Da Pitagora ad Einstein

VECCHAN MA. CONFERENZE In : Il Bollettino di Matematica, 34-1938-p,89-96+125-132 DA PITAGORA AD EINSTEIN © CA di MARIO VECCHI (Bologna) Benchè sia opinione comune che il maggior stimolo alla libera speculaziono matematica derivi dalla brama insita nell'uomo di squarciare il velo che occulta |’ intima essenza dello cose, pur tuttavia, se risaliamo il corso dei secoli, siamo indotti ad accordare alle più riposte scaturigini della madre di tutte le scienze carattere prevalentemente empirico. Da Erodoto che assegna l'Egitto come culla della divina geometria, quale germogliata dalla urgenza di ristabilire i confini periodicamente sconvolti dalle piene del Nilo, alle, più remote leggende, che, dalla necessità di precisazioni e misure pei mercanti fenici, fanno scaturire i più lontani vestigi dell’ aritmetica, come dal bisogno di seguire il moto delle stelle per gli astrologi babilonesi, i primi segni di misure astrali, tutti i documenti di cui siamo esperti, sombrano concordare nella affermazione anzidetta. l se una luce piena ci scorgesse mentre esploriamo codesta fase preistorica del pensiero matematico, troveremmo qui, tra i bagliori antelucani, i germi del teorema di Pitagora, balzato dalla mente dei muratori primitivi, che giunsero a costruire il muro verticale colle tre funi di lunghezza 3, 4 e 5. (4) N. d. D, - Conferenza tenuta all’ istituto matematico della R. Università di Bologna il 5 marzo 1937. Tale Conferonza fu pubblicata, coi tipi della Coop, Tip, Azzoguidi, di Bologna, ma in un numero limitato di esumplari. Il largo plauso che ussu ha subito riscosso noche da parte di eminenti scionziuti, mentre fra gli studiosi si fu sentire sempre più vivo il bisogno di quadro che consenta di generale del trovare qualche trascorrere rapidamente attraverso il dominio ponsiero matematico, ci pare sufficiente ad ussicurarei di lar cosa gradita ni nostri lettori ripubblicando, integralmente, col gentile consenso dell’ Autore, la sua Conferenza, in duo successive puntate.

_ dò Ma se quel primo accozzo di osservazioni e regole empiriche si andò col tempo dilatando ed arricchendo, restò tuttavia privo di una linea logica conduttrice e di un disegno coordinatore, finchè non venne a riverberarsi su di esso la luce nascente dell Ellenismo. È il luminoso pensiero greco che con Pitagora e la sua scuola s'innalza fino alla coordinazione dei rapporti naturali colle relazioni aritmetiche e alla formulazione quantitativa dei risultati sperimentali. Sul fondamento dell'affermazione famosa « l'essenza delle cose è il numero », i Pitagorici assurgono a una sintesi dei concetti matematico e fisico, che, comunque intessuta di credenze magiche e divagazioni favolose, esprime il primo raggio di una teoria scientifica cho si affacci sulla storia. E furono i Pitagorici che giunsero a cogliere il primo grande risultato teoretico che dobbiamo al pensiero matematico: voglio dire la scoperta per via razionale della esistenza di grandezze incommensurabili; le quali appunto perchè in antitesi coi principi conclamati del Pitagorismo, ne scossero gli angusti schemi, preparando una elaborazione ulteriore dei concetti aritmetico e geometrico, da cui doveva poi germiuare un indirizzo nuovo, e potentemente costruttivo, cioè lo studio delle entità continue, preludente a quella geniale analisi, che venti secoli più tardi segnerà con Newton il meriggio nella della geometria analitica e della meccanica celeste; ed il terzo, che ha fondato la statica, l’idrostatica, e la catottrica, escogita per la matematica procedimenti euristici e probatori di siffatto - potere che appaiono anche oggi un prodigio di ardimento e di genialità. Con l'opera di Archimede la matematica antica tocca il suo apogeo; la luce che se ne sprigiona fende diritto le fitte tenebre che quasi due millenni addensano sulla cultura scientifica, fino a folgorare nei tempi nuovi Galileo e la sua scuola. Trasmigra frattanto da Atene ad Alessandria il contro della cultura ellenica, e sorge la trigonometria, in sussidio alle teorie geometriche precedenti, a preparare la costruzione della astronomia geocentrica, cui Tolumeo consegna nell’ « Almagesto » e che tienes il campo fino a Copernico. Ma il sole della speculazione geometrica greca, che era pur giunta a così superbe conquiste, volgeva ormai all’occaso, e l'opera dei matematici greci veniva avvolgendosi in un progressivo grigiore, cui addensarono tenebre i tempi infecondi dei « commentatori >, finchè fu travolta in un oblio millenario dalla folle distruzione del museo glorioso di Alessandria. Ma se, dopo tanto spendore, la luce dell’ Ellenismo rapidamente si spense lasciando dietro di sè una notte diuturna, gli atstoria delle conquiste matematiche. teggiamenti del pensiero greco avevano già prestato alla matematica i suvi caratteri salienti, e spiccati insieme il culto del rigore Infraute così le iniziali pastoie, la geometria si librava a più largo volo orientandosi verso costruzioni ideali, di cui una conce zione dell'universo, quella della scuola platonica, ne fu il frutto o l'elemontare armonia, onde emerge la sua singolare vitalità; e di bello si para loro dinanzi, l' edificio matematico, consegnato gure un modello razionale del cosmo. Ma codesta concezione filotiche, sfidante ogni contrasto edace del tempo. onde emerse la possibilità di costruire attraversoi numeri e le fisofica doveva tosto lasciare il campo alla stretta esigenza della dialettica, che, auspice Aristotile, ne svolse in diverso senso indirizzo e sviluppo, mentre la pura corrente geometrica, sciolti i vincoli recenti, e travolti gli impedimenti della critica e dello scetticismo, seguiva la genuina ispirazione del suo estro costruendo le opere fulgenti di Fuclide, Apollonio ed Archimede, che segnano il periodo aureo della matematica antica. | Il primo, in antitesi alla sottile critica sofista, elabora un edi. fizio matematico organico e completo e ci dà i suoi « elementi » che restano monumento insuperato di logica bellezza; il secondo, con una teoria compiuta delle sezioni coniche, costruisce l'elemento geometrico, su cui, in processo di tempo, saranno gettate le basi quando le orde vandaliche tutto dirompono e travolgono ciò che alle sue rigide forme, resta là, monumento eretto su basi grani- Pur nelle tenebre che avvolgono quel millennio dì storia che si novella medio evo, la letargia da cui è pervasa ogni forma di attività speculativa è rotta da qualche guizzo che dà il pensiero matematico mentre va costruendo un nuovo congegno: è |' algebra, che, nata nell'India, cullata dagli Arabi, viene recata dal Fibonacci in Italia e quivi rielaborata come forma rappresentativa in modo da nequistare un potere euristico nuovo. Al margine di codesto periodo, quasi sempre grigio per la storia del pensiero, troviamo qualche bagliore per opera precipua di italiani; i quali giungono rapidamente a risolvere le equazioni algebriche di terzo e quarto grado.

mate. Ma eccoci ormai all'alba che annunzia lo grandi illuci pensiero matiche! Quasi rinvigorito da un sonno millennario, nza, @, matematico va man mano riacquistando la propria coscie di ela» via la cerca , antica ione riallacciandosi alla gloriosa tradiz la faso borare pel cosmo una concezione matematica superante i schem gli ti llizza crista erano qualitativa o descrittiva, in cui si r anteriori. L'orientamento nuovo si precisa ad opera di ne e: matico, allievo antico dello studio bolognese, Nicolò Arin luce suo geniale lavoro « de revolutionibus orbium », venuto fosse gli l'anno istesso in cui cadeva Costantinopoli, quasi prest, ata ava al regal nuova era dell’ dal fato la sorte di apparire araldo ario, mondo attonito la concezione eliocentrica del sistema planet | travolgendo tutto un ordine d' ideo. opera postuma di un dell’ Non voglio tacere a questo punto ico, lu altro innovatore, John Neper, nato dopo la morte di», Copern ai ando prest tmi logari dei le quale descriveva il « canone mirabi In i quind € a, ometri trigon la cui ricercatori un nuovo congegno, di agli pure e tosto Ma so. soccor il scienza dei cieli, sollecitavano te di albori del 600 s'ispira a Copernico un'altra animauoarden he, ricerc assid dopo quale, il o, matematico; è Giovanni Kepler conormai i, circol dei luogo in arie, riscontrava nelle orbite planet ione sentiti, le antiche ellissi di Apollonio, assurgendo, con induz ari. planet moti dei leggi delle geniale, alla formulazione effettiva Se pure tutta l'importanza della concezione Kepleriana e co dal De era stata colta dagli studiosi contemporanei, ne tampo beneli il re gimirante Galileo, essa ha potuto tuttavia presta ativo; ilcoqua 0 mento che doveva eccitare il rincorato spirito speculee 81 infatti, con un balzo memorabile di ispirazione di un esprimeva tosto nella costruzione della Dinamica. Poco più quasi opera oso, secolo bastò alla fattura di codesto quadro grandi dire, lA esclusiva di due giganti, al quale Galileo donò, vorrei ro pensie il linea, mentre Newton gli did il colore, e in cui collaborazsii ione o il pensiero matematico si armonizzarono in una meccavica e così intima è così assidua di impulsi reciproci, che matematica si fusero da allora nella più larga compagine di una nuova dottrina, che poi fu detta « filosofia naturale ». L'ora della ripresa speculativa era scoccata © sl ge mr 0 damente al suo pieno splendore! Quando alla metà del ee angli bbio connu so iglio merav in Fermat e Descartes disposavano tichi procedimenti di Apollonio coi nuovi metodi dell'algebra à «geometria analitica » che, in una sintesi superba, costituire la consacrava la equivalenza dei problemi algebrici e geometrici, il potere euristico della matematica parye realmente adeguarsi alla complessa totalità dei problemi del cosmo. Ne scaturiva in effetto una prima sintesi cinematica dei fenomeni naturali; la quale, benchè subito superata nel suo primitivo quadro, doveva serbarsi tuttavia luce e guida alle speculazioni fisiche successive. Cade in questo periodo fecondo la nascita dell’« aritmetica superiore », che, sbocciata dal genio di Fermat, e cullata poi da matematici di prim’ ordine, doveva recare con sè fascino perenne, Ma i problemi del moto, che avevano preso Galileo, lo conducovano ad esaminaro i classici procedimenti escogitati da Archimede per le sue scoperte geometriche, ed a coglierne il singolare valore euristico. Con Galileo, i suoi allievi Cavalieri e Torricelli e fuori d' Italia, Keplero e Fermat, Descartes e Huygens, soguiti da una pleiade di minori, ripensarono quei procedimenti applicandoli ai problemi del moto. Simultaneamente veniva elaborato il problema generale delle tangeuti, già studiato dagli antichi limitata mente alle coniche e alle spirali. A codesta fervida elaborazione concettuale arrise il successo teoretico ed euristico più grandioso che la storia del pensiero ricordi; ciod la costruzione, data alfine Leibniz, al « calcolo infinitesimale » ; a questo crogiuolo meraviglioso, in cui si sottopone a leggi rigide e operada Newton e da zioni concrete un ente che trascende le nostre facoltà intellettuali: voglio dire |’ infinito. . Non io presumo dar qui un'idea adeguata di codesto congela magica chiave gno mirando, che apparve ad un tratto come nvente il prestigio di aprire tutte le porte del sapere. Dird solo che il metematico, per riuscire a cogliere il moto, che è di per sd di natura transeunte, lo differenzia, cioè lo decompone in tanti moti piccolissimi, che può cosi considerare governati da leggi elementari; poi egli integra il moto, civb ripete infinite volte codesti moti piccolissimi e infine li somma. Armato di due operazioni siffatto, che sono il differenziale e Y integrale, il calcolo infinitesimalo prestò al ricercatore come un giuoco di lenti che (seguendo una immaginosa Scopio analogia del matematico, ma un Volterra), potrebbe dirsi il micromicroscopio singolarmente affinato e perfotto, perchè mentre permette di spingere lo sguardo a scrutare

: misteri dell’infinitamente piccolc, lascia scorgere solo ciò che si ispira a costruire il suo geniale calcolo delle variazioni, e, in interessa vedere, e cela tutto quanto potrebbe confonder lo sguardo, Differenziale e integrale furono i due congegni cho Isacco Newton andò via via affinando per costruire e risolvere quelle equazioni difforenziali, cui avevano dato luogo i problemi du lui posti nell'applicare la sua celebre leggo dell’ attrazione; In tal guisa l'Archimede moderno costruiva al tempo stesso il calcolo infinitesimale e la dinamica celeste; due rami del pensiero speculativo, i quali dopo Newton procedono e progrediscono insoparabilmente, si che congegni nuovi e conquiste positive dell’ uno lo di: vengono simultaneamente dell' altro, e viceversa : così come gemini fiumi, paralleli di corso, si gonfiano insieme e insieme discendono maostosi la valle! A quella guisa che la geometria analitica era germinata dai una forma organicamente ed esteticamente smugliante della sua meccanica analitica. Il Laplace sussidiario o probatorio della meccanica celeste, © da lui tenuto gelosamente occulto, fu, a partire da una veduta teoretica, quasi contemporaneamente riscoperto da Leibniz, che gli prestò anche il suggello delle sue notazioni, rimaste poi nella scienza; ma le ragioni diverse, quasi antitetiche, che informarono le duo costru» zioni, recarono seco fatali contrasti, che vennero accentuandosi viventi i due inventori e non meno tra i discopoli dalle due scuole, travisandosi poi fortunatamente al principio del 700 in un indirizzo tendente a valorizzaro le basi conce:tuali ond’ erano scaturito le due diverse vedute. Ciò non pertanto, e per lungo tempo, strido il contrasto fra i successi mirabili cui erano giunte le applicazioni fisiche ed astronomiche del calcolo infinitesimale, e la insuflicienza concettuale che le basi teoriche di questo tuttavia disveluvano: ma già sulla scena erano apparsi, fra una pleiade di minori, i tre in 1’ edifizio assetto organico e completo il calcolo della probabilità, che sbocciato dagli studi sull'analisi combinatoria del Pascal, aveva poi trovato nell’ < ars conjectandi » di Giacomo Bernoulli le suo basi concettuali. Munito di questo nuovo congegno, che può ben dirsi il telescopio matematico, in quanto mira da lungi abbracciando i contorni delle masse, il Laplace in una ultorioro elaborazione della concezione newtoniana, dá un ultimo tocco all'altra mirabile costruzione della meccanica coleste, stabilendo gli effetti reciproci dei pianeti sulle orbite, in una magnifica sintesi, da cui emorgova infine assodata, attraverso il volgere dui secoli, la stabilità del sistema planetario. geni di Fermat e di Descartes a partire ‘da due diverse vedute, così il calcolo infinitesimale, forgiato da Newton come congegno elabora perfetta, Ma siamo ormai all’ alba dell’ 800, del secolo ehe roca 1 miracoli della nuova fisica; che mentre ci dà la termodinamica, tutta opera di alta matematica, ci dà pure nel dominio della fisica sperimentale, la spettroscopia e la nuova elettrologia; che solo in quest’ultimo campo ci dona sorprese senza fine; fra le quali l'ora mi consiglia di accennare qui solo: la pila, con cui si apre il secolo e che è come il germe lanciato nel campo; la dinamo, che, facendomi lecito di continuare l'analogia, direi che insieme alla teoria di Maxwell no è il fiore, per riserbare come frutto i raggi Xe la telegrafía senza fili, con cui codesto secolo delle meraviglie si chiude. Mentre la grande scoperta del 700, la macchina a vapore, uscita dall'officina, aveva orientato gli studiosi della fisica verso indirizzi tendenti a valorizzare le ricerche teoriche, dalle quali si esprimeva poi tutto un corpo smagliante di dottrina, per la grande grandi matematici del settecento, cui era fra | altro affidato il compito di consolidare i fondamenti del grande edifizio: voglio scoperta dell'800, la corrente elettrica, che pur esce dal gabinetto, dire Eulero, Lagrange, Laplace. gliosi progressi della elettricità; e fra tanto sfolgorio I primi due proseguono la tradizione gloriosa del l'ermat e vauno costruendo l'aritmetica superiore, e frattanto, folgorati dal solo newtoniano, da poco scomparso, continuano |’ opera del titano nelle ricerche algebriche e segnatamente nol calcolo infinitesimale, che il primo rinvigorisce, consolida e divulga, e da cui il secondo la vicenda si inverte; nel nuovo campo è proprio la teoria che necende le ideo da cui rampollano le indagini recanti i meravibrilla un fatto che è salionto nella storia della conquista scientifica: proce. dendo per cammini diversi, uno ottico, l'altro elettrico, l' opera inaugurata da Volta si ricompone in un punto; là dove, recinta di splendori, balza alla vita la teoria elettromagnetica della luce. Tanto fervore d' indagini, tanta dovizia di acquisti nel campo

ndfriasdicuozni'doanlvetrevadnlioarceiovcreorlicusaz,piocnhde,redaetlturcanovnemcroesvtoiomleandrtiogipdgoirtaeànzdieaoilseos,uonciehles,icmabsmoblopico,-pieou)itesbueldfmiensiztreotdiedcilamsceonsctìoelsoplernfedtuetnet,ecocfriromernoitiu,rlap,eamrlevcioeasnpinrocapirneantdael,gilticocnsaflodureizl-i ssdcdcviapwiseseonaalviplrenmtieiòeorngBvlpaaeoiztplroreivnmloiaùencnuecefsodlhmttuooepaita.mirpntmdoeseiataIvlcp,nmeaasdliesdtlanuiqncegimnsleudicultiencaal:ieLsmmiltaadlesfdgan,b'ipitamtrsioemaviegofaclpruhtntgieniealsocvspaadeormd,leptaneratldticreavpeaqtlmoornuepflracozieattusmezailaincftgcoo,sdunariicpefvodmaitadosirHduolacmifenrGlgauriedfrltceecdogizapshirnen,zotelonisanl,itlozdagaeinsvolu;aeiulni’vbrudeiiacòetreldsois,evnLoitldfeavlioorpt1Manv’upvleas8sentlx0rucovtail0-eaia,altdmvecpumoidaibeasnrsquiee.tos,u;neiISsadruG,Dtielieoainvdu;aqvaisedsuiula,eèosanàcg7,rlodueq0qiaeonrCuu0crglaaeieonpctnsèusmdriatoqceptisulhoasmaenerytalgsa,ptutpodierietnRotgrcmeivodocam,eullrutscio’nampeaimacndvtisp8anaeqdsl0oereugiilsemfrtliicaeoaslnovnetiamrdfeWnuazseitcrosnibtatnloguzeeaplrmne,siaordatotnocaecetipnufdonmria:eoszaicrbfgnatsdiapoEu,litcouicvalenipgtadisaeieoztstrnm.rvpoiedaaoegindtvRllenidiad,lzoefibn'duitgnlo8Lioc1zur0snl'mca0aio8ugenpc,rs0rtomeapd0diaoAmrigndbinegpsgtevdiMuvmleaanoòe,lilncteaa,vngbonsevJricemdtats,in.e:,aedeltempo.—125— pmraoi-qaunanltogaesaedmpciondtuasrsdeir:opcihùesatnundiqgluiatstornooerfieatnoìinotpoiisnpuitraò |c8dNahe0felewetdreomlneaml,’zaeitsndeoitnmelieaetàdcigoecdlgieal,lailldaacpmooemscnctiiocuonzuhldismioounleniddoaeonalnliarooedcesiiuaerlmqiciouesenattrnlireecihoslaeeiiplansoLsidetKftivemfvena.roiztrdntaiuoodeamirdris,emolidlleaigdrlaorisc:mduaiilrgrcsigaoidcelnoesidrtieinchvmeioa m(Bologna)VECHIMARIOdioderno.tematico ;scuolediantagonisCmiOeNanFtitEetiRcheEveNdutZeEcontraporedovesseroaNvestael-uinrseoc,ofpaeircatnhae,taP,launtudonveco,isuapnimaednietceiaeplrdoefdletlsapcrosuipnetarotacuonscìonivsengisuviesantqenuzaeledfezldieal (Miocontinua) edidmdcmltNpliioeohaafcdintetpawfge,eqrtlgrrumosodeameaibngarsi,tzlgmtneeiKiaoacsmlintoiarapelp.;crsuaeehdenrAacimtluoaallfefmetiisepnecfapdrouirmoarannelmietreatcmuei'iesndpeerceidsilfceacuieoplnamtleptnoirdumrdnetefooallsiddaeertiòuentclnal7ealue0lmtaoterilrlumvgeceetroadgctatueiorfnliepisfmraeafiosfcnlaitiostoconleaarcciomneevaonzedda,murtaozqienpuapacoesfeoshissrmlvgeiit.rdniddecaizleulovzlulnisdo'pctìeisraevlepozn;sattoeiennaatqolcrtreunaiggisanaoeveinlz,ftoeeiicsifoiihcnddsciieia.al-ftGcnciiruheuociprareuohtiìrs,ùivocFaansrl,rioaseueiuptntnpobaRncetsrarluineetisctaregmDgidlsolatieqieaAglnuvsdraaeiptacltvpueg,qiPardneru.ovpniiocmmes,sIortviTnslitadvns,rtiozAtiiavurofaGeatn,dvndaOuoiaemcncRphatmsnooeslAitumodliapaesilgcunsAoalcleuineaosoDniuascrcsneodarmiafrezoilcEenion,itt‘roeIloeinisnaNepepdatiilveSurultadibTenrt’aoe7sloEtr8tgoafpeI0etuzmr,n0Naoiaezofctrsivnudhepaomnelvzsiacai,zsnt'ioaitntnuelcoartaimdocoltevieondalsrgiteniltelao;-,i. sLeaAvilfgtspneurveacvonlectrin qgefnuecdroaucnleiasozlecntidzheon; LdaiselgdGcqfrEuaitsuhmtirsnzatigeloca.nhi mpeacrimtoarsvrotangmtcl-ouaimnersieto napelrqcfaiseoducvrfnesg-flntvtro,as ps(fcCoeainAFdvI8trgnaesu.laoenz9d,icl)toIia,’e

pieno 800 per aprire la via ad insperate conquiste. Un rapido sguardo al panorama abbozzato ci fa esperti che la matematica, pur suggerendo alle scienze il suo modello impeccabile, ha invariabilmente subito le suggestioni dei problemi della fisica e che in senso consono alla risoluzione di questi ha quasi sempre orientato la sua linea di sviluppo. Invece alla metà dell'800 la corrente critica ne svolge gli orientamenti sì da sciogliere le sue teorie da ogni dipendenza dalla fisica, costruendoli come organismi autonomi, stagliati dal quadra generale, senza appoggi estranei, a sè stanti, in sè chiusi. E una nuovissima tendenza che spicca in quel tempo. Spoglie non solo di ogni contenuto intuitivo, ma scevre da ogni vincolo cogli altri rami della matematica, costruite come pure orditure logiche, codeste teorie apparvero a taluni come edifizi logici di un automatismo vuoto, come uno scintillio superfluo ed inane. Eppure di là scaturirono forme concettuali che, con ogni probabilità, resteranno fra le più alte creazioni dell'ingegno umano; vogliamo accennare alle geometrie non euclidee, alla geometria degli — 127 dalla terra, può ben dirsi infinitesima al confronto dell'altro mondo, di cui abbiamo qualche notizia sfuggente e nel quale/figurano dimensioni dell ordine dì milioni d’ anni-luce ! Mentre la veduta critica della geometria andava così attuando, in armonia ai risultati acquisiti, un progressivo assestamento delle categorie fondamentali del pensiero, sul tronco di essa s'innestava, evolvendosi rapidamente, la geometria degl' iperspazi. Perchè tre sono le direzioni in cui si estendono i corpi, e in tre sensi (ortogonali) diversi è possibile muoverci, e con tre numeri possiamo determinare la posizione di un punto, ab antiquo ci è prestare al nostro spazio tre e tre sole dimensioni. Sopra siffatto limite aveva già espresso qualche dubbio Galileo; ma poi vennero i matematici dell 800, i quali, considerando un continuo ad n coordinate, e volendo dare una spiegazione analogica ni fatti meccanici e fisici in esso svolgentisi, hanno concesso allo avvenuto di spazio quante dimensioni occorrevano a siffatte rappresentazioni. Ne è scaturita la pangeometria o geometria degl’ iperspazi. iperspazi, al calcolo assoluto, agli operatori fr nazionali. Se dei fatti come quello di far uscire un oggetto da una ca- Che la somma dei tre angoli d'un triangolo sia uguale a due mera chiusa, senza romperne le pareti, od altri consimili, ove una retti la prima scuola ci ha appreso con sentimento di necessità, quarta dimensione soccorra, vanno relegati nel dominio dei giuochi ma senza avvertirci che codesta proposizione è vera solo in quanto del pensiero, perchè non possono ottenere prova sperimentale, è lo sia l’altra precedente: « per nn punto fuori di una retta passa pure una ed una sola parallelh alla retta data ». Invero, codesta propossiede una sua propria intuitività, per cosi dire matematica, e, proposizione, come Y altra, è stata infirmata e così clamorosamente ciò che ormai nessuno può disconoscere, ha proiettato luce insperata sopra molti fatti prima avvolti in profondo mistero. da ritenere possibile il sussistere di altre geometrie, le quali, per contrapposto a quella da noi tutti studiata e che è detta euclidea, furono dette non euclidee; e sono quelle nelle quali, in luogo di quell’unica parallela, se ne hanno due (geometria di Lobatschefskij), vero che la geometria degl’iperspazi, vituperata da tanti, Frattanto la geometria intrinseca delle superficie, sbocciata dalla mente di Gauss all'alba dell' 800, elaborata ed estesa poi da oppure nessuna (geometria di Riemann). La possibilità effettiva di Riemann e dalla sua scuola a varietà a un numero qualunque di rappresentare quei tre fatti diversi (una parallela, due, o nessunx, dimensioni, si concretava alla fine del secolo nel calcolo assoluto a una di Ricci-Curbastro e Levi-Civita, costruzione così astratta e cosi retta data, per un punto fuori di essa), sopra tre diverse superficie concrete, che sono il piano, la pseudosfera e la sfera, fornisce la prova a priori della possibilità non solo logica, ma pura da sembrare ai matematici stessi una elucubrazione, sfugprima ipotesi, l'euclidea; ciò non toglie gente ad ogni applicazione, esistente per pura edificazione logica. Non tarderemo a constatare a quale altezza si erge l'edificio cui siffatta costruzione sarà per prestare essenziale sosteguo. Parallelamente nell'analisi si evolve il calcolo degli operatori che possiamo essere condotti a correggere silfatta ipotesi o a so: funzionali, che prendono voga ad opera specialmente di Volterra, reale, di codeste tre differenti geometrie. Nello stato presente delle mostre conoscenze la struttura dello ferenza rispondente alla spazio viene ritenuta di pre stituirla con una delle altre due, qualora nuovi dati siano acquisiti, Pincherle ed altri, ed offriranno lineamenti insperati per la preci. o possiamo disporre sione quantitativa e la descrizione di fenomeni nuovi. di più osservazione più largo raffinati strumenti; o di un campo di dell'attuale. Perchè se è vero che nel nostro mondo i triangoli misurati dàuno la somma degli angolì terni l'ipotesi in- Ricordando da ultimo le analisi scaturite dal concetto dovuto a Clifford di curvatura dello spazio, le quali sì riallacciano alle altre euclidea, è pure profonde di Riemann sulle ipotesi della geometria, crediamo di aver vero che la sfera, avento per centro il sole e per raggio la distanza accennato a quel multiforme complesso di teorie matematiche, reuguale a due retti, realizzando

— taggio del secolo XIX, le quali, afliancate da una critica potente, offrono il nuovissimo esempio di costruzioni elaborate in se stesse, in un mondo perfettamente astratto. Ora, codeste costruzioni furono precisamente quelle che permisero di forgiare l'impalcatura, su cui doveva erigersi la più completa sintesi dell’ universo, di cui il pensiero umano si gloria; voglio dire la teoria della relatività, che è vanto di Einstein. euclideo, ha recato molta semplicitá di forma alla rappresentazione, ed ha dato modo di sfruttare il ricco contenuto matematico dolla teoria degl' iperspazi. Nella larga messe di risultati positivi che la teoria di Einstein (relativita ristretta), pormette di cogliere, brilla la spiegazione della esperionza di Michelson, che costituiva uno scandalo pei fisici; ma essa consente ancora di correggere lo equazioni della elettrodinamica, illumina certi fatti spettroscopici e riceve infine conferma nella nuova dinamica dell'elettrone. L'elettrodinamica dei corpi in quiete si era pressochè conchiusa colle classiche scoperte di Maxwell. Per quella dei corpì iu moto, la teoria formulata da Hertz si era trovata in contraddizione coi dati sperimentali, in particolare coll’ aberrazione astronomica, onde dovette dar luogo alla successiva del Lorentz, la quale aveva acquistato notevole prestigio per avere condotto a una brillante previsione relativa al fenomeno Zeeman, scoperto di poi. Ma come essa implicava la possibilità di constatare il moto della materia rispetto ull’ etere, e cioè un vero moto assoluto, fece luogo alla clamorosa esperienza di Michelson, la quale diede risultati nettamente coutrari all’ aspettazione generale, mostrando che la Juce, a propagarsi di lunghezze uguali, l'una parallela, l'altra perpendicolare al moto della terra, impiega tempi precisamente uguali, A rabberciare la sua vacillante teoria, il Lorentz emise l’ipotesi che i corpi in moto subissero una contrazione nel senso della traslazione. É qui che interviene |’ Einstein; il quale, svolgendo nello studio tutte le risorse di un'alta mente matematica, con uno slancio che resterà memorabile, estende ai fenomeni eterei il principio classico di Galileo che il moto uniforme in linea retta non altera U osservazione fenomenica. D'altra parte, appoggiandosi alle conclusioni cui, per vie diverse, erano giunti De Sitter, Tolman e Majorana, |’ Einstein presta alla luce un privilegio che la colloca in augusta solitudine, nè più nè meno che se essa possedesse una velocità infinitamente grande; postula cioè che la luce si propaga nel vuoto con velocità, che è indipendente dal moto tanto della Mentre la matematica, colle sue costruzioni autonome, era così entrata trionfalmente nel campo della fisica del macrocosmo, si era andata evolvendo, con successo crescente 6 novità di risultati, la fisica dell'atomo. La scienza dell'800, orientata sulla continuità degli scambi energetici della materia, non dava conto delle radiazioni emesse dal così detto corpo nero, difficoltà conclamata all'alba del 900. Ma proprio nel 900 il fisico Planck emette I’ ipotesi che Y energia della materia non sia suscettibile di scambi per quantità continue, ma avvenga a salti, a gradini, a scatti, per mezzo di piccole quantità indivisibili, le quali però debbono essere multiple di una energia elementare, detta quanto d'energia. La nuova idea passa subito attraverso la feconda mente di Einstein, che la estende al fenomeno fotoelettrico, coi quanti indivisibili di luce, cioè i fotoni, deputati al lavoro di lancio della luce verso l'esterno, i quali sembrerebbero riporre in onore l'obliata teoria balistica della luce; nè qui si arresta l'indagine dell’ Einstein, che, in una ulteriore elaborazione, spiega certe anomalie sul calore specifico dei solidi, riguardo al quale fenomeno, come negli altri differenti e non meno salienti, fenomeno fotoelettrico e irradiazione del corpo nero, la costante di Planck, connessa al quanto d' energia, viene determinata sperimentalmente con accordo perfetto; sorprendente concinnità di risultati, in grazia della quale la costante di Planck viene a brillare come dominatrice nel campo della fiSica nuova. sorgente quanto dell’ osservatore. Conseguenza di codeste premesse si è che la misura di intervalli spaziati e temporali fra gli eventi non è più indipendente dallo stato di moto, e che gli antichi assoluti spazio e tempo deb: bono far luogo a un nuovo assoluto unico: lo spazio-tempo o cronotopo. Siffatto mondo di Einstein è stato quindi posto in nuova luce da Minkowski, che lo considera come un continuo tetradimensionale di eventi, rappresentabile in uno spazio a quattro dimeusioni, che è l'insieme delle dimensioni necessario per produrre dello spazio consueto, e del tempo l’ avvenimento. Codesto spazio, tuttavia Ma nel 912 il Bohr, riformando arditamente la geniale teoria dell'atomo nucleare, che il Rutherford aveva eretto pochi anni prima, presta all'atomo stesso un nucleo centrale di massa materiale e carica positiva, il protone, coi satelliti che gli ruotano intorno, gli elettroni, aventi carica negativa e massa nulla, ed applica alla sua ipotesi la teoria dei quanti di Planck, estesa da Einstein. Il nuovo quadro ha consentito una ulteriore determinazione della costante di Planck, la quale coincidendo con esattezza mirabile colle altre tre già ricordate, fornisce una nuova e luminosa

prova che lo sguardo lanciato dall’ uomo negli ombratili ripostigli dell'atomo si conforta di luce sicura, Dal numero e dalla disposizione degli elettroni ruotanti in determinate orbite uttorno al nucleo (i quali adumbrano con perfetta analogia il sistema dei pianeti ruotanti intorno al sole), dipendono le proprietà dei vari elementi; conseguentemente, attraverso svariati artifici, cui soccorsero, oltre le teorie matematiche, i metodi nuovamente aflinati della spettroscopia e gli studi più recenti sulle scariche dei gas rarefutti, si è potuto costruire un quadro completo della distribuzione orbitale degli elettroni intorno si vari nuclei di tutti gli elementi conosciuti. Al protone e all’ elettrone, quali unici costituenti dell'atomo, veniva alcuni anni più tardi tolto il privilegio ormai ventenne, perchè il Rutherford, con un bombardamento, eseguito nel 919, delle strutture atomiche con atomi di elio, svelava la presenza illimitato, cioè entro di esso si procede sempre, ma è finito, vale a dire ogni suo punto ha da ogni altro distanza finita. Poichè Je conclusioni che precedono sembrano gettare un'ombra sospetta sul superbo edificio della meccanica newtoniana, occorre qui sottolinenre non solo che questa, nell'ordine fenomenico che contempla, conserva intatta la sua validità; ma che le sorprendenti previsioni, ch’essa consente nel meraviglioso groviglio dei fenomeni celesti, la porranno sempre in luce di somma conquista. Duttavia se si varcano quei confini, all’ ingresso del campo elettromagnetico, le ipotesi del Newton dovranno essere opportunamente corrette. Uosì anche una volta si delinea il contrasto fra il perenne fermerto evolutivo del pensiero e la rigidità degli schemi teorici, rinnovando un urto benefico che ad ora ad ora appare inevitabile fra gli sforzi indefessi di costruire un nuovo quadro più trasparente della realtà. nell'atomo di due nuovi corpuscoli, il neutrone, specie di protone senza carica, € |’ elettrone positivo. A questo punto l’opera indefessa di una coorte di fisici mateunico quadro l’ atomo matici tende gli sforzi per comprendere in di Bohr-Einstein, la meccanica quantistica e la teoria della relatività. Frattanto questa teoria, esprimendo muovi valori dal seno di quel potente processo innovatore ond’ era nata, per opera dello stesso suo ideatore, lo Einstein, estendeva a qualunque moto | assenza di significato assoluto, che aveva prestato ai moti rettilinei uniformi, dando così luogo a quella relatività generale, che, prendendo a sostegno, non più uno spazio euclideo, ma uno spazio tetradimensionale, dotato dì curvatura, compiva il lontano vaticinio di Riemann e comprendeva in ment gravitazionali. La una sintesi superba anche i fenoconquista avviene a mezzo di un nuovo ingresso della matematica nel campo della fisica: il calcolo assoluto, che è uno dei culmini delle teorie create per puro gusto matematico, diventa |’ impalcatura essenziale della nuova costruzione. La quale toglie alla massa il suo carattere di invariabilità, riducendola uguale all'energia divisa per il quadrato della velocità della luce, e pervenendo in tal modo a identificare massa ed energia. La stessa teoria signoreggia poi, in campi diversi, posizioni culminanti e contrastanti, e spiega, fra l'altro, Y incognita relativa allo spostamento del perielio di Mercurio, inesplicato colla teoria newtoniana e costituente uno scandalo per gli astronomi. La energia della luce diventa pesante a spiegare come la luce stessa sia deviata da un campo gravitazionale, quale è, ad esempio, quello del sole. Il mondo della tetradimensionale relatività generale è Mentre la teoria accennata proiettava nuova luce su fatti da tempo inspiegati, a comporre il contrasto stridente fra la concezione dell'etere cosmico e la teoria dei quanti, nel 924 Luigi de Broglie propone di sostituire all’iden dell' elettrone ruotante intorno al nucleo, il concetto di un'onda avente una lunghezza che sia sottomultipla dì quella dell'orbita elettronica. Per tal via il corpuscolo, nato quando il suo secolare nemico, l'etere cosmico, era già stato spogliato ad opera di Maxwell, Hertz, Lorentz delle sue iniziali caratteristiche, soccorso quindi dalle teorie della relatività 6 dei quanti, che lo stesso avversario avevano quasi soflocató fra le loro spire, nell'istante in cui egli sta per conquidere definitivamente i) consumato antagonista, scende nd un compromesso specioso: si fa sostituire da un gruppo o pacchetto d' onde, dotato della sua stessa velocità. Sorge così lu meccanica ondulatoria che, pei fini proposti, può considerarsi equivalente alla cosidetta meccanica delle matrici; la quale, a differenza della prima, vuol fondarsi esclusivamente sui fatti, pei quali si posseggono mezzi diretti di osservazione e di misura; mentre entrambe compongono per sentieri diversi il dissidio sorgente fra gli schemi fondamentali del continuo (fisica del macrocosmo), e del discontinuo (fisica dell'atomo). Per tal modo relatività, teoria dei quanti e meccanica ondulauna nuova corrente vorrebbe sostituire la accennuta meccanica delle matrici), costituiscono oggi un complesso armonioso, edifizio, a struttura ed espressione essenzialmente matematiche, cui le teorie estratte Pangeometria, Geometria di Riemann, Calcolo assoluto, Uperatori funzionali, forgiate per puro sentimento di toria (cui

estetica, hanno prestato i loro schemi, sui quali così la nuova costruzione tende a inquadrarsi mirabilmente. A questo punto dobbiamo tuttavia notare che, se da un lato la scienza del 900, affiancata da raflinati metodi sporimentali e teoretici, ha potuto penetrare nei recessi del mondo ultramicroscopico e assodare la reale esistenza dei corpuscoli costitutivi della materia, possedenti caratteristiche determinate, recentemente lo Heisenberg, in una veduta realistica, ardita, e, in certo senso, conclusiva, rilevava che ogni relazione concernente l' elettrone urta contro un'impossibilitá essenziale, derivante dal fatto che l'elettrone, sotto l'influenza dell’ esperienza stessa, risulta modificato nelle sue caratteristiche individuali, A partire da siffatta concezione, lo Heisenberg lanciava il suo principio d'indoterminazione, inteso a dominare, nella sua singolarità, la fisica del microcosmo; «il mondo dei fenomeni corpuscolari, quale si manifesta alle nostre osservazioni, non obbedisce alla legge di casualità ». Di conseguenza, solo nel mondo macroscopico regnerebbe lo stretto determinismo, mentre le leggi del mondo corpuscolare dovrebbero trovare la loro espressione in criteri puramente statistici. Senza investigare se il principio enunciato implichi un rapporto conveniente ed adeguato fra causa ed effetto, ci limitiamo qui a rilevare il contrasto che ne deriva. Abbiamo tentato di segnare a grandi tratti le linee salienti dello sviluppo della matematica, considerata come istrumento euristico, per darci, in una visione panoramica, una rapida, se pure assui incompiuta idea, della potenza dei suoi congegni, dello slancio della sua ispirazione concettuale. Nata da un accozzo di regole empiriche, si fibra nel genio greco e s'innalza con repentino volo alla dignità di scienza, per toccaro rapidamente i fastigi della speculazione geometrica: superstite dei: tempi barbarici, negletta nella notte medioevale, si ammanta simbolismo orientale; si rinvigorisce coll’ algepoi del bra, si trasfigura colla geometria analitica, si fa sicura e dominante col calcolo infinitesimale; indi si affianen di una critica potente a rivalutare metodi e principi, a consolidare saldamente le basi; poi si protende indefessa a idealizzare il sensibile e a geometrizzare alla realtà il mondo; e infine, disancorata da ogni appoggio fisica, ricostruisce il proprio edifizio come organismo logico autonomo, e, di nuovissime armi precinta, rientra nel campo fisico a sovvertire le tradizionali categorie di pensiero e tende ormai ad esprimere in una sintesi luminosa il mondo dei soli e il micrucosmo,