Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale gekannt ?

| Hurxmien Voar. Vogt, H.: Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrm Y cn satz und das Irrationale gekannt? Bibl. math. 7 ("06/07) S. 6—23. Die Inder haben in einer Zeit, für die griechischer Einflu8 noch nicht in Frage kommt, den Pythagoreischen Lehrsatz allgemein auf- VWOMGAT.Loveo gestellt, ihn aber nur durch unvollständige Induktion begründe t. Sie haben einen vorzüglichen Näherungswest für W2, dessen Fehler nur. Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale gekannt? Griechen von den Indern gelernt haben? Können sie speziell den Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale aus indischen Quellen geschöpft liuterung des Araszamma-Sulba-Sutra, 1) einer der drei Aufzeichnungen der geometrischen, kultischen Zwecken dienenden Konstruktionsmethoden der Inder, hat einen Umschwung in der Wertung der ältesten ältesten M. Caxror Alter der griechischen überlegen erkannt. Die Blütezeit des Opferkults, an den sie geknüpft ist, schließt das 12. vorchristliche Jahrhundert ein; ein Beispiel eines Pythagoreischen Dreiecks (15, 36, 39) ist aus dem 8. Jahrhundert überliefert; die Sılbasutren werden nicht später als in das 5. oder 4. vorchristliche Jahrhundert gesetzt.*) Alsu die Griechen sind bestimmt nicht, wie man bisher angenommen hatte, die Lehrmeister der Können nun umgekehrt, was zeitlich nieht unmöglich "wäre, die Die in den Jahren 1901 und 1902 erfolgte Verüffentlichung und Er- Geometrie herbeigeführt, dem ihnen neue, philologische Argumente hinzu.!) Er bestätigt und stützi seine Schlüsse, geht aber auch in wesentlichen Punkten über ihn hinaus in dem, was er den alten Indern zu- und den Griechen abspricht. Die altindische Geometrie ist jetzt ihrer Art nach als selbständig, an Inder gewesen. Von Heinrich Voor in Breslau. indischen - 7 im Archiv haben? Diese Frage will ich im folgenden durch Untersuchung der Grenzen des altindischen geometrischen Wissens zu beantworten suchen. der Mathematik und Physik (83, 1905, 5. 63—72) Ausdruck gegeben hat. Gerade CANTOR hatte 30 Jahre lang durch sein großes Ansehen den I alten Inder’ den Pythagoreischen Lehrsatz gekannt? Glauben an die Abhängigkeit der indischen Geometrie von der griechischen Haben die aufrecht erhalten. Apasramnd-Sulba-Suira cap. I, 4 und 5 lauten: 1. „Die Diagonale eines Rechtecks bringt beides hervor, was die längere und die kürzere Seite desselben, jede für sich, hervor- Er hatte sich seine Ansicht gebildet im Gegensatz gegen die von Tinnaur aufgestellte Schätzung der indischen Geometrie als eines selbständigen und uralten Ausflusses indischer Geistesart. Timpavr hatte das Bavoxarara-Sulvasutra mit Übersetzung und Kommentar herausbringen.“ 2. „Die Diagonale eines Quadrats bringt eine doppelt so große Fläche gegeben?) und aus allen drei Sulbasuiren, deren Verfasser BAUDHAYANA, APASTANPA, KATvayanA heißen, einen vergleichenden, sehr eingehenden * Auszug höchst planvoll und durchsichtig zusammengestellt, 3) mit fortlaufendem Kommentar versehen und sein Urteil über das Alter und die _ | i ct Birk veröffentlicht das Apasrawsa-Sulba-Sutra vollständig in Übersetzung,°) führt die innerlichen Gründe THimaurs weiter aus und fügt 2) The Pandit, a monthly journal of the Bonares college devoted to Sanskrit litorature (Benares), 9-10, 1875. 3) Journal of the asiatic society of Bengal (Calcutta), 44:1, 1875. 4) vox Semmouvxn, Prrrauorss und die Inder (Leipzig 1884). 5) a. a. 0, 56. Gültigkeit dieser Sätze haben die Inder besessen? Waren es empirische ~ Regeln, von deren Gründen und deren Gültigkeitsbereich man keine Kenntnis besitzt, oder offenbart sich in ihnen ein auf Gründen der Ansehauung oder des Denkens beruhendes, den Umfang der Gültigkeit nach o. 1) Armenr Bîrk, Das Arisra SulbaursSutra; Zeitschrift der Deutschen Morgenlándischen Gesellschaft 55, 1901, S. 543—591; 56, 1902, S. 327--391 a Aber vertiefen wir die Frage: Welchen.Grad von Einsicht in die Weder Tamsatr noch der viel weiter gehende von ScuroEDER4) erst BURK beschieden. è zu bejahen. Selbständigkeit der Geometrie der Inder aus inneren Gründen hergeleitet. drangen mit ihren Ansichten durch: den Umschwung herbeizuführen war hervor.“ Wer diese beiden Sütze liest, wird nicht anstehen, die obige Frage : a +SPEO \ LÌ dem Umfange der Erkenntnisgründe abgrenzendes Wissen? Satz 2 ist selbst ein Einzelfull. Er ist vollständig erkennbar aus einer Figur wie der bekannten aus dem PLarToxisehen Dialog Afrxex, wa 4 (Juadrate zu einem großen Quadrate zusammengesehohen sind und in jedem Einzelquadrat diejenige Diagonale gezogen ist, welche nicht nach 1) a. 0. 0,63 2) Bin, a. a. O., 55, 8. 544, 558, 556, 551.

Hetsuicn Vour. der Mitte der ganzen Figur läuft. Birk macht es durchaus wahrseheinlich, duB auch für die Inder die Anschauung dieser F igur ohne logische De- Interesse zu erklären ist, daß sie die schmäleren Gnonomen für 6, 8, 10; duktion die volle Einsicht in die Bezichung zwischen Quadrat über der DaB die Inder nicht noch andere, tiefer gehende Begriindungen für ihren Rechteckssatz besaßen, scheint mir zweifellos aus Baranarana- 10, 24, 25; 9, 12, 15, 16, 30, 34 übersahen. Seite und Quadrat tiber der Diagonnle geliefert hat. Bedenkt man, was HANKEL, THinavt und Birk überzeugend betonen Sulba-Sutra!) hervorzugehen. BAUDHAYANA, der von den drei Sutraverfassern am meisten Sinn für Begründung hat, der ungenaue, von den andern überlieferte Methoden nicht hat und sennue Methoden bevorzugt, und was ein Blick in die Sulbasutren bestätigt, „das Vorwiegen der or mittelbaren Anschauung in der Entwickelung der Geometrie der Inder, welches einen so merkwürdigen Gegensatz bildet gegen die durch Begriffe der somit wohl am meisten mathematisch von den Dreien denkt, und den Tıupaur?) nennt ,entitled to the first place by a clearer and more extensive treatment of the topics in question“, fügt allein von thnen an den Rechteckssatz die Bemerkung: „This is seen in those oblongs the sides of which are three and four, twelve and five, fifteen and eight, seven and twenty-four, twelve and thirty-five, fifteen and thirty-six.“ - Cantor’) nennt dies „den Pythagoreischen Lehrsatz, erläutert an Zahlenbeispielen“. Dem Wortlaut nach ist es mehr als eine „Erläuterung“; es ist, wenn man auch nach Birk in den Sulhasutren einen Beweis nicht suchen darf,4) eben das, was Ravbilarana als Beweis" für den vorantvermittelte Konstruktion der Sätze bei den Griechen“; ') nimmt man hinzu daß die Sulbasutren und die ihnen dienende Geometrie rein srl Zwecke verfolgen, so wird man die Gedankengänge, die zur Auffindung des Satzes vom Quadrat über der Rechtecksdiagonale geführt haben, sich ganz empirisch und anschaulich denken müssen. Es dürfte deshalb der Birksche Rekonstruktionsversuch, welcher in ausgiebiger Weise dus Umlegen von Gnomonen um ein vorhandenes Quadrat mit ganzzahliger Seite benutzt, auf allgemeine Zustimmung rechnen.?) So können die Tudor in Verbindung init der vorher erkannten Eigenschaft der Quadratdiasonale und der vielleicht schon vorher bekannten Rechtwinkligkeit des Prrelenks gehenden Lehrsatz zu gehen hat. Das ist anch die Auffassung Tua!rs Im Anschluß «n die Parallelstelle APASTAMBAS: „So many coymizalie measurements of the vedi (Altar) exist“,5) sagt er:5} „In this manner Aiasrampa turns the Pythagorean 3. 4, 5 empirisch auf einen Zusammenhang zwischen der Rechiwinkligkeit gewisser ganzzahliger Dreiecke und der Tatsache gekommen sein, daß gerade in diesen Dreiecken das Quadrat über einer Seite gleich der Summe Diagonale 39 gehen will, ein systematisches Verfahren im ganzen nicht 8, triangles known to him to a practical use, but after all BAUDHAYANA'S way of mentioning these triangles as proving his proposition about the diagonal of an oblong is more judicious. It was no practical want which could have given the impulse to such a research — for right angles could be drawn as soon as one of the „vijneva“?) oblongs (for instance that of 3, 4, 5) was known — but the want of some proof which might establisha firm conviction of the truth of the proposition“ __ — gegebenen noch 6, 8, 10; 9, 12, 15; 10, 24, 26; 20, 21, 29; 18, 24, 30: (auf einige mehr oder weniger kommt es nicht an) hat die indische Bemetrischen und abzáhlenden Methode ist Vollständigkeit keineswegs verhinaus führen können. leuchend, daB Rechteckesutz trennen, in dem er bei allgemeiner Auffassung doch enthalten ist, hat wohl seine Urenche darin, daß die Erkenntuisgriinde für beide Siitze gunz verschieden waren, daß also für den Rechteckssatz kein allssemeiner Auschauungsbeweis vorlag wie für den Quadratsatz. der Quadrate über den beiden andern ist. m aes 8 In den Sulbasutren finden sich solche Dreiecks- resp. Rechteckszahlen angeführt, nämlich = iM si 4 13; 8, 15, 17; 12, 16, 20; 7, 24, 25; 15, 20, 25; 12, 35, Wie wenig systematisch das Auffinden dieser Rechtecke erfolgt ist läßt sich auch daraus ersehen, daß, wenn man bis zur größten banwiaten sondern, 15. ganzzahlige Rechtecke liefern würde, nämlich außer den fut. Wir sehen: Über gewisse Einzelfälle von ganzzahligen Rechtecken’ 16, 30, 84; 21, 28, 35. Gerade nach der von Bürk rekonstruierten geotrachtung nicht hinausgeführt und hat ihrer Natur nach nieht darüber bürgt und Übersehen mancher Fälle wohl möglich. Auch ist sehr ein- Auch der Umstand, daß die Sutren den Quadratsatz stets von dem die alten Inder Gnomonen vou der Breite 6 (fiir 18, 24 30), von der Breite 7 (für 21, 28, 35), von der Breite 8 (für 20, 21 29) nieht erkannten, da sie eben nur bis zur Breite 5 (für 15, 20, 25) ‘fortschritten. Auffällig dagegen und nur durch unsystematisches Verfahren und das rein praktische, nicht auf theoretische Vollständigkeit gerichtete ——__ Tit D Haxkrr, Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, S. 220. 2 Bin, a. a. O. 55, $. 560-575. — Canton, a. a, O. 3. 67-69. a i Tumacı, Journal $. 24%. — 2. Journal S. 228. 3° Canton, Geschichte der Mathem. 1°, S. 598 (= 1°, $. 544). 4) Binn, a. a. U. 55, 1901, S. 555. — 5) Vergl. Brux, a. a. O, 66, 1902, 8. 841. 6) Journal, $, 288. --- 7) „erkeunbare".

Hrumica Vocr. Nun könnte man meinen, die Inder haben den Rechteckssatz zwar Der wahre Wert des Pythagoreischen Lehrsatzes bei den Indern ist der eines an einigen Hinzelfiillen glücklich erratenen Zusammenhanges. formell allgemein ausgesprochen, inhaltlich aber darunter nur die bekannten ganzzahligen Fülle begriffen. Das aber ist bestimmt nicht der Fall. Zwar werden zur Konstruktion des rechten Winkels nur die ganzzahligen Rechtecke benutzt, aber ApaSTAMPA fügt an die Aufzählung dieser Möglichkeiten die schon oben zitierte Bemerkung (cap. V, 6) „so viele erkennbare Konstruktionen der vedi (Altäre) gibt es“, d. h. so viele ganzzahlige Rechtecke sind vorhanden und können zur Konstruktion rechtwinkliger Altäre benutzt werden. Es Wenn sie diesen Zusammenhang als allgemein gültig aussprechen und verwerten, so dürfen wir uns dadurch über die Tragweite ihrer Erkenninie nicht täuschen lassen: wir erkennen daran nur, daß die alten Inder. mögen wir ihrem intuitiven Spürsinn mit SCHOPENHAUER, Hanke. und a4 4 LE von SCHROEDER jede Bewunderung zollen, doch vom Wesen des geometrischen Denkens und Erkennens sehr weit entfernt waren. liegt hierin erstens das Eingeständnis, daß der Verfasser mehr ganzzahlige Rechtecke nicht kennt, und zweitens setzt die Einschränkung der Brauchbarkeit des Rechteckssatzes zu. Konstruktionen auf die „erkennbaren“ Rechtecke die Annahme voraus, daß der Satz auch für „nicht erkennbare“ Rechtecke“, d. h. Rechtecke mit nicht ganzzahligen Seiten und Diagonalen gilt. Dies findet seine Unterstützung darin, daß der Rechteckssatz ganz geläufig zur Addition und Subtraktion von Quadraten ohne Rücksicht auf ihre Seitengrößen benutzt wird, und daß speziell die trikarani, d. h. die Seite eines Quadrats, welches 3 Flächeneinheiten enthält, hergestellt wird als Diagonale eines Rechtecks, dessen kürzere Seite die Einheit und dessen längere Seite die Diagonale des Einheitsquadrates ist. Also die alten Inder haben den Rechteckssatz ganz allgemein und ohne >Anmoe Il. Haben die alten Inder das Wesen des Irrationalen erkannt; d. h. haben sie, wenn auch nur an einer Zahl oder einem Verhältnis erkannt, daß es durch ganze Zahlen und Brüche nicht genau ansgedriickt werden kann? Den Weg zur Auffindung des Irrationalen schildert CANTOR folgendermaßen:!) „Die Hypotenuse (des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathete 1) wurde gemessen. Sie war griBer als eme, kleiner als Die mannigfaltigsten Versuche mögen darauf an zwei Liingeneinheiten. gestellt, andere und andere Zahlenwerte für die gleichen Katheten emgesetzt worden sein, um eine Zahl für die Hypotenuse zu erhalten Einschränkung ausgesprochen und verwendet; aber ihr Erkenntnisgrund Vergebens. ist kein anderer, als daß in einigen ganzzahligen Füllen Rechtwinkligkeit und Gleichheit zwischen der Quadratsumme der Seiten und dem Quadrat Also der erste Schritt ist: man erhält Werte, deren Ungenauigkeit man sich der Diagonale zusammentreffen. bewußt ist. Hieraus wird durch unvollständige Induktion geschlossen, daß die Eigenschaft der Quadratsumme stets die Rechtwinkligkeit zur Folge hat, und umgekehrt. Man erhielt wahrscheinlich Zahlen, die dem gesuchten Mabe der Hypotenuse nahe kamen; Niherungswerte von ]2 würden wir sagen.“ Cantor fährt fort: „Aber es war noch ein Riesenschritt, von der Fruchtlosigkeit der angestellten Versuche auf die aller Versuche überhaupt Auch die Induktion und selbst die unvollständige Induktion hat ihren berechtigten Platz in der Geometrie, aber nur als Werkzeug der Erfindung, „vermuten“ sagen sollte, nicht als endgültiger Erkenntnisgrund. schöpferische Gedanke, durch den die Idee des Irrationalen ins Bewußtsein Sie kann auf Wahres wie auf zu schließen“. Dieser zweite Schritt, in dem man aber statt „schließen“ ist gewiß der größte und der eigentliche Falsches führen und gibt einer Einsicht keine Notwendigkeit und Allgemeinheit. Das gesteht selbst SCHOPENHAUER zu, der Feind des griechischen diskursiven Denkens, der Freund der indischen Intuition, der stets antritt. gerufene Eideshelfer für die Inder gegen die Griechen:!) „Diese letztere Art der Erkenntnis ist immer nur Induktion, d. h. aus vielen Folgen, die beschränkte. zur Erkenntnis des Irrationalen. auf einen, Grund deuten, wird der Grund als gewiß angenommen; da die Fälle aber nie vollständig beisammen sein können, so ist die Wahrheit eines Problems wohl vermuten, aber nicht sicher erkennen lassen. hier auch nie unbedingt gewiß. dem Wege des Diese Art von Wahrheit allein aber hat alle Erkenntnis durch sinnliche Anschauung und die allermeiste Erfahrung.“ Kreises für unmöglich hielt und sich systematisch auf Näherungswerte Aber dieser zweite Schritt ist doch noch nicht der letzte # Die Fruchtlosigkeit noch so vieler Versuche kann die Uylésbarkeit geliefert werden. — 1) Scnoresñaven, Welt als Wille und Vorstellung (Werke 1, Buch 1, $ 15). Diesen Schritt bat z. B. ARCINMELES getan, indem er auf Grund der vorangegangenen verfehlten Versuche die genaue Rektifikation des Probierene kann Auf überhaupt kein Unmöglichkeitsbeweis Für das praktische Messen, welches, wie F. Kirin es so es 1) Geschichte der Mathematik 1, S. 169 (= 1', S. 154).

Hemmon Voor. glücklich ausdriickt,") dem Bereiche der „Approximationsgeometrie“ angehört, gibt es überhaupt kein Irrationules; denn jedes praktische Messen kommt mit Erreichung der Gennuigkeitsgrenze zu abgeschlossenen MaBDas Irrationale entspringt erst auf dem Boden der ,Priizisionszahlen. geometrie“ (wieder nach KLEIN), und der Nachweis der Unmöglichkeit der Rationalität kann seiner Natur nach nicht anders geführt werden als durch Abstraktionen: entweder das Messen muß unendlich fortsetzbar gedacht werden, was es praktisch nicht ist (Schema des größten gemeinschaftlichen Teilers, Kettenbruch-Algorithmus), oder die Annahme der Rationalität muß durch indirekte Schlußweise auf einen Widerspruch mit Zahlenpores geführt werden (Pythagoreischer Nachweis der Irrationalität von 12). ) Dieser Unmiglichkeitsbeweis ist der dritte Schritt; ihn hat für die Irrationalitit von x erst LAMBERT, für die ‘Tramarcandens erst LINDE- MANN getan. | Wie einfach denkt sich hingegen Bürk die Entdeckung des Irrationalen! Er sagt:*) „Man verglich die Diagonale mit der Seite (des Quadrats), nannte die Differenz, visesa (Unterschied) und kam nach langen vergeblichen Versuchen zu der Überzeugung. daß sich eine genane Zahl für die Diagonale nicht finden lasse. So begnügte man sich mit einem Niherungswert, dem savisesa“. Und noch deutlicher:4) „Die Inder haben im Anschluß an ihren 1. Unterfall (den Quadratsatz) für die dvikarani =) 2) einen Niherungswert (den savisesa) aufgestellt — offenbar, nachdem sie zuvor das Irrationale entdeckt hatten“. | | In Wahrheit wird sich die Entdeckung der Irrationalität, etwa der Diagonale des Quadrats, in den oben entwickelten 8 Schritten vollziehen: 1. Die durch Messen direkt erhaltenen oder daraus abgeleiteten Werte werden als ungenau erkannt, 2. es taucht die Überzeugung von der Un- Rao eines ‚genauen Wertes auf, 3. es wird der UnmöglichkeitsWow iedieeee geliefert. Wie weit sind die Inder auf diesem für ungenau gehalten haben. Ist dies der Fall, so ist noch der Nachweis des zweiten und dritten Schrittes erforderlich. Sollten sie aher einen oder den andern Wert für genau gehalten haben, dann ist jede weitere Untersuchung überflüssig; dann haben sie das Wesen der Irrationulität bestimmt nicht erkannt. Alle drei Sutrenverfasser geben für die Länge der Quadratdiagonale übereinstimmend an: „Man verlängere das Maß um seinen dritten: Teil und diesen um seinen vierten Teil weniger si dieses vierten Teils.“ Also die Diagonale = 1 + + + 51 — ciu Seite. Der Überschuß der Diagonale über die Seite, also die Größe 3 + 5 — Cin heiBt visesha „Unterschied“; der ganze Ausdruck für die Diagonale heißt savisesha „mil dem Unterschied“. Der savisesha ist eine sehr gute Annäherung an den wahren Wert der Diagonale; er ist gleichwertig mit pe dem Sten Nüherungswert der Kettenbruchsentwickelung von 12. Die Genauigkeit des savisesha-Wertes ist zu groß und seine Form ist zu eigenartig, als daß er rein empirisch gefunden sein könnte. Den wahrscheinlichen Weg der Auffindung, der beide Eigenschaften in befriedigender Weise erklärt und nicht über das geometrische Können der Inder hinansgeht, hat Trav in folgender Weise rekonstruiert: !) Nimmt. man an, daß die Inder auf irgend einem Wege bemerkt hatten, dab in einem Quadrat mit der Seite 12 sich die Summe der beiden Seitenquadrate 144 + 144 = 288 d.h. das Quadrat der Diagonale nur um eine Einheit von 289, dem Quadrat von 17, unterscheidet, daß also die Diagonale annähernd = 17 ist,2) so lag es nahe, sich die Frage vorzulegen, um welche Größe die 17 zu verkleinern sei, damit das (Quadrat liber dieser verkleinerten Strecke genau = 288, also um. 1 Einheit kleiner-als 289 werde Will man das Quadrat 17? = 289 nach indischer Weise um einen Gnomon = 1 verkleinern, so muß man diesem Gnomon ‚die Breite 3 geben; denn cin solcher Gnomon besteht nahezu aus zwei Rechtecken, Wir müssen uns vor allem hüten, unser Wissen um die Irrationalität rückwärts auf die Inder zu übertragen: Finden wir bei den Indern Werte für die Quadratdisgonale , die wir heute Näherungswerte nennen, so bejedes von der Fläche 17 x 51 = y Wan wird also für das Quadrat mit falls als Niherungswerte einer nicht genau ausdrückbaren erhalten, welche Größe, auf die Einheit als Seite reduziert, nichts anderes haben. ist als der savisesha | + + + $1 u: ; 84 rechtigt uns das keineswegs zu der Annahme, daß sie diese Werte ebenGröße erkannt Wir haben zunächst zu untersuchen, ob sie diese Werte überhaup t der Seite 12 die gesnchte DiagonalgróBe 17 — si = 12! +4+1— si wi $ 1) Feurx st Packen | Krew, die Fx Fonte Dole 3 Anwendun àki g der Differentia } 4 ] l- und —_———...— ntegralrechnung auf Geometrie, Integralr , I 3 Cawron, Geschichte der Mathematik 12, S. 170 (= 11, 8 155). S) a 2. 0. 55, S. 557, Anm. 1. — 4) a. a. 0. 55, S. 575, Anm. 1. o. — 1) Tumavt, Journal, S. 289—241. : 2: Vergl. die dpr) didareeos der Griechen: Fu. Hurrsen, Biblioth. Matbem. 1,, 1900, S. 8—12.

Hewmcu Voar. beiden Reehtecke Waren die MeBmethoden und die Denkart der alten Inder so wenig scharf, daß sie diesen Unterschied gäuzlich übersehen und den gefundenen savisesha-Wert für genau halten konnten? Wir müssen unterscheiden: Wenn wirklich, was wahrscheinlich, aber Haben die Sutrenverfasser den savisesha für einen genuuen oder einen ungeunuen Wert der Diagonale gehalten? Eine direkte Andeutung, daß savisesha in anderem Sinne ein Zuhlenwert sei wie andere bestimmte Werte, findet sich in keiner der 3 Sutren, So stehen bei APASTAMBA vollständig gleichberechtigt, ohne Andeutung eines Giiltigkeitsunterschiedes hintereinander die Sätze (I, 5 und 6): „Die Diagonale eines Quadrats bringt eine doppelt so große Fläche Das Quadrat dvikarani ‘die das doppelte hervorbringende.’“ hervor. Und „man verlängere das Maß um seinen dritten Teil und diesen um seinen vierten Teil, weniger x dieses Teils. savisesha ‘mit dem Unterschied’“. Woran will man erkennen, daB der erste Satz eine absolute Wahrheit, der zweite eine bewußte Annäherung ausdriickt? Ja, wenn man für die Differenz zwischen Diagonale und Seite ein eigenes technisches Wort visesha, „Unterschied“, und für die um diese Differenz vergrößerte Seite ein zweites savisesha, „mit dem Unterschied“, prägte, so deutet dies wohl positiv auf das Bewußtsein einer genauen Erkenntnis hin. Wie sollte man eine ungenaue Hinzufügung, deren Ersetzbarkeit durch eine bessere man sich bewußt wäre, durch einen eigenen Namen fixieren? pradesa in Weiter: Nach Baupwarana!) wird 12 anguli (Fingerbreiten) geteilt, die Längeneinheil 1 anguli aber in 8 yaasy (Gerstenkörner) oder auch in 84 tilas (Sesamkórner).?) Von dieser letzteren Teilung sagt TumauT:*) „» have no doubt that the second division which U have not elsewhere met, owns its origin to the savisesha“ In der Tat: ist die Quadratseite 1 pradesa = 12 anguli, so ist die Diagonale nach der savisesha-Regel = 17 anguli weniger 1 tila = 16 anguli 33 tilas, also mit ‚diesen Maßen ganzzahlig ausdrückbar. Ist es denkbar, daß man eine so dauernde Einrichtung, wie die Unterteilung der Maßeinheit und Benennung der Unterteile mit festen Namen, treffen sollte zu Liebe einer Ausmessung, die man selbst für ungenau und wandelbar hält? Man könnte einwerfen: Die oben nach Tumaur gegebene, sehr wahrscheinliche Herleitung des savisesha ist tatsächlich ungenau; sie setzt zwei Rechtecke von der Länge 17 und der Breite di , welche zusammen == 1 sind, gleich dem Gnomon von der äußeren Seite 17 und der Breite =, während tatsächlich dieser Gnomon um ein Quadrat von der Seitenlänge si: also der Fläche sa kleiner ist als die Summe der — „rt. CPES GNAEaRPErRTSI doch nicht sicher ist, die savisesha-Regel auf dem oben nach Tuma gekennzeichneten Wege aufgefanden worden ist, so konnte der Entdecker sehr wohl bemerken, welche Vernachlässigung er beging; denn die genaue Auswertung eines Gnomon lag durchaus im Gesicltskreise ultindiseber Geometrie und wurde gewohnheitsmäßig ausgeübt. THpauT sagt:?) „but we must remember that they were interested in geometrical truths only as far as they were of practical use, and that they accordingly gave to them the most practical expression“. So trieb uuch den Entdecker des savisesha gewiß nicht theoretisches, sondern praktisches Interesse. Praktisch wur die beganzene Y ernach liesigung siinzlich belanglos; so wurde der savisesha als strenge Tegel überliefert; oh mit oder ohne Bewußtsein der Abweichung von der fienauigkeit, ist nicht zu entscheiden.?) Die spüteren Geometer, welche nach dieser Regel arbeiteten, konnten uach ihrer Denkweise und nach den Genauigkeitsgrenzen ihrer MeBmethoden gar nicht auf den Gedanken kommen, daß hier eine Regel in anderem Sinne vorliege wie die übrigen Überlieferungen. Die savisesha-Regel liefert bei einem Quadrat von 10 Meteru Seitenlinge die Diagonale um 5 Millimeter zu groß. Die Inder maBen auf dem Erdhoden ihre Altäre mit eingeschlägenen I'Hicken und daran gespunnten Seilen aus; schwerlich dürfte diese Methode eine größere Genuuigkeit als allenfalls Zentimeter verbürgen. Wie sollten in ihnen Yweifel an der Genanigkeit des suvisesha aufsteigen, deren theoretischer | Fehler. weit unterhalb der Grenzen ihrer Genanigkeit blieb? Nur wenige ihrer Regeln, z. B. der Satz von der liagonale des Quadrats, der Satz (a + 0)? = a? + 2ah + 5%, der Gnomonsatz, das Senkrechteerrichten durch 2 gleichschenklige Dreiecke hatten einen allgemein auschaulichen Charakter; die allermeisten, z B. wie oben nachgewiesen, der Satz von der Diagonale des Rechtecks beruhten auf Ausmesenng in Einzelfällen und wurden für allgemein gültig gehalten, wenn die Messung keinen Fehler erkennen ließ. Warum sollten sie fiber suvisesha anders denken? Wir können nicht erwarten, daß sie die fiennuigkeit dieser Regel ausdrücklich versichern, wenn sie gar keinen (irund hatten, an ihr zu zweifeln. mo y 1) a. a. O,, $. 282. 1) Tumavr, Journal, 8, 241. — 2) Pandit 9, 8. 293. 3) a. n. O., 8, 241. 2) Verrl. die unten (S. 17) zitierte Bemerkung Bünks zu der ungenaueu Ver: grüßerung des 7'/, fachen Altara.

Hewrrcn Voor. 0,047 Quadrateinheiten, also wiederum viel mehr als der Fehler des savi- Sehen wir an einigen Boispielen zu, was fiir Regeln die alten Inder ir genau halten konnten! Apastamba gibt cap. Ill, 1 die Vorschrift: „Wünscht man ein Quadrat in ein Rechteck zu verwandeln, so mache man eine Seite so lang, wie man das Rechteck wünscht. Darauf füge man den Rest hinzu, wie es paBt.“ seshu. Bürk bemerkt!) hierzu: „Die Frage, wie groß der Inhalt eines vergrößerten agni (Altars) genau, d. h. alles — auch jene Verlängerungen — eingerechnet sei, hat unsern Sutra-Verfasser nicht beschäftigt“. Bei dem Vorhandensein aller dieser groben Vernachlässigungen scheint es mir unmöglich, den alten Indern und speziell den Sutraverfassern gerade gegen den savisesha eine ganz unerhörte Feinfühligkeit zuzutrauen. Alle drei Sutrenverfasser verwandeln ein (Quadrat in einen Kreis, indem sie um den Mittelpunkt einen Kreis schlagen, welcher zum Radius die halbe Seite hat, vermehrt um 4 der Differenz zwischen der halben Diagonale und der halben Seite; also r — $ + È V2. Apasramna (III, 2) Doch ist nicht zu übersehen, dub die drei Sutrenverfasser sich ungenauen Konstruktionen gegenüber recht verschieden verhalten: besonders tritt der Unterschied zwischen BAUDIIAYANA und ÁPASTAMBA auch hierin fügst dieser Regel, welche nicht schlecht, aber doch viel ungenauer als hervor.?) die savisesha-Regel ist (es wird x == 3,09 gesetzt), die Versicherung der Genauigkeit bei: „Diese“ (Schnur) „gibt einen Kreis, genau. Soviel als“ BaupHAyANA vermehrt den 7}fachen Altar um 1 Einheit richtig mit voller Wahrung der Gestalt; indem er nämlich jedes der 7 Quadrate „hinzu“, tlichengleichen Quadrats 4# des Kreisdurchmessers an. sichert wiederum für diese APASTAMBA ver- Quadratur (es ist 7 = 3 gesetzt!) die Genanigkeit (III, 3): „Die“ (Schnur) „gibt ein Quadrat, genau“ (so groß wie der Kreis). Eine Hauptform der indischen Altäre ist der falkenférmige oder sogenannte siebenfache: Er besteht aus 7 ganzen Quadraten, von denen 4, zu einem größeren Quadrat zusammengefügt, den Körper des Fulken bilden, je ein Quadrat einen Flügel und den Schwanz; jeder Flügel aber ist um + Längeneinheit, der Schwanz um +y Längeneinheit verlängert, so daß zu den 7 ganzen Qnadraten noch 2 Fünftel und 1 Zehntel Einheitsquadrat, im ganzen also 4 Quadrat hinzukommt, und der ganze Altar 74 Quadrateinheiten enthält. Es ist nun eine Fundamentalaufgabe, diesen Altar um 1 Quadrateinbeit zu vergrößern, ohne seine Gestalt zu verändern. Asasraupa-Sulba-Sutra III, 6: „Was beim $fachen . . . von es 7fachen verschieden ist, teile man in 7 Teile und lasse in PE purusa“(Quadrateinbeit des 7fachen Altars) ,1 Teil eingehen, weil eine Veränderung der Gestalt” nicht schriftgemäß wäre“. Also es wird die hinzuzufügende Quadrateinheitin 7 gleiche Teile geteilt und neue Quadrate gebildet, von denen jedes 14 Einheiten enthält. 7 solche neue Quadrate bilden den Körper, den Stamm der Flügel und des Schwanzes für den neuen Falkenaltar und enthalten somit 8 Quadrateinheiten. Die Verlängerungen der Flügel und des Schwanzes aber bekamen die alte Breite von } und y), ursprünglichen Längeneinheiten. So hleibt trotz der kultischen Vorschrift praktisch weder die Gestalt des Falkenaltars unverändert, noch ist die FlichengróBe genau 84 Quadrateinheiten. Die Vernachlässigung betriigt : in Körper, Flügeln und Selen um Finheitsquadrat vergrößert und (an den Ecken) „verloren geht, kommt“ (an den Seiten des Quadrats) Alle 3 Sutrenverfasser geben als Seite eines einem gegebenen Kreise i aAtis Age auf diese Weise J, der Vermehrung für die Verlängerunsen von Flügeln und Schwanz übrig behält.) Einen. ganz besomieren Beweis seines kritischen Geistes gibt er, indem er die zur (¿uadrator des Kreises verwendeter 42 des Durchmessers. deren Geuatigkeit Abasiawne Sersicher: „the gross side of the square“ nenmi:ti vine hrivk. die i den Sulbasutren wohl einzig dastehen diirfte. Er allem gt! vu Gegensitz zu dieser als „grob“ erkannten Quadratur des Kreises «ine genauere (uadratseite au 1 1 staz — 5 Y wi des Durchmessers. Wie THiBacr überzeugend nachweist,%) ist diese Formel die Umkehrung der in allen 3 Sulbasutren enthaltenen, oben®) angegebenen Regel für Verwandlung des Quadrats in einen Kreis; und zwar hat BAUuDHAYANA für diese Umkehrung, welche nicht anders als rechneris«h gemacht werden. konnte, nach Fan zum Ausdruck der Quadratdiagonale. die aren team: benutzt. BAUDHAYANA benutzt den savisesha allein zu diesem Zeck: die anderen Sutrenverfasser zur Herstellung von rechten Winkeln und Quadraten, die Kommentatoren zur Berechnung von Diagonalen, ,wo immer Diagonalen in Frage kommen“. Verwendung des savisesha vom Wenn TinwatT diese ausgedohntere Standpunkt der Genanigkeit verwirft,7) „this proceeding however, is not only useless, but positively wrong, us in all such eases caleulation cannot vie in accuracy with geometrical construction“, so ist dem entgegenzuhalten, daß dic mit suvisesha berechnete 1) a. a. 0 55, S. 357. — 2) Vergl. $. 9. -- 3) Pandit 10, 73. 4) Pandit 10, 21; Journal, $. 254. — 5, Journal, N. 253, 254. 6) S. 16. — 7) Journal, $. 241. Bibliotheca Matbematica. 111. Folge. VII.

Henricn Voor. Diugonale nur um 35555 größer ist als die genaue, und der mit savisesha an die erste Stelle sagt vox SCHROEDER:!) „Dies ist wiederum von sekunden übertrifft. Diese durch die Rechnung verschuldeten Ü berschiisse höchstem Interesse, denn es tritt uns hier in den Culvasttras deutlich das Irrationale entgegen“. 18 hergestellte rechte Winkel einen genauen rechten Winkel nur um 3; Bogensind weit kleiner als die unvermeidlichen Ausführungsfehler; ihr Vorhanden- Die CaNTOR-SCHROEDERsche Beweisführung ist nicht stichhaltig; ihr sein wäre weder zu BAUDMAYANAS Zeit noch heute mit $iifarbrnenion Fehler liegt darin, daß Cantor und von SCHROEDER nicht zwischen dem Gebrauche der Worte dvikarani usw. in den Sulbasulren und in der festzustellen. Der Grund für den sparsamen (Gebrauch des savisesha bei BAUDITAYANA kann also nicht der von THIBAUT vermutete sein. Vielleicht ist es der, daB die savisesha-Formel gerade zu dem Zwecke ersonnen ist, späteren indischen mathematischen Literatur unterscheiden. Diese Verwechslung ist um so auffülliger, als ThimauT, der Gewiihrsmann beider, die Notwendigkeit dieser Unterscheidung sehr klar und überzeugend darlegt. zu dem BAUDHAYANA sie unentbehrlich findet, nämlich zur Umrechnung der Zirkulatur des Quadrats in die Quadratur des Zirkels, und daß man Die Sulbasutren gehen fast ausschließlich konstruierend und messend, nicht rechnend vor: „Nothing in the sutras would justify the assumption erst später darauf verfallen ist, sie auch anderen Zwecken dieastbar zu machen. Es wäre dies eine Stütze der aus philologischen Griinden gemachten Annahme, daß BAUDHAYANA älter sei als APASTAMBA.!) BAUDHAYANA würde damit der Erfindung der savisesha-Regel nüher gerückt werden als die anderen Sutrenverfasser Sollte er aber, was nicht unmöglich genannt werden kann, selbst der Erfinder der Regel sein, ja, that they were expert in long caleulations“.?) Dadureh unterscheiden sie sich vollständig von den späteren, 1000 his 1500 Jahre jüngeren indischen Mathematikern, auch von ihren Kommentatoren, welehe durchaus arithmetisch denken nnd sich bemühen, die alten geometrischen Wahrheiten, um sie sich und ihren Zeitgenossen verständlich und interessant zu machen, ins Arithmetische zu übersetzen. „A geometrical truth interests the later Indian mathematicians but in so far as it furnishes them with sollte er sogar ihre Ungenauigkeit erkannt haben, wogegen allerdings die werade bei ihm sich findende Teilung der Längeneinheit in 34 Unterteile spricht, so hätte er zwar den ersten Schritt zur Entdeckung des Irrationalen getan; ihm aber auch den zweiten und dritten zuzuirauen, dafür convenient examples for their arithmetical and algebraic rules; purely geometrical constructions, as the samisa and nirhára (Addition und Subtraktion} of squares, described in the Sulvasutras, find no place in their writings.“?) liegt keine Spur einer Andeutung vor. Den anderen Sutrenverfassern aber dürfen wir aus der Häufung der oben dargelegten Gründe das Bewußtsein von der Ungenauigkeit des savisesha bestimmt absprechen. Ihnen ist nicht Bei Bıraskara (im 12. Jahrhundert n. Chr.) heißt der spezielle Pythagoreische Lehrsatz: „Die Quadratwurze] der Quadratsumme der Seiten einmal jener erste Schritt gegliickt. — Die Rolle eines handgreiflichen Beweises für die Bekanntschaft der alten Inder mit dem Irrationalen haben im letzten Vierteljahrhundert die ist die Diugonule”. eines Quadratz bringt eine doppelt so groBe Fläche hervor“. (Die Diagonale) „des Quadrats” (heißt darum seine) ,dvikarani, die das doppelte Hervor- Worte dvikarani, trikarani usw. gespielt. CANTOR sagt von den Sulbasuiren:*) „Die Auffindung der Seite eines bringende” . - Das: 2, 3, 10, 40mal so großen Quadrate, als ein gegebenes ist, geschieht durch allmähliche , sich wiederholende Anwendung des pythagoreischen Lehrtrikarani = Y3, dagakarani = Y10, catvaringakarani = 40 usw“. 8. 581 (527) heißt es allgemein, ohne Beziehung auf die Sulbasutren: „Über die Potenzbezeichnung hinaus hat sich aber der Inder auch noch zu einer Bezeichnung der irrationalen Quadratwurzel einer Zahl mit Hilfe des Wortes karana, geschrieben ka, emporzuschwingen gewußt“. Im Anschluß ist -der- rein -geometrische- Ausdruck - derselben;; von : Bıraskara algebraisch auszedrückten Tatsache: In den Sulbasutren bedeutet dvikarani nicht 12, sondern dvikarani ist die yeometrisch konstruierte, satzes... Dabei erscheinen Namen für V2, Y3, usw. gebildet durch Zusammepoetrang der Zahlwörter mit dem von uns früher (S. 581, 1. Aufl, S. 527) erörterten Worte karana (Tumaur, S. 16),*) also FRONT ye, In den Sulbasutren aber heißt es: „Die Diagonale à nicht die durch Messen oder Rechnen hestimmte Seite eines Quadrate mit der Flüche 2. Jeder Zweifel ist ausgeschlossen durch die bei KATYAYANA hinzugefügte Erklärung:?) By the expressions: karani, karani of that (of any square) ete we mean cords. Deshalb ist Tirar ts Ausginandersetzung unanfechthar:*) „rajja (cord = Seil) is to be supplied to karani“ und „Ihe side of a square being called its karani, the side of a square of VO Prrnaconas und die Inder,S. 51. — 2, Tuusact. Journal, $. 288, 1) Büux, a. a. O. 56, $. 552 (Hinweis auf BinLen). 8) Tursasct, Journal, S. 271: elite das Folgende. 2) Geschichte der Mathematik 1°, S. 599 (= 1', 8. 544). 4) Tumatt, Journal, S. 233. 8) Gemeint ist der Abdruck aus Journal of the Asiatic society, 5. 242. 5) a. a. O., à. 238.

Heineıcu Voor, double the size was the ‘dvikarani’, the line producing the double (I shall for convenience sake often employ the terms „side“ or „line“ instead of ,cord*): this was therefore the name for the diagonal of a square“. Gerade weil dvikarani eine im Quadrat durch Konstruktion hergestellte Linie, ja das von Ecke zu Ecke gespannte Seil selbst war, deswegen brauchte man zur Unterscheidung für das Maß derselben Linie einen andern Ausdruck; das eben ist der oben behandelte savisesha. Wenn nun in der späteren indischen Mathemathik „the word karani is invariably used to denote a surd or irrational number; as the commentators explain it, that of which when the square-root is to be taken, the root does not come ont exact“) so hat sich hier im Laufe vieler Jahrhunderte ein Bedeutungswandel vollzogen: Von der konstruiert vorliegenden Quadratseite ging die Bezeichnung fiber auf die ausgemessene oder herechnete, und mit Verengerung des Begriffs, auf diejenige Maßzahl, welche nicht in anderen Anwendungen, sondern allein als Maß einer Quadratseite anftrat, d. h. als irrationale Quadratwurzel. „And“, so schließt TiunatT seine Abhandlung, „thus we see that the same word which expressed in later times the highly abstract idea of the surd number, originally denoted a cord made of reeds which the adhvaryu stretched out between two wooden poles when he wanted to please the Immortels by the perfectly symmetrical shape of their altar.“ struktion ihrer Altäre. Mag auch ihr Wissen über das der Ägypter erheblich hinausgegangen sein, so können sie in der Geometrie als Wissenschaft die Lehrer der Griechen ebensowenig gewesen sein, wie die Ägypter: aus dem sehr einfachen Grunde, daß beide nicht geben konnten, was sie selbst nicht hatten. Mögen die Griechen stoffliche Anregungen, sozusagen geometrisches Rohmaterial den Völkern des Orients entlehnt haben; nach allem, was wir wissen, bleibt es wahr, wenn PROKLUS!) einem Griechen nachrühmt, daß er „mv xeol aùriv pilocoplav eis oylux xaidelas élevdéoov petéornoey, üvadev tag doyas avrijs émoxonodpenos xal dbAws nal voEoms ta Vewoiuura duæpevvouevos", Nicht Orientalen, sondern Griechen haben diese weltgeschichtliche Leistung vollbraeht; erst bei ihnen finden wir die Methoden und Theoreme ,des immateriellen, abstrakten geometrischen Forschens”, die ihnen die ganze vor ihnen und um sie herum existierende Welt nicht hatte geben können. Mag der Pythagoreische Lehrsatz als empirische Erfahrung zuerst von Indern oder Ägyptern aufgestellt sein, oder mögen sich seine Anfänge im Urwissen der Menschheit verlieren, als wissensehnäliche Tatsache ist er griechisch ebenso wie die Erkenntnis des Irrationalen. Wir sind meiner Ansicht nach nicht genau genug unterrichtet, um PyTHAGORAS selbst diese Entdeckungen mit Sicherheit zuschreiben zu künnen;?) aber in seiner Schule sind sie bestimmt gemacht worden. Das sehen wir daraus, daß sie zu PLATOS Zeit vorhanden waren und von PLATO und ARISTOTELES den Pythagoreern zugeschrieben werden. — I. Hätten die alten Inder das Wesen des Irrationalen erkannt, so diirfte man aus diesem einen Grunde trotz mancher entgegenstehender Bedenken ihrer Geometrie diejenige Abstraktion und Wissenschaftlichkeit nicht absprechen, ohne welche diese. Erkenntnis ganz unmöglich ist. Mit dem Nachweis, daß sie diese Erkenntnis nicht besessen haben; fällt auch diese Nötigung weg. Die altindische Geometrie war rein praktisch und empirisch, von Ab- Wird neuerdings allgemein zugestanden, daB die Griechen nicht die _ Lehrmeister der alten Inder gewesen sein können; geht aus meinen Ausführungen hervor, daß die Griechen nicht umgekehrt ihre Geometrie aus indischer Quelle geschöpft haben können, so bleiben für den Urspr der Geometrie drei Möglichkeiten. ; | Die erste spricht Cantor‘aus:*) „Es le di ieGE:Diich ; in den Zeiten, welche wir als uralte zu bezeichnen pflegen, also rund aus; straktionen wie der Irrationalzahl weit entfernt; hat sie ja doch auch den gesprochen jeizt vor drei bis vier Jahrtausenden, schon ein dem ganze Pythagoreischen Lehrsatz nur an Einzelfällen probierend erkannt und mit anbjektiver Überzeugung ansgesprochen, aber nicht auf den Rang einer objektiv begründeten wissenschaftlichen Wahrheit zu erheben vermocht. ganz damaligen Kulturgebiete, ulso Vorderasien und Ägypten gemeinsames nicht unbedeutendes mathematisches Wissen“ (z. B das ; rechtwinklige Dreieck 3, 4, 5) „vorhandan gewesen sein könnte, welches sich je nach So können die alten Inder in der Geschichte der Mathematik auf keine der Begabung der einzelnen Völker bald nach der einen, bald nach der andere Schätzuug Anspruch erheben, als etwa die, welehe bisher seit den anderen Riehtung weiter entwickelte?“ Zweitens könnte in historischen Zeiten geometrisches Wissen an verschiedenen, voneinander mungen Zeiten der Griechen die Ägypter genossen haben. Zwecke der Feldmessung mancherlei geometrische Wie die Ägypter zum Tatsachen empirisch bemerkten1 und ‚praktisch verwendeten,?) so die Inder zum Zweck der Kon- 1) Pre Icasual, 8. 274. - 2) Bie Zeugnisse bei "caon, Geschichte der Mathematik 1°, 3. 53. 1) Procis Commentaris in Ecm elem. 1. ed Faroe (Leipzig 1873), p. 65. 2) Die älteren Forscher (Zrcen, Haxxet) sind mit Recht hierinuna, als manche Neueren. 3) Castor, Arch. der Mathem. 83, 1905, 8. 71,

Heninicn Voar. tionale gekann usÈ w.e 66 Stellen entstanden sein. Diese Vorstellung ist zur Zeit die unbeliebteste, zumal bei den Erforschern des alten Orients. Aber ich meine, man hat doch kein Recht, sie mit WinpiscR und Biirx!) als Glauben an „einen wunderbaren Fall von priistabilierter Harmonie“ abzuweisen, zumal wenn fo ta nie de Brenaplusieurs ion dupastheoreme démonstrat ae(S.rome découvertes 850): „Nous ne savons © m a ; 29 :- EOS Lo haben, die sie darauf in eigenem Geiste erbauten. Das ist die überlieferte, nicht erwiesene aber auch nicht widerlegte, Vorstellung, nur daß jetzt die Inder in Konkurrenz mit den Ägyptern treten. t werden; der ihrer cig> entúmlichen Form gerech rechnerischen Ve e rein m dè = a? +2ar +4? zu eine Nachtrag. Durch die Güte des Herrn Herausgebers dieser Zeitschrift werde ich nach Vollendung meiner Arbeit auf einen sehr beachtenswerten Vordie empirischen Anfänge der Geometrie, welche auf „intuition simple“ beruhen, von der ,géométrie propre“ oder „scientifique“. Erstere findet er bei mehreren orientalischen. Völkern, ‘besonders bei Indern: und Ägypten; zur wissenschaftlichen Geometrie sind erst die Griechen vorgeschritten; und zwar war der entscheidende Schritt die Entdeckung des Irrationalen und Inkommensurablen (S. 852): ,C'est à eux que se rattache la première connaissapce de quantités incommensurables que nous rencontrions dans l'histoire, et cette connaissance a provoqué ensuite les démonstrations géométriques que nous devons aux Grecs“. Die Inder haben sich zur Idee des Irrationalen nicht erhoben (S. 851 Ende): „Mais les Indiens ne se sont sans doute jamais posé la question plus abstraite de savoir s'il était en vérité absolument impossible de trouver une fraction numérique égule è y2—1% savisesha haben sie vermutlich für genau gehalten (S. 851 Anfang): „et alors on aura pu regarder ces mesures comme exactes“. = nn on. 1) Bing, a. a. ©. 55, S. 575. . f den ZEUTHEN EEE a e ae de sita es27dürfte für die beidenteVersuch verte Ähnlich allein. will diese Formel : auigkeit (ien r ibre r e d me seli noch te, . 551) ! 30%, er (8. wed ten it ulei dum te herz l dürf Rege und en lass en geh Messung hervor t die Formel benutzi © r nwenite p Eine Entscheidung zwischen diesen drei Möglichkeiten dürfte zur Zeit scheidet la même leitung des Sulbasutren zu haben als5 der BRETS wissenschaftlich nicht zu begründen sein. Der Vortragende 3 va allgemeinen Pytha hoden Met die an uß chl Ans en ter fes t, gib n o m des a r e ag ETSCHNEIDERSche, au man\ina indi erhalten und als Grundlage und Rohmaterial für die Geometrie benutzt können. i (S. 816); cas, Sl On Y est parvenu dea : le dernier ken ni, dansrocédés tan différents”. iù k fiir ae Bir den h, suc ver ons sti o Rek der mir h n he a aDagegen nen goreischen LehrsaizesSe mit wesednt- Feldmeßkunst oder der indischen Altarbaukunst auf irgend einem Wege feststellen zu 7 2 .» “ an HAGORE” a un origine unique, ou 5% : gebührend würdigt. Endlich könnten die Griechen die Regeln der ägyptischen ‘ Ich freue mich, in wesentlichen Punkten Übereinstimmung mit meinen : oben S. 9) sieht ZEUTHEN wie 2 endlich stimmungen, sondern auch die Unterschiede des Inhalts und der Methoden Anschauungen | sieht ma an deden Rechteracken as „D S, NA YA HA LD BA e rt Die Wo wie THIBAU ; i man nicht nur die, zum Teil durch den gleichen Stoff bedingten, Übereintrag aufmerksam gemacht, den ZEUTHEN unter dem Titel , Théorème de Prruacore“; .origine de la géométrie scientifique auf dem zweiten internationalen Kongreß für Philosophie zu Genf September 1904 gehalten hat (abgedruckt in den Comptes rendus du Congrès, Genève 1904). +? 23 eo WpAeLMOoNETlE it. agautindamder bi pid bezu. welebe cie xaon len alten Indern eine Recheukunst ni AUTS € "mè hesonderen Pun$undkteenuo wie ürfiie sn haben TBATung, derverdinientdie, sem po sesse hi , nat ' ärf ;als er bisher yef Beacht » . en und dem Zeugnis THIH gemeinen mehr "NE yet ihre spuierén Acielikebni es her gehommen sem t wohl nii mit seinem Herleitungsversuche der W ahrhei