La tholos de Delphes et les mathematiques preeclidiennes

Bulletin de correspondance hellenique. 1993, 117, p 285-313 C8 numbers u 6 _e cab

Persée http://www.persee.fr Jean Bousquet Bulletin de correspondance hellénique, Année 1993, Volume 117, Numéro 1 p. 285 - 313 Voir l'article en ligne La tholos de Marmaria avait pour architecte un Phocidien nommé Théodoros, dont Vitruve rapporte qu'il avait, comme Ictinos pour le Parthénon, écrit un livre sur le monument. Puisque la tholos, quoique très ruinée, est mesurable dans ses détails, on peut supposer le problème résolu et analyser les cotes, réduites en pieds et en dactyles, qui ont servi à l'architecte. On découvre ainsi que la doctrine est celle de l'époque de Platon, vers 380-360, et l'application par l'ingénieur des résultats des mathématiques pures, avec de très faibles écarts dans la traduction des nombres rationnels et irrationnels. L'architecte, qui connaissait sans aucun doute celui du temple en calcaire voisin, connaît la valeur de pi (22/7), celle de «racine de 2», la théorie du carré et du pentagone, dont le tracé donne les dimensions principales du bâtiment. La méthode pourrait s'appliquer à la Tholos d'Épidaure : son architecte suivait la même doctrine scientifique, et d'après les données disponibles on esquisse les éléments essentiels du monument. Comme au théâtre d'Épidaure, on retrouve à Delphes la trace de la suite dite de Fibonacci, redécouverte au xine siècle mais sûrement connue au ive av. J.-C. parmi les «médiétés» de la géométrie. Avertissement L'éditeur du site « PERSEE » – le Ministère de la jeunesse, de l'éducation nationale et de la recherche, Direction de l'enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation – détient la propriété intellectuelle et les droits d’exploitation. A ce titre il est titulaire des droits d'auteur et du droit sui generis du producteur de bases de données sur ce site conformément à la loi n°98-536 du 1er juillet 1998 relative aux bases de données. Les oeuvres reproduites sur le site « PERSEE » sont protégées par les dispositions générales du Code de la propriété intellectuelle. Droits et devoirs des utilisateurs Pour un usage strictement privé, la simple reproduction du contenu de ce site est libre. Pour un usage scientifique ou pédagogique, à des fins de recherches, d'enseignement ou de communication excluant toute exploitation commerciale, la reproduction et la communication au public du contenu de ce site sont autorisées, sous réserve que celles-ci servent d'illustration, ne soient pas substantielles et ne soient pas expressément limitées (plans ou photographies). La mention Le Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation sur chaque reproduction tirée du site est obligatoire ainsi que le nom de la revue et- lorsqu'ils sont indiqués - le nom de l'auteur et la référence du document reproduit. Toute autre reproduction ou communication au public, intégrale ou substantielle du contenu de ce site, par quelque procédé que ce soit, de l'éditeur original de l'oeuvre, de l'auteur et de ses ayants droit. La reproduction et l'exploitation des photographies et des plans, y compris à des fins commerciales, doivent être autorisés par l'éditeur du site, Le Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation (voir http://www.sup.adc.education.fr/bib/ ). La source et les crédits devront toujours être mentionnés.

LA THOLOS DE DELPHES ET LES MATHEMATIQUES PREEUCLIDIENNES* Eadem mulala resurgo Depuis la publication de la Tholos du sanctuaire d’Athena a Delphes par J. Charbonneaux et K. Gottlob (1925), on s’est surtout attaché a identifier le dedicant du monument, et 4 poser le probleme des quatre naoi énumérés de fagon rapide par Pausanias, alors qu’on voit sur la terrasse cinq monuments : le temple ancien en poros, le nouveau en calcaire, deux trésors et la Tholos (fig. 1). La reconstruction partielle de 1938-391 a rendu cing tambours à la colonne dorique, et la difficile reconstitution de la toiture, avec sa décoration sculptée, a exercé l'ingéniosité, d'autant plus que la présence de deux chéneaux brouille quelque peu les cartes?. On trouvera la bibliographie, abondante, et à laquelle j'ai moi-même contribué, dans le Guide du Site de J.-F. Bommelaer (1991), p. 46 sq., les travaux les plus récents étant l'ouvrage consacré aux tholoi grecques par F. Seiler, Die griechische Tholos (1986), p- 56-71, avec dessins de restitution, et la communication de G. Roux, CRAI (1988), p- 290-309, avec les corrections p. 835-839. Ces diverses études contribuent certes à nous faire mieux connaître sur le papier l'apparence extérieure du monument, mais ne nous livrent pas son vrai secret. (*) Les figures 2 à 9 ont été réalisées par Didier Laroche. Son réexamen du problème de la restitution de la toiture de la tholos (Actes du colloque Perdrizet, Strasbourg, 1991 [19921 Pa conduit «à confirmer la restitution d’une toiture initiale octogonale, excluant le chéneau radial qui appartiendrait à un deuxième état, selon l'hypothèse déjà proposée par l'architecte danois Fr. Kirk (« Marmortag paa Tholos i Delphi», Tilegnet Mogens Koch [1968], p. 211 sq.)». Il me signale par ailleurs «l’emplacement irrégulier des quelques traces d’appuis conservées des colonnes intérieures sur la face interne des parpaings de la cella, qui pose probléme dans le cas d’une restitution de neuf colonnes». : (1) P. AManpry-J. Bousquet, «La colonne dorique de la Tholos de Marmaria», BCH 64/65 (1940-41), p. 121-127 et pl. VII; J.-F. BOMMELAER, Guide de Delphes, Le Site (1991), p. 46 sq. (2) G. Roux, BCH 72 (1952), p. 442-475; D. Larocue, v. note liminaire.

Fig. 1. — Le sanctuaire d’Athéna à Delphes. Photo EFA, P. Amandry.

Ce secret n'est d’ailleurs pas sa destination cultuelle, que nous n'avons pas le moyen de deviner en l'absence d’un texte littéraire ou épigraphique. Nous nous bornons à constater que la Tholos se trouve sur le territoire consacré 4 Athéna Pronaia, qui est aussi Ergané et Zôstéria, comme la nomment des cippes du v® siècle (cependant il y en a aussi un, plus récent, pour Zeus Polieus!). La déesse héberge aussi les cultes d’Hygie et d’Ilithyie, divinités féminines protégeant la naissance, comme la Zôstéria; d'autre part Diodore, à propos de l’attaque des Gaulois en 279, raconte l'intervention des Vierges Blanches, Athena et Artemis, qui avaient là leurs temples?. On doit se contenter de ces témoignages, qui ne conduisent pas à une conclusion sûre. Le vrai secret serait plutôt le contenu du livre écrit par son architecte, Théodoros, De tholo qui esl Delphis, d’après Vitruve. Si cet artiste, que je crois enfant du pays et non asiatique, Phocidien et non Phocéen, a éprouvé le besoin de rédiger un traité sur son œuvre, tel Ictinos sur le Parthénon, c’est sans aucun doute pour en expliquer de façon systématique les mesures et les relations entre ces mesures, qui ne sont saisissables que sur des dessins cotés, plans et élévations, et que le visiteur, même homme de l’art, ne peut saisir devant le monument. Des dessins cofés, quel que soit le système de numération pour des gens qui ignorent encore la virgule et le zéro, mais s’accommodent fort bien des nombres fractionnaires, et savent se servir aussi bien que nous du calcul mental, de la règle et du compas. Le nombre 13 sera noté AIII, et 707 sera écrit FIHHIIII : ce n’est aucunement compliqué pour qui le fait tous les jours‘. Il devait y avoir, comme dans une publication moderne, un album de planches avec dessins à différentes échelles, et pour finir un résumé de la doctrine mathématique utilisée dans l'ordonnance générale du bâtiment, empruntée à la science du temps : arithmétique, théorie des nombres rationnels et irrationnels, géométrie du cercle et des polygones réguliers. Cette doctrine, nous la connaissons. C'est la science préeuclidienne, codifiée par Euclide vers 300, rassemblant les découvertes accumulées depuis «Pythagore» et Thalès. Si Tholos et Temple en calcaire ont été créés vers 380-360, cette époque est celle de la République de Platon, complétée par le Ménon et le Théélèle. C'est auprès de Platon qu'a pu se former une génération d’architectes-ingénieurs, élèves de la grande tradition de (3) J. Bousquer, «La destination de la Tholos de Delphes», RH (1960), p. 287-298; Id., «L'Atelier de la Tholos», BCH 108 (1984), p. 199-206. Je crois avoir réuni dans ces articles à la fois les témoignages du culte d’Artémis à Delphes, qui ne peut être situé que dans le sanctuaire des divinités féminines, et la situation dans le temps des «temples du bas», bâtis sur les fortunes confisquées des familles sacriléges. Nous avons la preuve matérielle que le bâtiment éventré à l'Ouest était l’atelier de la Tholos, où la fouille a découvert une couche épaisse de déchets de marbre et un parpaing inachevé. C’est probablement une rencontre, mais il y a une tholos d'Artémis dans l'Énéide IX 403-408 : Suspiciens altam Lunam sic voce precatur : Tu dea tu preesens nostro succurre labori; Astrorum decus et nemorum Latonia custos; Si qua tuis umquam pro me pater Hyrtacus aris Dona tulit, si qua ipse meis venatibus auxi, Suspendive tholo, aut sacra ad fastigia fixi... Le Ps.-Servius commente : «aedes autem rotundas tribus diis dicunt fieri debere, Vestae, Dianae, vel Herculi vel Mercurio». (4) Réflexions sur les systèmes de numération et de calcul dans les Comptes, Études sur les Comptes de Delphes (1988), p. 189-194.

l’Acropole d’Athénes, et surtout, me semble-t-il, du grand Mnésiclès et de ses Propylées. Théodoros a utilisé les mémes matériaux, Pentélique et calcaire d’Eleusis, sur une fondation invisible de poros et de calcaire du Parnasse, et à mes yeux rien ne peut déceler dans son œuvre une influence venue de la côte d'Asie. Malgré les copistes successifs de Vitruve, il ne peut être que Poebc$. Quelles sont les découvertes enseignées à l’Académie ? Les grands problèmes, qu’Archimède n’a fait que raffiner, sont la diagonale du carré ou \/2, accessible à l’esclave du Ménon, le rapport entre le cercle et son diamètre ou x, entre le carré et le cercle inscrit a = ld = Ve), et la quadrature (‚/r). Ensuite, les nombres irrationnels en général et notamment les racines irrationnelles {Théélèle)$, puis, liée à la forme du pentagone, la suite numérique que nous appelons du nom de Léonard de Pise-Fibonacci (x siècle), autrement dit le partage d’une ligne droite en moyenne et extréme raison, la plus féconde des médiétés, dite le nombre d'or ou la section d'or, p. Toute cette science, resurgie au Moyen Age mais jamais oubliée dans la pratique, s'offre à nous dans l’architecture de ce siècle à cet égard privilégié qu'est le 1v* siècle. On ne peut étudier la Tholos sans la comparer élément par élément au Temple, et voici une réflexion préalable. Par la publication du Temple due à J.-P. Michaud et à ses architectes Jakobsen et Blécon (FD [1977]), nous connaissons le pied employé, le module, le détail des dimensions, avec les diagrammes convaincants qui terminent le fascicule de texte. Les deux monuments sont tous deux le fruit de calculs très poussés et d’une extrême précision dans l’exécution. Les marbriers ont des contraintes très sévères, encore plus dans la Tholos où la plupart des pierres sont limitées par des plans verticaux suivant les rayons et séparés par des angles de 9° et 18° (ce qui correspond à la division du cercle en 40 ou 20 parts), et par deux arcs de diamètre différent : l’approximation n'est pas permise. En revanche, les 40 dalles de stylobate sont identiques et taillées sur gabarit unique; idem pour les dalles de ptéron, les épistyles et architraves, etc. Nous sommes en (5) Cf. RH (1960), p. 287 n. 2. Le doute est d'autant plus permis sur Phoceus = ®wxeös que la confusion entre l’obscure Phocide et la célèbre Phocée est constante, dans l'Antiquité (Ovide, Lucain) comme de nos jours. Cf. la note à la traduction de la Pharsale, C.U.F., V 53 : la Phocide, Phocée et même Marseille sont désignées par les mêmes adjectifs, Phoceus, Phocaicus, Phocensis. Dans Pausanias, X 8, 4, of Sè Mascara: Duxakav eloiv _ &rorxot, les manuscrits se partagent entre Daxtev, Daxatov, Ouxdov et Duxxéuv, cette dernière forme finissant par être adoptée par les éditeurs. — Dans Hérodote, au livre VII, Ph.-E. Legrand traduit constamment Puxtes par Phocéens, mais son index distingue Dexatets et Bwxeîg. Le Phocidien Caphis, nom local s’il en fut (Plutarque, Sylla XII 6) est traité de Phocéen par J. CARCOPINO, Sylla, p. 87. — On discute pour savoir si l'artiste Téléphanés, qui vivait en Thessalie, était Phocidien ou Phocéen, Pline, NH 34, 68, cf. G. LiproLD, RE, s.v. «Telephanes 4»; Ch. Pıcarn, Manuel II, 1, p. 86, cf. t. 1, p. 526 n. 3, 533 n. 2. Nous avons à Delphes un décret du premier quart du n° siècle pour TyAep&vng Tyréa Duxeéc, BCH 82 (1958), p. 88, sans que le nom de la cité soit précisé, ce qui est courant : l'index des Comptes (CID II, par D. MuuLiez) atteste bien que l’on dit fréquemment Arcadien, Béotien, Éniane, Locrien, Magnète, Macédonien, Perrhèbe, Phocidien, sans que le nom de la ville soit spécifié. Confusion sur ce point dans la note de G. Roux, CRAI (1988), p. 290, n. 1, qui croit nécessaire la mention de l’ethnique particulier, après « Phocidien». Je suppose que pour Vitruve il n’y avait pas d'intérêt à mentionner l'obscure bourgade de la vallée du Céphise, et que Phocée était infiniment mieux connue de lui et des copistes ultérieurs. (6) Cf. Le Trésor de Cyrène, FD 11 (1952), p. 79.

présence d'une marqueterie de marbre 4 grande échelle, dont la perfection technique exigeait dessins et cotes détaillées 7. L'examen des deux édifices fait penser qu'ils ont été conçus et dessinés en atelier, dans des conditions analogues à celles d’un atelier contemporain, au moins au stade du projet, par deux artistes dont l’un est Théodoros, qui se connaissaient bien et avaient des rapports d'amitié et une même tournure d'esprit. Comme on dit, tout se passe comme si ces deux hommes, chargés d'une double commande, s'étaient concertés pour d'une part appliquer mêmes règles techniques et mêmes bases de calcul, d’autre part exécuter des monuments entièrement différents dans l’esprit et le détail des éléments classiques. Il suffira pour me faire comprendre de mettre sur deux colonnes les caractéristiques principales des deux œuvres. TEMPLE (droites) Frise dorique : Triglyphes : Métopes : Architraves : Parpaings : ThoLos (arcs) haut. 34,5 dactyles larg. 22 (22,5; 23; 24) haut. 34; petit ordre 21 larg. 22 larg. 33 (33,5; 34; 35) larg. 33 haut. 31 long. 55 et 110 long. 55 (68 pour certains parpaings et orthostates, 34 x 2). haut. 31; petit ordre 19,2 long. 110; petit ordre 66 long. 67 (68 — 1 à cause du fruit), 66. Le pied du Temple est de 297,6 mm, divisé en 16 dactyles de 18,6 mm; celui de la Tholos est de 305,6 mm, le dactyle de 19,1 mm. Le tableau compare les dimensions choisies par chaque architecte (nous devons noter parfois une fraction de dactyle). La variation dans les largeurs des triglyphes et métopes du Temple est due obligatoirement aux problémes angulaires, qui n’existent pas dans le cercle de la Tholos. L’examen de ces nombres doit exciter notre attention. Nous voyons en eux : 1° des multiples de 11, qui est dans les deux monuments (J.-P. Michaud l’a mis en évidence pour le Temple) la ratio ou nombre-clé; 2° des nombres de la suite de Fibonacci, à l’endroit où leur rapport se rapproche très près de 1,618 ..., soit 21, 34 et 55; 3° le rappel de x = 22/7 dans le rapport entre la longueur de l’architrave et la hauteur du triglyphe dans le petit ordre de la Tholos, 66 et 21. Nous pouvons déjà comprendre que les deux hommes, utilisant des pieds de longueur différente 4 cause du format projeté de leurs monuments, égalisent les cotes chiffrées qui désignent les membres essentiels des ouvrages. Ils puisent tous deux à la même doctrine, ils ont appris à la même école. Cette idée ne nous quittera pas et se verra peu à peu confirmée. Nous voyons en outre comment se déroule entre eux ce jeu de l'identique et du divers, jeu entre le Même et l’Autre. Un second tableau va nous révéler le pari engagé et tenu entre les deux architectes. Sur deux colonnes, voici les caractéristiques générales des deux monuments (voir note à la fin de l’article). (7) Voir un résumé de ce qui va suivre dans REG 93 (1980), p. x.

TEMPLE THoLos Plan circulaire Plan quadrangulaire Fondation en brèche avec lam- Fondation : en poros, massive bourdes Élévation : calcaire de Saint-Elie Élévation : Éleusis Ratio 11, module de 55 dactyles Ratio 11, module de 55 dactyles Pied : 0,3056 m (d = 19,1 mm) marbres, Pentelique, Pied : 0,2976 m (d = 18,6 mm) Ordre : dorique, prostyle hexastyle ionique à la porte Porte : triple baie, pilastres ioniques Cella : très vaste (138 m?) Cella : réduite (38 m? entre murs) Sculptures : néant Sculptures : 80 métopes, sima, etc. Ordre : dorique à 20 colonnes corinthien 4 la cella Porte : baie unique Mouluration : purs profils, austère Mouluration : talon de l’orthostate Toiture : en bâtière Toiture : rayonnante Crépis : hauteurs croissantes, avec Crépis : hauteurs croissantes, avec ciselures, 2 au stylobate ciselures, 2 au stylobate Crampons : en pi Crampons : en pi Un des architectes a pu dire à l’autre : «A part l’ordre dorique, les ciselures, les crampons et le module, qui est notre commune signature, tout sera différent : la forme et la matière; le volume de la cella et sa porte, l’ordre intérieur. Et là où l’un emploiera à plein la sculpture, l’autre se contentera de la nudité absolue qu’impose le Saint-Élie, et l’une des œuvres sera de l’architecture pure, à la fagon de Mnésiclès, tandis que la Tholos multipliera les combats de Centaures et d’Amazones, avec acrotères et fleuron végétal sur le toit rayonnant, alors que le toit du temple sera en batiére». On voit sur le terrain que la Tholos a été édifiée la première. Théodoros avait besoin de toute la surface disponible à l'Ouest et au Sud pour l’amenée, la circulation et la taille de ses marbres pendant un temps assez long. C’est pour cela que la fouille n’a rien trouvé au Sud de la Tholos et du Temple : c’est l’aire de fagonnement et de rangement des pierres. Cependant, il lui fallait pour le travail des sculpteurs, et pour entreposer les métopes fragiles non encore montées sur place, un espace clos à l’abri du soleil et de la pluie (aujourd’hui, une baraque de chantier). Ce fut le bâtiment à l'Ouest, qui fut démoli après l’achèvement de la Tholos, puis remblayé, d’une part parce que le long côté Ouest du temple devait mordre dessus, d'autre part parce que son utilité disparaissait, le Temple ne comportant pas de sculptures®. L’aire de travail au Sud garda son usage jusqu’a la fin du Temple, et c’est 4 cet endroit que sont rangés actuellement la plupart des morceaux conservés des deux monuments. À propos du Temple, un mystère subsiste. Si nous avons pour la Tholos deux simas à téte de lion, dont une dont on ne sait que faire, il n’existe pas un seul morceau de chéneau ou de tuile du Temple. J’en ai vainement cherché dans les murets de l’olivette sous la terrasse, et il est inconcevable qu’une toiture entiére ait disparu sans laisser de traces, (8) Cf. BCH 108 (1984), p. 204-206. Je n'ai pas été convaincu par les arguments contraires de G. Roux, RA (1989), p. 62-64.

surtout si elle était, comme J.-P. Michaud le suppose, en terre cuite, les chances étant minimes que Von ait fait une sima en calcaire de Saint-Elie, même sans lions et sans acanthes. Or sur le lit supérieur des larmiers on voit la trace de la préparation des chéneaux de rive, mais pas sur tous. On a le droit de se demander si une raison majeure n’aurait pas arrêté les travaux à ce stade, que ce soit l’accident de 373 qui a fait des dégâts au sanctuaire du haut, mais apparemment pas en bas, ou que ce soit l’occupation phocidienne de 356, qui a empéché les naopes de travailler, comme nous le savons par les Comptes. Les carrières de Saint-Elie ont fourni à plein pour le temple d’ Apollon (crépis et orthostates), pour le temple de Marmaria, et pour le trésor de Thèbes, édifié après 371 dans un coin protégé de l’Apollonion. Si les indices stylistiques ont une valeur, s’ils attirent pour le temple en calcaire vers la fin de la première moitié du ıv® s. (mais gare aux années 356-346, où tout travail est impossible !), on devrait s’arréter à la seconde solution. On aurait remis à plus tard, puis définitivement abandonné la pose de la couverture du Temple. Il serait alors resté à ciel ouvert? Ce n'est pas impossible, car Pausanias (X 8, 6) rapporte que l’agalma de bronze des Massaliotes, de grande taille, était dans le pronaos et non dans la cella, ce qui paraît bizarre quand on regarde l’axonométrie du fascicule des planches, reproduite dans le Guide de 1991, p. 18. Seul le pronaos aurait été couvert, et la vaste cella, aux abouts de poutre préparés, serait restée hypèthre, ce qui explique peut-être qu’à une époque postérieure on y ait placé l’exèdre gauchement bâtie, avec le plus petit agalma vu par Pausanias. Toutes choses égales d’ailleurs, on voit bien dans la tholos écroulée d'Orchoméne une base hellénistique. Le terminus ante serait ou bien 373, ou plus vraisemblablement l’ouverture de la guerre sacrée en 356. Dans ces conditions, on est ramené, pour le financement des travaux à la Tholos et au Temple en calcaire, à l'amende confiscatoire infligée aux sacrilèges, les familles rivales de Cratés et d’Orsilas®, condamnées par les Delphiens et non par l’Amphictionie, qui n’a pas connu de cette affaire purement locale, Forte amende, certes, qui n’a peut-être pas couvert toute la dépense, maïs avant 373 la ville de Delphes est riche, et peut éventuellement supporter une rallonge de crédits. Après 373, elle doit faire plus attention en ce qui concerne la subvention aux naopes, mais elle reste généreuse dans l'octroi de la «créance» dont nous lisons (CID 11 31 et 32) le compte rendu d'emploi. On n’a pas publié de comptes pour la Tholos ou pour le Temple, ni pour le Tresor de Thèbes, les cités n'ayant de comptes à rendre qu’à elles-mêmes, et non au monde entier comme c'était le cas pour le Temple d’Apollon, construit avec l’argent des Etats et des fidèles de toute provenance. La conclusion devrait être que, si l’on devait un jour retrouver dans les murets de l’olivette un morceau d’architrave ou un linteau de porte avec le nom des dédicants, on lirait tout simplement celui des Delphiens, à condition qu’ils aient inscrit leur nom sur leurs propres monuments. * ++ Il faut bien s'entendre sur la façon dont les nombres étaient donnés dans le traité de Théodoros. L'artiste a appris à l’Académie ou ailleurs les mathématiques pures, et il sait (9) Sources : Aristote, Pol. V 1303 b; Plutarque, Prae. Rei gerendae 32 (825 B-C). Sources souvent sollicitées, cf. Guide, p. 51 (bibl.), et la longue discussion de J.-CI. CARRIÈRE, Hommages à Lucien Lerat (1984), p. 145179, qui a le mérite de citer les textes anciens et de discuter de façon serrée les opinions modernes.

que x, que 2/x, que 9, que la diagonale d’un carré de côté 1, sont des nombres irrationnels, parfois méme transcendants, qu’il ne désignait pas par les mémes symboles que nous, mais qui avaient la même réalité mentale que la nôtre. Ce sont des êtres mathématiques, vivant dans la seule cervelle du mathématicien. Mais ce qu'il utilise pour la pierre, le bois et le métal de son œuvre, ce sont les mathématiques appliquées aux besoins de l'ingénieur. C'est-à-dire où l’on consent, pour la pratique, des approximations, si faibles qu'elles ne comptent pas à l’échelle de la construction, à peine une épaisseur de joint dans un mur antique. Ce qui pour le mathématicien est un fossé minuscule mais infranchissable, l'ingénieur le néglige. Même aujourd’hui (sauf dans la microphysique, l’électronique), l'ingénieur en travaux publics se contente de 3,14; pour un Ancien, 22/7 = 3,1428571... est une valeur utilisable. La quadrature du cercle est l’aporie-type, mais 2/r valant 1,772..., ce nombre mesurera de façon très approchée le côté d’un carré de même aire qu'un cercle de rayon 1 pied. Au trésor de Cyrène (FD II, Tr. Cyr., p. 83), racine de pi est donné par la hauteur de la frise, (526,5 mm = 1,772 pied), en face du rayon de l’echine du chapiteau, qui vaut un pied de 297 mm. D'autre part, la considération des figures de la géométrie classique amène forcément l’ingénieur-architecte à examiner de très près leurs propriétés. La théorie des polygones réguliers, dont la démonstration complète sera donnée par Karl-Friedrich Gauss en 1796 (commodément dans le livre d'A. Warusfel, Les nombres el leurs mystères [1961], p. 109 sq.), établit quels polygones sont constructibles par la règle et le compas, et précisément Pz, Po, P11, Pig ne le sont pas. Impossibilité qui n’a pas empêché le créateur de la Tholos d’Epidaure (fig. 9) de construire sur le terrain P7 et Pj3, donnant à sa rotonde 26 colonnes doriques et un autre anneau complet de 14 colonnes corinthiennes : soit 13 et 7 avec un facteur 2. La petite tholos archaïque de Delphes avait déjà 13 colonnes, ce qui n’a pas manqué d'étonner. Quant à Py, des le vie siècle la colonne du temple d’Ephese et celle du Sphinx de Delphes ont 44 cannelures, ce qui suppose la familiarité avec x = 22/7, et une construction simple à partir d’un rayon divisé en 7 parties égales, application du théorème de Thalès. La colonne du Trésor de Marseille à Marmaria a 22 cannelures, ce qui est encore plus net. Cette sorte de défi n’existe plus avec le choix de 20 cannelures, qui devient constant dans l’ordre dorique, et dépend de l'inscription dans le cercle du pentagone (et naturellement de l’icosagone), régulier ou étoilé, qui, lui, entre dans la liste de Gauss. Il y a même plusieurs façons de tracer le pentagone avec ou sans changement de l'ouverture du compas. Le pentagone entre donc d'office dans le dessin de la Tholos, et avec lui, on le sait, le partage en moyenne et extrême raison, le nombre + ou 1,618033... Les cannelures, qui servent à répéter à l’extérieur la verticalité de l’axe du fût, et aussi à faire doucement tourner l'ombre d’aréte en aréte, sont pour les marbriers les plus habiles une délicate et longue servitude, Leur rétrécissement progressif, leur courbe particulière font déjà difficulté. Et de plus, si à notre Tholos une cannelure, sous les annelets, est longue de 296 dactyles ou 18,5 pieds, pour 20 cannelures d'un seul fût et pour 20 colonnes, on arrive à un total de 118400” ou 7400’, soit x 0,3056 mètre 2261,44 m, deux kilomètres et un quart. Combien d'ouvriers pendant combien de temps faut-il? On peut faire le calcul pour le Parthénon, et l’on sera surpris. Avant d’étudier systématiquement les cotes de l'édifice, prenons un exemple de ce que j’appellerais volontiers les amusements, ou les défis de l’ingenieur en face du mathématicien son maitre. Il a appris que par rapport à un côté égal à l'unité, la diagonale du

carré est ce que nous notons par 1,414... ou 2/2. Mais que se passe-t-il si je choisis pour la diagonale un nombre entier, et si le carré est une pièce de marbre, par exemple l’abaque du chapiteau dorique de la Tholos? Les côtés ne vont plus être des nombres entiers. Au Temple en calcaire, J.-F. Bommelaer a présenté, d'après les cotes de la publication, un diagramme géométrique du chapiteau (REG 92 [1979], p. 212)%. Le côté de l’abaque étant 52 dactyles exactement, la diagonale sera représentée par 73,539... À la Tholos, comme on peut s’y attendre, Théodoros s’est «amusé» à prendre le contre-pied. Pour le côté de l’abaque, 891 mm, il faut faire violence au calcul pour traduire en 47 dactyles : c'est 46 2/3, c’est-à-dire 140/3 (en liaison évidente avec 22/7 = x, et 11/14, relation entre les aires du cercle et du carré où il est inscrit). Le théorème de Pythagore sur le carré de l’hypoténuse donne pour cette dernière 66” exactement (encore un multiple de 11). Tel est le jeu : la diagonale est un nombre entier, le côté une fraction, 140/3, encore assez simple (v. infra, p. 296). On objectera à ce qui précède que le lit d’attente du chapiteau une fois mis en place est invisible pour le spectateur, et que le jeu mathématique n’est plus observable. C’est vrai, mais c'est justement pour cela que Théodoros a éprouvé le besoin d'écrire son livre. Il a eu soin cependant de nous prévenir, et de laisser visible un signal destiné à nous mettre sur la voie, qui est une sorte de signature (sphragis). Et ce signal est répété quarante fois, pour que nous finissions par l’apercevoir. Un des éléments essentiels de la science du temps, où le pentagone est largement impliqué (donc l’icosagone de la Tholos) est le partage d'une droite en moyenne et extrême raison, la «sectio aurea» ou phi. Or le visiteur marche littéralement sur ce rapport en se promenant entre mur et colonnade dorique (fig. ?). Quarante rayons de cercle, en effet — invisibles à l’intérieur de la cella où le pavement bleu-noir autour de la dalle centrale blanche est autrement réglé — sortent de sous le toichobate bleu-noirTM et le talon à feuille d’eau de l’orthostate, qui soulignent de façon si ingénieuse (une couleur et une forme) l’angle formé par les orthostates et le dallage. Ces rayons, écartés d’un angle de 9°, limitent les dalles sur lesquelles on marche (les selides) et les dalles du stylobate ou troisième degré, celui qui porte la double ciselure. Par les 40 segments d'une circonférence entièrement visible 1 dont la longueur est de 1 900 dac- (10) Autrement dit, en dactyles, cf. Temple en calcaire, pl. 10 c et texte p. 38 et 39 : Rapports : Largeur de l'abaque ... 52” (13 x 4) et Diam. inf. chapiteau ... 39” (13 x 3), rapport 4/3 Largeur de Pabaque ... 52" (13 x 4) et Hauteur du chapiteau ... Hauteur du chapiteau ... 19,5” (13 x 1,5), rapport 8/3 19,5” (13 x 1,5) et Retrait de la téte du fat... 6,5” (13 x 0,5), rapport 3 Diamètre inf. chapiteau... et Hauteur du chapiteau... 39” (13 x 3) 19,5” (13 x 1,5) rapport 2 On remarque les multiples de 13 et la persistance du nombre 3. (11) On verra que le rayon de la Tholos au calcaire bleu-noir est de 220 dactyles (p. 301). . (12) Comme est visible la circonférence du calcaire bleu-noir. Chaque dalle du stylobate et du ptéron est un trapéze aux petits côtés curvilignes, longs d’un quarantiéme du cercle correspondant. Dans la pratique, ils peuvent être assimilés aux côtés d'un polygone à quarante côtés de même rayon : la différence entre arc et droite est pratiquement négligeable.

. Fig. 2. — Rapports M/m = 1,618; OA = 0'0" = 773/2 (voir p. 307) is ies inégales, depules visible est partagéeeninégdeualitx épart a, chaque rayon styl tyles comme on le verr sur , est mesurable du obate. Or cett s jusqu’à l'arêtemétr le calcaire d'Éleusidan de 19,1 mm; dact , en pieds anglais oure»en a 1.57yles s le système ique lieux, que ce soit ativ 6 m ou 82,5 dacjeu elle devient signific e à la lecture des mesures, car la0 «ma m ou 133,5‘. Or le quotient M ou tyles, la «mineure» 0,974 m ou 51” 38, leur somme 2,55 Notoré nsla ge pas. ne chan ortXVI 7,insle pl.rappXV: 1,582460 etet0,97 (191p.2)236,phicKlio row s;Pom vérifiée lob,row GottPom mesu resesdeque a Mesutout qu'il (13)pour ) dess a avoué (Del a III, même temps aux une foisen 40 minutes avec son architecte Wenzel, et que le lendemain ils ont consacré le Tholos morceaux conservés au Musée.

I est 1,618... Nous avons donc sous les pieds le «nombre d’or», quarante fois répété pour que nous finissions par comprendre. * LE] La recherche fondamentale se trouve ici cristallisée en marbre pentélique, comme disait Renan sur l’Acropole, et voit ses applications dans les mesures et leurs relations fixées par l'architecte. Après les deux exemples qui nous ont montré le chemin, la marche à suivre est simple. Il nous faut examiner dans les planches de Gottlob * les cotes en plan et en élévation, leur traduction en dactyles, et leurs relations avec les problèmes étudiés à l’époque et que nous avons déjà rappelés : x, + et la suite de Fibonacci, V2, et méme, puisque les cercles apparents sont très nombreux dans le monument, une allusion possible à la quadrature du cercle, soit /r. Comme l’a fait J.-P. Michaud pour le Temple en calcaire à partir des largeurs du triglyphe et de la métope, j’affiche dès l'entrée de jeu la valeur du pied, 0,3056 m, et du dactyle (1/16 de pied), 0,0191 m (ou 19,1 mm). Ces nombres sont obtenus par tâtonnements, mais très vite, dès le début de la recherche. I] y aura de temps en temps une légère différence (due plus à notre faute dans les mensurations qu’au marbrier antique) entre les dimensions mesurées et la théorie : elle sera toujours minime, car la précision de la taille des pierres est quasi-millimétrique, puisque dans un monument rond une erreur un peu forte serait catastrophique pour la symétrie, bien plus que dans un monument quadrangulaire où le problème de la contraction de la colonnade et de la frise aux angles permet, par exemple, quelque jeu. Ici, tout est semblable au même registre et interchangeable. On sera rarement obligé de descendre dans la notation jusqu’au demi-dactyle ou même au cinquième de dactyle (moins de 4 mm); par exemple dans le petit ordre on verra les cotes 19,8” ou 13,2”, que justifiera l’étude des rapports internes. Ces rapports, ainsi que les cotes antiques, devront être exprimés par des nombres simples, car toute solution compliquée en cours de recherche, comme j'en ai fait l'expérience, doit être rejetée comme fausse et impossible à transposer dans l'exécution par le marbrier. Nombres liés entre eux par des rapports simples et constants, répondant à une unité de conception que l’étude du monument rendra progressivement évidente. Les chapiteaux Avant de nous consacrer principalement à l'étude de la Tholos, je voudrais approfondir la comparaison esquissée plus haut entre la Tholos et le Temple en calcaire, à propos de leurs chapiteaux. C'est en effet un élément essentiel de comparaison, entre eux et avec les chapiteaux à peu près contemporains (voir les tableaux de J.-P. Michaud, Temple en calcaire, p. 129 sq. et app. III p. 131-135). La figure 3 parlera d'elle-même. Le chapiteau (14) Malgré les défauts de la présentation, réductions excessives de trop grands dessins au trait déjà filiforme, cotes parfois absentes pour ne pas charger le dessin, ou devenues illisibles et nécessitant deux pages de « Notes explicatives» en tête des planches, les relevés de Gottlob sont excellents et on peut se fier à ses cotes. Dans ce qui suit, j'indiquerai de menues corrections et les chiffres correspondant à la cotation en dactyles. Pour les mesures seulement estimées ou restituées par Gottlob, le passage de 4 à 5 tambours de la colonne obligera à les corriger, avec l'aide du calcul en dactyles qui affine la précision au moins théorique.

[BCH 117 N N N a, ES % % \ x N \ , Ne x Ne IN < 52" = 967 mm < 140 mm (7,5") PRE 46,66." = 891 mm vu 140 mm (733.) } 363 mm (19,5") m ag 223 mm (12) } 356 mm (18,66..") Pm TEMPLE EN CALCAIRE (pied 297,6 mm) 216mm(1133..) THOLOS (pied 305,6 mm) 0 300 1000 mm ST "Dt Fig. 3. — Etudes des chapiteaux, temple en calcaire et tholos. Échelle 1/20°. du Temple est légèrement plus grand que celui de la Tholos, mais pas de beaucoup. On a figuré le carré de l’abaque, avec sa diagonale et le cercle inscrit de l’échine. Au-dessous, le rectangle, face du parallélépipède de pierre qui a servi à tailler le chapiteau (en élévation), avec l'indication de la hauteur de l’abaque (la même en millimètres, quoique le pied soit différent, dans les deux pièces). Grâce au théorème de Pythagore, on remarque que le lit d'attente du Temple a une diagonale mesurée par un nombre à décimales multiples, tandis que la diagonale du chapiteau de la Tholos est de 66” (= 11 x 6). En revanche, le côté de l’abaque mesure 52” au Temple et 46,666...” à la Tholos; la hauteur du rectangle est de 19,5” au Temple, 18,666...” à la Tholos 45. Il est intéressant de calculer la circonférence de l'échine considérée, avant finissage, comme tangente aux côtés du carré. Au Temple, le rapport x2R (ou Dr) est 52” x 22/7, ou 163,42”, ce qui n’est pas significatif. Mais à la Tholos la largeur d’abaque (ou le (15) Les fractions de dactyles sont assurées par des mesures répétées, prises sur les marbres à Marmaria ou au Musée, — 52 = 13 x 4. Mais aussi 140=46,66, 56 _ 18,66... 490 _ 163,33... 440 _ 146,66... 220 _ 73,33. 166 3 55,33. 3 3

diamètre du cercle), 46,666...”, est exactement le tiers de 140. Or 140 xB ar = 146,666”... Par une curieuse rencontre, la circonference de l'échine est donc égale au diamètre augmenté de 100”. Autre propriété, banale mais à retenir : la circonférence et la diagonale sont entre elles comme 146,660... _ 2,2222... qui est W2_ 2 Si Pon a la curiosité de mener aussi les diagonales des rectangles, on s'aperçoit que celle du Temple n'est pas un nombre entier, 55,53..”, mais que ce nombre été de la diagonale de l’abaque donne 73,53.. — 55,53.. = 18 exactement. A la Tholos, les nombres sont entiers : 66 — 50 = 16 ou un pied. En revanche, le rapport entre les côtés du rectangle est au Temple 52:19,5 = 8:3 (ou 2,666); à la Tholos il est 46,666:18,666 = 5:2 (ou 2,5). Le jeu d’oppositions entre rationnel et irrationnel parait alors certain pour les deux chapiteaux, avec le rappel des nombres figurant au début de la série de Fibonacci (8:3 et 5:2), les multiples de 11 (66,440), et l’utilisation de 22/7 pour le nombre pi. Dernières remarques sur le chapiteau de la Tholos, en anticipant sur l'étude générale de la colonne. Le diamètre du chapiteau, au lit de pose, est 668,5 mm ou 35” (BCH 64-65 [1940-41], pl. VII), égal au diamètre supérieur du dernier tambour à la pointe des cannelures. La circonférence est done 35” x 22/7 = 110”. La largeur de la cannelure est de ce fait 110:20, soit 5,5” ou 105,05 mm. Dans le BCH, pl. VII, nous avons mesuré 106 mm. On verra à la page suivante que 110” est aussi la largeur d’un épistyle. Une autre proportion, entre la largeur de l’abaque et le diamètre au lit de pose du chapiteau, donne 891:668,5 ou 1,3333.. ou 4:3. Comme le diamètre inférieur de la colonne (BCH, ibid.) est 868,5 mm ou 45,5”, la circonférence au bas est 45,5” x 22/7 ou 1001:7, soit 143” (11 x 13). Le rapport entre le cercle inférieur et le cercle supérieur du fût est donc 143/110 ou 13/10. Les deux ordres doriques à l’entablement C'est par l’examen de l’ordre extérieur (peristasis) et de l'ordre qui couronne le mur du sékos que peut commencer l'étude systématique des proportions (fig. 4). Dans un monument circulaire, à la différence des monuments quadrangulaires où se pose le problème des contractions angulaires, il n’y a aucune raison pour que le triglyphe et la métope n'aient pas une largeur constante. La Tholos ayant 20 colonnes, il y aura, au-dessus d'elles, et par symétrie au-dessus du mur, 20 épistyles, et quarante couples T + M ou t + m. La meilleure façon de les organiser sur les circonférences est d'adopter, avec J.-P. Michaud, comme au Temple en calcaire (33 + 22 = 55”), au Trésor de Thèbes (27 + 18 = 45"), et probablement au Temple d’Apollon (66 + 44= 110"), une mélope valant une fois el demie le triglyphe (M =3, T = 2, le total doit être un multiple de 5). Quarante couples font ici 200 unités, le triglyphe sera donc le centième de la circonférence, au grand comme au petit ordre. La largeur du grand triglyphe, 22”, va tout commander, comme on va voir. Un gros avantage de ce choix est que le nombre 22 figure dans la fraction qui note la valeur approchée (4 1/2500 env. prés) de x, soit 22/7. Le nombre 11, dont on verra apparaitre les

se oa +— È T | — 1182 f 198" h M r 5 È [BCH 117 | FRISE (triglyphe+métope) 7 ARCHITRAVE + ELEVATION Lo. + mie ch + s + Fz tT et | 5 | | TTT | a | me M (tigiypheemitope) — i ARCHITRAVE ELEVATION PERISTASIS ORDRE EXTÉRIEUR PLAN Po No TT | Fig. 4. — Les deux entablements. multiples, peut être considéré comme la ralio du monument, comme au temple voisin, dont la conception, sinon l'exécution, est contemporaine. Au Tresor de Thèbes, la ratio est 9, au Temple d’Apollon c’est 11. Au grand ordre, avec M = 33” et T = 22”, le couple T + M vaut 55”, au-dessus d'un épistyle de 110”. Le nu du triglyphe est, on le constate sur le dessus de l’épistyle, sur la même verticale que le nu de l’épistyle. Le long ruban circulaire, lisse et brillant, des 20 épistyles aura donc pour circonférence 110 x 20 = 2200 dactyles. Le diamètre au nu de l’épistyle se déduit aussitôt : 2200 x 7/22 = 700 dactyles (fig. 5). On ne peut proclamer plus clairement la présence constante de 22/7 dans le monument. Le petil ordre est organisé de même : le couple t + m = M vaut 33”, l’architrave, qui joue le rôle de dernier parpaing du mur, vaut 66”. La circonférence au sékos sera donc 66 x 20 = 1320”, et le diamètre 1320 x 7/22 = 420”. Aux deux entablements, la circonference est calculée à cent largeurs de triglyphe : 2200 (qui est 11 x 200)/22 = 100, et 1320 (qui est 11 X 120)/13,2

AN stylobate \ 0 5 + 10 fen 15 20 4 + 25 fr 30 fn 40 4 } 50 pieds 4 y Fig. 5. — Dimensions importantes. 1/125°. Jusqu'ici, nous constatons que, dans les rapports cités, le petit ordre est au grand comme 3 et 5, ce qu'on peut vérifier pour triglyphes et métopes du petit ordre : triglyphe 22 x 3/5= 13,2” ou 252,1 mm miétope 33 x 3/5= 19,8” ou 378,1 mm architrave 110 x 3/5= 66” ou 1260,6 mm. On observe ainsi que l’emploi de 11 et de 22/7 facilite grandement les calculs.

D'autre part 55 se trouve être à la fois un des nombres de la série de Fibonacci (...21, 34, 55, 89...) et la somme des dix premiers entiers. Mais le rapport 3/5 n’est pas le seul qui apparaisse entre les dimensions des deux ordres. Voici d'autres rapports, toujours en valeur fractionnaire très approchée: le nombre d’or q et son inverse 1/9 sont apparents entre les nombres fibonacciens qui mesurent les deux métopes en hauteur, 34 et 21, quotient 1,619; le couple T + M, large de 55 et haut de 34, appelle la même observation. Le rectangle de côtés T et M + T est un rectangle d'or, 55:34, soit 1,618. Architrave et épistyle : 19,2/31 = 1/9. De même la hauteur du grand ordre, épistyle plus frise, est 31 + 34 = 65”, celle du petit ordre est 19,2 + 21 = 40,2”, le rapport est encore q (ou à l'inverse 40,2/65 = 0,618 ou 1/9). Au petit ordre, la largeur de l’architrave et la hauteur du triglyphe, 66” et 21”, ne dissimulent guère 22/7 ou n. Au grand ordre, la largeur du couple T + M = 55”, divisée par la hauteur de l'épistyle, 31", donne 1,774, valeur approchée de 1,772... qui est Vn. L'allusion est fort claire à la solution de la quadrature du cercle 7. Enfin, en antieipant un peu, on constate que la hauteur de l’épistyle, 31”, est le dixiéme de la hauteur de la colonne, chapiteau compris, 5,921 métres ou 310 dactyles. Les dimensions en plan, jusqu’à Porthostate Notons d’abord que l'usage du pied de 0,3056 se décèle depuis la fondation, haute de 2,13 m ou 7 pieds, et les parpaings de poros sont uniformes en plan, 33” x 66”, hauts d’un pied (FD, texte, p. 2). Les dimensions du tableau que voici sont données en millimètres et en dactyles, en suivant le plus possible les cotes de Gottlob et de Ducoux (BCH 64-65 [1940-41], pl. VID. (16) H faut rappeler ici la série de Fibonacci, qui se forme en ajoutant chaque fois le nombre précédent, à partir de 1 : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89..., jusqu'à p. ex. 987 qui se trouve être une valeur approchée de 100 x?, la racine carrée de 987 étant 31 ,416556... Le rapport entre deux nombres consécutifs de la série tend vers 1,618033... (l'inverse 0,618033...), mesurant le partage d'une droite en moyenne et extrême raison ou nombre d'or, comme nous en avons vu une manifestation à propos des dalles du ptéron. Voir Ed. CALLANDREAU, Célèbres problèmes mathématiques (1949), p. 183-192, p. 205 sq. A. WarusrEL, Les nombres el leurs mystères (1961). J'ai fait remarquer dès 1953, dans la RA 41 (1953), p. 41-49, qu'au théâtre d'Épidaure le nombre des gradins est 55 = 34 + 21, nombres fibonacciens. Je vois avec satisfaction que cette observation, repoussée par les auteurs de la publication du théâtre sans examen, est remise en valeur par L. KAPPEL, «Das Theater von Epidauros. Die mathematische Grundidee des Gesamtentwurfs und ihr môglichen Sinn», JDAT 104 (1989), p- 83-106, notamment p. 90 sq. La serie de Fibonacci entraîne la présence du pentagone et du nombre d'or : voir le dessin p. 105 fig. 13. Je suis en accord complet avec ses conclusions. La bibliographie donnée dans les notes du JDAI me dispense de la reproduire ici. P. 92, n. 29, M. L. Kappel, à propos des dessins de l'architecte antique, renvoie à la belle découverte de L. HaSELBERGER au temple d'Apollon à Didymes, 1stMiti 30 (1980), p. 191-215 et 33 (1983), p. 90-123. (17) La hauteur de Vépistyle, 31”, et la largeur du triglyphe, 22”, donnent 31/22 qui est la fraction simple la plus proche de YZ ou 1,414.., le quotient 1,409 donne un écart de 0,005 seulement. Aussi 33/21 = x/2 (ou

ASSISE DIAMETRE | RAYON | DIAMETRE 301 |CIRCONFÉRENCE ARC D’UNE DALLE (millimètres) (dactyles) Euthyntéria .......... 14766 7383 773 (a) 2430 60,75" = 1160 mm Premier degré ........ 14666 7333 768 (48°) 2414 (b) 60,33” = 1152,3 mm Deuxieme degré 14098 7049 738 2320 (c) 58" 6752 707 (d) 2222 (e) 55,50” = 1060 mm 6280 657,6 2066,66 (f) 103,33” = 1974 mm (2 dalles) per. 2060 (g) côté 103” = 1967 mm (2 dalles) Stylobate ........ oe Axe des colonnes (cercle) 13504 - 12560 (dactyles) 1 Axe des colonnes, icosagone, périmétre et cóté =1107,8 mm Cercle du péristyle .... 11550 5775 | 6045 1900 (h) 475” = 907,25 mm (i) Calcaire bleu ......... 8404 4202 440 (j) 1383 34,5" = 659 mm 8174 4087 428 1345 (k) 67,25" = 1284 mm 6990 3495 | 366 1150 (k) 57,5” = 1098 mm 1184 592 | 62 (I) (toichobate) Orthostate, face ...... (en haut) Orthostate ........... (arrière) Dalle centrale ........ _ _ Remarques. (a) 773” est premier; 773 — 707 = 66. 243 = 3°. (b) 2414"=1+/2, facteur 1000. (c) 2320" = 145 pieds. Même diamètre au larmier et au chéneau. 738 = 69% (123 x 6). (d) 707” = 101 x 7 ou 4 2, ou „/50 facteur 100. (e) 2222” = 101 largeurs du grand triglyphe; x : VT = 2,2222... (f) 103,33” = le tiers de 310”, hauteur de la colonne. (@ (h) (i) Voir ci-après pour l’icosagone. Voir p. 293-294. 47,5” ou 907 mm, longueur de l’arc extérieur de la dalle de plafond reconstituée, FD pl. XIII. G) 773 — 440 = 333, du calcaire bleu à l’euthyntéria. 440 = 20 T. (k) Sur 16 blocs d'orthostate seulement. 366”, diamètre de la cella entre murs. () Le rayon est 31”, c’est le 1/10 de la hauteur de la colonne, l’épaisseur de l’orthostate, la hauteur de Vépistyle. 31 = 7 + 11 + 13, tous premiers. L’icosagone Parmi les polygones a 20 cétés constructibles dans le plan, une figure intéressante est l’icosagone dont les sommets sont le centre des mortaises marquant l’axe des colonnes sur le stylobate. On peut le comparer à la circonférence du cercle passant par les mêmes points. La valeur du côté c par rapport au rayon est donnée par des formules relatives au pentagone, au décagone et à l’icosagone, étoilés et réguliers, formules dont les rapports sont féconds, notamment par la présence constante de ». La formule pour l’icosagone régulier est : on = Rx. /4— V10+ 2/5 63128689x R. 2 Le calcul donne R 6284 mm x 0,3128689 = 1966,0681 mm. Or 103 dactyles font 1967,3 mm. J’ai mesuré sur place 1967 mm. Le périmétre du polygone est 103 x 20 =

2060”. On voit alors qu’entre la circonférence et le polygone la différence n’est que de 2066,66 — 2060 dactyles ou 127 mm. (N.B. : 103 x 6 =618!). L'usage de x et de /2 apparaît constant. On déduit sans peine des propriétés classiques. Par exemple, un carré inscrit dans le cercle du stylobate, ayant pour diagonale 707, aura pour côté 500 (707:1,414), et un carré de côté 707 aura pour diagonale 1000. Ces constructions (cf. Platon, République VIII 546 c) ont pu figurer sur la table à dessin de Théodoros (fig. 7). Les nombres premiers Le tableau montre que le plan de l'édifice depuis la dalle blanche centrale, éclatante au milieu du calcaire sombre, jusqu'au cercle de l’euthynteria, est organisé sur deux nombres premiers, le plus pelil rayon, 31”, et le plus grand diamètre, 773”. A nos yeux, mais c'était sensible dans la notation antique, ces nombres sont faits de chiffres qui expriment eux-mêmes des nombres premiers, 1, 3 et 7. Entre les Pythagoriciens et Ératosthène, inventeur d'un crible (xéoxivov) pour étudier l'identification et la répartition des nombres premiers (rpúro: xal dabv0eror), la théorie de ces nombres n'est pas inconnue de Théodoros, qui emploie abondamment 11 (avec ses multiples), 101 (avec son multiple 707), 103 qui est le côté de l’icosagone passant par les axes des colonnes, 31 qui est entre autres le dixième de la hauteur de la colonne. Obéissant à ce qui sera plus tard le théorème de Fermat («tout nombre premier de la forme 4 k + 1 peut se représenter, et d’une seule manière, comme somme de deux carrés») le diamètre total à l’euthynteria, 773, est la somme de 289 et 484, soit 17? + 222, nombres qui nous sont déjà familiers 1, Inversement, tout nombre non premier peut se mettre, et d’une seule manière, sous la forme d’un produit de nombres premiers. Exemple la longueur totale du ruban de Vépistyle, 100 largeurs de triglyphes ou 2200” = 25 x 5° x 11. Le traité de Théodoros devait donc associer ce que les Anciens appelaient arithmétique, notre théorie des nombres, la logistique, ou technique du calcul, et la géométrie du carré, du cercle et du pentagone. Nous allons en voir d’autres manifestations. Éléments de la colonne (fig. 6) Suivant avec trop de confiance la restitution de Pomtow avec quatre tambours, d’après les rapports constatés entre la hauteur et le diamètre inférieur (à la pointe des cannelures) des colonnes du ve siècle, Charbonneaux et Gottlob l'avaient acceptée sans autre contrôle ** : le rapport H/Di qu’ils trouvaient était 4,813 m sur 0,8685, ou 5,54. Le (18) A part 2 et 5 tous les premiers sont terminés par 1, 3, 7, 9, Après Fermat, Mersenne et Gauss, qui les a utilisés pour démontrer la constructibilité des polygones réguliers (cf. ci-dessus, p. 292), les nombres premiers occupent toujours les théoriciens des nombres. Cf. T. L. HEATH, Greek Mathematics, I, p. 72 et 100, sur Eratosthène, contemporain de Callimaque; E. Borner, Les Nombres Premiers, Coll. Que Sais-je?. On voit que la Tholos d’Epidaure est organisée sur une ratio 13 pour ses mesures, et sur 7 et 13 pour le nombre de ses colonnes (14 et 26), v. p. 312. — Dans le théorème, k est un nombre entier quelconque. (19) FD, texte, p. 4 : «Les fragments subsistants donnent l’assurance que chacune de ces colonnes était formée de quatre tambours à peu près d’égale hauteur». La note 3 énumère les hauteurs mesurées sur les 31 tambours accessibles, la moyenne est 1116 mm, les tambours du haut étant les plus hauts. J’ai repris en 1980 les mesures sur les 15 pièces non utilisées dans la reconstruction, la moyenne est 1114 mm (= Gottlob, pl. IV).

Pal so 34°put + T El 8 BU 400" 310 T tBSarep t L 1 1 3 La a Fig. 6. — Coupe sur la peristasis. 1/100*, cinquième tambour ayant été rendu à la colonne en 1938, le rapport est devenu 6,813”. D'aprés les hauteurs, plusieurs fois vérifiées, des tambours existants, je crois que la bonne solution est la suivante : L'architecte a compté pour les quatre premiers tambours 233 dactyles, soit 4450 mm, en moyenne théorique 1112,5 mm par tambour, avec des écarts possibles en plus ou en moins, pour l’utilisation maximum des tambours arrivant du Pentélique?, Aprés un réglage á hauteur du lit d'attente du 4* tambour, il a fait tailler une piéce légèrement plus haute, 1117,5 mm ou 58,5”. Un nouveau réglage avant la pose du chapiteau, dont la hauteur peut in extremis être légèrement modifiée “, en principe 353 mm ou (20) Soit 310" : 45,5, à la pointe des cannelures. Le diamètre inférieur au fond des cannelures est 812 mm ou 42,5”. En divisant encore par 11, 2 = 0,619! (21) Écarts, FD, p. 4 n. 3 : de 1105 à 1119 mm. (22) Les hauteurs des chapiteaux varient entre 349 et 356 mm. Tl est clair que les chapiteaux, dont on pouvait encore légèrement rogner la hauteur d’abaque jusqu'au dernier moment, ont servi d'assise de réglage ultime avant la pose des épistyles, qui doivent impérativement être à l'horizontale. Les cannelures du chapiteau ont 105/106 mm de large à la pointe, soit 5,5” (110:20), celles du bas 136,5 4 138 mm, chiffres du BCH, L.c., p. 122. Avec 86 mm ou 4,5” sur le chapiteau, plus 291,5” sur les cinq tambours, chaque cannelure mesure de bas en haut 296” ou 18 pieds et demi (v. p. 292).

Fig. 7. — Carré et pentagone. 1/125°. (OR = EJ). 18,5”, intervient pour finir. Les 4 premiers tambours à 58,25”, le cinquième à 58,5”, le chapiteau à 18,5”, font au total 310 dactyles, 5,921 mètres (cote de Ducoux : 5931). Notons que 233 est un nombre (premier) de Fibonacci; 77 (soit 58,5 + 18,5) est un multiple de 11. Et 310 vaut dix fois la hauteur de l’epistyle qui vient immédiatement au-dessus des chapiteaux, trois fois l’arc-entraxe des colonnes (103 1/3). Du côté du perisiyle, la hauteur sous plafond se calcule ainsi : la colonne plus l’épistyle font 310 + 31 = 341” ou 6513 mm. La queue de frise, cotée 200 mm environ pour le bloc-type de Gottlob, pl. VII, n’est pas toujours aussi haute, et varie légèrement entre 170 et 198,5 mm selon les exemplaires. 341” + 9” = 350 dactyles. En retenant 172 mm ou 9”, total

On découvre alors que cette hauteur sous plafond, 350”, est égale au rayon de la Tholos à l’épistyle (D = 700). On pourra le confirmer en calculant la hauteur nouvelle du mur, qui doit être elle aussi de 350”, sous peine d'avoir des dalles de plafond non-horizontales. Hauteur du mur de la cella Le toichobate en calcaire bleu sombre dépasse le dallage de 57 mm ou 3”. L’orthostate de 878,6 mm (Gottlob 880) vaut 46”. Comme l’architrave n’est autre qu’un dernier parpaing et qu'elle mesure en hauteur 19,2”, 14 parpaings feront 5138 mm ou 269” juste (ce nombre est premier et ses facteurs carrés sont 10? et 13?). En ajoutant frise, 21”, et couronnement, 11” (210 mm), on obtient 2 : 3+ 46 + 269 + 21 + 11 = 350” = 6685 mm. La hauteur moyenne d’un tambour étant théoriquement 1114 mm, elle est comprise 6 fois dans la hauteur du mur, car 6685:1114 = 6. Hauteur totale de l’ordre extérieur Elle est facile à calculer en additionnant* : Colonne ....................... 310” = 5921 mm 375 Épistyle ........................ 31” = 592,1 mm 25 Frise ........................... 34” = Larmier ....,..........,,....... 9,5” = Cheneau ...................... 15,5” = 649,4 mm 181,5 mm 296 mm Total : 400" = 7640 mm La hauteur totale 400” et la hauteur du mur sous plafond 350” (= le rayon a l’épistyle) sont entre elles comme 8 et 7 (7:8 = 0,875). du larmier Étude Les dimensions du larmier sont faciles à rétablir, malgré l’absence de cotes essentielles et la réduction excessive du dessin dans la pl. IX. J'ai repris les mesures, notamment sur un fragment de corniche à mutules qui a été transporté anciennement jusqu’à une collection de marbres voisine de l’actuelle maison de l’École française (trouvé en 1971, cf. P. Amandry, BCH 108 [1984], p. 191 n. 34, cf. p. 185 n. 23). Les mutules sont des rectangles déformés, ce qui a exigé une parfaite attention des marbriers, notamment pour la confection des 18 x 80 = 1440 gouttes, dont le diamètre est 2 dactyles (38,2 mm) (23) Ducoux inscrit la cote 6,703 m au lieu de 6,685, reprenant visiblement pour la hauteur d’un parpaing la cote moyenne de Gottlob, 367,3 mm, ou 250” pour 13 pierres. Cette cote, relevée sur la pl. XVII, à cause de sa précision au dixième de millimètre, peut faire penser que Gottlob avait bien calculé la valeur du dactyle et donc celle du pied, telles que je les ai retrouvées. Le parpaing inachevé, pl. XVII en bas, est haut de 376 mm, mais justement il n'est pas fini. Sur le mur remonté, j'ai vérifié la hauteur de 12 parpaings : les mesures varient de 362 à 370, en moyenne 367, ce qui est bon. La faiblesse de l'écart est un bon exemple de la précision obtenue dans la taille des marbres. Il ne semble pas que nous ayons la longueur et la hauteur de parpaings voisins de la porte, qui demande un caleul spécial. (24) Noter : 375:25 = 15; 400:25

et la hauteur 9,5 mm, un demi-dactyle. Dans un batiment quadrangulaire, les mutules ont la même largeur que les triglyphes; ici, les dimensions doivent augmenter légèrement avec l'allongement des rayons. Au lieu de 22”, largeur du triglyphe, nous allons avoir, à l’avant du mutule, 23”, et le reste à l’avenant. Voici les cotes : Largeur du mutule, en avant Largeur de la via, en avant Largeur du mutule, à l'arrière Largeur de la via, à l'arrière Profondeur du mutule : 439-440; : 110-111; : 429-430; : 107; : 261-262; 23” 5,75” 22,5" 5,5/8" 13,75” = 439,3 mm =110 mm = 429,75 mm =107,4 mm =262,6 mm La via est le quart du mutule, comme il est normal. En avant, deux mutules et deux viae font 2(23 + 5,75) = 57,5”, Gottlob n'a pas indiqué la cote de la largeur totale de la corniche sur la pl. IX, mais sa restitution du chéneau, également incomplet, donne environ 1106,5 mm, ce qui correspond à 58 dactyles (1107,8). Pour 40 pièces, la circonférence extérieure sera 58 x 40 = 2320” ou 145 pieds. Le rayon est alors 369”, le diamètre 738”, ce qui est exactement le diamétre en plan au deuxiéme degré de crépis. Si le mutule est large à l’avant de 23”, la circonférence sera de 100 mutules, comme elle est, juste au-dessous, de 100 largeurs de triglyphe ou 2200”. Ce sera 2300”. Au-dessus de la métope (33”), en ajoutant deux largeurs de via, on aura 34,5” ou 659 mm. Le rapport 34,5:23 = 1,5 est celui que l’on attend. 2300” suppose un diamètre de 732” (rayon 366, égal au diamètre de la cella aux murs, soit 3495,3 mm, la cote de Ducoux est 3493) %. À l’aréte du lit de pose, le diamètre est le même que celui de la frise qui vient au-dessous, soit R= 350”, D = 700”, circonférence 2200 ou 100 triglyphes. Entre les deux, la largeur du mutule et de la via en arrière (22,5 + 5,5/8 = 28 1/8") implique une circonférence de 2250”, d'où R = 356,5”, D = 713”. Il est à noter que le diamètre hors tout, à l’euthynteria, est 773”, donc 60” de plus. On a d’avant en arrière les valeurs 2320 — 2300 — 2250 — 2200. La différence entre R =366" et R = 350”, 16 dactyles ou un pied, prouve que l’avant du mutule est à un pied (305,6 mm) de l’aréte du lit de pose : le mutule dépasse d’un pied le nu de la frise. Le chéneau aura la même circonférence, 2320", soit une pièce à 58”. Le rayon devrait être 7047,9 mm; G. Roux Pestime à 7040 (BCH 76 [1952], p. 444). Il y aurait encore maintes propriétés de cette curieuse figure, qui se sont révélées à Théodoros comme à nous au cours de l'étude. On pourrait entre autres vérifier les dimensions de la dalle de plafond reconstituée par Replat, longue hors tout de 112” ou sept pieds, l'intervalle visible d'en dessous étant de 89” ou 1700 mm. Le lecteur curieux pourra refaire les calculs, et constater la permanence de nombres tels que 11 et ses multiples 6. Il nous faut à présent entrer dans la cella par la porte et examiner l’intérieur. (25) À sept millimètres près, le diamètre de la cella entre murs serait 365,25 dactyles (3488 au lieu de 3495 mm), le nombre de jours de l’année. Mais c'est probablement trop beau pour être vrai. (26) Cotes de Pépistyle. — L’épaisseur de l’épistyle, pl. VI, est 795 mm ou 41,66” ou 125/3. Cette dimension se vérifie sur le dessus de l’abaque pl. IV, en haut et à gauche. L’abaque est large de 46,66” ou 140/3. La différence est 5”, soit 2,5” de chaque côté du bloc posé sur l'abaque. Largeur de l’épistyle, à l'avant : 2101 mm ou 110”. Circonférence 2200”. Largeur de l'épistyle, à l'arrière : 1853 mm ou 97”. Circonférence 1940”. Différence entre l'avant et l’arrière : 110 — 97 = 13.

Le seuil et la porte La planche XX de FD fournit les éléments du seuil, bien analysés dans un commentaire détaillé. Les montants de la porte et le linteau n’existent plus, et on doit interroger le seuil de marbre. Haut de 20” (382 mm), il montre une ouverture de la baie de 2186 mm (texte p. 14), soit 114,5”. L’arc de la face antérieure (3330 mm dans le texte, mais 3250 mm dans le dessin) doit étre 170” ou 3247 mm, et la face postérieure rectiligne mesure 2802 mm ou 146” (en théorie 2792 mm). La profondeur du seuil (ibid., p. 15) est la moitié de ce nombre, 1395 mm ou 73”. Les proportions sont simples: 170:146 = 7:6, 170:73 = 7:3. La porte elle-même devrait avoir, comme l’a compris Gottlob, dix fois la hauteur du seuil, 20” + 200” = 220”, la hauteur du linteau au-dessus du dallage. En ajoutant à la portion de l’orthostate qui dépasse le seuil (46”—20” = 26” ou 496,6 mm) la valeur de neuf parpaings pour arriver à la hauteur de la face inférieure du linteau, on obtient 3820—496,6 = 3323,4 mm, ce qui équivaut en effet à neuf parpaings de 368 mm environ. Il restera 13—9, la valeur de 4 parpaings de mur pour atteindre l’architrave. C’est tout ce qu'on peut constater et imaginer; dans ces conditions, les dimensions de la porte : 200” sur 114,5”, donnent un rapport 1,746, c’est-à-dire 1,75 ou 7:4. La cella et les pentagones On ne voit pas expressément dans le plan de l'édifice la figure du pentagone régulier Ps et du pentagone étoilé P¿, mais leur présence est sous-entendue et inévitable, et ils devaient apparaître sur la table à dessin de Théodoros. En effet, le simple choix d’un plan à 20 colonnes à 20 cannelures, à 20 épistyles, à 40 couples triglyphe-métope, etc., suppose le dessin par règle et compas de pentagones à grande échelle sur le stylobate, à petite échelle sur les lits des tambours, etc. Il est expédient que les sommets soient les axes des colonnes, qui commandent tout, et sont les sommets de l’icosagone que nous avons précédemment cherché à calculer (cf. supra p. 301). En plaçant pour une bonne symétrie un des sommets dans l’axe de la porte, sur une dalle intermédiaire entre deux colonnes, le pentagone régulier EFGHJ s'inscrit (fig. 7) en liaison avec un carré dont les angles ABCD se placent sur le cercle extérieur du stylobate. La diagonale de ce carré est connue (tableau p. 301), c'est 707” ou ./50 facteur 100; le côté du carré est 500” exactement car „500° + 500? = 707,10678... Que sera le côté du pentagone Ps? Il est donné par la formule : «pour R= 1, c= 5-4 » ou 1,1755704... Le rayon étant 6280 mm, le produit sera 7382,58 mm. Le côté du pentagone que nous venons de tracer se révèle alors égal au rayon de la Tholos à Peuthyntéria, 7383 mm (Gottlob). Le diamètre est 773”, le rayon 386,5 dactyles (cf. fig. 2). Coles de la frise. — Epaisseur : 859, 5 mm ou 45”. Largeur de la frise (T + M) 1050,5 mm ou 55”, circonférence 2200”. Largeur de la frise (arrière) 916,8 mm ou 48”, circonférence 1920” ou 120 pieds. Différence entre l’avant et l’arrière : 55 — 48 = 7”.

5m Fig. 8. — Le pentagone et les colonnes corinthiennes correctement replacées. Dans ces conditions, il va être intéressant de mener (fig. 8) les droites AB et AC, éléments du pentagone étoilé. On constate alors que ces droites donnent la largeur de la baie à la porte intérieure. La formule pour le côté de Pf est Rx /5+./5 ou 1,902113..., 2 d'où c= 11945 mm, qui font 625 dactyles et quatre dixièmes (625 = 54), en rapport q avec le côté de Ps qui est 386,5”. Achevons la figure (fig. 8). Le procédé classique est le suivant pour la construction des pentagones au moyen du compas : Seit le cercle de rayon 1/2 de centre L, et les deux ares de cercle de centre J tangents au précédent. Ils donnent immédiatement les quatre sommets B C G F de Ps et de Ps. Le cinquième sommet, A, est diamétralement opposé à J. La figure montre :

a) qu’un pentagone renversé et homothète (le rapport d'homothétie est 92) apparaît sont placés sur un cercle au centre du monument, et que ses cing sommets K M N D E délimitant le banc de calcaire bleu qui supporte les colonnes corinthiennes. Gottlob donne le diamètre de ce cercle, qui est 4646 mm ou 243” (= 35); b) que la propriété de la figure est de multiplier les triangles d'or fibonacciens au nombre de 20 (tels ABC ou AFG, dix de chaque espèce), ainsi que 10 sections d’or, comme FDE, FGD, DEG, FEG, etc., auxquelles on en ajoute 10 autres en menant des droites apothémes telles que AL, comme AHL, HKL, etc.; c) que les bases corinthiennes dans leur emplacement proposé par Gottlob, sur des indices malheureusement évanides, sont à des emplacements aberrants, par rapport aux joints des blocs qui les supportent, et qu'elles obéiront à la symétrie sans faille à laquelle l'étude du monument nous a habitués, si nous les adossons au mur dans l’axe des apothèmes, tels KL, des triangles d'or tels que KBC, KNB, BNF, NEF, FEA, DAG, DGM, GMC, MCK. Il y en a neuf, seulement, car le triangle DEA donne l'ouverture de la porte, où une colonne fictive, la dixième, est supprimée. Il ne peut y avoir dix colonnes plus une fictive dans la porte, car l’hendécagone fictif qui règle la place des bases pour Gottlob est banni de notre univers mathématique. À Épidaure, c’est différent (fig. 9) : le bâtiment est plus grand, et il peut y avoir à l'intérieur un anneau complel de 14 colonnes indépendant de la porte, ce qui évite la contrainte qu'imposait le plan réduit du monument delphique; l'anneau intérieur ne pouvait être qu’adossé au mur. On peut être sûr que l'architecte d’Epidaure connaissait la Tholos de Delphes. De cette façon, les colonnes corinthiennes se disposent de façon beaucoup plus satisfaisante pour l'esprit (au moins le nôtre!) en alternance de plan avec les colonnes doriques, par exemple sur la droite KLJ. La porte a fait disparaître deux orthostates et trois des dalles bleues du banc aux colonnes. Il en reste 17 pour les neuf colonnes du décor intérieur. Le rythme 10 est naturellement conservé pour les deux anneaux bleus du dallage qui entourent la dalle blanche centrale. Le rayon du banc porte-colonnes est calculable ; du centre vers l'extérieur, les rayons des pierres sont : 1) dalle blanche centrale R 592 mm = 31” 2) cercle bleu n° 1 R 955 mm = 50” 3) cercle bleu n° 2 R 917 mm = 48" total : 2464 mm = 129”, diamètre 258”. Le rayon total, banc compris, sera 2464 + 1032 = 3496 mm (cote de Gottlob : 3493) ou 183” (diamètre 366”). C’est en effet la mesure relevée en arrière de l’orthostate. La cote 31” se répète de la dalle blanche centrale dans l'épaisseur de l’orthostate, et entre la dalle ronde blanche et le premier cercle bleu nous apercevons le rapport 50:31 ou 100:62, qui est une bonne approximation de 1,618. Est-ce un fait exprès, pour manifester que le nombre d'or est au cœur même de la Tholos et qu'il se propagera jusqu'aux dalles du péristyle où nous l'avons découvert au début de cette étude? Dernière constatation : il n’y a pas beaucoup de place à l’intérieur de la Tholos. Comme le banc a une moulure qui déborde sur le second anneau, le rayon est réduit de 141 mm et on retombe sur le diamètre de 4646 mm ou 243”. La surface accessible (x R?)

Fig. 9. - Tholos d’Epidaure et de Delphes, d'après Grèce classique, p. 351. est 2,323 mètres au carré multiplié par 22/7 ou 16,96 m?, plus l'ouverture de la porte et le seuil 2’, * LE] Un des traits essentiels de la Tholos, qui saute aux yeux à présent que la reconstitution partielle s'offre à la vue, c'est l'existence de trois cercles; celui du siylobale, en bas, et en levant le regard les deux rubans lisses et éclatants que sont l’épistyle sur les colonnes et Parchitrave sur le mur. Ils sont dépourvus d’ornements, au contraire de la frise sculptée, et ils sont continus, alors que la ligne des chapiteaux est interrompue. Le cercle des orthostates, pourtant remarquable, était lui-même interrompu par la porte. Ces trois éléments sont parfaitement symétriques par rapport au centre, et leurs composants sont tous identiques, taillés aux mêmes cotes sur gabarit unique. Ce sont eux par conséquent, mis en vedette, qui vont tout commander. (27) On renoncera sans peine excessive aux neuf statues chryséléphantines «selon toute vraisemblance» imaginées par G. Roux en l'absence de toute trace matérielle, CRAI (1988), p. 294 et 304, sous prétexte que le bâtiment, luxueux, ne peut contenir que des objets de luxe, et que le banc est fait de calcaire bleu sombre. On trouverait pourtant sans difficulté au tv* siècle des bronzes établis sur des calcaires bleu sombre, tels les Arcadiens de l'entrée du sanctuaire, les statues de Sostratos de Sicyone ou de Pélopidas, œuvres de Lysippe. Quant à la Tholos au double chéneau transformée les jours de pluie en une «fontaine monumentale», le spectacle n'aurait pas attiré beaucoup de curieux. Quand il pleut 4 verse au pied du Parnasse, il vaut mieux se mettre à l’abri.

Tout est parti de la considération des deux nombres irrationnels inévitables dans un édifice circulaire, ceux qui expriment le rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre, x, et la diagonale ou plutôt en grec le diamètre, Stáp.erpos ypapuh, du carré, V2. Il valant 22/7, Théodoros est parti de ces deux nombres, avec la moitié de 22, c’est-à-dire 11 et ses multiples, utilisant en cas de besoin un facteur multiplicateur pour obtenir des mesures réelles. En choisissant un diamètre pour l'épistyle de 700”, il obtenait une longueur totale de la circonférence de 700 x 22/7 = 2200”, aisément divisible par 20 pour les épistyles (110%) et par 40 pour les couples Triglyphe + Métope de la grande frise (55”), lesquels se divisaient commodément en M = 33” et T = 22”. Cela pour le grand ordre. Pour le petit ordre, au-dessus du mur, il était naturel de prendre pour le diamètre à hauteur de l’entablement un autre multiple de 7. Le facteur choisi a été 60, donnant entre les deux ordres un rapport simple, d'ailleurs fibonaccien, 3:5. Le diamètre a donc été de 420" et la circonférence de 1320”, divisible en 20 architraves de 66”. Le couple t + m valait donc 33” (M = t + m), partagé suivant le rapport 3:2 en m = 19,8” et t = 13,2”. Ainsi 11,22 et 7 engendrent les cotes en plan jusque dans le détail. Mais pour l’élévation, ce n'est plus le rapport 3:5 qui joue, c'est le nombre d'or, , dont nous avons déjà constaté la domination. Avec au cœur du dispositif les nombres 21, 34, 55, ceux qui plus tard vont dénombrer les gradins du théâtre d’Epidaure, nombres qui étaient à la fois assez petits et tout de même assez précis dans leurs rapports + pour être utilisés commodément, un des nœuds entre les deux systèmes étant 55, multiple de 11 et en même temps pour l’arithméticien somme des 10 premiers entiers. 700 était un nombre, on le voit, plein d'intérêt, car au surplus 7 (car 7 x 7 = 49) est la diagonale (Siáperpoc) rationnelle de 50, selon la République VIII 546 c, tandis que la véritable racine, irralionnelle, de 50 est un peu plus grande. Nous savons, et Théodoros déjà savait, que /50 = 7,07. Avec un facteur 100, il en a fait le diamétre de la Tholos au siylobale (cf. p. 301). Pour le mathématicien moderne, c'est 7,0710678..., avec un 1 à la troisième décimale qui assure que l’erreur est négligeable quand tout ceci est transposé en marbre du Pentélique. Et il est à remarquer que x:,/2 = 2222, la circonférence du stylobate. Avec par conséquent pour outils mathématiques 22 et 7, la diagonale /2et le choix de 20 colonnes qui impose les pentagones et la série dite de Fibonacci, mère du nombre d'or, la considération du pentagone étoilé qui donne les dimensions internes et l’ouverture de la porte, plus la coquetterie de rappeler à l'occasion que tel nombre, essentiel, comme 31 ou 773, est un nombre premier, Théodoros a déduit de fil en aiguille, si je puis dire, plans et élévations, en observant à mesure les propriétés des nombres et des figures et ce qui se dégageait de leur mise en rapport. Pour nous en donner un signe clair, il a matérialisé 9 une première fois au centre même de l'édifice, avec le rapport «blanc-bleu» 31 : 50, de façon encore un peu approchée, puis quarante fois de suite entre les deux segments de rayon au promenoir entre colonnes et mur, de la manière la plus insistante 8. Il ne lui restait plus qu’à rédiger le livre. (28) Théodoros a dû constater que les rapports fractionnaires que nous notons par 5/3, 55/33, 50/31, 31/19,2, 34/21, 55/34, 82,5/51 sont des «réduites» de plus en plus approchées de phi ou 1,618033... Il a utilisé et signalé à l'attention ces nombres dans les dimensions importantes de son ouvrage, à l'entablement pour les deux ordres, au rapport «blanc-bleu » entre la dalle centrale et le premier anneau du dallage (50/31), et entre l’arête du stylobate (blanc) et le toichobate en calcaire bleu (82.5/51). Il est impossible que cela n'ait pas été organisé consciemment.

* LE] Pour conclure, laissons parler les contemporains de Théodoros : «Ce qui juge dans l’äme sans égard à la mesure ne saurait être la même chose que ce qui juge d’après la mesure. Mais la faculté qui s’en rapporte à la mesure et au calcul est bien la meilleure partie de l'âme» (République X 603 a). «Par la beauté des formes, ce que j'entends n’est pas ce que comprendrait le vulgaire, par exemple la beauté des corps vivants ou de leur reproduction par le dessin : je parle des lignes droites et des courbes, des surfaces et des solides qui dérivent de la droite et du cercle à l’aide du compas, de la règle et de l’équerre. Car ces formes ne sont pas, comme d’autres, belles sous certaines conditions, mais belles toujours, en elles-mêmes, par nature, et elles sont une source de plaisirs bien particuliers» (Philèbe 51 c). «Ce qui, à l’origine, poussa les hommes aux premières recherches philosophiques, ce fut, comme aujourd’hui, l’étonnement (Bæuuéteiv) ... Chercher une explication et s'étonner, c'est reconnaître qu’on ignore. Le but proposé à notre entreprise, ce doit être, si je puis dire, un étonnement contraire à celui qui provoque les premières recherches de toute science. Comme nous l’avons remarqué, les sciences ont toujours leur source dans l’étonnement qu'inspirent les choses telles qu’elles sont. Ainsi, aux regards de ceux qui n’en ont point encore examiné la cause, les marionnetles qui se meuvent d'elles-mémes, ou les solstices, ou l’incommensurabilité de la diagonale au côté du carré. Il paraît étonnant à tout le monde qu'une quantité ne puisse être mesurée, même par une mesure très petite. Or ce qu'il nous faut c’est l'étonnement contraire : «le mieux est à la fin», comme dit le proverbe. Ce mieux, dans les objets dont il s’agit, on y arrive par la connaissance; car rien ne causerait plus d'étonnement 4 un géomètre, que si le rapport de la diagonale au côté du carré devenait commensurable». (Aristote, Métaphysique A 982 b-983 a, cité par P. H. Michel, De Pythagore à Euclide, p. 483). APPENDICE : LES MESURES DE LA THoLos D'ÉPIDAURE (fig. 9) On peut appliquer notre méthode à la Tholos d’Epidaure, en considérant les cotes données par G. Roux, Architecture de P Argolide, p. 140 sq. La Tholos, plus grande que celle de Delphes, comporte deux anneaux concentriques de colonnes, avec 26 et 14 colonnes, soit le double de 13 et de 7. Nous avons vu que les polygones réguliers à 7 et 13 còtés ne peuvent étre construits avec la règle et le compas; mais l’architecte a relevé le défi et nous montre les constructions sur le terrain, les approximations étant dans la pratique insensibles. Pour obtenir la dimension du pied et du dactyle, on observe celles de la métope et du triglyphe, qui sont entre eux comme 3 et 2 selon l’habitude de l'époque. On a: T= 478 mm, théoriquement 477,75 M = 716 mm, théoriquement 716,625 1194 mm 1194,375 Total: Le total T + M devant donner un nombre de dactyles divisible par 5 et partageable en 2 et 3, le meilleur nombre est 65, avec T = 26” et M = 39”; la ratio ou nombre-clé est donc 13. Un calcul simple assure un pied de 294 mm et un dactyle de 18,375 mm selon notre systéme métrique.

13 est, entre autres propriétés, premier comme 7, et figure dans la serie de Fibonacci. 65” x 2= 130” sera la distance entre deux axes de colonne, ou la largeur de l'épistyle. Comme il y a 26 colonnes, la circonférence à ce plan sera 130” x 26 = 3380”, ou 130 largeurs de triglyphe. Selon G. Roux, le diamètre à ce plan est de 19,773 mètres, ce qui fait 1076 dactyles (67 pieds et un quart), théoriquement 19,7715. Le rayon est 1076” : 2= 538". Or 2x x 538” = 3380,35”. Hauteur de l’architrave : 699= 38” } Rapport 9:8 ou 38:28. Hauteur de la frise : 785 mm = 42,75” o 2. Rayon du chapiteau dorique : 386 mm = 21”. Hauteur totale sous chéneau : 9564 mm = 520” (13 x 40) ou 32 pieds et demi, ce qui est la moitié de 65, qui est T + M en dactyles. Complément bibliographique. — J'ai volontairement réduit les renvois aux ouvrages d'histoire des sciences, nombreux et souvent répétitifs. Je veux cependant recommander la lecture du livre de G.-Th. Guilbaud, Leçons d’à peu près (1985), où un mathématicien fait avec humour et clarté l’histoire de l’approximation dans les mathématiques. D'autre part, dans la Collection Que Sais-je ? n° 2732 (1993), J.-F. Mattei donne un résumé commode du peu que l'on sait sur Pythagore el les Pythagoriciens, notamment leurs recherches sur les nombres. J'y trouve, p. 70, la table d’Aleméon, sur deux colonnes, des opposés, «principes des êtres», &pyat ai xatà ouorouylav Aeyépeva (Aristote, Mélaphysique A 5, 986 a 23). On a sur deux colonnes, comme je l’ai fait ci-dessus pour la Tholos et le temple en calcaire, les dix couples : 1. Limite 2. Impair 3. Un Illimité Pair Multiple 6. En repos 7. Rectiligne 8. Lumière En mouvement Courbe Obscurité 4. Droite Gauche 9. Bien Mal 5. Mâle Femelle 10. Carré Oblong. Le jeu rappelle le yin:yang chinois et ses développements. Je ne veux pas dire que les architectes de Marmaria aient consciemment imité le procédé, qui est d’ailleurs à la portée d'une tête bien faite; cette façon d’opposer deux par deux des caractéristiques d'objets ou de concepts devait être familière à des hommes de ce temps.