Pythagoras und die Pythagoraer. Geometrie

Inhaltsverzeichniss. — Seite Einleitung .......................... I Aegypter. . . oo 1. Kapitel. Die Aegypter. Arithmetisches 2. Kapitel. Die Aegypter. Geometrisches U. Babylonier . LL... n. _ 8, Kapitel. Die Babylonier: 2 . . . . . . . our . . . .. UIt Griechen 2... ...........,........ 4, Kapitel. Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnien. Rechenbrett 5. Kapitel. Thales und die älteste griechische Geometrie . . . 6. Kapitel. Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik , . . 7. Kapitel, Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie 8. Kapitel. Mathematiker ausserhalb der pytbagoräischen Schule 9. Kapitel. Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. Hippokrates von Chios . . . . .. . . . . . . . .. Fur 10, Kapitel. Platon 2... . . . en 11, Kapitel. Die Akademie. Aristoteles . . . , , . . , . . . 12. Kapitel, Alexandria, Die Elemente des Euklid crues 18, Kapitel. Die übrigen Schriften des Euklid . . ,°. , , .. 14. Kapitel. Archimedes und seine geometrischen Leistungen © 15. Kapitel. Die übrigen Leistungen des Archimedes . , . . . ‚ 16. Kapitel. Eratosthenes. Apollonius von Pergù, Loe 17. Kapitel. Die Epigonen der grossen Mathematiker . , . . . 18. Kapitel, Heron von Alexandria . . . . . , .. ee 19, Kapitel. Heron von Alexandria (Fortsetzung) . . . . . . , 20. Kapitel.: Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus , . 1—16 17—72 19 52 73—104 76 105—482 "107 124 137 175 oma 24, Kapitel, IV. Römer 25, Kapitel. 26. Kapitel. mensoren Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. . eee eee eee eee Aelteste Rechenkunst und Feldmessung . . . . . Die Blüthezeit der römischen Geometrie. Die Agri- ......... bios 188 mms —, 64 Le 5 201 222 244 263 280 295 312 333 347 0607 361° 378 21. Kapitel. Neupythagoräische Arithmetiker. Nikomachus. Theon 22. Kapitel. Sextus’ Julius Africanus. Pappus von Alexandria 23. Kapitel. Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria . . 1869 409 427 457 483— 552 485 boo) rennen 27. Kapitel, Die spätere mathematische Literatur der Römer . Vv. Inder 2.2.2 onen. 28, Kapitel. Finleitendes, Elementare Rechenkunst nn 29. Kapitel. Höhere Rechenkunst, Algebra 80. Kapitel Geometrie und Trigonometrie IN GESCmicne DER ANTACMAT e €

O + 1 = 1 nicht beachten will Geometrie. - 159 Aber der Grieche jener alten Zeit konnte diese Ueberlegung nicht anstellen, konnte, wenn sie ihm möglich gewesen wäre, die zweite Gleichung nicht denken. auf den Zahlenbegriff der Griechen noch zurück. Wir kommen Gegenwärtig wissen wir nur, dass die Null, für welche sie kein Zeichen hatten, ihnen auch keine Zahl einen der schon war. Wir sind darüber genannten Arithmetiker auf’s Deutlichste unterrichtet. durch Nikomachus sagt uns, jede Zahl sei die halbe Summe der zu beiden Seiten gleich weit von ihr abstehenden Zahlen; nur die Einheit bilde eine Ausnahme, weil sie keine zwei Nachbarzahlen besitze; sie sei darum die Hälfte der einen unmittelbar benachbarten Zahl?). So mussten .die Zahlen 9, 16, 25 und mit ihnen die Zahlen 3, 4, 5, deren Quadrate sie waren, welche ihre Ordnungszahlen in der Reihe der Quadratzahlen bildeten, sein, um so empfohlen schon anderweitig dringender bekannt waren. als mit der Aufmerksamkeit sein, wenn merkwürdigen Dass dem so war, darüber zu vergewissern suchen. empfohlen dieselben Zahlen Eigenschaften versehen müssen wir uns jetzt | | 7. Kapitel. Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie. Wir sind an dem Punkte angelangt, wo wir die nur im Bilde geometrische Arithmetik der Pythagoräer Geometrie in Verbindung treten sehen. auf diesem Gebiete abzusuchen, was mit ihrer eigentlichen Wir haben demgemäss auch unmittelbare oder mittelbare Ueberlieferung dem Pythagoras und seiner Schule zuweist. Zunächst können wir eine ganze Kenntnissen zusammenfassen unter Anlegung der Flächen. dem Gruppe von geometrischen gemeinsamen „Alterthümlich, so sagen Namen die der Schüler des Eudemus, und Erfindungen der pythagoräischen Muse sind diese Sätze, die Anlegung der Flächen, ihr Ueberschiessen, ihr Zurückbleiben,“ 7 ve mxgapody av Yogiav xai y Vrspfody xal y EAAsıyıg?). So lautet der erläuternde Bericht des Proklus zu der euklidischen Aufgabe an einer gegebenen Graden unter gegebenem Winkel ein Parallelogramm zu entwerfen, welches einem gegebenen Dreieck gleich sei. Desselben Wortes &AAsınsıv bei Anlegung von Flächen bedient sich Platon in seinem Menon”), und Plutarch lässt an einer Stelle ) Nicomachus, Eisagog. arithm. I, 8 (ed. Hoche), pag. 14. lus (ed. Friedlein) 419. *) Platon, Menon pag. 87. *) Prok-

das Anlegen von Flächen, zagaß«4Asıv tov yootov, von Pythagoras selbst herstammen’), während er an einer anderen Stelle sich folgendermassen ausdrückt: „Eines der geometrischsten Theoreme oder vielmehr Probleme ist das, zu zwei gegebenen Figuren eine dritte anzulegen — xagafalieu —, die der einen gleich und der anderen ähnlich ist. Pythagoras soll, als er die Lösung gefunden, ein Opfer gebracht haben. Und wirklich ist es auch feiner und wissenschaftlicher als das, dass das Quadrat der Hypotenuse Katheten gleich ist“?). Ueber die denen der beiden genauere Bedeutung der drei Wörter Parabel, Ellipse, Hyperbel bei Flächenanlegungen werden wir bei Besprechung der euklidischen Geometrie im 13. Kapitel zu reden haben. Für's Erste genügt die allgemeine aus den angeführten Stellen leicht zu schöpfende Ueberzeugung, dass es um die Zeichnung von Figuren gegebener Art und gegebener Grösse handelt. sich Solche Zeichnung ist aber unmöglich, wofern man nicht mit den, Haupteigenschaften der Parallellinien und ihrer Transversalen, mit den hauptsächlichen Winkelsätzen der Planimetrie vertraut ist, wofern man nicht die Auffindung von Flächeninhalten, deren Abhängigkeit von den die betreffende Figur bildenden Seiten in richtiger Weise kennt. In der ersteren Beziehung sind wir wieder in der günstigen Lage, unsere Behauptung bestätigen zu können. Die Pythagoräer verwandten die Parallellinien zum Beweise des Satzes von der Winkelsumme des Dreiecks. Wir sahen (8. 132), dass die thaletische Zeit, vielleicht Thales selbst, den Satz von der Winkelsumme in dreifacher Abstufung an dem gleichseitigen, an dem gleichschenkligen, an dem unregelmässigen Dreiecke behandelte. Eudemus lässt durch die Pythagoräer den Satz für jedes beliebige Dreieck so bewiesen werden, dass durch die Spitze des Dreiecks die Parallele zur Grundlinie gezogen und daraus die Gleichheit der Winkel an der Grundlinie mit ihren an jener Parallelen hervortretenden Wechselwinkeln gefolgert wurde. Einer jener Wechselwinkel wurde sodann mit dem ursprünglichen Dreieckswinkel an der Spitze zu einem einzigen Winkel vereinigt, welcher selbst wieder den anderen Wechselwinkel als Nebenwinkel besass und mit ihm zusammen zwei Rechte ergab*). ' | Aus dieser Darstellung zeigt sich so recht deutlich an einem besonders merkwiirdigen, in der Stufenfolge der Beweisfiihrungen uns gliicklich erhaltenen Beispiele, wie die Wissenschaft der Geometrie 1) Plutarch, Non posse suaviter vivi secundum Epicur. cap. 11. tarch, Conviviwm VIII, cap. 4. °) Proklus (ed. Friedlein) 879.

Geometrie. sich entwickelte. Von dem Zerlegen des Satzes in drei Fälle stieg man auf zur Behandlung des allgemeinen Falls, aber in diesem Aufwärtsstreben hielt man wieder ein. dem Ausspruche, die besässen als Winkel, haben, und die Man erhob sich noch nicht zu drei Winkel an die je einfach einen der früheren Dreiecksspitze Schenkel gemeinsam für zweie auftretenden äussersten Schenkel zu einer und derselben Geraden sich verlängern lassen, die Winkelsumme von zwei Rechten. Man mysste vielmehr neuen, diesen alsdann mit dem erst zwei Winkel dritten verbinden. zu einem Freilich ist der letzterwähnte Fortschritt, den man noch nicht wagte, nach unserem Gefühle, auch wohl nach dem Gefühle des Proklus, welcher wenigstens von dessen Urheber uns nichts sagt, ein weit geringerer, als der, den man wirklich vollzog, und wir erkennen hier bewundernd den „höheren Gesichtspunkt, von welchem aus Pythagoras, dem Mathematikerverzeichnisse (S. 137) zufolge, die Grundlage unserer Wissenschaft betrachtete“, Wir haben auch die Nothwendigkeit betont, den Flächeninhalt einer Figur aus den dieselbe bildenden Seiten in richtiger Weise finden zu können. Unseren mathematischen Lesern dürfte diese -Betonung überflüssig erscheinen, aber sie ist es nicht so ganz. Bei einem Volke von überwiegend geometrischer Begabung, wie es unstreitig das griechische war, konnte noch um das Jahr 400 v. Chr. also zur Zeit Platons, einer der geistreichsten, tiefsten Geschichtsschreiber aller Jahrhunderte, konnte noch ein Thukydides so wenig Bescheid wissen, dass er Inhalt und Umfang als proportional dachte, dass er in Folge dessen die Fläche der Insel nach der zum Umfahren nöthigen Zeit abschiitzte!). Diese Unkenntniss auch hochgebildeter Laien in einem so theoretisch einfachen, praktisch so wichtigen Kapitel der Planimetrie lässt sich dann weiter und weiter verfolgen. Um 130 v. Chr. erzählt Polybius, dass es Leute gebe, begreifen könnten, gleicher Umwallungslänge dass Lager bei schiedenes Fassungsvermögen besitzen*). die nicht ver- Quintilian, der römische Schriftsteller über Beredtsamkeit in der zweiten Hälfte des ersten nachchristlichen Jahrhunderts, gibt als dem Laien leicht aufzudrängenden Trugschluss Inhalt beweise*). den an, dass gleicher Umfang Vielleicht hatte Quintilian bei seinen Zeitgenossen Plinius im Auge, auch gleichen diesem Vorwurfe welcher die Grössenverhältnisse der Erdtheile durch Addiren ihrer Länge zu ihrer Breite ver- 1) Thukydides VI, 1 Hultsch), pag. 686. (ed. Rothe), pag. 95. ? Polybius IX, 21 (ed. °) Quintilianus, Institutio oratoria I, 10, 39 figg. (ed. Halm) pag. 62. CANTOR, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl.

glich*). Proklus erzählt mit offenbarer Beziehung auf Vorkommnisse seiner Zeit, also des V. S., dass Manche schon bei der Theilung von Flächen ihre Gesellschafter über’s Ohr gehauen haben, indem sie eine grössere Fläche mit Bezugnahme auf die Gleichheit des Umfanges für sich beanspruchten”). Steuerbeamte in Palästina liessen sich gleichfalls um das V. 8. in solcher Weise täuschen, indem sie einem Gemeindevorsteher, welchem als Steuer der Ertrag einer mit Weizen zu besäenden Fläche von 40 Ellen im Quadrat auferlegt war, verwilligten, er könne in zwei Abtheilungen jedesmal eine Fläche von 20 Ellen im Quadrat besäen, in der Meinung, dann sei er seiner Verpflichtung nachgekommen?), und ganz Aehnliches wird von einem Araber des X. $. erzählt‘). absichtlich durch einen durch verfolgt, Wir haben diese fehlerhafte Auffassung längeren Zeitraum und durch Völker hinwelche einer Stetigkeit der Geistesrichtung als Beispiel dienen können, denn das mathematische, in Sonderheit das geometrische Denken der Römer, der späteren Juden, der Araber war nicht anders als griechisch. Wir haben sie verfolgt, um uns über einen allgemeinen geschichtlichen Lehrsatz klar zu werden, dem wir eine nicht geringe Tragweite besonders bei geschichtlich vergleichenden Forschungen beilegen. Die Unwissenheit, so lautet unser Satz, und das noch schlimmere falsche Wissen sind erblich Was an unrichtigen Ergebnissen einmal gewonnen ist, das wird so leicht nicht zerstört, das wird mit um so grösserer Zähigkeit festgehalten, je mehr es unverstanden ist. Nur die Menge der Unwissenden und Halbwissenden wechselt, und in ihrer Beschränkung liegt das, was man Fortschritt der Durchschnittsbildung nennt. Der Flächenanlegung nahe verwandt und mit ihr den Pythagoräern eigen ist die Lehre von den regelmässigen Vielflächnern, angedeutet in den Worten des Mathematikerverzeichnisses: „Pythagoras ist es auch, der die Construction der kosmischen Körper erfand.“ Der Name der kosmischen Körper bedarf der Erklärung. Wie Aristoteles uns berichtet, war Empedokles von Agrigent in Sicilien, ein Philosoph, der um 440, jedenfalls später als Pythagoras lebte, der erste, der vier Elemente, Erde, Wasser, Luft und Feuer, annahm, aus denen alles zusammengesetzt sei). Vitruvius und andere Gewährsmänner wollen, Pythagoras habe schon vorher das Gleiche 1) Detlefsen, Die Maasse der Erdtheile nach Plinius. Programm des Glückstädter Gymnasiums für 1883. S. 6-7 mit Berufung auf Plinius, Histor. natur. VI, 208. ?) Proklus (ed Friedlein), pag. 237. *) Jerusalem. Talmud Sota 20a nach Zuckermann, das Mathematische im Talmud. Breslau, 1878, S, 43, Note 58. *) Dieterici, Die Proprädeutik der Araber im X, Jahrhundert, 5) Aristoteles, Metaphys I, 4.

ausgesprochen'). Geometrie. 163 Wir haben eine Wahl zwischen beiden Meinungen hier nicht zu treffen. Jedenfalls übernahm Timäus von Lokri aus der einen oder anderen Quelle die Lehre, wie der nach ihm benannte platonische Dialog erkennen lässt. Timäus erläutert die Entstehung der Welt, setzt das Vorhandensein der vier Grundstoffe auseinander, gibt denselben besondere Gestalten?). Das Feuer trete als Tetraeder auf, die Luft bestehe aus Oktaedern, das Wasser aus Ikosaedern, die Erde aus Würfeln, und da noch eine fünfte Gestaltung möglich war, so habe Gott diese, das Pentagondodekaeder benutzt, um als Umriss des Weltganzen zu sprechend dienen’). Diese kosmische Körper als fünf Körper heissen dem entzum Kosmos in nothwendiger den atomistischen Beziehung stehend. Die Geschichte der Mathematik entnimmt Versuchen jener ältesten Lehren dieser Art die wichtige Wahrheit, dass Timäus die fünf regelmässigen Körper kannte Ob er ahnte, dass es wirklich keinen sechsten regelmässigen Körper gebe, ob er ohne auch nur die Frage nach einem solchen zu erheben sich mit Verwerthung der nun einmal bekannten Körperformen begnügte, wissen wir nicht. Wahrscheinlicher däucht uns das letztere, und nun gar einen Beweis der Unmöglichkeit eines sechsten regelmässigen Körpers in so früher Zeit anzunehmen, würden wir auf's Entschiedenste Schwierigkeit diejenigen Kenntnisse, welche wir als Timäus geläufig bezeichneten, ablehnen müssen. Dagegen hat es keine d. h. die Gestalt der fünf regelmässigen Körper bis in jene Zeit, auch wohl darüber hinaus zu verfolgen*). Körper wie der Würfel, das Tetraeder, welches nichts anderes als eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, das Octaeder, welches eine Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche ist, müssen noch weit über das Zeitalter des Pythagoras zurück sich als den Aegyptern bekannt vermuthen lassen. Wer bei ihnen Jahre lang verweilte, ja wer nur kurze Zeit die Baudenkmäler ihres Landes in Augenschein nahm, dem ist die Kenntniss auch jener Körper mit Nothwendigkeit zuzusprechen, und dass die Pythagoräer kein Bedenken trugen, was ihr Lehrer wusste, als seine Erfindung zu verehren, wurde schon erwähnt. Auch das Ikosaeder und nicht minder das Dodekaeder muss wohl oder übel den Pythagoräern bekannt gewesen sein. Sonst könnte mn 1) Vergl. Chaignet II, 164 figg. *) Vergl. Th. H. Martin, Études sur le Timée de Platon I, 145 figg. und II, 234— 250. nimmt an, °) Zeller I, 350, Anmerkung 1 das Dodekaeder sei nicht die Gestalt des Weltganzen, sondern des Aetheratoms, d. h. äusseren Schichten. des kleinsten Theiles der das Weltganze umgebenden “) Das hier Folgende wesentlich nach Bretschneider $. 86

. nicht Philolaus schon von den fünf Körpern in der Kugel reden!), sonst wiirde nicht das alte Mathematikerverzeichniss nebst anderen übereinstimmenden Berichten*) so deutlich sämmtliche kosmische oder regelmässige Körper als pythagoräisch bezeichnen. Möglicherweise haben wir den Verlauf der Entdeckung jener Körper so zu denken, dass man zuerst nur von Würfel, dann das Ikosaeder, Tetraeder, Oktaeder wusste, zuletzt erst, wenn Timäus, das Dodekaeder hinzutrat. auch jedenfalls noch dass vor Mit dieser Annahme würde die Schwierigkeit sich lösen, dass die ursprünglich jedenfalls in Vierzahl angenommenen Grundstoffe mit den fünf Körpern nur sehr künstlich in Verbindung zu bringen sind. Körper sich mit vier gepaart Elementen haben, und Es würden nämlich durch zunächst vier einen naturgemässen zu dem nachträglich Gedanken gefundenen fünften Körpergvürde dann eine kosmische Bedeutung erst gesucht worden sein. Mit dieser Annahme würde auch die Erzählung des Jamblichus*) sich decken, dass Hippasus, ein Pythagoräer, der das Pentagondodekaeder der Kugel zuerst einschrieb und veröffentlichte, dieser Gottlosigkeit im Meer umgekommen sei. wegen Er habe den Ruhm der Entdeckung davongetragen, „aber es sei das Eigenthum JENES, so bezeichnen sie nämlich den Pythagoras und nennen ihn nicht bei Namen“. Man würde vielleicht eine grössere wortung dieser Fragen erlangen, wenn Sicherheit in der Beantman Alter und Herkunft eines noch vorhandenen Bronzedodekaeders zu bestimmen im Stande wäre). Mit den Angaben über die fünf Körper im engsten Zusammenhange stehen die über die Kugel, in welche jene beschrieben gedacht sind, und welche demzufolge nebst einigen ihrer Eigenschaften gleichfalls den Pythagoräern bekannt gewesen sein muss. In demselben Zusammenhange erscheinen Angaben, welche sich auf die Grenzflächen jener Körper, auf die regelmässigen Vielecke, als Dreiecke, Vierecke, Fünfecke beziehen, und denen wir uns nunmehr zuzuwenden haben. Wir kehren damit zur Flächenanlegung zurück, deren Verwandtschaft zur Lehre von den Vielflächnern wir oben zunächt unerwiesen behauptet haben. Platon lässt seinen Timäus über die Entstehung der regelmässigen Vierecke sich aussprechen. Er sagt, 1) Boeck, Wyttenbach, 8) Jamblichus, Philolaus fragm. 21, diese 8. 160. Ausgabe von Platon’s Phädon. Vita Pythagorica 88. Dreiecke Figuren und setzten ihre Chaignet I, 248. *) Vergl. Leiden, 1810, pag. 304—307. *) Vergl. verschiedene Notizen von Graf Leopold Hugo in den Comptes Rendus der pariser Akademie der Wissenschaften. Bd. LXXVII

Fläche immer aus rechtwinkligen Geometrie. Dreiecken 165 zusammen, und zwar entweder aus solchen, welche zugleich gleichschenklig sind, oder aus solchen, deren spitze Winkel, der Eine einem Drittheil, der Andere zwei Drittheilen gleich sind. des rechten Winkels Das hat nun offenbar seine \ Richtigkeit, indem das Quadrat in zwei À oder vier Dreiecke der ersten Art 4 N Fig. 23. (Figur 23), das gleichseitige Dreieck in zwei oder sechs Dreiecke der zweiten Art (Figur 24) zerlegt werden kann. Uebereinstimmend damit, aber sicherlich einer anderen Quelle als dem platonischen Timäus, über dessen Angaben er hinausgeht, folgend sagt Pro- N klus, es sei ein pythagoräischer Lehrsatz, | dass die Ebene um einen Punkt herum / durch sechs fo | | \ Fig. 24. gleichseitige Dreiecke, vier Quadrate oder drei regelmässige Secksecke vollständig erfüllt werde, so dass nur diese Figurengattungen zur gänzlichen Zerlgung einer Ebene in lauter identische Stücke Benutzung finden’). Wir wollen daran anknüpfend nur erinnern, dass wir schon ($. 133) die Kenntniss solcher um einen Punkt herumliegenden sechs gleichseitigen Dreiecke wahrscheinlich zu machen suchen musten, und dass folglich rückwärts die Angabe des Proklus unsere dortigen Behauptungen zu stärken im Stande ist. Wie verhält es sich aber gegenüber der Zerfällung der Grenzflächen der vier ersten Körper mit der Grenzfläche des fünften und letzten, mit dem regelmässigen Fünfecke? Das Fünfeck ist, wie leicht ersichtlich, mittels der beiden rechtwinkligen Dreieckchen, die wir nach der Vorschrift des Timäus für die Herstellung von Dreieck und Viereck benutzten, nicht zusammenzusetzen, eine Zerlegung in eben solche kann mithin nie gelungen sein. Wohl aber dürfen wir erwarten, Spuren verfehlter Versuche anzutreffen, und diese fehlen nicht. Plutarch hat an zwei Stellen von der Zerlegung der das Dodekaeder begrenzenden Fläche in 30 Elementardreiecke gesprochen, hat das eine Mal hervorgehoben, dass somit alle 12 Flächen 360 Dreieckchen liefern, gleich an Zahl mit den Zeichen des Thierkreises?), hat das andre Mal bemerkt, es solle, wie man sage, das Elementardreieckchen des Dodekaeders von Ikosaeders verschieden sein”). dem des Tetraeders, Oktaeders, Ein anderer Schriftsteller des IL S., Alkinous, hat in seiner Einleitung zum Studium des Platon gleich- ) Proklus Platon. V. (ed. Friedlein) 304— 305. *) Plutarchus * Plutarchus, De silentio oracul. cap. 33). Quaest.

falls von den 360 Elementen gesprochen, welche erzeugt werden, indem jedes Fünfeck in 5 gleichseitige Dreiecke, jedes in 6 ungleichseitige zerfalle'). Nimmt man nun von diesen diese Zerlegung wirklich vor (Figur 25), so tritt aus dem Gewirre der Linien am deutlichsten das Sternfünfeck heraus, welches demnach für sich schon ein Zeugniss der \/ versuchten Zerlegung des Fünfecks in Elementardreiecke ablegt. Fig. 25. Fig. 26. Das Sternfünfeck (Figur 26) soll aber den Pythagoräern Erkennungszeichen gewesen sein. zu den Wolken des Aristophanes Lucian und der Scholiast berichten darüber gleichmässig”?). Briefe pflegten mit irgend einer ständigen Anfangsformel eingeleitet zu werden. Die Einen schrieben: Freue Dich, yargev, die Anderen mit Platon: Sei glücklich in Deinen Handlungen, sv zoarrsıv, die Pythagoräer: Sei gesund, vyiatverr. Gesundheit heisst auch bei ihnen das gegenseitige dreifache Dreieck, das durch Verschlingung das Fünfeck erzeugt, das sogenannte Pentagramm, dessen sich die Glieder des Bundes als Erkennungszeichens bedienen. Unter allen Umständen ist diese seltsame Bedeutung, welche die freilich auch seltsame Figur des Sternfünfecks bei den Pythagoräern besass, eine Unterstützung der kaum mehr bestrittenen Vermuthung, dass das regelmässige Fünfeck von den Pythagoräern selbst entdeckt worden sei. Dass diejenigen, welche dasselbe als Grenzfläche eines Körpers verwertheten, es gekannt haben müssen, bedarf keines Beweises, aber woher sollten sie es entnommen haben? Wir erinnern daran, dass wenigstens unter den Abbildungen aus 'ägyptischer , wie aus chaldäischer Vorzeit, welche wir vergleichen konnten, ein regelmässiges Fünf- oder Zehneck, eine Zerlegung der Kreisfläche in Ausschnitte nach irgend einer durch fünf theilbaren Anzahl nicht vorkommt (8. 67 und 101). Wir machen ferner darauf aufmerksam?), dass die Einzeichnung des Fünfecks in den Kreis geometrisch genau erst dann erfolgen konnte, als der Satz von den Quadraten der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, als zugleich auch der goldne Schnitt bekannt geworden war. Der goldne Schnitt spielte in der griechischen Baukunst der perikleischen Zeit eine nicht zu verkennende Rolle. 1) Alcinous, De doctrina Platonis (ed. Lambinus). Das ästhetisch Paris, 1567, cap. 11. 2) Beide Stellen sind vielfach abgedruckt, z. B. bei Bretschneider $. 85—86. 5) Bretschneider S. 87 hat diese gewiss richtige Bemerkung muthmasslich zuerst gemacht.

Geometrie. wirksamste Verhältniss, und das ist das stetige, ist in den athenischen Bauten aus den Jahren 450—430 aufs Schönste verwerthet*). Wir können bei solcher Regelmässigkeit des Auftretens nicht an ein instinktives Zutreffen glauben, am wenigsten, wenn wir des eben berührten geistigen Zusammenhangs zwischen goldnem Schnitte, regelmässigem Fünfecke und pythagoräischem Lehrsatze gedenken. Bevor wir zu diesem letzteren uns wenden, müssen wir?) noch einem längere Zeit viel verbreiteten Irrthume begegnen. Diogenes Laertius berichtet: „Unter den körperlichen Gebilden, sagen die Pythagoräer, sei die Kugel, unter den ebenen der Kreis am Schénsten“*), Man hat daraus entnehmen wollen, Pythagoras oder doch seine Schule hätten auch die Grundlage zu der Lehre von den Raumgebilden gelegt. Man ist dabei Deutung jenes Satzes abgewichen. gewiss isoperimetrischen von der richtigen Es sollte damit ein eigentlicher geometrischer Lehrsatz überhaupt nicht ausgesprochen werden. Nur die gleichmässige Rundung erhielt in das den gemeldeten Worten gebührende Lob. Den gemeinsamen, bedeutsamen für Arithmetik und Geometrie gleichmässig Schlussstein unserer Untersuchungen über Pythagoras und seine Schule bildet nunmehr der nach dem Lehrer selbst benannte Satz vom rechtwinkligen Dreiecke. Nicht als ob wir in ihm auch den Schlussstein des von den Pythagoräern aufgeführten mathematischen Gebäudes vermutheten. Keineswegs. Wir haben vielmehr schon gesehen und werden noch weiter sehen, dass unter den schon besprochenen geometrischen Dingen einige nicht gut.anders als in Folge des Satzes vom rechtwinkligen Dreieck aufgetreten sein können. Die Beziehung des regelmässigen Fünfecks zu diesem Satze ist erst erwähnt. dass Die Elementardreieckchen des Timäus dienen als Beweis, die Pythagoräer denjenigen sonderbaren rechtwinkligen Dreiecken ihre Aufmerksamkeit zuwandten, welche in dieser physikalischgeometrischen Eigenschaft Verwerthung fanden. Das war einmal dasjenige Dreieck, dessen beide Katheten je eine Längeneinheit als Maass besitzen, das war zweitens dasjenige, dessen Hypotenuse doppelt so gross ist, als die kleinere Kathete, so dass also 1 und 2 die Maasse dieser beiden Seiten bezeichnen. Wir haben uns (8. 142) schon darüber ausgesprochen, dass wir für den Satz vom rechtwinkligen Dreieck Pythagoras selbst als den 1 Vergl. Zeising’s verschiedene Schriften, über welche mit für den mathematischen Leser genügender Ausführlichkeit S. Günther in der Zeitschr. Math. Phys. XXI, histor-literar. Abthlg. S. 157--165 berichtet hat. rührt die richtige Ansicht von Bretschneider 8. 89—90 her. Laertius VIII, 19. ?) Auch hier *) Diogenes

Entdecker betrachten, und uns wesentlich auf den Bericht bezogen, diejenigen, welche‘ Alterthümliches erkunden wollten, führten den Satz auf Pythagoras zurück. Der in Euklid’s Elementen vorgetragene Beweis dagegen, derselbe Beweis, der auch heute noch der bekannteste ist, bei welchem die Quadrate über die drei Dreiecksseiten nach aussen hin gezeichnet werden und das Quadrat der Hypotenuse durch eine von der Spitze des rechten Dreieckswinkels auf die Hypotenuse gefällte gehörig verlängerte Senkrechte in zwei Rechtecke zerfällt, von denen jedes dem ihm benachbarten Kathetenquadrate flächengleich ist, dieser Beweis rührt nach Proklus’ ausdrücklicher Aussage von Euklid selbst her. rechtwinkligen Dreieck als Satz (S. 160). Dass Plutarch’) den Satz vom des Pythagoras kennt, wissen wir Der Rechenmeister Apollodotus oder Apollodorus, wie Diogenes Laertius denselben nennt*), erzählt in Versen von dem Stieropfer, welches Pythagoras gebracht habe, als er den Satz von den Quadraten der Hypotenuse und der Katheten entdeckt hatte. Nicht wenige Schriftsteller sind in ihren Angaben bezüglich des Satzes in einer wesentlichen Beziehung genauer, indem sie den Namen des Pythagoras mit demjenigen rechtwinkligen Dreiecke in Verbindung bringen, dessen Seiten die Maasszahlen 3, 4, 5 besitzen. Am deutlichsten ist in dieser Beziehung Vitruvius, in dessen im Jahre 14 n. Chr. verfasster Architektur ausdrücklich berichtet wird, dass Pythagoras einen rechten Winkel mit Hilfe der drei Längenmaasse 3, 4, 5 zu construiren lehrte, und dass ebenderselbe erkannte, dass die Quadrate ‚von 3 und von 4 dem von 5 gleich seien‘). Eine Plutarchstelle, in welcher dasselbe Dreieck besprochen wird’), ist uns (S. 147) schon vorgekommen. tons Staate eine Rolle. Dasselbe Dreieck spielt in Pla- Und wenn wir auf ganz späte Zeiten zu dem Zwecke herabgehen dürfen, um mindestens zu zeigen, dass die Ueberlieferung der Ueberlieferung sich erhalten hat, so möchten wir als letzten Gewährsmann einen Glossator vom Anfange des XII. S. nennen, der vom pythagoräischen Dreiecke redend das mit den Seiten 3, 4, 5 unter diesem Namen versteht). Wir glauben nun, dass die Wahrheit, welche jener Ueberlieferung zu Grunde liegt, darin besteht, dass Pythagoras an dem Dreiecke 3, 4, 5 seinen Satz erkannte. „Schwerlich leitete den Pythagoras das nach ihm benannte geometrische Theorem auf seine arithmetischen Sätze, 1) Proklus (ed. Friedlein) $) Diogenes Laertius VII, 12. Iside et Osiride 66. 426. ?) Plutarchus, *) Vitruvius IX, 2 Convivium VIII, 4. °) Plutarchus, De °) Cantor, Die römischen Agrimensoren und ihre Stellung in der Geschichte der Feldmesskunst. Leipzig, 1875, S. 156 und Note 288, verweisen künftig auf dieses Buch unter dem Titel „Agrimensoren“,

Geometrie. sondern umgekehrt mögen ihn die Beispiele zweier Quadratzahlen, deren Summe wieder eine Quadratzahl ist, auf die Relation zwischen den Quadraten der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks aufmerksam gemacht haben“'). So drückte sich ein deutscher Gelehrter bereits 1833 aus, welcher vermuthlich zuerst diese, wie wir glauben, richtige Anschauung von dem Entwicklungsgange sich aneignete. bemerkte, meinen wir, dass 9 + 16 = 25 (8.158). Pythagoras Als er diese unter allen Umständen interessante Bemerkung machte, kannte er bereits, gleichviel aus welcher Quelle, die Erfahrungsthatsache, dass ein rechter Winkel durch Annahme der Maasszahlen 3, 4, 5 für die Längen der beiden Schenkel und für die Entfernung der Endpunkte construirt werde. derselben Wir haben (8. 64) darauf hingewiesen, dass die Aegypter, (S. 102) dass die Babylonıer vielleicht die gleiche Kenntniss besassen, dass die Chinesen ihrer sicherlich theilhaftig waren. chinesischer Schriftsteller hat nämlich gesagt: rechten Winkel in so ist eine seine Bestandtheile, „Zerlegt man Ein einen die Endpunkte seiner Schenkel verbindende Linie 5, wenn dıe Grundlinie 3 und die Höhe 4 ist“?)., Die geometrische und die arithmetische Wahrheit vereinigten sich nun in dem Bewusstsein des Pythagoras zu einem gemeinschaftlichen Satze. Der Wunsch lag nahe zu prüfen, ob auch bei anderen rechtwinkligen Dreiecken die Maasse der Seiten zu Quadratzahlen erhöht das gleiche Verhalten bieten. setzung war die des gleichschenklig Die einfachste Vorausrechtwinkligen Dreiecks, Höhe und Grundlinie gleich der Längeneinheit waren. nuse wurde gemessen. Längeneinheiten. Sie war grösser als eine, wo Die Hypotekleiner als zwei Die mannigfaltigsten Versuche mögen darauf angestellt, andere und andere Zahlenwerthe für die gleichen Katheten eingesetzt worden sein, um eine Zahl für die Hypotenuse zu erhalten. Vergebens. Man erhielt wahrscheinlich Zahlen, die dem gesuchten Maasse der Hypotenuse nahe kamen, Näherungswerthe von Y2 würden wir heute sagen, aber es war noch ein Riesenschritt, von der Fruchtlosigkeit der angestellten Versuche auf die aller Versuche überhaupt' zu schliessen, und diesen Schritt vollzog Pythagoras. Er fand, dass die Hypotenuse des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit messbaren Katheten selbst unmessbar sei, dass sie durch keine Zahl benennbar, durch keine aussprechbar sei’); er ent1) So Jul. Fr. Wurm schon 1833 in Jahns Jahrbüchern IX, 62. Meine denselben Grundgedanken einzeln durchführende Darstellung in den Math. Beitr. Kulturl. ist 1863 entstanden, ohne dass ich Jahns Aufsatz kannte. Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen in Crelle's Journal. Bd. 62. und &4oyov sind die ?) Vergl. *) éntér griechischen Namen für Rationalzahl und Irrationalzahl; &loyoy heisst sowohl ohne Verhältniss als ohne Wort d. h. nicht aussprechbar.

deckte das Irrationale, worauf das alte Mathematikerverzeichniss ein so sehr berechtigtes Gewicht legt. Er entdeckte es grade an der Hypotenuse des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, wie aus mehr als nur einem Umstande wahrscheinlich gemacht werden kann. So erzählt uns Platon, der Pythagoräer Theodorus von Kyrene, der ihn selbst in der Mathematik unterrichtet hatte, habe bewiesen, dass die Quadratwurzel aus 3, aus 5 und anderen Zahlen bis zu 17 irrational sei!). Von der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 ist dabei keine Rede; diese muss also vorher bekannt gewesen sein. Aristoteles weiss dagegen an vielen Stellen von der Irrationalität der Diagonale des Quadrates von der Seite 1 zu reden, und sagt einmal gradezu, der Grund dieser Irrationalität liege darin, weil sonst Grades und Ungrades gleich sein müsste’). aber Euklid. Er Den Sinn dieser Worte erläutert gibt nämlich folgenden Beweis, den wir nur so weit abgeändert haben, dass wir Euklids Worte in moderne Zeichensprache umsetzten?). Es sei AI zu AB (Figur 27) commensurabel und verhalte sich in kleinsten Zahlen wie a zu $; A folglich muss wegen sicherlich > 1 sein. AT > 4B Weiter folgt auch «> Pß und AI”: AB? = q? : 6? und wegen 41”? =248B* auch a* =2f*, folglich a? und mit dieser Zahl zugleich auch a eine grade Zahl. A | r Die zu «a theilerfremde f muss daher ungrade sein. De” Die grade a sei = 2y, so folgt a? =4y? Es war a” = 287, mithin ist 28? =4y?, $? — 2," grad und auch f grad, was mit dem eben bewiesenen Gegentheil einen Widerspruch bildet, der zur Aufhebung der Annahme führt, als könne die Diagonale mit der Quadratseite ın einem rationalen Zahlenverhältnisse stehen. Man sieht, das muss der Beweis gewesen sein, an welchen Aristoteles bei seiner Aeusserung dachte. über Aristoteles Es ist also ein Beweis, dessen Alterthum hinaufreicht, und der, nach der kurzen Weise, in welcher dieser ihn andeutet, zu schliessen, den Lesern des Aristoteles zur Genüge bekannt sein musste. Wir gehen deshalb vielleicht nicht zu weit, wenn wir grade diesen Beweis als einen hergebrachten ansehen, als denjenigen, der in der alten pythagoräischen Schule geführt wurde, mag ihn Pythagoras selbst oder einen seiner unmittelbaren Schüler und Nachfolger ersonnen haben. War in der That die Diagonale des Quadrates als irrational, die Diagonale des Rechteckes mit den um eine Längeneinheit verschiedenen Seiten 3 und 4 als rational, nämlich mit der Länge 5, bekannt, dann war es möglich, dass man auch Quadrat und Hete1) Platon, Theaetet 147,D. 8) Euklid X, 117. *) Aristoteles, Analytica prot. I, 23, 11.

Geometrie. romekie als diejenigen Gegensätze in die pythagoräische Kategorientafel, welche uns durch Aristoteles bekannt geworden ist, aufnahm, die den sonst dort fehlenden Gegensatz des Rationalen und Irrationalen ersetzen sollten‘). Wir haben eine solche von der unsrigen zunächst abweichende Erklärung angekündigt (S. 150) und nicht ganz von der Hand gewiesen. Allein sie vollkommen uns anzueignen, auch in der Verbindung mit unserer eigenen Vermuthung, die wir dort als nothwendig betonten, vermögen wir trotz eines unterstützenden Grundes, auf welchen wir im 11. Kapitel zu reden kommen, doch nicht. Es könnte nämlich grade das Fehlen des Gegensatzes des Rationalen und des Irrationalen in der Kategorientafel als bezeichnend betrachtet werden müssen. Nach einem alten Scholion zum X. Buche der euklidischen Elemente, pflegt?), welches man in neuerer Zeit dem Proklus dürfte diese Annahme eine nicht zuzuschreiben ungerechtfertigte sein. „Man sagt, dass derjenige, welcher zuerst die Betrachtung des Irrationalen aus dem Verborgenen in die Oeffentlichkeit brachte, durch ‘einen Schiffbruch umgekommen sei, und zwar weil das Unaussprechliche und Bildlose immer verborgen werden sollte, und dass der, welcher von Ungefähr dieses Bild des Lebens berührte und aufdeckte, an den Ort der Entstehung’) versetzt und dort von ewigen Fluthen umspült wurde Solche Ehrfurcht hatten diese Männer vor. der Theorie des Jrrationalen.“ Das Mystische dieser Erklärungen stimmt allerdings durchaus zu den übrigen philosophischen Floskeln des Proklus und sie sind offenbar pythagoräischer Ueberlieferung entnommen. Mystisch war, das ist wieder einer der allseitig anerkannten Punkte, der ganze Pythagoräismus, und wir dürfen vielleicht hier als an dem geeignetsten Orte darauf hinweisen, dass Philolaus schon die Winkel von Figuren bestimmten Göttern weihte*), dass Platon umgekehrt die Gottheit immer geometrisch zu Werke gehen liess”). 1) So die Meinung Hankels S. +10, Anmerkung. *) Knoche, Untersuchungen über die neu aufgefundenen Scholien des Proklus Diadochus zu Euklids Elementen. Herford, 1865, S. 17—28, ‘besonders S. 23. * Dr. P. Hohlfeld machte uns brieflich aufmerksam, .die griechische Stelle heisse eig td» ris yevéceng* róxov = an den Ort der Entstehung, womit die Uebersetzung des Commandinus. in generationis hoc est profundi locum tibereinstimme; wenn Hankel übersetze „in den Ort der Mütter“, so beruhe dieses wahrscheinlich auf unbewusster Erinnerung an eine bekannte Stelle in Gúthe's Faust, Philolaus 8. 155. Ilòg Illdroy nicht bekannt. Chaignet I, 245— 247. Eieye tov Oeòv del Wenn Vossius zweiter Theil. ‘) Böckh, °) Plutarchus Convivia VIII, 2 yewusrgeiv. Die Stelle bei Platon selbst ist in seiner Geschichte der Mathematik dafür auf den Dialog ,,Philebus" verweist, so dürfte dieses Citat auf einem Irrthum beruhen.

War einmal die Irrationalität als solche, und zwar an der Diagonale des Quadrates erkannt, war man sich bewusst geworden, dass die Diagonale des Rechtecks von den Seiten 3 und 4 genau in 5 Einheiten sich darstellte, die des Rechteckes von gleichen Seiten aber nicht angebbar war, welche Länge man auch den beiden Seiten beilegte, so musste man wohl auch andere Rechtecke prüfen, z. B. von der Voraussetzung ausgehen, dass die Diagonale zur einen Seite im einfachsten Zahlenverhältnisse von 2 zu andere Rechtecksseite zu messen suchen. 1 stehe, und nun die Wir sehen hier das zweite Elementardreieckchen vor uns, dessen Benutzung neben dem gleichschenkligen Platons rechtwinkligen Timäus kennen, Dreiecke und zur dessen Flächenbildung somit wir aus nachgewiesener pythagoräischer Ursprung den hier ausgesprochenen Vermuthungen eine immer breitere Grundlage gewähren dürfte. Wieder weiterschliessend war die Untersuchung an einem Punkte angelangt, wo der Weg sich spaltete. Man konnte, wo die Zahl ihren Dienst versagte, geometrische Beweise für den Satz von den Quadraten über den Seiten rechtwinkliger Dreiecke suchen. Man konnte solche Zahlen Dreiecke suchen, konnten. die als Seiten rechtwinkliger auftreten Man schlug beide Wege ein. Wir haben oben gesagt, dass der heute gebräuchlichste Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes von Euklid herrühre. Der in der pythagoräischen Schule selbst geführte muss von diesem verschieden gewesen sein. Er dürfte seiner Alterthümlichkeit entsprechend viele Unterfälle unterschieden haben und grade vermöge dieser Weitläufigkeit aufs Gründlichste beseitigt worden sein, wie wir daraus schliessen _ dürfen, dass Proklus auch mit keiner Silbe des Ganges des voreuklidischen Beweises gedenkt. Waren Unterfälle unterschieden, so ist die Wahrscheinlichkeit vorhanden, die Beweisführung SD<N sei von dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecke ausgegangen!) und habe die Zerlegung des Rx Grundlage gehabt”), wenigstens hat sich in Platons Quadrates durch seine Diagonalen (Figur 28) zur Menon dieser Beweis des Sonderfalles erhalten. Wie der weitere Fortschritt zum Beweise des allFig. 28. gemeinen Satzes vollzogen wurde, darüber ist man in keiner Art unterrichtet. versuche, Die verschiedenen Wiederherstellungsso geistreich manche derselben sind, schweben alle so ziemlich in der Luft?). 1) Hankel $. 98. *) Allman 1. c. 8.29. ausgabe I, 444 mit Bretschneider 82. ?) Vergl. Camerer’s Euklid-

Die arithmetische Aufgabe Zahlen Geometrie. zu 173 finden, welche als Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gezeichnet werden können, löste Pythagoras gleichfalls, und hier sind wir in der günstigen Lage, dass Proklus uns seine Auflösungsmethode aufbewahrt hat'). Er sei von irgend einer ungraden Zahl 2« + 1 ausgegangen, welche er als kleinere Kathete betrachtete Die Hälfte des um 1 verminderten Quadrates derselben gab die grössere Kathete 20?4 2a, diese wieder um 1 vermehrt die Hypotenuse 2a° + 2a + 1. Wie kam Pythagoras zu dieser Auflösung? Ein möglicher Weg ist folgender, welchen wir nur wenig gegen die Art, wie er zuerst vermuthungsweise geschildert worden ist*), verändert der Prüfung unterbreiten. Ist ?=-P#’ +c, so ist c =a’ — b? = (a + b) (a — b). Die Aufgabe der erstgeschriebenen Gleichung ‘zu genügen lässt sich also erfüllen, wenn nur a +d und a — b beide grad oder beide ungrad und zudem solche Zahlen sind, welche mit einander vervielfacht eine Quadratzahl liefern. Solche Zahlen kannte höchst wahrscheinlich bereits die vorplatonische Zeit, da sie unter dem Namen ähnlicher Zahlen bei Theon von Smyrna erklärt sind?) Die andere von uns hervorgehobene Bedingung beruht darauf, dass u und b ganzzahlig zu erhalten nur dann möglich ist, wenn Summe und Differenz von a + b und a — b beide grad sind. Der einfachste Fall ähnlicher Zahlen ist nun selbstverständlich der der Einheit und einer Quadratzahl c? und weil 1 ungrad ist, muss hier auch c? und somit c selbst ungrad sein, etwa c= 2a + 1. So kam die Formel des Pythagoras darauf hinaus (2a + 1) = (2« + 1)?.1 zu setzen, und darnach aus (2a + 1} =a+b und 2 1=a — die Werthe b= Car ; po? und a = Po + 1 zu ermitteln, welche zusammen mit 2 __ c=20 +1 die gestellte Aufgabe lösen. Die Formen, in welchen b und a auftreten, entsprechen, wie man sofort erkennt, genau dem Wortlaute der Angabe des Proklus, was immer ein günstiges Vorurtheil für die Richtigkeit eines Wiederherstellungsversuches gewährt, und da überdies in Aegypten, wie wir aus dem Uebungsbuche des Ahmes wissen, Aufgaben von algebraischer Natur zu lösen nicht ungebräuchlich war, so scheitert der Versuch auch nicht an der Frage, ob es für Pythagoras möglich gewesen sei, schon derartige Schlüsse zu ziehen, wie sie hier verlangt wurden. | Fassen wir den Inhalt dieses und des zunächst vorhergehenden Kapitels in Kürze zusammen. Pythagoras hat, 1) Proklus (ed. Friedlein) 428. schen Philosophie II, 527. so suchten wir zu *) Röth, Geschichte der abendländi- *) Theon Smyrnaeus (ed. Hiller) 86.

erweisen, sicherlich in Aegypten, vielleicht mathematisches Wissen sich angeeignet. in den Euphratländern Ersteres geht wie aus den ausdrücklichen Ueberlieferungen, so auch aus dem ägyptischen Gepräge mancher geometrischer Entwicklungen, letzteres aus den babylonisch anmuthenden Zahlendifteleien der Pythagoräer hervor. Die Summe des geometrischen Wissens, welches von Pythagoras und seiner Schule den Griechen vor dem Jahre 400 zugänglich gemacht wurde, ist eine nicht ganz geringfügige. Sie umfasste die Kenntniss von den Parallellinien und den durch dieselben beweisbaren Winkelsätzen, insbesondere den Satz von der Summe gruenzsätze des der Dreieckswinkel. Dreiecks und Sie umfasste Con- Sätze über Flächengleichheit, deren Anwendung die sogenannte Anlegung von Flächen bildete. umgekehrt Figuren als Summe Sie liess anderer Figuren entstehen, wobei vielleicht das Sternfünfeck entdeckt wurde, wenn wir auch für dieses nicht mit gleicher Sicherheit wie für die anderen Dinge die alten Pythagoräer als Urheber behaupten möchten. Sie umfasste den pythagoräischen Lehrsatz und den goldenen Schnitt. Sie enthielt endlich auch Anfänge einer Stereometrie, insbesondere die Kenntniss der fünf regelmässigen Körper und der Kugel, welche dieselben umfasst. Sätze waren mit Beweisen versehen. Die Allerdings liessen die Beweise vermuthlich nicht gleich die Strenge erkennen, welche man geradezu geometrische Strenge zu nennen pflegt, und legten erst nach und nach den Charakter eines Erfahrungsbeweises ab, nahmen noch später jene allgemeineren Fassungen an, welche in emheitlicher Betrachtung die Nothwendigkeit der Unterscheidung von Sonderfällen verbannt. Noch unvergleichbar mehr leistete die pythagoräische Schule in der Arithmetik, gerade durch die Grösse der Leistungen die Wahrscheinlichkeit fremden Ursprunges auch für diesen Zweig griechischer Mathematik bezeugend. Arithmetische, geometrische, harmonische Verhältnisse und Reihen, unter den arithmetischen Reihen auch solche, welche die Sprache heutiger Wissenschaft arithmetische Reihen höherer Ordnung nennt, sind Dinge, die man am Anfange einer Entwicklung nicht zu finden erwarten darf, noch weniger die freilich auch weniger gut beglaubigten befreundeten und vollkommenen Zahlen. Die Ueberlieferung lässt wirklich einige dieser Gegenstände aus Babylon eingeführt sein. Fremdländisch war vielleicht auch die Methode des mathematischen Experimentes d. h. der Zerlegung von Figuren in andersgestaltete, der Vereinigung von Reihengliedern derselben oder verschiedener Reihen zu Summen, zunächst nur in der unbestimmten Absicht zu versuchen, ob dabei etwas geometrisch, etwas arithmetisch Merkwürdiges sich offenbaren möchte. Für griechisch dagegen hielten wir die eigenthümliche Verquickung von

Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. Geometrie und Arithmetik, die geometrische Versinnlichung der Zahlenlehre, wie sie in der Ebenen- und Kôrperzahl, in der Dreiecks- und Quadratzahl, in der Vielecks- und Gnomonzahl zu Tage tritt. Pythagoräisch war nach unserer durch mannigfache Ueberlieferung gestützten Darstellung die Erfindung des Satzes von den Quadraten der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks als eines arithmetischen ausgehend von dem bestimmten Zahlenbeispiele 3? + 4° = 5?. Pythagoräisch war endlich eine Regel zur Ermittelung 'anderer Zahlen als 3, 4, 5, welche als Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks dienen können, pythagoräisch die Lehre vom Irrationalen. Vom Irrationalen sagen wir und müssen wir sagen, nicht von der Irrationalzahl, denn das Irrationale war den Griechen keine Zahl. War den Pythagoräern doch sogar die Einheit noch keine Zahl, sondern erst eine Vielheit von Einheiten. Brüche mögen dem Rechner vorgekommen sein, sei es als wirkliche Brüche mit Zähler und Nenner, sei es als Unterabtheilungen von Münzen, von Gewichten, von Feldmaassen, jedenfalls immer als concrete Brüche. Der abstrakte Bruch war für den Arithmetiker nicht vorhanden. Er kannte Brüche nur mittelbar als Verhältniss zweier Zahlen. Um so weniger konnte ihm das Irrationale eine Zahl sein, welchem nicht einmal ein reihe aussprechbares Verhältniss. den Eintritt in gestattete. Diese wichtige Beschränkung Zahl erhielt sich über die Zeit der Pythagoräer des die Zahlen- Begriffes der weit hinaus. Sie blieb, was den Ausschluss des Irrationalen betrifft, so lange, als überhaupt von griechischer Arithmetik die Rede ist. 8. Kapitel. Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. Die Mathematik nahm, wie wir weitläufig gesehen haben, einen mächtigen Aufschwung durch die pythagoräische Schule. Es war wohl eng damit verbunden, sei es als Ursache, sei es als Folge, dass, wie uns berichtet wird, die Mathematik den Pythagoräern als erstes und wichtigstes Lehrelement diente'). Damit ist aber nicht ausgeschlossen, dass auch andere Schriftsteller sich noch verdient machten. Hören wir, wie das alte Mathematikerverzeichniss fortfährt: „Nach ihm (dem Pythagoras) lieferte der Klazomenier Anaxagoras Vieles über Geometrie, ingleichen Oinopides von Chios, der etwas ') Porphyrius, Pythagor. lib, TIL, De vita abgedruckt Venedig, 1781, pag. 216. Pythagor. bei Ansse 47. Jamblichus, de Villoison, De philosophia Anecdota Graeca.