Le statut des mathematiques chez Boece

GU IL'AUMIN, \Y ¡aro e GCTHI LS | LE STATUT DES MATHÉMATIQUES CHEZ BOECE Jean-Yves GUILLAUMIN* Résumé. — Suivant la tradition pythagoricienne, Boèce fait des quatre sciences mathématiques la perfection de la philosophic ; dans le même temps, il Ics considère comme unc propaïdeïa platonicienne, unc étape de la progression vers la sapientia. La contradiction n'est qu'apparente : pour Botce, les mathématiques sont à la fois unc propédeutique ct une composante de la philosophie. , Abstract. — According to the Pythagorcan tradition, Bocthius shows the four mathematical sciences as perfection of philosophy ; at the same time, he considers them as a platonic propaideia, a stage in the progression to sapientia. This discrcpancy is apparent only : in Bocthius' opinion, mathematics at one arc propedcutics and part of philosophy. Occultée par la Consolation de Philosophie ct par les commentaires sur Aristotc qui ont fait sa célébrité au Moyen Age, l'ocuvre mathématique de Botce reste jusqu'à présent méconnue et peu éludiéc. Cependant, des textes comme I'Institution Arithmérique ct l'Institution Musicale, à cause de l'influence décisive qu'ils ont exercée sur les écoles médiévales, méritent amplement que Icur soil témoigné quelque intérêt. Au delà de la spéculation mathématique clle-méme, c'est toute une vision du monde qui s'y élabore ct y trouve ses fondements ; de Pythagore à Platon, de l'aristolélisme au stoïcisme, nombreuses sont les doctrines qui impriment leur marque sur la pensée de Boèce. Les mathématiques, pour lui, ont donc un rôle irremplagable dans le processus éducatif, ct il importe de saisir, dans la mesure du possible, la réalité de leur statut dans la philosophic boéciennc. Les données de base sont connues : dans les premières pages de l'institution Arithmétique, Botce insiste longuement sur Ic caractère indispensable de ce qu'il nomme lc quadruuium (réunion des quatre sciences mathématiques : arithmétique, géométric, musique, astronomic) dans la marche vers la philosophic. Mais les mathématiques sont-elles seulement un moyen d'accéder à la philosophic, ou constituent-clles en elles-mêmes unc partic de la philosophic ? La réponse à cette question n'est pas immédiate ; elle exige un examen soigneux des textes de Botce dans l'Institution Arithmétique ct dans les autres traités, en tenant compte des différentes doctrines qui s'y interpénètrent. * Université de lcsançon, 1. On se reportera à l'édition de G. FRIEDLEIN, Anicii Manlit Torquati Severini Doetii de Insitiutione aritmetica libri duo. De Institutione Musica libri quingue, Leipzig, 1867. REA, Y. XCUL, 1990, n% 1-2, p. 121 à 126.

LE STATUT DES MATHÉMATIQUES CHEZ BOLCE Remarquons au préalable que si Boèce, comme les autres commentateurs de l'époque tardive, est souvent un imitateur qui pralique Ammonios lui-même, que copic souvent aisément le plagial — chose parfaitement admise : ‚ avait pris son bien chez Porphyre, qu'il ne cite pas forcément, et qui avail travaillé avec les mêmes méthodes —, il ne faut pas en tirer, par généralisation abusive, la conclusion que rien chez lui ne saurait être original : mais on doit reconnaître à Boèce, qui ful l'un des plus grands ts de son er la ibilité d'avoir aussi manifesté son intelligence, en telle ou telle occasion, par l'originalité de la pensée. S'a du statut philosophique des sciences mathématiques chez Boèce, on aura recours tout d'abord à l'analyse du texte fondamental qu'est le ler chapitre du livre 1 de Institution Arithmétique (p. 7-12 Friedlein), dont les thèmes sont repris et résumés par les chapitres 2 ct 3 du livre 2 de l'{nstitution Musicale (p. 227-229 Fricdicin). Dans les deux cas, Boèce place son discours sous le patronage de Pythagore. Celui-ci fut le premier, dit-il (p. 227 ligne 20 Friedlein), à donner à l'amour de la sagesse le nom de “philosophic” ; c'est l'être véritable qui en constiluc l'objet. Les mêmes idées avaicnt déjà été exprimécs par Botce au début de l'Institution Arithmétique (p. 7-8 Friedlein, puis p. lignes 8 sq.). Dans la mesure où les êtres véritables que sont par exemple Ics “grandeurs” et les “quantités” (p. 8 1.5 puis p.227 1.25 Friedicin) font l'objet de l'étude des mathématiques, il est clair que cette conception “pythagoricienne” fait des mathématiques une composante de la philosophic, sinon même la philosophie, sapientia, en soi. Se priver de ces sciences, c'est sc priver de la sapientia : est enim sapientia rerum quae sunt suique inmutabilem substantiam sortiuntur conprehensio ueritatis (p. 7 1.26 - p. 8 1.1 Fricdlein). L'altération possible des différentes catégorics d'êtres véritables quand ils se trouvent en union avec la matière corporelle ne saurait constituer pour le philosophe une raison suffisante de se détourner de leur étude : bien au contraire, il apprendra à reconnaître, au-delà de l'aspect changeant des corps, l'éternel et l'immuable dont s'occupe sa spéculation. Ce système est cohérent avec la doctrine pythagoricienne, qui représente l'une des premières tentatives d'explication scientifique du monde, Si le nombre est la raison de toutc chose, et si l'arithmétique a la priorité sur les trois autres sciences (géométrie, musique, astronomic), il stensuil que connaître les nombre est connaître le Tout, et que l'arithméticien en particulier, le mathématicien cn général, est le philosophe ; les spéculations proprement arithmologiques que l'esprit scientifique a tendance à juger avec sévérité ne sont senties comme étrangères à la science arithmétique ; bien au contraire, ciles en sont l'aboutissement ct le couronnement, car, ayant banni de la philosophie toute explication qualitative du monde pour conserver la seule explication quantitative par le nombre, le pythagorisme est normalement conduit à retrouver dans le nombre, celui-ci rendant compie de toutes choses, Ics principes mêmes de toutes les qualités. La pensée platonicienne, qui a tant reçu du pythagorisme, s'en sépare cependant quand il s'agit du statut philosophique des mathématiques. Le célèbre passage de la ligne, dans la République (509 e sq.), fait certes relever les objets mathématiques de la catégoric des vonrá ; mais dans les mathématiques s'exerce seulement la &évoux, non pas le voix ; seul le dialecticien aura accès aux purs vonté, le mathématicien ne s'occupant que des vonté inférieurs. Les mathématiques sont alors l'un des degrés de la connaissance : leur rôle propédeulique est Eminent : undeig yeogérpntos ciaite ; mais il s'agit d'aller plus loin. Boéce semble reprendre plusieurs fois à son comple parcille théorie : il faut s'élever vers le sommet de la perfection philosophique (ad cumulum perfectionis euadere, p. 7 1.24 Fricdicin) el cheminer (... quo uiandum sit, p. 9 1.28 Fricdlein) par des degrés successifs (quidam gradus, p. 10 1.1-2 Friedlein) pour parvenir aux intellegentiae certiora (ibid.), expression latine qui rappelle les vonté platoniciens. Dans cette démarche, le rôle des mathématiques cst celui d'un moyen : des 123 phrases comme Sunt enim quidam gradus ... quibus ascendi progredique possit (p. 10 1.1-3 Fricdicin) ct Hoc igitur illud quete est quo uiandum sit ... (p.9 1. 28 Friedlein), rappelant l'affirmation initialc du traité (talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadruuio uestipatur, p. 7 1.24-25 Fricdlein), soulignent le rôle des sciences du guadruuium, en les traitant à l’ablatif instrumental, D'unc pratique indispensable, donc, pour accéder à la philosophic, ics mathématiques nc seraient-elles qu'une propédeutique ? L'exposé de Boèce semble bien culminer (p. 10 Friedlein) avec l'évocation platonicienne de l'"ocil de l'âme”, auquel les quatre disciplines sont seules capables de rendre son ancien éclat, perdu au contact des choses sensibles et corporelles, Purificr l'ocil de l'âme, tel est l'effet de la pratique des mathématiques : Asclépios, qui fut peutêtre le condisciple de Boèce à Alexandrie auprès du maître Ammonios, développe le même thème dans un passage parallèle de son propre commentaire à Nicom. ct le Gérasénicn luiméme avali fait de “l'ocil de l'âme” le point culminant du chapitre introduciif de son “ApiByneveh elo On". Il est à remarquer qu'une lclle conception des mathématiques comme propédeutique ala philosophie s'harmoniscrait facilement avec ce que nous savons que fut l'ordre des propres travaux de Boèce traducteur des lettres grecques. Pour metise cn ocuvre son projel — peut-être utopique — de renaissance de l'hellénisme en Occident, Boèce, qui avait décidé d'offrir au lecteur Jatin un accès facile aux grands textes grecs, avait commencé par écrire ses ouvrages mathématiques : Institution Arithmétique, son premier travail, Institution Musicale, ainsi qu'une Géométrie que nous ne connaissons plus dans son état d'origine cl une Astronomie, d'après Piolémée, qui est perdue. C'est ensuite sculement qu'ayant écril son commentaire sur l'/sagoge de yıc, il en était venu à la traduction de l'Organon aristotélicien?. L'ordre qu'il avait ainsi adopté est conforme à celui qui étaitprenne par Ammonios. Les quattuor disciplinae sembleraient donc bien, d'après l'ordre chronologique dans lequel fut réalisée l'entreprise, avoir rempli pour l'auteur, et devoir assumer pour ses lecicurs, la fonction de propédeutique à la philosophie, laquelle, s'appuyant sur elles, ne les intégrerait pourtant pas. Comment penser, cependant, que Boéce aurait pu n'accorder qu'un rôle intermédiaire, somme toute secondaire, ct en quelque sorte trivialement utilitaire, aux quatre sciences dont il fait, en introduction à son Institution Arithmétique, un éloge aussi marqué ? Bien plus, le lecteur est frappé de voir avec quelle détermination Boèce place dès le début de ce texte la notion d'un quadruuium indispensable, alors que Nicomaque, dans le passage correspondant, ne parlait des quatre péBo8or qu'à la fin de son développement. Assurément, Boèce a voulu d'entrée de jeu attirer l'attention de son lecteur sur l'importance fondamentale des quatre disciplinae, en frappant l'esprit par l'apparition du terme guadruuium qu'il est le premier à employer avec cette signification, L’aurait-il fait s'il nc s'était agi dans son esprit que d'un grades parmi d'autres, 2. Asclepius of Tralles, Commentary to Nicomachus' Introduction to Arithmetic, edited with an Introduction and Notes by L. TARAN, Transactions of the American Philosophical Society, new series, vol. 59, part 4 (1969), p- 29, col. 2, lignes 9-18, On comparera avec le début de l'introduction Arithmétique de Nicomaque, él, R. Hocus, Leipzig, 1866, 3. Botce lui-même indique dans la “Icitre 3 Symmaque” qui précède l'institution Arithmétique (p. 3-5 Fricdlcin) quo cet ouvrage est son premier travail ; il demande d'ailleurs à son beau-père de ne pas hésiter à le corriger et à l'améliorer. — Sur l'ordre dans lequel Botce commenta les traités de l'Organon d’Aristote, voir S. BRANDT, « linisichungszzit und zeitliche Folge der Werke von Bocthius », Philologus, 62 (1903). p. 267-268. Sur l'ordre préconisé par Ammonios, voir son « Commentaire sur les Premiers Analytiques », ed. WALLIBS, dans les Commentaria in Aristotelem Graeca, 4, 6, p. 1-4. 4. 1 ne s'agit ici, bien sûr, que du terme quadruuium employé pour désigner la réunion des quatre sciences mathématiques ; le groupement des quatre podiizara, quant à lui, remonte aux temps pythagoriciens : on trouve déjà

LE STATUT DES MATHÉMATIQUES CHEZ BOECE füt-ce le plus noble, vers la Philosophie ? Du reste, c'est justement par des gradus successifs que va procéder l'exposé de I'fnstitution Arithinétique, du plus simple au plus complexe : si les premiers développements sont consacrés au nombre, à ses espèces cl à leurs propriétés, la fin du traité culminera dans l'exposé consacré aux médiétés®. Or, nous savons que celles-ci (ct Boèce le rappelle nettement$) ont un rôle essentiel dans la psychogonie du Timée. Cela revient à dire que l'anthmétique ct la musique, ici en étroite connivence, sont capables de rendre compte, grâce à la connaissance du système des médiétés, de l'organisation même du Monde. Quel autre objet pourrait se proposer la philosophie ? Pénétrant ainsi les raisons du Démiurge platonicien, on que. tout compte fait, dans la théologie : on est donc loin d'une simple propédeutique à la philosophie. naturalis, il donne les intellectibilia comme sujet d'étude à ce qu'il appelle cette fois la partic theologica de la philosophic ; surtout, point essenticl pour notre enquête, la seconde subdivision des objets de la theoretica, celle des intelligibles, cst dite cxpressément relever de la mathematica. On retrouve ainsi la distinction connue entre unc théologie qui occupe le sommet Parvenu à ce stade de la réflexion sur le texte de Boèce, on est bien obligé de confesser que l'on se trouve en face d'une aporie. D'une part, notre auleur, utilisant Ja notion de quadruuium dont le contenu, sinon le terme, remonte cn dernière analyse aux Pythagoriciens, voit dans Jes mathématiques le sommet de toute connaissance ct la perfection de philosophie ; mais d'autre part, il platonise, assignani aux po@ypata un rôle de nponardeia à de plus hautes enquêtes, rôle que ne dément pas l'organisation de son propre cursus intellectuel, Les mathématiques sontclles la voie, 4 666, ou le but, tb 1£1oç? ? On aimerait pouvoir trancher. Il y a licu, pour éclaircir la difficulté, de tenir compte de certains passages des autres écrits de Bo&ce. Dans son commentaire sur I'fsagoge de Porphyre, celui-ci donne une classification des différentes composantes de la philosophic’, Il distingue deux grandes subdivisions de la philosophic : le niveau inférieur est celui de la philosophie pratique, practica, dont l'objet est l'homme ; clle comprend elle-même trois subdivisions : indiuidualis, celle qui traite de l'homme considéré comme individu ; politica, de l'homme comme citoyen d'un Etat ; ct domestica, de l'homme comme membre d'une famille. Au-dessus se trouve la philosophie que Botce appelle theoretica, ct qui comporte aussi trois subdivisions, selon ses objets : les plus bas sont les naturalia, réalités corporelles ; au-dessus viennent les intelligibles, qui sont les réalités spirituclles créécs ( e désigne par là les anges ct Ics âmes humaines après la chute originelle) ; enfin, au premicr rang, sont Ics intellectibilia, réalités spirituelles incréées : Dicu, formes pures, âmes avant la chute. On objectera que cette classification, en soi, n'apporte pas un éclairage particulier sur la question du stalut des mathématiques dans la pensée boécienne. Tout change si l'on veut bien considérer cette classification du commentaire sur l'Isagoge à la lumière d'une autre classification, fournic cette fois dans le De Trinitate?. Cette seconde classification esi formulée presque dans les mêmes termes que la précédente. Mais, à propos de la philosophic theorctica, elle comporte d'intéressantes précisions. Si Boèce attribue les naturalia à la philosophic 125 de la recherche menée par la philosophie, une physique dont les objets d'étude sont les réalités -em—n. corporelles soumises au mouvement (naturalia), et, entre ics deux, une mathémalique qui s'occupe des êtres qui nc connaissent pas lc mouvement. La seconde subdivision de la philosophie théorétique est donc bien ici, pour Boèce, la mathématique. Celle-ci a un double statut : d'une part, il est vrai qu'elle constitue le dernier gradus dans la montée vers les intellectibilia, assumant ainsi le rôle d'une propédcutique à la partic supérieure de la philosophic : mais d'autre part, il est certain aussi qu'elle constitue de plein droit l'une des partics de la philosophie. A la fois élape préparatoire et parlie constituante de la philosophie, telles apparaissent donc les mathématiques dans la pensée de Boèce. Du reste, cette solution aurait pu être suggéréc aussi par une réflexion de même nature sur le statut de la logique dans l'ocuvre boécienne. La logique est-clle un instrument ou une partie de la philosophie ? Boëcc® se fait d'abord l'écho du désaccord entre les écoles aristotélicienne et stoicicnne : quam quidem artem quidam (les Stoiciens) partem philosophiae, quidam (les Péripatéticicns) non partem, sed ferramentum et quodammodo supellectilem iudicauerunt, écrit-il. Son maitre Ammonios, qui avait d'abord soutenu, en commentani Porphyre, que la logique n'était qu'un instrument, non pas une parlie de la philosophic", s'était ravisé, el avait écrit dans ses Analytigues!? « qu'elle n'est pas une partic, comme croient les Stoiciens, ni un simple instrument, comme croient les Péripatéticiens, mais à la fois partic et instrument, comme croit Platon ct comme c'est la vérité »!#, Boèce le suit : dans la seconde édition de son commentaire sur l'{sagoge de Porphyre, il déclare'* que la logique est à la fois instrument ct partie de la philosophie. La conception de la place des mathématiques par rapport à la philosophic, chez Boèce, est donc claire : ces sciences sont à la fois une propédeutique el unc partic de la philosophie. L'ambiguité du début de l'{nstitution Arithmétique, à propos de leur statut, tient sans doute au fait que, dans ce traité où la foi religieuse de Boèce n'intervient aucunement, l'auteur ne fait aucune place à la philosophic theologica de la classification du De Trinitate. Il est donc irement conduit, dans le chapitre introductif de Institution Arithmétique, à revêtir les mathématiques de deux fonctions distinctes, qui ont pu paraître s'exclure, ou dont la solidarité, du moins, n'étail pas facile à mettre en évidence. D'une part, les mathématiques sont le dernier gradus dans l'ascension vers la sapientia ; d'autre part, et en même temps, étant donné l'absence de la théologie au sommet de la pyramide, c'est aux mathématiques que sont altribués les objets de spéculation fournis par les “formes pures” ; Bo&cc a beau préciser que ces “êtres véritables”, l'idée que les quatre sciences sont “soeurs” chez Archytas, cf. le fragment donné par DIELS, Vorsokratiker, 1, p. 330331. 5. Rappelons la definition proposée par P..}l. MicHEL, De Pythagore à Euclide. Contribution à l'histoire des thématiq rdeuclidi: + Paris, 1950, p. 369 : « La médiété est un groupe de ois nombres inégaux, tels que deux de leurs différences sont entre ciles dans le même rapport qu'un de ces nombres avec lui-méme ou avec l'un des deux autres ». 6. Voir Yinstizution Arithmétique, p. 149 1.21 (Friedlein), et déjà p. 80 ligne 6. 7. On reprend ici l'expression d'Asclépios de Tralles (p. 25 col. 1 liges 62 de l'édition précitée de L. Tarn). qui commente le même Fr Là de Ni que 1, 1 sur les quatre pubijpata : Etpnra dpa tle ve fi b5d¢ Kul ti 10 thoy. 8. Première édition du commentaire sur V/sagoge de Porphyre, ed. S. BRANDT. dans C.S.E.L., 48, Vienne el Letpzig, 1906, p. 8-9. 9. De Trinitate, 2, 5-21, ed. SIHWARD-RAND, Cambridge (Mass.), 1973, p. 8. quand ils participent aux corps, participent par là même au changement ci à l'altération!, il ne donne aucune catégoric d'êtres qui leur soient supérieurs. Ainsi se trouvc-I-il, du même coup, en accord avec la vieille doctrine pythagoricicnne, qu'il rappelle : la philosophie est recherche de la copia / sapientia, et celle-ci est la connaissance des êtres véritables, 10. Commentaire sur I'fsagoge, éd. précilée de S. BRANDT, p. 10 1. 2. 11. AMMONIOS, /n Isagogen, p. 23 1. 23 (Busse), 12. AMMONIOS, Commentaire sur les Analytiques, p. 8 1. 15 -p. 11 1.21 de l'édition précitée de WALLIES. 13. P. COURCELLE, Les Lettres grecques en Occident de Macrobe à Cassiodore, Paris, 1948, p. 272. 14. Commentaire sur I'fsagoge, seconde édition, p. 140 ligne 12 - p. 143 ligne 7 (BRANDT). 15. Institution Arithmétique, p. 8 lignes 9-11 (Friedlein).

Telle est l'explication que l'on Ic statut des quatre sciences, peul gms de l'apparente ambiguité du discours boécien sur ar rapport à la philosophic, dans le début de l'institution Arithunétique, 11n'y a iccs pas D+| une.Zen d'embarras dans He con le ton, au contraire, esi d'une particulière neticté, ponctué d'affirmations sans réplique (on noicra, en ce sens, la force de l'adjectif verbal d'obligation uiandum, p. 9 1.28 Friedlein), La pensée de Innp tde do aiaSenato poporcionetci de IHER de maque scams qui ol lui tel sert a de oint de départ, que dans la Lt d'une théologie chrétienne qui doil beaucoup à l'aristotét