Sur un epigramme attribuee a Diophante

SSA pay ww REG A TAaAnwERY VD e _BRZ \ Say SUR UNE ÉPIGRAMME ATTRIBUÉE A DIOPHANTE Dans les Arithmétiques de Diophante, l'énoncé du problème V, 33 est en vers que Bachet de Méziriac, dans son édition de 1621, a donnés sous la forme suivante (1) : 'Oxtadpdyyuovs nal mevradpdyjLovs yoru: tes Eptke, Toig nporodotat rıztv prov dotati uevog, Kai teary axicwxey nip TIVIWW TETOAYWVOY, Tas EretayNetors defauevos povidac 3 Kal rotouvia madiv Etcadv oe pipery tetadyuvoy Kraszpevov TÀsvpiv civbepa tiv yofwy * “Love Graotethov robe datadpay pos nöcor gay Kat dd: mobs Etépouc, mat, Me mevtadpay povs. Les lecons des manuscrits, y compris ceux de Madrid et de Venise, d'où dérivent tous les autres, concordent pour donner : Vers. 1 : 70% au lieu de porc. — 2. vote dGodoig noreiv yonatoy Entretaquévos. — 4, defduevos. — 7. nolxcov au lieu de réso: %oxv. Les corrections du texte édité, que Bachet déclare au reste avoir failes d'accord avec Saumaise, ne souffrent pas de difficulté, sauf celles du second vers, dont la restitution laisse évidemment a désirer. (1) Voici la traduction de ces vers, en tenant compte de la correction que je propose plus loin : « Sembarquant avec des compagnons qui l'ont chargé de se rendre utile, quelqu'un a mélangé des conges (de vin), les uns à 8 drachmes, les autres à 5 drachmes. Pour le tout, il a payé un (nombre) carré qui, augmenté du nombre d'unités qui te sera prescrit, fera que tu auras un autre carré ayant pour racine le nombre total des conges. Distingue donc combien il y en avait à 8 drachmes, el dis aussi, mon enfant, combien il y en avait à 5 drachmes. »

Dans les Arithmétiques de Diophante, l'énoncé du problème Y, 33 est en vers que Bachet de Méziriac, dans son édition de 1621, a donnés sous la forme suivante (4) : ’Ourtadodyuove xal move yorag yoiac tre madodyuous zul mevtasody TEvtadody ovs tee 3 tbe Èpice, re AROTAGAULEVOS, = 2, 3 o © Et < a 2 al R- ~ Z m a a Os < -o on -6 Ge D o = a in A 2. Rs — E S < Krnszusvov másupay civl:ua civ y ole * am “Date Oidetethov Tobe dutadody porse mico Foy Kal made tobe Erigouc, mat, Aéye mevtadady povs. Les legons des manuscrits, y compris ceux de Madrid et de Venise, d'où dérivent tous les autres, concordent pour donner : Vers. 1 : yous au lieu de yotac. — 2. tots Bovis moreiv Yomaröv Ertreraypévoc. — A. dsthuevos. — 7, rolnsov au lieu de réco: Foxy, Les corrections du texte édité, que Bachet déclare au reste avoir failes d’accord avec Saumaise, ne souffrent pas de difficulté, sauf celles du second vers, dont la restitution laisse évidemment à désirer. (1) Voici Ja traduction de ces vers, en tenant compte de la correction que je propose plus loin : « S'embarquant avec des compagnons qui l'ont chargé de se rendre utile, quelqu'un a mélangé des conges (de vin), les uns à 8 drachmes, les autres à 5 drachmes. Pour le tout, il a payé un (nombre) carré qui, augmenté du nombre d'unités qui te sera prescrit, fera que tu auras un autre carré ayant pour racine le nombre total des conges. Distingue done combien il y en avait à 8 drachmes, et dis aussi, mon enfant, combien il y en avait à 5 drachmes. »

Dans l'édition Firmin-Didot de l’Anthologie grecque, où cette épigramme a été recueillie, chap. VII, 3 de l'Appendix nova (vol. III), M. Cougny a adopté, pour le second vers, la leçon : Toïe mpomékotç (1) moteiv ypnaröv Emiorauevos, avec la traduction : famulis facere bonum (vinum) doctus. Cette nouvelle tentative, quoique plus heureuse, ne me paraît pas encore salisfaisante ni quant au sens, ni au point de vue paléographique. -« Quelqu'un a mélangé deux espèces de vin, valant Pune huit drachmes, l'autre cing drachmes le conge » ; la question (v. 7-8) sera de déterminer la quantité de conges de chaque sorte d'après les conditions énoncées dans les vers 3 à 6. Le second vers doit uniquement expliquer le bul supposé du mélange en question. Or, d'après ce que Pon sait sur les cours du vin dans l'antiquité, les prix de 8 et 5 drachmes le conge (3 litres 1/4 environ) sont absolument excessifs pour du vin d'office; d'autre part, les corruptions du texte : mpordio en 660hoïc, Ertotdpevos en initerayuivos, seraient difficiles à expliquer. Je proposerai de lire : Tots önomdols Tortv ypror” Ericacrépmevos, « navigationis sociis facere utilia jussus ». | Si l'on considère que, dans le manuscrit archétype, le B devait affecter la forme du y, comme cela a lieu dans le Matritensis 48, qui paraît une fidèle reproduction de cet archétype, la première corruption ne suppose plus guéres que la chute d'une lettre; quant à la seconde, la substitution du parfait au présent était naturelle pour un copiste qui n'a pas vu qu'il avait affaire à des vers ou qui n'était pas capable de les mettre sur leurs pieds. Je ne pense pas qu'on doive s'attacher à conserver le ypnotòv des manuscrits ; il est constant en effet que, sur l’archetype, les abréviations de l’original ont été d'ordinaire résolues de la façon la plus fautive et qu'en particulier les terminaisons casuelles ont été très fréquemment altérées. (1) La leçon xporddors a été proposée en premier lieu par Viète (Zetetic., V,

Jadopte enfin &xırarrönevog plutôt qu'imitassipevos, parce que je crois que, surtout.si les voyelles ont été écrites au-dessus des consonnes, l'erreur de la leçon érireayuivos est ainsi plus explicable. Dans l'édition Didot de l’Anthologie, le texte de Bachet a subi d'autres modifications qui me paraissent au contraire peu admissibles. Au vers 4, on lit Sstéduevoy au lieu de defapevov, avec l'interprétalion : coordinalas monstrantem unitates; ce serait un. vers de pur remplissage. Mais d'une part, dans Diophante, ér:tay8els dpeduòs signifie toujours «nombre proposé », et d'autre part dans l'explication en prose de l'énoncé en vers (1), il est formellement dit qu'au nombre carré que doit former le prix de l’ensemble des conges de vin (v. 3), il faut ajouter un nombre déterminé, qui est 60, pour former un second carré (v. 5). Il convient évidemment de s'en tenir au sens adopté par Diophante, qu'il soit d'ailleurs ou non l'auteur de l’épigramme, et dès lors la leçon des manuscrits, avec la légère correction de Bachet, doit être conservée. On peut s'étonner sans doute que l'énoncé versifié du problème ne soit pas complet et qu'il fallüt y ajouter une donnée, comme celle du nombre 60. Mais il est très possible que l'énoncé ait primitivement été fait pour un autre nombre et que, par exemple, le vers ait été conçu sous la forme : “E EG N, TER vai ORG HAL AN DER maz~ 2-7 ! ar x TOELE OECAUEVOY x sn ovadac, si le nombre à ajouter était 63, qui permet une solution en nombres entiers. Diophante, pour rendre le probléme plus difficile, aura donné à l’énoncé une forme générale et il aura d'ailleurs choisi un nombre comme 60 qui ne le laisse résoudre qu'en nombres fractionnaires. La seconde condition, exprimée par les vers 5 et 6, est, d’après (1) Voici la traduction littérale de cette explication :. « La signification de cette épigramme est la suivante : Quelqu'un a acheté deux parties dé vin, l'une à 8 drachmes le cönge, l'autre à 5 drachmes le conge et, pour le tout, il a payé comme prix un nombre carré qui, augmenté de 60 unités, fait un carré ayant pour racine le nombre des conges. Distingue donc les conges à 8 drachmes et les conges à 5 drachmes. »

Vexplication en prose de Diophante, que le premier carré, formé par le prix des conges, doit, aprés addition du nombre 60, donner un second carré dont la racine (rkzopá) soit égale à la somme des conges (sóvdzua thy yotwv). Cette explication est parfaitement conforme au texte des manuscrits, texte dont, à la vérité, l'élégance est loin d’être parfaite et où la locution rovotved oz péoev (faisant que tu as un autre carré) n’est guéres d’accord avec les formes habituelles à ce genre d'épigrammes. Dans l'édition Didot de l’Anthologie, au lieu de cs gépew, on lit agaipov avec la note : « Nemo nescit numerum sphaericum esse qui per se ipsum quo- « tiescumque velis multiplicatus semper eumdem unitatem nu« merum refert, quales sunt numeri 5 et 6... Ex præstitutis quæsita « assequere si sumpseris 15 congios 8 drachmis et 21 congios « 5 drachmis, unde fit : «8 15 X + « 415 + 19© XA = 993 = (15) 1 Mais Diophante ne connait nullement cette condition que les carres & former appartiennent & ceux que produisent les nombres appelés sphériques par Nicomaque et par ses imitateurs. D'ailleurs cette appellation n'a jamais eu un caractère scientifique et elle n'appartient nullement à la langue mathématique ; enfin Nicomaque lui-même n’a jamais été jusqu'à se servir d'une expression aussi singulière que celle de soxipov terpaywvoy. L’explication proposée par M. Cougny pèche à d’autres égards : rovodyza au vers 5 serait employé à tort, car le premier carré ne sert plus en rien à la formation du second; xtasdpevor rAeupav deviendrait une cheville maladroite, puisque ce serait ce second carré, et non pas sa racine, qui serait égal à la somme des conges. Ajouterai-je que, dans cette explication, le problème devient, au point de vue mathématique, d'une facilité qui le met tout à fait au-dessous de l’ordre de ceux que traite Diophante, puisque les carrés pourraient être choisis sans aucune condition pour la rationalité des inconnues? En fait, tel que l'arithméticien grec l'a posé et résolu, ce problème qui couronne son livre V, un des plus difficiles, est d'une assez grande complication, en raison surtout du choix du nom-

bre 60 comme èrrcay0elc. Ainsi que je l'ai déjà indiqué, une solution en entiers n'est possible que si le nombre en question a certaines valeurs bien déterminées, dont les plus faibles sont 15, 57, 63. Avec ce dernier nombre, par exemple, on aura 7 pour le nombre des conges à 8 drachmes, 5 pour celui des conges à 5 drachmes. En effet, le prix total est alors 7 x 8 + 5 x 5 = 56 + 95 = 81, c'est-à-dire le carré de 9. Si à ce carré on ajoute 63, on a 144, carré de 12, c'est-à-dire de la somme 7 + 3 des conges. Les nombres donnés par Bachet comme représentant la solution de Diophante sont 59/12 et 79/42. Exacts au point de vue mathématique, ils ne sont point conformes aux leçons des manuscrits. Le Marcianus donne pour les conges à 8 drachmes yotwv 3 povd5: ta, pour les conges à 5 drachmes yoiwy dpiduiy x&. Les leçons du Matritensis sont les mêmes, sauf que uovaôes est remplacé par une lettre que l'on peut à première vue confondre avec le x (par conséquent avec l’abréviation ordinaire de wovdöss, car elle est précisément suivie de l'o caractéristique en exposant), mais où l'on doit reconnaitre un x. Il est aisé de voir que cette abréviation x° est celle de la fraction douzième du conge, le xótu2o<. La quantité de vin à 8 drachmes est donc de 4 conges et de 11 cotyles, soit 59 cotyles ou douziémes de conge. Quant à la quantité de vin à 5 drachmes, il est clair que ae:0n0v est une mauvaise résolution de la lettre numérale ¢ et que au lieu de 2, il faut lire x° E, c'est-à-dire restituer 6 conges 7 cotyles, soit 79 cotyles ou douzièmes de conges, conformément à la solution rétablie par Viète et par Bachet et sur la valeur de laquelle aucun doute ne peut s’élever. La constatation de la résolution fautive de s en ¿pus a une grande importance pour l'histoire des notations de Diophante. Le symbole qu'il employait pour le mot ¿gr0pós, et qui n’était de fait qu’un éxionpoy ¢ sous une forme quelque peu obsolète, est, dans, nos manuscrits, régulièrement doublé, lorsque le mot est au pluriel. Cet usage, tout à fait conforme aux habitudes des copistes byzantins, est contraire aux principes de la notation de Diophante (chez lequel par exemple AYA ne signifie pas ôvväper, mais bien öuvanoößvanıc). Nous avons d'ailleurs des indices assez nombreux qui nous montrent que le copiste de l’archetype de nos manus-

crits n’a nullement respecté le système de notations de l’original; dans la moitié du texte, il a résolu presque constamment Pabréviation d’do:0245 (ce qu’on reconnait à ses erreurs sur les désinences casuelles); il l’a fait parfois d'une façon très fautive, en la confondant avec le signe tachygraphique de xx. Dans la seconde moitié du texte, la forme du symbole est complètement altérée et se rapproche de celle du coppa, parfois du signe tachygraphique pour rpds, mot avec lequel les confusions deviennent alors fréquentes. Mais les occasions de constater que dans l'original le symbole n'était pas redoublé au pluriel sont assez rares ; la résolution des en àp@u&v, telle que je l'ai signalée, est une des preuves les plus convaincantes d'un fait à propos duquel j'ai longuement hésité. Paul TANNERY.