach ist für den Punkt charakteristisch, daß er keine Teile hat,!% und wie wir einigen Passagen aus vorlag, dieselbe war, die wir bei Euklid finden. !% dem Corpus Aristotelicum entnehmen können, folgerte man daraus, daß sich Im Falle des Geraden und der ebenen Fläche liegen die Verhältnisse dagegen etwas anders. In Buch VI. der Topik erwähnt Aristoteles,!% daß die Strecke als "Grenze einer ebenen Fläche [definiert wird], deren [eigene] Grenzen durch [ihre] Mitte verdeckt werden, [wenn man von der Mitte aus nach den Grenzen schaut]". Diese mathematisch unfruchtbare Begriffsbestimmung, die auch Platon schon erwáhnt,!% hat Euklid durch eine andere Definition ersetzt, deren Deutung seit jeher umstritten ist; aber ganz abgesehen davon wird sie in den Beweisen aus den Elementen ebensowenig benutzt dafür zitiere ich die folgende Passage aus dem Traktat De lineis insecabili- Kurven nicht sukzessiv aus Punkten zusammenfügen lassen.!9 Als Beispiel wie Euklids nicht minder rätselhafte Beschreibung der ebenen Fláche.!% Zwischen der Praxis der griechischen Mathematiker und der Behauptung des Aristoteles, nach der sich das Theorem 1.32 aus den Elementen letztlich mit Hilfe der von ihm in De ‘anima 1.1 erwähnten Definitionen begründen läßt, besteht mithin eine unübersehbare Diskrepanz, doch daraus darf man nicht bus: "[Da sich zwei Dinge entweder] wie ein Ganzes mit einem Ganzen oder wie irgendein [Teil] mit irgendeinem [Teil] oder wie ein Ganzes mit irgendeinem [Teil] berühren [und] der Punkt zum Teillosen gehört, kann er wohl mit [jedem anderen Punkt nur] wie ein Ganzes mit einem Ganzen in Kontakt treten. ... Wenn teillose [Dinge auf diese Weise] zusammen sind, nehmen sie trotz ihrer größeren Anzahl [aber nur] denselben Raum ein wie zuvor das eine. [Außerdem] hat das Teillose keinerlei Ausdehnung, und daher kann eine [Komponenten] Kurve nicht ausgedehnte bestehen, aus Punkten Größe woraus und nicht [insgesamt das aus unteilbaren folgt], Zeit[intervall] daß die nicht aus Momenten zusammengefügt [werden kann]",198 100 Metaph. IX 9, 1051a24-26; dazu verweise ich ergänzend auf den Kommentar zu dieser Stelle von W. D. Ross, Metaphysics (wie Anm. 14), II 270-271. Aristoteles geht im Kontext dieser Stelle außerdem auf einen Beweis für den sogenannten Satz des Ganz analog dürfte man aus den Definitionen 1.2, 1.5 und XI.1 abgeleitet haben, daß sich n-dimensionale geometrische Gebilde nie durch ein sukzessi- Thales ein (1051a27-29), der zu seiner Zeit offenbar auch schon aus den selben Sätzen wie in den Elementen deduziert wurde; siehe H.-J, Waschkies (wie Anm. 11), 175- ves Zusammenfügen aus (n-1)-dimensionalen Komponenten erzeugen lassen 183. Kurven und Flächen sowie Flächen und Körper) im Sinne der Def, V.4 nicht [n = 2, 3], und damit war nicht nur gezeigt, daß Punkte und Kurven (bzw. 101 Auf die Def, 1.2 aus den Elementen, nach der "eine Kurve eine breitenlose Länge ist”, spielt Aristoteles unmißverständlich in der Topik an (VI 6, 143b11-13). 102 Topica VI 11, 148b26-28. 103 Parmenides \37e1-5. 104 Zur Deutung der Definitionen |, 4 und 1.7 aus den Elementen, mit denen Euklid zu beschreiben versucht, was eine Gerade bzw. was eine ebene Fläche ist, verweise ich T. L. Heath (wie Anm, 18), I 165-169 und 171-172, sowie B. Vitrac, Euklid, Les auf Eléments, I (Buch 1-1V] und Il [Buch V-IX]. Introduction générale par M. Caveing (I 13-148), traduction et commentaire par B. Vitrac, Paris 1990-1994 [mehr bislang nicht erschienen], I 154-158, 105 Siehe Hans-Joachim Waschkies (wie Anm. 26), 300-307, 106 Def. 1.1: ometéy got, cb pepoc oùdév. 107 Phys. VI 1, 231n29-b6, De la génération et de la corruption. Texte établi et traduit par Ch. Mugler, Paris 1966, 1 2, 316a29-34 und De lineis insecabilibus. Introduzione, traduzione e commento a cura di M. Timpanaro Cardini, Milano; Varese 1970, 971a26-b26; dazu verweise ich ergänzend auf H.-J. Waschkies (wie Anm. 26), 240- 250 und 338-341), 108 De lineis insecabilibus 971a26-b4.

homogen sind und folglich auch nicht proportionentheoretisch miteinander gehören unter anderem ein dem Postulat 1.1 von Euklid entsprechendes 120 121 verglichen werden diirfen, sondern auch, daB der Demokrit zugeschriebene Axiom, nach dem es zu zwei Punkten stets eine sie verbindende Gerade Beweis für die Sätze XII. 7 und XII.10 vom Volumen der Pyramide und des gibt,!!2 sowie das oben schon zitierte, mit dem Postulat I.5 aus den Elemen- Kegels (der die Anwendung einer inzwischen anachronistisch als Prinzip des ten äquivalente Parallelenaxiom von D. Hilbert, während dessen Kongruenz- Cavallieri bezeichneten Begründungsmethode erfordert), nicht haltbar ist,10 axiom III.5 eine abgeschwächte Variante von Euklids Satz 1.4 ist, der besagt, Wie der Text aus den Elementen zeigt, hielt Euklid Argumente dieser Art daß zwei Dreiecke, bei denen paarweise zwei Seiten samt der von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel gleich sind, selber ebenfalls gleich sind. nicht mehr für akzeptabel; denn er hat sie ersatzlos gestrichen; aber das erwähnten Definitionen der Raute, des Rhomboids und des Vielseits dazu, Dabei sollen D. Hilberts Axiome im Unterschied zu Euklids Prinzipien (und Sätzen) aus den geometrischen Partien der Elemente aber nicht festlegen, daß die zugehörigen, nunmehr funktionslosen Begriffsbestimmungen in der Liste es sich bei den von ihnen erfaßten Objekten um so etwas Ähnliches wie die veranlaßte ihn erstaunlicherweise ebensowenig wie im Fall der oben schon seiner Prinzipien zu tilgen. Im folgenden soll nun noch etwas genauer erläu- Gebilde handelt, die man als Mathematiker zum Zwecke der Heuristik auf tert der ein Stück Papier zu zeichnen pflegt. Ein Modell für Hilberts Punkte und Begriffsbestimmungen, die Aristoteles in seinen Schriften vorträgt, von ihrer Geraden liegt zum Beispiel vor, wenn man die Punkte durch Paare (a,b) von Interpretation in der Wissenschaftstheorie von heute unterscheidet. reellen Zahlen und die Geraden durch spezielle Tripel (1,v,w) von reellen werden, wodurch sich die wissenschaftstheoretische Deutung Zahlen repräsentiert, wobei das Liegen von (a,b) auf (1,v,w) dann darin In David Hilberts Grundlagen der Geometrie, mit denen zum ersten Mal besteht, daß die Gleichung y = vx + w die Lösungen x = a und y = b "die seit Euklid in zahlreichen vortrefflichen Abhandlungen der mathematihat.113 Zu den nicht definierten, sondern nur in der eben erläuterten Weise schen Literatur [behandelte Aufgabe gelöst wurde], ein vollständiges und implizit durch Axiome eingeführten Begriffen, die ich im folgenden mit M. möglichst einfaches System von Axiomen aufzustellen und aus denselben die Pasch Kernbegriffe nenne,!!4 kommt noch eine Vielzahl von abgeleiteten wichtigsten geometrischen Sätze ... abzuleiten",!!° bleiben die grundlegenden Begriffen, die mit einem Rückgriff auf die Kernbegriffe (sowie weiteren, aus Objekte der Geometrie wie der Punkt und die Gerade ebenso undefiniert wie diesen bereits zuvor abgeleiteten Begriffen) explizit erklärt werden können. die fundamentalen Relationen, von denen hier nur das Verbunden-Sein von Die zugehörigen Definitionen von der Art der Def. 1.15 aus den Elementen, Punkten durch Geraden, das Sich-Schneiden von Geraden und das Kongrudie den Kreis als Gesamtheit aller Punkte in einer Ebene beschreibt, deren ent-Sein von Strecken und Winkeln genannt seien. Statt dessen postuliert Verbindungslinien Hilbert, daß 20 von ihm als Axiome bezeichnete Sätze gelten sollen.!!! Dazu Strecken sind, dienen dann allerdings nur noch der sprachlichen Ökonomie mit einem gewissen Punkt dieser Ebene kongruente und sind somit für einen axiomatisch-deduktiven Aufbau der Geometrie letztlich entbehrlich. 109 Siehe H.-J. Waschkies (wie Anm. 26), 251-393. 110 D. Hilbert (wie Anm. 16), 1. itt Wie ich bereits erwähnte, legt eine Menge von mathematischen Sätzen, die sich zu einer axiomatisch-deduktiv strukturierten Theorie anordnen lassen, nicht von sich aus fest, welche dieser Sätze den Rang von unbeweisbaren Prinzipien erhalten sollen. Dieser Sachverhalt wird zumeist im Zusammenhang mit den verschiedenen Möglichkeiten, Euklids Parallelenpostulat 1.5 zu ersetzen, diskutiert. Unter wissenschaftsgeschichtlichen Aspekten ist aber auch die Begründung der (ebenen) Geometrie von M. kommt er der Praxis der Elemente näher als Hilbert, weil die griechischen Mathematiker im allgemeinen nicht von unendlichen Größen sprechen. 112 Man beachte, daß sich D. Hilberts Axiom 1.1 und Euklids Postulat I.1] zwar einerseits entsprechen; aber andererseits unterscheiden sie sich auch; denn Hilberts Axiom 1.1 postuliert die Existenz der darin erwähnten Geraden, während Euklid ihre Konstruierbarkeit fordert. 113 Die Brauchbarkeit der oben angegebenen Zahlenpaare und Zahlentripel als Modelle Pasch von Interesse (Vorlesungen über neuere Geometrie. Um einen Anhang von M. für Punkte und Geraden ist natürlich nicht davon abhängig, daf) man sie in gewohnter Dehn über die Grundlegung der Geometrie in historischer Entwicklung erweiterte 2. Weise als Anweisung zum Zeichnen von Geraden(stücken) und Punkten auf einem Auflage, Berlin 1926 [!1882]); denn Pasch führt als undefinierten Kernbegriff den Terminus ‘Strecke’ (und nicht wie D. Hilbert den Terminus 'Gerade') ein. Damit durch ein Koordinatenkreuz vorstrukturierten Blatt Papier auffassen kann. 114M. Pasch (wie Anm. 111), 15.

Hans-Joachim Waschkies aus dem I. Buch der Zweiten Analytik hat er sich noch stark an Platons Es ist ganz offensichtlich, daß die griechischen Mathematiker bereits früh versucht haben, ihren Beweisen systematisch die Form von logischen Schlüssen zu geben, die von jeder Anschauung unabhängig sind, und nach R. Baldus war es somit ganz folgerichtig, daß Hilbert dieses Loslösen von der Anschauung bei seiner Begründung der euklidischen Geometrie (im Anschluß an M. Pasch) auf die Kernbegriffe ausdehnte, "Punkte und Gerade sind jetzt lediglich Worte für irgendwelche Dinge, welche nur formallogisch die durch die Axiome ausgesprochenen Beziehungen erfüllen müssen. ... Man könnte vergleichend sagen, räumliche Anschauung sei das Gerüst, das beim Bau des axiomatischen Gebäudes benötigt und nach dessen Fertigstellung als nunmehr überflüssig abgebrochen wird. ... Bei der rein axiomatischen Behandlung der Geometrie [ist] die Unterdrückung jeder Bezugnahme auf die Anschauung, die logische Formalisierung [also], zulässig, ja, sie ist bei Untersuchungen, Ausführungen im Meno orientiert; denn dort lesen wir: "Prinzip eines [wissenschaftlichen] Beweises ist eine unvermittelte Prämisse, [wozu noch angemerkt sei, daß ich eine Prämisse] unvermitteit [nenne], wenn ihr keine andere vorangeht. [Dabei handelt es sich genauer um eine] These!!%, wenn man sie nicht beweisen kann und sie [außerdem] nicht jeder innehaben muß, der irgend etwas [Spezielles] lernen will.!! Von einem Axiom!!5 spreche ich [bei unvermittelten Prinzipien] dagegen, wenn es jeder kennen muß, der etwas lernen will. Es gibt nämlich einige [Prinzipien] dieser Art, [und] diesen pflegen wir vor allem diesen Namen beizulegen. Von den Thesen bezeichne ich diejenigen, die den einen Teil von Erstellung einer axiomatisch-deduktiv strukturierten mathematischen Theorie zwei Aussagen zum Inhalt haben, die zueinander im Widerspruch stehen, als Annahmen!!”, [So liegt] zum Beispiel [eine Annahme vor], wenn ich behaupte, daß irgend etwas ist oder [wenn ich behaupte, daß] irgend etwas nicht ist. Die [Thesen], denen dieses [Merkmal] fehlt, nenne ich dagegen kanonische Definition[en]P*. Die kanonische Definition ist nämlich eine These; denn der Arithmetiker legt [durch seine Definition] fest, daß die Einheit das der Quantität nach Unteilbare ist.!?! Das ist [nun] aber keine Annahme; denn was eine Einheit ist und daß es eine Einheit gibt, bei der Einführung der Kernbegriffe nicht an wohlbestimmten Objekten ist keineswegs dasselbe. "!22 bei denen es allein auf die rein logischen Beziehungen ankommt, sogar notwendig; man muß sich dabei bemühen, überhaupt von jeglicher Deutung abzusehen; [denn] man gewinnt [erst] damit das, was als "abstrakte Geometrie’ bezeichnet wird. "115 Diese Ausführungen machen exemplarisch klar, daß man nie ohne weiteres von der Wirkungsgeschichte auf die Entstehungsgeschichte einer Lehre schließen sollte; denn die Vorstellung, nach der man sich bei der orientieren sollte, lag den griechischen Mathematikern fern. Die wichtigsten Belege dafür bieten zwei Passagen aus der Zweiten Analytik. Sie sind schon häufig kommentiert worden; aber soweit ich sehe, hat man dabei nie beachtet, daß sie zwei verschiedene Phasen des Prozesses widerspiegeln, in dessen Verlauf Aristoteles seine Wissenschaftstheorie ausgearbeitet hat, und daher werde ich sie nachfolgend getrennt voneinander diskutieren. Im 2. Kapitel 116 Séoiç (72a15). 117 Wie die nachfolgenden Ausführungen von Aristoteles zeigen, dient eine These immer ngsnur der Begründung einer ganz bestimmten Wissenschaft, wahrend der Anwendu bereich von Axiomen mehrere (oder sogar alle) Wissenschaften übergreift. 118 GEl@pa (72a17). 119 On6VEGtG (72420). 115 R. Baldus, Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene. Bearbeitet und ergänzt von F Löbell, Berlin 41964, 22-23; dazu verweise ich ergänzend auf M. Pasch (wie Anm. 111), 91-92; denn wie H, Freudenthal mit einem Hinweis auf diese Stelle betont hat (Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie, Nieuw Archief voor Wiskunde, 4 [1957], 105-142, dort 106-107), enthält die 1. Auflage von Paschs Vorlesungen über neuere Geometrie den ersten (wenn auch noch nicht vollständig gelungenen) Versuch, die Geometrie anschauungsfrei zu begründen. 120 dpropòg (72a21). n 121 Einige Anmerkungen zu der voreuklidischen Definition der arithmetischen Einheit, auf die Aristoteles mit dem Satz tídETAL ... 6 AL DN TOS pováda TO üdınipetov1),elval 55xatà tò nooöv anspielt (72a21-23), findet man bei H.-J. Waschkies (wie Anm. 122 Anal. post. 12, 72a7-24.

Nach diesen Zeilen zerfallen die fachspezifischen Prinzipien, in denen eine Wissenschaft fundiert ist, in zwei Klassen. Zum einen sind es 125 cher durch Unterweisung erwirbt.!?” Sokrates wendet ein, daß man doch die schwerlich etwas über die Eigenschaften einer Sache sagen kann, solange (kanonischen) Definitionen, und zum andern nennt Aristoteles dann noch die man noch nicht weiß, was sie ist.12# Hinter diesem Bedenken steht wieder die Annahmen, Der zugehörige Terminus lautet im Griechischen ünöseng. In Vorstellung, nach der die Definitionen zu den fachspezifischen Prinzipien der Übersetzungen ins Deutsche wird er zumeist als Hypothese wiedergegeben, Einzelwissenschaften gehören; aber die nachstehend referierten Zeilen lassen doch das ist mißverständlich. Wie die Ausführungen von W. Detel zur vermuten, daß die Mathematiker jener Tage ihren Beweisen außerdem noch Bedeutung des Terminus drnéteas im Corpus Aristotelicum zeigen,!?3 besteht Prinzipien von anderer Art zugrunde gelegt haben. Sokrates räumt dort dort an der Zulässigkeit der (im allgemeinen nicht weiter begründeten) nämlich ein, man könne die Antwort auf die Frage, ob Tugend lehrbar ist, Prämissen dieser Art nie ein Zweifel, und daher dürfen sie nicht als hypothevielleicht nach der Art der Geometer von einer Annahme aus!?? geben, Wenn tisch im Sinne des Wortgebrauchs von heute betrachtet werden. Dem entden Geometern die Frage vorgelegt wird, ob es möglich ist, in einen vorgespricht, daß Aristoteles die Annahmen im 2. Kapitel des I. Buchs der Zweiten legten Kreis ein Dreieck einzuspannen, das mit einer ebenen Figur X Analytik ohne jede Einschränkung zu den wissenschaftlichen Prinzipien zählt. flächengleich ist,!3° werden sie sagen, daß sie darauf nicht so ohne weiteres In der Literatur deutet man sie im allgemeinen mit einem Hinweis auf das antworten können. Wenn sich die fragliche Figur X aber als ein Rechteck dort angeführte Beispiel!?* und die gut dazu passenden Ausführungen in ABCD in der Art an den Kreisdurchmesser BH legen läßt, daß ABCD die Anal. post. 1.10 als Postulate, die sicher stellen sollen, daß der Objektbereich Peripherie im Punkt D trifft und wenn außerdem noch das durch D und den der zugehörigen Wissenschaft existiert.'2° Diese Interpretation ist jedoch zu freien Rest CH des Kreisdurchmessers eindeutig bestimmte Rechteck DCHG eng; denn der dnéteas-Begriff aus dem 2. Kapitel des I. Buchs der Zweiten mit ABCD ähnlich ist, läßt sich das Problem jedoch lösen, während die Analytik ist meiner Ansicht nach weit eher eine Verallgemeinerung des Antwort anders ausfällt, wenn diese Annahme nicht gemacht wird. ünöseoıg-Begriffs, den Platon an einer häufig kommentierten Stelle aus dem Meno erwähnt, auf die ich hier im übrigen nur kurz eingehe. 127 Meno 86c4-d2, 128 Meno 86el -2. Der Versuch von Platons Sokrates und Menon, more geometrico zu defi- 129 EE UnodécEnS ..., Gonep of Yewpétpar noAkdxıc cxorouviai (Meno 86c4-5). nieren, was die Tugend ist, führt nicht zu dem erhofften Erfolg, 12 und daher 130 Zum folgenden vergleiche man ergänzend folgende Abb. (nach R. $. Bluck, wie schlägt Menon nach einiger Zeit vor, statt dessen gleich der Frage nachzugehen, ob die Tugend dem Menschen von Natur gegeben ist oder ob man sie 123 Aristoteles, Analytica posteriora. Übersetzt und erläutert von W. Detel. I-II, Berlin 1993, Il 68-74, 124 Wenn man das olov aus der Zeile Anal. post. 1 2, 72a20 mit B. Landor unberücksichtigt läßt (Definitions and hypotheses in Posterior Analytics 72a19-25 and 7635-7724, Phronesis, 26 [1981], 308-318, dort 308), geht verloren, daB die Behauptungen von dem Typ "irgend etwas existiert' oder ‘irgend etwas existiert nicht’ nur Beispiele für eine èrédeorg sind. 125 Dazu verweise ich auf T. L. Heath (wie Anm. 34), 55; H. D. P. Lee, Geometrical method and Aristotle's account of first principles, The Classical Quarterly, 29 (1935), 113-124, dort 114, und A. Szabó, Anfänge des Euklidischen Axiomensystems, Archive for History of Exact Sciences, 1 (1960), 38-106, dort 104-105. 126 Siehe Anm. 86. Anm. 86, 445): ———

127 zueinander im Widerspruch stehen'.!32 Dabei darf allerdings nicht übersehen Mathematik des Aristotelesschülers Eudemos von Rhodos stützt, bereitete Hippokrates seine bekannten Möndchenquadraturen dadurch vor, daß er sich zunächst "ein Prinzip!35 verschaffte und als erstes von dem, was dafür nützlich war, behauptete, daß ähnliche Kreissegmente zueinander im selben Verhältnis stehen wie die Quadrate über ihren Basen. Das aber folgerte er daraus, daß Kreise zueinander dasselbe Verhältnis haben wie die Quadrate über ihren Durchmessern, [wie] Euklid im zweiten [Satz] des XII. Buchs der werden, daß es sich bei der Annahme, von der in Platons Meno die Rede ist, Elemente feststellte. "13% Eine ausführliche Diskussion dieser Textstelle würde den Rahmen der hier vorgelegten Untersuchung sprengen.!3! Für meine Belange ist nämlich nur von Bedeutung, daß die dort als Annahme bezeichnete Zusatzprämisse der Geometer formal ebenso wie die Annahmen aus dem 2. Kapitel des I. Buchs der Zweiten Analytik ‘den einen Teil von zwei Aussagen zum Inhalt hat, die nicht um ein mathematisches Prinzip handelt. Sie schließt nämlich keines- Der Beweis des soeben angeführten Theorems XII.2 erfordert die Anwendung einer allgemeinen Proportionentheorie, die auf Paare von miteinander inkommensurablen Größen von beliebiger Form angewendet werden darf. Wie ich oben bereits erwähnte, ist eine solche Lehre aber erst von Theaetet entwickelt worden. Eine Proportionentheorie von der Art, wie sie zur Begründung des Theorems XII.2 nötig ist, gab es zur Zeit des Hippokrates demnach noch gar nicht, und daher dürfte der Bericht des Eudemos, nach dem Hippokrates den fraglichen Satz, auf den man leicht durch eine Plausibilitätsbetrachtung kommen kann,'?’ seinen Quadraturen als unbewiesenes Prinzip zugrunde gelegt hat, zutreffend sein. wegs eine Lücke im Axiomensystem der frühgriechischen Geometer, sondern präzisiert die Voraussetzungen, unter denen sich eine bestimmte Konstruktionsaufgabe im Rahmen einer im begründet gehaltenen übrigen anscheinend Geometrie lösen läßt, und somit für hinlänglich ist die fragliche Annahme genauer eine sogenannte Einschrankung!3. Es gibt jedoch ein anderes Indiz dafür, daß die griechischen Geometer jedenfalls vor der Zeit, zu der Platon den Meno schrieb, fachspezifische Prinzipien benutzt haben, die keine Definitionen waren. Wie uns Simplikios berichtet,!3* der sich dabei auf die leider nicht überlieferte Geschichte der 131 Eine in allen Details zweifelsfreie Deutung der extrem elliptisch und vage formulierten Zeilen 8743-6 aus dem Meno scheint unmöglich zu sein, doch das ist für die in dieser Untersuchung diskutierten Fragen nicht von Bedeutung, weil alle mir bekannt o—rs gewordenen Interpretationen der Stelle letztlich Varianten einer Grundidee sind, die auf K. B. Mollweide zurückgeht (Commentationes mathematico-philologicae tres, Leipzig 1813 [von mir nicht eingesehen]). Eine Analyse der bislang vorgeschlagenen Deutungen findet man bei O. Becker, Die Archai in der griechischen Mathematik, Archiv für Begriffsgeschichte, 4 (1959), 210-226, dort 210-212, R. S. Bluck (wie Anm. 86), 441-461, R. Böker, veuaic, RE, Supplementband IX, Stuttgart 1962, 415462, dort 460-462, K. Gaiser, Platons Menon und die Akademie, Archiv |— Die Beispiele aus Anal. post. 1.2 für Annahmen, die man zur Begründung der Arithmetik oder Geometrie benötigt, sind dagegen von anderer Art. Wie man den oben angeführten Zeilen aus diesem Kapitel (und einer Parallelstelle aus Anal. post. 1.10,'% von der gleich ausführlich die Rede sein wird), entnehmen kann, handelt es sich dabei um Existenzpostulate wie die Sätze ‘Es gibt arithmetische Einheiten' bzw. 'Es gibt Punkte' oder ‘Es gibt ausgedehnte Größen', zu denen man in Euklids Elementen kein Gegenstück findet.!39 Bevor ich diskutiere, auf welche Wurzeln dieses Detail der aristofür Geschichte der Philosophie, 46 (1964), 241-292, dort 270-282, und A. D. Steele, Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abt. B: Studien, 3 (1934), 287-369, dort 324-328. 132 Anal. post. 12, 72a18-20. 133 droptop.ög Proklos (wie Anm, 21), 351,3; Erläuterungen zu diesem Terminus findet "a bei R. Böker (wie Anm. 131), 426-430, siehe auch I. Mueller (wie Anm. 19), ergänzend auf F. Rudio, Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Griechisch und deutsch mit einem historischen Erläuterungsbericht als Einleitung. Wiesbaden 1968 [11907]. 135 apxH (wie Anm. 134), 61.5. 136 Simplikios (wie Anm. 134), 61.5-10. 137 Siehe O. Becker (wie Anm. 131), 218-220. 138 Anal. post. 1 10, 76a32-36 und 76b3-6. 134 Simplikios, In Aristotelis physicorum libros commentaria. Edidit H. Diels. Commentaria in Aristotelem graeca IX-X, Berlin 1882-1895, 60.22-68.33; dazu verweise ich 139 Als Beispiel für ein Existenzpostulat aus den Schriften der griechischen Mathematiker kommt allenfalls Euklids sicher nacharistotelische Def. VII.1 in Frage, die man dann

telischen Wissenschaftstheorie zuriickgeht, will ich die oben angefiihrten Stellen aber mit den Ausführungen im 10. Kapitel des I. Buchs der Zweiten Analytik vergleichen, aus dem ich zunächst eine längere Passage zitiere: "Prinzipien nenne ich [im Hinblick auf] jede einzelne Gattung [von Dingen] das, von dem nicht bewiesen werden kann, daß es 129 dehnten Größen und als Zahlentheoretiker nur für Zahlen [voraus, daß es gilt]."1#0 Soweit ich sehe, ist bislang noch nie beachtet worden, daß zwischen den wissenschaftstheoretischen Ausführungen in den Kapiteln 2 und 10 aus dem I. Buch der Zweiten Analytik erhebliche Differenzen bestehen. Zunächst fällt ist. Dasjenige, was das Erste sowie das aus diesem [Ersten Abgeleitete] bedeutet, wird [nämlich ohne Beweis] angenommen; aber daß es ist, braucht man [nur] im Hinblick auf die Prinzipien auf, daß die wissenschaftlichen Prinzipien im 10. Kapitel nicht mehr mit anzunehmen, während es für das andere [bewiesen werden kann. So] muß man beispielsweise [annehmen], was "Einheit" oder was ‘das Gerade' oder was 'Dreieck' [bedeutet. Im Falle der] Einheit und der ausgedehnten Größe [muß man] dagegen [außerdem annehmen, daß sie] sind, während man es im Hinblick auf die anderen [eben angeführten mathematischen Objekte] zeigt. Prinzipien zugelassen, zu denen dann noch eine Reihe von Existenzpostulaten besonderen Termini bezeichnet werden. Außerdem sind dort der Sache nach im wesentlichen nur noch die kanonischen Definitionen als fachspezifische kommen sollen, die fordern, daß es den Objektbereich der fraglichen Wissenschaften gibt. Wie erwähnt, heißen diese fachspezifischen Prinzipien jetzt aber nicht mehr Thesen, und die Termini 6pog bzw. öptspög und Ürésectc fehlen in Anal. post. 1.10 ebenfalls, obwohl dort im Zusammenhang mit den Existenzpostulaten immerhin noch das Verb ünoxeiotau!*! verwendet wird, und das legt meiner Ansicht nach folgende Deutung nahe. Von den [Prinzipien], die in den beweisenden Wissenschaften benutzt werden, sind die einen für die einzelne Wissenschaft eigentümlich, die andern aber allgemein. Allgemein sind sie matiker zu einer Diskussion über die Frage, welche Sätze im Rahmen ihrer allerdings [nur] per analogiam, weil sie in [jeder der den Theorien als erste, unbewiesene Prämissen fungieren sollten. Die Details Einzel]wissenschaften [gelten]. dieser metatheoretischen Betrachtungen sind uns nicht überliefert; aber ihre Eigentümliche [Prinzipien der Geometrie] sind zum Beispiel, daß die Kurve oder das Gerade dieses [oder jenes] sind, allgemein gefunden. Im Rahmen dieser Untersuchungen, deren Beginn zeitlich mit der sind dagegen [Prinzipien wie der Satz], daß gleiche Reste bleiben, wenn man Gleiches von Gleichem abzicht. [Für] jedes dieser nend den Ist-Zustand der mathematischen Teiltheorien von damals diskutiert. zugrunde [liegenden] Gattung Als Aristoteles die Zweite Analytik schrieb, kam es im Kreis der Mathe- Ergebnisse haben auf zwei parallelen Ebenen in unsere Quellen Eingang Niederschrift von Anal. post. 1.2 zusammenfiel, hat man zunächst anschei- [allgemeinen Prinzipien] genügt nämlich, daß es in der [einzelnen] Gattung [gilt]; denn so wird man nämlich verfahren, da man ja nicht für alles unterstellt, daß [dieses Prinzip richtig unbewiesene Sätze zur Begründung der mathematischen Teiltheorien benutzt ist]. Statt dessen [setzt man als Geometer] nur für die ausgeals Annahmen bezeichnet werden, handelte es sich meiner Ansicht nach Dabei stellte man fest, daß neben den Definitionen schon immer weitere worden waren. Bei diesen Prinzipien, die von Aristoteles in Anal. post. 1.2 jedoch nicht um die dort als Beispiel angeführten Existenzpostulate. In den Schriften der griechischen Mathematiker fehlen solche Forderungen nämlich, allerdings wie E. M. Bruins (Printing and reprinting of theories contrary to facts and texts, Janus 57 [1970], 134-149, dort 143-144) mit der Akzentuierung povàg Eotıv und da nicht einzusehen ist, warum sie später getilgt worden sein sollten, xad jv Exaotov TOV Svtey Ev Aéyetat lesen müßte. In diesem Falle wäre sie von halte ich es für unwahrscheinlich, daß sie anfangs zu den explizit formulierihrem Autor nun aber offensichtlich in Anlehnung an Platons n&te£ıg-Lehre und nicht mit einem Blick auf die Wissenschaftstheorie aus der Zweiten Analytik formuliert ten Prinzipien der griechischen Mathematik gehörten. Aristoteles dürfte die mathematische Grundlagendiskussion von damals demnach mit der Einfühworden (siehe H.-J. Waschkies, [wie Anm. 1], 14-28, sowie V. Karasmanis [wie Anm, 89], 130), und daher unterstelle ich im weiteren Verlauf der Untersuchung durchgängig, dal die griechischen Mathematiker keine Prinzipien von der Art der 140 Anal, post. 1 10, 76a31-76b2. aristotelischen Existenzpostulate in ihre Werke aufgenommen haben. 141 Anal. post. 1 10, 76617.

rung der von diesen nie rezipierten Existenzpostulate eigenständig und unabund schließlich glaubten Mathematiker wie Ptolemaios und Proklos im Fall der Postulate 1.4 und 1.5 sogar, daß ihnen das gelungen sei.1# hangig weitergeführt haben. 131 Ich hatte oben bereits darauf hingewiesen, daB Aristoteles die Annahmen in Anal. post. 1.2 ohne jede Einschränkung zu den wissenschaftlichen Prinzi- Ich will im folgenden versuchen, diese Deutung weiter abzusichern. Wie ich bereits mehrfach betonte, trugen die Blöcke mit den unbewies enen Sätzen pien zählt und daraus gefolgert, daB die Mathematiker jener Tage zur Begriindung ihrer Theorien neben den Definitionen noch Satze eines andern aus den Elementen bei Euklid keine Titel, und wenn man weiter berücksichtigt, daß Aristoteles für die fachspezifischen Prinzipien in Anal. post. 1.10 Typs benutzt haben. Dagegen sind nach den Ausführungen in dem meiner ebenfalls keine Namen nennt, liegt die Vermutung nahe, daß die Ansicht nach etwas später entstandenen Kapitel Anal. post. 1.10 (neben den spezifisch aristotelischen Existenzforderungen der Sache nach) nur noch kanonische Definitionen als fachspezifische Prinzipien zugelassen, und das Mathematiker damals keine besonderen Termini für die von ihnen benutzten Prinzipien eingeführt haben, Ihr Interesse an den Ergebnissen ihrer metatheor etischen Diskussionen war demnach gering; aber wie die Abtrennung der Definitionen deute ich dahingehend, daß die Grundlagendiskussion der Mathematiker, deren erste Spuren in Anal. post. 1.2 zu finden sind, am Ende zur Etablierung von den übrigen unbewiesenen Sätzen aus dem I. Buch der eines in Anal. post. 1.10 integrierten wissenschaftstheoretischen Programms Beachtung geschenkt.!4 Andrerseits ist allerdings nicht zu übersehen, nen läßt, Elemente erkenhaben sie ihren diesbezüglichen Überlegungen dennoch einige denen erst später die Rede sein wird) als fachspezifische Prinzipien nur noch daß sie mit ihren provisorischen Prinzipien nachlässig umgegangen sind. Wie ich gleich genauer ausführen werde, hat man im Verlauf einer Folge von Über- Definitionen geben sollte. Dazu paßt außerdem der weiter oben angeführte arbeitungen der ebenen Geometrie aus beweistechnischen Gründen nämlich wissenschaftstheoretische Exkurs aus dem I. Buch Uber die Seele,!* in dem immer wieder neue unbeweisbare Sätze in das I. Buch der Elemente aufgenommen, die keine Definitionen waren, wobei diese provisori schen Prinziführte, nach dem es (neben einer Reihe fachübergreifender Prinzipien, von Aristoteles die Behauptung aufstellt, daß sich der Winkelsummensatz I.32 aus den Elementen letztlich aus den kanonischen Definitionen einiger geometripien offenbar ad hoc und ohne jede Rücksicht auf eine durchgän scher Objekte deduzieren läßt, während die Praxis bei Euklid zeigt, daß der matik einem der beiden Blöcke mit den unbewiesenen Sätzen, Beweis dieses Theorems (über mehrere Stufen hin) weitere unbewiesene Definitionen folgen, zugeordnet wurden. Das Interesse der Philosop hen an metatheoretischen Fragen war dagegen ausgeprägter; denn einige Anmerkun - Sätze voraussetzt, zu denen insbesondere das Parallelenpostulat 1.5 gehört. Damit steht man natürlich vor der Frage, wie die griechischen Mathematiker auf die Diskrepanz zwischen dem eben skizzierten Programm und ihrer beweistechnischen Praxis reagierten, und da zeigt nun ein Blick auf den Anfang des I. Buchs der Elemente, wie sie vorgegangen sind. Sie führten nämlich eine Reihe von Sätzen, zu denen insbesondere das vierte und fünfte der dort angeführten Postulate sowie die in den arabischen und lateinischen Übersetzungen als Allgemeine Vorstellung 1.8 und 1.10 gezählten Sätze, die besagen, daß diejenigen geometrischen Objekte, die miteinander kongruent sind, auch miteinander gleich sind bzw. daß zwei Geraden keine ebene Figur einschließen, als provisorische Prinzipien ein, Im übrigen hoffte man wohl, diese Sätze später einmal (aus geeigneteren Definitionen) ableiten zu können, gige Systedie dort auf die gen zu den provisorischen Prinzipien aus Anal. post. 1.10 lassen erkennen, daß sich zumindest Aristoteles mit den damit zusammenhängen den Problemen befaßt hat. Er schreibt nämlich: "Was durch sich selbst notwendig ist und [auch] notwendi gerweise [so zu sein] scheint, ist weder eine Annahme!# noch ein 143 Proklos (wie Anm. 21), 188.1-193.9 und 364. 1-373.2; dazu verweise ich ergänzend auf die Kritik an dem (Schein)beweis für das Parallelenpostulat 1.5 durch Proklos und oem bei T. L. Heath (wie Anm. 18), 1204-20 8, und R, Bonola (wie Anm. 15), 144 In einem etwas anderen Zusammenhang hat auch schon K. v. Fritz erschlossen, daß die Mathematiker metatheoretische Fragen in einem weit stärkeren Ausmaß diskutiert ogg ing sich unmittelbar aus ihren erhaltenen Schriften entnehme n läßt (wie Anm. 142 Siehe Anm. 97. 145 Úródesic, Anal. post. 1 10, 76623.

Postulat!* [sondern ein Prinzip]. Wenn nun jemand etwas [für wahr] nimmt, ohne es selber zu beweisen, obwohl es [eigentlich] beweisbar ist, und wenn das [außerdem auch] dem, der etwas Anfang von Buch I seiner Schrift De planorum aequilibriis eine ganze Reihe lernen soll, [richtig zu sein] scheint, wird es [nämlich] angenom- Buch der Elemente durch den sie alle übergreifenden Hauptsatz «itoüner« men'47, wobei es sich allerdings nicht schlechthin um eine Annahme handelt, sondern nur um eine [Annahme] für den zusammen.!5* Im Anschluß daran benutzt Archimedes dagegen das Verb 132 [Lernenden]. Wenn er darüber jedoch keine vorgefaßte Meinung hat oder wenn [die fragliche Behauptung] gar unterstellt wird, obwohl er der entgegengesetzten Ansicht ist, wird sie postuliert!#; denn eine Annahme und ein Postulat unterscheiden sich wie folgt: 133 von Prinzipien,!% die dort die Form von Nebensätzen haben, ganz ähnlich wie Euklid im Fall des zweiten Blocks seiner unbewiesenen Sätze aus dem I. bnoxetotor,'55 um auf diese Forderungen zurückzuverweisen, und mithin dürften die Ausführungen von Aristoteles in Anal. post 1.10 auf eine Unsicherheit seiner Zeitgenossen bei der Benutzung der Termini ünöteng und aitma schließen lassen. 156 Die Annahmen, die in Anal. post. 1.2 noch zu den wissenschaftlichen Prinzipien zählten, gehören nach Anal. post. 1.10 also nur noch zur Praxis Ein Postulat ist etwas, was der Ansicht des Lernenden zuwiderdes (Mathematik)unterrichts. läuft, oder es ist etwas Beweisbares, das [für wahr] genommen größerem Interesse, daß man den Ausdruck Postulat nach Aristoteles zur Zeit und [als Prämisse für einen Schluß] benutzt wird, obwohl es der Abfassung dieses Kapitels auf zweierlei Weise gebrauchte. Merkwürdi- [noch] nicht bewiesen wurde. "!49 gerweise ist seit der Zeit des Proklos aber immer nur die eine dieser beiden Wie es scheint, handelt es sich bei dem Wort cita um eine Neubildung aus dem Umkreis von Platons Akademie; denn es ist erstmals in der Wissenschaftsgeschichtlich ist allerdings von Bedeutungen diskutiert worden.!5’ Dabei kam man zu dem Ergebnis, daß attya damals ein Fachausdruck aus der Rhetorik oder Dialektik war, doch Politeia!5° nachweisbar.'5! Dort dient es zur Bezeichnung der bekannten und das gilt allenfalls für den ersten Teil der oben angeführten Erklärung, nach von Platon für fragwürdig gehaltenen Forderung der Tyrannen nach einer Leibgarde, die (paradoxerweise) dafür sorgen soll, daß der Beschützer des Volkes selber sicher ist. Bei Aristoteles ist airqua auch nicht vor der (oben zitierten Stelle aus) der Zweiten Analytik belegbar,!52 und mithin dürfte dieses aus dem Verb aitetota.: abgeleitete Nomen erst damals in Gebrauch gekommen sein. Dabei ist weiter zu beachten, daß Uroxeic9oL und aitetodar umgangsprachlich offenbar als Synonyma galten; denn Archimedes faßt am der ein Postulat eine Behauptung sein soll, die der Ansicht des Lernenden 153 Archimedes, Opera omnia cum commentariis Eutocii, I-II. Iterum edidit J. L. Heiberg, corrigenda adiecit E. S. Stamatis ['1880-1881, 21910-1915], IV: Über einander berührende Kreise. Aus dem Arabischen übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Y. Dold-Samplonius, H. Hermelink und M. Schramm, Stuttgart 1972- 1975, 11 124.3-126.3. 146 altra, Anal. post. I 10, 76623. 147 dnoxeisŸat, Anal. post. 1 10, 76629. 154 Das ist ein Indiz dafür, daß den im sogenannten Geometerverzeichnis des Proklos angeführten Elementen des Theudios auch schon ein Block von (provisorischen) Prinzipien voranstand (siehe Anm. 22), der wie die Postulate aus Euklids Elementen durch 148 aizeisdaı, Anal. post. 1 10, 76631. ein 777590 zusammengehalten wurde; denn in diesem Fall könnte sich Archimedes, 149 Anal. post. 1 10, 76b23-34. dessen Schriften wahrscheinlich voreuklidisch sind (siehe Anm. 23), an der oben 150 Politeia VIII 566b5; andere Belege aus dem Corpus Platonicum für das Wort aimpa genannten Stelle am Vorgehen des Theudios orientiert haben. sind mir nicht bekannt. 151 Siehe H. G. Liddell, R. Scott, A Greek-English Lexicon. A new edition revised and augmented by H. S. Jones with the assistance of R. McKenzie, Oxford 1966 [Nachdruck der Ausgabe von 1940], 44. 152 Siehe H. Bonitz (wie Anm. 87), 22. 155 Archimedes (wie Anm. 153), 11 126.4. 156 Auf die Tatsache, daß es noch nicht zu einer eindeutigen Fixierung der Begriffe únódesic und alta gekommen war, als Aristoteles seine Zweite Analytik schrieb, ist auch schon von K. v. Fritz hingewiesen worden (wie Anm. 20), 42-43. 157 Proklos (wie Anm, 21), 76.17-77.2 und 182.14-20.

zuwiderlàuft.!58 Mathematikgeschichtlich relevant ist dagegen die zweite der von Aristoteles genannten Bedeutungen des Terminus attra. Danach ist ein Postulat "etwas Beweisbares, das [für wahr] genommen und [als Prämisse für Elemente widerspiegeln, einsetzten, als Aristoteles seine Analytiken schrieb. einen Schluß] benutzt wird, obwohl es [noch] nicht bewiesen wurde. "15% Ein Passagen findet, die auf Versuche der Geometer schließen lassen, bei der 134 135 Geometrie, die sich in den provisorischen Prinzipien aus dem I, Buch der Zu dieser Datierung paßt einmal, daß man bei ihm von diesen Schriften an Postulat in diesem Sinne ist also ein provisorisches Prinzip, und wie mir Begründung der Geometrie ohne ein dem Parallelenaxiom entsprechendes scheint, geht diese Bezeichnung auf die mathematische Grundlagendiskussion zurück, deren Ergebnis schließlich war, daß die Definitionen als einzige fachspezifische Prinzipien zulässig sein sollten. Wie ich mehrfach erwähnte, trugen die Listen mit den ersten, unbewiesenen Sätzen aus den Elementen bis zur Zeit des Euklid keinerlei Titel; aber der zweite dieser Blöcke aus dem I. Buch, in dem fünf provisorische Prinzipien aufgelistet sind, wurde offenbar schon immer durch ein ihm vorangestelltes ftño%w zusammengehalten. Der aristotelische Terminus aus Anal, post. 1.10 dürfte aus dieser Praxis abgeleitet sein, und aus der Zweiten Analytik ist er dann spätestens im 1. Jh. in die Schriften der spätantiken Euklidkommentatoren eingegangen, 5 wobei offen bleiben muß, ob er schließlich von dort oder aus der Zweiten Analytik zu den Prinzip auszukommen. Den interessantesten Beleg dieser Art bietet eine byzantinischen Kopisten der Elemente gelangte. Stelle aus der Ersten Analytik,!6! an der von einem Zirkelschluß die Rede ist, der irgend welchen Mathematikern im Zusammenhang mit der Theorie der Parallelen unterlaufen war. Dem stark elliptisch formulierten Text, der offenbar auf einen seinerzeit bestens bekannten Sachverhalt anspielt, läßt sich nicht sicher entnehmen, worin diese petitio principii bestand;!92 aber die Deutungen von T. L. Heath! und I. Toth'® legen nahe, daß man damals glaubte, das Parallelenpostulat bzw. einen damit äquivalenten Satz aus den übrigen Prinzipien der Geometrie deduziert zu haben;!6 Die damit zusammenhängenden Fragen waren jedoch keineswegs das einzige Problem, das die Mathematiker von damals zur Revision ihrer geometrischen Satzsysteme und damit zur Einführung von immer wieder neuen (provisorischen) Prinzipien veranlaßt hat. Im Folgenden will ich weitere Argumente für die These anführen, nach der die Bemühungen der Mathematiker um eine Neubegründung der ebenen Zu den unbewiesenen Sätzen aus den Elementen gehört die Allgemeine Vorstellung I. 8: "Was aufeinander paßt, ist mitein- 158 Besonders drastisch zeigt sich die Tendenz, die Ausführungen des Aristoteles zum Begriff alma auf diesen Gesichtspunkt zu reduzieren, bei J, Barnes (Aristotle's Posterior Analytics. Translated with notes by J. Barnes, Oxford 1975, 17 [Anm. 1)), der das % in der Zeile 76633 für unecht erklärt, damit an der fraglichen Stelle auch formal nur noch von einer Bedeutung des Terminus aïtmua die Rede ist; dazu verweise ich ergänzend auf I. Mueller (wie Anm, 19), 70, und A, Szabó (wie Anm. 9), 364-365. 159 Anal. post, I 10, 76b33-34. 160 Dem Kommentar des Proklos zum I. Buch der Elemente läßt sich entnehmen (wie Anm. 21), 185.6-8, 188.3-5 und 191.21-192.9, daß Geminos die in Heibergs Ausgabe der Elemente als aitípata bezeichneten (provisorischen) Prinzipien bereits unter diesem Namen kannte. Dazu hat O. Neugebauer aus dem Hinweis auf ein (allerdings nicht ganz eindeutig bezeichnetes) Isisfest in den Elementa astronomiae des Geminos erschlossen (VIII 20.28), daß dessen Leben in die Zeit um 50 n. Chr. fiel (A history of ancient mathematical astronomy. I-III, Berlin; Heidelberg; New York 1975, 11 578-581), während G. Aujac im Vorwort zu ihrer neuen Ausgabe der Elementa ander gleich." Die Deutung dieses Prinzips hat den Euklidkommentatoren schon immer Schwierigkeiten bereitet; denn es ist offensichtlich eine fachspezifische 161 Analytica priora 11 16, 65a4-9. 162 Siehe B. Vitrac (wie Anm. 104), I 306-308. 163 T. L. Heath (wie Anm. 34), 27-30. 1641. Toth, Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum, Archive for History of Exact Sciences, 3 (1966-1967), 249-422, dort 256-301. 165 In der eben erwähnten Arbeit von Toth werden noch eine ganze Reihe weiterer Passagen aus dem Corpus Aristotelicum diskutiert (wie Anm. 164), in denen es um die Theorie der Parallelen bzw, um das damit aufs engste zusammenhängende Theorem 1.32 aus den Elementen geht, doch sei einschränkend angemerkt sei, daß ich die Tendenz von Toth, den griechischen Geometern Überlegungen zuzuschreiben, die in der Neuzeit im Vorfeld der Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie angestellt astronomiae auf einen Brief des Dionysios von Halikamassos verweist (Geminos, Introduction aux phénomènes, Paris 1975, XIX-XXXIV), nach dem Geminos auf die worden sind (siehe Anm.15), für eine Überinterpretation der fraglichen Textstellen Zeit von ca. 80-10 v. Chr. zu datieren ist. halte; siehe auch B, Vitrac (wie Anm, 104), I 309,

Forderung, und damit stand man vor der Frage, warum es in die Liste der der &yapuözeıv-Methode und dient bei Euklid nur noch zum Beweis der Sätze 136 137 Allgemeinen Vorstellungen aufgenommen worden war, in denen man in 1.4 und 1.8, wobei die Tatsache, daß D. Hilbert eine abgeschwächte Version Anlehnung an die Wissenschaftstheorie des Aristoteles (auf die ich noch zu sprechen komme) fachübergreifende Prinzipien sah.!% Wie ich oben erläutert habe, handelt es sich dabei aber um ein Scheinproblem, weil die fragliche des Satzes 1.4 unter die Axiome der euklidischen Geometrie aufnehmen Systematik nur durch Titel suggeriert wird, die erst in der Spätantike und damit lange nach der Abfassung der Elemente über die Listen mit den ersten Sätzen aus diesem Werk gesetzt worden sind. Die Allgemeine Vorstellung 1.8 ist jedoch auch noch aus einem andern Grund von wissenschaftshistorischem Interesse. mufte,!7 um das Anwenden dieser Beweismethode ganz zu vermeiden, verrät, daß sich die Sätze I.4 und I.8 aus den Elementen nicht aus Euklids übrigen Definitionen und Postulaten deduzieren lassen, wenn man die Allgemeine Vorstellung 1.8 in der Liste seiner Prinzipien streicht. 171 Ich habe weiter oben betont, daß der Hinweis des Aristoteles, nach dem zu den Prinzipien jeder Wissenschaft eine Reihe von Existenzpostulaten gehören, von den Mathematikern in der Antike nie beachtet worden ist. Wie man seit langem bemerkt hat, muß das Aufeinanderpassen kongruen- Andrerseits gibt es jedoch ein Indiz dafür, daß er mit diesem Detail seiner ter geometrischer Größen in der voreuklidischen Mathematik bis hin zur Zeit Wissenschaftstheorie des Aristoteles eine weit bedeutendere Rolle als in den Elementen gespielt haben.!67 Dazu zeigen Euklids Beweise, daß man spätestens seit seiner Zeit anknüpft. Wie eine Passage aus seiner Metaphysik zeigt, waren die Mathebemüht war, die darin fundierte Form der Begründung von geometrisch interessanten Theoremen durch ein logisches Deduzieren aus andern Sätzen worden, daß sie über Kreise und Geraden sprechen, zu denen es in unserer an eine weit ältere Diskussion der Philosophen matiker schon von Protagoras mit einem pointierten Hinweis darauf geärgert Umwelt keine Gegenstücke gibt, weil man dort keine sinnlich wahrnehmbazu ersetzen, bei dem von der Methode des Aufeinanderpassens kein Gebrauch ren Kreise und Geraden finden kann, die präzise zu den Definitionen der mehr gemacht wurde.!% Eine Etappe dieser Entwicklung spiegelt sich im Postulat 1.4 wieder, nach dem alle rechten Winkel miteinander gleich sein Geometer passen.!72 Damit war die schwierige Frage nach dem ontologischen sollen. Dieses Postulat läßt sich mit Hilfe von Kongruenzbetrachtungen es beweisen,!%% deren Benutzung man durch die Einführung dieses provisoridadurch, daß er ihre Existenz kommentarlos postulierte. Zugleich versuchte schen Prinzips offensichtlich umgehen wollte; aber das damit zusammenhäner allerdings, diesen Gewaltakt so klein wie irgend möglich erscheinen zu Status der Objekte aufgeworfen, um die es in der Mathematik geht, und wie scheint, löste Aristoteles dieses Problem zunächst handstreichartig gende Begründungsproblem wurde in der Antike nie befriedigend gelöst. lassen; denn die Existenzpostulate, die im 2. (und 10.) Kapitel des I. Buchs Daher nahm man schließlich auch noch die Allgemeine Vorstellung 1.8 als der Zweiten Analytik eingeführt werden, erfassen nur eine eingeschränkte provisorisches Prinzip in die Elemente auf. Sie legitimiert die Anwendung Klasse von mathematischen Objekten. Nach Aristoteles brauchen die Zahlentheoretiker nämlich bloß zu fordern, daß es etwas gibt, was ihrer Definition der Einheit entspricht, während die Geometer nur zu postulieren 166 In diesem Sinne ging schon Proklos davon aus (wie Anm. 21), 194.8 -9, daß die Termini dFiopa und xo Evvaa ein und dieselben allgemeinen Prinzipien der Mathematik bezeichnen. 167 Siehe T. L. Heath (wie Anm. 18), I 224-226 und 247-254 und B. Vitrac (wie Anm. brauchen, daß ausgedehnte Größen und Punkte existieren. Die Existenz von allen andern mathematischen Objekten soll danach samt der ihrer spezifischen Eigenschaften ableitbar sein. 104), I 293-299 sowie K. v. Fritz (wie Anm. 20), 68-79 und (ders.) Gleichheit, Kongruenz und Ähnlichkeit in der antiken Mathematik bis auf Euklid, Archiv für Begriffsgeschichte, 4 (1959), 7-81. 168 Dazu verweise ich ergänzend auf H.-J. Waschkies (wie Anm. 11), 178-183. 170 D. Hilbert (wie Anm. 16), 14. 169 Einen Beweis des Postulats 1.4, der die Eyap.ögeıv-Metlode benutzt, findet man bei 171 Wie Anm. 168. Proklos, der dazu anmerkt, daß die fragliche Überlegung auf andere Geometer zurückgeht und wenig Mühe macht (wie Anm. 21), 188.20-189.12. 172 Metaph. III 2, 997b35-998a4; dazu verweise ich ergänzend auf H.-J. Waschkies (wie

Die Praxis, die hinter dieser wissenschaftstheoretischen Vorstellung steht, ist leicht zu ermitteln. Nach Ansicht der griechischen Mathematiker waren die Zahlen'?3 Dinge, die aus Einheiten zusammengefügt sind. Das ist eine Geometrie das Paradigma fiir die von Aristoteles in Anal. post. 1.10 skiz- 138 139 fundierte Wissenschaft gesehen haben diirften, die somit weit eher als die zierte Wissenschaftstheorie zu gelten hat. wissenschaftstheoretische Fehlinterpretation der alten yiga-Arithmetik, bei der man noch nicht zwischen Zahlen und Zahlzeichen (bzw. Ziffern) unterschieden hat.'74 Die vermeintlichen Zahlen, bei denen es sich tatsächlich um Ziffern bzw. Figuren handelte, wurden nun aber in der Tat aus (Repräsentanten der) Eins zusammengesetzt, und weil spezielle Teilmengen der Zahlen wie die geraden Zahlen oder die Quadratzahlen samt ihrer Attribute leicht mit einem Blick auf solche Figuren entdeckt und beschrieben werden können, ist klar, warum die Existenz des ganzen Objektbereichs der Arithmetik zusammen mit der aller Eigenschaften der Zahlen gesichert zu Im Falle der Geometrie mußte die oben referierte Vorstellung des Aristoteles, nach der man die Existenz des ganzen Objektbereichs einer Wissenschaft bereits durch die Forderung sicher stellen kann, daß es dessen einfachste Elemente gibt, prima facie sogar noch plausibler erscheinen als im Fall der Arithmetik. Wenn es Strecken gibt, kann man Winkel, Parallelen und Vierseite konstruieren; aber diese Antwort auf die von Protagoras aufgeworfene Frage nach der Existenz der Dinge, von denen man in der Geometrie spricht, dürfte im Kreis der Akademie kaum Anhänger gefunden haben. sein schien, sobald man sicher sein durfte, daß Einheiten existieren. Platon hat sich nämlich bereits in seiner Politeia energisch gegen die Ich will an dieser Stelle auf ein weiteres Indiz dafür eingehen, daß die griechischen Mathematiker schließlich nur noch Definitionen als fachspezifische Prinzipien zulassen wollten. Aristoteles!?5 und der späte Platon!’ betonen in ihren Schriften, daß die Arithmetik in der Hierarchie der Wissenschaften über der Geometrie steht. Diese Rangordnung wird damit begründet, daß der Objektbereich der Geometrie die ausgedehnten Größen umfaßt und damit dem Geist ferner steht als der vom diesem genauer und verläßlicher erfaßbare Bereich der Zahlen, um die es in der Arithmetik geht. Das ist zwar eine spezifisch philosophische Argumentation; aber wie mir scheint, haben weil die Geometrie seiner Ansicht nach von immer seidenen Objekten dauern, oder ob sie von den Mathematikern aus elementaren Komponenten Aristoteles und der ältere Platon damit nur neue Gründe für eine Rangordwie Linien und Punkten zusammengefügt werden. 181 Vorstellung von einer Konstruierbarkeit der geometrischen Figuren gewandt, handelt,!7 und im Euthydemos schreibt er ganz in diesem Sinne, daß die Geometer die von ihnen untersuchten Figuren nicht herstellen, sondern finden.!?8 Wie uns Proklos in seinem Kommentar zum I. Buch der Elemente berichtet, ist dieses Problem schließlich sogar zum Gegenstand eines Disputs zwischen dem Mathematiker Menaechmos!?? und orthodoxen Platonikern aus dem Kreise um Speusippos und Amphinomos geworden, 1% bei dem darum gestritten wurde, ob die Gegenstände, um die es in der Geometrie geht, ewig nung anzugeben versucht, die von den Mathematikern ganz unabhängig davon aus wissenschaftstheoretischen Erwägungen eingeführt worden war. Es gibt ein Indiz dafür, daß Aristoteles das damit aufgeworfene Problem Wie Euklids Elemente zeigen, stehen den arithmetischen Partien dieses Sammelwerks nur Definitionen voran. Provisorische Prinzipien, die für die Zahlentheorie spezifisch sind, fehlen dort dagegen ganz, und damit ist klar, dadurch zu lösen versuchte, daß er das Konstruieren von geometrischen Figudaß die griechischen Mathematiker in ihrer Arithmetik die am besten 177 Politeia VII 526e8-527c11. 178 Euthydemos 290b10-c3 (wie Anm. 176, III), 179 Menaechmos war nach Proklos ein Schiiler des Eudoxos (wie Anm. 21), 67.9-10. 173 Da der Terminus &p9%16ç in der griechischen Mathematik immer eine natürliche Zahl bezeichnet, ist hier und im Folgenden unter einer Zahl stets eine natürliche Zahl zu verstehen. 174 Zum folgenden verweise ich ergänzend auf H.-J. Waschkies (wie Anm. 1), 37-70. 175 Anal. post. 11 27, 8731-37 und Metaph. 12, 982a25-28. 176 Philebos 55c4-59b9 (Platonis opera, recognovit J. Burnet. I-V, Oxford 1900-1907, ID. 180 Speusippos wurde nach Platons Tod Leiter der Akademie (Diogenes Laertios, Vitae philosophorum. Recognovit brevique adnotatione critica instruxit H. S. Long, Oxford 1966 [11964], IV 1), und daher dürfte die oben erwähnte Diskussion kaum vor 347 v. Chr. geführt worden sein. 181 Proklos (wie Anm. 21), 77.15-78.13; dazu verweise ich ergänzend auf A. C. Bowen, Menaechmus versus the Platonists: Two theories of science in the Early Academy, Ancient Philosophy, 3 (1983), 12-29.

ren in einen (mentalen) Akt uminterpretierte, bei dem etwas Verborgenes aus dem Zustand der Latenz in die Wirklichkeit überführt und damit gefunden wird. In seiner Metaphysik erklart er nämlich im Rahmen einiger Erläuterungen zu dem von ihm erst spät entwickelten düvanıg - évépyeix - Schema, !*? 141 von Chios zu.!85 In ihnen wird gezeigt, wie man von einem Punkt aus das Lot auf eine Gerade fällt bzw. wie man einen Winkel an eine Gerade in der Weise anlegt, daß sein Scheitel mit einem vorgegebenen Punkt der Geraden zusammenfällt. Diese Konstruktionsaufgaben lassen sich mit Zirkel und daß man als Geometer beim Beweisen Figuren, die zuvor bereits potentiell in dem Kontinuum der ausgedehnten Größe lagen, durch einen Akt des Unterteilens (keineswegs erzeugt, sondern bloß aus dem Zustand des Möglichen) in erwähnten 19 den Zustand des Wirklichen überführt, Entscheidung schwer fällt, ob Oinopides die Wahl der Gerade und des Im übrigen zeigt ein Blick in die Elemente, daß Menaechmos aus dem oben erwähnten Streit als Sieger hervorging; denn Euklid beschreibt immer wieder, wie Figuren konstruiert werden, und nicht, wie man solche Gebilde entdeckt. Menaechmos selber oder einer seiner Nachfolger muß allerdings bemerkt haben, daß die Operationen, die von den Geometern ausgeführt sind die beiden Konstruktionen aber so einfach, daß man sich nach A. Szabo Komponenten der Arbeit von Steele aus den vagen Hinweisen des Proklos erschlossen hatte, zusammenfügen, nicht in den ihnen vorliegenden Definitionen der geometrischen Objekte von der Art des Punktes, der Kurve oder anderer ausgedehnter Größen fundiert werden kònnen.!84 Daher führte man die Postulate 1.1-3 als daß die bekannte Regel, nach der das Lineal und der Zirkel die einzigen Lineal lösen; aber wie A. D. Steele in seiner grundlegenden Arbeit über die Rolle dieser Geräte in der griechischen Mathematik betont hat, sind die eben Ausführungen von Proklos so allgemein gehalten, "daß die Kreises als Hilfskurven [bereits] bewußt vorgenommen hat",156 Andererseits werden, wenn sie komplexe Gebilde aus einfacheren "zunächst erstaunt fragen muß, warum in diesen Fällen die Urheberschaft des Oinopides überhaupt der Erwähnung wert war",!87 und eben dieses Bedenken ist die eigentliche Prämisse für Szabös Datierung der Postulate I.1-3 aus den Elementen. Nachdem T. L. Heath schon ein Jahrzehnt vor dem Erscheinen Hilfsmittel sein sollen, die man bei elementaren planimetrischen Konstruktionen benutzen darf, von Oinopides stammt,!8* extrapolierte A. Szabó diese aitíparo in die Elemente ein, wobei die griechischen Mathematiker wohl Vermutung nämlich dahingehend, daß Oinopides die Postulate I.1-3 aus den lange hofften, daß sie schließlich angemessene Definitionen finden würden, die diese Postulate entbehrlich machen; aber wie ihre Schriften zeigen, wurde Elementen eingeführt haben dürfte, weil sie der fraglichen Regel entsprechen dieses Ziel von ihnen nie erreicht. worden ist,!?° schränken die Postulate 1.1-3 aus den Elementen die erlaubten sollen, 1%? Das ist nicht ganz korrekt; denn wie bereits von A. Frajese betont Konstruktionen erheblich weiter ein. Das Lineal (von dem bei Euklid expres- Ich will an dieser Stelle kurz auf A. Szabós Datierung der Postulate 1.1-3 sis verbis ebenso wenig die Rede ist wie von einem Zirkel), darf danach beim eingehen, die nicht mit dieser Deutung vereinbar ist. In seinem Kommentar Zeichnen nur einmal an die Punkte, die verbunden werden sollen bzw. an die zum I, Buch der Elemente schreibt Proklos die Sätze 1.12 und 1.23 Oinopides Strecke, die verlängert werden soll, angelegt werden. Danach darf man es bei dem fraglichen Konstruktionsschritt nicht mehr verschieben, und damit ist durch die Postulate 1.1-3 die Operation des vevetv aus der Elementargeome- 182 Siehe P. Gohlke, Die Entstehungsgeschichte der naturwissenschaftlichen Schriften des Aristoteles, Hermes, 59 (1924), 274-306, dort 277-279, sowie Aristoteles und sein Werk, Paderborn 1948, 151-153; F. Nuyens, L' évolution de la psychologie d' Aristote, Louvain 1973 [11948], 215-217 und H.-J. Waschkies (wie Anm, 26), 332336 und 363-366. 183 Metaph. IX 9, 1051a21-30; zur Deutung dieser Stelle verweise ich ergänzend auf H.J, Waschkies (wie Anm. 11), 175-178. 184 Die damit zusammenhiingenden Probleme sind von W, Detel in einer Untersuchung über die Frage nach der Existenz einzelner geometrischer Objekte in der griechischen Mathematik diskutiert worden (wie Anm. 123), 1 225-230. 185 Proklos (wie Anm. 21), 283.7-10 und 333.5-9. 186 A, D. Steele (wie Anm. 131), 304. 187 A. Szab6 (wie Anm. 9), 370-371. 188 T. L. Heath, A history of Greek mathematics, 1-11, Oxford 1965 [!1921], 1 175-176.; dazu verweise ich ergänzend auf K. v. Fritz, Oinopides, RE, 34. Halbband, Stuttgart 1937, 2258-2272, dort 2264-2266. 189 A. Szabó (wie Anm. 9), 369-373. 190 A. Frajese, Sur la signification des postulats euclidiens, Archives Internationales d' Histoire des Sciences, 4 (1951), 383-392, dort 384-385,

trie verbannt. Bei diesem Konstruktionsverfahren wird ein Lineal, auf dem die Endpunkte einer Strecke markiert sind, bei ständigem Kontakt mit einem festen Punkt durch Gleit- und Drehbewegungen solange zwischen zwei gege- “ benen Kurven verschoben, bis die Endpunkte der Strecke auf diese Kurven fallen.!9! Dieses Einschieben zählt Aristoteles in Anal. post. 1.10 noch zu den Grundbegriffen der Geometer,!* und damit dürfte auch schon klar sein, daß A. Szabés ohnehin durch keine antike Quelle belegbare Zuschreibung der Postulate I. 1-3 an Oinopides nicht zu halten ist. Die weiter oben referierten Details der aristotelischen Wissenschaftstheone lassen zusammen mit der Praxis aus den Elementen einprägsam den Unterschied zwischen der metatheoretischen Deutung der Mathematik durch die Griechen und moderne Mathematiker wie Pasch oder Hilbert erkennen. Wie man sich leicht überzeugt, entsprechen die Kernbegriffe dieser Autoren, die mathematische Objekte wie Punkte und Strecken oder Ebenen bezeichnen, mutatis mutandis denjenigen Objekten der griechischen Mathematik, deren Definitionen aus den Elementen sich ais beweistechnisch unfruchtbar erwiesen haben. Zum andern sind es nun aber gerade diese Objekte der Zahlentheoretiker und Geometer, deren Existenz nach Aristoteles durch ein Postulat gesichert werden muß. Auf das Mißlingen, die grundlegenden Elemente der mathematischen Einzelwissenschaften explizit zu definieren, haben die Mathematiker der Neuzeit also mit der Einführung von impliziten Definitionen reagiert, die nach ihrer Metatheorie auBerdem nicht mehr als Beschreibung eines eindeutig bestimmten Ensembles von anschaulich vorstellbaren Dingen gedeutet werden dürfen. Nach dem oben bereits zitierten wissenschaftstheoretischen Exkurs aus De anima 1.1 sind Punkte, Geraden und Dreiecke dagegen wohlbestimmte Dinge, die wir mit Hilfe unseres Vorstellungsvermögens!” betrachten können. Das ermöglicht uns, ihre Eigenschaften zu entdecken, und damit ist zugleich klar, warum sich die Definitionen aus den Elementen, die keine Kernbegriffe im Sinne von Pasch und Hilbert erläutern, sondern komplexere Gebilde beschreiben, formal 191 Die ausführlichsten Erklärungen zur Operation des VELE findet man bei Pappos, Collectionis quae supersunt e libris manu scriptis edidit latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch. I-II, Amsterdam 1965 [11875-1878], 11 670 (Buch VII, § 27); dazu verweise ich ergänzend auf R. Böker (wie Anm. 131), 418-426. Die Prinzipien der griechischen Mathematik 143 überhaupt nicht von den entsprechenden Nominaldefinitionen der modernen Mathematik unterscheiden. Beide sind in heuristischen Betrachtungen an denselben sinnlich wahrnehmbaren Objekten wie gezeichneten Dreiecken und Kreisen fundiert,!9* aber den daraus resultierenden Definitionen kann man am Ende nicht ansehen, ob sie auch Grundbegriffe enthalten, die bloß implizit definiert sind, oder ob in sie nur Termini eingehen, zu denen es eine explizite Definition gibt, die ein Gegenstück aus unserer Anschaungswelt beschreibt oder wenigstens beschreiben soll. Dadurch sind Autoren wie Ross!95 und Mueller!® dazu verleitet worden, die Definitionen der griechischen Mathematiker als Nominaldefinitionen zu deuten, doch wie ich oben schon erläuterte, gelingt das nur, wenn man deren Beschreibung der grundlege nden mathematischen Objekte wie Einheiten und Kurven als irrelevant übergeht, und das scheint mir vollkommen unzulässig. Wie man sich leicht überzeugt, gibt es zu den Kernbegriffen von Pasch und Hilbert, die wie das Sich-Schneiden oder das Auf-einer-Geraden-liegen eine Relation zwischen Geraden bzw. einer Gerade und einem Punkt beschreiben, bei den griechischen Mathematikern kein Gegenstüc k, und das ist sicherlich Vorstellung, kein Zufall. die vermutlich Nach einer von Aristoteles von den griechischen explizierten Mathematiker geteilt wurde, gehören die Relationen zu dem, was nur in einem abgeschwä chten Sinne zum Seienden gerechnet werden darf,!9” und damit kamen sie nicht als Objekte einer wissenschafilichen Betrachtung in Frage.!98 Dieser Standpunk t ist in der Neuzeit aufgegeben worden; denn Mathematiker wie Pasch und Hilbert diskutieren im Grunde nur noch Relationen zwischen den Objekten ihrer Wissenschaft, wie nicht zuletzt daraus hervorgeht, daß die Definitio nen 194 Dazu verweise ich noch einmal auf die oben schon zitierten Ausführungen von R. Baldus zu diesem Thema (wie Anm. 115). 195 W. D. Ross (wie Anm. 83), 196 I. Mueller (wie Anm. 82). 197Siehe Ethica Nicomachea. Recognovit brevique adnotatione instruxit I. Bywater, Oxford 1959 111894], 14, 1096a19-23 sowie Phys, V 2, 225b10-13, Metaph. XI 12, 1068a8-13 und XIV 1, 1088a21-b4, 198 Dazu verweise ich ergänzend auf den in diesem Sammelband abgedruckten Vortrag von W. Kullmann über Aristoteles und den Begriff des modernen Naturgeset zes, der 192 Anal. post. I 10, 76b9. gleichfalls deutlich macht, daß den Griechen noch ein adäquates Verständnis 193 pavracía (De anima 1 1, 402623). wissenschaftstheoretische Bedeutung der Relationen fehlte. für die

in der Mathematik von heute prinzipiell entbehrlich sind, wahrend das Aufnahme der Allgemeinen Vorstellungen 1.5-6 unter die Prinzipien aber 144 Postulat I.5 aus den Elementen, das bei Euklid nur den Status eines provisorischen Prinzips hatte, inzwischen den Rang eines Axioms hat, weil in 145 eklatant verstoßen; denn sie sind Spezialfälle der Allgemeinen Vorstellungen 1.2-3. Dabei verweist Proklos auf Heron, der die Zahl der Allgemeinen ihm von der Relation 'parallel' die Rede ist, die nie die Eigenschaft einer Vorstellungen entsprechend reduziert hat,?°? und im Gefolge dieser spätantiisolierten Geraden sein kann. ken Autoren hat Heiberg die Allgemeinen Vorstellungen 1.5-6 für unecht Die dritte Gruppe von ersten Sätzen, die dem ersten Buch der Elemente voranstehen, trägt in Heibergs Ausgabe der Elemente den Titel xavai Evvanı. Zumindest das dritte dieser Prinzipien, nach dem gleiche Reste übrig bleiben, wenn man Gleiches von Gleichem abzieht, war zur Zeit des Aristoteles bekannt; denn er spielt an mehreren Stellen mit fast wörtlichen Zitaten auf diesen Grundsatz an,!® wozu noch angemerkt sei, daß diese Allgemeine Einsicht in den Elementen zu der nachstehend angeführten Gruppe von 1., daß Zahlen oder Größen], die demselben gleich sind, auch | | [2., daß], wenn man zu gleichen [Zahlen oder Größen] Gleiches hinzufügt, die Ganzen gleich sind, [3., daß], wenn man von gleichen [Zahlen oder Größen] Gleiches | [4., daß], wenn man zu ungleichen [Zahlen oder Größen] Gleiches hinzufügt, die Ganzen ungleich sind, [5., daß], die Doppelten desselben miteinander gleich sind, [und 6., daß], die Halben desselben miteinander gleich sind.” Diese Aligemeinen Annahmen bieten ein weiteres Beispiel dafür, daß die Mathematiker metatheoretischen Fragen weniger Beachtung geschenkt haben, als häufig angenommen wird. Zu dem wissenschaftstheoretischen Programm aus der Zweiten Analytik gehört nicht zuletzt, daß die Prinzipien jeder Wissenschaft unbeweisbar und damit voneinander unabhängig sein sollen.2% Wie schon Proklos moniert hat," wird gegen diesen Grundsatz mit der 199 Analytica priora, 1 24, 41b19-22; Anal. post. 1 10, 76a41 und 76b20-21 sowie 11, 77a30-31 und Meraph. X14, 1061b19-21. 200 Anal. post. 1 2, 72a14-18, und 10, 76a31-32. 201 Proklos (wie Anm. 21), 196.15-197.5. Im IV. Buch der Metaphysik diskutiert Aristoteles die Frage, ob es eine Wissenschaft gibt, die sich mit der Begründung derjenigen Prinzipien zu befassen hat, "die in den mathematischen [Wissenschaften] Axiome genannt werden" .7°3 Wie schon von B. Einarson betont worden ist,2% Jäßt sich dieser Stelle? entnehmen, daß Aristoteles den Terminus Axiom von den Mathemabietet ein gutes Indiz dafür, daß die Mathematiker seiner Tage auf diese "[Als Allgemeine Einsichten gelten abzieht, die Reste gleich sind, hen, daß diese überzähligen Prinzipien nacheuklidisch sind. tikern übernommen hat, und eine andere Passage aus der Zweiten Analytik ähnlich strukturierten Prinzipien gehört: miteinander gleich sind, erklärt, doch wie mir scheint, darf man nicht so ohne weiteres davon ausgeallgemeinen, ihre einzelnen Theorien übergreifenden Prinzipien zuerst bei der Ausarbeitung der allgemeinen Proportionentheorie aufmerksam geworden sind. Aristoteles berichtet dort: 202 Nach dem von al-Nayrizi zitierten Simplikios, der in der 1. Hälfte des 6, Jh. n. Chr. lebte (F. Rudio [wie Anm. 134], 6-9), gab es in den alten Handschriften nur drei Allgemeine Vorstellungen, denen in den neueren Texten weitere Prinzipien dieser Art beigefügt waren (Anaritii In decem libros priores Elementorum Euclidis commentarii. Ex interpretatione Gherardi Cremonensis in Codice Cracoviensi 569 servata edidit M. Curtze. Leipzig 1899, 37); aber wie schon M. Curtze in einer Anmerkung zu dieser Stelle vermutete, dürfte es sich bei den von Simplikios erwähnten alten Manuskripten nicht um authentische Euklidtexte, sondern um die von Proklos erwähnte Ausgabe des Heron gehandelt haben (wie Anm. 201). 203 Metaph. IV 3, 1005a20-21. 204 B. Einarson, On certain mathematical terms in Aristotle's logic, American Journal of Philology 57 (1936), 33-54 und 151-172, dort 43. 205 Dazu verweise ich ergänzend auf die Parallelstelle XI 4, 1061b17-25, an der Euklids Allgemeine Einsicht 1.3 expressis verbis angeführt wird, wozu noch angemerkt sci, dal) Aristoteles die aEtguata der Mathematiker hier (wie in den Zeilen Anal. post. 1 11, 77a26-31, auf die sich wahrscheinlich der Hinweis auf 1d @vaAuıx& in der zum Kontext der oben angeführten Worte aus Metaph. IV 3 gehörigen Zeile 1005b4 bezieht), als tà xorv& bezeichnet. In den Zeilen Anal. post. 12, 72a14-18 erwähnt er nach seinen Ausführungen über diese Prinzipien dagegen, daß man diese ersten Sätze gewöhnlich dStóyeta zu nennen pflege, während an der Parallelstelle 10, 76b11-16 von ‘den sogenannten allgemeinen Axiomen' (tà xavi Aeyäuevx data) die Rede

"[Man darf nicht übersehen, daß die Beweise, die sich auf eine benutzt haben sollen, überhaupt nicht nennt, Das legt den Schluß nahe, daß gewisse Klasse von man zur Zeit von Aristoteles noch nicht bereit war, den Terminus xosév, bei dem es sich wahrscheinlich um den in Anal. post. 1.5 unterdrückten Namen Objekten beziehen, mitunter einen weit allgemeineren Geltungsbereich haben. Als Beispiel dafür sei der 147 Satz V.16 aus den Elementen genannt], nach dem man die Innenhandelt,?!° als Bezeichnung für eine Klasse von abstrakten Gegenständen glieder einer Proportion vertauschen kann, falls es sich dabei anzusehen, die existieren und damit den Objektbereich für eine mathemati- [jeweils um vier] Zahlen, Linien, Körper oder Zeit[intervalle] sche Theorie abgeben. handelt.206 Früher hat man ihn für alle [diese Objektbereiche] getrennt voneinander verifiziert, obwohl er sich mit einer einzigen Soweit ich sehe, ist diese metatheoretische Auffassung erst von Proklos Begründung für alle beweisen läßt. Weil es aber noch nichts gab, vertreten worden. Proklos diskutiert im Zusammenhang mit einigen Ausfüh- Zahlen, rungen zu der eben erwähnten Textstelle aus Anal. post. 1.5 eine Reihe von Längen, Zeit[intervalle] und Körper unter einen Namen brachte, allgemeinen Prinzipien und Theoremen, die sich auf alle Gattungen der was alle diese artverschiedenen [Objekte], nämlich nahm man sie zunächst getrennt vor. Jetzt führt man diesen Nachweis jedoch allgemein; denn [der fragliche] Satz gilt nicht, weil er sich auf eine spezifische Besonderheit der Linien oder erstreckt".2!! Wie das Wort 'Abkòmmling' verrät, spielt er damit auf das Zahlen bezieht, sondern weil er eben dem zukommt, was man als sogenannte Sonnengleichnis aus Platons Politeia an,?!? und mithin denkt Proklos hier zunächst noch nicht an eine mathematische Theorie von einem etwas Allgemeines zugrunde legt."207 Obwohl die Allgemeinen Vorstellungen aus den Elementen in den Beweisen aus dem V. Buch, das Euklids allgemeine Proportionentheorie enthält, nirgends explizit angeführt werden, ist die oben zitierte Stelle aus der Zweiten Analytik auch schon von Proklos im Zusammenhang mit diesen Prinzipien diskutiert worden.2% Dazu zeigt sie zusammen mit der Anmerkung aus Anal. post. 1.10, nach der Sätze von der Art der Allgemeinen Vorstellung 1.3 nur deshalb'als allgemeingültig bezeichnet werden, weil sie der Geometer für den Bereich der ausgedehnten Größen und der Zahlentheoretiker für die Zahlen aussprechen kann,2% daß die allgemeine Proportionentheorie die Mathematiker und Wissenschaftstheoretiker von damals vor ein schwieriges Problem stellte. Aristoteles erwähnt an der eben zitierten Stelle nämlich, daß man zunächst nicht wußte, welchen Namen man dem Objektbereich geben sollte, auf den die Sätze der allgemeinen Proportionentheorie anwendbar sind; aber noch auffälliger ist, daß er den Namen, den die Mathematiker schließlich 206 Der Satz V.16 aus den Elementen besagt also, daß unter den oben angegebenen Bedingungen mit der Proportion A:B = C:D auch die Beziehung A:C = B:D gilt. 207 Anal. post. 15, 74a18 -25. 208 Proklos (wie Anm. 21), 7.13-8.4 und 195.23-196.14 209 Anal, post. 1 10, 76a37-b2, siche auch Meraph. IV 3, 1005a19-29 und XI 4, 1061b17- 23, mathematischen Objekte beziehen, und "Abkömmlinge der einen Wissensind, die sich insgesamt über alle mathematischen Kenntnisse schaft hohen Allgemeinheitsgrad, sondern an Platons Dialektik, die nach der Erkenntnistheorie aus dem Liniengleichnis die Satzsysteme der Mathematiker begründen soll. Ein wenig später spricht Proklos dann aber expressis verbis von "der einen und vollständigen mathematischen Wissenschaft, die auf einfache Weise die Prinzipien aller [mathematischen] Einzelwissenschaften in sich begreift, ... während die Dialektik noch höher angesiedelt [sein soll]. "2% In diesem Sinne hatte er bereits ein wenig früher ausgeführt, es gäbe "nicht nur Kenntnisse und Wissenschaften von Objektbereichen, die voneinander abgetrennt sind [wie die Zahlen und die ausgedehnten Größen. Nach Proklos haben wir nämlich] außerdem eine Wissenschaft von immateriellen [Objekten], die dem geistigen Schauen näher zugeordnet sind [als die Zahlen und die ausgedehnten Gròfen]."2!4 Darüber steht dann wieder die Dialektik als Wissenschaft vom Seienden als Seienden, und damit dürfte klar sein, daß Proklos mit diesem Detail seiner Wissenschaftstheorie der Auffassung von 210 Metaph. XI 4, 1061b19-25; siehe auch Anal. post. I 32, 88a36-b3 sowie Proklos (wie Anm. 21), 9.21. 211 Proklos (wie Anm, 21), 7.17-19. 212 Éxyovog, Politeia VI 50663 und 50723. 213 Proklos (wie Anm. 21), 44.2-10. 214 Proklos (wie Anm. 21), 9.11-14,

149 Autoren wie Pasch, Hilbert und Baldus bereits weit näher kommt als Aristo- Werken der griechischen Mathematiker nun aber keine Parallele, und das legt teles. Wie auch schon von I. Mueller betont worden ist, läßt die metatheoredie Vermutung nahe, daß Aristoteles den Begriff des allgemeinen Prinzips tische Deutung der Mathematik im Corpus Aristotelicum ebenso wie die samt des dazugehörigen Terminus Axiom ursprünglich von den Mathemati- Praxis aus den Elementen immer wieder an die Ausführung von Gedankenexkern übernommen hat, die ihn damals im Rahmen einer metatheoretischen perimenten mit idealisierten physikalischen Objekten denken.?!5 Bei Proklos Diskussion über die Grundlagen der Mathematik benutzten. Danach hat er ist der Objektbereich der allgemeinen Proportionentheorie dagegen bereits ihn aber bald auf alle Wissenschaften übertragen, und damit ist klar, warum anschauungsfrei und damit de facto nur noch implizit durch das Satzsystem er den Begriff des allgemeinen wissenschaftlichen Prinzips im IV. Buch der aus dem V. Buch der Elemente definiert, doch diese Konsequenz hat er selbst Metaphysik, in dem es um die Begründung der Wissenschaften in toto (und noch nicht gezogen. nicht vornehmlich um die Lehren der Mathematiker und Naturwissenschaftler) geht, nur noch an Hand von logischen Grundsätzen erläutert. Von Aristoteles ist das Konzept der allgemeinen mathematischen Prinzipien dagegen nach einer andern Richtung als von Proklos weiterentwickelt I. Mueller ist ebenfalls zu dem Ergebnis gekommen, daß die oben skizworden, Wie er in seinen wissenschaftstheoretischen Exkursen ausführt, zierte Verallgemeinerung des &&{opa-Begriffs eine eigentümliche Leistung des sollen die &&.6pata alle Wissenschaften und nicht nur die Lehren der Mathe- Aristoteles matiker betreffen, doch das paßt nicht so recht zu seinem schon mehrfach wurde.220 Da Mueller alle wissenschaftstheoretischen Ausführungen aus dem ist, die von den griechischen Mathematikern nie rezipiert erwähnten Beispiel der Allgemeinen Vorstellung 1.3, die bestenfalls für alle Corpus quantitativ argumentierenden der Entwicklungen zu achten, kommt er jedoch zu einer weiter oben schon unter Metaphysik gibt es jedoch mehrere Textstellen,?'® an denen Aristoteles statt einem etwas anderen Gesichtspunkt kritisierten Deutung der aristotelischen dessen den Satz vom Widerspruch als ein für alle Wissenschaften unverzicht- Prinzipienlehre, die er am Wissenschaften von Bedeutung ist. In Aristotelicum miteinander verbindet, ohne auf chronologische Ende selbst als problematisch bezeichnet.??! bares Prinzip anfúhrt,?1” zu dem als zweites Beispiel noch der Satz vom Ausgangspunkt seiner Überlegungen sind Passagen wie die Zeilen 997a5-11 ausgeschlossenen Dritten kommt, der allen indirekten Beweisen zu Grund aus Metaphysica III.2, in denen Aristoteles vorab erklärt, daß zu jeder liegt. Dabei betont er übrigens wieder, daß auch ein solcher Grundsatz nur Wissenschaft eine Gattung als Objektbereich gehört. insofern allgemein ist, als er für den Objektbereich jeder einzelnen Wissen- Eigenschaften der Elemente dieser Gattung und schließlich nennt er dann schaft gilt.21% Zu den eben erwähnten Prinzipien (der Logik?!%) gibt es in den Dazu kommen die noch die Axiome. Dabei fällt auf, daß nirgends (mehr expressis verbis) von den Definitionen die Rede ist. Parallelstellen dazu findet man auch in der Zweiten Analytik? 215 Siehe I. Mueller (wie Anm. 10), 291-292. Dazu sei noch angemerkt, dal) Muellers von mir weiter oben kritisierte Deutung der Definionen aus den Schriften der griechischen Mathematiker in dem später geschriebenen Aufsatz On the notion of a matheund daraus schloß Mueller zusammenfassend, daß Aristoteles in den (kanonischen) Definitionen durchgängig bloße Nominaldefinitionen sah, die nicht als wissenschaftliche Prinzipien fungieren können. ?? matical starting point in Plato, Aristotle, and Euclid (siehe Anm. 19), auf die ich Zur Stützung dieser Interpretation erklärt Mueller die von mir oben diskugleich noch einmal eingehen werde, mit seinen oben referierten Ausführungen inkomtierten grundlegenden Ausführungen des Aristoteles über die Prinzipien der patibel ist. 216 Metaph, Ill 1, 995b8-10, 2, 996b26-34 und IV 3, 1005b17-23. 217 Wie die Benutzung des Terminus ávutódetov in der Zeile 1005b14 verrät, schreibt Aristoteles dem Satz vom Widerspruch dieselbe Rolle zu wie Platon der Idee des Guten (siehe Anm. 47). anführt, ist schon von W. D, Ross hingewiesen worden (Metaphysics, wie Anm. 14), 1 262. 220 I. Mueller (wie Anm. 19), 76. 218 Dazu verweise ich ergänzend auf Anal. post. I 11, 77a22-31. 221 I. Mueller (wie 19), 80. 219 Auf die Tatsache, daß Aristoteles im Rahmen seiner Ausführungen über die xouvai 222 Anal. post. 1 7, 75a38-b6; 10, 76b11-16 und 11, 77a22 -31. ápral im II. und VI. Buch der Metaphysik als Beispiel nur Grundsätze der Logik 223 1. Mueller (wie Anm. 19), 78-81.

-beweisenden Wissenschaften aus Anal. post. 1.2 und LIO zu "problematischen Passagen aus der Zweiten Analytik,"?4 doch eben das scheint mir unter Berücksichtigung einer Bemerkung aus dem II. Buch dieser Schrift, nach der alle Wissenschaften aus kanonischen Definitionen hervorgehen,?25 problematisch zu sein. Eine genaue Analyse der von Mueller zur Stützung seiner These angeführten Stellen aus der Zweiten Analytik legt ohnehin eine ganz andere Deutung nahe. Dort geht es nämlich direkt oder indirekt um die Frage, ob sich die spezifischen Beweisverfahren einer Fachwissenschaft auf andere Wissenschaften übertragen lassen. Die Antwort darauf lautet, daß man zwar die Axiome per analogiam auf unterschiedliche Objektbereiche anwenden darf; aber im allgemeinen ist die Übertragung von Sätzen und Beweisen auf eine andere Gattung unzulässig, weil man die besonderen Eigenschaften der Elemente der einzelnen Objektbereiche in Betracht ziehen muß.??5 So läßt sich beispielweise nicht jeder Satz der Geometer arithmetisch formulieren und beweisen; denn Zahlen sind stets kommensurabel, 2?” und daher gibt es zu dem Satz, daß die Seite und die Diagonale in ein - und demselben Quadrat miteinander inkommensurabel sind, in der antiken Arithmetik kein Gegenstück. Die fraglichen Stellen aus der Zweiten Analytik besagen also nicht, daß man zur Begründung der Wissenschaften neben den Axiomen (und einigen Existenzpostulaten) keine weiteren Prinzipien braucht. Sie bekräftigen nur, daß sie die einzigen fachübergreifenden Prinzipien sind, neben denen man weitere erste Sätze benötigt, die den Besonderheiten der fachspezifischen Objektbereiche angepaßt sein müssen, und somit scheint mir Muellers Deutung der Prinzipienlehre aus der Zweiten Analytik insgesamt verfehlt. Ich habe bereits darauf hingewiesen, daß die provisorischen Prinzipien aus den Elementen ohne eine durchgängige Systematik auf zwei Blöcke mit unbewiesenen Sätzen verteilt sind, die diesem Werk voranstehen. Wie der 151 Kommentar des Proklos zum I. Buch der Elemente zeigt,?2® haben sich die nacheuklidischen Mathematiker jedoch schon bald bemüht, in diese Listen eine Systematik hineinzulesen. Dabei verfolgten sie unterschiedliche Strategien, die dazu führten, daß es zur Zeit von Proklos bereits mehrere Traditionen der Elemente gab, in denen die Prinzipien unterschiedlich angeordnet und zum Teil wohl auch schon mit besonderen Termini bezeichnet waren.?? Geminos, der sowohl in den Axiomen als auch in den Postulaten unbeweisbare, fachspezifische Prinzipien sah, vertrat nach Proklos die Ansicht, daß mit den Axiomen eine Behauptung aufgestellt wird, die selbst der Ungebildete sofort als richtig anerkennt, während man mit den Postulaten etwas zu erfassen versucht, das so leicht vorzustellen ist, daß der Verstand bei diesem Unternehmen nicht ermüdet, weil er dabei keinerlei umständliche Konstruktionen auszuführen braucht. Wenn man weiter berücksichtigt, daß zwischen den Axiomen und Postulaten nach Geminos mutatis mutandis der gleiche Unterschied bestehen soll wie zwischen Theoremen und Konstruktionsaufgaben, ist klar, daß er in den Postulaten Grundsätze sah, mit denen die Konstruierbarkeit von elementaren geometrischen Gebilden gefordert wird. Da Geminos die Postulate 1.4 und 1.5 aus den Elementen für beweisbar hielt, schloß er sie (wie Proklos) aus der Menge der mathematischen Prinzipien aus, und damit entschied er sich zugleich gegen die Erklärung des Terminus alta aus Anal. post. 1.10, nach der die Postulate zu den beweisbaren Sätzen gehören und somit zu den bloß provisorischen Prinzipien zu rechnen sind.2! Proklos neigte dagegen mehr zu der von ihm irgendwelchen "anderen"? zugeschriebenen Auffassung, daß die Postulate fachspezifische Prinzipien sein sollen, während sich die Axiome bei ihm (wie bei Aristoteles) auf alle Theorien (der Mathematiker) beziehen.?? Aus diesem Grund 228 Proklos (wie Anm. 21), 178.1-198.15. 229 Proklos (wie Anm. 21), 183.8 und 198.3-5. 230 Proklos (wie Anm. 21), 178.9-179.14, 181.4-15 und 181.24-182.6. 231 Proklos (wie Anm. 21), 182.14-20. 232 Proklos (wie Anm. 21), 182.6. 224 1. Mueller (wie Anm. 19), 70. 225 Anal. post. Il 17, 99a22-23; siehe auch Topica VIII 3, 158b1-4, De anima 11, 402b16 - 403a2 und Metaph. XIII 4, 1078b22-25 226 Anal. post. 17, 75a38-b12,; siehe auch 11, 77a26-31. 227 Siehe Anm. 173. 233 In den Zeilen 184,12-29 seines Kommentars zum I. Buch der Elemente (wie Anm. 21) skizziert Proklos die Grundzüge einer Wissenschaftstheorie, nach der es neben fachspezifischen und fachübergreifenden Axiomen auch fachspezfische und fachübergreifende Postulate gibt. Dazu führt er den Satz, daß jede ausgedehnte Größe unbeschränkt zerlegbar ist, als Beispiel für ein geometrisches und damit fachspezifisches Axiom an, während die Forderung, daß sich jedes Quantum [durch ein iteriertes

plädierte er dafür, die Allgemeine Vorstellung 1.10, die er ohnehin für gesetzt hat, von Euklid stammen. Diese Titel verleiteten dazu, in diese Listen entbehrlich hielt, aus der Liste der Axiome auszuscheiden (bzw. ganz zu eine Systematik hineinzuprojizieren, die allenfalls Versuche von spätantiken streichen), 2* während er das Gleichheitskriterium aus der Allgemeinen Vorstellung 1.8, nach dem gleich sein soll, was aufeinander paßt, stillschweigend als ein Axiom akzeptierte, obwohl es sich bei diesem Satz sicherlich um ein fachspezifisches Prinzip der Geometer handelt. Nach der wissenschaftstheoretischen Deutung der Prinzipien durch Geminos wäre die Zuordnung der Allgemeinen Vorstellung 1.8 zum dritten Block der Prinzipien aus dem I. Buch der Elemente dagegen zu rechtfertigen, wenn diese Liste damals schon den Titel xcvat Evvai trug. Wie ich bereits ausführte, sind diese Prinzipien nach Geminos nämlich insofern allgemein, als sie jedem Menschen einsichtig sind. In diesem Sinne wird der Ausdruck xavai Evvaaı auch von Proklos yerwendet,35 und wenn man weiter berücksichtigt, daß er ihn in seinem Kommentar zum ersten Buch der Elemente zweimal an Stellen benutzt,2 in deren Kontext Ausführungen von Geminos diskutiert werden, liegt die Vermutung nahe, daß der fragliche Terminus von diesem spätantiken Kommentator in die wissenschaftstheoretische Diskussion über die Prinzipien aus dem I. Buch der Elemente eingeführt worden ist. Autoren widerspiegelt, bei Euklid eine solche Systematik ausfindig zu machen, während die oben vorgelegte Untersuchung ein erstes Bemühen ist, 152 Abschließend sei noch einmal betont, daß alle Untersuchungen über die Prinzipien der griechischen Mathematik in der Vergangenheit von der unzutreffenden Voraussetzung ausgingen, daß die Titel, die J. L. Heiberg in seiner Ausgabe der Elemente über die Blöcke mit den unbewiesenen Sätzen Aneinanderfügen ein und derselben Grundgröße] über jede Grenze hinaus vergrößern läßt, ein fachübergreifendes Postulat der Geometer und Zahlentheoretiker sein soll. Da Proklos, der diese Lehre auffälligerweise nicht kritisiert, das oben angeführte Axiom der Geometer an einer anderen Stelle (als eine Allgemeine Vorstellung der Geometer bezeichnet und) Geminos zuschreibt (278.9-279.2), liegt zunächst die Vermutung nahe, dal} die zugehörige Wissenschaftstheorie von Geminos vertreten wurde; aber das kollidiert empfindlich mit den oben bereits referierten Berichten des Proklos über dessen Interpretation der Termini c&tepa (bzw. xotvî) Evvota) und alta. 234 Eine von al-Nayrizi referierte Bemerkung des Simplikios (wie Anm, 202), 35, nach der dieses Prinzip in den alten Handschriften nicht zu finden war, ist wahrscheinlich wieder dahingehend zu deuten, daß) es in Herons Ausgabe der Elemente fehlte (siehe Anm. 202). 235 Siehe Proklos (wie Anm. 21), 76.15-17 und 109.13-20, 236 Proklos (wie Anın. 21), 182.12 und 278.14. die metatheoretischen Vorstellungen der griechischen Mathematiker unabhängig von dieser in die Irre führenden Gängelung zu ermitteln.