Il Pitagorismo e la matematica

Dalla tradizione pitagorica INDICE al futuro della cultura e della scienza in Calabria Simposio Internazionale di Studio (Tropea-Palmi, 12-14 giugno 1997) - a cura di Pietro De Leo Pietro De Leo, Presentazione Gaetano-Vallene; Saluti del Sindaco di Tropea ‘y Vincenze-Cappelletti, Introduzione 1 Vincenzo Cappelletti, Pescatori di teoremi e promotori di cultura / \) [by B\re 2 Roshi Rashed, Les échanges en Méditerranée: l’exemple de l'optique 3 Saverio Avveduto, La tradizione pitagorica 2313 17 & Sandro Petruccioli, Un permanente tema pitagorico: > Wr e12Z 25 —> d it} la matematizzazione del mondo Gabriele Giannantoni, Aristotele e i Pitagorici Enrico Berti, L'origine pitagorica dell'analisi geometrica “+ Luigi Pepe, Il Pitagorismo e la matematica Marco Somalvico, Dai numeri ai simboli e dai simboli ai numeri 31 — > $ ‘24 49— 125 5. Jırb 63, sa) Vittorio Emanuele Esposito, Nel labirinto delle complessità: le coordinate pitagoriche 3127 TL DIS \ Saverio Ricci, Filosofia e vita della città: il pitagorismo di Nicola Antonio Stigliola 99 —> DA 151, 9, 40 \ Vittorio Mathieu, Pitagorismo \ Giuseppe Lo Cane, Il senso di una tradizione metodologico-scientifica: Pasquale Galluppi, Rubbettin 127 — SE filosofo della matematica \2 Simonetta Valtieri, Euclide e Pitagora: proporzioni armoniche e rapporti musicali UM Giuseppe Frega, Il ruolo delle Università Regionali \S Giuseppe Borgia, La Calabria: per un ponte culturale e scientifico tra Europa e Paesi del Mediterraneo 6 Giuseppe Caglioti, Il numero e il bello nel trasferimento della conoscenza Dan V. Segre, Convergenza e conflittualità mediterranea l . LU ı 8 Mario Giancotti, L'agorà Telematica: «Nuova» Scuola Italica \ 9137 > Qi 35 51 d'u 153 8135 165 A! IG 171 SX 15 Ees 4 Vineonzo.Cappellett o Adf VNT 149 ° della Sapienza Ds LA

Enrico Berti ignoro la verita, posso dedurre B (da intendersi ugualmente come simbolo di una proposizione), che so essere vero, allora a partire da B dimostrerö che A é vero. Insomma, dove l’analisi funziona in modo sicuro, cioé nelle matematiche, perché le proposizioni sono convertibili, essa permette anche di dimostrare la verita di una proposizione di cui si ignora il valore. Non altrettanto si può dire per gli altri contesti, cioé per le «discussioni», termine con cui Aristotele allude ai contesti dialettici, cioè ai dibattiti, ad esempio, di etica, o di politica, o di diritto. Qui, infatti, le proposizioni non sono convertibili, quindi l’analisi non serve a dimostrare con certezza la verità di una proposizione. In tali dibattiti si verifica precisamente la possibilità di dimostrare il vero a partire dal falso, per cui la deducibilità di una proposizione vera da un’altra di cui si ignora la verità non garantisce la possibilità di dimostrare, grazie all’analisi, la verità di quella che si ignora. L'osservazione di Aristotele rivela quindi che l’analisi è sempre una deduzione, come sosteneva Robinson, la quale in alcuni casi funziona, cioè consente di scoprire la verità di una proposizione, ed in altri non funziona con la stessa sicurezza. Nell'ambito della geometria l’analisi funziona, perché le proposizioni sono convertibili; perciò se, per mezzo di essa, io deduco da una proposizione di cui ignoro la verità una conseguenza che so essere vera, a partire da quest’ultima potrò dimostrare la verità della prima. Questo procedimento, in geometria, consente precisamente di scoprire i principii, cioè le proposizioni vere da cui conseguono i teoremi. Basta, infatti, formulare in via di ipotesi una proposizione che si immagina poter essere vera, ad esempio la possibile soluzione di un problema, e vedere quali conseguenze si lasciano dedurre da essa. Se tra queste ce n’è qualcuna che sappiamo già, per altra via, essere vera, allora essa sarà la prova che l’ipotesi da cui l'abbiamo dedotta è anch'essa vera, per cui avremo provato che l’ipotesi è veramente un principio. Se i Pitagorici avevano scoperto questo procedimento, allora ha senso dire che «Pitagora» (nome che può indicare, come accade spesso nell’antichità, l’intera scuola) ricercava i princìpi «partendo dall’alto (ävoBev)», perché egli ne dimostrava la verità per mezzo di una deduzione, cioè di una via all’in giù, che va dall’alto al basso, quale è appunto l’analisi geometrica. La testimonianza di Proclo, secondo cui Pitagora cercava i principii della geometria «dall'alto» ed esaminava i teoremi «in modo immateriale e intellettuale», alluderebbe dunque proprio all’analisi e alla sintesi, cioè alla deduzione dei principii dalle loro conseguenze, che fungono da premesse e quindi si collocano «in alto», ed alla deduzione dei teoremi dai principii mediante un percorso puramente intellettuale, senza alcun ricorso ad osservazioni sensibili, cioè materiali. Con i chiarimenti forniti da Aristotele si può dunque concludere che effettivamente i Pitagorici scoprirono l’analisi e la sintesi geometriche. Luigi Pepe (Universita di Ferrara)” Il Pitagorismo e la matematica | Studi ampi ed approfonditi sulla scuola pitagorica furono compiuti tra la fine del’Ottocento e i primi decenni del Novecento e consegnati in sintesi che ancora Oggi si propongono come riferimento di Tannery, Cantor, Heath Loria, Mieli!. Si può dire però che l’interesse per la scuola pitagorica ha attraversato con continuità la storia europea da quando Pitagora lasciando l’isola di Samo creò in Calabria la prima scuola scientifica e filosofica europea La tradizione pitagorica era ancor viva ai tempi di Augustoe fu poi utilizzatain forma di credenze e di dogmi per ostacolare la diffusione del Cristianesimo (Apollonio Tianeo ecc.). Ripresa nel Rinascimento in essa si iscrivono non solo un’importante tradizione ermetica (da Pico a Cornelio Agrippa a Francesco Patrizi), ma anche la stessa opera di Copernico. Recenti studi hanno provato la vitalità del Pitagorismo fino a Newton e la sua ripresa agli inizi del secolo XIX con il Platone in Italia di Vincenzo Cuoco?. Vorrei attirare anche l’attenzione su uno straordinario articolo dell’Encyclopedie: Pythagorisme. Esso è opera di Diderot e non è siglato con un asterisco come gli articoli dei quali Diderot si attribuiva la sola responsabilità di redattore. In ef. fetti, nell’epoca della contestazione della scolastica da parte del pensiero dei Lumi (che aveva spinto l’altro editore dell’ Encyclopédie d' Alembert nel Di. SCOUTS préliminaire persino a giustificare Descartes per non aver accolto «dalla setta peripatetica la sola verità che insegnava», che cioè ogni conoscenza proviene dai sensi), il Pitagorismo era avvertito da Diderot come la parte più interessante della filosofia greca, per le sue conoscenze scientifiche e per le norme di filosofia pratica che trasmetteva. Esso si estendeva ben oltre Pitagora e veniva a comprendere anche l’opera di Parmenide e di Empedocle. " Conferenza tenuta al convegno internazionale «Dalla tradizi radizione pita i i lf QUE cultura e della scienza in Calabria», Tropea, 12 giugno 1997. Pre U ka 1 i in pees G. LORIA, Le scienze esatte nell’antica Grecia, II ed., Milano . A. MIELI, Le scuole ionica, pythagorica ed eleata, Firenze 1915. A. MIE ; storia della scienza, Roma 1925. ded 2P | CASINI, SINI, The Ihe Pythagorean Fythagorean Myth: Myth: Copernicus } to Newton J in Copernico ; ere e la quest i pernicana in Italia dal XVI al XIX secolo a cura di L. Pepe, Firenze 1996, pp. 185-199. 7 n 3 Encyclopéd n ie ou dictionnaire raisonné des sciences, ddes arts et des métiers ti vol. XIII (ed.

D’altra parte le scoperte dei Pitagorici nel campo dell’aritmetica, della geometria, della musica e dell’astronomia erano entrate nell’insegnamento di queste discipline che costituirono le arti del Quadrivio e prima nelle opere matematiche dell’antichità classica dagli Elementi di Euclide alle Opere di Archimede, dall’Aritmetica di Nicomaco alle Collezioni Matematiche di Pappo. Sono queste opere e i commenti che le accompagnano (Proclo, Eutocio ecc.), ben più che gli scritti di Platone e di Aristotele, a fornire le fonti più ricche e articolate sulla matematica nella scuola pitagorica. Ora gli Elementi di Euclide sono sempre stati, e lo sono ancora, un riferimento per le conoscenze matematiche e quindi possono ritenersi il principale veicolo delle scoperte pitagoriche a cominciare dal famoso teorema di Pitagora che afferma l’equiscomponibilitä del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo con i due quadrati costruiti sui cateti4. Le figure seguenti indicano la prima la via della dimostrazione euclidea, la seconda un’equiscomposizione verificabile immediatamente: BI |7: TC ; 4 5 93 È : à i 4 \ Wi 4 a. È À 1 Questo risultato, noto come «ultimo teorema di Fermat» ha resistito ai oo dei maggiori matematici: Eulero, Gauss, Legendre Dirichlet, Ceo act DE ‘ig dimostrazione completa solo ai nostri giorni . . 2 4 Nel nostro secolo il «teorema di Pitagora» è rimasto anche come c terizzazione dell’ortogonalità negli spazi più generali per i quali è er le dare la nozione di ortogonalita. Questi spazi, che arten In s a zio ordinario e gli spazi a quattro e più dimensioni, furono cla Schmidt nel 1908 e poi denominati «spazi di Hilbert»s. Essi si sono riv È ti uno degli ambiti più interessanti per lo studio della fisica teorica. In I vorrei ricordare la grande opera di riflessione su buona parte dell m. = matica moderna che prese il nome di Bourbaki. Come nell’antica on I Di. tagorica tutti i lavori comparivano con questa denominazione c nee non con i nomi dei rispettivi autori. snes Li Pitagorici consideravano i numeri interi, come la base non solo dell’ ritmetica ma anche della geometria: del resto la forma nella quale il ui “ di Pitagora era noto agli Egiziani era che in un triangolo di lati 3, 4, 5 Tan golo opposto al lato maggiore era retto (32 + 42 = 52) e tutta la geometria el ellenica era una geometria basata sui numeri interi e i loro rapportí io Per quanto riguarda l’aritmetica i Pitagorici distinguevano i numeri i pari e dispari e utilizzavano con grande abilità le operazioni sui num Le in particolare la divisibilità. Una loro invenzione erano i numeri detti fi = rati perché le unità che li compongore no possono essere disposte in triangoli, quadrati, pentagoni ecc. Si han> @ volume (Ringelbergius, Opera, 1531) | … È @ 6e 4 ® ® ee .@@ i ee : ‘ una rappresentazione di tali numeri: £ 066 Si può vedere facilmente che un | = © 5 000 \ numero è triangolare se e solo se è | Sx PY 0, @@@:/" una somma della successione dei nu€006 eee = Figura 1.2 Figura 1.1 57 ho cosi i numeri triangolari: 1, 3, 6, OMS). 4 numeri quadrati: 1, 4,9, 16, 25, … Riprendiamo da un antico i3 i Se Il Pitagorismo e la matematica Il teorema di Pitagora ha un interesse anche aritmetico. Gia i greci sapevano che esistono infinite soluzioni intere dell’ equazione nel quale il teorema si traduce: x2 + y2 = 72 In una nota su Diofanto Pierre de Fermat osservò che invece non esistono per n> 2 tre numeri interi positivi tali che: meri interi 3 =1 +2,6=1+2+3, 10=1+2+3 +4, ecc. [numeri qua@@ drati sono tutti e solo le somme dei | + ,@@@S’ primi numeri dispari: 4 = 1 + 3,9 = eee 1+3+5,16=1+3 +5 +7, ecc. Legati alla divisibilità sono due 9908, $44.4 „ee Figura 2 xD + va = 7h 4F. ENRIQUES (ed.), Gli Elementi di Euclide e la critica antica e moderna, Voll. 4, Roma- Bologna 1925-36. L'edizione critica di Euclide con traduzione latina é: Euclidis opera omnia ediderunt L. J.L. Heiber8 et H. Menge, Lipsia ipsi 1883-1888. Il «t i Pi i i Natio sono dimostrati alla fine del primo libro degli Elementi (1,47; aa J. DIEUDONNE (ed.), Abregé d’histoire des mathématiques, Paris 1978 I pp. 157-16

ia pz , | e m: gorin importa nde gra ano uiv rib att ci Pita i i insiemi di numeri ai qual | u | numeri amicabili. ‘ei I i suoi divisori propri. i tutt di ero si dice perfetto se è la somma numt or pUn I primi tre numeri perfetti sono: 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 52+124 + 248 496=1+2+4+8+16+31+ lit di calET de rat Def potenzialita di Ri e kl hie ric etti perf La ricerca dei numeri i. Oggi essa è un ! near colo ed ha affascinato i matematic eri perfetti sono i seguenti: grandi calcolatori. Altri cinque num Il Pitagorismo e la matematica 59 17.296, 18.416. Fermat, insieme a Descartes aveva dato anche una regola per costruire altri numeri amicabili, tale regola trova riscontri in precedenti matematici arabi. Oggi anche la ricerca dei numeri amicabili viene effettuata dai calcolatori. Le regolarità che i Pitagorici cercavano nei numeri veniva coniugata con quella delle forme geometriche alle quali erano attentissimi: Pitagora considerava la forma circolare e sferica la più perfetta: da qui nacque l’ammissione del compasso per le costruzioni geometriche. I Pitagorici scoprirono anche il quinto dei solidi regolari: il pentadodecaedro la cui superficie è co- 8.128 33.550.336 8.589.869.056 137.438.691.328 2.305.843.008.139.952.128 e, i seguent i ne hanno rispettiva- Lultimo di questi numeri ha 19 cifr mente 37,54, 65, 77, 3146. Ugualmente complicata € la ricerca dei numeri amicabili. Si tratta cudi coppie di numeri tali che cias pri pro sori no è la somma dei divi dell’altro. Solo la prima coppia di numeri amicabili era nota ai PitagoHal 220=1+2+4+71+142 1+20 284=1+2+4+5+10+1 110 + +55 +44 +22 La seconda coppia di numeri amicabili fu scoperta nell’Ottocen to: 1.184, 1.210, Precedentemente Fermat nel 1636 aveva LE un’altra coppia di numeri amicabil: Figura 3 ct Numbers and Amt- Useless Elegance of Perfe 6 M. GARDNER, A Short Treatise on the h 1968. cable Pairs, Scientific American, marc Figura 4 stituita da dodici pentagoni regolari. L'interesse per il pentagono era per i Pitagorici anche legato alla divisibilità di esso in 30 parti che portava alla divisione in 360 parti dell'intera superficie del pentadodecaedroe alla stella a cinque punte, che divenne il simbolo della scuola. Nello scolio della proposizione XIII, 18 degli Elementi di Euclide si dimostra, con considerazioni sugli angoli solidi, che non vi possono essere pit di cinque solidi regolari. Questi solidi possono essere inscritti in una sfera. Ad un pitagorico, bravo quanto sfortunato, Ippaso di Metaponto é attribuita l’iscrizione del pentadodecaedro nella sfera. Ippaso & noto per aver divulgato la scoperta dei numeri irrazionali e per essersela attribuita. Narrano i Pitagorici che per questa doppia infrazione, e non quindi per la sua scoperta, Ippaso fu vittima di un naufragio: «venne trasportato nel mare delle origini e ivi flagellato dalle onde senza pace». La scoperta delle grandezze incommensurabili segue dal teorema di Pitagora nel caso più semplice quella del triangolo rettangolo isoscele (metà di un quadrato), per il quale non occorre una dimostrazione in quanto il risultato risulta evidente da una semplice equiscomposizione.

Se come pensavano i Pitagorici (e fino ad allora tutti i matematici) fosse stato possibile esprimere entrambe le misure di BC e AC mediante due numeri interi m e n rispetto ad Il Pitagorismo e la matematica 61 — N un’unitä di misura fissata, per il teorema di Pitagora si sarebbe avuto: aw Ò i Figura 6 m=2n . Si può ovviamente supporre che m e n non abbia5 = N N N quinto libro degli Elementi di Euclide e che resta uno dei capolavori del pensiero greco. Essa si fonda su cinque definizioni: no fattori in comune, altrimenti si divide per questi. Inoltre per la relazione precedente m è pari e quindi n V, 1. Date due grandezze, la minore si dice parte della maggiore, quando questa la misura. Figura 5 è dispari. Si può porre allora p? il che m = 2p dovep è l’intero m/2. Risulta allora : 4 p? = 2 n° cioè; n? = 2 che equivale a dire che n è pari. La contraddizione nasce dall’aver supposto Quindi lato e diagonale potevano essere misurati esattamente da due interi. essi sono incommensurabili8. Questa dimostrazione è riportata da Aristotele, Primi Analitici, (A), 23, 41 a 25 con le seguenti parole: «Una prova di questo tipo, ad esempio, è quella che stabilisce l’incom la ta mensurabilità della diagonale, fondandosi sul fatto che viene suppos part». sua commensurabilita, i numeri dispari risultano uguali ai numeri molQui e altrove le opere di Aristotele, anche se non sempre in modo scuola to esplicito, sono una fonte di prim'ordine per la conoscenza della pitagorica. come La scoperta degli irrazionali non arrestò la ricerca dei Pitagorici, non sso i tentativi falliti di risolvere il problema di Delo con riga e compa tale di one impedirono ad uno di loro Archita di Taranto di dare la soluzi toro. un problema mediante l’intersezione di un cono, di un cilindro e di un allieLa risposta al problema degli incommensurabili fu trovata da a Eudosso di Cnido, che si era recato ad Atene a studiare nelvo di Archit isce il l'Accademia platonica, e fu la teoria delle proporzioni che costitu 8 EUCLIDE (ed. Heiberg), Scholia in Elementorum librum X, vol. III, pp. 408-411. V, 2. La maggiore è multipla della minore quando è da questa misurata. V, 3. Ragione (o rapporto) è una relazione tra due grandezze omogenee, rispetto alla loro quantità. V, 4. Si dice che le grandezze hanno ragione tra loro, quando ciascuna pud essere moltiplicata in modo da superare l’altra. V, 5. Si dice che la ragione di una prima grandezza ad una seconda è uguale a quella di una terza ad una quarta, quando, presi degli equimultipli qualsiasi della prima e della terza, ed equimultipli qualsiasi della seconda e della quarta, se il multiplo della prima & maggiore del multiplo della seconda, anche il multiplo della terza sia maggiore del multiplo della quarta; se uguale, uguale; se minore minore?. L'interesse diretto di Platone alla teoria degli incommensurabili si ritrova in diversi dei suoi Dialoghi (Menone, 84 e - 85 b; Teeteto, 147 d - 148 b). La teoria delle proporzioni di Eudosso e Euclide fu il riferimento per la trattazione delle grandezze fino a quando nella seconda metà del XIX secolo Cantor e Dedekind diedero la costruzione dei numeri reali. Eudosso è anche noto per aver dato una spiegazione delle irregolarità che si ri? Gli Elementi di Euclide ed. Enriques vol. II pp. 5-10.

scontrano nel moto dei pianeti con la teoria delle sfere omocéntriche che | fu accettata anche da Aristotele!0. dediOrazio di Ode dall Permettetemi di terminare con una citazione cata ad Archita (I 28): «Tu il mare, la terra, gli innumerevoli granelli Marco Somalvico | Dai numeri ai simboli e dai simboli ai numeri di sabbia misuravi, Archita, e ora Progetto di intelligenza artificiale e robotica Dipartimento di elettronica e informazione Politecnico di Milano solo l’obolo di un pugno di polvere ti copre sul lido marino, né può giovarti, destinato com’eri alla morte, l’aver scrutato lo spazio e indagato l’arco del cielo». In questi bei versi troviamo rappresentati insieme la brevità della vita e la continuità dell’interesse verso la scuola Pitagorica, cinque secoli dopo Pitagora. 1. Introduzione La conoscenza della realtà ci presenta, in modo intrecciato e cooperante, il ruolo dei modelli intesi come conoscenza dei fenomeni. I modelli dei fenomeni, che costituiscono, insieme alle leggi derivate dai modelli, la manifestazione scientifica della conoscenza umana della realtà, sono peraltro: 1. espressioni esatte, cioè perfette, nella loro rappresentazione del fenomeno che si manifesta all’osservazione dell’uomo; 2. raffigurazioni parziali, cioè imperfette, degli elementi ontologicamente costitutivi del fenomeno che l’uomo contempla; 3. momenti innovabili, cioè perfettibili, della cultura scientifica umana che avvicenda a vecchie modellizzazioni più imperfette di uno stesso fenomeno nuove modellizzazioni meno imperfette di tale fenomeno. Nell’incessante prospettazione dei vari modelli con i quali, secondo l’insegnamento di Talete, di Newton e di Galileo, la storia dell’inventiva umana ha saputo, prima contemplare e poi conoscere i fenomeni, l’uomo ha plasticamente plasmato le varie forme ricavate dalla creativa manipolazione dei più svariati formalismi di cui si è dotato, ed ha, in tal modo, svelato parzialmente il fenomeno mediante lo strumento conoscitivo del modello. I numeri ed i simboli sono, nella loro varia natura, sinergicamente intrecciati nel fornire formalismi, talvolta alternativi, talvolta integrati, ma 10 E, RUFINI, Gli studi geometrici di Eudosso di Cnido, Archivio di storia della scienza vol. II (1921-1922), pp. 222- 239. PNR complementari, che Ee prestano alla scultorea teleologia dell uomo che, inventando il modello, di un fenomeno, gli assegna il compito, analo-