Berichtigung zu meiner Arbeit ' Vergleich der mittleren Bewegungen in der babylonischen, griechischen und indischen Astronomie" (Centaurus 11, p.1-18)

Berichtägüng zu meiner Arbeit"Vergleich der mittleren Bewegungen in der babylonischen, griec alschen Astronomie n el. | cectaiua 11: 218) - Y Tri Centayrus, 15 - 1971 + p. 21 - 25 .9° $13 40 See B.L.VANDER WAERDEN: Vergleich der mittleren Bewegungen in der griechi- .. schen und indischen Astronomie. Centaurus 11 (1965) p. 16. RERDEN WW ne 1 redbp GE Bi:LA EURES To Lea)

Berichtigung zu meiner Arbeit » Vergleich der mittleren Bewegungen in der babylonischen, griechischen und indischen Astronomie« (Centaurus 1 1, p. 1-18) von B. L. VAN DER WAERDEN Die Berechnung der siderischen Bewegung der Sonne und des Mondes nach Hipparchos wurde in der oben genannten Arbeit nicht ganz richtig durchgeführt. Die tropische Bewegung (Tabelle 1) war richtig berechnet. Um die siderische Bewegung zu erhalten, wurde zur tropischen Bewegung 5’"541v50v als Betrag der Präzession addiert. Dieser Betrag wurde errechnet aus der Annahme, dass die Präzession nach Hipparchos, wie nach Ptolemaios, 1° in 100 Jahren beträgt. Diese Annahme findet zwar eine gewisse Stütze im Text des Ptolemaios, aber ganz eindeutig ist der Text doch nicht. Ptolemaios schreibt nämlich (Almagest VII 2): ... so ist auf diesem Wege gefunden worden, dass in rund 100 Jahren ein Fortrücken (der Fixsterne) von einem Grad in Richtung der Zeichen stattgefunden hat. Das ist offenbar auch die Annahme Hipparchs gewesen, der in der Schrift “Ueber die Länge des Jahres” also sagt: ‘Wenn nämlich aus diesem Grunde die Wenden und Gleichen in einem Jahre mindestens ;} Grad gegen die Richtung der Zeichen zurückgingen, so müssten sie in 300 Jahren mindestens 3° zurückgegangen sein.” Hipparchos hat also angenommen, das die Präzession mindestens 1° in 100 Jahren beträgt. Daher war es nicht richtig, für die Präzession nach Hipparchos einfach 36" pro Jahr anzusetzen. Eine bessere Berechnung der siderischen Bewegung der Sonne und des Mondes erhält man aus einer anderen Almageststelle, auf die Viggo * University of Zürich, Switzerland. Centaurus 1970: vol. 15, nr. 1: pp. 21-25

Petersen in Centaurus 11, p. 306 hingewiesen hat. Nach Almagest IV 2 hat Hipparchos nämlich gefunden, dass die Sonne in 1260072 Tagen 345 Umläufe minus 73 Grad zurücklegt und der Mond 4612 Umlaufe minus 74 Grad. Diese Umläufe sind, wie Ptolemaios ausdrücklich sagt, mit Bezug auf die Fixsterne genommen. Dividiert man diese Bewegungen durch 1260073}, erhält man für tägliche siderische Bewegung der Sonne s = 59'8"9""31!v51v und des Mondes m = 13"10'3450"*56!v34v, Subtrahiert man von m die tägliche Bewegung des Mondes in Anomalie y = 1373'53"56"""291v39v und in Breite z = 13"13'45""39"""401v17v so erhält man die tägliche Bewegung des Apogeums und des Knotens: m — z = —3'10"48""441v, In der Tabelle 2 muss die mit “Hipparchos” überschriebene Kolonne demnach so lauten: Täg!. sid. Bew. Sonne................. Mond................. Hipparchos 59° 8” 97 3219 13°10° 34” 50°” S7i¥ Apogeum.............. 6° 407° 547 271 Knoten................ — 3° 10” 48° 44iv Prazession............. mindestens 5°” 55! Die Dauer des synodischen Monats betragt nach Hipparchos wie nach System B der babylonischen Mondrechnung (1) 29;31,50,8,20 Tage. Nach der eben erwáhnten Almageststelle IV 2 hat Hipparchos diesen Wert erhalten, indem er die Zahl der Tage in 4267 Monaten, námlich 12600727, durch 4267 dividiert hat. Führt man aber die Division exakt aus, so erhált man etwas weniger, námlich

Berichtigung zu »Vergleich der mittleren Bewegungen .. .« 29;31,50,8,9 Tage. Die Abweichung ist ganz geringfiigig. Die Zeitdifferenz zwischen den zwei Finsternissen, die Hipparchos benutzt hat, wurde von ihm nämlich in ganzen Stunden angegeben. Ein Abrundungsfehler von einer halben Stunde würde in der Dauer des synodischen Monats einen Fehler von 0;0,0,1,3 Tagen ergeben. Es ist aber doch bemerkenswert, dass Hipparchos die vierte Sexagesimastelle, die eigenlich 9 sein sollte, auf 20 gerundet hat und nich auf 10 oder 0, wie es näher liegen wiirde. Die Aufrundung zeigt nämlich, dass Hipparchos den babylonischen Wert gekannt hat. Er fand aus seiner Division fast denselben Wert und hatte deshalb keinen Grund, ihn zu andern. Die oben benutzten Werte y und z für die tägliche Bewegung des Mondes in Anomalie und in Breite wurden von Ptolemaios erhalten, indem er die monatlichen Bewegungen Y und Z durch die Zahl (1) dividiert hat. Wiirde man durch (2) dividieren, so wiirde man etwas grössere Werte für y und z erhalten. Die Differenz macht weniger als 5!Y aus und ist praktisch bedeutungslos. Die monatliche Bewegung der Sonne nach Hipparchos erhält man, indem man die siderische Bewegung der Sonne in 4267 Monaten, nämlich 345 Umläufe minus 73 Grad durch 4267 dividiert. Man erhält 296'19""14"”101v, Addiert man 360°, so erhált man die monatliche Bewegung des Mondes (3) X = 360° + 29%6'19"14”". Die monatlichen Bewegungen in Anomalie Y und Breite Z wurden in Tabelle 3 richtig angegeben: Y = 360° + 25"49'0""14'" Z = 360° + 30%40'14"4"". Demnach wird die siderische Bewegung des Apogeums und des Knotens X — Y = 3°17'19'0""

X — Z = —1°3354"50"". Die berichtigten Werte (3), (4), (5) sollten in die letzte Spalte der Tabelle 3 eingesetzt werden. Der Wert (3) liegt nahe beim babylonischen Wert nach System B. Aus den Hipparchischen Angaben iiber die Bewegung der Sonne in 4267 Monaten oder 1260073; Tagen erhält man direkt die Dauer des siderischen Jahres (6) 12;22,7,54,23 Monate = 365;15,35,29,28 Tage. Der babylonische Wert nach System B 12;22,7,51,53,40 der manchmal auf 12;22,8 gerundet erscheint, ist nur wenig verschieden von dem des Hipparchos. Aus (6) erhält man leicht die jahrliche Bewegung des Mondes (7) 13 Umläufe + 132°47'26” und den Umdrehungsiiberschuss, d.h. den Ueberschuss der Rotation der Fixsterne im Jahr über 366 Umläufe (8) 9332'57". Die jáhrlichen Bewegungen des Apogeums und des Knotens erhált man etwa, indem man die monatlichen Bewegungen mit dem Faktor (6) multipliziert. Man findet (9) (10) | Apogeum 40°40’34” Knoten — 19°21'36”. Die berichtigten Werte (7), (8), (9), (10) sind in Tabelle 4 einzutragen. Zum Vergleich mögen in der nachfolgenden Tabelle auch die Werte nach System B und nach Ptolemaios eingetragen werden:

Berichtigung zu »Vergleich der mittleren Bewegungen .. .« Berichtigung der Tabelle 4 Jährliche Bewegung System B Hipparchos Ptolemaios Mond................ 132°4711” 132°47'26” 132%45"12" Apogeum............. 40°40°36” 40°40°34" 40°40'46” Knoten............... 19°21°35° — 19°21°36” 19°21’26° Umdrehungsüberschuss. 93°25’50° 93°32°57° Wie zu erwarten war, liegen die Werte des Hipparchos nahe bei denen des Systems B.