Wie kamen die Pythagoreer zu dem Satz eucl elem.II 5?

SzAaBa,NVa A. SZABO WIE KAMEN DIE PYTHAGOREER ZU DEM SATZ EUCL., ELEM. IT 5?* I Man hält den Satz «Elem.o 11 5 — nach den Ergebnissen jener historischen Forschung, die heute gewissermaßen als consensus doctorum gilt — für einen Bestandteil der al/pythagoreischen Mathematik, genauer: für einen Satz der sog. «geometrischen Algebra der Pythagoreers. Gewöhnlich wird nämlich dieser Satz zusammen mit dem unmittelbar nach ihm folgenden, dem Satz II 6 behandelt. Diese beiden besagen: II 5: «Teilt man eine Strecke sowohl in gleiche als auch in ungleiche Abschnitte, so ist das Rechteck aus den ungleichen Abschnitten der ganzen Strecke zusammen mit dem Quadrat über der Strecke zwischen den Teilpunkten dem Quadrat über der Hälfte gleich.» II 6: «Halbiert man eine Strecke und setzt man ihr irgendeine Strecke gerade an, so ist das Rechteck aus der ganzen Strecke mit Verlängerung und der Verlängerung, zusammen mit dem Quadrat über der Hälfte, dem Quadrat über der aus der Hälfte und der Verlängerung zusammengesetzten Strecke gleich.» Man liest in der heute maßgeblichen historischen Darstellung der griechischen Mathematik über den Satz II 5 die Feststellung, daß dieser sich als ein geometrisches Äquivalent für unsere algebraische Formel a? — BR = (a — b): (a + db) bzw. fiir a? = (a — db): (a + b) + 8 auffassen läßt.! Aber eigentlich besagt dasselbe auch der Satz Il 6. Wozu diese eselisame doppelte Form»? — Es wurde versucht, dieses Rätsel folgendermaßen zu erkliren:? im Grunde wären II 5 und II 6 nicht Sätze, sondern Lösungen von Aufgaben: es handelte sich in II 5 um die Konstruktion von zwei Strecken x und y, deren Summe und Produkt gegeben sind, während Text eines Kurzvortrags für die Griechische Akademie in Athen; vorgetragen om "UB, L. v. d. WarRpEN, Erwachende Wissenschaft, Bascl-Stuttgart 1956 196. 2 Ebd. 198. — Natürlich geht diese Erklürung auf H. G. ZEUTHEN, bzw. noch auf P. Tannery zurück; siehe unten meine Anm. 6. Acta Anti A cadi Setenti BHuagaricas

in 11 6 die Differenz und das Produkt gegeben sind. Unter «Aufgabens — um deren Lösung es sich hier handeln soll — verstand man eigentlich ealgebraische Aufgabens, die man erst nuchträglich in geometrisches Gewand gekleidet hátte.? Ursprünglich hätten nämlich noch die Babylonier sich diese algebraischen Aufgaben gestellt und gelöst ;* und die Pythagorcer hätten — wie es uns versichert wird — offensichtlich die babylonischen Regeln zur Lösung der algebraischen Systeme geometrisch formuliert und bewiesen. Ablelınen muß ich diese historische Interpretation aus den folgenden Gründen: 1. Selbst. wenn wir glauben, daß es cine «babylonische Algebra» wirklich gegeben hatte — wie O. Neugebauers Forschungen uns davon überzeugen möchten —, auch dann hat man bisher noch mit gar keiner konkreten. Angabe Il ApegbtIsN solution of a quadratie equation». Der Unterschied gegen B. L. v. d. WAEnDEX besteht bloß darin, daß HEATH «Babylon» noch nicht erwähnt. Er hat ja seine Kompilation noch vor O. NECCEBAUER zusammengestellt. Siehe die nächste Anm. * Hingewiesen wird dabei gewöhnlich auf den Entdecker der sog. babylonischen Algebra: O. NEUGEBAVER, «Zur geometrischen Algebra. Studien zur ichte der antiken Algebra III.s, Quellen und Studien zur Gesch. d. Math. ete. B 3 1936 245 — 269. 3 Das letztere nach B. L. v. d. WAERDEN, op. cit. 203. 8 P. TANNERY: «De la solution géométrique des problèmes du second degré avant Euclides, 1882 = Mémoires Scientifiques 1. Paris 1912. 254—280, — H. G. Zecrues, dessen «Verdienste» um die Entdeckung der sog. egeometrischen Algebra der Griechen» durch O. NEUGEBAUER (siche oben meine Anm. 4) so übertrieben hervorgehoben wurden, hat in der Wirklichkeit in seinen beiden Werken («Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Kopenhagen 1886+ und «Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Kopenhagen 1896»; ein Auszug aus dem letzteren Werk auch bei O, BECKER, «Zur Gesch. d. griech, Mathematik, Darmstadt, 1965» 18 ff.) — was die «geometrische Algebra» betrifft — nur den irreführenden Vergleich von P. TANNERY weitergebaut. hätte sich nämlich erst einmal fragen müssen: inwiefern überhaupt erlaubt ist, im Zusammenhang mit EUKLIDa geometrischen Konstruktionen über Lösungen von algebraischen Gleichungen zu reden !) Acta Anti . dent, Ù Hungaricar 17, 1969 Satz 11 14 folgendermaßen gestellt wird: eEin einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Quadrat zu errichten.» Dal! der Satz TI 5 in der Tat ein Hilfssatz zu dem eben genannten II 14 Übersetzungen, in denen anläßlich des Satzes II 14 auf II 5 meistens zurückverwiesen wird, sondern noch mehr aus dem Wortlaut des Urtezies. Denn in dem Beweisteil des Satzes II 14 wird ja der Wortlaut von II 5 weitgehend wiederholt — zum Zeichen dessen, daß auch der antike Verfasser auf II 5 zurückverweisen wollte. Ja, denkt man an die komplizierte, schwerfällige sprachliche Form des II 5, so muß man sich unwillkürlich fragen: ist dieser Satz nicht sozusagen ein «Fertigbauteilo zu dem anderen (11 14)? Multe der antike Verfasser den II 5 nicht eben deswegen so kompliziert und schwerfillig formulieren, weil er im voraus wußte, daß er das betreflende Theorem eben in dieser, scheinbar achiverfalligen sprachlichen. Form wird in dem Beweis des II 14 am bequemsten unsere algebraischen Äquivalente für diese Sätze angeben 2 In diesem Sinne wird 11 5 natürlich auch bei Tu. L. Hearn, Euclid’s Elements vol. I 382 ff. (Dover Publication) behandelt. Darum redet HEATH über eine «Geometrical genden sehen wird — ein rein geometrischer Hilfssatz zu der Lösung bzw. zu dem Lösungsbeweis jener ebenfalls rein geometrischen Aufgabe, die in dem ist, das ersicht man zunächst nicht bloß aus den modernen Ausgaben und positionelle Bezeichnungsart der Zahlen von den Babyloniern übernommen !) 2. Jene Sätze bei Euklid, die man gewohnt ist — seit einer Arbeit von P. Tannery® — als salgebraische Sätze in geometrischem Gewand» anzuschen. haben mit der Algebra in der Wirklichkeit nursoviel zu tun, daß wir in der können. Aber es kann gar keine Rede davon sein, daß diese Theoreme ursprünglich ealgebraische Sätze», oder Lösungen für salgebraische Aufgaben» gewesen wären. Nein, diese sind alle — sowohl die Sätze, wie auch die Aufgaben -- rein geomelrischen Ursprungs. Auch II 5 ist ein rein geometrischer Satz. Wohl kann man diesen Satz in der modernen Interpretation mit einer salgebraischen Aufgabenlüsungo vergleichen. Aber man überlege sich, damit ein solcher Vergleich den ursprünglichen und echt geometrischen Sinn des Satzes nicht verdunkle! 151 Nach meiner historischen Interpretation ist IL 5 — wie man es im folwahrscheinlich machen können, daß die Griechen in voreuklidischer Zeit eine solche Algebra wirklich gekannt. hatten, geschweige denn, daß sie dieselbe übernommen und geometrisiert hätten. (Die Griechen haben nicht einmal die Tat schr leicht WIE RAMEN DIE PYTRAGOREER ZU DEM SATZ EUCL., ELEM, II 5? gebrauchen können? — Ich werde in dem folgenden zeigen, daß zwischen den iAstl+eia beiden Sätzen — 11 5 und 11 14 — in der Tat eben dieser Zusammenhang besteht. Aber ich möchte hier nebenbei auch darauf hinweisen, daß offenbar eine ebensolche Erklärung auch noch für andere Sätze bei Euklid gültig sein muß, die man bisher ähnlicherweise als Bestandteile einer egeometrischen Algebra» erklären wollte. Der oben zitierte Satz II 6 ist z. B. ein ebenso rein geometrischer Hilfssatz (ebenfalls ein «Fertigbauteil») zu dem Beweis des Satzes II 11, wie U 5 zu dem Beweis des Satzes 11 14. Der Satz 11 6 sieht nur darum als ein «Spezialfallo des II 5 aus, weil auch sein Hauptsatz, der hochinteressante 11 11 (zu dessen Beweis II 6 benutzt wird) im Grunde nur ein Spezialfall des II 14 ist. Kein Wunder, daß eben deswegen auch die Hilfssätze — II 5 und 6 — zu den beiden hochwichtigen Sätzen II 14 und II 11 als Spezialfalle voneinander aussehen. Ja, genau auf dieselbe Weise ein rein geometrischer Hilfesatz, ein «Fertigbauteil» ist auch der Satz II 10, den man ebenfalls zu der «geometrischen Algebra» hinzurechnen wollte.” DaB in der Wirklichkeit derselbe Satz (11 10) ein Hilfssatz ist, wird durch Proklos bezeugt.2 Wohl wurde in diesem Fall dus betreffende altpythagoreische Theorem, zu dessen Beweis man II 10 benutzt hatte, in Euklids «Elemente» nicht aufgenommen, aber die moderne 7Vgl. B. L. v. d. WAERDES, op. cit. 202. 3 Kommentar zu PLATONS Staat II. Kapitel 23 und 27.

Forschung vermochte dasselbe Theorem — eben uufgrund der erwähnten Proklos-Stelle -- über jeden Zweifel zu rekonstruieren.’ Ich möchte jedoch in diesem Zusanımenhang einstweilen nur die Genesis des Satzes II 5 näher beleuchten. Darum muß ich in dem nüchsten Kapitel vor allem an einige Elemente einer interessanten pythagoreischen Theorie über die Flächenbestandteile der Parallelogramme erinnern. mM WIE KAMEN DIR PYTHAGOREER ZU DEM SATZ ECCL., ELEM. II 5t surabilität entdeckt haben mögen. — Es tauchte zunächst in der Geometrie ein arithmetisches Problem auf. Man ging von einem Quadrat aus, dessen Seite als eine Zahl gegeben war, und man wollte die Seite des dazugehörigen anderen Quadrats mit gerade doppeltem Flächeninhait ebenfalls als eine Zahl angeben. Aber diese Aufgabe erwies sich innerhalb der Arifhmetil — unter Beachtung pes. n----- 1 1 E t 1 I ! 1 t t y Wir wollen zunächst von jener Szene in Platons Dialog Menon’ (82 B— 85 E) ausgchen, wonach dem ungelernten Sklaven durch Sokrates die Frage gestellt wird: wie verdoppelt man die Fläche jenes Quadrats (in Quadratform), dessen Seite 2 Fuß lang ist. Mit anderen Worten: wie lang wird die Seite jones anderen Quadrats — als eine Zahl ausgedrückt —, dessen Flüche das Dopnelto der Fläche des gegebenen mit 2 Fuß langer Seite darstellt? — Der Sklave 153 ] t ' u) ! I bmp !1 N (sésbal I t T rene| t i) ' ' i ed ¡ i N Loddo t i‘ ssssd I‘ N Abb. 1 paper] Abb, 2 glaubt zunächst, daß man, um die Fläche des Quadrats zu verdoppeln, seine Seite verdoppeln müßte. Er möchte also das gesuchte Längenmaß als die Zahl 4 angeben. Aber Sokrates zeigt ihm, sogleich nach dieser ersten Antwort, duß durch die Verdoppelung der Seite die Flüche des Quadrats nicht verdoppelt sondern vervierfacht wird. (Die Fläche des Quadrats mit 4 Fuß langer Seite besteht aus 16 kleinen Quadraten, wobei das Ausgangsquadrat aus 4 solchen bestand; siehe Abb. 1.) Der nächste Versuch des Sklaven — das Lingenma8 der gesuchten Quadratseite als eine Zahl zu bestimmen — geht darauf hinaus, daß vielleicht das Quadrat mit 3 Fuß langer Seite die doppelte Fläche des Quadrats mit 2 Fuß langer Seite haben könnte. Aber Sokrates zeigt — wieder vermittels einer Zeichnung (siche Abb. 2) —, daß die Fläche des Quadrats mit 3 Fuß langer Seite aus 9 kleinen Quadraten besteht, also keineswegs das Doppelte der ursprünglichen Quadratfläche ist. — Es wird also in diesen beiden ersten Versuchen wohl angedeutet, daß die Seite des der grundlegenden Euklidischen Definition für die «Zahlo (VII def. 2) — als unlösbar. Interessant war jedoch dasselbe Problem auch von der Geometrie her betrachtet. Nachdem man nämlich eingesehen hatte, daß die Fläche eines beliebigen Quadrats mit der Diagonale desselben, als mit Seite eines größeren Quadrats, sich verdoppeln läßt, und nachdem die Länge dieser Diagonale — im Verhältnis zu der Seite — sich zahlenmäßig nicht bestimmen lief, mußte man wohl bald dahinterkommen, daß die Diagonale des Quadrats zu der Seite linear inkommensurabel ist. Die Entdeckung der linearen Inkommensurabilität ging jedoch Hand in Hand mit der Erkenntnis der quadratischen Kommensurabilität. Die Diagonale des Quadrats ist im Verhältnis zu der Seite nur der Länge nach unmeßbar; nachdem sie jedoch als Seite eines neuen Quadrate gerade die doppelte Fläche des ursprünglichen ergibt, ist sie guadratisch meßbar. — Die Schwierigkeit der linearen Inkommensurabililät kann also auf dem Quadrate, dessen Fläche das Doppelte eines anderen (kleineren) Quadrats mit zahlenmäßig bestimmier Seite darstellt, sich nicht ale eine Zahl angeben läßt. In der Tat ist die gesuchte Quadratseite — zu der Seite des gegebenen Quadrats — eine der Länge nach inkommensurable Größe. Merkwürdigerweise wird jedoch das Problem der Inkommensurabilität in unserer Platon-Szene und ihrem Doppellen &quivalent ist.2° Es muß in der Tat den pythagoreischen ausdrücklich nicht erwähnt. Anstatt dessen zeigt Sokrates — vermittels einer Arithmetikern der folgende Satz bekannt gewesen sein: Wege der quadratischen Kommensurabililät umgangen werden. Noch interessanter wird dieselbe "Menon’-Szene von historischem Gesichtapunkt aus, wenn man bedenkt, daB das arithmetische Problem der Quadratverdoppelung mit dem Problem der Mittleren Proportionale zwischen einer Zahl neuen Zeichnung (Abb. 3) —, daß die Diagonale die Fläche des Quadrats in zwei untereinander gleiche gleichschenklige Dreiecke auflöst, und daß man eben deswegen mit der Diagonale als Seite ein solches größeres Quadrat konstruieren kann, dessen Fläche — wie die Zeichnung zeigt — gerade das Doppelte der ursprünglichen Quadratfläche ausmacht. Ich glaube, wir dürfen aufgrund dieser ’Menon’-Szene zu rekonstruieren versuchen, wie einst die griechischen Mathematiker die lineare Inkommen°B. L. v. d. WAERDEN, op. cit. 206 ff. Ada A) ad parry Blungerteae 17, 1969 50 Wie bekannt, hat Hrrrokrates von Chios vorgeschlagen: man soll zwischen einer Zahl und ihrem Doppelten zwei Mittlere Proportionalen einfügen, und damit wird das Problem der a löst; vgl. O. Becker, Das mathematische Denken der Antike, Göttingen 1957, 76. — Aber wie kam Htrroxrares auf diesen glücklichen Einfall! — Offenbar auf dem Wege, daß or wußte: dio planimetrische Aufgabe der Quodratverdoppelung wird dadurch gelöst, daß man zwischeneiner Zahl und ihrem Doppelten ne se ope rage o das verwandte stereometrische pone der verdoppelung löst el wo urch Würfelhaben —, daß man anstatt einer einzigen zwei Mittlere Proportionalen Den fraglichen Größen (d. h. genauer: — so HIPPOKRATES richtig zwischen einer Grüße und Doppelten) einfügt,

A. SZARÔ «Zwischen einer Zuhl und ihrem Doppelten gibt es keine mittlere Propor- 155 lität (bzw. Inkommensurabilitát) noch die Frage der Proportionen berücktionalzahl.» sichtigt werden. Allerdings muß man dazu die ursprüngliche Aufgube trans- Ich erschließe die Kenntnis dieses Sutzes aus dem noch stärkeren Satz Sertio canonis 3. der besagt: formieren. Man fragt z. B. in dem vorhin behandelten Fall nieht nach der Mittleren Proportionale zwischen einer Zahl (oder Größe) und ihrem Doppelten, sondern man fragt nach jener Strecke, mil deren Hilfe ein Quadral mit gegebener Seite (a) sich verdoppeln läßt. Diese letztere Frage ist der vorigen (nach der Mittleren Proportionale) völlig gleichwertig; doch braucht man nach der Transformation sich gar nicht mehr um die Proportionen und um die Frage der Inkomniensurabilität zu kümmern. Die große Bedeutung dieser mittleren Entwicklungastufe besteht eben darin, daß die Transformation der Aufgabe die Probleme der Proportionen und der Inkommensurabilität sozusagen ausschaltet. Vermutlich eben die Entdeckung dessen, daß die angedeutete Transformation möglich ist, hat den Ausbau jener interessanten pythagoreischen ’Flachengeometrie’ veranlaßt, die ich in dem folgenden behandeln werde, und die man früher als egeomctrische Algebra» interpretieren wollte. «Zwischen zwei Zahlen in überteiligem Verhálinis — also: (n + 1):n — gibt es keine mittlere Proportionalzahl.s Nun glaube ich — unter Berücksichtigung des eben angeführten arithmetischen Satzes, sowie der vorhin erwähnten 'Menon’-Szene — drei interessante Schritte in der Entwicklung der voreuklidischen Mathematik folgendermaßen rekonstruieren zu dürfen: a) Es tauchten zunächst. in der Arithmetik Probleme auf, die man nicht lösen konnte. Man ist dann, auf dem Wege der genaueren Untersuchung, bald dahintergekommen, daß diese Probleme in der Arithmetik entweder völlig unlösber, oder nur unter gewissen Bedingungen lösbar sind. - Ein solches unlösbares Problem der Arithmetik war z. B. die mittlere Proportionalzahl (x) zwischen einer Zahl und ihrem Doppelten (also zwischen « und 2a). Es war natürlich eine große Errungenschaft, wenn man schon aussagen, und auch begründen konnte: warum es eine solche Zahl nicht geben kann. è) Man hat wohl erst verhältnismäßig später entdeckt, daß man dieselben unlösbaren (oder auch nur unter gewissen Bedingungen lösbaren) arithmetischen Probleme auf geometrischem Wege leicht lösen kann. Ist z.B. a nicht eine Zahl sondern eine beliebige gerade Strecke, so findet man die Mittlere Proportionale (x) zwischen a und 2a auf dem Wege, daß man mit a als Seite ein Quadrat konstruiert; die Diagonale (d) dieses Quadrats wird die gesuchte Mittlere Proportionale (d = x), nachdem a :d = d : 2a ist. Man beweist die letztere Proportionalität mit Hilfe von ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken (siehe z. B. meine Abb. 3) — gesetzt, daß die Verhältnisgleichheit (= Proportionalität) auch für inkommensurable Größen definiert ist, wie z. B. in der 309 eudorischen Definition bei Euklid, «Elem. V.def.5. — Man sieht also, daß auf dieser Entwicklungsstufe die geometrische Lösung derselben Aufgabe, die auf Stufe a) arithmetisch unlösbar erschien, auf dns engste verbunden ist — nicht nur mit der Kenntnis der /nkommensurabilität, sondern auch mit derjenigen der eudoxischen Definition der Proportionalitàt. c) Es gibt jedoch auch eine «mittlere Entwicklungsstufey! zwischen a) und b). Man kann nümlich die arithmetisch unlösbaren Probleme der Stufe a) geometrisch auch so lösen, daß dabei weder das Problem der Kommensurabi. "Ich will natürlich keineswegs behaupten, daß die Stufe c) auch zeitlich der Stufe è) unbedingt vorangehen muß, Die Stufen b) und ¢) könnten sehr wohl auch ri sein. Wichtiger als die Frage der Chronologie — die sich hier nicht entscheiden äßt (denn schließlich ist ja auch das nicht unbedingt sicher, daß die sog. ecudoxische Definition der Proportionalitäts wirklich erat von Eupoxos stammt !) — scheint mir die Tateache selbst, daß die Stufe c) den Versuch zeigt, das betreffende Problem ohne Rücksicht auf Proportionen und auf Inkommensurabilität zu lösen. SiaocRe ANesa Nun möchte ich hier vor allem darauf hinweisen. daß jene historische Entwicklung in drei Stufen, die ich (in den Punkten a, b und e) zu rekonstruieren versuchte, sich in der Tat mit zahlreichen Beispielen aus Euklids «Elementen» illustrieren läßt. Es seien hier darum zunächst drei Beispiele dafür eingefügt. Erstes Beispiel Stufe a) Man denke an die folgenden arithmetischen Sätze in den «Elementeno: IX. 16: eSind zwei Zahlen gegeneinander prim, so ist nicht möglich, daß, trie die erste zur zweilen, sich die zweite zu einer weiteren rerhielte.» (Sind also a und è relativ prim, so gibt es keine x, worauf a:b = b : x wäre.) IX. 18: «Bei zwei gegebenen Zahlen zu prüfen, ob es möglich ist, zu ihnen eine Dritte Proportionale zu finden.» (Also wie sollen die Zahlen a und b beschaffen sein, damit man eine z finden könne, worauf a : b = b : x ist?) IX. 19: «Bei drei gegebenen Zahlen zu prüfen, ob es möglich ist, zu ihnen eine Vierte Proportionale zu finden.» (Wie sollen die Zahlen a, è und c beschaffen sein, damit man eine x finden könne, woraufa:b = c : 2 ist?) Man ersieht aus diesen Sätzen, daß es zu jener Zeit, als diese abgefaBt tiSsrateda CR wurden, den Arithmetikern schon bekannt war: die Aufgabe, eine Dritte Proportionale zu zwei gegebenen Zahlen, a und 5 — oder eine Vierte Proportionale zu drei gegebenen Zahlen, a, 5 und c — zu finden, ist nur unter gewissen Bedingungen lösbar.

A, AZADÒ Stufe 6) Natürlich kann man dieselben Aufguben in der Geometrie — wenn a,b und c keine Zahlen, sondern beliebige gerade Strecken sind Euklidischen Satz VI 13. Doch ist die Konstruktion des letzteren Satzes — wieder nur aufgrund der eudorischen Definition der Proportionalità! gültig. immer lösen. Eben dies wird bei Euklid in den Sätzen VI 11 und 12 pezeigt. Doch werden dic Konstruktionen der letzteren Sitze nur aufgrund der eudoxischen Definition der Proportionalität gültig. Denn die gefundene Dritte Denn die gefundene Mittlere Proportionale wird ja häufig eine inkommensurable Größe. Stufe c) Man kann dasselbe Problem auf einer mittleren Entwicklungsbzw. Vierte Proportionale wird ja häufig eine inkommensurable Größe. stufe» mit der folgenden Transformation lösen. Die Frage nach der Mittleren Stufe c) Man kann jedoch dieselben Aufgaben — auf einer vermutlich mittleren Entwicklungsstufe -- auch ohne Rücksicht auf Proportionen und Inkommensurabilität allgemeingtiltig lösen, wenn man die folgende Transformation vollzieht. Die Frage nach der Dritten Proportionale zu zwei gegebenen Proportionale zwischen zwei gegebenen Zahlen oder Größen {a : x = x : b) ist gleichwertig mit dem Problem: gegeben ist das Rechteck ab, und man sucht dé Zahlen oder Grüßen (a : b = b : 7) läßt sich auch so avffassen: gegeben ist das Quadrat 8°, und man sucht das flächengleiche Rechteck az, dessen eine Seite dazu das flächengleiche Quadrat (2°). - Gerade diese Aufgabe wird bei Euklid — ohne Proportionen und ohne Rücksicht auf die Inkommensurabilitàt — in dem Satz II 14 gelöst. {a) ebenfalls gegeben ist. Ähnlicherweise transformiert man die Frage nuch der Vierten Proportionale (a :b = c:x): gegeben ist das Rechteck bc, und man sucht das andere flüchengleiche Rechteck mit der einen gegebenen 157 Drittes Beispiel Stufe a) Als drittes Beispiel möchte ich den sog. 'pvthagoreischen Lehr- Seite a. — Für beide Aufgaben gilt der Euklidische Satz: satz’ selbst anführen. Wie bekannt, läßt sich dieser Satz arithmetisch 1 44: «An eine gegebene Strecke ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel anzulegen.» (Nur zuliebe einer dann verifizieren, wenn die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks sog. ‘pythagoreische Zahltripel’ (also etwa 3, 4, 5: oder 7, 24, 25 etc.) sind. Es scheint. daß nur größeren Allgemeingültigkeit ist in dem Wortlaut dieses Satzes die gegebene die Bahnbrecher der griechischen Mathematik in der Tat an dieser arithmeti- Flüche, anstatt eines Rechtecks, ein eDreieckv; und eben darum redet auch Euklid anstatt des anderen Rechtecks von einem «Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel.) Das ist die bekannte parabolische Flächenanlegung der Pythagorcer, bei der die Inkommensurabilitát und die Proporschen Verifikation interessiert waren. (Wohl darum hat man auch Regeln dafür ausgearbeitet, wie man solche Tripel in unbeschränkter Anzahl herstellen kann.!3) Nun ist also die Verifikation des ‘pythagoreischen Lehrsatzes’ wohl auch eine solche Aufgabe, die in der Arühmetik nur unter sehr beschränkten tionen nick! berücksichtigt werden. e Zweites Beispiel Stufe a) Man beachte die beiden Sütze bei Euklid:!* VIII 18: «Zwischen zwei ähnlichen ebenen Zahlen gibt es eine Mittlere Proportionalzahl.r VIII 20: aLäßt sich zwischen zwei Zahlen eine Mittlere Proportionalzahl einschalten, so müssen die Zahlen ähnliche ebene Zahlen sein.» (Zugrundeliegen beiden Sätzen die Definitionen: VII def. 16 und def. 21.) Im Sinne dieser beiden Sätze gibt es also zwischen zwei Zahlen, a und 6, nur dann eine Mittlere Proportionalzahl, wenn eine solche Faktorenzerlegung möglich ist: a = cd und 5 = ef, wobei c :e = d:f ist. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, so findet man keine Mittlere Proportionalzahl zwischen den beiden gegebenen Zahlen, d. h. die betreffende Aufgabe ist arithmetisch unlasbar. Stufe b) Sind jedoch @ und 5 keine Zahlen sondern beliebige gerade Strecken, so findet man zu ihnen immer die Mittlere Proportionale nach dem 13 Ich zitiere den Satz VIII 18 — Einfachkeithalber — in verkürzter Form. Ada Antig Academias Scienti Hung 17, 1962 RE ern aA rwierken Bedingungen lösbar ist. Stufe b) Allgemeingültig beweist man den 'pythagoreischen Lehrsatz’ meistens mit Hilfe von Proportionen, indem man von dem rechten Winkel auf die Hypotenuse das Lot füllt, und dadurch das gegebene rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere, sowohl untereinander wie auch zu dem ursprünglichen Dreieck ähnliche rechtwinklige Dreiecke auflöst. Nachdem die Seiten. der ähnlichen Dreiecke untereinander proportionell sind, kann man aus den entsprechenden Proportionen die bekannte Formel a? + & = e? leicht ableiten. — Wohl ist ein solcher Beweis bei Euklid nicht überliefert worden. Da jedoch eine allgemeinere Form des ’pythagoreischen Lehrsatzes’ auch bei Euklid {VI 31) mit Proportionen bewiesen wird, kann man mit Recht vermuten, daß der Beweis mit Proportionen für die gewöhnliche Form desselben Satzes auch schon in voreuklidischer Zeit wohl benutzt wurde. — Doch wird ein solcher Beweis mit. Proportionen nur dann zwingend, wenn die Proportionalität auch für inkammensurable Größen irgendwie schon definiert ist. (Diese Aufgabe erfüllt bei Euklid die eudoxische Definition: V def. 5.) pRoeatletO Stufe c) Bei Euklid wird der 'pythagoreische Lehrsatz’ (I 47) nicht mit Proportionen, sondern mit einer Art 'Flächengeometrie’ bewiesen, für welche 12 Vgl. O. BECKER, Das mathematische Denken der Antike, 62 ff.

WIE KAMEN DIE PYTHAGOREER ZU DEM SATZ EUCH. ELEM. 11 5? dasselbe charakteristisch ist, was auch in den beiden anderen Beispiclen die 1. Es wird sich lohnen, wieder von der Sklavenszene in Platons Dialog *Menon’ auszugehen. — Sokrates zeigt dem Sklaven zunächst ein Quadrat mit 2 Fuß langer Seite. Das gezeichnete Quadrat besteht also aus vier kleineren, nachdem die Seite zeeigeteilt ist. Später wird durch Sokrates auch darauf hingewiesen, daß die Diagonale die Quadratfläche halbiert. (Siche Abb. 6 sowohl Stufe c) kennzeichnet, daß sie nämlich die Proportionen und das Problem der Inkommensurabilitàt gar nicht berücksichtigt. (Zu dem folgenden siche Abb. 4.) Verlängert man nämlich das Lot (CD) von dem rechten Winkel eines allgemeinen rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse, so wird dadurch -- also durch DE — das Quadrat auf der Hypotenuse in die beiden Rechtecke «Ryo und oR,» geteilt. Daß nun sR,» = «Q, und «Ro = «Q,> ist, wird folgendermaßen gezeigt. Die beiden schraffierten Dreiecke CAF und HAB (Abb. 5) e Y » -Q, a I 1 1 ! ' CEE Pe Quadratdiagonale ausspricht, auf Parallelogramme verallgemeinert: «dus Paral- ' lelogramm wird durch seine Diagonale halbiert». — Noch interessanter ist die Euklidische Verallgemeinerung dessen, wie man das Quadrat durch Teilen eRe” i 1 i | N | E F Abb. 4 ' ee| Abb. 5 sind offenbar kongruent; je zwei Seiten und ihr Winkel sind nämlich auf alle Fälle gleich. Das eine Dreieck (HAB) macht dabei die halbe Fläche von «Q,» während das andere (CAF) die halbe Fläche von «R,» aus (vgl. den Satz I 41 bei Euklid). Darum müssen also auch die ganzen Flächen «Q,> und «Ry» untereinander gleich sein. -- Mit ehensolchen «Hilfsdreieckens beweist man auch die Gleichheit von 6Q. und oR,»; und addiert man dann die beiden Teilergebni sse für «Ry und «Ry, so hat man damit den pythagoreischen Lehreatz 'Tlächengeometrisch’ bewiesen. Nun hoffe ich, sowohl mit dem *Menon’-Beispiel wie auch mit den danach angeführten anderen drei Beispielen im vornus wahrscheinlich gemacht zu haben, daß jene 'Flachengeometrie’, deren elementare Bestandteile in dem folgenden zusammengestellt werden -- also die Stufen c) — die Anwendun g von Proportionen und das Problem der Inkommenaurabili tät zu beseitigen bestrebt war. La ; Wir werden die elementarsten Bestandteile jener ’Flächengeometrie’, die bisher, nach einem Vergleich von P. Tannery,* als “geometris che Algebra» ausgelegt wurde, in drei Punkten überblicken. shit EN AiScAa NES OS, hit der Seite in kleinere Flächenhestandteile auflöst. Sokrates ging von jenem einfachsten Fall aus, daß die Seite des Quadrats halbiert wird; dies führt zu vier kleineren kongrucnten Quadraten. Aber wie wird die Quadratfläche aufgelöst, wenn man die Seite in zwei beliebige Segmente teilt? Gerade dies wird bei Euklid in dem Satz II 4 behandelt: «Teill man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Quadrat über der ganzen Strecke den Quadraten über den Abschnitten und zweimal dem Rechteck aus den Abschnilten zusammen. gleich.o Durch das Teilen der Quadratseite in zwei beliebige Segmente wird also die Quadratfläche selbst in die Summe von zwei verschiedenen Quadraten und von zwei kongruenten Rechtecken aufgelöst (siehe Abb. 7). — Wohl ist dieser Euklidische Satz das geometrische Äquivalent für unsere algebraische Formel (a + 5 = a? + & + 2ab, aber ich glaube nicht, daß man diese Tatsache in dem Sinne auslegen dürfte, als ob hier die anachträgliche Geometrisierung eines ursprünglich algebraischen Gedankenganges» vorläge. Denn erstens kann man aus der griechischen Überlieferung der voreuklidischen und Euklidischen Zeit die Spuren von irgendwelchen echt algebraischen Gedankengängen gar nicht nachweisen. Und zweitens würde man durch die eben angedeutete historische Auslegung auch den grundlegenden Unterschied zwischen der angeführten algebraischen Formel und dem vorhin zitierten Euklidischen Satz unerlaubterweise verwischen. Schließlich ist ja der Ausdruck (a + è)? in der Algebra viel allgemeingültiger als der entsprechende bloß-geometrische Satz bei Euklid. (Der geometrische Satz ist nur eine mögliche Auslegung für die algebraische Formel, die jedoch keineswegs nur «Quadrate» und «Rechtecke» bedeuten kann !) 1 Siehe oben Anm. 6. Acta Anti die Halbierung mittels der Diagonale. Schon hier muß ich auch die triviale Tatsache hervorheben, daß die Strecken, die die Seiten halbieren, und die Diagonale sich in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt der Diagonale wird in dem folgenden eine wichtige Rolle spielen.) Nun sind die beiden Arten, die Quadratfläche in kleinere Bestandteile aufzulösen — also dns Teilen mittels der Diagonale einerseits, und das Halbieren der Sciten andrerscita —, in je einer allgemeineren Form, auch als Euklidische Sätze überliefert worden. Denn bei Euklid wird ja in dem Sutz I 34 gerade dasselbe, was Sokrates über die MesWr i) i «Ro ! ; 4 H tod pPetSs. hi+ à Ed | 4 ' nen, für die Auflösung der Quadratfläche in vier kleinere Quadrate, wie auch für A icas 17, 1969 Acta Antiqua Arademiae Srientl Hungarirae

A, 8ZABO 2. Es lüßt sich zeigen, daß die Pythagorecr den eben zitierten Satz II 4 — über die Auflösung der Quadratfläche durch das Teilen der Seite in zwei beliebige Segmente -- auch auf Parallelogramme verallgemeinert hatten. Ihr alter Satz hieß etwa folgendermaßen (siehe Abb. 8): «Zieht man durch einen beliebigen Punkt der Diagonale zwei Parallelen zu den beiden Seiten eines Parallelogramms, so wird dadurch die Fläche des Parallelogramms in insgesamt vier Flächenstücke zerlegt. Von diesen vier Flächenstücken sind zwei — die beiden ’um die Diugonale liegenden Paralleloab |(b*) (a?) Abb. 6 Abb. 7 Abb. 8 gramme’ (die Jeergelassene Flächenstücke in Abb. 8) — sowohl untereinander wie auch zu dem ursprünglichen Parallclogramm ähnlich, während die beiden anderen Flichenstiicke — die sog. xagandnowpata (schraffiert in Abb. 8) -- untereinander gleich sind» Wohl ist dieser Satz zunächst nur meine eigene Rekonstruktion. Man findet ihn bei Euklid nirgends in dieser wiederhergestellten Form. Denn Euklid mußte ihn — offenbar aus kompositorischen Günden — in zwei Sätze zerlegen, von denen der eine erst im Buch VI. der «Elemente» untergebracht --7 1 # LI se at e werden konnte. In der Tat behandelt der Satz VI 24 die Ähnlichkeit der "um die Diagonale liegenden Parallelogramme’; zu dem vollständigen Beweis dieses Satzes ist ja die eudoxische Definition der Proportionalitàt im V. Buch (V def. 5) unerläßlich nötig. — Dagegen konnte die andere Hälfte des rekonstruierten Satzes — über die Gleichheit der 'Ergänzungen' (parapleromaia) — auch schon im J. Buch behandelt werden (I 43), nachdem in diesem Fall die Proportionalität und die Inkommensurabilität gar nicht berücksichtigt werden mußten. Der Beweis für diesen letzteren Satz wird einfach auf dem Wege von Subtraktion der überflüssigen Flächenstücke geführt. Nun muß ich hier nachdrücklich betonen, daß der von mir eben rekonstruierte Satz eine schr wichtige Rolle in jener ’pythagoreischen Flächengeometrie’ gespielt hatte, die nach P, Tannery den unglücklichen und irreführenden Namen «geometrische Algebra» erhielt. Der Satz über die Gleichheit nr / i b x 1 4 4 b LNEATOIT 161 oben, anläßlich meines «ersten Beispiels», schon erwähnt, daß man die Suche nuch der Vierten Proportionale zu drei gegebenen Zahlen oder Größen (a : b = = e : 7) auch so auffassen kann: gegeben ist das Rechteck be, und man sucht dazu das andere flächengleiche Rechteck, dessen eine Seite (a) ebenfalls gegeben ist. Nun wird diese Aufgabe bei Euklid in dem Satz I 44 aufgrund der folgenden Überlegung gelöst (siehe Abb. 9 und 10): man faBt das gegebene Rechteck be als ein ’parapleroma’ auf. Eine beliebige Seite des gegebenen Rechtecks (c oder 5) und die Strecke a ergeben im ersten Schritt das eine 'um die Diago- PR [ob | = adPRiB|eosyDRbe WIE KAMEN DIE PYTHAGOREER ZU DEM SATZ EUCL,. ELEM. 11 5? DS yt c a nm pers. cs esftme-ee-m / o Ser a > . - be = S o> = S nale liegende Parallelogramm' (ac oder ab). Die Verlängerung der Diagonale selbst und die Verlängerung der Rechteckseite (e oder b) ergeben im zweiten * Schritt auch das andere ‘um die Diagonale liegende Parallelogramm' (bx oder cx). Nachdem man nun das eine "parapleroma’ und die beiden "um die Diagonale liegenden Parallelogramme’ gewonnen hat, muß man nur noch das andere ’parapleroma’ bzw. seine gesuchte Seitex hinzufügen. (Parabolisch heißt diese Art Flächenanlegung deswegen, weil die gegebene Fläche bc an die gegebene Strecke a angelegt wird; vgl. das Wort xapafálesv.) Aber es gibt auch einen anderen, wie mir scheint, noch wesentlicheren Beleg dafür, daß der vorhin rekonstruierte Satz eine sehr bedeutende Rolle in der Geometrie der Pythagoreer gespielt haben muß. Fasse man nur noch einmal denselben Satz ins Auge. Man zieht durch einen beliebigen Punkt der Diagonale zwei Parallelen zu den beiden Seiten eines Parallelogramms; es wird dadurch die gegebene Fläche in zwei solche Flächenstücke zerlegt, die untereinander gleich, und in zwei andere, die untereinander (und zu dem goreer'5 ermöglicht, auf die ich hier nochmals hinweisen möchte. — Es wurde ursprünglichen Parallelogramm) ähnlich sind. — Hat nicht eben diese, an und für sich einfache und doch schöne Entdeckung such zu jener berühmten # Proclus in Eucl. (F) 419, 16-420, 23; aus der modernen Literatur siehe dazu Tu. L, Heats, Euclid's Elements vol, 1, 343 f. (Symp. VIII 2, 4) folgendermaßen berichtet: der ’parapleromata’ hat z. B. jene parabolische Flächenanlegung der Pytha- Acta Antigua Academias Scientiarum Hungaricar 17, 1949 altpythagoreischen Aufgabe geführt, über die Plutarch bei einer Gelegenheit Hungaricae 17, 1969

«Es gibt unter den schénsten geometrischen Theoremen, oder eher Problemen, die folgende: gegeben sind zwei Figuren, und man soll eine dritte konstruieren, die der einen von den gegebenen gleich und der anderen von den gegebenen ähnlich ist. Man sagt auch, daß Pythagoras in seiner Freudo über diese Entdeckung sein berühmtes Opfer dargebracht hätte. Kein Zweifel, dieses Theorem ist in der Tat viel raffinierter und der Wissenschaft viel würdiger, als jenes andere, wonach das Quadrat auf der Hypotenuse der Summe der Quadrate auf den beiden Katheten gleich ist.»?° 3. Zum Schluß muß ich unter den elementaren Bestandteilen der behandelten pythagoreischen 'Flichengeometrie’ noch die Euklidische Definition für den geometrischen Begriff 'Gromon’ anführen: II def. 2: «ln jedem Parallelogramm soll ein beliebiges der um seine Diagonale liegenden Parallelogramme zusammen mil den beiden Erganzungen (paraple- 163 und bloß das andere 'parapicroma’ wird ihnen als ’Fortsetzung nach links zu’ hinzugefiigt. — In beiden Fiillen wird die eine Seite des konstruierten Rechtecks, das dem Gnomon flächengleich ist (schraffiert in den Abb. 12 und 13): z + y. und die andere Seite: x — y. (Zu den Buchstaben x und y siehe auch Abb, 11.) Ein Unterschied besteht zwischen den beiden Fällen bloß insofern: was mit dem "kleinsten Quadrat’, dem Bestandteil des ursprünglichen Gnomons wird? — In dem ersten Fall (Abb. 12) scheint dieses kleinste Quadrat dem konstruierten Rechteck zu fehlen (éAdefxew). Darum ist dies ein sog. elliptielleipei romata) ein Gnomon heißen. Wie man sieht, hat auch'zu diesem Begriff die vorhin behandelte Vierteilung des Parallelogramms geführt. Man zieht nämlich durch einen beliebigen Punkt der Diagonale zwei Parallelen zu den beiden Seiten des Parallelogramms. Aber diesmal werden von den insgesamt vier Flächenstücken, die auf diese Weise entstehen, drei — ein beliebiges der "um die Diagonale liegenden Parallelogramme’ und die beiden ’parapleromata’ — als «Gnomons zusammengefaßt. Zur Illustrierung zeige ich als Abb. 71 den Gnomon eines Quadrats. Die drei Bestandteile des Gnomons wurden durch verschiedene Schraffierungen kenntlich gemacht. Außerdem zeigt diese Abbildung auch noch, daß das ursprüngliche Quadrat (x?) diesmal in die Summe des kleineren Quadrata (y?) und des Gnomons aufgelöst wurde. (Mit anderen Worten: subtrahiert man das kleinere Quadrat y? von dem größeren x?, so bleibt ein Gnomon übrig.) Wichtig ist nun die eben angedeutete Auflösung des Quadrats (2°) in die Summe eines kleineren Quadrats (y?) und des Gnomons deswegen, weil man dabei den Gnomon selbst sehr leicht in ein Rechteck verwandeln kann. Ja, es gibt sogar zwei verschiedene Möglichkeiten für diese Verwandlung des Gnomons in flächengleiches Rechteck. Man kann nämlich entweder so verfahren, wie cs unsere Abb. 12, oder so wie es die Abb. 13 zeigt. In dem einen Fall (Abb. 12) bleibt bloß das eine 'parapleroma’ an seiner ursprünglichen Stelle; dagegen wird die Fläche, die aus dem ’Parallelogranım um die Diagonale’ (dem kleinsten Quadrat, auf unserer Abbildung) und dem anderen ’parapleroma’ besteht, dem an seiner Stelle belassenen ’parapleroma’ als eine Art "Fortsetzung nach links zu’ hinzugefügt. — In dem anderen Fall (Abb. 13) bleiben dagegen das eine ’parapleroma’ und das "kleinste Quadrat’ an ihren ursprünglichen Stellen, % Ich kann mich mit dieser Aufgabe in dem vorliegenden Zusammenhang nicht eingehender beschäftigen. Man vergleichu jedoch dazu, wie diese in der historischen 7 Abb, 11 scher Fall der Flächenanlegung. — In dem anderen Fall (Abb. 13) schießt dasselbe kleinste Quadrat tiber das Quadrat y? hinaus («Überschuß» — úxepßoAn). Darum ist dies ein hyperbolischer Fall der Flächenanlegung. — Nun - kann ich mich in diesem Zusammenhang mit der ’Elleipsis’ und mit der ‘Hyperbole’ nicht eingehender beschäftigen. Es sei hier nur darauf hingewiesen, daß bei Euklid in der Konstruktion des Satzes II 5 eben die angedeutete elliptische Flächenanlegung, während in der Konstruktion des Satzes II 6 der hyperbolische Fall zur Anwendung kommt. IV Nun können wir zu dem Satz II 5, dessen Genesis hier erklärt werde soll, zurückkommen. i Es wurde oben im Kapitel II. schon angedeutet, daß dieser ein Hilfssatz zu dem Beweis des anderen wichtigen Satzes, II 14 ist; er wird auch in dem Beweisteil des letzteren wörtlich zitiert. Darum fassen wir vor allem den Satz 11 14 näher ins Auge. Die in ihm behandelte Aufgabe heißt: «Ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Quadrat zu errichiena Euklid erstrebt immer die größtmögliche Allgemeingültigkeit. Darum geht er nicht sogleich von einem Rechteck, sondern im allgemeinen von einer es bisher behandelt wurde, cinstweilen Ta. L. Heats, Euclid's Elemente vol. 17 Sieho wieder die vorige Anmerkung I 11°

165 U egeradlinigen Figur» aus. Zuerst wird — unter Hinweis auf den früheren Sutz I 45 — dio gegebene egerudlinige Figur» in ein Rechteck verwandelt, und erst dann kommt der wesentliche Inhalt des Satzes II 14, der sog. ‘fefragonismos’ = «das Verwandeln des Rechtecks in flächengleiches Quadrato. Ich habe oben, in meinem «zweiten Beispiel» schon darauf hingewiesen, doß das Verwandeln eines Rechtecks in flächengleiches Quadrat der Aufgabe die Mitttlere Proportionale zwischen zwei Zahlen oder Größen zu finden, gleichwertig ist. Die Konstruktion der Mittleren Proportionale zu zwei geraden Beuchtet man bloß die eben zusammengefuliten Schritte, so wäre man zunächst geneigt, die beiden Konstruktionen (VI 13 und II 14) für identisch zu halten. Und doch unterscheidet sich der Sinn derselben Schritte in den beiden Fällen so vollkommen wie nur möglich ! Die Gedankenginge der beiden Sätze, die sich hinter den «identischen Schritten» stecken, sind völlig verschieden. Man überlege sich nämlich zunächst, welchen Sinn die eben angedeuteten Schritte - von dem Gesichtspunkt des Satzes VI 13 aus — haben müssen. ei JR hyperboll mnt paropleroma Strecken wird bei Euklid in dem Satz VI 13 behandelt. Die beiden Sätze, VI 13 und II 14 führen also zu demselben Ergebnis.** Uns interessiert jedoch diesmal eben der Unterschied der beiden Sätze. Das Überraschende an den Konstruktionen in VI 13 und II 14 ist nämlich, daß die wichtigsten Schritte in beiden Fällen auf den ersten Anblick als völlig identisch aussehen (siehe Abb. 14). In beiden Fällen werden zunächst die Seiten des betreffenden Rechtecks — bzw. die Strecken a und è, zu denen man die Mittlere Proportionale sucht — einer geraden Linie entlang addiert. Dann halbiert man die Summe der beiden Strecken und man schlägt mit der halben Strecke den Halbkreis um den Halbierungspunkt. Und schließlich errichtet man die Senkrechte in dem Berührungspunkt der beiden Strecken a und è bis zur Peripherie des Halbkreises; die so gewonnene Strecke d wird die gesuchte Mittlere Proportionale zwischen a und 6, bzw. die Seite dea dem ab flächengleichen Quadrats. “Wie bekannt, hat J. L. Herero («Mathematisches zu Aristoteles», Abhandlungen zur Gesch. d. math. Wissenschaften, 18. Heft, Leipzig 1804) unter Hinweis auf die beiden wichtigen ARISTOTELES-Stellen, De anima II 2.413a 13—20, und Metaph. B 2.986b 18—21, den Satz VI 13 für den älteren und ursprünglicheren gehalten; demgepes könnte — seiner Ansicht nach — IT 14 cino gone Variante sein, Dersolben cht hat sich auch Tu. L. HEATH («Mathematics in Aristotle», Oxford 1949 191— 193) angeschlossen. — Ich muß in diesem Zusammenhang zwei Tatsachen festlegen: 1. der Satz II 14 ist aller Wahrscheinlichkeit nach altpythagoreisch; 2. die relative Chronologie der beidon Sätze VI 13 und II 14 läßt sich nicht mit Bestimmtheit entscheiden. (Siehe auch oben meine Anmerkung 11.) Auch VI 13 kann altpythagoreisch sein, obwohl zu rr a bei Eux allerdings die cudoxische Definit on der Proportionalitát n . Ada Antiqua Academias Scientiarum Hungaricae 17, 1069 Man addieri die beiden Segmente « und è — zu denen die Mittlere proportionale gesucht wird —, weil man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (AC, Abb. 14) bekommen will. (Man weiß dabei im voraus, daß a und b je für sich längere Kathete bzw. kürzere Kathele von zwei anderen rechtwinkligen Dreiecken werden !) Man halbiert das Segment AC, und man schlägt . mit der halben Strecke den Halbkreis, weil man — im Sinne des thaletischen Satzes — zunächst die genmetrischen Stellen aller jener rechtwinkligen Dreiecke sucht, deren Hypotenuse AC ist. Und schließlich wird d die gesuchte Mittlere Proportionale zwischen « und è, weil sie kürzere Kathele dea rechtwinkligen Dreiecks ABD, und zu gleicher Zeit längere Kathete des reohtwinkligen Dreiecks BCD ist, wobei die Dreiecke ABD und BCD untereinander ähnlich sind. — Zweifellos bildeten eben diese Gedanken die Grundlage zu der Konstruktion in dem Satz VI 13. Aber man findet nichts von denselben Gedanken in der nur scheinbar identischen Konstruktion des Satzes II 14. — Versuchen wir in dem folgenden jene Gedankengänge zu reproduzieren, die zu der Konstruktion in dem Satz II 14 geführt hatten.!? Soll man ein gegebenes Rechteck ab — ohne Anwendung von Proportionen — in flächengleiches Quadrat verwandeln, so denkt man etwa folgenderlen Rekon4 Ich möchte hier dankbar betonen, daß mein Leitfaden in der fo r Gedankenatruktion — wie auch sonst in der Rekonstruktion antiker ma Ich bin war. it?» solve to «How P6LvA, G. von Büchlein gängo schr oft — das schöne überhaupt der Ansicht, daß nicht nur die mathematische Heuristik in den Dienst der werden kann, sondern auch LS sise die historische historischen Forschung gestellt Wissenschaft der Houristik fürdern soll. Forschung die keimende

À. 8ZABÔ maßen. Wir haben sozusagen einen Weg hinter uns zu legen. Gegeben ist unser «Ausgangspunkt», das Rechteck ab. Das «Ziel», zu dem wir gelangen müssen, ist das dem Rechteck ab flächengleiche Quadrat, d?. — Man hat das Gefühl, daß «Ausgangspunkt» und «Ziels ziemlich weit voneinander entfernt sind; es gibt sozusagen einen Niveau-Unterschied zwischen den beiden. Könnten «Ausgangspunkts und «Ziels nicht irgendwie einander ntihergebracht werden? Es wäre z.B. sogleich etwas gemeinsames in dem «Ausgangspunkt» und in dem «Ziclo, wenn man sie beide als Ergebnisse je einer geometrischen Operation auffassen könnte. Wie wird nun sowohl das gegebene Rechteck ab, wie auch das gesuchte Quadrat d? zum «Ergebnis je einer Operation? — Wir wollen es zunächst mit dem Rechteck versuchen. und besteht die Lösung daraus, daß man die beiden Ergebnisse miteinander verbindet. Das größere Quadrat > El | von dem man das kleinere subtrahiert, 2 wird das Quadrat auf der Hypotenuse eines rechtwinkliger-Dreiecks, Dagegen aim 2 wird das kleinere, das subtrahierte Quadrat ur das Quadrat auf der i © re FES Y d I . li Man denke an die Subtraktion in den obigen Abbildungen 2/ und 12. Subtrahiert man von einem größeren Quadrat 2° ein kleineres y?, so bleibt ein ‘Gnomon’ übrig, der jedoch sehr leicht in das Rechteck (x + y) + (z — y) verwandelt werden kann. — Unser Rechteck (ab) unterscheidet sich von dem letzteren bloß darin, daß hier anstatt der Quadrate, die man auseinander subtrahieren soll — 2° und y? —, unmittelbar die Seiten des Rechtecks a und d gegeben sind. Aber selbstverständlich kann man aus den beiden Seiten des Rechtecks auch die Quadrate x? und y? bekommen: = ul 167 y= ES 2 (Siehe die Abb. 12.) Wir fassen also unseren « 2 :sgangspunkto, das Rechteck ab ala die Differenz der beiden Quadrate + | AS=} auf, So wird der «Ausgangspunkt» zu dem «Ergebnis einer geometrische Crediti. (Eigentlich wird eben diese Transformution des «Ausgangspunktess durch den Hilfssatz II 5 im voraus zustandegebracht !) Ähnlich kann man auch das «Ziel, zu dem wir gelangen wollen, d', alu «Ergebnis einer anderen geometrischen Operations auffassen. Ja, auch diese andere Operation kann eine Subtraltion sein. Denn für das rechtwinklige Dreieck in unserer Abb. 15 gilt ja der 'pythagoreische Lehraatz’: z* = y? + d?, Subtrahiert man darum aus dem Quadrat der Hypotenuse das Quadrat der einen Kathete, so bekommt man das Quadrat der anderen Kathete: 2? — y?=d?. — Hat man dies erkannt, so hat man die Lösung unserer Aufgabe — das Verwandeln des Rechtecks ab in flächengleiches Quadrat — sozusagen schon in der Hand. Denn vorhin führte die Subtraktion der beiden Quadrate auseinander zu einem Rechteck, und jetzt führte dieselbe Subtraktion® zu einem Quadrat. Will man also ein Rechteck ab in flächengleiches Quadrat verwandeln, so 20 Moine Buchstabierung in Abb. 15 wollte im voraus den Gedankengang für x d | ' on > om. EN 4 y n Abb. 15 CaiAble: Abb. 16 einen Kathete. Aus den beiden Angaben: Hypotenuse = + und eine Kathete = — È soll man die andere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks bekommen (siehe Abb. 16). Das Quadrat auf dieser anderen Kathete (d) ist flächengleich dem gegebenen Rechteck ab. Das ist der Sinn der Konstruktion im Satz Il 14. Man sicht also, daB das Addieren der beiden Seiten des Rechtecks (a + 5) in dieser Konstruktion (s. Abb. 16) in der Tat einen anderen Sinn hat, als in dem Satz VI 13 (siehe zu dem letzteren die Abd. 14). Dort addierte man die beiden Strecken, weil die Summe a + Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks wurde. Diese Hypotenuse mufite in VI 13 halbiert werden, um den thaletischen Satz anwenden zu kinnen. — Dagegen haben dieselbe Addition und dieselbe Halbierung in Il 14 den Sinn, daß die halbe Summe der beiden Seiten des Rechtecks: — = 2. silber Hispotense vicesanilerca nectit liga Dreiecks wird (Abb. 16). Es sei hier als eine interessante Tatsache noch hervorgehoben, daß in der Konstruktion des Satzes II 14 die Seite jenes kleineren Quadrata 2 |: das von dem Quadrat der Hypotenuse py subtrahiert wird, gar nicht den Leser erleichtern.

A. SZALO 1. Der Satz Il 5 ist cin rein geometrischer Hilfssutz zu dem Beweis dea besonders konstruiert werden soll. Denn die Strecke zwischen dem Halbierungsam punkt von a + b und dem Berührungspunkt von a und b ist eben: Satzes 11 14. Es wäre irreführend, diesen Satz als «Lösung éiner algebraischen Gleichung» aufzufassen. Die algebraische Auslegung — auch wenn sie dem Satz Euklids äquivalent ist — verdunkelt den wahren geometrischen Sinn dieses b =y. 169 . * Satzes, und historisch erweckt sie den falschen Schein, als hätten die Griechen Zum Schluß muß ich noch meine frühere Behauptung — daß nümlich der Satz II 5 nur einen Hilfssatz, sozusagen einen «Fertigbauteilo zu dem Beweis des Satzes IF 14 darstellt — etwas näher begründen. Es sei vor allem darauf hingewiesen, dali Euklid den II 5 (den Wortlaut siehe oben am Anfang des I. Kapitels) an einer Zeichnung erklärt und beweist, die in allem wesentlichen meiner Abb. 12 entepricht. Mit dieser Abbildung habe ich veranschaulicht, wie die Pythagoreer eine beliebige Quadratfläche in die Summe eines kleineren Quadrats und eines Gnomons, bzw. in diejenige eines Quudrats und eines Rechtecks auflösten. Es handelt sich im Grunde eben um dasselbe auch in dem Satz II 6. Allerdings geht Euklid nicht von einem Quadrat, sondern von einer Strecke aus, die halbiert und in ungleiche Abschnitte geteilt wird. -- Das Teilen in ungleiche Abschnitte ist offenbar nur die Umkehrung dessen, daß in II 14 die beiden Seiten des Rechtecks addiert werden. In II 14 macht man aus den beiden Seiten des Rechtecks eine Strecke, während in II 5 aus der gegebenen Strecke — durch beliebiges Teilen — ein Rechteck gemacht wird. — Die «Halbierungeno haben in beiden Sätzen — 11 5 und 14. — denselben Sinn: auf die halbe Strecke wird jenes größere Quadrat errichtet, von dem ein kleineres subtrahiert werden soll. Aber noch interessanter ist das folgende. Ich habe schon hervorgehoben. in voreuklidischer Zeit in der Tat mit salgebraischen Gleichungen» operiert. 2. Es wurde oben im Kapitel TI. auch darauf hingewiesen, daß auch die übrigen Sätze der sog. «geometrischen Algebra der Pythagoreer» sich als rein geometrische Sätze erklären lassen. Dagegen hat man Spuren von echt algebraischen Gedankengängen?! aus der voreuklidischen und Euklidischen Uberlieferung bisher nicht nachweisen können. 3. In einem Punkt werden jedoch die Gedanken von P. Tannery, mit denen er die späteren Spekulationen über die angebliche sgeometrische Algebra RTErNEBEtAIaiaeEyALNRÀGCEsttBMeUArTayEArS der Griechen» angeregt hatte, beibehalten. P. Tannery war nämlich der Ansicht, daß diese Art Geometrie ihr Entstehen der Entdeckung der Inkommensurabilitàt zu verdanken hat. Es wurde in der Tat auch in meiner Arbeit cdiSaoe darauf hingewiesen, daß die behandelte ‘Flichengeometrie der Pythagoreer’ das Problem der Inkommensurabilität ausschaltet und die Benutzung von Proportionen konsequent vermeidet. 4. Jene Vermutungen, die die «geometrische Algebra der Pythagoreer» als Übernahme bzw. griechische Weiterentwicklung von ursprünglich babylonischen Gedankengängen auffassen wollten, waren voreilig. Der Zusammenhang dieser Art Kenntnisse mit der ebabylonischen Wissenschaft» ist in der eNEeR halbe Differenz der beiden Rechteckseiten F — >) nétig ist. (Das Quadrat auf daß zu der Anwendung des ’pythagoreischen Lehrsatzes’ in II 14 auch die dieser Strecke wird von dem Quadrat der Hypotenuse (* È | subtrahiert.) 2 Man braucht jedoch diese Strecke gar nicht besonders zu konstruieren; sie ist die «Strecke zwischen dem Halbierungspunkt von a + 6 und dem Berührungspunkt von a und br. Dasselbe Segment wird bei Euklid in 11 5 als die «Strecke zwischen den Teilpunkten» bezeichnet. — Auch diese sprachlich schwerfällige, beinahe unbeholfene Bezeichnungsart ist für mich ein schlagender Beweis dafür, daß der alte Geometer den Satz II 5 im Hinblick auf IT 14 im voraus fiealtnio, Wirklichkeit nirgends erwiesen. Im Gegenteil! Man hat eher den Eindruck, daß die hier behandelte *Fliichengeometrie der Pythagoreer’ eine rein griechische Errungenschaft war. Budapest. = > Szanò A., Wie kamen die Pythagoreer zu dem Satz Euel., Elem. 11,5 : AAntHung XVII 1969 149-169. | Le théorème 11,5 est purement géométrique ct fait partie de la preuve de 11,14; 1l ne s’agit pas d’une équation algébrique. . L'influence babylonienne doit donc être exclue. aufgestellt und bewiesen hatte. * 2 Echt algebraisch ist z. B. die Interpretation von B. L. v, d. WAERDEN für den Beweis des Satzea II 14 (Erwachende Wissenschaft 1956, 193; oder Science awakening Vv Man könnte jene Ergebnisse der vorangestellien Untersuchung, die mir auch von dem Gesichtspunkt der weiteren Forschung aus als wichtig vorkommen, etwa in den folgenden Punkten zusammenfassen: 1963, 118). Anstatt von Flächen arbeitet hier dor moderne Verfasser mit Produkten aus We, Ada Antiqua Academias Scienttarum Hungaricae 17, 1969 rmREdiA DGtuat!dISIS 3 #Pre t zwei Faktoren, bzw. mit Grüßen zweiten Grades, wobei man die Gefahr Muft, daß in dem Leser der grundlegende Unterschiod der Geomotrie und der bra gar nicht bewußt wird. Natürlich ist auch der moderne Beweis von B. L. v. d. WAERDEN tadellos. Aber mit dem antikon Gedanken hat er in der Wirklichkeit gar nichfs zu tun. 2 Vgl. oben meine Anmerkung 6.