Une enigme mathematique dans l'Hippias Majeur

ox BrYCKER, |S. DE Une énigme mathématique dans l'Hippias Majeur | Au cours d'une discussion sur la nature du Beau. Socrate en arrive à soutenir devant Hippias d'Élis la thèse suivante: il existe des prédicats qui conviennent à un couple de sujets sans convenir en même temps aux éléments de ce couple. Comme le Sophiste se refuse à admettre une affirmation aussi paradoxale, Socrate l’appuie par des exemples: pris ensemble nous sommes deux, mais chacun de nous séparément est un; le groupe est pair, les éléments en sont impairs (1). Revenant plus loin sur le même sujet, il s'exprime en ces termes: « Lorsqu'un couple est pair, ses éléments séparés peuvent être soit pairs, soit impairs: ou inversément, Jursque certains éléments séparés sont irrationnels, le couple qui en résulte peut être soit rationnel, soit irratiannel + (*). I La dernière partie de cette phrase fait depuis longtemps difficulté aux interprètes. C'est que par ápoytor, comme nous le verrons tantôt plus en détail. les mathématiciens grecs entendaient des racines carrées de nombres entiers non carrés parfaits @), Or il est impossible d'arriver è un résultat rationnel en additionnant des quantités de cette espèce. (1) Hippias Majeur, 301 d 5-302 b 3. (2) Ibid., 303 b 6-c1: 7 older zwmideı, Ganso other ÊrToT Terr änmotegor, tdga ner Exdtega nearrrá elvas, tdya 0 dutta, wai ad doorrun Exarkuwr Gvtur taza ner Gta Ta grrangitiuu riva, Taya 0” äpenra. | (3) Ce sont ces racines que les mathématiciens français du xvit siécle désignaient comme des sourds; les Anglais continuent à se servir du terme surds.

UNE ÉNIGME MATHÉMATIQUE DANS L'HIPPIAS MAJEUR 319 É. DE STRYCKER Tout le monde est d'accord pour dire que Platon Pas cette proposition, n’ignorait d'ailleurs assez élémentaire. Mais ne Pourrions-nous accepter l'hypothèse de Miss D. Tarrant (1), pour laquelle Socrate est censé reprod uire ici une leçon mal comprise? Non, car rien dans tout le passage n'insinue qu'aux yeux de Platon les expressions de Socrate recélent quelque erreur, inexactitude ou obscurité. Voyons donc si Ja phrase litigieuse n'est pas susceptible d'un sens mathé matique pleinement acceptable. Laissant de côté un essai d'interprétation qu'il faut bien appeler fantaisiste (2), nous examineron s d’abord l'explication proposée par le grand historien anglai s, Sir Th.-L. Heat (), Il pense que, dans l'Hippias Majeur, le mot àoontor aurait une signification plus large que dans la terminologie ordinaire; il désignerait n'importe quelle espèce de quantités irrationnelles et donc pas uniquement celles qui peuvent être rendues rationnelles par simpl e élévation au carré. Un cas qui répondrait aux exigences du texte serait par exemple celui d'une droite rationnelle divisé e en moyenne et extrême raison. Euclide (XIII 6) prouv e que les deux segments ainsi obtenus sont de l'espèce dite apolome. Et l'on peut a juste titre supposer que Platon en connaissait déj l'irrationalité: car dans Euclide cette division fait l'objet d’un problème résolu au livre Il (prop. 11). dont l'origine pythagoricienne est bien connue. Cette solution ne paraît guère compatible nous savons du développement avec des mathématiques ce que dans Ja première moitié du rv* siècle. La proposition II 11, à laquelle se réfère M. Heath, obtient la section demandée par la méthode d’application hyperbolique entraîner aucune connaissance des surfaces, de l’irrationalité mais des deux segments (4). Bien au contraire. si la démonstration (1) The pp. Hippias Major attributed to Plato sans de l'ir- (Cambridge, 83-84. 1928), (2) Nous pensons à celui de M. Alfred CROISE T qui. au tome II du Platon de la Collection des Universités de France (Paris, 1921), p. 40, traduil gyré: par entier et dopnto; par fractionnaire. (3) A History of Greek Mathematics (Oxford, 1921), 1, pp. 304-305. (4) Cf. E. J. DIIJKSTERHUIS, De Elementen van Euclides, ningen, 1930), p. 271. 11 (Grorationalité n’est donnée qu'au livre XIII (prop. na si elle fait usage de la notion d’apotome, ¢ est donc qu +: due à Théététe, à moins qu'on ne veuille, par une i ese d'ailleurs improbable (1), la rajeunir encore et l'attribuer à ntique, et nous ne peu aren Y Hipptas Majeur est authe r (2), il doit être rangé a aucune bonne raison d'en doute les œuvres de la jeunesse de Platon. Dans ce cas il pi composé avant les découvertes de Theetete. et ne peut ame y faire allusion. Et quand bien même le dialogue serait ape’ cryphe et par conséquent de date plus tardive, il ne pourrai pas davantage désigner une apotome par le terme d nu En effet, comme nous le disions plus haut, les irrational È élémentaires reçurent dès le début le nom d nota, e es pa dire de quantités non exprimables en nombres entiers ne lles, rapports de nombres entiers. En fait de telles irrationne on ne connut longtemps que V2. Ce nest nier aig‘ l'année 400 que Théodore de Cyrene dementra | irrational g d'une série d'autres racines carrées. celles de 3 a 17 ( ) Chen Théétete découvrit l'existence d'irrationalités supérieure re os qui. méme élevées au carré, n'étaient pas conmensu vom FE s er avec l'unité adoptée, on conserva aux des e comm d’äponra (*) et on se mit à designer les nouvelles (1) Voir la discussion dans Eva Sachs, Die jünf platonischen Korun u rly, 20 (1926). u À si Classi: cal, pp.Quarte ta G. M Philol de Rent Renur es. DIES. A. 2 : 79 369-3 369-3 (1929) 24 ogy. bestical Ph 148 et Classi ic, 55 (1929), pp. 383-396. hi on Fr 147 d 3-6. Sur les progrès de la connaissance + | rlin, 1917}, pp. 112-116. 7 viei È re fondamental, quoique en partic i [tarados ‘voir le mémoiEntde nach ci i ckungsgeschichle des sagg de Han “VoaT Die ine Bibtioten : „Boo 8 is, dans da ba 3 ; a pp. mathematica, 3. Folge, 10 (1909-1910), , artic ' 4. Jahrhundera, Plato und anderen i Quellen des marquablement précis et vigoureux. de K. vox Fritz ables 5en xprimnen «jine Étui ory ol Ene. ae E md reg t étaien ] Da (ante preti), Ces grandeurs 4) On spécifia d’ailleurs que, tou an RARES È au carré ci + pm> in + ou x à la puissance t», lac'estplusà dire le, ‘ee sorle me von usuel devin Cette dernière expression la terminologie math ique. omme i t rapidement de , p. 150), l'emploi deémat dans he A ec oe e H Vogt (op. laud.d'antiquité relative et donc d’auth enticité. vas Majesr est un signe

UNE ENIGME MATHÉMATIQUE DANS L'HIPPIAS MAJEUR 321 É. DE STRYCKER dAoya (1). Cette terminologie était certainement déjà fixée du temps d'Eudoxe et d'Aristote (?). Pour ma part, je ne rectangle de cötes irrationnels V2:et V3, on aura l'hypoténudoute pas qu'elle ne remonte à Théétète lui-même. Nous savons par le iémoignage de Platon (*) quelle attention il Ve et V3. l'hypoténuse vaudra 3 et sera rationnelle. Platon veut donc qu'on effectue une addition non point sur les côtés de l'angle droit, mais sur leurs carrés; on découvre ainsi la valeur du carré de l’hypoténuse, et indirectement celle de donnait aux questions de vocabulaire et de définitions mathématiques. I] est invraisemblable qu'il se soit montré négligent à ce point de vue pour ce qui faisait l'objet même de ses principales découvertes. Mais outre cette présomption: générale, nous possédons dans la République de Platon une précieuse confirmation de fait: les livres VII et VIII de ce dialogue, composés probablement dans les premiéres années qui suivirent les découvertes du brillant collaborateur de l'Académie (4), connaissent et des äpenro: diduetoor (3) et des ddoyot yoauuai (*. Aucune solution du probleme ne sera acceptable qui ne laisse au mot dpontor le sens bien déterminé qu'il a dans la littérature mathématique, celui de racine carrée d'un nombre entier non carré parfait. se irrationnelle W/5: au contraire avec les côtés irrationnels l'hypoténuse elle-même. Tout ingénieuse qu'elle est. celte solution n'en est pas moins inadmissible, C'est qu'elle fait violence au sens obvie du texte, Il est impossible d'appeler les côtés du triangle rectangle : chacun des deux séparément » (éxdtepa), el l'hypoténuse . les deux ensembl: » (cuvangotena), |. hypotenuse comme ligne (car c'est bien de celà qu'il s'agit, ci non de sot carré) a son individualité propre; elle n'est pas la combinaison des deux autres cûtés. Il H. Vogt avait déja rapidement indiqué les raisons générales pour lesquelles une interprétation du genre de celle de Heath doit être rejetée (7), Il attirait de plus l'attention sur une particularité curieuse dans le texte de l'Hippias Majeur. Le couple pair qui résulte d'éléments soit pairs soit impairs par voie d’addition, est appelé dugórega. Le couple rationnel ou irrationnel qui résulte d'éléments irrationnels est appelé ourauporepa. Vogt en concluait que dans le second cas le processus de composition des éléments ne pouvait être « purement additif ». Voici donc comment il se représentait l'opération indiquée par Platon. Si l'on prend un triangle (1) H. Vocr, op. laud., pp. 143-150 : K. von Fritz, article Theuitelos 2, dans PW. V A, col. 1351-1372, surtout 1360-1362. | (2) K. von Fritz, article Theaitetos, col. 1362. (3) Théét., 147 d 7 - 148 b 2. (4) Ils datent des environs immédiats de l’année 375. (5) Rép., VIII, 546 c 4-5, (6) Rép., VII, 534 d 5. Ce passage a échappé à H. Vogt. Il écrit que dans tout Platon il n'y a pas un texte où &Aoyor soit employé au sens d'irrationnel (p. 144): que cet usage apparaît pour la première fois=o a donc après l’année 350 (p. 149). Cette affirmation Gh Op: lend oes continue à induire en erreur Jes hist oriens des mathématique j BD. s. Le texte platonicien parle d'éléments et de couple. ll ne dit pas par quelle opéràtion il faut « mettre ensemble » les premiers ou « diviser » le second. Assurément, s'il s'agit de nombres ou de grandeurs géométriques. leur composition se fera par voie d'addition (*). Mais il existe dans la langue mathématique une autre application des termes orrriliirut et Ötmpeir. « Composer » deux rapports, pour un Grec, Cest les multiplier; « séparer » deux rapports, c'est les diviser. I] ne nous manque pas de textes pour illustrer cel usage, particuliérement fréquent chez les théoriciens de Ja musique. Prenons un premier exemple chez Théon de Smyrue: > Il est clair que les compositions et les partages des accords correspondent et apparaisseni conformes aux composilions et nous aux partages des rapports qui les expriment et que avons décrits plus haut. Ainsi, puisque l’octave se compose de la quarte et de la quinte ef se partage en elles. el que d'autre part le rapport de Poctave est double, celui de la E, p. 40, 4 (Hier); Nico(1) Voir par exemple THÉOX DE SMYRN Trocius, Jn Euclidem, 1: 8 1 . étigue urilhm MAQUE, Introduction p. 161,25-162,3 (Friedlein). - Miz. Bolsacy.

É.— DE STRYCKER quarte sesquitierce et celui de la i quinte apparai t d i sesquialtére, il quee w rapport double se com pose du xsesq D uitier 4 La > a que Pur altere et se résout en eux » (). Tapport sesquialtére y: Ou encore : « L ° : © e Lorslo camma sesq rit qe par exemple 9/6, on soustrait Ee e DT ce 6. il reste le rapport sesquioctave 9/8 - à ce dernier rapport (1 Ena. quioctave) ] s Lon additionne Sesquitierce 12/9, on reconstitu si r a rapport ses Ù en ts . € 7 1a LI ‘ e Ey . . El = Sesss , les sages y 12/8» (). Ainsi s'exprime Théon dm Sun langage La pica au péripatéticien Adraste (2 actement le même 14 on i , &| e Ja où ; : \ le Platonicos secon py — d'Ératosthéne () il dép épend deà sa fidélité anne et Adraste suivent avec une égale Nous en rein uable traditio n de Ja musique io . tes Manzi un chaînon plus ancien dans un des trai at harmonigue, ho E d ‘ s x Alqui iene a Euclide. San s doute, I’ Introduction des Éléments s'est na re in Sous le nom de l'auteur hr " z > 28 pas ui: on 2 Je ia = i est qu'elle > On a demontré 5 tr Cléonide l'authenticité ae auteur du 11 siècle après J.-C 6) Par hei n Sectio de la substantielle au Fee: sad Heed (1) P. Tur 62, tout 1-10: entier basé TO dia sur la notion dto» dé ÚTIL us ai Gurbéa rio or'agmmna r duch UY0 I Ta: Loyor ar TEC est de xai rbéacai 01 Rat curado Oempotrrar Turca TAG i j zur Ex te «ai fic eis tatÈ ta diatweita t, dé did TEGadowr fat i pe 2 Ton o . air ae Ayoo ter i Kal vi Ord « composi ai Artivégii: TOP UTA i uper, cw, fen Mens rita 2úSEyoz cur nttibea@>»ai TOW NE Dia ETE purée E TE Ex era 54 . vdo Eeritolte ‘070€ Npiddios Tor r Adyow apf ros c'est l'élever au carré. Le théorème est donc celui-ci : « Quand on élève au carré un rapport dont un terme est multiple de l'autre (p. ex. 6/2), dans le nouveau rapport ainsi obtenu (36/4) un terme sera également mutiple de l'autre ». On pourrait s'étonner que la démonstration de ce théorème, comme aussi celle des suivants, ne parle pas directement d'élévation au carré, mais considère seulement une série de trois grandeurs en proportion continue. C'est que l'auteur s'appuie sans le dire sur une propriété exprimée dans la définition 4 du Ve livre des Elements: « Lorsque trois grandeurs sont en proportion (continue), on dit que la première est a la troisième dans un rapport doublé de celui où elle est à la seconde » (8), c'est-à-dire que sia: b= b: e, on aura a: cs a: b?(#). On voudra bien le remarquer une fois de plus: tandis que doubler un nombre, c'est l'additionner à luimême, doubler un rapport, c'est le multiplier par lui-néme. Les Eléments ne font pas seulement un appel implicite à la notion de «composition des rapports» dans celle de «rapport doublé», ils l'emploient aussi d'une manière formelle. Dans la proposition 23 du livre VI, Euclide démontre que «les parallélogrammes équiangles sont entre eux Tor , (Leipzig. 18) rc i be j a002 TH =" Er dei nd Ter oO pi c 24-85,1 graeci‘L (Li psi ip oe (1) Les deux termes 4070: et Sidotaziu sont praliquement synonyse sert. (2) far Ardornpu aoddaridauoyr diz arıteßir mej Te Atdetypa, nut aetg nollariucior ÉGTAt. (B) ¿rav SE toi pepély dvddoyor po TH ayorer aan: Sur le Ta InITOS ahactora Júsor Ege Zéperai ymey Ayes Th dertınar, | n Mus ici h seri e 6 mes ; dans les trailés de musique. c'est en principe de second dont on ns lois DE 82, 2 22: 83. ; 14-1 5 : 83, is + VON jaJAN n nar proton zu 3 PN. rin 1B NOG? tà y a THÉon, P. 61, 18-19, apni fnioiton Os TOY <éaitgitor> Jévop TeTai Auyos éndyôcos 6 rar N BENTog ETITOIg TEN e TE pu; e (2) P. "D 62,e 1919 6: -6 2:|3, 4x6 na « composer deux fois » ou « doubler » un rapport, 3 i * tion des rapports » ou plutôt « des intervalles » (*). La proposition 1 est ainsi libellée: « Lorsqu'un intervalle multiple est composé deux fois, l'intervalle qui en résulte est luie Cet énoncé, d'apparence quelque peu » (*). même multipl sibylline, devient parfaitement clair si Pon se souvient que qal rpeiebas 2 e Ip,~ a 323 A : Tor Fle TOMTOM: Dru = los Sutr a torros + E de bah afore ¢ ere Tan. Epqeto TeGado de Cabas dernier traité a ter critiques les plus compétents (*). Or ce © - UNE ÉNIGME MATHÉMATIQUE DANS L'HIPPIAS MAJEUR s ae, 1845). pp. Literarge schiehtli che 171-174 Seed ier de sens de l'expression drriuoior Adyoz. Noir Scholia in Huctlidem, p. 292, 7-11 (Heiberg) : Tu. L. Heats, The Thirteen Books of Euclid's Elements?, IL (Cambridge, 1926), pp. 132-133. Sur son origine, ef. Benedict LINARSON, On certain mathematical Terms in Aristolle’s Logic, dans: American Journal uf Philutogy, 57 (1936), p. 35, u. 12a. (4) CE Heimen, Euelidis opera omnia, 11. p. >, n 2.

dans un rapport composé de ceux de leurs côtés » (1). Ce qui est curieux, c'est que nulle part dans les Elements on ne donne une définition de « rapports composés » on de « composition de rapports »(*). Cette faute de méthode est significative : il faut que Je terme et le procédé aient été bien usuels pour qu'on ait négligé d’en préciser le sens. 111 La phrase de l'Hippias Majeur parlaït d'éléments à réunir en un couple. Elle n'en précisait aucunement la nature. Nous avons constaté que si on Y vovait des nombres ou des grandeurs géométriques, on s'engageait dans une impasse. Par ailleurs, Vogt nous a fait remarquer qu'il ne s'agissait probablement pas d'une composition par voie de simple addition. tout Examinons maintenant qu'on admet si ne seclaircit pas dés qu'il est question ici de rapports ou intervalles et de multiplication. Soient donc les éléments «inexprimables» 3.1, \ 62. Le résultat de leur composition, l'intervalle compose (*) V18j2 ou 3V/2/2 reste lui aussi un intervalle irrationnel. Si nous prenons au contraire les éléments irrationnels V3/1, V12/3, nous obtenons l'intervalle composé rationnel V/36/3 = 6/3 = 2/1, c'est-à-dire l'octave. Et ceci n'est pas un jeu gratuit de furmules appliquées arbitrairement et sans fondement à un texte plalonicien, puisque les Introductions harmoniques de Cléonide (*) et de Gaudence (5) distinguent en rationnels (1) ta iocywriu aapalinicpgunpa “ dibybu . La , Tun Eytt 20507 (2) La définition 5 du livre VI est HEIBERG, Luclidis généralement opera omnia, HEATH, The Thirteen Books of Euclid's Elements’, rejetée comme 1. p. 73, 11, pp. et 189-190: DisksTeRHUIs, De Elementen van Euclides, n. 2: 132-133 11, p. 102. ne joue aucun róle dans la pas e m qu'en géométrie les définitions qui ne servsent Pau cla des demonstrations appartiennent au fond mnths n, ii S'il nous est permis de raisonner ici a part, les rationnels i me M rons que la distinetion des intervaldont ne ve à A 5 nels remonte au traité d'Archvtas á 1 époilque où rie cas, de maigres fragments. Dans ce om ia n e à-dire Vers l'année 300, e ealfiure pias À lajeur, c’eàst-laque une rapii lle il était élégant de té scientifique sion.ane question se présente vee intervalles composés et simples datrfetu), cf. CLÉONIDE. p. 187, o-G et (diuotipura 188, 3-184, 2 (Jan) ofrheru, on 146, 26-27 et 198, 15-200, 2 (Menge); Baccnius, p. 306, 3-5 (land: GauDENCE, p. 338, 13-14 (Jan). (4) P. 187, 6 et 189, 2-8 (Jan): p. 196, 27 el 200, 2-8 (Menges, (5) P. 328, 17-20 (Jan). dla £ We cutee à Lul DE ung aussi Judi pourquoi ne | at-il Ne aie nano était la pensée de Platon. n'a-til pas specie salire eae plus clairement ? Pourquoi e à composer étaient des rapports. ou en lei Èsill se faire par voie de multiplication - Pourquoi rend eed , he ef note lecteur éxaTega ues que i vagnde aussdema motsqui des tion e plov a | du part la de trop preta inter de ra sr de chances d'être la vraie. Li de langage, ew 20 i— En réalité. ces imprécisions “ . l Kana e une objection, vont plutôt à confirmer notr ae les sont tout a fait dans la maniere dle l gini : w la alare contient un cas célébre de construction pini (yy MAIS face, compliqué d'inscription dans un cerci len + Mete N . pu M H A! uil Vera pel) i (1) Conformément à: l'usage établi ,e 6 , cos auteurs up» ‘omar Théeféele. posent non syto? à agoytor, mals grt! ANGE : ‘hanoine Pown a Diesallà du p (3) On pourra Comparer l'argumentation chez cei dans Te seulement ions ouallestees wopes de classificat et qui sont wi Proclus, d'Aphrodise omg - a i i a Y i wee à . Ne on : ave dit inte. ker . s i passage sur Je° nombre nuplial dans la Républiqueque ¿Platon a connu N th _ (I à fa de Platan, po 129): © Man lvpolhese. at N. 91, (3) Sur les l purement der O1e Notons qu'elle est d'ordre divi ens om on. can sion du hoo, ovyxeluevor Ex THY alevodr . apocryphe; cf. a» ki chon valles dont s'occupe la musique théoitériqudee e). o m e aucune donnée positive sur l'antiqu r ea race mais cela ne prouve en aucune facon qu ele soit et irrationnels Jes inter- Tui: 325 UNE ÉNIGME MATHÉMATIQUE DANS L'HIPPIAS MAJEUR E. DE STRYCKER 1 2 . . - { cetteti classification. est probable du up ar The Thirteen Books of Abe me 4 y Hare. The Thu Na x ny yy > O poussi *. en Lp. tot; de {tr . 4 = tbhundlungen uns Reti Huimin. math Mathemalisclos 0 Aristaleles, EUR vit (I ap ematischen. Wissen! haffen. -ur Geschichte der D - LA SH tue , - LE zig. 1004), p. sl. (2) Ménon. Sb e 4-87 b 2. ma iF ‘) da ai ‘4. e

¥%, DE STRYCKER le caractère technique du passage, on n'est pas encore par- venu à ‚s’entendre sur la portée exacte du problème. Dans le paragraphe de l’Epinomis (1) qui célèbre l'unité de la science réalisée par la construction géométrique de la racine carrée incommensurable, les meilleurs travaux aboutissent à faire constater la possibilité de plusieurs interprétations (?). C'est tout récemment, après vingt siècles de recherches, que le chanoine Diés est parvenu à dissiper intégralement la proverbiale obscurité du « nombre nuptial » de la République (3). Il a dressé la liste (*), vraiment impressionnante, des ambiguïtés et des obscurités que Platon y a semées à plaisir (5). Ici le cas est beaucoup plus simple: il suffisait au lecteur de I Hippias Majeur de se souvenir des découvertes les plus récentes pour résoudre aussitôt la petite énigme que lui proposait Platon. Louvain. E. DE STRYCKER, S. I. (1) Épinomis, 990 c 6-991 a 4. (2) Edouard des PLaces, Le passage mathématique de U Epinomis et lu théorie des irrationnelles, dans: Revue des Études grecques, 48 (1935), pp. 540-550. (3) Rép., VIII 546 b 3-c 6. A. Diés, Le nombre de Platon. Essai d’ezegese ct d'histoire (Paris. 1936). (4) Le nombre de Platon, pp. 132-134. On notera les remarques pertinentes de l’auteur sur Je caractère intentionnel de ces obscurités. (5) L'une d'entre elles offre quelque analogie avec celle que nous cherchons à éclaircir ici. Platon parle de la « base sesquilierce accouplée à cing » (éxiroiros avGpry zeuzadı par là, non qu'on additionne, mais qu'on nombres | 3 4 et avivypet:) il entend multiplie entre eux les 5. E. LE Staycken, Une énigme mathématique dans UHippias Majeur: AIPhO ¡Y 1937 (Mél. Boisacg) 317-326. | Le passage de l’Hippius Majeur 303b6-c1 [traite de rupports ou intervalles et de multiplication. La distinction des inter- ¡valles rationnels et irrationnels semble remonter à Archytas ; dans ce cas, À l'époque où parut l'Hippias Majeur, c'est-à-dire vers 390, c'était une nouveauté scientifique à laquelle il étuit élégant de faire allusion.