La inconmensurabilidad y el problema de la constitucion de la materia en la teoria pitagorica

LA INCONMENSURABILIDAD Y EL PROBLEMA DE LA CONSTITUCION DE LA MATERIA EN LA TEORIA PITAGORICA Isidoro Muñoz Valle _ ES \ | MUNOZ VRuE SP tae El teorema de Pitágoras provocó el descubrimiento de la incenmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con sus lados. Este descrubrimiento constituyó un rudo golpe para los primeros pitagérices, que creían que «las cosas son números enteros ». (E.d., creían que las figuras geométricas se identificaban con números enteros, y, en último término, también el mundo físico). Ahora resultaba que el fundamento para la construcción de un triángulo rectángulo no puede encontrarse en ninguna proporción entre números enteros. La fecha del descubrimiento de los irracionales ha sido muy discutida. Es enterior sin duda a Platón (1). Según van der Weerden (2), el descubrimiento de la irracionalidad del 2 fue obra de la escuela pitagórica a mediados del s. V, partiendo de su teoría de los números pares e impares. (Como indica Aristóteles (3), si la diagonal fuese commensurable, el mismo número tendría que ser impar y par). Qué actitud adoptan los pitagóricos ante ese descubrimiento? Recurrieron a la llamada «teoría del flujo ». En la primera etapa pitagórica, antes de sufrir los embates de Zenón. su creencia era que las unidades aritméticas son puntos extenses. Se identifica la unidad aritmética y el punto geométrico. La unidad (4) genera los demás números. Dada la identidad entre los números y las figuras geométricas, «el 1 es el punto, el 2 la linea cl 3 el triángulo y el 4 la pirámides (5). Siel 1 es un punto y los «demás números son engendrados por él, los demás números son puntos. La linea, por tanto (que equivale al dos). está constitufda por dos puntos extensos y discretos, colocados uno juntoal otro. El 3 se identifica con el triángulo (3 puntos), la figura plana más simple, y cl 4 con la pirámide o tetraedro (4 puntos), que cs el sólido más simple. Como resulta que las figuras geométricas tienen existencia real (6), Ta conclusión es que las magnitudes (la (1) Teeteto 147 d, en que se indica que el problema cra ya conocido anteriormente. (2) «Die Arithmetik der Pythagorcer», Mathematische Annalen, 1948, Pp. 152-3. Sobre este punto vease la obra de K von Fritz Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, Berlin 1971; « Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont», pp. 5455s. (3) Analyt. Prior. 41 a 26. (4) Cf. Alejandro de Afrodisia, Metaph. 512, 37. (5) Espeusipo en Theolog. Arith., p. 84, 10, ed. De Falco; DA 44 A 13. Esta tratado se atribuye a Jámblico y se supone que se basa en Nicómaco de Gerasa, que escribe hacia el a. 100 dl. C. su Introd. a la Aritm. Pero el autor indica expresamente que el pasaje citado remonta a Espensipo. el sobrino de Platén su sucesor en la dirección de la Academia, que había escrito una obra Sobre os Números Pitagóricos. Espeusipo afirma en dicho pasaje que el número diez, además de las relaciones básicas musicales, contiene también las fórmulas de la línea, de la superficie y del sólido; pues el 1 es un punto, cl dos una línca, el 3 un triángulo y cl 4 una pirámide. Poco después dice que el punto es el primer principio respecto a la magnitud; la Jínea, el segundo; la superficie, el tercero; y el sólido, el cuarto. En el mismo pasaje se indica que su obra Sobre los Números Pitagóricos se inspira sobre todo en Filolao (Theol, Arith 82, 10, cd. Falco) de quien hablaremos más adelante. (6) Cf. Aristóteles, Metaph. 1090 b 5. La prueba más palmaria de que tienen existencia real es ci tetracdro (compuesto de 4 unidades-puntos-4temos), el sólido geométrico más simple, que ya es de por sf un cuerpo fisico. La inconmensurabilidad y el problema

materia física) están formadas por la yuxtaposición de puntos discretos, puntos que son a la vez extensos. Para los pitagóricos, la generación de los números y la de los elementos de la geometría y la del universo físico es una y la misma: todo procede de la primera unidad-germen (7); la cuincidencia entre la primera unidad y el germen que origina el cosmos se indica expresamente en Teón de Esmirna (8). Pues bien, esta concepción de las figuras geométricas (y de la materia física) como formadas por números enteros sufrió un primer ataque al descubrirse la inconmensurabilidad, según queda «dicho: ninguna proporción entre números enteros puede ser la base para la construcción de un triángulo rectángulo. Por otra parte, las críticas de Zenón iban dirigidas contra esa visión de las magnitudes constituídas por puntos discretos y a la vez extensos. La solución a estas objeciones se buscó en la «teoria del flujo ». Pero antes ya salieron al paso a dichas ubjeciones Filolao y Eurito de Tarento, dos pitagóricos contemporáneos de Demócrito (9). Según Kirk-Raven (10), en un pasaje de la Metafísica de Aristóteles (11), se contiene ya una nueva teoría de la constitución de las figuras geométricas (y de la materia): la línea no está formada por dos puntos extensos y yuxtapuestos; la línea es una extensión de magnitud continua; lo que hacen esos dos puntos es limitarla, es decir, los puntos no constituyen la línea sino que son suslímites (la línea está formada por la continuidad, por lo «ilimitado »). Esta concepción de los puntos como limites aparece asignada a Eurito por Aristóteles en otro pasaje de la Metafísica (12). + (7) Cf. Aristóteles, Metaph. 1091 a 12; Phys. 213 b 22; Alejandro de Afro, disia, citado en nota 4. (8) Al hablar de la sexta telraktys 97, 17 ed. Hiller. Recoge once fetraktys, tomadas todas probablemente de un autor pitagérico (si se exceptúa la segunda, a propósito de la cual alude expresamente al Timeo de Platón). Dice Teón que la «sexta tetraktys corresponde a los seres que reciben la existencia por generación. El esperma es semejante a la mónada y al punto; su aumento en longitud se asemeja a la díada y a la línea; cl aumento en anchura, a la tríada y a la superficie; el aumento en grosor, a la tétrada y al sólido o. Así pues, el mismo proceso da origen a los números, a las figuras geométricas y a los seres del mundo físico. (9) D. La., IX 38. Ambos fueron macstros de toda una generación de seguidores del pitagorismo (D. La., VIII 46). Cebes, el personaje del Fedón (61 e), se contó entre los oyentes de Filolao. Sobro los problemas de la obra y los « fragmentos» de Filolao, cf. J. E. Raven, Pythagoreans and Eleatics, Cambridge 1948, p. 94 ss.; Kirk-Raven, Los Filôs. Presocr., tr. esp., Madrid 1969, pp. 429 ss.; Guthrie, A History of Greek Philos., Cambridge 1962, I, pp. 329 ss. (10) O. c., pp. 441 ss. Esta hipótesis ya aparece formulada en Raven, Pythag. and El., p. 109. Es ahí donde afirma que para refutar las objeciones de Zenón, Filolao y Eurito elaboraron la nueva teoría que aquí exponemos, teoría anterior a la del a flujo », que, según Raven, se ha de fechar por la época de los pitagóricos contemporáneos de los discípulos de Platón que la acogieron. Guthrie (o. c., I, p. 264) se limita a exponer la hipótesis de Raven sobre la teoría de Filolao y Eurio sin hacerla propria ni rechazarla. En cambio, cree que la « teoría del flujo » que exponemos a continuación, es propia de la Acaemia, posiblemente de Jenócrates. Como otras doctrinas platonianas fue atribuída a los pitagóricos por autores tardíos que apenas distinguieron entre la escuela de Platón y la de Pitágoras. De hecho hay gran influjo pitagórico en Platón y sus seguidores. Pero, de todos modos, Aristóteles cuando habla de la « teoría del flujo » (De An. 409 a 3), lejos de presentarla como [js ct da a entender que es propria de Jenócrates y sus compañeros de la Academia. Sobre este punto volveremos más adelante. (11) Afetaph. 1036 b 8. Los partidarios de la teoría que expone aquí Aristóteles son los pitagóricos, según indica Alejandro de Afrodisia (cf. Kirk-Raven, 0.C., P. 441). » # | (e Metaph. 1091 b 8, en que se expone una de las teorías propuestas para : explicar como los números son la causa de las substancias y del ser. A conti- ' nuación se expone la de Eurito: los números se conciben como .límites, a la manera como los puntos límites de magnitudes. Isidoro Muñoz Valle

Se cuenta (13) que Kurita utilizaba guijarros para delinear la forma externa de nn hombre, un caballo, una plauta. La explicación que parece más adecuada (24) es que con los guijarros delimitaba las superticies peculiares del hombre, p. ej.. y contaba después el número de puntos que limitaban esas superficies (ed, el número de guijarros). Asi como el tetraedro podía ser representado por el número 4 (que es el aúlmero de puntos que delimitan sus superficies), de la misma manera el hombre o el caballo podía ser representado por el número de puntos (guijarros) necesarios para limitar las superficies que comprendían su dibujo (250 para el dibujo del hombre en la suposición que recoge Alejandro de Afrodisia) (151. Así la esencia del objeto dibujado, expresada en sus términos más generales, consistía en el número de puntos limitadores. Con esta nueva concepción de los puntos como límite de las superficies la generación pitagórica de la época de Filolao y Eurito trató de responder a las objeciones de Zenón (16). Como queda dicho en líneas precedentes, la « teoría del flujo » es un paso más allä de la « teoría de los puntos-límite » en el propósito de responder a las objeciones de Zenón y de resolver el problema de las magnitudes inconmensurables (17). En la más antigua doctrina pitagórica los números, las figuras geométricas y los cuerpos físicos se generaban a partir de una progresión aritmética. La nueva doctrina propone una progresión geométrica. Ya no se trata de la generación de la línea, el triángulo y la pirámide (1, 2, 3, 4), sino de la generación de la línea, el cuadrado y el cubo (1, 2, 4, 8). Aristoteles menciona esta innovación en el libro primero del tratado Sobre el alma (18), entre las diversas teorías sobre la naturaleza del alma. "En este caso se define el alma como « un número que se mueve a sí mismo », definición que rechaza el filósofo. Los principios básicos de esta teoría, según Aristóteles son: «el punto es una unidad dotada de posición. EI punto en movimiento forma una línea; la línea en movimiento forma una superficie ». Como hemos indicado en la nota Io de este trabajo, Aristóteles no cita el nombre del propugnador de estas ideas, aunque hay motivos para creer que se refiere a Jenócrates, cl discípulo de Platón (19). EI filósofo escéplico Sexto Empírico, a fines dels. Il d.C., en su tratado Adv. Math. (20), expone también la «teoría del flujo », advirtiendo que es posterior a la de los puntos constitutivos de las figuras geométricas. Afirma con toda (13) Aristóteles, Afetaph., Loc. en la n. 12: Alejandro de Afrodisia, Metaph. 827, 9; Teofrasto, DK 45, 2. (14) Kirk-Raven, o. c., p. 440 $5. (15) O.c.; Lc. en la nota 13. (16) Por otra parte los pitagóricos postparmenfdeos ya no conceptuaron la unidad como impar sino que, segun cllos, participa de la naturaleza de lo impar y de lo par (si se añade a un número par lo hace impar; si se añade a uno impar lo hace par), como indica Teón de Esmirna, p. 21, 20 ed. Hiller. Ahora la unidad no se identifica ya con el Limite, sino que participa de la naturaleza del Limite y de lo Himitado. No se sigue considerando a la primera unidad como punto de partida de la cosmogonía en el sentido da que deba su nacimiento a la «inhalación » de vacío desde lo limitado (Estobeo, Ant. I 18, ı c; Aristóteles, Phys. 213 b 22) y de que el Ser se desarrolla cada vez más a partir del vacío. Los pitagóricos postparmenfdeos replican así a la objeción de Parménides (fr. 8; Simplicio, Phys. 145, 6-13) que rechazaba el concepto del vacío y la posibilidad de que de lo no-ente nazca algo. (17) Conford (Plato and Parmenides, Londres, 1950, reimpr., p. 12), supone que la « teoría del flujo» nació del intento de refutar las objeciones de Zenón y resolver las dificultades creadas por el descubrimiento de los irracionales. Sobre otras opiniones al respecto, ci. Guthrie, o. c., I, p. 265, n. I. (18) 409 a 3. . . (19) Plutarco (Procr. An. 1012 D) y Andronico de Rodas (citado por Temistio en De An. p. 59, 8) nos informan de que la doctrina que definía elalma como «un número que se mueve a sí mismo » era propia de Jenécrates. La inconmensurabilidad y el problema

claridad que es propia igualmente de los pilagoricos, (atrimacion que repite Proclo) (21) pero, según Guthrie, nada puede concluirse sobre seguro (22 Sexto Empirico escribe. «algunos dicen que el cuerpo se compone a partir de un punto. En electo, este punto fluyendo produce una línea; la línea fluyendo produce un planeo; y éste moviéndose en profundidad engendra el cuerpo tridimensional» Proclo (23) expone juntas ambas teorías (la que define la linca «como la iiuxión de un puntos y la precedente), advirtiendo que considera la que deriva del punto la linca, el triángulo y la pirámide como e ini» pitagórica » Como queda dicho (24), Cornford y Raven (25) suponen que la doctrina de la progresión geométrica, que «todo lo construye a partir de un solo punto », en frase de Sexto Empirico (26), fue elaborada por los pitagóricos postparmenidcos con el propósito de modificar, y salvar asi, las tradiciones de la escuela ante los intentos demoledores de Jos eleäticos; la línea (y por tanto Jos cuerpos físicos) ya no estaba formada por yuxtaposición de puntos discretes y además dotados de magnitud; por tanto las objeciones de Zenón carecían de sentido. Por otra parte, si el descubrimiento de la inconmessurabilidad había demostrado que las figuras geométricas no se identificaban con números enteros, la nueva teoria acusando el impacto, replicaba que las figuras geométricas no estaban formadas por una sucesión de números enteros sino a partir de un solo punto que, fluyendo, daba origen a todas ellas y, en virtud del mismo proceso, al mundo físico. Isinoro Muñoz VALLE Universidad de Valladolid > (21) le Eucl., P- 97, vl. Kriedländer. (22) La opinión al respecto de Guthrie queda expuesta en la nota 10. (23) Texto citado en la dati 21 de este trabajo. (24) Cf. nota 10. (25) Pythagoreans und Elvativs. citada, p. 109. (26) Ado. Math. as N 281. Muñoz VALLE L, La incommensurabilidad y el problema de la constitución de la materia en la teoria pitagérica: Humanitas XX VII-XXVIII 1975-1976 17-22. | Pour les premiers Pythagoriclens, les figures giométriques étaient formées de nombres enticrs. La découverte de l’incommensurabilité de iu diagonale d'un carré avec ses côtés ayant montré qu’ll n’était pas possible d'identifier l’unité arithmétique avec ic point géométrique, on recourut à la theorie du flux. Selon cette théorle, les figures géométriques viennent, non d'une progression arithmétique, mais d'une progression géométrique. La ligne n'est plus formée d'une succession de points, mais d'un point d'où peuvent découler tout aussi blen, selon le même procsssus, les autresfigures géométriques et tout le monde physique. — Id.: Mata XXVIII 1976 223-226. | Cf. l'article précédent. ES] ly laz Isidoro Muñoz Valle