Beta, Gamma und Epsilon

Wizzensechaftliehe Zeitschrift der Technischen Hochschule Dresden - 7 (1957/58) Heft 1 - Herausgeber: Der Rektor (F) Fakultät für Forstwirtschaft / Publ. Nr. 42 Als Manuskript gedruckt! DIX 938.093.341.2 Eingang: HL. 11. 1947 Beta, Gamma und Epsilon Cs AS x Die Kurznamen dreier Mathematiker des Allerfums Von Prof. Dr. phil. Heinrich Prell Sew one en Aces Eem az, Democritus zwei insofern eine Sonderstellung ein, als sie, wie die meianderseits Apollonius von Perge (etwa 262—190 v.Chr.), dem man in entsprechendur V/eise den Namen Epsilon (e) beigelegt hat. Es ist überraschend, daß die Bedeutung dieser beiden oft erwähnten Namen oder semeia anscheinend noch nicht befriedigend aufgeklärt werden konnte — sei es, daß man sich mit den bisherigen Versuchen stillschweigend abfand, ader sei es, daß man es für überflüssig hielt, sich die Frage nach der Herkunft dieser doch eigentlich etwas seltsam anmutenden Namen überhaupt noch einmal ernstlich vorzulegen. Wenn nun im folgenden der Versuch gemacht werden soll, das alte Problem erneut aufzurallen, dann geschieht dus nicht nur deshalb, weil es wünschenswert erscheint, die + Bedeutung der beiden nach Sinn und Herkunft bislang EEE rätselhaft gebliebenen Namen aufzuklären, sondern weil PEER [2] Erwähnung findet. Wenn demgegenüber Thalamas in seinen Eratosthe- Unter den großen Mathematikern des Altertums nehmen sten Werke über die Geschichte der Mathematik berichten, mit Buchstaben als Beinamen oder besser Kurznamen bezeichnet worden sind. Es sind dies einerseits Eratosthenes von Cyrene (etwa 275--194 v. Chr.), welcher nach wiederholter Überlieferung Beta (8) genannt wurde, und CEE Werken von Schwartz [1] und von van der Waerden “es darüber hinaus angebracht sein dürfte, einmal der Frage nachzugenen, ob es nicht möglich ist, die been in ihrer Form einander doch so ähnlichen Bezeichnungen auch ihrem Inhalte nach miteinander in Beziehung zu setzen. Als ein besonderer Glücksumstand ist es dabei anzusehen, daß die allgemeine Orientierung über die als Semeion dienenden Buchstaben die Aufmerksamkeit noch auf einen dritten Fall der Buchstabenbezeichnung für einen Mathernatiker gelenkt hat. Es handelt sich dabei um die Verwendung des Semeions Gamma (:) für Pythagoras, deren die als Gewährsmänner herangezogenen Historiker der Mathematik nicht gedenken. Eine dem Vorgehen bei den ersten beiden Fällen entsprechende Behandlung dieses dritten Falles aus dem gleichen Rahmen konute dann zugleich als eine Art von Prüfstein für die Brauchbarkeit des vorher abgeleiteten Erklärungsversuches dienen. nes-Studien [3] ohne nähere Begründung den Beinamen Beta als eine donnée négative bezeichnet (1921.19) und ihn daher kurzerhand beiseite läßt, dann wird man diesem bequemen Vorgehen schwerlich folgen dürfen, denn auch die Herkunft einer, wie er meint, „legendären“ Uberlieferung (1921, 82, n. 1) ist von Interesse. Der Grund für die unverkennbare Popularität des Nameas Beta ist wohl darin zu erblieken, daß seine Erläuterung sich in dem großen byzantinischen Lexikon, der Suda oder dem „Bollwerk der Bildung‘, findet, also an einer Stelle, welche auch weiteren Kreisen verhältnismäßig leicht zugänglich war und ist. Hier berichtet Suidas (um 1000 n. Chr.), der fiktive Schöpfer dieses Sammelwerkes, über Eratosthenes in einern kurzen Lebensbilde unter anderem etwa das Folgende: „Da er auf jeglichem Gebiete der Bildung, obwohl er den Spitzenleistungen nahe kam, doch nur eine Rolle zweiten Ranges spielte, wurde er Beta genannt“ [4], weil Beta ja der zweite Buchstabe im Alphabet ist. Woher dieses schroffe Urteil stammt, muß einstweilen noch dahingestellt bleiben. Als Gewährsmann für die Suda wird zwar Hesychius Milesius (VL. Jh.n. Chr.) genannt [5], aber dessen Onomatologus ist verschollen. Das unter diesem Namen vorliegende Werk [6] ist nur als ein aus dem XVT. Jahrhundert stammender biographischer Auszug aus der Suda anzusehen [7], welcher die Angaben über Eratosthenes ($ 260) wörtlich wiedergibt. Eine solche unsichere Überlieferung genügt selbstverständlich nicht für eine vertrauenswürdige Zeitbestimmung. Ungefähr ebenso, wie in der Suda, wird Eratosthencsin der anonymen Sammlung von Lesefrüchten aus Strabos Geographica behandelt [8]. Obwohl eine solche unfreundliche Meinungsäußerung bei Strabo selber an sich durchaus nicht überraschen würde, wenn man bedenkt, daß er beispielsweise Pytheas [9] kurzerhand als groben Schwindler (aner pseudistutos) abtut, weil er mit ihm nicht einer Meinung ist, so muß doch hervorgehoben werden, Schwartz, Eduard: Charakterköpfe aus der Antike. — 4. Aufl, Leipzig 1956, S. 208/09. Van der Waerden, Burthel Leendert: Erwachende Wissen- I. schaft usw. — Basel und Stuttgart 1956, S. 381. Thalamas,A.: La géographie d'Ératosthène, — Versailles 1921. An erster Stelle sei der Name Leta (3722) für Eratosthenes zur Erörterung gestellt, weil seiner am häufigsten im Sehrifttume gedacht wird wart weil er gerade in neuester Zeit (1956) in zwei sich an die Allgemeinheit wendenilen Suidas: Lexicon, lit. £ 2898. Suidas: Lexicon, lit. H 611. Hesychius Milesius: Quomatologi quae supersunt, — Edid, is] Joannes Flach, Lipsiue 1852. “4 — re. Eratosthenes Puteh, Paul: Philol. Anz., Xfl. Göttingen 1882, 8. 519—526. Chrestomathia» & Strabonis geogreaphicorum [Si Anonymus: libris (G. G. ML, LE 1861, S. 531), I. 20, [9] Strabo: Geographiea, I, 4,3 = C. 63.

daß sich in den Geographica trotz mancher kritischer Bemerkungen [10] nichts Derartiges über Lratosthenes findet, sondern daß desselben mitunter sogar mit auscesprochener Achtung gedacht wird [11]. Es ist also veruvutticho erst der Verfasser der Chrestarnathie gewesen, welcher sich die herabsetzenden Worte der Suda zu eigen machte und sie in seinen Abri einfügte, oder welcher sie — wenn er früher gelebt haben sollte [12] — vielleicht sogar selber prägte. Man tut deshalb wohl gut, von der Vermutung abzuschen, die zur Rede stehende Stelle sei bei Strabo „wie es scheint, ausgefallen“, wie das Knaack annimmt [13], weil durch diese Ausdrucksweise eine wesentliche Vordatierung der Kritik angedentet werden würde. Zur Sache selbst ist zu bemerken, daß eigentlich kein angeschen worden sei; man würde dem bekannten Geschichtssebreiber der Mathematik bei dieser Auslegung allerdings schwerlich folgen können. Nach deutlicher tritt ein Nachwirken der abfälligen Beurteiking, wie sie Suidas (oder sein Vorliufer) bietet, bei der Auslegung zutage, welche die cbenfalls in der Suda überlizferte Bezeichnung des Eratosthenes als „Fünfkampfsieger* (Pentathlos) gefunden hat. Der Fünfkampf (pentuthlon) der Jiinglinge, der aus erzieherischen Gründen nachträglich (708 +, Chr.) eingeführt wurde, war in Olympia ein durchaus vollwertiges und allgemein geachtetes, ja ursprünglich sogar besonders hoch geschätztes Kampfspiel, bei welchem die Bewährung auf fünf verschiedenen Gebicten der Leibesübungen (Sprung, Lauf, Diskuswurf, Speerschleudern und Ringrechter Anlaß vorliegt, Eratosthenes auf Grund von kampf) nebeneinander das Bild des allseitig aufs beste irgendwelchen Meinungsverschiedenheiten mit anderen ‘ ausgebildeten und daher „schönsten Wettkämpfers im Sinne von Aristoteles [19] zeigen sollte. Der darin zum Gelehrten das ausgesprochen abfüllige epitheton ornans Ausdruck kommenden unbefangenen Anerkennung der „Der Zweitrangige“ beizulegen. Ebensowenig wäre es verständlich, wie Eratosthenes, welcher ungefähr im Jahre 244 v. Che. nach Alexandria gekommen war und vermutlict seit dem Jahr: 225 v. Chr. die dortige Biliothek (ler Ptolemäer leitete [14], etwa im Volksmunde der spottlastigen Alexandriner zu dem Nainen „Nummer Zwei gekommen sein sollte. Nichtsdestotrotz lehrt die Umschau im neuzeitlichen Scheifttum, daß die Deutung des Semeions Beta als, Numiner Zwei“ wohl als die Lehrmeinung anzusehen ist. Die damit zum Ausdruck gebrachte Minderbewertung der Leistungen von Eratosthenes hat sich in der Folge auch auf die anderen Bezeichnungen desselben ausgewirkt. In der Suda wird nämlich an der gleichen Stelle [15] noch berichtet, daf manche in Eratosthenes einen „zweiten oder neuen Plato” erblickten und daß andere ihn mit dem Namen eines „Fünfkampfsiegers“ ehrten. Beide Namen stehen in den Augen ebtes anvorsingenommenen Lesers, wenn man sie allein betrachtet, zweifellos den Ausdruck Vielseitigkeit als des Hauptzieles vermag es keinen Abbruch zu tun, wenn in den einstmals Plato zugeschriebenen „Liebhabeen” [20] oder „Rivalen“ [21] darauf hingewiesen wird, daß der „Meister“ auf verschiedenen Gebieten in seinen Einzelleistungen zurückzustehen pflege hinter dem jeweiligen „Champion’ auf nur einem einzigen dieser Gebiete [22]. Die begreifliche Überlegenheit eines solchen einseitig trainierten Champions auf seinem Sondergebiete gegenüber einem vielseitig ausgebildeten Meister würde aber nie dazu geführt haben, den Repräsentanten der Höchststufe in der Gesamtausbildung ganz allgemein als zweitrangig herabzusetzen. Man wird also kaum der These von C. Robert [23] und ihrer Begründung durch W. Christ [24] folgen, welche im Namen Pentathlos geradezu eine abfällige Kritik der Leistungen, cine Beurteilung derselben als minder anerkennenswert, erblicken zu dürfen glaubten. Ähnliche Überlegungen über den „Pentathlos“, wie Fseudo-Plato, stellt auch Pseudo-Longinus an, wobei die bewuBte Überspitzung derselben fast noch eineiner ganz besonderen Hochachtung dar, und dieser Eindruck wird durch ihre Nebeneinanderstellung, bei welcher sie sich gegenseitig heben, zweifellos noch wesentlich drucksvoller hervortritt [25]. vertieft. Pentathlos gegeben hätten, wurde von Werner [26a] und von v. Wilamowitz-Moellendorf [26b] vertreten. Obwohl es sich im ersten Falle dieser lobenden Kennzeichnungen von Eratosthenes wahrscheinlich wohl um einen Hinweis auf seine Auffassung der Mathematik im Sinne Platons [16] handelt, wie er sie offenbar vor allem in seinem verschollenen Platonikos entwickelt hat [17], erwägt Cantor [18] anscheinend auch die Deutung, daB Eratosthenes als ein zweitrangiger Plato . Die Auffassung, daß die Anterastae des Pseudo-Plato sogar den Anstoß zur Benennung des Eratosthenes als Ohne die zeitliche Möglichkeit einer solehen Betrachtungsweise irgendwie in Zweifel ziehen zu wollen, wird man sie dennoch nicht als sachlich entscheidend anerkennen. Selbst in einer Zeit fortschreitenden Verfalles der olympischen Kultur dürfte die Überbewertung des Spezialistentums in der allmählich verrohenden und zum Beruf » {10} Strabo: Geogr., IL. 1.41 = C. 92 ete. (tli Strabo: Geoge., XVII. 3,22 = C. 838. [12] Die Chrestomathie soll im X. Jahrhundert zur Zeit von Constantinus VIT. Porphvrogenitus (913—950 n. Chr.) nach ThaLamas (La géogr. d'Ératosth. 1921, 82, n. 1) oder zur Zeit von Basilius If. Bulgaroetonus (976—996 [—1025] n, Chr.) nach Fabricius & Hartes (Bibl. Graze, 1795, T. IV. 572) verfaßt worden sein, 113] Kneaek, Georg: Eratosthenes (+) — Pauls & Wissowa, R. E., VI. 1, 1007, 8.361, Ut, Tiotfaması be, (vel. (S]). p. 47. 113) Kuidas: Lesicon, lit. FE 2808. mene» (th) Hirzel. Rudolf: Der Dialog tee, To Leipgie 1893, 8.407, Pie! Beach. Sir Thomas: A Histars of Greek Mathematics, — Vol. Tand Ph, Oxford 1924; TE, p. 104, ‘is! Cantor. Moritz: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Met, I, Leipzig S, 320. 1880, S. 284; 1894, 5. 314; 1907, S, 329; 1922, [19] Aristoteles: Rhetoriea, T. 5. 1361 b 10. . [20] Plato (Pseudo-): Amatores [Frastac]. Edid. Henricus Stephanus, Parisiis 1578, Tom. I, p.132—139. (21] Plato (Pseuda-): Rivales [Anterastae]. Rec. C. Fr, Hermannus, Lipsiae 1922, Vol. II, p. 358— 366. (22) Plate (Pseudo-):l.c. (vgl. [20] u.(2t)), cap. IV, St. 135 E/136 A u. cap. IX. St. 138 D/E. (23] Robert, Carolus: De Apotlodori bibtiotheca, — Dissert. inaug. philol. univ. Frid. Guil., Berolini 1873, p. 94. 124] Christ, Wilhelm: Platonische Studien. — Abh. philos./philol, CI. d. Kel. Bayer. Akad, d. Wiss., Bd. XVII, München 1888, 8. 451—512 (8. 508/09). (25) Dionvsins vel Longinus: De sublimitate libellus, cap. XXXIV, 1. [25a] Werner, Guilelmus: De Anterastis dialogo Pseudo-platonico. — Dissert. inaug. philol, univ. Gissensis, Darmstadtiao 1912, [26b] Wilamowitz-Moellendorf, Ulrich von: Platon. — Berlin 1919, If, S. 325.

herabsinkeniten Athletik gegenüber der einst angestrebten vor, die Herabsetzung eines Ruhmestitels der ihm eigentharmonischen Vielseitigkeit der Leibesschulung aller Jugendlichen nicht zum Gemeingut der Gebildeten geworden sein. lich zukommenden hohen Bewertung vorzuziehen. rlarehaus nicht vollkommen erfüllt ist. Selbst bei den großen Festspielen ist cs vielmehr zu wiederholten Malen vorgekommen, daß ein Sieger im Pentathlon auch in in welchem er Cordus als Alpha und sich selbst als Beta in einer Reihe von Klienten aufführt [36]. einern der anderen Wettkämpfe den Sieg errang [27]. Daß dem Pseudo-Piato dieser Sachverhalt völlig unbekannt geblieben sein sollte, ist äußerst unwahrschein- In diesem Sinne dachte man zunächst an die Reihenfolge in der Leitung der Bibliothek in Alexandria. Die Ansicht, daß Eratosthenes Beta genannt wurde, weil er der zweite der alexandrinischen Bibliothekare gewesen sei, Ve WAM reren mt men ne a te EE Darüber hinaus ist noch zu bedenken, daß sogar die Voraussetzung für die peendoplatonischen Überlegungen lich. Der Mißachtung des Pentathlos in seinem geradezu parodistischen Dialog kommt also keinerlei entscheidende Bedeutung zu. Es besteht gar kein Zweifel darüber, daß Eratosthenes ein wahrer Meister vieler Schönen Künste war (Dionysius Cyzicenus)[28], denn er betätigte sich erfolgreich gleichermaßen auf den Gebieten der Mathematik, Goographie, Geschichte, Philologie und Poesie (Lucianus Bree nan TS UEA en EN EI EES DR BT eV OEE den ETD PIET ver AR [29], Suidas [30)). Diese Vielseitigkeit verhinderte aber durchaus nicht, daß er zum mindesten in der Geographie ee neon RTC So bliebe noch als letztes der Gedanke, daf das Beta auf eine einfache Reihenfolge hinweisen sollte. Als Beleg für die Gebräuchtiehkeit einer Verwendung der griechischen Ruchstabennamen an Stelle von lateinischen Ordnungszahlen sei auf ein Epigramm des Martialis hingewiesen, wird beispielsweise ausdrücklich von Moses Solanus[37] vertreten. Aber man wird Cantor beistimmen, wenn er diesen Deutungsweg ablehnt, weil dann der vorangehende Leiter wohl irgendwann als Alpha und der nachfolgende als Gamma bezeichnet worden wäre, worüber aber nichts bekannt ist, und weil es überliefert sei, daß Eratosthenes erst an dritter Stelle das ehrenvalle Amt bekleidet habe. Von Cantors Hinweis darauf, daß Eratosthenes erst der dritte Leiter der Bibliothek gewesen sei, wird eine unbestreithare Spitzenstellung erreichte, welche allerdings besser abgesehen, weil die Ansichten über die beizpiesweise von Plinius [31] aufs höchste bewundert wurde. An dieser Wertschätzung hat sich in rund zwei Jahrtausenden kaum etwas geändert, denn in der Neuzeit Reihenfolge der Bibliotkekare, sowie „egebenenfulls bei ihre Unterscheidung in Ober- und Unterbibliothekare, wird Eratosthenes wegen seiner Bedeutung für die erheblich auseinandergehen (vel. Ritschl [39], Seemann [40]. Busch [#l], Gardthausen [42] u. a). mathematische Geographie geradezu als „Vater der Geographie‘ bezeichnet [32]. Dazu kommt dann noch eine weitere Reihenfolge, auf welche im neueren französischen Schrifttum hingewiesen Die Tatsache, daß es später noch andere hervorragende Geographen gegeben hat, die von irgendwelchen späteren Verfassern vielleicht höher geschätzt wurden, wie das im wird [43] und [44], nämlich diejenige als Stipendiat des IV, /V. Jahrhundert n. Chr. Marcianus von Heraclea [33] andeutet, kann seine Zeitgenossen, die ihn vielleicht schon Beta nannten, doch unmöglich irgendwie beeinflußt haben. Schließlich darf man auch nicht vergessen, daß in dem zweiten Falle, in welchem ein Gelehrter wegen seiner Vielseitigkeit als Pentathlos auf geistigem Gebiete alexandrinischen Musetons. Die Angabe, derzufolge Eratosthenes nach einer Überlieferung von Photius im Museion mit der Ordnungszahl A’ bezeichnet worden sei, hat sich aber nicht bestätigen lassen (vgl. Anm. [73]). Sie hätte die Dinge recht unübersichtlich gestaltet, woil von einem Alpha für Eratosthenes, womöglich als Semeion, sonst nichts bekannt ist. Viclleicht hängt das Mißverständnis irgendwie mit der Nachricht von Suetonius b:zÄi:hnet wurde, nämlich bei der Arwendung dieses Ausdrucks auf Democritus von Abdera (etwa 460-390 v. Chr.), der Charakter des von den Leibesübungen her Tranquillus [45] zusammen, daß Eratosthenes sith übernommenen Ehrennamens als ganz besondere Auszeichnung sowohl von Diogenes Laertius [34] überliefert ist, als auch von Suidas [35] unmißverständlich Rom gelebt hat, wie jener Chiliarch Galerius Crassus, welcher als hoher Offizier am Kaiserhofe des Tiberius wegen seiner Vorliebe für Rüben spöttisch als beta (Rübe) bezeichnet worden sein soll und dessen lateinischer Spitzname in der griechischen Schreibung des Ptolemaeus Hephaestionis Chennus [46] von derjenigen des anerkannt wird. Es ist nicht einzusehen, weshalb Eratosthenes und Democritus mit verschiedenem Maß gemessen werden sollten; es liegt aber auch kein Grund [27j In diesem Zusammenhange sind zu nennen die berühmten Falle des jungen LakoniersE utelidas(628v.Chr. = Olymp. 38, Sieger im Fünfkampf und im Ringen). des Krotoniaten Phayllus (vor seiner Teilnahme an der Schlacht von Salamis [in welcher er das einzige aus Großgriechenland den Athenern zu Hilfe gekommene Schiff führte], also vor 480 v. Chr., zu Delphi Sieger im Fünfkarnpf und im Waffenlauf) und des Korinthers Xenophon (#84 v. Chr. = Olymp. 79, Sieger im Fünfkampf und im Stadienlanf), während von späteren Doppelsiegern hier selbstverständlich abzuschen ist (Krause, Johann Heinrich, Olympia, Wien, 1838, 287, 350 und 400). [28] Anthologia Graeca epigrammatum ete, Anth. Palar., Lib. VII, ep. 78. 129) Lucianus Samosatensis: Longaevi [Macrobii]. § 27. [30] Suidas: Lexicon, lit. £ 2898, [313 Plinius: Naturalis historia, TE. 108. 112, 247 u. VI, 29. 34, 171. (32 Thalamas: Lo, (val. [351 p. 185. [33} Marcianus Heracleensis: Periplus maris exteri ete., I. 4. [34) Diogenes Laertius: De clarorum philosophorum vitis ere IN. 7. 37. (351) Suidas: Lexicon, tit. ZI 471. (36) Martialis: Epigrammaton libri, V. 26. als erster den Namen eines philologus beigelegt habe. Es ist ein wahres Glück, daß Eratosthenes nicht in [37] Lucianus Samosatensis: Opera. — Edil. Joannes Fre. derieus Reitzius, Tom. TIT, Amstelodami 1743, p. 228, n. 58. [38] Fabricius, Joannes Albertus: Bibliotheca Graeca. -— Fd. nova cur. Gottlieh Christoph Harles. Vol. IV, Hamburgi 1795 {p. 118). (39] Ritschl, Friedrich: Die alexandrinischen Bibliotheken unter den ersten Ptolemäern usw. — Breslau 1838. [40} Seemann, Otto: De primis sex bibliothecae Alexandrinae custodibus. — Progr. Kgl. Gymnas. Essen, Essen 1859. fi] Busch, Guilelinus: De bibliothecariis Alexandrinis qui feruntur primis. — Dissert, inaug. philos. univ. Rostochiensia. Suerini Megalopolitanorum 1884. (42) Gardthausen, V.: Die alexandriuische Bibliothek usw. — Zeitschr. deut. Ver. Buchwesen u. Schriftt., V. Jg, Leipzig 1922, S. 73104. [431 Bouché-Leclereq, A.: L'histoire des Lagides. — Paris 1903 (Tome I. p. 218, n. 4). {441 Thalamas: le. (vgl. [3]), p. 54. {45} Suetonius: De grammaticis, $ 10, [46] Ptolemaeus Hephaestionis s. Chennus: Nova historia,

zweiten Buehstabens im griechischen Alphabet nicht unterscheidbar ist [47]. Diese Mißdeutung seines Beiwelebe die algebraischen Gerlankengänge in geometrischer Form zum Ausdruck bringt. namens auf Grund seines Küchenzettels ist also Eratosthenez erfreulicherweise von der Nachwelt erspart Sollte es nun nicht denkbar sein, daß das zur persönlichen weblichen. einem bestimmten wohlbekennten Zahlenwerte zu deuten ist, sondern als ein huchstabenähnliches geometrisches Bild mit einem anderen, viel wesentlicheren Inhalte? Statt dessen hat die Neuzeit eine andere unbrauchhare Auslegung des rätselhaften Buchstabennamens beigestenert : die Deutung von 3772 als Schreiter oder Schrittmesser von Konrad Miller [48]. Leider ist aber cine Verwendung des Wortes 67-2 in diesem Sinne ebensowenig überliefert wie eine Bestätigung für die beliebte Annahme, daß Eratosthenes durch Schrittrnesser (rwexszei) größere Entfernungen eigens für seine geographischen Zwecke habe abschreiten lassen; die diesbezügliche Notiz von Martianus Capella (um 400 n. Chr.) über die mensores regii Ptolemaet [49] hat wegen des Zeitpunktes ihrer Aufzeichnung keinen Quellenwert. Sehr überraschend ist es nun, daß sogar davon berichtet wird, wer den Namen Beta für Eratosthenes geprägt hat. Marcianus von Heraclea (um 400 n. Chr.) erwähnt nämlich bei der Aufzählung seiner Gewährsmänner unter anderen auch „Eratosthenes, welehen die Leiter des Museicas Beta nannten“ [50]: diese Angabe stammt offenbar (sofern es sich nieht um einen nachträglich eingefügten Zusatz handelt) aus einem älteren Werke von Menippus Pergamenus, der ungefähr um die Zeitenwende Iehte. Als sicher darf man es danach wohl ansehen, daß der Gelehrtenkreis des Museions den Namen Beta für Eratosthenes verwandte — und wieder steht man vor der Unbegreiflichkeit, daß diese anerkannten Vertreter der Gelehrsamkeit einen aus ihrer Mitte kurzerhand „Nummer Zwei” genannt (und womöglich gar gerufen) haben sollen. Das kaun nicht sein! Im folgenden möge nun auf ganz anderer Grundlage versucht werden, das rätselhafte Beta aufzuklären, und zwar auf einer Grundlage, welche für die griechische Mathematil. von allgemeiner und ertscheidendler Bedeutuag ist. Als wegweisend darf in dieser Hinsicht die kurze Kennzeichnung angeschen werden, welche van der Waerden [51] der griechischen Minstellung zur Mathematik gibt, Aus dieser ist zu entnehmen, daß die Griechen wie im Allgemeinen so auch auf dem Gebiete der Mathematik eine ausgesprochene Neigung zum Anschaulichen hatten. Diese Vorliebe für das Bildhafte war unter anderem eine bedeutungsvolle Triebfeder für ihr erfolgreiches Bestreben. an die Stelle der aus Vorderasien übernommenen Algebra eine „geometrische Algebra’ zu setzen, Kennzeichnung verwandte 8 nicht als Buchstabe mit Die bekannteste und im Schrifttum aller Zeiten immer wieder erwähnte Leistung des Geographen Eratosthenes ist seine Berechnung des Erdumfanges mit Hilfe von Sonnenstandsmessungen. Die Auregung zu diesem neuartigen Verfahren bot ihm das merkwürdige Verhalten der von der Sonne geworfenen Schatten, wie es bei der Fahrt von Berenice, dem Hafenplatze am Ende der Wüstenstraße von Koptes am Nile hinüber zum Gestade des Roten Meeres, südwärts nach Ptolemais Epitheras, von wo die Jagdexpeditionen der Ptolemäer zum Lebendfang von Elefanten und allerlei fremdartigen Tieren ihren Ausgang nahmen, beobachtet werden konnte. Während Eratosthenes den Geschehnissen im Gebiet des Roten Meeres, über welche Plin.ius eingehend be richtet [52], die Intuition zur Anstellung einer Erdumfangsmessung auf dieser Grundlage verdankte (ende conceperit), stützte sich seine endgültige Untersuchung auf die Verhältnisse im Niltale. Dabei verglich er die Be“ebachtungen, welche in Alexandria und in Syene, also in zwei jedermann wohlbekannten Städten, gemacht worden waren, und stellte die Ergebnisse zeichnerisch zusammen. So gelangte er zu einem einfachen geometrischen Schema, welches bekanntermaßen den Erdumfang und auf diesem den Umfang eines Schattenfängers in Alexandria zeigte, ferner den Strahl, der durch den Erdmittelpunkt, durch den Berührungspunkt der Skaphe mit der Erde und dureh den Gnomon in der Skaphe geht, und schließlich die parallelen Sonnenstrahlen, welche am Mittsommertage mittags in Syene senkrecht auf die Erde treffen. in Alexandria aber einen Gnomonschatten von 1}, der Länge des Skaphe-Umfanges werfen. Daß dann die Länge des Erdumfangshogens zwischen Syene und Alexandria ebenfalls !/,, des Erdumfanges betrug und daß sich bei einer geschätzten Entfernung von rund 5000 Stadien für den Abstand Syene—Alexandria ein Erdumfang von rund 250 000 Stadien ergab, das festgestellt zu haben, gehört wohl zu den Großtaten der mathematischen Geographie. Wenn man nım in diesem konstruierten Bilde einen Teil der Linien nachfährt und wenn man dabei, mit dem (47) Hierzu muß allerdings bemerkt werden, daß die von Ptolemaeus Chennus wiedergegebene Anekdote wahrscheinlich auf einem MiGverständuis oder emer bewußten Mißdeutung Strahle durch die beiden Kreismittelpunkte beginnend, erst den der Sonne zugewandten Halbkreis der Skaphe und dann den entsprechenden Halbkreis des Frdumfanges hervorhebt, dann hat man eine Zeichnung vor berukt und daß daher der „Spitzname“ im Grunde genommen anders zu verstehen ist. Vermutlich war es die griechisch Bezeichnung Beta für die zweite Tausendschaft (chilias) einer sich, welche einem ß ganz erheblich ähnelt oder vielleicht noch mehr an das B der frühptolemäischen Zeit er- Legion, welche von den römischen Soldaten ihrem eigenen Sprachschatze entsprechend ausgelert wurde, Es handelt sich also offenbar nur darum, daß Galerius Crassus in seiner innert, dessen oberer Halbkreis tatsächlich viel kleiner ist als der untere (Prof. Dr. Fr. Zucker, Jena, brieflich). Legion der .,chiliarchos 2** oder der Führer (tribunus milituni [ursprünglich trébunus m. milita) der zweiten Kohorte war, Es erscheint begreiflich und berechtigt, dieses Bild eines wie das auch aus dem ungekürzten Wortlaute der Überlieferung Uri vevigueter Stellume der Satcesiehen ohne weiteres hervar- B oder R als das Sinnbild desjenigen Mannes anzusehen, geht, USS) Miller, Konrad: Dir Erbmessuug ba Altertum und ihe Sehicksul. — Stuttgart 1910, N. [40] Martianus Capella: VI. Sous. 4 phriletoriae et merenrij ere, welcher mit dem geometrischen Schema eine Überlegung von gewaltiger Tragweite erläuterte. Unter diesen Umständen wäre die Bezeichnung Peta für Eratosthenes zugleich ein Ausdruck der hohen Anerkennung, deren 130) Marcianus Heraeleensis: Epitome peripli maris interni cte., > Van der Waeeden: be, (val. [ER 8. 1831, DI, [32] Plinius: Nat. hist., VI. 29,34, 171.

sich dieser vielseitige Gelehrtz am Museion gerade als Vertreter der mathematischen Geographic erfreute, Beta für Eratosthenes gemacht wurden, bereits ausgewertet werden. Der Gedanke, daß in der Buchstabenb»zeichnung für Was zunächst die Persönlichkeit des Apollonius an- Bratosthenes eine wertende Bezifferung und damit zugleich ein abfälliges Urteil zu erblieken sei, konnte nur langt, so ist von ihm hervorzuheben, daß er gleichermaßen als Mathematiker und als Astronom zu hohem Ruhm selangte. Er stammte aus der Stadt Perge in Pamphylien bei jemandem aufkommen, der nicht in der Tradition des Muselous aufgewachsen oder nicht weoigstens mit the vertraut wae. Wenn man den Überlieferungen Glanben schenkt, daun ergibt sich das fri ende Bild: Die Mißund kam vermutlich gegen Ende des dritten vorchristlichen Jahrhunderts (etwa um 210 v. Chr.) nach Alexandvia. Von seinen mathematischen Werken sind die Conica [53], ein grundlegendes Lehrbuch über Kegelschnitte, erhalten geblieben. Auf dem Gebiete der Astronomie hat er sich offenbar in erster Linie mit den Bewegungserscheinungen der Planeten beschäftigt, wobei er aber den Begriff der Wandelsterne im Sinn der alten Babylonier faßte, also einerseits Sonne und Mond, anderseits die fünf echten Planeten Merkur, Venus, Mars, ‚Jupiter und Saturn in seine Untersuchungen einbezog. Unter diesen Umständen leuchtet es ohne weiteres ein, daß beispielsweise Vettius Valens (etwa IL. oder UI. Jh. n. Chr.) seine Angaben bezüglich des Mondes zu Rate gezogen hat [54], welcher in einfacher Bahn die Erde umkeeist, während aus einer Mitteilung von Claudius Prolemaeus [55] hervorgeht, daß er sich auch mit den komplizierten Balmen beschäftigt hat, auf welchen die Planeten im engeren Sinne vor Gem Auge des irdischen Beobachtevs vorüberziehen. Offenbar war Apollonius für die Aufklärung der scheinbaren Bahn eines jeden Planeten als Ergebnis des angenommenen ZusammenBild 1 Schema für die Ableitung der Erdumfangsläng nach Eratosthenes, Die durch eine beigesetzte Strichellinie hervorgehobenen Hälften der Umfänze von Erd- und Skaphekreis und die beiden zugehärisen Durchmesser ergeben das Biki eines Beta spieles zweier Ireisbewegungen maßgebend, nämlich derjenigen des Planeten selber auf einem kleinen (als epicyclus bezeichneten) Kreise und derjenigen des Mittel. punktes (dieses „Zusatzkreises® auf cinem großen (.. Haupt -)Kreise (deferens) um die Erde. Vielleicht waren daher seine verschollenen Astronomica in mancher lange nach der Blüte des Museiens von Alexandria fiel, und der offenbar nichts mehr von den Gründen wußte, welche einst zur Wahl des Kurznamens Beta geführt hatten. Erst dieser oder der unbekannte Verfasser der Chrestomathie aus Strabos Geographie (oder vielleicht. noch ein anderer ungenannter Gewährsmann fin die Suda) suchte daher eine Erklärung für die Wahl des Namens Beta und glaubte sie in dem (pseudoplatonischen) Hinweis auf die Zweitrangigkeit gefunden zu haben. Als diese Deutung dann erst einmal in die Suda aufgenommen war, stand ihr der Weg zur allgemeinen Anerkennung offen. Gerade die ungerechtfertigre und ungerechte Neubegründung für die Wahl des3 als Kurzbezeichnung für Eratosthenes ist es also offenbar zewesen, welche die alte Buchstabenbeurteilung als „wohlfundiertes" Wissensgut bis in die Gegenwart erhalten hat. IE Apallanius EEn IEEE ea adt ren Die Krörterung möge sich nunmehr dem zweiten Mathematiker zuwenden, dem ein Buchstabe als Merkzeichen zugewiesen wurde. Bei der Klärung ler Frage nach Herkunft und Bedeutung desNa tue hin Eps ‘lan (ETES fur Apollonius können die Erfahrungen. welche mit dem Sicher scheint es jedenfalls zu sein, daß Apollonius im Rahmen der Epizykeltheorie [56] ableitete, wann bei gteichery Drehsinn der beid:r Kreise die scheinhare Bewegung des Planeten aus Rechtläufigkeit in Rückläufigkeit überging oder umgekehrt. Den Namen Epsilon für Apollonius hat anscheinend nur Ptolemaeus Chennus (I. Hälfte des IT. Jh. nach der Zeitenwende) überliefert, der Sohn des Hephaestio [57], welcher unter anderem allerlei Erzählungen zur Allgemeinen Bildung (polymathia) in 7 Büchern zusaminengetragen hat [58]. Das Werk als solches ist verlorengegangen; erhalten geblieben aber ist ein Auszug daraus in der Bibliotheca [59] oder dem Myriobiblon. [60] des Patriarchen Photius (etwa 820 bis etwa 891 n, Chr.). Tu diesem Anszuge wird über die Kennzeichnung von [33] Apollonius Pergacus: Conicorum libri octo ete. — Fdid. Ed. mundus Halleins, Oxoniae 1710, {54} Vettius Valens: Anthologiarum libri IN, — Edid. Guilelinus Kroll, Rerolini 1908 (IX. 11). 5] Ptoleimarus, Claudius: Syntaxis machematica, XIT, 1. 155] 5 Apollonius Pergacus: Astronomica, Fragm. 30. 58%) 57] Suidas: Lexicon, lit. M 3037. Boat cleensis. Sie tritt dagegen mörlicherweise schon in Erscheinung bei Hesychius Milesius, dem mutmaßhehe:Gewährsmann der Seda, dessen Wirken in sine Zeit m mm ER BEEREN PEERS te Per Ie LNV eA FL iT deutung des Beta fehlt noch bei Menippus Pergamenus und demgemäß auch bei Marcianus Hera- Hinsicht ein Vorbild für die letzten Bücher der Megale {später Megiste) Syntaxis von Ptolemaeus (etwa 100-178 n. Chr.), welche sich mit diesen Dingen befassen. UNI Chatzis, Anton: Der Philosoph und Grammatiker Ptolemaios Chennos. — Stud. Gesch, Kult, Altert., Bd, VIT,2, Paderborn (591 Photius: Bihliotheca, — Ex ree, Immanuelis Bekkeri, Berolini 1824 u. 1825 [BD] Photius: Myriobiblonete. — Edid, David Horschelius, Rothomagi 1653,

| und daß dabei das Epsilon des Apollonius nach dem Menschen durch (die Namen von) Buchstaben berichter [61], wobei die wiedergegebenen Beispiele allerdings äußerst ungleichartig sind. Als echtes Buchstabenbild zu verstehen ist zweifellos der Name Labda (statt des dem sechsten Buchstaben des gebräuchlichen Alphabets genannt wird. späteren Lambda) für die hinkende Mutter des Königs Der nach dem früheren Vorgehen beim Beta des Krato- Kypselos von Korinth (Herodotus [62], Helladius [63] und Erymolegicon Magnum [64)), weil das Aussehen des acchaischen A an die ungleiche Lange der Beine eines lulumen Menschen erinnert [65]. Demgegenüber wird aber auch die (bereits erwähnte) Bezeichnung eines römischen Chiliarchen als Beta aufgeführt, obwohl in diesem Falle Delta als dem vierten Buchstaben und vor dem Zeta als sthenes naheliegende Gedanke, daß der Buchstabe Epsilon bei Apollonius arithmetische Bedeutung habe, kann ohne weiteres übergangen werden. Es scheint von keiner Seite der Versuch gemacht worden zu sein, eines Buchstabens hatte, sondern ganz anderer Herkunft war. In diesem bunten Rahmen, auf welchen hier nicht Apollonius als einen Mathematiker fünften Ranges zu bezeichnen. Demgegenüber könnte man sich vielleicht der Tatsache erinnern, daß in einer gräco-ägyptischen Chrestomathie aus dem II. Jahrhundert n. Chr. eine unvollständige Liste der Bibliotheksvorstände überliefert genauer eingegangen zu werden braucht, findet sich der ist [71], welche nacheinander die Namen (Apollonius Satz: „Apollonius, der zur Zeit von [Ptolemacus IV. Rhodius), Eratosthenes, Aristophanes Byzan- Philopator auf dem Gebiete der Astronomie berühmt. tius, (Aristarchus), Apollonius Idographus und war, wurde e genannt, weil das Aussehen des e demjenigen des Mondes glich, über welchen jener sehr sorgfältige Studien gemacht hat‘ (66) und [67]. Aristarchus Aristarchi nennt, ehe dann ein hoher Offizier, der Lonchophor Kydes, die Leitung der Bibliothek übernahm. In dieser Reihe sind leider die Namen der ersten Bibliothekare in Verlust geraten, aber man darf vielleicht in üblicher Weise Zenodotus und Callimachus an den Anfang stellen. Da Apollonius Rhodius wohl zu Unrecht nachträglich in die Reihe cingeschoben und /.ristarchus dus e.ste Mal offenbar versehentlich erwiihnt worden ist, wäre an fünfter Stelle ein der Name der Überlieferung nach gar nicht die Bedeutung Diesen Hinweis auf den Astronomen Apollonius hat der quellenkundige Cantor [68] aufgegriffen, und zugleich hat er den Versuch gemacht, die Deutung des Epsilon dem Leser dadurch mundgerecht zu machen, daß er, wohl in Anlehnung an E abricius & Harles 69], für dasselbe eine besondere Schreibform, nämlich das runde €, als Muster wählte. Trotz dieses willkürlichen Vorgehens dürfte es ihm aber nicht geglückt sein, eine Ähnlichkeit des Buchstabens mit dem Monde in irgendeiner Weise überzeugend aufzuzeigen. So ist es denn begreiflich, daß der letzte Herausgeber der Nova historia von Ptolemaeus Chennus sich nicht damit zufrieden gibt, sondern noch einen Schritt in der gleichen Richtung weitergeht. An die Stelle des Halbkreises mit Radius (oder drastisch ausgedrückt, eines ,,Halbmondes mit Apollonius genannt, der vielleicht mit dem Astronomen verwechselt sein könnte. Es erscheint nicht zweckmäßig, eine solche Kette von Änderungen anzunchmen, nur um dem Astronomen Apollonius das Semeion Epsilon im Sinne von „der Fünfte‘ zuzuschieben. In Wirklichkeit ist also offenbar keine Reihenfolge von Namen bekannt, in welcher Apollonius an fünfter Stelle stände. In einem gewissen Widerspruche dazu steht. nur die Angabe von ‘Bouché-Leclereq [72], nach das C nichts anderes als eine besondere Schreibform für welcher Apollonius als Inhaber der fünften Stipendiatenstelle am alexandrinischen Museion die Bezeichnung e erhalten haben soll. Der Gewährsmann für diesen das 2 darstellt, bedeutet diese Abwandlung des Schriftsehr bemerkenswerten Hinweis soll Photius [73] sein, zeichens Sigma genannt worden, was sich noch dadurch stützen doch ergibt die Nachprüfung leider, daß es sich bei dessen Bericht nur um die wohlbekannte Überlieferung von Ptolemaeus Hephaestionis Chennus handelt, ließe, daß man das C als Anfangsbuchstaben von Selene, also dem griechischen Namen des von Apollonius angen von Apollonius zum Museion bietet (vgl. S. 135 Zigarette‘) setzt er nämlich die einfache Mondsichel, indem er als Vergleichsobjekt ein C wählt [70]. Da nun zugleich eine Änderung des Kurznamens, Apollonius wäre danach nicht Epsilon, sondern welche nicht die geringste Auskunft über die Beziehunscheinend besonders eingehend bearbeiteten Mondes, deutet. Diese ganze Überlegung scheitert aber an der u. Anm. [43]). Tatsache, daf Ptolemaeus Chennus die BuchstabenKurznamen in der Reihenfolge des Alphabets aufführt er bei Eratosthenes schon erfolgreich angestellt wurde, So bleibt als letztes Auskunftsmittel der Versuch, wie im Lebenswerke des Apollonius naclı etwas zu suchen, was rein bildmäßig den Weg zum numengebenden e [61] Photius: le. (vgl. [59]), Cod. exe, p. 151b. bahnt. [62] Herodotus: Historiae, V. 92. 3 Die mathematischen Werke des Apollonius Pergaeus [63] Helladius Besantinous: Chrestomathise. — Photii Bibliotheea, Cod, CCLX XTX, col. 531b, (64] Ety mologicon Magnum, cap. 199, [85] Es ist vielleicht der Erwähnung wert, daß das Wort Labda auch als Semeion vom bildhaften Charakter des üblichen A bei Aristophanes (Eecles., vs. 920) vorkomnit, wo es jedoch eine durehnis andere (obscòne) Bedeutung hat. [66] Ptolemaeus Chennus: Nova historia, ed. Chatzis 1914, haben im wesentlichen einen ausgesprochen fachwissenschaftlichen Charakter. Seine Conica sind schon im Altertume von dem engen Kreis der Fachgenossen voll gewürdigt worden, und auch die Neuzeit zollt ihnen hohe Achtung (z.B. H.G.Zeuthen[74], O. Neugebauer [75]). Vv. $ 20. [67) Als Gewährsmann dafür, daß Apollonius sich unter anderem besonders mit dem Monde beschiiftigt hat, darf nuBer Ptolemaeus Chennus und Vettius Valens auch der Kirchen vater Hippolytus Romanus herangezogen werden, welcher (um 223 n. Chr.) bei der Erwähnung des Mondes ausdrücklich den Angaben von Hipparchus dicjenigeu des Mathematiker: Apollonius gegenübeestellt (Refut, omn. heter, IV. 10). [Hs] Cantor: Le. (vgl. [18)), 1880, 264; 1894, 315; 1907, 330; 1922, 330, (891 Pulrieius & Harles: (+ el. [SP p. 103. [70] Chatzis: Le. (vgl. se, Ss 37 {71} Grenfell, Bernard P., & Hunt, Arthur S.: The Oxyrhynehus Papyri, Part X, London 1914, Nr. 1241 (p. 102). (72] Bouché-Leclereq, Le. (val. (431) p. 218/19, n. 4 [73] Photius (cad. 190) parle d'un classement par lettres de l’alphabet. dont chacune représente ce que nous appellerions un fauteuil académique. Ainsi, Eratosthène était classé à UA, et Apollonivs de Perge à l'E (Le., p. 218, note 4). (74) Zeuthen, Hieronymus Georg: Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. — Kopeuhagen 1836. [75] Neugebauer, Otto: Apollonius-Studisn, — Quell, Stud. Gesch. Math, Abt. B, Bd. II, Berlin 1933, 215— 254.

Der Allgerneinheit aber mußten solche Werke fremd und unverstiindlich bleiben. Ganz anders steht es bei den Werken sternkundlichen Inhaltes, welche nicht nur für die eigentliche Astronomie, sondern auch für die mit ihr so eng verbundene Astrologie von vesentdiehem Werte waren und welche ihrem Verfazser deun auch die Anetisane eines etwas weiteren („Wachtel“) nach der Überlieferung [77] zu Anfang des IT. nachchristlichen Jahrhunderts selber in Alexandria lebte, darf man annehmen, daß er an Ort unl Stelle sein Wissen über Apollonius sammeln konnte. Wenn bet Apollonius der Cedanke, daB seine Buchstabenbezeichnung etwa den Charakter einer Wertung Interessantenkreises cintruge: Hierher gehören wohl Zeit wie Eratosthenes in Alexandria. Da nun Prolemaeus Hephaestionis mit dem Beinamen Cheunus an erster Stelle seine Untersuchungen über die scheinbaren Planetenbahnen, von denen, wie bereits erwähnt wurde, Claudius Ptolemaeus in seinem Almagest (arabisch: kitab al-Magisti), der megiste syntasis [76] oder dem größten aus dem Altertum bekannten Handbuche der Astronomie, berichtet. Die Aufklärung der merkwürdigen Planetenbahnen, auf welchen die 5 echten Wandelsterne bald rechtläufig, bald rückläufig dem Fixsternhimmel gegenüber sich verschieben, hat Apollonius offenbar besonders beschiiftigt. Es hat den Anschein, daß er für den Ausbau der Epizykeltheorie in erster Linie verantwortlich ist und daß daher auf ihn der Entwurf des Schemas zurückgeht. welches die zur Rede stehenden Vorgänge abzuleiten erlaubt. haben könnte, gar nicht in Betracht kam, weil ja von Fünftrangigkeit keine Rede sem konnte, dann konnte von Anfang an die wahre” Herkunft. des e als Bildbezeichnung ungestört erhalten bleiben. Unklar wurde es aber späteren Generationen, was es denn eigentlich war, worauf die buchstabengleiche Bildbezeichnung fußte. So konnte es geschehen, daß schon Ptolemaeus Hephaestionis, weleher wohl keine astronomischen Kenntnisse besaß und günstigstenfalls noch wuBie, daß Apollonius irzend etwas mit Wandelsternen zu tun gehabt hatte, die Wahl des e auf die Form des Mondes bezog. Das làg für ihn vielleicht nahe, weil er an das runde € dachte und weil die Sichelgestalt des Halbmondes jedermann bekannt war, während von den merkwürdigen Planetenbahnen und ibrer Ableitung eben doch nur Astronomen und andere Sternkundigc etwas zu wissen pflegten. Die Tatsache, daß das Aussehen eines e eigentlich doch recht wenig zur Gestalt des Mondes paßte und daß auch niemandem eine andere Deutung einfiel, führte dann zwangsläufig dazu, daß die ganze Buchstabenbezeichnung für Apollonius später aufgegeben und vergessen wurde [78]. III. Pythagoras = Bild 2 Schema für die Ableitung der Planetenbahnen Merkwiirdigerwcise scheint im neueren Schrifttum über die Geschichte der Mathematik nicht berücksichtigt zu werden, daß im Altertume noch ein dritter Mathematiker nach Apollonius. Die durch eine beigesetzte Strichellinie hervorgehobenen Teile des Epizykels und des Deferenten gleichen dem Bild eines Epsilon Wie das in ähnlicher Weise bei dem Kurvenbilde für die Erdumfangsmessung des Eratosthenes geschah, möge nun in dem Schema ein Teil der Linien zeichnerisch hervorgehoben werden. Wenn man zunächst die Hälfte des kleinen Kreises (Epizykels) in der Richtung der Planetenbewegung nachfährt und am Sehnittpunkte desselben mit dem großen Kreise (Deferenten) den Hervorhebungsstrich auf diesem weiterführt, wobei man wieder etwa die Hälfte des Umfanges nachzeichnet, dann ergibt sich ein Bild, welches unverkennbar demjenigen des Buchstabens e, und zwar insbesondere in seiner kursiven Form mit kleinerem oberen und größerern unteren Bogen, entspricht. Die Vermutung liegt daher änBerst nahe, daß diese allgemein bekannte Kurvenzeichnung es ist, welche dazu geführt hat, ihrem Schöpfer den Kurznamen eines Epsilon zu verschaffen. des Serueions Ipsilon anseneinend einen wesentiichen Beitreg zur Klärung der Fräge liefert, ob man mehrere gleichzeitig {unter Ptolemacus Euergetes und Ptolemaeus Thilopator, also um 247—221—205 v.Chr.) in Alexandria tätige Astronomen mit dem Namen Apollonius annehmen muß, oder ob man nur mit einem einzigen vielseitigen Mathematiker vor: überragender Bedeutung zu rechnen braucht, dessen anscheinend auch Hippolytus Romanus (Refut. omn. haeres, V, 10) gedenkt. Eine tabellarische Gegenitberstellung der Überlieferungen spricht jedenfalls zugunsten der Zusammenfassung, welche bereits des öfteren (Halleius in: Apollonius Pergaeus 1710, praef. p. 3; Kroll in: Vettius Valens 1908, 373) vertreten worden ist. Gewährsmänuer für einen Apollonius als Ap. Pergaeus . (vel. (55]), XIL 1, Mondforscher Planerenforscher — Claudius Ptolemaeus Ap. Epsilon Ptolemaeus Chennus | (S:meion-Ableitung) Ap. (mathe- Hippolytus Romanus Vettius Valens maticus) Uber die Herkunft der Bezeichnung als Epsilon für Apollonius ist niehts Näheres bekannt. Es liegt aber kein Grund vor, daran zu zweifeln. daß die Kurzbezeichnung ebenfalls aus dem Gelehrtenkreise des Museiens stammt, denn Apollonius wirkte ja etwa zur gleicher (76) Prolemaeus, Claudius: [ 77) Suidas: Lexicon, lit. 7 3037. { 78} Nur beiläufig sei darauf hingewiesen, daß die neue Ableitung Entbehrlich erscheinen die Versuche, den Apollonius des Vettius Valens auf Apollonius Myndius zu bezichen (Cumont, Florilegium, 1909. 162; Schnabel, Berassoa 1923, 123. Anm. 5). Der aus Myndos stammende Gelehrte, dessen Lebenszeit sehr verschieden ang geben wird, und der sich seine Ausbildung als, Sterndeuter (zur Stellung von Geburtshoro. skopen) in Babylonien erwarh, ist als Astronom offenbar in erster Linie durch seine Kometenforschungen (Seneca, Nat. quaest., VIE 4 u. 17) bekannt geworden.

mit einem Buchstahen als Semeion bedacht worden ist. Seiner gedenkt Ptolemaeus Hephaestionis Chennus beiden Kathetenquarlrate ist (Diogenes Laertius) [86]. Das geometrische Schema für diesen Lehrsatz ist cin ebenfalls in der Nova historia, wenn er arn Ende seiner rechter Winkel, auf dessen beiden Schenkeln die Seiten- Aufzählung von Buchstabennamen ungefähr das Folgende längen der beiden zu addierenden Quadrate abgetragen sind, wobei dann die Verbindungslinie der heiden Endpunkte als „Aypoteinousae“ des rechten Winkels die berichtet: „Democydos schreibt, Pythagoras sei, als er sämtliche Zahlen behandelte, mit dem Buchstaben : benannt worden‘ [79]. Wann der hier erwähnte Kurzname Gamma für Pythagoras aufsekommen ist, läßt sich nicht mit Bestimintheit sagen, da nur die eine Überlieferung von Ptolemacus Chennus aus der ersten Hälfte des zweiten nachchristlichen Jahrhunderts vorliegt und da über den als Gewährsmann angegebenen Democydes nichts Näheres bekannt zu sein scheint. Vielleicht ist der Name als Democedes [80] zu lesen, da cine solche Abwandlung der Schreibweise auch anderweit überliefert ist (4, B. Seitenlänge des Summenquadrates erzibt. Wenn man in diescan Schema die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks nachfährt, dann ergibt sich cine Figur, welche einem J, also dem Gamma des großen Alphabets der Griechen, weitgehend ähnelt. pS Kidenas/Kidynus). Tatsächlich ist ein Pythagoreer Democedes von Kroton als Arzt am Hofe von Darius I. bekannt, wie Herodotus[81] und Suidas [82] berichten. Immerhin muß man aber wohl mit der Möglichkeit rechnen, daß der Kurzname Gamma aus derselben Zeit stammt, in welcher die beiden alexandrinischen Buchstabennamen geprägt wurden. Der etwas schwerverständlichen Erläuterung, welche Democydes zu dem Kurznamen gibt, braucht vielleicht zunächst keine besondere Bedeutung beigelezt zu werden [83]. Im vorliegenden Zusammenhange ist also nur die Feststellung von Wichtigkeit, daß man irgendwann Pythagoras mit dem Buchstaben Gamma bezeichnet hat, denn diese Buchstabenbezeichnung reiht sich dem Beta für Eratosthenes und dem Epsilon für Apollonius zwanglos an. Man wird also zu crmittelu haben, ob das Gamma auf dem gleichen Wege aufgeklärt werden kann wie die beiden anderen Buchstaben [84]. Wenn man sich nun fragt, durch welche mathematische Tat der Samier Pythagoras (etwa 582-500 v. Chr.) so berühmt geworden ist, daß jedes Schulkind seinen Namen kennt, dann ist das zweifellos die Aufstellung des Lehrsutzes, Cer noch heu‘e seinen Namen trägt, dessen Grundlagen er aber höchstwahrscheinlich von den Babylonieen entlehnt hat (85). Dieser ,,pythagoreische Lehrsatz' besagt bekanntermaßen, daß im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der quadratseite zeigen das Bild eines Die Wahrscheinlichkeit, Chennus überlieferte daß die von Verwendung des Gamma Ptolemacus Gamma als Semeion fir Pythagoras auf die bildliche Darstellung des wohlbekannten pythagoreischen Lehrsatzes zurückzuführen sei, ist also nach dem geometrischen Bilde des rechtwinkligen Dreiecks ohne weiteres verständlich. Dann ist es aber auch möglich, den Sinn des einleitenden Satzes des Demokydes abzuleiten. Pythagoras hat sieh näinlien augenscheinlich auch bemüht, diejenigen ganzzahligen Werte auszurechnen, für welche seine Gleichung a? + h?=e? gilt [87]. Nachdem ihin die Lösung dieser Aufgabe in einigen Fällen gegliiekt war und nachdem er alle dabei gefundenen Zahlen aufgezeichnet hatte, erhielt er nach clieser Auffassung im Hinblick anf die groBe Bedeutung des so einpriigsam belegten mathematischen Lehrsatzes und zugleich im Rahmen seiner sonstigen Pflege der Zahlenmystil [88] [79] Photius: Bibliotheca (vgl. [59]), cod. CXC, 151b, [80] Chatzis: le. (vgl. [58]), V. 33 (p. 38). [81} Herodotus: Hist, TIL. 125—137. [82] Suidas: Lexicon, lit. 4 442, [88] Heath: Le. (vel. (171), T. p. 80, 1. [$+] Ergänzend sei daran erinnert, daß auch für die kyzikenische Hetäre Herpyllis der Beiname Gamma üherlicfert ist (Ptolemaeus Chennus, Nor. hist., V. 27); in diesem Falle handelt es sich aber mit großer Wahrscheinliehkeit um eine Fehlschreibung (Marquardt, Cyzieus usw., 1836. 180 a) des galatischen Frauennamens Kanıma (Plutarchus, Mul. virt., NX; Amat. tib., XXII; Polvaenus, Strateg., VIII. 39), über welchen Holder (Alt.celt. Sprachsch. I. 1896. 721) unter Camma Näheres berichtet. [85] Als überzeugsnden Beleg für das Vertrautsein der alten Babylonier mit dem pythagorcischen Lehrsatz zieht, van der Waerden (1956, 5. 122-—123) den altbabyrlonischen Text BM 85.196 (9. Vs. IT. 7—16) etwa aus kassitischer Zeit heran (nach Neugebauer, Mathematische Keilschrifttexte, Bild 3 Schema für die Ableitung des Summenquadrates zweier Quarlrate nach Pythagoras. Die beiden dureh beigesetzte Strichellinien hervorgehobenen, als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks dienenden Teilquadratseiten über der als Hypotenuse erscheinenden Summen- 1933. 11.47 und 53) und ergänzt seine Angabe durch den Text BM 34.568 (12, Vs. IL. 17-—24) aus seleukidischer Zeit (nach Neugebauer le. 1937, II, 18 und 22). Die Vermutung, daß auch die alten Ägypter den pythaygorvisehen Lehrsatz gekannt hätten (z.B. Heath 1921. T. 122). lehnt er auf Grund dee Tatsache ab (1958, 18), daß cine diesbezügliche altägyptische Uber. lisforung noch nicht ermittelt werden konnte. das Semeion Gamma. Das Gamma gewinnt nun in seiner Anwendung als Semeion für Pythagoras noch eine andere Bedeutung, weil die Dreizahl in der pythagoreischen Lehre eine wichtige Rolle spielte. So berichtet Aristoteles [89] ausdrücklich, daß nach Ansicht der Pythagoreer in Anlehnung an dio Dreizahl der Dimensionen alles durch die Drei bestimmt sei, und eine Fülle von Überlieferungen weist in entsprechender Richtung. Ergänzend sei an dieser Stelle nur bemerkt, daß nach Joannes Lydus (etwa 490-562/65 n. Chr.) „die Prthagoreer unter den Zahlen die Triade, [86] Diogenes Laertius: Le. (vel. (34]), VUL 1.2. [87] Heath: loc. (vgl. [17}), I, p. 80 und 146, [88] Jamblichus: Theologumena arithmetieur, — Edid. Fridericus Artius, Lipsiae 1817. (89) Aristotrles: De caelo, I. I, 2tiSa.

unter den schematischen Figuren aber das rechtwinklige Dreieck als das Symbol alles Werdens ansehen‘ [90]. Durch das Buchstabenbild des Gamma wurde also nicht nur das pythagoreische Dreieck seller augenfällig dargestellt, sondern zugleieh auch die wohl von den Agyptern und den Babyluniern übernommene mystische Bedentung der Drriheit überhaupt, welche in so mannigfacher Porm im Schriftrum tiberliefert ist. Der Gedanke allerdings, daß Pythagoras wegen seiner hohen Bewertung der Dreizahl mit dem Semeinn Gamma Zusammenfassung Die vorstehenden Brörterungen suchen darzulegen, daß die beiden Buchstaben £ und e, welche als besondere Kennzeichen den Namen zweier berühtnter alexandrinischer Celehrten beigefügt wurden, als Bildzeichen zu verstehen sind. Diese Bildzeichen beziehen sich offenbar auf diejenigen geometrischen Figuren, welche die bedeutungsvollsten Leistungen der beiden Mathematiker und Astronomen erläutern. Bei Eratosthenes von Cyrene handelt es sich des üblichen Alphabets ist, erscheint weder mit der Überum das Schema für die Errechnung des Erdumfanges auf Grund von Sonnenstandsmessungen mit Gnomon und lieferung von Ptolemaeus Chennus noch mit denjenigen von Aristoteles und Joannes Lydus vereinbar. Wohl aber weisen die Worte des letzteren unmittel- Perge handelt es sich um das Schema für die Ableitung der scheinbaren Planetenbahnen am Himmel mit Hilfe ausgezeichnet worden sei, weil dieses der dritte Buchstabe bar auf eine bildmäßige Analyse hin. Stellt man nun diese Betrachtungsweise wieder in den Vordergrund, so kommt man sofort zu einem brauchbaren Zusammenklang. Die von Joannes Tydus erwähnte unmittelbare Verknüpfung des Trinitätsgedankens mit dem rechtwinkligen Dreieck tritt nämlich besonders klar hervor, wenn Plutarchus in seiner Schrift uber Isis und Osis [91] bei der Erwähnung cles ,,gamelion diagramma, des als .Geburisdreieck oder Ehesymbol berühmten pythagoreischen Dreiecks mit den Seitenlängen drei, vier und fünf, die vertikale Kathete (3) als männlich, die horizontale (4) als weiblich und die sie verbindende Hypotenuse (5) als den Sprößling bezeichnet, wobei er als Sinnbild Skaphe in Alexandria und Syene. Bei Apollonius von der Epizykeltheorie, also durch die Annahme eines Zusammenspieles zweier Kreisbewegungen. Die Ableitung und Anerkennung der beiden als Kurznamen verwendeten Buchstaben erfolgte wahrscheinlich im Museion zu Alexandria. Vom Beta als dem Kurznamen für Eratosthenes Cyrenaeus wird ausdriicklich bezeugt, daß er von den Vorstehern des Museions eingeführt worden sei (Marcianus Heracleota fuBend auf Menippus Pergamenus). Das Epsilon für Apollonius Pergaeus, welcher etwa zur gleichen Zeit am gleichen Orte wirkte, wird wenigstens von einem Alexandriner (Ptolemaeus Chennus) überliefert und dürfte daher gleicher Herkunft sein. Der Zweck der Buchstabenwahl ist darin zu erblicken, dieser Dreiheit Osiris, Isis und den jungen Horus nennt. daß für Wort und Schrift eine bequeme Bezeichnung Damit wird es ohne weiteres selbstverständlich, daß cin Delta, das Sinnbild eines Dreiecks schlechthin, als geschaffen werden sollte, welche bei größter Kürze jeg- Semeion für Pythagoras gar nicht in Betracht kam. Außerdem ist zu bedenken, daß das Delta wegen einer bildhaften Sonderbedeutung, nämlich zur Kennzeichnung der regio pubica mulierum, wie sie Aristophanes [92] erwähnt, als Semeion für einen Philosophen weniger gecigniot war. Unter diesen Umständen erscheint es auch ersparbar, den Gedanken von Otfried Müller [93] wieder aufzugreifen, daß bei Ptolemaeus Chennus statt eines Gamma wohl ein Ypsilon zu lesen sei, weil Pythagoras den Lauf des menschlichen Lebens mit einem Y verglichen habe und weil das Y geradezu als gramma philosophon bezeichnet liche Verwechslung mit (den vielen) anderen Trägern der gleichen Eigennamen ausschloß. Die Bedeutung der Buchstabennamen war den Zeitgenossen der jeweiligen Namensträger oder der jeweiligen Namenspräger und ihren Schülern selbstverständlich wohlbekannt. Im Laufe der geschichtlichen Entwicklung riß dann aber, wie ja in der Regel, die Tradition auch im Museion selber ab. Der Charakter der Buchstabenbezeichnungen als sinnvoll gewählter Ehrennamen wurde mit der Zeit vergessen. An seine Stelle trat auf der einen Seite die den Epigonen näherliegende Deutung als Spitzname mit spöttischem oder herabsetzendem Beiklang, wie bei Eratosthenes (Suidas). Auf der anderen Seite wurde, wie bei Apolwurde (94). lonius geschehen, der Ehrenname fehlbezogen (Ptolemaeus Chennus) und verfiel daher als ungeeigmet der Das Semeion des Pythagoras ist also zweifellos als Vergessenheit. Gamma (1) zu lesen, und die bildhafte Deutung dieses Buchstabens wird unverkennbar durch die mystische Erläuterung noch ergänzt und gestützt. Der Versuch, sich in die Denkweise der Griechen einzufühlen, hat die Auffindung eines grundsätzlich neuen Weges zur Erklärung der Kurznamen Beta und Epsilon Auch in diesem Falle bewährt sich somit die Arbeitsfür Eratosthenes und Apollonius ermöglicht. Die hypothese, daß es jeweils die bildliche Darstellung einer Auslegung der beiden Kurznamen auf rein anschaulicher wesentlichen Errungenschaft ihrer Forschungen gewesen ist, welche den großen Mathematikern ihre Buchstabenbezeichnung eingetragen hat. (90) Joanne: Laurentius Lydus: Liber de mensihus, TI,8.= W.28. [DI Plurarchus: De Tside et Osirile, cap. 56, {92} Aristophanes, Lysistenta, vs. 151 [53] Roulez, Jos. Inu, Gisl.: Ptolemaci Hepbacstionis novarati historiarunı ete, exeerptn. — Lipsiae, Aspuisgrani ot Bruxellis ISSA Ip. 4, n. 0 und pe itis. rekt Peoebus Diadochus: In Fiitanis Titnaetin commentaria, IM, 225 D, Basis hat dabei zu ihrer Verknüpfung mit den Großtaten der beiden alexandrinischen Gelehrten geführt. Durch die Aufklärung einer mathematischerseits bisher unbeachtet gelassenen Bezeichnung von Pythagoras als Gamma (Ptolemaeus Chennus) werden die angestellten Überlegungen in vollem Umfange bestätigt. Die Tatsache, duB alle drei überlieferten BuchstabenSemeia großer Mathematiker mit Hilfe der gleichen Filfsannahme zwanglos aufgeklärt werden können, spricht dafür, daß diese Hilfsannahme richtig ist. Als bewiesen

kann dieschhe allerdings bislang noch nicht gelten, aber solange nichts Besseres zur Verfügung steht, vermag Marcianus Heracleenis, Epitome peripli maris interni. Lib. I, cap. 2 vielleicht die Annahine, daß die Wahl der Semeia in den vee vat pes” Exelvoy ‘Piozroodivns, bv B fra indheozy ol cod Mougelov mpocravtes, eo 5 . .. drei besprochenen Fällen mit Rücksicht auf das Aussehen des Buchstabenhildes erfolgt sei, zur Lösung eines alten Rätsels beizutragen. Zitiorte Quellen Anonymus, Chrestornathiaee Strabonis libris, Lib. I, cap. 20. Martialis, M. Valerius, Epigrarnmaton libri. Lib. V, ep. : Di Quod alpha dixi Corde, pasnulatorum Te nuper, aliqua cum iocarer in charta, Si forte bilem movit hic tibi versus, Dieas licebit beta me togatorum. "Ost 'EsucesSives obte tay dradiitov Fv ote vóv voral: Plato (Pseudo-), Rivales (Avsrzzocei). pihosupstuteay: 85 val Bijt a Bradeivo, ook Bevrepeld. pige 7 doray in À radon watdelg: Cap. IV = St. 135/136. Aristophanes, Lysistrata, Vs. 151. Yuuval mugler DERTA MAGRTETLAMEVIL... Aristoteles, De coelo. Lib. T, cap. 1 = B.268a. peel don; dì <4 wiv do’ By veh, <6 & El din éxizedov, 7b 8 èrì pix coun. val muckcadre 00% For Gro piyes Jos dri cò cà ls novi daro yao cuor zal of TlodsÈ révra volg sptol betere: Aristoteles, Ars rhetoriea. Lib. J, cap.5 = B. 1361 Db. (135 E) Soxets yap por Aya dou Eu 77 Ayaniy eloly of af rTudor meds cod Spaying À cos redento. zul vio èuzivo. zobrwv wiv delmoyrzı vati Th sobre Mx zul Sobtepni cio. mpeg udtode. tay” dv tows roroiziv ı Agyors zal zd orocanziv Anesyalschan vobz Brera roro zò rs füsvus" sv piv pdr eis Edveow meal cis réyuuz hereo, (136 A)+4 8: Sevrepaïu 8° Eyovras av dake registuas zal nos Ylyves dut meg) révra braxedy viva res) Odogopnxdre:veundróv stud pot Evdetuvood er. Cap. IX = St. 138. (138 D) móregov ov zal rest catica Adyausy, fon». (138 E) névrudior adrdv Os elurt val Unazgov nai Ev codrots ok Bzurepaiz Eyovra révrov Td) arhdcogoy zal Fosso slya... 242205 Tb =òx node Pet yew cò ot véouviv wey oby oby dda: robe cobs robe Ravens rivovs Zpkauov Exew vb ci Plinius Secundus, C., Naturalis historia. Lib. II, cap. 108, sect. 112, $ 247. ux... ob térrub or KEN totot, Ev, meds Plav zalrpds Tdyos Gua neoivuciv... Diogenes Laertius, Vitae philosophorum. Lib, IX, cap. 7 (Democritus). „val Fy Gs deeds by oiocogly mérrañioc hero yas a goewd val tà we DIL val ra padqpatina zul cobs éyrvrMou: you zal real Teyvövnäcav clyev Eureiplav. Dionysius Cyzicenus, In Eratosthenem. Anthol. Palat. Lib. VIL. epigr. 78. ... dinga pepmuvious, Epuréodevec:. Helladius Besantinous, Chrestomathiae. (Lib. II) = B. 1584. Ert, prol, (KuytXuv) rod Protos Kopivdou 5 wine, rovi (win Hevlovag Suykrro) 82 Apolovos, uodoBarépe oxdQousa tO Eri:o noll, Ad Pda èundzizo. universum autem cireuttum [lerrac] Fratosthenes, in omnium quidem Litterarum subtilitate, sed in hae utique practer ceteros sollers, quem cunctis probari video, COLIT milion stadiorum prodidit, ...improbum ausum, verum ita subtili argumentatione conprehensum ut pudeat non credere. Lib. VI, cap. 29, sect. 34, § 171. .… res ingentis exempli locusque subiilitatis immensae, mundo ibi deprehenso, cum indubitata ratione umbrarum Érarosthenzs mensurani terrae piodere inde conceperit. Plutarchus, De Iside et Osiride. Cap. 56. ... Aiyorrious 8 dv 719 eiudoere cov TROY TE ANT UINGTI TOTO Thy TOD zavrds bou dun uooivia: © zal Dace 2 éy <7 Tlodicetz Bonet vore mpaorg; 1, TO Yauhhios dkYEXUUX GUYTÉTT ov. Eye à éxeive cò| ephyeaven zerv thy mpds Öadtav, zal Terrdpov Thy Bow, zal névee chy Srorstyovesy, Hippolytus, Refutatio omnium haeresium. Lib. IV, cap. 10. Tlegt ced vas 82 20294 76 rpôresov rà Lev oÖv dnoonhuata zal Bin vay coushy chbres ’Apyiufône drodidwa, éréoes Sì trip br ‘Innasye eignen zal evéows Arohhuvie co pad,purızö. Joannes Laurentius Lydus, De mensibus. Cap. TI, $ 8 = W. 28. iov calc mepreyoboarg duvautvav. eluuoriov ou thy piv mods dpdac dpoqu, Thv DE dow Onkelz, chy 82 Ozorelunsarr dyooty Éyyéve, zal chy piv “Ootow os deri thy 88 “low ds brodozy, Tov SE "Opov de érorékecux" Plutarchus, Mulierum virtutes. Cap. XX, Kauue. "Hoav év Paducle Duvxroraror Tv Tetpupyov... oy è Etvéros yusuiza ras Dévoy Eoye, Kd nn ar vous, ... ol IluBayogziorvprdòu piv Ev dorduotz, Ev De oxhuxot 7d 590yayıov velywvey ÖrortBevrar ororpetov THs TV Ehv yevéczw:. Lucianus Samosatensis, Longaevi (Maxpófrot.). sf Ne + on tw à. 228. Dezuussimey dì prets ubi è Aud Kusnyato: SI 0) Lore Tears EIN: mato ky wis bvondeste, aut vi gtrdacos url yewuivenv, din zal saeSoipenve odrog Einaev&r Ptolemaeus(Hephaestionis) Chennus Nova historia. _ Lib. V = B.151b = Ch. $$ 25—33. (26.) l'œxépros 82 Kedaoos, è yırlasyos 6 èrì TrSestou Kaloxeos. urMapyos Bajru éuxdsize, Wis oes yrduevos, 6 8%, Bartzioy zaeraücıv ‘Puyzior. (27) Kot ‘Epruaats 82 4 Kuranyi] grupo Pd nua.

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