La philosphie de Pythagore et la science

KA HANOTE D eL LA PHILOSOPHIE DE PYTHAGORE ET LA SCIENCE" PAN BORIS KAHANOFF. miE+FaSjltrs "20(nAap: ese = à la lumière de la loi du nombre de Pyibagone et de l’évolution des sciences | 20550. a pal de res et lu selence. Hull, Ing (1948) sup qe oy rm0, ste Plus heureux cusuite un disaut seulement ms te rm yen >E que 2 "a or ue A PH È s'appli ti Lita ca a sciences jusqu'à nos jours confirme ces vues. Les mathématl è pa luti ombreux domaines, à tous les phénoinènes mesurables, Il y a des li es mais, O tas ang uniquement à nos sens ou à notre conscience), is pour conjaltre un phénomène, il faut toujours essayer de Jo mesurer. d’après les Pythagoriciens est «la prison dans laquelle l'unité divine a renfermé l'univers». Au début, les Pythagoriciens enseignaient que les nombres constituent l'essence même des choses et leur sont identiques. Dans cette forme, l’idée est inconcevable, même absurde. Plus tard, les Pythagoriciens affirmèrent seulement que le Nombre régit le monde, ce qui dans notre langage moderne veut dire que le Nombre détermine les rapports des choses, mais nullement leur nature elle-même, ou les « choses en soi», B. cia à DE e di Dove ogPape, de Puthagore el la science : BIE XXIX 1046: Ten Un des plus curieux penseurs que l'humanité ait connus, Pythagore. puisait à toutes les grandes sources de sagesse à l'époque, entre autres chez les savants prêtres de Memphis et de Thèbes. Nous allons évoquer l’idée fondamentale de sa philosophie, qui projette une lumière éblouissante sur le monde et nous en donne une réelle vision. C'est le primat de la mathématique, ou la loi du Nombre qui ces dernières étant d’ailleurs inaccessibles à notre compréhension. Les rapports des choses reflètent donc les rapports des nombres correspondants, et comme ces derniers ils obéissent aux lois inexorables de la ( Communication présentée en séance du 15 mai 1947.

DULLIEIISN L'INSTITUT LA PHILOSOPHIE DE PYTHAGORE ET LA SCIENCE, D'EGYPTE. aque pure — placée par Auguste Comte à la base de l'échelle Pour nous, heureux héritiers des trésors légués par Archimède, Newt Maxwell, Einstein, l'idée Pythagoricienne paraît évidente e e banale. Mais il a fallu un véritable génie pour l’énoncer il a “sel quand la science physique était à peu près inexistante ina sine à présent le champ de nos recherches scienfifiques est e loin d'être labouré d'une manière adéquate par les msthöulichen, De vastes domaines leur échappent encore totalement. Il est stain cependant que l'idée de Pythagore conquiert le monde de lus pl . et c est dans l'extension des méthodes mathématiques sinon i jr ite du moins 4 de multiples branches de nos connaissances que hile meilleur gage de nouveaux et insoupconnés triomahey de la eam Gomme plus tard dans la conception platonivienne le monde d | phénoménes matériels n'est que le reflet d'un monde idéal, de i A n dans la conception pythagoricienne les rapports des pbgnombaras m 1 n ne sont que le reflet des rapports des nombres, ces deux catégories de pe différant l'une de l'autre autant que different la matière de i ee, l'imparfait du parfait. Étudier les lois des nombres — la mathématique —, et les appliquer ensuite aux mondes physique et même spirituel autant que leurs phénomènes s’y prêtent, voilà la meilleure métl de pour accroitre nos connaissances dans leur forme condensée — la science 11 progrès à l'avenir, nous allons suivre la pensée pythagoricienne ci jeter Jeter un coup d'œil rapide sur les et éta pes principa inci les dans l’évolution in des nombres Non pas dans le sens restreint de la « Théorie 8», mais alee ares Ñ dans le sens général de e 1la ] mathématique pure. pect i : de la nature ure des ( nombres, et d de leurs rapports. ci “ar quand | homme primitif a commencé à dénombrer dex a u a ités de céréales le récit biblique sur Joseph ramassant de grandes quant Joseph en a cessé le pour affronter la famine en vue, nous raconte que(Gené 41, 4g). recensement «car il n’y avait plus de nombres» d’unse,e seule et unique Le stade suivant comporle déjà la reconnaissance pour l'Ancienne ‚artie de l'unité. On sait que ce stade est caractéristique certains origiÉgypte. Mème de nos jours nous avons pu constater chez des fractions naires de la Haute Égypte la curieuse habitude de simplifier décimales, mais à ordinaires par leur réduction non pas à des fractions ablement un très des fractions au numérateur 1. Ce qui trahit prob vieil atavisme. système des Plus tard, l'introduction des fractions a compléténousle quali fions de nombres qui sont en notre usage commun et que e-t-il, è s'apercevoir C'est toujours Pythagore qui fut le premier, ensemblcons nt notamment des lacunes dans ce systéme des nombres, rationnetata l quelconque le l'impossibilité d'exprimer par un nombre res rationnels. que deux millénai rapport entre la diagonale et le côté d'un carré. Pres valeur numérique se sont écoulés jusqu'à ce que l'on ait reconnu que cette s ainsi que d'autres nombres pareils étaient réellement existants et sujet aux opérations de calcul habituelles. rique des choses Ici nous observons un cas où l'exploration empistim l'idée, l’exprécède leur exploration mathématique, la matileèresouventuledans toire périence devance l'analyse. Ce processus se répê , mais génél’his ment rale des sciences (rappelons-nous les lois de Kepler!) c'est l'inverse qui a lieu. ; ne pour retracer sommairement la genése des sciences et en pronos x ? e I que e Pa 245 objets sint, il ne connaissait que des nombres entiers ‚ncore leur limite s’étendait-elle bien lentement. Ainsi, par explo, leurs variations On a compris que les nombres rationnels, en dépit deésen repr tent qu'une infinitésimales et continues de — co à +00 ne autre étude («Sur fraction des valeurs numériques réelles. Dansréune celte fraction ellele Théorème de Fermat»), nous avons mont itéquede syst èmes similaires même est infinitésimale, et qu'il existe une infin numériqu varient au système des nombres rationnels, dont les valeuetrstels que deuxesnomb res également d'une manière continue de—oo à +00, une mesure commune, quelconques du même système ont toujours conque mais n'ont jamais de mesure commune avec un nombre quel d'un autre système. Il en résulte entre autres que les cas où deux vale

BULLETIN DE L'INSTITUT D'ÉGYPTE. Ainsi on est arrivé à la notion des nombres irrationnels. Le discernement de nouvelles catégories des nombres ne s'est pas arrêté. On s'est aperçu que le terme 4 irrati onnel» englobe des nombres de natures tout à fait différentes. D’abord a-t-on la catégorie des nombres irrationnels qui sont « dit, qui satisfont à une équation discerné parmi eux algébriques», autrement a" tag" + be"... thr +10 où les exposants et coefficients sont des nombres les autres catégories des nombres irrationnels ont entiers ou nuls. Toutes été dénommées « transcendantales», Mais la différenciation de ces dernières, n’ayant RFArEaAReTnED BeastrPeaw, numériques sont commensurables entre elles sont infiniment moins fréquents que les cas où elles ne le sont pas. = Sega "rte DI Aiylwe LA PHILOSOPHIE DE PYTHAGORE ET LA SCIENCE. l'unité. Certes, ce système a le vice de toutes kes en qe phiques. où l'étendue d'un point et 1 épaisseur d'une ligne trace sont toujours appréciables. Mais en dehors da ce vice, lu Pa] ra n'a pas été et ne sera jamais surpassée par son universalil®, car elle n | u est parfaite (1). L’apergu de la nature des nombres serait incomplet si nous ne " n tionnions pas la catégorie des nombres définitivement intro uits dans nos recherches par Gauss et Argand, notamment, les nombres imaginaires Ceux-ci se distinguent de tous les autres res par le fait qui ont une pure création de la raison humaine, car ils n'existent point en réa ite. Pour donner une idée de l'importance capitale des nombres imaginaires. il suffit de rappeler qu'ils sont à la hase de la théorie des onrtions analytiques et de ses multiples applications dans les seiences physiques. aucun trait positif commun, n'a pas tardé d’apparattre non plus. Actuellement nous en connaissons des nombres logarithmiques. des nombres fonctions de n, de certaines intégrales définies, et autres. Mais rien ne s'oppose à l’hypothèse qu'il existe encore d'autres catégories des nombr es transcendantaux que nous ignorons actuellement, mais que l'aven ir nous décélera, ou dont nous n'aurons même jamais connaissance. Nous voyons donc que les nombres rationnels ne 247 constituent qu'un seul parmi d'innombrables autres systèmes des nombres réellement existants, tous les systèmes étant incommensurable s entre eux-mêmes. III en ce an issances € 'évoluti on de nos5 connalss Après l'aperçu sommairi e de l’évoluti qui concerne la nature des nombres, tournons-nous maintenant vers apport» ntnous donnons le sens i terme «rapport» N Au les rapports de ces derniers. Nos connaissances de ces rapports débutent par la fonction linéaire entre deux valeurs numériques r et y, du type Il n'existe, ou au moins on n’a conçu aucun procédé d'expression symbolique uniforme englobant tous les nombres réels. Noton s à ce propos que le défaut de mesure commune n'est done pas inhére nt exclusivement aux phénomènes matériels hétérogènes: il se manife ste également, il fait presque la règle parmi les valeurs numériques abstraites, ce vaste domaine si homogène, paraît-il, qui appartient au monde encure plus vaste d’«idées pures». u de «lien fonctionnel» entre les nombres. y = ax + b où l'homme s’est familiarisé d'abord avec les cas les plus simples tels = b=0 Ensuite on s’est initié aux fonctions circulaires. Les anciens Égyptiens 0) L'universalité de ce mode d'expression graphique des nombres pus ate Un fait curieux. Comme nous venons de le dire, nous ne connaissons aucun système universe] de symboles numéri ques. Néanmoins le génie grec a conçu un système universel de représe ntation graphique des nombres réels, quels qu'ils soient — rationnels, irrationnels ou transcendantaux C'est le rapport de deux longueurs, dont l’une est consta nte et prise pour étendue aussi à des symboles numériques. En effet, faisons varier un angle 2 = manière continue de —7 à +7. Alors la série des valeurs fp $ représentera h les nombres réels de — co a + co. Quelquefois ce mode &amme complète de tous ua (y. notre ‘ , T | étude «Extract graa ion DE ! d'expression peut s'avérer méme avantageux (v. phique des racines cubique». Bull. de l'Inst. d'Égypte, 1945), cependant sa g ralisation nous semble aussi peu commode qu’irréalisable. .

è er. de grands progres différentielles partielles vont cerlaiinement marqu y ont tellement avancé qu'ils ont pu calculer le nombr e 7 avec une préciégalement dans les sciences physiques et autres. sion surprenante, l'erreur étant inférieure à 1% (Ahmès , 2000 av. J.-C.). Les fonctions cóniques ont été étudiées surtout par Leurs connaissances des courbes côniques étaient Plus tard on a commencé à s’initier aux fonctions de rches n reche e leurs constantes ‘ psychologues et autres, dans i biologistes, des «causes» ou desdes lois, lois, se contentaient up. B=/(A) produite au xvn° siècle lorsque Descartes, Newton et Leibnitz ont introduit des valeur s numériété profondément exploré au siècle suivant par une pleiade d’illustres mathém aticiens, en premier lieu par Lagrange et Laplace. On peut affirine r avec certitude que nos plus merveilleuses découvertes modernes. tant scientifiques que techniques, n’auraient été guère possibles sans les découvertes théoriques des mathématiciens cités. Il faut cependant avouer que malgré ses succès éblouissants mathématique de nos jours est encore loin d'être , la science toute puissante, Déjà les équations différentielles linéaires de 9° degré aux coefficients nonconstants présentent de sérieuses difficultés à leurs solutions, même au cas d'une seule variable indépendante, et cela malgré la grande lumière que Legendre. Bessel et tant d'autres y ont apportée. Les difficultés augmentent pour des équations différentielles partiell es. Quant aux équations différentielles non-linéaires, ainsi qu'aux équations différentielles d'ordres supérieurs à 9 et aux coefficients non-co nstants — on peut dire qu’elles demeurent encore presque inexplorées. Or en dépit de l’harmonie, c’est-à-dire des rapports simples fréquem - ment constatés dans la nature, les phénomènes naturels sont souvent des fonctions fort compliquées de nombreux autres phénom ènes ou facteurs, indépendants ou interdépendants. Un de ces facteurs est nécessairement le temps dans toutes les fonctions qui comportent un processus d'évolution ou des variations avec le temps, comme c'est le cas, par exemple, dans des réactions chimiques non-instantané es. Ceci nous améne A croire que de nouveaux progrès dans le domaine des équations différentielles à plusieurs variables et surtout des équations , ce q nous exprimons analytiquement en écrivant à plusieurs variables. ques infinitésimales et créé le calcul différentiel, qui a q l découverir que souvent de lin phénomène A est la cause du phénoméne B qui en es degrés supérieurs Une immense expansion, on dirait une véritable révolu tion dans nos connaissances des rapports des nombres s'est m | Arrétons-nous sur ces «autres» sciences. Dans le passé, les saver les Alexandrins. si vastes qu'au fond les derniers deux millénaires n’y ont pas ajouté beauco à 2, aux fonctions transcendantales, aux fonctions 249 LA PHILOSOPHIE DE PYTHAGORE ET LA SCIENCE. BULLETIN DE L'INSTITUT D'ÉGYPTE. > Pour nous, Néo-Pythagoriciens, cela ne suflit plus à si uns su ps connaître la nature exacte de la fonction f. Comme il ne de constater que la force d’attraction (ou de répulsion) er a. Ñ Ee électriques décroit avec leur éloignement, et notre curiosite n ss palat ent que par la loi de Coulom) précisant que cette fore let proportionnelle au carré de la distance entre des 1 ages. | uns connaissance du phénomène totale et Hjrerensé, sans risa u aj p “ n mations. Pour nous, la notion « causalilé» se confond = ce , « lien fonctionnel», laquelle est généralement plus compliquée et quelqu | on mathématique dans e “an un exemple d’expressi Weber-F echner. si cela i “pen “mm n inextricable. i non-physiques citons la loi de sn du fait que la rigueur de cette loi est contestée par les psych Notons encore une catégorie des fonctions fort singulières qu P | mettent de déterminer des rapports numériques non pes ta) nla définis, mais probables, la précision du degre de proben té ° ue étant l'objet des investigations mathématiques. Fondé par n “_ de Pascal et de Fermat sur des jeux de hasard, le mal Dee pro : is s'est développé — contrairement aux prévisions el mime à ein d’Auguste Comte — en une branche mathématique = i plus un importance. Il suffit de nous rappeler que durant les dernie i iris quarts de siècle, depuis Boltzman, le calcul des probabilità n e min men de modifier radicalement certaines de nos conceptions londa e découvre encore autreanalytiques, la sciences. en des "roc6désriqu es des phénomèn Souvent etablit-elle ; hysiques. ment les rapports numé

BULLETIN DE L'INSTITUT D'ÉGYPTE. empiriquement des séries de ces rapports entre deux ou plusieurs phénoménes, dont l'image est donnée par des courbes, abaques où pani figures nomographiques. Ceci a couramment lieu dans toutes les science basées sur des méthodes statistiques. Les connaissances que nous on tirons sont généralement moins rigoureuses que celles obtenues anal ni quement, car dans la plupart des cas les séries des données empiri nes sont discontinues, et ce n'est qu'en recourant aux procédés l'inter sola tion (ou d'extrapolation) que nous attribuons à ces courbes et abat une continuité hypothétique. me Un des objets de la mathématique appliquée est de déceler les fonctio analytiques dont les courbes et abaques ne sont que des ima es lus ou moins imparfaites. Cette branche importante de la mathémat ne appliquée a pris naissance dans certains travaux de Newton. et ves grandement développée dès lors. eta IV Faut-il croire qu'un jour la loi du Nombre subjuguera l’ensemble de nos connaissances sans exception aucunc? Déjà les anciens Pythagoriciens se rendaient compte que cette loi n'est pas absolue universelle. Ils discernaient nettement les phénomènes sujet au Nombre et partant les plus accessibles à notre compréhension, des phénomènes qui lui échappent et par conséquent accessibles uniquement è nos se | ou seulement à notre conscience. Discernement remarquable. Nous | pouvons cependant énoncer l'idée pythagoricienne, sous une forme encore plus autrement simple et plus précise, notamment : la lo: du Nombre répit les phénomenes men, bles Get énoncé renferme la loi et sa restriction. Les phénomènes « u “que. ment» accessibles à nos sens ou à notre conscience ne sont pas mesu ables, et partant échappent à la loi du Nombre. En effet. nos sons ne ate re des instruments de mesure et sont incapables de nous rensei sner su I rapport de deux sensations semblables. Méme les mesures les lus co i munes, celles de longueur, ne peuvent être relevées Er, a votre vue, et nous devons forcément recourir à des règles. Nos nous thpTo=etayETneAIRiEngMSáoaIeRnTwisn-yKEdN BeIPnOaACimtRLNeci LA PHILOSOPHIE DE PYTHAGORE ET LA SCIENCE, 291 quantitatives. procurent des connaissances qualitatives, mais non pas Tout au plus permettent-ils d'établir un lien d'inégalité entre deuxB,sensa le corps mais tions et d'affirmer que le corps A est « plus» chaud queOr, ès notre ils ne les lient par aucune égalité et ne les mesurent pas- d’aprpour que énoncé la mesure des phénomènes est la condition nécessairela ThermoJa loi du Nombre les régisse. Nous aurions tout ignoré de sens: dynamique si la chaleur était «uniquement» accessible à nosd'aut res coup heureusement la chaleur se manifeste encore dans beaul'acc phénomènes parfaitement mesurables, par exemple, dans roissement du volume du mercure dans le thermomètre. es nonCependant nous n’allons point affirmer que les phénomèn aire indéniable mesurables ne se prêtent pas à des études. Il est au contrdonn ées de nos qu'il existe des sciences basées uniquement sur des tique de sens et de notre conscience. Elles portent le signe caractérisnnue s et, toute science — la découverte des certitudes auparavant inco ce qui en résulte, la faculté de prévoir. Ces sciences nous renseignent. e non seulement sur la diversité qualitative des phénomenes, mais encor différentes. sur le alien fonctionnel» entre des phénomènes de qualitésNomb re, les Toutefois, contrairement aux sciences régies par la loi du fonct sciences soustraites à cette loi sont incapables de préciser le lien ionnel entre deux phénomènes hétérogènes. ainsi que de préciser le rapport entre deux phénomènes de même qualité. Tout au plus peuvent-elles traduire ce rapport par une relation d'inégalité. ces Au point de vue méthodologique, il existe un immense écart entre s, deux catégories de sciences : les unes recourent à des sentiers étroit sinueux et incertains, les autres empruntent la voie royale qui mène. tout droit et avec le minimum de fatigue vers le but final — la Vérité Ainsi pour acquérir la connaissance d'un phénomène il faut toujours exsayer d'apprendre à le mesurer, el cela en explorant soigneusement toute s à ses manifestations en dehors de nos sens et que nous découvrons ologie l'aide des instruments. Il est hors de doute que la biologie, la psychsecre ts et tant d'autres sciences révéleront au monde beaucoup de leurs le jour où la loi du Nombre leur sera suflisamment imposée.en pleine Heureusement l'expansion du « royaume du Nombre» est marche, elle conquiert constamment de nouveaux domaines précédemment

incultes, elle s'étend même aux merveilleux phénomènes de notre vie spirituelle. Mais ce processus d’expansion ne sera jamais achevé, et sa dernière limite nous reste cachée. Si cependant cela ne dépendait que de nous-mêmes, nous aurions certainement souhaité que le scalpel des mathématiciens ne dénude jamais certains coins mystérieux de notre Ame, et que l'exploration de ces derniers demeure éternellement réservée aux artistes, aux poètes, aux métaphysiciens. V Nous avons parcouru quelques étapes remarquables dans l'évolution de nos connaissances sur la nature des nombres et sur Jes rapports de ces derniers, dont les rapports des choses ne sont que le reflet plus ou moins imparfait. Or l'idée pythagoricienne du Nombre, telle que nous l'entendons, se manifeste encore autrement dans l'évolution de nos connaissances. Certaines de celles-ci sont quantitatives et s'expriment par des formules d'égalité ou d’inégalité dépourvues de constantes physiques. D'autres. par contre, portent sur le discernement gualitatif des choses, perceptible uniquement par nos sens ou notre conscience. Les catégories des choses de « qualité» nettement différente, que nous dénommons dans la suite « phénomènes premiers», peuvent être liées fonctionnellement entre elles à l'aide des constantes physiques. Ainsi, par exemple, la masse d'un corps et la force de sa gravitation terrestre (son poids) sont des phénoménes premiers, quoique leur lien fonctionnel comportant une constante physique est rigoureusement précisé. Or l'histoire mouvementée des sciences abonde en découvertes qui ont réduit deux ou plusieurs phénomènes premiers à un seul, dont les précédants ne sont que des variétés numériques. Newton a identifié la mécanique céleste avec la mécanique terrestre. Maxwell et ses illustres continuateurs ont montré que les phénomènes d'électro-magnétisme, de rayonnement lumineux, ultracourt, X, cosmique et autres ne sont que des manifestations des mêmes ondes mais à longueurs différentes. et en a précisé rigoureuEinstein a identifié la matière avec l'énergiegine et demeure à la base sement le lien fonctionnel. Ce qui est à l'ori révoluti onner toute notre de de la physique nucléaire qui est en train e des éléments chimiques vont lennon enfin la conceptionétéclasétabsiqu lie par Lavoisier, Proust, Dalton, l'individualité indestructible a génial Tableau de Menet définitivement consacrée, semblait-il, par le yeux . La science moderne deleièv. Or cette conception s'écroule devant nossimples eee ces concoit tous les éléments chimiques comme de, soit combinés en neutrons. mêmes protons et électrons, soit en état libre ier phénomène Arriverons-nous un jour à connaître l'unique et dern semble des derniers et premier, la «cause des causes»? ou bien l’en norons, et l'ignorerons proirréductibles phénomènes premiers? Nous l’ig la nature des choses osophie de Pythagore ignodesrechos poscia La phil es, seules d ailfait connaître les rapports toujours. en soi, mais elle nous orts obéissent aux lois leurs accessibles & notre compréhension. Ces rapp la science de ] espace, la inexorables de la mathématique. D'abord rement dites, puis de géométrie, ensuite les sciences physiquesdesprop ées mesurables, denombreuses autres sciences basées sur de la donn mathématique appliquée. viennent de plus en plus des branches in sans Ainsi la philosophie de Pythagore a tracé le grand et éternel chem du progres scientifique. Ñ Ù ul Boris Kawanorr.