Die griechische Astronomie zur Zeit des Aristoteles

me\eR KX - Friedrich Heglmeier (Erlangen) Die griechische Astronomie zur Zeit des Aristoteles Ein neuer Ansatz zu den Sphärenmodellen des Eudoxos und des Kallippos 1. Einleitung Dem Weltbild des Artstotcles liegen die kosmologischen Modelle des Eudoxos von Knidos' und des Kallippos von Kyzikos zugrunde, das eine auf dem anderen aufbauend. In Buch XII der Metaphysik stützt sich Aristoteles auf dieses System, um die Himmelserscheinungen wiederzugeben. Das eudoxischkallippische Modell schließt eine Theorie der Bewegungen von Sonne und Mond ein. Die Mondtheorie des Eudoxos gibt die Mondbewegung vorzüglich wieder, die Eigenart der eudoxischen Sonnentheorie gab zu heftigen Diskussionen Anlaß. Hier werde ich mich trotzdem auf die Planetenmodelle des Eudoxos und des Kallippos beschränken, also auf die eigentlichen Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn. Die Geschichtswissenschaft der Astronomie befaßt sich seit der Arbeit Idelers’, also seit mehr als 150 Jahren, eingehender mit den homozentrischen Sphären des eudoxischen Eudoxos. Die Modells eine omocentriche di ist bahnbrechende Schrift von Arbeit G. V. zum Verständnis Schiaparelli: „Le Eudosso, di Callippo e di Aristotele“, erschienen des sfere 1874 in Mailand’. Soweit cs die Bewegung der eigentlichen Plancten im Modell des Eudoxos anbelangt, ist die Arbeit Schiaparellis das Standardwerk geworden. Fragmente der astronomischen Schrilten des Eudoxos sind in FU Lasserre, Die Fragmente des Eudoxos von Knidos, Berlin 1966, 67-73 gesammelt. Aristoteles, Metaphysik XII 1073b171f. Ideler, L.. Über Eudoxos. Abhandlungen der königlichen Akademie der Wissenschat- HEGLMEIER, Friedrich. - Die griechische Astronomie zur Zeit des Aristoteles: ein neuer Ansatz zu den Sphärenmodellen des Eudoxos und des Kallippos. . Antike Naturwissenschaft und ihre Rezeption. 6 (= 67-13568) 51-71. [67-13035 ten zu Berlin, Hist.-Philol. Klasse, 1828, 189-212 und 1830, 49-88, Schiaparelli, G. V., Memoria letta nell'adunanza del 26 nov. 1874. Memorie del Reale Litiluto Lombardo, Classe di scienze matematiche, vol. XII, ser. 3, vol. 4. Deutsche Übersetzung von W. Horn, Die homocentrischen Sphären des Eudoxus, Kallippus und Aristoteles, Leipzig 1877. (Hierauf beziehen sich auch die ang. Seitenzahlen).

Die Kritik an seiner Rekonstruktion der Sonnen- und Mondbewegung habe ich in meiner Dissertation weitgehend widerlegt.‘ AN LD Das platonische System — dargestellt in der Politeta, im Timaios und im Phaidon — ist wohl im wesentlichen pythagoreisch." Das eudoxische Sphärensystem hat durch Kallippos von Kyzikos entscheidende Verbesserungen erfahren. Die Rekonstruktion dieses kallippischen 2.2 Die Rettung der Phänomene Modells ist allerdings weder Schiaparelli selbst noch seinen Kritikern gelungen.“ Hier soll cin neuer Ansatz zum Sphärenmodell des Kallippos versucht Als besonders unzugänglich für mathematische Erklärungen erwies sich dabei werden, der zu überraschenden Ergebnissen führt. Dazu kann ich an dieser der Mechanismus der Planetenbewegung. Nach dem Kommentar des Simplicius Stelle die Lösungswege nur skizzieren und die wichtigsten Ergebnisse angeben. zu Aristoteles’ De Caelo" hat Platon — wohl unzufrieden mit den ihm verfügba- Ich stütze mich dabei auf eine Reihe von graphischen Darstellungen und kann so ren Weltmodellen — den Mathematikern die Problemstellung gegeben, durch auf die explizite Ausführung mathematischer Herlettungen weitgehend verzichwelche gleichförmigen, kreisförmigen und geordneten Bewegungen die Phänoten.’ mene bezüglich der Planeten gerettet werden könnten." Eudoxos sei der erste gewesen, der die Lösung durch seine Hypothese der sogenannten „aufrollenden“ Sphären gefunden habe.'* Diese wurden von 2. Der Auftrag Platons Schiaparelli die „homozentrischen Sphären“ genannt. 2.1 Kosmologie zu Beginn des vierten Jahrhunderts Den Textstellen von Platon in seiner Polireia, im Timaios und im Phaidon 3. Die Sphärentheorie des Eudoxos von Knidos entnehmen wir das große Interesse der griechischen Philosophie des 4. Jahrhunderts an der Struktur des Kosmos. Vor Eudoxos hatten sich schon die Pythago- 3.1 Quellen reer mit der Planetenbewegung beschäftigt. Geminos berichtet: Aristoteles beschreibt im XII. Buch der Metuphysik das Modell des Eudoxos Dic Pythagoreer waren die ersten, welche an derartige Untersuchunso: gen herantralen und für die Sonne, den Mond und die fünf Planeten kreisförmige und gleichförmige Bewegungen annahmen. Konnten Eudoxos nahm nun an, dab die Ortsbewegung der Sonne und des sie doch für die göttlichen und ewigen Himmelskörper nicht eine Mondes in drei Sphären vor sich gehe; hiervon sei die erste die derartige dieselben Unregelmäßtgkeit bald schneller, annehmen, bald vermöge langsamer welcher bewegen, bald sich Sphiire der Fixsterne, dic zweite habe ihre Richtung mitten durch gar den Tierkreis, die dritte verlaufe in geneigter Richtung durch die Breite des Tierkreises. Die Bewegung der Planeten erfolge in vier stillstehen sollten (...).* B. L. van der Waerden, Die Astronomie der Pythagoreer, Amsterdam 1951, 25. Simplicii in Aristotelis De caelo conimentaria, Ed. 1. L. Heiberg, Academia Litterarum Hegimeier, Friedrich, Die homozentrischen Sphären des Eudoxos und des Kallippos und der Irrtum des Aristoteles. Diss. in der Phil. Fakultät I, Friedrich-AlexanderUniversität Erlangen-Núrnberg, 1988. S. die Erklärungsvorschläge von P. in: Seconde note sur le système astronomique d'Eudoxe, Mem. de la Soc, des Sciences phys. el nat. de Bordeaux, 2° näheren Studium der Phänomene ertand, vel. Saltzer, W. G., Theorien und Ansätze in der griechischen Sciences, No. 23. Wiesbaden 1976, S. 10 Anim. 16. Saltzer mißt der Frage nach der Urheberschaft keine fundamentale Bedeutung zu: „In Wirklichkeit kommt es nur auf den Nachweis an, daß das Bediirfnis bestand, die manifesten Anomalien bei den fünf mathemalischer Herleilungen verweise ich auf meine Dissertation (wie Anm. 5). Geminus, Elementa astronomiae. Ed. C. Manitius, Stuttgart Ausgabe von 1898). Zur Frage, ob Platon selbst oder Eudoxos es war, der die Problemstellung zur Rettung Astronomie, in: Collection des travaux de Academie International d'Histoire des Tannery ser., t. V, 1883, 129-147. Zum Regia Borussica, Berlin 1894, 495-497, Planeten. d.h. ihre Rückläufigkeiten und die evidenten Helligkeitsschwankungen bei Venus, Mars und Jupiter mit 1974 (Nachdruck der Hille einer geordneten periodischen Kinematik zur Darstellung zu bringen, und das ist für die Akademie unbestreitbar”. Simplicius (wie Anm. 10) 492.

Für die Planeten gibt Simplicius die folgenden synodischen Umlaufzeiten Sphären, und davon seien die erste und die zweite dieselben wie die ersten beiden Sphären von Sonne und Mond (denn die Sphäre der an: 17 Fixsterne führe alle anderen herum, und die Sphäre, die unter ihr angeordnet ist und die in der Richtung der Mittellinie des Tierkreises bewegt wird, sei allen gemeinsam; die Pole der dritten Sphäre Tabelle der Umilaufzciten” Planet jedes Planeten befänden sich in der Mittellinie des Tierkreises; die Sphäre mit dem Fixsternhimmel täglich um ihre Achse drehe, die zweite bewege 30 12 2 | die Sonne durch den Tierkreis, und die dritte trage die Sonne in einer weil lang- Venus | Überraschend an dieser Darstellung ist zunächst, daß der Sonne drei Bewe- Synodische Umlaufzeit (Jahre) (Tage) Moderner Simplicius 29,458 11,862 1,881 | | Moderner Wert Wert Saturn Jupiter Mars Merkur gungen zugeordnet werden. Simplicius kommentiert sie so, daß sich die erste Zodiakale Umlautzeit Simplicius Bewegung der vierten Sphäre verlaufe aber nach der Richtung eines gegen die Mitte der dritten Sphäre schrägen Kreises (...).'' AN DH Die griechische Astronomie zur Zeit des Aristoteles 390 390 260 110 378 399 780 116 570 584 sameren Drehung längs eines zum Tierkreis schrägen GroBkreises." Die Sonne bewegt sich demnach also nicht genau in der Ebene der Ekliptik. Die dritte Sphäre mit ihrer langsamen Umdrehung bewirkt, daß die Sonne sich über mehrere Jahre oberhalb bzw. unterhalb der Ekliptik aufhalten würde. Schiaparelli hat. deshalb wohl zu Recht einen Irrtum des Aristoteles in der Zuteilung der Sphärengeschwindigkeiten angenommen. Der analoge Fehler bei der eudoxischen Mondtheorie müßte - wegen der größeren Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik - zu noch offensichtliche- 3.2 Die Rekonstruktion durch Schiaparelli Schiaparelli zeigt in seiner Arbeit, daß es Eudoxos möglich gewesen ist, mit den Prinzipien der elementaren Geometrie die Planetenbewegungen nach seinem Sphärenmodell zu konstruieren.” In Figur | sind die Aguatorkreise und dic Rotationsachsen der zweiten, dritten und vierten Sphäre eingezeichnet. Die vierte Sphäre schließt mit der dritten und dritten Sphäre des Mondmechanismus, erhält man ein sehr brauchbares den Inklinationswinkel i ein, der als Winkel zwischen den Rotationsachsen und den Äquatorkreisen in der Figur erscheint. Die dritte Sphäre rotiert um die xAchse, die vierte um die x,-Achse mit dem Neigungswinkel i gegen die x-Achse. Modell der Mondbewegung.'* Die Ebene der Ekliptik wird von der x- und z-Achse aufgespannt. ren Abweichungen lühren.'" Auch hier nimmt Schiaparelli einen Irrtum bei Aristoteles an. Vertauscht man auch hier wieder die Geschwindigkeiten der zweiten Während der Planet in der x,-y,-Ebene, der Äquatorebene der vierten Sphäre, um den Winkel v, gedreht wird, rotiert der Schnittpunkt der dritten und vierten Sphäre um den Winkel v, in der Aquatorebene der dritten Sphäre. Da die beiden Drehungen entgegengesetzt orientiert sind, entfernt sich der Planet nie zu weit von der Ekliptik (s. Figur 1: Sphärenmodell des Eudoxos).”” Y Aristoteles, Metaphysik XH, 107389710. 4 Simplicius (wie Anm. 10) 493. do] Vel. Hegimeier (wie Anm. 5) 120-139. " Schiaparelli (wie Anın. 4) 117-119. Simplicius (wie Anm. 10). Vel. Lasserre (wie Anm. 1) 206. Die modernen Werte entnehme ich A. Unséld. Der neue Kosmos, Berlin "1981, 28 Tab 5,1 für die äußeren Planeten, für die inneren nach Umrechnung Herrmann, div-Atlas zur Astronomie, München 111993, 55. Schiaparelli (wie Anm. 4) 139.

D =] press .Sphäre A x,_Achse . ra — _ 2.Sphare ~ Va Y = Las br 9x very > Achse qe TT a . Z,22 -Achse 4 3 z-Achse Figur I: Sphärenmodell des Eudoxos Zentrales Element dieses Modells ist die sogenannte Hippopede. Diese Kurve cu-u—o: entsteht allein durch die Bewegungen der dritten und vierten Sphäre. Der Planet benötigt zum Durchlaufen dieser Kurve die synodische Periode. Die Form der Hippopede wird durch die Wahl des Inklinationswinkels zwischen der dritten und vierten Sphäre festgelegt. Dadurch wird gleichzeitig die Bewegung nach Breite bestimmt. Der Mittelpunkt der Hippopede wird nun auf der zweiten Sphäre mit der zodiakalen Umlaufgeschwindigkeit transportiert. Die zweile Fiir die Planeten Saturn, Jupiter und Merkur liefert das Modell des Eudoxos Sphäre (und mit ihr natürlich auch die dritte und vierte) wird zusammen mit dem Fixsternhimmel einmal täglich (entsprechend der täglichen Erdrotation) um die hinreichende Ubereinstimmung mit der Beobachtung. Es treten Riickliiufe und Stillstände in der Größenordnung der beobachteten Größen ein. Auch die dabei durch den Himmelspol laufende Achse gedreht (s. Figur 2: Hippopede).* auftretenden Breitenabweichungen bleiben innerhalb der tatsächlich beobachtharen Größenordnungen (s. Figur 3: Saturnbahn des Eudoxos).” “! Schiaparelli (wie Anm. 4) Tafel I, Fig. 7. "= Schiaparelli (wie Anm. 4) Tafel II, Fig. 14.

4 — Die griechische Astronomie zur Zeit des Aristoteles 2 2 3 — AN ú = —' 5 59 6 Breite — Lâängengrace ] 10° F 51 Länge «qa 1 140 Lu 40 Il \ 300 200 y 0 100 sd 3.3 Die analytische Rekonstruktion Die Ortskoordinaten des Planeten, der sich auf dem Aquator der 4. Sphäre -10° P befindet, lassen sich nach einer geeigneten Koordinatentransformation mit Hilfe von Drehmatrizen so darstellen: x=sini sinv y =sin 2v sin? 1/2 Figur 4: Venushewegung nach Eudoxos (re) z= | - 2sin?v sin2i/2 Die auffälligste Erscheinung ist dabei das Fehlen von Rückläufen oder Sullständen in diesem Model! — legt man realistische Werte für die synodische Um- Die ekliptische Länge des Planeten beschreibt folgender Term: laufzeit zugrunde. L =L; + L* mit L=uwt 1 und L* = arc tg x/z Dabei ist u, die Winkelgeschwindigkeit der 2. Sphire, L* ist der durch die Hippopede erzeugte Anteil der ekliptischen Länge. Die analytische Methode hat gegenüber den geometrischen Konstruktionen Schiaparellis den Vorteil, daß sich die Koordinaten des Planeten Auffallend an den von Simplicius überlieferten Werten ist die viel zu kurze synodische Periode des Mars mit nur 260 Tagen (moderner Wert 780 Tage). Schiaparelli sieht diese falsche Periode als eine Hilfskonstruktion des Eudoxos, um einen rückläufigen Bogen zu bekommen. Da diese Perioden jedoch mit den Beobachtungen überhaupt nicht übereinstimmen - außerdem hat das auch Konsequenzen im Hinblick auf dic Häufigkeit der Ekliptikdurchgänge — halte leichter ich Experimente mit Bewegungen dieser Art für wenig erfolgversprechend. Die erschließen, nicht nur für Sonderfälle nachrechnen und auch in ein Computerfalsche Periode bei Mars könnte durchaus auch ein Übertragungsfchler sein, wie programm übertragen und dort auswerten lassen. Lasserre*” vermutet (s. Figur 5: Marsbahn nach Eudoxos).” 3.4 Die Planetenbahnen des Mars und der Venus nach Eudoxos Weniger zufriedenstellend als bei Saturn, Jupiter und Merkur arbeitet das eudoxische Modell für die Planeten Venus und Mars (s. Figur 4: Venusbahn nach Eudoxos).”* 24 Lasserre (wie Anm. 1) 206. Nach Hinzufügen von „erkosin" ergäbe sich die synodische Periode zu 28 Monaten und zwanzig Tagen, also insgesamt 860 Tagen, was der Wirklichkeit von 780 ‘Tagen nahekäme. 23 Heglmcicr (wie Anm. 5) 192 Fig. 21.

61 Breite À Brelte 30° 20° -10° , Linge Länge 300° 200° 100° 300° , \ 200° 100° . -NDr ~ 204. m -30Y - 5? Figur 5: Marsbahn nach Eudoxos mit T,=840 d, i=34° Figur 6: Marsbewegung nach Eudoxos mit Tz=840d, i=95° Offensichtlich waren es die Unzulänglichkeiten der mangelnden Rückkiufe Als Schlüssel zu dem Modell des Kallippos erscheint mir jedoch der Versuch interessant, das Verhalten des Modells mit den korrekten Perioden, dafür aber bei annehmbaren Breiten bzw. zu großer Breitenbewegung beim Auftreten rückläufiger Bogen, die dem Modell des Eudoxos Kritik eintrugen. mit überhöhten Inklinationen zu verfolgen. So zeigt sich bei der Marsbewegung (T, = 840 d) — wählt man cine Inklination von 95° — cine rückläufige Phase. Der 4. Die Verbesserungen durch Kallippos von Kyzikos große Inklinationswinkel führt allerdings zu einer Breitenbewegung des Planeten (bis zu 33°), die völlig indiskutabel ist (s. Figur 6: Marsbahn mit tiberhéhtem 4.1. Quellen Neigungswinkel).*° Die notwendige Reform des eudoxischen Sphärensystems nahm Kallippos von Kyzikos in Angriff, ein Schüler des Polemarchos, der wiederum ein Freund und Schüler des Eudoxos war.” Aristoteles beschreibt die Reform des Kallippos im 12. Buch der Metaphysik so: Kallıppos nalım dieselbe Anordnung der Sphären an wie Eudoxos, das ist dieselbe Reihenfolge, und gab für Jupiter und Saturn dieselbe Anzahl an; aber bei der Sonne und beim Mond, meinte er, müsse man noch je zwei Sphären hinzufügen, um von den Erscheinungen Rechenschaft zu geben, für die übrigen Planeten je eine.” 2 Kallippos ist nach A. Böckh im Jahre 370 y, Chr. geboren, seine Ankunit in Athen datiert er auf 334: s. Böckh, A. Ueber die vierjährigen Sonnenkreise der Alten, vorzüglich den Eudoxischen, Berlin 1863, 155, 26 Heglmcier (wie Anın. 5) 203 Fig. 27. "Aristoteles, Metaphysik XII, 1072b32¢f.

63 Simplicius beruft sich in seiner Beschreibung des kallippischen Modells auf ” Eudemos von Rhodos: Er (Eudemos) erzählt, jener (Kallippos) habe erklärt, wenn die Zeiten zwischen den Solstitien und den Äquinoktien so große Unterschiede aufwiesen wie Methon und Euktemon sie annehmen, so genügten für jeden Planeten jene drei Sphären nicht, um die Erscheinungen zu retten, da olfenbar bei den Bewegungen der Planeten diese Ungleichförmigkeit mit in die Erscheinung trete. Weshalb er weiter bei den drei Planeten Mars, Venus und Merkur eine Laufbahn hinzugesetzt hat, hat Eudemos knapp und klar dargestellt. Om—esun Die Darstellung des Eudemos von Rhodos ist uns nicht überliefert. 4.2 Der Rekonstruktionsversuch von Schiaparelli Schiaparelli hat versucht, das Modell des Kallippos dahingehend zu deuten, daß die zusätzliche Sphäre zwischen die dritte und fünfte eingeschaltet werde und mit doppelter Winkelgeschwindigkeit rotiere. Tannery folgt ihm in dieser Hypothese. Schiaparelli erhält diese Kurve durch geometrische Konstruktion (s. Figur 7: Rekonstruktion nach Schiaparelli"). Durch die Wiedergabe dieser These durch Tannery*', Heath", Dreyer” und DicksTM erfuhr sie eine gewisse Kanonisierung. Unterzieht man diesen Ansatz Schiaparellis einer mathematischen Analyse, so erhält man eine Marsbewegung, die einen zu kleinen rückläufigen Bogen aufweist. Unübersehbar führt dieses Modell aber auch zu einer überhöhten Anzahl von Ekliptikdurchgiingen. Entsprechend erreicht der Planet in zu kurzen Abstinden seine Breitenmaxima und -minima (s. Figur 8: Schiaparellis Rekonstruktion der Marsbahn des Kallippos**). Tannery, P., Note sur le systèrne astronomique d'Eudoxe. Mem. de la Soc, des Sciences phys. et nat. de Bordeaux, 2e ser. t. I, Bordcaux 1876, 441-449, “* Heath, Sir Thomas, Aristarchus of Samos, Oxford 1913, 213-215. Dreyer, I.L.E., A History of Astronomy from Thales to Kepler, New York 1953, 104- ” Simplicius (wie Anm. 10) 497. Ühers. von H. Balss, Antike Astronomie, München 1949, 121. > Schiaparelli (wie Anm. 4) Tafel IT Fig. 19. Dicks, D.R., Early Greek Astronomy to Aristotle, Ithaka 1970, 191-193,

65 y= sin2v sin?i/2 . Breite Länge IA VAS 190° sr Legt man mit der Wahl des Inklinationswinkels i die Liinge der rückläufigen Bewegung fest, so muß die Breitenbewegung durch einen geeigneten Term auf ein vertretbares Maß reduziert werden. Dieser Term muß im Sphärensystem durch die Rotation einer Sphäre mit der Frequenz 2v bewirkt werden (s. Gleichungen *** S. 58), also mit der doppelten Rotationsgeschwindigkeit der sal eudoxischen 3. und 4. Sphäre. Legt man nun den Planeten auf den Äquator dieser 5. Sphäre, wird die beabsichtigte Korrektur zu groß. Befestigt man diesen Planeten aber in einem frei wählbaren Winkelabstand vom Pol auf der 5. Sphäre, läßt sich auch die Größe Figur 3: Marsbalin nach Schiaparellis Ansatz der Digression frei festlegen — und im Gegensatz zum eudoxischen Modell unabhängig vom gewählten Inklinationswinkel zwischen seiner 3. und 4. Sphäre. Tannerys Verhesserungsversuche liihren noch weiter von den Beobachtun- Zu den ekliptischen Koordinaten, die schon für die Bewegung der Hippopede gen weg." Eine wirkliche Verbesserung des eudoxischen Systems wäre mit errechnet wurden,wird der durch die Rotation des Planeten auf der fünften dieser Lösung nicht gelungen. Daß Kallippos damit gearbeitet haben könnte, ist Sphäre im Winkelabstandj von deren Pol erzeugte Beitrag addiert. Die ckliptiwohl auszuschließen. sche Breite ergibt sich als Summe aus der eudoxischen Hippopedenbewegung B und dem Anteil fs aus der Drehbewegung der fünften Sphäre: 4.3 Ein neuer Ansatz Ein neuer Ansatz führt zu einem völlig neuen Modell des Kallıppos. Zunächst gehe ich davon aus. daß Kallıppos die wesentlichen Fehler des eudoxischen Planetenmodells beheben wollte. Simplicius erwähnt in seinem Kommentar die Kritik am eudoxischen Modell: „Die Breite derselben (der Hippopede) ist genau der Breitenbewegung des Gestirns gleich; dieses gab Veranlassung, Einwürfe gegen Eudoxos vorzubringen.**” Eudoxos konnte bei Mars und Venus Rückläufigkeit nur dadurch herstellen, sin By = - sin | sin 2v Zur ekliptischen Länge des eudoxischen Modells wird noch der Anteil L, addiert, den die fünfte Sphäre liefert: tan L, = tan | cos 2v Allein aus den Bewegungen der dritten, vierten und fünften Sphäre ergibt sich die „kallippische Hippopede“ (s. Figur 9a: Planetenbewegung nach Kallippos und Figur 9b: Hippopede des Kallippos)". daß er die Inklinationen weit überhöhte. Die Digression wurde dementsprechend zu groß. Dann nehme ich die Bemerkung des Aristoteles sehr ernst, daß Kallippos die zusätzliche Sphäre angefügt — also eine fünfte Sphäre als letzte an die bestehenden vier eudoxischen angehängt - hat. Kallippos muß nun nach einem Mechanismus gesucht haben, der mit einer fünften angelügten Sphäre diese überhöhte Breitenbewegung zurücknehmen konnte. Die mathematische Analyse stellt sehr deutlich klar, wo die Schwierigkeit beim eudoxischen Modell auftritt: Durch die Wahl des Parameters i wird außer der Breitenabweichung gleichzeitig auch die Länge des rückläufigen Bogens festgelegt. Der Term für die Abweichung nach Breite ist 16 3% Simplicius (wie Anm. 10) 497. Übers. von Balss (wie Anm. 29) 111.

67 sehr nahekommen. Die Rückläufe und die Breitenbewegungen bleiben innerhalb beobachtbarer Grenzwerte, die heikic Frage der Ekliptikdurchgänge löst sich im Breite | großen und ganzen zufriedenstellend (s. Figur 10a: Marsbahn nach Kallippos, und Figur 10b: Marsbahn 1986)", 10°. Brelte È 5° vines \) “ po Nu LoS" Figur ida: Marsbahn nach Kallippos (i=64°, j=20°) 360° 220° Brelte | pa Länge Figur Ja: Planetenbewegung nach Kallippos -5° Brelte Figur 10b: Marsbahn 1986 Bei geeigneter Wahl der Parameter t und j beträgt die Abweichung von der Ekliptik 3,7° bei Mars, die Länge des Rücklaufs ist 16°. Ähnliche Ergebnisse 8 -50° 9 ; 50° Lange N u 7 | | quo Le zeigen sich bei Venus und Merkur (s. Figur I la: Merkurbahn nach Kallippos, und | Ib: Merkurbahn 1986)". € | | ds | | em 12 el r 21 | Figur 9b: Die Hippopede des Kallippos 4.4 Die Planetenbahnen von Venus und Mars Wendet man diesen Ansatz auf die Bahnen der Planeten Venus und Mars an, so lassen sich Bahnen finden, die qualitativ den tatsiichlich beobachtcten Bahnen

69 schiedliche Dauer der Jahreszeiten im Modell zum Ausdruck zu bringen. Kallip| 4 Breite pos kannte ja die Dauer der Jahreszeiten besser als alle seine Vorgiinger:"' bs Unter der Annahme einer Inklination der beiden zusätzlichen Sphären von 2° erhält Schiaparelli damit eine Hippopede von 4° Länge auf der Ekliptik bei einer zu vernachlässigenden Breitenbewegung von nur I". Damit lassen sich nun auch Variationen in der Länge der Elongationen von Merkur- und Venusbahn erklä- BR Länge i L 100° 50° 0° ren. Diese Genauigkeit kommt fast derjenigen gleich, die später mit Hilfe der exzentrischen Kreise erlangt wurde. - 4.6 Aristoteles und seine reagierenden Sphären sa Zusammen mit der verbesserten Sonnentheorie hätte damit Kallippos ein Figur | la: Marsbahn nach Kaflippos Modeil gefunden, das überraschend elegant und effektiv sein konnte. Aristotcles übernahm das System des Kallippos, allerdings nicht unverändert. Eudoxos und Kallıppos hatten sich ein System ausgedacht, in dem jedem Plancten ein cigenes aretted E Untersystem an Sphären zukam, die diese einzelnen Planeten zu transportieren gt hatten. Auf die Bahnen der übrigen Planeten hatte dieses Untersystem keinen Einfluß. Aristoteles verbindet in seinem Sphirensystem die Bewegungen aller Nm N 100° n rá e ; 260°) q. 0° Sphären miteinander. Damit nun aber durch gleichzeitige Kombination aller (Sphären) von den Erscheinungen Rechenschaft abgelegt werden könne, ist es Linge notwendig, daß für jeden Planeten (außer den vorigen) ebenso viele Sphären, sel weniger eine, angenommen werden, welche die erste Sphäre des unmittelbar darauf folgenden Gestirns immer in dieselbe Stellung zurückführen, weil es nur auf diese Weise möglich ist, dab Figur I 1b: Merkurbahn 1986 Variationen innerhalb gewisser Grenzen sind denkbar und ftihren zu qualitativ ähnlichen Ergebnissen. Neben den oben dargelegten Gründen, mangels einer brauchbaren Alternative und wegen der ersichtlichen Effektivität der vorgestellten Lösung spricht auch eine bestechende Einfachheit dafür, daß Kallippos mit diesem Modell gearsich die Bewegungen der Planeten vollziehen können. Da nun die Anzahl der Sphären, welche sich bewegen, einerseits 8 und andererseits 25 ist, so werden von diesen nur diejenigen nicht zurückgedreht werden müssen, von welchen die Bewegung des untersten aller dieser Gestirne abhängt. Für die beiden ersten Gestirne werden . also 6 reagierende (Sphären) bestehen, und für die vier folgenden beitet haben könnte. Frühjahr 4.5 Die Sonnenbahn nach Kallippos Daß Kallippos das Sonnenmodell des Eudoxos durch die Hinzufügung zweier zusätzlicher Sphären verbessert hat, gibt ihm die Möglichkeit, die unter- Sommer Herbst Winter Kallippos: 94 92 89 90 Wahrer Wert: 94,17 92.08 88,57 90,44 Vel. Rehm, Albert, Parapegmastudien. Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Philosophisch-historische Abteilung. Neue Folge, H. 19, München

71 16; die Gesamtzahl wird also 55 betragen. Wenn man bei der Sonne 5. Conclusio und beim Mond die Bewegungen, von denen wir sprachen, nicht Schon den Alten waren Defekte des eudoxisch-kallippischen Systems aufgehinzufiigt, wird die Gesamtzahl 47 betragen."Um nicht die Wirkungen der äußeren Planeten auf die innenliegenden Sphärensysteme zu summieren, benötigt er reagierende Sphären, die die Drehungen fallen. Der schwerwiegendste Einwand galt den unterschiedlichen scheinbaren Größen der Planeten, besonders deutlich bei Mars und Venus. Simplicius kommentiert das so: der Untersysteme der weiter außen liegenden Planeten neutralisieren. Insgesamt Aber es ist gewiß, daß auch von folgendem (Phinomen) keiner kommt Aristoteles so auf eine Anzahl von 55 Sphären, eine Zahl die umstritten derselben (gemeint sind Eudoxos und Kallippos) vor Autolykos aus und offensichtlich falsch ist.” In dieser Zahl sind nämlich die jeweils äußeren Pitane eine Erklärung durch Hypothesen zu geben versuchte, welche Sphären eines jeden Planeten, die täglich mit der Fixsternsphäre rotieren, noch überdies auch keine Erklärung davon geben konnte (...): nämlich enthalten. Auf eine geringere Sphärenzahl kommt Schiaparelli", der auf sechs der sieben äußersten Sphären, die jeweils die tägliche Umdrehung bewirken, scheinen, manchmal entfernt, was bei cinigen derselben auf den von der Tatsache, daß die Sterne uns manchmal verzichten möchte und damit eine Gesamtzahl von 49 Sphären errechnet. Dieser nahe zu sein ersten Blick auffällt. Ansicht schließen sich auch Neugebauer“ und Ross" an. Auch Hanson stellt fest, daß ein System von 55 Sphären nicht funktionsfähig sein kann. Entweder Hier vermag cin homozentrisches System naturgemäß keine Lösung anzubiewerde die Rotation der Fixsterne von der äußersten Saturnsphäre auf alle inneten. Dennoch wurde durch dieses System — wie Schiaparelli meint — „dem Bau ren übertragen, indem die jeweils äußersten der einzelnen Planeten weggelassen der Welt doch eine Eleganz bewahrt, (...) welche bis zu den Zeiten Keplers werden, oder die Drehung dieser äußersten Sphäre eines jeden Planeten werde ihresgleichen nicht wieder fand.“ jeweils durch eine reagierende Sphäre aufgehoben. Im ersten Fall ergebe das eine Summe von 49 Sphären, im zweiten Fall von 61, was Hanson für angemessener hält.” Man muß Aristoteles aber zugute halten, daß es ihm hier wohl nicht auf astronomische Details ankam, sondern cher auf die Idee, mit Hilfe dieses Mechanismus mit einer einzigen, von außer einwirkenden Bewegung alle Himmelskörper ihre Bahnen ziehen zu lassen. "2 Aristoteles, Metaphysik XII 8, 1073b538ff, Úhers. Horn (wie Anm. 4) 181. 1 Zweilel sind bereits hei Sosigenes erkennbar (s. Simplicius |wie Amm, 9] 502). der eine reagierende Sphäre für die äußerste Saturnsphäre für nötig hall, diese dann aber doch mit der äußersten Jupitersphäre zusammenfallen läßt. “4 Schiaparelli (wie Anm. 4) 176, 45 Neugebauer, O., A History of Mathematical Astronomy. Bd. I - HL, Berlin - Heidelberg - New York 1975, 685. % Ross, W. D., Aristotle’s Metaphysics, Oxford 1975, 392. 4 Hanson, N. R. Constellations and Conjectures. Boston 1973, 66-70. Simplicius (wie Anm. 10) 504, 22-27. (Übers. wie Anm. 4, 194-195), Schiaparelli (wie Anm. 4) 114.