Pythagoreische Arithmetik

2, È: b) Pythagoreische Arithmetik LL. Die Anfänge der griechischen Mathematik SER | a) Psephoi-Arithmetik Steinchen (wîjgoi) gleicher Form und Größe (rund oder quadratisch) zuin der Frühzeit der griechischen Mathematik gibt es eine merkwürdige. halb arithmetische, halb geometrische Betrachtungsweise, die Figuren aus sammensetzt und daran arithmetische Untersuchungen anknüpft. Schon ARISTOTELES spricht davon, daß gewisse Leute „Zahlen in die Gestalt eines Dreiecks oder Quadrats bringen“ (Metaph.N 5, p.1092b, 11-12); die Einheit (uovés) nennt er „Punkt ohne Position‘ (otıyun &Setos), den Punkt umgekehrt „Einheit, die eine Position besitzt“ (koväs Séoiv Exovoa). 1 Quadratedhlen, Heteromeke und Dreieckszahlen Heteroméken [Zahlen von der Form n (x + 1)] durch ARISTOTELES (Phys. LIL, 4 p. 203a, 13-18) beschreibt die Entstehung der Quadratzahlen und der Hinzufügen von Gnomonen. ,,Gnomon‘ (Zeiger), ursprünglich der senkh) Pythagoreische Arithmetik 41 Arithmetisch bedeutet diese Erzeugungsweise, dal die Quadratzahlen 1. 8+5-3-3, 143-557. 4-4 usw. {Heroméken) (Quadrate) durch Summation der ungeraden, die Heteromeken durch die Summation der geraden aufeinander folgenden Zahlen entstehen. 1+3=2-2, 2+446=3-4,24+4. 648+ 4-5 usw. Heteromeken und somit die Sum- 2.4.2.3. Die Dreieckszahlen sind die Hälfte der men der aufeinander folgenden natürlichen Zahlen: 7 hm 1 1} 6 3 Fig. 7. Droeicekszahlen e 1:2-3(2:3), 1+2+3- pa, 142053049 (4-5) uw. stehen, wurde soeben gezeigt. Führt man Dies stellt sich, mit Steinchen ausgelegt, wie in Fig. 7 dar. Daß durch die Teilung der Heteromeken in zwei gleiche Teile, geometrisch durch die Zerlegung der sie versinnlichenden Rechtecke durch eine Diagonale in zwei gleiche Teile, die Dreieckszahlen enteine ähnliche Teilung der Quadrate durch, so erhält man zwei aufeinander folgende Ireieckszahlen (THON Nmyrn. p. 41-38): z.B. rechte Stab der Sonnenuhr (weshalb kat& yvauova auch „senkrecht zu“ bedeutet), ist geometrisch die Randfigur, die als Differenz zweier Quadrate oder oblonger Rechtecke entsteht. allgemein: Le] 9 © e o o ees o © e . ee eee Fig. 6. Quadratzahlen n° (n Deen? n Heteroméke Zahlen 1 Kai oro! awpnôèv SroteAoüvrar ... (An beiden Stellen entspricht yvoyovı nicht dem mathematischen Sinn: die Gnomone werden um die Bins bzw. um die Zwei herutugelegt, Eins und Zwei sind aber selbst keine Guemone), GUT ds yvopsver tüher!. yvdpovi) Tv Kat’ aùrijv efSdiv eldorroinSevtwv apTtior ti Sepeveov SÈ TrdvTH Gvopotwy. & tori ErepoutKwov, À BU &S maAıv oltia,... STI epi Terpaydvous érretéAouy TH owpndov mpoBécet ... entsprechend 9,25 10, 5: TV Dort tritt die Dyas ausdrücklich neben die Monas, während sie in den von Drers zitierten Stellen fehlt. So 9,17: A povàs altia ..., &meiön ds yv@uoves (überl. yvdpovt) au TreprmStpevor oi éEñs épiSuoi mrepirrot, siBorromuota aùrijs Óvres, zu vergleichen [Iamblichi] Theologoumena Arithmeticae p.9,16-10, 9 (de Falco). 4 (n—-1)--004 3421 n n=1+2+3+4-0+(n-1)4nt für die heteromeken Zahlen. für die Quadratzahlen, nz=1+2+3+--+(n-1)+n+(n- DD+---+3- 2 ordnung, “bei der man von 1 ausgehend bis zu n (dem kaumrnp, d.h. dem Umkehrpunkt) fortschreitet und dann, wie in der antiken Rennbahn wieder zum Ausgangspunkt zurückläuft. Man erhält so folgende Darstellung: p. 75, 25-77, 4) erwähnte und SfavAos. d. i. „Rennbahn“, genannte Anni = + (n-l)n+ + nin +1). = anfängt, die Heteromeken. Dabei ergeben?sich im ersten Fall stets gleich- 44-214 8)4 (84) mit der Eins beginnt, die Quadratzahlen erzeugt, wenn man mit der Zwei Berücksichtigt man, daß die Dreieckszahlen die Summen der natürlichen Zahlen darstellen, so erhält man die folgende von LamBLicuos (im Nieom. Legt man nun sukzessive derartige Gnomone an, so werden, wenn man gestaltete Figuren (eben Quadrate), im zweiten dagegen lauter verschieden 9 oo e + 0 ee o o © © L2 © a eon Le] - e00 16 © e e 20 © 72 è o 9 0 4 0 6 7 o proportionierte Rechtecke, deren Seiten sich wie n zun + 1 verhalten, was für jede Zahl » ein anderes Verhältnis darstellt. 2 3 Außer den bei DreLs-Kraxz (Fragm. d. Vorsokrat. I, 459, löff.. Pythag. Schule B 28) zitierten bekannten Stellen (bes. Aristot. Phys. ITI, 4 p. 203a 13) ist Mal die geraden Zahlen dar. So ist für die Pythagoreer das Ungerade das Symbol des Einen, Sich-Cleichen, Endlichen, das (Gerade das des Vielen. Sich-Wandelnden, Unendlichen!. Fie man sieht, stellen die Gnomone einmal die ungeraden. das andere

IT. Die Anfange der griechischen Mathematik hb) Pythagoretsche Arithmetik Ein anderer arithmetischer Satz, der bei PLUTARCH von Chäronea (Quaest. Allgemein ist in der Tat: conviv. V, 2, 4; 1003 F) und Diornaxr (IV, 38) vorkommt, besagt, daß dus JR BR Be ee Achifache einer Dreieckszahl plus eins eine Quudratzahl eryiht: I Negre) Ls dun 1) 1 2a 7-7 zerfällt in 4 heteromêke Zahlen 3-4 und 1, o 0 olo © o ol oder in 8 Dreieckszahlen 5-(3- 4) und 1. | o 000000 2. Summierung der Quadrate und Kuben 90000000 Schon in einem babylonischen Text, der aller- 0 000/000 Fis. s ak dings aus später (seleukidischer, also helleni‘stischer) Zeit stammt, aber auf ein älteres Vorbild zurückgehen dürfte, findet sich die Summe der Quadratzahlen in der folgenden, ungewöhnlichen Form dargestellt: 1 9 92 9 wiedergegeben ist, sich aber natürlich beliebig verallgemeinern lälit. (Rekon° struktion von J. E. HOFMANN.) e Das große Rechteck enthält insgesamt (14 2n) (1+2-3+---+ n) Steine. Ein I e Drittel davon ist weiß, die beiden anderen Drittel, die jedes aus den Quadraten 1-1, 2:2,3-3.,..n-n bestehen, sind schwarz. Zerlegt man die Quadrate in ihre Gnomone, ® 0000 e LI e o 9-8 I; Fig.9 e 4 wie wir wissen, 1 248503 (1) vi (a) te Denn das ist ja gerade die Anordnung, die sich bei [AMBLICHOS unter dem Namen ,,Diaulos” fand. Sachlich handelt es sich natürlich umdie 2 7 > Drei l n(u : 1) Summe der beiden Dreieckszahlen -5. . . ~ 1 éà . Da nun der Gnomon die Breite n hat, umschlielit er # - n? 8-5. #* Einheiten. zahlen dar, ihre Summe ist aber offenbar gleich dem Quadrat mit der Seite 1+-2+3+...+n. Damit ist der Satz bewiesen. Die erwähnten Beziehungen zu IAMBLICHos machen es sehr wahrscheinlich, daß dieser den Beweis von ALKARAGI schon gekannt hat. Seinem ganzen Stil nach paßt er aber in die altpythagoreische Zeit. “a so sieht man, daß diese, ausgesteckt, in den 3. Das „Epanthem'* des Thymaridas. (lAMBLICH. in Nicom. p. 62, 18) Querreihen der weißen Steine wiederkehren. (Es gibt in unserer Figur, d.h. für n — 4, 4 Gnomone zu 1.3 Gnomone zu 3,2 Cnomone zu 5 und einen Gnomon zu 7 Steinen.) Die Summierung der Kuben, die sich bei den ròmischen Agrimensoren findet, ist sicher KIDAS (etwa zu PLATONs Zeit oder etwas früher) versteht man die foluende Lösung eines Systems simultaner linearer Gleichungen, Es seien n + 1 Unbekannte 2, x,.,...x,und n! I bekannte Gröbien Unter dem Namen émévSnua („Überblüte“) des Pythagoreers Tuyaa- (ty, dz, dy... 4,78 durch die Gleichungen verbunden: Summen ungerader Zahlen folgendermaßen dargestellt werden können: 8 + A Die Gnomone unserer Figur stellen also die aufeinunderfolgenden Kubikden Griechen auch bereits bekannt gewesen. Das weht auch aus einer Bemerkung des NiKOMACHOS (FI, 20) hervor, nach der die Kuben durch 1-1. Vig. 3 10 “ig. und — (nr — 1)n, die ein Quadrat n? ergibt. Diese Formel ergibt sich aus nachstehender Figur 4. die hier für x = 4 r Man umgibt die 1 mit sukzessiven Gnomonen von den Breiten 2, 3,...,n. 1 +248... np? EE En ® beweisen: (In der Figur 10 ist n= 3.) Der Gnomon von der Breite 3 hat z. B. die Länge 1+2+3+2+1=9=3:3 Allgemein ist, o O 0/0 0 00 | WF, auch sonst oft griechischer Methoden bedient, auf figuralem Wege wie folut 0000000 | Fe El 2, 8 ee Das läßt sich nach AL-KARAGI, einem arabischen Matlematiker des 10.--11. Jahrhunderts (val. seine „Al Fakhri” genannte Algebra), der sich 1). Auch dies läßt sich leicht aus einer gfgoi-Figur veransebaulichen: ooololo oo 43 27-7492 11, 64 13 15417 -19... Denn daraus ergibt sich: 134 272.33) 4° -1-:-3:.5.7-9-11:1983:25 -(102,345. 17 19 10? Dann sind die Unbekannten gegeben durch: a) m tee (a, ci da CUS l4) ») — iii& n — ] En de xy uier, Ne NE:

II. Die Anfänge der gricchischen Mathematik b) Pythagoreische Arithmetik Diese Lösung läßt sich durch folgende wñoci-Figur (11) leicht gewinnen, in der n = 4 genommen ist: den Eindruck gewinnt, es habe um jene Zeit (etwa um 400) bereits arithmetische „Elemente“ gegeben. Aber dieser entwickelteren Zahlentheorie, die die fundamentale Methode 45 Ganze horizontale Zeilen der Auffindung des größten gemeinsamen Teilers (.,Euklidisches TeilerVerfahren‘) schon besessen haben muß, ging eine primitivere voraus, die won, En ay 2 oo ‘ol eee we By U sich im wesentlichen auf die „Lehre vom Geraden und Ungeraden“ beschränkt haben dürfte. Diese Lehre wird von PLATON öfter erwähnt, undzwar 300 où LÌ Us Wy ® <> By = Ay Weiße Steine + Schwarze Steine = 1882998090 08 ee A, Le = Ag + 0000000 xx ima 50 Ooie e vie w+ ays à, Fig. 11 s als etwas ganz Bekanntes, vielleicht schon zum Schulunterricht Gehöriges; sie wird von ihm als &piSunTun (ëmiornun), als „Zahlentheorie“, bezeichnet, im Gegensatz zur Aoy1oTikn, der bloßen Rechentechnik. Die Theorie der geraden und ungeraden Zahlen geht zweifellos auf die pythagoreische Arithmetik zurück. Sie hat einen späten Niederschlag gefunden in den Sätzen IX, 21—34 der ‚Elemente‘, wozu auch noch der Satz über die vollkommenen Zahlen IX, 36 innerlich gehört, wie wir noch zeigen Die x ersten Steine sind in allen Zeilen bis auf die erste weiß, die darauf folgenden schwarz: in def ersten Zeile sind alle Steine schwarz. Schwarze Steine: x 2, gi yo By à. Weiße Steine; (5-1) a, Alle Steine zusammen: a, @, + A, -- Uy + (ls. Die weißen Steine sind alle Steine außer den schwarzen Steinen. Das bedeutet, wenn wir statt 5 allgemein n setzen: werden. Es gibt aber auch vereinzelte ältere Überlieferungen, im Fragment B2 des Epicharm, B5 des PHILOLAOS, in PLATOXS „Parmenides“ (143 de), bei ARISTOTELES, Met. M 8, 1084, a4 usw. Der eigentlichen Lehre vom Geraden und Ungeraden sollen einige Bemerkungen über die pythagoreischen arithmetischen Grundvorstellungen überhaupt vorausgeschickt werden, da diese für die mathematische Denkweise des pythagoreischen Kreises sehr charakteristisch sind. Die Eins wurde in frühgriechischer Zeit nicht als Zahl angesehen. Noch EUKLID definiert (El. VII, def. 1, 2) die Zahl (&p19uòs) als „Menge von Einheiten‘ (uovddev TASS), die Eins selbst dagegen als ,,das, wonach jedes Ding eines genannt wird“. Ähnlich soll THALES die Zahl als, ‚Gefüge von n-N)z=sa 1 Asta, tee HAS. 2 3 Einheiten“ (uovdSeav oúorrpa), der Stoiker CHRYSIPPOS dagegen (im Das ist aber die oben angegebene Formel. Die Methode der yijpoi-Figuren ist noch maucher anderer Anwendungen zeichnet haben (IAMBLICHOS in Nicom. p. 11, 2-10), analog der eudoxischen Definition der Zahl als „begrenzte Menge‘ (mAñScs wpiouévov TAMBLICHOS fähig, von denen wir noch einige in Verbindung mit pythagoreischen 3. Jahrhundert vor Christus) die Eins als die ,,Einermenge" (TA 905 Ev) be- 1. Allgemeines 1. c. p. 10. 17), nicht ohne übrigens auf Widerspruch zu stoßen. Von einigen Pythagoreern wurde die Eins als die Grenze zwischen den ganzen Zahlen und den (echten) Brüchen angesehen. Auch die Zwei wurde mitunter nicht als Zahl erachtet. ([IAMBLICHOS], Theologumena arithmeticae p. 9, 1ff. [de Falco].) Das hängt mit der Unterscheidung und Definition der geraden und ungeraden Zahlen zusammen. Andererseits finden wir bei EUKLID mitunter (EL IX, 21-34) keinen Unterschied gemacht zwischen der Eins und den anderen Zahlen. Die griechische Zahlentheorie muß schon am Ende des 5. Jahrhunderts ungerade und gerade (äpTioi kal Tepioooi), zugleich mit einem Dritten, dem eine beträchtliche Höhe erreicht gehabt haben, obwohl sie ihre abschlieBende strenge Begründung, wie sie uns heute im VIL—IN. Buch der euklidischen „Elemente“ vorliegt, wohl erst im 4. Jahrhundert, vielleicht durch THEÂTET, erhielt. Das geht daraus hervor "daß ArcnyTas (einer der letzten Pythagoreer, ein älterer Zeitgenosse PLATOXS) einen in der Musiktheorie vorkommenden zahlentheoretischen Satz beweist (Fragm. d. Vorsokr. [Diels], der beiden ersten entstehe. Von jeder der beiden Arten gebe es viele Formen. NIKOMACHOS (arith. 17, 3-4) gibt verschiedene (angeblich) alte Definitionen der geraden und ungeraden Zahl. 1. Eine gerade Zahl kann durch dieselbe Operation in die größten (an Ausdehnung) und kleinsten (an Zahl) Teile geteilt werden (nämlich in zwei zahlentheoretischen Betrachtungen kennenlernen werden, denen wir uns jetzt zuwenden. B) Die Lehre vom Geraden und Ungeraden (Primitive Zahlentheorie) ARCHYTAS À 19 — Bortnics. de mus. TTT, 11), indem er sich auf einfachere, schon als bekannt vorausvesetzte arithmetische Sätze stützt, so daß man Ein Fragment des PaiLoLaos (B5) sagt, es gebe zwei Arten von Zahlen, Gerad-Ungeraden (&prTiomepirrôv), das aus einer ,,Mischung“ (Synthese) Hälften); während die ungerade Zahl nur in zwei ungleiche Teile geteilt werden kann.

b) Pythagoreische Arithmetik TI. Die Anfiinge der qricchischen Mathematri: 2. Eine gerade Zuhl kann sowohl in zwei gleiche als auch in zwei ungleiche Teile geteilt werden (außer der ursprünglichen Zweiheit, die nur in zwei vleiche Teile teilbar ist), aber ihre Teile müssen. wie sie auch zerlegt wird. von gleicher Art sein (d.h. beide gerade oder beide ungerade); während eine ungerade Zahl in jedem Fall in zwei ungleiche Teile, auch der Art nach, zerfällt. Die Parenthese über die „ursprüngliche Zweiheit‘‘ deutet: darauf hin, daß die Zwei früher nicht zu den Zahlen gerechnet wurde und hier noch, nachdem der Sprachgebrauch sichgewandelt hatte, binzugelügt wurde. PLATON jedoch spricht schon von der Zwei als gerader Zahl (Parm. I43e). Die Bedeutung des Ausdrucks ,,gerad-ungerade‘ bei PHILOLAOS (B 5) ist nicht mit Sicherheit festzustellen. Es kann die Eins gemeint sein, die ja nach den obigen Definitionen weder gerade noch ungerade ist, aber als Ursprung der geraden wie der ungeraden Zahlen gewissermaßen als potentiell gerade und ungerade angesehen werden kann. Es kann aber auch folgende Einteilung der Zahlen gemeint sein: 1. Gerade Zahlen, die lediglich in gerude Faktoren zerlegt werden können. (EURLID nennt sie &pridkis &prıoı uövov, „nur gerademal gerade”) Es sind die Potenzen von zwei, „die von der Zwei aus verdoppelten Zahlen“ (ci amo SudSes SttAcoralenevoi). 2, Ungerade Zahlen, die lediglich in ungerade Faktoren zerfallen. 3. Gerad-ungerade Zahlen, die sowohl gerade als auch ungerade Faktoren enthalten, das sind diejenigen geraden Zahlen, die nicht Potenzen von zwei sind (ARISTOTELES Met. M 8, 1084a 4). Später unterscheiden die Neupythagoreer (NikomMacHos arith, 18,4; 19,1: 110,1) (angeblich auf Grund alter Quellen) unter (3) noch zwei verschiedene Gruppen. 3a. Die Zahlen, deren Hälfte ungerade ist. Sie können (vielleicht auf verschiedene Weise) in einen geraden und einen ungeraden Faktor zerfallen, sind also „lediglich gerademal ungerade“ (äprióxis Trepıocoi ubvov nach Evrup). NIKOMACHOS nennt sie „gerademal ungerade‘ (&pTiomrépioooi). 3b. Die Zahlen, die eine gerade Hälfte haben, aber keine Zweierpotenzen sind. Sie können sowohl in zwei gerade als auch in einen geraden und einen ungeraden Faktor zerlegt werden. Bei EuxLID heißen sie ,,gerademal gerade und gerademal ungerade“ (&priókis &prioi Kai Apriäkıs Tepiooci), bei NIKOMACHOS ,,ungerademal gerade“ (repiooäprioi), eine Bezeichnung, die einen willkürlichen Eindruck macht. (Vielleicht eigentlich repioodkis üpriarıs prior?) Die Primzahlen (mpisrtor &piSuoi) werden zuerst in einem erhaltenen Fragment des SPEusrppos, das aber bis auf PHILOLAOS zurückgeht, erwähnt (PHILoLaos A 13 [Diels]: Theolog. Arithm. [Ast] p.62). Sie sollen von THYMARIDAS „geradlinig' (ed9uypaupıxoi) genannt worden sein, weil sie nieht in Form eines Rechtecks figuriert werden können, sondern nur als eine Punktreihe sich darstellen lassen. Der Primzahlbegriff wird auch im Satz über die geraden vollkommenen Zahlen (EvgLID, EL IN. 36) verwendet {sn HOT 47 Unter Primzahlen werden oft nur dic ungeraden Primzahlen verstanden während der Zwei eine Sonderstellung eingeräumt wird. Sie heißt etwa bei TuEox von Smyrna ,,quasi-ungerade’ (Tepiocosıötjs), da sie nicht durch 2 teilbar ist. Doch nennen ARISTOTELES (Top. © 2: p. 157 a 39) und Prknm die Zwei eine Primzahl. Auch der Begriff der relativ primen Zahlen muß schon alt sein, da er z.B. für die Definition eines unkürzbaren Bruchs notwendig ist, der spätestens am Ende des 5. ‚Jahrhunderts bekannt ist. Bemerkenswert sind ferner die Begriffe der „vollkommenen“ und der „befreundeten‘‘ Zahlen. Follkommen heißt eine Zahl, die der Summe ihrer echten Teiler (ein schließlich der Eins) gleich ist, wiez.B.6- 1 : % + 3,98- - 14, 496 =1+-2:4+8-+ 16-31 - 62 + 124 142: 43 248 (Rukui El. VIL, def.2 Befroundet heißen dagegen zwei Zahlen, wenn jede der Sunune der (echten) Teiler (einschließlich der Eins) der anderen gleich ist, wie z.B. 220 = I: rd 71 + 142 und 254-1. P2445 0 11. 20 22 + 44 + 55 -- 110 (LAMBLICHOSim Nicom. p. 35, 1-7). Ob es unger ade vollkommene Zahlen gibt, ist bis heute nicht bekannt; für gerade vollkommene Zahlen gab EUKLID eine Konstruktion (EI. IX, 36), die nach IAmBLIcHOS, der freilich keinen Beweis dafür bringt, alle geraden vollkommenen Zahlen liefert. Erst EuLER hat diese Tatsache bewiesen; der Beweis läßt sich indessen auch mit rein antiken Mitteln führen. Der euklidische Satz ist die Krönung des merkwürdigen Schlußabschnitts des IX. Buchs der ‚Elemente‘ (21-34), der die alte „pythagoreische“ Lehre vom Geraden und Ungeraden, allerdings nicht mehr in ganz reiner Form, enthält; nach antikem Brauch wird er als Nachtrag am Ende der viel weiter gehenden arithmetischen Bücher gebracht, offenbar infolge seines historischen Interesses. Da diese kleine Theorie ein einfaches, leicht verständliches Beispiel griechischen mathematischen Denkens darstellt, sei sie hier kurz skizziert: 3, Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im IX. Buch der euklidischen ‚Elemente Die Theorie beginnt mit folgenden Definitionen: 1. Eine gerade Zahl ist eine in zwei gleiche Teile teilbare. 2. Eine ungerade Zahl eine solche, die nicht in zwei gleiche Teile geteilt werden kann, oder eine solche, die sich von einer geraden um eine Einheit. unterscheidet. 3. Gerademal gerade heißt eine Zahl, die durch eine gerade Zahl geteilt eine gerade Zahl ergibt. 4. Gerademal ungerade eine solche, die durch eine gerade Zahl geteilt eine ungerade ergibt. 5, Ungerademal ungerade eine solche. die durch eine ungerade Zahl geteilt eine ungerade ergibt,

IT. Die Anfänge der aviechischen Mathematik b) Pythagoreische Arithmetik Dann folgen einige ganz einfache Sätze. 49 Denn es sei die ungerade Zahl « prim zu c. Wäre nun « nicht prim zu 2e, Satz 21. Wenn beliebig viele gerade Zahlen addiert werden, wird die Summe gerade sein. Denn jede einzelne Zahl hat eine Hälfte, ihre Summe also auch, nämlich so hätten « und 2c einen gemeinsamen Teiler d. Da u ungerade ist, müßte d es auch sein, also, da es 2c teilt, nach Satz 30 auch c teilen; « und ¢ hätten also gegen die Voraussetzung einen gemeinsamen Teiler. die Summe der Hälften der einzelnen Zahlen. Sutz 22. Wenn beliebig viele ungerade Zahlen addiert werden, ihre Anzahl aber gerade ist, ist ihre Summe gerade. Denn wenn man von jeder von ihnen die Einheit wegnimunt, bleibt je eine gerade Zuhl übrig (Def. 2). Die Anzahl der weggenommenen Einheiten ist gerade. Also ist nach Satz 21 die Summe der ursprünglichen Zahlen gerade. Satz 23. Wenn die Anzahl der ungeraden Zahlen ungerade ist, ist ihre Summe | ungerade. Sat: 32. Die ans 2 durch (fortgesetzte) Verdoppelung erhaltenen Zahlen (d.lı. die Potenzen von 2) sind lediglich gerademal gerade. Denn, daß alle diese Zahlen gerademal gerade sind. ist aus ihrer Ent- Denn zieht man von der letzten Zahl die Einheit ab, so ist der Rest gerade. Die übrigen Zahlen sind eine gerade Anzahl, ihre Summe also nach Satz 22 gerade. Sie ergibt demnach zum Rest addiert eine gerade Zahl (Satz 21), daher nach Wiederhinzufügung der Einheit eine ungerade (Def. 2). Ganz ähnlich lassen sich die folgenden Sätze 24-27 beweisen: Satz 24. Wenn eine gerade Zahl von einer geraden abgezogen wird. ist. der Rest gerade. Satz 25. Wenn eine gerade Zahl von einer ungeraden abgezogen wird, ist der Rest ungerade. Satz 26. Wenn eine ungerade Zahl von einer ungeraden abgezogen wird, ist der Rest gerade. Satz 27. Wenn eine ungerade Zahl von einer geraden abgezogen wird, ist der Rest ungerade. Es folgen nun etwas schwierigere und bedeutungsvollere Sätze, die den eigentlichen Kern der Theorie bilden. Satz 28. Eine ungerade Zahl (a) mit einer geraden (b) multipliziert ergibt eine gerade Zahl. Denn wenn a mit 5 multipliziert c ergibt, so besteht c aus so vielen gleichen Zahlen b als u Einheiten enthält; b ist aber gerade, c daher die Summe einer Anzahl von geraden Zahlen, also nach Satz 21 gerade. stehung klar. Sie haben aber auch keinen ungeraden Teiler. Denn alle ungeraden Zahlen sind prim zur Zwei, also nach Satz 31 prim zu allen daraus durch fortgesetzte Verdoppelung entstandenen Zahlen. (Der euklidische Beweis ist hier verwickelter und geht auf früher von ihm bewiesene Sätze der allgemeinen Zahlentheorie zurück. Er kann daher keinen Bestandteil der alten Lehre gebildet haben.) Satz 33. Wenn eine Zahl eine ungerade Hälfte hat, ist sie lediglich gerademal ungerade. Denn, daf sie gerademal ungerade ist. ist offenbar. Wenn sie aber auch gerademal gerade sein köunte, mübte sie von einer geraden Zahl nach einer veraden gemessen werden; es wäre also auch ihre Hälfte durch eine gerade Zahl teilbar, gegen die Voraussetzung. (Der letzte Schluss läßt sich leicht an einer wfoot-Figur veranschaulichen.) Satz 34. Wenn eine Zahl weder eine von der Zwei aus verdoppelte ist, noch eine ungerade Hälfte hat, so ist sie sowohl gerademal gerade als auch gerademal ungerade. Daß sie gerademal gerade ist, leuchtet ein; denn sie hat ja keine ungerade Hälfte. DaB sie aber auch gerademal ungerade ist, sieht man, wenn man die Zahl halbiert, ihre Hälfte wiederum halbiert und dies so lange fortsetzt, bis man zu einer ungeraden Zahl (die von 1 verschieden ist!) kommt. Würde man nämlich nicht auf eine ungerade Zahl stoßen, so stieße man schließlich auf die Zwei. Dann aber wäre die Zahl, die forizesetzt halbiert wurde, eine von der Zwei aus verdoppelte, was gegen die Voraussetzung ist. Das ist im wesentlichen die „Lehre vom Geraden und Ungeraden’’. Sie scheint sehr primitiv, gestattet aber doch verschiedene, durchaus nicht triviale Anwendungen, von denen wir im folgenden zwei bringen. Salz 29. Eine ungerade Zahl mit einer ungeraden multipliziert ergibt eine ungerade Zahl. Beweis ähnlich wie bei Satz 28 (mit Hilfe von Satz 23). Satz 30. Wenn eine ungerade Zahl eine gerade teilt. so teilt sie auch deren Hälfte. Denn wenn die ungerade Zahl « die gerade g teilt, so möge sich c ergeben. Es ist also u - c = y. Wäre nun c ungerade, so wäre nach Satz 29 g ungerade, gegen die Voraussetzung; u teilt also g gemäß einer geraden Zahl, sie teilt also auch ihre Hälfte. Sutz 21. Wenn eine ungerade Zahl zu einer Zahl (relativ) prim ist, so ist sie auch prim zur doppelten Zahl. 3. Der euklidische Satz über die vollkommenen Zahlen Evxzip, Elemente XI, 36. Wenn von 1 beginnend durch Verdoppelung eine Reihe von Zahlen aufgestellt wird und ihre Summe eine Primzahl ergibt, so ist ihr Produkt mit der letzten Zahl eine vollkommene Zahl. (Der euklidische Beweis ist nicht der ursprüngliche, sondern beruht auf einer ganzen Anzahl von in den vorausgehenden arithmetischen Büchern bewiesenen zahlentheoretischen Sätzen, während die Sätze IX, 21--34 keine Verwendung finden. Es ist jedoch möglich, den Satz auf (rund der alten Lehre vom Geraden und Ungeraden zu beweisen, deren Krönung er doch offenbar bildet. — Bemerkenswert ist das Auftreten des Begriffes der Primzahl.) 7136 Becker, Math. Denken

II. Die Anfänge der griechischen Mathematik b) Pythagoreische Arithmetik Beweis Es seien die Zahlen 1, 2, 2°... 2"-1 vorgelegt. und ihre Summe ergebe eine Primzahl, z.B. 1,2,4(1--2+4= 7) oder 1.2,4,8,16 (1 - 2+4 -r 8 + 16 — 31). Dann ist ihr Produkt mit der letzten Zahl 2”-1 (also in den Beispielen: 7 -4 = 28 bzw. 31 - 16 = 496) eine vollkominene Zahl. 51 später darauf zurück. Jedenfalls scheint | 2 die erste Wurzel zu sein, deren Irrationalität arithmetisch bewiesen wurde. Und zwar überliefern die meisten Euklidkodizes am Ende des X. Buchs der ‚Elemente‘ als Nachtrag einer späteren Hand einen „alten Beweis‘, der darauf hinausläuft, daß, wenn Quadratseite und -diagonale konunensurabel wären, dieselbe Zahl In der Tat lassen sich sämtliche Teiler der Zabl(1- 2 + 4 -...- 2 gerade und ungerade wäre. Auf einen derartigen Beweis spielt auch AnisTo- 29-2", wo 1+2+4,,,+49-12 9 eine Primzahl ist, unschwer TELES an (Anal. prior. I, 23 p. 4la, 26-27). Jedoch ist der in den EvELID-Handschriften überlieferte Beweis ebensoangeben. Es sind: 1,2,22.,,27-?2”°-17 zB. 1,2,4 bzw. 1.2,4,8.16 p,2p,2%p...2"-?p 2.B.7,14 bzw. 31, 62. 124, 248. Gabe es nämlich einen ungeraden Teiler u außer p (und der Einheit), so müßte er, nach Satz 30, auch die Hälfte von 2” 1% teilen und davon wieder die Hälfte und so fort, bis man schließlich zur Hälfte von 2p käme, d.h. zu p selber. Aber das ist unmöglich, denn « kann die Primzahl p nicht teilen. Aber auch ein Teiler d, bei dessen fortgesetzter Halbierung man auf eine ungerade Zahl u’, die von p (und 1) verschieden wäre, stieße, ist unmöglich. Denn es wäre ja die ungerade Zahl u' als Teiler von d auch ein Teiler von 2"-1p, was unmöglich ist, wie zuvor gezeigt. Es bleiben also nur die (genügend kleinen) Zahlen übrig, die bei fortgesetzter Halbierung p oder 1 ergeben, d.h. die von 1 oder p aus verdoppelten Zahlen, wie wir sie bereits sämtlich angeführt hatten. Denn die nächste Zahl der oberen Reihe wäre 2”, die offenbar 2”-1p nicht teilt, und die nächste Zahl der unteren Reihe ist 2"-1p selber. Die Summe der angeführten sämtlichen Teiler läßt sich leicht berechnen. Es ist nämlich: (1424 224.4 2-1) +(p+2p+2°p = p+ pe 2p+ Bp Die Summierung der letzten (geometrischen) Reihe ist sehr einfach, und man braucht dazu nicht die allgemeine Summenformel für die geometrische Reihe, die EvgLID in IX, 35 beweist. Es ist nämlich offenbar: Man kann diese Summierung (für 1 +1 +2? Wp Grunde die zahlentheoretischen Fundamentalsätze von der eindeutigen Darstellung eines Bruches durch relativ prime Zahlen voraus. Auch kann der Beweis leicht auf andere Wurzeln übertragen werden, so daß es unverständlich bliebe, daß eine solche Übertragung nicht stattgefunden hat. (THEODOROS von Kyrene hat, nach PLaTon [Theätet, 147dff.] die Irrationalitàt von 13, 5, ... 1% einzeln bewiesen. Da |'2 nicht erwähnt wird, ist anzunehmen, daß für diesen Fall allein der Beweis schon früher veliefert wurde.) Nun ist aber in der Tat ein primitiver Beweis, der die wfjpoi-Methode benutzt, möglich, und wir geben ihn jetzt neben dem „euklidischen an. I. Der „euklidische“* Beweis (in freier Wiedergabe) Es sei a:b das Verhältnis von Diagonale und Seite des Quadrats, in kleinsten Zahlen, die demnach relativ prim zueinander sind, so daß eine von ihnen gerade, die andere ungerade ist’. (Daß diese Darstellung des Verhältnisses immer erzielt werden kann, wird in den Elementen der Zahlentheorie bewiesen.) Es ist 2 = a?: b? oder 25? = a*. Nun ist entweder a oder b, also entweder a? oder 6? ungerade. Ware a? ungerade, so wäre es der geraden Zahl 25? gleich, was unmöglich ist. Ist 6 aber ungerade, so muß a vee. 20?p = 2° p, p+p=-2p,2p+2p-4p.4p+4p-Sp....2"-?p wenig wie der euklidische Beweis für den Satz IX, 36 mit den primitiven Mitteln der Lehre vom Geraden und Ungeraden geführt, sondern setzt im 2° p. gerade, also a? durch 4 teilbar sein. -— a? ist also noch durch ? teilbar. Es ist aber b?= sa, also wäre wiederum eine ungerade Zahl (b?) einer geraden (3 a?) gleich, was absurd ist. 2? +...) natürlich auch mittels einer Wfoci-Figur durchführen, worauf hier nicht mehr eingegangen sei, ebensowenig wie auf den Beweis der Umkehrung des Satzes: Jede gerade vollkommene Zahl läßt sich durch die euklidische Vorschrift erzeugen. IL. Primitiver Beweis Es sei wiederum a? = 20°, wobei jetzt a und b nicht prim zueinander zu sein brauchen. Man denke sich die Zahl a? einmal und die Zahl b? zweimal mit Steinchen ausgelegt. Nun teile man, sofern und solange dies möglich ist, die Quadrate in 4 Teile, die Teilquadrate wieder in 4 Teile usw. Dies muB 4. Beweis für die Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 Wie und wann die Inkommensurahilität der Seite und Diagonale des Quadrats zuerst bewiesen wurde, und ob ihr vielleicht die Entdeckung der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des regulären Pentagons vorausging (wie K. v. FRITZ meint). ist noch ungeklärt. Wir kommen noch einmal ein Ende haben. (Denn die Vierteilung geschieht durch Halbierung der beiden Quadratseiten, vgl. den Gedankengang des Beweises von IX, 34.) 5 Es ist hinreichend, daß a und b nicht beide durch 2 teilbar sind, was durch successive Halbierung leicht erreicht werden kann, da dadurch sich das Verhältnis @:b nicht ändert. So bleibt man ganz im Rahmen der primitiven „dyadischen‘ Arithmetik.

gerades Quadrat ist, ist sie durch 4 teilbar, ihre Halfte ist also noch gerade. Dabei sind verschiedene Falle möglich: }. Man kommt zuerst oder gleichzeitig mit der rechten Seite auf der linken Seite zu einer ungeraden Zahl a’. Rechts stehen dann auf jeden Fali zwei Zahlen b’ + b’ = 2b’, also eine gerade Zahl. Das ist unmöglich. 2. Man hat links noch eine gerade Zahl a’, während rechts die Teilung in zwei ungeraden Zahlen b’+ b” endet. Da die gerade Zahl a” links ein fel WM + + + b À Foll 7 oder Fall 2 Fig. 12 |] = = a Fa = ¥ a b T ò Rechts aber steht die Zahl 2b”, deren Hälfte ungerade ist. Teilt man also beiderseits durch 2, so kommt man auf einen Widerspruch. = De = 77 = a a a) Die quadratische geometrische Algebra der P ythagoreer 53 Der einfachste Fall ist das Zahlentripel 3 4 5 und natürlich seine Vielfachen 681, 91215 usw. Weitere aus Babylonien und Altindien bekannte Beispiele sind: 5 12 13, 7 2425; 8 15 17, 12 35 37; 20 21 29. Man bemerkt, daß die beiden letzten Ziffern um 1 = 1", 2 = 2-12, 8 = 2 - 2° differieren. Wie findet man solche pythagoreische Zahlen? Gibt es ein Verfahren, wu sie sämtlich zu bestimmen? Die Antwort auf diese Fragen führt auf Betrachtungen, die einen Übergang von der geometrischen (yîipot-) Arithmetik der Pythagoreer zu ihrer eigentlichen geometrischen Algebra bilden. Aus der Lehre von den figurierten Zahlen ist der Begriff des Gnomons bekannt. Legt man einen Gnomon um ein aus Steinchen gebildetes Quadrat, so erhält man wiederum ein solches, wobei der Gnomon eine ungerade Zahl von Steinen enthält. Man erhält nun offenbar drei pythagoreische Zahlen, wenn man dafür sorgt, daß der Gnomon ein (notwendig ungerades) Quadrat 25 ... 100 121 144 169 ... ist. Man braucht also nur aus der Reihe der Differenzen der Quadratzahlen die Quadrate herauszusuchen; die ersten sind offenbar 9 und 25: 1491 +16 = 25 d.h. 3° — 42 = 5? und 25 + 144 = 169 d.h. 5°. 12%. 13°, Bei dieser Konstruktion hat der Gnomon die Breite 1. Die allgemeine Also: 9 Regel ist in diesem Falle die folgende. Geht man aus von n°, so ist der Gnomon 2n + 1= m? zu setzen. Demnach ist n = = (m*-- 1) und x — 1 = mtl). Die pythagoreischen Zahlen sind also 3 (m® 1), m, En (m2 + 1). Dabei ist m als ungerade anzunehnten. pythagoreischen Zahlen demnach: 2m, Fig. 13 Diese Regel wird in der Tat von PROELOS (in Euxuip p. 487, 7—21) den 1 1 n Pythagoreern zugeschrieben (vgl. Fig. 13). Weitere -pythagoreische Zahlen erhält m2—1,m?+1(2.B.8=2-4,15=4°-1, 4 1 Die dem Beweisgang entsprechenden Figuren (mit Steinchen ausgelegt zu denken) sind folgende (die schraffierten Quadrate sind ungerade, die viergeteilten gerade); die Figuren stellen das Stadium dar, in dem eine weitere Vierteilung unmöglich wird (vgl. Fig. 12). III. MATHEMATIK DES 5. JAHRHUNDERTS Diese Regel wird von ProkLos(in EtxLID man, wenn män für den Gnomondie Breite 2 wählt. Hier ist der Gnomon 2n +4 + 2n = 4(n + 1); er ist also ein Quadrat, wenn n+l=m?, er selbst mithin (2m)? ist. Dann istn = m2 —1, n + 2 = m? +1; die a) Die quadratische geometrische Algebra der Pythagoreer p.428,21-429, 8) dem PLaTON zugeschrieben, ist aber sicher viel älter. (Man kann sie übrigens auch erhalten, indem man vom Man kann diesen Gedankengang verallgemeinern, indem man für die Breite des Gnomons eine doppelte Quadratzahl 2s° wählt. Er beträgt dann, Quadrat mit der Seite n einen Gnomon von der Breite 1 abzieht und ihm einen ebensolchen hinzufügt; die beiden Gnomone sind dann 2» — 1 und 2n + 1, ihre Summe 4n, welche ein Quadrat sein mul, was n — m?, An = (2m)? ergibt, wie zuvor.) ‘ 17=4°-+1). 1. Pythagoreische Zahlen (Rationale rechtwinklige Dreiecke) Die sogenannten „pythagoreischen Zahlen“ sind Zahltripel, die die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen können. Nach dem sogenannten ..pythagoreischen Lebrsatz”, der aber schon den Babyloniern und durch diese den Indern des vorgriechischen Altertums bekannt war, ist in jedem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate tiber beiden Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse. Aber nur in besonderen Fällen lassen sich die gevenseitigen Verhältnisse der Seiten in ganzen Zahlen ansdrüchen. nämlich wenn a? UE = et wo a. be natürliche Zahlen sind.

u) Die quadratische geometrische Algebro der l'ythagereer = zwischen den Quadraten n? und (n+ 28°)? gelegen, 26n- Zen + 4st 4s?(n+ 52). Er ist ein Quadrat, wenn n + 8°= m?, also n= m? — s? ist, und hat selbst den Wert 4524? = (2em)?. Endlich ist n + 2s? = m? + s*, so daB man Wenn man nämlich die eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks gleich | setzt und dann die Bedingungen dafür sucht, daß die andere Kathete b und die Hypotenuse c rational werden, kommt man zu der (ileichung: auch m? und s? beide gerade oder beide ungerade, so sind m? - s? und l=c?-P=(c+b)(c- db). - - erhält. Sind m und s, also die pythagoreischen Zahlen 28m, m? -- 8°, m? m? + s? auch gerade Zahlen; man kann dann also alle drei pythagoreische a l , Zahlen durch 2 teilen und erhält auch noch sin, + (m?— 8°), > (m? + 8?) als solche, auBerdem aber natürlich alle ganzzahligen Vielfachen (vg). Fig. 14). Tatsächlich hat man damit bereits die allgemeinste überhaupt geltende Regel für pythagoreische Zahlen gewonnen, wie später Euxurp (El. X, 28 Lemma) bewiesen hat. Auch dieser Beweis könnte auf ältere Zeiten zurückgehen. Der Beweis, den EuKLID auf einen Satz (II, 6) seiner geometrischen i Algebra stützt, ist in freier Wiedergabe etwa folgender. Es sei uv = c?— = (c+d)(cdb), wo u=c tb, v=c--b; also c= DI5 (utr), b= =1 (u i v). Auf daß ur ein Quadrat sei, müssen v und v Es müssen dann c + b und c — d zwei reziproke Brüche sein, etwa p/q und q/p (wo p,q relativ prim), so daß man hat: cib 2s? werden können (VIII, 20). Ihre Seiten mögen sich wie k zu ! verhalten, also etwa u = km- lm und v= ks: ls sein. ons? 45% Es ist dann ur= k?l?m?s?. Die drei pythagoreischen Zahlen sind offenbar Vue, b,c also klms, 5 — U kim? — k1s?), n? ans? | (Es sei noch c-b- 4, P bi (2 u 4.) m 2\g p, 2pq Man erhält damit die drei ,,pythagoreischen Zahlen‘ (u. U. Brüche!) 1 pd Pig oder nach Multiplikation mit 2pg die ganzen Zahlen: 2pg, pg, pg. Das ist genau die EtxLIDISche Lösung, die sich damit als notwendige und hinreichende Bedingung für die Rationalität der drei Dreiecksseiten erweist. EvgLips Methode ist komplizierter, weil er sich nach Art der I (klm? + kls®). n q c -3(£ + 4).Def 2 p ET i entweder selbst Quadrate oder wenigstens „ähnliche ebene Zahlen‘ sein, 25° È. woraus sich ergibt d.h. solche, die durch ähnliche (gleich proportionierte) Rechtecke figuriert n 55 der Beweis von El. VITI, 20 nachgetragen: „Wenn zwei Zahlen a, b multipliziert eine Quadratzahl c? ergeben, sind sie ähnliche Fig.14 ebene Zahlen.‘ Denn wenn ab = c?, ist a:¢ = c:b. Die kleinsten Zahlen im Verhältnis a:c¢seien m, n und es sei a = mz,e = nz. Dann ist auch c:b= m:n und es seic = my,b= ny. Mithin ist m y == nz oder m:z = n: y‚ a und b sind. also ähnliche ebene Zahlen, denn m - z und 7 - y sind gleich proportionierte Rechtecke.) Die vorstehende Betrachtung läßt sich nach E. M. Bruins und B, L. van DER WAERDEN? auf eine bereits babylonische Berechnung rationaler Seiten rechtwinkliger Dreiecke zurückführen, die in einem Tabellentext ,,Plimpton 322“ enthalten ist. (O. NEUGEBAUER' denkt sich die babylonische Betrachtung mehr nach Art der oben vorgeführten Gnomone durchgeführt.) 6 B.L. van DER WAERDEN, Erwachende Wissenschaft, Basel und Stutt«art. 1946, S.125-128. #0. Nuvoenswen, The exakt sciences in Antiquity, Kopenhagen 1951, S. 35 bis 39, 49-52, klassischen griechischen Mathematiker auf die Betrachtung ganzer Zahlen beschränkt; DiopHant denkt hierüber anders, denn er steht noch in altorientalischer Tradition. 2. Ubergang zur geometrischen Algebra: Der pyihagoreische Lehrsatz Die altindischen Geometer, die Verfasser der Sulva-Sutra, operierten auf einem in Quadrate eingeteilten Boden, bedienten sich also eines Verfahrens, das der frühgriechischen geometrischen Arithmetik, die mit Steinchen arbeitet, gleichwertig ist. Es findet sich bei ihnen auch eine klare Beschreibung der Bildung eines Gnomons, obwohl sie ein entsprechendes Fachwort nicht besitzen. Im Apastamba Sülva-Sütra heißt es (TIT, 9): „Man fügt das, was man mit der jeweiligen Verlängerung umzieht, an zwei Seiten hinzu und an der Boke das Quadrat, welches durch die betreffende Verlängerung hervorgebracht wird.‘ Die alten Inder und schon die Babylonier benutzten fortgesetzt den »pythagoreischen Lehrsatz‘‘, und zwar allgemein, d.h. auch für den Fall, daB einige Seiten der Dreiecke irrational sind, Wie ist der Satz begriindet baw. seine Benutzung gerechtfertigt worden?

a) Die quadratische geometrische Algebra der Pythagoreer In Indien findet man keine Begründung in antiker Zeit; in Babylonien Ein derartiger Zerlegungsbeweis muß also in vorgriechischer Zeit in der oder jener Form vorhanden gewesen sein. Auch Evktip bringt (EL I, 47) einen Zerlegungsbeweis, aber von anderer Art, der von PROKLOS in seinem gibt es in einem Keilschrifttext eine Figur (15), die zum Beweis im Sonderfall des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks dienen kann. Es ist dieselbe, die in der berühmten Sklavenszene des platonischen Dialogs Kommentar zur Stelle auch ausdrücklich „Menon'* (82b—85b) den geometrischen Erörterungen des SOKRATES zuihm selbst zugeschrieben wird. Nun hat grunde gelegt wird. Alle Seiten eines Quadrats werden halbiert und die Teilpunkte zu einem zweiten Quadrat verbunden, das hall so groß ist wie das Ausgangsquadrat. EvELID im VI. Buch (31) noch einen ganz verschiedenen Beweis mittels Propor- Fig.15 allgemeineren Satz, bei dem irgendwelche zueinander ähnliche Figuren über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ver- „Figur des Seiles“ beschrieben, die im folgenden glichen werden, bezieht. wiedergegeben ist (Fig. 16, 17). Der Name der Das Charakteristische aller dieser Beweise ist, daß das Quadrat über der Hypo- “Ein Quadrat ist in 7-7 kleine Quadrate geteilt; ihm ist ein zweites Quadrat eingeschrieben, dessen Ecken die Seiten des ersten Quadrats im Verhältnis 3:4 teilen. Das eingeschriebene Quadrat entsteht durch Wegnahme von vier halben oder zwei ganzen Rechtecken 3-4, enthält also 49 — 2-12 25 kleine Quadrate (Fig. 16). Teilt man die Fläche des großen Quadrats in anderer . =4 I ie ( Mi ) A 7 IN N 4 +. 12 TI Fig. 16 tionen, der sich allerdings auf einen In einem alten chinesischen Kalenderwerk, dem Chou-pei Snan-chin, wird die sogenannte Figur könnte auf die Sulva-Sutra, die „Seil. . Regeln“, hindeuten. PA Fig. 17 57 tenuse durch die verlängerte Höhe auf sie in zwei Rechtecke geteilt wird, die einzeln den Quadraten über den Katheten ETET c gleich sind. ETKLID macht in 1, 47 von Proportionen grundsätzlich keinen Fig. ES Gebrauch, offenbar, um die Elemente der Geometrie von einer schwierig zu begründenden allgemeinen, d.h. auch für irrationale Verhältnisse zeltenden Proportionenlehre unabhängig zu machen. Die Flächengleichheit des Quadrats über AC und des Rechtecks AFGE wird z.B. durch die kongruenten Dreiecke ABD und AEC vermittelt (Fig. 18). Der ältere Beweis, der die Proportionenlehre naiv benutzt, geht davon aus, daß die rechtwinkligen Dreiecke 4 BC, ACF, CBF (in denen die Winkel bei A und B übereinstimmen) ähnlich, ihre homologen Seiten also proportioniert sind (Fig. 19). Esist: d.h. . AF:AC = 4C:AB © 40%= AF.AB und BF:BC = BC: AB und BC? = BF: AB also 4C?+ BC? = AF-AB+ BF-AB=(AF+FB)AB= AB? Weise (Fig. 17), doch wiederum so, daB zwei Rechtecke 3-4 abgezogen Der euklidische Beweis in 1,47 ist offenbar eine Abwandlung dieser Argumentation; in VI, 31 wendet EUKLID die Sache etwas anders. Ähnliche werden, so behält man zwei Quadrate 3-3 und 4 - 4 übrig. Arithmetisch ist dies selbstverständlich; geometrisch bedeutet es, daß das Quadrat 5 - 5 Figuren verhalten sich wie die Quadrate ihrer linearen (homologen) Dimensionen, über der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten 3, 4, 5 flächengleich ist der Sunıme der Quadrate 3-3 und 4 - 4 über den beiden Katheten. Die chinesische Figur betrifft nur den speziellen Fall des Dreiecks ınit den also, sofern sie über den Seiten von ABC (den Hypotenusen der Dreiecke A BC, CAF, BCF) errichtet sind, wie AB?, AC?, BC*. Die ähnlichen Dreiecke ABC, ACF. CBF Seiten 3, 4, 5; aber die Betrachtung gilt offenbar ganz allgemein, sowohl für sind also auch diesen Quadraten proporrationale als auch für irrationale rechtwinklige Dreiecke, sie stellt einen ganz allgemeinen „Zerlegungsbeweis“ für den pythazoreischen Lehrsatz dar, der sich übrigens auch bei dem arabischen EvELID-Kommentator Anxarrizi findet. Ähnliche Figuren hat auch die spätere mittelalterliche indische Geotional, d.h. diese unterscheiden sich von metrie. C F 4 8 19 Fig. ihnen lediglich durch einen und denselben Proportionalitätsfaktor, sagen wir m. Er ist ; demnach AB? = m - ABC, AC? = m | ACF. BC? - m - CBF. Nun ist offen- . bar: ABC = ACF — CBP, mithin AB? — MC?

a) Die quadratische geometrische Algebra der Pithaqureer und konstruierte über 4D ein diesen ähnliches viertes Segment. Wie im ersten Fall ist die Summe der kleineren Segmente gleich dem größeren 3. Lunulue Hippocratis Segment und das aus beiden Kreisbögen AD gebildete Méndchen wird flachengleich mit dem Trapez. Das Trapez ist leicht konstruierbar und Simplicius in Aristot. Physica p. 60, 22-68, 32 Diels An die letzten Betrachtungen zum pythagoreischen Lehrsatz kann zwanglos die Quadratur der Möndchen durch Hippocrates von Chios angeschlossen werden. Denn in ihnen wurde das Prinzip verwendet, daf ähnliche Figuren sich wie die Quadrate ihrer linearen Dimensionen verhalten. Auf diesem Grundsatz beruhen aber auch die hippokratischen Überlegungen, die deshalb historisch besonders wichtig sind, weil sie sichin c dem ältesten Stück zusammenhiingender mathematischer Theorie, das wir besitzen, dem Bericht des ARISTOTELESsschillers Evprmos von Rhodos über HIPPOKRATES in seiner verlorenen „Geschichte der Geometrie“, erA 8 Fig. 20 halten haben. Zunächst hat HIPPOKRATES nach dem eudemischen Bericht gezeigt, daß Kreise sich wie Quadrate ihrer Durchmesser verhalten und ähnliche Kreisteile (Sektoren und Segmente) ebenfalls. Die Quadraturen der Möndehen werden von ihm nun einfach dadurch gewonnen, daß ähnliche Kreissegmente über Sehnen, deren Quadratesich wiekleineganzeZahlen (2:1, 3:1,3:2) verhalten, gegeneinander ausgewogen und von einander abgezogen werden, wobei dann die „lunulae‘ als Restfläche übrig bleiben. So sind in der ersten Figur 20 die Segmente Halbkreis ist. Der letzte Fall (Fig. 22) ist der schwierigste und wird auch von Hippo- KRATES mit Hilfe einer „Einschiebung“ (veücıs) behandelt, obwohl er nur auf eine quadratische Gleichung führt und mit Lineal und Zirkel allein bewältigt werden könnte, wie wir noch zeigen werden. Hier wird das zu quadrierende Möndchen aus zwei Kreisbögen gebildet, von denen der äußere 9 settee in drei, der innere in zwei gleiche Teile i geteilt ist, die die ähnlichen Segmente SÉ ET umschließen. Und zwar verhalten sich die Quadrate der entsprechenden Sehnen je / | eines größeren und eines kleineren Segments wie 3:?, so daß also wieder die 4 x bf) as ee 6 anos Inhalte der addierten inneren und äuBeren Segmente sich ausgleichen. Die von den fünf Sehnen gebildete geradlinige Figur ist dann flächengleich mit dem Möndchen. Der äußere Bogen des Möndchens ist kleiner als der Halbkreis. Die Konstruktion ist im einzelnen folgende: Man errichte einen Haibkreis über AB;essei AK =FE, KC = CB, CL senkrecht zu KB. Die Strecke EF (so lang, daß EF? = AK 2) werde eingeschoben. zwischen die Peripherie des Halbkreises AB und die Gerade CL, mit der ‚„Neigung” (veUois). d.i. Viertelkreisen abgeschnitten .Nachdem pytha- Zielrichtung nach B. (D.h.: Es wird die Länge von EF auf einem Lineal goreischen Satz ist AB? = AC? BC”, und markiert und das Lineal so lange probierend bewegt, bis die beiden Marken sE und „F“.auf der Kreisperipherie und der (Geraden CL liegen und das AC + segm. BC. Da nun das ,,Môndchen‘ . Fig.21 ebenso läßt sich unschwer zeigen, daß der äußere Bogen AJ) größer als der AB, AC, BC einander ähnlich, nämlich von da die Segmente sich wie die Quadrate ihrer Sehnen verhalten, ist auch segm. AB -- segm. A 50 (unviokos) ABC dadurch entsteht, daß vom Dreieck ABC das Segment AB abgezogen wird, dafür aber die Segmente AC und BC hinzugefügt werden, sind Möndchen und Dreieck ABC flächengleich. Der in der zweiten Figur 21 dargestellte Fall, in dem sich die gegeneinander gestellten D Segmente wie 3:1 verhalten, ist gegeben, wenn ein Trapez ABCD konstruiert ist mit drei gleichen Seiten AB, BC, CD und der vierten, größeren Seite AD von solcher Länge, daß ihr Quadrat der Summe der Quadrate der übrigen Seiten gleich ist. Es ist demnach AD? — 3 4 B? oder AD = AB V3. (Danach läßt sich AD als die doppelte Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite 4B sofort konstruieren.) HIPPOKRATES umschrieb nun das Trapez mit einem Kreis mit den Segmenten AB, BU, CD Lineal durch den Punkt B geht.) Nun ziehe man die Parallele durch E zu AB und die durch A und F bestimmte Gerade, die sich in G schneiden mögen. Durch EK BG ist dann der äußere und durch EFG der innere Bogen des Möndchens zu ziehen, das der Figur EFGBK flächengleich ist. Daß die fünf Segmente einander ähnlich sind, gebt daraus her vor, daß die Winkel ihrer Sehnen gegen den Radius durch einen ihrer Endpunkte gleich sind: es sei L der Mittelpunkt des Kreises durch EK BG, der Mittelpunkt von EFG liegt jedenfalls auf CL. KL ist also ein Radius und es müssen die Winkel LKB und EFL (d.i. LFM) einander gleich sein. (Sie sindin der Tat die Komplemente der als Wechselwinkel an Parallelen gleichen Winkel ABE und FEG.) Daß der Bogen EK BG kleiner als ein Halbkreis ist, wird von Hippok nates so bewiesen: EF? = i Ek? also EF? größer als EK?, mithin EF größer als EK. Der Winkel EFK liegt daher im Dreieck WFK nicht der größten Seite zegenüber, ist also spitz und sein Nebenwinkel KFB infolzedessen größer als ein

pa enn vn 60 Lt. Muthematit: 5 EN? größer als EA? listielo nidi ris ser als 2 AFS. mithin reds, AFS Folglich ist der Winkel AAS Rechter". Also jst BK? größer als? BF? oder ERF ar EF — Ek?- Die „Einschiebung“ der Strecke ZF zwischen Kreis und Gerade (4 führt stumpf und das Segment ZA BG kleine Dreieck FBC, da der Winkel FBC gemeinsam ist. Also ist EB: AB offenher, den Punkt F zu auf folgendes quadratische Problem: Es gert bestimmen; denn die Verlingerung von BF geht durch E. Verbindet man noch 4 mit E, so ist das Dreieck ABE (bei E rechtwinklig!) ähnlich dem FBE=AR®, dh. 1% AK-FB = BC: BF, dh. EB-BF-AB:BC 2e AK= AK? Mithin: (EF FB)-FB= AK? oder EF -FB- Aufgaben. — , Flüchenunlequng" ~ FB = AK? wo AK bekannt ist. Diese quadratische Gleichung für FE führt aber auf eine sogenannte „hrperbolische Flächenanlegung‘, ganz anulog der ..stetigen Teilung‘. (Siehe den folgenden Abschnitt.) { 4. Lösung quudratischer 7 \2 è Aufgabe : af iD\ pa un Fig. 23 (3 ep) El. Fir. 23 aus (EtkLID 61 wenn man sich die Zahlen 9 4) Dir quadratische geometrische Algebra der Pythagoreer Erläuterung Es ist identisch: Also, da nach der Formel der Demnach: ausgelegt denkt, durch worin ju | sich 1 de prisi der Gnomon. Wenn die Fläche Steinchen Die obige Identität drückt sich geometrisch, mit 5 q= oF > werden kann), so li à q= 0 als Quadrat gegehen Figur verwandelt | { PV prthagoreischen Satzes erpiht (es ist in Pig IN 402 b x des 48-10 anzulegen, mittels einer Konstruktion, die sich aus der euklidischen Bewei-fi: Flächenanlegung: An eine geuehene Strecke ist ein Rechteck gleich einer gegebenen Fläche (die in der Form eines Quadrats vorgelegt werden kann) Die beiden anderen Fälle sind die der elliptischen und der hyperbolischen wiederum zum Rechteck und erhält endlich das gesuchte Rechteck er durch Verlängerung der ersten Seite b. logrammen‘, gemäß Figur 24. ¢ liegt in der Verlängerung der Seite a. Man Fiz, 24 ergänzt das Rechteck be, dessen Diagonale die Verlängerung der anderen Seite b schneidet. Man ergänzt Satzes von den ,,Ergiinzungsparalle- Konstruktion eines Rechtecks king einer gegebenen Strecke c, das eine vorgeschriebene Fläche a - b (ebenfalls in der Form eines Rechiecks gegehen) hat. Dies geschieht mit Hilfe des sogenannte „Flächenanlegung” (vel. PROCLTS in ECKLip. p.418, 15-420, 12). Die parabolische Flächenanlegung (Evi, El. I, 42-44) besteht in der Die Hauptmethode der griechischen geometrischen Algebra uber ist die tischen Ergänzung“. „Elemente: die Methode ist die der „quadra- Diese Figur ist keine andere als die in II, 4 der zP ‘abzieht, erhält man x. und. wenn man davon > pundakonstruieren. ; Dreiceks mit den Katheten — J | (;; pi EN a? sofort als Hypotenuse des recht winkligen Quadratische Gleichungen, auch solche vom zeinischten Typus, wurden, wie wir sahen, schon von den Babyloniern gelöst. Als ein weiteres OR ist 0:45. 1 als Koeffizienten diene der folgende Text (Thureau- Dangin, Revue d’Assvriologie Vol.3 p. 2-44): „Ein Feld und seine Quadratseite addiert. setzest du. Die Hälfte von 1 ziehst du ab: 0:30, Mit 0:30 multiplizierst du: 0:15. Zu 0:45 fügst du hinzu. Dann gibt es 1. Die Quadratwurzel ist 1. 0:30, das du mit sich selbst multipliziert hast. ziehst du von 1 ab; dann ist 0:30 die Quadratseite.” : Deutung a. ft V (op) 9 2, (52) 1. 5P (in allgemeinen Fornieln) Die Aufgabe ist: x? — 1-2 = 0:45 (vom Typus 2° —pa= g): zur Lösung wird nacheinander gehildet: (in Zanten) 0:15 1. 1- 3:+1- 0,30 2. (0:3012 0:3 3. 05154 0:45 - 1 Fa >, 1- 0:30 * Dieser Beweis wurde von E.J. Drsesreritis rekonstruiert (De Elementen van iukücdes, Groningen 1929-30, Bd, I 5.20). — Zur Emerdation des verdorbenen echischen Textes s. 0, BECKER, Philologns Bal. 1955. 8. 313-316,

a) Die quadratische geometrische Algebra der Pythagoreer daß das am Rechteck über der Strecke fehlende bzw. überschießende Flächenstück ein Quadrat wird. Der erste ist der „elliptische, der zweite der 1. Elliptischer Fall (Fig. 27): Man errichte im Mittelpunkt C der Strecke AB 62 „hyperbolische‘ Fall. Zur Lösung der Aufgabe dienen die beiden folgenden Sätze der ‚Elemente‘ (11.8 und 6): 63 das Lot CQ = b (wo q == b?} und schlage mit + p als Radius um Q den Kreis, der CB in D schneidet; x ist dann gleich BD. — Die Möglichkeitsbedingung (Sıomouös) ist dafür, daß è kleiner als 1 p ist. „Wird eine Strecke AB in gleiche (durch C) und ungleiche (durch D) eile “geteilt, so ist das aus den ungleichen Teilen gebildete Rechteck Beweis AD- BD zusammen mit dem Quadrat der Strecke zwischen den beiden Die Beweise ergeben sich aus der Umbildung des gesuchten Rechtecks über 4D in einen Gnomon, der dann zum Quadrat ergänzt wird. c¢§-x0x8 A À © È Bxod ES Fig. 25 Fig. 26 Figur zu II, 5 (elliptischer Fall) Figur zu 11,6 (hyperbolischer Fall) pr—x=@q pr += BD=-x 1 AC- CB ap BD: x Rechteck über AD = pa j 7° Gnomon CDE - q Rechteck über AD = pa — 2° (nomon C BE = q Aus den beiden Theoremen ergiht sich leicht. die konstruktive Lösung der Aufgahe. A p D x 8 Co x s do & 2 7 (el 4 £ ri c< £2 6x 0 Xx Os ist CBP Be- 0Q, d.h mg (Lp © 8 Lid n (2 pla parsa ee 2 also g = pr + x. Daß diese Konstruktion die alte pythagoreische ist, wird durch die euklidische Methode zur Lösung des Problems der stetigen Teilung (11, 11) bewiesen. In diesem Fall ist g = p®, also b = p. Die zu lösende Gleichung ist x? + px = poder p(p— x)= 2°, dh.p:r=x:(p_ 2). Die Konstruktionen, die EUKLID selbst in VI, 28, 29 gibt, sind verwickelter und behandeln allgemeinere Aufgaben, wenigstensin geometrischer Hinsicht: er macht dabei von der allgemeinen Proportionenlehre Gebrauch, während die geometrische Algebra des II. Buchs der ,,Elemente“ gerade den Zweck hat, diese zu vermeiden. In den „Data (Satz 58, 59) hat EuELID noch eine andere Darstellung des Sachverhalts gegeben, die der babylonischen Weise sehr nahe kommt. Als Beispiel diene: Hyperbolischer Fall (Data 59; vgl. Fig. 26): „A B wird durch C halbiert, also ist CB gegeben. Quadrat über C Bist konstruierbar, also gegeben. Rechteck über AD plus Quadrat über CB, die Summe gleich Quadrat über CD, ist gegeben. x Ne N DN Also ist Quadrat über CD gegeben, mithin auch die Seite CD. Also ist auch x = DB (als Differenz von CD und CB) gegeben.“ Die einzelnen Schritte siud der babylonischen Rechnung ganz analog. (AB = p. Rechteck über AD :-q BD = x). AN N Aa Fig. 27. Elliptischer Fall 2. Hyperbolischer Fall (Fig. 28): Ist g als Quadrat (b°) vegeben, so errichte man im Punkte B der gegebenen Strecke AB = pein Lot BQ von der Länge h und schlage um den Mittelpunkt C von AB mit CQ als Radius einen Kreis, der AB baw. seine Verlängerung in D schneidet: BD ist dann gleich r. Beweis E AC-CB= FP, d.h. 2° q= pr. na _ £ NE A — gli 8 I hinzugefügten Strecke BD gebildete Rechteck zusammen mit dem Quadrat der halben Strecke BC gleich dem Quadrat aus der Summe der halben Strecke BC und der Zusatzstrecke BD." 5 8 eine Strecke BD verlängert, so ist das aus der ganzenStrecke AB und der 3 ader Te 11,6: „Wird eine Strecke AB in gleiche Teile durch € geteilt und um — Teilpunkten BD gleich dem Quadrat der halben Strecke BC." Fig. 28. Hyperbolischer Fall Auch die babylonischen Normalformen, auf die in späterer Zeit die quadratischen Aufgaben reduziert zu werden pflegen, ty—q, x- y = p und = Q,% — y =p finden sichin den Sätzen 84, 85 der, Data wieder: ihre Lösung wird auf die vorhin genannten Sitze 58, 59 zur ückgeführt.

6) Approrimationen für irrationale Wurzeln PP Die geometrische Algebra des II. Buchs der „Elemente“ gestattet alle algebraischen Operationen 1. und 2. Grades geometrisch, das bedeutet für irgend welche durch Strecken darstellbare Größen, durchzuführen. So für a? + b gesetzt, also ein um den kleinen Betrag (=) zu groBer Wert. 64 Das hat man sich sicher auch, nach dem Satz vom Gnomon (II, 4), geometrisch klargemacht. stellt z.B. die parabolische Flächenanlegung eine Division dar (ab =ex d.h. x = ab : ce). Die Verwandlung eines Rechtecks (a - 5) in ein Quadrat Eine andere Herleitung geht von einer Mittelbildung aus. Das ist deshalb interessant, weil sie von selbst auf alle drei einfachen Mittel führt, die nachhedeutet die Ausziehung der Quadratwurzel (ab = 2%, x =| b). Der Grund für den systematischen Ausbau dieser geometrischen Algebra, weisbar bei den Pythagoreern (in der Musiktheorie bei PHILOLAOS (A 24 = Nicom. 26, 2), Arcayras (B 2 = Porphyr. in Ptolem. harm. p. 267), PLATON deren erste Anfänge ins hohe Altertum zurückgehen (Altindien nud vielleicht (Tim. 36a, Epin. 991a) auftreten: sie sind nach TamBLICHOS (in Nicom. p- Babylonien!), war die Entdeckung des Jrrationalen. Darüber wird im folgenden Abschnitt berichtet, nachdem zunächst noch einige Näherungsmethoden für Wurzeln erörtert worden sind. NS. DAS MEREHATA NS DEN en DER AT 65 118, 1939) von Pythagoras aus Babylon in Gestalt der „vollkonimensten Proportion‘ eingeführt worden. Diese lautet: a + b as E. 2ab ass? oder ai , (a: b) 1/1 [ a (-; 1\ ‚>. b) Approximationen für irrationale Wurzeln z.B. 12:9=8:6 oder 2:5 1. Nüherungsverfahren für die Quadratwurzeln uf treten, nämlich Quint (3:2) und Quart (4:3): dennesist:2:1 = (3:2) dl welch letzteres Beispiel die musikalischen Intervalle bezeichnet, die bei der Teilung der Oktave (2:1) auf- Schon in babylonischer Zeit war die Näherung a = La für die Quadratwurzel aus a? + b bekannt, ebenso in Altindien und sicher auch in frithgriechischer Zeit. Später tritt die Formel bei HERON (Metric. p. 14, 22-20, 5 Schöne) auf. Sie wird schon in alter Zeit wiederholt angewandt, um die Güte der Niherung fortgesetzt zu steigern. So wurde die indische Näheruny (4:3). Das erste Mittelglied der Proportion ist das arithmetische. das zweite das „harmonische“ Mittel, in alter Zeit das reziproke (UTevavTicy. subeontrarium) genannt, offenbar, weil es den reziproken Wert des arithmetischen Mittels der reziproken Werte der Randterme a und 5 darstellt. Nun ist in der „vollkommensten Proportion‘ das Produkt der Außenglieder gleich dem der Innenglieder: | +t 1 ‘| rT aus der babylonischen Approximation [2 = 75 el _ a-b — hergeleitet 4 und diese wahrscheinlich durch folgende Uberlegung: |? liegt zwischen 1 und 2; das Einfachste ist, das arithmetische Mittel -;- zwischen 1 und ? als (2! 4° 5 adders 2-7 oder 2 (39 . erste Näherung zu nehmen. Nun ist =) = Nach unserer Regel ist demnach: 5 V3 1 _ 8 1?° ME) -4=5Weiter ist: I7\2 1 Das geometrische Mittel m von a, è. nämlich Yab, ist also auch das geo. metrische Mittel ihres arithmetischen und harmonischen Mittels. Das bedeutet aber, daß man dem geometrischen Mittel von a, b fortsesetzt näher kommt, wenn man wiederholt ihr arithmetisches und harmonisches Mittel zwischen die jeweils erreichten Termini einschiebt. Das führt offenbar auf ein Approximationsverfahren für die Quadratwurzel aus ab, und es zeigt sich, daß dieses kein anderes ist, als das vorhin besprochene’. 2.3, 3 1 25 0, 1 © 122 17.1. 1 5) “spo (5) m pel Es sei ya zu approximieren, und es werde d= ab gesetzt und zunächst durch a, b angenähert. 1. Das arithmetische Mittel (größer als Yab) ist dann: > (a + b) = > (e + è) = ge =p ae Also: wenn man d = a? + fl setzt, wie in der bekannten Formel HExons. Demnach ist: EEC T_17 /12-17\_1 }2- UE 12 } do gl D 12 12-217 gts 2. Das harmonische Mittel (kleiner als Yab) ist: I 8084: 2ab _ab+ab abrd atb “arb' a + b Die allgemeine Formel für diese Näherung leuchtet ein, wenn man quadriert. ar 2 Es wird: ? Vgl. Conran MULLER, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik (B) II, 281ff. — O, ToEPLITZ, ibid. Il, 2561f, 7136 Becker, Math. Denken