Pythagoras I pythagorejczycy w dziejach matematyki

Di Any» > À 355 Diannt J, l'ythagorus i Pythagorejezyey w dziejach matemalyki : Filomata ae, (Kraków) 1959 Ne 127 155-364. PYTHAGORAS I PYTHAGOREJCZYCY W DZIEJACH MATEMATYKI Geometria, innych siów, planimetria, stereometria jakie spotykamy w i wiele matematyce, sa pochodzenia greckiego. Pierwowzör naszej geometrii stworzyi Grek Eukleides (Ill w. przed n.e.), Ale nie od niego rozpoczela sie geometria w Grecji. Historia matematyki wymienia tu caly szereg poprzedniköw Eukleidesa az do VII stulecia przed n.e. Niezwykle ciekawa postacia sposród tych jest Pythago- ' ras z Samos (VI w. przed n.e.), matematyki Eudemos o ktörym historyk z Rodos (IV w. przed n.e.) möwi: „On wlasnie stworzyl podstawy naukowe ma” tematyki“. $ Kim byt öw twörca tej wiedzy i jakie sa jego | w tej dziedzinie osiggniecia? Z catego mnöstwa legend i ustnych przekazöw spisywanych o wiele pöZ«4, niej, gdyz niestety ani Pythagoras, ani jego uczniowie 4 nie pozostawili zadnych pism, z trudem daje sie od- _{tworzyé przebieg zycia i tok prac tego medrca, %ktérego imie nalezy do najbardziej popularnych na * calym Swiecie. Bardzo wiele ciekawych, jakkolwiek nie dajacych sie dokumentarnie , mosci o Pythagorasie podaje stwierdzié wiado- Iamblichos, matematyk i historyk matematyki (IV w. n. e.). Z niego _ezerpiemy dane biograficzne o tej w dziejach mySli ludzkiej postaci. niezapomnianej

Pythagoras urodzony w r. 569 p. n. e. jako syn osiadtego na wyspie Samos kupca Mnesarchosa towarzyszyl az do ukonczenia 18 roku zycia wraz z matka Pythaida ojcu w jego kupieckich podrózach. Rozbudzona w tych podrézach zadza wiedzy kieruje go na nauke do uczonego Pherekidesa na wyspie Lesbos, niego a w dwa lata pézniej do Miletu, do 90-letslynnego juz wówczas medrca $wiata, Thalesa. Wraz z elementami starozytnego „ziemiomier- — nictwa“ (ksiazka wydana w r. 1774 przez matematyka polskiego, pijara Patrycego. Skaradkiewicza nosi tez tytul: Geometrya czyli nauka o ziemiomiernictwie...) roztacza Thales przed oczyma Pythagorasa wizje tajemnej wiedzy kaplanöw egipskich. Pythagoras postanawia poznaé te wiedze u jej Zródia: W r. 547 laduje w Naukratis w Egipcie i niebawem wstepuje do szkoly kaplanéw. W okolo 20 lat pézniej zostaje wywieziony wraz z innymi kaplanami do Babylonu na rozkaz króla Persów Kambysesa. Po 12 latach niewoli, w czasie ktörych nie omieszkal zapoznac sie z osiagnieciami matematyki i astronomii babylonskiej, wraca na wyspe Samos, gdzie rozpoczyna prace nauczycielska, ale nie przebywa tu diugo, gdyz w r. 510 udaje sie do Krotonu, kolonii greckiej w Italii poludniowej. Tu zbiera dokola sicbie ludzi uprawiajacych filozofie i matematyke. W ten sposb powstal zwiazek, który wraz z Pythagorasem przenosi sie w r. 490 do Tarentu.

Pythagoras { pythagorejezy¢y Ze wzgledu na zamkniety charakter zwiazku, do ktörego garneli sie ludzie zamozni, stat sie on wkrôtce — tak jak i jego twörca Pythagoras — przedmiotem nienawisci ludu. To bylo powodem przenoszenia sie stowarzyszenia z $mierci mistrza (417 r.) miejsca na miejsce. Mimo w Metaponcie zwigzek przetrwal i wykazywal jeszcze przez co najmniej sto lat ozywiong dziatalnosé. W historii nadano mu nazwe szkoty pythagorejskiej. Charakterystyczna i dla nas do pewnego stopnia malo zrozumiala dzis cecha Pythagorasa i jego ucz-niöw bylo to, ze osiggniecia swoje zachowywali w tajemnicy, nie notujac ich nigdzie ani nie rozpowszechniajac ustnie. To, co wiemy o ich odkryciach, zwlaszcza w matematyce — a sa one bardzo wybitne — doszio do nas z ostatnich nieledwie lat istnienia szkoly, gdy jej Grecji, a utrata uczniowie rozeszli sie po wzajemnego kontaku rozluznila nieco tradycyjny nakaz milczenia. Matematyke pythagorejska traktujemy jako calost nie wymieniajac poszezegölnych twórców, gdyz najcze$ciej nie wiemy, od którego z pythagorejczyköw dane odkrycie pochodzi. Oni sami przypisywali wiekszos¢ odkrytych twierdzen Pythagorasowi. Pythagorejezycy podali przede wszystkim wiele niezwykle ciekawych wlasnosci liczb catkowitych, postugujac sie przy tym wylacznie metoda geo——Fmmm

metryczna. Nadajac niektérym Rabe postac np. . kwadratöwè © © e ® oo è 0 0 0 0 ce... e e... e 00 o a 060 060 e888 0 20 000 000 0 0 o.o. 00006 1] mM [9] 16 [25] doszli do takiego ukladu: ú Pythagorejska 9 © | o 6 e liczba kwadratowa jest — jak widzimy — zupelnym kwadratem: 121 2=4 32=9 4—16 5°=25 itd. Chcac przejs¢ od jednej liczby kwadratowej n°: do nastepnej (n+1)? nalezy do n* dodaé gnomon, tj. figure skladajaca sie z dwöch prostokatów o dIugosci równej n i z ah alia o boku =1 czyli 2n 7 1, Istotnie n+22+1=(n+ 1), W podobny sposób nadajac liczbom ksztait badz tröjkatöw badz prostokatów otrzymywali zwiazki,

ktöre w naszej symbolice wyrazaja ciekawe twierdzenia. Np. ze struktury liczb tréjkatnych: > 6 6 o fi) 0 o e o ®© © eo o o o » e o oo o. 0000.90 | [15] [10 [6] [3] 0 0 o © o ® o I € o o da sie wysnué twierdzenie: n (n + 1) 5 1+2+3+4+5+...+n= Wzör ten wypowiadamy dzisiaj w oparciu o wla-. snosci postepu arytmetycznego, ale i postep arytmetyezny byt znany pythagorejczykom, chociaz nie w dzisiejszej w postaci postaci. Znali proporcje a — b = b — c, Srednig arytmetyczna b = tyeznym dzis e..., którym w nazywamy a skad c 2 ciag róznicowa wyprowadzali . Postepem arytmeliczb a, b, c, d, a—b= b—e = c—d = d-—e = To, co nazywamy geometrycznym tkwi w geometrycznej proporcji pythagorejezykow a : b = b:c, skad b?= a.c. postepem | b? jest polem kwadratu o boku b, a.c polem prostokata o bokach a i c. À wiec pythagorejska $rednica geometryczna jest szczególnym przypadkiem zagadnienia röwnowaznosci prostokatöw i kwadratu.

Dla jednego kwadratu moze istnieé kilka réwno3 ‚waznych prostokatów o calkowitych liczbach: 6?= 1-36 = 2-18 =3-12=4-9 f Sp‘©e;~.e Z rownowaznosci samych prostokatów korzysta lì pythagorejezycy przy dzieleniu liczb calkowitychi! Pokazemy to na przykladzie dzielenia 6 przez a. pS à 3 ES or + RT 2 Hel| a Mi E E E ry dé e «. IV Y Poniewaz VI 6=2'3, wiec budujemy prostoka o bokach 2 i 3. Bok dlugosci powiekszamy o 5, jak na rysunku. Uzupelniamy figure do prostokata. Poniewaz przekatna polowi prostokat, wiec trójkat I = trójkatowi II, trójkat 111 = trójkatowi IV, prostokat V = prostokatowi VI, a wiec 2-3 = 5 * x czyli bok prostokata VI, tj. x = Se = È Czy érednia geometryczna wykorzystywali pythagorejezyey do dowodu siynnego ‘twierdzenia Phytagorasa’ tak jak my to dzis robimy — nie wiadomo. Phytagorasowi przypisuje sie geometryczny dowöd tego twierdzenia, ktéry tak wyglada:

bi 4 3 al A 2 a =D 361 Dwa kwadraty röwne o boku a + b, tj. rownym _sumie obu przyprostokatnych, dzielimy w dwojaki sposöb, jak wskazuje rysunek. Poniewaz figury: A5+A6=[_]2 ATTA8=[_14 wiec :114+03=[_]9 W kazdym razie zauwazyli pythagorejczycy, ze iloraz Sredniej geometrycznej przez srednia arytmetyczna daje nowa wielkosé majaca zastosowanie m. in. w muzyce, a mianowicie $rednig harmoniczna. Oznaczajac: s, Srednia arytmetyczna, s, Srednia geometryczna, s, Srednia harmoniczna, a i b dwie dowolne liczby calkowite, moglibySmy zapisaé to tak: 5 ab 2 ab

Jadwiga Dianni I ie | oni, ze trzy struny o jednakowych wiasnosciac apieciu daja zgodny dzwiek: si sol mi, sy icID ndíu o$ci maja sie do siebie jak 15:12:10. Obierzmÿ 0 cinek o dlugosci 15 jednostek i zaznaczr 4 . ne ° y ti; ee ° Y sa VE yo y Li #3 Srednia harmoniczna liczb 3 i 2 jest tu latwo widaé % a, ñ

Pythagoras i pythagorejczycy ale tez 2_,_3, 5 Z geometrii umieli juz udowodnié, ze suma katów wewnetrznych w tröjkacie wynosi 180°, umieli tez konstruowaé pieciokat foremny, a gwiazda wyznaczona przez przekatne tego pieciokata byla ich znakiem rozpoznawczym. Ta ostatnia konstrukcja nasuwa nam mysl, ze znali tez konstrukcje ziotego podzialu. Czytelnik tatwo rozpozna, jak bardzo upraszcza Sledzenie mysli pythagorejezyköw nasza wspólczesna symbolika i znakowanie. Pythagorejczycy nie posiadali tak sprawnego narzedzia matematycznego, a mimo tego w tej swojej, jak ja dzis nazywamy najbardziej doszli do ‘algebrze konstrukcyjnej’ ————r———r——-——————"r_——Tr rr_—orPr.

podziwu godnych odkryé. Przeciez mimo tego, ze liczby oznaczali nie dajacymi nic matematycznie literami swego alfabetu, odrózniali liczby proste i zlozone, parzyste 1 nieparzyste, umieli wyszukiwaé podzielniki liczb. Wprowadzili nawet pojecie liczb doskonatych jako takich, ktöre röwne sa sumie swoich podzielniköw mniejszych od nich. Jako takie liczby podali: 6=1+2+3, Co wiecej 283=1+2+4+14 wprowadzili pary liczb, z których jedna jest suma podzielników mniejszych od niej drugiej liczby ina odwrót. Takie pary liczb nazwali ‘zaprzyjaznione’. A wiec 220 i 284 sa liczbami zaprzyjaznionymi, gdyz 220 — 1 + 2 + 4 + 71 + 142 czyli jest suma podzielnikéw liczby 284. 284—1+2+4+5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, a wiec röwna sie sumie podzielniköw liezby 220. (Badaniem liczb doskonalych i zaprzyjaznionych zajmowat sie w XVII wieku takze nasz wybitny matematyk Jan Brozek). Nie mogliémy w ramach jednego artykulu przedstawié czytelnikom catosci osiagnieé szkoly pythagorejskiej, ale i to, co opowiedzielismy, daje pojecie o duzym jej rozmachu twórczym oraz podkresla wielka role tych zdobyczy dla dalszego rozwoju matematyki, | . .