Psellus sur Diophante

TRANERY IP. \ Baya 7 — MN LA OO E. Historisch-literarische Abtheilung. - PSELLUS ————r1rtr_ SUR DIOPHANTE. Par PauL ‘TANNERY. Le fragment grec, publié ci après pour la première fois, se trouve: 1. A la bibliothèque de l'Escorial, dans le manuserit Y--JI/—12, f° 73 suiv., sous le titre: “Ano rg 4iopavrov derduntinns; 2. A Florence, dans le Laurentianus LVIII, 29, f 196 suiv., où il est au contraire intitulé: ITooiaufavopeva rag xar agidpytinny alypuntiaxize pedodov tod Wälder. Ces deux manuscrits, dont je désignerai respectivement les leçons au moyen des lettres E et F, sont indépendants l'un de l'autre. Ils paa raissent provenir d'un archétype relativement fautif et difficile à lire en i4 certains passages; ils semblent à peu près du même âge (vers le XIV‘ siècle) di et aucun d'eux ne mérite une préférence marquée sur l'autre. Pa _ Je dois la copie du texte de Florence à Vobligeance du savant philo- = logue H. Vitelli; j'ai pris moi-même celle du manuscrit de l'Escorial. ‘. Ce fragment forme le début d'un extrait d'une lettre adressée à l'un a, ses correspondants par le polygraphe byzantin Michel Psellus =: (1020— 1105?), auquel on attribue* d'ordinaire un traité De quatuor È mathematicis scientiis, plusieurs fois édité au XVI" siècle, Dans la +. suite de l'extrait, se trouve une copie littérale (avec les fautes grossières —— 1. * Cette attribution, mise en donte par le premier éditeur. Arsénius de Monembasie (Venise, 1532), ne peut guéres se soutenir, ce traité étant expressément daté, dans la partie astronomique, de Yan du monde 6516, soit 1008 après J.-C- ** Heronis Alexandrini Geometricorum et Stereometricorum Reliquiac. Ed. Hultsch, Berlin, Weidmann, 1864, pages 188 et suiv. TTist.-lit. Abthig. d. Zeitschr. f. Math. u. Phys, XXXVII, 2.

Periodical Zeitschrift für Mathematik und Physik in: Zeitschrift für Mathematik und Physik | Periodical 898 page(s) Terms and Conditions The Göttingen State and University Library provides access to digitized documents strictly for noncommercial educational, research and private purposes and makes no warranty with regard to their use for other purposes. Some of our collections are protected by copyright. Publication and/or broadcast in any form (including electronic) requires prior written permission from the Goettingen State- and University Library. Each copy of any part of this document must contain there Terms and Conditions. With the usage of the library's online system to access or download a digitized document you accept there Terms and Conditions. Reproductions of material on the web site may not be made for or donated to other repositories, nor may be further reproduced without written permission from the Goettingen State- and University Library For reproduction requests and permissions, please contact us. If citing materials, please give proper attribution of the source. Contact: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Digitalisierungszentrum 37070 Goettingen Germany Email: gdz@sub.uni-goettingen.de Purchase a CD-ROM The Goettingen State and University Library offers CD-ROMs containing whole volumes / monographs in PDF for Adobe Acrobat. The PDF-version contains the table of contents as bookmarks, which allows easy navigation in the document. For availability and pricing, please contact: Niedersaechisische Staats- und Universitaetsbibliothek Goettingen - Digitalisierungszentrum 37070 Goettingen, Germany, Email: gdz@sub.uni-goettingen.de

Paun ‘TANNERY. Le fragment gree, publié ci après pour Ja première fois, se trouve: 1. A la bibliothèque de l’Escorial, dans le manuscrit Y—111—12, f° 73 suiv., sous le titre: 7470 rg Atopavrov cowuntunys; 2, A Florence, dans le Laurentianus LVIII, 29, où il est au contraire intitulé: f° 196 suiv., ITgoAaußavoueve rie ner’ dorduntum aiyuarianys uedodov tod PéAdov. Ces deux manuscrits, dont je désignerai respectivement les leçons au moyen des lettres E et 7, sont indépendants raissent provenir d'un archétype relativement l'un de l'autre. fautif et difficile à Ils palire en certains passages; ils semblent à peu près du même âge (vers le XIV* siècle) et aucun d'eux ne mérite une préférence marquée sur l’autre. Je dois la copie du texte de Florence à Vobligeance du savant philologue H. Vitelli; j'ai pris moi-même celle du manuscrit de l'Escorial. Ce fragment forme le début d’un extrait d'une lettre adressée à l’un de ses correspondants par le polygraphe byzantin (1020-— 11052), auquel on attribue* d'ordinaire un Michel Psellus trait? De quatuor mathematicis scientiis, plusieurs fois édité au XVI" siècle. Dans la suite de l'extrait, se trouve une copie littérale (avec les fautes grossières des manuscrits du XVI° siècle, Parisini (1642 et 2361) de divers problèmes de stéréométrie du recueil Heronis mensurae.** Psellus termine sa lettre en refusant au contraire de renseigner son correspondant sur les * Cette attribution, mise en doute par le premier éditeur, Arsénius de Monembasie (Venise, 1532), ne peut guères se soutenir, ce traité étant expressément daté, dans la partie astronomique, de l'an du monde 6516, soit 1008 après J.-C** Heronis Reliquiae. Alexandrini Geometricorum et Stereometricorum Ed. Hultsch, Berlin, Weidmann, 1864, pages 188 et sitiv. Hist-lit. Abthlg. à. Zeitschr. f, Math, u, Phys. XXXVIT, 2.

absurdes procédés divinatoires de la lettre de Petosiris à Necepso et du ILliv®idiov de Pythagore.* Dans le texte que je publie, on reconnaitra facilement les passages littéralement copiés ou fidélement transcrits, quant au sens, des Arithmétiques de Diophante (Livre I, def. 1, 2, 3). ressortir, en et l'importance dont J'ai fait d'autre part espagant les caractères, certaines additions faites par Psellus pour l’histoire des mathématiques est considérable; je considère comme très-probable que Psellus a emprunté Ges additions à des scholies marginales de l’exemplaire de Diophante qu'il avait fous les yeux. L'auteur de ces Varithmétique scholies (ou avait, plutôt la de son côté, logistique) dû utiliser d'Anatolius sur écrit d'Alexandrie, sur lequel vivait dans la seconde moitié du III siècle de notre ère. ** L'existence d'un manuscrit de Diophante portant de pareilles scholies est d’ailleurs prouvée par le fait qu'une annotation marginale, dérivant d'une nomenclature due à Anatolius, a, par suite d’une confusion, passé dans le texte de Diophante et entrainé une corruption que permet de corriger sûrement l'extrait de Psellus (voir les notes f et ] du texte). Tiegpvowrarnv magéyerar yoelav ti xard toe dorduods oikovonie nab i) zer Aiyumrious tav covduar’) uédodoc, dl fe olxovousitar ta naro tv avarutixnv) mooßAyuara. del dé Ge mporov saravoricar ra rv mag avtoîs dortuov dvouata xal tiva divapiv Exaorov xéxtytar* ¿ore yao map adroig, We dì mul‘) mag quiv, povds #09 de Fnaorov tov Gvrov ty Ayerar 0: dorduos SÌ mag adroig Wratrevov Ayeror 6 undèv ubv® ¡Sour xryoduevos, tyav dì dv Eavr@ mandos wovdd@r dogiotovi* zaktizaı di adtoig? 6 dovPudg oùroc nal mAeved. Avvanıg dé dorıv drav couds ég'écurdv EURER tovto dè nodsivar nol terodyovos dorduos* el oùv Vredtueda tov dorduòv povedav B, à Ovvapig Fora uovddov é. Kv Bog dé got Grav covdudg ¿ml tify diva RENT olov Urodwueda tov dorduov uovadov B DI dvvauıg aúrod ta Ô adv ¿md Tv mhevoov td B mohhanhagiacdy, yevnosrar 6 y derduos”,de di) xuBos tori. Avvanodvvanıg dé ¿or Grav a duvarus ep Ewvrijy molamhactacoÿ" olov 1 dp éuvrpv) xed piveren 1. Auvayönußog dé gow")¿rav mE duvauis ¿mi xvBov moMardaciac9y* Goneg 0 Ô él tov q sai plverce AB ual xedetrar dAoyog) mebros * Voir ma Notice sur des fragments d’onomatomancie arithmétique (Not. et Extr. des mss. XXXI,, 1885), #* Je considère commeun même personnage le maître de lamblique et l’évêque de Laodicée; voir mon ouvrage: La Géom. grecque ete. (Paris, Gauthier- Villars 1887). a) or” alyuntiovs trav dortuay Y alyunrıonn Ed) dvdlvow Pc) nai FF sot. E d) ef Euclide, VII def. 1. F écrit Sucre et omet dv+ E omet av dvrov e) uèv om. F f) Mot du texte de Diophante, auquel est substitué dans les manuscrits de cet auteur celui d’édoyog (von Note 1) g) «iros Hh) dgıdwög om. # 1) &p’(avant Eavznv) om. F j)d om Fk) gory om, E 1) Fa en marge le glos-

(oure yde terecyovós gor oùre xvBog) nat dorduds méunroc mQayde dwhovg”) dorduog' deúregos Övvanıg' telrog uvBos: tog” térapros duvanoduvaurs nat neumrog oúros 6 dvvandzufos. Kußorvpog dE gory Grav uvBog tp’ Eavrdv mohhamhaciactelo dorduòv moon. "Akoyog dè SevteQos dorduos ¿otiv brav Övvanız mi Khoyov modtov tolhawhecrachy tie yoo Övvansng odong povddwov È, de elontar, tov dè xedtov dAoyov wovddov AB, ro da adcav lore: uovddor oxy, Smee xuleiros dAoyog Öevrepog' xaheitar 0 0°) adtdg wal dorduòs EB Sowos. Tetoanin de Övvanig 2orıv Stav dvvautg ¿ni uvBdxvBov tohhanhacracdy. KvBoo dè 2Eskıarog Ecriv drav Övvanıs ext &Aoyov dev- Teoov wohhamwhaciacdn. Tôv dè torovtov aordpnarv” «al td Öumvuua popra omolwg tovtor viyOúcero*rou piv devduods agıduootov"rijg di dvvduews duvauoorov’ron dè zußov zußocıov'zng dè duvapodvviuemg Svvauodvveuooroy’ rod dè Övvauozußov SuvapoxvBoorov* tod dì xvBoxdBov xvBoxvBoordr. Tlegt dì zijg alyuntıanig pedodov zavıng Atópavros piv dithaBev duorBéorsgor, 6 dè Aoyıwrarog ’Avarokog Ta cuvexrixorara péon tg nor dusivoy Emiserjung dnohcéduevos, Éréows diogavtov) cuvontizattata”) mg00epovnce nat el vie rag Zvreüden uedodovg sideln, to mooBadhopeve Evioıg dv zoig ¿uuéroois éxyoduuacuw agıdunrınd moofhjuora captorara dıahvasıe to piv pde tovrav diedverar dud Todde tov Dempjuarog Ts alyumriaxis dvaltcemg, a dì ÖL Erégov' del yde tov moofePAnutvov agıduov dıskeiv 7 ¿dv hurolro Adyo i) dv bureraora q dv Erégo rouvre zul amd the torasine Siarpésews evovvontoy 10 moofeBAmuévov yevycerar. Kal tadta piv ini togodrov 601”. Je crois comprendre. inutile Je de donner me bornerai une donc essentiels. traduction de ce texte très-facile à à quelques remarques sur les points 3 1. Les expressions 2} zur Alyuatiovg wéodog, 4 aiyuntiany avadvors, appliquées à ce que nous appelons la méthode algébrique de Diophante, Soulivent un probléme d’autant plus grave qu’on ne peut guéres les croire forgées par Psellns. er Sème dveizos, m) Pa rod rar et ensuite dedzegor, rolrov, téragror, wéumtoy (nat étant omis), H a de même rolroy et réragrov dè totovror BF rey dè narà tov I] n) dnids EF 0) dom, E p) cov q) Erigo 4iopdvro EI, comme si Anatolius avait dédié son ouvrage à un second Diophante, sens que je crois peu admissible; mas on pourrait peut être conserver Jıopavro, en faisant régir ce mot qui marquerait ligne précédente une addition (à Diophante) 1) par eds, cuvextexarara E (comme à la $) cot om. E.

Dans la scholie mathématique sur le Charmide crois empruntée à Anatolius*, on de Platon, que je lit sur la logistique: uéon dè œvrÿe el “Eddquizal not Alyurmtiaxal nadovuevar uéÿodor dv mohhamhaciacuoic sal wsgrouoig %.t.¢. Mais il semblerait qu’il s'agit là de tout autre chose, c'està-dire de différents procédés de calcul pour les opérations élémentaires. Faut-il, d'après égyptienne le fragment de Psellus, entendre que la méthode pour les multiplications et divisions de la scholie du Charmide consiste essentiellement dans la distinction et la nomenclature des diverses puissances successives de l’inconnue et de leurs inverses, et dans les relations tients? qui subsistent Mais entre elles pour leurs produits et leurs quoon peut opposer à cette hypothèse le grave témoignage d’un auteur certainement antérieur à Anatolius et très probablement à Diophante. Les Philosophumena** attribuent en effet à Pythagore la série des sept degrés de l'unité au cubocube (sixième puissance), c'est à dire la seule série que reconnaisse Diophante, Je suis done porté à croire que le commentateur de Diophante qui aura compilé Anatolius, a fait quelque confusion sur le sens dans lequel ce dernier a pu employer l'expression de méthode égyptienne. 2. Quoiqu'il en soit à cet égard, le fragment de Psellus nous prouve clairement que la série des sept degrés de Pythagore et de Diophante avait été prolongée jusqu'à dix par Anatolius et que celui-ci avait soit proposé soit an moins mentionné une nomenclature différant essentiellement, sur certains points, de la seule que nous connaissions d’après Diophante. Cette nomenclature, incomplètement rapportée par Psellus, est la suivante: Anatolius. Diophante, O Moves. words. 1 moûros agıduog — derduos (dnlog) — mhevod. — derduós. 2 deutegos dorduos — terpayovos- dv vane. 3 roitog dorduog —xvBos. Övvanıg, xuBos. 4 réragrog dorduos. — duvanodu vans. Övvauodvvanıg 5 néuntog dorduog — &loyog noëroc. duvanonußag 6 Exrog dorduog. #vBorvßog. — ? 7 ¿Bdonos derOwos.— Ekoyog devtegos 8 (6pdoos dorduos) — reroandij Övvanız. 9 (Evvarog don9uos) — xvfos Eéelinroc. Cette nouvelle nomenclature est d’ailleurs elle-même double; sous une forme, elle exprime aussi nettement que possible la notion des puissances successives, classées d’après leur degré. Il eût suffi de traduire cette notion par un symbole approprié pour obtenir la notation exponentielle. * Voir ma Géometrie Grecque, p. 4, 8. ** Doxographi Greeci éd. Diels, p. 557, 4.

Sous la seconde forme, la nomenclature d’Anatolius a une singulière relation avec celle des algébristes italiens de la renaissance qui dénommaient les puissances non, Le comme d'après la rapprochement puissances composition en facteurs de leurs exposants (et Diophante, d'après la composition additive de ces exposants). à s'impose particulièrement exposant premier; devreoog=relato secondo, ces deux nomenclatures, il &loyog pour la dénomination xowros =relato des primo; @40yog Il y aurait évidement à rechercher si entre n’y a pas en un intermédiaire arabe, encore inconnu, 3. Il semble ressortir inéluctablement, tant du témoignage du scholiaste copié par Psellus, venons lius de parler, que de la différence des nomenclatures dont nous que Diophante a composé son ouvrage avant qu'Anatoait rédigé le sien. Le fait a son importance, Diophante m'est déterminée par des puisque l'époque de preuves suffisantes qu'entre Hypsiclés (II° sièele avant notre ère) et Théon d'Alexandrie (IV° siècle de notre ère). J’estime d'ailleurs que si Diophante avait vécu assez longtemps avant Anatolius pour que exemple dès le temps de Théon d'Alexandrie et d'Hypatia, sa réputation ait été assise comme elle l'était par les fragments sur la logistique que nous possédons de l'évêque de Laodicée et où il est fait mention de problèmes métiques, du genre contiendraient une de ceux que allusion plus nette traitent les Arithà cet ouvrage. considèrerais donc Diophante comme à peu près contemporain Je d’Anatolius, mais tandis qu'avant de decouvrir le fragment de Psellus, je l'aurais plutôt regardé comme postérieur, je dois aujourd'hui affirmer son antériorité. 4, La fin du fragment, dans laquelle Psellus explique, comme il la conçoit, l'usage que l'en peut faire de la méthode de Diophante, semble devoir ètre laissée à son compte et non attribuée au scholiaste, comme ce qui précède, Savons que Il ne s'élève pas de fait au delà du problème 1,2, Nous Léonard de Pise a trouvé à Constantinople au moins un arithméticien qui minée. L’ignorance gardait encore dont la tradition fait preuve des problèmes d'analyse indéter- Psellus n'était done pas générale Parmi ses contemporains, quoique le mauvais état du texte de Diophante et le fait que les manuscrits actuels dérivent tous d'un même exemplaire du VIII° on IX° siècle trés-fautif, prouvent assez que cet auteur était absolument négligé chez les Byzantins. Eu résimé, le fragment que j'ai publié ci dessus me parait soulever des broblèmes historiques nouveaux sur lesquels j'ai indiqué mon opinion, mais que je ne prétends nuellement avoir résolus définitivement. Je serais heureux que leur discussion apportät quelque nouvelle lumière, dont je pourrais Profiter pour l'édition de Diophante que je l'espère, l'apparition ne sera désormais plus retardée. prépare et dont,