La inconmensurabilidad y el problema de la constitucion de la materia en la teoria pitagorica

> DI Ea Ausoz VAE, A SAK? SATE D. VA - 2.2 LA INCONMENSURABILIDAD Y EL PROBLEMA DE LA CONSTITUCION DE LA MATERIA EN LA TEORIA PITAGORICA El teorema de Pitágoras provoc6 el descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con sus lados. Este descubrimiento constituyó un rudo golpe para los primeros pitagóricos, que creian que «las cosas son números enteros», (E.d., creian que las figuras geométricas se identificaban con nümeros enteros, y, en último término, también el mundo fisico). Ahora resultaba que el fundamento para la construcción de un triängulo rectángulo no puede encontrarse en ninguna proporción entre números enteros. La fecha del descubrimiento de los irracionales ha sido muy discutida. Es anterior sin duda a Platön (1). Según van der Weerden (2), el descubrimiento de la irracionalidad del 2 fue obra de la escuela pitagórica a mediados del s. V, partiendo de su teoría de los números pares e impares. (Como indica Aristöteles (3), si la diagonal fuese conmensurable, cl mismo numero tendria que ser impar y par). & Qué actitud adoptan los pitagóricos ante ese descubrimiento? Recurrieron a la llamada «teorfa del flujo». En la primera etapa pitagórica, antes de sufrir los embates de Zenon, su creencia era que las unidades aritméticas son puntos extensos. Se identifican la unidad aritmética y el punto geométrico. La unidad (4) genera los demas numeros. Dada la identidad entre los núme- (1) Teereto 147 d, en que sc indica que el problema era ya conocido ante- ‚riormente. (2) «Die Arithmetik der Pythagorcer», Mathematische Annalen, 1948, p. 152-3. Sobre este punto véase la obra de K. von Fritz, Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, Berlin, 1971: «Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont», p. 545 ss. (3) (4) 2 MM Analyt. Prior. 44 a 26. Cf. Alcjandro de Afrodisia, Meraph. 512, 37. N FANSILSTA DE ESA PSS WAGicos, HUMAN, AS. LE SANS NEST IUT ©

EL INCONMENSURABILIDAD PROBLEMA DE LA CONSTITUCION LA MATERIA EN LA TEORIA PITAGORICA El teorema de Pitagoras provocò el descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con sus lados. Este descubrimiento constituyö un rudo golpe para los primeros pitagöricos, que creían que «las cosas son números enteros». (E.d., creían que las figuras geométricas se identificaban con números enteros, y, en último término, también el mundo físico). Ahora resultaba que el fundamento para la construcción de un triángulo rectángulo no puede encontrarse en ninguna proporción entre números enteros. La fecha del descubrimiento de los irracionales ha sido muy discutida. Es anterior sin duda a Platón (1). Según van der Weerden (2), el descubrimiento de la irracionalidad del 2 fue obra de la escuela pitagórica a mediados del s. V, partiendo de su teoría de los números pares e impares. (Como indica Aristóteles (3), si la diagonal fuese conmensurable, el mismo número tendría que ser impar y par). ¿Qué actitud adoptan los pitagóricos ante ese descubrimiento? Recurrieron a la llamada «teoría del flujo». En la primera etapa pitagórica, antes de sufrir los embates de Zenón, su creencia era que las unidades aritméticas son puntos extensos. Se identifican la unidad aritmética y el punto geométrico. dad (4) genera los demás numeros. (1) La uni- Dada la identidad entre los núme- Teeteto 147 d, en que se indica que el problema era ya conocido anteriormente. (2) «Die Arithmetik der Pythagoreer», Mathematische Annalen, 1948, p. 152-3. Sobre este punto véase la obra de K. von Fritz, Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, Berlin, 1971: «Die Entdeckung der Inkommensurabilitát durch Hippasos von Metapont», p. 545 ss. (3) Analyt. Prior. 41 a 26. Cf. Alejandro de Afrodisia, Metaph. 512, 37.

MUNOZ VALLE ros y las figuras geométricas, «el 1 es el punto, el 2 la linea, el 3 el triángulo y el 4 la pirámide» (5). Si el 1 es un punto y los demás números son engendrados por él, los demas números son puntos. La linea, por tanto (que equivale al dos), está constituída por dos puntos extensos y discretos, colocados uno junto al otro. El 3 se identifica con el triángulo (3 puntos), la figura plana más simple, y el 4 con la pirámide o tetraedro (4 puntos), que es el sólido más simple. Como resulta que las figuras geométricas tienen existencia real (6), la conclusión es que las magnitudes (la materia física) están formadas por la juxtaposición de puntos discretos, puntos que son a la vez extensos. (Para los pitagóricos, la generación de los números y la de los elementos de la geometría y la del universo físico es una y la misma: todo procede de la primera unidad-germen (7); la coincidencia entre la primera unidad y el germen que origina el cosmos se indica expresamente en Teón de Esmirna) (8). Pues bien, esta concepción de las figuras geométricas (y de la materia fisica) como formadas por números enteros sufrió un primer (5) Espeusipo en Theolog. Arith., p. 84, 10, ed. Falco; DK 44 A 13, Este tratado se atribuye a Jámblico y se supone que se basa en Nicómaco de Gerasa, que escribe hacia el a. 100 d.C. su Introd. a la Aritm. Pero el autor indica expresamente que el pasaje citado remonta a Espeusipo, el sobrino de Platón y su sucesor en la dirección de la Academia, que había escrito una obra Sobre los Numeros Pitagóricos. Espeusipo afirma en dicho pasaje que el número diez, además de las relaciones básicas musicales, contiene también las fórmulas de la línea, de la superficie y del sólido; pues el 1 es un punto, el 2 una línea, el 3 un t.iángulo y el 4 una pirámide. Poco después dice que el punto es el primer principio respecto a la magnitud; la línea, el segundo; la superficie, el tercero; y el sólido, el cuarto. En el mismo pasaje se indica que su obra Sobre los Números Pitagóricos se inspira sobre todo en Filolao (Theol. Arith, 82, 10, ed. Falco) de quien hablaremos más adelante. (6) Cf. Aristóteles, Meraph. 1090 b 5. La prueba más palmaria de que tienen existencia real es el tetraedro (compuesto de 4 unidades-puntos-átomos), el sólido geométrico más simple, que ya es de por sí un cuerpo físico. (7) Cf. Aristóteles, Metaph. 1091 a 12; Phys. 213 b 22; Alejandro de Afrodisia, citado en nota 4. (8) Al hablar de la sexta tetraktys 97, 17 ed. Hiller. Recoge once tetraktys, tomadas todas probablemente de un autor pitagórico (si se exceptúa la segunda, a propósito de la cual alude expresamente al Timeo de Platón). Dice Teón que la «sexta fetraktys corresponde a los seres que reciben la existencia por generación. El esperma es semejante a la mónada y al punto; su aumento en longitud se asemeja a la díada y a la línea; el aumento en anchura, a la triada y a la superficie; el aumento en grosor, a la tétrada y al sólido». Así pues, el mismo proceso da origen a los números, a las figuras geométricas y a los seres del mundo fisico.

INCONMENSURABILIDAD ataque al descubrirse la inconmensurabilidad, 19 segün queda dicho: ninguna proporción entre números enteros puede ser la base para la construcción de un triángulo rectángulo. Por otra parte, las críticas de Zenón iban dirigidas contra esa visión de las magnitudes constituidas por puntos discretos y a la vez extensos. La solución a estas objeciones se buscó en la «teoría del flujo». Pero antes ya salieron al paso a dichas objeciones Filolao y Eurito de Tarento, dos pitagóricos contemporáneos de Demócrito (9). Kirk-Raven (10), Según en un pasaje de la Metafísica de Aristóteles (11), se contiene ya una nueva teoría de la constitución de las figuras geométricas (y de la materia): la línea no esta formada por dos puntos extensos y yuxtapuestos; la línea es una extensión de magnitud continua; lo que hacen esos dos puntos es limitarla, e.d., los puntos no constituyen la línea sino que son sus límites (la línea esta formada por la continuidad, por lo «ilimitado»). Esta concepción de los puntos como límites aparece asignada a Eurito por Aristóteles en otro pasaje de la Metafísica (12) (9) D. La., IX 38, Ambos fueron maestros de toda una generación de seguidores del pitagorismo (D. La., VIII 46). contó entre los oyentes de Filolao. Cebes, el personaje del Fedón (61 e), se Sobre los problemas de la obra y los «fragmentos» de Filolao, cf. J. E. Raven, Pythagoreans and Eleatics, Cambridge, 1948, p. 94 ss.; Kirk-Raven, Los Filös. Presocr., tr. esp., Madrid, 1969, p. 429 ss.; Guthrie, À History of Greek (10) Philos., Cambridge, O.c., p. 441 ss. and El., p. 109. 1962, I, p. 329 ss. Esta hipótesis ya aparece formulada en Raven, Pythag. Es ahí donde afirma que para refutar las objeciones de Zenón, Filolao y Eurito elaboraron la nueva teoría que aquí exponemos, teoria anterior a la del «flujo», que, según Raven, se ha de fechar por la época de los pitagóricos contemporäneos de los discípulos de Platón que la acogieron. Guthrie (o.c., /, p. 264) se limita a exponer la hipótesis de Raven sobre la teoría de Filolao y Eurito sin hacerla propia ni rechazarla, En cambio, creo que la «teoría del flujo» que exponemos a continuación, es propia de la Academia, posiblemente de Jenócrates. Como otras doctrinas platonianas fue atribuida a los pitagóricos por autores tardíos que apenas distinguieron entre la escuela de Platón y la de Pitágoras. influjo pitagórico en Platón y sus seguidores. De hecho, hay gran Pero, de todos modos, Aristóteles cuando habla de la «teoría del flujo» (De An. 409 a 3), lejos de presentarla como pitagórica, da a entender que es propria de Jenócrates y sus compañeros de la Academia. Sobre este punto volveremos más adelante. (11) Metaph. 1036 b 8. Los partidarios de la teoría que expone aquí Aristiteles son los pitagóricos, según indica Alejandro de Afrodisia (cf. Kirk-Raven, o.c., p. 441). (12) Metaph. 1092 b 8, en que se expone una de las teorias propuestas para explicar como los nümeros son la causa de las substancias y del ser. A continuaciön

MUNOZ VALLE Se cuenta (13) que Eurito utilizaba guijarros para delinear la forma externa de un hombre, un caballo, una planta. La explicaciön que parece mas adecuada (14) es que con los guijarros delimitaba las superficies peculiares del hombre, p. ej., y contaba después el numero de puntos que limitaban esas superficies (e.d., el nümero de guijarros). Asi como el tetraedro podia ser representado por el nùmero 4 (que es el nümero de puntos que delimitam sus superficies), de la misma manera el hombre o el caballo podia ser representado por el nimero de puntos (guijarros) necesarios para limitar las superficies que comprendian su dibujo (250 para el dibujo del hombre en la suposiciön que recoge Alejandro de Afrodisia) (15). Asi la esencia del objeto dibujado, expresada en sus términos más generales, consistía en el número de puntos limitadores. Con esta nueva concepción de los puntos como límite de las superficies la generación pitagórica de la época de Filolao y Eurito trató de responder a las objeciones de Zenón (16). Como queda dicho en líneas precedentes, la «teoría del flujo» es un paso más allá de la «teoría de los puntos-límite» en el propósito de responder a las objeciones de Zenón y de resolver el problema de las magnitudes inconmensurables (17). se expone la de Eurito: los números se conciben como límites, a la manera como los puntos límites de magnitudes. (13) Metaph. Aristóteles, 827, 9; Metaph., Teofrasto, Le. DK 45, en la n. 12; Alejandro de Afrodisia, 2. (14) Kirk-Raven, o.c., p. 440 ss. (15) O.c., Lc. en la nota (16) Por otra parte los pitagóricos 13. postparmenideos ya no conceptuaron la unidad como impar sino que, según ellos, participa de la naturaleza de lo impar y de lo par (si se añade a un número par lo hace impar; si se añade a uno impar lo hace par), como indica Teón de Esmirna, p. 21, 20 ed. Hiller. Ahora la unidad no se identifica ya con el Límite, sino que participa de la naturaleza del Límite y de lo Ilimitado. No se sigue considerando a la primera unidad como punto de partida de la cosmogonía en el sentido de que deba su nacimiento a la «inhalación» de vacio desde lo Ilimitado (Estobeo, Ant. 1 18, Ic; Aristóteles, Phys. 213 b 22) y de que el Ser se desarrolla cada vez más a partir del vacio. Los pitagóricos postparmenideos replican así a la objeción de Parménides (fr. 8; Simplicio, Phys. 145, 6-11) que rechazaba el concepto del vacío y la posibilidad de que de lo no-ente nazca algo. (17) Cornford (Plato and Parmenides, Londres, 1950, reimpr., p. 12), supone que la «teoría del flujo» nació del intento de refutar las objeciones de Zenón y resolver las dificultades creadas por el descubrimiento de los irracionales. opiniones al respecto, cf. Guthrie, o.c., J, p. 265, n. 1. Sobre otras

INCONMENSURABILIDAD En la mas antigua doctrina pitagörica los nümeros, las figuras geométricas y los cuerpos fisicos se generaban a partir de una progresiôn aritmética. métrica. La nueva doctrina propone una progresiön geo- Ya no se trata de la generaciön de la linea, el triängulo y la pirámide (1, 2, 3, 4), sino de la generación de la linea, el cuadrado y el cubo (1, 2, 4, 8). Aristóteles menciona esta innovación en el libro primero del tratado Sobre el alma (18), entre las diversas teorías sobre la naturaleza del alma. En este caso se define el alma como «un número que se mueve a sí mismo», definición que rechaza el filósofo. Los principios básicos de esta teoría, según Aristóteles son: «el punto es una unidad dotada de posición. El punto en movimiento forma una línea; la linea en movimiento forma una superficie». Como hemos indicado en la nota 10 de este trabajo, Aristóteles no cita el nombre del propugnador de estas ideas, aunque hay motivos para creer que se refiere a Jenócrates, el discipulo de Platón (19). El filósofo escéptico Sexto Empirico, a fines del s. II d.C., en su tratado Adv. Math. (20), expone también la «teoría del flujo», advirtiendo que es posterior a la de la de los puntos constitutivos de las figuras geométricas. Afirma con toda claridad que es propria igualmente de los pitagóricos (afirmación que repite Proclo (21)), pero, según Guthrie, nada puede concluirse sobre seguro (22). Sexto Empírico escribe: «algunos dicen que el cuerpo se compone a partir de un punto. En efecto, este punto fluyendo produce una línea; la línea fluyendo produce un plano; y éste moviéndose en profundidad engendra el cuerpo tridimensional». Proclo (23) expone juntas ambas teorías (la que define la línea «como la fluxión de un punto» y la precedente), advirtiendo que considera la que deriva del punto la línea, el triángulo y la pirámide como «más pitagörica». Como queda dicho (24), Cornford y Raven (25) suponen que la doctrina de la progresión geométrica, que «todo lo construye e partir (18) 409 a 3, (19) Plutarco (Procr. An. 1012 D) y Andronico de Rodas (citado por Temistio en De An. p. 59, 8) nos informan de que la doctrina que definía el alma como «un número que se mueve a sí mismo» era propia de Jenócrates. (20) X, 281. (21) In Eucl., p. 97, ed. Friedlander. (22) La opinión al respecto de Guthrie queda expuesta en la nota 10, (23) Texto citado en la nota 21 de este trabajo. (24) Cf. nota 10. Pythagoreans and Eleatics, citada, p. 109.

MUNOZ VALLE de un solo punto», en frase de Sexto Empirico (26), fue elaborada por los pitagéricos postparmenideos con el propösito de modificar, y salvar asi, las tradiciones de la escucla ante los intentos demodedores de los eleaticos: la linea (y por tanto los cuerpos fisicos) ya no estaba formada por yuxtaposiciön de puntos discretos y ademäs dotados de magnitud: por tanto las objeciones de Zenón carecían de sentido. Por otra parte, si el descubrimiento de la inconmensurabilidad habia demostrado que las figuras geométricas no se identificaban con nümeros enteros, la nueva teoria acusando el impacto, replicaba que las figuras geométricas no estaban formadas por una sucesiön de numeros enteros sino a partir de un solo punto que, fluyendo, daba origen a todas ellas y, en virtud del mismo proceso, al mundo fisico. Isinoro MUÑOZ VALLE Adv. Math., X, 281,