Die Arithmetik der Griechen

MEGTER que KI Der Zeitraum, in dem die griechische Mathematik bevorzugtes Interesse der Historiker — der alten wie der neuen — auf sich gezogen hat, ist die Spanne von etwa 500 bis 300 vor Christi Geburt. Um 500 lebte Pythagoras, um 300 stellte Euklid die dreizehn Bücher seiner Elemente zusammen; im fünften Jahrhundert wirkten Heraklit, Parmenides und Zeno, 399 starb Sokrates, der Lehrer Platos, 333 siegte der Schüler des Aristoteles bei Issus. Es ist die Zeit, in der die griechische Wissenschaft überhaupt ihre Hochblüte erlebte. Und wenn es schon au und für sich eine natürliche Frage ist, auf welche Weise eine so inhaltreiche und mannigfaltige und stellenweise so fein durchkonstruierte Wissenschaft, wie Ibuklid sie darbietet, entstanden sein mag, — so wird diese Frage doppelt brennend, weil die Mathematik eine ausschlaggebend“ Rolle für die griechische Philosophie gespielt hat. Wenn es nicht gelingt, diese alte Mathematik wieder zu beleben, wird auch dic pythagoräische Philosophie und der Sinn jenes dem Pythagoras zugeschriebenen Ausspruchs „alles ist Zahl“ dunkel und unbestimmt bleiben. Wieviel Eigenhändiges wir auch von Plato selbst. besitzen — die nur von Aristoteles stückweise überlieferte platonische Lehre von den Idealzahlen scheint für ein näheres Verständnis Platos wnentbehrlich. Drehen sich doch die Diskussionen der Metaphysik, in denen sich Aristoteles mit Pythagoräern und Platonikern auseinandersetzt, hauptsächlich um das Wesen der Zahlen und Idealzahlen. Sie bemerken sogleich die merkwürdige Spannung in der Überlieferung, die es zu verstehen gilt — deren Auflösung getrost das Kernproblem der Geschichte der griechischen Mathematik genannt werden darf: Wie ist es zu erklären, daß eine Entwicklung, welche so nachdrücklich die Zuhlen in den Mittelpunkt der wissenschaftlichen Aufmerksamkeit rückte, ihren endgültigen mathematischen Niederschlag in einem Werk findet, das vorwiegend der Geometrie angehört und die Griechen viel eher als auschauungsfreudige Geometer denn als Arithmetiker erscheinen läßt ?

Quellen 1 17 Die Gespräche sind von Humor durchsetzt, und vielleicht ist dic Überschätzung der Stalpeoic als platonischer Lehre (die Begrün- Welche Quellen sind es, die uns einen Einblick in diese Entwickdung der klassifizierenden Logik, um es kurz zu sagen) nur eine lung zu gewähren vermügen ? Verwechslung von Scherz und Ernst. Im Staatsmann sind zwecks Die einzigen direkten Quellen von unbezweifelbarem dokumen- Definition des Königs Menschenherden und Schweineherden durch tarischem Wert sind der Euklid einerseits — die Schriften Platos. Aristoteles’ und ihrer Schüler (wie Eudem und Aristoxenos) andrerseits. Also zeitgenössische philosophische Schriften, welche in meist nur kurzen Worten auf mathematische Methoden, Probleme und Resultate hinweisen — und ein Sammelwerk am Ende des Zeitraums, das die grundlegenden rein mathematischen Ergebnisse der Wissenschaft — ohne Bezug auf Außermathematisches — ein Merkmal zu unterscheiden; dies gelingt mit der Anzahl der zusammmentrigt und methodisch ordnet. In den Gesetzen? wird für die Auzahl der Bürger die Zal:1 5040 vor- Direkte Antworten auf unsere Fragen bieten uns diese Schriften geschlagen, weil sie durch alle Zahlen von 1 bis 10 teilbar ist und Füße der versammelten Lebewesen, denen Plato einerseits das Quadrat aus der Diagonale, nämlich 2 = (Ya, andrerseits das Quadrat aus der Diagonale der Diagonale, nämlich 4 — (ÿ2}° + (y2}2 zuordnet?. Plato treibt offenbar Scherz mit dem Ernst des Irrationalen und dem Satz des Pythagoras. nicht. Euklid hatte nicht die Liebenswürdigkeit moderner Schriftinsgesamt 59 Teiler hat. Das ist vermutlich ein Scherz, der sich steller, mathematische Sätze nach ihren Entdeckern zu benenübrigens leicht nachrechnen läßt, weil 5040 = 7! ist. Auch die nen. Eudem verfaßte eine Geschichte der griechischen Mathema- Hochzeitszahl® im Staat dürfte weniger bitterer Ernst, als vicltik; aber gut verbürgte Fragmente dieses Buches sind uns nur mehr eine humoristische Übertrumpfung pedantischer Zahlenwenige erhalten — ein Stück berichtet die Ausmessung der Möndmystik sein. chen durch Hippokrates', ein anderes einen pythagoräischen Be- Und doch muß es auch den lehrenden Plato gegeben haben. weis für den Satz über die Winkelsumme im Dreieck”. Dazu kommen noch einige nicht wörtlich überlieferte Angaben, die Aristoteles pflegte seine Schüler mit Platos Beispiel davor zu direkt aus Eudem entnommen sein können, wie etwa die, daß wartungen bei den Zuhörern zu erwecken. „So erging es, wie der zweite Kongruenzsatz von Thales stamme’. Aristoteles immer erzählte, den meisten von denen, welche bei Platos Schriften sind nicht lehrhafte Abhandlungen, sondern gedichtete Dialoge, die nie ganz den schwebenden Charakter des Gedichteten verlieren. Das Resultat eines Dialogs im Sinne eines philosophischen Theorems feststellen wollen, heißt zum mindesten die Sprache Platos in eine lehrhafı feststellende Sprache umformen; denn Platos Ansichten treten nicht direkt zutage. Ebensowenig sind die Dialoge historische Berichte. Der Sokrates des Staates ist gewiß nicht der historische; aus dem Parmenides wird Plato die Vorlesung über das Gute hörten. Jeder sei nämlich mit warnen, durch irreführende Titel von Vorträgen falsche Erder Voraussetzung gekommen, er werde irgendeines von diesen sogenannten menschlichen Gütern, Reichtum, Gesundheit, Kraft, überhaupt irgendeine außerordentliche Glückseligkeit erlangen; als nun aber die Erörterungen über Mathematik und Zahl in Geometrie und Astronomie, xal td mépac ot. dyaddy gore Ev, daß die Grenze ein Gut ist, zum Vorschein kamen, da trat ihnen, diinkt mich, etwas sehr Unerwartetes entgegen, und dic einen verman nicht folgern wollen, daß Sokrates mit Zeno und Parmenides nachlässigten allmählich den Gegenstand, die anderen tadelten gesprochen habe. Ebensowenig erfahren wir Direktes über den ihn.‘ Lehrbetrieb der Akademie. Der Theätet des Dialogs tritt uns z.B. Das klingt recht wirklichkeitsgetreu und glaubwürdig, aber eine als ein begabter Knabe, der bei Theodorus Mathematik lernt, direkte Überlieferung der Lehre gibt es nicht. Wir können nur nicht als cin bedeutender Forscher der platonischen Akademie feststellen, daß der Plato, gegen welchen Aristoteles in seiner entgegen, der er bei der Abfassung des Dialogs gewesen sein Metaphysik polemisiert, nicht der uns bekannte ist, daß Plato eine Idealzahlenlehre entwickelt haben muß, in der mépac¢ und év eine

Kritik der Quellen 19 1lauptrolle spielten, und so vermuten, daß diese Lehre in der Vor- Überlieferung des pythagoriiischen Wissens. Bildete aber T'heätet Jesupg über das Gute vorgetragen wurde. Der Gehalt dieser Lehre den Begriff des regelmäßigen Körpers und konstruierte er sic läßt sich nur undeutlich aus der ermüdenden Polemik des Aristoteles entnehmen. sämtlich, so wird er (von weiteren möglichen Leistungen ganz zu schweigen) neben Eudoxos die bedeutendste Gestalt der vor- Ks bestehen also erhebliche sachliche Schwierigkeiten, diese wohleuklidischen Mathematik. verbürgten Quellen zu befragen, und so mag man es verstehen, Wie soll das entschieden werden? Wie sollen wir die Nachrichten bewerten? Erwägungen über die inhaltliche Wahrscheinlichkeit. wenn sich die Historiker weniger an Euklid und die alten Philosophen als an eine andere, ihrem dokumentarischen Wert nach fragwürdige Überlieferung gehalten haben — nämlich an die sind unvermeidlich. Heiberg wollte nicht glauben, daß die Pythagoräer das Oktaeder nicht gekannt hätten, und meint, es wäre historiographische griechische Tradition, wie sie uns im Kommen- Oktaeder und Dodckaeder zu vertauschen"®. In der Tat wäre es tar des Proklos (500 n. Chr.) zum ersten Buch des Euklid, im ganz unglaublich, daß jemand von den ägyptischen Pyramiden Kommentar des Pappos zu Euklid X und in den Scholien zum Keuntnis hatte und nicht auf die Idee verfallen wäre, zwei solche Euklid übermittelt wird — Scholien, die zum Teil aus erhaltenen Pyramiden zu einem regelmäßigen Oktacder zusammenzusetzen. und wahrscheinlich zum Teil aus jetzt verlorenen Kommentaren exzerpiert und als Randbemerkungen in den Handschriften der Aber es gibt ein Specksteindodekacder, das in Italien gefunden ist und älter als 500 v. Chr. sein muß. Und der Pyrit, ein wichtiges Clemente erhalten sind, — und an die merkwürdigen neupythago- Erz, das in Italien schon früh abgebaut wurde, kristallisiert in räischen Schriften des Theon von Smyrna und des Nikomachos Dodekacdern und in einem dem regelmäßigen Ikosacder ähnvon Gerasa, die 100 bis 200 n. Chr. verfaßt sind, als Bücher, die lichen Zwanzigflichner!? Die Nachricht des Scholions bleibt, wie num Verständnis der Philosophie von Plato und Pythagoras bzw. man es auch wendet, recht unglaubwürdig. mt ihrer Interpretation im neuplatonischen und neupythagorii- Doch wird dadurch die Nachricht des Proklos und die des Suidas* ischen Sinn vorbereiten sollten. wahrscheinlicher? Was für ein Licht fällt auf die Tradition ins- Aber die unmittelbaren Auskünfte, die unsere historische Neugier gesamt, wenn sie so einschneidende Widersprüche enthält ? Werden hier erhält, sind leider widerspruchsvoll, und zwar in ganz grunddadurch nicht auch Nachrichten unsicher, die vielleicht nur zulegenden Dingen. fällig unwidersprochen überliefert sind? Proklos überliefert cin Mathematikerverzeichnis’, das übrigens Cantor seiner Darstellung durchgehend zugrunde legt. Hier heißt Es ist unvermeidlich, zum Quellenwert der Tradition Punkt für es unter anderem, daß Pythagoras bekanntlich die Lehre vom Punkt Stellung zu nehmen. Und möchte man versucht sein, sich [rrationalen und die Konstruktion der kosmischen Körper geeiner Analyse des Euklidischen Textes und einer vielleicht diffifunden habe. In einer anderen Notiz heißt es mit Bezug auf zilen Interpretation Platos zu entziehen, auch bei den Kommen- Theätet?: rpéros de ta mévte xorobueva otepedk Eypaye; das tatoren müssen wir zwischen den Zeilen lesen, um die Bruchkann nicht anders wörtlich übersetzt werden, als daß Theatet als stellen zwischen Erdichtetem und Berichtetem zu erkennen. Und erster die sogenannten fünf Körper konstruierte, Drittens aber berichtet cin Scholion® zu Euklid XIU, daß die Pythagoräer nur aus der Frage nach der Mathematik zwischen 500 und 300 v. Chr. erwächst die Frage nach der Geschichte des Auf- und Nicdergangs Würfel, Pyramide und Dodekaeder gekannt hätten, Theätet aber der griechischen und hellenischen Wissenschaft im Zeitraum voa Oktaeder und Ikosaeder gefunden habe. Die sachlichen Wider- 300 v. Chr. bis 500 n. Chr. sprüche sind offenkundig und offenbar einschneidend. Besaß Das Ausmaß der Entartung dieser Tradition ins Legendarische Pythagoras schon den Inhalt von Euklid XIII, so kann man kaum übertrifft alle Erwartung. Für die Neupythagoräer sind Plato und von einer Entwicklung der Geometrie im Zeitraum von 500 bis Aristoteles nur noch die Evangelisten der Offenbarung, die 300 sprechen, und Theätet ist nur ein unbedeutender Name in der Pythagoras den Menschen geschenkt hat; Pythagoras wird ein

philosophicrender Halbgott. Im ersten Kritik der Quellen Jahrhundert n. Chr. Lauchen Schriften in einem eigentiimlichen dorischen, kiinstlich archaisierenden Dialekt auf. Und diese Schriften gelten dann als Quellen für die angeblichen Ansichten der Pythagoräer. Dieser Sachverhalt läßt sich überzeugend für den sogenannten Timäus 21 der Mathematik zugeschrieben. Zudem klingen die auf Pythagoras bezüglichen Stellen ziemlich deutlich an einige Sätze des besonders phantasievollen Jamblichus an; kurz, es wird fragwürdig, oh cin Stück aus Eudem vorliegt. Tannery nimmt Geminus als Mittelsmann an, andere glauben an eine spätere Einschiebung in das Lehre. Im ersten Jabrhundert müssen auch die in späteren Werk des Proklos, andere, daß Proklos Jamblichus und Eudem durcheinander zitiert habe**, So entsteht cin Chaos von Kombinationen um ein Verzeichnis, das fast nur Namen enthält — don wenn es heißt, nach Thales wird Mamerkus als Geometer gerithmt, so kann man daran mit Cantor (wenn man schon an das Verzeichnis glauben will) nur die Bemerkung!® knüpfen: „Diese Persönlichkeit ist cin so untrügliches Zeugnis für die Verginglichkeit irdischen Rubmes, wie kaum eine zweite; denn wir kenuen heute von diesem gerühmten Geometer nicht einmal mehr den Locrus nachweisen. Einige medizinische Äußerungen in dem ihm zugeschriebenen Werke zeigen, daß es nach 200 v. Chr. verfaßt scin muß, erstmalig erwähnt wird es von Nikomachos. Die Sprache ist nach dem Urteil der Philologen ein schwächliches, künstliches Schreibtischprodukt. Inhaltlich ist das Buch nichts anderes als ein dogmatischer, lehrhaft vorgetragener Auszug aus dem, was ‘Vimiius im Dialog Platons sagt. Für Proklos aber, der das Werk seinem Timäuskommentar voranstellt, ist es echt pythagoräische Schriften zitierten Werke des Archytas verfaßt sein. Auch sie sind Namen mit einiger Sicherheit.“ in einem fragwürdigen Dorisch geschrieben und inhaltlich meistens Man sieht: Was die Nachrichten über die regelmäßigen Körper nichts als Paraphrasen bekannter platonischer und aristotelischer angeht, so bekommen wir auch durch die philologische Kritik der und anderer Ansichten. Tradition keinen rechten Boden unter die Füße. — Auf die historische Zuverlässigkeit des Pappus und eine andere, dem Theätet zugeschriebene Leistung kommen wir sogleich noch zurück. Hin klares Bild von Theätet werden wir uns aber auch dann nicht Kein Wunder also, daß die Tradition Widersprüche enthält, und verwunderlicher vielmehr, daß sich dieses und jenes Wahre aus thr entnehmen zu lassen scheint. Wie ist das denkbar ? Nun, weil diese Kommentatoren oft nichts anderes und schlechteres tun als machen können. abschreiben. Weun es gelingt, glaubhaft zu machen, daß eine Durchsichtiger sind die Nachrichten, welche Euklid Buch V und XII betreffen. Wenn z. B. ein Scholion das Buch V des Euklid, die Lehre von den Proportionen allgemeiner Größen, dem Eudoxos dirckte Abschrift, sagen wir aus Eudems Geschichte, vorliegt, so hätten wir etwas Echtes und Richtiges in der Hand. So glaubte Cantor z. B., daß das Mathematikerverzeichnis des Proklos aus Eudem stamme, weil Proklos sich am Ende desselben zuschreibt!®, so läßt sich dies durch mehrere Stellen aus Archimedes stützen, die sich teils auf das sog. Axiom des Archimedes auf diejenigen bezieht, welche über Geschichte geschrieben haben. oder besser des Eudoxos, teils auf die von diesem Axiom wesent- J5benso sucht man den Wert des oben zitierten Scholions zu lich abhängige Lehre vom Kreisinhalt, vom Zylinder- und Kegelinhalt, auf die sog. Exhaustionsmethode beziehen. Archimedes schreibt einige Sätze dieser Inhaltslehre dom Eudoxos zu!*. Bemerken wir nun, daß das eudoxische Axiom im Euklid wesentlich Uuklid XIII zu stützen, indem man die Vermutung begründet, daß es aus einem Kommentar des Pappus entnommen ist, und daß Pappus Eudems Geschichte der Geometrie gekannt haben müßte. Andererseits stellt man die Herkunft des Mathematikerverzeichnisses aus Eudem in Frage; dasselbe spricht von Pythagoras, es gibt aber kein zweifellos verbürgtes altes Gut, in dem Pythagoras als Wissenschaftler auftritt!*; Aristoteles spricht nur von der Schule der Pythagoräer, Eudem schreibt den Satz von der Winkelsumme im Dreieck den Pythagoräern zu — und sicher hat ludem ebensowenig wie Aristoteles Pythagoras Einzelergebnisse nur in Buch XII, eben der Inhaltslehre, zur Anwendung konunt - die Rolle desselben in X ist unwichtig —, so ergibt sich durch Zusammenfassung dieser zwei Bücher V und XII ein in seinem Denkstilund Interesse einigermaßen einheitliches Teilgebiet, in sich gegliedert als allgemeine Theorie und wichtige Anwendung, das sich deutlich ausdem Gesamtwerk abhebt undtatsächlich als Schöpfung einer einzigen Mathematikerpersönlichkeit glaubhaft ist.

Mittellehre Zwei Stellen aus Aristoteles!* ergünzen das historische Bild: Die anderes, als dieser vorsichtigen Methode wieder zu ihrem Rechte Proportionenlehre ist für ihn ein Beispiel einer xx96Aov anddeıkıc. zu verhelfen. Früher behandelte man Zahlen, Strecken, Körper, Zeiten geLrennt, vov de xadAou Selxvurar. Durch geeignete Definitionen ohne weiteres. Von den verschiedensten Sciten werden Quellen vereinfachen sich, heißt es an einer anderen Stelle, die Beweise; auch zur inhaltlichen Bestimmung der früheu griechischen Mathedefiniert man die Verhältnisgleichheit für Größen durch Gleichmatik benützt, die Hankel mit gutem Grund verschmähte, und hoit der &vravatpesıg — durch gegenseitiges Aufheben, durch die alte pythagoräische Arithmetik wird in einem grundsätzlichen e) Leider aber erlaubt das der heutige Zustand der Forschung nicht Wechselweguahme -, so läßt sich leicht einsehen, daß Rechtecke Gegensatz zu Euklid aus den schon oben erwähnten neupythagomit gleicher Höhe sich wie die Grundlinien verhalten. räischen Schriften rekonstruiert. Cantor und Heath, Tannery und Beide Stellen deuten offenbar auf eine neuere Proportionenlehre hin, und mindestens bezieht sich die erstere auf die uns bekannte. Zeuthen, Stenzel und Becker stehen mehr oder minder alle unter dem Einfluß des Nikomachos und Theon, und ich kann mich Aristoteles hebt dann also mit Recht hervor, was auch uns als daber der Aufgabe nicht entziehen, die angeblich archaischen das Wichtige erscheint, daß eine Proportionenlehre allgemeiner Theorien der Mittellehre und der figurierten Zahlen als neupytha- Grüßen entwickelt ist, und er bezeichnet sie als ein neueres Ergebnis, was mit den Lebensdaten von Aristoteles und Eudoxos goräische Pseudomathematik zu entlarven und auf ihren trivialen mathematischen Kern zurückzuführen. gut verträglich ist. Ich wende mich zuerst der Mittellehre zu, deren Entstehung sich Unnstritten ist der Sinn der zweiten Bemerkung. Heiberg faßt ziemlich deutlich verfolgen läßt. avtavetpeoie als die Bezeichnung des Vergleichs der Vielfachen Einen interessanten ma, nb der Größen a, b auf und bezieht sie, wie es plausibel ist, trockene und sachliche Kommentar zu Euklid Buch X, der ju auf die Definition der Verhaltnisgleichheit in Euklid V. Dagegen übersetzen Dyksterhuis und O. Becker &vravalpeotc unter Besugnahme auf den Prozeß der &v)-upatpeate bei der euklidischen Kommentar ist vermutlich von Pappus, also wn 390 n. Chr. ver- Bestimmuug des größten gemeinsamen Teilers mit „endliche oder Wiedergabe der Definitionen und Resultate Euklids, zutreffend, unendliche Kettenbruchentwickluug‘, und es entsteht ihnen aus aber ohne das Wichtigste herauszuheben und ohne Neues dabei diesom einen Worte eine umfassende voreudoxische Proportionenzutage zu fürdern. Diesem Kern geht eine historisch-metaphysische Sohre, in welcher sich die Griechen unendlicher Prozesse als Defi- Einleitung voraus, und den Beschluß bildet der Beweis einiger Einblick gewährt uns der einigermaßen arabischer Übersetzung 1850 in Paris aufgefunden wurde”. Der faßt. Der größte Teil besteht aus einer pädagogisch-pedantischen vitionsmitiel bedient hätten”. — Immerhin wird die Rolle des übrigens leicht nach Euklid beweisbarer Sätze. Einleitung um! Wudoxos für Euklid Y und XII auch dadurch nicht in Frage ge- Schluß sind nun dus für uns Wichtige. In der Einleitung uámiich stellt, wird berichtet, daß Theätet die drei Typen des lrrationalen, I mit Hilfe der drei Mittel, dem geometrischen, dem arithmetischen Wir sahen, daß ciu Scholion uns einen Dienst leisten konnte, inund dem harmonischen, gefunden habe, und ein Paragraph (Buch 1, dem es uns auf innerlich zusammenhängende Stücke Euklids ver- $ 9) verherrlicht in deutlichem Anklaug an Platons 'Timäus auswies. Man könnte sich der bedenklichen Beschäftigung mit der führlich und pathetisch die große cinigende Macht dieser Mittel, Geschichte der Kommentare so gut wie ganz entziehen, wenn man die auch das Irrationale binden und bestimmen. Im Schlußteil sic nur in dieser untergeordneten Rolle verwenden will und die (Buch 2, § 17) aber wird festgestellt, daß Euklid nur das geome- Beweislast in die Analyse des euklidischen Textes verlegt. In irische Mittel benutzt, und um die Nachricht über Theiitet zu diesem Sinne verfährt Haukel®, und mein Wunsch ist nichts verstehen, müsse mau sich die Frage vorlegen, inwiefern arith-

Mittellehre metisches und harmonisches Mittel für die Lehre des Irrationalen geometrische Mittel, wie der göttliche Plato sagt, das Wesen aller Harmonie und Ordnung sei, und er stellt sich nun die mathematisch belanglose Aufgabe, diese bevorzugte Rolle der geomevon Bedeutung seien. So beweist der Kommentator denn, daß n—m (Yn — Jm), Ya+Ym trischen Proportion dadurch nachzuweisen, daß cr aus drei Zahlen a, b, c, für die a:b = b:c ist, neue Zahlen bildet, die wieder und überlegt, daß in der euklidischen Klassifizierung die Größen 2 Yn Ww — an 25 in geometrischer, arithmetischer, harmonischer u. a. Proportion stehen, Beispielsweise ist a + 2b + e das arithmetische Mittel von 5 Yn) una Y Y 2a + 3b + c und d + c (dies gilt für beliebige a, b, c), b + ¢ das geometrische Mittel von a + 2b + e und e, 2b + e das harmozum gleichen Typ gehüren. nische Mittel von 2a + 3b + c und è + c usw. Die beiden letzten Der Kommentator kennt also ein Werk des Theätet, in welchem Behauptungen gelten nur, wenn a, è, c in geometrischer Propordieser die Irrationalitäten behandelt, nicht; ihr Ansehen beziehen die drei Mittel aus der Metaphysik, ihre Rolle in der Lehre von tien stehen. deu Irrationalitäten muß der Kommentator erst neu beweisen, und reichender Deutlichkeit auf die außermathematische Entstehung dem Sachverhalt nach ist klar, daß allerdings das geometrische der Mittellehre hin, und machen es wahrscheinlich, daß sie ein Mittel als Ersatz für Quadratwurzelziehen eine fundamentale A Rolle bei der Bildung der Irrationalitäten Va und Yn spielt, daß dic Verwendung des arithmetischen und harmonischen Mittels Der Kommentar zu Euklid X und Pappus weisen also mit hin- Produkt der Timäusinterpretation ist. Außer Pappus berichten die Neupythagorüer über die Mittel‘Jehre; zum rein Mathematischen erfahren wir nichts weiteres von Belang, der außermathematische Zusammenhang ist aber hier, zur Bildung von Va + Ym aber nur eine Spielerei ist. — besonders deutlich bei Theon, ein anderer - die Mittcllehre wird Das Fehlen ciner direkt auf Theátet zuriickgehenden Schrift von ihın zur theoretischen Musik gerechnet, zu der außerdem dio zeigt sich noch auf cine andere Weise. Der Kommentator ver- Klassifikation der Brüche sowie die Zuordnung von Zallengleicht niimlich cingehend die Klassen irrationaler Strecken, die verhältnissen zu den Tonintervallen und die damit verbundene Plato in seinem Dialog Theätet definiert, mit der Begriffsbildung Teilung des Kanons gehören. Pythagoras war es nach Theou, der Euklids. Dieser Dialog ist für ihn also offenbar das einzige direkt zuerst die Intervalle durch Verhältnisse gauzer Zahlen gemessen zugängliche Buch, das über seinen Gegenstand handelt und von habe. Er fand Oktave, Quint und Quart zu 2:1, 3:2, 4:3, daraus Theätet berichtet. Und obgleich der Kommentator sich bei seinen ergibt sich der simple Zusammenhang mit den Mitteln: Quinte Nachrichten über Theätet und die Mittel auf Eudem beruft, kann matiker nur eine Legende ist, die sich um den Theätet des platound Quarte sind das arithmetische und harmonische Mittel vou Tónen, dic ein Oktavintervall bilden. Dürfen wir in diesem Bericht den Rest einer altpythagoräischen nischen Dialogs kristallisiert hat. Aber dies nur nebenbeil mathematischen Lehre erblicken? Sicher ist, daß es eine alte Ein im grundsätzlichen ähnliches Bild zeigt der Bericht über die Theorie der Tonintervalle gegeben hat, einen geistreichen Nieder- Mittellehre in der Sammlung des Pappus*®*. Die Alten bildeten schlag derselben hat uns Euklid in seiner sectio canonis aufbedrei Mittel, das arithmetische, geometrische und harmonische, wahrt, und Ptolemäus berichtet über eine pythagoräische Musiktheorie, die sich völlig mit dem Inhalt der sectio canonis deckt. ich mich des Verdachts nicht erwehren, daß Theätet der Mathespäter wurden drei weitere hinzugefügt und diese durch die Neueren — übrigens um die heilige Zehnzahl vollzumachen, wie Ebenso ‚sicher ist, daß Theou nie imstande geweseu wäre, eine uns Nikomachos verrät — durch vier weitere ergänzt. Nach einsolche echt mathematische Theorie zu verstehen und ihren Sinn gehender Beschreibung der Mittelbildung fährt Pappus in deutzu übermitteln, Und Thcon kann also nicht als Gewährsinann lichen und ausführlichem Bezug auf den Timäus fort, daß das gegen Ptolemäus ins Feld geführt werden.

Mittellehre Zum Beleg hierfür darf ich auf Theons Abschnitt über die Un- Tatsächlich wird im Timáus die &vaAoyia ein x&AAtaTug Seoudc teilbarkeit des „„Tones‘ verweisen. Der Ton ist das Intervall 9/8 genannt® und werden Quinte und Quarte der „Seelentonleiter“ mittels zweier Mittel erklirt, dic zwar noch nicht mit bestimmtem Namen benannt werden*®. Schon die Epinomis, das XIU. Buch der Gesetze Platos, das von einem Schüler und Jünger Platos verfaßt ist, spricht in geheimnisvoll dunklen Wendungen von der Harmonie und den Mitteln”. Die Namen arithmetisches und harmonisches Mittel kommen (wohl zuerst) in einem Fragment des Aristoteles vor, das einem frühen Dialog angehört haben mag, und die Unteilbarkeit des Tones ist der Satz, daß die Gleichung x? 9 ~ 8 keine rationale Lisung besitzt. Ich brauche nicht zu begründen, warum dicser Satz in ciner Zeit, fiir welche das Irrationale eine einigermaßen neue Entdeckung gewesen sein muß, ein besonderes interesse beanspruchen konnte. Ein unverstandener Nachhall der noch ganz unter platonischem Einfluß geschrieben ist*. Diese nachweisbaren Bezüge reichen, bei der außerordentlichen Wertschätzung, dessen sich der Timäus als ein Hauptwerk der gricchischen Metaphysik erfreute, hin, um die Fülle der hervorwuchernden Spekulationen über die Mittel zu erklären. Von einer dieses alten Interesses mag es sein, daß Theon auf den Satz aulmerksam wurde. Denn wie beweist er die geheimnisvolle Tatsache ? Auf vielfache Weise wie folgt”: a) weil 9 nicht durch 2 teilbar ist, b) weil 9 — 8 = 1 und 1 unteilbar ist, 256 c) das ,,Limma“ 243 ist kein I 1. 256 Halbton, mathematischen Mittellchre aber zeigen sich keine Spuren, auch weil nicht in dem sog. Archytasfragment über die drei Mittel”. Überder Halbton dies spricht nichts für die Echtheit dieses Fragments, das sich in allzu glatter Weise den späteren systematisierenden Interessen 2, 1 +3 ¿ist und 373 < 1 + 7g ist, d) 9 9.27 243 , einfügt. > Die Gleichbewertung der drei Mittel und das Schwanken in der Bezeichnung &vadoyio und necörng scheint nachplatonisch zu = 5% > 31% ist auch unteilbar, weil 243 — 216 = 27 = 13 + 14 ist, aber 7 nicht existiert. sein®, Plato spricht nur von der dvaAoyia schlechthin und meint. e) die Stimme ist a priori unteilbar, weil alle Stimmlagen unvergleichbar sind, f) der Kanon ist nicht teilbar, weil jede empirische Teilung unexakt ist. Daß Theon auch weniger Sinnloses uns überliefert hat, erklärt er uns durch seine Versicherung, daß er dem, was die Früheren geschrieben haben, nichts hinzufügen und sich eng an ihre Ergebnisse halten will. Er zitiert wiederholt seine Hauptquellen Adrast und Thrasyll, und wir können noch heute nachprüfen, daß or den Adrast wörtlich abgeschrieben haben muß. Denn Porphyrius zitiert in seinem Kommentar zu Ptolemäus ebenfalls den Adrast, und das Zitat findet sich wörtlich bei Theon. Und zugleich erfahren wir durch Porphyrius den Namen des Werkes von Adrast: es war ein Timiuskommentar!?* So sehen wir auch die pythagoräische Scheintradition unmittelbar in die Timäusinterpretation emmünden. Y emm=—©ei,s ea die geometrische Proportion und in zweiter Linie erst von zwei Mitteln. Euklid kennt das arithmetische und harmonische Mittel nicht, sondern nur die geometrische Proportion (ohne sie mit diesem Namen zu benennen) und die allgemeine Proportiou aus vier Gliedern. So bezeugen Plato uud Euklid dasselbe: dal} os eine mathematische Theorie nur für die geometrische Preportion gegeben hat, eine Tatsache, die ja auch in den Berichten über die Mittel selbst immer wieder ankliugt. — Übrigens wäre es, glaube ich, verkehrt, den Geist, in welchem die frühe Timáusinterpretation die Proportiouen verwendete, wesentlich mit der Haltung von Theon oder Nikomachos zu ideutilizieren. Theon erlaubt uns festzustellen, daß sich Adrast bei seinen erkenntnistheoretischen Erwägungen mit lratosthenes auseinandersetzt?!, und nach den wenigen Fragmenten, die aus der Schrift des Theon zu entnehmen sind, hat sich Eratostlienes” mit dem Begriff und Wesen der allgemeinen Proportion befaßt, Gedanken etwa zur erkenntnistheoretischen Begründung der Lehre von den

Figurierte Zahlen 29 Die Wiedergabe dieser Tatsachen erfolgt rein beschreibend. Sätze allgemeinen Größen und ihren Proportionen, wie sie in Euklid V dargestellt sind. In diese Richtung weist auch eine Vokabel? werden nicht bewiesen, sondern nur durch Beispiele enAtxov, die in der Terminologie von Plato und Aristoteles nicht Durch diese Mitteilungsformen erscheint diese Welt in einem belegt. vorkommt und bei Eratosthenes etwa das ovveyéc des Aristoeigentümlichen Licht, das vielleicht auf den ersten Blick als teles ersctzt; es heißt soviel wie „im stetigen Sinne Größe haben“. besonders altertümlich anmutet. Aber die unter 1. berichteten Nun enthält Euklid V ein Axiom (V 3) ohne eigentlich mathe- Tatsachen entsprechen dem aus Plato, Aristoteles und Iuklid matischen Gehalt, in welchem das Verhältnis, der Aöyog zweier ohnehin Bekanuten, und der Inhalt von 2. berührt sich sehr eng homogener Größen xaT& TNALKÓTNTA roux oYyÉOL genannt wird. Ganz ähnlich sagt Eratosthenes® bei Theon: Adyoc wév ¿ori dio peyedov à pdc ¿AA NAL Tord GYÉOL — was zusammengenommen es cinigermaSen wahrscheinlich macht, daß Eratosthenes der Verfasser dieser Axiome ist? oder doch, daß die Theorie des Eratosthenes sich um diese allgemeinen Axiome drehte. Weiter wissen wir, daß Eratosthenes ein Instrument zur mechanischen Konstruktion von dritten Wurzeln erfunden hat. Pappus hat diese Konstruktion (in Buch 3) aufbewahrt, und ein Vers, in welchem Eratosthenes seine Leistung verherrlichte, gehört aus sprachlichen Gründen in die Lebenszeit des Eratosthenes (200 v. Chr.); er dürfte also tatsächlich auf Eratosthenes selbst zurückgehen?®. Auch diese Erfindung ist als ein ernsthafter Beitrag zu einer Lehre von den —e—-—.m—eTtÈ-_—‘È6mt— mit dem, was nach Geminus zur praktischen Rechenlehre gehörte, und dürfte cinc Wiedergabe der elementaren damals üblichen Rechenmethode sein — wie ja Theon versichert, daß er nur Allereinfachstes und allgemein Verständliches bringen wolle. So ist es vielleicht zu erklären, daß Theon in seinen arithmetischen Büchern keine Gewährsmänner neunt, weil niemand geistigeu Anspruch auf dieses einfache Gut erhob. Jedenfalls haben wir infolgedessen nicht die Möglichkeit, die Entstehung der arithmetischen Bücher rückwärts zu verfolgen. Glücklicherweise aber fehlt es nicht an Zeugnissen aus der klassischen Zeit, die die damalige Bewertung gerade der oymuxrtoyeapta in das rechte Licht rücken, dieser Methode, welcher dic neuere Forschung eine so hervorragende Rolle in der alten pytha- Mitteln zu werten — das Mesolabion des Eratosthenes ist nämlich goräischen Mathematik zugewiesen hat. Durch Aristoteles sind ein Instrument zur Einschaltung von zwei geometrischen Mitteln Dreieckszahlen und Viereckszahlen überliefert, er kenut dic Summierung der geraden Zahlen und der ungeraden Zahlen x, y zwischen zwei Strecken a, b, für die also mittels der Figurierung?”, er spricht vom Rechteck als einem aix = xy = y:b pinue einer zusammengesetzten Zahl”. Die Zuordnung von wilt. Ideenzahlen zu Gegenständen, z. B. zum Gegenstand Pferd, soll Die arithmetischen Tatsachen, die uns Theon und Nikomachos übermitteln, lassen sich, von der schon erwáhnten Klassifikation der Brüche abgesehen, zwanglos in zwei Gruppen einteilen: Teilbarkeitseigenschaften (Quadratzahlen, Zahlen der Form n (n + 1) usw.); oummicrung einfacher arithmetischer Reihen, insbesundere mit a die Dreiecks- und Viereckszahlen bilden — ein Pferd aus Steinchen legte”. Nach den Gesetzen Platos sollen die Kinder mit Kränzen und Äpfeln spielen, Trinkschalen von Gold, Silber und l. in Arithmetik im engeren Sino, Lehre von den Einheiten, von Geraden und Ungeraden und Einteilung von Zahlen nach 2. in das Rechnen mit Zahlen, wie Eurytos vorgenommen haben, indem er - nach Art derjenigen, HO Erz mischen oder verteilen und hierbei sowie bei Zusammenpaarung im Faust- und Ringkampf rechuen lernen, während die Greise sich lieber statt mit dem Brettspiel mit dem Irrationalen beschäftigen sollten, was sich so sehr ja garnicht von dem Brettspiel unterscheiden wiirde*, An diese Stelle aus den Gesetzen erinnert Geminus, wenn er zur Logistik die Behandlung der Äpfele o Hilfe der l'igurieruug von Zahlen, der cymuato- > Youqio (s. Fig.). 193=22 © o o o_e Pam A n und Schalenzahlen rechnet. Die Zitate zeigen, daß die Figurierung der Zuhlen eine geläufige elementare Methode, nicht aber eine tiefe wisseuschaftliche Er-

Lehre vom Geraden und Ungeraden kenntnis war. In der Tat, die Figurierung konstituiert keinen die Inkommensurabilität verstanden hat‘. Und die Leistung des Eudoxos ist ja nicht die Beweisführung für Irrationales, sondern 30 Vroblemkreis, noch ist sie eine Methode von übersichtlicher Tragweite, Sie ist cine Hilfsmethode. Und „figurierte Zahlen“ sind nicht eine Klasse für sich über oder neben den reinen Zahlen existierender Begriffe und Ideen. Vielmehr ist die Figurierung eine je nach den Zwecken wechselnde Veranschaulichung von Rechenprozessen. 31 die xa6Aov &rdderEtc. Das Axiom einer allgemeinen Kommensurabilität ist in der griechischen Wissenschaft ausgesprochen nur in der Harmonielehre. Die Geometrie hingegen ist für Plato?” wenigstens — und Aristoteles äußert sich ähnlich‘ — immer die Lehre vom Irrationalen, genauer die Lehre vom Messen der Jıahlen gegeben haben, von Zahlen, die wie Sternbilder am Himmel Figuren, deren grundlegende Schritte zwar in Anwendung der Zahlen auf Figuren bestehen, die dann aber wesentlich zum Itra- Aber könnte es nicht trotzdem cine Lehre von den figurierten dastehen? Sprechen nicht die Pythagoräer von den Zahlen am tionalen hinführt. Himmel? Und wie sollte man je die Brücke zu dem Dogma des Was die geometrische Algebra Euklid II angeht, so ist sie un- Pythagoras schlagen, „alles ist Zahl“, wenn nicht von figurierten abhängig vom Problem des Irrationalen sinnvoll. Zenos Antinomien aber gelten schon im Rationalen — sie wenden sich bereits gegen die Annahme einer unbegrenzten 'Teilbarkeit des Ausgedehnten. Eine Einwirkung Zenonischer Gedankengänge auf die Zahlen aus? GewiB. Aber das ist eine reine Konjektur — und diese Konjektur betrifft den Kernpunkt der pythagoräischen Mathematik und Philosophie. Sie führt alsbald zu der Behauptung, daß die Ausgangshypothese der Pythagoräer die Kommensurabilität Mathematik zeigt sich vielleicht in der Schrift epi &rötav alles Meßbaren gewesen sei. die Entdeckung des Irrationalen bedeutet hätte. Dieser Skandal Ypapp. v aus dem aristotelischen Kreis; sie widerlegt die Annahme unteilbarer Strecken von endlicher Grüße und bereitet so das eudoxische Axiom in der Form von Euklid X, 1 vor, welches besoll erst durch Eudoxos seinen Abschluß gefunden haben — meint sagt, daß a/2" mit wachsendem n gegen Null konvergiert. Tannery?2. Ähnlich stellt Zeuthen die Entwicklung dar, indem er schiebt“. Die Schwierigkeit sollte nach Hasse und Scholz durch Kurz: war es zunächst eine vage Konjektur, an den Beginn der griechischen Arithmetik die Lehre von den figurierten Zahlen zu setzen, von deren Struktur man sich kaum ein Bild zu machen Yıinführung infinitesimaler Größen behoben werden, deren Antiversuchte, so stehen die Folgerungen aus dieser Konjektur aul uomien Zeno entdeckt habe“. Die endgültige Lösung tritt nach Schritt und Tritt mit den historischen Tatsachen in Widerspruch. So entsteht die Ansicht von dem véritable scandale logique, den als Zwischenlösung die geometrische Algebra in Euklid II einallen vier Autoren erst bei Eudoxos ein. Der Bericht über Hippasos, der das Irrationale entdeckt und be- III kannt gemacht habe und dann vom Meer verschlungen sei, steht als willkommener Mythos im Hintergrund. Aber der Kommentator von Euklid X vermutete schon (Buch 1, § 2), daß diese Erzählung eine Legende ist, die zu einer sorgfältigen Behandlung des Irrationalen ermuntern soll. Nirgends ist in den Schieben wir die beiden genannten Pseudotheorien beiseite, so bleiben nur deutlicher empfunden zwei Lücken: wie war die pythagoräische Arithmetik, wie war die pythagoräische Harmoniclehre beschaffen ? Und woher sie entnehmen? mannigfachen Dokumenten über das Irrationale bei Plato und Nun: Gerade aus denjenigen Teilen des Euklid, welche dic histo- Aristoteles von einem Skandal, der damals doch noch fühlbar riographische Tradition nicht berücksichtigt und welche auch von gewesen sein müßte, etwas spürbar. Der naive Hellene ist es, der den neueren Historikern zu wenig beachtet sind, aus den arithunwissend wic ein Schwein — sagt der Athener in den „Gesetzen“ metischen Büchern VII—IX, aus dem arithmetisch-geometrischen des Plato — alles Meßbare für kommensurabel hält!5. Ein Geometer Buch X und der musiktheoretischen Abhandlung Kuklids, der - sagt Aristoteles — würde sich mehr wundern, wenn die Diagonale sectio canonis. zur Quadratscite kommensurabel wäre, sobald er den Beweis für Den Beschluß der arithmetischen Bücher bildet dic kleine ein-

Lehre vom Geraden und Ungeraden fache, aber schön und klar aufgebaute Lehre vom Geraden und d) Ist g ein gerader Teiler von v und von der Form 2u, 2” (u + 1), so ist u auch ein Teiler von v und daher gleich p. Di ein Teiler kleiner ist als die Zahl, die er teilt, ist m < n. Also sind die unter a) angegebenen Zahlen alle Teiler von v. Ungeraden. Schon die Stellung dieser besonders elementaren Sätze ist merkwürdig. Auf frühere Definitionen wird nicht immer Bezug genommen; so wird „gerade“ nicht als „durch 2 teilbar“ erklärt, was nahe gelegen hätte. Gerade ist vielmehr eine Zahl, dic sich in zwei gleiche Teile zerlegen läßt, eine ungerade enthält eine überschießende 1. Es wird zunächst gezeigt: eine Sumane geradvieler ungerader Zahlen ist gerade, eine Summe ungeradvieler ist ungerade. Die Multiplikation wird durch iterierte Addition erklärt. Daraus folgt dann leicht, daß Produkte ungerader Zahlen ungerade sind, Produkte mit einem geraden Faktor gerade. Durch indirekten Schluß folgt daraus: Geht die ungerade Zahl u in der geraden Zahl 2v auf, so geht u auch in v auf, Daraus ergibt sich eine Klassifikation der geraden Zahlen in die Typen: 1. 2", dieselben besitzen nur gerade Faktoren. 2.2u mit u ungerade ungleich 1, dieselben besitzen nur Zerlegungen gerade mal ungerade. 3. 2% mit n > 1, dieselben besitzen sowohl Zerlegungen gerade mal gerade wie gerade mal ungerade. 2. Die Summe der Teiler ist rn 1+2 +22 +... 2% +p + 2p + 22p ins + 20-1 ptp tap + 2p + +: + 2p = 2p + 2p + 22p +... + 2%-1p = 2"-1p ps 2%-1p == 2"p. Ich will deu Beweis, den Euklid tatsiichlich bringt, hier nicht näher analysieren. Er scheint aus dem sachlich nicht gerechtfertigten Bemühen hervorzugehen, den Satz in den allgemeinen Zusammenhang des Buches hineinzustellen, die Lehre von den geometrischen Reihen. So werden die "Teiler nicht mit dem dyadischen Teilersatz bestimmt, sondern mit Sätzen über Teilbarkeitseigenschaften in geometrischen Reihen ganzer Zahlen. Auch das wird an und für sich ziemlich umständlich gemacht. Um die einfache Summierung der Teiler durchzuführen, wird nach der Dyadik die allgemeine Summenformel für geometrische Reihen abgeleitet. Das alles sieht nach Flickarbeit aus. Diese Ergebnisse würden eine ebenso elegante Begründung für den Satz über vollkommene Zahlen ermöglichen, der mit seinem recht umständlichen Beweis Buch IX abschließt. Vine Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer Teiler ist. Ist 1 + 2 4+ 27 + --- NnmSo2te 33 + 2% = p eine Primzahl, so ist 2*p vollkommen. Zum Beweise sind im wesentlichen nur die Teiler von v = 2"p {estzustellen. Ich gebe den Beweis im Sinne der Dyadik an. 1. Bestimmung der Teiler von v: a) 1,2,2°,.... 2%, p, 2p, 2°p,..., 2"=!p sind Teiler von v. b) Ist u ein ungerader Teiler von v, so ist w auch Teiler von 2%—-!p, 2%—2p, ... also auch von 2 p; also ist u gleich 1 oder p. e) Ist g ein gerader Teiler von v, so ist g entweder gleich 2” Die dyadische Schlußweise tritt noch einmal in X 115a (117) beim Nachweis der Irrationalität von y2 auf; bekanntlich führt die Annahme, daß die Quadratseite und Diagonale des Quadrats rational wären, zu der Folgerung, daf eine Zahl gleichzeitig gerade und ungerade sein müßte. Auch dieser Satz fällt völlig aus dem Zusammenhang des Buches X heraus*. Nun zu den voreuklidischen Zeugnissen für diese Lehre! Die Rechenkunst, die Arithmetik und Logistik, wird bei Plato im Gorgias® und Protagoras°! mit Erkenntnis und Messen des Geraden und Ungeraden gleichgesetzt. Im Politikos®? wird die Einteilung der Menschen in Hellenen und Barbaren mit der unsachgemäßen Einteilung der Zahlen in Myriaden und Nichtmyriaden verglichen, eine sinnvolle Einteilung der Zahlen hingegen sei dic in gerade und ungerade. Im Hippias® heißt es, cin Paar kaun andere Eigenschaften haben als die beidon einzelnen Gegenstände und nach Erklärung des Teilers 2": = y; alsdann läßt sich aber des Paares, wie ja die Summe von zwei ungeraden gerade ist. v mindestens m mal sukzessive halbieren und daher ist Im Eutyphron‘ heißt es, überall wo Ungerades ist, muß auch

Lehre vom Geraden und Ungeraden Zaul sein, nicht aber umgekehrt. Im Parmenides® werden gerade, nugerade, gerade mal gerade, gerade mal ungerade, ungerade mal eprrrov die Elemente alles Scienden sind. Die Gleichsetzung von &ptiov und &retpov wird verständlicher, wenn wir an die urgerade, ungerade mal ungerade gebildet, um so alle Zahlensprüngliche Bedeutung des Wortes &priov, „das in gleiche Stücke gattungen zu konstruieren, In den Gesetzen®® wird das &priov als Teilbare“, denken. Das &priov ist das Teilbare, und das wesentlich Teilbare ist unbegrenzt teilbar. Diese Erklärung wird uns durch die Exegeten bestätigt, auf die sich der Kommentar des Simplizius zur Physik des Aristoteles beruft‘. 34 Beispiel für Definition und Benennung herangezogen. Der Menon*” zeigt, daB Plato die Irrationalität von y2 bzw. ys bekannt ist®*. Aristoteles kenut die dyadische Klassifizierung der Zahlen? und führt den Beweis der Irrationalität von y2 mehrfach an, ins- 35 Die pythagoraische Lehre wird von Aristoteles im Gegensatz zur Aristoteles“: berichtet uns nämlich, daß die sog. Pythagoräer die materialistischen Naturphilosophie ihrer Vorgänger dargestellt. Wir dürfen noch an den Gegensatz zu den Eleaten denken, welche das Mannigfaltige für grundsätzlich widerspruchsvoll hielten und nur das ¿v als erkennbar anerkannten. Insofern sich die Antinomien des Zeno gegen die unbegrenzte Teilbarkeit richten, dact man vermuten, daß sie in philosophischem Meinungskampf auch das Ziel hatten, die Lehre vom &prıov zu widerlegen. Das Wesen der pythagoräischen Lehre“ zeigt sich vielleicht am deutlichsten in der Kritik, die Aristoteles an ihr übt. Für ihn sind die Einzeldinge wirklich und das Mathematische ist an den Dingen. Die räumlichen Dinge sind ovveyéc — stetig —, die Stetigkeit ist ersten waren, die sich mit u«dñuate befaßten und sie voran- Träger ihrer Teilbarkeit. Ins Unendliche teilbar sind sie aber nur besondere als indirekten Beweis — die Annahme des Gegenteils bitte zur Folge, daß Gorades ungerade würe®. Aus diesen Zeugnissen folgt, daß die Lehre vom Geraden und Ungeraden vorplatonisch ist. Ich glaube, wir können diese Feststellung noch präzisieren: Die Theorie ist pythagoräisch, und sie ist das erste padnpa oder Lehrstück, in welchem sich die logischarithmetische Wissenschaft der Pythagoricr niedergeschlagen hat, und sie ist zugleich das Fundament der pythagoräischen Metaphysik. trichen. Befaßt mit diesen Fragen glaubten sie, daß die «pyat, der Miglichkeit nach, und das Unendliche existiert nur év Suvapet. die Prinzipien die Prinzipien Plato hat die Metaphysik der Pythagoriier mit Modifikationen Unter dem Mathematischen aber sind die übernommen. Die Epinomis fordert als erstes .4«9yy.a des Unter- Zahlen ihrer Natur nach die ersten; so glaubten sie eher in den richts die Lehre vom Geraden und Ungeraden in ihrer ganzen Bedeutung für die Natur®. Nach Aristoteles ersetzte Plato Gerades und Ungerades durch dieser aller Dinge seien. mathematischen Dinge, Zahlen als in Erde oder Feuer oder Wasser die Wesenszüge der Welt zu finden. Sind aber die Zahlen das erste aller Natur, so sind, wie sie annahmen, die Elemente der Zahlen zugleich die Elemente alles Seienden. Die Elemente der Zahlen aber sind das Gerade und das Ungerade, dieses das Begrenzte, jenes das Unbegrenzte, aus beiden entsteht das ¿v, die Zahl aber aus dem év, und die Zahlen das év und die dude &oprotéc. Das év ist Idee der Form, die Succ doptorós die Zweibeit des Groß und Klein oder die Relation „größer als“ ist Idee der Materie. Das Problem Platos war offenbar zu verstehen, inwiefern Zahlen bilden den ganzen Himmel. an sich existieren, Ideen sein können. Welche Macht hält dic Linheiten der Zwei, allgemein einer Zahl zusammen ? Ligentimlich® ist ihrer Lehre, daß sie das Begrenzte und Un- Wichtig für uns ist, daß diese Überlegungen zu einem neuen Satz begrenzte nicht für Eigenschaften von irgendwelchen anderen sondern sie meinten, das Unbegrenzte selbst und das ¿v selbst der dyadischen Arithmetik hinführen, der uns noch einmal die zentrale Rolle dieser Lehre bestätigt®®. Plato unterscheidet nämlich zwei Prozesse, durch welche aus einer Zuhl z eine neue Zahl ¥ seien Wesen und daher eben die Zahlen das Wesen von allem. bzw. 2* entsteht, nämlich Natursubstanzen hielten, wie Feuer und Erde und ähnlichen, Der Ausatz der Pytbagoräer ist also erkenntnistheoretisch begründet, und „alles ist Zahl“ nur insofern, als das &priov und

Arithmetik der geometrischen Reihe 37 und erkannte, daß sich eine Zahl auf eine und nur eine Weise aus zwei Faktoren, den Seiten der Flächenzahl. Zwei Flächendurch eine Folge dieser Prozesse aus der 1 erzeugen läßt”. zahlen f = ab und f’ = a'Y' sind ähnlich, wenn ihre Seiten dasselbe Verhältnis haben, also a:b = u:l Ir Auch nach Abtrennung der Dyadik weicht der Inhalt der Arithmetik Euklids erheblich stärker von dem ab, was uns heute als elementare Arithmetik vorschwebt, als etwa seine Kongruenzund Ähnlichkeitslehre von unserer elementaren Geometrie. Die Anordnung der Sätze ist aus rein sachlichen Gesichtspunkten wohl kaum zu verstehen. Z. B. sind die Sätze über Primzahlen weit getrennt über die drei Bücher verteilt, ohne daß etwa die dazwischen stehenden Sätze zu ihrem Beweis benötigt würden. Die eindeutige Zerlegbarkeit der ganzen Zahlen in Primfaktoren wird nicht formuliert. In der Anwendung des Begriffs relativ prim spielen dio Brüche (das Kürzen der Brüche) eine bevorzugte Rolle. Überhaupt herrschen Sätze über Proportionen ganzer Zahlen vor, und zwar cigenartigerweise ganz spezielle solche Sätze. Buch VIII und IX ist nämlich im wesentlichen eine Lehre von den Teilbarkeitseigenschaften von geometrischen Reihen ganzer Zahlen nebst einer Anwendung derselben auf Quadrat-, Kubus,- Flächen- und Körperzahlen. Die Terminologie Flächenzahl tritt wieder einigermalen unvermittelt in einigen Sätzen in Buch X auf. Die Arithmetik der geometrischen Reihen beginnt mit dem Satz VIII 1: Ist a, b, c, ..., d eine geometrische Reihe ganzer Zahlen, ist also ist. Analog sind Körperzahlen und ähnliche Körperzahlen erklart. Diese Begriffsbildung ist nicht ganz ungefährlich. Ist z. B. 12 eine Flächenzahl ? Welches sind dann die Seiten von 12; 3,4 oder 2,6? Offenbar kann Flächenzahl nur „Zahl Produktzerlegung“ bedeuten. in einer bestimmten Euklid selbst aber erliegt bei einem Trugschluß über Quadratzahlen dieser Unklarheit. Er schließt nämlich im Beweis von VII I, 22 (direkt nus seiner Definition): ist e zu einer Quadratzahl ähnlich, so ist c selbst eine Quadratzahl — das ist zwar beweisbar, aus der Definition folgt es aber nicht; denn die Ähnlichkeit ist nur für ein e mit Seiten a, b erklärt. Der hiermit falsch bewiesene Satz wird wiederholt angewendet. Ein anderer Satz, nämlich, dal} das Produkt ähnlicher Flächenzahlen ein Quadrat ist, wird andererseits, gemessen an den zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln, recht umständlich bewiesen. Das Hauptergebnis ist die Kennzeichnung ähnlicher Flächen- und Körperzahlen durch die Existenz mittlerer Proportionalen: Zwischen zwei ähnlichen Flächen- (Körper-) Zahlen existiert cine (zwei) mittlere Proportionale, und existiert umgekehrt zwischen a und c eine (zwei) mittlere Proportionale, so lassen sich « und e als ähnliche Flächen- (Körper-) Zahlen auffassen. Der Sinn eines a:b = bic = ---:d solchen Satzes ist offenbar, die Ähnlichkeit von Flächenzahlen, die geometrisch ja klar ist, durch eine von der Anschauung unund a zu d relativ prim, so sind a, b, c, ..., d die kleinsten Zahlen abhängige Eigeuschaft dieser Zahlen zu ersetzen. Viele Einzelheiten über Quadrate und Kubuszahlen lasse ich hier in den angegebenen Verhältnissen. Dies folgt ohne weiteres aus dem allgemeiuen Ergebnis VII 21 und 33, daß die kleinsten Zahlen beiseite. Mathematisch interessant ist der als X 28a eingeführte in gegebenen Verhältnissen die relativ primen sind. Statt hierauf Satz über Konstruktion von pythagoräischen Zahlen a, b, c mit Bezug zu nehmen, wird aber ein direkter nicht ganz glücklicher a? +5? = e?, Für beliebige Zahlen ist Beweis geführt. Kuklid verwendet die geometrischen Reihen weiterhin, wie schon gesagt, zur Kennzeichnung von Quadratzahlen, Kubuszahlen, Plächenzahlen und Körperzahlen, von Zahlen also, deren Bildung dureh die Geometrie nahegelegt ist. Flichenzahlen sind Zahlen a—p\? Für ähnliche Flächenzahlen a, B, die beide gerade oder beide ungerade sind, ergeben sich hieraus Zahlen der gesuchten Beschaffenheit. Satz X 28b besagt:

Sectio canonis Ist a? + b? = e?, so ist a? + (b — 1)* keine Quadratzahl. Denn es $nrot, was mit rational oder besser mit ,,aussprechbar‘ übersetzi. ist werden kann. Die übrigen Strecken heißeu &Aoyot, obgleich sic doch nach Euklid V ein Aöyog zur Einheitsstrecke besitzen. 38 (e — 1)? < a? + (b — 1)? < ez, 39 Alles in allem wird, was sich bei der Dyadik so entschieden aufund zwischen (¢ — 1)? und e? gibt es keine Quadratzahl. drängte, auch hier wahrscheinlich: daß wir in Buch VIE und IX Das Interesse an diesem Nachweis „uichtpythagoräischer Zahlen“ und im Anfang von Buch X die gelegentlich durchbrochenen und weist auf den wichtigsten Gedankenkreis hin, an welchem sich die ergänzten Stücke einer älteren Theorie, der Arithmetik der geo- Arithmetik der geometrischen Proportionen bewährt — auf die Arithmetik der Quadratwurzeln. Sie beginnt mit der Feststellung, metrischen Reihen, vor uns haben. Die wesentlichen Gedanken dieser Theorie lassen sich ebenfalls daß die Quadratwurzeln aus ganzen Zahlen n + m? neuartige für die platonische Zeit nachweisen, und was wichtiger ist, mit. Größen sind, weil sie nicht in der zugrunde gelegten Einheit allgemeinen naturphilosophischen Fragen in Verbindung setzen, mebbar sind — daß diese aber doch der Messung zugänglich sind, die die eigenartige Weiterentwicklung, welche die griechische weil Arithmetik genommen hat, verständlich machen. sie Quadrate bestimmen, welche zum Einheitsquadrat kommensurabel sind und weil sie umgekehrt durch die Maßzahlen Es ist eine (z. B. aus Aristoteles belegbare) Tatsache, daß man dioser Quadrate eindeutig bestimmt sind. schon früh den Tonintervallen Verhältnisse ganzer Zahlen zu- Kuklid gibt diesen Tatbestand am Beginn des X. Buches wieder. ordnete. Von hier aus ist die Beverzugung der Proportionen, das Vr definiert kommensurabel und inkommensurabel, zeigt, daß Interesse am Kürzen der Brüche und die Entdeckung des Besich griffs relativ prim zu verstehen. Einen näheren Einblick in die kommensurable Strecken wie Zahlen verhalten (X 5), Quadrate mit kommensurablen Seiten wie Quadratzahlen (X 9); theoretische Musik gewährt uns die sectio canonis®®. Diese ist eine also haben Quadrate, die sich nicht wie Quadratzahlen verhalten, Art theoretischer Physik der Harmonic — eine im Ansatz saubere inkommensurable Seiten, und solche Quadrate existieren (X 10). Theorie, die Hypothesen und deren mathematische Konse- Die Beweise dieser Sätze zeigen wieder jene mannigfachen Unquenzen einerseits und empirische Tatsachen und ihre Relationen chevheiten und Mängel, die auf eine nicht ganz geglückte Zuandererseits ganz klar trennt. sammenstückung aus älterem Gut schließen lassen. Euklid hat Was den Quellenwert der sectio canonis angeht, so gilt. sic aus im VIT. Buch Proportionen für Zahlen abweichend von den Prosprachlichen Gründen als Euklidisch oder als frühes Exzerpt ans portionen allgemeiner Größen in Buch V behandelt, verwendet Luklid. unu aber diese Ergebnisse für Proportionen, deren erste Glieder äußert®, Radikale Zweifel gegen die Echtheit sind nicht go- Strecken und deren letzte Glieder Zahlen sind. Zum Beweis von Ptolemäus, der beste Musikschriftsteller der späteren Zeit, be- Satz 9 worden einige Rechenregeln für Proportionen benützt, die richtet über die pythagoräische Harmonielehre und gibt dabei sonst nicht erwähnt sind. Der Beweis für Satz 10 benutzt den - ohne Euklid zu nennen — genau den Inhalt der sectio canenis nachfolgenden Satz 11; er enthält eine Wendung ¿uddoyev yap, wieder. Neben der einfachen Zuordnung von Brüchen zu den die sonst nur in der sectio canouis vorkommt. Intervallen ist dies die einzige von ihm als pythagoräisch vor- Vielleicht noch deutlicher zeigt sich das Alter der Quadratwurzelgetragene Lehre; daneben berichtet er über Aristoxenos. Da er die avithmetik in der Terminologie von Euklid X. Es wird nämlich Pythagoräer (übrigens mit einem gewissen Recht) kritisiert, verzuerst kommensurabel und inkommensurabel in bekaunter Weise, dient er in seinen historischen Angaben wohl Glauben”. alsdann aber „im Quadrat kommensurabel‘ und „nurim Quadrat Nun zum Inhalt! kommenswrabel** für Strecken erklärt. „Nur iin Quadrat kommen- Die Theorie beruht auf zwei physikalischeu Hypothesen und auf surable” Strecken sind also inkommensurabel. Die bezüglich einer drei empirisch musikalischen Tatsachen. Winheitsstrecke im Quadrat kommensurablen Strecken heißen

Sectio cunonis Al H 1. Tonintervalle werden durch Proportionen zweier Zahlen 2. Quinte und Quartintervall sind nach J52 und H2 nicht von gemessen. der Form n/l, also gleich (n + 1)/r, (m + 1)fm mit gecignetem n, mt. H 2. Harmonische Intervalle werden durch Verhältnisse n/l 3. Die beiden größten Zahlen der Form (q + 1)/q sind 3/2, 4/3. Thr Produkt ist gleich 2, und (u + 1)/n . (m + 1)fim < 2, falls nu < m und n + 2 oder m + 3, also ist n = 2, m = 3 und oder (n + 1)/n mit n > 1 gemessen. Und umgekehrt ist jedes Intervall 2/1 harmonisch. Die empirischen Eigenschaften von Oktave, Quinte, Quarte und d= 2, ihrer Zusammensetzung sind: 15 1. Die Oktave einer Oktave ist harmonisch. Der zweite Teil des Beweises von (3) ist vielleicht die Ursache von Theons Bemerkung, daB der Ton 9/8 unteilbar ist, weil cins un- It 2. Quinte einer Quinte und Quarte einer Quarte sind nicht teilbar ist. Die Datierung der in der sectio canonis vorgetragenen Theorie ist harmonisch. nicht sicher, aber die Zusammensetzung von Intervallen muB chen i. 3. Durch Zusammensetzung von Quinte und Quarte entsteht solange bekannt sein, wie die Zuordnung von Tonintervallen und die Oktave. Brüchen. Dann liegt aber die Frage nach ..halbicrbaren“ Jutervallen, d. h. also nach geometrischen Reihen ganzer Zahlen nahe, Its werden nun die drei folgenden arithmetischen Hilfssätze forund wir schen daher gewiß mit Recht die Herkunft dieser Arithmuliert: metik in der Harmonielehre. (1) Sind e, è, e ganze Zahlen, die eine geometrische Reihe bil- Daß die Kenntnisse über Fliichen- und Körperzahlen vorplatoden, ist also a:b = b:c und b/a eine ganze Zahl, so ist auch nische sind, folgt aus dem Timáus, Nach Schilderung der &vaAoyix als des x&AAtotoc deopög heißt es: ein Mittel b genügt aber nur, c/a eine ganze Zahl. (2) Sind a, b, c ganze Zahlen, die eine geometrische Reihe bilden, und ist c/a ganzzahlig, so ist auch b/a ganzzalılig. Dies folgt aus der Umkehrung des oben angegebenen Satzes VIII 1, die Suklid in VIII 3 beweist. Die gekürzte Reihe a, b, e muß mit 1 beginnen. (3) Sind a, e ganze Zahlen und c/a = (n + 1)/n, so gibt es keine ganze Zahl b, so daß a, b, c eine geometrische Reihe bilden. Denn ist a: y = a:c und gäbe es ein b der gewünschten Eigenschaft, so miiBte es nach Euklid VIII, 8 auch cin f mit a: B = B:y geben. Nehmen wir a = n,y = n + 1, so müßte P? = n (n + 1) sein. Aber da n° < n (n + 1) < (n + 1)? ist, gibt cs cin solches f nicht. Nun kann man die harmonischen Intervalle bestimmen. flächenhafte a, e zusanımenzubiuden zu a:b = b:c, im Räum- REacSi— lichen bedarf es zwei mittlerer. Weil die Welt aber körperlich ist. und weil es jedenfalls Licht und Erde geben müßte als Elemente, denn die Welt sollte sichtbar und tastbar sein, so sind also, um diese körperlich zusammenzuhalten, zwei mittlere Elemente Luft und Wasser nútig”. Die beiden für die Definition der Quadratwurzeln maßgeblichen Gesichtspunkte werden mit aller Deutlichkeit von 'Theätet im gleichbenannten platonischen Dialog ausgesprochen’; er nennt die Wurzeln Suvépets, was mit „Erzeugende“ übersetzt werden könnte; sie haben keine Länge, wie dic kommensurablen Strecken, werden aber durch das Quadrat gemessen, «las sie erzeugen. Daß es Quadrate mit dem Inhaltsmaß n gibt, wird vorausgesetzt. Einen Beweis für die Irrationalität von Yn führt Theätet nicht; 1. Ist b/a das Intervall der Oktave und a:b = b:c, also c/a das er ergibt sich aber unmittelbar aus Euklid VIII, 14 und 11. Teilt Intervall der Doppeloktave, so ist c/a nach (3) nicht gleich (x + 1)/n, also nach El und H2 gleich n/l, also ist nach (2) die Quadratzahl a? die Quadratzahl b£, so ist b/a nach VIII, 14 auch das Oktavenintervall gleich 1/1. Quadratzahl. Wäre nun Va mit der Einheitsstrecke 1 kommeneine ganze Zahl c und nach VIII, 11 ist 5°/a? = c* selbst eine

Euklid Buch X surabel und diese beiden in dem neuen Maß s ıneßbar, Vn = ps, genügen oder selbst gleich Yn + Ym sind, und auf einer Klassifizierung der Größen Yn + Yin. 1 == gs, so ware p's? = ng?s?, also p? = nq’. Die Krönung der Arithmetik der Quadratwurzeln ist Euklid X. Das Zicl des Buches ist, so kann man sagen, gewisse Klassen der &Aoyor-Strecken doch aussprechbar zu machen. Als Beleg für diese Interpretation nenne ich die sog. Binomiale, die Strecke Yn + Ym Ex duo dvondrov, die also durch die zwei aussprechbaren Größen n, m (bzw. Va, Ym) ihren ,, Doppelnamen“ erhält. Ihre tiefere Berechtigung findet diese Benennung erst durch den Nachweis, daß einer Binomialen Va + ym die Namen n, m eindeutig zugeordnet sind. Dies wird in der Tat bewiesen. Aus Un + Yin = Vai + Ym’, nu <mn <m,nm<nm,nm+!E folgt n=n,m=m. Denn zunächst folgt durch Quadrieren n +m—n —m 9 =, = Yn’'m’ — nm; 3 Va m — Vnm = r wire also rational (X 42). Dann ist aber nm == 2r Yn me + am + 3, und Va m wire ebenfalls rational, entgegen der Voraussetzung (X 26). Die Binomiale ist damit arithmetisch gekennzeichnet. 43 Die vielen algebraischen Umformungen bereiten nur dies Urgebnis vor. Zu leicht entstcht der Anschein, der Inhalt von Euklid X wäre algebraisch formal und bestiinde in einer geometrischen Auflösung gewisser quadratischer und biquadratischor Gleichungen. Ein Blick auf X 17 zeigt aber, daß dort nicht wer die Gleichung ax — x? = b aufgelöst wird, sondern duß zugleich die notwendigen und hinreichenden Bedingungen defür angegeben werden, daß die Wurzeln der Gleichung zu « kommeusurabel sind, und Analoges gilt für alle anderen Fälle. Die Auswahl der Typen findet zwar eine Erklärung in der Tatsache, daB sie eine Klassifizierung für die Seiten der regelmäßigen Körper liefert, wenn der Radius der umbeschriebenen Kugel als Einheit genommen wird. Für die Konstruktion der Körper würde aber eine algebraisch-geometrische Auflösungsvorschrift der behandelten Gleichungen genügt haben. Die arithwetische Uinstellung ist also eine Grundtatsache, die sich nicht aus der Gevmetrie der regelmäßigen Körper ableiten läßt. Diese Einstellung ergibt sich aber aufs natürlichste aus der Arithmetik der geumetrischen Reihen und diese gewinnt als Vorstufe der ulgebraischen Arithmetik erst ihr tieferes Interesse. So können wir an Stelle der Konjektur vom scandale logique, Insgesamt werden 23 Typen algebraischer Irrationalitäten aufallein durch Besinnung auf das quellenmäßig Gesicherte, das Bild gestellt und auf gewisse rationale „Namen“ zurückgeführt. Es einer Entwicklung setzen, die mit Dyadik und Harmonielchre beginnend über die Arithmetik der Flächen- und Körperzahlen zur Zahlentheorie quadratischer uud biquadratischer Irrationalitäten führt, die, mit Pythagoras oder den Pythagoriiern beginnend, von Plato philosophisch widergespiegelt und gefördert, ihren Abwird gezeigt, daß dies für jeden Typ nur auf eine Weise möglich ist und daß die 23 Typen von Irrationalitäten disjunkte Klassen sind. Das ist also in unserer Ausdrucksweise die exakte Kennzeichnung dieser Größen als algebraische Zahlen. Fernere Erwägungen betreffen das Verhalten der Typen, weun die Maßeinheit schluß in Euklid X findet, einer Leistung, die sich wohl an Tiefe durch eine andere zu ihr kommensurable oder ,,aussprechbare“ und Wert mit der des Eudoxos messen kann. Strecke ersetzt wird. Als Beispiel nenne ich neben der Binomialen In dieser Entwicklung sehe ich die Antwort auf die zu Beginn aulgeworfene Frage: in welchem mathematischen Ergebnis sich da: die M en Vn — Ym, die Mediale Vn, die erste Bimediale Vu + Vn und die Bimedialapotome Vas — Va. Die Klassifizicrung beruht auf dem Nachweis, daß die Größen entweder Gleichungen m Yn + Van oder x? = Yn Dogma des Pythagoras widerspiegelt: „alles ist Zahl“. Wi DAS DER EMPATE DENRE Grrecaer/

Anmerkungen ANMERKUNGEN ') F. Radio, Der Bericht des Simplicius 23) Vel. 11, Weil u. Th. Reinach, Plutarque, über die Quadraturen des Antiphon und De la musique. Paris 1900, S. 92, Den des Hippokrates. Leipzig 1907. Hinweis auf diese und dic in 30. ge. nannte Stelle verdanke ich E, Frank, *) Jn Spengel, Eudemi fragmenta. Berlin 1866. S, 113-~137. 3) Staatsmann 266 D, 29) H. Diehls, Vorsokratiker, Berlin 1912. S. 334. ‘) Gesetze 737 E bis 738 A, 10) Aristoteles bemerkt in der Nikomachi- *) Republik 546 BD. schen Ethik Buch 5, Kap. 7, 1131 B 12: *) P. Marquard, Aristoxenos, Die barmo- „eine solche Analogie nennen die Mathenischen Fragmente. Rerlin 1868, S. 45. ?) Proclusin Euclidem 65, 19. Vg), Eudemi fragmenta n. a. O. S, 114. 2) Suidas Lexicon byzantinischer 1120. matiker die geometrische, wird die arithmetische wiibnt. Suidos ist cin Lexikograph, der um 1000 n. Chr. lebte, In die aritbmetische Anologic an. 32) Theo ed. Hiller, S. 107; vgl. anch S. 73. 1°) Gercke-Norden, 33) a. a, O, S. 83. Einleitung Il 2: Geschichte der Mathematik, S, 419. 11) £. Lindamann, Sitzbe d. Minch. r. Akad, Bd. 26 (1896), S. 527 n. S. 656. ‘2) Vgl. in Pauly-Iissowa RE den Artikel von Harder, Timäus Locrus. 12) Vgl. hierzu E. Frank, Plato und dic sog. Pythogoricr. Halle 1923. Dic fünf platonischen 15) M. Cantor, Geschichte der Mathematik. Leipzig 1680. S. 124, '*) Fuclid ed. Heiberg. Bd. 5, S. 280. Kliem. Berlin 1914. S. 39, Gesch. d. Math. Wiss. Kd. 18, Leipzig 1904, 8, 11, 12. **) Vel. in Quellen u. Studien, Bd. 2, 5.329: O. Becker, Yndoxos-Studien. 1°) 33, Hankel, Zur Geschichte der Mathemuti in Altertum und Mittelalter. Leipzig 1074, S. 93. 2!) W, Thomson u. G. Junge, The Commentury of Pappus, Cambridge 1930. ”) Val. z.B. J. Stenzel, Zahl und Gestalt und S. 489 Ff, 22) Aristotcles, Physik 203 A 10, 38) Metaphysik 1020 B 3. 39) a. a. O, 1092 B 8, Thèse, Paris 1908. 1) Vel. Leipzig 1913: H.G, Zeuthen, Die Mathe- 2) In Panbücherei, Charlottenburg 1928: 17. Hasse und H. Schols, Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik, Vgl. demgegenüber Hankel, a. a. O. S. 101, der eindrucksvoll die Kühnbeit, die im Gedanken des Irrationalen liegt, schildert., 4) Manche Einzelheiten, die Aristoteles berichtet, klingen allerdings auch nach Zahlenspielerei, die Wertschätzung der 10, die Tafel der 10 Gegensatzpaare in Metaphysik Buch A, Kap. 5 und die Erläuterung der drei Gegensatzpaare begrenzt — unbegrenzt, ungerade — gerade, quadratisch-— rechteckig in ihrem Zusammenbang untercinandorin Physik 203 A 10; cr beruhe darauf, daß die Summe der ungeraden Zahlen eine Qua- Studien, $) Natorp a. a, O. und Stenzel a. n. O., $. 0Bff. 23) Staut 518 C, 84) Brief VII 341 C. 8) Natorp a. a. O. Vel. jedoch den Anhang, in welchem sich der Verfasser von scinem cigenen Entwurf distanziert. 88) J. Stenzel, Studien zur Entwicklung der Platonischen Dialektik von Sokrates zu Aristoteles, Breslau 1917, insbesondere 8. 45.61. 83) J. Stenzel, Zahl und Gestalt, insbeaondere S, 30ff. 88) M. Wundt, Platons Parmenides, Stuttmentor des Alexander hierzu und Meta- 69) A. Speiser, Ein Parmenideskommentar, bei Ploto und Aristoteles. Leipzig 1924. Die Veranschaulichung der Abstammung der Zahlen durch einen Graphen Zahlen hat das natürlich nichts zu tun. “) Euclid ed, Ifeiberg und Monge Bd. 8. dien über Euclid, Leipzig 1882, S. 52, Ptolemaios, Harmoniclchre Buch 1, Kap. 5, 6. Übersetzt von J. Duering, Göteborgs Högskolas Arsskrift Bu. 40 (1934), S. 29. 72) Theätet 147 D. 16) Metaphysik 983 A 15. 1) Zur Platophilologie VI). 91) Staat 514 A bis 518 C (Beginn ven Buch VII). 92) Staat 476 E bia 477 B (und weiter hin nus Ende von Buch V). 92) Stant 479 A. Arithmetik der Griechen, Ah. schnitt 111, #6) E. Hersfeld, Ausgrabungen von Samarrn, Bd. 5, Berlin 1930. 9) O, Neugebauer, Vorlesungen Wher dio Geschichte der antiken mathomatinchen Wissenschaften, Berlin 1934, S. 168, 02) 0. Neugebauer, Quellen und Studien, 11) Timius 31 D 4 und 32 A 7. 15) Gesetze 819 D. 0) Staat 508 A bis 509 B (Endo von Buch %) Die Leipzig 1914, S. 158. €) a. n, 0.5. XXXVII und Heiberg, Stu1) Klaudios gart und Beslin 1935. Leipzig 1937. Bd. 3 (1936), S, 245. und Lebensge- 17) Vgl, insbesondere Gesetze 819 D—920, schichte Platos vgl. U. v. Wilamawitz, $0) Aristoteles 76 13 9. Plato, Berlin, 2. Aufl., 1920. 12) Theo Sınyrnäus cd. Hiller. Halle 1878. 19) Hierauf verwics schon Hankel n. a, O, 74) Val. Theo ed, Hiller $, 50. Platonische s) Epinomis 990 C 5. 6) Aristoteles Metapbysik 988 A und Kom- 5} Pappus Buch 3, insbesondere Kap. 47. 5. 66-72, E. Zeller, Tübingen 1839, 5. 199-300. 63) Physik 203 A 10. ist einwandfrei, uber mit figurierten 42) Jn Kultur der Gegenwart T 3, Abt. 1. zig, 2. Aufl., 1922, S, 4330 idées ct dea nombres d'après Aristote, physik 1084 A. 12) P. Tannery, La géometrie grecque, Paris 19 Vel. P, Natorp, Platos Idcenlehre, Leip- 60) Heiberg, Math. zu Aristot. a. a. O, 5.24, #1) Metaphysik Buch A, Kap, 5. 3) Metaphysik 987 A 15. 87) Vgl. auch J. Stensel, Zahl und Gestalt ") Hero cd. Heiberg, Bu. 3, Definitiones, Leipzig 1912. S. 99. 2, Aufl. Leipzig, Berlin 1933, S. 66€. 39) L. Robin, La théorie platonicienne den dratzahl, die Summe der geradon Zahlen 35) 13. Diehls, Vorsokratiker. S. 327. bei Pluton und Aristoteles, Platonicum. Leipzig 1835. unter äpriov. 49) Mctophysik 1084 A. eine rechteckige Zahl sci, matik im Altertum und Mittelalter. 14) J. L, Heiberg, Mathematiaches zu Ari- 25) Parmenides 1437144. st) Gesctze 895 E. $?) Menon 82 C bis 85 B, 48) Weitere Stellen in: F. Ast, Lexicon 1% a. n. 0. S. 81, 1887. S. 98. 1?) Archimeder, übersetzt von Heath und 11) U. v. WPilamowitz 0.1. O., Bd. 1,8. 270£0. 34) Dies ist die Vermutung von E. Frank. 19) Gesetzo 819. Körper. Berlin 1917. S. 23-41. stoteles. Abh, er- S. 304, 18 spielt offenbar Speusipp auf 12) a, a. O, S. 82, E. Sachs, A2 HH. Diehls, Vorsokratiker, *) Euclid ed, Hoiberg. Leipzig. Bd. 5, S. 654. 44) Vel. 1132 Analogie ss) Hippias I 303, 5) Eutyphron 12 D. 92) Vel. auch F. Thursau-Dangin Textes ma thématiques Babyloniens, Leiden 1938, 9) Dies beweisen die miteinem Quadratnets 18) Menon 82 C bis 85 B, bedeckten halbfertigen Relicfs der Mo. S. 102. Vgl. ferner O. Becker, Quellen ”) Im Phüdon. kropole von Kúsijn. und Studien Bd. 3, S. 533. 18) Zur Dinicktik vgl. außer den in Anmer- 26) Yimäus 31 C 2, 30) Gorgias 451 B/C. 4) Timäus 36 A 3, #1) Protagoras 397 A/B. H. Gadamer, Plutos dialektischo Ethik, #) Epinomis 990 E. $2) Politikos 262, Leipzig 1931. kungen *), 7?) und **) genannten Werken 100) P. Lindemann, Sitzungsberichte der Münchener Akademie, Bd, 26 (1896), S. 527 und 656. 101) Metaphysik Buch A, Kapitel 5.