Matematica: tecnica ou ciencia

MATEMÁTICA: TÉCNICA OU CIËNCIA? IRINEIJ BICIJDO Abstract: Our aim is to argue, using the concepts of technique (téch ne) and science (epistérne), as it is possible to find them in Plato's dialogues, that mathematics is the most important among the techniques, and so that it is a technique not a science.

MATEMATICA: Abstract: Our aim is to argue, using the concepts of technique (téchne) and science (epistéme), as it is possible to find them in Plato’s dialogues, that mathematics is the most important among the techniques, and so that it is a technique not a science. Vejamos como os termos TECNICA e CIENCIA säo explicados por dicionärios da lingua portuguesa. De TÉCNICA dizem “a parte material ou o conjunto de processos de uma arte; maneira, jeito ou habilidade especial de executar ou fazer algo; pratica”. Das múltiplas acepcöes de CIENCIA, destacamos: “conhecimento; saber que se adquire pela leitura e meditagäo; instruçäo, sabedoria; conjunto organizado de conhecimentos relativos a um determinado objeto, especialmente os obtidos mediante a observaçäo, a experiéncia dos fatos e um método pröprio; soma de conhecimentos prâticos que servem a um determinado fim; processo pelo qual o homem se relaciona com a natureza visando à dominaçäo dela em seu pröprio beneficio”. Tais acepçôes de cada um dos termos refletem, de algum modo, aquelas das palavras gregas TECHNE e EPISTEME. Notemos que a idéia da “experiéncia” parece fornecer substrato a ambas. Alias, Aristóteles, na Metafisica Al, 981°, assevera: “E parece a experiéncia ser quase semelhante à ciéncia e à arte; ciéncia e arte chegam aos homens por meio da Irineu Bicudo é professor de Matemática no Instituto de Geociéncias e Ciéncias Exatas da Universidade Estadual de Sio Paulo — Campus de Rio Claro. ANO 3/N° 4

experiéncia /kái schedón epistémei kai téchnei hómoion he empeiria, apobainei d'epistéme kai téchne dia empeirias anthropois]. Se a experiéncia esta na base de ambos os conceitos, à medida que surge a necessidade de noçôes mais abstratas, novos significados se juntam a eles. Sigamos, de modo breve, a história das palavras epistéme e téchne. O verbo grego epistamai, como empregado inicialmente em Homero, exprime a idéia de “saber” com uma orientaçäo prâtica; depois de “estar seguro de”, como se lè no fragmento 57 de Heráclito — “epistantai eidénai, estào seguros de saber ele numerosas coisas” —; finalmente de “compreender, saber”. O substantivo mais importante derivado desse verbo € epistéme, que corresponde bem a epistamai, “conhecimento pratico”, como podemos constatar no Gorgias de Platäo, 511c — epistéme tou néin, conhecimento do nadar”; mas, ainda em Platäo, a palavra se aplica ao conhecimento, à ciéncia, como oposta à opiniäo (döxa), por exemplo, na República 477b: — SOC. Entäo, se o conhecimento (gnösis) era sobre o que é (töi Onti) e a ignorancia (agnosia), necessariamente, sobre o que näo €, para isso no meio deve-se procurar (dzetetéon) também algo no meio entre a ignorancia (agnoias) e a ciéncia (epistémes), se algo se encontra sendo tal coisa? (ei ti tynchänei 6n;) — GL. Certamente — SOC. Nao € verdade que dizemos algo ser opiniäo (dóxan)? — GL. Pois como nao? — Soc. É outra poténcia (dynamin) que a ciéncia (epistémes) ou a mesma? — GL. Outra. Téchne, por sua vez, expressa: “a habilidade em uma profissäo”, “ocupagäo, técnica, arte”, donde, por vezes, “ardil, embuste”, e, de um modo geral, “maneira de fazer, meio”, “um conjunto de regras, sistema ou método de fazer”; em Platäo, a palavra é, por vezes, oposta tanto a physis como a epistéme. Quando Platäo julga que a democracia direta favorece a demagogia, a critica platônica origina-se de suas reflexöes sobre a linguagem. Para ele, a linguagem é um terreno fortemente minado com sortilégios e perigos. A questäo € saber como empregar corretamente as palavras, nao para seduzir, mas para descobrir da verdade. Esse € o problema que Platäo enfrenta, € o proprio problema da filosofia. “A filosofia consiste, antes de tudo, em procurar saber o que se diz, em suprimir as imprecisöes da

linguagem e em romper a casca das palavra para ir ao seu sentido, ao essencial”. Definir é buscar a essência do conceito. “A reflexäo de Platäo sobre a linguagem abrange uma distingào entre o mundo das verdades e das esséncias, chamadas também “Idéias” (éide), -— que sao imutáveis, objetivas e universais — objeto da ciéncia (episteme), e o mundo das “aparéncias” — que sao cambiantes, subjetivas e incertas — objeto de opiniäo (d6xa). As primeiras formam o mundo inteligivel; as segundas, o mundo sensivel”. (all’ écheis ditta éide, horaton, noetôn — Republica 509d). Quando perguntarmos à maneira de Heidegger, “O que é isso a matemática: técnica ou ciéncia?”, estaremos pensando em TECNICA (téchne) como “um conjunto de regras, sistema ou método de fazer”, e em CIÉNCIA (epistéme) como aquele conhecimento que tem por objeto as esséncias, imutáveis, objetivas, universais. O matemático empenha-se em definir seus conceitos e em demonstrar propriedades desses conceitos. Ambas as açôes, definir e demonstrar, caminham, de modo conveniente, por uma reduçäo do mais complexo ao mais simples. Consideremos, por exemplo, o caso da geometria plana elementar, em que todos os conceitos se reduzem a umas poucas noçôes fundamentais: ponto, reta, estar em, estar entre, ser congruente, isto é, a dois termos e trés relacdes. O nó górdio está na tentativa de definir essas noçôes, de buscar-lhes a esséncia. Euclides, consciente só da importáncia dos conceitos “ponto” e “reta”, e pretendendo ter a matemática como ciéncia, ensaia as seguintes definicöes: (i) Ponto € (aquilo), de que nada é parte (estin, méros outhén); Gi) Uma linha reta é a que jaz por igual com seus pontos sobre si mesma (gramme estin, hétis ek isou ep’ semeiois). Mas, sera que “näo ter partes” é a esséncia do “ponto”, aquilo pelo que ele é (ousia)? Parece que nao, pois € possivel imaginarmos outros entes “de que nada é parte”. O mesmo pode ser dito a respeito da “definicäo” de reta. Vinte e um séculos depois de Euclides, dada a impossibilidade de “definir explicitamente” (i.e., achar a essência de) esses conceitos geométricos, mais precisamente, em 1882, o matemätico alemäo Moritz Pasch, em seu tratamento da geometria, deu, o que podemos chamar, uma “definiçäo implicita” ou uma “definicäo operacional” deles. Consistiu isso em arrolar umas tantas propriedades, aceitas sem demonstraçäo, desses conceitos, que tornavam possivel a deduçäo de outras propriedades. O que esta em jogo, entäo, nado € a essência imutävel, objetiva, universal, de cada conceito, mas um sistema de afirmaçôes que nos permite fazer a

deduçäo de outras afirmaçôes, com base, € claro, nas regras de inferéncia da lögica. Em suma, o que temos € um modus operandi para a geometria. Devemos ressaltar, neste ponto, que, embora a origem das proposiçôes nucleares de seu sistema possa ter sido encontrada em consideraçôes empiricas, Pasch é claro no afirmar que elas devem ser enunciadas sem consideraçäo a qualquer fato da experiéncia. Realmente, se for necessärio, em qualquer ponto da construçäo de uma demonstraçäo, referir a certas interpretagöes dos termos bäsicos, isso sera evidéncia suficiente de que a demonstracäo € logicamente inadequada. Mantém-se, assim, o trabalho em um nivel puramente formal, com a vantagem de poder-se obter varias aplicaçôes do mesmo discurso, assinalando-se significados convenientes diferentes aos termos bäsicos empregados. A geometria euclidiana torna-se um sistema cuja validade e cuja possibilidade de ulterior desenvolvimento nao dependem de quaisquer significados específicos, que venham a ser dados aos termos básicos, empregados nas proposiçôes nucleares que lhes servem de definiçäo implícita. Seguindo Pasch, o matemático italiano Giuseppi Peano, em 1889, desenvolveu um novo sistema axiomático para a geometria euclidiana. Ainda um outro matemático italiano, Mario Pieri, estabeleceu, em 1899, mais um novo tratamento axiomático, bem distinto daqueles de seus predecessores. Mas a abordagem axiomática, mais amplamente adotada, da geometria euclidiana é aquela elaborada pelo grande matemático alemáo David Hilbert, divulgada em um curso dado por ele, no inverso de 18981899, na Universidade de Gôttingen, rearranjada e publicada em um pequeno volume, em junho de 1899, sob o título de “Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da Geometria). De tantos tratamentos diferentes dados a uma mesma parte da matemática, parece justo afirmarmos que o que se tem em mente náo é epistéme mas téchne, o que nos aparta da possivel visäo que teria Euclides. Se Euclides possa nos parecer muito distante de nosso tempo, para que seu modo de ver a matemática seja relevante, tomemos um exemplo mais próximo. É o caso de duas memérias, publicadas pelo criador da Teoria dos Conjuntos, o matemático alemáo Georg Cantor, no Mathematische Annalen de 1895 e de 1897, respectivamente, intituladas “Beitráge zur Begriindung der transfiniten Mengenlehre” (Contribuigóes 4 Fundamentacáo da Teoria dos Conjuntos Transfinitos). Basta atentemos a suas definicöes, ali dadas, dos conceitos de “conjunto” e de “número cardinal”, para termos a clara sensacào de estar ele procurando a esséncia daquelas noçôes.

“Por um CONJUNTO (Menge)”, escreve, “devemos entender qualquer colecào em um todo ... (Zusammenfassung zu einem Ganzen) M de objetos determinados e separados m de nossa intuiçäo ou de nosso pensamento. Esses objetos säo chamados os “elementos” de M”. E para “número cardinal” diz-nos: “Chamaremos pelo nome “potência” ou “nümero cardinal” de M o conceito geral que, por meio de nossa faculdade ativa do pensamento, surge do conjunto M quando fazemos abstraçäo da natureza de seus varios elementos m e da ordem em que eles sáo dados”. O matemático alemáo Felix Hausdorff, na terceira edigáo, 1937, de seu livro “Mengenlehre” (Teoria dos Conjuntos) assevera que uma definicáo de “conjunto”, como a de Cantor, pode ser criticada, com boas razôes, como definindo idem per idem (isto precisamente por ele mesmo), ou mesmo, obscurum per obscurius (o obscuro pelo mais obscuro). E ajunta: “Entretanto, podemos considerá-la como expositiva, como referéncia a um conceito primitivo, familiar a todos, cuja resolugáo em conceitos mais fundamentais náo seria adequada nem necessária”. Relativamente à definicào de “número cardinal”, encontramos na obra de Hausdorff: “Definigóes mais precisas foram tentadas, mas sáo insatisfatórias e desnecessárias. RELAÇÔES ENTRE NÚMEROS CARDINAIS sao meramente um modo mais conveniente de expressar relacóes entre conjuntos; devemos deixar a determinaçäo da “esséncia” dos números cardinais 4 filosofia”. O que até aqui esbogamos parece-nos suficiente para concluir que a matemática náo é epistéme, mas téchne. A matemática, na moderna conceituacáo, náo tem por objetivo a verdade. Carece de significado perguntar se um dado sistema axiomático, que formaliza uma teoria matemática, é verdadeiro ou náo. O problema semántico “ser verdadeiro” é, nesse contexto, substituído pelos problemas sintáticos “ser consistente”, “ser completo”, “ser independente”. Platáo, de algum modo, marca a matemática como téchne e náo como epistéme. Iniciemos com o diálogo “Político”, 283c, sqq., em que ele distingue dois tipos de estudos da medida. A grandeza e a pequenez, diz, náo devem ser apreciadas somente em sua relacáo recíproca, mas também em relacáo à medida justa — pros tó métrion ou kata tén genéseos anankáian ousían. É preciso renunciar a sustentar que náo há grande a nao ser em relagäo ao pequeno e vice-versa, e admitir que um e outro podem existir em relaçäo a to métrion.

Nesse diälogo, aparece claramente que o estudo da medida que nao leva em conta senäo a grandeza e a pequenez relativas uma à outra e que nao se ocupa do grande e do pequeno relacionados à medida justa, to métrion, consiste na matemätica e € uma féchne. A outra espécie de métrica, que é episteme, € a dialética. De todas as féchnaï, a matemätica €, para Platäo, a que mais se aproxima da dialética. Ha, sem düvida, uma geometria e uma aritmética vulgares, mas € preciso nao confundi-las com a geometria e a aritmética filoséficas, que consideram as figuras abstratas e as unidades absolutamente iguais e homogéneas (Filebo 56e, sqq.); o movimento verdadeiro, o número verdadeiro, a figura verdadeira nao tém nada de sensivel (República, VII, 529d). A matemätica € a justa preparaçäo para a dialética, sua porta de entrada, pois é a mais importante das téchnai. “Por exemplo”, diz Platào textualmente no Filebo 55e, “caso alguém separe de todas as artes, de algum modo, a aritmética, a medida e a pesagem, o que sobra de cada uma, por assim dizer, se tornaria negligenciävel”. Onde está, na visäo de Platào, aquilo que impede a matemática de ser epistéme, que a distingue da dialética? Os conceitos matemäticos säo, da mesma maneira que as Idéias, gerados pela mistura do péras (limite) e do ápeiron (ilimitado). Mas o Filebo, 26e, sqq., afirma que, para explicar as coisas, € preciso admitir, independentemente do ilimitado e do limite, cuja mistura as constitui, um outro principio, a causa (aitia) dessa mistura. E, um pouco mais à frente (54a sqq.), Platäo diz ser preciso distinguir a geraçäo (génesis) da esséncia (ousia). Dessas duas, € a segunda que € o fim da primeira. E aqui que a geraçäo dos conceitos matemäticos difere da geraçäo das Idéias, objetos da episteme. A dos conceitos matemäticos € uma geraçäo em quea finalidade nao desempenha qualquer papel e que, por conseguinte, gera apenas possibilidades, nao realidades, porque toda geraçäo de uma coisa real € em vista de um fim. O mundo da matemätica permanece um mundo de puras possibilidades, porque o principio do Bem nao desempenha ai qualquer papel, pois o caminho da matemätica € descendente, partindo de algumas hipötese para as suas conseqüências, e nao ascendente, em busca do principio nao hipotético, como faz a dialética (he dialektiké méthodos mone tautei poreúetai, tas hypothéseis ep'autén ten archén — Republica VII, 5330). E isso que escreve Platào na Republica 510c: ANO 3 / N°4

Sabes [diz Sócrates], imagino, que os que se dio ao esforço acerca das geometrias, dos cälculos e das outras coisas que tais, tendo suposto o impar e o par, as figuras e os trés tipos de ängulo e outras coisas anälogas a essas, segundo cada pesquisa, como sabendo essas coisas, tendo-as feito princípios, ainda julgam conveniente nenhuma razäo dar sobre elas nem a si mesmos nem a outros, como visiveis a todos, começando delas, a partir dai lancando-se 4s coisas restantes, terminam conformemente com isso para cujo exame se ponham em movimento. O que faz a superioridade da dialética, a episteme, sobre a matemätica € que ela esta de posse de um principio (nao hipotético) que lhe permite construir nao mais simples possibilidades, mas realidades, e esse principio é o do Bem. Esta acima das essências porque permite gerä-las; excede-as em poténcias porque € sua causa, e ele mesmo € sem causa e sem geraçäo. Os principios do matemätico, ao contrario, permanecem hipôteses isoladas, que nada liga ao principio de toda existéncia. A matemática €, portanto, téchne, nao epistéme. Porém ela nos auxilia a conceber a existência e a esséncia das realidades intelegiveis, as Idéias, objetos da episteme. Por seu método ela é o prelüdio da epistéme. Em virtude de esse método permitir o estabelecimento de relagöes entre seres perfeitos, a matemática tem a sua frente a visio de conjunto do mundo intelegível, mas tem acesso a apenas parte desse mundo. Esse o destino da matemática, a mais importante das téchnai, mas, ainda assim, téchne. Serve de propedéutica a dialética, que conduz ao “mundo das verdades e das esséncias, chamadas também Idéias — imutáveis, objetivas e universais”. Mas a matemática nao € epistéme e para, por isso, em seu monte Nebo, no cume de seu Pisga que está defronte daquele mundo prometido. Estranho destino! Destino de Moisés! Entáo subiu Moisés das campinas de Moabe ao monte Nebo, ao cume de Pisga, que está defronte de Jericó; e o Senhor mostrou-lhe toda a terra desde Gileade até Dá, e todo Naftali, e a terra de Efraim, e Manassés, e toda a terra de Judá, até ao mar último, E o sul, e a campina do vale do Jericó, a cidade das palmeiras até Zoar. E disse-lhe o Senhor: Esta é a terra de que jurei a Abraáo, Isaque e Jacó, dizendo: Á tua semente a darei; mostro-ta para a veres com os teus olhos, porém para lá náo passarás. Assim morreu ali Moisés, servo do Senhor, na terra de Moabe, conforme ao dito do Senhor. (Deuteronómio, 34, 1-3)

BIBLIOGRAFIA AUBENQUE, P., Prefäcio, in Platäo - EVES, H., À Survey of Geometry, rev. A Repüblica, Livro VII, Editora da ed., Allyn and Bacon, Boston, UnB, 1996. CANTOR, G., 1972. Contribuitions to the Founding of the Theory HAUSDORFF, F., Set Theory, Chelsea Publ. Co., New York, 1962. of Transfinite Numbers, Dover, N.Y., PLATONIS OPERA, I. Burnet, Oxford U.P., 1984. 1955. RODIER, G., Etudes de Philosophie EUCLIDES, Elementa, vol. I (Libri I-IV cum appendicibus), post I.L. Grecque, J. Vrin, Paris, 1957. Heiberg, edidit E.S. Stamatis, Teubner, 1969. ANO 3 / N° 4