Sind die pythagoreischen Tripel Vorganger der pythagoreischen Dreiecke?

Résultat de la recherche | DAPHNE pagina 1 van 1 HANS NTSC. A. Résultat abrégé de la recherche FAT Afficher la notice compléte Retour à la liste des résultats c > a8 À Vorgä u À 471124 > Titre du document / titre traduit : Sind die pythagoreischen Tripel der pythagoreischen Dreiecke? Auteur {s) : FRITSCH, K-H.. Titre de revue / nom d'ouvrage dépouilté : Göttinger Miszellen Edition : Göttingen : Universitat der Géttingen, Seminar für Agyptologie und Koptolagie Tomaison/Volumaison : 110 Pagination : p. 19-25 ISBN/ISSN : ISSN : 0344-385X Type de document : extrait Mots-clés : Métrologie.— Repport mathématique — Triangle— Malhématiques— Triple — Egypte — Pythagore — Archéologie du Proche-Orient Base d'origine : Francis Localisation : http://www.daphne.cnrs.fr/daphne/viewNotice.html?daphneldentifier=INIST-90-526-0... 22-1-2009

Sind die pythagoreischen Tripel Vorgänger der pythagoreischen Dreiecke? Göttinger Miszellen Volume 110 / 1989 / Journal Part / Article Nutzungsbedingungen DigiZeitschriften e.V. gewährt ein nicht exklusives, nicht übertragbares, persönliches und beschränktes Recht auf Nutzung dieses Dokuments. Dieses Dokument ist ausschließlich für den persönlichen, nicht kommerziellen Gebrauch bestimmt. Das Copyright bleibt bei den Herausgebern oder sonstigen Rechteinhabern. Als Nutzer sind Sie sind nicht dazu berechtigt, eine Lizenz zu übertragen, zu transferieren oder an Dritte weiter zu geben. Die Nutzung stellt keine Übertragung des Eigentumsrechts an diesem Dokument dar und gilt vorbehaltlich der folgenden Einschränkungen: Sie müssen auf sämtlichen Kopien dieses Dokuments alle Urheberrechtshinweise und sonstigen Hinweise auf gesetzlichen Schutz beibehalten; und Sie dürfen dieses Dokument nicht in irgend einer Weise abändern, noch dürfen Sie dieses Dokument für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, aufführen, vertreiben oder anderweitig nutzen; es sei denn, es liegt Ihnen eine schriftliche Genehmigung von DigiZeitschriften e.V. und vom Herausgeber oder sonstigen Rechteinhaber vor. Mit dem Gebrauch von DigiZeitschriften e.V. und der Verwendung dieses Dokuments erkennen Sie die Nutzungsbedingungen an. Terms of use DigiZeitschriften e.V. grants the non-exclusive, non-transferable, personal and restricted right of using this document. This document is intended for the personal, non-commercial use. The copyright belongs to the publisher or to other copyright holders. You do not have the right to transfer a licence or to give it to a third party. Use does not represent a transfer of the copyright of this document, and the following restrictions apply: You must abide by all notices of copyright or other legal protection for all copies taken from this document; and You may not change this document in any way, nor may you duplicate, exhibit, display, distribute or use this document for public or commercial reasons unless you have the written permission of DigiZeitschriften e.V. and the publisher or other copyright holders. By using DigiZeitschriften e.V. and this document you agree to the conditions of use. Kontakt / Contact DigiZeitschriften e.V. Papendiek 14 37073 Goettingen Email: digizeitschriften@sub.uni-goettingen.de

GM 110 (1989) SIND DIE PYTHAGOREISCHEN TRIPEL VORGANGER DER PYTHAGOREISCHEN DREIECKE ? Das Auftreten pythagoreischer Tripel und pythagoreischer Drelecke In der vorgriechischen Zeit wird In der Regel mit der Aussage kommentiert, daß zu jener Zeit der Satz des Pythagoras bekannt gewesen sein muß. Die folgenden Oberlegungen zeigen, daß diese Ansicht zutreffen kann, aber nicht zutreffen muß. Wenn man ein Quadrat vergrößern wilt, dann genügt es, einen "Haken’ anzulegen. Wil man das Vergrößern systematisieren, dann wird man das Ergebnis In einer Tabelle festhalten. Abbildung 1 Tabelle 1 altes Quadrat Haken Seite | Fläche | Fläche m neues Quadrat Fläche | Seite 1 2 1 4 3 5 4 8 2 3 3 4 8 16 7 9 16 25 4 5 49 64 81 100 121 144 169 7 8 9 10 11 12 13 5 25 11 6 7 8 9 10 11 12 36 49 64 81 100 121 144 13 15 17 19 21 23 25 36 6 Die Auswertung der Tabelle zeigt : Die Tabelle kann durch Addition fortgesetzt, das Aniegen zur Kontrolie benutzt werden. Die Tabelle kann auf eine Tabelle der Quadratzahlen verklirzt werden. . Das Bildungsgesetz n° + (2n+1) = (n+1)? kann erkannt werden. Es gibt Haken, die einem Quadrat flächengleich sind. Mt 4? +3? = 5? mußauch 3? +4? = 5? gelten. Diese Erkenntnis kann dazu anregen, Haken mit größerer Breite zu verwenden .

Für das Aufsuchen weiterer Tripel ist es von Vorteil, den Haken genauer zu betrachten : Er besteht aus zwel gleichen Rechtecken und einem Eckquadrat der Seltenlänge d. Die Innenselten umspannen ein Quadrat der Seite b, die Aub ten ein Quadrat der Seite b + d = c Abbildung 2 l Wenn der Haken die Fläche A = a? hat, danngita =2bd+d? nn hu... b?+a?=b?+2bd+d?=(b+dY?=c? Man kann also eine binomische Formel ablesen. Ferner erkennt man, daß a? > d?, In den Tabellen 2 wird nach den Hakenbreiten d geordnet. Tabellen 2 2 d=12b=a-1c=-b+1 2 2 |d=2 4b=a-4 2 4b c=b+2 a2bla b _c a la bi 9 813 4 5 16 12 | 4 3 c 5 25 24/5 481 7 49 80|g 81 121 120111 169 168,13 12 24 40 60 84 13 25 41 61 85 36 64 100 144 196 32 | 6 60 | 8 110 96 140 |12 192 114 8 15 24 35 48 10 17 26 37 50 2 2 d=4 8b=a —16 c = b+4 d=8 16b=a-64 c=b+8 a 2 8b|a 64 48| 144 128| 256 240} 8 12 16 2 b c a 6 16 30 10 20 34 144 400 784 16b | a 801 3365| 720; 12 20 28 b c 5 21 45

Diese Tabellen und ihre Erwelterungen lassen viele Zusammenhänge erkennen. Hier sel festgehalten : 1. Zu jedem a23 gibt es mindestens ein ganzzahliges Tripel. 2. c kann nicht jeden Zahlenwert annehmen. Will man dieser zweiten Frage nachgehen, dann kann man von c ausgehen und b aus b = c-d bestimmen. Wenn A= 2bd + d? eine Quadratzahl a? Ist, dann ist a die dritte Zahl. Die Kontrollrechnungen bringen keine weiteren Zahlwerte für c, sie sind zum Telt langwierig, aber nicht schwierig. Einige Ergebnisse sind In Tabeile 3 festgehalten : Tabelle 3 2 b=c-d ce d 5 1 a =d(2b+d) b 4 2b+d 9 13 17 25 29 37 41 53 61 65 65 1 2 1 8 2 1 8 1 2 9 12 15 24 21 35 40 45 60 63 56 3 32 49 50 72 81 98 121 128 121 73 18 55 128 85 85 1 84 8 77 89 9 80 169 162 169 a ? c b 9 5 2304 73 3 12 16 24 21 35 40 45 60 63 56 5 8 7 20 12 9 28 11 16 33 169 | 85 1296 | 85 84 77 13 36 72 899 65 20 1521 | 89 25 72 2 99 18 91 169 200 4225 | 97 400 | 101 113 125 1 8 112 117 225 242 225 | 113 1936 | 125 200 4 25 13 64 17 49 25 400 | 29 144 | 37 81 41 784 | 53 121 61 256 | 65 1089 | 65 97 101 109 a 3600 | 109 55 80 91 112 117 48 39

Wer genau zeichnet, wird auch genau messen. Es fällt auf, daß die Längen der Diagonalen keine ganzen Zahlen sind. Legt man die Quadrate der Flächen 9 und 16 aneinander, ( Abbildung 2 ), dann haben die eingezeichneten Querstrecken ( Rechtecksdiagonalen ) die Länge 6 . Abbildung 3 Für Jede dieser Querstrecken Ist eine Kontrolle durch Flächenvergleich möglich. Dieser Vergleich kann im Quadratraster durchgeführt werden, das Prinzip Ist auch für die anderen pythagoreischen Tripel anwendbar. Abbildung 4 Abbildung 5

Die hier vorgefUhrte Entwickdung setzt sich aus recht einfachen Schritten zusammen : Legespiele - Systematisieren des Anlegens - Festhalten der Ergebnisse In Tabellen - Kontrolle an Zeichnung und Rechnung - Ausbau durch Rechnung. Erst am Ende dieser Datensammlung mag es zu der Erkenntnis gekommen sein, daß fUr alle recht winkiigen Dreiecke die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist Zum Bewels dieser Tatsache Ist dann allerdings ein geändertes Denken notwendig, nämlich die ZuruckfUhrung auf einfache andere Grundtatsachen. Das bedeutet : Obergang vom Induktiven zum deduktiven Schließen. Es gibt Hinwelse darauf, daß zumindest das Tripel 3/4/6 und einige seiner Vielfachen bekannt waren, und daß die zeichnerische Lösung der rechnerischen vorausgegangen Ist: Die Probleme 1 und 2 im Berliner Papyrus 6618 ( BP) 6 Im Moskauer Papyrus ( MP ) LV, 4 Im Kahoun Papyrus ( KP ) befassen sich mit der Summe von Quadratzahlen. Das Zeichen knbt = r wird dabel unterschledlich Übersetzt : Schack- Schackenburg : Nimm die Quadratwurzel daraus Struve : Berechne Du seinen Winkel ( Quadratwurzel 16 ) Griffith: make thou a corner (sqare root of 16) (1}, (3] Ss an el oh Fundstelle BP1, KP, MP BP2 KP, MP BP1 BP2 — 2 1 c NO b NO WN A a Doen Zusammenstellung der Tripel : Eine Gegenlberstellung der Übersetzung ( nach Gillings ) [3], [6] und der möglichen zeichnerischen Lösung am Beispiel des Problems 1 Im Berliner Papyrus 6619 :

"wenn man Dir sagt, die Fläche eines Quadrats von 100 Ist gleich der von zwei kleineren Quadraten. Die Seite des einen ist 2 4 der Seite des anderen. Welches sind die Selten der beiden unbekannten Quadrate ?* Obersetzung Auftrag zum Zeichnen * Nimm stets ein Quadrat der Seite 1. Zeichne zunächst ein Quadrat der Seite 1. Zeichne das andere mit der Seite 2 4. Die Seite des anderen Ist dann 2 4. Muttipilziere dies mit2 4. Es ergibt 2 16, die Fläche des kleineren Quadrats. Zähle seine Fläche aus. Sle beträgt 2 16. Dann haben die belden Quadrate zusammen die Fläche 1 2 16. Mache einen Haken mit der gleichen Fläche. Le Er umspannt ein Quadrat der Fläche 1 2 16. Nimm die Quadratwurzel daraus, das gibt 1 4. Seine äußere Länge Ist 1 4. Nimm die Quadratwurzel aus 100, sle Ist 10. Vergrößere dieses Quadrat auf eine Fläche von 100, seine Seite Ist 10. DMidiere diese 10 durch 1 4, es ergibt 8, die Sette des kleineren Quadrats. Nimm 24 von diesen 8, es gibt 6, die Seite des Zeichne den zugehörigen Haken. Er hat die Innere Länge 8 und die Fläche 36. Das Quadrat dieser Fläche hat die Seite 6. anderen Quadrats." Der Vergleich dieser beiden Vorgänge führt zu dem Eindruck, der Schreiber wolle zeigen, daß man die Zeichnung durch Rechnung ersetzen kann.

Weitere Hinweise : 1. Eine Textstelle in Apastamba-Schulva-Sûtra (lil, 9) [2] "Man fligt das, was man mit der jedesmaligen Verlängerung umzieht, an zwei Selten hinzu und an der Ecke das Quadrat, welches durch die betreffende Verlängerung hervorgebracht wird. 2. Das Agyptische Längenmaß Remen : * a doubie-remen was the length of the diagonal of a sqare whose side was ons cubit [3] 3. Die Verwendung von Maßstäben bel der Vermessung von Innen. und Hofräumen ( Hesekdel 40,3,5. . Offenbarung des Johannes 21; 15,16) 4. Bel den Indern findet man Zerlegungsbewelse zum Satz des Pythagoras 5. Die Winkelgenauigkelt bel den Pyramiden ohne Verwendung von Winkelmaßen. 6. Meyer-Christlan hat in den Plänen von Lauer vom Djoser-Grab 16 pythagoreische Dreiecke nachgemessen, von denen sind 8 primitiv oder auf primitive zurückzuführen. Die zugehörigen 8 Tripel sind In Tabelle 3 erfaßt Literatur : [1]}Kurt Vogel : Vorgriechische Mathematik, Telt 1 Hermann Schroedel Verlag 1959 ( S. 34, 67, 84) [2]Oskar Becker-Jos. E. Hofmann : Geschichte der Mathematik Athenäum Verlag 1961 S. 40 [3]Richard J. Gillings : Mathematics In the time of the Pharaos. Dover edition Mineola N.Y. 1982, 161-162, 216 [4]Kuno Flad : Mathematik Band 1 Verlag Morttz Diesterweg 1952 [5]W. Meyer-Christian : Pythagoras in Ägypten am Beginn des Alten Reichs. Mitt des Deutschen Archäologischen Instituts Abt. Kairo Verlag Philipp von Zabern Band 43 ( 1987 ) 195-203 [6)Cella Bibé : Les Egyptiens ont ils été pré-Pythagoriens ? Göttinger Miszellen 1988 Heft 106 S. 7-14. St D 1A. Kart Heinz Fritsch, Frfedberger Anlage 20 6000 frankfurt arm Main 7 Marz 1989