La repercusion en el Pitagorismo del descubrimiento de las magnitudes irracionales

Kuss 130 LA REPERCUSIÓN EN DEL MAGNITUDES s EL PITAGORISMO DESCUBRIMIENTO DE LAS IRRACIONALES Los estudios sobre la significación alcanzada en el pitagorismo por el descubrimiento de los números irracionales se insertan en el panorama general de la evolución del pensamiento matemático griego constituyendo uno de sus temas básicos. Después de la obra fundamental de Zeuthen ', muchos trabajos vuelven a poner sobre el tapete la cuestión; en líneas generales se intenta establecer un desarrollo rectilineo señalado por varios hitos fundamentales, entre los cuales ocuparía Teeteto un puesto dificil de precisar. El estudio del papel desempeñado por su figura en el desarrollo del conocimiento histórico del irracional ha parecido a Szabó susceptible de influir en una nueva reconstrucción de la evolución histórica de la teoría pitagórica sobre la irracionalidad ?. Mugler, en diversos trabajos y refiriéndose al descubrimiento de los irracionales, ha insistido? en que «l'effondrement du réve de l'arithmétique universelle qui fut la conséquence de cette 1 ZEUTHEN Sur l'origine historique de la connaissance des quantités irrationnelles, Copenhague, 1915. 2 Szañó Theaitetos und das Problem der Irrationalität in der griechischen Mathematikgeschichte, en Acta Ant. XIV 1966, 303-358. 3 MUGLER Deux thèmes de la cosmologie grecque: devenir cyclique et pluralité des mondes, Paris, 1953, 85. Cf. también la introducción a su estudio Platon et la recherche mathématique de son époque, Estrasburgo, 1948 (reimpr.

LAS MAGNITUDES IRRACIONALES découverte y produisit des réactions trés voisines de la pitagóricos cuenta que el primero que elucidó la teoría sobre ellos pereció en un naufragio, y quizá (looc) signifi- 428 terreur tragique, etc.», concentrando sus esfuerzos en precisar el alcance que el «escändalo lögico» ha tenido en el desarrollo de la matemätica dentro del circulo platönico. Lasserre, en un estudio no muy bien recibido por la critica*, presenta algunos puntos de vista originales sobre el tema de las magnitudes irracionales en época de Platón, . pero en su conjunto reposa sobre materiales y desarrollos tomados de Heath. Un punto de vista muy personal en abierta contradicción, como veremos, con los testimonios antiguos ha sido adoptado recientemente por Heller °, que atribuye a Teeteto la «fundaciön» de la teoria de las magnitudes irracionales. Sin tomar postura ante la disparidad de las opiniones reinantes sobre el desarrollo de esta teoria en época platénica, nos parece claro que, en los testies estaban monios del pitagorismo primitivo‘, los irracionalSin embarinsertados en una visión coherente del mundo. los defengo, un examen de los testimonios aducidositeporatisb que perm sores de la «escandalosa excepción»? cas debió dearsurgi r en cierto estadio de las teorías pitagóri del n un sentimiento de perdición ante la contemplació cua, de los escoimonios anticeguos todo losy test ua ante del el importante explicito pare ser les el mäs ides *: liasta del libro X de los Elementos de Euclros no es tamnüme estos «Que sea util el estudio de poco superfluo decirlo. En efecto, una tradiciön de los lato, Londres,i of Mathematici s s in the Age of Plato, i 4 Lasserre The Birth o ms ai influj de Teeteto y su 1964. En pägs. 63-67 estudia la figura À Mn R WIELE DER van de as reseñ cf. ficacién de los irracionales; nes Meli Philol. XXXIX 1965, 318. XIX 1966, 432 y Mucuer Rev.tung Ges. Arch, en er, matik Mathe als 5 Heer Theaetets Bedeu . 1967, 55-78. 30 , 1949. ior hen, Hambla urgo der Griec e Denkendocu + Das exakt anter a époc de n ació ment la abundante i er afirma que incluso en » producido por a Aristóteles es inútil buscar rastros de un «escándalo | è A a de Burner La aurora .del pensamiento griego, tr. esp j i 1 México, 1944. . 8 Hewerc Euclidis elementa V, Leipzig. 1888, 415. 429 caban alusivamente que todo lo irracional que hay en el universo ama permanecer oculto como irracional e informe, y si alguno por ventura se introduce en esa forma de la vida y la saca a luz, queda abocado al mar de la generación y es azotado por sus inestables corrientes. Tal piadoso respeto tenían aquellos hombres a la teoría sobre los irracionales». La clave de la interpretación de este texto nos parece que se encuentra en la palabra lowc, la cual introduce consideraciones del escoliasta que, a título de hipótesis, proyecta sobre el pitagorismo primitivo sus propias reflexiones sin que parezca conservar el eco de testimonios anteriores ni aludir a un núcleo de evidencias históricas. En él se menciona la leyenda de Hipaso?, que pereció en el mar por haber revelado a sus contemporáneos la existencia de los irracionales. En los fragmentos de Hipaso encontramos perfectamente manejadas ya las cantidades irracionales; Yámblico (Vita Pyth. 88) le atribuye el descubrimiento de un método para inscribir en una esfera un dodecaedro, lo cual exige un conocimiento detallado de algunos números irracionales; Diógenes Laercio (VIII 84) le atribuye la teoría del Gran Año, lo cual hace pensar que para Hipaso no existía contradicción ninguna entre la existencia de las magnitudes irracionales y la trasmutación total y cíclica del cosmos en un tiempo determinado. La leyenda de Hipaso aparece en versiones muy diferentes que hacen cuestionable que repose sobre un núcleo de verdad histórica (cf. Yámbl. Vita Pyth. 246), pero su trabajo en matemáticas presenta una síntesis coherente según los datos antiguos, Un tercer testimonio aducido con frecuencia es el capftulo XVIII del De die natali. Después de afirmar que la 9 Cf. von Fritz Die Enfdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont, recogido en la obra colectiva Zur Geschichte der griechischen Mathematik, Darmstadt, 1965, 271-307.

LAS MAGNITUDES IRRACIONALES duración del Gran Año adeo diuersa tam gentibus obseruata quam auctoribus tradita est y enumerar la opinión mos verla en el nuevo florecer místico del neopitagorismo. de muchos autores, concluye Censorino: Alii uero infini- 431 En segundo lugar, la génesis de ese sentimiento debeCuando Filóstrato escribía la vida de Apolonio de Tiana, paladín auténtico de una forma pitagórica, según él, de tum esse nec umquam in se reuerti existimarunt. La infinitud del Gran Afio sostenida por autores que no nombra entender la vida, reflejaba un estado de cosas que nos sufrido por el sueño césmico pitagérico tras el descubrisiderarse unitariamente, sino que se exige el detallar mipodria ser un eco, como quiere Mugler, del cataclismo miento del irracional. A este respecto conviene insistir en la indiscutible fuente helenistica de Censorino, que ha dejado, por sus procedimientos de catälogo y sus visiones generales simplificadas, una huella innegable en todo este capitulo. La observacién de Censorino no deriva de la lectura de fuentes pitagéricas primitivas, sino de elaboraciones helenisticas tardias. La imposibilidad del Gran Ano no hay que buscarla en la existencia de magnitudes irracionales en el periodo de ciertos astros, ya que tales magnitudes podian plantear problemas lögicos, pero no de existencia. La realizacién del irracional en la diagonal del cuadrado, por ejemplo, es algo innegable. Lo dificil era el calcularla numéricamente, no el admitir su existencia. Aunque no admitamos para el pitagorismo primitivo el la existencia de un cataclismo conceptual originado por en que able inneg descubrimiento de los irracionales, es el neopitagorismo existié ese sentimiento. ¿Cuáles fueron indica, una vez más, que el neopitagorismo no puede connuciosamente de qué neopitagorismo hablamos, evitando equiparar a un Moderato de Gades o un Nicómaco de Gerasa con charlatanes del estilo de Apolonio de Tiana. Parece que fue este sentimiento místico de nuevo cuño ‘el que aprovechó elementos pitagóricos para fomentar el sentimiento de debilidad frente a la trascendencia que se hacía converger la postura de irracional entrega a la divinidad mediante el culto. Estas observaciones tienen el carácter de una reconstrucción conjetural para explicar unos hechos y sólo pueden sostenerse.en el conjunto de una nueva visión del neopitagorismo, empresa que merece una pronta realización, porque, si bien nada parece imponerse en las reflexiones que apuntamos, no menos cierto es que visiones como la de Zeller pertenecen más a una fase histórica de la conciencia sobre el neopitagorismo que a la realidad de los hechos que hoy entrevemos. sus raíces? Contestar a esto lleva lejos. rimer lugar, existió en el neopitagorismo un con- La irracionalidad en el pitagorismo se nos aparece, pues, como algo integrado y constatado en sus orígenes cimiento de lo que, con el reflorecimiento místico del neopitagorismo, produjo, en la corriente neopitagórica que podríamos el campo del conoirse ampliandomuy cate de NÉE real,que,sealrevel rigido. La traaba como el nivel dición heredada era una cosmovisión acorde con a científico de su tiempo, pero en el neopitagorismo surgí La ación. constantemente el deseo de una nueva integr lucha de una mentalidad conservadora frente a una realidad pluriforme debió de crear una conciencia de perdi cién, y lo que aparecia integrado en el conjunto de una teoría de lo real en los pitagóricos primitivos suponia, fuera de contexto, un tremendo impacto en el discípulo pitagórico de vuelos más místicos que científicos. llamar apoloniana, un sentimiento de hecatombe cósmica usado con fines místicos, pero que en la corriente representada por Nicómaco de Gerasa aparece integrada. Por tanto, en el pitagorismo genuino y tradicional la repetida afirmación del escándalo de los irracionales es una hipótesis que no refleja la verdad de los hechos en cuanto que no explica los testimonios conservados. La gran tarea de la investigación frente al neopitagorismo es encontrar la

perspectiva histérica. La sintesis precipitada que aun parece vigente sufrirä, mediante nuevos anälisis minuciosos, profundas reestructuraciones, FELIX PINERO Piñero F., La repercusión: en el pilagorismo del descubrimiento de las magni- | tudes irracionales : IECIAS.X.IV 1970 427-432, | Bien que, dans le pythagorisme primitif, les quantités irrationnelles fussent Insérées dans-une vision cohérente du monde, il.est certain que le néopythagorisme les a, à des fins mystiques, associées à une mutation totale du cosmos. -