La geometria pitagorica

HISTORIA DE LA GEOMETRIA GRIEGA ACTAS ANO | ISBN 10: 84-88542-00-3. Canarias, diciembre de 1992. sb Prats, ST. LT = LA GEOMETRIA PITAGÓRICA p 78-102 YM Menéndez AR. abt PLATON: MATEMATICA Y DIALECTICA 4438 Pérez, J.P. L. PLATON Y EL TIMEO ga p 134-168 Sedeño, Er. | 170-198 | Lat EUDOX9 ‘ LOS ORIGENES DE LA ASTRONOM IA GRIEGA Martin, A.G. bad © TEORIAS S ASTRONOMICAS EN LA GRECIA CLASICA

Drofesor de Filosofia. IB. Villalba Hervás.

C omprender qué es la geometria pitagórica exige conocer la cultura helena de los siglos VI y V a.n.e., pues como ha escrito Spengler, la matemática griega es incomprensible si no la ponemos en relación con la cosmovisión que la sustenta; no hay que dejarse engafiar por la ingenuidad etnocéntrica que apoyándose en la validez formal de teorías aritméticas y geométricas , asi como en la continuidad lingüística traducción mediante- de ciertas nociones básicas -espacio, tiempo, número- nos haría percibir los saberes griegos simplemente como el origen y fundamento de la ciencia actual ; tal énfasis en semejanzas formales erraria con facilidad el sentido interno de la geometria pitagórica y su lugar dento del saber de su &poca.

Pitágoras y su Secta P itágoras es más un nombre de leyenda que un hombre real: su biografia crece a medida que nos alejamos en el tiempo, de tal manera que encontramos menos datos en las llamadas fuentes intermedias -como Aristóxeno,Dicearco,Polibio Diodoro, Estrabón- que en sus biógráfos tardios: Diógenes Laercio, Porfirio, Jamblico; naturalmente ello ocurre al precio de ganar en elementos inverosimiles y magicos -reencarnaciones, bilocuidad- lo que se pierde en historia fiable. El panorama se reduce drasticamente cuando sólo contemplamos los testimonios del siglo V a.n.e.: dos fragmentos de Heräclito, uno de Iön de Quios más cuatro versos, otros cuatro versos de Jenófanes y seis de Empédocles -que no citan su nombre aunque la referencia es segura - y tres pasajes de Heródoto, uno en que lo nombra y dos acerca de ritos y doctrinas pitagóricos. Platón lo cita una vez, otra a los pitagóricos y en varias ocasiones cita sus doctrinas sin referencias. Aristóteles lo nombra dos veces -aunque quizá sean interpolaciones posteriores- y varias a los pitagóricos, pero sabemos que escribié un libro titulado "Sobre los pitagéricos" del que no nos ha Ilegado ningun fragmento . Suele datarse su nacimiento hacia el 570 a.C. en la isla jonica de Samos, de donde emigró hacia el 530 huyendo de la tirania de Policrates;es probable que viajara durante algunos afios por Jonia, Egipto y Babilonia. Alrededor del 520 se estableció en Crotona , colonia al sur de Italia , donde funda una secta que se extendió a otras polis de la region antes de su muerte, debida al mal del piojo, hacia el afio 500. Fuentes antiguas -Heraclito, Iön, Herödoto- dan por cierto que escribiö varios libros , mientras que Aristéxeno y Dicearco lo niegan. Considerado ya en vida héroe

semidivino, encarnación del Rey Mago de las primitivas comunidades indoeuropeas, desde el siglo IV a.n.e. Pitagoras ya no es un hombre sino un nombre de leyenda. Aunque parece ser que que los pitagóricos no tenían una ideologia politica definida se les ha achacado un cierto conservadurismo aristocratico; el prestigio del Maestro debió influir en la politica de algunas colonias de la Magna Grecia, ya que la secta se vio envuelta en conflictos a raiz de levantamientos democraticos desde finales del s.VI a.n.e. hasta mediados del s.V a.n.e., fecha en la que se ve forzada al exilio; su dispersion geografica motivó a un tiempo la extension de sus creencias y su decadencia como grupo hasta su desaparición un siglo después. La regla de conservar en secreto sus actividades ha impedido que nos Ilegara información suficiente sobre la cronologia y obra de las diversas generaciones de discipulos para poder historiar con certeza la evolución de la escuela, aunque tenemos datos sobre algunos miembros destacados: Hipaso, Filolao, Eurito, Arquitas; por otra parte, es detectable la influencia pitagórica en filósofos de primera linea ya desde el s.V a.n.e., como Parménides, Zenón y Empédocles, amén de la huella que dejará a lo largo de la obra platónica y en el propio devenir de la Academia, que centurias después los neoplatónicos Plotino, Porfirio, Jamblico y Proclo desarrollaran hasta la saciedad. Influencia que se ejerció igualmente en el ambito de la medicina, tal como lo atestiguan los casos de Alcmeón, Damocedes, Hipón y el mismo Empédocles. Desde el punto de vista religioso se ha conectado la secta pitagórica con la efervescencia religiosa que sacude la Grecia del siglo VI a.n.e. y cuya expresión es el orfismo, movimiento de religiosidad popular que sustituye el culto oficial a los dioses olimpicos por el culto a Dyonisos; quiza esté ahi el origen de su doctrina mas importante: la reencarnación del alma inmortal. Entre el conjunto de reglas de conducta que comparten hay prescripciones religiosas, normas morales, reglas de cortesía, etc., lo que indica que elaboraron un modo de vida caracteristico; destaquemos entre sus practicas rituales el sacrificio exclusivo de

productos naturales -aceite, leche, miel- y el examen de conciencia, cuyo objetivo era además de moral ejercitar la memoria. Tras la muerte de Pitàgoras la secta quedó escindida entre los matematicos -aquellos que habian estudiado con El Maestro- y los acusmaticos-aquellos que tan sélo habian recibido sus prédicas . Frente al entusiasmo y la revelación tipicos de los cultos mistéricos hallamos en el pitagorismo su propio modo de contacto con la divinidad: la "sofia", sabiduria que està reservada a los miembros iniciados y celosamente guardada en secreto. Armonia, cosmos, virtud y teoria son nociones clave de su doctrina; armonia que rige el universo y se expresa en el cosmos, Todo ordenado que podemos conocer mediante la teoria de los cielos y los numeros, lo que nos convierte en seres virtuosos: concordia de la inteligencia humana con la razòn cosmica. Segùn Dicearco las principales ensefianzas de Pitàgoras fueron: -El alma es inmortal y se reencarna -Todo se repite y nada es nuevo -Respeto a todo ser vivo Arıstöteles recoge otra ensefianza fundamental: que los principios de las Matemáticas son los principios de todos los seres y que los elementos de los números son los elementos de todos los seres . La educación matemática es el método catartico que conduce a la liberación del alma de la rueda del dharma ; no es extrafio pues, que haya sido Pitágoras, como sostuvo Eudemo, quien convirtió tal saber en una ciencia de principios, superando el cálculo empírico de egipcios y babilonios. Desde Reidemeister se considera a los pitagóricos del s.V a.n.e. como los fundadores de la matematica deductiva y autores del primer tratado sistematico , parte del cual quedo recogido en el libro VII de los Elementos de Euclides . El afán taxonómico tipico del pensamiento primitivo se concreta en la famosa tabla de los opuestos, donde las tres

primeras parejas remiten a su cosmologia, las tres siguientes a su aritmética, séptima y octava a su geometria, la novena a su orden cultural y la décima contagia toda la tabla concediendo superioridad moral a los elementos situados en primer lugar: Limite - Ilimitado Reposo - Movimiento Luz - Oscuridad Impar - Par Uno - Multiple Cuadrado - Oblongo Recto - Curvo Derecho - Izquierdo Masculino- Femenino Bueno - Malo Alma y Reencarnación eródoto atribuyó erröneamente a los egipcios la doctrina de la metempsicosis, considerada hoy producto de la evolución interna de la religion griega ; parece ser que fue Ferécides el primero en hablar de inmortalidad del alma y de reencarnación , pero en cualquier caso hay que buscar sus raices en las doctrinas orficas. El orfismo del s.VI ane. representa una oleada de fervor religioso popular que se rebela contra la religion olimpica oficial y promueve antiguos ritos , viejas creencias; su dios sera Dyonisos, ligado a arcaicos cultos

agricolas que celebran la fecundidad vegetal, a la mania que posee mediante la uva embriagadora, al tiempo ciclico de las estaciones que siempre retornan y que comparte junto a Orfeo, el legendario musico, poeta y cantor tracio divinizado el mismo mitologema: ambos mueren despedazados y renacen. De aqui a la inmortalidad del alma hay un paso; que los órficos siguieron esa senda queda testimoniado por su doctrina de la retribución en el mas alla y las tablillas de oro encontradas en tumbas de los siglos IV y III a.n.e. donde se da instrucciones al alma del difunto para ser reconocido por las divinidades de la muerte. La muerte de alguien produce en el grupo social al que pertenece un desorden, introduce un elemento de extrafieza, perverso: los ritos funerarios, presentes en la cultura humana desde hace al menos treinta mil afios, tratan de conjurar tan funesto suceso. Pero el muerto no se va del todo: sus hechos, su imagen, su palabra, persisten en la memoria y en el suefio de los que sobreviven, y ambos mundos son tan reales para el primitivo como la caza o el sexo ; es ahi donde hay que situar el origen del alma . En Homero, maximo exponente de la religion olimpica, encontramos que la psyche es el aliento, signo de vida, pero no la vida animal misma, colectiva, llamada tymós, sino una especie de sombra, nuestro doble, que duerme mientras vigilamos y vigila mientras dormimos, alma individual a la que podemos reconocer durante un cierto tiempo tras la muerte de su poseedor, antes de que caiga en el olvido del que solo se libran los héroes. En la Oda a Teron, Pindaro, que junto a los poetas liricos del s.VI ane. va abriendo el espacio del yo, de la intimidad individual, nos habla de la vida más allá de la muerte. Heräclito llama alma a la parte del cuerpo que conoce y y es así capaz de entrar en comunión con el sagrado Logos del universo; poco después Alcmeón centralizara la mente en el cerebro y diferenciara el percibir del pensar. Mojones en el camino de un pensar que siente ansias de eternidad, paisaje en el que surge la idea del alma inmortal que se reencarna, el alma que vence al tiempo. Cornford ha afirmado sin encontrar mucho eco que en su origen los pitagóricos concibieron el alma inmortal como una, la

armonia cósmica, y que bajo la influencia posterior del atomismo derivaron hacia el alma personal, en cualquier caso, el alma pitagórica es presencia de la ley universal en el hombre bajo forma de armonia y de justicia . Tras la muerte el alma que bebe de la fuente Mnemosyne deviene divina mientras que la que bebe las aguas del Leteo ha de continuar el ciclo de la reencarnacion ; memoria y olvido salvan el alma o la condenan al tiempo . Muerte , Memoria , Tiempo s probable que el tiempo haya nacido como memoria de lo ausente , escindiendo el lenguaje de la presencia entre la forma verbal de presente y la forma de pretérito ; y es igualmente probable que la primera manera de medirlo haya sido a través de los movimientos del sol y la luna tiempo de hablar y tiempo de observar , palabra ritual y teoria del cosmos . Este doble origen estigmatizará la noción de tiempo, que tenderá a ser a la vez el tiempo perdido que recuperamos cuando la memoria habla y el tiempo que corre con el sol. Sol que se va, mas cuya ausencia es promesa de un renacimiento auroral que ha convencido al hombre que espera su regreso trayendo la luz y el calor de la mafiana. Esta mafiana , que entrafia la creencia en la fidelidad del sol, apunta ya hacia un tiempo por venir; tardiamente debió aparecer la forma verbal de futuro, nueva escisión dentro de la memoria entre lo que fue mas ya no es y lo que fue pero volvera a ser, entre lo pasado que no vuelve y lo pasado que se hara presente. Tiempo de genealogias, anterior al tiempo de la cronologia . Recordar es revivir: con el mismo término los griegos significan "recordar" y "mencionar". En las epopeyas arcaicas aparece "el servidor del héroe", figura cuya misiön es velar para

que su amo, atareado en sus afanes agonisticos, no olvide los designios sagrados que le conciernen o cualquiera de sus deberes. El aedo que con sus versos mantiene viva la historia de la comunidad está inspirado por los dioses que le conceden el don de descifrar la trama invisible del pasado; la memoria en "pretérito perfecto", lo que se acaba de hacer , está al alcance de todos, la memoria en "pretérito indefinido", lo lejano, es privilegio de pocos. No por casualidad es Simónides juntamente el primer poeta que se hace pagar sus versos y el inventor del arte mnemotécnico, asi como el introductor de ciertas mejoras en la escritura afiadiendo letras al alfabeto. Tal secularización de la memoria afiade valor funcional al Tiempo, pero no borra su aura sagrada; su contemporaneo Pindaro emite un lamento con el que aun se identifica nuestra melancolia : "Seres ligados al Tiempo. Qué es y qué no es? El hombre es el sueño de una sombra". Citemos también en la "polis" clasica la figura del "mnemon", memorizador institucional de los sucesos pasados utiles para el funcionamiento juridico, social o técnico. Todavia en el siglo IV a.n.e., en la obra de un historiador como Tucidides encontramos que el pasado se narra según el tiempo lógico y no mediante cronologias . Sabemos que en el segundo milenio a.n.e. ciertas lenguas semiticas no habian desarrollado el tiempo verbal "futuro", sefial de que la construcción de tal idea es relativamente reciente . Entre los griegos la noción de futuro aparece ligada a la mantica , la adivinacion de lo que va a ocurrir . Un hombre, ciego para el mundo según la tradición , es capaz sin embargo , de oir las palabras que la diosa Aletheia le inspira , voz de la que no cabe sospechar lo "pseudös", el incumplimiento . Cuando la religion decaiga el adivino se convertira en simple calculador , estratega de los hechos posibles . La concepciön exclusiva del delito como "delito flagrante" nos hace ver la dificultad de los legisladores antiguos para concebir la transgresión de la ley como algo cuyos efectos permanecen de manera indefinida en el tiempo , sin prescripción . Para acusar de hurto hay que sorprender al ladrón en el momento de la fechoria o encontrar en su casa el botin

como prueba . Igualmente en los contratos comerciales figurar como avalista no implica contraer responsabilidades pecuniarias futuras si el contrato no se cumple , sino poner en juego el propio prestigio como garante de la realización de lo pactado . El interés es el concepto por excelencia en que se imbrican dinero y futuro; aun en Aristóteles encontramos una condena moral del interés monetario como algo contra natura , pues la naturaleza del dinero no consiste en reproducirse sino en servir como vehiculo de intercambio; su multiplicación por el mero hecho de estar en connivencia con el tiempo es contraria a su concepto . El tiempo es algo que los hombres han controlado convirtiendo en medida movimientos regulares , repeticiones de acontecimientos , lo cual permite aplicar orden a cualesquiera procesos humanos ; expresa una forma de relacion del hombre con las cosas . La repetición lleva en si el germen de la diferencia: una vez y otra vez , hoy y ayer . Cuando el tiempo deja de medirse sólo con palabras -dia , verano , lluvias- y se le aplica el número pasa a ser como éste : ilimitado." ; Volvera o no el mismo tiempo? Lo propio de ser un tiempo numéricamente ordenado es ser el mismo" se preguntaba Eudemo . Mismo como el circulo , tiempo ciclico aprisionado en la rueda del retorno que gira en dirección unica : primavera después del invierno . Y una vez preso del tiempo el hombre que habla y observa aspira a librarse de él inventando la eternidad , un tiempo fuera del tiempo , realmente la negación del tiempo: el Eon, el tiempo lógico , que no cronológico , en que viven los dioses , tiempo intocado por la muerte . La teoria del Gran Afio , tiempo necesario para la conclusión simultánea de la rotación de todos los astros alrededor de la Tierra , repetición del mapa celeste , eterno retorno astral , se complementa con el retorno humano merced al alma inmortal órfico-pitagórica . El concepto de eternidad se completa con el de instante: los filósofos matemáticos del siglo V a.n.e. al convertir la aritmética en geometria convierten el ahora -el presente de la accion , de duración indeterminada- en el instante, un punto en la linea del tiempo . Este punto es un punto de no retorno , el

punto que fractura el tiempo , que deja de ser circular , cerrado , y se abre a la recta ilimitada : repeticiön contra diferencia . Y así, al chocar esta recta con el espejo del retorno , el futuro que se iba construyendo como reflexión especular del pasado se ve de repente lanzado hacia si mismo como negación del pasado , a la busqueda de su identidad como lo otro que lo sido ; sobre el redondo espejo quebrado luce la diferencia , recta sin quiebra . Tiempo nuevo de cambio , de desorden , contra el que avisadamente reaccionará el Platón politico , en vano , traicionado por el Platón geömetra . Cuerpo , Espacio P ara nuestros parientes animales el concepto de espacio, bajo forma de territorio , es prioritario sobre el concepto de tiempo , en forma de duración de una determinada acción ; así también para nuestros antepasados durante esos dos millones de años copulativos que los han traido hasta nosotros . La cosmogonía arcaica de los helenos presentaba el Universo surgiendo del Caos y la Noche , separación entre tinieblas de los cielos y la Tierra. Según Tannery , Pitágoras fue el primero en utilizar un concepto cientifico de espacio : el Universo es Uno y desde lo ilimitado se introduce el vacío , el aire y el tiempo ; por un lado el espacio continuo de los cuerpos , por otro el espacio vacio ilimitado ; vacio fundido con el aire , pues la distinción conceptual entre ambos tendra que esperar hasta Anaxagoras y Empédocles. Sera precisamente Arquitas de Tarento , el pitagórico amigo de Platón , quien sugiera el experimento mental de acercarse al limite del espacio y sacar la mano fuera . Una teoria cosmológica atribuida a Filolao nos presenta la metafora organica del Universo vivo que respira el vacio ilimitado; aunque

es una construcciön de alrededor del afio 400 a.n.e.. mantiene su fidelidad al espiritu dualista del pitagorismo antiguo. La geometria pitagörica es una geometria material ; hasta Platón no se formulará la diferencia entre cuerpo fisico y cuerpo geometrico . La unidad pitagörica , que encarna la identidad en la cosa , es el origen y fundamento de los entes fisicos ; el vacio actúa como elemento separador . El punto es definido como "unidad dotada de posiciön" ; lo podemos intuir como una forma primitiva del "ätomo" de Leucipo y Demöcrito . A partir de él se generan las demas dimensiones fisicas : linea/arista , superficie/color , sölido/cuerpo , ejemplarizado mediante el despliegue punto/recta/triangulo equilatero/tetraedro o también punto/linea/cuadrado/cubo. Tras las aporias de Zenon y el descubrimiento de las cantidades "alogös" -nuestros números irracionales- los pitagóricos se ven forzados a introducir ciertas correcciones en sus teorias : abrazan el atomismo y sustituyen la aritmética por la geometria . El concepto de unidad se transforma en el de punto como atomo de dimension infinitesimal ; la linea no sera definida como conjunto de puntos sino como una dimension continua limitada por dos puntos y posteriormente dejara de ser considerada como una cantidad extendida en una dimension -longitud sin anchura- para convertirse simplemente en la primera dimension . Habra que esperar a Platón para que un griego se atreva a pensar en seres sin dimension, sin espacio ; de ahi sus problemas para expresar la Teoria de las Ideas . Seguin Arpad Szabo la aritmética pitagórica es un desarrollo de la filosofia eleática a partir del metodo de demostración indirecta o reducción al absurdo , inaugurado por Parménides para negar la existencia del No Ser y continuado por Zenon en sus argumentos contra la pluralidad del Ser . En cambio, los pitagóricos no pudieron aplicar los principios eleáticos en su geometria porque Zenón no aceptaba conceptos como "espacio", "tiempo" y "movimiento", basados en los conceptos de "punto" e "instante", debido a su negación de la divisibilidad ilimitada. Las definiciones de "unidad" -aquello

según lo cual se dice de algo ser uno- y "numero" -conjunto de unidades- permitieron a los pitagoricos edificar una aritmética deductiva de la que la teoria de los pares e impares, elaborada a mediados del siglo V a.n.e., constituye el ejemplo conocido mas antiguo; por contra , la insuficiencia de las definiciones de "punto" y "linea" condujo a que la geometria tuviera que apoyarse en axiomas y postulados para poder constituirse como ciencia deductiva. Números 1 desarrollo de los números debe mucho a la posibilidad de expresarse mediante la escritura y reciprocamente la invenciön de esta se debe a la necesidad social de registrar la cantidad de bienes poseidos . Por lo que sabemos la escritura cuneiforme aparece entre los sumerios hacia mediados del cuarto milenio directamente ligada a la administración publica; sobre tabletas de arcilla quedarä documentada la propiedad del Estado. La evidente utilidad del invento hará que se transmita a otros pueblos del area mesopotámica, tales como los acadios, hititas, hurritas y elamitas , perviviendo durante milenios. Hacia el 3000 a.C. aparece la escritura jeroglifica en la civilizaciôn egipcia , pero el uso de un material perecedero como el papiro ha impedido que conozcamos mejor sus origenes . El desarrollo de la aritmética queda asi desde su origen vinculado a los sistemas de notación ; en Sumeria se crea una mezcla de sistema decimal y sexagesimal, en Egipto es decimal y en Babilonia sexagesimal „En Grecia se utilizaron dos sistemas diferentes de Respecto a la relación entre la escritura y los sistemas de numeración véase el

numeracion, ambos decimales: el mas antiguo es probablemente el atico o herodiano , de factura iterativa similar a la numeración jeroglifica egipcia , que coexistira a partir del siglo V a.n.e. con el sistema jónico o alfabético , hasta que éste se imponga definitivamente a principios del siglo III a.n.e. En sus inicios los numeros forman parte de sistemas de unidades independientes , de manera que el "cuatro" de contar animales domésticos y el "cuatro" de medir cantidades de cereal se designan con palabras diferentes . Tampoco había correlación entre las unidades de medir longitudes y las de medir areas , asi que no se sabia calcular superficies dadas su longitud y anchura. A finales del tercer milenio encontramos ya la noción abstracta de número , producto de la larga experiencia de los escribas . Hacia el afio dos mil los escribas egipcios y sumerios sabian calcular áreas y volúmenes a partir de longitudes , asi como calcular lo que tardaria una obra en construirse dado el número de obreros y las horas de trabajo diario . Sobre el 1500 circulan en ambos imperios textos escolares que plantean y resuelven problemas matemáticos ; por ejemplo , en Egipto , calcular la altura de una piramide dado su lado y la pendiente ; en Babilonia encontramos un algoritmo para hallar raices cuadradas. La formulación de los problemas en términos no meramente practicos sino académicos denota una larga tradición de ensefianza aritmética . A la cultura helénica le repugna el concepto de infinito ; el nùmero griego es medida de lo cercano , de lo manejable , en cuanto opuesto a lo inmenso , incontrolable . Los pitagóricos elaboran con los numeros una mezcla de mistica y matematica ; las cosas , diran , son numeros , significando con ello que lo numérico hace a la cosa ser lo que es ; el numero queda entronizado como origen y fundamento de lo real . Esta vision entretenido libro de G. Ifrah "Las cifras’, Alianza Ed.

procede probablemente del aprendizaje matemático recibido por Pitágoras en Egipto y Babilonia y debió verse reforzada por la teoria de la armonia musical , trasplantada como sabemos a la armonia de las esferas celestes . La Unidad , que forma las cosas, es la fuente sagrada de los números ; en cambio , a pesar de disponer de la noción de vacio no inventaron el "cero"; probablemente porque el cero no mide cosas no les fue necesario. La Unidad no es un numero determinado ni tiene una dimension determinada , es tan sólo el nombre que recibe su concepto de que hay algo que puede medir cualesquiera cantidades y magnitudes, convicción que caera arrasada ante el descubrimiento de los irracionales , hacia mediados del siglo V a.n.e. Para los pitagóricos sólo existen los números naturales ; a las fracciones , por ejemplo, las consideran como relaciones entre números y no como nümeros; en cambio , muchos siglos antes los egipcios y babilonios si les habían conferido tal dignidad y dominaban el calculo con fracciones unitarias y racionales , respectivamente . Todavia hacia el 370 ane. Arquitas consideraba las potencias cuadradas como numeros superficiales y las cúbicas como números sólidos ; ahi paraba de contar , pues potencias mayores no tenian sentido , no eran reales. La formación del conjunto de los numeros como adición de uno en uno, atribuida al pitagorico Euritos , no aparece hasta el 400 a.n.e., cuando ya el concepto religioso de Unidad ha visto rebajado su prestigio al de un simple numero, aunque conserve la preeminencia entre ellos . Armonia Musical ámblico afirma que Pitagoras aprendié de los babilonios que la serie 6:8:9:12 contenia la armonia musical . Las razones de tales números permiten expresar la

relación entre un tono y su octava -6:12-, entre un tono y su cuarta -9:12-, y entre un tono y su quinta -8:12- 2 Segun Szabo , la palabra "logos" cobra por vez primera el sentido matematico de "medida" por referencia a la relación entre nümeros que designaban intervalos armónicos en un monocordio . Por generalización , "logos" paso a significar la relación entre dos números cualesquiera , lo que nosotros llamamos "razon"; aparece en consecuencia la expresión "ana logos" , igualdad de "razon", que dara nuestros términos "analogia" y "proporciön". Mas tarde , para soslayar la imposibilidad de expresar de forma numérica la "razön-logos" entre ciertos entes , como la diagonal y el lado de un cuadrado, "logos" amplió su sentido a “razon entre magnitudes". Forjar el concepto matemático de "logos" fue, por tanto, la contribución mas importante de los estudios pitagóricos sobre musica al desarrollo de la matematica. La teoria de la armonia musical junto a las Ilamadas tríadas pitagóricas -aunque usadas mucho antes por egipcios y babilonios- se erigieron en los pilares sobre los que la secta levantó su mistica numérica. Por Aristóxeno conocemos que utilizaban la música en rituales de purificación y como terapia, conforme a la tradición chamanistica . Sabemos que Hipaso de Metaponto estudió la armonia en instrumentos unidimensionales como cuerdas , flautas y tridimensionales -mediante discos de metal con dos dimensiones iguales y proporcional la tercera. Parece ser que fue Arquitas el sistematizador de la armonia musical y quien realizé experimentos para probar que la intensidad del sonido es proporcional a la velocidad del movimiento y que si tales velocidades son proporcionales segun ciertas razones simples los sonidos resultantes seran armónicos. Los pitagóricos extendieron la musicalidad a los astros , que al desplazarse producen la armonia de las esferas , inaudible en [2] Szabó conjetura que al principio la octava, quinta y cuarta se representaban mediante la serie 1:2:3:4, es decir . 1:2 , 2:3 y 3:4 respectivamente : el cambio a la serie 6:8:9:12 obedeceria a la busqueda de una medida comün para los intervalos, dicho en nuestros lerminos "minimo comin mültiplo”.

cuanto que oida desde siempre resulta indistinguible del restante material sonoro . El Tiempo , marcado por los astros , queda asi constituido en el ritmo de lo fluctuante , del movimiento . Aritmética K urt von Fritz ha mostrado la importancia de la "visualizacion" en el primer periodo de la matematica griega , no sólo en geometria donde tenemos como ejemplo los teoremas atribuidos a Tales que se basan en la simetria -simetria que salta a la vista- y el famoso problema de la duplicación del area del cuadrado que hallamos en el Menon , sino también en aritmética , donde los teoremas pitagóricos sobre los pares e impares eran demostrados mediante la representación gráfica de los números con piedrecillas . Ello explica que la tetractys , figura triangular de los cuatro primeros números y cuya suma es diez , se convirtiera en el simbolo sagrado de la secta , y que se dedicaran al estudio de los números | 3 poligonales. ..o. .. ee ee è 00000 eee Nümeros Pollgonales [3] 94 El concepto de divisibilidad ocupa un lugar primordial en la matematica pitagórica ; el estudio de la dicotomía les condujo a elaborar su teoria de los pares e impares , la expresión más antigua que conocemos Los griegos solian representar los nümeros empiricamente mediante piedrecillas -psefoi- con las que formaban figuras geométricas : asi oblenian series de numeros poligonales o figurados, por ejemplo, nümeros triangulares, -3. 6. 10. 15...-. 0 nümeros cuadrados -4, 9, 16, 25...

conocemos de matemática deductiva . Oscar Becker mostró que dicha teoria habia quedado recogida como un afiadido a los Elementos de Euclides en los teoremas 21 a 36 del libro IX , más el apéndice 27 del libro X . Posteriormente Van der Waerden demostró que los teoremas 1 a 36 del libro VII habían sido compilados tal cual en algun texto matematico de los pitagóricos del siglo V a.n.e. La generalizacion del concepto de divisibilidad les llevö al estudio de los numeros primos y compuestos . De posterior aparición es el concepto de numeros amigos -aquella pareja en la que los divisores de cada uno suman el otro- y la clasificación de los números en perfectos, deficientes y abundantes, segun que la suma de sus divisores sea igual , menor o mayor que el propio numero . De la teoria armónica surge la teoria de las proporciones , que en el siglo IV.a.n.e. alcanzara su forma canónica con Eudoxo y Euclides . Una proporción es la igualdad de razon entre cuatro numeros -o tres si el segundo se repite ; de aqui derivan los conceptos pitagóricos de media aritmética , media geométrica , media armónica y proporción áurea; esta ultima llegö a ser utilizada como canon estético en arquitectura. Es muy probable que fueran los pitagóricos quienes idearan los procedimientos geométricos para dividir cualquier segmento en la sección aurea y para construir un rectangulo aureo a partir de un cuadrado cualquiera , tal como encontramos en los Elementos de Euclides. Kurt von Fritz ha atribuido al pitagórico Hipaso de Metaponto (1* mitad del s.V. ane.) el descubrimiento de la inconmensurabilidad, mediante la aplicación de la antiféresis al pentágono regular, cuyo lado y diagonal se encuentran precisamente en proporción áurea . [4] Los griegos expresaban siempre las medias como razones entre nümeros. Para a<b<c: Media aritmética: (b-a)/(c-b)=a/a Media geometrica: (b-a)/(c-b)=a/b Media armonica : (b-a)/(c-b)=a/c

Geometria A) Teorema de Pitagoras udemo atribuyó a Pitagoras el descubrimiento de que la suma de los angulos de un triangulo equivale a dos angulos rectos; ello le sirve a Heath para dudar de la version que concede a Tales el mérito de averiguar que el angulo inscrito en una semicircunferencia es recto , pues de ahi hubiera deducido ipso facto que el valor de los angulos de un triángulo equivale a dos rectos . Por lo que respecta al llamado teorema de Pitagoras , textos del segundo milenio a.C. muestran que los egipcios sabian construir angulos rectos mediante triadas numéricas apropiadas ; también en la India en un texto del s. VIII a.C. encontramos la triada 15-36-39 ; en fecha posterior a Pitagoras , hacia el 400 a.C. , el matematico hindu Apastamba usò las triadas 3-4-5 , 5-12-13 , 8-15-17 , 12-35-37, y aunque enuncia el teorema en términos generales no da prueba alguna , pero da reglas para construir un cuadrado de area igual a la suma o diferencia de dos cuadrados dados . Heath aventura que la prueba del teorema que da Euclides en El 1,47 era nueva , por lo cual afiade en El. VI,31 otra prueba basada en la teoria de las proporciones y que debe ser mas parecida a la forma original de la demostracion ; B) Determinacion de areas La determinación de areas es uno de los problemas clasicos de la geometria pitagórica y puede ser enunciado asi :

Dadas dos figuras , determinar una tercera de área igual a la primera y semejante a la segunda . Este campo ha sido llamado por algunos historiadores de la matematica "algebra geométrica", porque los procedimientos empleados representan soluciones geométricas a ecuaciones cuadraticas ; sin embargo , Szabo ha mostrado que tal nombre es del todo inapropiado , pues la mentalidad pitagórica es ajena a toda pretension algebraica . Segun Heath , la parte de los libros I y II de los Elementos en que Euclides trata este problema es una fiel reproducción de la geometria pitagórica. Szabo afirma que el tema de la determinaciön de areas es consecuencia directa de la aplicacion de la teoria numérica de las proporciones a la geometria; se desarrolla asi el estudio de la semejanza de las figuras rectilineas. Se tomo el cuadrado como la figura por excelencia a que reducir todas las demas . Aparece asi el concepto de "media proporcional": el lado de un cuadrado de igual area que un rectangulo dado es media proporcional entre los lados del ultimo; este concepto sera el que conduzca al problema de la inconmensurabilidad de ciertas magnitudes geométricas; asi pues, el asunto de las cantidades irracionales es desde el principio una cuestión geométrica y no aritmética . Es a la luz de la determinación de áreas como hay que comprender problemas clasicos. tan importantes como la cuadratura del circulo y la duplicación del cuadrado . C) Sólidos regulares En su conocida obra "La Republica", escrita hacia el 380 a.n.e, Platon se lamenta del escaso desarrollo de la estereometria, es decir , de la geometria de tres dimensiones. La fuente de tal queja es probablemente su amigo Teeteto , renombrado matematico ateniense a quien Gémino adjudica el mérito de haber inscrito el octaedro y el icosaedro en la esfera , y a quien el propio Platón dedicé uno de sus diälogos . Heath ha sugerido que quizá los pitagéricos del s.V a.n.e. conocian ya los cinco sólidos regulares, aunque sólo tenemos certeza respecto del

cubo , el tetraedro y el dodecaedro ; Jamblico atribuye la construcción de este ultimo y su inscripción en la esfera a Hipaso. Sabemos que los pitagóricos intentaban construir figuras empiricamente juntando angulos en torno a un punto. Asi, uniendo cuadrados de tres en tres surge el cubo y uniendo triangulos equilateros de tres en tres , de cuatro en cuatro y de cinco en cinco se forman el tetraedro , el octaedro y el icosaedro, respectivamente . La construcción del dodecaedro podria haber surgido juntando cinco triangulos equilateros alrededor de un vértice , pues sus bases forman un pentagono regular ; sabemos que esta figura poseia un especial interés para los pitagoricos , ya que su lado y diagonal se hallan en razon aurea ; quiza por eso , como atestiguan diversas fuentes , la estrella pentagonal formada por las diagonales constituia un emblema de la secta . D) Cosmogonia Aristöteles , entre otros , nos ha conservado la famosa tabla de los opuestos en que los pitagóricos concretaban su vision dualista del universo , alineando los valores superiores en un lado y los inferiores enfrente. (Ver tabla, pag.83). Mientras que en la tradición jónica hay una pluralidad de mundos , en la itàlica el Cosmos es Uno , Uno que se concibe con limites . Que Pitagoras Ilamara "lo Otro" a la materia apunta ya al trasfondo matemático de la "physis", a la tesis de que las cosas son numeros . Estos numeros no tienen existencia separada de los cuerpos sensibles que encarnan ; seran , sin embargo , junto a la nociön geometrica de "figura" un precedente fundamental del concepto platonico de "idea". Sexto Empirico menciona a físicos pitagóricos que sostenian que los primeros principios son imperceptibles e incorpóreos , es decir , anteriores a los cuerpos : puntos , lineas , superficies , sólidos . Las unidades pitagóricas que constituyen el Uno son a la vez aritméticas , geométricas y fisicas ; el universo fisico aun no ha sido diferenciado del matemático , como criticará Aristóteles en

su "Fisica". Mediante yuxtaposición los puntos generan lineas, éstas forman triangulos equilateros , que a su vez originan tetraedros que componen los cuerpos . Posteriormente, quiza para evitar las paradojas de Zenon , aparece el concepto de "fiuxi6n": el punto fluye generando la linea , esta fluye formando el cuadrado , que a su vez fluye originando el cubo y de cubos se componen los cuerpos . Quienquiera que lea el "Timeo" platonico escuchara los ecos de esta doctrina . La concepción cuantitativa que vincula materia y números lleva a los pitagóricos a pensar los numeros como algo que se genera : el cambio de la cosa es el aumento o disminución de unos números que se generan o desaparecen ; no concebirlos como formas intemporales merecera la reprimenda de Aristôteles. Lo impar y lo par son los principios de los numeros ; creo que la superioridad de lo impar se debe a que la unidad es el principio de diferencia , lo que le falta a un numero para generar el siguiente , aunque no hay testimonio fehaciente de esta concepcion hasta finales del s. V a.n.e.; en cambio , lo par es principio de repetición , lo que dobla o dicotomiza. ,Como conciliar esta explicación con el hecho de que sabemos que los pitagóricos no consideraban el uno como un numero , sino como la fuente de todos los números y era por tanto par e impar a la vez? Cornford ha mostrado que parte de la confusión que se produce ya en los comentaristas antiguos se debe a los múltiples sentidos de los términos "to hen" , "he monäs" y "héros"; hay que distinguir entre Uno-universo, Uno-unidad primordial/nümero 1, uno-identidad/unicidad/cosa y unidad-miembro de una pluralidad. Aqui el logos hunde sus raices en en lo mitico ; el Uno (universo) en el origen fue algo unico : una unidad . En "De sensu" Aristóteles se interroga sobre como seria esa unidad primordial y apunta dos respuestas posibles : o un sólido geométrico , a la manera de Platón en el "Timeo", o una semilla con capacidad de engendrar ; probablemente fue imaginada como ambas . Pero lo Uno no consta sólo de de cuerpos , también de vacio: el aire ilimitado .

Fuego y Aire son los primeros principios que concurren en la unidad primordial ; el Fuego , que en la cosmologia pitagorica ocupa el centro de la Tierra ( y en el tardio sistema de Filolao el centro del Universo ) es el principio de lo Limitado , de la Luz, del Calor ; el Aire es el principio de lo Ilimitado , de la Oscuridad , del Frio , aquello de que se componen las almas . El Uno es un ser vivo que respira: el Fuego nutriendose del Aire ; asi crece y se desarrolla . Por tanto , la unidad primordial es un tetraedro de Fuego que se reproduce ; la condensación de piramides igneas producirá Tierra y Agua según el mayor o menor vacio que las separe . E) La Matematicas interacción entre Filosofia y Los estudios de Neugebauer sobre las matematicas egipcia y babilónica muestran claramente que la principal diferencia con la matemática griega radica en el paso de lo meramente empirico a lo teórico : no hay rastro en las primeras de conceptos tales como prueba , demostración , axioma o teorema. Karl von Fritz ha distinguido una primera fase visual en la matemática helena que comprenderia los teoremas atribuidos a Tales , basados en la simetria y superposición de figuras planas , así como la aritmogeometria pitagórica de los psefoi ; la reacción posterior en contra de lo empírico y en favor de lo teórico podría detectarse tanto en la insistencia de Platón sobre la idealidad matemática -véase Menón y República- cuanto en los esfuerzos de Euclides por eludir lo visual en sus demostraciones. {Cuando comienza la fase deductiva ? Arpad Szabó ha investigado la cuestión rastreando filológicamente los orígenes de conceptos matemáticos fundamentales . Euclides utiliza en la construcción de su sistema los términos "horoi" (definiciones), "aitemata" (postulados) y koinai ennoiai (nociones comunes) ; ya hemos visto que "horoi" remite a la teoria pitagörica de la armonia musical ; "aitemata" tiene un origen dialéctico ,

significando requisicién , demanda : son asunciones que se estipulan , pero que no es necesario compartir ; las “koinai ennoiai" son comunes porque valen para todos los libros de los Elementos , y por tanto , para toda la matemática conocida ‚pero ademas son proposiciones autoevidentes . Tannery fue el primero en Sefialar que Euclides no utilizaba en los "Elementos" algunas de las definiciones que proporcionaba al inicio del libro primero , asi como la distinta terminologia empleada a veces en las definiciones, por un lado , y en las proposiciones y pruebas , por otro ; de ahi concluyó que el intento de fundamentar las matemáticas era anterior a Euclides y que éste habia respetado ciertos términos y definiciones antiguos manteniéndolos al principio de los "Elementos". Aristóteles consideraba elemental para toda ciencia la investigación de sus primeros principios (archai) y en sus "Primeros Analiticos" encontramos la discusión mas antigua sobre la fundamentacion de la matematica ; en los "Segundos Analiticos" distingue dos tipos de "archai": "tesis" y "axioma"; aunque ni unos ni otros pueden ser probados , para aprender una Ciencia es necesario conocer los ultimos , no asi las primeras , que divide a su vez entre "hipétesis" (proposiciones existenciales) y "horismos" (definiciones). La diferencia sustancial entre los principios fundamentales de Aristóteles y Euclides indica que aunque el estagirita debió ser influido por el desarrollo de la matemática elaboró una concepción propia sobre como fundamentar toda ciencia . En la filosofia platónica hallamos un doble uso del término "hipötesis", que se refiere tanto a proposiciones que fundamentan las matemáticas como a cualquier asunción "ad hoc" de la que se parte en una determinada argumentaciön. Es célebre la diferencia que establece Platón entre el pensamiento noético y el matemático: el primero demuestra todas sus hipótesis de partida mientras que el segundo las deja sin demostrar . En sus diálogos encontramos numerosos razonamientos en los que la aparición de una contradiccigon motiva el rechazo de la hipótesis inicial , a la manera en que los pitagóricos deducian por demostración

indirecta. Szabo considera que en esa época la matematica era una rama de la dialéctica -de ahi la similitud de sus métodos- y cree probable que las primeras "hipétesis" usadas en matemáticas fueran las de Hipócrates de Quios en sus perdidos "Elementos" (430 a.n.e.) según referencia de Eudemo; fuentes antiguas atribuyen asimismo los tres primeros postulados de Euclides a Enöpides de Quios (440 a.n.e.). Recordemos que O. Becker y Van der Waerden demostraron que ciertos teoremas de los "Elementos" habían sido elaborados por los pitagóricos de mediados del s.V a.n.e. Tras haberse remontado hasta ahí Szabó anuncia su tesis principal : el origen de la deducciön es la demostraciön indirecta forjada por los filósofos eleáticos, de quienes la toman los pitagóricos . Los historiadores de la cultura griega habían dado siempre por supuesto lo inverso , siendo los eleáticos deudores de los matemáticos. En la filosofia helena del s. VI a.n.e. -Tales, Anaximandro, Anaximenes, Jenófanes- no hay trazas de pensamiento deductivo , como no las hay en la obra de Heráclito y Alcmeón hacia el 500 a.n.e.; en cambio, los primeros sofistas , hacia el 450 a.n.e., creadores de la Retórica, ensefiaban a ejercitarse en el diálogo polémico defendiendo o atacando sucesivamente una tesis y su antitesis desvelando , entre otros medios , las contradicciones a que daban lugar . Es por tanto en la primera mitad del s.V a.n.e. cuando surge la deducción ; ahora bien, el estudio sobre si la prioridad de su invención corresponde a filósofos o matemáticos se ve dificultada por el hecho de que no poseemos testimonios directos de la matemática de esa época, aunque si de la filosofia . Sabemos, no obstante , que surgen al mismo tiempo el antiempirismo logicista eleático y el antiempirismo matemático que se aparta de lo visual ; en ambos casos el instrumento es el mismo : la demostración indirecta o reducción al absurdo . Su importancia queda clara cuando constatamos que de los teoremas del s.Va.ne. conservados en los "Elementos" -VIL1-36 Y IX,21-36- ventiuno se prueban por demostración indirecta. Esta forma pristina de deducción se halla por vez primera en el Poema

de Parménides , escrito hacia el 485 a.n.e. , donde se demuestra que el Ser es y que el No Ser no es mostrando las contradicciones que surgen de afirmar las tesis contrarias : que el Ser no es y que el No Ser es. Sera Zenon, llamado por Aristóteles "padre de la dialéctica" quien popularizarà este método de reducción al absurdo mediante sus célebres aporias contra la pluralidad y el movimiento, escritas en defensa de la doctrina de su maestro ; de él lo tomarán los sofistas. Szabo cree que el éxito de la demostración indirecta entre los matemáticos se debi6 a la prueba de la existencia de magnitudes irracionales; en efecto, la inconmensurabilidad no es algo empirico , sino puramente teórico, y su descubrimiento es lo que imprimió probablemente a la matemática griega un cambio de rumbo que la convertiria en esa obra de ingenieria deductiva que han admirado las centurias posteriores. Bibliografia CAPELLE, W. "H? de la F° griega ". Ed. Gredos CORNFORD, F. "Platón y Parménides". Ed. Visor "Principium sapientiae". Ed. Visor "Antes y después de Socrates ", Ed. Ariel DETIENNE, M. "Los maestros de verdad en la Grecia arcaica ".Ed. Taurus DODDS, E. "Los griegos y lo irracional", Ed. Alianza EGGERS, C. "Los filósofos presocraticos", Ed. Gredos. GERNET, L. "Antropologia de la Grecia antigua" Ed. Taurus GIGON, O. "Los origenes de la F* griega" Ed. Gredos JAEGER, W. "La teologia de los primeros filósofos griegos" Ed. F.C.E.

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