Tavola pitagorica e quadrati magici

REST: 197 I Resti TAVOLA PITAGORICA E QUADRATI MAGICI Comunicazione n.1 Ipotesi: quadrati magici di modulo dispari, costruiti con il metodo c.d. tradizionale (fig. 1); tesi: costruzione della tavola pitagorica, 1° Costruzione dello schema A per estrazio» ne, dai quadrati magici, di moduli dal 3 al 19 compresi, dei termini dell'ultima colonna di destra, posizionati nelle righe dispari (contando dall'alto verso il basso) fino alla riga mediana compresa (tavola 1), 2° Costruzione dello schema B, per estrazione dai quadrati magici 5/21, dei termini posti nel. la casella al di sopra della riga mediana e di colonma pari (iniziando da sinistra verso destra) pes qm. 7-11-15-19 e di colonna dispari per gli al. tri, colonna mediana esclusa, (tavola 1) $* Costruzione dell'algoritmo topologico di moltiplicazione, per assiemaggio, delle due tervado tante beaselle, a partire dal confine delle due zone; per b dispari: wh si legge nella zona tratteggiata contando rante b caselle e iniziando dalla casella a compresa. 2° in linea generale si può affermare che tutvii quadrati magici, sia pari che dispari, sono degli algoritmi di moltiplicazione e di divisione; nei qm. dispari, costruiti con il metodo tradizionale, e possibile localizzare, ad esempio con delle coordinate. 1 rermine che è ih prodotto di due in ieri. Detti X e Y due interi per XSY, nel qua. che (2Y + 1), nell'ipotesi drato magico di modulo desto quan. sta immesso In un piana cartestana ar toponale, con l'origine nella casella centrale, il prodotto X°Y si legge: per X dispari in (Y-X), - X per X pari in -X, | razze À € B, (tavola C); 4° Costruzione della tavola pitagorica "essenziale” mediante ‘concentrazione’ e “tusioneTM” dei termini delle due zone della tavola C (tavola D) y Costruzione dell'attuale tavola piragonta mediante ribaltamento sull'asse maggiore della tavola ‘essenziale’ (tavola E), Note alla comunicazione n.1 1° a tavola C è sufficiente per poter leggere il prodotto di due interi a € b per bs a ed entrambi 10; per b part ab si legge nella zona non tratteggiata con- Comunicazione n.2 ‘Dinamica topologica dei numeri triangolari ner quadra magic” ipotesi: qm. iradizionale, di modulo dispa11. immesso in un piano cartesiano ortogonale, con origine nella casella di centro, direzione positiva degli assi verso l'alto e verso destra: resi: verifica del movimento e della rettilinea» nità chi serie di numeri triangolari, Consideriamo ad esempio i quadrati magici du 5 a 17 (fig. 1) ed esaminiamo quelli di modulo che hanno le più evidenti riumicità topologiche. Nella fig. 2 sono indicate aleune delle più note-

I RESTI voli locazioni di deni mameri, annotandof anche il valore dei relativi termini, dove n è il modulo del q.m.; come si vede si tratta di caselle **fisse””. La fig. 3 evidenzia ancora alcunt itinerari dei numeri triangolari nel passaggio da un q.m. al suo contiguo € la loro successiva dispersione come serie, In detta figura risaltano anche dei triangoli, i cui vertici sono numeri triangolari e la cui arca è ancora un numero triangolare, localizzato nel nostro caso nella prima riga e nella quinta casella contando da sinistra a destra. La fig. 4 costituita dalle sole corone esterne dei q.m. considerati, mostra la funzione lincare di dette serie, il cui numero è in continuo aumento; infatti, dal q.m. di modulo 3 ne originano due, dal q.m. di modulo 5 se ne aggiunge un'altra, e un'altra ancora dal q.m. di modulo 11. Comunicazione n.3 "Costruzione dei q.m. ‘tradizionali’ di modulo dispari utilizzando i numeri triangolari””. 1° E noto che la somma di due numeti triangolari contigui è sempre un numero quadrato; 2° | numeri triangolari nascono dalla delle serie dei numeri naturali, ai quali aggiungiamo lo 20 poichè 7° = 21 + 28, prendiamo dallo sche- + 1 + 2 48 30 27 24 21 18 15 12 0+1+2+3+44+5+6 11 appresso: 20 24 041526 3 che con una rotazione di 180" 12 diventa 3625140 1526374 ce n 13 17 Con queste due serie costruiamo due q.m. ausiliari ‘sui generis’’, uno con costante 21, l'altro con costante 28; dopo di chè moltiplichiamo ciascun termine del q.m. ‘’sui generis" con cosrante 21 per 7 (modulo del quadrato che vogliamo costruire) e aggiungiamo il corrispondente termine, simmetricamente associato, del q.m. con co> — srante 28. Avremo quindi: 70 63 56 49 25 21 14 15 23 [| 41 23 30 48 17 24 49 42 3 1 + 2 + 3 = 6 (schema B) 1 +2 + 3 + 4 = l 42 + ar rnrooran...o.oso.s. + 3° Supponiamo di voler costruire il q.m. di modulo 7: I ' ! 1 1 | 1 i | '' I Rd 1 § I ' | 1 | i Ài |À €I : N 1 Us | à ÀI À| 1 1 à 13 i tot schema A 31 38 14 25 26 32 37 43 44 20 27 45 fica 33 15 40 A qm. 2 D. sua Jean == dba 9 16 34 100 dia 19 36 54 80 o ARE 17 32 48 64 Morris 15 28 42 et u TE, ee 24 36 a Wins 20 72 15 ew 8 | 36 10 4 + S$ = i € 11 l'unità e avremo: = ' € big dai 13 119.1 3 | É iSR| 47 . I À i 35 A ogni termine di questa seric aggiungiamo 2 0 PA i I 90 81 i ti va E © à I no 22 +4 + I 40 35 30 25 50 45 I+2+3+4+5+6+7 Modifichiamo la sequenza delle due serie come 46 3 9 e dallo schema B la serie la cui = dei 7 termini è uguale a 28 e cioè: 39 +2+3 2 3 4 ' + 2 (schema A) 0=0+1+2+ 5 ma A la serie la cui = dei 7 termini sia uguale a 21 e cioè: zero: (- 6 7 8 9 60

201 0 Ae al AAA 1:42 E 7 LLL OPS APS CA 16 20 100] a6] ¡24 A jen) 10 112] A 64| |48| |32| |16| 72| |54| [36] |18| |80| |60| |40| 47 TACA CARA ATA Ae PEN 17 = bs pels Atal cre Wear er Vo 71274 EPIO n | u RE | [61 144724148 Lz >> dA Lai 7 efffes 72(24-187 DE Es tree |20| Fr {90} fret Iso 3 A: n2-1 | || 2 [304 ; || | tr Y YY B moduft del q.m. Fro e tay, E (24142) | ' ? | , | ' 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 4 2 20 18 16 14 12 10 8 6 af 4 2 9 6 3 30 27 24 21 18 15 12 g 6 3 | 16 12 a 4 40 36 32 28 24 20 1612 8 4 | 25 20 15 10 5 50 45 40 35 30 2520 15 10 5 12 6 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 49 42 35 28 21 14 7 70 63 56 4942.35 28 2114 7 c- 1 2-0 2 | | Y 36 30 24 18 . p- in=min=2! ES E= | 2 | e | 2 Y 81 100 90 64 56 48 40 32 24 16 8 80 72 6456 48 40 32 24 16 8 72 63 54 45 36 18 9 90 372 63 54 45 36 27 18 9 80 tavola 70 so 50 pitagorica tav D 27 40 30 20 10 4 219990 80 70 60 50 40 30 20 10 essenziale c E N D V1 LL ___ - =

Quadrato magico € pentagono regolare 106 219 92 191 64 177 205 78 67 fa 140 43 152 55 117 46 107 37 78 — 70 21 29 6 |22 47 16 41 47 | 5 |11 24 7 Cos'è un quadrato magico? a”, su una scacchieÈ una disposizione **accort rsi (in linea genedive eri num n° di , ra quadrata in modo che ri), nume dei rale la serie naturale ogni riga, colo nna e deldi ini term dei ma la som sia costante. 50 25 36 AI pari del quadrato, la costante è detta magica. Vi sono validi motivi per pensare che gli anate, |lır#4 | 3+ ® sa lıa 7 s | 131 121 | 57 16 le due diagonali intere, 97 453+ ----5 16-12-56, 7|9]|37]|25|91 ® 49 -169 170|50k |92 1261/3ir 8|D10|8pa E191 26 12215 120|45]I166|3 142 |1yA | 72 73 1135/43 |67 [21122 CA 6 9 34 3 CN 2 5 | 103 | 63 | 185 186 |64 |104| 1DTT36 |246 06915° 4020 61 12 53 4E 4576 | 54 |: 148 | 88 89 | 149 Pag116 457o106 35 96 2 115 | 77 | 201 % 202105|lo| 78163|66"»151 54 5 86 11515 7618 1035 666 % |91/169 2|104 ÈCo 91°È = 63139 42176 49127 30162 35 148 21 e 17 4 204 77 190 134 7 120 a nn: —“@£ ”, autentici pitagorici, ab-di tichi ‘’ maestri muratorimagi e strumento biano usato i quadrati lavorcii,com iamo visto l'uabb altri in ti, Infat calcolo. ne operazioalcu per ico tilizzo del quadrato mag quafisionomia o una dimensione geometrica al 48 punti sono: | parametri delle coordinate24/dei 7/9; 7/17: 10; 16; 24/ 3; 11/3; 11/2 9/19; 16/2 ; 16/2 ; 20/22: 20/4; 3/15; 3/113; 15/3; 2/104;; 2/16; 15/2 0: 22/2 9/7; 22/6; ; 23/11; 23/15; 10/24;8; 19/17: 19/9; 6/4; 6/224/20 ; 4/6; 12/8; 12/1 9: 17/1 ; 17/7 10/2; 21/1; 21/25; 14/18; ; 8/12 25/21: 25/5; 8/14; 4; 5/25; 5/1. 18/1 12; 18/ ; 1/21 1/5; : 14/8 o riportati, nel son e dov 2 fig. Osserviamo la amo che i menoti i 48 punti € piano car resiano, drate 4 per qua re chie scac 2 cono desimi costruis ano 5 citpass me esi 4 e che per i nodi delle.med e le 5 cirre chie scac 2 Le iche entr conc conferenze e queche, ro cent il une conferenze hanno in com didrato magico. punto avente comneeccoor sto è notevole, ènumnelero ce radi a dell ione traz l'es resa comp ri, enta niquaelemdrata, e per leg ere alcuni valori noteevpitaoli dgo-ei ndelatequa13dra/13,toIlmagico. 13 è il termi entrale triarichngole, eilerettmisangoureli,di costalcruitune i“‘conlinele’ ternesistenti nel Le 26,misure52.dei rag104,i del e130,5 circon208.ferenze sono: rettLango'ogloetdio rappdi qeduortoesitnoeunodsittuod,duc.ièo,laccosthe pruzier quaonentodel chè Omepensttiiamoamochedi nongenerianltiezresarie iilleprot orblei nonma ppoatr-- conspentagta èonoorigriengaolleare partendo dfaolrmquadato ratocon i ma-pri» tmiacgoilcair;mednitceivaemrosatsiolnoelchaematequ smatiti numeca derii qucraodcriaatntioi gico di modulo 5, cigoièuqnuteoldal a tradizione ebrai- si prestano 4 costruzioni geometritcehree,ssetaanretlisptiicao € meri, adano1ai,l1c)u.ne scuole esoteriche, al pia- cdidahe ntticel oo spazio, di notevole ianver legato il quacminetaa r25Martnur e o(fqiug.adrato magico considernaiaÀ,mo ldue'al- dratPoosmagiiamcoo dair2e,scqaucinhideir,e dcdi a 5 circonferenze. t e d Di sterta oirnt,edrentat,eccuncoorrootermnnae,Bineuna(fidellages.te1rcoro.n2a,1nacoro,3)A,. una volta regolVedare.iam ora come costruoirree, iill metpenodotaguonosaicoppn sOra,eiatonsoociasoconconsrariiiderot€erlmate'ianlitrcomdaiisnteasnteiinparas4ocaasmetrnetlioer;iarlXeio32,€ èYcoapcdi-- tmatio perComco,laeorigcpoostinaltrràuzve;ieroininolfeic€a,trereedail5lhalcircpuntetcomonfeoedsupprenzi vise.ortota matele -2 piealtrettasonnti punti nel piano cartesianoperortoi gonatermle.ini scacchieInfirene ela solocostruzi2 dellone è eseguita solo con uno La medesima operazione è fatta degli strumenti elementari: la riga. za che la riunione della corona B, con la differen 2 caselle. Comanti dist in coppie è per termini e 2 corone si otdell ini term 24 dai e ment plessiva aver data una di dire iamo tengono 48 punti: poss azioni deQui di seguito sono illustrate ledovoper e sono indiseritte graficamente nella fig. 3 cati anche i punti dell'esagono regolare - quin

I RESTI anche del triangolo equilatero - che nasce automaticamente da una scacchiera e da una circonferenza. Ma veniamo al pentagono: Ne P, M sono 4 dei vertici del pentagono regolare, il quinto è il punto di coordinate 8/12, uno dei 25 nodi di scacchiera. Nella fig. 2 i vertici del pentagono sono con- Uniamo: trassegnati con i numeri 1,2,3,4 e 5; quelli del- - i punto A con il punto B; C e D sono i punti di intersezione della retta AB con la circonferenza di raggio 26; - il punto E con il punto F; Ge H sono i punti d'intersezione della retta EF con la circonferenza di raggio 104; - uniamo il punto I con i punti C e D e chiamiamo N e M i punti d’intersezione con la retta di coordinate 8/12 e 18/14; - il punto L con i punti G e H e chiamiamo Qe Pi punti d'intersezione con la retta di coordinate 8/12 e 18/14. I punti di intersezione sulla circonferenza di raggio 26, delle rette passanti per i punti Q, 11 124] 4 |12|25| 17| § 7 l'esagono con i numeri 6,7,8,9,10 e 11. Pur omettendo, per non appesantire la lettusa, le dimostrazioni marematiche, è opportune rilevare che i quadrati magici sono una fonte incsauribile di sorprese ed il pentagono ne è la conferma. Chiudiamo questi appunti ricordando che dal pentagono i nostri avi sono giunti alla quadratura del cerchio, che hanno risolto con una approssimazione notevole e che hanno riportato in alcune funzioni rituali come ad esempio quella del giro attorno al Ka-ba (cubo) della Mecca, ma di questo si potrà parlarne un'altra volta. |20 | 3 11124] 8 |16 4 16 113 | 21] 9 17 9 12 22 5 |15 18| 7 1018| 1 |14|22 10 23/1 |19| 2 2316 | 19] tig.1,1 6 |15 1,2 |20| 2 3 |25| 8 21 1

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