De leer der getallen

SSSR a VIiSSER ) € : DE LEER DER GETALLEN door ’ Dr. C. VISSER !). Het zij mij vergund U in dit uur een en ander mede te delen over de leer der getalien. Bertrand Russell heeft eens de wiskunde gekarakteriseerd als de wetenschap, waarvan de beoefenaren niet weten, waarover zij spreken, terwijl het hen ook niet interesseert of wat zij uitspreken werkelijk waar is. Deze woorden, dic een oningewijde waarschiinlifk vreemd in de oren zullen klinken, bevatten meer waarheid dan men wellicht geneigd is te denken en zij zullen dan ook door geen wiskundige lichtvaardig worden tegengesproken. Dat neemt echter niet weg. aat vrijwel iedere wiskundige de behaefte heeft het werken met zijn symbolen en formules te rechtvaardigen en te verklaren door er de een of andere voorstelling aan te verbinden. In het bijzonder geldt dit voor de principiële elementen, die het uitgangspunt van zijn verdere beschouwingen moeten vormen. Tot die principiële elementen behoren in de eerste plaats de getallen en het is miin bedoeling, bij wat ik ga zeggen, in het bijzonder de nadruk te lieggen op de aanschouwelijke voorsteilingen. waaruit de fundamentele begrippen van de leer der getallen ontstaan kunnen worden gedacht en over de manier, waarop dit kan geschieden. ÏIk begin met de natuurlijke getallen. Men heeft het begrip natuurlijk getal op grondige wijze geanalyseerd en er vele verhandelingen over geschreven, De wiskundigen onder U zulien hierbij denken aan de namen Frege en Dedekind. Volgens Dedekind ligt de oorsprong van het getalbegrip in het vermogen van onze geest dingen te laten corresponderen met andere dingen, aan een ding éen ander ding toe te voëgen, of een ding door een ander ding af te heelden, Zonder dat, zegt hij, zou helemaal geen denken mogelijk zijn, Wij zullen ons in beschouwingen van deze aard niet verder verdiepen, maar ons om te beginnen op het standpunt stellen, dat het woord aantal of cardinaalgetai een duidelijke betekenis heeît en dat we daarbij denken aan een zekere hoeveelheid van dingen, een eindige verzameling om een, wiskundige term te gebruiken, en tegeliik 1) Rede, uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van hoogieraar in de zuivere en toegepaste wiskunde en de theoretische mechanica aan de Technische Hogeschooï te Deift op 3 Oct. 1946.

abstraheren’van de bijzondere aard van die dingen. Ook weten we wat optellen en vermenigvuldigen is: we moeten daarbij niet aan rekensommetjes denken, maar aan het bijeenvoegen van hoeveclheden. De som van twee aantallen is het aantal, dat we krijgen door die twee aantallen tot een te verenigen. Het product van twee aantallen is het aantal, dat ontstaat door ieder element van éen van die twee aantallen te vervangen door eençaantal, dat even groot is als het andere. Na deze proeve van toegepaste wiskunde moge vermeld worden, dat het begrip volmaakt getal ook aanleiding geeft tot bespiegelingen van zuiver wiskundige aard, Men kent enige even volmaakte getalien: men hesft zelfs een soort formule ervoor, die recds door Euclides werd opgesteld, Men weet echter niet of deze er eindix of oncindig veel voorstelt. Oneven volmaakte getallen kent men helemaal niet en het is niet bekend of er een bestaat, Zulke onopgeloste kwesties zijn er vele in de getallentheorie en Zi; behoren tot de moeilijkste problemen, die de wiskunde kent. Ik noem Men behoeîft zich, ook al heeft men nooit enig rekenonderwijs genoten, en misschien juist dan, niet lang net aantallen bezig te houden, om te constateren, dat zij allerlei en vaak moeilijk te doorgronden eigenschappen hebben. Als eenvoudig voorbeeld noem ik de volgende. Men zegt, dat een aantal een ander aantal als deler heeft, wanneer het verdeeld kan worden in een aantai aantalilen, die aile even groot zijn als dat andere aantal. Neem nu twee aantallen, die we gemakshalve even a en b zullen noemen. We vragen naar de aantallen, die deler zijn zowel van a ais b, dus naar de gemeenschappelijke delers van a en b. Is het nu niet een verrassend feit, dat deze gemeenschappelijke delers als voorbeeld het bervemde probleem van Goldbach. Er is nog nooit een even getal ontdekt, dat niet de som is van twec ondeelbarc gefallen. Het lijkt wel, dat zo'n splitsing altijd mogelijk is: 10 = 3 + 7, 12=5+7 14= 3 + 11 en ook = 7 + 7, 16 = 5 + 11 en «ok = 3 + 13, enz. Toch is dit vermoeden nooit bewezen, De Russische wiskundige Winogradof heeft echter in deze richting een indrukweckkend resultaat bereikt. In 1939 bewces hij, dat elk oneven.gctal de som is van niet meer dan drie ondeelbare getallen. Van andere merkwaardige eigenschappen, die betrekking hebben op het splitsen van getallen. is de volgende een eenvoudig voorbeeld. Beschouw de ondeelbare getallen van de vorm 4-voud + 1, dus de getallen 5, 13, 17, 29, enz. Deze getalien zijn altijd en wcl slechts OP één manier te splitsen in twee vierkanten: 5 = 1 + 4, 13 — 4 L 9, 17 = 1 + 16, 29 — 4 + 25, enz. Dit heeît enige eeuwen geleden Euler al bewezen. Nu we toch over ondeelbare getallen spreken, nog een enkel woord daarover. Ondeelbaar noemen we een getal, als het behalve de eenheid en zich zelf geen delers heeft. Het getal 1 rekenen we niet tot de ondcelbare getallen, en de rij der ondeelbare getallen begint dus met 2, 3, 5, 7, 11, 13, enz. De eerste vraag, die hier rijst, is: komt er aan deze rii ooit een einde?; anders gezegd: zijn er eindig of oneindig veel ondeelbare getallen? Het antwoord is, dat er oneindig veel zijn, het hiervoor door Euclides gegeven bewijs vindt men heden nog in alle leerboeken. Het berust op het feit, dat ieder getal het product is van ondeelbare factoren, Dit plus de bewering, dat deze ontbinding slechts op éën juist alle delers zijn van één derde aantal c? manier mogelijk is, noemt men wel de hoofdstelling van de theorie der natuurlijke getallen. Leken op wiskundig gebied zijn wel geneigd dit te houden voor jets, dat vanzelf spreekt, Dat is echter volstrekt niet het gevai. Een tweede vraag over de ondeelbare getallen is: hoeveel ondeelhare getallen zijn er bencden 100, hoëeveel beneden 1000, enz.? Hierover hebben reeds Legendre en Gausz een vermoeden uitgesproken, maar het -heeft tot 1900 geduurd, eer door Hadamiard en De la Vallée— Poussin een bewijs voor dit vermoeden werd gevonden. De stelling van Hadamard en De la Vallée—Poussin zegt het volgende. Van de getallen _ Dit is natuurlijk slechts een zeer eenvoudige kwestie. De meeste problemen op dit gebied liggen veel dieper. Opvallend is vaak het contrast tussen de eenvoud van de probleemstelling en de moeilijkheden, die de oplossing met zich meebrengt. Natuurlijk prikkelt dat juist de onderzoekers ten zeerste, Zij. die zich met het opsporen en uocrgronden van de eigenschappen der getallen bezighouden, hebben dan ook bij alle verscheidenheid een trek gemeéen. Zij worden door hun onderzogkingen zo bekoord, dat zij van geen ophouden meer weten, zoals de grootste onder hen. de beroemde Gausz, heeft gezegd. In vroeger tijden ging de studie der aantallen dikwijls gepaard met het verkondigen van alleriei merkwaardigheden, die ons heden zonderling aandoen. Deze hebben veelal betrekking op bepaalde individuele cigenschappen der getallen, Zo heeft men een bijzondere belangstelling gehad voor de zogenaamde volmaakte getallen. Onder een volmaakt getal verstaat men een getal, dat gelijk is aan de som van zijn delers; daarbij zijn alleen delers kleiner dan het getal zelf, 1 inbegrepen, bedoeld. Het getal 28 is een voorbeeld van een volmaakt getal: zijn delers zijn 1, 2, 4, 7 en 14 en de som van deze is weer 28. Het kleinste volmaakte getal is 6 (1 + 2 + 3 = 6). Een onvolmaakt getal is een getal, dat groter is dan de som van zijn delers; 8 is een voorbeeld van een onvolmaakt goetal. Met deze volmaaktheid en onvolmaaktheid van getallen bracht men allerlei dingen in verband. De kerkvader Augustinus verkondigde, dat God daargm de wereld in 6 dagen had geschapen en niet ineens, opdat de voimaäktheid van de schepping door het getal 6, het kleinste volmaakte getal, zou worden uitgedrukt, Dezelfde uit$praak deed Alcuin van York en Tours. Deze merkte ook op, dat de ark van Noach 8 levende menselijke zielen.bevatte en dat daarom het menselijke geslacht, dat begint met Noach, noodzakelijk onvoimaakt is. beneden een getal x is ongeveer het (log x)4e deel ondeelbaar en hoe groter x is, hoe scherper dit antwoord. Log x betekent hierbij de

natuurlijke logarithme van x. In meer exacte VOrm: is (x) co sens ding verhou de heeft ondeelbare getalien beneden x, dan je a limiet de i, toeneem en x/log x, wanneer x onbepaald van era bewijs van deze stelling treedt de beroemde Zêta-functie “a as ent. vend xe comple op, een transcendente functie van een ge , ne ijke natuurl der die met de eigenschappen nauw samenhangen ge a bare ondeel de over Er zijn natuurlijk vele andere vragen v : " er dat nd, opvalle zeer te stellen. Ik vermeld er nog een. Het is mu voarko n getalle bare zogenaamde tweelingen in de rij der ondeel N ù parts dus 31, en 29 of Daarmee bedoelt men paren als 17 en 19, N ne Ze aar ondeel twee opvolgende oneven getallen, die beide k we el Zi. gen niet bekend of er oneindig veel van zulke tweelin er e Si eert, men, dat de som van hun omgekeerden converg van de omgekeerden van alle ondeelbare getatlen divergeert, at wijs aller ger dus op een niet al te veelvuldig voorkomen van neclIm Tot dusver heb ik niet gesproken over de notatie van e geta ge t We met behulp van cijfers en ik zal ook verder hierover urgen nu Li] n ora n grondbegrippen van de getalientheorie zirn daarva 1 theorie de als t hebben de theorie der natuurlijke getallen opgeva sp men dat llen, de eindige verzamelingen: men kan zich voorste voor over hoopjes knikkers of pepernoten: men moëet weten, “al ni 1e igvu vermen en n samenvoegingen bedoeld worden met optelle ri maken; te niets e cen of andere algorithmus heeît daarme “ techniek is voor het inzicht in het getalbegrip van geen belang. ". “es dan d, genoem 28. ik in het vorige enkele getallen, zoals of tekenen kunnen stippen slechts ter bekorting: ik had ook 28 mijn vinger op kunnen steken. cer gere Overigens Pormt de ontwikkeling van de methoden om nu ge te aan manier ige door woorden of tekens op ondubbelzinn ee s syaleen positie het in het bijzonder de ontwikkeling van . bete dagelijks gebruiken, een stuk cultuurgeschiedenis van grote lie gaan. te in Op Het ligt echter buiten miin bestek daar nader Behalve als aantallen of cardinaalgetallen kan men de natuurli getallen ook opvatten als ordinaalgetallen. Men denkt dan meer ae wi het telproces. Met het oog op een later te vermelden generalisatie, e veran nde georde te ik een ordinaalgetal definiéren als een abstrac geste beeld bijvoor ling. Het begrip geordende verzameling wordt door een aantal op een rij geplaatste stippen of door een reeks op voigende gebeurtenissen of tijdstippen. Op vOOr de hand eue definieert men voor ordinaalgetallen optelling en vermenigvul liging. De theorie, die zo ontstaat, is formeel geheel dezelfde als die der getallen. Î chap wordt door velen wetens eve AS tdenle vorm van een deducti n de meetkunde van waarva beschouwd de axiomatische theorie, is vooral Hilbert, die Het ld geeft. ke voorbee Euclides ons het klassie heeft gebrachit. voren e naar method ische axiomat de waarde van de Hij beschouwt de axiomatische opbouw van elke wetenschap als het uiteindelijke doel van die wetenschap en als de enige methode , die absolute zekerheid geeft. Zelf heeft hij een diepgaand onderzoek betreffende de axiomatische opbouw van de euclidische meetkunde verricht en daarmee het werk van Euclides voortgezet en voltooid. In een axiomatische theorie wort elk begrip nauwkeurig gedefinieerd met behulp van reeds vastgelegde begrippen en elke stelling streng bewezen op grond van daärvoor bewezen stellingen. Daar men echter niet met niets kan beginnen, worden enige grondbegrippen zonder definitie en enige grondstellingen of axioma’s zonder bewijs als uitSangSpunt genomen. Vroeger rechtvaardigde men de invoerin g van bepaalde grondbegrippen en grondstellingen met een beroep op hun volkomen duidelijkheid en evidentie op grond van aanschouwing of ervaring. Tegenwoordig vai men de zaak anders op. Grondbegrippen en grondstellingen van een axiomatische theorie zijn gehcel willekeurig. De theorie wordt opgevat als cen abstract sySteem, onafhankelijk van aanschouwing of ervaring. Zij wordt daardoor, zoals men het wel uitdrukt, tot een spel met formules. dat volgens zekere regels wordt gespeeld. Men eist siechts, dat deze regels en de uitgangs punten zo zijn, dat het uitgesloten is, dat er ooit een contradi ctie ontsiaat. Door Peana is de leer der natuurlijke getallen in een dergelij ke axiomatische vorm gebracht. Grondbegrippen zijn ,1”, ,natuurl ijk getal” en .opvolger van”. De axioma's, vijf in getal, zijn: I. 1 is een natuurlijk getal. Il. Is a een natuurlijk getal, dan is o0k de Opvolger van a een natuurlijk getal. I. Hebben twee nätuurlijke getallen dezelfde opvolger, dan zijn zij identiek, IV. Is a een natuurlijk getal, dan is de opvolger van a niet 1. V. Het axioma der volledige inductie. Heeft 1 een zekere eigenschap E en heeft, als het natuurlijke getai a de eigenschap E heeft, ook zijn Opvolger de eigenschap E, dan hebben alle natuurlijke getalien de eigenschap E. Uitgaande van deze beginselen kan men definities opstellen voor de som en het product van twee natuurlijke getallen en de gehele thcorie opbouwen. De kwestie van de contradictieloosheid schijnt nog een teer punt te zijn. Om deze te kunnen bewijzen is het nodig, dat men vooraf een overzicht heeft van de definitievormen, volgens welke men fiieuwe begrippen kan invoeren, en van de redeneervormen, volgens welke men conclusies kan trekken. We komen hiermede op het gebied van de bewijstheorie, waarop in de laatste tijd zeer belangwekken de onderzoekingen zijn verricht. Na deze beschouwingen over de natuuriijke getallen, vraag ik Uw aandacht voor de positieve en negatieve getallen en het getal nul. In de meeste moderne leerboeken worden deze op een formele manier inge-

voerd als paren natuurlijke getallen, waarvoor zekere rekenregels worden vastgesteld. Van logisch standpunt is daar niets tegen in te brengen: wanneer men echter prijs stelt op een natuurliike en geleidelijke ontwikkeling van nieuwe begrippen uit reeds aanwezige voorstelwerk lingen en eenvoudige aanschouwingselementen, dan kan men te zetten. zal uiteen nu gaan op de manier, die ik twee operaties met verplaatsingen, dan zullen we onder de productde operatie aB de operatie verstaan, die hetzelfde resultaat geeft als ijk, gemakkel ert constatc operatie a gevolgd door de operatie 8. Men door dat B gevoigd door a op hetzelfde neerkomt als a gevoigd ie composit andere cen nog er en dat dus Ba — af. Naast aB bestaat willeeen op t foegepas a van a en 8. We denken ons de operatie sing keurige verplaatsing a. Verder denken we ons op dezelide verplaat . resultaat als singen verplaat a de operatie B toegepast. Dat geeft twee Het . laaising som-verp de Van deze twee verplaatsingen bepalen we uit de blijkt, dat deze som-verplaatsing o0k door cen enkele operatie somde heet operatie verplaatsing a kan worden verkregen. Deze Ook 8. + a door voor operatie van de operaties « en B. Men stelt deze £. + a als deze compositie is commutatief: 8 + a is hetzelfde e Deze operaties met verplaatsingen nu ziin de positieve en negatiev We stellen ons voor een naar twee kanten eindeloos doorlopende rij s De van dingen. U mag denken aan een rij stippen op een stuk papier. nt linkerka ik noem t, doorloop s eindeloo twee kanten, waarheen de rij rij. deze in singen verplaat over spreken en rechterkant, We gaan nu Een verplaatsing is de overgang van een of andere stip naar een, die een zeker aantal plaatsen rechts of links ligt. Men kan — dat vereenvoudigt de redenering — zo’n verplaatsing uitgevoerd denken uitgaande van alle stippen in onze ri]. De #ij wordt dan in zijn geheel verplaatst en daardoor op zich zelf afgebeeld. Er zijn verplaatsingen naar links en naar rechts en van beide soorten zijn er oneindig veel. in Ook onderscheiden we de nul-verplaatsing, waardoor iedere stip nd opvoige het dat , duidelijk meer zich zelf overgaat. Nu is het zonder uitvoeren van twee gegeven verplaatsingen een resultaat geeft, dat n. ook door een enkele verplaatsing rechtstreeks kan worden verkrege vergegeven twee de van -Deze noemen we de som-verplaatsing plaatsingen. Het geheel van alle mogelijke verplaatsingen is een Zeer Een eenvoudig voorbeeld van wat de wiskundigen een groep noemen. groep, een vormt singen) verplaat stelsel van bewerkingen (zoals onze wanneer ten eerste het opvoigend uitvoeren van twee van die bewerhet kingen een resultaat geeft, dat ook door een enkele bewerking uit iedere bij tweede ten en n verkrege stelsel rechtstreeks kan worden aanbewerking van het stelsel een inverse bewerking in het stelsel singen verplaat Onze t. vernietig eerste de wezig is, die het resultaat van vervormen een groep van een bijzondere soort. Hebben we twee als resultaat e hetzelfd b door gevolgd plaatsingen a en b, dan geeît a commuta een heet ap eigensch b gevolgd door a. Een groep met deze tieve groep of abelse groep, naar de wiskundige Abel. positieve U zult nu misschien vermoeden, dat ik zal zeggen, dat de want niet, ik doe Dat zijn. singen en negatieve getallen deze verplaat de die regel, de r bijzonde het in we zouden dan de vermenigvuldiging, bekunnen niet plus” is min kinderen uitdrukken door ,min maal grijpen. We moeten eerst meer gecompliceerde begrippen vormen. We kunnen een gegeven verplaatsing een zeker aantal malen herhalen. Ook kunnen we een verplaatsing omkeren en dan nog een aantal malen herhalen. Deze bewerkingen, herhalingen en herhalingen gepaard gaande met omkering, zullen we operaties met verplaatsingen noemen. Ze vormen geen groep. Wel is het resultaat van twee van . dergelijke operaties opvolgend uitgevoerd te verkrijgen door een zo'n . operatie uit te voeren, maar bijna geen enkele van onze operaties heeît een inverse, Men spreekt daarom wel van een halve groep. Zijn a en B getallen en het getal nul. Nul is natuurlijk de operatie, die iedere verde plaatsing verandert in de nul-verplaatsing. Het is zeer eenvoudig Laten leiden. rekenregels voor de positieve en negatieve getallen af te de we als voorbeeld nemen de regel — 1 maal—1=+1.— is het dus operatie, die elke verplaatsing omkeert: — 1 maal — 1 is resultaat van twee opvolgende omkeringen en dat dit de door + 1 aangegeven eenheidsoperatie is, dus de operatie, die iedere verplaat de is Daarmee betoog. nader geen behocft t, verander zelf sing in zich regel verklaard. Driehonderd jaar geleden verkondigde een gezaghebbend auteur, dat de zwakheid van het menselijke verstand een verklaring onmogelijk maakte. Het geheel der besproken operaties met verplaatsingen. dus de verzameling der positieve en negatieve gehele getallen en het getal nul, die we gezamenlijk de gehele getallen noemen, vormt een zogenaamde ring. Daaronder verstaat men een verzameling van elementen, waarbi] men elk tweetal op twee manieren kan samenstellen tot een derde element van de verzameling. De ene samenstelling heet optelling. de andere vermenigvuidiging. Er moet daarbij voldaan zijn aan de cis. dat men de gebruikelijke rekenregels van de algebra kan foepassen. Het is wel aardig erop te wijzen, dat de beschouwingen, die ons hebben geleid tot het begrip der positieve en negatieve getallen, ook voor een eenvoudiger geval kunnen worden gehouden. In plaats van een naar twee kanten eindeloos doorlopende rij van dingen nemen we een cyclisch gerangschikte rij van een eindig aantal dingen. We kunnen denken aan een rij op onderling gelijke afstanden geplaatste stippen op een cirkelomtrek. We vestigen ook nu weer allereerst onze aandacht op verplaatsingen. Deze kunnen we hier beter draaiingen noemen. Zij vormen nu een commutatieve groep, die bestaat uit eindig veel elementen en wel uit zoveel elementen als het aantal stippen in onze rij bedraagt. We moeten hierbij bedenken, dat, als bijvoorbeeld dit aantal stippen 20 is, een draaïing van 6 de ene kant op hetzelfde

is als een draaïiing van 20 — 6 — 14 de andere kant op. Verder, dat een draaiing van 8 gevolgd wordt door een draaiing van 15 in dezelfde richting een resulterende som-draaiïing van 3 geeît. enz. Vervoigens gaan we letten op operaties, die we op de draaiingen kunnen toepassen. We kunnen een draaïiing enige malen herhalen, omkeren, en beide dingen tegelijk doen. Overigens kan hier elke operatie als een herhaling worden opgevat. Er zijn weer evenveel operaties als het aantal stippen, waarvan we zijn uitgegaan. Op dezelfde manier ais bij de operaties met verplaatsingen definiéren we hier een som en een product voor twee operaties met draaïingen. We krijgen dan een ring bestaande uit eindig veel elementen. Een bijzonderheid treedt op als we uitgaan van een ondeelhaar aantal stippen. Dan blijkt er bij iedere operatie met draaïingen, uitgezonderd de nul-operatie, die elke draaiing omzet in de nul-draaiing, een inverse operatie te behoren, die na de eerstgenoemde toegepast deze opheft. Zo wordt bijvoorbeeld, wanneer we met 5 stippen werken, de operatie, die bestaat in het verdrievoudigen van elke draaiing, opgeheven door de operatie, die bestaat in het verdubbelen van elke draaiing. Een ring met deze bijzonderheid noemt men een lichaam. In een lichaam hebben twee elementen een quotient, mits de ,.deler” niet nul is. Een lichaam met eindig veel elementen. zoals wij hier ontmoeten, noemt men een veld van Galois, naar de ruim een eeuw geteden op 21-jarigen leeftijd overieden geniale Franse wiskundige, wiens naam ook altijd verbonden zal blijven aan de algemene theorie der hogere machtsvergelijkingen. Deze eindige ringen en lichamen zijn van groot belang voor de getallentheorie. Ik zal even aangeven, hoe men ze, uitgaande van de ring der gehele getallen, meestal invoert. We maken dan tevens kennis met een in de moderne wiskunde veelvuldig voorkomende wijze van begripsvorming. Om de gedachten te bepalen, nemen we als grondtal het aantal 5. Er zijn nu 5 soorten van gehele getallen te onderscheiden: de 5-vouden, de 5-vouden + 1, de 5-vouden + 2, de 5-vouden + 3 en de 5-voudert + 4, Elke soort wordt een restklasse ten opzichte van 5 genoemd. Laten we nu twee van die restklassen nemen, Uit iedere van die twee nemen we een getal. Deze tellen we op. De som ligt in een derde restklasse, en welke getallen we uit de twee gegeven restklassen ook nemen, deze derde restklasse, waarin hun som ligt, blijkt steeds dezelfde te zijn. Daarom kunnen we deze derde restklasse de som van de twee gegeven restklassen noemen. Voor de vermenigvuldiging geldt geheel hetzelfde, zodat we bij ieder tweetal restklassen ook een product-restklasse hebben. We vinden zodoende, dat de 5 restklassen een ring vormen; de ondeelbaarheid van het getal 5 brengt mede, dat deze ring een lichaam is. Het is formeel hetzelfde lichaam als wat we hiervoor geconstrueerd hebben met behuip van de draaiingen in een cyclische rij van 5. Op onze restklassenring is de ring van de gehele getallen afgebeeld, Het beeld van een bepaald geheel getal is de restklasse, waarin dat getal ligt. Deze afbeelding heeft de waardevolle eigenschap, dat het van die beeld van de som van twee getallen de som is van de beelden hun van product het getallen en het beeld van hun product eveneens eigendeze met beelden. Een afbeelding van een ring op een andere phe afschap wordt homomorphe afbeelding genoemd. Zo'n homomor . hewiizen beelding kan bij vele problemeri uitstekende diensten aantal gering een Positieve en negatieve getallen zijn nog slechts reeds men vindt eeuwen in gebruik. De gebroken getailen daarentegen dan staan Zij ng. in de grijze oudheid bij alle volken met enige beschavi Zodra leven. se ook veel dichter bij de ervaringen van het dagelijk g van kwesties worden beschouwd, die verband houden met verdelin en kten oppervla hoeveelheden en meting van grootheden als lengten, Samen spelen, inhouden zullen zij optreden en een verdienstelijke roi gebraken met de gehele getallen vormen de positieve en negatieve gegetallen een lichaam, het lichaam van de rationale of meetbare op getallen tallen. in de wiskuride worden tegenwoordig de rationale waarformele wijze ingevoerd als klassen van paren gehele getallen, mogelijk voor een aantal rekenregels worden vastgesteld. Het is ook ik zal : ze op meer aanschouwelijke wijze in te voeren als operaties daar echter verder niet op ingaan. geDe rationale getallen zijn de getallen, die in de practijk worden eenleiden hanteerd en daar voortreffelijke diensten bewijzen. Toch rationale voudige beschouwingen tot het inzicht, dat het stelsel der dat geleerd, getallen ernstige tekortkomingen bezit, U hebt op school zi] toen teerd, deze tekortkomingen reeds door de Grieken zijn geconsta nis ontstelte een het onmeetbare ontdekten. Ook hebt U vernomen welk en die ontdekking bij hen veroorzaakte. Zij vonden, dat er lijnstukk wordt d voorbeel bestaan, die onderling onmeetbaar zijn. Een kiassiek twee gegeven door de zijde en de diagonaal van een vierkant; deze men kan dus lijnstukken hebben geen gemeenschappelijke maat en Daaruit geen rationaal getal opnoemen, dat hun verhouding uitdrukt. niet z0 blijkt, dat het stelsel der rationale getallen voor de meetkunde de is erg bruikbaar is. Het geschikte getallensystéem voor de meetkun getallen dat der reële getallen, dat de meetbare en de onmeetbare dat op omvat. De Grieken hebben zich zonder deze weten te redden, en sche bewonderenswaardige wijze, maar de ontwikkeling van algebrai aan en analytische methoden na de Middeleeuwen bracht de behoefte het reële getal als zelfstandig begrip. op die Aanvankelijk heeft men de leer der reële getallen gegrondvest kan hier der grootheden, bijvoorbeeld lijnstukken. De naam Descartes genoemd worden. De theorie van het reële getal steunt dan op de wiskundigen axioma’s van de meetkunde. Deze toestand heeft echter de elijk getalniet bevredigd. Men wenste een van de ruimteleer onafhank begrip. In de tweede helft van de vorige eeuw is deze wens vervuld. aangetoond. Door Dedekind, Cantor, Weierstrasz en anderenñ is toen

hoe men het begrip reëel getal kan ontwikkelen op arithmetische wiize. zonder een beroep te doen op enige meetkundige aanschouwing oi meetkundige theorie. Daarmede werd de basis gelegd voor wat men genoemd heeîft de arithmetisering van de wiskunde, waarbij de gchele wiskunde, de meetkunde inbegrepen, verschiint als een gebouw, welk: enig fundament het begrip natuurliik getal is. De imaginaire of complexe getallen, die bij hun eerste optreden in de wiskunde, evenals trouwens de negatieve getallen, door een geheimzinnig waäs waren omgeven, kunnen op fraaie wijze mcetkundig voor de dag worden gebracht. We nemen een gewoon plat vlak. In dat vlak beschouwen we rechtliinige verplaatsingen of vectoren. Deze denken we alle uit te gaan van een vast punt O. Op het geheel van al deze van O uitgaande vectoren denken we ons zekere operaties toegepast. EIlk van die operaties zal bestaan uit een vermenigvuldiging van O uit met de een of andere positieve of negatieve factor gecombineerd met een draaiing over zekere hoek. Het blijkt, dat deze operaties, bij voor de hand liggende definities van optellen en vermenigvuldigen, een lichaam vormen. Dit lichaam is het lichaam der complexe getallen. Laten we in het bijzonder eens letten op de operatie, die bestaat uit het draaien van alle vectoren over een hoek van 90° in de positieve zin om O. Deze operatie noemen we i. Onder i maal i hebben we nu te verstaan de operatie. die hetzelfde resultaat geeft als twee opvolgende draaiïïngen van 90° om OC. Dat is blijkbaar de operatie, die iedere vector omzet in de tegengesteide vector, en deze hebben we voor te stellen door — 1, Zo vinden we op zeer natuurlijke wijze de formule # — — ]. De invoering van de complexe getallen was voor de wiskunde een grote verrijking. Zij verschaîfte tal van nieuwe gezichtspunten en leidde tot de theorie der analytische functies van een complexe veranderlijke, een der mooiste en belangrijkste delen van de wiskunde, Wij hebben nu een en ander gezegd over de verschillende soorten van getallen, die op vrijwel alle gebieden van de wiskunde en daar, waar de wiskunde wordt toegepast, in gebruik zijn. Veel zou nog te zeggen zijn over allerlei andere getalsystemen. De moderne algebraicus onderzoekt talloze ringen en lichamen, die in hun eigenschappen soms aanzienlijk afwijken van die, welke wij hebben besproken, en die ook voor de toepassingen — men denke aan de quantummechanica — van De leer der verzamelingen is de schepping van de wiskundige G. Cantor. Zij munt uit door grote schoonheid en heeft op merkwaardige wijze de ontwikkeling van de wiskunde beïnvloed. Ook heeft zij de stoot gegeven tot het ontstaan van uitvoerige discussies over het wezen en de grondslagen van de wiskunde, discussies, waaraan de namen van grote mathematici als Poincaré, Brouver en Hilbert ziin verbonden. Van het begrip verzamceling geeft Cantor deze definitie: Een verzameling is de samenvaiting van zekere dingen van ons denken tot een geheel. Dat is niet bepaald een definitie, die door helderheid uitmunt. lemand, die niet weet, wat bedoeld wordt. zal het er moeilijk uit kunnen opmaken. Laten we echter doun alsof de zaak ons gehcel duidelijk is. Over eindige verzamelingen hebben we gesproken; voorbeelden van oneindige verzamelingen zijn: de verzamelingen van alle natuurlijke getallen, de verzameling van alle ondeclbare getallen, de verzameling van alle continue functies van een reële veranderlijke, enz. Hoe beoordeelt men of twee oneindige verzamelingen À en B ..cven groot” zijn? Op dezelfde manier als bij eindige verzamelingen, dus door na te gaan of men de elementen van À een-aan-cen kan laten corresponderen met de elementen van B. Er treedt nu echter een merkwaardig verschijnsel op. Het oude axioma ..het deel is kleiner dan het geheel” is niet meer geldig. Neem voor À de verzameling van alle natuurlijke getallen en voor B de verzameling van alle even natuurlike getallen. Laat nu het getal 1 van À corresponderen met het getal 2 van B, het getal 2 van À met het getal 4 van B, het getal 3 van À met het getal 6 van B, enz. A is dan een-aan-een afgebceld op B. A en B zijn dus even groot”, ofschoon B een deel is van A. In plaats van de uitdrukking ,,A en B zijn even groot” gebruikt men de uitdrukking ,,A en B hebben dezelfde machtigheid” of ,A en B stellen hetzelfde cardinaalgetal voor". De vraag dringt zich op of misschien niet alle oneindige verzamelingen dezelide machtigheid hebben. Dan zou er maar één oneindig cardinaalgetal zijn. Het antwoord is ontkennend. Zeer eenvoudig kan men namelifk bewijzen, dat de verzameling van aile deelverzamelingen van een gegeven verzameling een grotere machtigheid heeft dan die gegeven verzameling. Daarimee bedoelt men met de uitspraak, dat À een grotere machtigheid over oneindige verzamelingen spreken en daardoor ontstaat een vervolg heeît dan B, dat B wel een-aan-een kan worden afgebeeld op een deel van A, maar niet op À zelf. Zo blijkt, dat er onbegrensd veel oneindige cardinaalgctallen zijn. De kleinste oneindige machtigheid is die van de verzameling der natuurlijke getallen. Men noemt dit de aftelbare machtigheid. Misschien verbaast het U te horen dat ook de verzameling van alle meethare getallen de aftelbare machtigheid heeft. De verzameling van alle reële op de theorie van het natuurlijk getal, Een dubbel vervoig, zou men kunnen zeggen, want de begrippen cardinaalgetal en ordinaalgetal gaan hierbij uiteenlopen. Reeds vroeg kwam Cantor tot het inzicht, dat de verzameling van alle punten van een plat vlak en ook de verzameling van alle punten gewicht zijn. IK zal daarover zwijgen. Gaarne zou ik echter tot .besluit iets willen vermelden over de oneindige getallen van Cantor. In het begin van deze rede hebben we de leer der natuurlijke getallen opgevat als de leer der eindige verzamelingen. Men kan evenwel ook getallen, dus van alle punten op een lijn, daarentegen is niet aftelbaar.

van de ruimte dezelfde machtigheid heeft als de verzameling van alle punten op een rechte lijn. Aanvankelijk meende Cantor daaruit te moeten concluderen, dat er met ons dimensiebegrip iets niet in orde 3 was. Men kan dat lezen in brieven, die hij over deze zaak aan Dedekind schreef, Dedekind wees er echter op, dat de een-aan-een-afbeeldingen van de punten van een plat vlak en van de punten van de ruimte op de punten van een rechie lijn, die Cantor aangegeven had, discontinu waren, en dat bij continue een-aan-een-afbeeldingen de dimensie wel bewaard zou blijven. Latere onderzoekingen, met name die van Brouv'er, hebben dit geheel bevestigd. Oneindige ordinaalgetallen zijn oneindige welgeordende verzamelingen. Een verzameling heet geordend, wanneer krachtens de een of andere afspraak van elk tweetal van haar elementen het ene voor het andere komt. Die afspraak moet zo zijn, dat, ais a voor b komt en b voor €, a ook voor c komt. Een geordende verzameling heet welgeordend, als de verzameling zelf en ook iedere deelverzameling een eerste element heeft. Voorbeelden zijn: elke eindige geordende verzameling, de rij der natuurlijke getailen, de rij der natuurlijke getallen gevolgd door nog een element, de rij der natuurlijke getallen gevolgd door nog eens de rij der natuurlijke getallen, enz. Wanneer men twee welgeordende verzamelingen heeft, dan zijn zij of gelijk, of de ene is gelijk aan een beginstuk van de andere. Daaruit vloeit voort, dat iedere verzameling van ordinaalgetallen weer welgeordend is. In het bijzonder heeft ieder ordinaalgetal en ook iedere verzameling van ordinaalgetallen een opvoilger. Het kleinste ordinaalgetal is 1, Daarop volgen de andere eindige ordinaalgetallen 2, 3, 4, enz. Na al deze komt het kleinste oneindige ordinaalgetal, dat men door « aangeeft en dat gedefinieerd wordt door de rij der natuurlijke getallen. Dan komi w + 1, gedefinieerd door de rij der natuurlijke getallen gevoigd door nog een element, dan w + 2, enz, Twee opvoligende rijen van de natuurlijke getallen bepalen, wat men noemt 2w. Daarop volgen 2w + 1, 2w + 2, 2w + &, enz. Dan komt 3w, 3w + 1, 3» + 2, enz. Zo verder gaande komen we bij w°, &? + 1, uw +2,.,.., w° + v, enz. enz, Het verschiet is inderdaad duizelingwekkend. Jeder ordinaalgetal heeft een zekere machtigheid. Ik moet bekennen, dat ik mij geen ordinaalgetallen van hogere dan de aftelbare machtigheid kan voorstellen, maar Zermelo bewees met behulp van zijn veelomstreden keuze-axioma, dat iedere verzameling kan worden welgeordend, en daaruit volgt, dat er ordinaalgetallen zijn van willekeurig hoge machtigheid. Het geheel van alle crdinaalgetailen, waarvan de machtigheid een bepaalde grens niet overschrijdt, noemt Cantor een getalklasse. Zo bestaat de eerste getalklasse uit alle eindige ordinaalgetallen, Hun verzamelmg en dus het op hen volgende ordinaalgetal « heeft de aftelbare machtigheid, die men wel Aleph-0 noemt. De tweede getalklasse bestaat uit alle aftelbare ordinaalgetallen. Hun machtigheid en dus die. van het op hen volgende ordinaaigetal is de kleinste niet-aftelbare . machtigheid. Deze noemt men Aleph-1. verzamede is dat , continuum het heeft gezegd, heb reeds Zoals ik ling van alle punten op een rechte lijn, een hogere machtigheid dan de aftelbare. Nu heeft men nog nooit een verzameling van punten op een rechte lijn gevonden, die een machtigheid heeft groter dan de aftelbare en kleiner dan die van het continuum. Dit leidde Cantor tot het opstellen van de hypothese, dat de machtigheid van het continuum Aleph-1 is. Al zijn pogingen dit te bewijzen bleven echter zonder resultaat en ook heden ten dage is het zogenaamde continuumprobleem nog onopgelost. Het werk van Cantor heeft tot veel kritiek aanleiding gegeven. Dat de léer deze kritiek niet ongerechtvaardigd is, blijkt al uit het feit, dat der verzamelingen tot paradaxen leidt. Zelf heeft Cantor al geworsteld Veel met het paradoxale in de verzameling van alle ordinaalgetalien. dit 0p de over 00k veel ziin, vertellen te zou er over deze paradoxen logici de iussen ten geschilpun komende gebied zo sterk naar voren de en axiomatici en de intuitionisten. Ik zou daarmede echter allicht grenzen van mijn onderwerp en de tijd, op welke ik beslag mag leggen, overschrijden. en wil daarom nu deze beschouwing van de verschillende soorten van getallen laten eindigen. Eee CLADE S,