Das Apastamba - Sulba - Sutra, herausgegeben, ubersetzt und mit einer Einleitung versehen

pura PB saro AAN Das Apastamba -Sulba - Sutra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen von Albert Bürk (Tübingen). Einleitung. In dieser Einleitung zum Ap. Sulb, S. soll eine neue Untersuchung über Herkunft und Entwicklung der ältesten indischen Geometrie niedergelegt werden. Nun bilden die hier in Betracht konimenden Quellen bekaunilich Teile der indischen Ritugllitteratur: sie entbalten die Kegeln für die Konstruktion der Altäre, und darum auch das hierzu erforderliche geometrische Wissen. Wir werden also, um die Geschichte der ältesten indischen Geometrie zu untersuchen, nicht umhin können, damit einige Bemerkungen über die altindischen Altüre zu verbinden, so sehr es auch richtig ist, dass deren Formen teilweise. „für jeden nichtindischen Geist an das Lächerliche streifen.“ 4 § 1. Die altindischen Altire und das geometrische Wissen, welches ihre Konstruktion voraussstzt. A. Die Anfinge des indischen Opferwesens reichen bis in die Zeit des Rgväda -zurück.?) . Dabei. interessiert uns hier besonders, dass dem. RV, für Opferzwecke nicht nur die vedi) sondern auch der „dreifache Sitz“) (Irigadhastha)®) des Agni — ulso der gärhapatya,®) der äkavaniya und der daksinagni — schon bekannt ist. Nach den Angaben der Rituallitteratur zu schliessen, handelte es sich bei der Ausmessung der Grundflächen jener. 3 Feuerstätten um. die Konstruktion von Quadraten, Kreisen und Halbkreisen. Natürlich ist uns über das hierbei eingeschlagene Verfahren in den 1) Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathamatik 1,542:(2. Auti,,9,597), 2) Vgl. A. Hillebrandt, Grundriss der indo-arischen Philol., HIL Bd, 2. Heft, S. 11 ff. 3) Vel. Hillebrandt, a. a. 0, 8,14, 4) Vel. a. B. RV. 5,11, 2: yajnasya kötum, prathamam purühitam, agnim naras trisadhasth® samidhiré, Bd. LV.

herausgegeben, tibersetzt und mit einer Einleitung versehen yon Albert Bürk (Tübingen). Einleitung. In. dieser Einleitung zum Ap. Sulb. S. soll eine neue Untersuchung über Herkunft und Entwicklung der ältesten indischen Geometrie niedergelegt werden. Nun bilden die hier in Betracht kommenden Quellen bekanntlich Teile der indischen Rituallitteratur: sie enthalten die Regeln für die Konstruktion der Altäre, und darum auch das hierzu erforderliche geometrische Wissen. Wir werden also, um die Geschichte der ältesten indischen Geometrie zu untersuchen, nicht umhin können, damit einige Bemerkungen über die altindischen Altäre zu verbinden, so sehr es auch richtig ist, dass deren Formen teilweise „für jeden nichtindischen Geist an das Lucherliche streifen.“ 1) $1. Die altindischen Altäre und das geometrische Wissen, welches ihre Konstruktion voraussetzt, A, Die Anfänge des indischen Opferwesens reichen bis in die Zeit des Rgvéda zurück.?) Dabei interessiert uns hier besonders, dass dem RV. für Opferzwecke nicht nur die védi,8) sondern auch der „dreifache Sitz*4) (trigadhastha) 5) des Agni — also der garhapatya,’) der ahavaniya und der dakginagni — schon bekannt ist. Nach den Angaben der Rituallitteratur zu schliessen, handelte es sich bei der Ausmessung der Grundflächen jener 3 Feuerstätten um die Konstruktion von Quadraten, Kreisen und Halbkreisen. Natürlich ist uns über das hierbei eingeschlagene Verfahren in den 1) Cantor, Vorlesungenüber Geschichte der Mathematik I, 542 (2. Aufl,,8.597). 2) Vgl. A. Hillebrandt, Grundriss der indo-arischen Philol., III Bd. 2. Heft, 8. 11. $) Vel Hilebrand, a a O, 8,14 > 4 Bd. LV. a. RV. 5, 11, 2: yajñasya kötum prathaman pur ‘Thitam,

Hymnen des RV. nichts Näheres überliefert; aber aus RV. 1, 67, 5 erfahren wir doch soviel, dass ,kundige* Männer den „Sitz“ des Agni ,ausmassen* (sadmé ‘va dhirah sammäya cakruk). Aus dieser Stelle ergiebt sich also die nicht unwichtige Thatsache, dass die Ausmessung der Feuerstätte schon zur Zeit des RV. (d.h. nach ‘Whitney 1) 2000—1500 vor Chr., nach Jacobi?) u. a. noch bedeutend früher) Gegenstand besonderer Sorgfalt und Aufmerksamkeit war. B. Die eigentliche Blütezeit des indischen Opferwesens war die Periode der Brahmana’s, welche aus astronomischen, sowie aus Gründen, „die wir als litterarisch-chronologische bezeichnen können, . sehr wohl als das 12. vorchristliche Jahrhundert einschliessend angenommen werden darf“.) Wer nun mit dieser durch mehrere Jahrhunderte sich erstreckenden Epoche der indischen Kulturgeschichte vertraut ist, „der und eigentlich der allein vermag es ganz zu ermessen, welch eine Rolle zu jener Zeit das Opfer mit seinen unzähligen Details im Geistesleben der Inder spielte. Das gesamte Sinnen und Trachten eines hochbegabten Volkes ist in diesen Jahrhunderten auf das Opfer, seine Vorbereitung und Ausführung gerichtet. Die umfangreiche Litteratur, die als Zeuge jener Zeiten zu uns redet, handelt vom Opfer und immer nur vom Opfer. Dem Opfer in allen seinen Einzelheiten wird die höchste Bedeutung beigelegt, die Kraft Götter und Welten zu zwingen, Natur und Menschen zu beherrschen. Wunderbare, übernatürliche Macht wohnt ihm inne, und selbst die Kosmogonie geht auf das Opfer zurück, aus Opfern sind alle Welten und Wesen, alle Götter und Menschen, Tiere und Pflanzen entstanden. Gelangen die Inder hier auch schliesslich zu den grössten Absurditälen und wird ein gesunder Sinn sich auch mit diesen Spekulationen nie befreunden, so erkennt man doch, welche Bedeutung gerade diese Tendenz des indischen Denkens für unsere Frage hat; — geht sie ja doch deutlich hervor aus einer grenzenlosen, kein Mass mehr kennenden Hochschätzung des Opfers und seiner Bedeutung. Das Ceremoniell der Opfer, wie es uns schon die Yajurveden . . . zeigen, ist ein ungehener kompliciertes, und die kleinste Ausserlichkeit wird mit einem Nimbus von Wichtigkeit umgeben, der für uns nicht selten an das Lächerliche streift, Die Vorbereitungen zum Opfer, die Fertigstellung des Opferplatzes, der mannigfaltigen Geräte und Utensilien spielt dabei eine hervorragende Rolle, ist schon an sich mit einer erdrückenden Masse ceremonieller Einzelheiten belastet und nimmt oft lange Zeiträume in Anspruch. Dabei ist natürlich die Konstruktion der Altäre von der allerhöchsten Bedeutung. Jede Linie, jeder Punkt, jedes Formverhältnis war hier von entscheidender Wichtigkeit und konnte nach dem indischen Glauben jener Zeit, je nachdem es aus1) Vgl. v. Schroeder, Indiens Litteratur u. Cultur, 8. 292. 2) Jacobi, Festgruss an Roth, 68 ff, 8) Thibaut, Grundriss d, ind.-ar. Philol., III. Bd., 9. Heft, S. 18.

geführt war, Segen oder Unheil bringen. Über die Gestalt und Grösse der Altäre, ihr Verhältnis zu einander und zu ihren einzelnen Teilen, zu den mannigfachsten abstrakten Begriffen, ihren tieferen Wert und symbolische Bedeutung und die richtige, nicht bloss gottgefällige, sondern selbst: Götter zwingende Art ihrer Herstellung haben Generationen eines hochbegabten, für Spekulation und Abstraktion und namentlich auch für rechnerische Leistungen sehr beanlagten Volkes gegrübelt und immer wieder gegriibelt.* 1) Diese lichtvollen Darlegungen werden wohl jedermann davon überzeugen, dass die Inder schon in jener sehr frühen Zeit durch wichtige praktische Bedürfnisse veranlasst wurden, auf dem Opferplatze eine Feldmesskunst auszubilden. Wie muss es uns da berühren, wenn wir bei einem berühmten Geschichtschreiber der Mathematik lesen, dass „wir die indische Geometrie nur auf indischer Grundlage nicht begreifen**) können, und wenn derselbe an einer andern Stelle von der indischen Geometrie sagt, dass ihre „Entstehungsweise mehr als riithselhaft* 3) sei? Hätte jenen Gelehrten nicht schon die Thatsache nachdenklich machen müssen, dass (wie er selbst sagt) die Sulbastitra's „Schriften von geometrisch - theologischem Charakter“ sind, „wie sie abgesehen von einigen ägyptischen. Inschriften in keiner Litteratur sich wiederfinden“ ?*) Auf Grund dieser Sulbasutra’s und unter Bernfung auf noch ältere Werke, wie die Taittirlya-Samhita und das Satapatha-Brähmana, wollen wir nun zunächst im einzelnen sehen, welches Mass geometrischer Kenntnisse die Konstruktion der Altäre erforderte; und zwar beschäftigen wir uns zuerst mit den v2dı’s, sodann mit dem beim Sóma-Opfer geschichteten Feueraltar (agnz). I. Vedi. 1. Die Inder legten grossen Wert auf genaue rechtwinklige Herstellung ihrer Altäre.5) Zu diesem Zwecke lehrt Apastamba bei der v2d: für das Söma-Fest, deren Masse schon in der Taitt. S. und im Sat. Br. angegeben werden, mehrere rationale rechtwinklige Dreiecke anwenden (Ap. Sulb. S. V, 1—6). Und auf diese bei der gdumiki vedi gelehrte Methode der Ausmessung verweist er bei einer Reihe weiterer vadis zurück (Ap. Sulb. 8. V, 8; VI, 1. 4. 6. 7. 8). 2. Unter diesen ist einmal noch die védi der Sautramant- Ceremonie hervorzuheben, welche nach einer alten®) Vorschrift 1}, der säumiki vedi messen soll. Ihre Konstruktion geschieht ent- 1) v. Schroeder, Pythagoras und die Inder, 8. 54f. 2) Cantor, a, a. O., 8. 549 (2. Aufl. S. 604). 3) Cantor, a, a. O., 8. 558 (2. Aufl, 8. 615). 4) Cantor, a. a. O., 8. 540 (2. Aufl. 8. 595). 5) Thibaut, Journal of the Asiatic Society of Bengal, XLIV [künftig, ohne Wiederholung der Zahl des Bandes, citiert als JASB.], 8. 232. Cantor, a. a. O., 8. 541 (2. Auf, S. 596). 6) Thibaut, JASB., 232.

weder mit Hilfe der #rikarant oder der trtiyalcarani (Ap. Sulb. 8. h. entweder der durch Zeichnung hergestellten?) V3 oder V4); deren geometrische Konstruktion beruht natürlich auf dem Satze vom Quadrat der Hypotenuse (so nennt Hankel in seinem Werke ,Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter*, z. B. S. 99 und $. 209, den sogenannten Pythagoreischen Lehrsatz). 3, Ferner muss noch die vedi beim afvamëdha besonders erwähnt werden. Diese soll nach alter Tradition doppelt so gross ni, sein als die sdumiki vedi und wird darum mittels der .h, der geometrisch konstruierten V2 ausgemessen (Ap. ulb. S. Y, 10; VI, 1). 4, Die vedı’s beim agvamédha und bei der SautramaniCeremonie sollen also in einem bestimmten Grössenverhältnisse zu der saumiki vedi stehen; nur wenn sie den betreffenden Vorschriften wirklich entsprechen, ist das Opfer den Göttern gefällig und von Erfolg begleitet. Dies war neben anderem ein Anlass zur Ausbildung von Regeln für Flichenberechnung. Da nun jene védis (und ebenso die meisten anderen) die Form eines gleichschenkligen Trapezes haben, ‚so musste dieses zuerst in ein Rechteck verwandelt ‚werden (Ap. Sulb. 8. V, 7); dessen Berechnung (Ap. $ulb. 8. V, 7,u. 9) geschah ähnlich wie die eines Quadrats, welch letztere Ap. Sulb. 8. III, 7 nachgelesen werden kann. IL Agni. 1. Alle in den Brahmana’s und Sútra's über den agn? enthaltenen Vorschriften beziehen sich, soweit nicht ausdrücklich ein anderes angegeben ist, auf den caturasrasyänacıt, „the most ancient and primitive form*.%) Nach Sat. Br.) 10, 2, 2, 5. 7. 8, Ap. Sr. 8. Fig. 1. 1) Cantor; a. a. O., S. 544 (2. Aufl. 8. 599). 2) Thibaut, JASB, 231. 8) Sat, Br. 10, 2, 3, 17 wird der „einfache“ (¿kavidha), bloss quadratische, noch ältere agni, welcher offenbar die Vorstufe des caturasrasyänacit bildet,

XVI, 17, 10—14, Ap. Sulb. 8. VIII, 2, Bäudh. Sulb. 8. III, 16—22 besteht der déman (Körper) dieser, die Gestalt eines Falken in rohen Umrissen nachahmenden,!) Normalform aus 4 Quadraten, jeder Flügel, sowie der Schwanz aus einem Quadrat; und damit die Form des Altars der wirklichen Gestalt eines Vogels noch etwas näher komme, wird jeder Flügel um 1 araint (= 1}; puruga) und der Schwanz um 1 pradesa (= */,p puruga) verlängert. Gemäss seiner Zusammensetzung heisst dieser Altar such agn? saratnipradesa saptavidha (2. B. Ap. Sulb. 8. XV, 3). Bei der Ausmessung der Grundfläche desselben handelt es sich also um die Konstruktion von Quadraten, wofür Apastamba ausdrücklich 2 Methoden überliefert. Sulb. 8. VIII, 8—IX, 2 beschriebene ist a) Die erste, Ap. höchst altertämlich und primitiv. Sie dürfte die älteste unter allen uns bekannten Methoden für caturaérakarana sein, also insbesondere auch älter als diejenige des Baudhayana, von welcher Thibaut JASB., 251 sagt: „In the last place I give a method of chaturaérakaraga, which is found in Baudhiyana only, but there in the first place. It seems to be the most ancient of all the methods Fig. 2 Fig. 4. (Nach Thibaut JASB., plate XV, fig. 9.) verboten; er war also in der Schule des weissen Yajus zur Zeit des Sat, Br. bereits veraltet. Dagegen spielt er bei Apastamba noch eine, freilich ganz untergeordnete, Rolle (vgl. Ap. Sr. 8. XVI, 17,15; Ap. Sulb, S. VIII, 3 u. 5 XII, 1 u. 2). 1) Thibaut, JASB., 231.

enumerated.‘ Die in Rede stehende Methode des Apastamba, welche sich unter den von Thibaut aufgefiihrten nicht befindet und in meiner Übersetzung a. a. O. nachgelesen werden kann, ergiebt die Figur 2. Diese ist für den dtman viermal zu wiederholen, wodurch man die 3. Zeichnung erhält; und offenbar nur eine Weiterbildung dieser 3. Figur ist die vierte, welche das von Thibaut JASB., 251 wiedergegebene Verfahren des Bäudhäyana darstellt. 6) Die zweite, jüngere und rascher zum Ziel führende Methode des Apastamba (Ap. Sulb. S. IX, 3) ist eine Anwendung des savigéga (Ap. Sulb. 8. I, 6), d. h. des Näherungswertes für die du: karani (= V2). Dieses Verfahren setzt also den Satz vom Quadrat der Hypotenuse als bekannt voraus. 2. Wenn die Inder durch das Opfer besondere Zwecke erreichen wollten, so traten an die Stelle der Normalform die kamya’s, d. h. die agni’s für spezielle Wünsche. Dahin gehört der agne von der Gestalt eines Falken mit eingebogenen Flügeln und ausgebreitetem Schwanze (Ap. Sulb. S. XV, 1f., Taitt. S. 5, 4, 11, 1), der è Ap. Form eines Dreiecks (praiigacit; Taitt. 8. 5, 4, 11, 1, Sulb. S, XII, 4), eines Doppeldreiecks (ubhayatahpratiga; Taitt. S. 5, 4, 11, 2, Ap. Sulb. S. XII, 7), eines Wagenrades (rathacakracit; Taitt. S. 5, 4, 11, 2, Ap. Sulb. 8. XII, 11), eines Troges (drönaeit; Taitt. S. 5, 4, 11, 2, Ap. Sulb, | S. XIII, 4), einer Leichenstätte (Smaganacit; Taitt. S. 5, 4, 11, 8, Ap. Sulb. 8. XIV, 8) u.s. w. (Taitt. 8. 5, 4, 11 und Ap. Sulb. S. XIV) geschichtete agni. Aber so mannigfaltig die Gestalten der kämya’s auch waren, so hatte doch die Grundfläche eines jeden derselben genau so gross zu sein wie bei der Normalform. Man musste also schon zur Zeit der Taitt. S. verstehen, eine geometrische Figur in eine andere ibr flächengleiche zu verwandeln.) Von den hierbei zu lösenden Aufgaben wollen wir zwei besonders interessante näher betrachten. a) Bei dem kreisförmigen rathacakracit (Ap. Sulb. 8. XII, 11— XIII, 3) hatte man, wie bei den meisten kamya’s, zunächst ein Quadrat gleich der 7!/, Quadr.-puruga messenden Grundfläche des caturasrasyenacit (s. Fig. 1) zu zeichnen. Es ist leicht zu sehen, dass die Lösung dieser Aufgabe ohne die Kenntnis des Satzes vom Quadrat der Hypotenuse nicht möglich war. Jenes Quadrat war alsdann noch in einen Kreis zu verwandeln (Ap. Sulb. 8. XII, 12; II, 2). Ich begnüge mich damit zu konstatieren, dass die Inder also das Problem der Cirkulatur des Quadrates?) schon zur Zeit, der Taitt. S. (wenn auch auf sehr primitivem Wege; s. Ap. Sulb. S. III, 2) zu lösen verstehen mussten, und werde mich hiermit, wie auch mit der Regel für die Quadratur des Kreises?) (Ap. Sulb. S. Ill, 8), in dieser Abhandlung weiterhin nicht mehr beschäftigen. 1) Vgl. Cantor, a, a. O. 8, 543 (2. Aufl. S. 597), 2) Vgl. Cantor, a, a. O,, 8, 546 (2. Aufl: 8. 001).

b) Beim praiigacit (Ap. Sulb. S, XII 4—6) musste man das unter a) genannte Quadrat = 7'/, Quadr.-purusa verdoppeln (Ap. Sulb. S. XII, 5), oder was dasselbe besagt, die duitarani (= V2) konstruieren. Die Hälfte des Quadrats über der dvikarani ergab dann das gesuchte (gleichschenklige) Dreieck (Ap. Sulb. 8. XII, 5). 8. Nach Sat. Br.) 10, 2, 8,18, Ap. Sr. 8. XVI, 17, 15 u. 16, Ap. Sulb. S. VIII, 3 u. 4, Baudh. Sulb. 8. II, 1 war der agni, wenn er das zweite Mal konstruiert wurde, um 1 Quadr.-puruga grösser als beim ersten Mal, ebenso beim dritten Mal um 1 Quadr.purusa grösser als das zweite Mal und so fort. Die Inder mussten also ferner spätestens schon zur Zeit des Sat. Br. verstehen, eine geometrische Figur zu bilden, die einer gegebenen ähnlich ist und zu derselben in bestimmtem Grössenverhältnisse steht. ?) a) War nun der erstmals konstruierte agne der „einfache“ (8kavidha) gleich 1 Quadr.-puruga — was Apastamba (vgl. 8.546 Anm. 3) nebenbei noch zulässt, während Sat. Br. 10, 2, 3, 17 es verbietet —, so hatte man also den zweiten, ebenfalls quadratischen, doppelt so gross, den dritten dreimal so gross u. s. w. herzustellen, d. h. der Reihe nach V2 bis) V6 zu konstruieren, oder was dasselbe ist, Quadrate so zu addieren, dass die Summe wieder in Quadratform erschien. 5) War aber der erstmals konstruierte agn?' der ,siebenfache* (saptavidha) oder caturagrasyenacit (s. Fig. 1) — wie nach Sat. Br.!) 10, 2, 3,18, Ap. Sr. S. XVI, 17, 16, Ap. Sulb. S. VIII 4, Bäudh. Sulb. S. II, 1f. —, so konnte man bei den folgenden Malen entweder, wie Bäudhäyana vorschreibt, alle Teile der Normalform proportional vergrössern und darum das, was hinzukam, zunächst in 15 gleiche Teile teilen;*) oder, wie Apastamba lehrt (der offenbar auch hier eine ältere Tradition überliefert hat5)), nur die 7 puruga's, nicht aber auch die beiden aratni’s und den pradesa des calurasrasyenacit zunehmen lassen und darum den Zuwachs in 7 gleiche Teile teilen (Ap. Sulb. 8. VII, 6). Ein solches Siebentel musste dann, wenn es zunächst als Rechteck gezeichnet war, in ein Quadrat verwandelt (Ap. Sulb. S. II, 7; hierbei tritt die Subtraktion von Quadraten als Hilfskonstruktion auf) und dieses mit einem der 7 Quadrate des caturagragyenactt in einem neuen Quadrate vereinigt werden (Ap. Sulb. 8. IX, 5, Anm. 5,ß). Die Verwandlung von Rechtecken in Quadrate und die 1) Vgl. Weber, Indische Studien 10, 240f. 2) Vgl. Cantor, a. a, O., 8. 542 (2. Aufl. 8. 597). 3) Vel Ap. Sulb. 8. VIII, 5, Anm. 1 u. 2; IX, 5, Anm. 4; XII, 1. 4) Über das weitere Verfahren des Bäudhäyana siche Thibaut's Erklärung zu BAudh. Sulb. S. 1I, 12 (Pandit X, 73). 5) Dies kann noch näher aus Ap. Sulb. 8. IX, 5, Anm. 5, 7 erschen ‚werden.

Addition von Quadraten setzt aber den Satz vom Quadrat der Hypotenuse als bekannt voraus. 4, Ebenso unentbehrlich war dieser Satz fir die Konstruktion des agni beim asvamédha, der von vornherein entweder „dreimal so gross“ als die Normalform, oder ,21 fach* sein musste (Ap, Sulb. S. XXI, 5 u. 9; IX, 5, Anm. 5,@). Dabei ist zu beach dass beide Vorschriften nach Bäudh. Sulb. 8. II, 823 BrahmanaStellen sind. So sehen wir also (um nur das Wichtigste zu resiimieren) rationale rechtwinklige Dreiecke, die Addition von Quadraten und die geometrische Konstruktion von V2, V3 u.s.w, die Subtraktion yon Quadraten und die Verwandlung von Rechtecken in Quadrate — mit Einem Wort: den Satz vom Quadrat der Hypotenuse bei der Aussmessung der altindischen Altäre schon in sehr früher Zeit eine so hervorragende Rolle spielen, dass wir jetzt speziell die Frage aufwerfen miissen: $2. Wie alt ist der Satz vom Quadrat der Hypotenuse bei den Indern? I. Direkt ausgesprochen ist dieser Satz, und zwar in zwei Unterfälle geschieden, zuerst in den Sulbastitra's,, z. B, Ap. Sulb. S. I, 4 und 5. Wie alt ist nun das Apastamba-Sulba-Sütra? Hierauf lautet die nächste Antwort: es ist nicht jünger als die übrigen Teile des Apastamba-Kalpa-Sutra; denn wie z.B. „das Sulvasutra in dem Mänaya-Sräutasütra nicht etwa als einer der Anhänge oder Ergänzungen (Parisishta) auftritt, sondern als ein reguläres Kapitel (Kap. 10)“*); wie ferner das Bäudhäyana-SulbaSutra „very likely forms a part of Baudhiyana's Kalpasútra “2); so bildet auch das Apastamba-Sulba-Sútra einen integrierenden Bestandteil3) des Apastamba-Srauta-Sutra. Dies geht besonders deutlich hervor aus der bis jetzt nicht verwerteten Stelle Ap. Sr. 8. XVII, 26, 2: chandascıtam itt Pig a dieser Stelle finden wir die kämya’s auch wirklich im Ap. Sr. 8. te Sulbögv anukräntah. Gemäss weiter mit keinem Worte erwähnt. Und doch werden die meisten derselben schon Taitt. 8. 5, 4, 11 aufgezählt. Ein Sräutasütra, das sie nicht behandelt hätte, wäre also lückenhaft ‚gewesen. Und so verweist der Sütra-Verfasser in der Stelle Ap. fr. 8. XVII, 26, 2 auf einen anderen Teil desselben Werkes, eben auf sein Sulbastitra, wo die kämya’s von dengesamten 21 Kapiteln nicht weniger als annähernd 10 ausfüllen (Ap. oe 8. XII, 8—XXI, 5), Da sich demnach das Ap. Sulb. 8. an das Ap. Sr. §. (Praéna 1—23 des gesamten Ritualkomplexes) ergänzend, also unmittelbar 1) y Schroeder, Pythagoras und die Inder, 8. 46, Anm, 1. 2) Thibaut, JASB., 228, 3) Garbo, Simkbya-Philosophie, S. 93, Anm. 2.

anschliesst und mit demselben im engsten Zusammenhange steht, so legt sich die Frage nahe, ob nicht die Manuskripte D und E!), welche das Ap. Sulb. S. als 24. Praéna zählen, die älteste Anordnung überliefert haben. Ein weiteres Argument hiefür darf wohl darin gesehen werden, dass das 60. der (nach der bisherigen Annahme, nebst anderem, den 24. Prasna bildenden) Paribhäsäsütra's, wie schon Max Müller in einer Anmerkung zu demselben?) angedeutet hat, in erster Linie auf das Sulbasütra sich zu beziehen scheint. Da dies darauf hinweisen würde, dass das Salbasütra den Paribhäsäsütra's vorausgeht, und da wir andererseits vorhin gesehen haben, dass das Sulbasütra unmittelbar auf das Sräutasütra folgen sollte, so ist es schon nach dem bisherigen sehr wahrscheinlich, dass das Ap. Sulb. 8. ursprünglich nicht der 80., sondern der 24, Prasna war. Diese meine Vermutung findet nun aber noch eine wichtige Bestätigung und Ergänzung dadurch, dass (wie ich erst nachträglich erfuhr) Prof. Garbe in seiner Einleitung ®) zum Ap. Sr. 8, Vol. III den Nachweis liefert, dass der ganze bisher als 24. gezühlte Prasna (Paribhasa’s, Pravara, Hautraka) eine spätere Interpolation ist. Garbe’s Untersuchung zeigt also, dass dieser Prasna nicht von Anfang an der 24. gewesen sein kann; und ich glaube hier, von ganz anderen Griinden ausgehend, sehr wahrscheinlich gemacht zu haben, dass das Sulbasütra, wie die Manuskripte D und E überliefern, ursprünglich der 24. Prasna war. Diese Ubereinstimmung zweier unabhängig von einander gefundener Resultate spricht gewiss nicht wenig für die Richtigkeit eines jeden derselben. Doch mag das Ap. Sulb. S. der 24. oder der letzte Prasna sein — jedenfalls ist es so alt wie die übrigen echten Teile des Apastamba-Kalpa-Sútra. Und dieses kann nach Bühler’s*) Untersuchungen, auf die sich auch Hillebrandt®) und Jolly) beziehen, nicht später als im 4. oder 5. vorchristlichen Jahrhundert entstanden sein. Schon die Thatsache, dass das Ap. Sulb. S. also mindestens dem 4. oder 5. Jahrhundert vor Chr. angehört, würde genügen, um Cantor's Hypothese?), die indische Geometrie von den Sulbastitra’s an sei ein Ableger der alexandrinischen, und zwar Heronischen, Geometrie (die später als 100 v. Chr. nach Indien eingedrungen E siehe Garbe's Einleitung zu Ap. Sr. S., Vol. I. 1) Über die Mss. D und 2) Max Müller, ZDMG., 9. Bd., 8. LVI. Das erwähnte 60. Sütra lautet: Seile, welche zusammengenommen werden, soll man nach links hin aufziehen, und nach rechts hin zusammennehmen. 3) Herr Prof. Gurbe hatte die Güte, mich seine Einleitung im Manuskript lesen zu lassen, 4) Bühler, Sacred Books of the East, Vol. II, Introduction to Apastamba (8. IX, ff.; vgl. besonders 8. XL—XLIII). 5) Hillebrandt, a. a. O,, 8. 31. 6) Jolly, Grundriss der ind.-ar. Philol,, II. Bd., 8. Heft, S. 3. 7) Cantor, a. a. O. 8. 511. 540. 548 (2. Aufl, S. 562. 595. 604),

sein soli), als unbegründet; und Weber's Meinung, es stehe „der Annahme einer Benutzung der Lehre des Alexandriners Hero [von Seiten der Sulvasntra's] litterargeschichtlich nichts im Wege“1), als unhaltbar zu erweisen. Was nun aber speziell den Satz vom Quadrat der Hypotenuse betrifft, so sprechen mehrere Gründe dafür, dass: er den Indern schon viel früher als im 4. oder 5. vorchristlichen Jahrhundert bekannt war. Zunächst liesse sich darauf hinweisen, dass Bäudhäyana, dessen Sulbasütra diesen Satz ja ebenfalls enthält, nach Bühler?) mindestens 200 Jahre früher ist als Apastamba. Da indessen über das zeitliche Verhältnis von Bäudhäyana und Apastamba noch nichts Sicheres ausgemacht zu sein scheint, so will ich auf diesen Punkt keinen besonderen Wert legen ®). Sehr ins Gewicht fallend ist dagegen die Thatsache, dass „das in den Sulvastitra's gebotene Material natürlich noch weit älter ist als die Lehrbücher selbst“). Denn „nur die Form, die Redaktion der einzelnen Sulvasútra's dürfen wir den Hüuptern, resp. massgebenden Autoritäten der einzelnen vedischen Schulen zuschreiben. Der wesentliche, ihnen allen gemeinsame Inhalt ist natürlich 1) v. Schroeder, Indiens Litteratur und Kultur, 8. 720. 2) Bühler, a. a. O. (bes. 8. XXII und XXIV). 3) Vielmehr möchte ich in diesem Zusammenhang darauf hinweisen, dass der Inhalt des Ap. Sulb, 8. in mehreren Punkten eine frühere Stufe der altbrabmanischen Opfertradition darstellt als der des Bäudh. Sulb. 8. Zwei solche Punkte wurden schon in $ 1 gelegentlich erwähnt ($ 1, B, IL 1, a und 3, b). Hier sollen noch zwei andere, besonders charakteristische, angeführt werden, — Für die Quadratur des Kreises giebt Bäudhäyana 2 Regeln, wovon die eine, the „simpler and less accurate (Thibaut, JASB., 254), auch bei Apastamba (und Katyayana) sich findet, während dio andere, auf etwas umständlichem rechnerischem Wege gewonnene, ohne Zweifel jüngere, allein bei Bäudhäyana anzutreffen ist (Thibaut, JASB., 258). — Andererseits überliefert Apastamba einige Sitra's worin die Zunahme und Abnahme der Seite des Quadrates mit der Zunahme und Abnahme des Inhalts desselben verglichen (Ap. Sulb. 8, III, 4—6, 8. 10; Thibaut, JASB., 243) und Regeln für die Berechnung (Ap, Sulb, S. III, 7) und Vergrösserung (Ap. Sulb. 8. III, 9) eines Quadrates gegeben werden; und diese Sütra's welche den Stempel hoher Altertümlichkeit tragen und für wichtige, in jedem Sulbasütra enthaltene Regeln die — freilich sehr einfache — Voraussetzung bilden, fehlen bei Bäudhäyana, offenbar als zu elementar und zu selbstverstiindlich, während sie bei Apastamba anscheinend als etwas dem Sütra-Verfasser sehr Wichtiges vorgetragen werden und 1}, Kapitel füllen. Um diesen Unterschied zwischen Bäudh. und Ap. voll zu würdigen, müssen wir bedenken, dass auch unser Sütra-Verfasser zu jenen indischen Schriftstellern gehört, die sich über die Ersparnis eines einzigen Buchstabens mehr gefreut haben als über die Geburt eines Sohnes. — Überliefert uns demnach das Ap, Sulb. 8. in wichtigen Punkten eine ältere Stufe der vedischen Opfergeometrie als das Bäudh. Sulb, S., so folgt daraus noch nicht notwendig, dass das letztere später schriftlich fixiert sein müsse als das erstere. Denn jene Unterschiede beider lassen sich vielleicht auch daraus erklären, dass die Schule des Äpastamba zäh an der alten, allen Schulen gemeinsamen Tradition festhielt, während die Schule des Báudhiyana dieselbe früh in einzelnem weiterbildete, 4) Garbe, Sämkhya-Philos., S. 93, Anm. 2.

alter, muss als alte Priesterweisheit, brahmanische Opfertradition bezeichnet werden‘ !). Auf Grund dieser Erwägungen dürfen wir also annehmen, dass der Satz vom Quadrat der Hypotenuse, der z. B. Apastamba, Baudhayana und Kätyäyana gemeinsam ist*), in Indien schon viel früher als im 4. oder 5. Jahrhundert vor Chr. bekannt war. Auf eine noch viel frühere Zeit als das 4. oder 5. vorchristliche Jahrhundert weist aber auch noch anderes, das schon in § 1 festgestellt wurde. Ich habe hier nicht etwa im Sinne, mich bloss in allgemeiner Weise darauf zu berufen, dass die Blütezeit des indischen Opferwesens in eine Periode fällt, die sehr wohl als das 12. vorchristliche Jahrhundert einschliessend angenommen werden darf. Vielmehr möchte ich an die im 1. Abschnitt konstatierte, sehr bestimmte Thatsache erinnern, dass sich (abgesehen von gewissen alten Traditionen über die Grösse bestimmter Altäre) in der Taitt. S. Vorschriften über die kamya's und im Sat. Br. Vorschriften über die Vergrösserung des caturagragyénacit finden, von denen es sich gar nicht denken lässt, wie sie ohne die Kenntnis des Satzes vom Quadrat der Hypotenuse hätten ausgeführt werden sollen. Nun ist die Taitt. S. um einiges alter) als das Sat. Br, dieses aber gehört zu einer Klasse von Werken, von denen Oldenberg, Buddha, 3. Aufl., 8. 19 sagt: „Wir werden schwerlich wesentlich fehl greifen, wenn wir ihre Entstehung etwa von dem zehnten bis zum achten Jahrhundert vor der christlichen Ära ansetzen. Demnach sind wir berechtigt zu folgern, dass die Inder den Satz vom Quadrat der Hypotenuse spätestens im 8. Jahrhundert vor Chr. kennen mussten. Zu demselben Ergebnis führt uns noch ein anderer Weg. IL Die meisten der Gründe, die wir im vorstehenden für die Datierung des Satzes vom Quadrat der Hypotenuse benützt haben, sind schon bisher bekannt gewesen. In ein ganz neues Stadium aber tritt die Untersuchung über das Alter jenes Satzes durch zwei Stellen — die eine aus der Taitt. S., die andere aus dem Sat. Br, — die bisher von niemand für die Entscheidung unserer Frage verwertet worden sind. Taitt. S. 6, 2, 4, 5 heisst es von der ved? (Fig. 5) für das Soma-Opfer: trimgat padani pascat tirasci bhuvati, sattriméat praci, caturvimsatih purastat tirasci. „Die westliche Seite ist 30 pada’s lang, die pract 36, die Östliche Seite 24*. Dasselbe wird Sat. Br, 10, 2, 8, 4 vorgeschrieben. Jene Stelle der Taitt. S. liegt Ap. Sr. 8. XI, 4, 12 und 13 zu Grunde; sie ist ferner Ap. Sulb. 8. V, 1 mit ti vijnayat2 citiert, von Thibaut (jedoch ohne eine Bemerkung darüber, wo so gelehrt werde) in seine Abhandlung „On the Sulvasútras* aufgenommen (JASB., 285) und daselbst von 3) y. Schroeder, Indiens Litt, und Kultur, 8. 719. Thibaut, JASB., 2331. 8) v. Schroeder, a, a. O., S, 89f

antor nebst den von Thibaut ausserdem aufgeführten Stellen Ap. julb. S. V, 2—6 gelesen worden. Es ist nun zunächst die Frage zu erheben: was wissen wir über die in jener Stelle der Taitt. S. und des Sat. Br. genannte praci? 1. Sie geht, genau in der Richtung von Westen nach Osten, durch die Mitte des Altars (Fig. 5). 2. Sie ist 36 pada’s lang. 3. Sie halbiert ‘die westliche und die östliche Seite, zerlegt also jene in 2 mal 15, diese in 2 mal 12 pada's. 4. Sie bildet mit den genannten Seiten rechte Winkel. 5. Über die Rolle, welche die pract bei der Ausmessung des Altars spielte, sowie über El Fig. 6. die Konstruktion überhaupt, erfahren wir allerdings in den genannten Stellen der Taitt. S. und des Sat. Br. nichts. Aber wer diese Werke kennt, wird dies auch kanm erwarten. Die Taittiriya-Sambhita ist der Yajurvéda in der Recension der TaittiriyaSchule, und der Yajurvéda „enthält diejenigen Sprüche oder Verse, welche der die eigentliche Opferhandlung verrichtende Priester, der te Adhvaryu, zu sprechen oder zu murmeln hatte“ !), Und die Brahmaya’s „bieten keine fortlaufende Darstellung des Opfers, sondern vielmehr Erläuterungen zu demselben. Der Gang des Opfers wird in ihnen als bekannt vorausgesetzt und nur durch einzelne Anführungen ab und zu ins Gedächtnis gerufen‘*). Demnach ist es sehr begreiflich, wenn Werke wie die Taittirlya- Samhita und das Satapatha-Brahmana über das Verfahren bei der Konstruktion der Altäre schweigen. Dafür können wir nun aber z. B. bei Cantor lesen: „Das erste und wichtigste Geschäft besteht in der Absteckung der praci, d. h. der ostwestlichen Linie“ 3). „Ist die präci gefunden, so werden rechte Winkel abgesteckt, und zwar mit Hilfe eines Seiles‘‘). Rechte Winkel bildet nun, wie schon gesagt, die praci = 36 pada's mit der westlichen und der östlichen Seite; für die erstere waren von der práci aus nach Norden und Süden je 15 pada’s abzumessen; d. h. die Inder stellten bei der Konstruktion der saumiki vedi schon zur Zeit der Taitt. S. und des Sat. Br. einen rechten Winkel mit den Schenkeln 36 und 15 her. Nun hat es mit diesen, einen rechten Winkel bildenden, Seiten 36 und 15 eine besondere Bewandtnis: sie sind die Katheten 1) v. Schroeder, a. a. O., 8. 88. 2) v. Schroeder, a. a. O., 8. 181. 8) Cantor, Gräko- indische Studien, 8. 18 (Zeitschrift für Mathematik und Physik XXII, histor.-litterar. Abt.). 4) Cantor, Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik I, 542 (2, Aufl, 8, 596).

eines rationalen rechtwinkligen Dreiecks. Wer sollte da nicht sofort bemerken, dass also die Konstruktion der sdumiki ved: schon zur Zeit der Taitt. 8. und des Sat. Br. auf der Anwendung des rationalen rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 15 und 86 beruhte; ja, dass die Vorschriften des Sat. Br. und der Täitt. S., die jene Masszahlen übereinstimmend, also, auf Grund noch älterer Tradition angeben, offenbar erst aufgestellt wurden, nachdem man vorher schon jenes rationale rechtwinklige Dreieck gefunden hatte? Dass Taitt 8. 6, 2, 4, 5 und Sat, Br. 10, 2, 8, 4 von diesem rationalen rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse = 89 (EC in Fig. 5) nicht erwähnen, erklärt sich leicht daraus, dass jene Stellen die Masszahlen des fertigen Altars, nicht aber auch die der Hilfslinien angeben wollen. — Wie wenig es berechtigt wäre, an der Nichterwihnung der Hypotenuse Anstoss zu nehmen, geht aus folgender, ebenfalls nur die Katheten rationaler rechtwinkliger Dreiecke nennenden Regel des Bäudhäyana hervor, die ich nach Cantor wiedergebe: „Das Seil, quer über ein längliches Rechteck gespannt, bringt beide Flächen hervor, welche die Seile lings der . grösseren und kleineren Seite gespannt hervorbringen. Diesen zweiten Fall erkenne man an den Rechtecken, deren Seiten aus 8 und 4, aus 12 und 5, aus 15 und 8, aus 7 und 24, aus 12 und 35, aus 15 und 86 Längeneinheiten bestehen. Das ist nun offenbar der pythagoräische Lehrsatz, erläutert an Zahlenbeispielen. Das zuletzt genannte Dreieck mit den Katheten 15 und 36 ist vorher schon einmal in den kleineren Zahlen 12 und 5 genannt... 1). — Das Fehlen der Hypotenuse darf also nicht auffallen. Schliesst doch auch Cantor daraus, dass bei biblischen Rechtecken das Verhältnis 8 zu 4 vorkommt, auf die Kenntnis des rationalen rechtwinkligen Dreiecks von den Seiten 3, 4 und 5. „Das Verhältnis 8 zu 4 für zwei senkrecht zu einander zu denkende Abmessungen, oder auch 10 mal 3 zu 4, 3 zu 5 mal 4 kommt wiederholt vor, und wenn wir nicht verschweigen wollen noch dürfen, dass ein Rechteck von 8 zu 5 ebenfalls an häufigeren Stellen sich bemerklich macht, so ist doch nicht ausgeschlossen, dass jene ersterwähnten Masszahlen 8 zu 4 dazu dienten, einen rechten Winkel mittels des Dreiecks von den Seiten 3, 4,5 zu sichern**), — Dazu kommt endlich noch, dass im Ap. Sulb. 8. genau dieselben Zahlen wie in der Taitt. S. und im Sat. Br. (a. a. O.), nämlich 24, bezw. 12; 30, bezw. 15 und 36, auftreten und inmitten derselben nun auch die Hypotenuse = 39 erscheint (Ap. Sulb. S. V, 1 und 2). Nach alledem kann kein Zweifel dariiber bestehen, dass das rationale rechtwinklige Dreieck mit den Katheten 15 und 86 schon zur Zeit der Taitt. S. und des Sat. Br. in Indien bekannt war und, 1) Cantor, a. a. O., 8. 548f. (2. Aufl, 8, 598f). 2) Cantor, a. a. O., 8. 92 (2. Aufl. 8. 102).

ebenso wie Ap. Sulb. S. V, 1 und 2, bei der Ausmessung der sdumiki vedi verwendet wurde. Cantor, der den Inhalt der Stellen Taitt. S. 6, 2, 4, 5 und Sat. Br. 10, 2, 3, 4 nur aus JASB., 235 (a. h. aus Ap. Sulb. 8. V, 1) kannte, hat nun in der Meinung, es handle sich lediglich um die Sulbastitra’s, im Anschluss an Ap. Sulb. 8. V, 2 folgenden hochwichtigen Satz ausgesprochen. Dass das Verfahren bei der Konstruktion der sawmtki vedi „auf dem rechtwinkligen Dreiecke von den Seiten 15, 36, 89, oder in kleinsten Zahlen ausgedrückt 5, 12, 18 beruht, ist einleuchtend. Einleuchtendist aber auch, dass es in der Kenntnis des pythagoräischen Lehrsatzes wurzelt?), dass es die Seilspannung genau in der gleichen Weise anwendet wie Heron dieselbe benutzte (S. 324 Fig. 58), wie wahrscheinlich die altägyptischen Harpedonapten bei der Lösung der gleichen Aufgaben verfuhren (S. 56)*?). Cantor glaubt in dem, was er hier ausführt, mit einen Beweis für seine Behauptung gefunden zu haben, „es sei die alexandrinische Geometrie in einer Zeit, die später liegt als das Jahr 100 vor Chr., nach Indien eingedrungen**). Aber welche Ironie des Schicksals! In Wirklichkeit sagt der berühmte Geschichtschreiber der Mathematik damit, ganz gegen seinen Willen, nichts anderes, als dass (wie nach dem vorhin Ausgeführten leicht zu ergänzen. ist) der Satz vom Quadrat der Hypotenuse schon zur Zeit der Taitt. S. und des Sat. Br., also spätestens im 8. Jahrhundert vor Chr., in Indien bekannt war. Dies soll der folgende Abschnitt noch näher erläutern. $3. Weg der Auffindung des Satzes vom Quadrat der Hypotenuse. Im Anschluss an Hankel, und um möglichst kurz und deutlich dasjenige Theorem zu bezeichnen, das man gewöhnlich den Pythagoreischen Lehrsatz nennt, habe ich bisher immer den Ausdruck „Satz vom Quadrat der Hypotemuse* gebraucht. Hierzu muss jedoch bemerkt werden, dass die Sulbasntra's hier nicht, wie wir, vom rechtwinkligen Dreieck, sondern vom Quadrat und vom Rechteck reden, und dass sie (wie schon weiter oben hervorgehoben wurde) jene geometrische Wahrheit nicht als einheitlichen Satz, sondern in folgenden 2 Unterfällen aussprechen, die wohl in der aufgeführten Reihenfolge nacheinander auf verschiedenen Wegen gefunden wurden. I. caturagrasya ’ksnayarajjur dvistavatim (Ap. Sulb. 8. I, 5).1) bhümim karoti „Die Diagonale eines Quadrats bringt (wenn 1) Diese Stelle ist von mir durch Sperrdruck hervorgehoben, 2) Cantor, a. a. O., 8, 542 (2. Aufl. 8. 597). 3) Cantor, a. a. O., 8. 548 (2. Aufl. 8. 604). 4) Die Parallelstellen aus Bäudhäyans und Kätyäyana siehe bei Thibaut, JASB., 233,

über ihr ein Quadrat konstruiert wird) eine doppelt so grosse Fläche hervor (als das ursprüngliche Quadrat ist)“. Auf welchem Wege haben nun wohl die Inder diesen Satz gefunden? Wie wir in $ 1 sahen, ist der caturasragyénacit einer der ältesten indischen Altare. Für seine Konstruktion lehrt Apastamba 2 Methoden, wovon die eine, die in $ 1, B, II, 1, a als die älteste unter allen uns bekannten Methoden für caturagrakarana nachgewiesen wurde, den in Rede stehenden Satz nicht voraussetzt, während die zweite, jüngere eben auf dem obigen Satze beruht. Ich vermute nun, dass derselbe gerade an der mittels jener alten Methode konstruierten Figur des caturagragyenacit entdeckt wurde. Der aman dieses Altars (s. Fig. 1) besteht aus 4 Quadraten (Fig. 6); zog man in diesen die Diagonalen AE, EF, FC und CA, so konnte der Satz: caturagrasya (ABCD in Fig. 6) “kenayaragjur À P (AC) duistavatim bhümim (AEFO) karôti unschwer gefunden werden '). a E Ich darf es wohl als eine Bestätigung meiner Vermutung be- > trachten, dass Fig. 6, die Quelle des obigen Siehe1) Fig. 6. = = È Fig.7 (nach Thibaut, JASB., 246). Satzes, sich auch sonst nachweisen lässt. Bäudhäyana’s „very imperfect‘ Regel (Thibaut, JASB., 246) für die Verwandlung eines Quadrats (ABCD in Fig. 7) in ein Rechteck (EFCA) ergiebt nämlich die Zeichnung 7, welche sich auf den ersten Blick als auf der danebenstehenden Fig. 6 beruhend erweist. Weiter möchte ich zur Bestätigung meiner Annahme auf Thibant's Erklärung hinweisen. „The authors of the sütras do not give us 1) Als man später den unter II aufgeführten Satz und zugleich rationale rechtwinklige Dreiecke gefunden hatte, lag es nahe zu prüfen, ob sich nicht auch das Verbältnis zwischen der Diagonale des Quadrates und der Seite desselben in genauen Zahlen angeben lasse, Man verglich die Diagonale mit der Seite, nannte die Differenz eiséga („Unterschied“; vgl. Ap. Sulb. 8. IL, 1 und I, 6) und kam nach langen vergeblichen Versuchen zu der Überzeugung, dass sich eine genaue Zahl für die Diagonale nicht finden lasse. So begni sich mit einem Näherungswert, dem saviséga (Ap. Sulb. 8, I, 6). man den Weg, auf dem derselbe gefunden wurde, verweise ich auf Thibaut, JASB., 239 ff. er Thibaut's Erklärung bezieht sich auch Cantor, a. a. O., 8. 545 (2. Auflage 100). 2) Vgl. Hankel, a. a. O., 8. 205: „Das Wörtchen „Siehe!“ neben der mit den nötigen Hilfslinien versehenen Figur ersetzt den Brahmanen den mit dem feierlichen „Was zu beweisen war“ schliessenden Boweis der Griechen. Alles, was ein geübter Sinn durch anhaltende Betrachtung einer Fig. erkennen konnte, wurde als gewiss zugelassen“,

any hint as to the way in which they found their proposition regarding the diagonal of a square; but we may suppose that they, too, were observant of the fact that the square on the diagonal is divided by its own diagonals into four triangles, one of which is equal to half the first square. This is at the same time an immediately convincing proof of the Pythagorean proposition as far as squares or equilateral rectangular triangles are concerned‘ (Thibaut, JASB., 284). Die Fig. 8, von der Thibaut also ausgeht, 1 ! ist nun auch in unserer Fig. 6 enthalten; aber Thibauts Erklärung befriedigt nicht, weil sie in den Quellen keine Anknüpfungs- H punkte findet, und weil es schwer zu sagen ie. sein dürfte, was die indischen Priester, nachdem sie 1 Quadrat gezeichnet hatten, veranlasst haben soll, über der Diagonale desselben ein Fig. 8. neues Quadrat zu konstruieren. Jene 4 zusammengesetzten Quadrate aber, von denen wir ausgingen, haben die Inder beim caturagragyenacit, also zu praktischen Zwecken, schon in sehr früher Zeit gewiss unzählige Male gezeichnet, und an diesen 4 Quadraten war der obige Satz leicht zu entdecken. Für meine Erklärung spricht endlich noch folgende Betrachtung. — Cantor macht, nachdem er den obigen, sowie den unter II aufzuführenden Satz nach Bäudhäyana angegeben hat, die Bemerkung: „Einen Beweis sucht: man vergeblich“ (Cantor, Gräko-ind. Studien, in der Zeitschr. für Math. und Phys. XXII, histor.-litter. Abt., S, 18). Nun wird, wer die Sulbasutra’s näher kennt, wohl kaum einen Beweis darin suchen. Ausserdem würde z. B. Schopenhauer einen Beweis nicht gesucht haben; dies erhellt aus folgenden Stellen: „Ich kann mich nicht entbrechen, nochmals die, schon an einem andern Orte gegebene, Figur herzusetzen [hier Fig. 9], deren blosser Anblick, ohne alles Gerede, von der Wahrheit des Pythagorischen Lehrsatzes zwanzig Mal mehr Überzeugung giebt, als der Euklidische Mausefallenbeweis“ (Schopenhauer, Sämtl. Werke, Bd. III, „Über den Satz vom Grunde*, $ 39). „Des Eukleides stelzbeiniger, ja, hinterlistiger Beweis verlässt uns beim Warum, und beistehende, schon bekannte, einfache Figur giebt auf einen Blick weit mehr, als jener Beweis, Einsicht in die Sache und innere feste Überzeugung von jener Notwendigkeit und von der Abhängigkeit jener Eigenschaft vom rechten Winkel* (Schopenhauer, Sämtliche Werke, Bd. I, § 15). Wenn wir nun an der von Schopenhauer belobten Fig. 9 eine kleine Ergänzung vornehmen (Fig. 10), so erhalten wir genau die Figur, an der die Inder nach meiner Vermutung den Satz vom Quadrat über der Diagonale eines gegebenen Quadrats entdeckten, d. h. die anschauliche Überzeugung von der darin ausgesprochenen geometrischen Wahrheit zum ersten Male gewannen. Und an dieser anschaulichen Überzeugung liessen es sich die

Brahmanen offenbar genügen. Wir aber sind weit entfernt, von ihnen auch noch einen Beweis nach dem Muster der Euklidischen zu verlangen; wir halten es hierin vielmehr mit Schopenhauer und mit Hankel, welch letzterer, so feinfühlend und liebevoll in die Eigenart fremder Völker sich versenkender Mann in seinem geistreichen Buche ,Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter“, 8. 219f, am Schlusse des von den Indern handelnden Kapitels, die folgenden (hier notwendig anzuführenden) goldenen Worte ausspricht: „Insofern es überhaupt die Aufgabe der Geschichts- IP Fig. 9. ees Fig. 10. schreibung ist, durch die Schilderung verschiedener Vélker und Zeiten die Anschauung so zu erweitern, dass sie- nicht engherzig den Zustand einer bestimmten Zeit und eines bestimmten Volkes für den absolut normalen nimmt, — insofern ich es insbesondere für die Aufgabe des Geschichtsschreibers der Mathematik halte, das Vorurteil zu beseitigen, als ob es nur Eine Art ihrer geschichtlichen und nur Eine Form ihrer wissenschaftlichen Entwickelung gäbe, so gehört der Abschnitt, den wir jetzt beschliessen, zu den lehrreichsten. Von früher Jugend an gewöhnt an die strenge griechische Form der Geometrie, mit Ehrfurcht erfüllt vor der klassischen Litteratur des griechischen Volkes, sind wir aufgewachsen in der Meinung, jene Form sei die absolut notwendige und einzig wissenschaftliche, und bemerken kaum, dass nicht allein die Form sondern auch der Geist unserer Arithmetik und Algebra, ja der gesamten neueren Mathematik ein von der Form und dem Geiste antiker Geometrie durchaus verschiedener ist. Es wird dem Leser nicht entgangen sein, wie nahe sich der Geist der heutigen Wissenschaft mit dem berührt, der sich in der Mathematik der Inder offenbart; die Folge wird zeigen, wie auch historisch die Entwickelung der neueren Völker durch Vermittelung der Araber von Indien her beeinflusst wurde. Unter diesen Umständen gewinnt die Mathematik unserer Stammverwandten am Ganges ein höheres Interesse, welches Bd. LV.

es rechtfertigen wird, wenn wir zum Schlusse ihre. charakteristischen Eigentümlichkeiten nochmals zusammenstellen. Unter diesen tritt zunächst hervor das Vorwiegen der unmittelbaren Anschauung in der Entwickelung der Geometrie!), welches einen so merkwürdigen Gegensatz bildet gegen die durch Begriffe vermittelte Konstruktion der Sätze bei den Griechen. Wir haben uns über Vorzüge und Mängel beider Richtungen bereits ausgesprochen und hier nur hinzuzufügen, dass ebenso wie die Euklidische Methode nicht zufällig gerade die der griechischen Mathematiker geworden ist, so auch jene intuitive Methode bei den Brahmanen eine allgemeinere Bedeutung hatte, als nur für die Geometrie. Ihre Metaphysik, Kosmologie und Theologie entsprang nicht wie die Philosophie der Griechen aus einer reflektierenden Thätigkeit, welche die gegebenen Vorstellungen zergliederte, zu Begriffen bildete und durch deren logisch-systematische Verbindung zur Erkenntnis der Wahrheit zu kommen suchte; ihre Methode ist vielmehr die der unmittelbaren Intuition, der anhaltenden hingebenden Vertiefung in Einen Gedanken, der mystischen Versenkung in die höchsten Ideen, bei welcher der Geist, sich selbst vergessend, die von jenem Mittelpunkte ausstrahlenden Gedanken in ihrem wesentlichen Zusammenhange in Einem Bilde zu schauen meint. Vielleicht darf ich auch, um zu zeigen, wie jene geometrische Methode der Inder durch unsichtbare Fäden mit der Gesamtanlage verknüpft gewesen ist, darauf hinweisen, dass der Philosoph Deutschlands, welcher sich zu der Metaphysik der alten Brahmanen am stärksten hingezogen gefühlt hat, dass Schopenhauer einer der ersten gewesen ist, welcher gegen die Euklidische Methode kämpfend auftrat und, ohne von der indischen Geometrie Kunde zu haben, eine mit ihr wesentlich übereinstimmende anschauliche Entwickelung vorschlug*. IL Wir wenden uns nun zu dem zweiten indischen Satze, welcher Ap. Sulb. 8. I, 4 folgendermassen lautet): dirghasya 'ksnaytrajjuh, parsvamani tiryanmänı ca yat prthagbhate kurutas, tad ubhayam karòti.- „Die Diagonale eines Rechteckes bringt (wenn mit ihr als Seite ein Quadrat konstruiert wird) beides hervor, was die längere und die kürzere Seite desselben, jede für sich, hervorbringen“ 9), 1) Siehe 8.561 Anm. 2. 2) Über die Parallelstellen aus Biudhiyana und Kätyäyana s. Thibaut, JASB., 234. 3) Äpastambs führt hier fort: tabhir jazyabhir uktam viharanam, „Mittels (Anwendung) dieser (d. h. der beiden Seiten Rechteckes) — und zwar solcher, (in I, 2 und 3) gelehrt worden“. und Diagonale eines die erkennbar sind — ist die Konstruktion Die hier erwähnten (allgemein gefassten) Sitra's I,2 und 3, welche V, 2 und 3 in konkreter Form wiederkehren, enthalten Regeln für die Herstellung gewisser Altire ‘v&ds’s) und sind eine Anwendung bestimmter rationaler rechtwinkliger Dreiecke. Mit den Worten „täbkir jieyabhir uktam viharanam“ sagt also Apastamba, dass der oben angeführte

Wenn wir nun fragen, wie die Inder diesen Satz wohl gefunden haben, so ist es nicht ohne Interesse, zunächst einen Blick zu werfen auf den Weg, auf welchem nach Cantor’s Annahme Pythagoras den nach ihm genannten Satz entdeckte. „Pythagoräisch war nach unserer durch mannigfache Überlieferung?) gestützten Darstellung die Erfindung des Satzes von den Quadraten der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks als eines arithmetischen?) ausgehend von dem bestimmten Zahlenbeispiele 32 + 4% = 5?“ (Cantor, Vorlesungen über Gesch. der Math., S. 159; 2. Aufl, 8. 175). „Pythagoras bemerkte, meinen wir; dass 9 + 16 — 25 (8.144. [Hier heisst es: „Hier wagen wir nun...eine unmittelbar nicht auf Überlieferungsichstützende Vermutung‘). Wir nehmen an, es sei auch die Addition von je zwei auf einander folgenden Quadratzahlen vorgenommen worden, um wie in den vorher erwähnten Beispielen einmal zuzusehen, ob dabei etwas Bemerkenswertes sich enthülle. In der That fand sich ein höchst auffallendes Ergebnis: Die Quadratzahlen 9 und 16 lieferten als Summe die nächste Quadratzahl 25, und nur bei ihnen zeigte sich diese Erscheinung*.)). Als er diese unter allen Umständen interessante Bemerkung machte, kannte er bereits, gleichviel aus welcher Quelle, die Erfahrungsthatsache?), dass ein rechter Winkel durch Annahme der Masszahlen 8, 4, 5 für die Längen der beiden Schenkel und für die Entfernung der Endpunkte derselben konstruiert werde. Wir haben (8. 56) darauf hingewiesen, dass die Ägypter, (8. 92) dass die Babylonier vielleicht die gleiche Kenntnis besassen, dass die Chinesen ihrer sicherlich teilhaftig waren. ... Die geometrische und die arithmetische Wahrheit vereinigten sich nun in dem Bewusstsein des Pythagoras zu einem gemeinschaftlichen Satze* (Cantor, a. a. O., 8.158f. 2. Aufl, 8.169). „Pythagoräisch war ... eine Regel zur Ermittelung anderer Zahlen als 3, 4, 5, welche 2. indische Satz und rationale rechtwinklige Dreiecke (genauer: Rechtecke, deren beide Seiten und Diagonale in ganzen Zahlen ausgedrückt werden können) für ihn aufs engste zusammengehören. Dasselbe dürfen wir aus der entsprechenden Stelle des Bäudhäyana herauslesen (vgl. Thibaut, JASB., 234f; Cantor, a. a. O., 8. 543f und 2. Aufl. 8. 598. Diese Stelle ist schon oben 8. 555 nach Cantor citiert worden). Die sehr wichtige Thatsache, dass der 2. Fall des Satzes vom Quadrat der Hypotenuse für beide Sütra-Verfasser mit rationalen rechtwinkligen Dreiecken im engsten Zusammenhange steht, werden wir erst recht würdigen können, nachdem wir aus der folgenden Untersuchung ersehen haben, dass die Brahmanen ihre rationalen rechtwinkligen Dreiecke und ihren 2. Satz an derselben geometrischen Figur entdeckten. 1) Auf die äusseren Zeugnisse, auf die sich der Cantor'sche Rekonstruktionsversuch stützt, will ich nicht näher eingehen, da Cantor, a. a. O., 8. 129 (2. Aufl. 8. 142) selbst hervorgehoben hat, dass man den meisten derselben „wegen ihres späten Datums kein Gewicht beilegen dürfe‘. Die Stellen aus Proklus und aus dem alten Mathematikerverzeichnis, auf die Cantor dagegen Wert legt, sagen nichts über den Weg der Auffindung jenes Satzos, sondern überliefern nur, dass derselbe von Pythagoras herrühre. 2) Von mir durch Sperrdruck hervorgehoben.

als Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks dienen können“, (Cantor, a. a. O., 8.159; 2. Aufl, S. 175. Dazu vgl. 8. 157,2. Aufl. S. 178). An dieser Erklärung ist unter anderem interessant, dass Cantor nicht nur bei Pythagoras, sondern auch bei den Agyptern, Babyloniern und Chinesen die Kenntnis des rationalen rechtwinkligen Dreieckes 3, 4, 5 als auf empirischem Wege erlangt betrachtet. Es ist mir sehr angenehm, mich hierauf weiter unten berufen zu künnen. Gegen anderes in dem Cantor'schen Rekonstraktionsversuch erheben sich dagegen gewichtige Bedenken. 1. Nicht eine geometrische Figur, sondern die arithmetische Wahrheit, dass 9 +16 = 25, soll den ersten Ausgangspunkt bei der Entdeckung jenes Theorems gebildet haben. Dies stimmt folgerichtig zu einer anderen Stelle Cantor's, wo er vom „Rechnen in nahezu unbegrenzter Möglichkeit“ und „Anschauen* sagt: „Das Eine wie das Andere ist zum Beweise schon: bekannter Sätze gleich gut anzuwenden, die Rechnung ist strenger, die Berufung auf unmittelbare Anschauung!) vielfach überzeugender. Aber kann letztere zur Erfindung neuer Sätze führen ?*!) (Cantor, a. a. O. 8.558; 2. Aufl. 8. 614). Cantor hegt also allen Ernstes die Überzeugung, dass unmittelbare Anschauung nicht zur Entdeckung neuer Sätze führen könne. Nun haben sich z. B. auch Kant und Schopenhauer mit der Untersuchung der Quellen und Grundlagen der Mathematik und speziell auch der Geometrie beschäftigt. So sagt Kant: „Geometrie legt die reine Anschauung des Raumes zum Grunde“ (Prolegomena, $ 10). „Um etwas zur Erläuterung und Bestätigung beizufügen, darf man nur das gewöhnliche und unumgänglich notwendige Verfahren der Geometer') ansehen. Alle Beweise von durchgängiger Gleichheit zweier gegebener Figuren (da eine in allen Stücken an die Stelle der anderen gesetzt werden kann) laufen zuletzt darauf hinaus, dass sie einander decken, welches offenbar nichts anderes als ein auf der unmittelbaren Anschauung beruhender!) synthetischer Satz ist. ... Dass der vollständige Raum (der selbst keine Grenze eines anderen Raumes mehr ist) drei Abmessungen habe, und Raum überhaupt auch nicht mehr derselben haben könne, wird auf den Satz gebaut, dass sich in einem Punkte nicht mehr als drei Linien rechtwinklicht schneiden können; dieser Satz aber kann gar nicht sus Begriffen dargethan werden, sondern beruht unmittelbar auf Anschauung!) und zwar reiner a priori, weil er apodiktisch gewiss ist“ (Prolegomena, $ 12). Schopenhauer andererseits sagt, es müsse sich bei jeder möglichen ‘geometrischen Wahrheit zu einer anschaulichen Überzeugung bringen lassen, „schon deshalb, weil ihre Auffindung allemal von einer solchen angeschauten Notwendigkeit ausging!) und der Beweis erst hinterher hinzu ersonnen 1) Siehe S, 561 Anm. 2,

ward“ (Schopenhauer, Sämtl. Werke, Bd. I, $-15). — Aus alledem ergiebt sich, dass es schwer einzusehen ist, wie jemand, der mit Cantor fragt: Kann die Anschauung zur Erfindung neuer Sätze führen?, sich ein richtiges Bild von den ersten Entdeckungen in der Geometrie zu machen vermöge. 2. Pythagoras soll seinen Satz aus 1 Fall abgeleitet haben. 8. Pythagoras soll weitere rationale rechtwinklige Dreiecke erst mit Hilfe einer Formel gefunden haben. Wenn man sich dieses alles vergegenwärtigt, so wird man notwendig zu dem Ergebnis kommen, dass der Cantor’sche Rekonstruktionsversuch in wichtigen Punkten der inneren!) Wahrscheinlichkeit in hohem Grade ermangelt. Was die vorhin erwähnte Formel betrifft, so wird dieselbe von Cantor nach Proklus wie folgt angegeben (Cantor, a. a O, 8. 157; 2. Aufl, 8. 178): kleinere Kathete grössere Kathete Hypotenuse 2c+1 202° +20 20° +20+1. Hankel dagegen sagt (a. a. O., S. 100) unter Berufung auf Heron, Pythagoras habe folgende Formel für rationale rechtwinklige Dreiecke aufgestellt: kleinere Kathete grössere Kathete a 1h (a. —1) Hypotenuse Ila (a? + 1). Wenn man nun in der letzteren Formel 24 +1 an Stelle von a einsetzt, so erhält man die erstere. Beide besagen also dasselbe; aber offenbar ist die von Hankel nach Heron angegebene die ältere; und wenn Pythagoras überhaupt eine aufgestellt hat, so wird es diese gewesen sein. Dass ihm auch die andere zugeschrieben wird, ist wohl ein weiterer Beleg dafür, dass, ,wo Pythagoras selbst der Urheber gewesen sein soll, sehr wohl eine Namensverschiebung stattgefunden haben könne* (Cantor, a. a. O., 8.129; 2. Aufl. 8. 142). : Doch es ist nicht meine Aufgabe, dies noch weiter zu untersuchen. Es lag mir nur daran, einen Ausgangspunkt zu gewinnen für den Beweis, dass die in den Sulbastitra's überlieferten rationalen rechtwinkligen Dreiecke nicht mit jenen Formeln gefunden wurden. Die Sulbasütra's kennen nämlich: folgende rationalen rechtwinkligen Dreiecke: kleinere Kathete Ton Hypotenuse TRS 4 5 (Ap. 12 16 20 (Ap. 15 5 15 20 12 86 25 (Ap. Sulb. S. V, 8). 18 (Ap. Sulb. 8. V, 4; Baudh.)). 39 (Ap. Sulb. S. V, 2 u. 4; Baudh.?)). n 1) Siehe 8. 561 Anm. 1. 2) Siehe Thibaut, JASB., 235 oben, Sulb. 8. V, 8; Baudh.9)). Sulb. 8. V, 3).

Bürk, Das Apastamba-Sulba-Sütra. kleinere. grössere, m 7 24 25 (Baudh.1)). IV 8 15 V "12 17 (Ap. 35 37 (Ap. Sulb. 8. V, 5; Baudh.1)), Katheto Mit Kathete Hilfe jener dem ‘Hypotenuse Pythagoras Sulb. 8. V, 5; Baudh.1)). zugeschriebenen Formeln wiirden sich z. B. folgende Dreiecke ergeben: kleinere Kathete mn re Hypotenuse 8 5 12 5 13 7 9 24 40 25 41 11 60 61 13 84 85 usw Wie aus diesen Beispielen, sowie schon aus jenen Formeln hervorgeht, ist hier die Differenz zwischen der grösseren Kathete und der Hypotenuse stets — 1. Daraus folgt erstens, dass es ein Irrtum ist, wenn Hankel a. a. O., 8. 100 sagt, dass die von ihm angegebene Formel „alle rationalen rechtwinkligen Dreiecke“ umfasse, „sobald man dem a jeden beliebigen rationalen Wert geben“ dürfe, Und aus jener Thatsache folgt zweitens, dass von den in den Sulbasutra's aufgeführten rechtwinkligen Dreiecken wohl diejenigen mit den Seiten 5, 12, 13; 7, 24, 25 zu jenen Formeln passen, während diejenigen mit den Seiten 8, 15, 17 und 12, 85, 87 (weil die Differenz zwischen der grösseren Kathete und der Hypotenuse hier eine andere als 1, nämlich 2 ist) unmöglich mit Hilfe jener Formeln gefunden sein können. Über den Weg, auf dem die Inder ihre rationalen rechtwinkligen Dreiecke entdeckten, hat Thibaut folgende Vermutung aufgestellt (JASB., 288): „The way in which the Sütrakäras found the cases enumerated above, must of course be imagined as a very primitive one. Nothing in the stitras would justify the assumption that they were expert in long calculations. Most likely they <= è discovered that the square on the dia- ) 1 gonal of an oblong, the sides of which were equal to three and four, could be divided into twenty-five small squares, sixteen of which composed the square on the longer side of the oblong, and nine of which formed the area of the square on the shorter side.“ Thibaut zeigt indessen nicht näher, Fig. il. 1) Siche 8. 563 Anm. 2, wie die Inder zu der

kommen seien; er schlägt vielmehr selbst noch einen anderen Weg vor: „Or, if we suppose a more convenient mode of trying, they might have found that twenty-five pebbles or seeds, which could be arranged à in one square, could likewise be arranged in two squares of sixteen and of nine [s. Fig. 12]. Going . on in that way they would + form larger squares, al- . . BE . opto ‘+ . + + + + + . . mo . . . . ways trying, if the DS . . . ee Fig. 12. pebbles forming one of these squares could not as well be arranged in two smaller squares.!) of 86, of 49, of 64 etc. So they would form a square Arriving at the square formed by 18 >< 18 — 169 pebbles, they would find that 169 pebbles could be formed in two squares, one of 144 the other of 25. Further on 625 pebbles could again be arranged in two squares of 576 and 49, and so one. The whole thing required only time and patience, and after all the number of cases which they found is only a small one.“ Thibaut glaubt also, die Inder hätten, von einem grösseren Quadrate ausgehend, durch Zerlegen desselben 2 kleinere erhalten. Wir werden nun freilich auf Grund von Ap. Sulb. S. I, 9 zeigen, dass sie vielmehr von einem kleineren ausgingen und, dasselbe vergrössernd, fanden, das neue Quadrat sei die Summe zweier kleinerer Quadrate. Das Zerlegen war schwierig, und zwar um so mehr, je grüsser das zu teilende Quadrat war; es wäre darum sehr vom Zufall abhängig gewesen, ob überhanpt etwas dabei herauskomme. Das Vergrössern en war leicht und musste, wie wir sehen werden, notwendig zu den überlieferten Ergebnissen führen. — Thibaut's Grundgedanke muss aber gleichwohl als sehr glücklich bezeichnet werden. Wir werden ihn im folgenden zu verwerten, näher auszuführen und zu begründen und vor allem auf sichere Quellen zu stützen suchen. Diese Quellen sind besonders die Sütra’s Ap. Sal, 8. IT, 4—10 (vgl. hierüber S. 552 Anm. 8). Von denselben sind III, 7. 8 u. 10 (nebst einigen ähnlichen aus Kätyäyana) von Thibaut JASB., 248 u. 274 mitgeteilt worden. Dagegen wurde insbesondere die sehr wichtige Regel Ap. Sulb. S. IH, 9 in Thibaut’s Abhandlung nicht aufgenommen. Wir wollen nun die genannten Sütra's der Reihe nach betrachten. Ap. Sulb. 8. III, 4 sagt, durch eine Seite von 1 Längeneinheit werde ein Quadrat von 1 Flächeneinheit hervorgebracht (Fig. 18, I); Ap. Sulb. 8. III, 6: durch eine Seite von 2 Längeneinheiten entstehe ein Quadrat von 4 Flächeneinheiten, durch eine Seite von 3 Längeneinheiten ein Quadrat von 9 Flächeneinheiten 1) Siehe 8. 561 Anm. 2,

Tu Im. — Hier sehen wir die Brahmanen mit Quadraten beschäftigt. Quadrate waren ja ihrer Aufmerksamkeit schon seit uralten I ar It Fig. 18. ein empfohlen Quadrat, 4 kleineren Quadraten zusammengesetzt war, weislich ebenfalls schon Zeiten @ $ 1, A); und z.B. das aus mussten sie nachin sehr früher Zeit herstellen, nämlich jedesmal, wenn sie den caturagra$yenacit konstruierten. Wie die Brahmanen den Flächeninhalt nicht bloss der angeführten, sondern überhaupt beliebiger Quadrate (bei denen die Masszahl der Seite bekannt war) feststellten, erfahren wir aus dem unmittelbar darauf folgenden Sutra III, 7: Eine Schnur bringe, wenn mit ihr als Seite ein Quadrat konstruiert werde, jedesmal so viele Reihen kleiner Quadrate hervor, als sie Längeneinheiten enthalte; So könne man das in den vorausgehenden und nachfolgenden Sütra’s über den Inhalt gewisser Quadrate Gesagte herausfinden. — Das heisst also: Man könne ein Quadrat, dessen Seite z. B. 4 Längeneinheiten messe, in 4 Reihen einteilen, deren jede aus 4 kleinen Quadraten bestehe. -So bringe man als Flächeninhalt 4.4 —16 kleine Quadrate heraus (Fig. 14). Auf ähnlichem Wege fand man auch folgendes: „Eine Schnur von 1!/, purusa's bringt 2*/, Quadrat-puruga's hervor (Fig. 15), eine solche von 21}, purusa’s 61/, Quadrat-puruga’s* (Ap. Sulb. 8. III, 8). I Siehe! Z| FR 1 3), —= 2! =, Fig. 18. o =61 4+ =O, Nachdem wir aus den bisherigen Stitra’s ersehen haben, dass die Brahmanen ihre Aufmerksamkeit auf den Zusammenhang und das Verhältnis zwischen der Seite eines Quadrats und dessen Flächeninhalt gerichtet hatten und die Grösse eines jeden Quadrats festzustellen verstanden, wenden wir uns nunmehr zu dem nächsten Sütra, welches das schon weiter oben als sehr wichtig bezeichnete ist. Ap. Sulb. 8. III,9 beginnt: Regel.“ 40* Dieselbe bezieht sich, „Es folgt nun eine allgemeine Kommentatoren richtig

bemerken, auf die Vergrösserung eines gegebenen Quadrats. Hierbei soll man „an 2 Seiten“ des Quadrats das hinzufügen, was man mit der jedesmaligen Verlängerung erhalte (meist ist dies ein Rechteck, z. B. I u. Il in Fig. 16, selten wieder ein Quadrat; wohl um auf beide Fälle zu passen, sagt das Sutra in weitester Fassung: das, was man mit der jedesmaligen Verlängerung erhalte); und „an der Ecke (A)* habe man „das Quadrat“ hinzuzufügen (III in Fig. 16), „das durch die Verlängerung hervorgebracht* Fig. 16. werde. Was zu dem gegebenen Quadrate hinzukommt, bildet also die Fig, 17. Darauf, dass diese Figur dasjenige ist, was bei den Griechen Gnomon heisst und schon den Pythagoreern bekannt war (Cantor, a. a..0., Seite 186; 2. Aufl. 8. 150), werden wir später zu sprechen kommen, en muss schon jetzt konstatiert Fig. 17. werden, dass die von Apastamba gelehrte Vergrösserung eines Quadrats nachweislich auf dem indischen Opferplatz eine Rolle spielte. Bei der Ausmessung der Grundfläche des von Bäudhäyana beschriebenen särarathacakracıt (Thibaut, JASB., 261#) hatte man nämlich als Hilfskonstruktion ein Quadrat mit der Seite von 17 Längeneinheiten herzustellen. Dabei begann man (s. Thibaut, JASB., 261 unten) mit dem Quadrat von der Seite = 2 und vergrösserte dasselbe stufenweise, indem man die Seite jedesmal um 1 Längeneinheit zunehmen liess, bis man endlich das Quadrat mit der Seite —17 erreicht hatte. , Hierbei, d. h. unter Anwendung der allgemeinen Regel Ap. Sulb. S. IH, 9, mussten nun hochinteressante Wahrheiten zu Tege kommen. Da nämlich die Inder, nach jenem Sütra, die hinzukommende. Figur analysierten und als aus 2 Rechtecken und 1 Quadrat bestehend erkannten; da sie ferner das gegebene Quadrat durch Zerlegung in kleinere Quadrate zuvor berechnet hatten (Fig. 18); so durften sie, um den Flächeninhalt des neuen Quadrats zu finden, nur die Zahl der neu hinzukommenden kleinen Quadrate feststellen (Fig. 19). Dass sie thatsächlich so — verfuhren (d. h. den Unterschied zwischen tra dem gegebenen berechneten), und dem neuen Quadrat zeigt Bäudhäyana, welcher sagt (JASB., 261): Wenn man

quadratischen Backsteinen ein Quadrat gebildet habe, so soll man noch 88 Backsteine hinzufügen. steine, So erhält man aber 289 Backdie ein Quadrat mit der Seite 17 bilden. (Wie hier, so sehen wir die Inder auch sonst, z. B. Ap. Sulb. S. XVIII, 3, quadratische Backsteine bei der Ausmessung des agniksëtra verwenden.) Ehe nun die Inder zu dem vorhin erwahnten, aus 256 quadratischen Backsteinen bestehenden Quadrat geLACS ES langt waren, also z. B. aus 16 Backsteinen i |. ein i Quadrat hatten, da mit der Seite ergab Vergrösserung 2.4 sich, dass 4 hergestellt sie bei der +1, d. h. 9 Backsteine hinzufügen mussten (Fig. 19). Nun hatten sie aber schon vorher an derselben Figur Mer: bemerkt (s. Fig. 20), dass diese 9 Backsteine ein Quadrat (ABCD) mit der Seite 8 bilden (vgl. Ap. Sulb. 8. III, 6); demnach mussten sie notwendig finden, dass das neue, aus 25 Backsteinen zusammengesetzte Quadrat (mit der Seite 5) die Summe der vorher schon vorhandenen, aus 9 und 16 Backsteinen bestehenden Quadrate war. Bekanntlich immer auf grösste Anschaulichkeit bedacht, mögen die Inder — um die 3 interessanten Quadrate statt bloss ineinander, auch nebeneinander zu sehen — die beiden kleineren Quadrate vielleicht in 3 € hole nebenstehender Weise zu dem grösseren gesetzt haben (s, Fig. 21). Hierbei hätten sie, wie leicht zu sehen, das rationale rechtwinklige Dreieck mit den Katheten 8 und 4 (oder wie sie selbst sagen: das Rechteck mit. den Seiten 3 und 4) entdecken können. Indessen, es ist sehr wahrscheinlich, dass sie dasselbe schon lange vorher als „Erfahrungsthatsache* kannten. Dies anzunehmen berechtigen uns die oben angeführten Stellen Cantor’s. Ausserdem kann ich mich hier auf Hankel berufen, welcher bei Pythagoras , die empirische Kenntnis von dem rechtwinkligen Dreieck 8, 4, 5“ ebenfalls voraussetzt (Hankel, a. a. O., 8. 98) und von den Chinesen J sagt, ihr Wissen, „dass die Seiten 3, / | 4,5 ein rechtwinkliges Dreieck bilden“, . y 54 sei „ein empirisches Resultat handwerksmässiger Erfahrung“ | a. a, O., 8. 83). Fig si. Wege können also (Hankel, Auf empirischem auch Inder

schon in sehr früher Zeit die (in den Sulbasttra’s — z. B. Ap. Sulb. 8. V, 8 — wirklich überlieferte) Kenntnis von dem rechtwinkligen Dreieck 8, 4, 5 (oder wie sie sagen: von dem Rechteck mit den Seiten 8 und 4 und mit der Diagonale 5) erlangt haben. Als sie dann bei der Vergrösserung von Quadraten, wie wir sahen, noch die Entdeckung machten, dass die Quadrate über den Seiten 3 und 4 zusammen so gross seien, wie das Quadrat über der Seite 5, da konnte sich dieselbe in dem Geiste eines Brahmanen mit jener Erfahrungsthatsache zu der Erkenntnis verbinden: die Diagonale — 5 eines Rechtecks bringt beides hervor, was die Seiten — 8 und 4 desselben, jede für sich hervorbringen. Wie die Inder zur Verallgemeinerung der zunächst nur an einem Falle gefundenen geometrischen Wahrheit gelangten, zeigt wieder Apastamba's Regel für die Vergrösserung gegebener Quadrate. Wir sahen schon oben, dass Bäudhäyana bei der praktischen Anwendung derselben bis zu dem Quadrat über der Seite 17 aufstieg; Apastamba's „allgemeine“ Regel führte natürlich noch weiter. Als man das Quadrat über der Seite 12 vergrösserte, fand es sich, dass 25 kleine Quadrate hinzukamen (Fig. 22); wie man von LILIIIIITT TV LILITEILITT n + a Siehe! 12+12+1= 25 144 + 25= 169 + 58—= 188 12% B Fig. 22. früher her wusste, bildeten diese ein Quadrat über der Seite 5; das neue Quadrat hatte 18 zur Seite und 169 zum Inhalt; man hatte also jetzt gefunden, dass die Quadrate über den Seiten 12 und 5 zusammen so gross seien, wie das Quadrat über der Seite 18. Da man aber früher bei 8° 4+-4*=5* die Erfahrung gemacht hatte, dass die Quadratseiten 8, 4 und 5 ein rechtwinkliges Dreieck ergeben, so lag es nahe zu untersuchen, ob es sich hier nicht ähnlich verhalte. Und wirklich fand man, dass, wenn AC = 12 und AB=5, dann BC=18 sei (Fig. 22). Dies war das 2. indische rationale rechtwinklige Dreieck. Auf diesem Wege weitergehend, fand man an Fig. 28, dass 249+ 72= 25% Aus den Quadratseiten 7, 24 und 25 bildeten die Inder sodann ihr 8. rationales rechtwinkliges Dreieck. Ferner sehen wir JASB., 261, wie Bäudhäyana zu einem aus

225 Backsteinen gebildeten Quadrat 64 weitere hinzufügt, um ein neues Quadrat zu erhalten. Man hatte also auch bemerkt, dass, weil zu dem Quadrat über der Seite 15 einunddreissig Backsteine, zu dem über der Seite 16 aber 33 hinzukamen, das Quadrat über der Seite 17 um 64 grôsser sei als das über der Seite 15. Diese 64 Backsteine aber konnten, wie die Inder schon vorher wussten, Siche! = 7 uu pi 49 % 51640 —625 A 2 15 |? > A } x 242-479 25% x aes Siehe! 30+30+4= 64 225 464 — 289 ) ey 1574 8% = 17? 25 Fig. 28. Fig. 24. als Quadrat über der Seite 8 angeordnet werden. Man hatte also weiter an einer geometrischen Figur (s. Fig. 24) gefunden, dass 152+ 8° = 172, und dass 15, 8 und 17 ein neues, das 4. indische rationale rechtwinklige Dreieck bildeten. + 12? Auf ähnlichem Wege brachte man auch heraus, das 852 = 872 (s. Fig. 25). So ergab sich das 5. indische rationale rechtwinklige Dreieck mit den Seiten 35, 12 und 37. 2 3 + EA 2 Siehe! 10 +70 + 4= lan 144 qu 12°= 372 Y 1225 + 144 — 1369 Fig. 26. Endlich fand man so an Fig. 26, dass 862+ 152— 39%. Die Quadratseiten 36, 15, 89 ergaben also für die Inder ein neues rationales rechtwinkliges Dreieck. Darum zühlt es auch Bäudhäyana noch als ein besonderes neben demjenigen mit den Seiten 5, 12, 18 auf. Wohl schwerlich würde Cantor, wenn ihm der richtige Weg der Auffindung bekannt gewesen wäre, dem Bäudhäyana dafür die Censur erteilt haben, „dass er den Gegenstand seiner Darstellung nieht durchaus beherrschte“ (Cantor, a. a, O., 8. 544; 2. Aufl.

Dazu kommt noch, dass das rationale rechtwinklige Dreieck 15, 86, 89 bei den Indern in besonderem Ansehen stand, weil die Masse und die Ausmessung der wichtigsten wadi (Ap. Sulb. 8. V, 1 u. 2) auf ihm beruhten. Übrigens hat Apastamba (wie aus Ap. Sulb. 8. V, 4 hervorgeht) die Beziehung zwischen den rechtinkl; Dreiecken 5, 12, 18 und 15, 86, 39 gekannt. Man hat also offenbar die beiden Dreiecke miteinander verglichen; dies war aber erst möglich, nachdem man sie vorher einzeln an geometrischen Figuren kennen gelernt hatte. 36 HA nn 7 108 19 Siehe! e 708) ys 108 + 108 + 9— 225 1296 + 225 = 1521 1296 86° + 15*= 39% Fig, 26. Nicht etwa durch eine Formel, sondern auf dem beschriebenen geometrischen Wege sind demnach die indischen rationalen rechtwinkligen Dreiecke gefunden worden. kleinere grössere Kathete Kathete 3 5 7 4 12 24 HyPotenuse; kleinere Aus der Ubersicht: grössere Kathete 8 12 15 35 17 37 Differenz 3 15 86 89 Differenz 2 Differenz 1 Resa 5 18 25 ‘Hypotenuse Katheto —— geht nämlich hervor, dass die Differenz zwischen der grösseren Kathete und der Hypotenuse teils 1, teils 2, teils 3 ist; und dies kommt eben daher, dass man die grösseren Quadrate in den Figuren 20—26 aus dem unmittelbar vorhergehenden (z. B. 13? nach 12°) oder aus dem vorletzten (z, B. 17? nach 15*) oder aus dem drittletzten (89? nach 36°) durch Verlängerung der Quadratseite um 1 oder um 2 oder um 3 Längeneinheiten geometrisch konstruierte. So haben also die Inder durch Wiederholung derselben geometrischen Figur 1. mehrmals je drei Quadrate gefunden, von denen zwei zusammen das dritte ergaben; und 2. rationale rechtwinklige Dreiecke entdeckt, die sich aus den Seiten eben jener Quadrate bilden liessen. Und dabei hat sich ihnen die geometrische Wahrheit, die sie zunächst nur an 1 Falle bemerkt hatten, durch

die Häufung der Fälle als allgemeingültig enthüllt: „Die Diagonale eines Rechtecks bringt beides hervor, was die längere und die kürzere Seite desselben, jede für sich, hervorbringen.* Mit der Quelle dieses Satzes, der nach Ap. Sulb. S. III, 9 gezeichneten Figur, lässt sich sehr leicht auch der wichtigste übrige Bestand der ältesten indischen Geometrie in Zusammenhang bringen. Nach $ 1 besteht schon in sehr früher Zeit eine der wichtigsten Anwendungen jenes indischen Satzes in der Lösung der Aufgabe, Quadrate so zu addieren oder zu subtrahieren, dass die Summe oder der Rest wieder in Quadratform erscheint. Die Beobachtung, dass dieses Problem wenigstens in gewissen Fällen lösbar sei, konnte man schon machen, als man bei der Vergrösserung von Quadraten (Ap. Sulb. 8. III, 9) wiederholt fand, dass zwei kleinere Quadrate zusammen ein grósseres ergaben. An Ap. Sulb. 8. INI, 9 werden wir aber noch mehr erinnert, wenn wir die Figur (Nr. 27) für die Verwandlung eines Rechteckes in ein Quadrat (Ap. Sulb. S, IL, 7) mit derjenigen (Nr. 28) für die Vergrösserung eines Quadrates vergleichen 1). I | E TH N » Fig. 97. e Fig.28 (Fig. 16). e ® Fig. 29. In diesem Zusammenhang will ich, obwohl ich mich hier nur mit der ältesten indischen Geometrie befasse, doch ausnahmsweise noch erwähnen, dass die Kommentatoren, welche Vertreter der späteren indischen Mathematik sind*), für die Verwandlung eines Quadrates (ABCD in Fig. 29) in ein Rechteck (EFCG) ein Verfahren beschreiben, (s. Ap. Sulb. S. III, 1, Anm. 2), das.die Fig. 29 ergiebt, in der wir ebenfalls die Fig. 28, wenn auch verallgemeinert®), wiedererkennen dürfen. — Wann die ersten Anfänge gemacht wurden, welche die Inder zur Entdeckung rationaler rechtwinkliger Dreiecke und zugleich 1) Vgl. Cantor, a. a, O., 8.545, Fig. 76 (2. Aufl. S, 600, Fig. 83). 2) Thibaut, JASB., 272 oben. 3) Vgl. Cantor, a. a. O., 8. 137, Fig. 20 (2. Aufl. 8, 151, Fig. 21).

des Satzes vom Quadrat über der Diagonale des Rechteckes geführt haben, weiss ich nicht zu sagen; mit aller Bestimmtheit aber kann ich angeben, wann die Entwicklung spätestens abgeschlossen war. Haben wir doch in § 2, II gefunden, dass das rationale rechtwinklige Dreieck 15, 36, 39, welches ja am Ende der Entwicklungsreihe steht, spätestens zur Zeit der Taitt. S. und des Sat. Br. (d. h. im 8. Jahrhundert vor Chr.) in Indien bekannt war. So alt ist also (um von den anderen, in $ 2, I auseinandergesetzten Gründen hier abzusehen) auch der Satz vom Quadrat der Hypotenuse. Und so sind wir, wenn auch auf anderem Wege, doch wie Cantor zu dem Ergebnisse gelangt, dass da, wo das rechtwinklige Dreieck 15, 86, 39 sich findet, auch der Satz vom Quadrat der Hypotenuse bekannt gewesen sein muss. Darum kann ich nicht umhin, hier nochmals auf das am Schluss von $ 2 gegebene Citat aus Cantor zu verweisen. III. Daraus, dass der Satz vom Quadrat der Hypotenuse nebst seinen wichtigsten Anwendungen spätestens im 8. Jahrhundert vor Chr. in Indien bekannt war und z. B. das Apastamba-Sulba-Sútra nicht später als im 5. oder 4. vorchristlichen Jahrhundert abgefasst wurde, ergiebt sich die Notwendigkeit, strenge zwischen der ältesten und der späteren indischen Geometrie zu unterscheiden. Darum ist es verfehlt, wenn Cantor von den Sulbasütra’s sagt: „Ist also die Zeit, um welche es sich hier handelt, wesentlich höher als die der Aryabhata [geboren 476 nach Chr.] und Brahmagupta [geb. 598 nach Chr.], so reicht sie immer nicht so weit hinauf, um uns zu gestatten, geschweige denn zu nötigen, von einer altindischen Geometrie zu reden“ (Cantor, a. a. O., S. 541; 2. Aufl. S. 596). — Was nun die Frage nach der Herkunft der späteren indischen Geometrie betrifft, so muss ich mich vorerst eines Urteiles hierüber noch enthalten. Doch möchte ich darauf hinweisen, dass Hankel, welcher (weil schon 1878 gestorben) die Sulbasutra's noch nicht kannte, von der späteren indischen Geometrie sagt: „Überhaupt giebt es bisher keine Anzeichen, welche die Vermutung, dass die Inder in ihrer Geometrie nicht selbständig, sondern von den Griechen abhängig seien, rechtfertigen könnten“ (Hankel, a. a. O., 8. 219). Auch Thibaut hat, ohne jedoch eine endgültige Entscheidung treffen zu wollen, eine Reihe von Gründen beigebracht '), welche für die Unabhängigkeit auch der späteren indischen Geometrie sprechen. — Wie es sich mit der späteren indischen see aber auch verhalten. möge: soweit Cantor's Hypothese die Sulbasütra’s betrifft, ist sie sicher ein Irrtum. Derselbe ist freilich, „hauptsächlich eben infolge der grossen Autorität Cantor's“ 1), heutzutage weit verbreitet. Darum will ich die Cantorsche Argumentation, die zu diesem Resultate geführt hat, wenigstens in 1 Falle noch näher beleuchten. Es handelt sich um einen sehr merkwürdigen Beweis, wonach die 1) Thibaut, Grundriss der ind.-ar. Philol., III, Bd,, 9. Heft, 8. 77f,

Inder unter anderem den Satz vom Quadrat der Hypotenuse nicht selbst gefunden haben kinnen?)! — Obwohl Cantor, a. a. O., 8. 589 (2. Aufl. 8.594) gelegentlich der Erwähnung von Narayana und von Ganëéa (dieser schrieb um 1545 nach Chr.) die sehr richtige Bemerkung macht: „Das: sind freilich recht späte Daten, aus welchen auch nur Vermutungen auf eine ältere Zeit sich nicht stützen lassen‘, steht doch einige Blätter weiter unten: Daraus, dass (wie wir gerne zugeben) der Pythagoreischo Lehrsatz mit den „Beweisen“ des Bhäskara (geboren 1114 nach Chr.) nicht ge funden sein könne, folge, dass die Inder diesen Satz von den Griechen entlehnt haben! Cantor sagt nämlich (a. a. O., 8. 558; 2. Aufl. 8. 614f), für Geometer wie Bhäskara und seinen Kommentator Ganééa sei charakteristisch: „Rechnen in nahezu unbegrenzter Möglichkeit oder Anschauen, darüber kommen sie nicht hinaus, Das Eine wie das Andere ist zum Beweise schon bekannter Sätze gleich gut anzuwenden, die Rechnung ist; strenger, die Berufung auf unmittelbare Anschauung®) vielfach überzeugender. Aber kann Letztere zur Erfindung neuer Sätze führen? [1] Kann es Erstere, wenn nicht eine gewisse Summe geometrischer Sätze als Ausgangspunkt vorhanden ist, unter welchen der pythagoräische Lehrsatz einer der wichtigsten ist? Kann der pythagoräische Lehrsatz®) gefunden worden sein von einem Beweise ausgehend wie die beiden durch Bhäskara [geboren 1114 nach Chr.!] uns überlieferten? Wir denken, dass diesen Fragen die verneinende Antwort nicht fehlen wird. Dann aber kommen wir immer und immer zu dem gleichen Schlusse: Geometrisches in ziemlich bedeutender Menge tritt verwandter Art, vielfach sogar in voller Übereinstimmung in Alexandria und in Indien auf, In Alexandria können wir es mit Bestimmtheit in einer zum Teil sehr viel früheren Zeit nachweisen als dieses in Indien möglich ist[!] In Alexandria haben wir es als Frucht organischer Entwicklung reifen sehen, in Indien ist die Entstehungsweise mehr als ritselhaft[!]. Folglich muss eine Übertragung von Alexandria nach Indien angenommen werden [']*. An einer anderen Stelle sagt Cantor, es sei nicht anzunehmen, „dass der umgekehrte Weg der Beeinflussung stattfand, für welchen sonst ein entsprechend 1) Bei dieser Gelegenheit möchte ich auch bemerken, dass Cantor's abfülliges Urteil über die geometrische Begabung der Inder sehr der Einsch: bedarf. Ein wesentlicher Teil der geometrischen Begabung besteht ja darin, dass man durch anhaltende Betrachtung einer Figur ihre Eigenschaften und die Relationen ihrer Teile herauszufinden vermag. Und diese Fähigkeit haben die Inder unstreitig in hohem Grade besessen, Dagegen sind sie allerdings nicht dazu gelangt, wie die Griechen mit der geometrischen Anschauung ein anderes, dieser fremdes Element — logische Deduktion, und Systematik — konsequent zu verbinden. Aber auch durch Anschauung allein konnte schon eine nicht geringe Zahl wichtiger geometrischer Wahrheiten gefunden werden, Ja, die ältesten Entdeckungen und die ersten Schritte in der Geometrie können nur an der Hand der Anschauung gemacht worden sein. 2) Sicho pag. 561 Anm. 2.

früheres Datum, d. h. die Zeit vor dem Jahre 100 vor Chr. anzusetzen wire“ (Cantor, a. a. O., S. 548; 2. Aufl. 8. 604). — Dass die Inder ihre älteste Geometrie selbständig entwickelt haben, will ich zum Überflusse jetzt noch durch die Thatsache erhirten, dass der Satz vom Quadrat der Hypotenuse und rationale rechtwinklige Dreiecke bei keinem Volke so früh nachgewiesen werden können wie bei den Indern. Den alten Babyloniern kann höchstens die Kenntnis des rechtwinkligen Dreiecks 3, 4, 5 — und zwar nur vermutungsweise — zugeschrieben werden (Cantor, a. a. O., 8. 92f.; 2. Aufl. 8. 102f). Dagegen gilt als Entdecker des Satzes vom Quadrat der Hypotenuse, der den Indern spätestens im 8. vorchristlichen Jahrhundert bekannt war, auch der vielgereiste Pythagoras!), der etwa 580—500 lebte. 1) Es ist nicht uninteressant, hier auch die übrigen Übereinstimmungen zwischen der ältesten indischen Geometrie und dem mathematischen Wissen, das man dem Pythagoras zuschreibt, noch anzuführen. 2, Die Inder haben (vgl. S. 557 Arm. 1) im Anschluss an ihren 1. Unterfall für dio dvikarant (= V 9 einen Niherungswert (den savisäsa) aufgestellt — offenbar, nachdem sie zuvor das Irrationale entdeckt hatten. Auch Pythagoras wird als Entdecker des Irrationalen bezeichnet (vgl. Cantor, a. a, O., S. 130. 154; 2. Auf. 8. 142. 169). 8. Bei der nach Ap. Sulb, 8. III, 9 gezeichneten Figur, die, wie wir sahen, bei der Entdeckung des Satzes vom Quadrat der Hypotenuse eine so wichtige Rolle spielte, haben wir ein Flächenstück kennen gelernt, das bei den Griechen Gnomon heisst. Dieser Gnomon tritt uns ausserdem in der nach den Sulbasütra’s (2. B. Ap. Sulb. S. II, 7) gezeichneten Figur für die Verwandlung eines Rechtecks in ein Quadrat (s. Fig, 27 und S, 572 Anm. 1) sehr deutlich entgegen. — Damit ist zu vergleichen, was Cantor, a. a..0., 8. 136 (2. Aufl. 8. 150) in seinem von Pythagoras und den Pythagoreern handelnden Kapitel sagt: „Guomon war das, was von einem Quadrat übrig blieb, wenn aus dessen einer Ecko ein kleineres Quadrat herausgeschnitten wurde. Diese Bedeutung des Wortes war bei den Pythagoräern gang und gebe,“ — Das mathematische Wissen, das sich so übereinstimmend zuerst bei den Indern und später auch bei Pythagoras, bezw. den Pythagoreern, findet, könnte seiner Natur nach sehr wohl auf beiden Seiten selbständig gefunden worden sein. Durch die aufgeführten Ubereinstimmungen würde ich mich also nicht für berechtigt halten, an einen historischen Zusammenhang zwischen Pythagoras und den Indern auch nur zu denken — wenn sich bei den Griechen Grundlagen aufzeigen liessen, auf denen Pythagoras hätte woiterbanen können; wenn sich nicht Pythagoras nach allgemeiner Überzengung orientalische Weisheit angeeignet hätte; wenn nicht zu jenen Übereinstimmungen auf mathematischem Gebiete auffallende weitere hinzukämen; wenn sich nicht auch die (den Agyptern unbekannte) Lehre von der Seelenwanderung, das Verbot des Bohnenessens u, a. früher in Indien als bei Pythagoras nachweisen liesse, Den für diese ganze Frage sich interessierenden Leser verweise ich auf L. v. Schroeder's Schrift „Pythagoras und die Inder“ und auf Garbe, Sämkhya-Philosophie, $. 90—96. ‘Wer sich angesichts der zahlreichen und zum Teil sehr merkwürdigen Übereinstimmungen zwischen Pythagoras und den Indern mit mir dem Eindruck nicht entziehen kann, dass man hier entweder „einen wunderbaren Fall der prästabilierten Harmonie“ *) anerkennen, oder aber den Pythagoras als von den *) Diesen Ausdruck entnohme ich Windisch, Verh, des Oriental.-Kongr. 1881, II. Teil, 2. Hälfte, 8. 17. Ba, LY. 5. internat,

Was ferner die Ägypter betrifft, so vermutet Cantor, indem er sich auf die Beschreibung der am 23. Aug. 237 vor Chr. stattgefundenen Grundsteinlegung des Tempels zu Edfu stitzt1), die Ägypter hätten hierbei das rechtwinklige Dreieck 3, 4, 5 verwendet; ja, Cantor versucht sogar eine nähere Beschreibung des Verfahrens zu geben, die freilich, da die ägyptischen Quellen sehr wenig Anhaltspunkte dafür bieten, fast ganz mit den Mitteln der Sulbasutra’s bestritten ist?) (Cantor, a. a. O., 8. 56f; 8. 59£ 2. Aufl. S. 64f.; S. 67£). Dass Cantor den alten Agyptern die Kenntnis des Satzes vom Quadrat der Hypotenuse nicht zuschreibt, geht: daraus hervor, dass er Pythagoras für den Entdecker dieses Satzes hält, trotzdem er glaubt, derselbe sei in Ägypten gewesen und habe dort Anregungen empfangen (Cantor, a. a. O., 8. 126 ff; 2. Aufl. 8. 188 ff). Bei den Chinesen endlich ist der Satz vom Quadrat der Hypotenuse zuerst im I. Teil des Tcheou pei überliefert (Cantor, a. a. O., S. 579ff.; 2. Aufl. 8. 685). Nach Cantor weist der Inhalt dieses I. Teiles, der nicht genau datiert werden kann, aber wohl um den Beginn unserer Zeitrechnung entstand, auf Entlehnung aus Indien, Hankel, dem (wie schon bemerkt) die Sulbasütra’s noch nicht bekannt waren, hatte im L Teil des Tcheou pei das älteste Denkmal der Geometrie gesehen. Dies sind aber vielmehr die Sulbasutra’s; von ihnen gilt also mit Recht, was Hankel irrtümlich von jenem chinesischen Werke gerühmt hatte: In keiner anderen Litteratur ist uns aus so früber Periode der Geometrie ein Denkmal aufbewahrt worden, und so verdienen wohl die Sulbasútra's eine besondere Beachtung als Typen jener ersten naiven Stufe, auf die wir, an eine so ganz andere Art des Denkens gewöhnt, uns ohne solche Dokumente nicht zu versetzen vermöchten 5). $4 Die Handschriften. Bei der Feststellung des Textes des Ap. Sulb. 8. sind folgende Handschriften benützt worden: nia; 1. D; die Beschreibung s. bei Garbe, Ap. Sr. S., Vol. I, Preface. (Ich benützte das Ms. D nicht direkt, sondern in einer von Prof. Indern abhängig betrachten müsse, — für den würde feststohen, dass die Menschheit auf mathematischem Gebiete nicht nur die Ziffern und das dezimate Stellensystem, nicht nur reiche (durch die Araber vermittelte) Förderung in Arithmetik und Algebra, sondern auch eines der wichtigsten Theoreme der Geometrie, den sogenannten pythagoreischen Lebrsatz (samt vielem, was auf ihm beruht) unsern Stammverwandten am Ganges. verdankt. 1) Cantor, Gräko-indische Studien, 8, 19 (Zeitschrift für Math, und Phys, XXII, histor.-litterar. Abt). 2) So ist es zu verstehen, wenn Cantor S. 56, 2. Aufl. $, 64, etwas undeutlich von einem „Annlogieschluss“ spricht, dessen „Ausführung“ er „auf einige ziemlich späte Kapitel“ seines L Bandes verschieben müsse. 3) Vgl. Hankel, a. a, 0., 8. 83.

Garbe schon früher gemachten und mir gestellten Abschrift.) A gütigst 577 zur Verfiigung 2. S; siehe hierüber Garbe, Ap. Sr. S., Vol. III, Preface. 8. Gr.: eine der India Office Library in London gehörige Grantha-Handschrift (20 Palmblätter; 4 Linien auf einer Seite); Burnell, Catalogue of a Collection of Sanscrit Manuscripts, Nr. LXXVIIL An Kommentaren!) (samt Text) standen mir zur Verfügung: 1. der Kommentar des Sundararäja; 86 Blätter in europäischer Buchform. 2. der Kommentar des Karavindasvamin, und zwar in zwei Manuskripten; Karay. I: 69 Blätter in europäischer Buchform; Karav. II: 84 Blätter in indischem Format. — Die 8 bisher genannten Kommentar-Handschriften gehören Herrn Dr. Thibaut, Principal, Muir Central College in Allahabad, der sie mir gütigst zur leihweisen Benützung zugesandt hat. Hierfür, sowie für die reiche Belehrung, die ich aus seiner Abhandlung?) „On the Sulvasútras* (JASB. XLIV, 8. 227 ff) und aus seiner Ausgabe und Übersetzung des Bäudh. Sulb. 8. (Pandit IX ff.) schöpfen durfte, möchte ich Herrn Dr. Thibaut hiermit auch öffentlich meinen wärmsten Dank aussprechen. 3. der Kommentar des Kapardisvämin, den ich in einer Kopie des dem Sanskrit College zu Benares gehörigen Manuskripts benützte. Herrn A. Venis, Principal, Sanskrit College in Benares, der die Freundlichkeit hatte, diese Abschrift für mich anfertigen zu lassen, sage ich hierfür besten Dank. — Es ist mir Bedürfnis, an dieser Stelle auch meinen hochverehrten Lehrern, Herrn Prof. Garbe, dem ich für die Anregung zu dieser Arbeit und für freundliche Beratung, und Herrn Geheimrat Windisch, dem ich für den Druck des Ap. dub. 8. verpflichtet bin, meinen herzlichsten Dank öffentlich auszusprechen. 1) Bei der Abteilung des Textes in Paragraphen konnte den Kommentatoren, die hierin selten übereinstimmen, nur hier und da ganz gefolgt werden. 2) Dr. Thibaut hat in seinen Auszug aus den verschiedenen Sulbasiitra’s von den 21 Kapiteln des Ap. Sulb. S. im ganzen etwa 6 aufgenommen, Ich habe es in den Noten zu der Übersetzung jedesmal bemerkt, wenn sich ein Sütra des Apastamba, ganz oder teilweise, in Dr. Thibauts Abhandlung „On the Sulvasütras“ findet.

I. Text. Sriganésaya namah! prathamah patalah. Kap. I 1. vihärayögän vyäkhyäsyämah. 2. yävadayämam pramanam, tadardham abhyasyä, ‘parasmims trtiyé sadbhagoné laksanam karöti. prsthyantayor antáu niyamya, laksanëna daksina "päyamya, nimittam karöty. évam uttaratd. viparyasy8 'taratah. sa samädhis. tannimitto nirhräso vivrddhir ya. 3. !)äyämam va 'bhyasyá, ‘gantucaturtham Syamas ca "ksnayarajjus, tiryahmäni $855?). vyakhyatam viharanam ?). 1) D beginnt mit: atha yögantaram, was wegen des folgenden va überflüssig ist, — 2) . . . 2) fehlt in D. 4. dirghasy&ä!) “kgnayarajjuh, pärévamänt tiryahmänı!) ca yat prthagbhuté kurutas, tad ubhayam karoti. tabhir jfi&yabhir uktam am. 1)... 1) fehlt in D. 5. caturasrasya!) ‘ksnayarajjur dvistavatim bhümim karoti. samasya dvikarani. 1) D: caturasrasyä; so auch überall im folgenden. 6. pramänam trtiyóna vardhayét tac ca caturthénî "tmacatustrim$0nana. saviéësah. 7. atha ‘param. pramänamätrim rajjum ubhayatahpasam karóti, madhyé laksanam ardhamadhyayö$ ca. prsthyiyam rajjum ayamya, päsayôr laksanësv iti éañkün nihanty. upintyayoh pasiu pratimucya, madhyaména laksanéna daksina 'payamya, nimittam karoti. madhyame pä$äu pratimucyó, 'paryupari nimittam madhyaména laksanéna daksina ‘piyamya, éañkum nihanti. tasmin pasam pratimucya, pürvasminn itaram, madhyaména laksanéna daksinam amsam ayacched. unmucya pürvasmäd, aparasmin pratimucya, madhyaménai ‘va laksapena daksinam érônim ayacched. evam uttaräu $rópyamsin. Kap. II. 1. atha ‘paro yogah. prsthyantayor madhyé ca éañkün1} nihatyä, ’rdh tadvisésam abhyasya, laksanam krtva, ‘rdbam ägamayed. antayoh ?) pasan krtva, madhyamé savisésam pratimucya, purvasminn itaram, laksanéna daksinam amsam @yacchéd. unmucya pürvasmad, aparasmin pratimucya, laksanënäi ‘va daksinäm érônim ayacched. èvam uttarau $rönyamsäu. ‘1) 8: éañkum. — 2) D: antyayoh. . 2. pramänam tiryag, dvikarany Syamas. tasyä ’ksnayärajjus trikarani. 3. trtiyakarany etana vyakhy vibhägas tu navadha.

4. tulyayos caturasraydr uktah samaso. nänäpramanayoé eaturasrayöh samäso: hrasiyasah karanyä varsiyaso vrdhram +) ullikhed. vrdhrasyä 'ksnayárajjur ubh® samasyati. tad uktam. 1) D: erddham; vel. JASB., 248. 244; Bäudh. Sulb, 8. I, 50 (Pand. X, $. 17. 18; hier giebt Thibaut eine ausführliche Begründung der Lesart vrdhram). 5. caturagrac caturasram nirjihirsan, yävan nirjihirset, tasya vrdhrasya parsvamanim karanys vargiyaso vrdhram ullikhed. akgnayé ‘tarat parsvam upasamharet. sä yatra nipatet, tad apacchindyac. chinnayä nirastam. 6. upasamhrtä 'kspayárajjub. sá catuskarani. chinnî co ‘tara ca yat prthagbhuté kurutas, tad ubhayam karöti. tiryahmänı purusam, $6sas trims. tad uktam. 7. dirghacaturasram samacaturaéram cikirsan, tiryahmänyä ’pacchidya, 6ösam vibhajyo, *bhayata upadadhyat. khandam agantuna sampUrayét, tasya nirhära!) uktah. 1) So Sund., Karav,, Büudh, Sulb. S. I, 54. Da mit tasya nirhära uktal auf den vorausgegangenen $ 5 verwiesen wird, wo es... nirjihirsan heisst, so lese ich nirhara gegen D, S, Kapard. und JASB., Seite 245, die nirhrasa haben. Kap. II. 1. samacaturasram dirghacaturaéram eikirsan, yavac cikirsët, tavatim parévamanim krtva, yad adhikam syat, tad yathayogam upadadhyat. 2. caturagram mandalam eikirgan!) madhyat kotyam nipatayét; pärsvatah parikrsya, ‘tisayatrtryena saha mandalam parilikhet. sa nitya mandala). yavad dhiyate, tavad ägantu. $, . 1) fehlt in 1).. 8. mandalam caturaéram ciktrsan, viskambham paficadasa bhagan krtva, dvav uddharet; trayodasa 'vasisyante, sá nitya caturaéram. 4. pramanéna pramagam vidhiyate. 5. caturagram adesad anyat. 6. dvabhyam catväri, tribhir nava. . 7. yavatpramana rajjus, tavatastavato!) vargän karöli. tatho "palabähih. 1) 8 nur tavato. 8. adhyardhapurus& rajjur dvau sapadiu karôty, ardhatrtiyapuruga sat sapadan. 9. atha "tyantapradesö'). yävatäyävatä®) ‘dhikéna parilikhati, tat parévayor upadadhäti; yac ca téna caturaéram kriyate, tat kötyäm. 1) D hat filschlich atha 'tyantam prúd2s0. Die Stelle athii 'tyantapradisal findet sich auch Ap. Sr. 8, XV, 2, 8. — 2) D nur yavata, 10. ardhapramanéna pädapramänam vidhiyate, 'rdhasya dvipramanayah padaptranatvat; trtiyéna navami kala.

Bürk, Das Apastamba-Sulba-Sütra. dvitiyah patalah. Kap. IV. 1. ägnyädheyiks'!) viharé gärhapatyähavanıyaydr antaralé vijiayate: ‘stasu prakramésu biahmano ‘gnim ädadhitäi, ’Ladasasu rajanyo, dvadasasu väisyah. 1) D: agny®. 2. caturviméatyam, aparimits, yavata vá cakgugá manyaté, tasmán na 'tiduram adhéya*) iti sarvesam avistsena $ruyate. 1) Gr.: ädhäya. — Vgl. auch Ap. Sr. 8, V, 4, 4 3. daksinatahpurastad vitrtiyadess gärhapatyasya >nadiyasi daksinagner vijiiayate. 4. garhapatyahavaniyayór antarälam pañcadhñ saddha* va sambhujya, sastham saptamam va bhägam upasamasya *), 'gantusamam ?) traidham vibhajya, ‘parasmims trtiyé laksanam kytva, garhapatyahavaniyayor antäu niyamya, laksanéna daksina 'payamya, nimittam karôti. tad daksinägner äyatanam Srutisämarthyät, 1) saddhä bei Kapard., BL 8,b (vel. p. w.. wo ausserdem noch die Form saddhä verzeichnet ist); alle MSS, haben satdha, ebenso Sand. (BI. 6,8); auch Karay, hat gatdha im Sütra, dagegen im Kommentar dazu godha (Karav. I: BI, 18,0). 2)...2) Alle MSS, und Kommentare (und Bäudh. Sulb. 8. 1, 68) haben hier: „agantum upasamasya, samam." Gleichwohl halte ich die oben gegebene Korrektur fiir notwendig. Dass die Teile gleich werden sollen, versteht sich für den Stitra- Verfasser sonst von selbst; siehe z. B. unmittelbar vorher pañcadha gaddha va sambhujya; ferner II, 3: pañeadaéa Vhagin krtvî; und so noch öfter. Vergleichen wir nun mit unser ~ Stelle Baadh. Sulb. 8. 1, 69 (Paud. X, 44): apiva pramänam pañcambn ‚haydt, tat sarvam pai a sambhujya ...; und ferner die Erkliruug des Sund. (BL 6, a): samam sarvän: schrieben. so liegt es nahe Dabei upasamasya, anzunehmen, würde jedoch samam sei ein Bedenken übrig aus sarvam verbleiben: &gantum „man füge als Verlängerung hinzu“, ist ein Pleonasmus, der zu dem konzisen Sütra-Stil sehr wenig passt, Ich glaube daher, dass KutyKyana-Parisista I, 27 (Pand., New Series, vol. IV, p. 336): .. . agantusamam trédha vibhajya .. ., den richtigeren Weg zur Verbesserung unserer Stelle weist: es ist, lediglich mit einer Änderung der Reihenfolge der Wörter, upasamasyd ’gantusamam . ‚u lesen. 5. yajamanamatri pracy, aparimità va yathä 'sannáni havimsi sambhavéd. évam tiraget'). praficiu vedyamsáv unnayati, pratici $roni. purastad amhiyasi, pascat prathiyasi, madhyé samnatatarai. "vam iva hi yöge. “ti dársikya veder vijhäyate, 1) D: firasei, — Vgl. auch den Kommentar zu Báudh. Sulb, 8. 1, 75 (Pand. X, 45). E 6. aparéna 'havaniyam yajamanamatram dirghacaturagram vihrtya, tavatim rajjum abhyasya, madhyé laksanam krtvä, daksinayoh érônyamsayôr antau niyamya, laksanéna daksin& 'payamya, nimittam karoti. nimittè rajjum niyamyä, ’ntäu samasya, daksinayai sroner daksinam amsam alikhéd. ¿vam uttaratas. tiryahmanım dvigunam tatha kytva, pascat purastac co 'palikhad!). vimitayam purastät pärsvamänyäv upasamharéc chruti rthyät. 1) So D, Gr. und die Kommentare: 'parilikhäd.

Kap. V. 1. trimsat padäni prakrama va pascat tiraset bhavati, sattriméat pract, caturvimsatih purastat tirascl. “ti säumikyä veder vijnayate. 2. sattrimsikayam astädasö ‘pasamasya, ‘parasmad antad dvädasasu laksanam, paücadaxasut) laksanam'). pysthyantayor antau niyamya, paücadasiköna *) daksina 'payamya, sahkum nihanty. évam uttaratas. té $röni, viparyasya 'msäu. paficadasikenai ‘va 'payamya?), dvadagike Sankum nihanty. ¿vam uttaratas. tiv amsau. tad tkarajjva vibaranam. 1)... 1) und 2)... 2) fehlt in D. — Vgl. auch JASB., 285, 8. trikacatuskayoh pañcika "ksnayärajjus; täbhis trirabhyastabhir aupsáu, caturabhyastabhih éroni, 4, dvadasikapaicikayos trayodasika "ksnayarajjus; tabhir amsau, dvirabhyastabhih érônt. 5. pañicadasikastikayoh saptadasika 'kspayarajjus; täbhih Srdni. dvadasikapaiicatrimsikayoh saptatrimsika ‘ksnayarajjus; tabhir amsäu. 6. etavanti jñcyani vediviharagäni bhavanti. 7. astäviméatyo ‘nam padasahasram mahävedir. daksinasmad amsad dvadasasu daksinasyam sronyam nipatayéc. chédam viparyasy& *tarata!) upadadhyat. sa dirghacatura$ri. tathayuktim sameaksita. 1) So Gr., Sund., Karav., Kapard.; D verstümmelt: tara; 8: “sya Harata, 8. säumikya véditrtiye yajete ‘ti säuträmanya vijnäyate. prakramasya trtiyakaranî prakramasthaniya bhavati. trikaranya va; *stikadasike tiryanmänyäu, dvadasika pysthya. 9. trini caturvimsani padasatani siutramanikt vedi). 10. dvistava') vedir bhavatı “ty asvamedhe vijiayate. 1) Gr: dvistivan, — Val, Ap. Sr. S. XX, 9, 1. Kap. VI. 1. prakramasya dvikaragi prakramasthäniyä bhavati. 2, prakramö dvipadas tripadò vá; prakramé yathakami, sabdarthasya visayitvad. yajamanasya 'dhvaryór vai; ‘sa hi cestänam karta bhavati. 3. rathamätrı nirüdhapasubandhasya vedir bhavati ‘ti vijhay tatra khaly ahi: rathäksamätrı paseät tiryag, Isayá proci, yugena purastäd, yavatî va!) bahyé chidre. 1) fehlt in D, — Vgl. auch Ap. Sr. 8. VII, 3,8. 4. tad Ekarajjvo 'ktam. pañcadasikenai 'ya ‘payamya, ’rdhäkséyá "rdhayugéné ‘ti sronyamsin nirharët. 5. atha "py udaharanty: astasitisatam 18, tiryag aksas catubsatun. sadasîtir yugam ca ‘sya, sa!) rathas carana *)ucyata. iti rathaparimänam. 1) 84 steht bei S, Sund. (Bl. 9, a). Karav. (Ko I: Bl. 24, a), Kapard. (BI. 13, a), fehlt dagegen in D und Gr. — 2) Gr.: corne.

6. aratnibhir va caturbhih paseat, sadbhih präei, tribhih purastat. tad èkarajjvo ’ktam. paficadagikéndi ‘va 'päyamya, dvabhyam adhyardhéné ‘ti $ronyamsîin nirharét. ‘ti paitrkya veder %. yajamanamatri, catubsraktir bhavati vijiayaté. tad ckarajjvo ‘ktam. pañcadasikenäi ‘va ‘payamya, ’rdhena tatah Srönyamsän!) nirharet!). 1)... 1) fehlt in 8. 8. dasapado!) ’ttaravedir bhavatı "ti sóme vijfiayaté. tad @karajjvo ’ktam. pañcadasikenai "va ‘payamya, 'rdhéna tatah?) $rönyamsän nirharët. 1)... 1) fehlt in $. 9. tam yugena yajamánasya va padair vimaya, Samyayä parimimite. 10. pad, yugs, 'ratnäv, iyati, Samyäyäm ca mänärthegu yathakami, Sabdarthasya visayitvät. 11. vimitayam purastat pärsvamänyav upasambarée chrutisämarthyät. Kap. VIL 1. navaratni tiryak, saptaviméatir udag äyatam iti sadasd vijnayate. 2. astadase "ty ckesam. 3. tad ekarajjvo 'ktam. paficadasikénai "va ‘piyamya, ‘rdhapañcamäih?) $rönyamsän nirharét. 1) So Karav. (K. 1: BI. 26, a) im Sütra, u. im Kommentar dazu: ardhapañcamésu . .. laksanam krtvä. (Der Plur. von ardhapancama findet sich auch in Apastamba’s Dharmasiitra 1, 9, 3.) Dagegen D: ardhapancakai; Gr.: *pañcami; $: ardhapaficam?; u. Sund. (BL 10, a): ardhapañcamäina, 4. pradesamukhál, pradesantarala bhavanti ‘ty uparavapam vijñayató. ‘ratnimatram caturasram vibrtya, sraktisu Saikun nihatya, *rdhapradeséna tamtam parilikhée chrotisimarthyát. 5. vyayamamatri bhavati ‘ti garhapatyaciter vijiayate. 6. caturasré ‘ty &kesäm, parimandalé ‘ty skésam. 7. karanam vyayamasya trtiyayamaip, saptamavyasam ') karayet. 1) So Sund, (ll, 11, a); D: saptavy@sam, 8 u. Gr., sowie Karav. (K. 1: Bl, 28, a): saptamam vyasam. 8. ta ekavimsatir bhavanti. 9. pragayamah prathamé prastaré, ‘parasminn udagayamah. 10. mandalayam mydo deham krtva, madhyé Sankum nihatya, 'rdhavyäyämena saha maudalam parilikhet. tasmims caturasram avadadhyad, yavat sambhavét. tam navadhä vyavalikhya, traidham ékaikam pradhikam vibhajet. 11. upadhané caturasrasya ‘vantaradésin prati sraktih sampadayén, madhyani!) ‘tarasmin*) prastaré. vyatyasam yavatah prastarams cikirsét. 1) D: madhyani tasmin. — Vgl. auch XUL 3, 12. pisamatra bhavanti ‘ti dhigniyanäın?) vijnayate. 1) Gr.: dhispyinám. cinuyad,

18. caturasrà ity &kesäm, parimandala ity ekesäm. 14. mrdö déhan kytva, ‘gnidhriyam navadhä vyavalikhyai, "kasyah!) sthäns '¿mánam upadadhyät. 1) Du. 8: “aya; Gr.: °sya. — Vgl. Büudh. Sulb, S. II, 74 (Pand. X, 166). 15. yathäsamkhyam itarän vyavalikhya, yathayogam upadadhyättrtiyalı pafalah. Kap. VII. 1. bhavati ’va khalu yá ésa'), yo ‘gnim cinuta iti vijiayate. vayasám va ésa pratimayä ciyata ity äkrticödanä®). pratyaksavidhanad $) va. 1) fehlt in D. — 2) So D, Sund. (Bl. 12, b), Karav. (K. I: Bl. 32, b), Kapard. (Bl. 17, b); dagegen S u. Gr.: “códanat. — 8) So S, Sund., Karav., Kapard.; dagegen D: “vidhad dä, Gr.: ’virödhanäd va. 2. yävadämnätena!) vénuna catura atmani purusän avamimite, purusam daksiné paksé, purusam pucché, purusam uttare, ’ratninä daksinato daksinam paksam pravardhayaty *), ¿vam uttarata uttaram, pradesena vitastya va paécat puccham. 1) So 8; dagegen D u. Gr.: yavadimninéna, — 2) So Karav. (K. I: BI. 38, b), Kapard. (BI. 18, b) u. Ap. Sr. S. XVI, 17, 12; dagegen die MSS.: pravardhayanty. Sund. (BL 18, a): pravardhayäty. 3. ckavidhah prathamd’gnir, dvividho dvitiyas, trividhas trtiyas. ta ¿vam evo ‘dyanty ai ’kasatavidhat. 4. tad u ha vai: saptavidham &va cinvita, saptavidho väva prakyto 'gnis. tata ürdhvam ekottaran iti vijiiayate. 5. ökavidhaprabhytinam na paksapucchäni bhavanti, saptavidbavakyasesatvac chrutivipratisedhac ca, 6. astavidhaprabbrtinam yad anyat saptabhyas, tat saptadha vibhajya pratipurusam avesayéd, akrtivikarasya ‘srutatvat. 7. purugamätrena vimimité. venunä vimimita iti vijiayate. 8. yavan yajamana') ürdhvabähus, tavadantarale venos chidré karóti, madhyé trtiyam. 1) So $. Gr, ferner alle Kommentare und Ap. Sr, 8. XVI, 17, 8; dagegen D: purusa; ebenso Tait. S. 5, 2, 5, 1 und Baudh, Sulb. 8. AI, 13 (Pand. X, 170). 9. aparëna yüpävafadasam anupysthyam venum nidhaya, chidróga Sañkun !) nihatyö, ‘nmucya "paräbhyäm, daksinaprak parilikhed & 'ntät. 1) So der Kommentar zu Bäudlı. Sulb. S. III, 23 (Pand. X, 180). Dagegen S und Gr.: faïkum: in D fehlt das Wort. 10. unmucya pürvasmäd, aparasmin 1) pratimucya, daksinapratyak parilikhed a ‘ntat. 1) fehlt in D. Kap. IX. 1. unmueya venum, madhyamé <ankay antyam venos chidram pratimueyö, ‘paryupari!) lekhasamaram daksina venum nidhäya,

ntye chidre sankum nihatya, tasmin madhyamam venos chidram pratimucya1), lekhantayor itaré pratisthapya, chidrayöh safiku nihanti. sa?) purusas caturasrah, 1)... +1) fehlt in Gr. — 2) fehlt in Gr. 2. evam pradaksinam catura!) atmani purusän avamimite, purusam daksine paksé, purusam pucché, purusam uttaré. È daksinat6*) daksinam ity uktam. ’ratnina 1) So Su. der Kommentar zu Bäudh. Sulb. 8, III, 23 (Pand. X, 186), Dagegen D u, Gr.: caturasra. — Vgl. auch VIII, 2, — 2) fehlt in D. Siehe jedoch VII, 2, 3. prsthyato va purusamatrasya 'kspayávepum nidhäya, purvasminn itaram, tabhyim daksinam amsam nirharéd. $ronî. pürvavad uttaram amsam. viparyasya 4, rajjva vá vimay6, "ttarayödinyäyena venunä vimimità *). 1) Gr.: mimite. 5. sapaksapuechesu vidhabhyasé ['pacay8 ca')] vidhäsaptamakaraniım purusasthaniyam krtva viharét. 1) Ich halte das Eingeklammerte für einen Zusatz und werde die Begründung bei der Übersetzung dieses Sütra geben, 6. karapänı stakanîm puru;asya pañcaména karayét. tasam vai ‘kato 'dhyardhäs; tad dvitiyam. purusasya pañcamó bhaga @katah, pridesa @katas; tat!) tytiyam. sarvatah prädesas; tac caturtham. samacaturasrah pañcadasabhägiyas; tat pañcamam. 1) fehlt in D u. 8. 7. trdhvapramanam istakanam jandh ardhéna näkasadäm padcacodanim ca. pafcamena kärayed; $, yat pacyamananam pretihraseta!), purisena tat sampurayed, aniyataparimägatvät purisasya. 1) So Gr,, Karav. (K. I: Bl, 38, b), Kapard. (Bl, 22, a). D: pratihasét; 8: pratihasita. Kap. X. 1. upadhane 'Ahyardhä data purastät praticir atmany upadadhati, dasa pascät pracih, pañcapañca paksagrayoh paksapyayayos ca visayas; tasam ardhestakamatragi paksayor bhavanti; pañcapañea 1) pucchapirsvayór daksipà udicis ca. 1) S: pañca. 2, pueché pridesam upadhäya, sarvam agnim paficamabhagiyäbhilı praechäduyet. 3. paficadacabhagiyabhih samkbyam pirayet. 4, aparasmin prastärs ‘dhyardha dasa daksinata udıem atmany upadadhati, daso 'ttarato daksina; yathî prathamé prastäre paksau, tatha puccham; yathî4) puccham, tathä paksäu; viparita apyaye. 1) D: tatha. 5. sarvam agnim paicamabhagiyabhih pracchadayét. 6, padcadasabhagiyabhih samkhyam pürayed, vyatyasam cinuyad, yävatah prastäräms cikirsét.

7. ,pañca citayo bhavanti, pañcabhih purTsair abhyuhatı“ ‘ti1). purisanta citir, arthäntaratyät purisasya.. 1) So in 8 u. sämtlichen Kommentaren; dagegon fehlt ati in D u. Gr. 8. jänudaghnam, näbhidaghnam, sihasram!) cinvita dvisäbasram dvitiyam; trtiyam; uttaramuttaram jyayamsam. prathamam äsyadaghnam, cinvand; trisahasram mahäntam, brhantam, aparimitam svargakäma$ cinvité ‘ti vijñayate. 1) fehlt in D. 9.1) dvisähasr® dviprastäräs citayó bhavanti, trisahasr® triprastärä$. caturthaprabbrtisv abaresu nityam istakäparimänam. 1) Dieser $, der sich in $ und den Kommentaren findet, fehlt in D ganz und in Gr. zum Teil. 10.1) vijñäyaté ca: na jyäyämsam citva kantyamsam cinvité ‘ti. 1) Dieser § fehlt in Gr, eaturthah patalah. Kap. XI. 1. caturagrabhir agnim cinuta?) iti vijiayate. samacaturasıa anupapadatyac”) chabdasya. 1) So 8, Gr. und die Kommentare; D: cinvit?, — 2) So 8, Gr. u. dio Kommentare; D: anupadatvie. 2. padamatryd bhavanty. aratnimatry0!) bhavanty. urvasthi[dafür nach Ap. Sr. S. XVI, 13,6 ürvasthi-]-mätryo!) bhavanty. antka-)matryo') bhavanti ‘ti vijñayate. 1) D: °matrò. — 2) „Fehlerhaft“ für anitka; vgl. p. w. letato Nachtriige, — Zur Erklärung des n in anita vgl. Garbe, Gurupújákiumudr, 8. 35 und Wackernagel, Altindische Grammatik, Bd. 1, $ 173; $ 170, b, Anmerkung. 3. caturbhagiya 'nükam!); pañcamabhagiya?) 'ratnis; tathó ’rvasthi; padéstaka pädamätır. 1) Siehe $ 2, Anm, 2. — 2) D: pañca?, 4. tatra yathakami, sabdarthasya visayitvät. 5. upadhäne ‘stavustiu padestakas caturbhagiyanam paksagrayor ‘nidadbyat, samdlıyös ca tadvad atmanam sadangulöpetäh, sronyamsesu ca 'stäu präcıh praticis ca. 6. samdhyantaralé pañcamabhagiyah sapadah.!) 1) D: nur pádal. 7. pucché pradésam upadbaya, sarvam agnim caturbhagtyabhih praechädayst. 8. padéstakabhih samkhyam pürayst. 9. aparasmin prastärë pucchäpyay& paîicamabhagiya ') visayäs; ta atmani caturdasabhih pädair yathäydgam paryupadadhyat. 1) D: paùca?. 10. sarvam agnim pañcamabhägiyäbhih1) pracchädayet. 1) D: pañea?, 11. pädestakäbhih sapkhyam ptrayéd. yavatah prastäräms cikirset. vyatyäsam cinuyad,

Kap. XII. 1. &kavidhaprabhrtinäm karanmam dvadasena trayodasane ‘tr ’stakäh karayét padéstakas ca. vyatyäsam cinuyad, yavatah prastärämé eikirsöt. 2, ekavidhaprabhrtinam prathamaharéna dvitiyana trtiyëne ‘ti yO yujyóta, sarvésim yathäsruti samkhys tathó 'rdhyapramapam. 3. kämyä gunavikärä gunasästratvät. 4. praügacitam cinvita bhratrvyavan iti vijääyate, 5. yavan agnih saratnipradeso, dvistavatim bhümim caturagram krtvä, pürvasyäh karanyá ardhäe chrönı praty älikhöt. sa nitya praügam. 6. karanäni cayanam ity ékavidhôktam. praiiga istakah kärayet. 7. ubhayatahpraügam cinvita, yah kämayeta: pra‘) jatan bhratrvyan nudeya prati!) janisyamanan iti vijfäyate. 1) Siehe Taitt. 8. 5, 4, 11, 2. $. yatha vimukhé éakate. 9. tävad ava dirghacaturasram vibrtya, pirvaparayoh karanyor ardhat tävati daksinöttarayör nipatayét. sa nityd ‘bhayatahpraügam. 10. praügacito ’ktam. ubhayatahpratiga istakah karayet. 11. rathocakracitam cinvita bhrätyvyavän iti vijüäyate, 12. yavan agnih saratnipradesas, tavatim bhümim parimandalam kytva, tasmim$ caturasram avadadhyad, yavat sambhayet, Kap. XIII. 1. tasya karanyñ dvädasens ‘sfakah karayét. 2. täsäm sat pradháv upadhäya, Sesam astadhá vibhajet. 3. upadhäns caturasrasy& ‘vantaradésan prati sraktth sampädayén, madhyán! "tarasmin prastäre. prastäräms cikirsét. vyatyäsam cinuyad, yavatah 4. drönacitam cinvita 'nnakäma iti vijlayate. 5. dvayani tu khalu dröyäni, caturasrani parimandaläni ca. 6. tatra yathakämı sabdarthasya visayitvat. 7. caturasram vá, yasya gunasästram. $. sa caturasrah. 9. pascät tsarur bhayaty anurüpatväye ‘ti vijiayate. 10. sarvasyaé bhumer dasamam tsarus; tasya pucchéna nirhára i uktah. 11. tasya karanya dvadasena ’stakah karayed, adhyardhah padestakas ca. 12. upadbane ‘dbyardhah purastät pratictr ätmany upadadhati, tsarvagré Srönyös ca präcih. 13. sarvam agnim caturasrabhih pracchadayèt. 14. pädestakäbhih samkhyam purayst. 15. aparasmin prastärs 'dhyardhá daksinata udicir atmany upadadhäty, uttaratas ca daksinäs; tsarupärévayôr daksinà udicis ca,

16. sarvam agnim caturasräbhih pracchadayét. 17. padestekabhih samkhyam purayst. 18. vyatyäsam cinuyad, yavatah prastärämé cikirgst. Kap. XIV. 1. samühyam cinvita pasukama iti vijhäyate, 2. samühann ivé ‘staka upadadhäti. 3. diksu catvala bhavanti. tebhyah purisam abhyühatı ‘ti vijllayato. 4, paricäyyam cinvita gramakama iti vijñäyate. 5, madhyamäm svayamatynnam pradaksinam istakaganaih paricinoti. sa paricayyah. 6. upacäyyam cinvita gramakama iti vijnayata. 7. paricayyeno 'ktah.!) 1) So alle Kommentare. — D: ‘kta, S: 'kt2h, Gr.: 'ktam. 8. émaéänacitam cinvita, yah kämayëta: pitrlóka ydhnuyam iti vijnayate. 9. dvayäni tu khalu $ma$änäni, caturaéräni parimandalani ca. 10. tatra yathakami sabdarthasya visayitvät. 11. caturaéram va, yasya gunasastram. 12. sa caturagras!) tsaruvarjam drónacitó?) 'ktah. 1) 808. — D: caturasram, Gr.: caturasrat. — 2) D: drönacitend. 13. chandascitam cinvita pasukama iti vijñäyate. 14, sarvaiég chandobhié einuyäd ity èkam. prakrtair ity aparam. pañcamah patalah. Kap. XV. 1. éyénacitam cinvita suvargakama iti vijñayate. 2. vakrapakso vyastapuccho bhavati. pascat präh udühati, purastat*) pratyan uduhaty.!) evam iva hi vayasim madhy8 paksanirpamo bhavati "ti vijiayata. 1)... 1) fehlt in D; aber XVII, 2 steht es auch in D. 3. yavan agnih säratnipradesah saptavidhah sampadyata, pradesam, caturtham!) atmana$!) caturbhägiyas ca ’stäu. tasam tisrah ira; itarat paksayor vibhajét. 1)... 1) fehlt in D. 4. pañcäratnih purusas, caturaratnir vyayamas, caturvimsaty yo 'ratnis, tadardham pradééa iti k}ptib. 5. ardhadasama aratnayó 'nguli$ ca caturbhagona paksayamab. 6. dvipurusam rajjum ubhayatahpisam karoti, madhyé laksanam. paksasya ’parayoh kôtyôr antáu niyamya, laksanëna pracinam fayacchéd. vam purastat. sa nirpimah. 7. eténd 'tlarah paksó vyakhyatay.

8. atma dvipurussyämo, ‘dhyardhapurusavyasah. 9. pucché ‘rdhapurusavyasam purusam praticinam äyacchet. tasya daksinato “nyam uttaratas ca. täv aksnaya vyavalikhad,!) yaths ’rdhapuruso *pyayé syät. 1) So Kapard., Karav. IL u. Thibaut, JASB., 257. Dagegen D, 8 u. Sund.: alikhéd; Karav. 1: vyalikh?d. 10. sirasy ardhapuruséna caturasram krtvä, pürvasyäh karanya ardhat tävati daksipóttarayór nipätayët. Kap. XVL 1. apyayan prati érônyamsän apacchindyad. ¿vam iva hi $yénal. 2. karanam purusasya pañcamayamam, sasthavyasam kärayed, yathäyôganatam. tat prathamam. 3. ts dvé pracisamhité. tad dvitiyam. 4, prathamasya sadbhägam astamabhagena!) vardhayéd yatha+ yöganatena.?) tat trtiyam. 1) Du. 8: asta”; dagegen JASB., 257: astama”. — 2) So JASB., 257. — Du 8: nata. 5. caturbbagiyadhyardha; tasyas caturbhagiyamatram aksnayä tac caturtham. bhindyat. 6. caturbbägiyärdham pañcamam. 7. tasya 'kspayabhedah sastham. 8. purusasya pañcamabhägam !) daéabhägavyäsam praticmam ayacchet, tasya daksinatd ’nyam uttaratas ca. tiv aksnaya daksinäparayob a alikhet. tat saptamanı. : pañca?. 9. pet anyad; uttaram tu 'ttarasyah kotva alikhet. tad astamam. 10. caturbhagiyakspayobhayatobhedo navamam. 11. upadhäné sastibsastih paksayoh prathama udîcir upadadhyat.!) -1) D: mi”. 12. ten astavastau sasthyas: tisró 'gre, tata kai, tatas tisras, tata ¿kám. 13. pucchapyayé caturthyäu visayé, tayós ca pascat pañcamyäv anikasamhité. Kap. XVII. 1. sese dasa caturthyah, sronyamsesu ci 'stäu prächh praticis ca. 2. sés8 ca sadviméatir, astau sasthyas. catasrah pañcamyah. 3. sirasi caturthyäu visayé, tayô$ ca purastat präcyäu. 4. ésa dvisatah prastärab. 5. aparasmin prastäré pañcapañca!) nirgämayôr dvitiyä, apya-

yayos ca trtiyá ätmänam astabhagópetah; sage paficacatvarim$atpaîicacatväriméat prathamah präcih.1) 1)... 1) fehlt in D. 6. pucchaparsvayoh !) pañcapañca saptamyo, dvitiyäcaturthyös?) ca 'nyataratah pratisamhitäm ékaikam; $858 trayodasa ‘stamyah. 1) fehlt in D. — 2) So Thibaut, JASB., 260. — D u. S: duifiyæ, 7. sronyamsesu ca ’stau caturthyo daksina udicié ca, 6656 ca viméatis, triméat sasthya, 6kam+) pañcamïm.1) 1)... 1) so D'u.S. Dagegen Thibaut, JASB., 260: eka paficami. Wach diese Lesart eine durch „vimsatis“ u. „sagthyati ‘veranlasate, Korrektur sein sollte, so wäre sie unbegründet; denn viméatis u, sasthyas fungieren hier, obwohl sie formell Nominative sind, syntaktisch als Akkusative. Über einige ähnliche Fälle aus dem Ap. Sr. 8. vgl. Garbe, Gurupgjäkkumudt, 8. 36. Ferner finden sich solche zahlreich hier im Ap. Sulb. S. in den unmittelbar vorhergehenden Sütras: XVI, 11: sastilisastis, XVI, 12: sasthyas; XVII, 1: caturthyas; XVII, 2: sadviméatis, sasthyas, pahcamyas; XVII, 6: my as, astamyas; XVI, 1: caturthyas (viméahs, sasthyas s. oben); XVIL 8: navamyas. 8. Sirasi caturthyäu, tayö$ ca purastac catasró navamyah. 9. asa dvisatah prastarah. 10. vyatyasam einuyad, yavatah prastarams cikirgat. sasthah patalah. Kap. XVIII. 1. syénacitam cinvita suvargakäma iti vijhayate. 2. vakrapakso vyastapuccho bhavati. purastat pratyañ udühaty. pascat pri udühati, ¿vam iva hi vayasam madhyé paksanirnamd bhavati ‘ti vijiayate. 3. purusasya sodasibhir viméasatam säratniprädesah saptavidhah sampadyaté. täsäm catvarimsad atmani, tisrah $irasi, pañcadaéa puccha, &katriméad daksins paks® tatho ‘ttaré. 4. adhyardhapurusas tiryag, dvav äyämata; iti dirghacaturasram vihytya, Sronyamsébhyd dvédvé sodasyau nirasy8c;*) catvärimsat parìsisyante. sa atmá. 1) D: vidrsyee. 5. Sirasy ardhapurusóna caturasram krtvä, purvasyah karanya ardhat tavati daksinöttarayor nipatayét; tisrah parisisyanté. tac chirah. 6. purusas tiryag, dváv ayamatah södasabhägas ca daksinah paksas tathó 'ttarah. 7. paksagrépaksagré") purusacaturthéna catväri caturasrani kytva, täny aksnaya vyavalikhya, ‘rdhani nirasyed; ékatrimSat paia 1) So D; dagegen S u, Gr, nur paksagré, 8. paksagram utsrjya, madhyé paksasya pracim lékham alikhet. paksapyayé purusam niyamya, lekhayam purusänte nitôdam!) kur-

yan; nitodat präcinam purusänte?) nitódam. nitodayor nanantav alikhst. tat paksanamanam. éténd "ttarah pakso vyakhyatah. 1)...1) fehlt in D. Kap. XIX. 1. dvipurusam pascad, ardhapurusam purastäc, caturbhagonah puruga ayamo, ‘stidasakaranyau parsvayds; tah pañcadaéa parigyhnanti. tat puccham. 2. södasim eaturbhih parigrhniyad: astamena, tribhir astamaié, caturthéna, caturthasavisegene ‘ti. 3. ardhestakam tribhir: dvabhyam caturthabhyam,") caturthasavigesene ‘ti. 1) fehlt in D. 4, padestakam tribhis: caturthénai “kam, caturthasavisegardhabhyam c& ‘ti. 5. pakséstakam caturbhir: dvabhyam caturthabhyam saptamabhyam?) ce ‘ti. 1) So alle Kommentare; dagegen S u. D: saptabhyäm. 6. pakgamadhyiyam caturbhir: dväbhyäm caturthabhyam dvisaptamäbhyäm ce ‘ti. 7. paksagriyam tribhié: caturthenäi "kam, caturthasaptamabhyam ékam, caturthasavisésasaptamabhyam ca "ti. 8. paksakaranyah saptamam tiryaimani, purusacaturtham ca parsvamini. tasyä “ksnaySrajjva karanam prajrmbhayst, paksanamanyälı saptaména phalakani namayét. 9. upadhänd catasrah padestakah!) purastac chirasy; aparena Sirasó, 'pyayam pañca; purvena paksäpyayav @kadasa, ‘parénai') "kadaga; purvena pucchäpyayam paiica, ‘parëna pañca;?) paficadasa pucchägre. in S. — 2) fehlt in S. 1)...1) fehlt Kap. XX. = a paksagriyah paksagrayoh paksäpyayayos ca vi$aya È 2. ta atmani catasybhiscatasybhih sodasibbir yathäydgam paryupadadhyat.*) 1) 8: upo?. 8. catasrascatasrah paksamadhyiyah paksamadhyayôh. 4. paksestakabhih pracibhih paksäu pracchadayet. 5. avasistam sodasibhih pracchädayëd; antya hähyavisesa, anyatra éirasah. 6. aparasmin prastäre purastac chirasi dvé s0dasyau bahyavisese upadadhyat; té aparéna dve visave abhyantaravi$asa. 7. avabhyam ardhestakabhyim yathäyôgam paryupadadhyad, bahyavisesabbyam parigrhniyät.

8. atmakaraninam samdhisu södasyd bahyavisess upadadhyät. 9. catasrascatasro 'rdhöstakäh paksägrayoh; udicibhih paksäu pracchädayst. paksëstakabhir 10, tisrastisro 'rdhéstakah pucchaparsvayoh. 11. avasistam sodaéibhih pracchadayed; antya bahyavisess, anyatra pucchät. 12. yac caturasram tryagram!) va sampadyéta, ‘rdhestakabhih padéstakabhir va pracchadayet. — 1) So 8; dagegen D: tryasri. 13. anukah!) paficadasabhagiyanam sthäne. 1) Vgl. XL 2. 14, vyatyäsam cinuyäd, yavatah prastäräms cikirset. Kap. XXL 1. kañkacid alajacid iti $y&nacität) vyakhyatan. 1) D: °citya. 2. Evam iva hi: 4yénasya varsıyämsäu pakssu puechad vakrán, samnatam puccham, dirgha ätmä mandalah;!) Siraé ca, tasmäc chrutisämarthyäd; asirasko va 'nämnänät. 1) So D u. alle Kommentare bis auf Sund., der im Sütra wie8 mandalam, aber im Kommentar dazu ebenfalls mandalah hat. 8. vijiizyatà ca:1) kañkacitam Sirsanvantam cinvita, yah kamayéta: „sasirsa 'musmiml 10ké sambhavéyam®*)“ iti. vidyamané katham brüyat? 1) fehlt in D. — 2) 8: bhavéyam, 4. präkrtäu vakrau paksau; samnatam puccham vikäraéravanad; yathäprakrty atma *vikarat.!) 1) 8: vikarasravanit. 5. yatho tac ,chyénacitam cinvita* ‘ti, yävad amnatam!) sarupyam, tad vyakhyatam. 1) S: ämnänam. 6. tristav01) ’gnir bhavati ‘ty aévamédhe vijfiayate. 1) Y, 10 findet sich dvistava; beide Formen stehen Ap. Sr. 8. XX, 9, 1; vgl. hierüber Garbe, Gurupüjäkäumudr, 8. 87. tristava findet sich auch Bäudh, Sulb, S. IIT, 823 (Pand., N. 8. 1, 770). Vgl. Panini 5, 4, 84 (Böhtlingk, Pänini’s Gramm, $, 274): dvistava tristava vedih. — Dazu vgl, Wackernagel, Altind. Gramm,, p. XXXII: „In der Grammatik des Pänini (um 300 v. Chr.?) ist eine der Sprache der Sütren nah verwandte Form der Hochsprache fixiert.“ 7. tatra sarvabhyasd ’visesät. 8. dirghacaturagranam samäsena paksapucchanam samäsa uktah. 9. ekavimso 'gnir bhavatı ‘ty aévamedhe vijhäyate. 10. tatra purusäbhyäso, ná 'ratnipradésanam, samkhyasamyogat aRA gt all ikhyäpanarthä (Kommentar (Es ea zu Bäudh. . Sulb, Sulb, 8,8. III, 823 Bd, LV.

Zu Friedrich Schulthess’ Besprechung S. 337 £. B. Jacob. Herr Privatdocent Schulthess hat meine Ergänzung seiner Verbesserungen der christlich-palästinischen Texte (Bd. 58, 8. 705—713 efr. Bd. 55, S. 185 ff.) ibid. 837 ff. einer Besprechung unterzogen, die ich nicht unbeantwortet lassen kann, da sie erhebliche Missverständnisse und Irrtümer enthält, auf die ich ihn gern vorher aufmerksam gemacht hätte, wenn auch er die Güte gehabt hätte, mir einen Korrekturabzug zu schicken. Zunächst muss es in der That einem Kenner dieser Texte auffallen, dass ich von den Land’schen Fragmenten abgesehen habe, da doch gerade sie mit ihren zahlreichen Fehlern die reichste Nachlese zu versprechen und „des Schweisses der Edlen wohl wert* zu sein schienen. Allein ich verziehtete mit Absicht, weil ich den Rand des von mir benützten Exemplars der hiesigen Bibliothek mit vielen (übrigens oft recht glücklichen) Bleistiftkorrekturen, von denen nur ein Teil mangelhaft ausradiert war, versehen fand. Offenbar hatte also hier schon ein Edler geschwitzt, dem ich auch nicht einmal einen Anhalt zu dem Verdacht des Raubes geben wollte. Daher unterdrückte ich alle, auch die selbständig gefundenen Korrekturen. Dass auch ich viele der von Sch. veröffentlichten und zwar fast alle irgend wahrscheinlichen schon gefunden hatte, liegt nahe, aber es zu erwähnen, erschien mir ebenso überflüssig, wie es hinterher billig gewesen wäre. Alles, was ich nachher schon bei anderen notiert fand, strich ich aus meiner Liste und nur aus Versehen sind einige wenige Fälle stehen geblieben. — Meine Bemerkungen auf 8. 140 über eine „vergleichende lexikalische Bearbeitung des Dialekts* hat Sch. durchaus missverstanden. Eine solche zu fordern, lag mir fern. Falls sie aber jemand — nach dem Vorgange Schwally's, an diesen dachte ich hierbei — unternehmen sollte, dann wollte ich das Samaritanische und Jüd.-Paläst. mehr berücksichtigt sehen. Ich bin ganz mit Sch. einverstanden, dass es vor allem auf die empirische Feststellung des lexikalischen Thatbestandes ankommt; in der That lässt sich der Sprachschatz nur an einem Lexikon, nicht an einem Idiotikon übersehen, und Sch, wird sich