Die Zahlen in Platonischer und Aristotelischer Auffassung

Sinudue, Die Zahlen in platonischer und \ ae a rm DIE ZAHLEN IN PLATONISCHER UND ARISTOTELISCHER AUFFASSUNG - Ernst Bindel ber den Ursprung des Zahlbegriffes ist von seiten der Philosophen und Mathematiker viel nachgedacht worden. Dutzende von Namen könnte man da allein aus der Neuzeit aufzählen; es seien nur die bekanntesten genannt: Hobbes, Descartes, Locke, Leibniz, Newton, Berkeley, Kant, Herbart und Mill. Ihnen folgten mit einem neuen Einschlag gegen Ende des vorigen und mit Beginn dieses Jahrhunderts Boole, Frege, Dedekind, Hilbert, Klein und der noch lebende Russell. Sie alle haben um das Verständnis des Wesens der Zahlen gerungen und dabei, soweit es sich um die Mathematiker handelt, Großartiges zutage gefördert. Nur eines ist keinem von ihnen gelungen, die Zahl dem Banne des (Quantitativen zu entreißen, sie auch an dem Bereich des Qualitativen teilnehmen zu lassen — mit einer Ausnahme. Sie ist durch eine Äußerung von Leibniz gegeben, die sich in seinem Brief an den russischen Justizrat Goldbrach findet: »Die Musik ist eine verborgene arithmetische Übung der Seele, die dabei nicht weiß, daß sie mit Zahlen umgeht. (Musica est exercitium arithmeticae occultum, nescientis se numerare animae.) Die Seele vollbringt nämlich vieles in unklarer und unbemerkter Erkenntnistätigkeit, was sie mittels deutlicher Wahrnehmung nicht bemerken kann. Denn es sind diejenigen im Irrtum, die meinen, es könne nichts in der Seele geschehen, dessen sie selbst sich nicht bewußt werde. Wenn daher die Seele auch nicht merkt, daß sie rechnet, so fühlt sie doch die Wirkung dieses unbewußten Rechnens, sei es als Freude am Zusammenklange, sei es als Bedrückung beim Auseinanderklange (in dissonantiis).« Mit diesen Sätzen wird die Brücke vom Quantitativen der Zahlen zu ihrem Qualitativen geschlagen. Es kann zur Überraschung gereichen, daß diese in der antiken Welt vorhanden gewesen und beschritten worden ist. Es ist in der griechischen Antike das unbestrittene Verdienst von Pythagoras, hier vorangegangen zu sein. Seine Lehre fußt auf der Erkenntnis, daß das Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also ein Quantitatives, erst dann in seiner vollen Bedeutung hervortritt, wenn es vom hörenden Menschen ergriffen 238 aristotelischer Auffassung . De lverhältnis zweier Töne enthüllt wird und sich als das Interval a ee tilian ın seiner Schrift »De einem Bericht von Aristides Quin d nor on es das von ihm erfundene er sich beim Herannahen des Tod er in den Weltenlogos durch ein reichen lassen, um sein Eingehen h e n. eite Zahlenlogoi würdig vorzuber über die tönend gewordenen “ en. hagoras habe dadurch bekunden Berichterstatter fügt hinzu, Pyt tin a ng htu e der musikalischen Betrac daß die letzte und höchste Stuf Bene uns den sinnlich wahrnehmbaren Tönen, sondern in der idealen yon nem jüngst erschienenen Buch >} der Zahlen zu erfassen sei. In mei beeit und Legende« habe ich mich oras, Leben und Lehre in Wirklichk rt sechsten vorchristlichen Jahrhunde . äht, das Lebenswerk dieses im wie , schildern und begreiflich zu machen lebenden großen Eingeweihten zu ere " e sein g des Zahlenwesens alle aus seiner vertieften Auffassun R en sind. »Die Zahlen des A großen Leistungen hervorgegang < a ilt urte s ndig zu verstehen«, sind gewiß nur aus der Musik lebe Ir m Abhandlung »Beethoven« vo Wagner in seiner tiefschürfenden g Einsen zu verstehen, bleibt einseiti 1870. Sie als bloße Anhäufung von iedigend. sr ischen Zahlbehandlung wurde De ehe Erbe der pythagore n os nem Plato übernommen. In sei mehr als hundert Jahre später von om ühmt gewordenen Sätzen, jo Timäos begründete er in drei ber h " »Die Zahlengrundlagen der mentierung sich in meinem Buch A ammenhang mit der Zahl eine Wandel der Zeiten« findet, im Zus en demie abhängigen DEN gestaltung, die den von der Aka usikin die von Boethius, dem letzten zur Richtschnur wurde und bis e ten fünf Bücher »De musica« r schriftsteller des Altertums, verfaß absoluten Kanon ab, den das a ni reichte. Sie gaben in der Folge den runde is der antiken Musiktheorie zug ländische Mittelalter seiner Kenntn ne des bebt hatte, wurde von ihm im Sin rc Plato von Pythagoras erer n um es zu besitzen, wurde im e kannten Goethewortes erworben, “ enen Ideenlehre auf eine BN menhang mit der von ihm geschaff > er : Stufe emporgehoben. Darüber sind wir genauer unterrichtet . gehüllte pythagoreische Ge “ ve schon in mythisches Dämmerdunkel Iıners en aus der Zeit seines Mannesalt In seinen überkommenen Dialog

her Auffassung den sich zunächst nur Hinweise auf das, was er erst im Grei l vollen Deutlichkeit erhob. Es geschah in seiner Altersvorlesun 2 »Uben u Ziute« (pen agathon), die unveröffentlicht blieb und von der un . cc BER ve sie angehört haben, Als was enthüllt e si die ahl? Als dasselbe Wesen, das sich seiner Gei | Idee, als Eidos manifestiert hatte! Was in augenhaf j Bar ihm als Ideenwelt aufgeleuchtet hatte erschloß Ich nme a einlauschen nun an als a Zahlenw Zah elt, und so ‚Bar kam Piato ın in seinem sein Aloe dan Alter dazu. len«, den arithmoi a fiieren "nd von den »Ideenz al N Eu dieses Einmünden der platonischen Ideenlehre in die pythagor ee ? a lenlehre verstehen, so muß man sich vorerst darüber aufklä nes für geistige Gebilde Platos Ideen waren. Würde man es in einer An ne ausdrücken, so könnte man sagen, die Idee sei das Ichglied, die Temsub un nes den Wesens der vier Naturreiche, von Stein, Pflanze. een Mensd r icht bloß dem Menschen ist das eigen, was sein innera aus acht en in dem Wörtchen Ich sich kundgibt, sondern auch ne ner ihm befindlichen Naturreiche, nur daß ihr Ich, wenn oa un unten ei auf em Wirklichkeitsplänen als sogean r 1 n ist. Der Mensch verfügt als ei dividuum über ein Ich, wogegen dasselbe bei Stein Ph a nl Bi Pr tung, für die Art existiert. Plato wählt als Beioriete Kür Ida on ehe che Tatbestände wie die Idee des Guten oder die Idee an 5 Fa . Danach damit in u Sphäre des menschlichen Ichs. een auen auch bis zum nächsthöheren WirkFi an und findet dort die Gruppen-Iche der Tierwelt, z.B. die Idee Mi . ce dab das ‚Eidos als die Ichstufe jedes Wesens der vier DRG g Bi at, hängt es offenbar zusammen, wenn Plato einem een Fido: vier Eigenschaften zuschreibt, die in prägnanter Weise d r“ niörmigen Aufbau der Naturreiche vom Stein aufwärts bis zum e ” nen Syiedergehen, nämlich Bewegung, Leben, Seele und Vernunft . WE n im Dialog Sophista: »Aber wie, beim Zeus! Sollen wir uns ıch überreden lassen, daß in der Tat Bewegung, Leben, Seel Vernunft dem wahrhaft Seienden gar nicht zu eigen sind? DaB es der 240 heilig, ohne Vernunft zu haben, unbe jebe noch denke, sondern hehr und leug daß es Vernunft habe, jedoch weglich stehe? Oder sollen wir bejahen, wohne r sollen wir sagen, dies beides nen, daß es auch Leben besitze? Ode hätte beides nicht in einer Seele?’« ihm zwar ein, nur meinten wir, es es unterliegt der Idee« mit dem Nun verschmolz das platonische »All pythagoreischen »Alles nimmt an der Zahl Wie ist diese Gleichsetzung zu fassen? faches Verständnis suchen, indem wir teil« zu einem Einheitlichen. Wir wollen hier für sie ein zwieeinerseits den Schilderungen nachdes Schauens und Lauschens Begabte gehen, die andere mit der Fähigkeit gegeben haben, andererseits aber von dieser Doppelnatur des Seienden en, so, wie es nun einmal geworversuchen wollen, uns mit unserem Denk len heranzuahnen. den ist, an das Geheimnis der Ideenzah n, den der Dichter und Arzt JustiDa kann man auf den Bericht verweise rin von Prevorst sorgsam aufnus Kerner über das Innenleben der Sehe nn des vorigen Jahrhunderts lebte gezeichnet hat, jener Seele, die im Begi seinem Weinsberger Haus und und litt. Die Seherin lag längere Zeit in rsten bewegte. Man darf sie als hat ihm anvertraut, was sie in ihrem Inne istisch über ein längstvergangenes, einen Menschen betrachten, der anachron ügte, Kerner erfährt von ihr die nicht mehr zeitgemäßes Bewußtsein verf hmungsorgans, dessen Sitz von Konfiguration eines übersinnlichen Wahrne e. Sie schildert es in allen ihr in der Gegend des Herzens gefühlt wurd einer Teil von ihr als ein zwölfEinzelheiten als ein Doppelgebilde, dessen e, dem sie den Namen Sonnengliedriger Kreis oder Ring empfunden wurd eren sorgfältig unterschieden, kreis gab, wogegen der andere Teil, vom erst am besten ihre Kennzeichnung den Namen Lebenskreis erhielt. Man gibt er: beider Ringe mit ihren eigenen Worten wied n, sehe ich einen ebenfalls großen Ring liege Unter dem großen Ring (Sonnenkreis) Kreis en Dies ist und ı13!/a Abteilungen hat. der aber doch um etwas kleiner als jener ern nicht so auf den Nerven laufend, sond und jenen wie als er fühle ich nicht so schw da® , etwas sitzt aber es Kreis s diese nkt Mittelpu ‚wie Luft, wie Geist in mir liegen. Im liegt, Welt diese el nzirk Sonne im Wie . Geist der Zahlen und Worte setzt, und das ist in andere, höhere; daher die Ahnungen, die so liegt in diesem Lebenszirkel eine ganz ren Ring, dem ren Welt liegen. Wie auf dem äuße einem jeden Menschen von der höhe chen der zwölf Abteilungen mit gewöhnli Sonnenring, ich meine Gefühle von jeder ch deuts sie ich dem diesem inneren Ring, von Worten aussprach, so sehe ich sie auf ch zuglei sind zeichen Schrift Die . n stehen auf den anderen übertrug, als Zahl und Zeiche aus. ung Rechn meine ging . .. Ringes n innere auch Zahlen. Von dem Mittelpunkt des Antaios IV - 18

zu reden, der ewigen Idee, die Diese von ihr in geheimer fortwährender Selbsttätigkeit vollzogene Rec nung bestand in einer andauernden moralischen Bilanz. Es verma nn gleich zu erschrecken und zu erheben, da von einem wissenden Menschen Hier, im letzten Satz, wird, um mit Plato zu erfahren, wie sich in unserem Innern etwas auswirkt, das derj h en Tätigkeit, die wir im täglichen Leben nüchtern, zuweilen widers Sek Für den in geistigen Welten Wahrnehmenden ist handhaben, dem Rechnen, den göttlichen Sinn zurückgibt. Wie et w diese innere Rechnung? Die Seherin spricht da von drei Ringen, aus der n das Zentrum des Lebenszirkels bestehe. Von dem äußersten sa t sie n daß er die Grenze des Geistes darstelle, der im Zentrum des Lebenskr ic seinen Sitz habe, und von dieser Grenze weiß sie zu melden: u Da sche ich die Zahlen, von denen meine Rechnung ausging, ich sehe immer die Zahlevo m ne Zah und zwar der Zehner, ist eine beständige bei jedem Menscher uglei ie irdische Zahl, vermittelst welcher der Geist in di | kann. Die zweite Zahl, R der Sieb enzehner, niist keine ine beständig beständige a x uijae Menschen verschieden s sein, , ist st ab er abe. zugleich j je innere Zah:a die und die himmli a ische. heden j Beide Zahlen sind aber immer vereinigt in der Rechnung, die das Himmlische und das Trdische zuge ech Ist es aber etwas, das nicht vom Irdischen stammt, so genügt zu a Dun schon Fi ae Zahl. Beide Zahlen sind zugleich auch Grundworte in n, die jedem Menschen eigen ist, ‚ lie liegt das Grundwort für ü d | 1 Mensch und für sein Verhältniss als Mensch zur Außenwelt. In den als Pr Br jedem Menschen wieder eine andere sein kann, liegt das Wort der Bemmanı iesen einzelnen und dessen inneres Leben, das er nach dem Tode mitnimmt Er .. . . " T d In diesen letzten Worten wird die Identifikation von Zahl und Idee des einzelnen Menschen geradezu greifbar. Die Seherin fährt dann gleich tröstend fort, man solle aber hierin nicht den Glauben legen, daß ein Mensch, der Böses tat, durch seine Grundzahl schon im voraus dazu be. stimmt worden sei; sie verhindere in ihm nicht die Wahl des Bösen der Guten. Die Schilderung schließt mit den bedeutsamen Sätzen: u a ajede ne jedem bösen Wien. Gedanken dem Menschen auch eine a : re des Menschen notiert das, der Geist, ichts en tur as und nach dem Erwachen im Mittelreich (nach dem Tode) wo un Gerade o Io dasteht wie ich jetzt ..., liegt dann alles klar vor einem und hen Ale ee A est des Menschen Richter. Es ist mir auch, als hätte jeder Mensch PR 2. eburt an in sich und auch solche Zahlen und solche Sprache, aber n und Sprache sind nicht bei allen gleich. Ich meine, solche Ringe gehen durch die , ganze Schöpfung, von deren durch alles,, was da lebt und webt, durch die ganze an. AnfangNatur, I 242 .. , . .. . “ Fr . Auffassung beigesellt, die jedes unter iedem Menschen zugrunde liegt, die ewige Idee t. dem Menschen stehende Naturwesen überstrahl die Rolle, welche die tlich. Ein Beispiel lieferte Zahl in der Ideenwelt spielt, einigermaßen ersich nus Kerner berichtet hat. im Vorigen jene schlichte reine Seele, von der Justi Försterstochter eine gesunde Ihre Schauungen begannen, nachdem sie als salters, im 2ı. LebensJugend verlebt hatte, bei Beginn ihres Mündigkeit n Ende ihr Leben verjahr, und dauerten genau ein Jahrsiebent, an desse losch. Wie ist nun aber dem bloßen Denken, wie es uns heute innewohnt, der iflich? Da die Denkkraft Zusammenhang zwischen Idee und Zahl begre dämmerhaften Hellsehen entsich aus einem ursprünglich vorhandenen hellseherischen Kräfte wickelt hat und somit eine Metamorphose jener bildet, muß sie ebenfalls einen wenn auch vielleicht nur indirekten und zahien haben. Man kann, verblaßten Zugang zu dem Geheimnis der Ideen im Sinne Platos gehaltene um das Einlaßtor zu finden, etwa folgende ihr begriffenen Wesen Überlegung anstellen. Jede Idee gibt dem unter Sinn. Das geistige Wahrder Sinneswelt seinen geistigen Namen, seinen en ihn in seiner Abschatnehmen schaut ihn als Eidos, wogegen das Denk indung von Idee und Betung zum Begriff erlebt. Aus dieser engen Verb als Begriffe des Dengriff erklärt sich auch die übliche Deutung der Ideen Stufe der Ideenschau kens. Für denjenigen, welcher sich noch nicht zur von der Höhle, in die der erhoben hat, prägt ja Plato das berühmte Bild keiten eingeschlossen sei Mensch mit seinen gewöhnlichen Erkenntnisfähig igen Wirklichkeit zu und in der er nur mit den Schattenbildern der geist Denken sei nur eine Art tun habe. Der Umgang mit den Begriffen im , die sich im Ideenreich hinter Widerschein, ein Schattenwurf der Vorgänge denkende Handhabung der seinem Rücken abspielen. Wie geht nun die t in verschiedenen DialoBegriffe vor sich? Plato kommt auf diesen Punk esis, der Begriffsspaltung, gen zu sprechen, indem er ein Bild von der Diair ere Unterbegriffe auf, hinzeichnet. Da teilt sich ein Oberbegriff in mehr ß das atomon eidos, der und diese gliedern sich weiter, bis zum Schlu einem Oberbegriff hinIndividualbegriff, herauskommt. Jedem Weg von ge, im Wesen des Ausunter zum Individualbegriff ist eine gesetzmäßi

telischer Auffassung gangsbegriffs begründete Anzahl von einzuschaltenden Zwischenglied immanent, wenn anders das Denken objektiv bleiben soll. Ein Bei ne mag diese vielleicht bis jetzt noch unbestimmt erscheinenden Ausführen. gen stärker konturieren. Plato liefert ein solches im Dialog Phil be I der Diairese des Lautbegriffes: i N Nacht men Nachdem ei von Kr i göttlicher öttli Mensch die Stimme in ihrer Unendlichkeit a an eypien eine Sage geht, die behauptet, dies sei ein gewisse: oh gewe on a zmersı Fi el stlaute in diesem Unendlichen nicht als einen, sondern a en erkannteund © a wiederum andere, die zwar nicht am Laut, sondern a an wunsch kelhe n, N denen es gleichfalls eine bestimmte Anzahl gibt, BR ine Seine Fi von Buchstaben unterschied, die von uns stumme FAR Fark vn © er iese alle bis zu jedem einzelnen, bis daß er die Zahl a une Koruppe und se smdhch Buchstaben nannte. Da er sah, daß keiner vor, a an Krsich b sondere ohne sie alle verstehen könnte, erfaßte er denkend IR i gleich als alle diese irgendwie zur Einheit Bringendes und n Gegenständen zugeordnete Wissenschaft Grammatik. Hier liefert also Plato eine Unterteilung des Begriffes Laut in eine Dreiheit n1 pstauten, Mitlauten und stummen Lauten und gliedert jede Unter- De ung in eine bestimmte Anzahl von Individualbegriffen, so daß die resi des Lautbegriftes bei einer bestimmten Anzahl jeder der drei upper endiet Diese im Wesen des Lautbegriffes liegenden Zahlen sind nenne ıinhärent. Hin In solchen Ausführungen und Beispielen eispielen ist schon eine 1 verg auf das enthalten, was da Platos man LebenAnke haben den Inhalt seiiner Vorlesung or über die ee JIdeenzahlen Id en aan gebildet i . Implizite steckt bereits in den Dialoge 1zi ın seiner Altersvorlesung zum Vorschein kam Ben was dann enpliie Buna. Fri die Art und Weise zurück, wie Plato das Zahlenwesen in eltbild einreiht, so kann man zu dem Eiindruck gelangen, daß nach einem so grandiosen Höhenflu g keine i j weitere Steigerun ai hr mögli war, ja daß es weltgeschichtlich no twendig werden k E nf feieine Weile i diese erhabenen : ‚nen Höhen ?zu verlassen und die Zahl der Wen Fü Weltelt für für ih ihreoh physe zurückzugeben. Diese Mission sieht man Aristoteles roßenN HE üler, übernehmen. Er durchlief ef im Vergleich zu seinem i gegengesetzter Entwicklung; darauf hat der jü storbene Gräzist Werner Jä ger ın i seinem Buch »Aristoteles, Aristoteles. GGun.legung einer Geschichte seiner Entwicklung« aufmerksam gemacht Aus B D 244 , . * " eifen einer göttlich-geistigen Welt teles bewegte sich vom ahnenden Ergr eswelt und ihrer begrifflichen Durchinunter zur Wahrnehmung der Sinn den Prinzipien. Der jüngere Aristodringung in einer Wissenschaft von en seines Lehrers. In seinen späteren teles wandelt noch mehr in den Spur des alten Jahren geht er mehr und mehr dazu über, gerade das Werk e geistige Höhe sich von dem nach Plato zu bekämpfen, das durch sein Aristoteles unüberbrückbar distanabwärts verlagerten Standpunkt des nschafziert hat. Eine Eroberung der Sinneswelt rechnet mit anderen Eige durch das Hinauftreiben der Zahlen ten der Zahlen als denjenigen, welche Daher wandte sich Aristoteles, der ins Spirituelle erlauscht werden können. g Platos »Peri agathon« angehört als junger Mensch noch die Vorlesun hatte, mit aller Heftigkeit, aber enigen, auch mit der Überlegenheit desj durchdrungen war, gegen die platoder von der Wichtigkeit seiner Mission setzte an deren Stelle dıe Auffasnische Lehre von den Ideenzahlen und chartiger, durch die Rechnungssung der Zahlen als "grundsätzlich glei equenz hat, daß der eigentliche arten vereinbarer Gebilde, was zur Kons ammenfassung einer entsprechenSinn jeder Zahl von nun an in ihrer Zus den Anzahl von Einheiten, besser - Einzelheiten zu suchen ist. Der Zahl alitäts-Charakter jeder Zahl, ihre begriff Platos, wo mehr der Individu den Zahlen jene Nüchternheit, ohne Eigenwesenheit betont wurde, nahm ihnen die Aristoteles sich ein Rechnen mit den Zahlen, einen Umgang mit nach seiner Überzeugung zu einer nicht denken konnte, und steigerte sie enheit ihre gegenseitige rechneHöhe hinauf, wo sie vor lauter Eigenwes hr waren. Die Ideenzahlen seien rische Vereinbarkeit zu verlieren in Gefa dem Wege zu einer klaren Erfasdem Nichtschauenden ein Hindernis auf rmauern, trug Aristoteles alle mögsung der Sinneswelt. Um dies zu unte Nichtschauende mit gutem Recht lichen Einwände zusammen, die der hen kann, Einwände, die in ihrer gegen die Lehre von den Ideenzahlen mac nung der platonischen Lehre polemischen Form zuweilen einer Verhöh sik«: »Wenn die kleinere Zahl gleichkamen. So heißt es in seiner »Metaphy indem erstere aus den zusammenals Teil in der größeren enthalten ist, der letzteren enthalten sind, so gefügten Einheiten besteht, die auch in de enthalten sein, falls der Mensch wird der Mensch auch als Teil im Pfer und die Vierheit selber die Idee eine Zweiheit (als Zweifüßler!) bedeutet von irgend etwas, etwa die Idee Pferd... darstellt.« Mit solchen Argu-

menten bringt Aristoteles seinen eigenen Zahlenaspekt mit dem platonischen zu einer widerspruchsvollen Vereinigung und läßt seine Kritik in dem Urteil gipfeln, daß die platonische Lehre ein »Abgrund von Geschwätz« sei. Man würde jedoch fehlgehen, zu meinen, daß dadurc h seine Verehrung des Lehrers seiner Jünglingsjahre eine Einbuße erlitten habe: Amicus Plato, magis amica veritas! Krücke anderer Es braucht wohl kaum besonders betont zu werden, daß unser heutige r Zahlbegriff im Anschluß an den aristotelischen entstanden ist. Die Zahlen haben in der üblichen Auffassung ihr Schwergewicht darin, eine Summe von Einheiten zu sein, und so erklärt es sich auch, daß die Reihenf olge I, 2, 3,4, 5... als die einzig mögliche erscheint und den Namen »natürliche Reihe« erhalten hat. Jede Zahl erhält ihre Bedeutung allein aus ihrer Stellung innerhalb dieser Reihe und antwortet nur noch auf die Fragen, »wie viel« und »wie groß«, aber nicht so sehr auf die Frage »wie beschaffen«, die nur noch in Rücksicht auf ihren rechnerisch-quantitat iven Zusammenhang mit anderen Zahlen der Reihe gestellt wird. Die Spiritua lität alter Zeiten legte auf die einzelne Zahl als ein auch für sich bestehe ndes Wesen von bestimmtem geistigen Gehalt noch besonderen Wert, so daß ihr Sinn aus ihr selber erfaßbar ist, ohne daß es dazu der Zahlen bedurft hätte. Hand in Hand damit ging das Bestreben, sie durch eine ihr allein zukommende Figur zu verdeutlichen und dieselb e sinnbildlich zu verwenden; man denke nur an die Bedeutung des Pentag ramms im Orden der Pythagoreer. Im Grunde erschien jede Zahl als eine besondere Form der allumfassenden Einheit, deren Würde nicht dadurc h angetastet werden durfte, daß man sie in die Eins am Beginn der natürlichen Zahlenreihe verwandelte und zur bloßen Einzelheit erniedrigte. Ja, war nicht die Einheit selber noch nicht Zahl, sondern der Mutterschoß, aus dem sich die Zahl erst gebar? . Man führe sich einmal denjenigen’ Zustand vor Augen, wo das Bewußtsein des Menschen für die Zahlenwelt noch nicht aufges chlossen war. Ein solcher war wirklich vorhanden und klingt noch heute bei jedem Menschen in einer gewissen Epoche seiner frühen Kindheit nach. Da fühlte der Mensch sich noch in einer ihn umfassenden Allheit geborgen. Es gab für ihn noch keine abzählbaren Gegenstände. Eine solche grandios ein246 Die Zahlen in platonischer una arıstu.usurı sam —. o Sein, im indischen Rigveda zu schildern ver- Damals war nicht das Nichtsein noch das 5 ame Stufe des Al-Ein-Seins wird sucht Wo war der tiefe Abgrund, wo das Meer? kein Luftraum war, kein Hımmel drüber ‚her. = ein? Wer hielt in Hut die Welt, wer schloß sie Nicht Tod war damals noch Unsterblichkeit, nicht war die Nacht, der Tag nicht offenbar. _ Es hauchte windlos in Ursprünglichkeit das Eine, außer dem kein anderes war. (Aus Deußen: Geheimlehre des Veda) darin, daß das All-Eine in Der Fortgang der Entwicklung bestand der ‚ei- rach. u nd se h, ent-zwei-b Gegensätze, in Polarıtäten auseinanderbrac chenseele bestandin dem Au Lewußtseinsmäßige Widerschein in der Mens der Zieh en kommen des Zwei-fels, in der Ausbreitung Zahl entstan En “ en Jen gegangener Ein-tracht. Als wirklich erste erst möglichen . Ba Ur-teilung der Allheit. Der Aspekt der nun schau auf die ver or IE ein dop pelter: einerseits vermag sie die Rück hem sie in dem Wort »all-eın«, heitsstufe anzud euten, in dem Sinne, in welc wird sie zum Bilde der nun ‘a sogar im »Sein« zu finden ist, andererseits stücke der hen in der Zwei vorhandenen Einzelheiten, der Bruch die Zahl im menschli e Blickt man auf den Schicksalsweg zurück, den ll das a " Bewußtsein gegangen ist, so kann man, spezie hen erscheint ne - n a Auge fassend, sagen: Platos Schauen und Lausc demhoit dem . Aristoteles olt ' ite des Qualitativen der Seite v ießlich ch von fast ausschließli mit gew oliter Einseitig gegenüber zu einem Gegenschlag aus und blickt tativen Chara kter der Zahl. N auf den quantitativ keit heutzutage die He Bis zu welchem Grade aristotelisches Denken zeigt. Fr ispiel auige bezei1 chnenden Beispi i e Zahl gefangennimmt, seıi an eınem der m Wiederdruck eine vergessene : i en Jahren im erschien vor wenig Professor Gottlob Frege hun aus dem Jahr 1884, die von dem Jenenser , eine Fa e unter dem Titel »Die Grundlagen der. Arithmetik, . verfaßt .wurde. Fr Be tische Untersuchung über den Begriff der Zahl« seinen Vorgängern ausein setzt sich in der ersten Hälfte der Schrift mit l etwas auszusetzen; eın ander und findet an ihrer Stellung zur Zahl überal

Ba in die Antike kommt für ihn dabei nicht in Betracht. In der zweite ä te gibt er seine eigene Weisheit in einer Reihe von Definition d. aufeinanderfolgenden Zahlen o, 1, 2,3 ...; es heißt da: m ı) Die Anzahl, welche dem Begri i FRE i griff »sich ’ sich selber ungleich es gibt ı nichts, das ha. selbe r ungleich« zukommt, ist die Null: den: 2) Die i Anzahl, A , welche dem Begri griff oder Prädika idi t »gleich der einzige Gegenstand, dem das Prädikat »gleich kn i i amt vn denn os 3) Die Anzahl, zahl, welche dem Begri griff der Zahlenfol; in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar a eo 1 zukommt i , beach or 4) Die Anzahl, zahl, welche dem Begri griff der Zahlenfol is in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf Bi 1a make, Bez; dh fol Al gemein: in: Die Di Anzahl, welche dem Begriff i der mit o beginnenden und mit a endende n natürlichen Zahlenrehe zuk ommt, folgt in der natürlich man ürli en Zahlenreihe unmittelbar Re ganze Dürftigkeit einer solchen Betrachtungsweise aufzud ecken ii eepie weise der Blick auf die im Grunde erste Zahl die Zahl 2 gevn hr verörpert sich die Geste der Polarität, des Gegens ätzlichen m ang n angedeutet, weiß das der Sprachgeni genius ganz genau. Wo sie e nicht nicht Ba ge Anzahl waltet, , bildet sich ei n echtes Paar, echt deshalb wei ein solches nicht ohne einen Gegensatz denkbar ist. Wenn zwei Men. en ein echtes Paar sein wollen, muß bei aller Übereinstimm ung auch er was Gegensätzliches zwischen ihnen walten. Sonst hat man es bloß mit Ma Kopie, einer zweiten Auflage, einer Verdoppelung zu tun. In welche Tiefe iefen man mit der Zweiheit hineinlote t, wird i erst offent } ihre innere e ; Gestik stik nicht bl oß denkt, denkt, sondern hörbar zu sicheorech sprechen en läßt. I. Er begründet ja in der Musik die Oktavverwandtschaft der Töne. ohne nn ver Musizieren unmöglich wäre. Über das Wunde r der Oktave aben siche en Pann die Musiker als Begründer einer 1 hörbare ö n n Zahl Zahlenweisheit isheit impruches von Leibniz schon immerer ihre Gedank ch so z.B. August Halm. . Er sa gt: »Den 1. Oberton eines Grundons, die i so. € , .. . . > ’ genannte Oktav, , hören wir als verjü erjüngten Grundton. N a i Grundtona u C, so e müss en wir i den ı. Oberton als wieder wieder e ein n ei C, als ein an, ob a . Dieses »wiede de:r das Erste«, , dies es >ein anderes Daselbe< ist ein Wunder, und somit ist die ganze Musik ein Wunder.« Er fährt dann wiederholendnd und bekräf äfti tigend fort: »Diese i s seltsame »So248 . eu, nein! es ist wohl als auch: von Gegenteiligem, von Neu und Nichtn lich undenkbar. Nichts nicht nur nicht denknotwendig, sondern recht eigent spruch, in den anderes als eben ein veritables Wunder ist dieser Wider burt unter den Oberschon das erste physikalische Geschehnis, die Erstge nielehre habe ich tönen, unser Wahrnehmen verwickelt. In meiner Harmo behandelt; sie ist die Oktave als die sublimste, bestverhüllte Dissonanz die Oktave in den eine logische Dissonanz, genauer gesagt.« So ist also pannt. Der Logiker logischen Gegensatz Identität-Nichtidentität einges im Menschen könnte sich nur für eines von beiden entscheiden. Wiege der kaum geborenen Musik von »So ist die zwei bösen Feen umstellt, und unwahrscheinlichdas göttliche Kind entrinnt, wie im Märchen, auf dem unerlaubter Prozeß, sten Wege den Gefahren: der Widerspruch, ein ganz volle Begriff »sich ist ihr guter Geist.« Hier regiert also der widerspruchs Realität. Wenn man selber gleich und ungleich« und wird zur tönenden nur dann erklingt, wenn dann noch weiß, daß zu einem Ton die Oktave n die Schwingung die schwingende Seite halbiert wird und infolgedesse doppelt so schnell erfolgt, dann tritt einem die Zahl Zwei sowohl als beweist, daß Quaninnere Geste wie auch als bloße Anzahl entgegen und inbare Gegensätze tität und Qualität im Gebiete der Zahlen nicht unvere der Wirklichkeit sind, sondern daß jedes von beiden nur die eine Hälfte bildet. genden Einheit Die Würde, welche zumal der Grieche der alles hervorbrin Zerbrechen der beilegte, spiegelt sich in der Tatsache wider, daß er ein man in Platos liest So Einheit in Gestalt einer Bruchrechnung nicht zuließ. es die geschulten Dialog Politeia: »Du weißt ja — sagt Sokrates —, wie in Gedanken Eins Mathematiker machen: wenn einer versucht, die reine zu zerteilen, so lachen sie ihn aus und weisen ihn ab, und wenn du sie ben, immer darzerstückelst, so antworten sie mit Vervielfältigen dersel auch als etwas zeigen auf bedacht, zu verhüten, daß die Eins sich jemals wäre.« An dieTeilen könnte, das nicht Eines, sondern eine Vielheit von . In seinem Buch ser Haltung wagte selbst Aristoteles nicht zu rütteln en diesen für die Waerd »Erwachende Wissenschaft« kennzeichnet van der stand mit den Worten: griechische Einstellung zur Zahl wichtigen Tatbe griechischen Mathematik »Vor Archimedes kommen in der offiziellen daß man sie nicht überhaupt keine Brüche vor. Aber das liegt nicht daran,

kannte, sondern man wollte sie nicht kennen... Brüche verachtete mar. und überließ sie den Kaufleuten. Sichtbare Dinge, so sagte man, seien eeil. bar, nicht aber mathematische Einheiten. Statt mit Brüchen arbeitete mar mit Verhältnissen von ganzen Zahlen.« Dem fügt er das Zeugnis Theon. von Smyrna (um 150 n. Chr.) an: »Wenn die Einheit im Gebiet der sicht baren Dinge geteilt wird, wird sie wohl als Körper verkleinert und in Teile geteilt, die kleiner als der Körper selbst sind, aber der Zahl nach wird sie vergrößert, denn an die Stelle der Eins treten viele Dinge. « | So mögen alle vorangegangenen Betrachtungen wieder den Sinn dafür erwecken, daß die Zahlen ihr Wesen nicht in dem erschöpfen, was gemeiniglich heute unter ihnen verstanden wird. Wenn sie im Altertum wie selbstverständlich als göttliche Wesen verehrt werden, so kommt dieser Haltung das Wort aus Goethes Faust nahe, das der bedeutende Mathematiker Felix Klein bei der Untersuchung des Zahlbegriffs als auf die Zahlen passend heranzieht: Göttinnen thronen hehr in Einsamkeit: cienne “er Neffessung as erde Pylbagere] ,df. Platon um sie kein Ort, noch weniger eine Zeit! ' \ Die Zahlen in platonischer up e. u Dindu/ £E. — Philosoplus, } C'est des nombres, En inte & Aristote qu’il appartint de rendre le nombre au monde des &tre - INDEL E., Dice Zahlen in plafonıscher und aristolelischer Auffassun Antaj g : . 2Intaios N encore path N ment F theorie platenieienne des idees d&boupasse. aan son map du monde, Platon atteignait un sommet qui ne pouvalt exigences physiques. vrday N DER HEILIGE MERCURIUS UND DIE HUNDEKÖPFE EIN BEISPIEL VISIONÄRER KUNST AUS ÄTHIOPIEN George Sandwith s war in der bezaubernden äthiopischen Stadt Harar, die in den Bergen auf einer Höhe von über 1600 m liegt, daß ich den Habesch-Künstler Solomon Balatschaw Damar traf, Ich verstand kein Amharisch, und Solomon war keiner anderen Sprache mächtig. Krieg in Trotz dieser Schwierigkeit und den unvermeidlichen, durch den mich den Jahren 1941/42 bedingten Unannehmlichkeiten malte er für Stil der eine Reihe von Bildern in dem überlieferten ikonographischen alten christlichen koptischen Kirche. Solomon malte in lebhaften Farben dient. auf »Shama«, ein Baumwolltuch, das der Bevölkerung als Kleidung und Einige Jahre nach dem Krieg wurden die Bilder vom Victoriang Albert-Museum in London aufgezogen, und der Großteil der Sammlu in befindet sich nun in der Art Gallery of New South Wales in Sydney Australien. Einige dieser Bilder, darunter auch die hier wiedergegebene Darstellung von St. Mercurius und den Hundegssichtern, haben mythoForlogische, historische und religiöse Themen. Es bedurfte beträchtlicher dem schungsarbeit, um ihre Bedeutung ausfindig zu machen. Ich bin Äthiopienforscher Dr. Edward Ullendorff in Manchester für seine Übersetzungen der Inschriften auf den Gemälden dankbar, und ebenso den Rev. H. Toninello, der früher in Äthiopien gelebt hat und jetzt bei Verona Fathers in London tätig ist, für seine Übersetzung aus Cenullis Libro Etiopico dei Miracoli di Maria. Mit der Hilfe seines Sohnes, eines etwa rojährigen Knaben, konnte Solomon mir verständlich machen, daß es sich bei dem auf dem Bild dargestellten Reiter um St. Mercurius handelt, einen christlichen Heiligen, der mir unbekannt war; das blutige Opfer war Julianus, die beiden Priester, die in der koptischen Kirche beten, hießen Basilius und Gregorius, und die drei Wesen mit den Hundegesichtern kamen aus Axum, der heiligen Stadt Äthiopiens. Es war mir nicht möglich, weitere Einzelheiten zu diesem Thema aufzutreiben, bis ein Hinweis von Dr. Ullendorff auf Cerullis