Il Pitagorismo e la matematica deduttiva

S2ABC,F 4x 145 Arpad Szabo IL PITAGORISMO E LA MATEMATICA DEDUTTIVA Nato in Ungheria 1913 Laureato in Filologia classica a Budapest 1935 Libero docente all'Università di Francoforte 1939 Titolare della cattedra di filologia classica all'Università di Debrecen (Ungheria) tra 19401951 Dopo il 1951 lo stesso all'Università di Budapest. nell'esercizio quotidiano — in una vera scienza deduttiva. Secondo la tradizione antica Pitagora stesso fu l'iniziatore, oppure il promotore di tale mutamento sostanziale. Fino a quel tempo, la matematica non era altro che una collezione di conoscenze utili alla vita di ogni giorno. Egli invece — come si legge — trasformò queste conoscenze in qualcosa di superiore, in un sistema di qualità più elevata. Tali parole si leggono su Pi- Membro delle Accademie seguenti: Accademia di Atene (1976) Interdisciplinary Academy, Finland (1977) tagora nell'opera di Proclo, commentatore cele- Accademia Ungherese delle Scienze scientifica, si ascoltino le parole di Aristotele sui Budapest (1979) discepoli di Pitagora. Si legge nella *'Metafisica'": '*.....i cosiddetti Pitagorici si dedicarono per primi alle scienze matematiche, facendole propredire; e poiché trovarono in esse il proprio nutrimento, furono del parere che i principi di queste si identificassero con i principi di tutte le cose. | numeri occupano naturalmente il primo Hamdard Academy Pakistan-Islamabad (1979) Socio straniero dell'Accademia Lucchese di Scienze, Lettere ed Arti (1982). Ha sentito diversi libri in ungherese. U suo ls. bro su “Gli inizi della matematica greca" fu pubblicato nelle lingue seguenti: ungherese, tedesco, francese, inglese, greco e giapponese. Il suo ultimo libro sull'Astronomia e geografia matematica Greca fu pubblicato in tedesco dall'Accademia di Atene (1982). Nello sviluppo della matematica vi fu un momento di importanza fondamentale, nel quale si compì una vera rivoluzione, maggiore forse di qualunque altra, nel campo matematico, compresi i giorni nostri, Si tratta di quello che si potrebbe precisare come la trasformazione di conoscenze pratiche — acquisite induttivamente bre degli ‘*Elementi’’ di Euctide. Ma prima di parlare di questa rivoluzione posto fra tali principi, e i Pitagorici credevano’di scorgere in quelli più che nel fuoco o nella terra o nell'acqua un gran numero di somiglianze con le cose che esistono e sono generate....e individuavano, inoltre, nei numeri le proprietà e i rapporti delle armonie musicali e, insomma, pareva loro evidente che tutte le altre cose modellassero sui numeri la loro intera natura ¢ che i numeri fossero l'essenza primordiale di tutto l'universo fisico; e per tutte queste ragioni, essi concepirono gli elementi dei numeri come elementi di tutta la realtà e l'intero cielo come armonia e numero”,

RELAZIONE AKPAD SZABO Poiché, secondo Arzstorele, i Pitagorici rintracciavano i principi di tutte le cose nei numeri, Pitagorici sostenevano di aver trovato fra le cose e i numeri, erano del tutto fantasiose e arbitrarie, possiamo dire che, mentre i filosofi anteriori Greci (i Milesii) avevano scelto come principi primi concrete sostanze, i Pitaporici avevano concome — a quanto sappiamo — l'identificazione male dei fenomeni. Anche ammettendo che non della giustizia col numero quattro (il primo, o per meglio dire, il secondo numero quadrato) e del matrimonio col cinque (che rappresenta l'unione dell'uomo con la donna, rispettiva siano stati essi i primi a individuare i rapporti mente associati al tre e al duc). numerici delle armonie musicali, è certo che si servirono di questa scoperta come di una delle Del resto, sembra che appunto una tale identificazione delle cose con i numeri — benprincipali esemplificazioni del ruolo dei numeri. ché attestata da Aristotele — non sia stata la ge- Dato che gli intervalli di ottava, di quinta e di nuina ¢ veramente importante teoria Pitagorica. quarta potevano essere tutti espressi in termini Può darsi, che questa identificazione volgarizzi di semplici rapporti numerici (2:1, 3:2 e 4:3), si verificava il caso sorprendente di fenomeni che, soltanto la dottrina di Prtagora. In ogni caso, fu centrato la propria attenzione sull'aspetto forpur non avendo alcun rapporto apparente con i più importante dal punto di vista dello sviluppo scientifico posteriore, un altro passo pitagorico, numeri, rivelavano una struttura esprimibile in termini matematici, per cui i Pitagorici pensarocioè, il loro passaggio da una geometria ancorata alla materia - tale era originariamente la geomeno che quel che era vero per gli intervalli musicatria di falegnami, di fabbri, di agrimensori e di li poteva ben valere anche per altri fenomeni, a tecnici — a una geometria di precisione degli encondizione di saperne scoprite i rapporti mateti tdealizzati: punto senza dimensione, linea matici. L'importanza di questa ricerca dei numeri nelle cose è evidente. | Pitagorici sono stati i prisenza larghezza e superficie senza spessore, —Siamo tutti abituati a considerare; fin da rapazzi, questa geometria di precisione (punto, limi pensatori ad aver tentato consapevolmente di nea, superficie), ma ci possiamo render conto, dare alla conoscenza della natura una base gran tuttavia, che un tale passaggio a questi che chiatitativa e matematica, inaugurando così quello meremo ext: geometrici idealizzatr, segna effetche doveva essere uno sviluppo scientifico della tivamente un punto di svolta incalcolabile. massima importanza. Ma per situare storicamen- È immediato il legame logico intercorrente te la loro acquisizione, occorre aggiungere altre tra l'introduzione degli enti geometrici idealizdue cose, Innanzitutto i Pitagorici, lungi dal lizati e la scoperta di cosiddette /inee imcommensurabili. E tutte le testimonianze concordano mitarsi a sostenere che la struttura formale dei fenomeni è esprimibile numericamente, ritennero che le cose stesse fossero composte di numeri: molti di loro affermavano, infatti, che le cose sono fatte di numeri — essendo questi concepiti nell'indicare come prima scoperta di linee incommensurabili quella del lato e della diagonale di qualsiasi quadrato. Che cosa significa dite che lato e diagonale del quadrato sono incommensucome concreti oggetti — in contrasto cospicuo rabili? Significa dire che non è possibile misurare all'antisensualismo di un'altra scuola filosofica l'una con l'altro: che non è possibile, cioè, di contemporanea nel Mezzogiorno d'Italia, quella trovare un sottomultiplo del lato che sia contenuto esattamente, un numero intero di volte cleatica. In secondo luogo, molte delle analogie che i nella diagonale: che non esiste, cioè, un pur piccolo segmento di retta che sia contenuto esatta mente, mumeri interi di volte, tanto nel lato quanto nella diagonale del quadrato: lato e diagonale non hanno un sottomultiplo comune, cioè non hanno una misura comune, sono incommensurabili. Ma aspettiamo qui un poco, Il mutamento rivoluzionario nella storia della matematica avviene quando diventano materia della matematica stessa non più gli oggetti percepiti dai sensi, ma cose che possono essere comprese sola. dal pensiero, Tali sono gli "enti idealizzati’’, e non soltanto il punto, la linea, la superficie e in genere gli clementi della geometria, ma anche i numeri. Questo mutamento rappresenta senza dubbio un allontanarci dal mondo delle cose percepibili con i sensi, e un volgersi al mondo dell'astrazione, alla filosofia. Solo in base alla riflessione filosofica si può ammettere l'esistenza di cose che non sono accessibili alla percezione sensoriale, come ad esempio "i punti senza estensione", e l'‘’incommensurabilità’’ stessa. Ed è solo questo mutamento che rende possibile la dimostrazione matematica. Mi sembra che tale modificazione della scienza, cioè, la trasformazione della matematica in un sistema deduttivo, deve essere in qualche modo il risultato della collaborazione di due indirizzi filosofici, la scuola e/eatica e Va scuola pr tagorica. Penso addirittura che, risalendo all'origine, siamo in grado di distinguere, con sufficiente approssimazione, la parte che ciascuna delle due correnti filosofiche ha avuto nella fondazione della matematica sistematica. È noto come l'allontanarsi dalla percezione sensoriale delle cose assunse logica espressione nella filosofia della scuola di Elea. Me/isso, uno dei filosofi eleatici che possiamo più facilmente seguire, scrisse; "Noi crediamo di vedere, udire € percepite correttamente, ¢ tuttavia ci sembra che il caldo diventi freddo e il freddo caldo, il 147 duro molle e il molle duro, che il vivente muoia e cha dal non vivente nasca la vita e che accadano tutti questi mutamenti e che niente di quello che era e che ‘adesso è sia uguale a sè, anzi il ferro, nonostante la sua durezza, si consuma a contatto con le dita, come se fosse fluido e così l'oro e la pietra ¢ tutto quello che di solito è considerato solido, e dall'acqua si formano la terra e la pietra. Ne risulta che (attraverso la percezione dei sensi) non vediamo nè possiamo conoscete le cose come veramente sono”. Le percezioni sensoriali non corrispondono dunque alle nostre attese logiche. Ci si potrebbe aspettare che un determinato oggetto, che in base alle nostre sensazioni è fatto in un certo modo, rimanga in ogni momento identico a se stesso. Come verrà detto più tardi nella logica “A est AU e “A non est non-A''. Ogni cosa può essere solo identica a se stessa e non identica a un'altra. Ma le percezioni sensoriali sono in contrasto con questa aspettativa logica. ‘Poiché anche la cosa più dura, ferro o pietra che sia, è al tempo stesso fluida: come all'inverso la cosa più liquida, l'acqua, si trasforma in terra € pietra”. In base alle sensazioni un oggetto non è soltanto identico a se stesso ma è anche identico a un altro. È qualcosa e non lo è — lo stesso e non lo stesso. Di quale oggetto si può affermare dun. que che è veramente? — Secondo l'insegnamento della scuola eleatica ciò è valido soltanto per quella astrazione che la scuola definisce come Y Essere””. | lo credo che basti ricordare questo insegnamento clarico per notare immediatamente come la semplice astrazione dell'Essere cleatico asso. migli al "punto elatico dimensione” della matematica. In realtà questi due concetti - l’Essere eleatico e il punto (senza dimensione) - possono essere afferrati solo dal pensiero. Per la percezione sensoriale essi non sono assolutamente accessibili. Lo stesso vale anche per il concetto di ‘in

ARPAD SZABO commensurabilita’’, Quest'ultimo concetto in 149 RELAZIONE Come è noto il metodo abituale della dimostrazione dei filosofi elatici si basava sulla confufazione. Essi hanno dimostrato che l'asserzione, absurdum, la dimostrazione indiretta come prodalle deduzioni. Quanto ai principi egli non è tenuto a renderne ragione, ma deve fatto per le più avvertite qualcosa di ‘‘piccolissimo’’. Ma l'idea di incommensurabilità nega assolutamente la possibilità che esista qualcosa di ‘‘piccolissiche volevano confutare, porta alla contraddiziotone stesso che descrive la prova indiretta come deduzioni che ne derivano..."'. Presupposto necessario e irrinunciabile della mo”, falsa, ciò significa che il suo contrario deve essere dimostrazione matematica per eccellenza. La in. commensurabilità della diagonale con il lato del quadrato fu ad esempio dimostrata basandosi sul La ‘‘matematica di precisione’, di cui si parla qui, presuppone naturalmente la dimostraziovero. Questo tipo di argomentazione si chiama prova indiretta, o in latino: reductio ad absurne. Questo tipo di scienza è esatía - in contrasto dum. La dialettica dei Greci - che conosciamo socon le capacità pratiche degli artigiani fondate sulla esperienza - proprio perchè la matematica prattutto dalle opere di Platone, e il cui primo realtà è in contraddizione con qualsiasi percezione dei sensi. La percezione sensoriale può tutt'al deduttiva può basare i propri insegnamenti, cioè può documentare che le sue affermazioni enunne (contraddice se stessa), e perciò deve essere falsa. Se tuttavia una qualsiasi affermazione è sostenitore fu - secondo un'annotazione di Anstotele - Zenone di Elea, si basa in fondo sempre su questo genere di argomentazione. ciate sono necessariamente vere. Ma prendiamo ora in considerazione la di- Se tuttavia si pensa che, secondo l'insegnamento della scuola eleatica, la percezione sensoriale è ingannevole e che i nostri organi di senso sono testimoni infidi, allora la ‘dimostrazione’ - nel senso comune della parola - diventa immostrazione matematica, che in greco è indicata col verbo detknymi. Dato che questa parola significa in origine ‘’mostrare’’, ‘indicare col dito, ‘‘rendere visibile’’, bisogna supporre che in pria caratteristica forma di dimostrazione. È Plarapionamento seguente: Se il lato e la diagonale fossero commensurabili, si potrebbe facilmente dimostrare, secondo l'insegnamento pitagorico, che /0 stesso numero dovrebbe essere sia pari che dispari. Ma un numero simile non esiste per definitionem. L'assurdo cui conduce la dimostrazione, indica che la premessa da cui siamo partiti - lato e diagonale del quadrato come commensurabili - era errata. La confutazione di questa asserzione equivale alla dimostrazione del suo contrario: quindi le due grandezze non sono commensurabili. In questo modo è provato un dato di fatto - la incommensciamo attraverso i sensi è solo un'apparenza inorigine anche in matematica la dimostrazione fosse un modo concreto dì rendere visibile dei dati di fatto. Benchè in realtà non incontriamo mai presso i matematici greci una dimostrazione gannevole (in L'insegnamento di questo genere, ottenuta indicando concretapensiero. vera mente una realtà, è quasi sicuro che in un primo lontanarsi dalle cose percepite con i sensi - il fatprovvisamente problematica. Come possiamo convincerci della verità se tutto quello che conogreco Sé6Ea)? cleatico conosce una unica asserzione: "P'Essere è'' (td Sv éativ ). Per il resto i filosofi cleatici potevano confutare qualsiasi altra asserzione, poichè avevano dimostrato come ogni affermazione contiene una contraddizione. Fra i molti argomenti che Zenone poteva addurre contro il movimento si trova ad esempio il setempo questa deve essere stata la via abituale del dimostrare, soprattutto nell'insegnamento. Anche Socrate - in un dialogo di Platone - mostra a un semplice schiavo indotto come si può raddoppiare la superficie del quadrato con la sua diagonale. guente ragionamento: il movimento non può es- Una volta tuttavia che si è riconosciuto che ser che un'apparenza ingannevole, dato che non possiamo afferrarlo con il pensiero. Perchè dove dell'udito, del tatto, e che la percezione dei senin realtà potrebbe avvenire il movimento di un si è ingannevole, non potrà essere più soddisfacorpo mosso? Esistono evidentemente solo due cente neppure la dimostrazione che ne deriva. possibilità: o la dove è il corpo, o là dove non è. Poichè gli oggetti della matematica - gli “enti Ma là dove è, naturalmente non può muoversi -e idealizzati'* - non sono più visibili propriamente ancor meno ciò può avvenire dove non è. Duasecondo la nuova interpretazione. que il pensicto logico non può afferrare il movimento. non ci si può fidare degli organi della vista, Infatti la matematica ha sviluppato, secondo il modello della dottrina cleatica, la reductio ad surabilità - la cui esistenza non può essere percepita nel mondo materiale per mezzo degli organi di senso e che può essere colto solo per mezzo del Sembra quindi che in matematica tanto l'alto dunque che materia di questa scienza siano diventati gli ‘enti idealizzati’’ - quanto la necessitä della dimostrazione astratta e la preferenza per la dimostrazione della reductio ad absurdum siano da attribuirsi all’influsso della filosofia eleatica. La ‘matematica di precisione’ rappresenta anche un ulteriore sviluppo creativo dell'insegnamento cleatico. Ciò è reso evidente soprattutto dalle seguenti argomentazioni dell'antico commetatore degli Elementi, Proclo: ‘‘Poichè sosteniamo che la scienza della gevmetria si basa su presupposti e partendo da determinati principi trae le sue deduzioni... f'autore di un libro di geometria elementare deve insegnare i principi della scienza separatamente *’scienza deduttiva”* è infatti la rigida distinzione: da un lato stanno i principi non dimostrati ¢ dall'altra parte deduzioni, teoremi e costruzioni dimostrate, che da questi derivano, Non occorre qui approfondire oltre al problema aristotelico, se i principi non dimostrati della geometria siano in realtà ‘‘indubbiamente veri””, o sarebbe pensabile forse anche il loro contrario; se è possibile soltanto la geometria eucliedea 0 se sia possibile anche la geometria non-cucliedea. Infatti in Enchide Ve definizioni, i postulati, e gli assiomi vengono posti senza tentare di dimostrarli - sono questi i principi della sua geometria. Se cerchiamo di trovare una risposta alla domanda: come si è scoperta la necessità della distinzione fondamentale fra i principi ron dimostrati e le deduzioni dimostrate, si deve ovviamente pensare alla dialettica che si era sviluppata presso i Greci sul modello di Zenone di Elea. In questo stesso senso anche Socrate, in Platone, espone una volta il suo metodo di ragionamento: ‘lo pongo sempre a base della mia ricerca una asserzione che considero particolarmente valida e quando ho l'impressione che qualcosa sia in accordo con l'affermazione posta come base, la considero vera. Ciò che invece non sembra accordarsi io lo considero non veto”. Come Socrate pone un determinato /ogos senza dimostrazione alla base del suo ragionametno - dopo che questo gli sembra indiscutibilmente evidente - così anche in geometria si comincia con principi non dimostrati ma evidenti per se stessi. Questa dialettica greca che si era sviluppata sul modetio di Zenone di Elea poteva natural mente arrivare da sola, indipendentemente da qualsiasi attività matematica, alla conclusione

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