Leonardo, Vitruv und Pythagoras

DRASLSTAUR S. Leonardo, Vitruv und Pythagoras Le. TONE ECARRBREN-FORMEN Rolf Dragstra Kaum eine zweite Abbildung hat so oft und so unterschiedlich Verwendung gefunden wie Leonardos Proportionsstudie nach Vitruv!. Sie entstand ca. 1490 in Mailand, in einer Zeit, in welcher auch das Treffen Leonardos mit Francesco di Giorgio Martini stattgefunden haben muß, Beide arbeiten am Projekt der Mailänder Domkuppel, und beide reiten gemeinsam nach Pavia, wo sie als Berater an der dortigen Planung der Kathedrale beteiligt sind?. Leonardo besitzt in späteren Jahren (möglicherweise von diesem Zeitpunkt an) einen Traktat des Francesco di Giorgio, der sich heute in der Biblioteca Laurenziana in Florenz befindet: den Codex Ashburnham 361. Dieser Traktat, in dem sich einige Notizen und Anmerkungen Leonardos befinden, enthält neben Konstruktionsskizzen für unterschiedliche Gebäude oder Geräte auch solche zur indirekten Messung von Höhen und Entfernungen und zur Messung der perspektivischen Tiefenverkürzung; darüberhinaus hat Francesco di Giorgio entscheidende Passagen aus Vitruvs Büchern über Architektur roh übersetzt und zusammengefaßt, insbesondere auch solche, die sich mit der Maßgebung der Bauwerke und Tempel befassen?. Francescos Aufzeichnungen gehen bis auf die frühen 80er oder gar 70er Jahre zurückt; sie können also - ganz gleich, ab wann Leonardo den Traktat besessen hat - Gesprächsgegenstand während der gemeinsam in Mailand und Pavia verbrachten Zeit gewesen sein; und da Francesco noch bis ca. 1490 mit der ausführlicheren (ersten!) Übersetzung Vitruvs ins Italienische befaßt war”, so mag er gerade davon gesprochen und seinem Kollegen Auskünfte gegeben haben... Natürlich war auch für Leonardo der meßtechnische Zusammenhang von Problemen der Architektur, der Anthropometrie, der Landvermessung und der Perspektive von besonderem Interesse. Befragen auch wir zum Verständis dieses Problemkreises vor allem Vitruv selbst - in der nicht unberechtigten Annahme, daß dasselbe auf je eigene Weise auch IVgl. Luisa Cogliati Arano, Leonardo - Disegni, Venedig 1980, S. 92 f.: Abbildung nebst Texttranskription und Erläuterungen 2Vgl. Carlo Pedretti, Leonardo architetto, Mailand 1978, S. 52 vgl. Corrado & Livia Maltese (Hg.), Francesco di Giorgio Martini - Trattati di architettura, ingegneria e arte militare (2 Bde.), Mailand 1967, Bd. 1, S. 39 (folio 9 verso) zu Vitruvs ordinatio und symmetria; S. 120 - 132 ( 28” - 31" ) zum Quadranten und zu Methoden der Landvermessung, S. 139 f. (327 ) zur perspektivischen Bildkonstruktion. 4Zum schwierigen Problem der Datierung vgl. Massimo Mussini, Il trattato di Francesco di Giorgio Martini e Leonardo, Parma 1991, S. 59 ff., und: Frank Zöllner, Vitruvs Proportionsfigur, Worms 1987, S. 72. Diese findet sich im zweiten Teil des Codex Magliabechianus 11.1141; zur Datierung desselben vgl. Massimo Mussini, S. 112 und Frank Zöllner, S. 73 In: Töne - Farben - Formen / Elisabeth Schmierer [Hrsg.]. — Laaber : Laaber-Verlag, 1995. — ISBN 3-89007-314-X,

Leon Battista Alberti, Francesco di Giorgio, Leonardo da Vinci und Donato konstruierter, inkommensurabler, also "asymmetrischer" Größenverhältnisse Bramante getan haben: auf keinen Fall ausschließen darf!!. Vitruvs Symmetriebegriff hat also Vitruvii de architectura libri decem, liber primus, 11.2: "mit der spiegelbildlichen Gleichheit beiderseits einer Achse, wie wir das “2. Ordinatio est modica membrorum operis commoditas separatim universeque proportionis ad symmetriam comparatio. Haec compo- "2. Ordinatio ist die verhältnismäßige Abstimmung der (Größen der) Bauglieder im eindem Maß entsprechende, das Maßgerechte, um es mittelalterlich-fachmännito ex quantitate, quae graece xoootN¢ dicitur. Quantitas autem est modulorum ex ipsius _ operis sumptio e singulisque membrorum parti- Bigkeit und Meßbarkeit im ganzen. Dieser bus universi operis conveniens effectus."6 Wort gebrauchen, zunächst nichts zu tun. TO cvupetpov ist TO ovv nerpv , das zelnen und der Vergleich von Verhältnismänisch auszudrücken. Es kann aber auch übersetzt werden mit 'Gleichmaß' in Vergleich stellt sich durch das her, was griedem Sinn, daß beim Vergleich zweier Größen eine Maßeinheit zugrundegechisch posotés genannt wird: die quantitas. legt wird, eben das Symmetron, das in beiden Größen enthaltene Einheits- Diese bedeutet aber die Ableitung von kleinen maß."12 Maßstäben aus dem Bauwerk selbst und die angemessene Ausführung des Gesamtbaus aus den Damit aber sind wir schon bei der zweiten Änderung: modulus = kleiner Maßeinzelnen Teilen der Bauglieder."7 (Erg. d. stab. Ubers.) Denn es ist ein in allen Größen enthaltenes Einheitsmaß, welches den Ab- In dieser Neuübersetzung des Vitruvschen Passus verdanken sich zwei entstimmungsprozeß ermöglicht, indem es die Größenverhältnisse der einzelnen scheidende Änderungen Frank Zöllners Studie zur Vitruvschen Proportionsfigur8. So verstanden, gibt die ordinatio genau das Verfahren an, das wir im weiteren mit dem Begriff der Maßarbeit kennzeichnen wollen. Teile von Baugliedern wie auch die Verhältnisse dieser Glieder zum Ganzen umfaßt und bestimmt. Frank Zöllners Untersuchung gibt uns in dieser Hinsicht unmißverständlichen Aufschluß: praktisch ist nämlich Vitruvs Herstellung der Kalkulierbarkeit von Baumaßen untrennbar mit der Benutzung unterschiedli- Erste Änderung: symmetria = Meßbarkeit: Die symmetria Vitruvs ist auf ein Verhältnis meßbarer, kommensurabler Größen zu beziehen?: symmetron = das Meßbare, im Gegensatz zu Größen, die kein gemeinsames Maß haben; asymmecher Maßstäbe verknüpft, die bei der Herstellung eines Modells oder einer Zeichnung wie auch beim Zusammenfügen der Bauglieder vor Ort je nach Größenordnung angemessen sind: “conveniens effectus”!3. Unter dem “modulus” = das Inkommensurable!9, z. B. das Verhältnis der Diagonale zur Seite im wäre daher nichts anderes zu verstehen als ein kleiner Teil oder die Teilgröße Quadrat, welches irrational ist: also streng genommen gar kein nach Zahlen bestimmbares, berechenbares und damit meßbares Verhältnis. Und Vitruv handelt eines solchen Maßstabs, die zugleich gemeinsames Einheitsmaß aller anderen tron Maßstäbe wäreli. Auf diese Weise lassen sich nun in der Tat die gleichen Maßverhältnisse in von einem Prozeß der "Abstimmung" (“commoditas”), in welchem "Proportionen" mit meßbaren Größenverhältnissen "verglichen" (“comparatio”) genauer: unterschiedlichen Größenordnungen, vom Teil bis zum Ganzen, reproduzieren. Insbesondere beim Tempelbau, wo, so Vitruv, die Herstellung der "Symmetrien” auf diese abgeglichen werden. Der Begriff einer Proportion, die dieses Vergleiches bedarf, muß dem der symmetria gegenüber an dieser Stelle unpräzise bleiben, da er die baupraktische Möglichkeit rechnerisch unpräziser, nämlich geometrisch 6Vgl. Francescos Rohübersetzung im Codex Ashburnham 361, folio 9 Y, zit. wie in Anm. 33: Vitruvs modulus wird an dieser Stelle einfach mit “Modell” wiedergegeben. 7Vgl. die deutsche Übersetzung Curt Fensterbuschs (Hg.), Vitruvs zehn Bücher über Architektur, Darmstadt 1964, S. 37. Der Abstimmungsprozeß umfaßt mehrere Schritte der Kalkulation wie Konstruktion, bei denen eine wechselseitige Korrektur stattfinden kann: das erschwert eine analytische Beschreibung, und Vitruvs Schwierigkeit, diesen Prozeß in theoretischen Begriffen zu definieren, resp. die Schwierigkeit seines Lesers, diese Grundbegriffe voneinander abzugrenzen, liegt daher in der dialektischen Natur der Sache: der Praxis der Maßarbeit selbst. BVgl. Ann. 4 ?vgi. Curt Fensterbusch, S. 537 (Anm. 42): Vitruv prägt für die griechische symmetria eigens den Term “commensus”, der allerdings keine Aufnahme ins Lateinische gefunden hat. 10Vgl. Arpad Szabd, Anfänge der griechischen Mathematik, Budapest 1969, S. 112 288 als meßbarer Verhältnisgleichheiten “diligentissime”, also peinlichst zu handhaben ist: tbaside TBErPoafNdetTaie 1lZu Vitruvs Proportionierung des Atriums mit der Quadratdiagonale - liber sextus, [11.3 - vgl. Frank Zöllner, S. 35. 12Theodor Fischer, Zwei Vorträge über Proportionen, München/Berlin 1934, S. 77. Die achsensymmetrische Geometrie einer baulichen Konstruktion verstärkt natürlich die Wirkung gleicher Maßverhältnisse durch deren Verdopplung ganz ungemein - sicherlich auch deshalb, weil sowohl der ganze Leib wie insbesondere unser wahrnehmendes Gesicht und Gehör nach einer solchen Symmetrie eingerichtet ist, und funktioniert. Vgl. auch Frank Zöllner, $. 39 - 41. ISvgl, Frank Zöllner, 5. 31 - 35, Kap. 2.4.: Der Maßstab. Der handwerkliche Umgang mit unterschiedlichen Maßstäben, der auf die Architektur weder beschränkt war noch ist, setzt die Fähigkeit voraus, einen Maßstab wie den des menschlichen Körpers getreulich verkleinern oder auch verzu können. 4Frank Zöllner, S. 41

Vitruv, liber tertius, 1.1: Neuübersetzung 15: “Aedium compositio constat ex symmetria, cuius rationem diligentissime architecti tenere debent. Ea autem paritur a proportione, quae graece avadoyia dicitur. Proportio est ratae partis membrorum in omni opere totoque commodulatio, ex quo ratio efficitur symme- "Die Formgebung der Tempel beruht auf der MeBbarkeit, an deren Verhältnis sich die Architekten peinlichst zu halten haben. Diese aber kommt der Proportion gleich, die die Griechen analogia nennen. Sie besteht in der maß(stabs)gerechten Abstimmung der Glieder im ganzen Bau auf den Gesamtbau, durch eine berechnete Teilgröße. Aus der Proportion ergibt sich so das Verhältnis der Meßbarkeiten. Denn kein Tempel kann ohne triarum. Namque non potest aedis.ulla sine symmetria atque proportione rationem habere compositionis, nisi uti [ad] hominis bene figurati membrorum habuerit exactam rationem." (Herv. erg.) MeBbarkeit und Proportion (d. h. ohne Maße und Maßverhältnisse) eine vernünftige Formgebung haben, wenn seine Glieder nicht in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen, wie die Glieder eines wohlgeformten Menschen.” (Erg. d. Übers.) 16 Durch die Me&barkeit aller Teilmaße ergeben sich also berechenbare Verhältnisgleichheiten, die wir in Zahlen ausdrücken können: das haben denn auch die Griechen ursprünglich unter der analogia verstanden!7, Und das "Verhältnis der Mefbarkeiten", die”ratio symmetriarum”, die sich im einzelnen wie im ganzen ergeben soll!8, stellt sich her vermittels einer”berechneten Teilgréfe", dem modulus, als”kleinem Maßstab”, als symmetron oder Einheitsmaß aller anderen Maßstäbe. Daher kann die "ratio symmetriarum” praktisch nichts anderes sein als das Verhältnis der verschiedenen Maßstäbe untereinander, in Vielfachen ihres gemeinsamen Einheitsmaßes ausgedrückt. Und genau dafür ist nun dem Vitruv der menschliche Leib ein Modell - nicht gleich für die Gestalt des zu bauenden Tempels, seinen "symmetrischen Anblick”, wohl aber als Modell des kalkulatorischen Verfahrens der Maßarbeit, praktisch: der Bestimmung und Anfertigung der Maßstäbe für den Tempel!?. Nun müßte sich doch jenes kalkulatorische Verfahren der Maßstabsbestimmung auch an diesem Generalbeispiel des menschlichen Körpers demonstrieren lassen” - und das geht auch: vel. fig. Li. Leonarios Text über der Zeichnunet": | a avvas der Archnesi sag: in semem Werk ser due Arche dad ie ces Merscher o Ser inlgenden Weise auspelen seien es Solder. nam = Finger eine Handbreit, 4 Handbreiten einen Fuß, 6 Handbreiten eine Elle (cubito). 4 Ellen (cubiti) ergeben ein Klafter (passo) und 24 Handbreiten die Länge eines Menschen; und diese Maßverhältnisse finden sich in seinen Gebäuden. Wenn du die Beine soweit spreizest, daß sich deine Größe, vom Kopf gemessen, um 1/14 vermindert, und wenn du deine Arme soweit öffnest und erhebst, daß du mit den Mittelfingern die Linie auf der Höhe des Scheitels berührst, dann wisse, daß das Zentrum der äußersten Punkte der ausgestreckten Gliedmaßen der Nabel, und daß der Raum, der sich zwischen den Beinen befindet, ein gleichseitiges Dreieck sei." Unter der Zeichnung der Maßstab; dann wie eine Überschrift: "So weit öffnen sich die Arme des Menschen, wie es seiner Höhe entspricht.” Schließlich der restliche Text: "Von den Haarwurzeln bis unter das Kinn ist der zehnte Teil der Höhe des Menschen; von unterhalb des Kinns bis zum Scheitel ist der achte Teil der Höhe des Menschen; von der Höhe der Brust bis zum Scheitel sei der sechste Teil des Menschen, von der Höhe der Brust bis zu den Haarwurzeln der siebte Teil des ganzen Menschen. Von den Brustwarzen bis zum Scheitel sei der vierte Teil des Menschen; die größte Breite der Schultern enthält in sich den vierten Teil des Menschen; vom Ellenbogen bis zu den Fingerspitzen sei der vierte Teil des Menschen; vom selben Ellenbogen bis zum Ende der Schultern sei der achte Teil dieses Menschen; die ganze Hand sei der zehnte Teil des 15Vgl. Fensterbuschs Übersetzung, 5. 136 16Zur "rata pars”, der "berechneten Teilgröße” vgl. Vitruvs liber primus, Il. 3. und 4., wo die Menschen, das männliche Glied beginnt in der Mitte des Menschen; der Fuß sei der siebte Teil des Menschen; von unterhalb des Fußes bis unter das Knie sei der vierte Teil des Menschen. Die Teile, die sich zwischen dem Kinn, der "symmetria” im Zusammenhang mit der “eurythmia” definiert wird. 17Zur Bedeutungsentwicklung des Analogiebegriffs im Sprachgebrauch der griechischen Mathematiker vgl. Arpad Szabö, Die frühgriechische Proportionenlehre im Spiegel ihrer Terminologie, in: Archive for the History of the Exact Sciences, vol. 2 nr. 3, 1965, S. 212. In seiner bewunderungswürdigen Studie hat Szabò die in Euklids Elementen enthaltenen Restbestände der älteren Proportionenlehre ausgemacht, deren Entwicklung er in die vorhippokratische Zeit (Hippokrates von Chios, 1. Hälfte des 5. Jhdts. v. Chr.) verlegt. Die terminologische Untersuchung ergibt nun, daß sich diese frühe Proportionenlehre höchstwahrscheinlich aus Experimenten am Monochord entwickelt hat, die gemeinhin den Pythagoreern zugeschrieben werden, namentlich dem Pythagoras selbst. Der logos der geometrischen Proportionen des Eudoxos und des Euklid, der mit dem Verhältnis der Seitenlängen ähnlicher Dreiecke in der Fläche operiert, wäre demnach hervorgegangen aus den pythagoräischen Experimenten zum Verhältnis der Saitenlängen und Tonhöhen am "geschnittenen" 19Es scheint, als habe Francesco di Giorgio schon früh beide Deutungsmöglichkeiten der Vitruvschen symmetria des menschlichen Körpers miteinander verknüpfen wollen: die optische und die kalkulatorische. Das geht aus seiner Rohübersetzung der Vitruvschen Definition im liber primus 11.4. - vgl. Anm. 16 - hervor, die wiederum auf folio 9 Y des Codex Ashburnham 361 (zit. wie in Anm. 3 - zu finden ist; es geht dem Francesco um die kalkulierte Aufstellung einer Treppe oder Stufenleiter von Maßstäben, wie sie der menschliche Körper als Vorbild aufweist. Damit aber hat er die praktische Bedeutung des Vitruvschen honto quadratus für den Prozeß der Maßkalkulation schon sehr früh erkannt. 20Das hat Frank Zöllner leider unterlassen, wie auch eine Neuübersetzung der betreffenden Vitruvkanon - Euklid: "sectio canonis” - also aus Experimenten am Monochord, als Meßinstrument und Maßstab der Musik, wo mit Strecken in nur einer Dimension operiert wird: in Richtung der schwingenden schen zu verstehen. Saite des Maßstabs selbst. 21Die hier wiedergegebene Übersetzung deckt sich sinngemäß mit jener, die wir nebst einer Texttran- 18. nämlich im Singular: “symmetria”, wie im Plural: “symmetriarum”. skription bei Zöllner, S. 78 f., finden. stellen; in diesem Sinne sei vorliegende Arbeit als Versuch einer kritischen Fortsetzung der Zöllner-

Nase, den Augenbrauen und den Haarwurzeln befinden, sind jeder für sich (der Linge nach) dem Ohr ähnlich, das ist einem Drittel des Gesichts." Zunächst einmal folgen wir Frank Zöllners Ansicht, daß die Veranschaulichung der menschlichen Größenverhältnisse im homo ad quadratum und homo ad circulum bei Vitruv - liber tertius, 1.2 und 1.3 - auf die praktischen Fundamente des fig.1) Leonardo, Mailand, ca. 1490: Proportionen des menschlichen Körpers nach Vitruv Bauhandwerkes abzielt: Der Mensch im Geviert veranschaulicht zugleich den Maßstab und den rechten Winkel: ein in regelmäßigen Abschnitten gegliedertes Richtscheit und ein Winkelmaß, dessen Scheitel unter der Achsel liegt. Und der Mensch im Kreis veranschaulicht den Zirkel, in welchem zu Beginn des Baus fr PO EN u Idome mt Tan ann die Himmelsrichtungen festgelegt werden”. FA m re pe MIT Spe e te 9 toe 1 . ler a Ti Fe y dn : BENGE RIS vá RES FPE FES 3 E Lesen wir zuerst den Text unter der Zeichnung: Leonardos detaillierte Auseine e] bi andersetzung mit dem homo quadratus. Sie bezieht sich zweifellos auf AAA | Anganbrauen Vitruv, liber tertius, 1.2.: Übersetzung nach Curt Fensterbusch?4; P Beasthohe "Corpus enim hominis ita natura composuit, "Den Körper des Menschen hat nämlich die b Beusdecte uti os capitis a mento ad frontem summam et Natur so geformt, daß das Gesicht vom Kinn sten Rande des Haarschopfes 1/10 beträgt, + Beschtarht radices imas capilli esset decimae partis, item manus pansa ab articulo ad extremum medium digitum tantundem, caput a mento a summum verticem octavae, cum cervicibus imis Spitze des Mittelfingers ebensoviel, der Kopf L foie Kran | Kknlesbaibg Fup roble bis zum oberen Ende der Stirn und dem unterdie Handfläche vom Handgelenk bis zur ab summo pectore ad imas radices capillorum vom sextae, < a medio pectore > ad summum verti- Scheitels 1/8, von der Höhe der Brust mit dem Kinn bis zum höchsten Punkt des cem quartae. [psius autem oris altitudinis teruntersten Ende des Nackens bis zum untersten tia est pars ad imo mento ad imas nares, nasum ad ibis naribus ad finem medium superciliorum Haaransatz !/¢,< ... > bis zum höchsten Scheitelpunkt 1/4, Vom unteren Teil des Kinns tantundem, ab ea fine ad imas radices capilli aber bis zu den Nasenlöchern ist der dritte frons efficitur item tertiae partis. Pes vero al- Teil der Länge des Gesichtes selbst, ebensoviel titudinis corporis sextae, cubitum quartae, pectus item quartae. Reliqua quoque membra suas habent commensus proportiones, quibus etiam antiqui pictores et statuarii nobiles usi magnas et infinitas laudes sunt adsecuti.” die Nase von den Nasenlöchern bis zur Mitte der Linie zwischen den Augenbrauen. Von dieser Linie bis zum Haaransatz wird die Stirn gebildet, ebenfalls 1/3. Der Fuß aber ist 1/6 der Körperhöhe, die Elle 1/4, die Brust ebenfalls 1/4. Auch die übrigen Glieder haben ihre meßbaren Verhältnisse, durch deren PORC poe UE NN "dh \ a palmi oo WR | etre, palmi diri tt des Maßstabs unter der Zeichnung? dh o =. Ze ——a cubiti dd vin 0 a am palmi LA ALLA digiti (ow oenn Beachtung auch die berühmten Maler und Bildhauer großen und unbegrenzten Ruhm erlangt haben." Leonardos Zeilen setzen zweifellos eine zumindest indirekte, aber doch genaue Kenntnis der Vitruvschen Maßverhältnisse voraus25, Dies aber gerade deshalb, weil Leonardo jene nicht nur übernommen, sondern auf ihre Konsistenz überprüft und viermal abgeändert hat. Vergleichen wir dazu die hervorgehobenen Textstellen: Leonardo hat erstens die Entfernung von der Brusthöhe zum "Scheitel" statt zum "Haaransatz" zu einem Sechstel der Körpergröße bestimmt: also zu vier 23Vgl. Zöllner, S. 34 f. und 42 f. 24Fensterbusch, S. 136 f. (vgl. Anm. 15) 25 Als möglicher Informant ist aus schon genannten Gründen - (vgl. auch Anm. 19) - in jedem Fall 22 Auf die optische Symmetrie dieses waagrechten Maßstabs geht Frank Zöllner, S. 79 f., nicht ein. Francesco di Giorgio zu nennen.

@ 3-: 10) Elle = Sechsteln der Elle, 2/3 Elle. Da er wie Vitruv die Kopflange zu einem Achtel der sy Elle=*" 129 der Körpergröße. Körpergröße, also einer halben Elle, bestimmt, und die der Handlänge gleiche Ein Siebtel der Körpergröße ist aber: 1/7 e 17;17= 17: 119 der Körpergröße! ® Gesichtslänge zum Zehntel der Körpergröße, also vier Zehnteln der Elle: 2/5 Elle, Nun zum Text über der Zeichnung, zum ersten Satz, wo Leonardo die nach Vitruv für die Baukunst grundlegenden Maßverhältnisse ohne Änderung aufgeergibt sich fiir den Haarschopf vom Ansatz bis zum Scheitel: (1/2 -2/5) Elle = 1/10 Elle. führt hat: hier geht es nicht um Anthropometrie, sondern um die metrologische Wie bei Vitruv wird die Gesichtslänge von 2/5 Ellen noch einmal gedrittelt: Basis der Architektur. Dafür hält Leonardo auch am Fuß als Sechstel der Körperdurch Nase und Augenbrauen. Das ergibt eine Gesichtseinheit, die 2/15 Elle entgröße fest: Entsprechung von Spannweite oder dem Klafter und der Höhe des menschlispricht. Zweitens hat Leonardo, wie auch Frank Zöllner dargelegt hat, den Abstand von der Höhe "der Brustwarzen", nicht "der Brust" zum Scheitel als ein Viertel der Körpergröße bestimmt?6. Damit erhalten wir in der Vertikale eine in sich chen Körpers: 1 Klafter = 4 Ellen = 6 Fuß = 24 Handbreiten = 96 Fingerbreiten. Darin enthalten ist aber der folgende Proportionskalkül: konsistente Aufteilung des cubitus, des Ellenmaßes, die wir schon rechts neben So wie der Körper als ganzer sich zur Elle verhält, der Zeichnung angedeutet haben: von der Brustmitte zum Scheitel. Wenn wir von diesem aus in Zwölfteln der Gesichtslänge messen?”, also in Schritten der verhält sich auch die Hand- zur Fingerbreite: wie 4:1. Länge 1/12: 275 Elle = 1/30 Elle, erhalten wir eine Elle für den Abstand der Brustmitte, 2/3 Elle für die Brusthöhe, 1/2 Elle fürs Kinn, (1/2 -2/15) = 11/30 Elle für den Das gleiche Verhältnis, im ganzen wie im kleinen. Und so wie sich die Elle zur Fingerbreite verhält, verhält sich das Ganze des Klafters zur Handbreite: wie 24:1. Abstand der Nase, (1/2 -4/15) = 7/30 Elle für den Abstand der Brauen, und wieder Ein weiteres festes Verhältnis, das Glieder und Ganzes miteinander ver- (!/2-6/15) = 3/30 = 1/10 Elle für den Abstand der Haarwurzeln vom Scheitel. Die schränkt. Es ergibt sich eine "doppelte Proportionalitàt", oder, im Sinne Vitruvs: Rechnung geht also auf, und in Zwölfteln der Gesichtslänge als Maßeinheit er- Es ergeben sich zwei "Symmetrien": gibt sich, wenn wir wie im ergänzten Maßstab rechts von fig. 1) vom obersten 4:1=96:24 Viertel des Klafters, dem Abstand zwischen Scheitel und Brustmitte ausgehen 24:1=9%:4. und diesen schrittweise verringern: Brustmitte : Brusthöhe : Kinn : Nase: Brauen : Haaransatz = 30 : D #565 = Mh: 7 : 3 Bei Anlegung des passenden Maßstabs läßt sich also das Ergebnis auch in ganzzahligen Verhältnissen überprüfen. Leonardos dritte Änderung der Lange des Fußes von einem "Sechstel” in ein "Siebtel" der Körpergröße zeigt deutlich, daß er in diesen Zeilen Vitruvs Angaben auch mit seinen eigenen Erfahrungen beim Messen der Gliedmaße konfrontiert, das traditionelle Fußmaß: !/g der Körpergröße, also zumindest anthropometrisch nicht gelten lassen will28. Frank Zöller weist darauf hin, daß Leonardo zur Bekräftigung dieser Korrektur viertens und letztens die von Vitruv zu einem "Sechstel" bestimmte Distanz "von der Höhe der Brust bis zu den Haarwurzeln"?? nun ebenfalls als "siebten Teil des ganzen Menschen" angibt. Das ist nun ein erstaunlich genauer Näherungswert; denn für diese Entfernung ergibt sich doch aus bisherigem: 26Das entspricht der Konjektur: <da mezo il pecto>, die zuerst Cesare Cesariano in seiner italienischen Vitruvübersetzung von 1521 angebracht hat; vgl. Zöllner, 5. 81 27 Zöllner, S. 28 f., wo auch die doppelte Inkonsistenz in Vitruvs Angaben zum Abstand von der Brusthöhe (oder -mitte?) zum Haarschopf (Ansatz oder Scheitel?) auseinandergesetzt wird. 25 Zöllner, S. 80 f. 29 . also nicht “bis zum Scheitel”, wie Zöllner, 5. 82, irrtümlicherweise angibt. 294 30Sein Siebtel muß Leonardo nicht unbedingt auf diesem rechnerischen Wege eingepaßt haben; denn ausgehend von einem vertikalen Maßstab wie dem neben fig. 1) von uns ergänzten (in ausreichender Größe) läßt sich ein Fuß von 4/7 Ellenlänge in den Zirkel nehmen und so konstruktiv überprüfen.

Leonardos Angaben halten sich an: Vitruv, liber tertius, 1.3.-7.: "3. Similiter vero sacrarum aedium membra ad universam totius magniludinis summam ex partibus singulis convenientissimum debent habere commensus responsum [...| Nam si ad pedibus imis ad summum caput mensum erit eaque mensura relata fuerit ad manus pansas, invenietur eadem latitudo uti altitudo, quemadmodum areae, quae ad normam sunt quadratae [...] 4. Ergo si ita natura composuit corpus hominis, uti proportionibus membra ad summam figurawie 6:1. Übersetzung nach Fensterbusch?!: "3. In ähnlicher Weise aber müssen auch die Glieder der Tempel eine Meßbarkeit haben, die von ihren einzelnen Teilen her der Maß auf die ausgestreckten Hände anwendet, 1 Klafter = 4 cubiti Breite ergeben, wie bei Flächen, die nach dem Winkelmaß quadratisch sind [...] 4. Wenn also die Natur den menschlichen Körconstituisse videntur antiqui, ut etiam in operum perfectionibus singulorum membrorum entsprechen, scheinen die Alten mit gutem Recht bestimmt zu haben, daß auch bei der respondeant, cum ad universam figurae speciem habeant commensus exactionem[...] 6:1=24:4 In summa: so wird sich das gleiche in der Höhe wie der causa eius Elle und Handbreite ebenfalls auf das Ganze des Klafters zu beziehen, und wi erhalten als dritte "Symmetrie": Gesamtsumme der ganzen Größe genau entspricht [...) Wenn man nämlich von den Fußsohlen bis zum Scheitel Maß nimmt und dieses per so zusammengesetzt hat, daß die Glieder in ihren Proportionen dessen Gesamtgestalt tionem Damit gelingt es nun, das bisher noch nicht reproduzierte Maßverhältnis vo: Ausführung von Bauwerken diese eine genau In digiti: 24:1=96:4—— = palmus = 6 pedes cubitus:palmus = 24 palmi pes:palmus =6:1=24:4=96:16— = pes =4:1=24:6=96:24— = cubitus = 96 digiti —————= Klafter Die Proportion 6:1 vermittelt hierbei zwischen den ersten beiden: und in diesem Sinne ist der Fuß, der in Bezug aufs Ganze für die Sechs steht, das entscheibestimmte Meßbarkeit der einzelnen Glieder im Verhältnis zum Gesamtbild der Gestalt dende “Mittelma£” zwischen Hand und Elle, welches genau das hervorbringt, haben [...] keiten"33, was Vitruv die "ratio symmetriarum” genannt hat: das "Verhältnis der Meßbarcunt. Perfectum autem antiqui instituerunt numerum, qui decem dicitur; namque ex manibus digitorum numero est inventus [.-] 5. Ebenso hat man die Maßverhältnisse, welche man bei allen Werken für notwendig ansah, von den Gliedern des Körpers entlehnt, wie die Finger- und die Handbreite, Fuß und Elle, und hat diese Maße auf eine "perfekte Zahl“, griechisch: teleon, verteilt. Als perfekte Zahl aber bestimmten die Alten die Anzahl, die Zehn genannt wird, denn sie wird an funden |...) 33Vitruvs Anspielung auf die mathematischen Eigenschaften perfekter Zahlen gibt Anlaß zu fol- 6. Mathematici vero contra disputantes ea re 6. Die Mathematiker jedoch behaupten im gender Überlegung: Im Verhältnis von Ellenlänge und Handbreite, 6 : 1, definiert der Fuß = 4 Hand- 5. Nec minus mensurarum rationes, quae in omnibus operibus videntur necessariae esse, ex corporis membris collegerunt, uti digitum, palmum, pedem, cubitum, et eas distribuerunt in perfectum numerum, quem Graeci teAgov diperfectum dixerunt esse numerum, qui sex dicitur, quod is numerus habet partitiones eorum rationibus sex numero convenientes [...] den Händen durch die Anzahl der Finger ge- Widerspruch dazu, vollkommen sei die Zahl sechs, weil sie Anteile hat, die ihrem der Sechs angepaßten Rechnungssystem entsprenoch den irreführenden Begriff "passo”. Zöllner, S. 24, folgt dieser zweiten Bestimmung, und führt nun den fünffüßigen passus, den “Doppelschritt” der römischen Landvermesser, als "römisches Klafter” ein: damit käme er bei einem römischen Fuß von ca. 29 1/2 cm auf eine menschliche Durchschnittsgröße von unter 1,50 m! Vgl. Friedrich Hultsch, Griechische und römische Metrologie, Berlin 1882, 5.78 f. und $. 88 - 98. breiten einen besonderen "mittleren Schnitt”, der weder dem arithmetischen: — 4 4 + 6 i a chen [...] 7. Non minus etiam, quod pes hominis altitudinis sextam habet partem- ita etiam perficitur ab eo, quod pedum numero, sexies, corporis altitudines terminavit - eum perfectum constituerunt, cubitumque animadverterunt ex sex palmis constare digitisque XXIMI[...]" 7. Nicht weniger aber auch daher, weil der Fuß des Menschen der sechste Teil der Höhe ist, folglich diese aus jenem in sechsfacher Anzahl hervorgeht, und weil sie, sich der Elle zuwendend, bemerkten, daß auch diese aus sechs Handbreiten und 24 Fingerbreiten besteht [...]" Dort also, wo Vitruv am Ende von der Bedeutung spricht, die die Mathematiker der “perfekten Zahl 6” beimessen, führt er in Bezug auf deren anthropometrische Grundlage an, daß sich das Klafter so zum Fuß verhalte wie die Elle zur Handbreite?2; 31Curt Fensterbusch, 5. 138 - 142; vgl. Anm.15) und 24);vgl. auch Zöllner, S. 206 f.: Appendix I. 32Und das gilt für den attischen wie den römischen Fuß: nicht fünf, sondern sechs entsprechen dem Klafter als menschlicher Durchschnittsgröße. Vgi. Anm. 22: Leonardo bemißt die menschliche Größe nach “4 cubiti”, also sechs Fuß, verwendet jedoch unmittelbar darauf anstelle des Klafters 296 4 _ hr K 2 a-x=x-b noch dem geometrischen: a:x=x:b noch dem harmonischen: a: b = (a-x):(x-b) Mittel algebraisch gleichzusetzen ist; mit a = Elle (6), b = Hand (1), x = Fuß (4) wird 3 oK a:x = (x-b}:(a-x) die algebraische Formel dieser sectio canonis. Die Pythagoreer kannten zur Zeit des Nikomachos von Gerasa nicht weniger als elf verschiedene solcher Mittel, die durch verschiedene Schnitte auf dem kanon eine Verhältnisgleichheit von Zahlen definieren: vgl. Arpad Szabd, zit. wie Anm. 17 S. 212 (Anm. 29). Daß nun grad dieser Schnitt: 6: x : 1 im Falle des Fußes sich als ganze Zahl bestimmen läßt: x = 1, liegt indes genau daran, daß die Sechs zugleich Summe und Produkt aller ihrer Teiler ist, also das, was die Mathematiker eine "perfekte Zahl" nennen: 6=1-2-3=1+2+3. Denn daraus folgt: a:ıx = (x-b):(a-x)= 6:(3+1)= ((3+1)-1):(6-(3+1)),d.h. 6:4=3:2. So lassen sich auf dem Maßstab der Musik, dem Monochord als kanon, d. h.: “Lineal”, durch Hinwegnahme einer Längeneinheit: 6 1= 5 harmonische Verhältnisse, hier das der Quinte 6 : 4 als 3:2, mit 3 + 2 = 5, reproduzieren. Derart wurden im gesamten Mittelalter wie auch wohl schon in der Antike auf mannigfache Weise Tonskalen auf dem Monochord vermessen und erprobt: vgl dazu Joseph Smits van Waesberghe, Musikerzichung. Lehre und Theorie der Musik im Mittelalter, Leipee ar f., - 36, 60, und 97 - - 39 (Einleitung) und S. 86; aus der Reihe der Abbildungen insbesondere Abb. 33

Das kleinste Verhältnis, das im so erweiterten Proportionsgefüge gebildet werden kann, ist das der Elle zum Fuß: 6:4 = 3:2. Diesem Verhältnis entspricht ein Spielraum oder "Intervall"#, das größte gefig. 2) 2:1 I LI I 1 2 3 a TS :2 » Quin 3:1 Oktave + Quinte (Duodecime) 4:3 Quarte meinsame Teilmaß von Klafter, Elle und Fuß: 1/2 Fuß = Elle - Fuß = 2 Handbreiten = 1/12 des Klafters. 4:2 Oktave 4:1 Mit diesem Spielraum als modulus, "kleinem Maßstab" erhalten wir die Duodezimalteilung: Oktave 3:2 Doppeloktave Die hier wiedergegebene Notation der tetraktys, der pythagoreischen Vierzal samt aller in ihr enthaltenen Zahlenverhältnisse, arbeitet mit Hilfe von Bögeı durch deren Begrenzungen oder Enden ein Zahlenverhältnis in umkehrbare 1 Klafter = 12¢(!/2 Fuß) = 12°(2 Handbreiten). Auf diese geht auch Vitruv ein: Form wiedergegeben ist: zwei oder drei kann mit eins oder vier verglichen weı Vitruv, liber tertius, 1.6. (Forts.): Übersetzung nach Fensterbusch?5: den oder umgekehrt; der Bogen spezifiziert nicht, wie das Divisionszeichen ode "Cum ad duplicationem crescat, supra sex “Wenn die Sechs zur Verdopplung anwächst, Wer aber danach fragt, wie oft eine Zahl in eine andere hineingeht, oder, wi etwa Leonardo fragen könnte: “quanto una quantita entra in un’altra”, der wir appellatur [...] Duodecim autem, quod ex das zweite Drittel der Zwölf: 4 . 8-12), der epitritos genannt wird; durch Hinzufiigung der der Bruchstrich: 2:1#1:2;2/1#1/2. adiecto asse egextov; cum facto sunt octo, quod est tertia adiecta, tertiarium alterum, qui emtpiroo dicitur; dimidia adiecta cum facta sunt novem, sesquialterum, qui nutoAtoo erhalt man durch Hizufiigung der Eins den ephektos; durch Hinzufügung eines Drittels entsteht die Acht, der zweite tertiarius (d.h. duobus numeris simplicibus est effectus, Halfte entsteht die Neun, der sesquialter, der hemiolios genannt wird [...] Die Zwölf aber, die aus zwei einfachen (perfekten) Zahlen bildet ist, diplasiona (2-6 =12)." (Erg. d. öınkacıwva." rs.) erst das Umgekehrte getan, wenn wir dem Bericht des Gaudentius aus dem vier ten Jahrhundert n. Chr. Glauben schenken dürfen?®: Er schlug zuerst immer die ganze Monochordsaite an, dann ihre um einen bestimmten Bruchteil verkleinerte Länge. Da nunmehr jedoch dieser "verkleinerte Maßstab" der verkürzten Saitenlänge als neues Einheitsmaß, als modulus be- Wie aber wächst “die Sechs zur Verdopplung an"? Durch die Halbierung des Fußes oder die Verdopplung der Handbreite. Und in diesem Rahmen ist nun der Fuß - 4 palmi - das arithmetische Mittel zwischen der Elle, 6 palmi, und dem Einheitsmaß, 2 palmi. Ein Achtel dieses modulus oder symmetron ist aber der digitus, das kleinste gemeinsame Teilmaß von Klafter, Elle, Fuß und Handbreite. Derart wird vom Zwölffachen bis zum achten Bruchteil in der Tat das "Verhältnis der Me£barkeiten" als Verhältnis zugleich geltender, unterschiedlicher Maßstäbe untereinander von Stufe zu Stufe überschaubar und praktisch anwendbar. zuerst die kleinere und dann die größere Zahl betrachten. Am Monochord als In strument zur (Saiten-)Lingenmessung von Tonhöhen hat Pythagoras wohl zu nutzt wurde””, ergab sich letztlich doch die gleiche praktische Betrachtungsweise. Denn nun wurde bestimmt, wie oft der "kleine Maßstab” in den großen "hineinging": zweimal, anderthalbmal, eineindrittelmal. Die antike Monochordlehre hat denn auch die Namen der harmonischen Intervalle anders wiedergegeben als die griechische Umgangssprache - und zwar so, wie auch Vitruv sie uns im ersten Jahrhundert v. Chr. überliefert hat: die Oktave, die in der griechischen Umgangssprache "durch alle" Töne (der achtsaitigen Leier) hindurchgeht: diapasön, heißt in der antiken Monochordlehre dipläsion | Im Gefolge der Duodezimalteilung bieten sich nun natürlich die harmonischen Proportionen als einfachstes Modell einer “symmetrischen” Gesamtheit ganzzahliger Verhältnisse an. Daraus erklären sich auch die Namen, die Vitruv fúr die verschiedenen Bruchteile zwischen der 6 und der 12 verwendet. Die Zahlenverháltnisse der Oktave, Quinte und Oktave entdecken wir auf einem geviertelten Maßstab, der der Länge einer schwingenden Saite entspricht: 36Zum Bericht des Gaudentius vgl. Carl von Jan (Hg.), Musici scriptores Graeci, Leipzig 1895, S. 341, zit. nach Szabò, S. 229. 37V gl. Szabò, S. 245 f.: Vom modulus spricht Szabd in diesem Zusammenhang nicht, da er nicht von der Baukunde Vitruvs, sondem von der antiken Proportionenlehre handelt; was aber fiir deren praktische Herkunft so wesentlich ist wie die Maßarbeit am Monochord, könnte doch auch für ihre Anwendung in der Baukunst wesentlich sein; ja es ist vielleicht mehr als nur zweckmäßig, die Bedeutung des Monochords für die metrologische Tradition überhaupt genauso ernst zu nehmen wie für die Baukunst im besonderen - wenn denn schon Pythagoras das Gerät als "MaBstabsgenerator” benutzt "Strecke": vgl. Arpad Szabò, S. 226. hat. Für die Wiederentdeckung der antiken Proportionenichre in der italienischen Renaissance spielt der musikalische Maßstab wohl eine Schlüsselrolle; schon Vasari hat indes die Bedeutung der pythagoreischen tetraktys auf der Schreibtafel in Raffaels "Schule von Athen” nicht mehr verstanden: vgl. Giorgio Vasari, Leben der ausgezeichnetsten Maler, Bildhauer und Baumeister, hg. von Schorn /Förster, Stuttgart / Tübingen 1843, Bd. III, XCIU, S. 196 und Emil Naumann, Erklärung der Musiktafel in Raffaels ‘Schule von Athen’, in: Zeitschrift für bildende Kunst Nr. 14, 1897, S. 1 - 35vgl. Anm. 31 14 34Das griechische Wort diästema fürs musikalische Intervall bedeutet zunächst einmal nichts als 298 a à AVR LEAT 299 I Man Ste v25

diàstema, "doppelte Strecke“; die Quinte, “durch fünf" Töne hinduch: diapente, Mittelfingerspitze gemessen wird®!, sondern drittelt: 3°2 Fuß = 1 Klafter. Das abi tut die römische ulna, so wie sie Ovid und Vergil verwendet haben*2. Die uln heißt als Maß auf dem Monochord hemiölion diastema, “anderthalbfache Strecke”; und die Quart, “durch vier” hindurch: diatessaron, heißt als Maß epitriton diàstema, “eineindrittelfache Strecke"38. Das aber sind Bezeichnungen der jeweils einem "kleinen Maßstab" angemessenen vollen Monochordlänge. Und so haben auch Boethius und die mittelalterlichen Lehrmeister der ars musica diese Intervallnamen benannt: das duplum für die Oktave, den sesquialter für zwei römischen Fuß angesetzt. Denn der Fuß, bei den Griechen wie den Römer: die Quint, das sesquitertium für die Quart: "doppelt" (noch ein Ganzes), "noch das grundlegende Wegmaß der Geometer oder Agrimensoren, blieb fast duchwe; ein Halbes", und "noch ein Drittel". als Sechstel des Klafters maßgebend. Das Verhältnis der Armlänge zum Fuß, 2:1 fand zwar ebensowenig wie der cubitus bei den Römern als Wegmaß Verwer: dung, muß aber doch anderweitig, wohl auch und gerade als Handwerksmaß bı nutzt worden sein; sie entspricht bei den Dichtern des Augusteischen Zeitalter der Armlänge, von der Schulter bis zum Handgelenk, und wird als solche mi Die Notation mit Hilfe der ganze Zahlen verbindenden Bögen vermeidet ist um so bedeutender, als wir die Armlänge als Handwerks-, Bau- und auch zunächst einmal die Komplikationen der Umkehrung der Größenverhältnisse, neben dem römischen Fuß - als Wegmaß im Italien der Renaissance mit regiona die bei der Bruchrechnung auftreten, und lenkt den Blick auf das praktisch Wesentliche: auf die Meßpunkte, in denen der Kanon unterteilt, "geschnitten" wird, und die Assoziation derselben mit Zahlen, deren Differenz die Vergrößerung der Saitenlänge und deren Verhältnis das des Intervalls wiedergibt, welches bei entsprechender Veränderung der Saitenlänge erklingt - ganz gleich, welcher Ton daunterschiedlicher Bemessung antreffen: im braccio. bei zunächst angeschlagen wird. Beschränkt man nun in dieser analogen Betrachtungsweise das Augenmerk Der braccio milanese, mit dem Leonardo als Bau- und Wegmaß nach den Umzug an den Hof Lodovico Sforzas, also nach 1482 zu tun bekam, entspracl höchstwahrscheinlich recht genau zwei römischen Fuß, von 291/2 bis 293/5 cn Lánge%, Mit dem braccio hat Leonardo sich aber zudem in seinen anthropometrischen Versuchen auseinandergesetzt. In den Skizzen, die er ab 1489 als Vorarbeiten zu: Notation der Bestimmung gleicher Zahlenverhältnisse, die optisch symmetrisch, großen Proportionsstudie von 1490 anfertigt, arbeitet er noch wiederholt mit dem braccio, der allerdings in der zeichnerischen Endfassung dem cubitus, dem von links nach rechts et vice versa lesbar ist: Viertelmaß, weichen wird: auf die assoziierten Zahlen, so wird die Bogenschrift zu einer kalkulatorischen 124, + = 2:1, d.h.: 4:2 oder: 1:2 = 2:4; 6 89 12, > oder: 6:8 = 12:9, (kleine Bogen!) und 128= 96, oder 69 = 8:12. {große Bögen!) = 86, d.h. 129 Derart wurden in der italienischen Renaissance einfache Dreisatzrechnungen notiert39. Ebenso wie in der griechischen Mathematik, zum Beispiel am Anfangspunkt des oben gezeichneten Monochords, die Null fehlt, ebensosehr fehlte noch in der Renaissance wie in der antiken Notation das Gleichheitszeichen49, vermittels dessen wir heute den Dreisatz in algebraischen Gleichungen notieren Leonardo da Vinci, Mailand, W 19129” - 19132 Y [ K/P 24° - 27 Y], ca. 1489. In diesen Skizzen wird zunächst die Armlänge mit 2 Fuß angegeben##; dann auch als Drittelmaß der Körpergröße, und ebenda zudem der "chupido” (cubitus) als Viertelmaß derselben®#5, der aufgrund der eigentümlichen Schreibweise dem Leonardo zum betreffenden Zeitpunkt als Maß noch nicht sehr vertraut gewesen sein kann. Für die Anthropometrie war es nun weitaus praktischer, mit dem cubitus zu arbeiten; denn die Armlänge war aufgrund ihres Ansatzes am Schultergelenk und ausrechnen. Wollen wir nun den von Leonardo übernommenen vitruvischen Proportionskanon: Klafter : Elle : Fuß : (2 Handbreiten) = 12:3:2: 1 mit Hilfe der Duodezimalteilung nochmals, nämlich zur vollständigen ratio symmetriarum des harmonischen Proportionskanons von Oktave, Quinte und Quarte ergänzen, so fehlt uns dazu offenbar nur noch ein Maßstab von 2 Fuß = 4-(2 Handbreiten) Länge, der das Klafter nicht viertelt, wie der cubitus, der vom Ellenbogen bis zur #1Vgl. Leonardos Proportionsstudie: der neben der Zeichnung von uns ergänzte Maßstab verdeutlicht, wie der cubitus als anthropometrisches Maß den Leib nicht nur der Breite, sondern auch der Länge nach viertelt. 4291. Friedrich Hultsch, S. 77 f., insbesondere Fußn. 1 und 2 43Mit 59 1/2 cm wird der braccio milanese zum Zeitpunkt der Vereinheitlichung des italienischen Maßsystems angesetzt: vgl. Carlo Todini, braccio, in: Encyclopedia italiana, Bd. VII, Rom 1930, S. 649. Ob er jedoch zur Zeit Leonardos anders bemessen war, läßt sich nicht ohne weiteres feststellen. Zum Maß des röm. Fußes vgl. Anm. 32. 38Zu den griechischen Intervallnamen vgl. Szabò, S. 225 f. und S. 243 f 44Kenneth Clarke / Carlo Pedretti (Hg), The Drawings of Leonardo da Vinci at Windsor Castle, 39ygl. Michael Baxandall, Painting and Experience in 15th Century Italy, Oxford 1972, Kap. 11.10; London 1968/69, folio 19129 "; in der neuen Ausgabe, Kenneth Keele / Carlo Pedretti (Hg.), Corpus of Leonardo benutzt die Schreibweise im Codex Forster 1,3 17" - 217, hg. von der Commissione Vinthe Anatomical Studies at Windsor Castle, London 1992: folio 24 "; im folgenden kurz: ciana, Rom 1934. l o W 19129" K/P 24"). 40Vgl. Moritz Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Leipzig 1913, Bd. 2, S. 479: 45V gl. W 19131 "| K/P 26] und W 19132 "| K/P 27]; zur späteren Schreibweise des “chupido”: Einfiihrung des Cleichheitszeichens (=) durch Robert Recorde, Leibarzt Edwards IV. “cubito”, vgl. Anm. 22

viel schwerer zu messen als die Ellenlänge. Aber es bleibt dabei, daß Leonardo Armlänge wie Elle zur gleichen Zeit benannt und auf das gleiche Grundmaß der menschlichen Durchschnittsgröße bezogen hat. Also wird ihm auch klar gewesen sein, daß ein solcher "braccio” sich zum "chupido” wie vier zu drei verhält, d.h. um ein Drittel größer ist: einen halben Fuß oder zwei Handbreiten. Damit ist auch die vierte "Symmetrie" bezeichnet, die wir für den vollständigen harmonischen Proportionskanon noch benötigen: Handbreiten: fiir zwei Ellen = 1/2 Klafter die Sechs, fiir zwei Armlangen = 2/3 Klafter die Acht, für drei Ellen = 3/4 Klafter die Neun, für drei Armlängen = 1 Klafter die Zwölf. Die so erweiterte ratio symmetriarum der menschlichen Maßstäbe entspricl ratio symmetriarum: nun derjenigen des zwölfgeteilten kanon, mit dem laut Gaudentius ebenfal. Klafter : Armlänge : Elle : Fuß : (2 Handbreiten) = 12:4:3:2: 1. schon Pythagoras selbst operiert hat”; werden doch auch erst durch die Zwölfte lung auf dem Monochord die zwei Tetrachorde ("Vierklánge") der griechische Symmetrische Erweiterung von der tetraktys auf die “erste” tetrakr}s: fig. 3) Elle und Arm erhalten wir in Einheiten des duodezimalen symmetron von zw: 6 pedes = 24 palmi 2 12 , 3 ulnae = 4 cubiti Leier meßbar, auf denen die griechische Harmonielehre beruht: (12 : 9) und (8: 6 im durch Quinten übergriffenen Sekundabstand (9 : 8), griechisch: epògdoòn. Di "erste" tetrakiys 4 4 18 16 + 9 +8 3 cubiti 2 ulnae 3 12 +56 2 cubiti 2 8 4 ulna 6 3 cubitus 2 pes bloße Vervielfachung der der in der tetraktys schon enthaltenen Oktav-, Quin! und Quartverhältnisse erzeugt noch eine fünfte "Symmetrie", diejenige der sc genannten "ersten tetraktys"48 , d.i. die "doppelte harmonische Proportion": 4Fuß:3Fuß 1 Klafter: 3 Ellen Ipes 4 2 paimi q i 1 1259 te 1 Klafter:2 Armlängen almus | digitus 423¢ 6 12:8 ; ; 121 = 8:6 =Arm:Elle = 4:3 =3Ellen:2Ellen = Elle = = 9:6 : Fuß 3:2 41 Dem nunmehr hinzugekommenen kleinsten Verháltnis, dem der Quarte, also Arm: Elle = 4:3, entspricht aber der gleiche Spielraum von zwei Handbreiten wie zuvor dem Quintverhältnis, Elle:Fuß = 3:2. Daher läßt sich eine duodezimale Teilung, deren Leonardo sich in seinen Manuskripten immer wieder bedient, an dieser Stelle auch ohne den Fuß definieren, wenn wir stattdessen den Arm als "Mittelmaß” dem Vitruvschen Kanon einverleiben*s. Denn als Vielfache von di migliore grazia, piglia tue misure." (Herv. und Erg. d. Übers.) stimmen, wahle einen von besonderer Anmut, und nimm alsdann Maß.” Wir dürfen vermuten, daß es bei der “regola” um die kalkulatorische Vorschrift geht, nach der di Maßverhältnisse des menschlichen Körpers die Baukunst bestimmen - und die wir auf diesen Seite: schrittweise zu demonstrieren versucht haben. Seine rein anthropometrische Funktion hat ja del 46vgl. Leonardo da Vinci, Codex Atlanticus, Bibliotheca Ambrosiana di Milano, folio 160”ecto-a. in der neuen Ausgabe des Codex Atlanticus, Hg. Contmissione Vinciana, Florenz 1975 - 80: folio 430 re im folgenden kurz: CA 160 74 [ 430 7}. Leonardo gibt auf diesem folio folgende recht definitive Erklärung zum braccio ab: "Se l'omo di due braccia e piccolo, quello di quattro e troppo grande. Essendo la via di mezzo laudabile, il mezzo 2 e 4 si è 3. Adunque piglia un omo di 3 braccia e quello misura colla regola ch'io ti darò. Se tu me dicessi; io me potrei ingannare giudicando uno bene proporzionato che sarebbe il contrario, a questa parte i’ rispondo che tu debbi vedere molti omini di 3 braccia, e quella maggiore quantità, che sono conformi di membra, sopra uno di quelli 302 “Ist ein Mensch von zwei Armlängen (Größe) zu klein, so ist einer von vier zu groß. Loben wir uns den Mittelweg - die Mitte zwischen 2 braccio wohl ab dem Zeitpunkt, da Leonardo den“chupido” als “cubito” annimmt und nutzbar macht eingebüßt; in der Zusammensetzung der Gliedmaßen in der Vertikalen wie Horizontalen ist dic Armlänge, die jene der Hand nicht mit einschließt, so ungünstig positioniert, daß sie auf Grund ihre: Lage zwischen Hand und Schulter schon als symmetron der Spannweite, also des Klafters, nicht ir. Frage kommt. Leonardo geht in diesem Zusammenhang auch beileibe nicht so akribisch vor wie in der Anthropometrie: zwei braccia milanese - unter 1,20 m - sind zuwenig, vier - fast 2, 40 m - entschieden zuviel; also nimmt er die arithmetische Mitte: ca. 1, 785 m. und 4 ist aber die 3. Also nimm einen Men- Er behauptet nicht, daß die Mehrzahl der Menschen diesem Maß entspräche, wohl aber, daß dic Mehrzahl der Menschen gleicher Größe auch in den übrigen Gliedern (der Größe nach) übereinschen von 3 braccia (Größe), und-diesen miß stimmen. nach der Regel, die ich dir geben werde. Sagtest du mir nun, da8 ich mich täuschen kénnte in der Beurteilung einer wohlproportionierten Gestalt, die so groB gar nicht sei, Das Maß selbst, “3 braccia”, erscheint als reine MaBstabskonvention zur praktischen Nutzung der mit ihm gegebenen Größenverhältnisse, umsomehr, als der braccio milanese zwei römischen Fuß recht gut entspricht, dieser aber nach Vitruv auch den cubitus mißt, als anderthalbfache Größe. Das erwiderte ich darauf, daß du viele Menschen von 3 braccia (Größe) betrachten mußt, und aus der größeren Anzahl derselben, die (der womöglich genau die “regela” der Verhältnisse, welche Leonardo durch seine anthropometrischen Messungen überprüfen und etablieren will. Größe nach) auch an den Gliedern überein- Maßverhältnis von Arm und Elle, 2:1 1/2 = 4:3, ist indes keine bloße Konvention, sondern bestimmt 47Vgl. Anm. 36 48vgl. Nikomachos v. Gerasa, hermonikon, 11.7, in: Carl v. Jan, (zit. wie in Anm.36), S. 279

Die in Vitruvs Vorschrift ursprünglich enthaltenen Maßverhältnisse von Ctesebios bekannt waren. Immer aber ist diese Maßarbeit mit der handwerk! Klafter, Elle, Hand- und Fingerbreite, die Leonardo in seiner anthropometrischen chen Notwendigkeit verknüpft, die Berechnung kommensurabler Maßverhäl Studie so deutlich verkörpert hat, sind im so erweiterten Proportionskanon entnisse vermittels verschiedener, gleichzeitig benutzter, kommensurabler Mai halten; der Kalkül ist bei dieser Erweiterung der gleiche und einfache geblieben, stäbe praktisch umzusetzen, um gleiche Verhältnisse in den verschiedenen Gri den ein praktisch denkender Leser aus Vitruvs Ausführungen entnehmen £endimensionen eines Werkes handwerklich reproduzieren zu können. Lege konnte, auch ohne dessen schwierige Grundbegriffe der Baukunst im einzelnen wir dabei mit Vitruv die alten Maße von Klafter, Elle, Fuß, Hand- und Finge: verstanden zu haben, und anwenden konnte, ohne mit Brüchen rechnen zu breite zugrunde, ergeben sich natürlich immer wieder andere "Symmetrien", | nachdem ob wir vom sechsfüßigen Klaftermaß oder der perfekten Zahl 6 müssen. Den praktisch denkenden Leser müssen wir uns allerdings als jemanden vorstellen, der ganzzahlige Verhältnisgleichheiten von Maßen in verschiedenen Größenordnungen reproduzieren und wechselweise miteinander ver- 1+2+353, oder vom digitus ausgehen, d.h. von der Fingerzahl 10%, oder die Lang des Fußes in digiti, 16 = 6+10 als Schlüssel der Kalkulation benutzen®>. In uns: haben - nämlich in der Herstellung dessen, was Luca Pacioli, Freund und Marem Beispiel wurde die doppelte Handbreite zugrundegelegt, die zusammen m dem Fuß als Sechstel und der Elle als Viertel die Hälfte des Klafters: 12 palmi (2+4+6) palmi, und im Verein mit der Elle die Armlänge, als Drittel des Klafteı thematiklehrer Leonardos, die “proportionalita” genannt hat#?. Und zugleich ausmacht: (6+2) palmi = 8 palmi. bunden wissen möchte; und der weiß, daß es in dieser Hinsicht die musici, insbesondere in der Monochordlehre und im Instrumentenbau, recht weit gebracht steht damit das Modell des menschlichen Körpers für die prinzipielle Möglich- Daß Vitruv gerade bei der Bestimmung der "Symmetrien” für den Tempelba keit, einen gegebenen Maßstab wie den des Klafters schrittweise zu verkleinern: fast achtlos auf die harmonischen Zahlenverhältnisse der tetraktys eingeht, ma daher rühren, daß wir in ihm einen Anhänger der Harmonielehre des Aristoxı nos vermuten dürfen, die er auch ausführlich darstellt: im liber quintus, IV Damit aber ware Vitruv auf eine musiktheoretische Tradition aristotelischer Pré gung verpflichtet gewesen, die dem pythagoreischen Primat der Bestimmung de Tonintervalle durch Zahlenverhältnisse ausweichend bis ablehnend gegenübe: im Maßstab 1:6, oder, mit Vitruv, “modulo pedis”, im Maßstab 1:24 - “modulo palmi” - oder 1:96 - “modulo digiti”. Das ist die hinreichende und notwendige Bedingung, um Bauzeichnungen oder Modelle herstellen zu können’. Umgekehrt muß der Maßstab natürlich ebenso vergrösserbar, vor Ort auf den Bau selbst übertragbar sein?!’ All das ist zweifellos nicht allein für den Tempelbau von Interesse: die ordinatio als Abstimmung der Meßbarkeiten aufeinander läßt sich mit gleicher Peinlichkeit z.B. auch auf die Konstruktion von Meßinstrumenten wie Quadranten und Astrolabien und anderer Gebäude wie Geräte anwenden - Vitruv selbst, liber stand‘. Wenngleich sich aber aus den unterschiedlichen "Symmetrien” unterschied lich lange Maßstäbe mit unterschiedlichen Meßskalen in unterschiedlichen Lär genverhältnissen zueinander ergeben: solange letztere Verhältnisse ganzzahli: primus, 11.4.(Forts.), gibt folgende Hinweise dazu: "Et primum in aedibus sacris aut e columnarum crassitudinibus aut triglypho aut etiam embatere, ballista e foramine, quod Graeci nepitpetov vocitant, navibus interscalmio, quae Surmxvara dicitur, item ceterorum phon oder auch dem embater, bei der Balliste aus dem Bohrloch, das die Griechen peritreton nen nen, bei Schiffen aus dem Abstand zweier Ruder zapfen - dipechyaia genannt - und ebenso bei den operum e membris invenitur symmeübrigen Bauwerken aus einzelnen Gliedern die triarum ratiocinatio." Berechnung der Symmetrien gewonnen."92 “Und vornehmlich bei heiligen Bauwerken wird entweder aus den Säulendicken oder dem trigly- Das gilt natürlich erst recht für den Bau von Musikinstrumenten, vornehmlich Orgeln, welche - hydraulisch betrieben - den Griechen seit den Zeiten des 49Vgl. Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria, proportione e proportionalità, Venedig 1494; so der Titel jenes Mathematiklehrbuchs, das Leonardo in dessen Erscheinungsjahr fiir 119 soldi ekauft hat. 50Vgl. Frank Zöllner, $31 f. (Anm. 35), zur Vergrößerung eines Katapults durch Philon von Byzanz, 2. Jhdt. v. Chr., den Vitruv als Quelle genutzt hat. 51 Zöllner, S. 36f. (mit Anm.), wo insbesondere auch die Anfang 1980 im Apollotempel von Didyma entdeckten Bauzeichnungen im Naturmaßstab behandelt werden. 52Vgl. Anm. 16 304 53Vgl. Anm. 33 54Das Maß der Gesichtslänge als Klafterzehntel - vgl. Anm. 59) - paßt noch in den kalkulator schen Rahmen einer Dezimalaufteilung; daß aber mit der Zehn auch die pythagoreische tetraktı als Summe: 10 = 1 + 2+ 3 + 4 in Betracht kommt, hat Vitruv mit dem Bezug auf Plato zumindest ind rekt noch angedeutet - vgl. liber tertius, I. 5: "glaubte auch Plato, diese Zahl sei deshalb vollkommen, weil die Zehnheit aus Einheiten & steht, die die Griechen “Monaden” nennen.” Zumindest ein Hinweis auf die pythagoreischen Grundlagen der Arithmetik: die Einheiten dı Vierzahl, die die Zehn bilden, erzeugen den Punkt (1), die Linie (2 Punkte), die Fläche (3 Pkt. Dreieck) und den Körper (4 Pkt.e: Tetraeder mit 4 Dreiecksflächen), welche als Bausteine der Natu in der allwirkenden und alles vollendeten Zehnzahl enthalten sind; vgl. Paul v.Naredi-Rainer, A: chitektur und Harmonie, Köln 1989, S. 34 ff. 55Vitruv, Liber tertius, 1.8 (vgl. Anm. 53): " Nachdem sie aber bemerkt hatten, daß beide Zahlen (10 und 6) vollkommen seien, zählten si beide zu einer Zahl zusammen und machten 16 zur vollkommenen Zahl." 56Das starke Interesse Vitruvs an Musik, Akustik und Instrumentenbau ist offensichtlich: liber pr mus, 1.8 f. (Von der Ausbildung des Baumeisters), liber quintus, IV. (Harmonielehre des Aristox nos), ebenda, V., VI., VH. (Schallgefäße im Theater, Auswahl des Bauplatzes, Theaterbau), lik: decimus, XII. 1 f., (Spannung des Katapults durch Einstimmen der Zugschnur). Zur Harmonielehr des Aristoxenos, der übrigens nicht umhin konnte, ebenfalls mit dem Monochord zu operieren, vgl. Smits van Waesberghe, (zit. wie in Anm. 22), S. 34.

bleiben?7, läßt sich das Verfahren auch von solchen Handwerkern und Baumeistern handhaben, für die - und das war bei Leonardo auch nach 1490 noch der Fall58 - das Beherrschen der Bruchrechnung, einschließlich deren Division, keineswegs selbstverständlich ist. Denn hat man einmal mit Richtscheit und Zirkel seine Maßstäbe konstruiert und hergestellt, dann lassen sich alle Vielfache und Bruchteile eines solchen auf einem passenden anderen als möglichst einfache Verhältnisse ganzer Zahlen ablesen und weitergeben: "So wie die Hand sechsmal in die Elle, soll der Fuß ins Klafter gehen, die Elle aber viermal hinein!" Damit ließ sich arbeiten...59 "Kein Bauwerk ohne symmetria”: das mag in der Renaissancearchitektur auch als Glaubenssatz verkörpert sein; entscheidend ist jedoch deren praktische Notwendigkeit für alle am Werk Beteiligten. Und die pythagoreische tetraktys war als einfaches Kalkulationsmodell einer vollständigen symmetria, als "Proportionalitátsgenerator” von großem verfahmonie im Leib des Menschen, die dann noch auf ein Bauwerk zu übertrage war...62 Der Versuch, die menschliche Gestalt direkt auf den Grund- und Aufri eines Sakralgebäudes zu übertragen, läßt sich als (jener gedanklichen Ellipse en sprechender) praktischer Kurzschluß eines humanistisch geneigten Architekte werten. In jedem Falle wäre die Auffassung der vitruvschen "Symmetrie" al harmonischem Proportionsschema und zugleich als optischer Symmetrie - ir heutigen Wortsinn - ein wenn auch vielleicht sehr fruchtbares Mißverständni des cäsarischen Baumeisters®?. Es ist nicht unmöglich, daß auch Leonardo, ähnlich wie Francesco di Giorgi den Vitruv in diesem zugleich verengten wie verdoppelten Wortsinn verstar den hat, der arithmetisch wie geometrisch so klare und einfache Lösungen lic ferte. So sehr aber noch Spekulation bleibt, ob Leonardos symmetrische Zentra: baustudien aus der gleichen Mailänder Zeit mit der Proportionsstudie nach Vi renstechnischen Interesse. Über eine Bekanntschaft mit der musikalischen Pratruv im Zusammenhang stehen, so fest steht, daß Leonardo im Rahmen seine xis60 oder mit Elementen der Harmonielehre des Boethius, die auch schon einanatomischen Studien experimentelle Anthropometrie betrieben und sich au mal im Unterricht einer scuola dell’abbaco zum Thema werden konnte®!, waren dieser Basis kritisch mit Vitruvs Vorgaben auseinandergesetzt hat. Auch wen: die harmonischen Proportionen einem Künstler der italienischen Renaissance doch noch ganz anders zugänglich als nur auf dem naturphilosophischen Umweg einer "mikrokosmischen" Entsprechung "makrokosmischer" Weltenhar- Leonardo dabei selbst das altehrwtirdige Maß des Fußes antastet®, bleibt er den noch bei der metrologischen Basis des Vitruv für die architektonische MaBarbeit Diese aber war auch unverzichtbar - nicht allein für die Baukunst, sondern aucl für die Messung von Höhen und Entfernungen in der Natur wie in deren bildli 57 Das gilt, wie erwähnt, auch noch für Leonardos Anthropometric in der Vertikalen: 30:20:15:11:7:1,in welcher duodezimale und dezimale Anteile zugleich auftreten. 58 Zöllner, S. 31, ist in diesem Zusammenhang etwas ungenau, wenn er vom "selbstverständlichen cher Darstellung. Gebrauch von Brüchen” spricht; dieser Gebrauch muß eben nicht die Bruchrechnung schon mit einschließen; mit deren Division tat sich Leonardo schwer: vgl. CA 279 "€ [ 75971, CA 283 "” [ 772 7D] - 62Zurecht kritisiert Frank Zöllner, S. 3 ff. und S. 16 - 18, Rudolf Wittkowers vorwiegend symboli ca. 1502 - und Auguste Marinoni, Leonardos Schriften, in: Leonardo der Forscher, Stuttgart 1981, sche Interpretation der Vitruvschen Proportionsfigur "und die Folgen”: ein Musterbeispiel kunsthi S. 94. storischen Um-die-Ecke-Denkens... 59Wo Maße derart weitergegeben werden, da wird, wenn überhaupt, mit dem Dreisatz gerechnet, 63Die optische Symmetrie als Konstruktionsmittel ist natürlich nicht so neueren Datums wie der ih: und dabei entstehende Maßverhältnisse werden in und durch die Arbeit nachvollziehbar verkörpert. Auch Leonardo hat Maßverhältnisse derart mitgeteilt, arithmetische wie geometrische - vgl. entsprechende enge Wortsinn; vielmehr ist sie auf Grund ihrer Zweckmäßigkeit zu allen Zeiten unc: in allen Weltecken verwendet worden, in allen Handwerken und Künsten. Der Umgang mit der sym metrischen Optik, der die Verdopplung als deren Ordnungsprinzip einschließt, ist keineswegs al: "naiver" Anthropomorphismus zu verstehen; die Symmetrie unseres Körpers, seiner Sinnesvermöger und deren Wahrnehmung ist ja auch beileibe kein bloß trivialer Tatbestand; vgl. auch Anm. 12. CA 42" [ 1197] (ca. 1487): Indirekte Höhenmessung “sole” F a "misura senza mutarti: NES quanto m nentrainms, -___lhe—p tanto o p entrain pe.” Noch die Streckenverhältnisse dc : op , mp : hp werden wie solche von Dingen vorgestellt, von denen das kleinere in das größere “hineingeht”. Unter den Zahlenverhältnissen sind aber gerade die ebenso vorgestellten, einfachsten ganzzahligen Proportionen auch die harmonischen, die schon in der Vierzahl enthalten sind. 60Zu Leonardos Freundschaft mit Franchino Gaffurio, dem Kantor des Mailänder Domes und Verfasser so wichtiger Schriften zur Harmonielehre, und zu seiner Bekanntschaft mit dem hochtalentierten Instrumentenbauer Lorenzo Gusnasco vgl. Emanuel Winternitz, Leonardo as a Musician, New Haven / London 1982, 5.5 ff. und S. 17 - 21, und ders., Lira da braccio, in: Friedr. Blume (Hg.), Die Musik in Geschichte und Gegenwart, Band 13, Kassel 1966, Sp. 936 - 954. 61Schon Edmondo Solmi, Le fonti dei manoscritti di Leonardo da Vinci, Turin 1911, S. 104, hat vermutct, daB Leonardo mit den Werken des Boethius, insbesondere dessen De musica, von früher Jugend an bekannt gewesen ist. Von Solmi, S. 95 f., datiert auch die Vermutung, daß Leonardo eine scuola dell’ abbaco besucht habe. 306 64ygl. Rudolf Wittkower, (zit. wie in Anm. 41), S. 15 f.: Abb. 5 a - c; wichtig sind in diesem Zusammenhang auch jene Skizzen, die Carlo Pedretti als frühe Ideen für den Umbau der Kirche von Sant: Maria delle Grazie ausgemacht hat: vgl. Carlo Pedretti, The Original Project for Santa Maria dell Grazie, in: International Congress on Bramante, Mailand 1970, 5. 30 - 42, und ders., Leonardo archi tetto, Mailand 1978, S. 81 - 112. 65Zur Genesis des Fußmaßes vgl. Friedrich Hultschs Hypothese, 5. 94 ff: Der altägyptischen Königselle war eine im Verhältnis 7 : 6 verkleinerte Elle als Handwerksmaß hinzugesellt; vier deı sechs Handbreiten dieses Handwerksmaßes ergeben einen ab dem 8. Jhdt. v. Chr. nachweisbaren altpeloponnesischen Fuß; dieser "olympische Fuß“ könnte bei der Festsetzung des attischen Fuße: durch Solon als Vorbild gedient haben. Der römische Fuß verhält sich nun zum attischen so, als wäre die attische Elle um einen von 24 römischen digiti größer: also wie 24 : 25. Diese Genesis entspricht aber der Verkleinerung des älteren Maßstabs nach Maßgabe einer anthropometrischen symmetria, und zwar wiederum derart, daß der ältere Maßstab in Einheiten des verkleinerten neuen gezählt wird: eineinsechstel, eineinvierundzwanzigstel. Das entspricht genau der geschilderten Vorgehensweise bei der Maßstabsverkleinerung am Monochord, wo ebenfalls zunächst, vor der sectio canonis, eine Einheit des alten Maßstabs abgezogen wird: vgl. Anm. 22!

Ab 1483-85 befaßt Leonardo sich mit dem Problem der Verkürzung sichtbarer Größen bei zunehmender Entfernung: dem Problem der perspektivischen Tievor Augen erscheinen und der Größe nach auf einer skalierten Stellwand, di “pariete” Leonardos, festgehalten werden kónnen?0. fenverkürzung®, und ab 1487 beginnt er, sich landvermesserische Techniken an- Bei der Vervielfachung des Grundabstandes ergibt sich aber aus flächentreu: zueignen und experimentell auf das Problem der Tiefenverkürzung anzuwen- Sicht mit zwingender Notwendigkeit eine umgekehrte, im Sinne der Brucl den. Sein Hauptinteresse gilt den verschiedenen Techniken der indirekten Mesrechnung reziproke Abnahme der Ausgangsgröße auf immer kleiner werdend sung von Höhen und Entfernungen im Gelände. Dabei wurde im Rahmen einer Bruchteile. Das gleicht aber ganz einer Größenabnahme wie der einer Oktave, aı MeGreihe eine weit entfernte und daher als fix genommene Höhe, die nicht nur eine Quinte, auf eine Quart, auf die große und schließlich die kleine Terz (5 unbekannt, sondern zuweilen auch gar nicht zugänglich war, aus verschiedenen und 6:5): 1:1/2:1/3:1/4:1/5:1/6. Entfernungen anvisiert. Das konnte mit einfachen Meßruten, einem Jakobsstab, Diese Größenverhältnisse lassen sich nun mit großer Wahrscheinlichkeit au einem Quadranten oder einem verwandten Instrument geschehen. Derart wurde Leonardos "Abendmahl" (1495?-1497) im Refektorium des Klosters von Sta M. diese Berg- oder Turmeshöhe zusammen mit ihrer Entfernung vom Auge im ria delle Grazie zu Mailand ablesen: 12:6, 12:8 und 9:6, 12:9 und 8:6, 12:10 (6:5) un. verkleinerten Maßstab als rechtwinkliges Dreieck festgehalten und durch Ver- 10:8 (5:4)71. gleich mit dem noch viel kleineren Maßstab des Instruments als verkleinerte Für Leonardos Freund Gaffurio müfte das nun aber, als Resultat einer per Größe meßbar gemacht”. Aus unterschiedlichen Entfernungen und Sichtwinspektivischen Konstruktion, von Interesse gewesen sein. Unter Beriicksichtigun keln ergaben sich nun unterschiedliche Verkleinerungen, also unterschiedliche einer musikalischen Praxis, die sich auch der Terzen als harmonischer Intervall Meßwertpaare für die verkleinerte Höhe und Distanz des Beobachtungsobjekts. langst bediente und schon zur Erprobung temperierter Einstimmung von In Auf diese Weise ließ sich indirekt, aus den Differenzen oder Spielräumen zwistrumenten übergegangen war, hatte sich der bedeutende Musiktheoretiker un schen den unterschiedlichen Standorten, die tatsächliche Höhe und Entfernung Freund Leonardos schon 1482-83, in der Abfassung seiner Practica musicae, libe bestimmen - wieder vermittels des Dreisatzes, der regula de tri, diesmal aber im tertius, cap. 2, dazu durchgerungen, die Terzen 5:4 und 6:5 (als arithmetische Rahmen der geometrischen Seitenverhältnisse von Paaren ähnlicher rechtwink- Mittel der Quinte 6:4) zum Ausgangsort seiner Lehre vom Kontrapunkt zu ma liger Dreiecke, als welche die Mefreihe sich darstellt. chen, um gar die Quintharmonie aus jener der Terzen zusammenzusetzen, ab Diese Technik war aber auch andersherum anwendbar: wenn man von einer zuleiten: 6:5:472. bekannten wie zugänglichen Höhe in der näheren Umgebung ausging, um deren zunehmende Verkleinerung bei schrittweise wachsendem Beobachtungsabstand zu messen. Damit sind wir beim Problem der perspektivischen Tiefenverkürzung aus der Sicht des Landvermessers. Was wir aber für Filippo Brunelleschi mit gutem Grund vermuten dürfen, ist bei Leonardo Schritt für Schritt nach- 70Vgl. ders., CA 36 VP[ 103 BT], ca. 1490. 71 Vorliegende Arbeit ist gekürzter Bestandteil einer in Arbeit befindlichen Habilitationsschrift, il welcher auch die Genesis der Perspektive Leonardos im Kontext der Landvermessung sowie de Maßarbeit Leonardos im Refektorium von S.M. delle Grazie abgehandelt wird; in diesem Rahme: wird auch der harmonische Proportionskanon des "Abendmahls" eine eingehende Begründung er weisbar: die Entwicklung seiner Perspektive aus der praktischen Auseinandersetfahren. zung mit Techniken der Landvermessung®. An die Stelle der bekannten Grö- Liber tertius - De contrapuncto & eius elementariis vocibus, caput secundum - De natura et denominatione specierum contrapuncti : Buch HI - Vom Kontrapunkt und seinen elementaren Klängen, Kapitel 2 - Vom Wesen und der Benamung des Kontrapunklarten: "Quinta autem...componitur ex duabus primis simplicibus, tertia minore atque "..Die Quinte aber...ist aus den zwei ersten einfachení Kontrapunktarten) zusammentertia maiore concordi medietate gesetzi, aus kleiner und grofer Terz, servata.” unter Wahrung der harmonischen Mitte. Bendimensionen eines Gebäudes in mittlerer Entfernung - wie des Florentiner Baptisteriums oder des Palazzo Vecchio bei Brunelleschi - tritt nun aber bei Leonardo spätestens ab 1490 als Ausgangsgröße in der Tat der menschliche Leib selbst oder eines seiner Glieder®, wie diese in einem anfänglichen Grundabstand 72V gl. Franchino Gaffurio, Practica musice, Hg. Giuseppe Vecchi, Bologna 1972: 66Vgl. Leonardo da Vinci, Codex Forster 1, 1157, (zit. wie in Anm. 36) 67Vgl. Kim H. Veltman, Studies on Leonardo da Vinci I, München 1986, S. 87 - 112 und Marco Carpiceci, Leonardo - La misura e il segno, Mailand 1986. 68Zu Brunelleschi vgl. Jehane $. Kuhn. Measured Appearances, in: Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, (JWCI), vol. 53. London 1990, S. 114 - 132; Martin Kemp, Science, Non-Science and Nonsense, in: Art History 1,2 (1978), S. 134 - 161, und E. H. Gombrich, From the Revival of the Letters to the Reform of the Arts, in: Essays in the History of Art presented to Rudolf Wittkower, Lon- Mit der "medietas concors” ist nicht das harmonische Mittel gemeint, sondern die (arithmetische Mitte des Quintintervalls, die die concordia, den Wohlklang der kleinen und großen Terz, so hervor bringt wie das arithmetische Mittel des Grundtons und der Oktave die Harmonien von Quarte unc Quinte; vgl. auch Irwin Young, Gafurius - Practica musicae (engl.Ubers.), Madison 1969, S. 127 und don 1967, S. 71 - 82. Introduction, S. XXII. Die pythagoreischen Terzen, 32 : 27 und 81 : 64, welche auch Gaffurio als Schüler des Boethius und der mittelalterlichen Musiktheorie lehrte, waren hingegen nicht harmonisch: die Kleinterz 81 : 64 entsteht durch Zusammenfügen zweier Sekunden: (9 : 8) ' (9 : 8), die Großterz 69Vgl. Leonardo da Vinci, Ms. A 103”, 1490 - 92: “Dei gradi del diminuire”. durch Abzug der letzteren von der Quinte: (3 : 2) : (81 : 64). Die Kleinterz der Pythagoreer ist größe: