Mathematiker ausserhalb der pythagoreischen Schule. Hippokrates von Chios

Inhaltsverzeichniss. — Seite Einleitung .......................... I Aegypter. . . oo 1. Kapitel. Die Aegypter. Arithmetisches 2. Kapitel. Die Aegypter. Geometrisches U. Babylonier . LL... n. _ 8, Kapitel. Die Babylonier: 2 . . . . . . . our . . . .. UIt Griechen 2... ...........,........ 4, Kapitel. Die Griechen. Zahlzeichen. Fingerrechnien. Rechenbrett 5. Kapitel. Thales und die älteste griechische Geometrie . . . 6. Kapitel. Pythagoras und die Pythagoräer. Arithmetik , . . 7. Kapitel, Pythagoras und die Pythagoräer. Geometrie 8. Kapitel. Mathematiker ausserhalb der pytbagoräischen Schule 9. Kapitel. Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. Hippokrates von Chios . . . . .. . . . . . . . .. Fur 10, Kapitel. Platon 2... . . . en 11, Kapitel. Die Akademie. Aristoteles . . . , , . . , . . . 12. Kapitel, Alexandria, Die Elemente des Euklid crues 18, Kapitel. Die übrigen Schriften des Euklid . . ,°. , , .. 14. Kapitel. Archimedes und seine geometrischen Leistungen © 15. Kapitel. Die übrigen Leistungen des Archimedes . , . . . ‚ 16. Kapitel. Eratosthenes. Apollonius von Pergù, Loe 17. Kapitel. Die Epigonen der grossen Mathematiker . , . . . 18. Kapitel, Heron von Alexandria . . . . . , .. ee 19, Kapitel. Heron von Alexandria (Fortsetzung) . . . . . . , 20. Kapitel.: Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus , . 1—16 17—72 19 52 73—104 76 105—482 "107 124 137 175 oma 24, Kapitel, IV. Römer 25, Kapitel. 26. Kapitel. mensoren Die griechische Mathematik in ihrer Entartung. . eee eee eee eee Aelteste Rechenkunst und Feldmessung . . . . . Die Blüthezeit der römischen Geometrie. Die Agri- ......... bios 188 mms —, 64 Le 5 201 222 244 263 280 295 312 333 347 0607 361° 378 21. Kapitel. Neupythagoräische Arithmetiker. Nikomachus. Theon 22. Kapitel. Sextus’ Julius Africanus. Pappus von Alexandria 23. Kapitel. Die Neuplatoniker. Diophantus von Alexandria . . 1869 409 427 457 483— 552 485 boo) rennen 27. Kapitel, Die spätere mathematische Literatur der Römer . Vv. Inder 2.2.2 onen. 28, Kapitel. Finleitendes, Elementare Rechenkunst nn 29. Kapitel. Höhere Rechenkunst, Algebra 80. Kapitel Geometrie und Trigonometrie IN GESCmicne DER ANTACMAT e €

und dagegen erhob Zenon seine Stimme. Er sah hier, was vor ihm vielleicht noch nicht gesehen, jedenfalls nicht in gleich scharfer Betonung bemerklich gemacht worden war: Schwierigkeiten, denen in der That weder der Philosoph noch der Mathematiker in aller Strenge gerecht werden kann, wenn auch der Mathematiker dazu gelangte durch Einführung bestimmter Zeichen die Stetigkeit zu einer definirbaren Eigenschaft zu machen, und mit den Grenzen zugleich den Uebergang zu den Grenzen der Untersuchung zu unterwerfen. Zwei Jahrtausende und mehr haben an dieser zähen Speise gekaut, und es wäre unbillig von den Griechen des fünften vorchristlichen Jahrhunderts zu verlangen, dass sie in Klarheit gewesen seien über Dinge, welche, freilich anders ausgesprochen, noch Streitfragen unserer Gegenwart bilden. 9. Kapitel. Mathematiker ausserhalb der pythagoräischen Schule. Hippokrates von Chios. Den Mathematikern scheint nächst dem Irrationalen bei Gelegenheit der Kreisquadratur der erste Anlass geboten worden zu ‘sein, Fragen des stetigen Ueberganges zu behandeln, und dieses führt uns zurück zu dem Mathematikerverzeichnisse, welches mit den Worten . fortfährt: „Nach diesen wurde Hippokrates von Chios, der die Quadratur des Mondes fand, und Theodorus von Kyrene in der Geometrie berühmt. Unter den hier Genannten hat zuerst Hippokrates Elemente -— oto.ysta — geschrieben.“ Von dem Leben des Hippokrates von Chios wenige Züge bekannt'). sind uns nur Ursprünglich Kaufmann kam er durch einen unglücklichen Zufall um sein Vermögen: Die Einen erzühlen, die Zolleinnehmer von Byzanz, gegen welche er sich leichtgláubig erwies, hätten ihn darum geprellt, die Anderen lassen ihn durch Seeräuber geplündert worden sein. Man hat beide Angaben so zu vereinigen gesucht, dass man muthmasste, athenische Seeräuber hätten aus Veranlassung eines Krieges gegen Byzanz das Schiff des Hippokrates weggenommen. Jener Krieg sei der sogenannte Samische 1) Die betreffenden Stellen des Aristoteles (Ethic. ad Eudem. VII, 14) und des Johannes Philoponus (Comment. in Aristotel. phys. auscult. f. 18) sind abgedruckt bei Bretschneider 97, wo die im Texte dargestellte Vereinigung der beiden Angaben versucht ist.

Krieg um das Jahr 440 gewesen, an welchem thatsächlich die Byzantiner gegen die Athener theilnahmen, und um diese Zeit sei also Hippokrates nach Athen gekommen. Ohne die Môglichkeit in Abrede zu stellen, dass es sich so verhalten haben kônne, bedürfen wir jedoch dieser Vermuthung nicht, um die wichtigste Folgerung zu ziehen, welche sie fiir uns enthält, nämlich den Aufenthalt des Hippokrates in Athen zu begriinden und zeitlich zu bestimmen. fähre Lebenszeit des innerhalb des Hippokrates geht Mathematikerzeichnisses Die ungeschon aus seiner Stellung hervor, sein Aufenthalt in Athen, der Stadt, welche grade damals mit Recht begann als erste Stadt Griechenlands zu gelten, hat eine besondere Veranlassung nicht nothwendig gehabt. Jedenfalls war Hippokrates von Chios in der zweiten Hälfte des V. S. in Athen und kam dort mit Pythagoräern, d. h. offenbar mit versprengten Mitgliedern der italischen Schule zusammen, in deren Gesellschaft er geometrisches Wissen sich aneignete. Es wird sogar erzählt, er habe es sehr bald dahin gebracht, selbst Unterricht in der Mathematik ertheilen zu kônnen und habe dafür Bezahlung angenommen. Von da an hätten die Pythagoräer ihn gemieden!). Diese Geschichte erscheint, insbesondere was den durch Hippokrates gewohnheitsmässig ertheilten mathematischen Unterricht betrifft, sehr glaubwürdig, Damit stimmt nämlich vortrefflich überein, was das Mathematikerverzeichniss uns meldet, erste der Elementarlehrbuch dass Hippokrates das Mathematik verfasst habe. Weit hervorragender aber sind die eigentlichen geometrischen Erfindungen des Hippokrates, welche auf zwei Probleme sich beziehen: auf die Quadratur des Kreises und auf die Verdoppelung des Würfels. Die Quadratur des Kreises, von Anaxagoras zuerst versucht, hat auch unter den Sophisten wenige Jahrzehnte vor Hippokrates wenn nicht bis zu seiner Zeit herab Bearbeiter gefunden. Mit wahrer Wortklauberei suchten die Einen nach einer Quadratzahl, die zugleich cyklisch sei?), d. h. mit derselben Endziffer schliesse wie ihre Wurzel z.B. 25 —5*, 36= 6°, aber das müssen jedenfalls die mathematisch Unwissenden gewesen sein, gegen welche die Versuche eines Antiphon und eines Bryson wohlthätig abstechen. Antiphon, ein Zeitgenosse des Sokrates, mit welchem er über verschiedene Dinge in Hader lag*), schlug, wie es scheint, zwei Wege ein, welche als verschiedene Versuche von ähnlichem Gedankengange 1) Jamblichus, De philosoph. Pythagor. lib. III, bei Ansse de Villoison, Anecdota Graeca, pag. 216. ?) So berichtet Simplicius in einer unter Anderen bei Bretschneider 106—107 abgedruckten Stelle. Laertius Il, 46. °) Diogenes

betrachtet werden müssen. Einmal schrieb er in den Kreis ein Quadrat ein), ging von diesem zum Achteck, Sechzehneck u. s. w. über. Man solle so fortschreiten bis dem Kreise ein Vieleck werde eingeschrieben werden, dessen Seiten ihrer Kleinheit halber mit dem Kreise zusammenfallen würden. Nun könne man, wie man in den Elementen gelernt habe, zu jedem Vielecke ein gleichflächiges Quadrat zeichnen, folglich auch zu dem Kreise mittels des Vielecks, welches an seine Stelle getreten sei. So der Bericht des Simplicius, eines Erklärers des Aristoteles aus dem VI. S., in seinem Commentare zur Physik des Stagiriten als Einleitung in den selbst aus Eudemus geschöpften Bericht über den Quadrirungsversuch des Hippokrates, der uns nachher zu beschäftigen hat. Ein anderer Commentator des Aristoteles, Themistius, weiss dagegen die Sache anders?). Antiphon habe ein gleichseitiges Dreieck in den Kreis eingeschrieben und über jede Seite desselben ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Spitze auf dem Kreisumfang lag und so fort. Seite des So glaubte er, dass die gradlinige letzten Dreiecks mit dem Bogen zusammenfallen werde. Uns erscheinen diese beiden Versuche als gleich gut beglaubigt und einander in so weit ergänzend, als wir ihnen entnehmen, dass Antiphon mit dem Zusammenfallen des Kreises mit dem Vielecke von sehr vielen und sehr kleinen Seiten sich doch nicht so rasch und gänzlich befriedigt fühlte, und jedenfalls in zweierlei Annäherungen zu einer solchen aus graden Strecken zusammengesetzten Figur zu gelangen strebte, welche an die Stelle des Kreises treten sollte. Ein anderer Geometer der gleichen Zeit etwa wie Antiphon war der Sophist Bryson aus Herakläa, der Sohn des Herodorus. wird auch wohl als Pythagoräer bezeichnet. Er Er ging in seinem Versuche die- Quadratur des Kreises zu finden, von welchem wir wieder durch einen anderen Erklärer des Aristoteles, durch Johannes Philoponus unterrichtet sind?), um einen sehr bedeutsamen Schritt über Antiphon hinaus. Er begnügte sich nicht damit ein Kleineres als den Kreis zu finden, welches sich nur wenig von ihm unterschied, er verschaffte sich auch ein der gleichen Forderung genügendes Grósseres. Er zeichnete neben den eingeschriebenen Vielecken auch umschriebene. Vielecke von immer grösserer Seitenzahl und beging bei Ausführung dieses vollständig richtigen Gedankens nur einen damals freilich verzeihlichen Fehler, indem er meinte, die Kreisfläche sei das arithmetische Mittel zwischen einem eingeschriebenen und einem umschriebenen 1) Der Bericht des Simplicius abgedruckt bei Bretschneider, der das grosse. Verdienst sich erworben hat, diese sämmtlichen Untersuchungen zuerst für. die Geschichte der Mathematik nutzbringend gemacht zu haben. *) Bretschneider 126. °) Bretschneider 126.

Vielecke. Hippokrates von Chios. 191 Es ist nicht wahr, sagte später Proklus diesen Versuch vornehm zurückweisend, dass die Stücke, grösser und kleiner als der Kreis sind, um welche jene Vielecke sich gleichen. Aber auch welche Entwicklung der Geometrie zwischen Bryson und Proklus! Wir glauben über das Irrige an Brysons Folgerung hinweggehen zu dürfen, den Tadel irgend einen Mittelwerth mit dem arithmetischen Mittel verwechselt zu haben, ersticken zu müssen unter dem Lobe in der Erkenntniss des Grenzbegriffes weiter gekommen zu sein als alle Vorgänger. So weit freilich wie Aristoteles, wenn wir dieses vorgreifend hier erwähnen dürfen, ist auch Bryson nicht gegangen. wusste und sagte!) in Worten, bedienen, ohne das Bewusstsein zu haben seine „Dtetig — ovveyés — sei Aristoteles deren wir heute uns noch vielfach ein Ding, wenn Schüler zu sein: die Grenze eines jeden zweier nächstfolgender Theile, mit der dieselben sich berühren, eine und die nämliche wird und, wie es auch das Wort bezeichnet, zusammengehalten wird.“ Aristoteles wusste, dass es ein Anderes ist unendlich Vieles zu zählen, oder durch unendlich viele nicht von einander zu scheidende Punkte sich bewegen. Er löste das Paradoxon der Durchlaufung dieser unendlich vielen Raumpunkte in endlicher Zeit durch das neue Paradoxon, dass innerhalb der endlichen Zeit unendlich viele Zeittheile von unendlich kleiner Dauer anzunehmen seien. Es gibt für ihn kein reales Unendliches in zusammenhangloser Unbeschränktheit des Begriffes, so dass Grösseres oder Kleineres nicht möglich ist, sondern nur Endliches von beliebiger Grösse, von beliebiger Kleinheit. Aber man vergesse nicht, dass Aristoteles schon um ein weiteres Jahrhundert nach der Zeit lebte, welche uns in diesem Augenblicke beschäftigt, und dass er Aristoteles war, einer jener Geister, die für alle Zeiten lebend der eigenen Zeit meist unverstanden bleiben. Bis zu einem gewissen Grade darf man letzteres vielleicht auch für Antiphon und Bryson behaupten. Die Mitte des V. S. konnte sich mit Schlussfolgerungen, wie diese beiden Männer sie zogen, nicht befreunden. Sie konnte nicht über den Widerspruch hinaus, noch um den Widerspruch herum kommen, der darin liegt, die krumme Kreisfläche durch eine gradlinig begrenzte Vielecksfläche erschöpfen zu lassen. Eine mathematische Begründung irgend welcher Art, am naturgemässesten ein selbst. auf einen Widerspruch gebauter Beweis 1) Aristoteles, Physic. ‘Ill, 4. Die Zusammenstellung der auf den Grensbegriff und auf das Unendliche bezüglichen Stellen des Aristoteles u. s. w. bildet eines der schönsten Kapitel bei Hankel 115—127.

der Unmöglichkeit der entgegengesetzten Annahme, musste vorausgehen. und das bilden, was man die geometrische Exhaustion nennt. Aller Wahrscheinlichkeit nach versuchte Hippokrates von Chios zuerst oder als einer der Ersten eine solche Schlussfolgerung um zu dem Satze zu gelangen, dass Kreisflächen den Quadraten ihrer Durchmesser proportional seien, ein Satz, den er, wie Eudemus ausdrücklich sagt!), bewiesen hat. Wir bemerken rückblickend auf die Quadraturversuche des Antiphon und des Bryson, dass dieselben nur solche geometrische Thatsachen voraussetzten, welche jedem Geometer pythagoräischer Schulung bekannt sein mussten: Einschreibung und Umschreibung regelmässiger Vieleke in und um einen Kreis und Verwandlung beliebig gestalteter gradlinig begrenzter Figuren in einander, beziehungsweise in ein Quadrat, und gehen nun zu dem Verfaha TD dl ren úber, mittels dessen Hippokrates zur x Quadratur des Kreises zu gelangen trachtete. Er beschrieb (Figur 30) über | 4 x SI einer Geraden AB einen Halbkreis, zeichx mete in denselben Katheten kreise. das gleichschenklige Dreieck ABI" und beschrieb über dessen als Durchmesser neue Halb- Nun ist 4B? = AI” + TB? und wegen der Proportionalität von Kreisen, beziehungsweise von Halbkreisen mit den Quadraten ihrer Durchmesser wird auch der Halbkreis über 4B der Summe der Halbkreise über 4I und IB gleich sein, oder dem Doppelten eines dieser kleineren Halbkreise. Der Halbkreis über 4B ist selbst auch das Doppelte des Viertelkreises, welcher durch AT4 zu benennen ist, mithin dieser Viertelkreis gleich dem Halbkreise über AT. Nimmt man von beiden den Kreisabschnitt weg, welchen die Sehne AI mit dem Bogen AT’ des zuerst gezeichneten Halbkreises bildet, so bleibt das gradlinige rechtwinklige in ein Quadrat verwandelbare Dreieck 414 gleich der durch zwei Bögen zwischen 4 und I eingeschlossenen halbmondförmigen Fläche, und diese Figur, welche bei Hippokrates unvisxog Mondchen (lateinisch lunula) heisst, ist somit thatsächlich quadrirt. Hippokrates geht nun weiter, und zwar auf dem Wege, dass er die Quadratur eines Kreises in Abhängigkeit von _ der einer halbmondartigen Figur bringt. Er zeichnet (Figur 31) in einen Halbkreis ein Paralleltrapez ein, dessen grössere Seite der Durchmesser selbst ist, während jede der drei anderen Seiten eine +) Eudemi fragmenta (ed. Spengel) pag. 128, lin, 29,

Hippokrates von Chios. Seite des dem ganzen Kreise einschreibbaren regelmässigen Sechsecks, dem Halbmesser folglich gleich ist. Wird über jeder der kleineren Trapezseiten ein Halbkreis gezeichnet, so muss er ein Viertel des ursprünglichen = Halbkreises sein, oder die drei Halbkreise zusammen von dem urspriinglichen Halb- IT 7 kreise abgezogen lassen als Differenz einen kleinen Halbkreis von der Grósse der eben O / Fig. 31. erhaltenen, d. h. einen solchen, dem der Halbmesser des ursprünglichen Halbkreises als Durchmesser dient. Dieselbe Differenz lässt nun, indem vom Subtrahenden und Minuenden gleiche Kreisabschnittchen weggelassen werden, sich in die Form einer Differenz zwischen dem gezeichneten Trapeze und dem Dreifachen eines von Kreisbögen gebildeten Mondes bringen. Wäre daher letzterer, der freilich von dem vorher untersuchten Mondchen wesentlich verschieden ist, quadrirbar, so wäre der kleine Halbkreis selbst quadrirt. Aber diese Eigenschaft findet nicht statt. Das eben benutzte Mondchen ist, wie Hippokrates einsieht, nicht unmittelbar quadrirbar, und nun geht sein Bestreben dahin, andere quadrirbare Mondchen zu entdecken, um durch Zurückführung der Kreisquadratur auf diese neuen Mondchen die Aufgabe, die er sich gestellt hat, zu lösen. Wir können nicht ausführlich bei den Versuchen verweilen, die Hippokrates in dieser Richtung noch anstellt. Nur so viel sei bemerkt, dass er dabei wieder von dem Kreise eingezeichneten Paralleltrapezen ausgeht, und zwar von solchen, welche je drei unter einander gleiche Seiten besitzen, die das einemal grösser, das anderemal kleiner als der Halbmesser ausfallen, so dass also über der vierten Trapezseite nach der Richtung hin, wo das Trapez gezeichnet ist, ein Kreisabschnitt sich ergibt, der im ersteren Falle grösser, in dem zweiten kleiner als ein Halbkreis ausfällt. Der erstere Fall entspricht bei Hippokrates überdies der Bedingung, dass die grössere Trapezseite im Quadrate genommen den drei identischen Quadraten der anderen Seiten zusammen gleich komme, Seiten sich wie 1:1:1:/3 verhalten‘). Bedingungen für den zweiten Fall, dass also sämmtliche Noch verwickelter sind die welcher überdies in dem uns erhaltenen Texte als einigermassen verstümmelt betrachtet werden muss. Jedenfalls gelangt Hippokrates wiederholt zu Mondchen, welche sowohl quadrirbar sind als auch in ihrer Entstehung von den ersten ~~ 1) Das tritt ein, wenn die kleine Seite a=r V3 — V3. Vergl. über die Mondchen des Hippokrates einen Aufsatz von Clausen (Crelle’s Journal XXI, 375) und Hankel 127. CANTOR, Geschichte der Mathematik I. 2. Aufl.

' 9. Kapitel. quadrirbaren Mondchen sich unterscheiden. Aber keineswegs seine Aufgabe erfüllt zu haben. Er stellt noch weitere damit glaubt er Versuche an und zeigt dadurch, dass er sein Ziel, das Mondchen auf der Sechsecksseite zu quadriren, auf welches er die Ausmessung des Kreises schon zurückgeführt hat, nicht aus den Augen verliert, dass er dieses Ziel auf allerlei Umwegen noch immer zu erreichen strebt, wenn es ihm auch nicht gelingt hinzugelangen. Wir haben oben (8. 189) Simplicius als Gewährsmann für die Quadraturversuche des Hippokrates von Chios genannt, haben erwähnt, dass dieser Berichterstatter selbst aus Eudemus geschôpft hat, den er theilweise wörtlich xara A&&ıv zu benutzen ausdrücklich erklärt. Einige alterthümlich klingende Umschreibungen in diesem Berichte lassen aber vermuthen*), dass man berechtigt sei, ihn noch weiter aufwärts zu verfolgen, dass man theilweise wenigstens den Wortlaut des Hippokrates selbst vor sich habe. Ist diese Annahme richtig, so folgt aus ihr als wichtige Thatsache, dass Hippokrates mit aller Bestimmtheit bereits die Gewohnheit besass, die geometrischen Figuren mit zur Bezeichnung dienenden Buchstaben zu versehen. Er spricht von einer Linie „an welcher 4B (steht)“, von einem Punkte „an welchem K (steht). Wir haben Aegypter ihren Figuren theilweise früher gesehen, die Längenmaasse welche den Linien derselben zukamen. Wir haben dass die beischrieben, darin vielleicht die Anregung gefunden, in Folge deren Zahlengrössen durch Linien zur Versinnlichung gebracht wurden (8. 152). . über diese messende Bezeichnung hinaus. Die Aegypter gingen Eine gewisse Allgemeinheit gab sich kund, wenn die Scheitellinie mit merit, die Grundlinie der Pyramide mit uchatebt u. s. w. bezeichnet wurde, indem hierdurch die von. Figur zu Figur unveränderliche Lage gegen die jedesmal wechselnde Länge als das Wichtigere in den Vordergrund trat. Aber Punkte nun gar durch Buchstaben zu benennen, welche nicht Zahlenwerthe, nicht Abkürzungen von Wörtern, welche etwa so anfingen, sein sollten, sondern nur Buchstaben als solche, damit die Möglichkeit zu geben eine Figur auch ziemlich verwickelter Art nur zu denken und doch mit dem Texte in verständlichen Einklang zu bringen; das ist eine Art von Geometern erkennbare allgemeiner Vorläuferin der Symbolik, algebraischen der Unbekannten durch einen Buchstaben, ist die bei Bezeichnung oder wenigstens durch ein Wort. Ob Hippokrates freilich der erste war, welcher Buchstaben an die Figuren setzte, das wissen wir nicht. 1) Bretschneider S, 114, Note 2. Wahrscheinlich ist es uns

Hippokrates von Chios. nicht, weil Eudemus sonst vermuthlich in seinem Berichte auf diese Neuerung hingewiesen haben würde. Wir vermuthen weit eher, dass Hippokrates die geometrische Anwendung der Buchstaben bei den Pythagoräern gelernt haben wird, denen er ja auch sein mathematisches Wissen überhaupt verdanken soll. Dafür spricht, dass das Sternfünfeck, welches die’ Pythagoräer als Erkennungszeichen, auch wohl als Briefüberschrift benutzten (S. 166), an seinen Ecken die Buchstaben geführt haben soll, welche das Wort Gesundheit bildeten. So wird wenigstens allgemein die Stelle aufgefasst, dass jene Figur Gesundheit genannt worden sei. Bei Hippokrates bestand dagegen eine Sitte noch nicht, welche bei Euklid mit der Regelmässigkeit eines Gesetzes herrschend geworden ist: die Sitte nämlich unter die zur Bezeichnung von Figuren benutzten Buchstaben niemals das / zu begreifen, sondern nach O sofort zu X überzugehen. Offenbar wollte man dadurch der leicht möglichen des Verwechslung Vertikalstriche vorbeugen'). Buchstaben I mit Hippokrates übersprang einem einfachen das J noch nicht?), und auch bei der eben erwähnten Bezeichnung der Ecken des Pentalpha spielt I eine Rolle. Nicht ohne Interesse ist es ferner, dass einmal (Fig. 32) ein Fünfeck mit einspringendem Winkel erscheint, aber nicht anders genannt H wird als ,die geradlinige Figur, welche aus den ZBH, ZBK, drei a7 E Dreiecken ZKE besteht“). Lg A Wir lassen es dahingestellt, ob man daraus entnehmen will, dass jene Figur als Fiinfeck nicht angesehen zu werden pflegte, jedenfalls ist doch die Vereinigung der drei. Dreiecke zu einem einheitlichen Gebilde ausgesprochen und damit das erste bekannte Vorkommen eines Vielecks mit einspringendem Winkel in einer geometrischen Abhandlung gewonnen. Bemerkenswerth ist ferner, was Eudemus ausdrücklich hervorhebt‘), dass Hippokrates am Anfange seiner Abhandlung bewies, dass Halbkreise rechte Winkel umfassen, Segmente dagegen, welche grösser (kleiner) als Halbkreise sind, spitze (stumpfe) Winkel; dass Kreisflächen sich verhalten, wie die Quadrate ihrer Durchmesser und ähnliche Kreissegmente, d. h. solche, welche gleichvielte Theile ihrer ne un 1) Nach Professor Studemund. Historisch-literarische Abtheilung pag. 134, lin. 23 figg. S. Vergl. Zeitschr. Math. *) Eudemi fragm. °) Eudemi fragm. pag. 183, lin. 8 figg. pag. 128, lin. 26 bis pag. 129, lin 9. | 183. Phys. (ed. XXI. Spengel) *) Eudemi fragm.

betreffenden Kreise bildeten, wie die Quadrate ihrer Sehnen. Es ist gewiss mit Recht betont worden!), es könne nicht um die Erfindung, sondern nur um den Nachweis dieser Sätze sich handeln. Bekannt waren einige derselben wohl schon früher, so der Satz vom rechten Winkel im Halbkreise schon Thales, dem wir sogar einen Beweis zuzutrauen wagten. Auch die Proportionalität der Kreisfläche und des Quadrates des Durchmessers kann nicht als neu angesehen werden, da die rechnende Kreisquadratur der Aegypter auf ihr beruhte. Wir dürfen hier auf das Wort dvvauıg, Vermögen, lateinisch potentia hinweisen, durch welches das Quadrat benannt ist?). aus der lateinischen Uebersetzung in erweiterter Bedeutung Dass des Wortes unsere Potenzgrössen entstanden sind, liegt auf der Hand. Das Vorkommen des Wortes als Kunstausdruck bei Hippokrates, den Eudemus hier wörtlich nachweisbare. ausgenutzt haben dürfte, ist das erste Später kommt das Wort sowohl in mathematischem als in nichtmathematischem Sinne ungemein häufig vor. Platon hat es benutzt*), Aristoteles nicht minder an unzähligen Stellen, wo auch von dem dynamischen Auftreten dieser oder jener Eigenschaft — wir sagen gewöhnlicher in lateinischer Wortform treten — die Rede ist, deren virtuelles Aufder Kunstausdruck der einen Wissenschaft zum Kunstausdrucke einer anderen wurde. Es scheint fast, als läge in den Wörtern dvuvepig und rergaymvog ein ähnlicher Gegensatz wie in unseren Ausdrücken „zweite Potenz“ und „Quadrat“. Das eine bezieht sich auf die arithmetische Entstehung als Zahl, das andere auf die geometrische Deutung als Fläche, und somit wäre in der That bei Hippokrates von einer rechnenden Vergleichung der Kreisflächen, wie sie aus ihrem Durchmesser sich ergeben, ausgegangen worden. Ganz klar gestellt ist, wie sich im 11. Kapitel uns zeigen wird, diese schwierige, wie uns aber scheint nicht unwichtige Frage noch nicht, und ihre Beantwortung wird der Einzelforschung anheimgestellt bleiben müssen. Kennzeichnend für die Schreibweise des Hippokrates und, wie wir sagten, die Annahme, dass Eudemus uns theilweise den alten Wortlaut aufbewahrt habe, wesentlich unterstützend ist eine gradezu unerträgliche Weitläufigkeit, eine Breite der Wiederholungen nur daraus erklärbar, dass es damals an Elementarlehrbüchern fehlte, auf welche für die einfachsten Hilfssätze ein für allemal hätte verwiesen werden können. So mag, wie scharfsinnig vermuthet worden ist‘), grade beim Verfassen dieser Abhandlung das Bewusstsein für 1) Bretschneider 132—133. 8) Platon, Theaetet pag. 147. ? Eudemi fragm. pag. 128, lin. 28. *) Bretschneider 131.

Hippokrates von Chios. Hippokrates recht deutlich zum Durchbruche gekommen sein, wie unentbehrlich ein Elementarwerk sei, so mag er nachher die Anfertigung eines solchen selbst in Angriff genommen haben, jedenfalls erst nachher, weil es sonst an Anführungen gewiss nicht fehlen würde. desselben bei ihm selbst Statt deren musste er in ermüdend einformiger Weise die einfachsten Dinge wiederholen oder unbewiesen als an sich bekannt aussprechen. Wir erwähnen in letzterer Beziehung den Satz, dass die Sechsecksseite dem Halbmesser des Kreises gleich ist, den anderen Satz, dass das Quadrat einer Dreiecksseite grösser (kleiner) als die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, falls letztere einen stumpfen (spitzen) Winkel mit einander bilden. Als selbstverständlich setzt Hippokrates auch die Trapeze voraus, welche er zur Herstellung seiner Mondchen bedarf. Dass diese Trapeze gleichschenklig sind, und als solche zu den bei Aegyptern und bei in Aegypten gebildeten ausländischen Geometern beliebtesten Figuren gehören, werden. braucht für unsere Leser kaum mehr betont zu Aber auch das gleichschenklige Trapez war Umständen so genau noch nicht studirt, unter allen dass die Gewissheit festgestanden hätte, es sei möglich ein solches zu bilden, dessen Seiten sich wie 1:1:1:Y3 verhalten, es sei ferner möglich ein solches in einen Kreis einzuzeichnen. Seiten, welche das genannte Verhältniss darboten, zu zeichnen, war freilich einem Schüler von Pythagoräern nicht schwierig. Zog man im gleichseitigen Dreiecke von der Spitze aus eine Senkrechte auf die gegenüberliegende Seite, so erhielt man das eine Elementardreieckchen des Timäus, dessen Seiten im Verhältnisse 1:Y3:2 stehen, und es war also nur nöthig die kleinere Kathete dieses Dreieckchens dreimal, die grössere einmal zu wählen, um die verlangten vier Strecken zu besitzen, aber es blieb zweifelhaft, ob und wie damit ein Paralleltrapez zu construiren war, und Hippokrates fühlte noch nicht die Nothwendigkeit diesen Beweis zu führen, während, wie wir sehen werden, wenige Jahrzehnte später kein griechischer Geometer sich dessen hätte ohne gerechtem Tadel zu verfallen. entschlagen dürfen Dass jenes Trapez einmal gegeben zu einem Sehnenvierecke gemacht werden könne, beweist dagegen Hippokrates. Dass zu diesem Nachweise genüge zu zeigen, dass je zwei gegenüberliegende Winkel sich zu zwei Rechten ergänzen, weiss Hippokrates offenbar noch nicht. durch Congruenzen, dass Er zeigt vielmehr der vierte Eckpunkt 4 des als gegeben gedachten Trapezes sich auf dem durch die drei anderen Eckpunkte ABT gelegten Kreise befinde. (Fig. 33.) Er halbirt die Winkel bei A. und I’ durch 4E und l'E und zieht von deren Durchschnitts?

punkte E aus die EB und E4. Weil nun 4B = l'A war, wusste man daraus auf die Gleichheit der Winkel BAT = AT 4 zu schliessen. Daraus folgte, dass > auch die Hälften BAE, EAT, ATE ETA sämmtlich unter einander gleich waren. Ferner war uf gegeben BA=AT=TI4. Da nun AE sich selbst gleich, so ist vermége des Congruenza EL Ny satzes von den beiden gleichen einen gleichen / 7 Winkel einschliessenden Seiten Dreieck BAE > EAT und EB= EI. Wegen der Gleichheit Fig. 88. der Winkel EAT, ATE ist aber bereits ET = EA, mithin ist EB = ET = EA oder E der _Mittelpunkt des durch ABI gelegten Kreises. Jetzt ist bei AT = T4, ET = ET, Winkel ATE = ETA auch die Congruenz ATE > ETA erwiesen und in diesen Dreiecken EA = EJ d.h. der genannte Kreis geht auch durch 4. Dieser Beweis bestätigt unsere obige Bemerkung, Hippokrates habe versäumt den Nachweis zu liefern, dass ein Trapez von dem verlangten möglich. sei. Seitenverhältnisse überhaupt Hier ist nämlich nur die Gleichheit von drei Seiten BA, AT, l'A, nicht deren Verhältniss zur vierten Seite BJ berücksichtigt. Anders gesagt: es ist bewiesen, dass jedes Paralleltrapez mit drei gleichen Seiten ein Sehnenviereck ist. Hippokrates beschäftigte sich, wie wir (8. 189) ankündigend bemerkten, auch noch mit einem anderen mathematischen Probleme, mit der Würfelverdoppelung. gegnende von den drei Das ist die letzte uns hier begrossen Aufgaben der griechischen Mathematiker, welche ihnen Gelegenheit gaben ihre Kräfte zu üben und das zu erfinden, was man die höhere Mathematik jenes Zeitraumes zu nennen berechtigt ist. Ueber die Geschichte der Würfelverdoppelung sind wir durch namhafte Ueberbleibsel aus alter Zeit ziemlich gut berichtet, und selbst der sagenhafte Anstrich des Ursprungs der Aufgabe wird im 30. Kapitel griechischer Mathematiker sich als erheblich Eratosthenes ausweisen. im III. S. schrieb Ein an Ptolemäus Euergetes den ägyptischen König einen Brief über diesen Gegenstand, der sich bei Eutokius von Askalon, einem späten Commentator des Archimed, erhalten hat und dessen Anfang wir hier beiftigen'). | Trotzdem er ziemlich weit jenseits der gegenwärtig 1) Zur Geschichte der Würfelverdoppelung vergl. N. T. Reimer, Historia problematis de cubi duplicatione. Göttingen, 1798. J. H. Dresler, Eratosthenes von der Verdoppelung des Würfels. Osterprogramm 1828 für die herzogl. Nassauischen Pädagogien zu Dillenburg, Hadamar und Wiesbaden. Ch. H. Biering, Historia problematis cubi duplicandi. Neues Kopenhagen, 1844. Theilweise auch an Stellenmaterial in der.. Dissertation von C. Blass, De Platone

allem behandelnden Zeit Hippokrates von Chios. hinabführt, glaubten wir 199 doch eine Trennung des zusammengehôrigen Textes nicht vornehmen zu sollen und werden lieber später, wo es nôthig ist, auf dieses Kapitel hier zurückverweisen. „Dem Könige Ptolemäus wünscht Eratosthenes Glück und Wohlsein. habe einer den Minos, wie er dem Glaukos ein Grabmal errichten liess, Von den alten Tragödiendichtern sagt man, und hörte, dass es auf allen Seiten 100 Fuss haben werde, sagen lassen: Zu klein entwarfst Du mir die königliche Gruft, Verdopple sie; des Würfels doch verfehle nicht. Man untersuchte aber auch von Seiten der Geometer, auf welche Weise man einen gegebenen Körper, ohne dass er seine Gestalt veränderte, verdoppeln könnte, und nannte die Aufgabe der Art des Würfels Verdoppelung; denn einen Würfel zu Grunde legend suchte man diesen zu verdoppeln. Während nun lange Zeit hindurch Alle rathlos waren, entdeckte zuerst der Chier Hippokrates, dass, wenn man herausbrächte zu zwei gegebenen graden Linien, wo die grössere der kleineren Doppelte wäre, zwei mittlere Proportionalen von stetigem Verhältnisse zu ziehen, der Würfel verdoppelt werden könnte; wonach er dann seine Rathlosigkeit in Rathlosigkeit verwandelte. eine Nach der Zeit, Delier, weil sie von einer Krankheit zufolge andere nicht geringere erzählt man, wären die befallen waren, einem Orakel geheissen worden einen ihrer Altäre zu verdoppeln und in dieselbe Verlegenheit der Akademie gerathen. gebildeten Sie hätten aber die bei Platon in Geometer beschickt und möchten ihnen das Verlangte auffinden. gewünscht, sie Da sich nun diese mit Eifer der Sache unterzogen und zu zwei Gegebenen zwei Mittlere suchten, soll sie der Tarentiner Archytas vermittelst der Halbeylinder aufgefunden haben, Eudoxus aber vermittelst der sogenannten Bogenlinien. Es widerfuhr ihnen aber insgesammt, dass sie zwar ihre Zeichnungen mit geometrischer Evidenz nachgewiesen hatten, sie aber nicht. leicht mit der Hand ausführen und zur Anwendung bringen konnten, ausser etwa einigermassen die des Menächmus, doch auch nur mühsam.“ Der alte Tragiker, auf dessen Verse Eratosthenes sich beruft, ist kein anderer als Euripides, Poleidos sie vorkommen, wie ist’), in dessen- verloren Da nun Euripides 485—406 lebte, mathematico. Bonn, 1861, gegangenem sehr wahrscheinlich gemacht worden pag. 22—30. seine dichterische Wirk- Unsere Uebersetzung des Briefes des Eratosthenes nach Dresler 1, c. 8. 8—10. 1) Valkenarius, Diatribe de fragm. Eurip. Pag. 208. De cubi duplicatione pag. 20. Vergl. Reimer,

- samkeit also etwa in die gleiche Zeit fällt, in die wir die wissenschaftliche Thatigkeit des Hippokrates verlegen, so geht hieraus hervor, dass eben damals die Sage von dem Grabmale des Glaukos bekannt war. Ob damals die Sage schon alt gewesen; ob Euripides ihrer gedachte, weil die Gelehrten des Tages sich bereits mit Würfelverdoppelung beschäftigten, die Anspielung also einen gewissen Eindruck auf die feiner gebildeten Zuhérer machen musste; ob man den entgegengesetzten Thatbestand annehmen soll, dass die Volksthümlichkeit der Verse des Euripides die Mathematiker auf die eigenthtimlich gestellte Aufgabe aufmerksam machte; ob wir daran erinnern diirfen, dass Euripides der Dichter selbst ein Gelehrter, dass er ein Schüler des Anaxagoras war, das alles gehört in das Bereich gewagtester Vermuthung, oder wenigstens noch unerledigter Forschung. Als gesichert ist gemäss dem Berichte des Eratosthenes nur so viel zu betrachten, dass nach fruchtlosen Versuchen Anderer über die Aufgabe der Würfelverdoppelung Herr zu werden, Hippokrates von Chios auf die Bemerkung fiel, dass die Aufgabe auch in anderer Gestalt sich aussprechen lasse. Findet die fortlaufende Proportion a:4 =x:y=y:b statt, so ist 2° = ay, y? =bx, mithin x' =0 y? =a?bx und = ad oder, wenn b = 2a, wie es bei der Wiirfelverdoppelung nothwendig erscheint, 2° = 2a?. Die Seite des doppelten Würfels ist in der That die erste von zwei mittleren Proportionalen, welche zwischen der einfachen und der doppelten Seite eingeschaltet werden. des ursprünglichen Würfels Diese Erkenntniss, welche auch Proklus!) dem Hippokrates nachrühmt, war ein Schritt weiter auf dem richtigen Wege, aber allerdings ein verhältnissmässig kleiner Schritt. Hippokrates verwandelte nur, wie Eratosthenes in fast scherzhaftem Tone sagt, seine Rathlosigkeit in eine andere nicht geringere Rathlosigkeit. Wie sollten jene beiden mittleren Proportionalen gefunden werden? Die Männer, welche der Lösung dieser Aufgabe sich gewachsen fühlten, sind es, die uns im Folgenden entgegentreten werden. Auf ihre Gemeinschaft führt auch das Mathematikerverzeichniss uns hin, wenn es neben Hippokrates von Chios noch Theodorus von Kyrene in der Geometrie beriihmt nennt. Von diesem wissen wir an geometrischen Thatsachen nur, dass er die Irrationalität der Quadratwurzeln von Zahlen zwischen 3 und 17 bewies?) (8. 170). Wir wissen von ihm ausserdem, dass er der Schule der Pythagoräer angehörte?), und dass er Lehrer Dingen war‘). des Platon in mathematische +) Proklus (ed, Friedlein) 218, *) Platon, Theaetet 147, D. 5) Jamblichus, Vita Pythagor. 267. *) Diogenes Laertius II, 103,

Platon. Platon und die Akademie nehmen jetzt, der griechischen Philosophie, so griechischen schichte Mathematik, die Stellung leitende müssen wir uns beschäftigen. in wie in der der Ge- Geschichte ein. Mit der ihnen | 10. Kapitel. Platon. Zwei Kriege von schwerwiegender Bedeutung für die Gestaltung staatlicher Verhältnisse, wie für die Entwicklung der Wissenschaften wurden auf griechischem Boden innerhalb eines Menschenlebens gekämpft. Der peloponnesische Krieg, welcher die Macht Athens vernichtete, welcher den Staat des Perikles von seiner geistigen, wissenschaftlichen wie künstlerischen Höhe herabstürzte, begann 431. Der sogenannte heilige Krieg, in welchem die Thebaner durch ein kurzes Uebergewicht erschöpft, König Philipp von Macedonien zu Hilfe riefen und ihm so den ersten willkommenen Anlass gaben in griechische Dinge sich einzumengen, endete 346. Dieselben Jahreszahlen begrenzen Seine Geburt das fast genau Jahr 429, in das das Leben Platons. Schreckensjahr, in welchem die fällt in durch die Schilderung des Thukydides in grässlicher Wahrheit bekannte Pest Athen in Trauer hüllte, in welchem Perikles starb. Sein Tod erfolgte 348 an demselben Tage, an welchem er 81 Jahre früher geboren war. i In Platons schichte der Lebenszeit fallen auch zwei Kiinstler, deren die Ge- Mathematik Erwähnung thun darf: Polyklet, die Verfertiger des Olympischen Zeus, Here. Pheidias und der Argivischen Von Pheidias erzählt Lucian in dem Dialoge über die philosophischen Sekten*), er sei im Stande gewesen aus der Klaue eines Löwen anzugeben, wie gross der ganze Löwe war, woher die lateinische Redensart ex ungue leonem stammt, welche sich bis zu unseren Tagen erhalten hat. Von Polyklet meldet Galen?), er habe in einer Schrift, die Kanon überschrieben war, die Lehre von allen Verhältnissen des Körpers aufgestellt. Wer denkt dabei nicht an die vorgezeichneten Quadrate im Grabmale Seti I (8. 66), wer nicht an die Nothwendigkeit einer in weite Kreise eingedrungenen Lehre von der Aehnlichkeit der Figuren? *) Lucian, 'Eguótepos 7 neot aipgéscemy. noatny al Ildrova. *) Galen, Ilegl tay xo’ “Imng-