Theoreme de Pythagore, origine de la geometrie scientifique

Gaulb ZEUTAMEN.N.N. GS. ORIGINE DE LA GÉOMÉTRIE SCIENTIFIQUE Par M, H.-G. ZEUTHEX Prolessne à laits de Copeghaute. Pline depuis notre enfance a orignenr géométrique, nous avons snnvent quetque diiculté à ae bien distinuuer les notions gécmr- Priques, Nous sommes tisposés à eroire que cellesei se sont présene us suivre bete Siniplicité leique. où bien dans le moe codre qu'il Pat ivre pour bien fonder chaque sonveuu penses sue des faits drogue presatee listoetesoles mrattetmatiques, Æudiure, de Fetes, ei tanche dans ue mégetee de ee use, Tattiiboe, en eifet, à Dit Piaboouserte de sente propositions abstraites qui nu pos Let sens ai effes sue faisaient que panier su stiimedts éue metihe pese févtoppeé elles par eeneples Peux trianeles avant tu cé al compris entre deu angles eaux eh chaton sont “unnx edit que Thatès devait Sen seruir M'apres Loomanitre dont on vupportée Qu'il dtéterminait la listancedes vaisseaux ernmert, Certainement, en déterminant, at mosen de mesures qu'on pren se procurer, des distauces à des points inacressibles où aura su proter de la vérité exprimée par ledit théorémest probablement méme aussi de la proportionalité des côtés de deux triangles ayant deux angles és ehaeun à chacun: mais y a loin de Va à en Faire nn thébréme exprés et à reconnaitre sa dépendanes dde vérités encore plus simples. De La même maniére beaucoup d'autres vérités géométriques, et non pas celles seules qui fout naturellement Le point de départ PU Tasseur, Le grometrie grep pr, tunes sis iins, pr Pintesenrier. Din,

ZEUTHEN des systèmes scientifiques de géométrie, ont été à la disposition des hommes longtemps avant les véritables commencements de ces «vs témes, On en trouve les traces dans tous les monnuments d'une ane tique civilisation, Cu bâtiment à base rectangulaire et bien orienté montre une connaissance de l'angle droit et de moyens de le construire, ainsi que Ja possession de procédés soil pour déterminer ja trace horizontale du plan vertical passant par l'étoile polaire, soit pour diviser en deux l'angle des droites menées aux points du lever et du eoncher dn soleil. À la régularité des pierres des parois ou des carrenux du sol et à la décomposition de la masse de l'argile en briques carrées on reclanuulaires s'est atlachée une idée des aîres de fivures planes : car le nombre des briques nécessaires pour les rem plir en esi une expression, Cette idée a trouvé encore des agpdiens tions dans la distribution des terres. Le prenner dessin à #14 du moins Fessai de construire une figure semblable à une autre, es différents arts tels que la faluieation de tuiles, auront fait obscrser poor des netnibres simples et entiers Fa proportionnalité defeurs aires aux currés des côtés homologues, Ou aura étendu ces properties lités à certaines autres fioures scoinblalless on aura pas tien pour l'appliquer à la propptionalité de deux cereles aux carrés de leuss avons qu'on sût lo démontrer pur a méthode d'exhaustion. En décmnmpuosant be plan en carrés et end oimenant des disgonales, ou auea obtenus inimédiatesent Kodupliceation d'un carré, que nous resardons à présent comme nue application parlieculière du thévrème de Pythagore, Oua pu le faire sans v attacher la moindre idée du théorne généralt. Dé méme le jeu le plus simple avec in compas plus ou moins grossier & pu conduire à Ja construetion de Iriauvles et d'hexagories réguliers, à la déconipesition du planences funres et, PSctorexnarver recononaende Wed als Hille und Vorsieflune, D. 1. 15 et ailleurs) la mème appropriation hituitive des vérités géométriques qui Été pose sible avant la géométrie propres taie fun pus su évaluer Ja portée de eatre appropriation. Voilà ee qui le porte à reproches & Luelide dé ne pas rendre sa démonstration du théorème général de Pithagure aussi simple que elle de son application à nn triangle rectangle et iseeèle, & lignelle nous avons fair all Sion ei, 61 dont se sert Socrate dans un dialogue de Platen pour apprendre a dopliration d'un carré à Fexelave de énon. Euclide s'en sevait sans doute servi, Siné s'était agi que de ve eus particulier. Les artifices de la démonstration générale d'Enelide lui étaient nécessaires. parce qu'il avait besoin du théorème avant d'avoir parlé de la similitude, et sa démonstration est à cet égard un chefd'éeuvre, Nôus nous éceuperons du reste plus loin des voies plus intuitives qui ont pu rondnire à la première découverte du thècrème général,

peut-être à la triplivation de triangles équilatéres !. Aux observations qu'on à pu faire ainsi aura aussi appartenu.l égalité des différentes parties d'une figure présentant une symétrie où uniformité visible. Avaut la géométrie propre, ceux qui ont eu dans leur métier ou art à s'oceupet des fiuures en question en ont pu acquérir par line tuition les éonnaïssunces dont nous venons de parler: es Fut le résultat d'expériences réitérées assez souvent et de comparaisans et raisnpnements assez. simples, gravés assez promplement dans la mé moine pour faire croire immédiates Les notions ainsi acquises, On a aussi besoin de l'intuition dans li géométrir xacte. Non seulément ele est Le meilleur wuide vers les nouvelles découvertes, qu'il faut dénentesr ensuite vigoureusement, mais en mème temps elle est du usuue bien reconnu dans les systèmes géotuétriques, sait dans celui afbueltle soit dus ceux dont Fa construction fait un objet de prédilection pour les séometres du vinutième siéele, Seule ment les peuples avant ane civilisation sus aueriae géométrie propre, ainsi que les hormines de métier 4 Roue, où Von men avait guére de vratrient setentilique, et nutme souvent de nos jours, appliquentestte futuition à chaque figure dont ils out à s'occuper, Hodis que, dates les svstémes, on réduit l'application de Finotaition au plus petit nombre possible des eas les plus simples: pour erux-et on avone qu'on ue les tient que de l'intuition axiomes.. où biereu les postule sans se soucier de l'ortyine de ces notions. L'affaire de la céométrie, c'est clement Pen déduire Les autres vérités. Cola n'empéehe pas ques be autres vérités peuvent sembler ensuite assez tatuitives potirr “ire utilises durs Ta ie pratique ou servir de points de départ pour de nouvelles découvertes. Quelle raison d'être à done la uéométrie propre et quel besoin Va Fait maitre besoin s'est menti le deux manières, L'application de la Simple intuition à des questions de plus en plus coutpliquées est expose à désénérer en une routine qui ne suit plus distinyuer avec Er expliquant autrement {voir l'article de M. G. Kewirses danx le XVTTEe vel, de Li Zeitschrift für Assrriotogiet et d'une manière plus orithinétique l'origine du système sexagésinal des Babyÿlonieus, on doit peutètre attribuer la division du cerele ea 560 degrés à la facilité avec laquelle où constmnit la Sixiine partie du ecrcle, En ctlet, c'est à cette sititme pactie que s'applique immédinlement la division sexagésinmale en degrés, aiautes et sereudes, Devant bis are Kiments de M Rewirses, nous réconmaissons la faiblesse de l'explication astrnnomique de cette division du servie.

sûreté le vrai du faux: et, de Fantre côté en S'oceupant des quese tions géomélriques, on est conduit à la connaissunee de vérités que l'intuition n'était gutre capable de saisir, on du moins ne le devenait qu'après des efforts pour les mettre en rapport, par une démoenstrae tion plus où moins développée, avec des vérités plus immédiatement -#tvidentes. ue Le premier de ces deux besoins s'est fait seutir par des méprises telles que les suivantes : Dans Ta mesure des terres auxquelles, pour commencer, i était naturel de donner nne forme rectausulaire, on à été conduit ensuite à appliquer aux aires de qnadriliteres s'approà - : à a +c + chant de a figure rectangulaire fa formule ii, . ei 2 ot a, be, 4 sont les longueurs des côtês dans leur erdre naturel Murs lapproxi mation n'est pas mauvaise, imais la routine à conduit à uppliquer ensuite Ja même formule à des fiuures tres différentes du rectangle, Ou trouve cette formele qui à aussi été emplovée inôte pour des Pnangles resardés comine quadriluières à um côte égal a cére dons Panciene géométrie égyptienne, dans la géométrie ibienne. chez les uurimenseurs romaine et méme parfois chez nos paysins, et au ions des ssoimenseurs romains Pont appliquée à des ns où Va prexmation était fort mauvaise La eopstruction d'un hexavane re gubier à conduit en se servant du compas pour mesurer Îles üres. à la valeur 5 de 7. dont on à fail usage mime en des és où celle approximation ne stffisait pas. La premisre découverte que Fintuition ne pouvait pas fournir imimédiatement fot celle du iéorème de 'ythagore » appliqué à des trinngles rectanales et de côtés ineuanx. Cela résulte du fait que les géometries qui out été capables de se dévelopuser oHésieuremend on pris cette découverte pour point de départ. Ce progres n'est pas encore fait dans Paneienne géométrie éiape tienne. Cest à elle que s'appliquent la plupart des renrques que nous avons faites sur la-uéomeétrie qi se contente d'intuitions, ctelle peut en servir d'exemple, Les Eugyptiens se sont élevés, dans ja mie thode de segt. à l'emploi du rapport des deux côtés d'un triangle rectangle pour en fixer la forme, on bien pour déterminer Fineli. naïson de droites: mais dans leur géométrie on ne trouve avenue trace du «théorème de Pythagore 5, M est possible que, comme le suppose M. Canturt. is aient en une connaissance empirique du lourdesnngen, 1, jp. 63-61.

triangle rectausle de côlés 3. 4 et 5: mais les raisons émises en faveur de cette hypothèse ne nous paraissent pas bien convaincantes. C'est à bon droit que le savant historien, en parlant de l'existence d'équerres constatée par des monuments figurés égypliens. ajoute que pour construire cet outil on devait posséder des moyens d'en contrôler la justesse: mais il faut ajouter aussi que l'idée générale d'un angle droit devait précéder tout moven empirique de contrôle. Ou a pu acquérie cette idée soit es pliant une Feuille plane papyrus. parehemin où drap à une époque où lon n'avait pas de papier, soit en la tirant de Pidée de Ta svmetrie. Ft chacune de ces origines de idee d'un aus droit à pu fenrair d'assez bons moyens pour en construire et pour controler Feux qu'un construit autrement. L'idée de Ja symétrie conduit par exemple à élever la perpendientaire sur un point À dune droite env déterminant premiérement deux points But Ctels que BA 2 AC et ensuite hors de la droite un point D tel que BD 2: CD. Dans be champ eutte construction s'exécute au moyen de cordes tendues et alle est emplovée dans deux des rules que nous rapporte peste Sutbasitres! ct dont les tndiens s'étaient scevis depuis une époque trés reculée pour construire leurs autels. Les herpedanaptes éuxpÜüens ont pa faire sn usage semblable des cordes auxquelles Ds doivent leur nom -- tireurs de cordeau, — Ce nent ue stftbolonc pas pour démontrer qu'ils connaissaient la propriété du tébanete de côtés 3 % et 5 dont parlent du reste certaines traditions éreeques M Cut veuarde lui-même les signes qui pourraient bibi Le cmmaresane, de ce triuicle chez Les Fébreux ettes Bash heniesss sono assez doutesx. Quotqu'ilen soit, où ne trouve chez eh aan fine lune couniatssonese llérienure du cc théortanr de Pathiimone Les Chinois ont eu de trs bonpe heure connatssanes de [a pro poiété bhrtrianethedeeôtés. 4et5. Probablement elle a êté tout d'abord empirique etilest difiede de déciles à quelle époque on $a rattaché en Chip. F7 et chap. VII, 3. Ebes sé trouvent aux p. 850 et 33% dans la traduetion de M, Büuk, Zeitschrift der sentschen morgenEintisehen Gesellschaft. 6.56, Dans ee qui suit nous citerons eette tradnetionset l'introduction de M BüRk au t. 25 comme Rx, 1. 36 et tu 53. FM, Aceax, Greek (rometry from Thales to Eueclid, jp. 29. cite à set égard Platarque. Les divisions des pavés eu carrés Clman, fe ont anssi pe offrir aux Egvptieus Les mêmes ocersions d'observation que les décompesitions ana lugues des [ndisns dont nous avons par les Salhasatras une connaissance plus directe, et dont nous allons parler immédiatement.

une démonstration sur laquelle nons reviendrons et une connais sance générale du « théoréme de Prthagore ». Quant aux Grers et aux fndiens les traditions les plus anciennes signalent des connaissanees plus générales, Celles-ci sont attribuées par les Grecs à Pythagores mais Ve développement rapide qu'a subi ensuite la géométrie grecque fondée par ce grand homme, nous à dérobé les movens de bien connaître la portée de ses connaissances ut de ses déconvertes. Ten est autrement pour les Jndiens : les Su basutras nous font connaitre un état de leur géenmétrie presque iden. tique à celui auquel, d'après les meilleures sources, Prthagore Paurait élevée. Nous apprenons done à fa fois par Ki à connaitre Je niveau uéométrique où s'est faite la découverte du hsoréme de Prthagore » el les prourés ultérieurs que cette découverte alfait provoquer imméciatement, Cependant eet usage des Sulhasniras ne serait pas permis si. comme le croit M. Cuutort, a véométrie que nous y trouvons nest qu'une reproduction dé considesinees crecques; mais eee hvpothése n'es pas sontenable, si Bt cbronetogie de M. Bérk est juste. Selon Tnie, Piprestenba Sulbasutra doit dater du quatrième où cinquitine siècle avant Hésns-Christ sn phustard. Jesuppose done que méme les raides divergoners des chronolouues de histoire indienne ne rendent pas possible de Ti assigner nne dite permettant moe Fuflueuce du côté de Heron. qui a vécu probablement un siecle aprés Jésus-Christ. Du reste, aprés fa découverte du véritable texte des Métriques de Heron, les ressemblances qu'on a ery voir entre son œnvre et les Sulbasne tras se réduisent & celles que Funité des vérités géométriques rend nécessaires, Comme les Salbasntras S'écartent cneore plus du reste de laliltéciture grecgue que nous poseédons et qu'ils ne nous cominnniquent que des vérités connues leusiempe avant Æaelide, 1e nous fourniraient, danse de cas où ils seraient provenns d'influences grec ques, un précieux moven de contre la plus ancienne géometrie des Hellènes. Mais rien ne prouve une telle influence et nous eroirions plutôt, avec M, Bärk, à une influence inverse venant à Pythagore du côté oriental. En effet, M. Dirk démontre? que du moins une partie lorlesungen, 1.1, jp. 596. {Aprés a pnblication de M. Rürk, M. Caron à modifié ses vues, (Archiv der Math. (81, 8. p. Gi] 3 Bünr,t. 5, pe 551. # Bünk, 1 39, p. 543-536. Mon collesne M, D, Axverenx eva fait observer que M. Macvoxris £e prononce dans son fisturr of Saushrit Litterature duus Je méme sons que M BËnk.

des connaissances qui s'atlachenut au théorème dit de Pythagore datent d'une époque bien antérieure aux Sufbasutras. Ceux-et nous rapportent en effet des règles rituelles beaucoup plus anciennes, Je ne me tiendrai et qu'a celui de ses arguments qui a un côté géométrique, Le seul dont jé puisse juger moi-mèue. g Un des aulels dont Les Sabusaultras nous enseignent la construction uéométrique est déjà mentionné dans Taitticiga-Samhita et Satapitha-Brahmana, ouvres qui datent, selon M. Bärk, au plus tard du huitième sitele avant Jésus-Christ. [ a la forme d'un trapéze isnerle fi. Le dont a hasteur est éuale à 56 ot fes basex puspectisement à 30 et à 24. L'Apastamba-Sullasatra indique plu- B — E —_——, À À { sieurs constructions! de cet autel, où V4 ï les anses olroils sont oléterminés au meven les Eriuniles reetanules sui- TS | vants: 9 EFC qui à pour côtés la hanté EF FC = 15 26 et fa demi-basr et dont Fhspotéause EC doit être égale à 30: 2e es triangles BEO et CFO qui ont pour côtés les D F denit-bases : BE = 19 at FC — 15 te et les dent seuments de la hauteur FA = let OÙ 24 et deut les hypoténuses, seusments de la dia comile DE doivent être BOL 0, OC 2 0: 4 le triangle EGA avant pour côtés la demi-base EN 2 12 et le sewment de la hauteur Ft 25 01 dont Fhypothénuse doit re AG = 13: % le triangle ESA asant pour côtés la demichase EU 2 2, le sewmeut de la hauteur FI = 55 et dont Fhipoténuse doit être NS 2 37: 3 le triangle ayant pour côté la demihase FE LS et le segment de Eihauteur FITZS et dont lhypotéurse MC 2-2 IT. De mème que M. Park et que M. lantor?, nous croyons que dès l'origine onenachoisiles dimensions telles q'ou en pât proliter pour la construction des angles droits. Cette construction n'est pas montrée dans les plus anciennes descriptions de l'autel; mais c'est probablement du premier des triangles rectangles aux côtés 36, 15 et 39 qu'on a fait usage oviginairemeut. (pastumbhea montre eu effet sa vénération 1 Düur, t. 46. p. 210-741 dela. V. 1-6}. 21, p. 596-590:

5,-6, ZEUTREN pour ce triangle, non seulement en commencant par lui et en l'emiplovant aussi à la construetion de la droite BA prolongée), mais en introduisant dès son premier chapitre in 2%. cefte construction des deux perpendieulaires avant le théorème général de Pythagore et toutes les antres applications qu'il en fait. Il est du resté assez probable qu'en faisant le choix de la longueur de la plus petite base on a aussi eu égard à la formation des triangles à côtés entiers BOE «4 COF?. Quant au facteur commun 3 des différentes lonsyueurs, ilaura sans doute été nécessaire afin de donner aux multiples d'une mesure counve des grandeurs convenables pour la construction de Tautel, Après le ehoix des dimensions. on s'est plu à profiter de la connaissance d'autres triangles rectangles de eûté 12 on 15 pour mullipher les procédés de construction, Les ludiens ont done eu nine connaissnes Dés aveienne du tsiangle rectangle dé cûtés 15,36 61 39 où 5, 12, 13 et probablement anssi du trianute 4. %, 5. Les autres notions wéométriques que nous cons nique Apustemba se vailachent assez intimement à ees connaise sanees pour nous exeinpler d'en chercher lortuine ailleurs que chez les Juiliéns. Les prenmivrs chapitres de PApastamba sullasutre# ont un car ère essentiellement géométrique, Dans le premier les propositions 2 et 4 contiennent des construetions d'angles droits au moven de cordes de Jonuueurs 13, 36 et 8 ou 3, 4 et 35. Le n°4 contient énoncé wénéral du « théorème de Prihagore vil “st seulement, comme duns jes autres sulbasutras, applique aux côtés et à da diagonale d'un rectanete, et pen pas aux côtés d'un triangle, Apristendbes ajoute que les constructions précédentes sont des applications de ce théoréme à des cas où De rectanule est reconnais sable », cela veuf dire, évidennoent, où ses côtés et Ja diauonale s'expriment par des nombres entiers. Le n°3 est l'application du théorcme précédent à un earré, on bien dus théoreme de Pythagore » 4 un toangle isocele, Pour la rendre utile, elle ausei.à des constructions pratiques d'augles droits. Fauteur indique au n°6 que pour avoir la diagonale d'un carré 1 faut prendre ; = Au Côté, ce qui est une approximation assez 1+i+—r 3.4 4 3.4 . V Bünk, 56, p. 327, 2 Ou auvait-on commeneé par ces deux triangles? Cela expliquerait le facteur commun 8 des sôtés du triangle EF CT 3 Hénx, 1. 56, p. 427-489.

bonne de V2. Le n°7 contient une construction d'un carré que nous avons déjà citée comme exemple dune détermination de perpeudiculaires par des cordes sans dépendance du « théorème de Pythagore ne Le n° E du second chapitre contient Papplication de Ja valeur approchée de 42786 à la construction d'un carré. Le n°2 contient la construction de a 43e cdroite qui produit letrigles eurnrme diagonale . . Fr . ! don rectancbe aux cûtés a et a ÿ2. Dans le non remarque que 4 V3 est le ebté Ae la neuviéine partie du carré construit sur & ÿ3, ou bien que V4 Lez z V4 Les n°425 contiennent l'application du «théorème n 02 de Pithasore à la construction d'un carré égal à la sonne ou 4 la diférones de den carrés donnés, Le n°6 eu particulier La coustrueonde y: Dans Le nt resternehe translorne un retanagle ab eu on carré sil le fait conume Lrefide LE eu connmencant par le transforaiereiun gnomon, diférence des carrés, (5 7) et (— "}. Voilà Le deuré Le plus élevé que notre auteur ait atteint. Au contraires il ne semble pas connaitre le procédé dont Æ£uctide se sert Eléne Pah,, pour résoudre Le problénu inverse: trausfommer un enr parallélogrenmme chez Erefide von nu vectanule paraltétegrande mèues angles dont on connait un côté hi se borne. eu elfe, à dite dans le node troiséione chapitre Qui faut retrancher du carré cet, nu rectangle he au côté 4 et ensuite edlapter de peste cet. pes être ajouté au rectangle che c'est-icdire ri donner Le eôté 4. Crtie adaptation est un probléme de la mème nature que be probléme proposé, Fe rénssira si 4 ete sont donnés numérique ent, par la division du rectangle be par 4, où pareelle du carré ee DE qu'on obtient pue une soustraction ultérieure du rectangle ie -bt b, On aurait bien pu obtenir le méme résultat plus directement en divisant €? par b; mais Le problème à été réduit à des nombres plus simples, ce qui est en réalité la voie de la solution arithmétique. C'est seulement beaucoup plus tard qu'un commentateur à exécuté géométriquement Vadaptation demandée en profitant, de mème qu'Æaclide, des rectangles dits complémentaires. Les n°2 et 3 contiennent des constructions très grossitres d'un 1 Rüks, t. 36, p. #14, vote 2.

cerele égal à un carré donné et d'un carré égal à un cercle donné. # La première correspondrait à 7 2 >, a seconde à j 13°? NS un _ ... . — 18 x —# (=) «expressions dont l'identité demanderait 42 — TE Les n° 4-10 contiennent pourles cas particuliers suivantsta 221,9, 1 1 13 1 . . . . | La des 3- le nombre entier ou fractionnaire 4? des petits carrés dent se compose Je carré de côté 4, et encore 7 et {6 des règles plus générales pour la formation et Faugmentaton de carrés. Dans Je n°7 il est dit qu'une eorde produit autant de séries de pelils earrési qu'elle contient d'unités et de n° 9 est identique à notre Formule la + BP = af + ob + représentée géométnquement comme dans £uclide W4. Cons encore Ja remarque dans le n°4 qu'on ne parle que de carrés dans les cas où on pe dit pas expressément autre chose, remarque qui fait allusion, selon nons. à Va possibilité de divisions analogues d'autres ficures. Thans des applieations qui suivent, l'auteur connait en tout cas hs division d'un rectangle de cotes 4 et à en ab petits currés. Les chapitres suivants contiennent les applications de ees proposilions séométriques aux constructions ritualistes. premicrement à celle de l'autel trapézoïdal dont nous avons déjà parlé. On aura remarqué que larécle donunéedansle précédentehapiire pour lausmenlation d'un esrré TILO ainst que la représentation antérieure de la différence de deux carrés sous forme de unomeon T7, a fourni les moyens de déterminer les triangles rectangles à côtés entiers! dont en parieulier ces construrtions présentent plusieurs exemples. mavens dont se servent astesi les Grecs au tuée effet, Le n°7 du quatrième ehapitre. où Fauteur trouve que Faire du trapèze isocèle de bases 50 61 24 et la hauteur 36 est éural 4 079 unités carrées présente exceplionnellement Pexémple d'une veritable démongiralion géométrique. En effet, on transforme le trapèze eu nn rectangle par la transposition du triangle rectangle formé d'un des deux côtés égaux, de sa projeetion sur la base et de la hauteur. La suite traite de constructions de sanctuaires de figures assez différentes et de Ja détermination des nombres dues briques carrées on rhomboïdales nécessaires pour remplir l'intérieur de ces fiuures PM, Däns montre (1. 85, p. 364.872 longuement les détermiuations dr teus les triangles de colle paiure qui sont inentionnés dans les sulhusutras.

planes ainsi que des formes et des nombres des briques des bords. Ce qui nous intéresse le plus, c'est la multiplication des figures par les nombres de Là 8 sans modilication de Ta forme XL U qui doit se faire au moyen du « théorème de Pythagore ». M. Bäürk suppose du reste qu'ipastenhe qui na parlé, dans la partie géométrique, de l'applicatien dé ce thécrene qu'à des carrés et non pas méme à des rectaugles semblables, se boene diuns Les constructions pratiques à des multiplications de carrés. Aussi croit-il nécessaire! d'expliquer autrensent que comme application immédiate du théorème eu question un renvoi d'Aprastmbea IKXKLSt à ce qu'il prétend avoir dit sue laddition de rectancles. [s'aisitele la triplication dune Ggure composée dun carré 240, de deux rectaucles 120 Dh et d'un rectangle 120 5 152. La triplicutive du carré se fait d'aprés les régles données. Pour tripler un reebuste Fe Li on à dû. selon XL Pérk, commencer par Le transfocneer, Lui et le rectangle double 240 5< Pen des careés Et etes ajouter au moyen du « théoreme de Pythauore », aurait été plus simple de transformer immédiatement Le céetançle 3650 XX (4 cu un cavré. Feu résulte un carré que selon le procédé indiqué au n° HE on peut transformer en un rectaugle de côté donné, Mais quel sera ve côté) De même que Le côté 120 du rectangle donné est la moitié du ct 40 te carmt donné, le côté correspondant du rectangle triplé doit étre la moitié du côté déjà déterminé du carré triplé. Elune personne n'aviuit vien dit sur la sommation de deux rectaugtes semblables et qu'il renvoie expressément à ee qu'il a dit, NM Durk a bien fait ilessaver le ne faire sue que de ce que sou ant teur a réellement énones, Cependant le Salbasntea nous uspier plus de continues dans Le sens pratique de ceux qui out trouvé les pro priètes géométriques qu'il renferme, et aus leur habitude de considéreriles Hyures vonpostes de carrés. que dans leur faculté d'exposer bien svstématiquement leur savoir. Une fois en possession d'un côté du rectangle triplé, ils auront trouvé de meilleurs moyeus de construire le rectangle devant ètre semblable au rectangle donné, “dont Les côtés ont Le rapport simple de 5 à 6, que la douteuse régle de HI, 1. L'auteur du sulbasutra peut avoir, du reste, déterminé plus immédiatement le côté du rectangle triplé au moyen des régles données expressément. En elfet, dans la première description de la figure en Bcur, 36, p.589.

H.-G, ZEUTREN question :VII2 le rectangle 120 >< T4 est formé par le prolonge ment du eurré 120%, a done suffi de tripler ce carré el de le pro longer de même de sa cinquième parties et on a pu regarder cette dernière opération comme assez simple pour négliuer de }a menlionncr expressément, La construction obtenue de cette manière se rait identique à celle qui résulterait d'une application immédiate du e théorème de Pythagore » à des rectaugles semblables. Une multiplication d'un rectangle à côtés commensurables -- et on ne parle pas d'autres — résulte aussi de celle des pelits carrée dontil se compuse. Quoiqu'ilen soit, les conmentatenrs iudiens d'Apostomba w'hé: sitent pullement à appliquer le « fhéoréme de Pithaserer à Faddition de rectangles semblables, Xe présentant e Je fhéortme de Pythagore + et ses applications les plus immédiates qu'au milieu de vérilés géométriques qui doivent avoir été connues bien avant ee Théorne ipportant, notre sullasutra tous oÛre la meilleure pecaston d'en explorer Forigine, Rasppe. lons à cet effet la décomposition des fiuures plauvsen dé petits eurrés au moven de deux systèmes de paralléles, décornposition qui donne ube idée nette des aires des carrés et des rectangles dent les côtés sont des multiples de Panilé et qui réduit la détermination de ces aires à de simples dénombremenuts: usage de cette déconmpasition pour la determination successive des carrés des nombres entiers, pour Ja représentation des différences de denx carrés sous forme de guomons el pour la délermination des gpomeons qui sont eux-mêmes numériquement des carrés, c'est-a-dire à invention de triangles Prihavoreiens: enfin Fapplication d'un assez vrand natmbre de ces Uüiausgles à des constructions d'angles droits au moven de vardes. ]l ne faut oublier nou plus que Fénoncé général du « théorenie de Pythauorens se rapporte aux côlés et à Ja diagonale d'uncreetancle. L'usaue fréquent de triaugles rectangles à eûtès eutiers nous fait présumer que c'est l'un d'eux qui u mis sur la irace de la découverte vénérales et de mème que les autres auteurs qui se sont occupés de celie question, nous attribuons à un pur hasard la première observalion dés valeurs des côtés de ce triangle rectangle, qui a été probablement celui des côtés 3, 4, 3. La simplicité de ces nombres donne en effet à celte hypothèse une grande probabilité qui pése plus que le fait historique qu'un autre Grianule 15,36. 39 ou 5, 12. 33 sert à la construction Ja plus immédiate de l'autel indien dont Ia descripton remonte à l'époque la plus éloiunée. La division des ficures en petits carrés 4 présenté facilement une

TUÉGORÈME DE PVTHAGORE occasion de mesurer avec la corde! la diawonale d'un rectangle aux cotés 3 et 4. Alors quelqu'un a été assez intelligent pour reconnaitre l'utilité de cette valeur simple, 3. pour la construction d'angles droits. Ayant sous Les yeux les différents carrés composés de petits carrés on à pu découvrir que ers nombres utiles satisfont à la relation BH 5%, à la lois dans Le sens arithmétique et dans le sens géo. métrique de cette équation. Au moyen dé cordes on aura pu chercher ensuite dans la figure divisée en de petits carrés, de nouveaux rectangles re y à diavonale entière 3 eton aura pu constater pour eux li mème relation et + = 2, Toutefois une recherche systématique de cette nature ressemblerait trop. selen nous, à la physique expérimentale meoslerne, Dour tre menée à bonne fin, elle doit avoir été acémmupagnée de quelque intelligence géométrique. Voiet comment on a pu procéder en conmeneant par et 4, La tigure composée de petils carrés Ja FT Dr contient imméditement Les carrés constrnits sur les côtés 3 61 4, tandis LU LA LÉ que « diawouales des rectangles _ \ : = LT \ \ À qui forment eux-ménes un carré, Î] \ moiusiln'est pas difficile d'en trouver dans une livure divisée eu un nombre sufistmoent grand de carrés, quatre N ne | Les 3. 4 ont une position oblique. ! TT D) be rectanule aus vôtis s'est done act de Sexpliquer Le fait, Fis. 2 piobabliuent déja trouvé par expérienee, que ce carré contient autant de earrésaunités que les deux carrées 4? of 4 Considérons à eet effet Le carré de côté 7 qui renferme le carré formé des quatre diagonales le rectinules 3.4 La figure 2 moutre iumédiatement que le cacré est composé d'un earré 3%, d'un carré ktet de deux rectangles 5 4 comparer Apastamba LL9). En même temps il est composé du carré formé des diagonales et de quatre moiliés de rectangles 3, 4. 1 en résulte que le carré de la diagonale est égalà la somme de 45, #t comme cette somme est égale à 5°, que la diagonale cherchée est égale à 5. La nutine figure à pu être utilisée autrement. Le carré des dinyoPM Bênkr semble écalement supposre na semblable mesurage foctait 33,

H.-G, ZEUTUEN nales contient quatre moitiés de rectangles 3, 4 el le petit carré 3° De mème les carrés 8? et 4* placés l'un à côté de l'autre en deux coins du carré 7* se composent de deux rectangles 3, 4 et du petit arré 12, Pour avoir le théorème général de Pythagore, il suffit à présent de remplacer 3 et 4 par deux quantités quelconques 4 et à, 7 par à + a ét 1 par b-- à. Sans dout&, dans ces temps reeulés, on était trop peu habitué à P'abstraction géométrique pour tirer immédiatement cette conclusion générale, où du moins pour la formuler. On S'y est done élevé successivement par la considération d'autres rectangles partie culiers.el tels qu'a da fois les côtés étaient des nombres entiers et Ta somme de leurs carrés le eurré d'un entier, À cet effet on a cherehe différents groupes de tels nombres. S'étant persuadé que, dans ces cas, Jes mémes décompositions et les méimes dénembrenments dr petits carrés conduisent à une Joi unique on ne se sera fait sueun scrupule d'étendre cette loi à tous les autres rectangles. Et de plus avant la découverte des quantités irrationnelles on n'aura pas hresite ä croire que toujours il était passible d'exprimer des trois côtés Fun triangle conne des multiples entiers d'une unité assez petites nous parlerons plus fard des efforts faits à cet égard. Voilà done eonnrent B'audhsmgune ta pu regarder un renvoi aux triangles aux côtés 3 et 4: Pet D: 15 et 8257 61 242 12 et 35: 33 et 36 comme démonstration du théorie général de Psthagore, Tn'en cite pas les h\poténuses. dent des valeurs se sont présentées comme résultats des opérations. L'explication de la découverte du « théoréme de Pithaugore à 4 la quelle nous sounmes conduits iei par Fétude des sulbasutras n'est ni nouvelle nibosnée aux Indiens. M. Cuntor a Lait remarquer qu'une fiuure qui selon Bot se lronve dans Pantigure ouvrage chinois intl 2 Voir gal, aetiehe de M. Tanaau sr dans Ve Dourual of be A Siatie Soviet of Ben- PF. Lun. DK2E ? Geschichte, 1. pe 647. # Journal Asiatique, 841, je 601. note À 2e Dans doutes les trois figures, on voit uu grand eurré divisé en 39 parlies, dus quel ést inseril Un anire carré divisé en 28 parties, Ce second enrrè est divisé, dans la premiére figure, en quatre triangles rectangles, plus vu carré intérieur, duns la seconde il contient un carré de 9 parties, dans la traisiéine, 1] eentient un eueré de 16 parties» La première de ces ligures doit être identique à la nôtre. Le but des deux autres figures est probablement de montrer que la soustraction dus carrés 27-52 où 5-47 + jreprisontés géomsiriquementi laisse vue figure [guomon fs composée , on .8* unités carrées, Du reste ces trois figures iméride, respeetivement, 45 . dent hien d'être publites,

tulé Trheue pri doit être identique à notre figure 2, Elle appartient à une partie‘ de l'ouvrage qu'on à voulu dater de 1100 avant Jésus- Christ; mais cette partie a subi une revision d'où dérive peut-être la figure, Toutefois l'ancien texte a contenu uns mention du triangle rectanule de côtés 3, 4. 35 et de son application à des constructions d'angles droits et il Fa attachée à la division de carrés en petits cacrés, [est vrai qu'on commence par le carré 9%, qui n'a ici aueun usage ininédiat: mais selon un commentaleur ce carré ne doit servir que l'esemplesdée carrés divisés, Onndone eu un point de départ semblable à celui des Endiens, La ture peut indiquer une ancienne démoustrallon chinoise. ans prubêtre, st ele n'a été introduite que par la revision déjh mentionnée, seraiteelle due à une fofluruee indienne. On retronve, comme Le remarque aussi M Cantor?, notre earré intévcieur, dévomnposé en quatre briauules et un petit curré dans les démonstrations d'A Pape et de Dhashiera, Bien entendu, ees auteurs dl'époques où Von connaissait depuis longtemps Le théorème menéral ou se borne nullement à des triangles de côtés commen surables. C'est aussi par nas transposition géométrique beaucoup plus moderne qu'tbif Pau, qui s'adresse à des ouvriers curieux de comprendre un procédé pratique, trausfocne La sonne de deux carrés en nn carré décompose de la manière indiquée, tandis que Bhruskara se contente d'inviter les lecteurs à resarder sa figure, De méanes squue M Contor nous crovons que le savant arabe, aussi bien que Le suant fnbieu doivent leur ioureà une ancisnae tradition tndtenne, Lest encor essentiellement le mème procédé qui, selon tue sup positionne M fes funñder aurait conduit Pythasore à ba découverte deu théorie qui porte son nom, Cette hypothèse peut s'appuyer sur les divisions de carrés en carrés et rectangles du second livre d'Aretide, Toutefois soutaint avant tout douner des démonstrations indegeentantes de la connensurabilité des côtés des différentes figures, factile neoléconpose pas les fiuures en petits carrés éuwaux: mais l'intérèt que portérent aussi les Grecs à La recherche des triangles rectangles des côtés ratiounels, indique que la division eu parties égales à été en usage avant lui, Ayant démontré dans son premier livre Le « théorème de Pythagore » à sa propre mauivre,. Fuetide ny revient pas de nouveau, mais cela n'empiehe pas de Journal Asiatique, p, 399-600, IRL 2 Gaschichte, p. BOE 0t 61. $ Die Geometrie vor Euklül, p. 82

chercher dans les décompositions de son deuxième livre le point de départ de la démonstration qui avait précédé la sienne. Remarquons à cel égard que Je théorème 8 exprime dans otre langage symbolique la relation ib + 41h) + hab, ou bien la décomposition de notre grand carré {7% dans Va fig, 2) en quatre rectangles à à et un petit carré, Le carré qui reste en en souslrayant Îles moitiés des quatre rectangles 4 b. où bien notre carré insert formé des diagonales des quatre rectanyles, sera done égal à [b — 4% +4 2 4 Bou bien, selon le n°7 du mème ivre, à 4? + af, Néanmoins, précisément la circonsgianee que les théorèmes du second livre sont assez généraux pour rendre indépendante de a rome mensurabilité des côtés une démonstration appuyée sur ees Hiéôoréties, donne Heu à des objec. C 7 Ba üons eéontre Fhipmthése de M, T7 | NL . . Bretschuerder. Ousait, en cet, que da démonstration du réme de thé Pithavore: dans le premier livre d'Enelide cet due n cet auteur Jui-méine, et line cessé d'une nouvelle détuonse ration s'expliquerait d'une ina niére assez plausible par l'intro duction dans les Eléments de la théorie riuouranse des pro- Fig. 3. portions due à Eudure. Or cette Uiéorie et ses applieutions ne se trouvent que dans les Vet Vire livres d'Euclide, tandis qu'il avait besoin antérieurement du e théorème de Prthagore . Des lors si Ja démonstration conne avant Ænclide dépendait des proportions, elle manquait fa rigneur qu'il recherehait. et ne lui etait pas procsible de suppléer à ses défauts dés le premier ivre. I fallait done fui en substitut une autre, Ces ronsidérations condoisent à attribuer aux Grecs avant Enetide one démonsirition dépendant de lu théorie des proportions. imparfaite à cette époque, Dés Tors 5 faut penser en premiere ligne à la similitnde des triangles ACD et CB, fig. 3 qu'on obtient en abaiseant la perpendiculaire C D du sommet de Fangle droit d'on triangle rectangle À BC sor lhypothénues tant entre eux qu'avec le triangle À BC. Enclide démontre NI, S. égalité des angles de ces triangles, ee qui lui auraitété possible dès le premier livre, et ilen

conclut la proportionnalité de leurs côtés, conclusion qu'on n'avait pas besoin de rejeter si loin tant qu'on n'aviit pas éuard'anx cas-où les côtés étaient incommensurables, On sait que ces proportions amènent l'égalité des deux carrés des eûtis de l'angle droit aux deux rectangles qu'on obtient en partageant Le eurré de l'hypotéuuse au moven du prolongement de la perpendiculaire CD abaissée sur lhépoténuxse, Etc'est précisément ees éuulifés qu'Æretéde démontre dans 145, mais d'une manisre indépendante de la théorie des propoitions. Reniarquons, afin d'épuiser be mivux possible les voies qui ont pu conduire à la déepaveste due théorème de Péthagore ». que mème brnutemps avant Æfide on aura pu avoir une tdée de la similitude des snémes téiuedes et en proliter sous une forme on une antre. Pour cela on ns pas tième eu besoiur de la notion #rpresse de la wtandber dur anmete s etest an contraire (idée ccénérale de similitude qua montré Cusilie le atte eatésorte ! Du restes dans la démons tation rigoureuse de a similitule nous faisons même aujourd'hui use un postubat veuardé corse plus simples mais ce postulat lui-miènte est emprunté originairement à des cas plus concrets tels que ceux que présente notre lixure, Sans doute, pour commenesr, où n'asra sn profiter des proporbons e\prinant cette similitude qu'en des cas où les côtés ont des rapports trés simples tels que celui où les côtés RG et GC Xsontéuaux a iet 4, et alors en menant electivement Les paralléles moutrant la piopationalité les eñtés et des secinents, où peul-ètrie colles qui dbsisent les reutansles en parties égales, Dans le dernier eas fig. 5, ou soit que le rectanule avant BC pour diagonale est composé de neul petits reclangles et le rectangle avant CA pour diasonuale de 15. ON BED + A CD\zr: A BAC. Dune le rectangle avant lhypotenuse À B pour diagonale doit se composer de vingt-cinq petits rectosltes dé fa meénne crane et par consiquent MB 225. On pourra appliquer La meme démonstration à tous Les triangles rectangles dont Les côtés sont eXprinrables par dés nombres entiers, ; niais seu lement indirectement aux autres. Haskec, Grschichte, p.76. se sert à peu prés de la mème figure pour expilique la découverte de Va somme des angles d'un triangle. On n'a done pas —aussi lon lai — eu besoin le envnaître eeite somme pour découvrir la similitte dé nos triangles où cectingles, Remarquens enecore que dès la premitre observation de Lane droit ue triangle aux eûtés 5, 4,8 1 dut sv joindes la romaissanes pie vote détécinination est indépendante de Punité de longueur. Mos Coupes INTERN. PE PHiLosorute 1904,

H.-G. ZEUTUEN Nous ne savons pas si la counaissance du « théoréime de Prthagore » a une origine unique, où S'il y a eu plusieurs déconvertes indépendantes ni, dans Je dernier eus, si en vest parent de la mème manière ou par des procédés différents, Ceux-ci peuvent avoir pris des formes plus où moins semblables à ceux dont nous avons parlé: mais eu tout cas nous croyons que les voies doivent avoir suivi Fune ou l'autre des deux directions que sons avons indiquées. Quoiqu'il en sait nous avons du moins montré comiment il a été possible de s'élever au théorie général en commençant par considérer des triangles rectanyles de côtés entiers. Ce qui a laissé au contraire des traces plus sûres, c'est l'usaue orisinaire de ces triangles. On les découvre dans les séométries anciennes que nous connaissons le mieux : la géométrie indienne et la géométrie grecque. Et elles y montrent premiérenent à la manière dont ou traite du triangle reetangle et isocele, Que le théorème y était applicable dans sa forme uéométrique, voilà ce qui état presque immédiatement évident, Comment douc * æppliquer aussi sa forme arithmétique! Duvôté des Jaslins nous avons trouvé une réponse à celte question düns Ayesstonmde |, qui nous apprend que la diagonale d'un carré de F3 | cote re est ( +. + PE co +. PO . . ET fr Quecetteexcellentezpproximation 4.01 Soit resardée coinme une expression exacte où approchée de V2. elle substitue à la diagonale un sesimenteonnuensurable aux cûtés, ce qui pormet dv appliquer anssi ba forme arithmétique du « théorenie de Pythagore », et rendrait possible Ja décomposition du carré de la dissonale en nu nombre de pets surrés éuaux, doenble de celui dont se conipose fe carré donne, Cependant nons icnorons cennment on à trouvé cette apjproxmation, ÎE ourait été possible dv arriver ee ssestraut stünplement Va diagonale d'un carré au moven d'une corde avant la Joncueur du côté. Alors. avant vu qu'elle est plus wranderquecetie cordes on aura, pour en mesurer le reste, mis la corde en deux et puis en trois etant ainsi que ce reste ef un peu plus grand que Ja troisieme partie de la corde, En mettant ensuite cette troisième partie en deux, en trois ct ci quatre on aura VU que ce qui restait encore est un peu plus petit qu'on quart de la Lraisième partie, et en essavant de mesurer de inénie ee qui manquait à la diauunale pour ëtree(i +3 + _ |. on are trouvé que ce défaut est dual à S de la derniére mesure employée. 5 Avec une corde assez fine nn a trés bien pu faire res mesures de Ta

diawonale d'un carré assez grand el alors on aura pu regarder ces mesures Conte exactes. . Je suis toutefois plus disposé à croire que mème à cette époque reculés, les Indiens ont été d'assez bons caleulateurs pour trouver arithmétiquement la valeur approchée de Y2, Dans ce cas Le résultat a pu assez naturellement prendre la forme tudiquée par Apastumbe. En elfet, si l'on à commencé par essayer de donner à la fraction qu'il faut ajouter à L pour avoir V2 la valeur de _ les deux corrections t suivantes LT PE Xi 2. [ mot 5 seront des . CHNSCQUeENnCEs : : prese[que 1mtmeo+ eliates ce ve que amene acute dur rt. . . | . , grgaeten DL, 1! Eu v substituant successivement az L+, À ete zz L + + " . ,.+ négligeant le terme ef. on trouvera, respectivement pour les signes TD Où pastnba vonnait sons forme wo Let. r— —etr—= métrique ba formule IE 2 Ji np? + dar + 2, a etat — Der La, n'estspuune autre interprétation de la uñine figure géométrique feelle au ae vemplacr a pe el a — 7 reraplace 4, On a donc pu attacher Le caleul que nous venons d'iudiquee à eette méme figure, en cher chant avec son aide les corrections e qu'il faut ajouter à, ou soustraire de la valeur 4, pour obtenir le côté d'un carré s'approchaut davantage de V2 En négligeant le petit carré 7 on a dû voir qu'en faisant ce calcul. ou n'ohteuait qu'une approximation de plus en plus wrandez mais les fndiens ne se sont sans doute jamais posé la question plus abstraite de savoir S'il était en vérité absolument impossible de trouver une fraction numérique égale à V2 — 1. L'approximation sans limites leur sutlisait et pouvait leur suffire dans toutes les applications du

H.-6, ZEUTHEN leurs calents. Aux époques plus historiques ils ont gardé les mêmes points de vus, Les propriétés des figures dites « trapèzes de Brahragouplta » sont montrées pour des cas de côtès eutiérs el permettant vue facile exécution de tous Îles caleulss on Y était assez versé pour voir que Jes mêmes caleuls étaient possibles et par conséquent Les méinrs résullats justes, si les cûtés avaient d'autres valeurs commensurables. Cela leur suffisait pour établir dés propriétés exprimant les Formules fondamentales de la trigronométrie sh ce + y ete Dans Ja géométrie grecque les efforts pour calculer numériques ent la diagonale d'un eurré ont laissé destraces creore plus intpore tantes. C'est à eux que se rattache Ja premiére connaissance de quan Htés inconemensurables quenous rencontrons dans Fhidoiressetectte connaissance à provoqué ensuite les démonstrations géomifriques que nous devons aux Grecs. Sans doute on a essayé de caleuler exactement 4 Toaet de méme que les Indiens on ten a trouvé que des approximations dent ons alons pores lout à Vheore: -— mais alors ou s'est demandé sieeta dépendait seulement de fa méthode choisie on de la nature de lt question. Ou fini par trouvera démonstration de la seconde alter native. Elle a été plaete, dans hs phupart des éditions d'Euelide, à ba fin du dixieme ivre. Selon M. here teetie place eat pus justifiée, mais Aristote parle dé cette démenstration d'une maniere quimontre qu'elle a été bien connue avant lui On peut la rendre à pen pres de le ipaniers soivonte, Si la ofagsenale à nn rapport nomérique au ete et que die soit Pespression a plus shuple de ee rapport. on anra de == 2e, en réeulte que d'est un noinbre pair e1 par cossequent e 4 wa ombre sarpair. Oùe aura Je nn rapport à 2. Een résultent que e est pair, La Supposition est dene impossible, Aprés cette découverte enr devait se contenter d'inventer. pour le calcul de Ja diavonale où de ! 472, des l procédés d'approbation succes } 2 Voir un article sue l'artthmétique génetrique des Grecs et dis Jndiens que je viens d'iusirer dans la Billiotheea matlianaties (81, V, p. F0, 2 Euelide. WI. jp. 25. 8 34023, M. Asrdax. Greek Beometrx. jp. 58, pense que la forme d'unerédurtion à l'abeusde vaupéche d'attribuer cette démonstration à Pythagore: mais on: a pu très bien resétir aprés ui un raisonnement déjà connu d'une forme plus à La mode. De telles formes générales snceëdent toujours dans l'histoim des inathée imatiques à quelques-unes de leurs plus miles applications parlenlitres,

sive et le soin qu'on y a apporté montre intérêt qu'on attachaît précisément à cette quantité ivrationnelle. En avant parlé dans mon Histoire des Mathématiques je nv reviendrai pas iei:je me contente de rappeler qu'il s'agit d'applications des deux théorèmes T9 et 19 d'Æuclide exprimant que quatre points LB. EC. D d'ute droite dont Cest le milteu de AB satisfont à l'équation AD? + Ds? AC? 2 CE, et de soufiéner que. conformément à leur destination, Ærelida vattache leur démonstration à la considération des projections de serrowats de côtes d'au trianele rectanele et isoeéle sur Fhypoténuse, squebquil eût pu trés bien v parvenir par les divisions de vurrés an nuoven de parallèles aux côtés dont I s'était servi daus les démonsWations précédentes die toème livre, Apres di découverte des quantités incommiensurabhles, Îldevenait necesanive de rendre Les démoustrations et les opérations mathérmitiques indépendantes de la division des différentes quantités en nombres finis de parties cales, La représentation céometrique dont on se servait déjà ÿ offrait ua beau moven, car deux sements de droites représentent ausat bien des quantités inéommensurables que des quantités conrmensurables, Nous avons vu que Les auteurs des Sulbasutras savaient ansst réduire la transformation dun rectanule en carré à ue application duc théoréeme de Pythazores se Los tanrbs nus que teur solotioo du problème inverse [IE fon'est appleible qu'iudes fisures données comériquements nous avons ainsi montré qu'on ne s'était pas encor: élevé à la généralité céomstrique. De méine les opérations séométriques des suceusseurs indiens de ces anteurs ont toujours en vue des figures numériquementdonnées. Eurtide, au contraire. protite de la représentation géométrique pour antiquité nt Movnn gr, vesp. p. 81, 58 nt 48 daus les éditions dannise, allemande et française. s'agit du ealeul de 4/2, rapporté par Tueoxs pe Suvuxe, dont M Paul Taxxenr avait monteé (Revue philosophique, LXI, p. 291 qu'il était ou avant l'époque de Platon, Dans mon livre sue la théorie des coniques dans l'antiquité (édition danoise, 1885, p. 25: édition ailemande, p. 28) j'avais remarqué que les théorèmes 9 er 10 du livre IL £uelide enutiennent précisé tuent la démonstration de eette méthode. Peu apeñs, eUnlépendemsment de moi, M, Bert a fait la mème remarque 1Sehléanileh Zeitseheift, XXXT, h. L Abt.. p. 143), et entin M. Heursen a montré 1Bibliothesz mathemnatien 6, L p.844, comment, selon Proclus, les Grecs depuis les Pythasorivciens ont fait elfretivemnent l'usure des deux théorèmes que j'avais indiqué.

He=G. ZEUTHEN — THÉORÈME DE PYTHAGORE rendre ses démonstrations et opérations, même celles qu'on trouve dans son second livre et qui sont de nature aluébriqne. également appheables à des quantités commensurables et incommensurables, On sait que ces opérations s'étendent jusqu'à Ja solution des équaions du second deuré, Ha même poussé la généralité de sa représenation si loin que de notre temps il a fallu découvrir! qu'à son époque on savait bien résoudre des équations nnmériques parles procédés qu'il donne sous forne géométrique. Cet emploi de a représentation géométrique semble remonter jusqu'aux Pythagoriciens : 1] règne dans les premiers livres d'Ærelide, mais à partir de son cinquitme livre mous rencontrons une théorie des proportions, suivie de Jeurs applications, éealement construite pour les quantités commensurables el pour les ineurmensurables, 3 C'est avant tout M. Paul Taxsery qui la constaté par Ja ronsidéestion du iüuwe livre d'Euclide. Je renvoie du reste & num Histoire des inathématiques où je montre en détail ee caractère de la Géométrie grecyne qui dérive de Ha dicouverte des quantités mecimornenurables, Dans sa seconde porte je m'orenpe aussi de la manière dont ee caractère s'est propagé où modifié dans des ternips modernes, AN, CONMPRES TENUE DE BENDLS To CONGRES PRÈS SD OUT