Tracce della matematica pitagorica negli 'Elementi' di Euclide

COSsEen 2 A Tracce della matematica pitagorica cui Proclo nel suo cosiddetto Mtassunio sive (uy www — — ©. di avere per primo aumentato il numero dei teoremi generali (4) —. perché in due scolii anonimi al V libro degli Elementi di Euclide è attestato che alcuni dicevano che il contenuto del V libro degli Elementi di Euclide sarebbe opera di e del pensiero matematico di Eudosso di Cnido negli ‘Elementi’ di Euclide US Eudosso (5). Pertanto. tenuto conto che l'attività di Eudosso in campo matematico è stata preceduta dalla attività di altri matematici, vissuti in epoche anteriori (6). il cui pensiero sta a rappresentare molto verosimilmente una fase di sviluppo del pensiero matematico greco meno complessa e raffinata dell'opera matematica di Eudosso, la anzidetta diversità esistente tra la trattazione che della propor- Se confrontiamo la teoria delle proporzioni sviluppata nel V libro degli Elementi di Euclide con il contenuto dei cosiddetti libri aritmetiei zione e delie sue varie forme viene fatta nel V libro e la analoga trattazione condotta nei libri VII. VIII e IX degli stessi Elementi. non può degli Elementi (1). possiamo facilmente accorgerci della profonda diver. (3) Si intende per Riassunto storico di Proclo quella sommaria esposizione dell: sità — che peraltro non implica alcuna incompatibilità logica -— tra il storia della matematica dalle origini sino ad Euclide che fa parte dell'introduzione concetto di proporzione che sta alla base della anzidetta teoria delle pro. premessa da Proclo al suo commento al primo libro degli Elementi di Euclide, Nella porzioni contenuta nel V libro degli Elementi, con il concetto di provoredizione teubneriana, curata dal Fricdlein dell'anzidetto commento di Procla (Procu zione, che costituisce il tacito presupposto della analoga trattazione che viene condotta nei libri aritmetici degli Elementi. Nel V libro la prodiadochi in primum Euelidis Elementorum librum commentari. Lipsia, Teubner, 1873), il Kicssunto storico va da p, 64,16 a p. 70,18. (4) ProcLi diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. porzione, in generale, viene definita in maniera tale che essa possa risultare vit. p. 67, 25: Efibuto; bé Y Kvldioz, Atovtus wiv dhiy@ veotego;, Praigoz di tav arq Mio. valida tanto nel caso in cui tutti o soltanto alcuni dei termini che si votwa yevauryvas, gliono porre in proporzione siano grandezze commensurabili quanto nel di Cnido, di poco più giovane di Leone e compagno dei discepoli di Platone, per primo caso in cui i termini della proporzione siano tutti quanti grandezze commensurabili (2). Invece alla base della trattazione di tutti quei vari tipi di proporzione che sono presi in considerazione nei libri aritmetici degli acerebbe il Qbros TOY xaddiov xahovpeviv Crwonndtuy 10 21003 niinen. (€ Eudosso numero dej cosiddetti teoremi (5) Scholia in Elementorum librum generali) », Y (in Euclidis Elomenta edidit I. berg, vol. V, Lipsia. Teubner, 1888), 1. p. 280, 1-9: Xxox05 1% zeta Loyd Biadlajelv: horror yag toîro th fifiliov yewperolas te mel iguityrnpreni)z nal Elementi c'è un concetto di proporzione. che è applicabile soltanto a quei néons Anka; ris pafnuari); triorjpys. tà yao casi in cui i termini della proporzione siano tutti Aeuoter Occopnpuasiv, diià xai zücı rol: ro halyuarizxhv rerayafvors, ds pnv. Atyovos quanti grandezze commensurabili. L'origine del concetto di proporzione contenuto nel V libro molto probabilmente va fatta risalire storicamente ad Fudosso di Cnido - a infatti Hei povowf); mai ty abr Grodrvuprva of povov yeoueroioi; è pty oûv monds otros, ro dè pupdiov Edbojov tivis eligrarv elvas didamáóñov. L Pig negli Avoagoriontar Amo tot MAarovos (« Oggetto del quinto libro è la trattazione delle proporzioni. Questo libro riguarda la geometria, Varitmetica, la musica ed in generale ogni branca della scienza matematica, perché ciò che è dimostrato in tale libro non solo s'accorda con i teoremi della geometria ma altresi (come si è detto) con tutto ciò che rientri (1) Cioè i libri VII, VIII e IX. (2) Eucums Elementa, vol. II, libri V-IX cum appendice post 1. 1. Heiberg edidit E. S. Stamatis, Leipzig, Teubner, 1970, p. 1, 10-15: ‘Ey r@atr dove urytôn Léyeray elvas xoGtov aodsidevtegov mal toitov mods teraorov, brav rà tot lodxız smollaridora rv 100 Arurégov nal setdorov loëxg agitow xal tolrow rold.ardacioy xad'inoinvodv aniiariamaopdv txdtegov ixartoov $ Epa Ünecéyn f) Ana toa fj fi Gua brin Anpitvia xardà)nàia nell'ordine di studio della matematica, Questo è dunque l'oggetto del libro. Alcuni dicono che il libro è una scoperta di Eudosso, maestro di Platone ». Idem. 3. p. 282. 13-16: rodro 1d fifiàiov Etddtor 100 Kvidiov tot patyuatinot tot matt tobs Midrovoz zodvovs yeyovoros elvas Alyeray, briybyganıar di Guws Eduiribor, 444 od xata tiva wedi) éxrygagty («Si Eudosso di dice che questo libro sin del matematico Cnido. che visse ai tempo di Platone. Pur nondimeno non falsamente va sotto il nome di Euclide », (e Si dice che quattro grandezze sono nello stesso rapporto, la prima rispetto alla se- Cfr. Die Fragmente des Eudoxos von Knidos, herausgegeben, iibersetzt und kom conda e la terza rispetto alla quarta, quando gli equimultipli della prima e della terza mentiert von Francois Lasserre, Berlin. De Grurter. 1966, D 32-33. Vedi anche, nella rispetto agli equimultipli della seconda e della quarta sono, secondo un multiplo qual. medesima edizione, D 34-57. siasi, gli uni degli altri, o tutti e due maggiori o tutti e due eguali n tutti e due minori. se presi nell'ordine rispettivo »), (6) Vedi Procu diadochi in tarii, ed. cit., pp. 65,7-67,1 primum Euclidis Elementorum lihrum commen.

424 — — indurci a pensare che Ja diversità della diversità matematica greca tra due diverse preeuclidea. di in questione sia testimonianfasi dello storico cui la sviluppo più antica delle della due si trovi riflessa nei libri VII VIII e IX degli Elementi e Valtra invece si trovi rispecchiata nel V Jibro degli Elementi. Ora se si scorre l'elenco di definizioni con cui esordisce il VII libro degli Elementi — elenco che fa da premessa all'intera trattazione contenuta nell'insieme dei tre libri aritmetici — (7). si trovano in esso delle definizioni il cui contenuto richiama immediatamente alla mente alcuni dei concetti più caratteristici se non dell'intera matematica pitagorica, almeno di alcuni determinati momenti di sviluppo del pensiero matematico pitagorico. È ben noto che nell’ambito della scuola pitagorica è stata elaborata una ripartizione dell’intero campo dei numeri per la quale l’intero insieme dei numeri deva tutti i veniva spari (8). Questa diviso numeri pari in due e l’altra ripartizione la scttoclassi, di comprendeva troviamo cui Puna tutti ripresa i in comprennumeri alcune didelle definizioni del VII libro degli Elementi. Infatti Euclide, in questo libro (nel quale, come si intercorrenti è detto, egli prescinde tra grandezze che siano tra Joro totalmente dai rapporti incommensurabili) non solo, all’8005 VI (9), definisce il numero pari come quel numero che è divisibile in due parti uguali e, all'ógoz VII (10), definisce il numero dispari come quel numero che non è divisibile in due parti uguali (cioè, come egli anche dice nella medesima definizione VII, come quel numero 425 — numero parimenti dispari (drang neE9199%5) (12). e numero disparimenti dispari (mepiosäzız negiocds) (13). Ed un'ulteriore conferma della compresenza negli anzidetti libri aritmetici. di elementi prove: nienti storicamente dalla tradizione pitagorica è fornita dal fatto che Euclide per indicare quei numeri che sono rispettivamente gli uni il prodotto di due fattori tra loro eguali e gli altri il prodotto di tre fattori tra loro uguali, usa per i primi l’espressione numero quadrato (tergáyuvos (x6fos aerihuts) (14) e per gli altri l’espressione numero cubo devbnóz) (15), la cui origine storica va sicuramente trovata nella cosiddeta aritmogeometria pitagorica (16). tros épidpès totay & tro Apriov Aorduoî perporpevo: xata Getiov Auıdaov (« Numero parimenti pari è quello che è misurato da un numero pari secondo un numero pari x). (12) EucLipis Elementa, vol. 11, libri VAX, ed. cit., p. 103, 15-16: ‘Aqueasi; de xegiceds toriv & tnd doriov dortpoî urtpovprvo; xeta aequocov ay: pos (« Numero parimenti dispari è quello che è misurato da un numero pari secondo un numero dispari 2). (13) Euvcumis. Elemente. vol. 11, libri V-IX. ed. eit., p. 101, 3-4: Fiegicodu; dize grisea; Agıdpös totiv è ro zepuecod dpi od priporurvo; Kara mrpuocor apidpov. (e Numero disparimenti dispari + quello che è misurato da un numero dispari secondo un numero dispari »). (14) EucLiois Elementa, vol. 11, libri V-IX, ed, eit.. p. 104. 21-22: Texgaywvos Gorbpi; korıv è lodxts (cosA Uno dúo Lowy aqrduay sepurgòpiro;. (u Numero quadrato e quello che il prodotto di due mumeri uguali ovvero che è contenuto da due numeri uguali »). (15) Euciims Elementa, vol, 11, libri V-IX, ed. cit., p. 104, 23-24: Kufloz de 6 loache differisce di un’unità da un numero pari), ma altresì si avvale us Loos lodnıg $ Ud toròv Lowy dordpiòv neourziuevos. (a Numero cubo è quello che è il dell’anzidetta ripartizione in numeri pari e dispari, per poter costruire prodotto di tre numeri uguali ossia che è contenuto da tre numeri uguali y), le definizioni di quelle specifiche oggettività numeriche che egli definisce rispettivamente come numero parimenti pari ( äptiänis Gptios) (11). (16) Per la presenza nell'aritmogeometria pitagorica del concetto di numero que. drato, vedi AnistoTLE's, Metaphysics, ed. cit., p. 986 a 26. Per l'origine pitagorica del concetto di numero cubo, vedi Theologumena arithmeticae, edidit V. De Falco. Lipsia, Teubner. 1922, p. 82, 10-83, 2 6x1 rai Ezrsomzo; è Morovns uèv vlò; vi); tod Midzwvos ádeiqhs, diddoyos di *Axadnpiaz pò Srvoxgeror, tx wv fimpirio; crovbacbricüv drei (7) Euctip:is Elementa, vol. II, libri V.IX, ed, cit., pp. 1,1-3,23. Nvdeyopıxör axgodcrwy, pélicre dì rdr Pikoisor cvyyoapparor, fifridebv ra cvvidia; yhage- (8) Vedi AristorLE's. Metaphysic, Oxford, University Press, vol. I, 986 a 15-23. Vedi anche in Die Fragmente der Vorsokratiker von H. Diels, herausgegeben von edv ixtyoays pév aùrò Megi Mvtayogrmbv doerOuov. dz liga; de pige: fipscous agi iv ty at- W. Kranz, unveränderte Nachdrucke der 6. Auflage, Dublin-Zürich, Veidmann, vol. |. rois yoanpimm@y tupchtctare dueteltòv zoArywrior re xai zevroitor thy tv Agıdpei; Erixédurr Suc nai otegedy nepi te tv zevre oynpdrwv, E trois xocpinols drodidora: oteizesoty. iden; 11 1971, Philolaos (44), B, p. 408,5. attSy nai mods Akkınka xouvôtntros. regi dvaloyia; tr nai Avtaxohoviia:, werd sabra donò (9) Eucumis Elementa, vol, II, libri V-IX, ed. cit., p. 103,10: “Agro; dgrduds tovey 6 diya dimpovueros. (a Numero pari è quello che è divisibile in due parti [uguali] »). (10) Euccipis Elementa, vol. II, libri V-IX, ed, cit., p. 103, 11-12: ilecwood; de è uh diaigotpevos diya % povddi diagtowy deriov dertpot. (a Numero dispari è quello che non è divisibile in due parti [uguali] ossia quello che differisce per un'unità da rereotimotdmi tov övrov. «Anche Speusippo. figlio di Potonn sorella di Platone, e successore di Platone nell'Accademia, prima di Senocrate. dalle tradizioni orali dei Pitagorici sempre in particolar modo seriamente studiate e soprattutto daglı scritti di Filolao, compose un cecellente libretto che intitolo Dei numeri pitagorici. Dal principio fino alla metà egli tratta nel modo più appropriato dei numeri lineari. di quelli poligonali e dei numeri piani e solidi di ogni specie; poi delle cinque un numero pari »). (11) Eucriwis. Elementa, vol. II, libri V-IX, ed. eit., p. 103. 13-14: báregoy td rod fiBhlov fou xegi dexddos &vrixove motritai Guarmwtatyy atti drogelvovy xa. Aonéu: figure che sono attribuite agli elementi cosmici e delle loro proprietà particolari

(Quanto finora detto. a proposito della questione della presenza negli Elementi euclidei, di formazioni concettuali provenienti storicamente dalla tradizione pitagorica (o almeno da certe fasi di sviluppo del pensiero matematico della scuola pitagorica) e dell’opera matematica di Eudosso. è sufficiente indizio del rapporto di storica dipendenza di una rilevante parte della trattazione contenuta negli Elementi di Euclide rispetto ad alcune delle principali fasi di sviluppo del pensiero matematico preuelideo. quali sono. per l'appunto, tra l'altro. la matematica pitagorica e il pensiero matematico di Eudosso. Pertanto possiamo concludere la breve discussione finora condotta, dicendo che gli Elementi di Euclide possono ben essere considerati come una fonte storica. utilizzabile per la ricostruzione di due momenti di fondamentale importanza nella storia della matematica preuclidea, quali sono rispettivamente la matematica pitagorica e quella teoria delle proporzioni di Eudosso di Cnido, per mezzo della quale — come è noto — fu, almeno per alcuni aspetti, definitivamente superata la crisi provocata, nell'ambito della matematica pitagorica, dalla scoperta dell'incommensurabile (17). PaoLo Cosenza Cosenza P., Tracce della matematica pitagorica e del pensiero matematico di Eudosso di Cnido negli Elementi di Euclide ; AAN LXXXV 1974 422-4265, | Le concept de proportion qui est à la base de la théorie développée dans le livre v des Éléments est essentiellement different du concept que présupposent les livres arithmétiques. Le premier est tributaire d'Eudoxe, tandis que le second reflète quelques éléments de la mathématique pythagoricienne. e di cid che hanno di comune tra dj loro; infine della proporzione continua e di quella discontinua. La seconda parte del libro tratta esclusivamente della decade. Speusippo dimostra che essa in sommo grado è conforme alla natura »), (17) Sul significato matematico e l'iraportanza storica della teoria delle proporzioni di Eudosso di Cnido si veda tra l’altro; — T, L. HearH, A history of Greek mathematics, Oxford, Clarendon Press, 1921. vol. 1, pp. 384-391; — F. Enriques e G. De SantiILLANA, Storia del pensiero scientifico, vol, 1, Bologna, Zanichelli, 1932, pp. 368-369; — E. BorroLortri, Storia della matematica elementare, pp. 583-584, 587-588, in Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi, Milano, Heopli, vol. TI, parte II, 1954; — L. Germonar, Storia della matematica, pp. 337-338, in Storia delle scienze. Torino, UTET, 1965; — A. Frasese, Attraverso la storia della matematica, Firenze, Le Monnier, 1971.