Die Wissenschaft von der Zahl: These und methodische Prinzipien

Gyburg Radke Die Theorie der Zahl im Platonismus Ein systematisches Lehrbuch TEILII DIE WISSENSCHAFT VON DER ZAHL … 208 I THESE UND METHODISCHE PRINZIPIEN dre 208 1 Die Methode des Mit-‘sich--Aufhebens (TUVAVAIPEIV) unse 209 Anmerkung: DieMöglichkeiten begrifflicher Implikation ................... 215 2 21 2.2 221 Welche Funktion hat die Behandlung ,disziplinfremder‘ Gegenstände in einer Wissenschaft... econ„222 Prinzipien und Gegenstände in der platonischen Wissenschaftstheorie.….…............. erven 222 Die Funktion der Behandlung nicht-arithmetischer Gegenständein der Arithmmetik inner Der Textbefund...:.. Perret 2.2.2 Systematische Begriindungen.. 2.23 Erkenntnis- und wissenschaftstheoretische Grundlagen : 3 Zur Funktion der ‚musiktheoretischen‘ Passagen in der Arithmetik.......230 4 Gliederung von Teil H.ten nn 232 Ergánzung: Nikomachos, Kommentare zur Arithmetik des Nikomachos und Weitere'neuplafonische Quellen... 234 A.Francke Verlag Tübingen und Basel

aAADLE E. Teil II: Die Wissenschaft von der Zahl Lac Teil II I Die Wissenschaft von der Zahl These und methodische Prinzipien Die zu Beginn aufgeworfene Frage, was der einende Gesichtspunkt der scheinbar disparaten und verschiedenen Disziplinen zugehörigen Gegenstände ist, die Nikomachos in seiner Arithmetik behandelt, ist ein zentrales Problem nicht nur für die Interpretation und Beurteilung dieser Schrift des Nikomachos, sondern ebenso auch dann, wenn man erkennen will, was das gedankliche und erkenntnisbegriindende Prinzip antik-platonischer mathematischer Wissenschaft überhaupt und was das methodische Spezifikum dieser Wissenschaftsauffassung und Wissenschaftspraxis ist, das den Anspruch Platons an die Mathematik, unmittelbar vorbereitend fiir das Erreichen des höchsten begrifflich-konkreten Wissens zu sein, zu erfüllen verspricht. Diese Frage wird sich erst dann beantworten lassen, wenn man nicht nur einfach feststellt, daf? in den vier Hauptteilen der Arithmetik nacheinander vier verschiedene Gegenstände behandelt werden, nämlich vier Gegenstände, die von Nikomachos und von den platonischen Mathematikern überhaupt den Disziplinen Arithmetik, Musik und Geometrie zugewiesen werden, sondern untersucht werden muß, in welchem begrifflichen Verhältnis diese verschiedenen Gegenstände zueinander stehen, wie sie voneinander abhängen, was ihnen gemeinsam ist und was sie unterscheidet. Das Ziel dieser Untersuchungen ist die Ermittlung einer eindeutigen Begriffshierarchie, aus der ersichtlich wird, welche Begriffe sachliche und logische Priorität gegenüber anderen haben, und folglich (in einer noch näher zu bestimmenden Weise) diese implizieren, und welche Wissenschaft welcher anderen oder welchen anderen gegenüber die Stellung eines Prinzips hat. Auf der Grundlage einer solchen begrifflichen Ordnung wird sich zeigen, daß es sich bei dem Übergang von dem ersten zum zweiten Hauptteil in der Arithmetik des Nikomachos, also bei dem Übergang von der Unterscheidung zwischen den verschiedenen Arten von geraden und ungeraden Zahlen zu der Dihairese der möglichen Verhältnisse, in denen zwei (oder mehrere) Zahlen zueinander gedacht werden können, richt um einen Bruch oder Neuanfang handelt, nachdem das in der Arithmetik angestrebte Ziel der Ermittlung des spezifischen Wesens dessen, was Zahl als solche ist, bereits erreicht ist. Denn das hieße ja, daß drei Viertel der Schrift bloße Addenda oder Appendices wären, die über den Gegenstandsbereich der Arithmetik hinausgehen und vielleicht einen Ausblick geben sollen auf das, was aus den Erkenntnissen der Arithmetik in den anderen mathematischen Wissenschaften abgeleitet werden kann, was also das in dem ‚eigentlichen arithmetischen Teil’ ermittelte Wissen über die ‚Zahl für sich selbst‘ zur Wissenschaft der Musik oder Geometrie beiträgt. Ein solcher Hinweis auf die Prinzipienfunktion der Arithmetik gegenüber den anderen Wissenschaften - die ihr zudem gegenüber allen nachgeordneten Wissenschaften zukommt und nicht nur gegenüber den ihr unmittelbar folgenden - kann aber kaum als Erklärung für diese ‚Ausweitung‘ des Gegenstandsbereichs hinreichend sein. Denn die Betonung dieser Priorität gehört zu den in allen mathematiktheoretischen Schriften der platonischen Antike wiederholten Topoi und wird in keinem Fall zur Begründung für die Konstruktion einer alles umfassenden einheitlichen Wissenschaft, die sich auf alles anwenden läßt - ein Ziel, das die Neuzeit durch die Entwicklung einer allgemeinen Methodenlehre, von Algebra und analytischer Geometrie, zu erreichen versucht hat -, verwendet. Sondern sie dient im Gegenteil regelmäßig zur Begründung dafür, die Gegenstandsbereiche der einzelnen Wissenschaften in ganz bestimmter Weise voneinander abzugrenzen. 1 Die Methode des Mit-sich-Aufhebens (cuvavaipriv) Die Tatsache, daß in der platonischen Wissenschaftssystematik eine eindeutige hierarchische Vor- und Nachordnung der einzelnen Disziplinen gemäß der Priorität oder Sekundarität ihrer Gegenstände angenommen und begründet wird, in der das, was früher ist, gegenüber dem Nachgeordneten die Funktion eines Prinzips, das das Spätere in sich vorwegnimmt, hat, impliziert nicht cine Aufweichung der Disziplingrenzen, sondern beruht auf der strikten Finhaltung der Tätigkeitsfelder, die dem mit der jeweiligen Disziplin befaßten Wissenschaftler von dem Gegenstand vorgegeben werden. Der Arithmetiker hat es mit den Gegenständen der Arithmetik zu tun, der Geometer mit den Gegenständen der Geometrie, der Musiktheoretiker mit den Gegenständen der Musiktheorie, der Astronom mit den Gegenständen der Astronomie. So ist auch der Arzt ausschließlich mit den Gegenständen der Arztkunst befaßt, auch wenn die Arztkunst z.B. gegenüber der Kochkunst Vorrang hat und in diese sozusagen, sofern sie dieser die Kriterien und Prinzipien vorgibt, ‚hineinreicht‘. Denn der Arzt muß ein Wissen haben von dem Zustand, in dem sich alle Teile des menschlichen Körpers in einem harmonischen Verhältnis zueinander befinden und in dem die verschiedenen körperlichen Organe ‚in wechselseitiger Philia (=Freundschaft) die für sie spezifische Funktion zum Wohl des Ganzen ausüben. Aus diesem Wissen folgt, daß der Arzt auch weiß, was für den Körper und dessen Harmonie zuträglich ist und was ihm abträglich ist. Dieses Wissen gibt ihm die Kompetenz zu entscheiden, welche Art von Nahrung der einzelne Mensch zu sich nehmen muß, um die Gesundheit seines Körpers (wieder-)herzustellen bzw. zu erhalten, und er wird aus dieser Kompetenz heraus dem Koch Richtlinien für dessen Tätigkeit an die Hand geben können bzw. müssen, etwa in der Weise, daß er die Vorgabe macht, dieser bestimmte Patient bedürfe solcher

1. Die Methode des ,Mit-sich-Aufhebens' Nahrung, bei der das Trockene zu dem Kalten in diesem oder jenem bestimmten Verhältnis steht, was - wie der Arzt weiß - bei bestimmten, z.B. Arithmetik gemäfs der Priorität ihres Gegenstands, d.i. der Zahl, sofern sie selbst für sich betrachtet wird, Vorrang und die Stellung eines Prinzips geeiweißhaltigen Lebensmitteln wie Hülsenfrüchten o.ä. der Fall ist. Die Zusammenstellung der Lebensmittel und deren Zubereitung im einzelnen gemäß der Eigentümlichkeit und dem eigentümlichen Geschmack ist macht sie dieser doch nicht deren eigentümlichen Kompetenzbereich 210 dieser Lebensmittel und das Wissen um die Art und Weise, wie aus verschiedenen Lebensmitteln eine harmonisch schmeckende Mahlzeit werden kann und welche Zutaten sich wie am besten vertragen und ergänzen usw, gehört in den Kompetenzbereich des Kochs. Zu entscheiden, ob das nach dem Kriterium des Angenehmen und für den Geschmackssinn Lustvollen Zusammengestellte für diesen oder jenen Menschen in dieser oder jener Situation das für seine Gesundheit Zuträglichste, also das für den ganzen Körper Beste, ist, allerdings obliegt dem Arzt und der Koch wird sich in der Ausübung seiner Tätigkeit dessen Kriterien unterordnen, ohne daß der Arzt ihn damit in seiner Kunst behinderte oder in dieser selbst ein Mitspracherecht beanspruchte. Ebenso verhält es sich auch mit den höchsten wissenschaftlichen Disziplinen, den Wissenschaften des Quadriviums. Auch wenn die 284 Für den hier zu erläuternden Sachverhalt kommt es nicht auf den Unterschied an, daß es sich bei Arithrnetik und Geometrie beide Male um Arten des Wissens bzw. um zwei Wissenschaften im eigentlichen Sinn des Wortes handelt, während - wie Platon im Dialog Gorgias darlegt, aus welchem das Beispiel mit dem Verhältnis von Arztkunst und Kochkunst stammt - nur die Arztkunst im eigentlichen Begriffssinn eine Wissen- 211 genüber der Geometrie hat, deren Gegenstand die kontinuierliche Größe streitig, sondern sie ist - in analoger Weise wie die Arztkunst im Verhältnis zur Kochkunst - allgemeiner als die Geometrie. Allgemeiner ist die Arztkunst, weil sie über ein Auswahlkriterium verfügt, um zwischen dem (zunächst und nur scheinbar) Angenehmen, das aber nicht förderlich für die Gesundheit des Körpers ist, und dem wirklich Angenehmen, das zum dauerhaften Wohl des Ganzen beiträgt, unterscheiden zu können, weil sie ein allgemeines Wissen davon hat, was für den menschlichen Körper gut ist. Dieses Gute für das Ganze ist umfassender und allgemeiner und enthält mehr Unterschiede als das momentan Angenehme, das demgegenüber ein stärker eingeschränkter Aspekt an solchen Gütern, die dem körperlichen Wohl zuträglich sind, ist. Denn der Koch berücksichtigt nur die Unterschiede, die der Geschmackssinn zu erfassen in der Lage ist, und bewirkt daher auch nur die für den Geschmackssinn spezifische Lust. Wenn der Arzt hingegen das, was für den ganzen Körper und den ganzen Menschen das Angenehmste ist, zu erreichen sucht, dann muß er in seine Überlegungen nicht nur die vom Geschmackssinn erfaßbaren Unterschiede einbeziehen, sondern auch alles andere, was in bezug auf den Körper unterschieden werden kann. Dazu gehören die von den anderen Verhältnis zwischen Philosophie (bzw. dem Wissen von dem Gerechten) und Rhetorik (Grg.465c2-3; 500a4-b5 usw.). Auch die Rhetorik wird in diesem Kontext als eine Erfah- Sinnen erkennbaren Unterschiede ebenso wie auch die Unterschiede, die erst in der ‚Zusammenschau’ mehrerer Unterschiede erkannt werden können - entweder mehrerer Unterschiede, die von ein und demselben Sinn erfaßt werden (das leistet in der Terminologie der Aristotelischen Psychologie die Wahrnehmung des Gemeinsamen (aïoÔnoic rôv Koıvav)), z.B. mehrere Hörwahrnehmungen in der zeitlichen Aufeinanderfolge, oder mehrerer Unterschiede, die von verschiedenen Sinnen erkannt werden (das leistet die ‚gemeinsame Wahrnehmung’ (der sensus communis bzw. die KOT) aïoûnois)), z.B. die Verbindung der Sehwahrnehmung ,gelb’ mit der Geschmackswahrnehmung ‚süß‘. Dieser Begriff des Guten wird daher allgerungskunst und als bloßes Abbild wirklichen Wissens und Schmeichelkunst, d.h. als eine Ferligkeit, die auf dem Wissen um das Angenchme und Unangenehme, nicht aber das Gute und Schlechte, beruht, bezeichnet (Grg.462c3; 463b1; c7; d1-2 usw.). Auf diese dere Kompetenz. Auf diesen Unterschied aber soll es bei der Verwendung dieses Beispiels für eine erste Erläuterung des Verhältnisses zwischen übergeordneter und unschaft (Techné, réxvn) ist, die Rechenschaft ablegen kann über das, was die Ursache der Bestimmtheit eines jeden ihrer Gegenstände ist, während die Kochkunst nur ein ‚Abbild‘ eines solchen Wissens ist. Sie ist deshalb eigentlich nur cine gewisse erworbene Fertigkeit (tu reipiav Grg.465a3), weil sie sich nur auf das versteht, was angenehm (und unangenehm) für den Körper ist, nicht aber ein begründetes Wissen davon hat, was wirklich gut und zuträglich ist. Doch auch im Gorgias spricht Platon der Kochkunst damit nicht vollkomunen die Potenz ab, eine Form des Wissens und eine Techne zu sein; denn er verwendet das Beispiel Arztkunst - Kochkunst ja als Vergleich für das Weise wird ihre Abhängigkeit in bezug auf die Beurteilung des Guten (und Schlechten) und ihr untergeordneter Rang von dem wahren Wissen des Philosophen betont. Wenn der Rhetor (oder der Koch) behauptet beurteilen zu können, was für die Seele (bzw. den Körper) eines Menschen wirklich zuträglich und nicht nur angenehm ist, dann weist Platon ihm nach, daß der Rhetorik (und der Kochkunst) dieser ‚Weitblick‘ und diese das Ganze betreffende Kompetenz nicht zukommt, sondern daß ihr Blick auf das (momentan) Angenehme beschränkt ist. Dieses aber vermag sie durchaus zu beurteilen und ist auf diesem Gebiet tatsächlich kompetent, so wie der Koch wirklich kompetent ist in der Frage, was für den Geschmackssinn das Angenehme ist. Der Arzt kennt das wirklich für den ganzen Körper Gute und kann unter dem, was (momentan) angenehm ist, zwischen dem unterscheiden, was davon auch wirklich gut und zuträglich ist, und dem, was diese Qualität nicht hat. Die Arztkunst hat also eine umfassen- 235 tergeordneter Wissenschaft ankommen. Die Priorität der Zahl gegenüber der kontinuierlichen Größe, von der sich die Priorität der Arithmetik gegenüber der Geometrie unmittelbar ableiten läßt, hat wissenschaftswie auch erkenntnisiheoretisch den Rang eines universalen, höchsten Prinzips. Die begrifflich vollständige und zureichende Deduktion dieses Prinzipüerungsverhältnisses ist derart komplex und erfordert eine solche Vielzahl an Differenzierungen und Vorarbeiten, daß die hier formulierte These sich erst auf der Grundlage von und mittels aller in diesem zweiten Teil vorgenommenen Beweisführungen und Begriffsunterscheidungen in ihrer Berechtigung wird erweisen lassen. Die Analogie mit dem Verhältnis zwischen Arztkunst und Kochkunst bietet allerdings bereits einen ersten und vorläufigen Anhalts- und Orientierungspunkt, wie das Verhältnis zwischen Arithmetik und Geometrie schließlich wird gedacht und begründet werden können. .

1. Die Methode des ‚Mit-sich-Aufhebens’ meiner und zugleich auch konkreter bestimmt sein als der Begriff des Guten, etwas mit sich aufhebt, hat Priorität gegenüber dem, das es mit sich aufhebt. Die Drei ist also (sachlich und begrifflich) früher als das Dreieck. Das Dreieck ist sachlich und begrifflich später als die Zahl Drei und enthält diese in 212 an dem sich der Koch orientiert, der primär auf das achtet, was für den Geschmackssinn angenehm ist. An diesem einfachen Beispiel kann man sich also gut klarmachen, daß die Rede davon, der allgemeinere Begriff enthalte mehr Unterschiede in sich und sei auch die ‚Quelle‘, aus der der weniger allgemeine (=partikulärere) Begriff und die untergeordnete Wissenschaft ihre bestimmten Inhalte erhalten, nicht widersinnig ist, sondern auf einem einleuchtenden Gedanken beruht. Der Blick auf den ganzen Körper ist umfassender, als wenn man nur auf die Zunge bzw. den Geschmackssinn achtete, und alle Unterschiede, die zu dem Geschmackssinn dazugehören, sind auch in dieser allgemeineren Perspektive mit enthalten. So wie das Ganze mehr in sich enthält als einer seiner Teile, so enthält in analoger Weise der allgemeinere Begriff auch mehr Unterschiede als der partikulärere. Dies gilt auch für das Verhältnis der Begriffe ,Zahl' und ‚Größe‘ zueinander. Der Begriff ‚Zahl’ ist allgemeiner und umfaßt mehr Unterschiede in sich als der Begriff ‚Größe‘. - Wie das im einzelnen begrifflich begründet werden kann und worin der Sachgrund für diesen höheren Grad an Allgemeinheit liegt, wird später# noch deutlich werden. (Ich deute im gleich folgenden die Antwort auf diese Frage nur schon einmal an.) Dieses Prioritätsverhältnis einmal vorausgesetzt, bedeutet die Prinzipienfunktion der Arithmetik gegenüber der Geometrie nicht, daß die Geometrie als solche in den Tätigkeitsbereich des Arithmetikers fallen könnte oder müßte, so wie auch die Kochkunst nicht zu den spezifischen Kompetenzen des Arztes gehört; sondern sie bedeutet, daß die begrifflichen Unterschiede, die der Arithmetiker erfassen und in ihrem Verhältnis untereinander explizieren muß, die Funktion eines Kriteriums für die Bestimmung der Begriffe haben, mit denen sich der Geometer beschäftigt. Man kann zwar die Zahl Drei unterscheiden und in ihrer spezifischen Bestimmtheit erfassen, ohne zuvor ein explizites Wissen über die Sache ‚Dreieck‘ erworben zu haben, umgekehrt gilt dies aber freilich nicht. Wahrend ‚Dreieck‘ seinem Begriff nach die Zahl Drei voraussetzt, kann die Zahl Drei gedacht werden, ohne daß auf die Sache ‚Dreieck‘ rekurriert werden müßte, Die Zahl Drei hebt daher, wenn sie aufgehoben wird, das Dreieck mit sich zusammen auf, umgekehrt wird sie aber nicht von dem Dreieck mit aufgehoben. Dieses Verfahren dient im Platonismus der Ermittlung des hierarchischen Verhältnisses, in dem zwei Begriffe zueinander stehen und wird als Methode des ‚Mit-sich-Aufhebens’ (cuvavaipeiv) bezeichnet.2## Das, was 213 sich als einen notwendigen Teil, d.h., der Begriff des Dreiecks bringt den Begriff der Zahl Drei mit sich mit (die platonische Formulierung dieses Sachverhalts lautet: auverrigspeiv). Trotzdem impliziert die Zahl Drei andererseits - allerdings in anderer Weise - das, was ein Dreieck wesentlich bestimmt (so wie das Wissen um das für den Körper Zuträgliche auch das Wissen um das für die Zunge Angenehme impliziert): insofern nämlich, als die Zahl Drei erkannt wird als eine bestimmte Synthese von Geradem und Ungeradem, d.i. als die Vermittlung einer Verschiedenheitsrelation durch den gemeinsamen Bezug auf ein Identisches.2# Dies aber ist genau das, was eigentlich auch das Wesen des Dreiecks ausmacht, nur daß diese denkbaren Möglichkeiten im Dreieck als kontinuierliche Einheit verwirklicht sind. Entscheidend ist hier zunächst nicht, ob diese begrifflichen Bestimmungen oder Andeutungen solcher begrifflicher Unterscheidungen im einzelnen richtig oder verstehbar sind. Wichtig und zunächst ausreichend ist vielmehr, daß plausibel erscheint, daß nach platonischer Auffassung begriffliche Priorität eine Prinzipienfunktion des Früheren gegenüber dem Späteren begründet und daf diese Prinzipienfunktion zwar bedeutet, daß das Frühere die Kriterien für das Spätere enthält, die mit dem abgeleiteteren Gegenstand befaßte Wissenschaft aber in ihrer Tätigkeit, die sie in Orientierung an diesen Kriterien ausübt, selbständig und in ihrem Recht ist, das ihr von der vorgeordneten Wissenschaft nicht streitig gemacht wird. Der Arithmetiker expliziert nicht die Möglichkeiten, nach denen etwas ein Dreieck sein kann, und er unterscheidet auch nicht die spezifischen Eigenschaften, die dem Dreieck, sofern es Dreieck ist, zukommen (z.B. dessen Prinzipienfunktion gegenüber allen zweidimensionalen Figuren und auch gegenüber allen dreidimensionalen Körpern). Aber die Arithmetik impliziert die Möglichkeit, diese bestimmten Eigenschaften auf deren Prinzipien, d.h, auf einfachere, allgemeinere Begriffe zurückzuführen. Gabe es diese Möglichkeit nicht, dann gäbe es auch keinen Zusammenhang unter den einzelnen Wissenschaften, und das bedeutet auch: es gäbe keinen Zusammenhang zwischen den einzelnen Inhalten des Wissens, das ein einzelner Mensch erwerben und haben kann. Sein Wissen wäre dann ebenso wie die diesem Wissen korrespondierenden Gegenstände episodenhaft wie eine schlechte Tragödie. Mitbringens’ (ouvemipéperv) bezeichnet (dazu Nicom.Ar.10,1-9). Das Dreieck bringt 286 S. vor allem Teil II, Kapitel VI passim. 287 S. Nicom.Ar.9,5ff. Dort findet sich auch eine Skizze der Methode des Mit-sich-Aufhebens: ebenda, 9,15-10,1. 288 Sofern das Verhältnis von Früherem und Späterem aus der entgegengesetzten Perspektive beschrieben wird, wird dieses selbe Verfahren auch als die Methode des ‚Mit-sichden Begriff ‚Drei‘ mit sich mit, d.h., es impliziert ihn als einen wesentlichen Bestandteil, aus dem es sich konstituiert, und ist daher logisch später als der Begriff ‚Drei‘. Denn umgekehrt bringt der Begriff ‚Drei‘ nicht den Begriff ‚Dreieck‘ in derselben Weise mit sich mit. S. dazu auch die Ausführungen im Haupttext zu dem Beispiel des Verhältnisses, in dem die Begriffe ‚Mensch‘ und ‚Lebewesen‘ zueinander stehen. 29 Dazu s. unten Teil II, Kapitel VII.3.2.3, S. 796ff.

1. Die Methode des ‚Mit-sich-Aufhebens’ 215 Anmerkung: Prinzip zu dem hat, was durch es begründe t und bestimmt wird, und dem Verhältni N das diese einzelnen Instanzen ihrerseits zu dem Prinzip haben vollständi zu erklä i n 2f;; 1I1,3,427a17ff.; ff n und verstehbar zu machen. Ich möchte auf die Unterscheidungen die in diese Zu sammenhang berücksichtigt werden müssen oder müßten, lediglich schon einmal hinweisen, Die hinreichende Begründung muß späteren Beweisfü hrungen vorbehalt d Ph ist.de VILS An.1,3,406 2521208. u a16-18; ; IL1, 412b16£.;si 11,2,413b1ff;; 11,5,417b2 pa vm grundsätzliche Prämissen bereits geklärt werden konnten ®2 S. Arist.Metaph.X1,7,1072b26-27 und X1,10,1175a12. 291 290 Diese Uberlegungen erheben dabei noch nicht den Anspruch, den Sachverhalt des begrifflichen Implizierens und des Unterschieds zwischen dem Verhältnis , die da und nicht z.B. zu einem Flugzeug oder einem Stein zu machen - machen den Inhalt dieser Sache ‚Lebewesen‘ aus. Hat man das Gemeinsame dieser möglichen Bestimmungen ermittelt, dann kann man durch Reflexion auf dieses Gemeinsame auch die verschiedenen Arten, nach denen sich diese Grundmöglichkeit entfalten kann, ableiten. Dies geschieht im Fall des Begriffs des Lebewesens etwa in der folgenden Weise: Leben ist, nach platonischer und aristotelischer Auffassung, der Vollzug von Bewegungen, die ihren Grund in sich selbst haben. Das, was allem, was Lebewesen genannt werden kann wesentlich und gemeinsam ist, ist daher, daß es sich um Arten seelischer Energeia handelt. Denn die Seele ist das Prinzip, das den Grund seiner Bewegungen in sich selbst hat.2%" Primäre seelische Bewegungen sind Tätigkeiten des Unterscheidens, d.h. der Verwirklichung bestimmter Unterscheidungsvermögen.??? Wenn aber die Unterschiede, die in dem Begriff des Lebewe. sens enthalten sind, Arten bestimmter seelischer Aktivität sind und wenn ferner alle seelischen Tätigkeiten Akte des Unterscheidens sind oder auf solche zurückgehen, dann sind die spezifischen Unterschiede, die der allgemeine Begriff der Sache ‚Lebewesen‘ umfaßt, unterschiedliche Arten der Betätigung ein und desselben Unterscheidungsvermögens: es sind, in arisein Lebewesen zu einem Lebewesen macht. Alle die Unterschiede, die genau dies leisten können, nämlich etwas zu einem von anderem unterschiedenen, bestimmten Etwas zu machen - in diesem Fall: etwas zu einem Lebewesen gilt, daß in diesem das erfaßt werden können und impliziert sein muß, was zu dem, was die Sache ‚Lebewesen‘ ist, als Zusatz und Ergänzung oder Konkretisierung der Bestimmtheit hinzu. Denn für den Begriff ‚Lebewesen‘ ßen’ hinzuträte, sondern der Begriff ‚Lebewesen‘ ist als genus proximum ja gerade ein notwendiger und wesentlicher Bestandteil des Begriffs des Men- Begriff des Menschen der Begriff ,Lebewesen’ nichts, was zu ihm ‚von aufolgenden Begriffsbestimmungen noch mehrfach relevant werden wird.2% Natürlich - so muß man das eben Gesagte ergänzen - ist auch für den Es ist vielleicht, um mögliche Einwände vorwegzunehmen, erforderlich, an dieser Stelle eine weitere Unterscheidung zu berücksichtigen, die in den Die Möglichkeiten begrifflicher Implikation Damit ist freilich lediglich ein erster Ansatzpunkt genannt für die Beantschen. Allerdings nicht in der Weise, gemäß der man sagen kann, der Begriff des Menschen bzw. die spezifische Differenz der Rationalität komme nicht vollständig gedacht und begründet werden zu können, desto später, abgewortung der Frage nach dem Grund der Einheit einer Wissenschaft und der Einheit der Wissenschaften insgesamt. Dieser Ansatzpunkt lautet: Die Einheit der Wissenschaften besteht in oder beruht auf der Einheit erkennbarer Unterschiede, d.h., sie ist eine rein begriffliche Einheit. Die ,Zusammenschau’ der mathematischen Wissenschaften muß sich demzufolge ebenso auf einer rein begrifflichen Ebene bewegen, und zwar in der Weise, daß nach dem Implikationsverhältnis der Begriffe, mit denen es die verschiedenen Wissenschaften primär zu tun haben, gefragt wird. Je mehr (sc. von ihm selbst verschiedene) Voraussetzungen ein Begriff haben muß, um leiteter und zusammengesetzter ist er. Diesen Sachverhalt kann das folgende Beispiel verdeutlichen: Der Begriff ‚Mensch‘ setzt nicht nur den Begriff der Einheit, der Identität usw. voraus, sondern auch den Begriff des Lebewesens. Denn etwas kann nicht als Mensch gedacht werden, ohne daß ihm auch die Bestimmung ,Lebewesen’ zugesprochen wird. Umgekehrt setzt der Begriff ‚Lebewesen‘ zwar auch - wie alles, was irgendwie etwas Bestimmtes ist - den Begriff der Einheit, der Bestimmtheit, der Identität usw. voraus, er setzt aber nicht den Begriff ‚Mensch‘ voraus, sondern das, was das allgemeine Merkmal des Lebewesenseins ist, kann für sich gedacht werden, ohne daß der spezifische Unterschied ‚rationales sterbliches Lebewesen‘ als etwas von diesem Begriff Verschiedenes vorausgesetzt werden müßte. Vielmehr impliziert der Begriff ‚Lebewesen‘ von sich her die Unterschiede, die diesen spezifischen Begriff Denn: wenn ‚Lebewesen‘ (wie von den antiken Platonikern und Aristoausmachen. telikern) bestimmt wird als ‚beseelte Substanz‘ und Seele’ als die auf bestimmte Weise zusammenstimmende Summe einer Vielheit bestimmter Unterscheidungs- und Strebevermögen, dann kann dieser Begriff als etwas Bestimmtes, d.h. erkennbar Unterscheidbares, nur dann gedacht werden, wenn auch explizierbar ist, welche bestimmten Vermögen zusammen diese seelische Einheit herstellen können. Das heißt, es muß möglich sein, allein durch die Reflexion auf das, was ein Lebewesen als Lebewesen ist, diese Unterschiede seelischer Potenzen herleiten bzw. nachvollziehen zu können. Zu diesen Unterschieden zählen auch diejenigen, die für den Menschen spezifisch sind: also vor allem die Rationalität, das Vermögen dazu, etwas Begriffliches zu erkennen und über diese Erkenntnistätigkeiten auch reflexiv Rechenschaft ablegen zu können. Dieser Unterschied ist demnach nicht etwas, das zu dem Begriff des Lebewesens von außen und unabhängig von diesem hinzukommen müßte, sondern er ist etwas, das sich aus diesem selbst ableiten läßt, weil es eine Einschränkung dieses allgemeineren Begriffs ‚Lebewesen‘ auf eine bestimmte Art von Lebewesen ist; denn ein Lebewesen kann ja auch nicht-rational sein, und es können andere seelische Potenzen für es spezifisch sein.

1. Die Methode des ,Mit-sich-Aufhebens’ totelischer Formulierung, Arten der Energeia des Nous (Arist.Metaph.X1,7, 1.072b26-27). sen es der Folglich wird man dann wissen, welche Arten von Lebewe in welcher blickt, drauf man wenn kann, geben nach hkeit sachlichen Möglic chieden Unters . können werden Weise Akte des Unterscheidens ausgeführt einen um sich es wenn und mtes, Bestim wird aber immer etwas, d.h. etwas und unerfaßt etwas h wirklic der , handelt ngsakt cheidu Unters gelungenen diesen Unterterscheidet, dann wird sich die Bestimmtheit dieses Aktes auf Arten des welche ln, ermitte dann kann schied zurückführen lassen. Man n durchhkeite Möglic n egende grundl die man wenn gibt, Unterscheidens es d.h., wenn kann, sein mt bestim Etwas ein als etwas denen gemäß denkt, reflektiert. man auf die verschiedenen Möglichkeiten des Seins überhaupt mt nur das ist, Wenn Sein aber immer bestimmtes Sein meint und bestim was als Bestimmtes auch denkend erfaßbar, d.i. unterscheidbar, ist, dann her Tätigwird man schließlich dadurch die Arten auch des Vollzugs seelisc egengrundl die auf it ksamke Aufmer die man keit ermitteln können, wenn von n Denke dem die richtet, chiede Unters lichen begriff und en den Kriteri thin unmöglich ist. ihm selbst her zukommen und ohne die Denken schlech t, Gleichheit, edenhei Verschi t, Identitä , Solche Unterschiede sind Einheit Ungleichheit, Ganzes, Teil, Zahl, Größe usw. von BeAus diesen Grundmöglichkeiten und ersten Voraussetzungen mögGrund die auch sich uieren stimmtheit und Unterschiedensein konstit chied Unters erste der ist diesen Unter ät: Aktivit nder lichkeiten unterscheide Unterschied (jedenfalls der erste in diesem Zusammenhang relevante) der hied, ob etwas als zwischen Allgemeinem und Einzelnem,2% also der Untersc dessen etwas für sich denkbar ist oder ob es als etwas gedacht werden muß, Etwas diesem von etwas an mtheit Bestim eine mtheit e Bestim heidbar untersc der gemäß ng cheidu Unters selbst Verschiedenem ist. Denn dies ist eine gemäß auch wie theit, Bestimm der) it (Reinhe der Einheit, wie auch gemäß cheiden der Identität usw. Wenn man aber Einzelnes und Allgemeines unters als kann, werden t kann und wenn etwas Einzelnes immer insofern erkann m ist, iedene Versch einen Allgem diesem etwas Allgemeines an etwas von heidann ergeben sich die folgenden drei Grundmöglichkeiten des Untersc an und m solche als einem Allgem etwas n von cheide Unters das erstens dens: für sich, zweitens das Unterscheiden von etwas Allgemeinem an einem t) Einzelding (d.h. eines Allgemeinen in einer (durch ein Materiesubstra nem, Einzel etwas n von cheide Unters das s dritten und Form) ierten kontrah sofern es eine Instanz eines bestimmten Allgemeinen ist.2% Aus diesen Grundmöglichkeiten seelischer Unterscheidungsaktivität lassen sich dann wiederum weitere Arten ableiten, in denen diese Grundmöglichkeiten verwirklicht werden können, und so wird man durch Kombinanach tion und weitere Dihairese dieser begrifflichen Unterschiede nach und 293 S, dazu auch oben 5. 54ff. und unten Kapitel VI passim. 294 Dazu s. auch unten S. 561ff. 217 die Fülle der denkbaren Möglichkeiten ermitteln können, gemäß denen etwas als Lebewesen, d.h. als eine unterscheidende Substanz, bestimmt sein kann. Wenn man also sagt, der Begriff ‚Lebewesen‘ impliziere in prinzipienhafter Weise bereits alle die Unterschiede, die auf der Ebene der Arten der Lebewesen deren artbildende Differenz ausmachen, dann meint die Rede davon, daß diese Artunterschiede nichts sind, was von außen hinzutritt, daf der allgemeinere Begriff ‚Lebewesen‘ diesen Artbegriffen gegenüber Priorität hat und diese als Artbegriffe überhaupt erst konstituiert. Anders ist es, wenn man das umgekehrte Verhältnis betrachtet: zu dem Begriff ‚Mensch‘ (=,animal rationale mortale’) gehört als das genus proximum wesentlich der Begriff ‚Lebewesen‘; er ist wesenskonstituierender Teil des Begriffs des Menschen und kommt insofern natürlich auch nicht von außen oder als entbehrlicher Zusatz hinzu. Dennoch ist der Begriff ‚Lebewesen‘ nicht in derselben Weise Implikat des Begriffs ‚Mensch‘, wie der Begriff Mensch’ und der Begriff ‚Hund’ usw. Implikate des Begriffs ‚Lebewesen‘ sind. Denn ein implikatives und in dem erläuterten Sinn prinzipienhaftes Verhältnis kann es nur da geben, wo der implizierte Begriff von geringerem Umfang ist (“weniger Unterschiede enthält) als der Begriff, der ihn impliziert. Das ‚heißt: der implizierte Begriff ist weniger allgemein in dem genannten Sinn, dafs er weniger denkmögliche Unterschiede in sich (proleptisch, d.h.: vorwegnehmend) umfaßt. Dieses proleptische Umfassen heißt von dem weniger allgemeinen Begriff aus betrachtet, daß die Bestimmtheit und Denkbarkeit des allgemeineren Begriffs vorausgesetzt werden können muß damit er überhaupt gedacht werden kann. Der implizierte Begriff steht also immer in einem logischen (und, wenn man unter Ontologie die Lehre von der Bestimmtheit dessen, was unterschieden werden kann, begreift, auch ontologischen) Abhängigkeitsverhältnis von dem Begriff, dessen Implikat er ist. Der Begriff ‚Lebewesen‘ enthält in sich der Möglichkeit nach neben den spezifischen Differenzen des Begriffs ‚Mensch’ noch eine Fülle weiterer Unterschiede, die mit der Sache ‚Mensch‘ überhaupt nichts zu tun haben und die z.T. den Spezifika des Menschseins sogar direkt widersprechen: so ist es auch eine denkbare Möglichkeit, daß es Substanzen gibt, deren seelische Energeini ausschließlich gebundene Formen der Unterscheidungsaktivität?® sind, also beispielsweise gibt es die Möglichkeit, daß es so etwas wie eine Amöbe geben kann, also ein Lebewesen, das nur in wahrnehmender Weise, und zwar nur mit dem Tastsinn unterscheiden kann; oder es gibt die Möglichkeit, daß es so etwas wie ein Pferd gibt, also ein Lebewesen, das zwar über die bloßen Wahrnehmungsvermögen hinaus auch noch über Erinnetungsvermògen, Vorstellungsvermögen (und ein ‚meinendes’ Vermögen zu Schlußfolgerungen, das die gegenständliche Funktion von etwas erkennt das dabei aber ganz auf die Ebene des Partikulären, d.h. einzelner Vorstel. lungen, beschränkt ist) verfügt, das aber nicht im eigentlichen Sinn, d.h. in 295 Dazu s. oben S. 183ff.

1. Die Methode des , ipien 218 über das Unterschiedene Rechenfreier Reflexion und mit der Fahigkeit, das also nicht-rational ist. Alle schaft abzulegen, rational tätig sein kann, prochen als Prädikate zuges diese spezifischen Unterschiede, die Tieren hen zum Menschen macht, Mensc den was dem, mit werden können, haben Begriffs ‚Mensch‘ gehört, was also zu den substantiellen Bestandteilen des agen die Materie diesozus nur sind de nichts zu tun (bzw. diese Unterschie ch aus diesem auch folgli sich lassen und it?%) mmthe ser eigentlichen Besti m) ableiten. Hier nicht (zumindest nicht direkt und ausschließlich aus diese schiede, die Unter mmten besti die ist es eben nicht so, daß die Reflexion auf ch‘ zu denken, auch von man machen mu, um so etwas wie ‚Mens sich szugehen, zu all den Unselbst her und ohne über die Sache ‚Mensch‘ hinau chkeiten die Sache ‚LeMögli terschieden führen könnte, die als begriffliche er als Unterschiede inand nache al ration bewesen’ ausmachen und die auch Menschen zum den was Das, n. könne n werde dacht dieser Sache durch die zu den Un, ist gegenüber der Fülle an Möglichkeiten, Menschen macht Lebewesen machen, weterschieden gehören, die ein Lebewesen zu einem in sich (und d.h.: aus de schie Unter er wenig t niger bestimmt, d.h.: umfaß n nicht alle Unterschiede Reflexion auf diese sachlichen Unterschied könne ‚Mensch‘ ist ein im VerSache des Lebewesenseins abgeleitet werden). Die schränkter (in scholastieinge Maß em höher in ‘ gleich zur Sache ‚Lebewesen Begriff ‚Lebewesen! ist scher Terminologie ,kontrahierter’) Sachverhalt. Der t nicht von außen komm und dem Begriff ‚Mensch‘ also insofern wesentlich ren bedarf, um meine Alige des immer meine hinzu, als das weniger Allge Daß der Begriff n. könne zu n tuiere konsti Etwas mmte besti sich als dieses ist also kein Implikati’ im Begriff des Menschen enthalten ist, ‚Lebewesen onsverhältnis, sondern bedeutet eine Abhängigkeit des Prinzipüerten vom vorgeordneten Prinzip. ach ein Zeichen Die höhere Komplexität des Begriffs ‚Mensch‘ ist demn Fall (=der mmten besti einen auf ung für den höheren Grad der Einschränk ‚Konkretheit’ im scholastischen Wortsinn), und der höhere Grad an Einfachen für einen höheren heit und an Allgemeinheit im Unterschied dazu Zeich iert sind und an impliz de schie Grad an Bestimmtheit, dafür, daß mehr Unter werden können. den schie unter ‘ wesen ‚Lebe t diesem einsehbaren Sachverhal flichen Unterschiede, Analog verhält es sich bei dem Verhältnis der begrif der Gegenstand des die denen, zu hat, tun mit denen es der Arithmetiker zu nach der kurzen auch man kann das Größe, und Geometers sind. Zahl voraussetzen (es Skizze im vorangegangenen Kapitel (S. 210ff.) schon einmal ert werden), erläut und ndet begrü wird aber auch im Laufe der Arbeit weiter t, dh, Einhei einer zu it Vielhe einer se Synthe der n sind verschiedene Forme r Instanz einer Sache zu dieser 296 Dazu s. unten 5. 606ff. (zum Verhältnis von primäre en derselben Sache anderer- Instanz Sache selbst einerseits und zu den abgeleiteten seits). Mit-sich-Aufhebens’ 219 mit diesen Begriffen bezeichnet man auf je unterschiedliche Weise zusammengesetzte Einheiten. Zahl ist ‚diskret geeinte Vielheit und ‚Größe‘ ‚kontinuierlich geeinte Vielheit‘. In einer vorläufigen Bestimmung kann man den höheren Grad an Einfachheit und Allgemeinheit der Zahl gegenüber der Größe so umschreiben, daß man sagt, die Zahl sei ihrem Begriff nach die Synthese von Einheiten zu einer neuen übergeordneten Einheit schlechthin, während die Größe diese Grundmöglichkeiten, die in der Zahl angelegt und vorgegeben sind voraussetzt und als Dimensionalität verwirklicht:2? | Eine Linie mit Anfang und Ende setzt die Môglichkeit der Synthese zweier voneinander verschiedener Einheiten voraus, weil es, ohne daß zwei Terme aufeinander bezogen werden, auch kein ,Dazwischen’ geben kann das als Linie unterschieden werden kann; oder, um ein weiteres Beispiel zu nennen: das Dreieck setzt die Möglichkeit der Synthese einer einfachen Einheit mit einer zusammengesetzten Einheit voraus und verwirklicht diese allgemeine Möglichkeit (so wie die Linie) als ein ,Dazwischen’, wobei das ‚Dazwischen‘ dadurch entsteht, daß die Synthese der Einheit mit der zusammengesetzten Einheit als ein Aufeinanderbezogensein gedacht wird durch welches sich zwischen den Termen der Relation eine Mitte’ bildet | So wie mit dem spezifischen Unterschied ,rational’ zu dem Begriff ‚Mensch‘ gegenüber dem generischen Begriff ‚Lebewesen‘ etwas hinzukommt, das eine in dem generischen Begriff angelegte Möglichkeit expliziert, kommt also auch bei dem Begriff der Größe gegenüber dem Begriff der Zahl etwas hinzu, nämlich die Dimensionalität. Diese Beschreibung ist zwar an sich noch nicht genug differenziert, aber dem Prinzip nach dürfte die Analogie zu dem erläuterten Verhältnis, in dem die Begriffe ‚Mensch‘ und ‚Lebewesen‘ zueinander stehen, verstehbar sein: der Begriff der Größe ist komplexer, was nicht ein Mehr an Bestimmtheit bedeutet, sondern der Begriff der Zahl impliziert in sich die verschiedenen Möglichkeiten der Synthese einer Vielheit zu einer Einheit, er nimmt daher in sich auch die Unterschiede vorweg, die in den Gegenständen mit denen es der Geometer zu tun hat, in explizierter Form vorliegen. Der Ausdruck ‚impliziert‘ meint, daß man Zahl nicht als etwas Bestimmtes denken könnte wenn nicht aus dem Begriff ‚bestimmte Syntheseform einer Vielheit diskreter Einheiten zu einer neuen Einheit‘ diese einzelnen Formen, nach denen 297 Als Dimensionalität verwirklicht werden die allgemeinen Synthesemôglichkeiten, die in den verschiedenen Arten von Zahlen das erste Mal verwirklicht werden dadurch dal von der spezifischen Einheit und Bestimmtheit der einzelnen Teile des geeinten Ganzen abgesehen (oder: teilweise abgesehen) wird und der Blick auf die Einheit der vie pelt als ganzer gerichtet wird, Insofern kann man sagen, dafi die kontinuierliche rie e im Verhältnis zur diskreten Vielheit eine in geringerem Maß von Einheit durcha Vieliit ist, bzw. eine geeinte Vielheit, bei der das (materiale) Moment der a Beer er der Einheit mehr an Eigengewicht bekommt: s. unten zu der ,gei ielheit als Prinzip der Abnahme von verwirklichter Einheit und Bestimmtheit und als Prinzip von Partikularität: S. 579ff. und S. 792ff.

1. Die Methode des ,Mit-sich-Aufhebens' die Synthesen bestimmt sind, ableitbar und erkennbar wären. Die ‚hinzuzu tretenden’ Unterschiede dürfen demnach nicht etwas sein, das von außen allgemeinedem in miissen es sondern hinzutritt, Begriff en dem allgemeiner ren Begriff implizierte und daraus explizierbare Möglichkeiten sein. Um noch einmal das Beispiel des Verhältnisses von Arzt- und Kochkunst zu bemühen: das, was für den Geschmackssinn angenehm ist, kommt nicht von außen zu dem hinzu, was für den ganzen Körper angenehm ist, sondern ist eine in diesem allgemeineren Begriff implizierte Möglichkeit und ein Teil dieses umfassenderen Begriffs des Guten. Ein Beispiel für die Anwendung der Methode des ‚Mit-sich-Aufhebens’ bei Nikomachos Als Beispiel, wie solche und ähnliche begriffliche Probleme bei Nikomachos, der ja eine Einführung in die Wissenschaft der Arithmetik schreibt und nicht eine wissenschaftstheoretische Erörterung darüber, was Arithmetik als Wissenschaft eigentlich ist, behandelt werden bzw. in den einzelnen Untersuchungen impliziert sind, sollen einige Überlegungen zu der Stelle angestellt werden, an der Nikomachos selbst von der Prinzipienfunktion der Arithmetik gegenüber der Geometrie spricht und aus dieser begründet, warum der dritte Teil seiner Schrift, d.i. der Teil, der die sog. figurierten Zahlen zum Thema hat, auch seine Berechtigung als Teil innerhalb der Disziplin der Arithmetik haben kann oder (sc. im Sinn der didaktischen Anlage der Arithmetik) haben muß. Zu Beginn seines ‚geometrischen Teils‘ (Buch II, Kapitel VI) beruft sich Nikomachos ausdrücklich auf die Prinzipienrolle der Arithmetik, die die von ihr abgeleiteten Wissenschaften zugleich mit sich aufhebe; d.h., er rekurriert noch einmal auf das, was er in der Einleitung über das Verhältnis der Quadriviums-Wissenschaften untereinander gesagt hatte (Nicom.Ar.83,711). Nun enthält dieser Rückgriff auf die Wissenschaftseinteilung aber zum einen bereits selbst eine Einschränkung des Umfangs des zu behandelnden ,Geometrischen’, und zum anderen betont er gleich zu Beginn dieses Teils, daß die spezifische Funktion der folgenden Betrachtungen eine muriwoi sei, d.h., daß die Betrachtung der ‚geometrischen‘ Gegenstände in diesem Rahmen nur verweisenden und veranschaulichenden Charakter habe, genauso wie man bei der Verwendung von konventionell festgelegten Zahlzeichen mit dieser Art der Verschriftlichung auf die Zahlen nur verweise (Nicom.Ar.83,12-83,3). Auf diese Unterscheidung zwischen dem eigentlichen Erkenntnisgegenstand und solchen Gegenständen, die als Hilfsmittel für diese primär intendierte Erkenntnis aufgefaßt werden, wird im folgenden noch häufiger zurückzukommen sein. Zunächst zu der Art der Einschränkung: „Elementarer aber wird es (ie. das kontinuierliche Quantum] in der Arithmetik, die sozusagen die Mutter und prinzipienhafter als jene [sc. die Geometrie] ist, aufgefaßt <und behandelt>. Wir erinnern uns nämlich daran, daß sie sich uns vor 221 kurzem als eine solche erwiesen hat, die einerseits die anderen Wissenschaften mit sich zusammen aufhebt, andererseits selbst aber nicht mit jenen aufgehoben wird und die einerseits in jenen notwendigerweise impliziert sein muß, diese andererseits aber nicht in sich <als ihre Voraussetzung> enthält.” | , N omepparikarepov dt TTpoomapadanßavera iv TH dBu brav untpì Kai ApXEyovwripa éxeivnng: EN ij yap, STI po Boaxtos TOUT huv ipawn Suvavampolca Liv Tas GAAag EmoTtnnas faut, ou cuvavampouuevn de EKelvars, Kai £umalıv auvemipsponivm Hiv Ékelvals àvayxaiux, où ouvemipépouca dì autac faut. (Nicom.Ar.83,5-11) Das heißt: N ur unter dem Aspekt, unter dem das Kontinuierliche in dem Diskreten sein Prinzip hat, kann das Kontinuierliche Gegenstand der Arithmetik sein. Es bedarf hier einer Präzisierung, wie die Dihairese des ‚bestimmt Seienden’ (ov) in diskret und kontinuierlich aufzufassen ist: Es handelt sich bei dieser Einteilung in die ,Arten des Seins’ nicht im eigentlichen Sinn um die Benennung der Differenzen eines abstrakten Genosbegriffs; denn das hieße, daß das év in genau derselben Weise von der diskreten Vielheit wie auch von der kontinuierlichen Größe ausgesagt werden können müßte?” und daß das eine nicht als Art unter das andere fallen bzw. zu dem anderen in irgendeinem Abhängigkeitsverhältnis stehen dürfte. Aus dem, was sich in der Deduktion der Begriffe noch zeigen wird, und auch aus der Bestimmun des Verhältnisses der Wissenschaften bei Nikomachos läßt sich aber ersehen daf ihnen das ov in je unterschiedlicher Weise, nämlich primär und sekundär (mpétwe Kai Öevrepuc) zukommt, daß es sich also nicht um eine synonyme Aussageweise handelt, um ein Verhältnis von gemeinsamer Gattung und spezifischen Differenzen, sondern um ein Verhältnis des mpòg tv kai a@ évdc, also um ein Verhältnis zwischen mehreren Instanzen, die ihre Bestimmtheit aus ein und demselben Prinzip ableiten aber von diesem Prinzip in graduell verschiedener Weise einen ‚Teil‘ von dessen Bestimmtheit und Einheit verwirklichen. „Es ist unsinnig <anzunelunen>, ‚Substanz‘ bezeichne dasselbe in bezug auf das, was im primären Sinn seiend ist, wie in bezug auf das, was später ist. Denn es gibt keine gemeinsame Gattung für das Frühere und Spätere.” ATOTOV TO AUTO anualvav Tv ovciay imi re TÔv TPWTWGS Bvrwv Kal TOV UOTEPWY OUK OVTOG YEVOUG Kolvol, 3 Ev ofcG TOTo TPOTEPOV 5 UOTEDOY. Kaliv (Plot. V1,1,1,26-28) ove i „<und die Substanz wird> nicht wie etwas [sc. abstrakt] Gemeinsames von allen [sc. von intelligibler Substanz, Form, Materie und Kompositum] <ausgesagt>, sondern wie etwas, was sich van einem Einen herleitet [=was sich gemeinsam auf ein Eines bezieht]” OUX ws Koivov kara mavTwY, GAN’ de ag’ Evöc. (Plot.VI,1,3,3-4)299 as aber bedeutet das für die Art und Weise, wie die wissenschaftliche ntersuchung vorzugehen hat, insbesondere dann, wenn sich das Erkennt- ®# S. dazu Plot.VI,2,1,21ff., 2 passim; 9,20-22 und Procl.in Ti.(1),242,5ff.: Plotin und Proklos begründen an den genannten Stellen mit analogen Argumenten, warum das Seiende nicht die (abstrakte) Gattung sein kann, die von dem intelligiblen und dem wahr- 2 nehmbaren Sein synonym prädiziert werden kann. Dazu s. auch Arist.Metaph. V114,1030a29ff.; Alex. Aphr.in Metaph.474,24ff, °

2. ‚Disziplinfremde’ Gegenstände nicht auf die des nisinteresse primar auf die Erkenntnis des Prinzips, und das Kontinuierliauch: chos Nikoma rt formulie so Prinzipiierten richtet (und ‚prinzipienhaftik Arithme die sofern et, betracht tik Arithme der in wird che ter’ (apxeyovwrtipa) ist als die Geometrie)? 2 Welche Funktion hat die Behandlung ‚disziplinfremder’ 2.1 Prinzipien und Gegenstände in der platonischen Wissenschaftstheorie der Arithmetik behandelt werden, noch dafür, daß Gegenstände der Arithmetik im Rahmen der Geometrie für sich selbst untersucht werden. Und noch ein weiteres Argument läßt sich vorbringen, warum die soebe zitierte Passage bei Nikomachos keine Begründung dafür sein kann und sein will, daß der spezifische Gegenstandsbereich der Arithmetik verlassen Gegenstände in einer Wissenschaft Man muß, folgt man der antik-platonischen Wissenschaftstheorie, bei der iBestimmung dessen, womit sich eine Wissenschaft beschäftigt, untersche aft, Wissensch dieser nd sgegensta Erkenntni den zwischen dem spezifischen also den bestimmten Gegenständen, deren Wesensbestimmung und deren wesentliche Akzidenzien diese Wissenschaft ermitteln und in ihrem besonderen Zusammenhang erschließen soll, und den Prinzipien, die diesen 223 Gegenständen und der Erkenntnis dieser Gegenstände unmittelbar vorausgesetzt sind. Letztere gehören in diese jeweilige Wissenschaft nur insofern, als sie Prinzipien sind, und werden nur berücksichtigt, soweit sie zur Erkenntnis der eigentlichen Wissensgegenstände erforderlich sind. Eine umfassende Erkenntnis dessen, was ihr Wesen, wenn man es fiir sich betrachtet, ausmacht, ist nicht angestrebt, sondern tibersteigt die vorausgesetzten Disziplingrenzen. Der Gegenstand der Arztkunst z.B. ist die Gesundheit des menschlichen Körpers. Sofern diese in der von der Seele hergestellten Harmonie zwischen den verschiedenen körperlichen Substanzen und Organen besteht und insofern die Seele Prinzip des Körpers ist, muß sich der Arzt auch mit der menschlichen Seele befassen. Aber diese wird nur in den Hinsichten sein Gegenstand sein, in denen die Seele auf Körperliches bezogen und für den Körper leitend ist und ihn beeinflußt. Sofern sie z.B. primär eine rationale Seele ist und auf das begriffliche Erfassen für sich erkennbarer sachlicher Unterschiede gerichtet ist und sofern sie selbst wieder nicht absolut primär und voraussetzungslos, sondern etwas Prinzipiiertes (sc. nach platonischer Auffassung: von dem göttlichen Intellekt) ist und in der Hinwendung zu ihrem Prinzip ihre eigene Wesensvervollkommnung findet (usw.), gehört sie hingegen nicht in den Gegenstandsbereich, mit dem sich der Arzt, sofern er Arzt ist, zu befassen hat; diese Kompetenz wird er an den, der auf diesem Gebiet ein Wissen hat, abgeben müssen und, wenn er etwas von seiner eigenen Kunst versteht und weiß, was er durch diese Kunst weiß und was er nicht weiß, auch abgeben wollen. Analog kann die Tatsache, daß die Arithmetik Prinzip der Geometrie ist, weder der Grund dafür sein, daß Gegenstände der Geometrie im Rahmen wird Denn eine solche Begründung, die als Ziel der Untersuchung entweder eine Wesensbestimmung des aus einem Prinzip Hergeleiteten (in diesem Fall: der Geometrie), insofern es etwas Abgeleitetes ist, angibt oder eine Wesenserk lä rung des Prinzips (in diesem Fall: der Arithmetik) aus seinem Bezug zu dem von ihm Prinzipiierten anstrebt, ist unzureichend. Im ersten Fall ware sic keine Rechtfertigung für die Aufnahme eines geometrischen Gegenstan ds in eine arithmetische Schrift, sondern eher umgekehrt dafür warum s ezifisch Arithmetisches von dem Geometer behandelt werden muß. Im zwei ten Fall wäre sie in der Sache falsch. Denn einem Prinzip kommt, sofern es für sich betrachtet in seinem Wesen bestimmt werden soll, kein Verhältnis zu dem von ihm Prinzipiierten 2.3 Es handelt sich bei der Relation zwischen Prinzip und Prinzipiiertem nämlich nicht um eine wechselseitige Relation diese kann es (zumindest in dem hier relevanten Sinn) nur zwischen ein der Gleichgeordnetem, auf einer Ebene Stehendem geben -, sondern ledig. lich dem Prinzipiierten kommt es als von ihm aussagbares Prädikat zu in einem Abhängigkeitsverhältnis zu seinem Prinzip zu stehen, dem Pri zip selber aber nicht. Theologisch formuliert: das Prinzip bedarf seiner Schöp. fungen nicht; d.h., der Bezug auf das Prinzipiierte kann nicht substantiel ler wesenskonstituierender Bestandteil der Sache selbst sein, und also können . Ergebnisse dieses Bezugs auch nicht den ‚Aufstieg‘ Na ; geo der geometrisc hen Ge Je 8 x genstände in die Arithmetik rechtfertigen. 391 300 on i een a den beiden unterschiedlichen Möglichkeiten der ihre Salice , <urrierendenvon Relation eon (RC (=Relation zwischen zwis gleichgeordneten eleichgeor Gegenständen, ä die i n nlich n einem n gemeinsam vorgeordneten Prinzi rinzip her ableiten) i und ‘ Labnaneigen Do (Chelation eines (einzelnen) Gegenstands zu seinem Precip) pri . . 301 m.912,11-12; Theol. eol. Plat {IL4,15,14-20; 111,24,85,1-7 5 und s. dazu unten S. réa nthrs sofern es Prinzip ist, seinem primären Sein nach äoxeros ist 1h. einem hängigkeits-)Verhältnis zu ctwas ih In gegenüber Späteren . stel eine Stellee aus dem Nikomachos-Kon -Kommentar des Philoponas: i Doe ,,D br, y was Ziel i dex Strebens ist,A (ro &peröv)) wewendet das, was nach ihm streb eet caf f seh si os Ziel n; des si » selbst aber wendet é es nicht aufi uf jene hin; i deshalb ist die Form rin da: dag,s, um tm <dessen> cessor will iSich Fone anderes Bb, und die Materie das, was um eines <anderen> willen ist Die also erder Natur nach früher. . Und auferdem gilt:: <selb: t> wenn die ie Form, die aneeiner Materie ist,A zu dem gehört, ché % was in i 1 Relation on zu zu etwas etwas ist, ist, weili es einen Bezu i n Bezug a mar aiepa a an der sie ist], dann ist aber doch die Idee, von der sie abgeleitet t, prin hat keinen Bezug zu der Materie.” +5 Sè i Eper cig tauTt ke ‘giiueva, aùrò & tis Ekelva ouk emioTpegeran, did&perov Da lv Roc of were Bi vn vera mov, quer Apa mpórspov TÒ eidoc. Kai Aus: el Kal TS Évudov dl os Maida 6 os NES nv Any, arr ouv n) idea, & fig waphKra, TPWTN pos THY VAnv. (Phlp.in Niclpon 2.5-8); s. außerdem Plot. VL8,20,28ff.;

2. ‚Disziplinfremde‘ Gegenstände Arithmetik Untersuchungen über geWarum also finden sich dann in der s eines Prinzips, der der Arithmetik ometrische Gegenstände, wenn der Statu nicht hinreichend ist, um diesen gegentiber der Geometrie zukommt, allein Textbefund zu erklären? scher Gegenstände in 2.2 Die Funktion der Behandlung nicht-arithmeti der Arithmetik 2.2.1 Der Textbefund können, warum bei NikomaDie Lésung dieser Aporie, nicht angeben zu Arithmetik aufgenommen chos scheinbar disziplinfremde Gegenstände in die erten Zahlen behanfiguri die denen in gen, werden, findet man in den Passa Aspekte beachtet und zur delt werden, wenn man insbesondere zwei Kenntnis nimmt: achos den Teil, Der erste Aspekt ist die Art und Weise, wie Nikom (1.) Denn er leitet tet: einlei t, handel n Zahle erten figuri sog. in dem er über die chkeit der Mögli der ng tellu diesen Teil mit einer vergleichenden Gegenübers n auseinGröße r liche nuier konti n Ableitung der verschiedenen Dimensione Konstrukund g ierun Gener der t chkei Mögli der mit ander in der Geometrie n (d.h. von Linienzahlen, tion der verschiedenen Arten von figurierten Zahle hen Zusammenhänge trisc geome Flächenzahlen und Körperzahlen) ein. Die als Anhaltspunkt für und gie Analo als ich dienen dabei ausdrücklich ledigl Auf dicse Weise wird 1. undie Methode der Schematisierung der Zahlen. trie und den unter der Geome terschieden zwischen den Gegenständen der ständen und 2. zwiGegen en delnd behan Überschrift ‚Figurierte Zahlen‘ zu ren mathematiprimä (bzw. ren primä und en tlich eigen schen den Zahlen im dieser Zahlen n tione senta schen) Begriffssinn und den anschaulichen Reprä zweiten Under ung Beton die durch re in bildlichen Schemata. Insbesonde Beleg dafür als nicht n Zahle erten figuri die daß klar, terscheidung wird an die tlich wesen eine sei dienen können, die antik-platonische Mathematik emaMath naive ische, unkrit über gegen Anschauung gebundene und dieser gen chtun Betra ersten n diese aus allein schon ehr 32 sondern es hat vielm tik noch ngen suchu nden Unter heraus den Anschein - wie sich in den folge -, daß es ein wichtiges Ervielfach und durch viele Belege bestätigen wird d zwischen rein Begriffschie Unter den ist, ft kenntnisziel dieser Wissenscha 1; 921,33-35: „Er hat gezeigt, daß es Proclin Prm.1179,41ff.; bes.: Proclin Prm.921,3-922, echen, was an ihnen Anteil zuzuspr dem zu n Relatio eine rn unsinnig ist, den Urbilde Ta iynacı d1dovaı mpòs hat.” wamidakey, de Aromov oxtow TO Tapade HETEXOVTA AUTWW. 302 Zum Beispiel Helmuth Gericke, Mathematik in Antike und Orient, Berlin 1984, 82 und der griechischen Mathematik, 182; 142f, Ähnlich auch: Aprad Szabó, Die Entfaltung mystik und exakte Mathematik, in: 195; 229f. Kurt von Fritz (Die Pythagoreer, Zahlen Berlin/New York 1971, 47Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, und detailliert für die reich ders „beson die Zahlen, rten figurie den 64, 50£.) sieht in en der wil- und Bindeglied zwisch frühen Pythagoreer bezeugt“ (51) seien, ein „Mittel Mathematik” (50). den Zahlenspekulation und der wissenschaftlichen 225 lichem und bildlich Vorstellbarem herausz i i i isse schaftstheoretischen Bedeutung zu een und ER seiner wissen (2.) Der zweite Aspekt betrifft den Gegenstand, den Nikomachos als seinen eigentlichen Untersuchungsgegenstand in der Betrachtung der figurierten Zahlen benennt. Denn er behandelt eben gerade nicht Geometrisches (yewperpixa) im spezifischen Sinn. Punkt, Linie, Fläche und Körper als solche werden nicht um ihrer selbst willen, sondern lediglich als zu ergänzende Voraussetzung dessen, was durch bildliche Veranschaulichungen beschrieben werden soll, bestimmt. Einige weitere Bemerkungen sollen die beiden genannten Punkte kurz erläutern: Nikomachos | leitet den folgendermaßen ein Über gang zu $ den figuriert ahle guierten Zalen „es sei also die Monas dasjenige, was die Systemstelle des Punkts einnimmt und in gewisser Weise das Prinzip der Abstände [=der Dimensionen] und Zahlen...ist“ feta: OÙV 1) LEV nova I 5 rs itp LEX) pi an alpre (NO AREAS) erde Deer und stellt Definitionen der geometrischen Gegenstände an den Anfang. Der Grund für dieses Vorgehen ist, daß (zumindest) ein abstrakter Beri von diesen Gegenständen die Voraussetzung dafür ist, daf? die Veranschaulichung der Syntheseweisen der Zahlen in den figurierten Zahlen die (wie unten bewiesen werden wird?®) Instanzen der Zahlen auf der Ebene der Vorstellung sind, überhaupt einen Erkenntnisgewinn bedeuten bzw. zur Folge haben kann (Nicom.Ar.86f.). Denn man kann nur dann etwas aus der Verbildlichung der spezifischen Syntheseweise der Zahl Drei als Dreie k über die Konstitutionsweise der Zahl Drei lernen, wenn man schon etwas über das Dreieck weiß - was auch wieder zeigt, daß die als Dreieck fi . rierte Drei nicht sachlich und begrifflich früher ist als die Sache Dreieck sondern die figurierte Drei setzt sowohl die Zahl Drei als auch die Sache mreieck voraus. Das heißt aber: es werden von Nikomachos nicht Linien . op en und Körper behandelt, sondern Linien-Zahlen, Flächen-Zahlen und Ergebnis: Man kann sich nicht auf die Äußerungen zur Methode der Figurierung vo ser die Nikomachos selber vorträgt, berufen, wenn man behaupten will dal mit dem Ubergang zu den figurierten Zahlen der Bereich der Arithme< verlassen werde. Denn diese Passagen zeugen von einem klaren Bewußtsen Soer die |Disziplingrenzen der einzelnen mathematischen Wissenschaftenees wirdaus i de ch zwischen geometrischen Figuren und Figu- 393 5, Teil II, Kapitel VL3 S. 727ff.

2. ,Disziplinfremde’ Gegenstände 2.2.2 Systematische Begriindungen Bliebe es bei diesem textimmanenten Argument, kénnte man freilich immer noch einwenden, daf diese andere Benennung in der Sache keinen Unterschied mache. Denn wenn die anfängliche Unterscheidung zwischen Zahl (Diskretem) und Größe bzw. Figur (Kontinuierlichem) überhaupt einen Sinn und ein fundamentum in re gehabt haben soll, dann ist bei einem ersten Hinsehen ein Begriff wie Linien-Zahl schon an sich eine contradictio ín adiecto. Denn die Unterscheidung zwischen Zahl und Größe wird als Grundeinteilung, wie etwas als ein bestimmtes Seiendes bestimmt sein kann, eingeführt | a (Nicom.Ar.4,13-20).3% Ein jedes Seiende soll gemäß dieser Einteilung im Sinn einer vollständigen Disjunktion entweder Zahl (bzw. etwas, was wie eine Zahl ist) oder Größe sein, nicht aber beides zugleich. Eine Linien-Zahl wäre dann sozusagen ein ‚hölzernes Eisen‘. Wenn figurierte Zahlen also weder das sind, was nach der Definition bei Nikomachos Zahl im eigentlichen Begriffssinn ist, noch das, was im eigentlichen (geometrischen) Begriffssinn kontinuierliche Größen sind, dann besteht die einzige mögliche Lösung darin, eine weitere Unterscheidung einzuführen. Nikomachos bezeichnet die figurierten Zahlen als Zahlen, nämlich als Linien-Zahlen, Flächen-Zahlen usw. Die erforderliche Unterscheidung muß demnach eine Unterscheidung an dem Begriff der Zahl sein. Das Nächstliegende ist, eine Unterscheidung zwischen dem eigentlichen Begriffssinn von Zahlen und einem ‚figurierten Begriffssinn‘, d.h. einem Begriff von Zahlen, der von den von Nikomachos behandelten ,figurierten Zahlen’ ausgesagt werden kann, vorzunehmen. Die sich an diese Unterscheidung anschlie- Bende Frage lautet dann natürlich, worin die spezifische Differenz dieses Begriffssinns liegt und wie in diesem (abgeleiteten) Begriffssinn die beiden sich auf der primären Ebene widersprechenden Begriffe der Figürlichkeit und der Zahlhaftigkeit verbinden. Die Beantwortung dieser Frage - d.h. der Frage nach den begrifflichen Zusammenhängen von Zahl, Diskretheit, Kontinuierlichkeit, Figürlichkeit, Vorstellbarkeit, Begrifflichkeit, Allgemeinheit, Partikularität usw., wird das Thema des VI. Kapitels sein.?® Vorläufig kann man sich aber auf ein Indiz dafür beschränken, daß figurierte Zahlen tatsächlich - wie auch immer bestimmte - Zahlen und keine geometrischen Gegenstände sind, nämlich auf das Indiz, daß Nikomachos auch bei der Beschreibung der Genese und Eigenschaften der figurierten Zahlen an Termini festhält, die er zuvor bei der Abgrenzung der Gegenstände von Arithmetik und Geometrie als spezifische Differenzen verwendet hatte. Dies gilt vor allem für den Begriff der (sc. diskreten) ‚Anhäufung‘ von 227 Einheiten (owpevong oder auch der owpeia)% der die eine Seite des Begriffspaares oopeuong (oder auch mapaßeoıc) und aAAnAouxia (kontinujerliches ,Aneinanderhangen’) ist.307 306 Zum Beispiel Nicom.Ar.109,15; 112,17-18 und 21; 115,7 u.ö. 307 Nicom.Ar.4,13ff.; lambin Nic.7,13; Simp.in mapadecıc: Iamb.Theol.arith.4.und 21 Ph.711,15-17; mit dem Gegensatz (cwpeia als Beschreibung arithmetischer Progression). Simplikios zitiert in seiner Kommentierung des 6. Kapitels der Categoriae, d.h. in seiner Abhandlung über die Kategorie des mocov, die Ableitung des Unterschieds zwischen Diskretem und Kontinuierlichem aus der Entfaltung des Einen, wie sie lamblich vorgenommen habe. In einem späteren Kapitel werde ich diesen Text im Detail interpretieren (Kapitel VI.2.7 (ab S. 709); hier seien nur schon einmal die Grundzüge genannt: Die Konstitution der Quantität, des Quantitativen, ist das Heraustreten des Einen in die Vielheit; daraus daf? das Eine die in ihm liegende Potenz ins Nacheinander ausfaltet und als einzelne Instanzen zur Aktualität bringt, erklärt sich die Möglichkeit von bestimmter, als Erkennbares und Begrenztes bestehender Vielheit. Die Unterschiede, wie eine solche bestimmte Vielheit gedacht werden kann, beruhen dabei auf den verschiedenen Arten, in denen die Rückwendung der Vielheit auf das Eine als ihr Prinzip stattfindet, oder anders formuliert: sie erklären sich aus der Art der bestimmenden Begrenzung und Einung der von sich selbst her unbegrenzten Vielheit durch einen Akt des Zusammenfassens und des Beziehens der einzelnen Teile dieser Vielheit auf ein gemeinsames Zentrum; denkt man bei einer Vielheit alle Teile als aufeinander und das Ganze bezogene, so entsteht der Begriff der kontinuierlichen Viclheit (Simp.in Cat.135,8ff.); denkt man die einzelnen Teile dieser Vielheit wiederum als für sich bestimmte und auf sich bezogene Einheiten, so faßt man die Vielheit als diskrete Vielheit auf: der Unterschied beruht also darauf, ob man die Selbigkeit der Teile in bezug aufeinander und in bezug auf das Ganze betrachtet oder ob man die Selbigkeit jedes einzelnen Teils betrachtet und jeden als auf sich selbst bezogen (Simp.in Cat.135,17-25): „Und durch ihre überall gleich bleibende Identität (karà piv +nv mravraxoû rautormra), die sowohl bei jedem einzelnen Teil als auch bei allem <insgesamt> als ganze ist, verfertigt sie das Kontinuierliche [daher ist die schlechthin abstrakteste Kontiniierlichkeit Resultat der Ununterschiedenheit in der Vielheit, die der ‚schwächste Abglanz’ der Identität von Teilen und Ganzem ist]; durch die bei jedem einzelnen von diesen in bezug auf es selbst bestehende Identität (xarà dî tiv iQ ikacrov auvGy mpeg faura raurörnra) [d.h. durch den Bezug auf sich selbst grenzt sich ein jedes einzelne Seiende von allem anderen als etwas Bestimmtes, mit sich Identisches und damit von allem anderen Verschiedenes ab] und dadurch, daß sie in jedem einzelnen als ganze ist, erzeugt sie das Diskrete. Und durch die Einheit der intelligibien [=begrifflich-allgemeinen] Quanta untereinander (Kara pèv nv iv aAANAOIG Evwor Tv vonräv woot) sc. dadurch daß jeder einzelne begriffliche Sachverhalt eine Einheit ist] bekommt das Kontinuierliche <von ihr seinen> Bestand, durch die <in sich differenzierte>, die <einzelnen Formen [=intelligiblen Quanta]> voneinander in bestimmter Weise trennende Einheit (kara di Thv Staxexpinivnv aurav am’ aM rdwv Evwory) (sc. dadurch, daf! jeder einzelne begriffliche Sachverhalt eine (d.h. diese eine bestimmte, von anderem unterschiedene) Einheit ist] aber verleiht sie dem Diskreten seinen Bestand.” Kat xatà piv TV mavraxou TauToTHTa Kai SAny ip ixdotwyv Te TAY Hoptwy Kal em TAVTWY TO cuvexes Amepyalsraı, KaTa dé THY ip tkacTov auTav Tpdc taura TAUTOTITA Kai KaTa To ty ivi ikdotw dAnv eva: To Swpioyiivov Amoysvva. kal KaTa piv Thv Ev & noi Évwoiv Tüv vonT@v mrocûv TO UVEXEG, 304 Dazu s. genaueres unten ab 5. 243. 305 S, unten zusammenfassend zu diesen Zusammenhängen z.B. Kapitel VI.2.8 und 2.9 (ab S. 724). kata Sì thy Siaxexpipevny altav an’ à A Au wav Td Sopiopivov VpiornTv. Tamblich formuliert das (nach dem Referat des Simplikios an dieser Stelle: Simp.in Cat.135,12-16) - weil er den Vorgang als Heraustreten des Einen in die Vielheit be-

ipien 2. ,Disziplinfremde’ Gegenstände ische Grundlagen Damit ist zumindest angedeutet, was eine figurierte Zahl sein könnte. Es ist aber noch offen, welche besondere Funktion solche Vorstellungsbilder von Teil If - I. Allgemeine methodische Prinz 228 Erkenntnis- und wissenschaftstheoret hinreichende Lösung für die ApoDie eigentliche, begriffliche und sachlich figurierten Zahlen erfordert zwei rie bei der Bestimmung des Status der einzeln für sich benannt und benicht Voraussetzungen, die bisher noch ich zunächst einmal als Thesen die d un sind grifflich begründet worden he Herleitung und der Beweis vorstellen möchte. Die Begründung, begrifflic n d aller nachfolgenden Kapitel nsta en ist der Gege Zahlen in einer mathematischen Untersuchung haben sollen. Müßte sich eine solche nicht gerade auf das beschränken, was der zu untersuchende Gegenstand im primären Sinn ist? Und sollte sie nicht gerade auf solche Instanzen dieses Gegenstands verzichten, die in nur abgeleiteter und ein eschränkter Weise den Sachverhalt wiedergeben? - Um diese Frage zu bo. antworten, bedarf es zusätzlich noch der zweiten angekündigten Vorausset der Richtigkeit dieser Thes dieses Lehrbuches. zung. 1. These: 2. These: gemäß den verschiedenen Die platonischen Mathematiker unterscheiden llen, Meinen, diskursives Den- Arten des Erkennens - Wahrnehmen, Vorste ipienhaft primären Zahlken, intellektives Erfassen - zwischen einem prinz Zahlbegriffen. Man kann iteten abgele m begriff und verschiedenen von diese Vielheit aus getrennten einer g Einun der ten chkei Mögli die verschiedenen von diesen begriffliaber Einheiten begrifflich allgemein denken; man kann sich das in dem und rfen entwe der gsbil chen Möglichkeiten auch Vorstellun jedes VorstelWeil n. liche schau veran ch bildli nte Begriff eigentlich Gemei zu etwas gie Analo g oder lungsbild immer etwas ist, was in Anlehnun unten S. (s. d gsbil ellun Vorst jedes ist Wahrgenommenen konstruiert wird, nden ist. gebu ie Mater eine an das nes, Einzel etwas 498f.) etwas Partikuläres, dietwas ist ist, rat Subst en Alles aber, was an einem ihm zugrundeliegend ein daß tet, bedeu Das ches. uierli mensional Ausgedehntes, d.h. etwas Kontin Möglichkeit der Einung Vorstellungsbild von dem, was eine begriffliche (zumindest nicht, insofern einer Vielheit diskreter Einheiten ist, selbst nicht es etwas Vorgestelltes, d.h. Partikuläres, ist309) ein diskretes Quantum, sones ist. dern etwas Kontinuierliches, also etwas Größenhaft verstehen kann: eine Das genau ist das, was man unter einer figurierten Zahl che Repräsentatiuierli kontin daher und vorstellungshafte, d.h. partikuläre, sagen: ein Bild auch kann man oder it Vielhe en geeint t onsweise einer diskre von einer Zahl. schreibt, und nicht den Aspekt, daß es sich dabei letztlich um eine Denkbewegung den Nous) (nämlich um eine Bewegung des sich selbst denken handelt, betont - auch Hervorgang über noch einmal etwas anders: sofern das Eine sich bei seinem alles er- Weise allem Anteil gibt und streckt, an seiner einenden Potenz in ungeschiedener fern dieser Hervorgang ein einer und selbiger ist, insobringt es das Kontinuierliche ins en Teil der Vielheit be- Sein; sofern hingegen sich die einende Potenz auf jeden einzeln theit ‚haltmacht‘ und diesem zieht, d.h., sofern das Eine bei jeder einzelnen Bestimm gibt, komunt durch diesen Einheit ten bestimm sich für einzelnen den Charakter einer Hervorgang diskrete Vielheit ins Sein. im 1. Teilkapitel aufgeführt: 308 Dazu s. ausführlich unten Kapitel VI. (die Aporien werden ab S. 576). 229 Die bei _weitem vorherrschende Darstellungsmethode wissenschaftlicher Gegenstande und Sachverhalte in der platonisch-aristotelischen Tradition ist die didaktisch-anagogische Methode. Erkenntnis setzt sich nicht aus Dingen zusammen, die man wie eine Ware handeln kann, sondern Erkenntnis ist eine vom Erkennenden selbst zu erfüllende Aufgabe. - Das Wissen fließt wie Platon im Symposion sagt (Smp.175d3-7), nicht einfach von dem Lehrer auf den Schüler über, wenn dieser sich in dessen Nähe aufhält. Daher muß sich die Vermittlung von Wissen nicht nur nach dem Gegenstand sondern vor allem auch nach der subjektiven Beschaffenheit und Aufnahmefähigkeit des Erkennenden richten, weil dieser aktiven Anteil an dem Wissens er erb hat und das Erkennen nicht einfach ,erleidend’ erlebt. “me Menschliches Erkennen beginnt mit der Wahrnehmung. Erst dort, wo die Unterscheidungskompetenz der Sinne nicht mehr zur widerspruchsfreien Erkenntnis ausreicht, werden höhere Erkenntnisvermögen betätigt, deren Erfassungsweise differenzierter und deren Erkenntnisinhalte konkreter sind Die Differenzienung besteht darin, daß der zu erkennende Gegenstand zunet n end genauer von allem, was nicht dieser Gegenstand ist, abgegrenzt Dies geschieht 1. dadurch, daf alle die (wahrgenommenen) Merkmale ausgeschieden werden, die zu dieser Abgrenzung nichts beitragen, weil sie entweder mit dem zu erkennenden Gegenstand nicht immer und nicht not wendig verbunden sind, oder weil sie auch anderem, von dem Ge enstand Verschiedenem zukommen. 2. geschieht die Differenzierung dadurch daf das begriffliche Prinzip derjenigen (wahrgenommenen) Merkmale die der Einheit und Identität des gesuchten Begriffs nicht widersprechen e ittel und als Teil des Begriffs hinzugesetzt wird. i ia kin Brkermenisgewinnung erfolgt also - nur das sollte bei dieser kurzen en 7 È 8 et werden - nicht unmittelbar und nicht rezeptiv, sondern ein rozef nacheinander ausgeführter Akte des Unterscheidens. Meikdiesen Bedingungen des Fortschreitens des Erkennens orientierte panini ae demnach die auf diesem Weg durchlaufenen Stufen mitvollen von dem jeweils betätigten Erkenntnisvermögen vollzogenen Erkenntnisakten die entsprechenden Erkenntnisgegenstände ,an-

3. Zur Funktion ,musiktheoretischer’ Passagen in der Arithmetik tiven Erkenntnisfähigkeit bieten’. Zu den abgeleiteten und gemäf der subjek tuierten Gegenständen konsti ft nscha Wisse igen der ‚Schüler‘ in der jeweil flichen Unterscheidungehören auch bildliche Repräsentationen von begrif gen. Erstes Fazit aus der Zusammenfassung der Thesen: Arithmetik, weil sie Die figurierten Zahlen haben deshalb einen Platz in der 2. Hilfsmittel sind sie weil und sind n Zahle von zen 1. anschauliche Instan anagogische Wisdie sich beim Aufstieg zu begrifflicher Erkenntnis, derer senschaft bedient. sind späteren KaDer Beweis und nähere Erläuterungen dieser Thesen piteln vorbehalten (s. Kapitel III und VI). Ergebnis: des NikoFür die Frage, inwiefern der ‚geometrische Teil’ in der Arithmetik eigentlichen zur hat, Gegenstand zum machos, der die figurierten Zahlen Der Abschnitt Arithmetik dazugehört, ergibt sich damit folgendes Ergebnis: des Berücksichtigung unter der in Stufe eine ist Zahlen figurierten zu den durchgeErkennens menschlichen Fortschreitens und der Schwächen des was Zahl von sich führten Vermittlung eines konkreten Begriffs von dem, selbst her ist. 3 Zur Funktion der „musiktheoretischen’ Passagen in der Arithmetik Analoges läßt sich als Antwort auf die Frage sagen, welche Funktion die il der Arithmetik Betrachtung der relativen Quantitäten im zweiten Hauptte hat. den Begriff Ansatzpunkt für eine Antwort ist die Erkenntnis, daß man er man Entwed kann. men bestim der Relation auf zwei verschiedene Weisen einer zu Zahl en einzeln einer die haft, Eigensc eine versteht unter ‚Relation‘ eit der Gesamth die r darunte t versteh man oder t, zukomm Zahl anderen diese Eigenschaft Momente, die dazugehören, damit einer einzelnen Zahl ng ein, wie cheidu Unters dieser hinter zukommen kann. Wiederum steht e: Gedank er einfach kann, machen klar s Beispiel man sich anhand eines n Man kann, wenn man von einer Relation spricht, z.B. von der Relatio ten, betrach n insofer Zwei Zahl der Zahl Zwei zur Zahl Vier, entweder die kann ihr als sie in einem bestimmten Verhältnis zur Zahl Vier steht und die Eials h nämlic haft, Eigensc und t Prädika als n Relatio mte diese bestim genschaft, die Hälfte von Vier zu sein, zusprechen. DieMan kann aber auch das Relationsverhältnis als Ganzes betrachten. n zwischen ses Ganze besteht aus den Zahlen Zwei, Vier und der Relatio und diesen beiden Zahlen, also aus zwei Grenzen bzw. Anfang und Ende als ist hältnis Zahlver dieses t: bedeute Das einer diese verbindenden Mitte. Zahl die auch wie so Teilen, mten bestim aus Einheit eine um ganzes wieder 231 Zwei eine Einheit aus bestimmten Teilen ist. Denn auch die Zahl Zwei setzt sich aus miteinander verbundenen, d.h. miteinander in einer bestimmten Beziehung stehenden, Finheiten zusammen. Man denkt ‚Zwei‘ als Zusammensetzung einer Einheit mit einer weiteren Einheit. Man kann also auch bei der Zahl Zwei, wenn man sie isoliert für sich betrachtet, von einem ‚Relationsganzen’ sprechen, d.h. von einem Ganzen, das sich zusammensetzt aus zwei Grenzen und einer diese verbindenden Mitte. Bei größeren Zahlen wird diese Mitte entsprechend komplexer sein, für die Frage nach dem Prinzip der Konstitutionsweise ist der größere oder geringere Komplexitäts rad aber nicht von Belang, sondern die Erkenntnis, daß jede Zahl - und über. haupt alles, was etwas ist - zwei Grenzen (=Anfang und Ende) und ein diese verbindende Mitte haben muß, um eine Einheit und ein Ganzes à sein, behält auch bei komplexeren Zusammensetzungen ihre grundsätzliche Gültigkeit. Jede Zahl muß in analoger Weise wie die Zwei als ein Ganzes aus Teilen, nämlich aus Anfang, Mitte und Ende gedacht werden. Folglich macht = durchaus Sinn, wenn man erkennen will, was Zahl für sich betee) achtet ist, ren crachtungen au ac über ü môgliche ögli Relationen zwischen i (isoliert Dieses Begriffsverständnis kann deutlich machen, daf? die Zahlenrelationen innere Konstitutionsbedingungen von Zahlen und nichts diesen Äußerliches sind, d.h., daß die Relationen zusammen mit den Termini ein geeintes Ganzes bilden (nämlich: spezifisch oder individuell bestimmte Zahlen) und È mern bei dem Übergang von dem ersten Teil der Arithmetik des Niomachos zum zweiten Teil nur ein Wechsel der Betrachtungsperspektive vorgenommen wird. Die Perspektive schwenkt auf den Aspekt der Gleick heit und Ungleichheit, der die Verhältnisse der Teile einer in bestimmt u Melse geenen Vielheit untereinander und zu dem Ganzen bestimmt und (Zweiheit bzw. Vielheit), im Vordergrund gestanden hatten 7 ul den diese zurückgeführt werden können, i : i nierender Aspekt die Möglichkeiten der Zusammen suna von Garaden und Ungeradem, also die Prinzipienfunktion von Monas (Einheit) und Dyas | Auch diese neue, auf Relationen gerichtete Perspektive ist ebenso weni cin Ausflug’ in die Musiktheorie, wie die figurierten Zahlen ein ‚Ausflug‘ in ie Geometrie sind. Sondern sie ist ein Teil der Wesensbestimmun der 7 hl an sich (die dann als solche auch (aber erst sekundär) eine Vorarbeit fü di eigentliche Musiktheorie darstellt). a Wie diese konkret durchgeftihrt wird, ist Thema der Kapitel V und VII von Teil II (des Kapitels über die verschiedenen Stufen von Zahlbegriffen un des Kapitels über die Zahldefinitionen). In dem Zusammenhang mit der inteilung der geraden und ungeraden Zahlen wird sich das, was im fol genden beispielhaft ermittelt werden soll, nämlich die Rückführun auf obersten Prinzipienpaare, in der Möglichkeit der Zurückführung der Unter.

schiede der Zahlarten auf die Dominanz von Monas bzw. schiedenen Zahlen wiederfinden lassen. 4. Gliederung von Teil I Dyas in den ver- Aufgabe, die scheinbaren Übertretungen und Überschneidungen mit andeten ren Wissenschaften im Rahmen einer Untersuchung, die einer bestimm . erklären zu ist, t Disziplin gewidme Dabei zeigte sich, daß der Eindruck des Mangels an Konzentration auf unzureiden eigentlichen Gegenstand der Arithmetik zum einen auf einen unzureieine auf anderen zum und nd Gegensta diesem von chenden Begriff ungsmethode chende Reflexion auf die angewandte Darstellungs- und Vermittl zurückzuführen ist. Alle Teile der Arithmetik des Nikomachos haben die ‚Zahl für sich betrachtet‘ zum Gegenstand und ermitteln die diesem Gegenstand wesentsie lich zukommenden begrifflichen Momente. Sie tun dies dadurch, daß dieses aften Eigensch dene verschie aus iven Perspekt edenen von verschi einen Gegenstandes herausheben. Diese unterschiedlichen Perspektiven korrespondieren unterschiedlichen Erkenntnisweisen und folgen aufeinan den von ns Erkenne ichen menschl Aufstieg der sich der in der in der Weise, niedrigeren zu immer höheren und differenzierteren Erkenntnisweisen vollzieht. 4 Erläuterungen zur didaktisch-anagogischen 3. weitere Untersuchungen z In dreierlei Richtung müssen also die bisherigen Ergebnisse noch näher erläutert und begründet werden. Dies betrifft die Herleitung der vorausgesetzten Abgrenzung der spezifischen 1. Gegenstände der einzelnen Disziplinen, o uf die Antwort auf die Frage, ob es sich bei diese m Gegenstand um etwas Be ‘ffi. wichtiger, oder sogar der entscheidende Schlüs platonischen Mathematiktheorie ist. Wenn aber sel zum Verstä Imis der in der senschaft und Wissenschaftstheorie nicht nur das, en ee nach ist, sondern auch abgeleitete tet werder À | n muß druck des Überwiegens des Monadischen ist, während das Disjunkte auf einen größeren Anteil des Dyadischen schließen läßt. lat : isch n vie was ine Sache theo Instanzen betrach. eine Begriffsbestimmung des Gegenstand ungen zur Methode der Darstellung des Erkenntnis s ‚Zahl‘ mit in der platonischen Wissenschaftstheorie und -praxis beginnen: dies nen tile stdieselling der anagogisch en Methode in ihren verschiedeErkennen an Verhältnis zu dem, was erkannt wird (also zu dem schiedenen moglichen Ertan wie en) erforder [ral en ver (zur {nagogik - am Beispiel der Einheit des te s per N Aapite I Ze itn orn tend einen Beweis dafür zu erbringen, daß es sich bei Zaten [n pr en Sinn tatsächlich um etwas Begriffliches, Allgemeines und Malen ara Adres, d.h auch: nicht um subjektive, abstra kte gewonnene) Begriffe handelt [Teil Daran wird sich chee ce NiBe anzuschließen haben, um was für eine Art des BegriffliVerhältnis diver eine Be der Zahl handelt und in welchem instanzen steht [Teil IL, Kapitel V (Zha n ecelteien Begriffen and vatin mn „orisetzung des unter (3.) Ermittelten 309 Damit ebenfalls zu erklären ist die Unterscheidung zwischen kontinuierlichen und nicht stetigen Analogiereihen: so ließe sich zeigen, daß die Möglichkeit der Verknüpfung zweier Terme über eine einzige Mitte - ie. eine kontinuierliche Analogie - Ausbi ches oder um etwas (bloß subjektiv) Vorgestelltes handel t. Die bish ae vorgetragene These besagte, daß Zahl an und für sich etwas Be jffich ol und daß die Erkenntnis dieser begrifflichen Natur der Zahl Außerd. m ein It Kapitel IV ang panna Beerpo Gliederung von Teil II Methode chungen letztlich verweisen maten, name sar aie Frege Was tee n Gegenstand ‚Zahl‘ eigentlich?’ Res lesen Diese letzte ist die alles entscheidende Frage, und sie erfordert zu il Beantwortung eine Eingrenzung des Status dieses Gegen standes dh ine der Arithmetik spunkt diebehandelten Gegenstände und Themen folgen könnte. Ausgang Mathemacher platonis n Traditio gesamte ser Überlegungen war die für die einzelnen der ände Gegenst der ung Abgrenz exakte gende tiktheorie grundle vor der mathematischen Disziplinen. Hält man an dieser fest, steht man 2. und zu de Frage, welche Schlußfolgerungen aus dieser Besti mmung der M t de für die Einheit der Arithmetik gezogen werden können , und BOT eee fi Zusammenfassung: agen werIm vorangegangenen konnten erste Indizien dafür zusammengetr den, welchen Prinzipien die Auswahl und Reihenfolge der in 233 Parken 6 die grundsätzliche ischen der Allgemeinheit des primären Begrif fs und der et del ren Begriffe sowie der Zusammenhang zwischen den ari nuierlichkeit bzw. Vorstellbarkeit referi ert und mi hare een Zahlen ein besonders wichtiges Beispiel vorgeführt werden, Zaho ll 6, und dh. auch: bildlich-figürlich e, also ‚kontinuierliche sind und ane i zene Eisen’, d.h. nichts in und an sich Widersprüchliches tonisc hen hatespe pee Funktion abgeleitete Za a er el [Teil Zahlinstanzen in der pla- IL Kapitel VI (Vorstellbarkeit von

pien Ergänzung: Nikomachos und andere neuplatonische Quellen Teil II - I. Allgemeine methodische Prinzi suchungen gezogen kann die Quintessenz aus all diesen Unter (5.) retation des ersten Interp eine für ze werden, indem versucht wird, 1. Ansät 2. in einer Art legen; indem Hauptteils der Arithmetik des Nikomachos vorzu den Kapiteln zur Anagogik, zu Bezug den wird, cht versu Zusammenfassung herzustellen, egriffen zum primären Zahlbegriff und den abgeleiteten Zahlb über das Verhältnis der 3. insgesamt zu einem abschließenden Ergebnis tik, zu kommen, 4. ein Dialek zur d.h. ophie, Philos n Mathematik zur Erste ntnisvermögen, verErken Resümee über den Zusammenhang zwischen tnis- und VermittErkenn nen hiede schiedenen Begriffsebenen und versc alle diese verschießlich schlie 5. und n ziehe zu lungsarten von Erkenntnis Vielheit zurückund t denen Aspekte auf den Crundunterschied von Einhei tion und primärer Begriffl. zuführen [Teil II, Kapitel VII (Mathematische Defini den Erartes den zu sätze gebnissen aus Teil I, in dem verschiedene Forschungsan der lung Darstel htigte beabsic die liberales diskutiert wurden, folgern, daß der in ms ssyste schaft Wissen schen platoni des begrifflichen Grundlagen weiteren Vorgehens aus Insgesamt kann man für die Methode des , mit dem finden können Sekundärliteratur keinen ,Gesprachspartner’ wird cheidungen und eine direkte Auseinandersetzung der vorgestellten Unters e moderne Forgesamt die nahezu Denn Begründungen stattfinden könnte. Zumindest gibt zurück. ndig vollstä fast Gebiet diesem auf sich schung hält es (soweit ich sehe) keinen zusammenhängenden Versuch einer systematilichen Grundlagen schen Rekonstruktion bzw. Zusammenfassung der begriff ystems. chaftss dieses Wissens schließen soll, Das folgende versteht sich als ein Beitrag, der diese Lücke mit antiken Dialog dem in hend weitge h Versuc Daraus folgt aber, daß dieser ikern aus Theoret von gen tierun Kommen und n erunge Erläut Texten und mit expliohne und selber n der platonisch-aristotelischen Wissenschaftstraditio durchung Forsch en modern genden vorlie zite Auseinandersetzung mit der geführt werden muß. des Ergänzung: Nikomachos, Kommentare zur Arithmetik n Quelle he tonisc neupla e weiter und achos Nikom die für diese Die wichtigsten Informationen über die Texte und Theoretiker, cksartig zuüberbli hier Art der Interpretation relevant sein werden, sollen sammengestellt werden. Der Anspruch ist dabei weder, einen Überblick vollständige über alle wesentlichen biographischen Informationen und eine berliefernicht-ü Auflistung und Zusammenfassung aller überlieferten und lediglich werden es n sonder ten Werke der genannten Autoren zu bieten, The„Die Thema das auf Blick mit die n, gehobe die Aspekte an ihnen heraus keine auch ich habe dem Außer sind. t relevan ismus“ Platon im Zahl orie der gen abgege‚objektive‘ Darstellung angestrebt, sondern habe auch Wertun tungen Behaup bloße und aft thesenh nur ben, die an dieser Stelle freilich der nntnis Textke und n Studie che gründli auf jedoch die , bleiben müssen erwähnen Schriften und ein auf dieser Grundlage gebildetes 235 kritisches U te muro gehen und von deren fundamentum in re man sich, wie ich hoffe, auch bei der Lektüre dieser Arbeit wird überzeugen können | 7 Nikomachos von Gerasa Jebte vermutlich um 100 n.Chr. Außer der in dieser Arbeit i i „Eintihrung in die Arithmetik” (=Arithmetik) Ana r cave) del vondnetmi anderem auferdem noch eine musiktheoretische Schrift (ein ‚Hand en Nien (appovixoy éyxeiptdiov) erhalte n. Mit beiden eu machos ausdrücklich in die (neu)pythagoreische und pl2 epezifiaches x mn ane vermittelt in seinen mathem atischen Traktaten en Ken se die als Basiswissen für das Verständnis der lente rem und auch für weiterführende (pythagoreische) manicht dahingehend agen fungieren (s. Nicom.Ar.104 ,1 4). Das darf aber when Ken mi verstanden werden, daß die vermittelten mathematieigenen inhaltlÈichen Anepruch uni ye wien selen, sonder ee n nes x ohne in i Ameri enthait sowohl das einfache begriffliche Pundament in Gian eh Hem TA auch die begrifflichen Prinzipien, die die ganze Wisseneae ] eke en enden. Das, was Nikomachos bietet, ist sowohl ein h eine dialektisch vollendete Mathematik Nur äÈ sich, wieso die Arithmetik des Nikomachos selber prise n mentare und einer bis in das wieder Gegenstend ne | hohe Mittelalter reichenden racine a ne us und der Kommentierung dieses Textes werden ad ‘ ” sac he, daß ein Text kommen tiert wird, bedeute t - zuherrscht, der Text de ease im ì 1 S a haltene abe als unmitte maislbarr erfaf aesbion) ens n seiner ganzen Bedeutung erst (durch ne Ver fir der den Blementarunter richt aber pesca i radewich nicht zu;eden ne di run N s venean polchen Schriften orientiert Sich ja an de aes wana tenes eicht verständlich sein kann. “ee Theon von Smyrna lebteTat in hadria der nis er Zeit, ae anisch i also zu Beginn i des 2. Jahrhunderts n.Chr. Bereits ea ne «in gen von ihm erhaltenen Werks, die „Darstellung der maten von Nutzen sind ände, soweit sie zur Lektüre der platon ischen SchrifPlatonem utilium,i rà LES er ba I Vathem ATIKO Xprimiatica pua sicrn Ce T o e a) went seine Zugehörigkeit zum Platonismas und.ie Ver. ‘ho a Ue seiner Schrift mit dem der Arithmetik des NikomaPeroni srundie at Artihnnelik besteh t aber darin, daß Theon einen ten des Oe genden egriffe und Gegen stände aller vier Wissenschafviums bieten wollte. Wegen einer kompli zierteren Überliefe-

Ergänzung: Nikomachos und andere neuplatonisc he Quellen der (urspriinglirungssituation ist in bezug auf die Expositio die Frage nach ndige Ausvollstä der nach und chen bzw. intendierten) Einheit des Werks in bezug als orten beantw zu iger schwier noch ehmens führung dieses Untern Maß als rem stärke noch in aber Theon es geht ar Offenb tik. auf die Arithme méglider t Vielhei die und Nikomachos darum, den Grad an Komplexitat matheder hkeiten smöglic iierung Instanz chen Zusammensetzungen und dominieren in matischen Sachverhalte deutlich werden zu lassen. Daher allem nimmt vor und seiner Schrift auch musiktheoretische Ausführungen ein. Raum n größte weitem die Behandlung der Astronomie den bei lamblich ist ein Schüler des Plotinschülers und -herausgebers Porphyrios und lebte mit vermutlich von 240/50 bis 325/26 n.Chr. Die Gemeinsamkeit Nikomawie chos besteht darin, daß auch lamblich ebenso zur (neu-)pythagoreischen man wenn bereits, sich ergibt Dies gehört. zur (neu-)platonischen Tradition sich - übrisich einen Überblick über seine Schriften verschafft, unter denen Pythagoras des gens wie bei Nikomachos auch - eine Lebensbeschreibung grundPoliteia der Buch 7. im findet und eine Darstellung der von Platon de Titel: amigen gleichn dem (mit scientia tica gelegten communis mathema émoTnpng), ixiys pabqpat xowfig TAG mepì , scientia atica mathem i commun ten Werkes sind, die zwei Teile eines ursprünglich in zehn Biichern angeleg upt biedas cine Einführung in das (pythagoreische) Philosophieren tiberha wichtigen allen zu gen tierun Kommen seine sind n erhalte Nicht e 310 ten wollt (im neuplatonischen Curriculum, das von ihm kanonisch festgelegt wurde, über die zu lesenden) Platonischen Dialogen”! Seine Abhandlungen Bedeutung große cine e Theurgi der auch er daß zeigen, Orakel schen chaldäi en beimaß, auf jeden Fall aber die uns geläufige radikale Trennung zwisch behanzierter differen ität Rational r phische Religion(spraxis) und philoso Maß - aus delte. Das kann man auch - wenn auch in graduell geringerem der ebeneßen, erschli seinem Kommentar zur Arithmetik des Nikomachos und der gehörte erk rungsw Einfüh falls zu dem genannten zehnbändigen hs Tamblic en Schrift den unter tion erpreta hos-Int natürlich für die Nikomac ase Paraphr nde erkläre eine ist tar Kommen Dieser ist. Quelle ste wichtig die der Arithmetik, die insbesondere in bezug auf die zu erschließenden begriffolichen Grundlagen und Prinzipien der einzelnen mathematischen Operati nen hilfreiche Ergänzungen bietet. Johannes Philoponos war ein Schiiler des Ammonios, des bedeutendsten Oberhauptes der neuplatonischen Schule in Alexandria, und gehörte dem christlichen Glauben an. Er lebte etwa zwischen 490 und 575 n.Chr. in Al allem seine Kommentare zu den Pra De anima, zu De generatione et corruptione, s Revived. 311 S dazu Verf, Der Philosophieunterricht im Platonismus der Antike. i ichti | “Aristotelee (our und vor mide, pini Mi mm seine Sent die sich mit der Frage der Ewigke it der Welt pelati | in welchen auch‘a wonder en des Proklos, gegen den Philoponos sich in dieser Shri rde Den e ert sind (, De aeternitate mundi contra Proclum”) ra chriften, die sich mit einzelnen wissenschaft lichen Disziplinen |een, met auch Philoponos so wie Iamblich einen Kommentar ur Ariel ee Text (neh verfaßt. Dieser Kommentar besteh t im Unter. Kommentierung en oder weniger) kontinuierlich paraphrasierenden Vorlesangen bey. ane 8 voll aus Auszü gen aus einer Mitschrift der nen De Koa a des Ammonios über die Arithmetik des Nikoan Kom ni ar ietet Erläut erungen solcher Stellen, die im Text een weal ern en mögen oder sonst irgendeinen Anstoß errege n liche Funda1mer nan ment oder auchin Habi ACK t ae auf möglic liche he Ko Konsequenzen se . r (Wi age ee ice es sich ausschließlich um cine getreue Mitschrifi des ind wenn ia A monios andelt, oder ob Philoponos selber etwas beiträ t Skopos dieser fa ae enischieden werden muf&,3!? ist für den oe ts i Unterschiede zwischen Ammen ios enSeinem Schalen hile . po a 5 on alten , die beiden sicher zugeschrieben werden können) des Wie m ematischen Gegenstände und ihre Einordnung in Kommen as 7 m pusmachen lassen. Ich ziehe die neuplatonischen ler Theat vena os zur Darste llung und begrifflichen Begründun an Neto an latonismus” heran und verfolge damit nicht pri. nj en er ee an der Überlieferung nicht erfort en und an der historischen issenschaftstheorie. In dieser Perspe rlich, den Prozeß der Entstehung tare im Detail T achzuvollz iehen und selber ktive ist der vorliegenden Kommen. ins Zenir trum der Bet ac } tun gen Proklos, geboren am 7.2.412, gest 8 8 orben am 17.4.485, war ein Schüler Syri der Ka maupt der Platonischen Akadem ie in Athen war a ein ntar (u.a.) zu den beiden letzten Büch ern der Aristotelischen M etu2 S. d az u aber Eti enne É Evr ard, Cian Phi lopon Le)ON, 50)n Com ental taire sur su Nico COINique (di et t 5 ses rapports avec 2 VI Ammonios , in:n: R Revue d 3 a} T a 313 S. aber Era se ps t zur Frage der Möglichkeit der ermitschriften: Rainer Thiel, 310 5, insgesamt zum Aufbau dieses Werkes: Dominik O'Meara, Pythagora Mathematics and Philosophy in Late Antiquity, Oxford 1989, bes. 30ff. ie 237 Ammonios ‘Komment ar Rekonstruktion der Lehre des Ammoni monios aus Einleitung in Ammonios’ Leben und Werk erk undund in zu r Kategor & iensc ns l uift, in: C ommentar ia aiin Aristotelem Graec a Versiones latinae temp d pPoris resuscitatarum litte rarum (< a AGL) A hg . VI on Char arles les Lot Ammonius, Co: Ory, i Thiel) 2002, , nınentarium in ; Ari decem Categorias Aristotelis (mit einer Einl. von Rainer

e Prinzipien dem er sich mit der Kritik, die Aristoteles an der physik erhalten ist, in en vortragt, auseinandersetzt und dess platonischen Ideen- und Zahlenlehre nicht hoch der platonischen Mathematik gar Bedeutung für das Verstandnis er gibt zur Verteidigung gegen die genug eingeschatzt werden kann. Denn n und zusammenfassende Darstellunge referierten Vorwürfe kurze Abrisse eismus zugrundegelegten primären zu dem im Platonismus und Pythagor anzen. Zahlbegriff und dessen abgeleiteten Inst hoch geschätzten Lehrers desProklos trat nach dem Tod seines von ihm Akademie in Athen an. Er ist zweisen Nachfolge als Schuloberhaupt der Kommentator Platons. Von seifellos der bedeutendste Neuplatoniker und tiv kleiner) Teil erhalten. Darunter nem umfangreichen Werk ist nur ein (rela entare zum platonischen Parmesind die bedeutendsten Schriften die Komm e eine Sammlung von kommentienides, Timaios und Großen Alkibiades, sowi dem ein Kommentar zum 1. Buch der renden Traktaten zur Politeia, a ußer zusammenfassende Darstellung der Elemente Euklids und eine systematisch Platonica#) in sechs Büchern. (Große platonischen Theologie („Theologia nsgeschichte hatte die Elementatio Bedeutung in der neuzeitlichen Rezeptio pe Zusammenfassung von an andeTheologiae, die allerdings nur eine knap entar zum Parmenides zu nenrem Ort (vor allen anderen ist hier der Komm stücken bieten will und in ihrem nen) begründeten und hergeleiteten Lehr Wert hinter den anderen erhalteninhaltlichen oder systemerschließenden grundsätzlicher Bedeutung ist den Schriften eingeordnet werden muß.) Von für die Frage nach der Einheit für die platonische Wissenschaftstheorie und ftlichen Abhandlung besonders einer Wissenschaft bzw. einer wissenscha ematiktheorie und die Lehre von der Kommentar zum Timuios; für die Math e nach dem Verhältnis der Arithden figurierten Zahlen sowie für die Frag ersten Buch von Euklids Elemenmetik zur Geometrie der Kommentar zum und die erkenntnistheoretische ten und für die begriffliche Analyse der Zahl der höchsten Begriffe die TheTundierung der Arithmetik in der Hierarchie ologia Platonica (v.a. die Bücher II und IV). , die Conso , während deren er sein bekanntestes Werk Anicius Manlius Severinus Boethius familie geboren und erhielt eine wurde um 480 als Erbe einer reichen Adels liche Ausbildung in und mit umfassende Bildung, vor allem auch eine gründ Plotins. Im Zuge politischer Intriden Schriften des Aristoteles, Platons und einer gewissen Zeit unter gen, in die er verwickelt wird, wird er 524 nach latio philoaments des Platonismu lung des wissenschaftstheoretischen Fund Hausarrest hingerichtet. Sein besonderes sophiae („Trost der Philosophie”) verfaßte, nischen mit der aristotelischen Anliegen war es, die Vereinbarkeit der plato otelischen Schriften ins LaPhilosophie zu beweisen. Sein Projekt, alle Arist konnte er nur zu einem kleiteinische zu übersetzen und zu kommentieren, tragung und Kommentierung nen Teil verwirklichen (nämlich nur die Über für die Absicht, eine Darstelder Schriften des Organon); dasselbe gilt auch s, d.h. der Ergänzung: Nikomachos und andere neuplatonische Quellen . se O . 7 . o 239 klin fiir die Wissenschaftstheorie des Platonismus des. in das lateinische Mittelalter nahe zu seine i gesamten Kenntate mathematische n Disziplinen1 der artes liberales, 2 zu verfa ssen. Erhalten sind ù vn ahnendie Darstellung der Arithmetik (Institutio arithone ) und > de andlung der Musiktheorie (Instituti si ie Institutio arithmetica ist weitestgehend eine freie, u “den Ten Die we Übertragung der Arithmetik des Nikomachos ins Lateinische Von gr Ber pe feu ne , ve Nikomachos im besonderen erworben hat. | er Schrift des nisse von dieser platonischen Tradition im allgemeinen und der S heit de Simplikios 3 _ : I für Zitate war zweifelsohne els der | bedeutend ste (und ‚wissenschaftli ‚wis: aftlichste’) späätanti 4 ande „ommentator. Seine Schaffenszeit liegt in der ersten bake rand er n ine wissenschaftlichen Kommentare sind nicht nur phil 0. N ph a nose isha bedeutsam, weil sie eine der Hauptquellen L E 1 ntersuchungen | über das genaue Verhältnis almi besti o und ang verso ratischer und pythagoreischer Philosophen sind ‘son den in nn wer en auch auf höchstem begrifflichem und kritisch reflek ) platonischer Lehren zu mit demselben Thema befaßten scheinbar lesen Maas rechenaen aristotelischen Positionen angestellt. Die Philosophie des teein ausgezeichnetes sgezeich Beispiel zur Wiiderlegung der ] der nalven Autorititenglaubigkeit und des sektiererischen mors enden rangs nes ni Neuplatoniker, weil die These der Vereinbarkeit von pla. en aristotelischen n Lehreni bzw. . auch mit mi bestimmten i vo i-. se enen: picatischen) Positionen nicht dogmatisch vorausgesetzt E ichen begrifflichen Analysen a erst auf eine n ‘rationale i i Weise hergeleitet und erschlossen wird. Simplikios hat n an gattonale aoe ristoteles De anima und einen wissenschaftlichen Komm a ilar zu an Terrence Categoriae verfaßt, der auch im Mittelalter and Zwar 'st seit der von en Wilhelm k von Moerbeke erbeke im 13. Jahrhundert ert angefer.fete iit die eee - stark rezipiert wurde. Beide en b W setzt. int ektiver È Ss i ic] 1er kenntnissen i nennt Win TSC eßung des erkenntnistheoretischen Hintergrunds der vires Wen re von groBer Bedeutungen, weil Simplikios in differe enter Wel ossen und Gründe der platonischen Lehre von dem di. Unterschied zwischen Vorstellungserkenntnissen "rationalen n Erkenntnisse n und Zucinander in Beziehung Priscianus Lydus war ei . te war cn, Zeltgenosse des Simplik ios und gehört wie dieser zu der G sophen, die nach der Schliefung der Platonischen Akade me

ChosAthen durch Justinian 529 n.Chr.** an den Hof des persischen Königs roes emgigrierten. An Chosroes richtet sich auch eine kompendienartige (nur in lateinischer Übersetzung überlieferte) wissenschaftstheoretische persaSchrift mit dem Titel „Solutiones eorum de quibus dubitavit Chosroes rum rex”. Erhalten ist ein Kommentar Priscians zur Seelenlehre, der eine Metaphrase einer Schrift des Aristoteles-Schülers Theophrast ist.35 In seinem Werk wird der dominierende Einfluß des lamblich deutlich. Priscian erdrtert3!6 die Probleme, die sich bei der Interpretation der aristotelischen Seelenlehre ergeben (z.B. die Probleme im Zusammenhang mit der Frage der Binnendifferenzierung innerhalb des Bereichs des Intelligiblen und der Abgrenzung zwischen den Hypostasen Seele und Nous und die Frage der substantiellen Unveränderlichkeit und Unsterblichkeit der rationalen Seele), nämlich jeweils in der Weise, daß er der besonderen Akzentsetzung und Perspektive des lamblich folgt, d.h., in der Weise, daß er die relative Defizienz und geringere Bestimmtheit, Einheit und Selbstandigkeit (usw.) der menschlichen, partikulären Seele bzw. des intellekthaften Teils der mensch314 G, dazu ausführlich und zum Schicksal auch der anderen bedeutenden Neuplatoniker dieser Zeit (z.B. des Simplikios): Rainer Thiel, Simplikios und das Ende der neuplatonischen Schule in Athen, (Abh. der Akademie der Wiss. u. der Literatur, Mainz), Stuttgart 1999 und Henry J. Blumenthal, 529 and its Sequel: What Happened to the Academy?, in: Byzantion 48, 1978, 369-385. gänzung:: Nikomachos Eredi Ni und andere neuplatonische Quellen 241 lichen Seele gegenüber 3 den göttlichen eöttli Seelen und gegenü selber betont. Die starke Anlehnung an lamblich bedentet auch ds ein der Tradition steht, die eine Übereinstin sitchen a chen (ru Jp (neu-)p ) und Untersuch ungsmethoden und em Gedankengut sieht und begr ündet. Damaskios (geb. ~462 n.Chr.) war ein Schüler des Marinos der Nachfolger des Prok los als Oberhaupt der Akademie in Athe n war D amaskios selber wurde das Rire perhaupt der Platonischen Akademie u nd leite te diese bis zu ihrer Sehe ung en des Verbots (heidnischen) philosophischen Unterrichts nnasian im Jahre 529 n.Chr). Erhalten sind von seinen Werke Inteligiblen erdie ersten Prinzipien“, die sich mit dem Verh ‚Überseiendem’ Prinzi Kommentar zur ersten Hypothes is des Parmenides aut, fat work owie ein sowie ei umfangreic icher Kommentar älti die ale zu den Hypothesen 2 bis 9 dieses Di die einzigen vollständi 8 erhalten den Interpretati one i i ë dem flatonischen Parmenides, die wir haben und sind der and aa mi g $ hohen begrifflich differenzierende n Niveaus von großer Bedeuil es . . . + 7 a 7 315 fernard Bossier und Carlos Steel haben unlängst die Autorschaft des Simplikios des ihm zugeschriebenen de Anima-Kommentars in Zweifel gezogen und für eine Zuschreibung an Priscianus Lydus plädiert (Fernard Bossier u. Carlos Steel, Priscianus Lydus en de ,In De anima’ van Pseudo(?)-Simplicius, in: Tijdschrift voor Filosofie 34, 1972, 761-882). Ilsetraut Hadot hat dagegen auf überzeugende Weise die wichtigsten Argumente, die laut Bossier/Steel gegen eine Zuschreibung des de Anima-Kommentars an Simplikios sprechen, widerlegt bzw. die Behauptung der Notwendigkeit der hinter diesen stehenden Annahmen zurückgewiesen (Ilsetraut Hadot, Le problème du néoplatonism alexandrin: Hiéroclès et Simplicius, Paris 1978, 193-202 und dies, Simplicius or Priscianus? On the Author of the Commentary on Aristotle's De anima (CAG XI): A Methodological Study, in: Mnemosyne 55, 2002, 159-199). Für den Skopos dieser Arbeit ist allerdings eine Entscheidung fiir die eine oder andere Seite nicht von entscheidender Bedeutung, weil die Textbelege aus den neuplatonischen Kommenta- ) eine theologische In terpretation des platonischen Textes - trotzdem (oder: eigentli ch gerade deSwegen)?!7 aber rati onal argumentierend und wissenschaftlich reflektiert. NN. DAE mn +" NER Per CAN SPAT ow. SWG. ren und Abhandlungen jeweils nur als Belege dessen, was die gemeinsame Basis aller dieser - im einzelnen freilich unterschiedliche Akzente setzenden - Theoretiker ist, herangezogen werden. Eine Binnendifferenzierung etwaiger schulinterner Differenzen spielt auf diesem Begriindungsniveau zunächst nur eine marginale Rolle. S. zu der Auseinandersetzung über die Autorschaft des de Anima-Kommentars aber außer dem Aufsatz von Bossier/Steel die kritischen Argumente von Henry J. Blumenthal, The Psychology of (?) Simplicius’ Commentary on De Anima, in: Henry }. Blumenthal u. Anthony C. Lloyd (Hgg.), Soul and the Structure of Being in Late Neoplatonism, Liverpool 1982, 73-75 (mit Diskussion 94-95). 316 Das zeigt Carlos Steel in einer wichligen Studie (The Changing Self. A Study on the Soul in Later Neoplatonism: lamblichus, Damascius and Priscianus, Brüssel 1978). Steel zieht als Quellentext allerdings auch den Simplikios zugeschriebenen Kommentar zur Aristotelischen Psychotogie heran, als dessen Verfasser er Priscian vermutet. Zur Problematik dieser Zuschreibung s. die vorige Anm. 316. ee #7 Teilk S. ;zur apite Wiss l ensc Vilahaft La lich se keit n theologisc Ogisc! her Argumentatio i (und besonders 2.1.8.1)) nen unten S. 630f£ (und die