La terminologie grecque du "Rapport"et de la "Proportion"

La terminologie greque du "Rapport"et de la "Proportion" In: Acta Antiqua, XXVII - 1979 - p. 353 — 580 i i P yay abus f SZ 5-4 notes Jef FaLus R., La terminologie grecque du rapport et de la proportion : AAntHung XXVII 1979 353-380. | Les termes relatifs au concept de proportion et de { juste mesure forment une part importante et caractéristique de la cosmovision grecque. Étude sémantique des mots et concepts suivants: Aóyog, dvà Adyov, dvadoyla et le théorème de Pythagore, ouupetpla, Buôué-, ¢2zovle et les termes de charpenterie. (5372 Acta Ambac Made, Seveahnrrcon [hamGarri Chtk. UV For

ET DE LA «PROPORTION» Les mots et les expressions faisant partie du champ notionnel de la juste mesure et de la proportion mettent en jour, tous, des caractéristiques essentielles de la société et la culture grecques anciennes. A l’encontre des traits «orientaux» de l’exagération, de l’orgueil, du despotisme hostile à toute communauté et du chaos ont-ils mis l’accent sur les idées démocratiques et humaines de l’ordre légal. Le fait que dans le vocabulaire des diverses formes de conscience (éthique, cosmogonie, esthétique) se retrouvent en grand nombre des verbes, des noms, des adjectifs et des adverbes de pareille signification tient également à cet effort de créer une vision du monde entière et homogène. Il est tout aussi naturel que les notions ont, elles-mêmes, obtenu leurs nuances de sens différentes justement à l’intérieur de cette philosophie globale - en fonction de tel ou tel aspect de l’ordre et de la proportion qu’elles indiquaient. Il y a dans ce cercle d’idées une quantité de mots qui ont passé dans la terminologie d’autres sciences justement des mathématiques: ainsi done, l’examen de leur origine et de leurs changements de sens pourra-t-il être fructueux d’un point de vue plus général également. La postérité doit, elle-même, être reconnaissante de l’immense travail de documentation, de systématisation et d'interprétation envers des historiens positivistes de mathématiques qui -- ayant donné un aperçu historique des découvertes de l’arithmétique et de la gémométrie grecques ont défini, avec de plus en plus d’exactitude ces notions-là.! Une conséquence de leur méthode consiste cependant A avoir traité justement le point de vue de l’historicité d’une manière assez formelle, ce qui a abouti soit A une interprétation descriptive des notions, soit à la projection à la science grecque des principes et des méthodes qui sont ceux des mathématiques modernes. Mémes les ouvrages les plus remarquables restent sans nous faire apprendre la raison pour laquelle on a désigné les notions de proportion, de progression, de proportionnalité (a:b —c:d) justement par le nom dvaloyia ni la manière dont celles-ci s'étaient rattachées l’une à l’autre. 'En premier lieu est à rappeler: P.-H. MicHeL: De Pythagore à Euclide. Paris, 1950. Un excellent dictionnaire spécial, mais qui, tout en constatant les changements sémantiques des termes reste, pour plus d'un cas, sans en donner l'explication: CH. MuUGLER: Dictionnaire historique de la terminologie géométrique des Grecs. Paris, 1958.

Sous cet aspect encore trés importantes sont les études et la monographie d’A. Szabó.? Le plus grand intérêt de son interprétation d’analogia réside dans ce qu’il a pris pour point de départ de nombreux passages d’Euclide premier lieu Elem. V. défin. 6 et VII. défin. 21 en pour préciser la signification mathématique du nom dvaloyia et de l’adverbe avdAoyor: les deux ont désigné que le rapport de deux quantités est identique. D’une manière convaincante il ajoute aux textes mathématiques une définition d’Aristote: «L’analogia c'est l’identité des rapports» (Hth. Nie. 1131 a 31). Qu'il nous soit permis de citer, à titre de supplément, un passage de la Poétique, où nous trouvons affirmée la même chose dans la motivation des métaphores poétiques: «J’appelle analogia (ro dvdZoyor) lorsque le second est au premier comme le quatrième au troisième c’est-à-dire que le poète emploie le quatrième au lieu du second ou le second au lieu du quatrième, en y ajoutant, éventuellement, le nom auquel se rapporte la métaphore et que celle-ci remplace. Par exemple la coupe à vin est à Dionyse comme le bouclier est à Arès. Le poète peut donc appeler la coupe à vin bouclier de Dionyse, et le bouclier, coupe a vin d’Arés. Ou bien la vieillesse est à la vie comme le soir à la journée; aussi le poète peut-il appeler le soir, la vieillesse de la journée ou comme Empedocle — la vieillesse, le soir ou le crépuscule de la vie.» (Chap. 21 = 1457 hb) Pour de nombreuses questions de détails cependant je ne peux pas admettre les interprétations d’A. Szab6;3 or, cette différence de vues devient dominante lors de l’interprétation du syntagme dvd Aöyov. C'est qu'il m’est impossible d'admettre la traduction de cette expression par «je nach Logos gleich». A l’encontre de l'interprétation «égaux par leur rapport» j’attribue à cette expression et à l’adverbe qu’on en avait formé en l’écrivant en un mot, le sens de «selon le même rapport», et employé comme adjectif, je applique à des choses «we trouvant dans le même rapport». Au premier abord il peut paraître comme si entre les deux interprétations il n’y avait aucune différence de sens (l’une comme l’autre semblant expliquer la formule aristotélienneeuclidienne a : b = c : d). Il n’est cependant pas du tout indifférent de savoir ? Sa monographie contenant aussi les données de ses études antérieures: A. SZABÖ: Anfänge der griechischen Mathematik. Budapest, 1969. Sur les sujets traités dans le présent article voir pp. 191—224. 3Tl a tout à fait raison à tirer l’attention sur le sens opposé des prépositions dvd et xatd dans les cas où elles ont une fonction de complément de lieu (1. en avant, en haut, 2. un peu partout, en bas), mais de ceci il ne s’ensuit pas nécessairement que ce caractère opposé, l’usage l'aurait fait valoir chaque fois et dans tout. Je ne peux pas admettre l’insistance exageree sur la valeur distributive de dvd et encore moins ceci que le syntagme dvd Aöyov et Vadverbe dérivé de celui-ci par l'écriture en un seul mot seraient à compléter, vu leur sens, par l'adjectif {oo ou loa et que la forme plus complète aurait plus tard dérivé de cette forme elliptique. L’adjectif avaloyog 2 je ne le trouve point «hybride», et je ne partage pas la conception du nom dvadoyía comme «adverbe substantivé». — Au lieu de toute polémique mon devoir principal est l'argumentation positive, par cela même que — cette fois encore je ne peux pas omettre de le rappeler — c'est justement les conclusions suggestives des ouvrages d’A. Szabó que j'ai prises pour point de départ en écrivant la plupart de mes études au sujet d’histoire d’idees.

dans quel processus linguistique et intellectuel l’adverbe dérivé d'un syntagme (nom avec préposition) et le nom analogia se sont-ils bien formés. En choisissant, pour l’explication du mot, la seule méthode adéquate, c’est-àdire la méthode historique, il nous faut partir du sens — plus exactement des sens -- du nom logos. Logos Le mot Adyog appartient aux noms paroxytones et dérivés des verbes en e que les manuels de grammaire appellent généralement «nomina rei actae» (noms des choses créées par une action). Tel le pógos «chose apportée à tel lieu, impôt», dérivé du verbe géow «apporter», ou le véuos «partie distribuée», dérivé du verbe véuæ «distribuer». C’est de la même façon qu’on a formé, à partir du verbe Aéyw signifiant «dire», le nom 46yos ayant le sens de «mot, parole». Seulement cette explication est elle-même sans valeur absolue. Comme dans le hongrois il y a beaucoup de participes actifs qui ne désignent pas la personne agissante (c’est-à-dire qu’ils ne deviennent pas «nomina agentis»), mais la chose créée par l’action, ou bien l’objet de l’action, dans la langue grecque il y a également des variantes de sens: la signification du nom vóuos «partie, portion» se trouve, dès l’époque archaïque, élargie et il désigne pour la plupart du temps «l’ordre établi par une distribution juste», «règle», doi», «traditions — c’est-à-dire l’action elle-même, ou la manière, le principe de celle-ci. Toujours de la même façon xdpos exprime non seulement «quelque chose de traversé, sentier, gué», mais aussi le «moyen du passage ou de quelque autre but»; redrog lui, n'est pas seulement «chose retournée, ou tour», mais aussi «caractère, manière».4 Or, entre «mot parlé, parole» d'une part et d’action de parler», de l’autre, il n’y a bien entendu pas de différence fondamentale, il nous faut quand même compter avec la possibilité des variantes de sens en examinant quand, comment et pourquoi ce même nom a-t-il obtenu le sens de «rapport». C'est que cette nouvelle signification est effectivement attestée dès la littérature du 5° siècle et Platon, lui, l’emploie tantôt dans le sens de «parole, 4 Il se peut que dans un état primitif de la langue grecque les verbes désignant «coucher» et dérivés du radical Aex- et d’autre part ceux désignant «choisir, rassembler, amasser, Compter» et dérivés du radical Aey- se trouvaient-ils encore différenciés. C’est ce que semblent indiquer les noms à diverses consonnes radicales, p.ex. Aéxoc (lit), Adyos (embuscade), dAoyos (compagne de couche) — resp. Adyoc (petit tas), Aoyds (unité, groupe) et les mots dérivés de ceux-la, p.ex. loyiouds (compte). La forme verbale athématique Aéxro ne permet pas de décider si, dans la langue homérique c'est la différence de sens ou l’identité phonétique qui eut dominé; plus tard la différence allait s’effaçant, p. ex. xatadéyw «coucher» et «recenser», xzagaléyæ «coucher auprès de» alors que les formes préfixés du verbe -A&yw et les noms dérivés de ceux-ci rappellent pour la plupart le «calcul».

doctrine, principe juste», tantôt de «rapport», tout comme les auteurs pythagoriciens. Or les chercheurs, eux, constatent le fait alors qu’il est frappant sinon comique de supposer que le sens de «rapport» du logos se serait introduit, pour une raison ou une autre, dans le langage courant et que les mathématiciens l’auraient emprunté à celui-ci pour l’introduire dans leur vocabulaire scientifique. L'élément vrai que comporte cette supposition c’est que les sages pythagoriciens n’ont, eux non plus, créé (parce qu’ils n’ont pu le faire) de notions qu’ils avaient empruntées ailleurs qu’à la matière de la langue vivante ou dont le sens spécial aurait dérivé d’autre part. Une constatation vraie, mais assez médiocre, qui passe sur l’essentiel sans nous renseigner sur la liaison qui existait, dans n'importe quelle couche de la langue, entre les termes «mot» et «rapport». L'examen minutieux de l’origine de la polysémie du même groupe phonétique (46yoc) et pour ce faire les textes qui se sont conservés suffisent rendra superflue toute sorte de rêverie: primitivement ils n’ont eu rien à faire l’un avec l’autre, la confusion des deux sens n’est devenue possible que plus tard, et notamment lorsque la conscience linguistique (par suite de son oubli naturel) n’a plus réagi que sur le groupe phonétique lui-méme. Regardons tout d’abord ce que signifiait le verbe Zéy@. Il avait bien sur le sens de «parler, dire» mais aussi celui de «coucher, poser quelque part, rassembler (en moyen se rassembler), mettre en ligne ou en tas, compter». Les deux actions n’ont rien à faire l’une avec l’autre, ’homonymie passant pour un phénomène linguistique tout courant, p.ex. god 1. «aimer», 2. «vomir»; véo 1. «nager», 2. «filer», 3. «entasser», 4. (pour la plupart en moyen) «aller»; etc. La même polysémie s'observe pour la verbe Aéyw dès les épopées homériques. Tout en ayant le sens de «dire, parler», il servait, indépendamment de cela, à exprimer également «rassembler, arranger en groupe, entasser, calculer»; p. ex. «rassembler des ossements ou des armes» (Iliade, XXIIT. 239; Od. XXIV. 72; pareillement plus tard chez Pindare, et le verbe dotodopéw «rassembler des ossements» et les noms qui en dérivent jusque dans la langue antique tardive), «rassembler les combattants» ou (en moyen) «se rassembler» (Iliade, XIII. 276). Bien sur, le rassemblement a pu également signifier dénombrement (en moyen le processus de se dénombrer), ce qui revient à dire que, dans ce cas-là Aéyouai passait pour un synonyme exact du verbe doıduoönaı (Iliade, II. 120 et suiv.) -- sans que le sens de «entasser, rassembler, regrouper, calculer» se serait rattaché, d'une manière ou d’une autre à celui de «parler». La forme la plus simple du dénombrement c'était de mettre en ligne des cailloux (c’est-à-dire de les «coucher» l’un auprès de l’autre). Homère semble jouer justement avec le sens de «coucher» (en moyen «se coucher») et celui de «compter», en faisant raconter à Ulysse, la revue de phoques de Protée de la manière suivante: 5 Citons en exemple un nom: wé40g; 1. chant, 2. membre.

Evdtos 6°6 yEowv HAP 2 Gddc, edge dì púas tateayéas, ndoas dde” éndyeto, Aéxto Ö’ägıdudv év d'ijuéas nedtove Aéye xmreouv, oòdé te Fou oloÿn ddlov elvar: Enzıra dì Aéxto nai adrés. cag Enfin voici midi: le vieillard sort du flot. Quand il a retrouvé ses phoques rebondis, il les passe en revue: cinq par cinq il les compte, et c’est nous qu’en premier, il dénombre, sans rien supçonner de la ruse. Il se couche à son tour. (IV. 450—453; trad. par V. Béjard) De quelques lignes plus tard le verbe Aoydw = «prendre en piège» ne fait que souligner le jeu de mots. L’expression Adxto 6° dod ydr est sans doute une métaphore poétique. L’image primitive concrète devait être et était sans doute yñpor ou prigovs léyouai (= aligner le ou les cailloux), à l’analogie de l'expression vóuov tideua (établir une loi), expression abstraite à partir de l’image pñpov tidepai (poser, mettre un caillou). Hypothese qui se trouve justifiée par un endroit d’Eschyle (év yig@ Aéyew Ag. 556 = compter en ou avec caillou), par une proposition du Rhèsos pseudo-euridipien (orodrov adijdoz 000 dv Ev pigov Adyw Déodal dvvatunv 369 = Ja quantité de l’armée, même en tas de caillou, je ne pourrais en faire le compte®), ou par Platon (oëx év pupo aad” Ev Adyois République, VI. 487 C), qui, lui insiste sur la différence entre le jeu de dés et l’argumentation pure. Pur un sens très naturel et très ancien du nom Adyos dérivé du verbe déyw signifiant «amasser, rassembler» passe donc le sens de «amas, groupe, unité formée de petites parties». On ne sera pas du tout frappé par ceci qu’il a le même sens dans le grec classique et tardif?’ et que «un tout formé de parties - + rapport» est resté un terme technique mathématique même lorsque la science du calcul se trouvait longtemps détachée de l’entassement des cailloux (p. ex. de leur arrangement en unités de dizaines). Naturellement, ce calcul primitif a eu lui aussi une règle bien définie: il n’était pas permis de mettre, dans un des tas, 7 cailloux et 10 dans l’autre, régle dont Ja conscience n’était absente ni dans le sens, ni dans l’emploi du nom Adyoc. C’est que, à la manière $ Remarquons que dans ce contexte l’infinitiv deodaı a le même sens qu'il aurait en liaison avec l’accusatif vduor; en même temps il est synonyme du 4éyeoda. ? Cf. la signification de dvadéyw dès la langue homérique: ramasser, rassembler (des ossements, des armures (Il. XI. 775; XXI. 321; XXIII. 253); évaloyibouu dérivé de celui-ia veut dire, à l’époque classique: prendre en considération, énumérer, résumer (Thoucydide, Xénophon, Platon). C’est le cas pour la plupart des verbes et des noms préfixés. Les exemples cités par A. Szabó (op. cit. 223.) sont les suivants: Hérod. III. 120 et 125; Arist. Eth. Nie. 1131 b 20; ainsi que l'expression oft’ &v Adyw ott’ Ev doug qui, d’après le témoignage des dictionnaires serait fréquemment attestée dans la langue de tous les jours. Les exemples sont nombreux (p. ex. Hér. III. 68, 3; Pol. XV. 34, 2; ensuite, en expression quotidienne: Adyov diddvat rendre compte) — et la conclusion reste la même: ce Aóyoc signifiant «petit tas, groupe, nombre» n’a rien de commun avec le nom morphologiquement identique et signifiant «mot, parole».

des noms vóuoc, zrópos, todos de formation pareille, et qui exprimaient non seulement le résultat de l’action, mais aussi le principe ou la manière de l’action, basés sur l’application juste de la «distribution», de la «traversée (recherche du but)», du «retournement» (ou dans le cas d'Ulysse: «allées et venues»), Adyos impliquait tout aussi d’entassement opportun, formation régulière de petits tas, formation d’unités à partir de parties d’un nombre défini, mise en rapport». L’entassement régulier était exigé non seulement par ce calcul primitif. Les expériences pratiques du travail construction et, en premier lieu, des travaux de ont appris aux hommes la nécessité d'employer certains rapports quantitatifs (p.ex. dans la répartition des charges).® Le choix des justes rapports est devenu un des critères fondamentaux de la rationalité. C’est lui qui fit naître cette idée forme bien sûr mythologique exprimée pendant longtemps sous une que le monde, au lieu d’être un amas de choses jetées sans dessus dessous, est un ordre (kosmos) dont la composition, l’existence et le développement sont assurés et dirigés par une sorte de règle exacte. Le principe de la causalité et celui de la régularité numérique (= proportion) se trouvaient naturellement rattachés l’un à l’autre dès la vision du monde homérique et hésiodique, et encore plus dans ces cosmologies dont les rédacteurs ont cherché à interprété les lois d’existence de l’univers d’une façon immanente. Dans les fragments d’Héraclite on retrouve les significations suivantes du logos: a) toute sorte de paroles (87), b) doctrine (108) et raison (39)° c) la loi fondamentale objective de univers sans cesse changeant laquelle détermine les changements matériels se réglant (30) suivant les rapports géométriques (31) tout comme la façon d’exister du tout et de tous les éléments de l’univers éternel (1), d) il est aussi la loi fondamentale de la pensée juste alors que les sots croient avoir une pensée privée quelconque (2) et chaque fois qu’ils le rencontrent, ils s'avèrent incapables de le reconnaître (72), e) la loi de l’être qui change d’une façon permanente et régulière est une et connaissable (1, 50) $ Voilà la raison pour laquelle le logos en tant que terme technique mathématique désigne justement «rapport géométrique». C’est que l’addition et la soustraction (c-est-adire la formation d’un rapport arithmétique) ne permet de comparer que des choses de qualité identique. Or, pour établir un rapport entre des choses de qualité différente, on doit avoir recours à la multiplication et la division — en termes modernes: il faut résoudre une équation pour calculer combien de gens doivent travailler sur un territoire deux fois plus grand ou combien de poids peut être concentré sur un lieu de chargement trois fois plus grand. Il n’est peut-être pas exagéré d’affirmer que la science des mathématiques doit sa naissance à l’examen (abstraction + rapport géométrique) des rapports entre des choses de qualité différente. Le rattachement du sens de «mot» à celui de «parole juste, doctrine, principe scientifique» n’est pas une spécialité d’ Héraclite: l’opposition du logos au mythos, ce dernier signifiant la parole fondée sur les croyances était toute courante pour chaque personnage important des lumières grecques. D'autant plus remarquable est la conception synthétisante de la réalisation de la loi selon des rapports ainsi que de sa réalité objective et de sa réflexion dans la conscience.

parce qu’elle habite au fond de l’äme (45), et qu’elle s’augmente elle-même proportionnellement (115). Cette loi universelle qui est la plus générale n’exclue bien entendu pas que dans les changements du feu ou des éléments constitutifs composés de divers matériaux les mesures concrètes elles-mêmes (unités de mesure, metra) soient différentes les unes des autres. Mais la régularité doit, elle, se faire valoir toujours et en tout. C'est cette conception du monde qui se trouve raillée dans une comédie fragmentairement conservée d’Epicharme (frg. 2) où il avait intégré à l’argumentation confuse d’un disciple d’ Héraclite le principe du changement s’effectuant «selon le même rapport» (xatrôv adtdv Adyov) - dans une forme qui, pour être amusante est vulgaire, bien sûr. Parménide, lui, ayant jugé tout changement comme une fiction contredisant la raison a interprété le logos d'une manière des le début plus étroite: il v a entendu la pensée juste s’opposant aux croyances erronées (7,5; 8,50 et suiv.). Chez lui l’interprétation du nom comme «règle de changement, rapport» ne put même pas se poser, celle-ci supposant le changement comme tel et le caractère composite de l’ötre, la multitude des choses existantes. Mais, en considérant comme une la parole juste désignée par logos ainsi que la pensée conforme à celle-ci (6,1) il a renforcé le sens de «principe scientifique, argumentation juste» du logos pour la littérature postérieure.1° Dans la vie ultérieure de ces deux doctrines (c’est-à-dire la philosophie d’Heraclite et celle de Parménide) opposées l’une à l’autre il y a ceci de remarquable que les mathématiciens travaillant d’aprés la logique de Parménide se voyaient-ils obligés de suivre Héraclite dans l’interprétation du logos comme «rapport, principe de proportion». Un passage d’Hérodote peut servir de témoignage de la raison pour laquelle et de la façon dont on a allié, dans la littérature scientifique ou savante ces deux variantes de sens. En décrivant les magnifiques travaux de construction de Nitokris, reine de Babylone il nous raconte comment eut-elle détourné dans un autre lit le fleuve qui coupait la ville. Une phase des travaux consistait à «élever, avec des briques cuites, de nouvelles digues le long des marches conduisant dans le fleuve, selon le même principe (xata tov adrov Adyov) que lors de l’élèvement du mur» (1. 186,2). Le choix du juste rapport (logos) ayant bien entendu un rôle primordial dans le travail d’architecture, il n’en demeure pas moins que l’expression mathématique qui le rappelle («selon le même rapport») ne doit pas être comprise littéralement. Ce n’est pas que dans la projection des murailles de ville et dans celle de la digue on ait employé le même rapport (ce qui techniquement paraît invraisemblable), mais qu’en projetant la digue on ait démarché d’après le principe suivi aussi lors de la construction du mur. Cet usage un peu pédan- 10 Voir mes publications sur les philosophes présocratiques dans Acta Ant. Hung. 8(1960) 267—294; 16(1968) 139—148; 19(1971) 233—254; 20(1972) 1—41 et 291—341.

tesque mais qui s’accorde fort bien au style d’ Hérodote nous fait aussiapprendre que dès l’époque de Périclès ce double sens du nom logos devait être généralement reçu, et à la portée de tout le monde. Qu'on y ait entendu (dans un sens plus étroit) «rapport» ou (dans un sens plus large) «principe scientifique», cela dépendait chaque fois du contexte - sans qu’on ait du pour autant le confondre avec le logos signifiant «mot, parole» et avec lequel il n’avait même pas de rapport génétique. Ces deux aspects pouvaient bien sûr se combiner (argumentation verbale), mais la signification univoque et exacte de ce nom en tant que terme technique de mathématiques ne s’en trouva-t-elle nullement influencée. Ana logon et analogon Pour clé d'interprétation de Panalogia A. Szabó a choisi, d’une façon bien motivée et inventive la préposition soit le préfixe dvd. La différentation, voire même l'opposition des syntagmes xata Àdyov «en rapport, selon un rapport» et dvd Àdyoy «(égaux) par relations, par rapport» y sont basées sur ce qui suit: a) le sens concret (de complément de lieu) des deux prépositions étant opposé l’un à l’autre il est exclu que, dans un sens plus abstrait elles veuillent dire la même chose; b) les savants antérieurs ont négligé le sens distributif de dvd, les dictionnaires ne le citent que dans le cas de données numériques, il paraît cependant être confirmé par le syntagme ava péoos.! Il est impossible de passer en revue avec exactitude toutes les variantes et tous les changements sémantiques de n’importe quelle préposition. Il se peut fort bien que les fonctions d'indication des prépositions de valeur primitivement (c’est-à-dire sous l’aspect concret) différente, voire même opposée se soient confondues surtout dans l’emploi préfixé.1? Évidemment dans le style scientifique les nuances étaient plus exactes parce que plus importantes que dans la littérature ou dans la langue de tous les jours. Dans cette dernière 11 Cf. note 2. 12 Par ex. le sens de dratéurw et xatutéuro sont également couper en long ou découper; dvayw et drdyo déduire ou ramener une thèse; drevavtiov et xatevartioy de façon contraire. Dans quelques cas c'est le sens de «en haut + en retour > de nouveau» par lequel la préposition dvd se distingue du xard; par ex. pour les verbes suivants: xatuvéuw répartir, avavéuw partager de nouveau; xatapetoéw mesurer; dvauetgéw mesurer de nouveau. La possibilité de nuancer le sens à l’aide des préfixes existe dans chaque langue, mais elle est déterminée, du moins dans la langue courante par le sens du verbe. — Plus indirect et abstrait est le syntagme, et plus naturelle est la «réconciliation» des prépositions opposées par leur sens primitif (concret). Entre dvd et xard il n’a pas de différence de sens lorsque ils se rapportent à des unités de temps (7uéoav, Eros: «par jour, par an»: les deux peuvent étre compris en sens distributif), ou s’ils ont un sens de complément de mode (par ex. les syntagmes dvd xodros et xard xpdros peuvent également signifier: «à force, violamment»). Il est donc sans fondement d’opposer les syntagmes xatà Adyor et dvd Adyor l’un à l’autre, en se basant sur ceci que, en complément de lieu, les prépositions sont de sens opposé et que la fonction distributive revient seulement à dvd.

par ex. on n’a guère ou pas du tout fait la distinction entre les verbes dvaddw et xataléw ou entre les noms en dérivés dyddvois et xatddAvots («dissoudre, dissiper en rien» soit les dérivés nominaux de ceux-ci), alors que dans la langue mathématique on n’a employé que la variante préfixée d’ dvd et ceci dans un sens spécial: «la démonstration d’une thèse par la dissociation de ses éléments constitutifs et par la réduction de ceux-ci à des affirmations antérieurement admises». Il paraît donc méthodologiquement exigé d'examiner le syntagme ava Àdyov par une pareille approche microphilologique. 1. Qu'est-ce qu’on doit entendre par «sens distributif», expression qu’on retrouve dans les dictionnaires et dans les manuels de grammaire. Les exemples courant sont pris dans Xénophon: dva aévte nagaodyyas tho iuéoas «5 parasanges, c’est-à-dire une étape de 5 parasanges par jour» (Anab. IV. 6,4); et ava Exarov Ävögas «par groupes de 100 hommes» (ibid. TIT. 4,21). On ne trouvera rien à redire à l'interprétation distributive de la préposition si l’on suppose que c’est en divisant la plus grande unité (le chemin entier soit l’armée entière) que Xénophon en a défini une partie plus petite et numériquement précisée. Une interprétation qui est loin d’être certaine ou du moins de l’ètre exclusivement: on peut à même titre supposer que la préposition sert à marquer la plus grande unité composée de plus petites parties, dans le sens de «en sommes, c’est-à-dire «en prenant pour unité telle ou telle quantité». 2. Les dictionnaires du siècle passé ont déjà traduit le sens du syntagme ava uégoc par «tour à tour, alternativement», en citant un seul exemple: ligne 478 des Phéniciennes d’Euripide. Cette signification que l’on retrouve dans des manuels plus récents se serait de toute évidence développée - d’après A. Szabó à partir de la signification «je nach Teil» -- c’est-à-dire «par portions«.13 Supposition qui n'est point évidente, ni même possible. Voyons ce que veut dire le texte même d’Euripide. C’est Polynéikès qui parle dans la scène en question et il s'efforce à prouver, par la parole simple, n’ayant besoin d’enjolivement, de la vérité qu’il s’attribue le thröne à juste titre (469 et suiv.): il ne l’avait abandonné à son frère que pour une année pour le recevoir ensuite dans l’ordre de succession (ava uéooc, 478); «c'est lui qui s’approprie ma part (éu0v uéoos, 483)», il se montre pourtant prêt à un accord legal et à condition qu'il recoive le thröne dans l’ordre de succession (dvd uéooc, 486), il va le rendre au bout de la même durée du temps. Est-ce que tout cela voudrait dire que Polynéikès tient à régner «par portions»? Non, par cela même que 13 Op. cit. p. 104. 1 L’argumentation «antisophistique» de Polynéikès — bien que son droit de prétendant soit reconnu méme par le choeur (497 et suiv.) — c’est-à-dire l’opposition de l’injustice revétue de paroles polies & une démonstration de style simple, mais qui contient la vérité, passait pour un lieu commun de la littérature du 5° siècle. En plus, cet idéal stylistique ne doit pas étre pris au sérieux: chez Euripide Polynéikès s’avère un rhéteur excellent par ce qu’il ambitionne des effets poétiques et phonétiques (rimes de fin de ligne, la répétition triple du participe AafWv toujours à la fin des lignes, l’accentuation de l’enjambement, etc.).

logiquement non plus ceci n’a pas de sens. C’est sa propre part qu’exige Polynéikès, c’est-à-dire que son frère et lui règnent pendant une période égale, successivement. Le seul sens possible du syntagme est donc: «selon une part précisément définie». Le seul cas où la préposition dva aurait un sens distributif («par portions, tour à tour») serait qu’elle figure dans une proposition racontant le passé («ils ont régné tour à tour», avec un prédicat en pluriel) ou que l’action du sujet en singulier soit un processus divisible en plusieurs parties (p. ex. «il fait résonner les cordes les unes après les autres», «il écoute quelque chose point par point»). Cet exemple ne se prête donc pas à justifier l'interprétation du syntagme dvà ¿óyov par «par rapports» 3. Chaque dictionnaire et chaque manuel de grammaire insistent sur le fait que pareillement à dvd les prépositions sis et xard peuvent être également employées en sens distributif. Les exemples sont nombreux, à partir d' Homère et surtout pour xatd désignant une répartition par unités de guerre, villes, campagnes, etc.15 Même dans le grec tardif xard uépoc est attesté dans le sens de «par portions» (Galènos, de temper. I. 9. p. 42, 26).! Pour exprimer «à peu pres» les prépositions dvd et xard s’emploient également. Elles sont bien ensemble dans une même expression aussi.!? Pour ce qui est du complément de temps, il n’y a pas de différence fondamentale entre dvd, eis, xatd dans les cas où elles expriment une sorte de répartition ou énumération (p. ex. «année par année»). Attribuer quelque sens tout spécial position - au syntagme dvd Aöyov: a partir de la préce n’est donc qu’une pure hypothèse. 4. Tl est juste d’affirmer que l’adverbe ävaAoyov s’est développé à partir de ce syntagme. Mais que l'adjectif dvdAoyos 2 aurait été formé, dans une nouvelle phase, de l’adverbe, ceci n’est point probable. Pour former des adjectifs de ce type on a eu plusieurs possibilités: a) premier terme: adjectif (p. ex. igdvopos «de loi égale», xallivixos «de belle victoire»), b) avec préfixe adverbial (p.ex. edvouos «de bonne loi»), c) avec cela prépositionnel (p. ex. &xvouos, napavo- 15 A cause des exemples pris dans les textes de Xénophon il vaut la peine de citer les syntagmes formés par le préposition xará donc ceux qui contredisent de toute évidence le monopole d'dvá dans les expressions interprétées comme distributives: xa” év xai xata yévn («un par un et par genres») Plat. Tim. 30 C; xa émrá «par sept», Arist. Av. 1079; xatd diaxocías uväç («par sommes de 200 mines», Dém. 27, 11). D’ailleurs les deux derniers exemples montrent bien combien est-il risqué d’interpréter une expression (un syntagme) avec certitude comme distributive: il dépend du point de vue si l’on voit dans l’unité composée de plusieurs parties le résultat d’une division ou d’un regroupement. 16 D’autres exemples de ce même sens du syntagme xard péeoc («par portion, de partie en partie, dans l’ordre de succession»): Plat. Théét. 157 B et Soph. 246 C; du syntagme év uéoet Esch. Choéph. 329, Eum. 189 et 556; Eur. Hée. 1130; Her. 7, 212; Plat. Prot. 347 D et Gorg. 462 A. — Le sens distributif de la préposition xatd est encore plus évident devant un nom en pluriel: xard uéon Plat. Théét. 182 B. 17 Par ex. xar” övona dvaloyitecdar «énumérer nominativement» (Ath. IX. 328 C). 18 De la même façon — puisqu’on a conçu les deux termes du syntagme comme étroitement liés l’un à l’autre on les écrit en un seul mot: par ex. xadódov «tout à fait»; ötanavrds «pleinement». Des exemples parallèles de l’emploi adjectif de l’adverbe dvddoyor sont p. ex. mods doddc (c.-à-d. ebdelas yoauuds) ou éni ta adta uéon «se rencontrant à angle droit, resp. de direction identique».

pos «illegal», odupeteos «commensurable, exact», évdixos «juste», daddoyos «obligé à rendre compte»). La forme neutre de ces adjectifs sert à désigner des notions, p- ex. chez Thoucydide tó ragdAoyor «surprise», mais étant donné qu'il emploie aussi l’adverbe dérivé de Padjectif (rapaAöywg Y. 140), c’est l’adjectif que nous allons considérer comme primaire, au lieu de dériver la notion du syntagme maga Adyov. C'est le cas aussi pour l’adjectif zagddoéos. Sa présence toute naturelle chez les auteurs de l’époque classique (Xénophon, Platon) nous donne à croire que c'est de celui-ci qu’on avait formé la notion to ragddofor «chose inattendue, surprise» (p.ex. Dem. 25,32) et non pas inversement ce qui, par la seule raison morphologique (ôd£a est féminin) s’avérerait impossible. 11 n'y a donc aucun exemple qui puisse illustrer la priorité de l’adverbe dyddoyor par rapport à l’adjectif dv&loyos 2, ce dernier méritant l’appellation hybride aussi peu que ceux que nous venons de citer. 5. L'adjectif dv&loyos 2 tout comme le syntagme et l’adverbe ont pour signification naturelle: «ce qui est selon un rapport» soit «en rapport, selon un rapport». On a pu cependant remarquer lors de l’examen du syntagme dva uéoos cette fonction spéciale que peut avoir l’omission de l’article. Polynéikés a exigé sa part selon un ordre qui n’était pas n'importe quel, mais «exactement défini, régulier». Le nom Adyos a lui-même pu avoir une nuance pareille (cf. vduoc) et, paraît incontestable: pour le syntagme dvd Adyov cet accent d'insistance «selon une règle d’entassement bien définie, selon un rapport exact». Les expressions eis tov adrov Adyor, xatà tév abro» Adyor, dv tH abt Aoym et ava rov aërôvr Âdyoy ne sont pas les seules A exprimer «dans le même rapport, selon le même rapport»: le syntagme dra A6yov lui, veut dire la même chose. Lorsque p.ex. chez Platon Socrate raconte dans un mythe qu'il avait composé sur «la terre sous le ciel» que les plantes croissent áva tov avrov Aoyov «selon le même rapport» (Phéd. 110 D) il emploie de la même façon le syntagme dva Adyov aussi. Ce dernier sera donc à interpréter comme une locution elliptique, et il est évident que dans le cas où trois choses du moins se trouvent dans «un rapport exactement défini» la régularité consiste dans l'identité, dans la répétition du rapport. La progression tout comme la proportionnalité (a : b = c : d) ont ceci de caractéristique que les couples se trouvent dans un rapport identique donc dans le cas de la progression a:b = b : e (cf. Plat. Tim. 31 C) tout comme dans celui de la proportionnalité a : b = c : d. Ce qui revient à dire que les quotients obtenus par la division de tous les deux couples de termes sont eux aussi égaux conformément à la façon dont Aristote avait interprété et les mathématiciens avaient enseigné l’analogia. Il existe cependant une certaine différence entre la proportion réductible à trois termes et d’autre part celle composée pour la plupart de quatre termes. Or, l’examen du nom analogia pourra aider à démontrer le rapport de leur identité de principe et leur différence éventuelle et aussi l'interprétation elliptique du syntagme dvd Adyor.

Analogia Cette fois encore, comme dans le cas du nom Adyog nous commençons Vexplication du mot par une analyse formelle. En effet il n'est point sans intéret d’examiner si le nom analogia s'était vraiment formé de l’adjectif ávadoyos 2 -- pour cela même que les textes fort fragmentaires donnent a supposer le contraire: il se peut bien que le nom soit antérieur à l’adjectif supposé étre la base de formation de celui-la. Il serait trop logique de donner la priorité historique à l’adjectif, dvaloyía appartenant au groupe de ces noms terminés en -eta, -ta qui sont dérivés d’adjectifs (cf. xaxdc — xaxia, dins — dAndera) et que la logique traditionnelle appelle «notions abstraites». - - Seulement la langue s’avere cette fois encore plus souple que ne le prescrivent les règles. On connaît plus d’un exemple de ce que le suffixe s’ajoute directement au radical verbal, sans intermédiaire adjectif; or les noms ainsi formés ne sont des notions que dans un sens plus large -- ils expriment plutôt le processus de l’action, p. ex. duaortia (faute), Bondera (aide), rrardsía (éducation), zpeocdoxia (attente). Le développement de la pensée scientifique accélérant la formation des notions la langue, à son tour a facilement cédé à cette sorte d’irrégularité.19 Examinons quelques noms dérivés du verbe Aéyw préfixé. Le nom änoloyia a été dérivé directement du verbe áxodoyéw (= refuser, réfuter), sans aucun antécédent dnoAoyos 2: un pareil adjectif n’a point existé. -- La même chose vaut pour le nom ôuoloyia (= accord, convention). - C’est chez Hésiode qu’on rencontre le nom äuguloyia (= querelle, débat) et qu'il ne s'agisse pas du tout de quelque «motion abstraite», le pluriel en est un témoignage (Théog. 229). L’adjectif dugiloyoc 2 est cependant attesté la première fois chez les auteurs du 5° siécle.2° | Sans prétendre formuler aucune règle générale et d’une valeur absolue nous nous permettons tout de même de constater des exemples -- - ne serait-ce qu’à partir qu’il n’était pas absolument nécessaire qu’entre le verbe et le nom s’intereale un adjectif, surtout lorsque le nom désignait plutot un processus d'action qu’une notion. En d'autres termes: on ne peut pas admettre comme un fait que le nom dradoyia aurait eu pour antécédent de formation Vadjectif ávádoyos 2 ni que celui-ci aurait été précédé de l’adverbe avaloyor. Rien n'empêche cependant de supposer que le nom ait été dérivé directement 19 La démokratia est une notion, la théogonia également, mais la batrachomyomachia d'aucune façon. Le développement de la pensée scientifique ayant active la formation des notions, à partir surtout de l’époque hellénique allait augmentant le nombre des noms de formation pareille, mais sans valeur de notion (ostologia, amnéstia, ete.). Dans la terminologie scientifique postérieure, surtout dans la langue de la médecine ne cessent de se multiplier, même jusqu’à nos jours, les noms formés sur le morlèle de ceux-là, mais en réalités pseudo-grecs (par ex. anatomia, higiénia, ete.) 20 Le caractère lacunaire de la tradition peut bien y avoir sa part.

du verbe dvadéyw «mettre en tas, rassembler, arranger en ordre» et que primitivement il ait désigné le processus du «rassemblement, entassement».2! Cette même hypothèse me fait croire que justement l’idée de «l’entassement régulier» a permis l’interprétation notionnelle du nom («proportion»). Qu’il me soit permis de justifier cette supposition par l’analyse d’un fragment (B 2) du mathématicien Archytas, vécu à la rencontre des 5° et 4° siècles. Cette fois encore un résumé des conclusions qu’on lit dans la monographie d’A. Szabó pourra servir d'introduction :?? Si Archytas a appelé analogia les trois proportions géométrique et harmonique — arithmétique, c’est que le nom Adyog lui, a désigné primitivement toute sorte de rapports quantitatifs et ne s’est spécialisé que plus tard pour devenir le terme du «rapport géométrique»: hypothèse qui trouve sa justification dans ce que le nom analogia devint le terme technique de la «proportion géométrique», la «proportion arithmétique» en étant distinguée par l’adjectif arithmétiké (Arist. Eth. Nik. 1131b 12 13). Dans ce fragment de théorie musicale Archytas affirme ce qui suit: «Dans la musique il y a trois moyennes: la première est l’arithmétique, la seconde la géométrique, la troisième la sous-contraire que l’on appelle harmonique. Dans la moyenne arithmétique les trois termes?! présentent entre eux la différence suivante selon le rapport (ana logon): autant le premier surpasse le second, autant le second surpasse le troisième: dans cette proportion (analogia) il arrive que le quotient des termes plus grands (— désignés par les nombres plus grands) est plus petit, tandis que celui des termes plus petits est plus grand. Dans la moyenne géométrique le premier terme est (— est proportionné, zoti) au second comme le second est au troisième; d’entre ceux-ci le quotient des plus grands est égal à celui des plus petits. La moyenne sous-contraire que nous appelons harmonique est celle où ils sont tels que quelle que soit la partie de lui-même dont le premier dépasse le second, le second dépasse (le troisième) de la même partie de ce troisième. Dans cette 21 Du point de vue de l’examen de la formation des noms (apologia, amphilogia et analogia) il est indifférent que les deux premiers sont les dérivés du verbe legö «dire», le troisième du legó «amasser». 2 La définition des sens musical et mathématique du nom diastéma est un de ses excellents résultats (op. cit. 143 et suiv.). Son analyse d’Archytas v. p. 217 et suiv. 23 De la même façon uéon (c-à-d. yoauuñ) est encore un terme technique («droite du milieu») de la «moyenne géométrique», dans le cas où il n’est pas accompagné de l'adjectif docduntixi) («arithmétique»). % Les deux points extrêmes sont 12 et 6. Le deuxième (l'intermédiaire) qui se trouve dans un rapport défini et égal avec les deux, en créant ainsi une analogia de la triade, varie avec les types des analogiai (= progressions). Dans la progression arithmétique: 9 (12—9—6, où 12: 9 < 9: 6), dans la progression géométrique Y72 (12--Y72—6 où 12 : (72 = 72 : 6), dans le rapport souscontraire, en moyenne harmonique il est de 8 (puisque 12 — — = 6 + -—, d’où x = 3, donc les termes de la progression sont 12—8—6, x x

proportion (analogia) le quotient des termes plus grands est plus grand, celui des plus petits, plus petit.» La formulation n’est pas trop simple, alors que le style d’Archytas peut encore passer par rapport à celui de Philolaos par exemple. Et l’essentiel ne réside bien entendu pas dans son style agréable ou non par rapport a celui de ses contemporains p.ex. de son ami Platon - mais dans les idées et les conceptions qui ont motivé la complication du style. 1. Par analogia il entend progression, proportion qui, dans les trois cas a trois termes: le premier (le plus grand), le moyen et le troisième (le plus petit) «point extrême, point limite», c’est-à-dire segment de corde, donc quantité. Par le syntagme ana logon il veut exprimer que de ces trois quantités entre chaque fois deux - et notamment entre le plus grand et le moyen, resp. entre le moyen et le plus petit - il s'établit (naît, se fait, yivera:) un rapport egal.” En d’autres termes: l'identité de rapports des deux quantités voisines s'établit (c’est-à-dire elles s’arrangent en progression) par ceci que à l’intérieur d’un type de mise en rapport le principe du groupement (le logos) est constant, est le même. L’analogia c’est donc Ventassement de trois quantités selon la même règle (rapport), leur arrangement en ligne (en progression). 2. Archytas affirme qu'il énumère les valeurs moyennes se retrouvant dans la musique - mais ce n’est qu’à moitié vrai. Supposons qu’il ne rappelle l’octave (12 : 6, done 2 : 1) pour cette raison que pour la mise en rapport de ces deux termes extrêmes (points extrêmes) il n’est pas besoin de valeur moyenne. Supposons aussi qu’il se contenta de déduire la quarte (12 : 9, donc 4 : 3) et la quinte (12 : 8, donc 3 : 2) sans mentionner le rapport 9 : 876 lequel se trouve conçu déjà par Philolaos comme la différence de ces deux-là, pour cette raison que ce dernier ne peut pas être exprimé par une seule valeur moyenne. Nous aurions encore moins de droit de lui demander compte de la conception de telles valeurs moyennes (et par là des progressions) qui ne peuvent être construites qu’à l’aide des équations du second degré? Autant plus remarquable est le second type de rapport, donc la progression 12 : x = = x:6, où x = | 72. Une pareille valeur (valeur moyenne géométrique) était dans la théorie de musique tout à fait inconnue et n’était employée dans la pratique non plus. Pourquoi Archytas la rappelle-t-il? Sans doute pour cette 2 Je trouve improbable (voire même exclu) que si Archytas avait voulu employer le syntagme dans le sens elliptique supposé par A. Szabó (c'est-à-dire dans le sens de ava Adyov io» «égaux selon la part proportionnelle») il n’aurait formulé ses paroles aux termes de ceci. 28 Dans une autre formule: la quarte = 8 : 6, et la quinte = 9 : 6; par la réduction de la fraction on aura bien sûr le même résultat qu’à toute à l’heure. 27 Par ex. dans la formulation suivante: «Le premier dépasse le second autant de fois que le second dépasse le troisième avec autantième de celui-ciy — c’est-à-dire 12— x = 6 + —; dans ce cas x = 4,732 ou 1,268, et la valeur moyenne recherchée x de 7,268 ou 10,732.

raison - et pour cette seule raison que méme s’il emploie des termes musicaux (horoi, diastéma) ce ne sont pas les rapports musicaux qui l’intéressent, mais plutôt l’ostentation de ses propres connaissances de mathématiques. En effet la valeur moyenne géométrique (dans le cas en question la moyenne géométrique entre les segments de longueur de 12 et de 6 unités) était facile à construire, aussi peut-on la mesurer avec exactitude indépendamment de ce que le segment de pareille longueur ne fut jamais employé dans la répartition de la corde musicale. 3. La motivation de la troisième valeur moyenne (la moyenne souscontraire ou harmonique) se doit également à la façon de pensée mathématique d’Archytas. Tl aurait pu en parler d’une manière plus simple, p. ex. comme ceci: «Le premier dépasse le second du double de ce que le second dépasse le troisième.» Ou: «Le premier dépasse la moyenne arithmétique autant de fois que dépasse le second (recherché) le troisième»; mais il aurait pu en parler d’une manière encore plus compliquée bien sûr. Seulement ce faisant il se serait vu obligé de renoncer justement à ceci qu’il a jugé, lui le plus important, et qui est pour nous le plus précieux: il s’agit notamment de la progression (proportion) construite à l’aide d’une seule valeur moyenne, c’est-à-dire que la mise en ordre (l’analogia) des trois quantités se fasse selon la même règle d’entassement ou de diminution. Voilà la raison de son «chauvinisme professionnel» qui apparaît dans la formulation: il appelle le 8 moyenne sous-contraire en affirmant que c’est bien le terme juste, et non la notion courante de moyenne harmonique. Cette fois encore il ne se sert pas de la langue des théoriciens de musique (et encore moins de celle des spécialistes pratiques), mais d’une langue qui, du point de vue des mathématiques s'avére tout A fait correcte en expliquant l'identité du rapport entre 12 et 8 et de celui entre 8 et 6 par la combinaison de l’opération de la soustraction et celle de la division. En effet, la déduction de cette valeur moyenne est contraire lement contraire - littéralement : mutuelà celle du rapport arithmétique tout comme du rapport géométrique, puisque elle comprend à la fois le principe «autant . .. autant» et celui de «autant de fois... autant de fois», mais considérées isolément, à chacune d’elles elle serait contraire. Archytas s’est done occupé de ce sujet dans le but de construire par la variation et par la motivation mathématique des trois valeurs moyennes qui étaient à introduire entre les termes extrêmes constants les trois types de progression. La manière de la mise en rapport étant chaque fois différente, le principe en est toujours le même: le premier doit être différent du second de même que le second du troisième — ils doivent se trouver dans le même rapport (ana logon). 28 Sur ceci voir P.-H. MICHEL: op. cit. 372 et suiv.

Au point de vue de notre sujet (l’interpretation de l’analogia) c’est le deuxième type de progression (la proportion géométrique) qui mérite une attention spéciale. Jusqu'ici nous n’avons pas rappelé la façon dont on avait démontré légalité de 12 : /72 = |/72 : 6. La moyenne géométrique des deux valeurs extrêmes étant une quantité numériquement non définissable - nombre «irrationnel» — sa construction devait consister à appliquer la manière générale de la construction de la moyenne géométrique à ce cas spécial. La même chose vaut évidemment à la façon de la démonstration. a:m=m:b, autrement formulé: AC: CD = CD : CB A démontrer par l'application double du théorème de Pythagore, mais aussi à partir de la similitude des triangles ACD et CBD Pour reconnaître la similitude des deux triangles il était nécessaire de connaître les couples d’angles. Un problème qui pour cet excellent mathématicien que fut Archytas n’a pu présenter de difficulté. Au 5° siècle - | è en juger d’après les sources — on a résolu des problèmes beaucoup plus compliqués (construction des polygones réguliers, celle de quelques solides réguliers, voire même et justement par Archytas - le dédoublement du cube). La démonstration de la similitude des triangles fut une des plus belles réussites de la géométrie grecque? et aussi cette reconnaissance que les côtés correspondants des triangles semblables sont proportionnels (qu’ils se trouvent dans le même rapport). En illustrant la similitude géométriquement cité, par des triangles rectangles et, pour plus de simplion peut distinguer deux sous-genres: le premier fait voir la proportion des côtés parallêles en général, le second a ceci de spécial que FH — FI. C'est-à-dire: 29 Ceci semble être indiqué par ce que Euclide — ayant traité les cas de la coïncidence des triangles sans aucune systématisation cohérente — décrit les cas de la similitude et leur démonstration dans un ordre strict (VI. 4— VI. 7).

e F 369 GH D E ] K Fig. 2 AB:AC= AD: AE soit AC : AB = AE: AD FG : FH = FI: FK mais étant donné que FH = FI, on peut formuler comme ceci: FG : FH = FH: FK soit FH: FG = FK : FH En principe il n’y a bien entendu point de différence entre ces deux soustypes — le deuxiéme ayant quand méme un intérét spécial au point de vue pratique: il illustre ce type de proportionnalité que nous venons de voir (dans le cas du perpendiculaire abaissé du sommet du triangle sur l’hypoténuse) et dont les deux termes internes sont identiques (d’abord diviseur, ensuite dividende). Mais ceci n’est répétons-le qu’un cas spécial (une possibilité) à l’intérieur des triangles semblables, ce qui revient A dire que la progression géométrique prise en ce sens n'est autre qu’une forme spéciale de la proportionnalité a : b = c : d. Aussi Euclide eut-il tout à fait raison è affirmer que da plus courte analogia se compose de trois termes» (Elem. V. défin. 8.), et ceci étant on trouvera tout naturel que le nom analogia a désigné «proportionnalité», «progression» et, tout spécialement «progression géométrique».30 A la notion de la proportionnalité (a : b = ce : d) comme à celle de la progression géométrique se rattache étroitement la formation d’ensembles «selon la même règle (rapport)» (formation de plus grandes unités à partir de plus petites selon le même rapport, soit la diminution des plus grandes selon le même principe). La notion désignée par le nom est donc une généralisation du rapport exprimé par le syntagme dré Adyor ou par l’adverbe dvdAoyor. Symmetria Dans la musique on a toujours considéré comme très importante la définition exacte de la hauteur des sons, c’est-à-dire la mise en rapport mathématiquement exacte de la longueur des cordes, p. ex. à l’aide des cordes de 30 Ce qui amène nécessairement à l'interprétation du logos comme «rapport géométrique»; cf. note 8.

longueur de 6, 8, 9, 12 unités. Mais c’est déjà un signe de l’autonomie ou de l’émancipation des mathématiques que, ne se contentant plus de calculer ces proportions, on s’est demandé s’il existait un rapport à formuler en règles entre d’une part les nombres désignant les points extrêmes du segment de cordes sonnant (donc 6 et 12), et d’autre part les longueurs intermédiaires aptes à former des accords. Plus parfaite se montre encore l’indépendance des mathématiques dans le choix de la moyenne géométrique et dans la motivation de celle-ci, cette valeur n’ayant dans la gamme donnée ni lieu, ni rôle. Le rapport géométrique, lui - comme fait voir son nom tivement un moyen de la mesure de la terre, fut primidonc de la comparaison des carrés longs de côtés de longueurs différentes. Puisqu’en effet on put construire en vertu du théorème démontrant la proportion des côtés parallèles des triangles semblables la moyenne géométrique entre deux segments de longueur quelconque, on l’a employé aussi dans la mesure de la terre: tout carré long pouvant être transformé en carré, la grandeur de ce dernier était beaucoup plus facile à comparer. Par ex. d LiIui Ki AE to.5i H =À Fig. 3 x.y = mm yxy =m En transportant les cotés du carré long de grandeur de x.y l’un auprès de l’autre et en dressant un arc de cercle au dessus du segment x + y, on aura x:m=m:y Ensuite, étant donné que x.y = m?, il s’ensuit que l’aire du carré long de côtés x et y est égale à celle du carré de côté m. Ce qui permit de construire la moyenne géométrique non seulement entre les segments numériquement commensurables (ayant une unité de mesure commune), mais entre deux segments (quantités) quelconques. Supposons p. ex. que les segments de longueur x et y n’ont pas d’unité de mesure commune, c’est-à-dire qu'ils sont des quantités incommensurables (dovuueroa peyédn) m étant tout de même tel qu'il est exactement commensurable avec chacun des deux: autant de fois il est dépassé de x, autant de fois il dépaisse y. En se trouvant dans le même rapport (dvd Adyov) avec chacune des deux quantités primitives, il produit la commensurablité (ovuuetoia) en tant que terme moyen de la progression z—m—y (dvadoyia).

La même chose vaut pour le cas où l’analogia désigne non pas progression, mais une proportionnalité de type a : b = c : d, c’est-à-dire que nous avons non trois, mais quatre quantités supposées se trouver dans le même rapport deux par deux. Il se peut en effet que les quantités a, b, c et d n’ayant point d'unité de mesure commune, le rapport de chaque fois deux quantités en est quand même le même, et notamment si les carrés longs construits sur elles comme côtés s'avèrent être des rectangles semblables. Ceci découle encore une fois de la proportion des côtés des triangles semblables: b "x A ¢ necn e Pali ae el = a7 TT ' H d ; ' wenn | à Fig. 4 a:b=e:d a:‘d=b-:c l'égalité est à démontrer par la transformation en carrés des nouveaux carrés longs construits de cette manière: les côtés de ces carrés sont égaux. L'égalité supposée de a: b et e : d est en dernière analyse à démontrer à partir de légalité des segments /a.d et Vb.e construits, ceux-ci, à l’aide de la moyenne géométrique, ce qui est d’ailleurs à lire sur la figure même: les deux diagonales des carrés longs produisent des triangles parallèles, donc semblables. En d’autres termes: la moyenne géométrique permettant de construire la progression géométrique se prête également à justifier la réalité d’une identité de rapports (= proportionnalité a : b = e : d) supposée. Il s'ensuit de tout ce qui précède que le problème a:b = b : x est à résoudre à l’aide de la moyenne géométrique, alors que le problème a : b = c : x, lui, par la construction de triangles semblables (x est inconnu): La notion de symmetria (— commensurabilité) doit avoir été créée au milieu du 5° siècle et notamment à la suite de la reconnaissance logique et la démonstration de l’incommensurabilité (p. ex. celle du rapport sans diviseur commun du côté et de la diagonale du carré). Or, à l’aide de la moyenne

géométrique construite entre des quantités incommensurables il devint possible de créer une progression à trois termes, ce qui revient à dire que les quantités arithmétiquement incommensurables ont été rendues géométriquement commensurables. Cette démonstration eut encore pour base la proportion des côtés des triangles semblables, donc ce même principe qui était employé lors de la démonstration de l'identité de deux rapports, done de leur qualité de proportionnalité de type a:b = c : d. Aussi la symmetria est-elle partie intégrante et condition de tous les deux sous-genres de l’analogia. L’analogia (donc proportion, sous forme soit de progression géométrique, soit de proportionnalité de type a:b = c : d) est devenu un principe particulièrement important non seulement des sciences appliquant celles-ci mathématiques, mais aussi des - qu’on pense par ex. à la théorie musicale ou à la cosmologie. Quant à cette dernière il est tout naturel que la philosophie expliquant la formation et l’ordre de l’univers par des rapports de causalité, et considérant le rapport des choses de qualités différentes comme exactement défini, exprimant done les changements par des formules de proportion?! ait employé le principe mathématique de la symmetria et de l’analogia comme moyen d'interprétation des rapports objectifs de l’ötre. La liaison de ces deux notions, mais aussi l'effacement de leur contenu primitif se font voir p. ex. dans le Timée de Platon. Dans la première partie de son discours Timée débute par la supposition de la beauté comme constante et parfaite et affirme que l’univers est une image du Créateur pareil & celle-là, tout en reconnaissant une certaine différence entre le modèle et son image. Voilà pourquoi sont différentes poursuit-il aussi les doctrines y relatives: seule peut être irréfutable celle qui se rapporte au modèle criginal et éternel, les doctrines cependant qui en concernent l’image, ne sont elles non plus que semblables à l'original, c’est-à-dire qu’elles se trouvent dans le rapport qui est celui du modèle et son image (dva Adyo» éxeivor): car ce que l’être est au devenir la vérité l’est à la croyance (noos; 29 C). Le Créateur a formé l’univers un et unique de plusieurs éléments, et non d’une façon quelconque, mais selon des rapports bien définis, étant donné que dans le cas de trois éléments constitutifs c'est la progression (dvasoyia) contenant une valeur moyenne, dans le cas de quatre éléments constitutifs celle contenant deux valeurs moyennes qui rend le rapport le plus beau (31 C, resp. 32 C). Parmi les corps c’est la sphère dont la forme est la plus parfaite, aussi eut-il créé univers en forme sphérique (33 B). Après avoir partagé l’ètre en des portions de différentes grandeurs il a créé des progressions à une et à deux valeurs moyennes, et partagé celles-là aussi, jusqu’à la grandeur de 31 De ce point de vue il est indifférent que la proportion cosmologique ait été formulée sur la base d’une vision du monde idéaliste ou raatérialiste (les Pythagoriciens et Platon, resp. Héraclite).

256 : 243 (34 36). Les lois de mouvement des sphères sont également différentes, mais elles meuvent dans un rapport bien défini (év Adyq@; 36 D). C'est ainsi qu'il créa le rapport solide et exact (harmonia, 36 E) entre l’univers corporel et l’âme placée au milieu. L’âme elle-même participe au calcul et l'harmonie; elle fut créée selon le rapport défini (dva Adyov) de la répartition et de la connexion pour se mouvoir en cercle, en tournant sur elle-même (37 A).*2 Dans la suite Timée continue à parler de la proportion numérique des parties, base de la belle harmonie et de la perfection exempte de toute malice (41 A); seulement voilà que plus tard le hasard a pris à l’ordre et à la raison le premier rôle (43 A et suiv.); les cercles de l’âme ont commencé à tourner sans aucun rapport défini (ádóyws) (43 E). Voilà justement ce qu’il faut vaincre pour que l’ordre soit rétabli. C’est la science des nombres qui prête aide à obtenir toutes les connaissances vraies, à quoi s’ajoute le don divin de la vue et de l’ouie. La première aide à rendre consciente la relativité à lame du mouvement de rotation de univers des astres, la dernière découvre elle aussi le parallèle de sensation de l’harmonie et de l’äme (47 A E). Timée, après avoir supposé l’ordre universel dans la qualité déterminée des formes et des nombres - avant l'aménagement divin tout se trouvant sans rapports ni mesures (dAdyws xai duétows 53 A) — ouvre une nouvelle suite d’idees: il examine la perfection des formes, c’est-à-dire leur régularité géométrique et décrit les caractéristiques des cinq corps réguliers (53 C— 55 C).83 «Et pour ce qui touche leurs proportions (tà tév dvaZoyi®r regi) et leurs masses, leurs mouvements et leurs autres propriétés, le Créateur dans la mesure où la nature de la nécessité — spontanément et sous l’effet de la persuasion le permit, et qu’il le perfectionna sous tous les rapports, il les a harmonisés selon le rapport (dvd Adyor 56 C).» Ici encore le syntagme dvd Adyov désigne la proportion pénétrant tout, la loi de régularité la plus générale et composée de beaucoup de rapports concrètement différents de l’univers. Plus problématique est l’expression en pluriel «les proportions» des corps. Elle ne veut sans doute pas dire que le tétraèdre est au cube comme l’octaèdre à l’icosaèdre. Mais elle ne peut non plus signifier que, dans la description des caractéristiques des solides réguliers le nombre des arêtes, des angles et des faces serait à intégrer dans une progression. Et ce qui importe avant tout: qu'est-ce qu'il faut entendre - en pluriel — par «proportions» ? En laissant pour le moment de côté les lourdeurs savantes du style de Timée, inhérentes à la mystique pythagoricienne, on peut tirer de son exposé entier la conclusion suivante: % Ici le syntagme dvd A6yov ne désigne plus un certain rapport, mais plutôt une régularité mathématiquement calculable qui comprend en lui plusieurs rapports établis d’après de différents principes. % Sur ceci voir mon étude antérieure: L’énigme «du plus beau triangle». Acta Ant. Hung. 26(1978), pp. 405—422.

Dans le cas où la surface d’un solide régulier est composée de quatre faces de forme de triangle régulier (équilatéral) leurs trois angles de coupe doivent former quatre angles solides de 60 degrés. Si ces mémes triangles se combinent en huit faces c’est quatre faces qui forment un angle solide et il est nécessaire que le nombre de ces angles solides soit de six, etc. (55 D et suiv.). Dans chacun des cing solides réguliers il y a des rapports différents, mais chacun d'eux est marqué par la qualité bien définie des rapports voilà pourquoi et en quoi il y a dans cux de proportion. Par «proportions» nous devons entendre ceci que le Créateur a établi la régularité de tous les cinq solides réguliers à l’aide de ces rapports exactement définis et que, de ces solides réguliers il a formé un univers harmonique selon des rapports tout aussi définis (rapport, loi, logos). Timée et Platon celui-ci interprétant l’exposé de celui-là dans le but de justifier mathématiquement la doctrine des idées reviennent plusieurs fois au principe de régularité, p. ex. dans le passage anatomico-psychologique: «Ainsi qu’il a été dit au commencement, ces choses-là (= les particules matérielles) se trouvant en désordre le Dieu a introduit des commensurabilités (cuupetoias) en chacune par rapport à elle-même et aux autres, de tous les aspects et de toutes les façons dont il était possible qu’elles fussent proportionnelles et commensurables (ävdloya xai oéuuetoa)» (69 B). Toute lourde que soit cette phrase il en ressort clairement que les «commensurabilités» - - en pluriel! sont synonymes des «proportions» rappelées plus haut (cf. 56 C): elles designent la multitude des rapports calcules et definis avec une exactitude mathématique qui caractérisent les éléments constitutifs de Vunivers, isolément et aussi dans leurs rapports les uns aux autres et avec l’application desquels le Créateur eut-il mis en ordre (ôexdounoev 69 C) les choses jusque-là chaotiques.*4 La phrase citée pour la dernière fois figure dans la deuxième partie de l'exposé de Timée (69 B) - dans cette partie donc qui n’a plus pour sujet la doctrine appelée irréfutable et relative à la formation parfaite des éléments constitutifs de l’univers, mais un «raisonnement vraisemblable» (57 D, cf. 59 C D) sur le mouvement et la nature des choses d'un nombre infini. Ce raisonnement à lui aussi, une logique, même si la conception phénoménologique attribuée à la physiologie - et que Timée, lui, dépasse par la distinction qu’il fait entre cause nécessaire et cause divine (69 E; cf. 55 D) demeure en reste avec l’explication. Par ex.: «La couleur brillante, mêlée au rouge et au blanc, devient la jaune d'or. Mais quant à la mesure de ces mélanges (uérgov), lors même qu'on pourrait connaître, il ne serait point raisonnable de la dire, puisque nul ne serait en état d'en indiquer, avec quelque justesse (uetoiws) la cause nécessaire, ni même la raison vraisemblable» (68 B). 3 Sur l'interprétation postérieure de ces notions, voir mon étude: Sur la théorie de module de Vitruve. Acta Arch. Hung 31 (1979) 249—270.

Au point de vue de la terminologie l’idéalisme mystique de la vision du monde de Timée-Platon est indifférent: il est de second ordre que la théorie relative aux rapports des choses sensibles ne s’y trouve insérée que dans la cosmologie vraisemblable --- ce qui importe c'est que Timée s’en occupe effectivement. Passons en revue ces moments: Le corps humain, le Dieu l’avait formé de façon que le froid et le chaud ne Jui nuisent point. Pour cela, en faisant un mélange d’eau, de feu et de terre et en les unissant à l’aide d'un ferment quelconque (£vraouôoas) il a rendu la chair succulente et molle (74 C D). Dans la théorie d’Hippocrate l’équilibre découlant du rapport déterminé des sèves et conservant la santé avait un rôle primordial. Et voilà ce qu’on a ici: «C’est seulement quand la même chose s'ajoute au même (corps) selon la même portion (xatàd tadrd) et de la même façon et proportionnellement (ava Aoyov)® qu’elle peut, identique à elle-même, rester saine et bien portant» (82 B)... «Ces fibrines sont distribuées dans le sang pour que l'épaisseur et la ténuité de celui-ci se trouvent dans un rapport convenable (ovuuérows}» (85 B). «Celui chez qui la sémence foisonne . .. rassemble par sa nature à un arbre qui a plus de fruits qu’est le rapport convenable (tod Evuuétroov)»® (86 13). La prédominance de la proportion assure encore la santé de l’âme, il faut donc «veiller à ce que les mouvements des espèces d'áme se trouvent dans le même rapport (ovuuéroovs) que sont celles-là les unes aux autres» (90 A). La symmetria désignant commensurabilité s'emploie dans ce contexte encore comme synonyme de l'analogia. Elle exprime le rapport convenable et exactement calculé de plusieurs choses. Elle n’a pas absolument impliqué la notion de la commensurabilité arithmétique ou géométrique, ni celle de la progression ou de la proportionnalité de type a:b—c:d - on les devine tout au plus dans l’arrière-plan de la signification, comme par exemple dans la phrase citée la dernière: d’âme est saine si le rapport de ses espèces est identique à celui des mouvements de ces espèces». L'adjectif ovuueroos 2 exprime donc exactement la même chose que le syntagme dvd Adyor, l'adjectif dvddoyos 2 ou l’adverbe avdAoyor: «(qui est) selon le même rapport» au moins dans cette phrase. Ailleurs il indique tout simplement qu'il s’agit d'une relation selon un rapport exact, pareillement à ce que les mots appartenant à la notion d’analogia avaient (= obtinrent) un sens pareillement strict ne devait pas absolument impliquer la proportionnalité de type un sens qui a: b=e:d oua:b=b:c. 35 Cette fois anu logon vout dire «lans un rapport défini», voire méme — par la suite de ce qui précède — «(toujours) dans le même rapport». L'identité de contenu de la signification est évidente á ce point qu'elle peut étre prise pour un argument définitif de l’interprétation dvd Adyor = ava toy avrov Adyov. Rien d’étonnant dans une ellipse ainsi conçue: l’adverbe «proportionnellement» veut tout naturellement dire «dans un rapport bien définis ou «dans ls même rapport». 36 Grammaticalement ceci peut aussi bien être adjectif comme nom — c’est-à-dire la notion de la juste proportion. Le sens de la phrase ne s’en trouve pas modifié.

Qu’il nous soit permis de citer ce passage du dialogue ot Timée-Platon jet les bases de l’idéal de la kalokagathia et qui témoigne également de l’effacement de la notion de symmetria: «Tout ce qui est bon est beau — et la beauté ne va pas sans mesure (äuetoov). On supposera donc que l’être vivant, pour qu’il puisse être tel, doit être proportionnel (£éuuetoov). Mais, parmi les proportions (vupete:@v) nous ne percevons et nous ne rendons raison que des petites (les petites choses, les bagatelles). Quant aux plus importantes et aux plus considérables nous ne nous en avisons même pas (ddoyiotwc). En effet, en ce qui touche la santé ou la maladie, et la vertu ou le vice, il n’a point de proportion ou de manque de mesure (Evuueroía xai âuetoia) qui soient de plus de conséquence que ceux de l’âme, et justement par rapport au corps. Or, nous n’en apercevons rien, n’y prêtons nulle attention, à ceci notamment que lorsqu'un corps trop faible ou trop petit possède une âme vigoureuse et grande en toutes choses, ou lorsque ces deux sont unis d’une manière inverse, le vivant tout entier ne peut pas être beau, car il manque (de toutes les deux façons) de rapports (aédupetoor) selon les proportions les plus essentielles (fvuueroius). D'autre part cependant celui qui est juste le contraire de tout ce qui précède, présente de tous les spectacles offerts à qui peut voir, le plus beau et le plus aimable. Si en effet un corps a de trop longues jambes ou s’il a quelque autre trait démesuré (duetoov) par rapport à lui-même (= à son tout), non seulement il est laid, mais... il se donne beaucoup d’ennuis - de même faut-il en juger pour ce composé (de corps et d'áme) que nous appelons un vivant» (87 C E). D'où il s’ensuit que l’homme beau et brave doit assurer l’harmonie de l’âme et du corps, du repos et du mouvement selon les lois de l'univers: «D’abord il ne permet pas au corps de demeurer au repos, mais le fait mouvoir ... Agitant en mesure les éléments et les parties qui se mouvaient dans le corps il les arrange dans leur ordre d’affinité naturelle les uns auprès des autres, conformément à ce principe de proportion (xata Âdyov) que nous avons dit plus haut de l’univers» (88 D Plus la fantaisie de E). Timée-Platon s’élance audacieusement et plus s’affaiblit et devient général le sens de la mesure, de la commensurabilité, du rapport et de la proportion. Dans la théorie relative à l’être le principe et (plus ou moins) la terminologie de la mathématisation se font jusqu’au bout valoir. Pour ce qui est des «raisonnements vraisemblables» sur l’univers matériel on devine la même tendance à systématiser, mais le discours reste dans son contenu notamment dans l'explication mythico-mystique des observations physiologiques qui ressort - comme dans sa terminologie, obscur et inexact. C'est ce - entre autres - des variantes de sens de la symmetria : se rapportant à des choses sensibles elle n'implique guère son sens primitif (commensurabilité), et quand elle désigne «proportion», elle le fait dans un sens trop large, trop poétique.

L’affaiblissement terminologique dont est marquée la deuxième partie du Timée n’est point un exemple isolé: dans plus d’un dialogue de Platon la symmetria désigne «proportion exacte» (p. ex. Soph. 236 A) et c'est toujours en ce sens qu'elle est devenu terme technique de l’esthétique (Phil. 64 E)?” sans qu’il soit possible d'interpréter isolément le sens de «juste rapport» et de «proportion». C'est toujours le cas de la notion d’analogia. Le caractère conscient de l’art stylistique de Platon se trouve nettement marqué par le sens qu’attribue Platon à ce nom là où le sens original (mathématique) n’en a plus d'importance. Au début de son dialogue intitulé Politique Théodore, ce mathématicien renommé présente à Socrate ses deux amis: ce sont des gens excellents qui vont faire la figure de l’homme politique et du philosophe. Socrate, lui, l'arréte ironiquement: il n'est point permis d'apprécier d’une manière uniforme pourrait dire: réduire au même nominateur - on le mathématicien, l’homme politique et le philosophe, puisque ceux-ci «se trouvent plus éloignés l’un de l’autre que ne le permette la proportion (= la théorie des proportions) (xatà tv dvadoyiav) de votre science» (257 B). L'emploi du mot correspond magnifiquement à la situation. Dans la phrase de Socrate Panalogia ne désigne bien entendu pas «proportion mathématique», ni «progression» ou «proportionnalité», mais cette théorie de mise en rapport, mise en proportion qu’on enseignait justement dans l’école de Théodore (cf. Théétète). Les mathématiques ont bien sûr conservé la signification exacte de la symmetria et de l’analogia. Dans les autres sciences (linguistique, rhétorique, esthétique) on a interprété la notion de la proportion d’une façon moins stricte, et les termes primitivement mathématiques ont été plus d’une fois malentendus — et notamment dans les cas où on aspirait à une exactitude mathématique (Vitruve). Harmonia et rythmos Chaque langue est riche en mots dont le sens est clair pour tout le monde, or justement ce «consensus» rend superflue leur définition notionnelle. Mais cela étant il se peut également qu’une chose désignée par tel nom, chacun Ventende de façons différentes soit pour des raisons idéologiques, soit à cause des différences quant à la conscience de l’usage. La méthode de Parménide Socrate Platon - Aristote de la formation des notions est une acquisition qui paraît être un moyen indispensable de toute pensée scientifique. 7 C’est le principe de base de l’esthétique grecque entière qu’a formulé Aristote: Tod dè xadod uéyiora elôn táfic xal ovuuetoia xui td Wetopévoy A udhiota devxvdovow ai paBnpatixai Eruornpar. (Metaph. M 3. 1078 a—b), c’est-à-dire: «Les formes suprémes de la beauté sont l’ordre, la proportion et l’état de détermination juste — tout ce que rendent évident en premier lieu les sciences mathématiques.»

C’est ce que permit à observer l’examen précédent des notions musicales et mathématiques. Il est cependant frappant de voir, à propos de l’harmonia et du rythmos, notions essentielles de la théorie musicale, combien leur définition notionnelle est-elle insuffisante, et ceci malgré la fréquence de l'emploi terminologique et figuré de ces noms. La notion du rythmos (rythme) a été pour la première fois définie par Aristoxenos de Tarente, dans la deuxième moitié du 4° siècle av. notre ère («Quand le mouvement perçu par nos sens est tel que le temps qu’il accomplit se divise en des unités isolées, nous l’appelons rythme») mais personne, ni Héraclite, ni Aristote n’ont défini la notion de l’hurmonia. «Le sens de l'imitation, de l’harmonie et du rythme, nous le possédons par la nature» — écrivit-il dans la Poétique (chap. 4 = 1448 b), mais sans en avoir donné aucune définition, tout comme Platon, dans le Timée, par ex. Nous nous voyons done obligés de découvrir à l’aide des textes plus anciens la préhistoire de ces noms qu’à l’époque classique on a considérés tous, comme univoques. Le nom harmonia (douovia) sans être un terme technique de mathématiques®® appartient, à cause du calcul des longueurs de cordes, au champ notionnel des proportions. Hermès, inventeur de la lyre a taillé des tiges de roseau pour l’écaille de la tortue selon mesure (Hymne à Hermès, 47 et suiv.) et depuis, la fraternité de la musique et des mathématiques semble indissoluble. L'histoire du nom douovia (ajustement, et notamment un ajustement exact, d’après mesure) remonte cependant à un passé antérieur à la fabrication des instruments de musique: il désignait l'exactitude indispensable dans chaque métier. Ceci ressort clairement du sens des verbes dérivés du radical àg-: dow «ier, serrer»; la façon dont le menuisier adroit assemble les chevrons de la maison (Il. XXIII. 712 et suiv.) ou on entasse les unes auprès des autres les pierres du mur de la maison résistant à la tempête, ou dont on équipe de rames le bateau (Od. I. 280); dont les combattants ou les casques et les boucliers se serrent les uns les autres (ibid. XVI. 214); dont la bonne casque s'adapte au tempe (ibid. XIII. 188), Varmurier au corps (ibid. XV. 530), l’épée à la main (ibid. ITI. 338), ta laine au milieu de la casque (ibid. X. 265), ete. Le sens du verbe deapioxw n’en diffère que par une petite nuance, il peut se rapporter p. ex. à la fabrication de la sandale s’ajustant bien au pied (Od. XIV. 23). De la même façon dguödo (p. ex. Tl. III. 333; XVII. 210; Od. V. 162). Cette signification se conserve jusqu’à l’époque classique (dans le dialecte attique au lieu de dególo on emploie le présent de deudttm) dans la voie transitive et intransitive également - de la façon dont explique Socrate chez 38 Pour parler avec plus d’exactitude: primitivement il ne le fut pas — plus tard il Vest devenu, dans le sens de «rapport définis (par ex. Arist. Pol. X 1316 a—b).

Xénophon à un armurier la synonymité du participe doudrtor et de l’adjectif edovBuos (Mem. TIT. 10).% Dans les connaissances techniques d’Ulysse la précision a eu un röle spécialement important. A l’île d’Ogygia, lorsqu'il se préparait à rentrer chez lui, il a charpenté son vaisseau de bois comme ceci: tétonver Odea ndvra xal fouocev GAdjiotow, yóupono Odea iv ye xal douovinow doacoev. Gooov tic T'Edapos vnds Toopvdcetat dvijo pootidos eügeing, ed elómo textoovvdwr, t6ocov En’ edoeiav oyedinv nonjoar’ *Odvoceds. ixota de oríoas, dpapav Dauéor oraulveooır, mole atao paxofjow ennyxevidecot tedevta. Ulysse alors perga et chevilla ses poutres les unit l’une à l’autre au moyen de goujons et de jointures. Les longueur et largeur qu’aux plats vaisseaux de charge donne le constructeur qui connaît son métier, Ulysse les donna au plancher du radeau, il dressa le gaillard, dont il fit le bordage en poutrelles serrées qu'il couvrit pour finir de voliges en long. (V. 247— 253. Trad. par V. Bérard) Les termes techniques de la charpenterie font bien voir la mesure dans laquelle est concret le contenu des verbes (fouooev, dgaccer, dpagdv) mais aussi du nom en pluriel dowoviaı: ce dernier désigne les piquets ou les goujons à l’aide desquels le héros unit les unes aux autres les poutres, donc des outils tout aussi tangibles - - voire même à toucher - comme les jointures. C'est dans la philosophie que l’harmonia devint une notion abstraite, pour exprimer la liaison selon un rapport défini, des différentes choses, en rappelant l’accord des sons musicaux, mais ayant une valeur plus générale. Sous l’aspect d’histoire sémantique on a donc affaire avec le même processus (chose concrète ou action - notion concrète - notion abstraite) que dans le cas du nom analogia où on a 1. ramassement, rassemblement, 2. règle du rassemblement, proportion mathématique, 3. proportion ou régularité avec une valeur plus générale. Ici: 1. outil de charpentier, 2. accord musical, accord des cordes de différentes longueurs, 3. en tant que terme technique cosmologique et esthétique: adaptation juste, équilibre conforme a la nature de choses différentes. 39 Dans le choix des mots l’ironie n’a pas été la seule à avoir sa part, mais aussi ce fait que la notion de l’harmonio et celle du rythme s'étaient étroitement liées l’une à Vautre — non seulement dans la terminologie musicale (cf. Plat. Symp. 187 C), mais aussi sans doute dans la langue parlée. Si Socrate rappelle des corps de «bon rythme» et «sans rythme» c’est pour mettre au point, dans la téte de l’armurier ces notions-là; or, celui-ci devait comprendre la maieutique logique, (et justement en se souvenant du sens plus large de l’harmonie et du rythme).

L'histoire du sens du nom gvuÿuds est, par sa tendance générale, à peu près pareille, seulement un peu plus compliquée. Dérivé du verbe géw (couler) il devait primitivement signifier la répétition du gazouillement ou de l’agitation des vagues, leur régularité temporelle. C’est de cette manière qu’il est devenu terme technique musical: harmonia a désigné l’accord par la hauteur des sons des cordes justement proportionnées (comme synonyme de la symphonia), et le rythmos, lui, la régularité d’après mesure (metron) des cadences. L'idée concrète du gazouillement des eaux a vité disparu du sens, et surtout dans les cas où le nom en question a désigné la régularité de tel processus dans un sens plus général (Archiloque 128,7 W; — par ex. le rythme de la vie humaine cf. Plat. Prot. 326 B) ou la façon de se comporter (Anacréon 416,2 P). Ceux cependant qui employaient la notion d’une façon consciente, ont associé à son sens l’aspect temporel ou musical alors même qu’ils ont exprimé par le nom rythmos la régularité d'un événement ou d'une tournure (par ex. Plat. Nom. V. 728 E).4° Le sens de la symphonia (= accord) admis également comme terme technique musical s’est élargi de la même façon, pour désigner par ex. l’accord des paroles et des faits (p.ex. Plat. Lach. 188 D et 193 E; Gorg. 480 B; Nom. TIT. 696 C) ou bien la proportion d'une création artistique quelconque.*! Une partie non négligeable des termes techniques de l’esthétique antique provient de la terminologie mathématique -- conformément à cette exigence que la proportion se fasse valoir en tant qu’accessoire important de la beauté: sans ordre et proportion — ont-ils affirmé — il n’y a point de beauté. Une importance particulière a été attribuée à ce principe surtout à partir de la période où le caractère normatif s’est vu dans l’esthétique se consolider, c’està-dire dès le crépuscule de l’époque classique. La «mathématisation» n’a cependant pas signifié l'emploi précis des significations primitives (de mathématiques) du rapport et de la proportion: juste au contraire, l’esthétique est devenue de plus en plus «liberale» quant à Pemploi de ces notions, de façon que le vocabulaire des règles à précision d’ingénieur («proportionnel, de juste rythme, harmonique») peut témoigner d'interprétations inexactes et de malentendus. Mais peut-être cela était de règle: toute magnifique que fut dans l’art Vexigence de l’ordre et de l’exactitude, une fois enraidie et devenue dogme, elle devait nécessairement former entrave au développement artistique. Budapest. 40 C’est cet affaiblissement de sens dont joue chez Xénophon Socrate (Mem. loc. cit. ef. note 39) lorsqu'il fatigue de ses questions l’armurier pour savoir avec quelle sorte de mesure ou de poids celui-ci constate-t-il le juste «rythme» de ses marchandises, c’est-à-dire l'aptitude des armures à protéger les corps à constructions diverses (de «rythme» bon et mauvais). #1Il y a aussi des verbes qui indiquent la vibration entre la valeur esthétique et un sens plus général, p. ex. dans le cas des verbes fréquemment attestés petapvduilw et yedaouólo signifiant «réarranger».