La these des neo-pythagoriciens sur les rapports musicaux, invalidee par leur propre methode experimentale

Volume 50 La thése des néo-pythagoriciens sur lesrapports musicaux, invalidée par leur propre méthode expérimentale par R. Tanner Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique du C.N.R.S. F-13277 Marseille Cedex 9 Sommaire Dans les démonstrations d'articles antérieurs, la démonstration directe de l’erreur d'interprétation des expériences néo-pythagoriciennes n'avait jamais été faite. La démonstration du présent exposé offre précisément cette particulnrité remarquable, c'est-à-dire qu'elle a été faite en utilisant la méthode même des néo-pythagoriciens. Simultanément cette démonstration constitue une confirmation nouvelle de la théorie des psycharithmes. Les expériences néo-pythagoriciennes s'appuyaient principalement sur la méthode du choix entre échelles musicales. On a done repris cette méthode, mais en introduisant, parmi les échelles présentées au choix des sujets, une échelle artificielle conservant la valeur 5/4 à la tierce ut-mi mais divisant cette tierce en deux intervalles égaux (nt-ré et ré-mi) de valeur (5/4)1/2. Cela a permis de montrer (directement) que les préférences pour Péchelle pythagoricienne, dans les expériences anciennes, n'étaient dues à rien d'autre que l'égalité des tons. Un second but des expériences présentées ici a été de vérifier une prévision assez paradoxale de la théorie des psycharithmes: l'échelle artificielle ut = 1, ré = (5/4)1/2, mi = 5/4, une fois fausse selon Ja conception zarlinienne (pour laquelle ré = 9/8) et deux fois fausse selon la conception pythagoricienne (pour laquelle ré = 9/8 et mi = (9/8)?) devrait être jugée plus juste que l'échelle zarlinienne et aussi juste que l'échelle pythagoricienne, ce qui correspond bien aux résultats des présentes expériences. ° L’article contient également un rappel substantiel de la théorie des psycharithmes. Cela permet de montrer en détails comment cette théorie mène d’une part aux expériences utilisant la «méthode de courbes (expériences présentées dans un article antérieur d’Acustica) et d'autre part à une reprise, comme ici, de la «méthode de choix» entre échelles. Die These der Neopythagoraner über musikalische Verhältnisse, widerlegt durch ihre eigene Versuchsmethode LTANRE. =ao Vea. Zusammenfassung In früheren Beiträgen ist bislang der Interpretationsfehler bei neopythagoräischen Versuchen nie direkt demonstriert worden. Die Demonstration vorliegender Arbeit bietet gerade die merkwürdige Besonderheit, daß sie sich derselben Methode bedient wie die Neopythagoraner. Zugleich bedeutet diese Demonstration eine neue Bestätigung der Psycharithmentheorie. Die Experimente der Neopythagoraner stützen sich grundsätzlich auf die Methode der Auswahl zwischen verschiedenen Tonskalen. Diese Methode wird hier also aufgegriffen; allerdings wird unter die den Versuchspersonen zur Auswahl angebotenen Tonleitern eine künstliche Tonleiter eingefügt. Diese behält den Wert 5/4 für die Terz c—e bei, teilt diese aber in zwei gleiche Intervalle (c—d und d—c) mit dem Wert (5/4)!/2. So ist (direkt) bewiesen worden, daß in den früheren Experimenten die pythagoräische Skala nur wegen der Tongleichheit gewählt worden war. Zweites Ziel der hier vorgestellten Versuche war es, eine ziemlich paradoxe Vorhersage der Psycharithmentheorie zu verifizieren: die künstliche Tonskala c= 1, d= (5/4)!/2 und e= 5/4, die einerseita bezüglich der Zarlinoschen Konzeption (für die d= 9/8), andererseits bezüglich der pythagoräischen Konzeption (für die d= 9/8 und e = (9/8)?) falsch ist, sollte als reiner beurteilt werden als die Zarlinosche Tonskala und ebenso rein wie die pythagoräische Skala. Dies entspricht recht gut den Ergebnissen der vorliegenden Versuche. Der Artikel ist zugleich eine wesentliche Stütze der Psycharithmentheorie. Er zeigt im einzelnen, wie diese Theorie einerseits zu Versuchen nach der „Kurvenmethode“ führt (Versuche,

Vol. 50 (1982) die in einem früheren Acustica-Artikel dargestellt sind), und andererseits — wie hier — zu einem Rückgriff auf die Methode der „Auswahl von Tonskalen“. The Neo-Pythagorician Theory of Musical Ratios Disproved by by thetr own Experimental Method Summary Among the proofs given in the previous articles, it has never before been directly proved that the experiments of the Pythagoreans were based on a misinterpretation. The proof given here is particularly outstanding in that it follows the same procedure to that used by the Pythagoreans themselves. At the same time, it provides further confirmation of the theory of psycharithma. The Neo-Pythugorean experiments depended chiefly on the method consisting of a choice among different musical scales. This method has been adapted by introducing an artificial scale among those presented to the subjects. In this scale, the third c—e is still given the value 5/4, but it is subdivied into two equal intervals (c—d and d—e) having the values (5/4)1/2. It has thus been possible to prove directly that the preferences for the Pythagorean scale expressed in earlier experiments were purely due to the equal tone-intervals. The second aim of the experiments described here was to test a rather paradoxical prediction arising from the psycharithm theory: there, the artificial scale c= 1, d= (5/4), e= 5/4, with which Zarlinian theory (according to which d=9/8) and Pythagorean theory (according to which d= 9/8 and e = (9/8)*) both disagree, is claimed to be truer than the Zarlinian scale and as true as the Pythagorean scale. This was precisely confirmed by the results of the present experiments. The paper also provides a substantial outline of the theory of psycharithms. 1t is shown in detail how this theory leads on the one hand to experiments using the “curve method" (these experiments have been described in an earlier Acustica article), and on the other hand to a revival of the method involving choice-making among different musical scales. 1. Introduction 1.1. Pythagore Le titre de cet article ne doit pas laisser croire à une mésestimation du génie de Pythagore. Certes Pythagore (ou le groupe Pythagore) n’a pas résolu le problème de l’origine des intervalles musicaux; de plus il a limité arbitrairement au nombre 3 les facteurs de composition des intervalles. Cependant, ses découvertes à son époque méritent toute notre admiration; et elles la méritent d’autant plus qu’il était alors plus près de la solution que, plus de 20 siècles plus tard, les acousticiens des théories des harmoniques ou de la «résonance», qui croyaient ouvrir l’ère de la musicologie scientifique. En effet, en créant ces théories faussement explicatives et faussement scientifiques [1], ces musicologues se sont carrément égarés. Pythagore, lui, ne propose aucune théorie explicative! de l’intervention des nombres entiers dans la constitution des intervalles. Or mieux vaui l'absence de théorie explicative qu’une théorie fausse. Pythagore était dans la voie de la solution et il l’avait ouverte; par rapport à celà, les théories des harmoniques, engagées dans une impasse pseudoscientifique, au lieu d’un progrès ont marqué un recul. 1 Sa métaphysique ne saurait être considérée comme telle, et il convient ici de simplement l’ignorer en tant qu'ascientifique. 1.2. Objet de cet article Les expériences décrites dans cet article s’integrent dans un ensemble très synthétique qui a débuté par deux grands groupes d’expériences, l’un sur la fonction harmonique des intervalles et leur valeur théorique exacte, l’autre sur leur fonction mélodique. Ces deux groupes ont fait l’objet de publications antérieures d’Acustica: «Le problème des «deux tierces” (Pythagore ou Zarlino). Sa solution psycharithmétique et expérimentale» [2]; «La fonction et la justesse mélodiques des intervalles» [3]. Leurs résultats seront rappelés en temps utile. L’un des buts du présent ou troisiéme groupe d’experiences a été de parachever les démonstrations déja apportées par les deux premiers. Tout cet ensemble expérimental se trouve luiméme en liaison étroite avec la théorie psycharithmétique de la musique. Il permet de la confirmer par la vérification de certaines conséquences importantes, là où les données de l’expérience musicale directe n’y suffisent pas, et où par conséquent l’expérimentation en laboratoire offre cette utilité certes d'apporter des preuves tangibles supplémentaires, souvent reques comme plus convaincantes que le raisonnement pur à partir des données directes de la musique (même suivi de vérification dans ce même ensemble de données). Cependant, on ne saurait trop souligner que l’essentiel de l’investigation scientifique ne se fait pas

Vol. 50 (1982) 3 en laboratoire, mais par la réflexion sur ce que sont fois leur propre méthode les phenomenes tels qu ils s’offrent 4 nous. Aussi ces de choix entre échelle musicales). (celle, classique, preuves supplémentaires, obtenues par l’experimentation, ne doivent-elles jamais faire perdre de vue le 2.1. Les expériences des néo-pythagoriciens caractère primordial des données directes de la mu- (méthode de choix entre échelles) sique, ni surtout leur caractère décisoire et à lui seul suffisant pour la détermination de l’essentiel des conceptions théoriques (cf. [4]). S’il n’en avait été ainsi, d’abord l’assise scientifique eût manqué pour seulement concevoir les trois groupes d'expériences. Surtout les résultats prévus par la théorie, en dépit de leur apparence paradoxale, voire d'«impossibilité», n'auraient pas été obtenus. Pour le dernier groupe en particulier, on verra effectivement que son but principal a été, plus qu’une simple confirmation, Ja mise à l’épreuve de la théorie psycharithmétique de la musique dans ses conséquences apparemment les plus inacceptables selon les vues traditionnelles. Dans ces conditions, l'intérêt de l’expérimentation se trouve sans doute considérablement accru. Il reste que des résultats même spectaculaires ou les moins conformes aux idées reçues ne devraient étonner personne, à partir du moment où une théorie dûment fondée les a montrés pratiquement acquis d’avance. Pendant et aprés Ja période dominée par Jes travaux d’Helmholtz, la tendance générale a été d’admettre que les intervalles musicaux, avec les rapports qui les caractérisent, et conjointement leur propriété de plus ou moins grande consonance ou dissonance, s’expliquaient par les harmoniques du son complexe (théorie des harmoniques ou «de la résonance» sous ses diverses formes, en particulier théorie de Ja «fusion», ou de la coincidence partielle des harmoniques respectifs de deux sons composant un intervalle *). En corollaire, Popinion dominante était que la «gamme juste» est celle de Zarlin (rapports 1, 9/8, 5/4, 4/3, etc.) 4. A cette période en quelque sorte classique de «acoustique musicale» succéda une période relativement récente, où différents expérimentateurs (Cornu et Mercadier [6], Van Esbroeck et Montfort [5], Barkeschli [7], [8], [9], [10]), la plupart méme zarliniens à l’origine, crurent devoir conclure a la justesse de la gamme pythagoricienne® (rapports par puissances entières de 2 et de 3 uniquement: 1, 9/8, (9/8)?, 4/3, etc.). Une méthode type 1.3. Motivation théorique de ces expérimentateurs consistait à faire choisir à Pour décrire et expliquer les résultats du troisième des auditeurs entre plusieurs exécutions d’un même groupe d'expériences, il est donc nécessaire de rapmorceau, l’une selon l'échelle zarlinienne, une autre peler, d’une part et suriout, leur motivation selon l'échelle pythagoricienne, ou d'autres encore. théorique, d’autre part les résultats des expériences antérieures. 3 Sur Pinvalidité de la théorie des harmoniques, exhaus- Dans ce but on trouvera principalement, un peu plus Join (sous-titre 3), une sorte de récapitulatif sommaire des connaissances théoriques utiles ?. 2. Théories et expériences antérieures à la theorie des psycharithmes Mais en premier lieu, il faut rappeler les expériences du type Van Esbroeck et Montfort [5], par lesquelles certains auteurs avaient cru établir la preuve de la justesse de la gamme théorique pythagoricienne. L’originalité du troisième groupe d’experiences, tivement examinée a priori et a posteriori et sous toutes ses formes, v. [1]. 4 Tl faut noter que l'invalidité des diverses formes de théorie des harmoniques (cf. note précéd.) n’entraîne pas la fausseté de la gamme de Zarlin. Elle prouve seulement que l'explication, tentée par ces théories, des rapports de cette gamme à supposer qu'elle soit juste (ou à plus forte raison de la vraie «gamme juste» à supposer qu'elle soit fausse ou en partie fausse) n’est pas valable, Par contre, la validité de la théorie des harmoniques (si elle avait été valide) eût entraîné la justesse de la gamme de Zarlin, ou sinon de cette gamme, du moins d'une gamme plus ou moins comparable mais plus difficilement soutenable, notamment la gamme dite «naturelles. Celle-ci ne diffère de la précédente (exceptionnellement pour deux notes: fa et Ja dans la gamme d’ut) que par la manière dont par rapport aux deux premiers, consiste en effet a on peut prétendre «déduire», des harmoniques, la valeur démontrer simultanément la validité des conséquences de la théorie psycharithmetique ei l’invalidité de la conclusion de ces auteurs, en réemployant cette des intervalles. 5 Ou encore (conception amixte») à l'existence de deux 2 Pour le fondemend expérimental et logique de la nogammes exactes: l'une pour les sons simultanés, celle de Zarlin et dite alors harmonique» (improprement puisque l'harmonie musicale affecte tout également les sons simultanés et successifs); l’autre pour les sons successifs, celle tion de psycharithme, v. [4]. (Pour le detail de l'écriture des psycharithmes, v. également [4], p. 95, et [2], p. 338, de Pythagore et dite «mélodique». Des trois conceptions (zarlinienne, pythagoricienne, smixte»), la dernière était d'emblée la moins soutenable (cf. [3], p. 265, n. 8).

Vol. 50 (1982) Mis à part le tempérament égal S, le résultat, dans prietes du psycharithme rendent compte des trois l’ensemble, a été une nette préférence pour l'échelle propriétés de l’intervalle: pythagoricienne. (Malgré cela, le débat entre pythagoriciens et zarliniens s’est poursuivi jusqu'à nos jours, avec argumentation expérimentale — valable ou non? — des deux côtés.) 3. Base théorique des trois groupes d’expériences fondées sur la connaissanee des psycharithmes Cette base théorique a déjà été résumée de façon relativement d’Acustica détaillée dans le précédent article ([3]: pp. 260-262). On pourra s’y reporter pour plus de précision sur les notions initiales (propriétés de l'intervalle, fonction harmo- 1) La propriété de consonance (ou dissonance) provient de la propriété de complexité du psycharithme. (La complexité — et par suite ia dissonance — sont d’autant plus grandes que les facteurs qui composent le psycharithme sont plus grands, plus nombreux, ou aflectés de puissances plus élevées en valeur absolue [4].) 2) La propriété de grandeur de l'intervalle provient simplement de la propriéte secondaire de «grandeur» du psycharithme (valeur effectuée du produit orienté définissant le psycharithme, et qui s’identifie au rapport de fréquence [4]). 3) Enfin la propriété qualitative de l’intervalle s’explique par la propriété paradoxale de difnique et mélodique, leur provenance psycharithméférenciation tique) — ou mieux bien entendu aux publications mes [12]. (Cette troisième propriété n'est citée ici indiquées en annexe à cet article ou au texte qui suit. que pour mémoire, car elle n’interviendra pas dans qualitative des psycharithle travail qui va nous occuper.) 3.1. Propriétés du psycharithme et de l'intervalle 3.1.1. Harmonie et mélodie musical L'intervalle musical est un psycharithme entre La consonance de l'intervalle (avec sa propriété fréquences. Autrement dit ce qui fait l’essence musiqualitative) constitue sa propriété cale d’une quinte par exemple, ou d’un ensemble de la grandeur est sa propriété mélodique. harmonique; deux sons de fréquences 200 et 300, ce n’est pas à -Soulignons une fois de plus que d’après ce qui proprement parler leur rapport de fréquence (ici précède (et conformément à l'expérience), les pro- 3/2), mais un psycharithme correspondant à ce rapport (ici 3-21). (Suivant la définition génésont pas respectivement liées à la simultanéité et à rale du psycharithme, c’est donc un acte opérala succession. Elles proviennent des propriétés génétoire, consistant en une suite d'opérations de mulorienté de facteurs premiers affectés de puissances rales (indépendantes du temps) du psycharithme. Toutefois, la propriété grandeur ne devient expressive que dans le temps, sous forme du dessin méloentières positives ou négatives, [4].) dique. liplication ou division, et défini par un produit Un rapport n’est qu’un nombre; or le psycharithme possède des propriétés que ne possède pas le nombre: complexité, grandeur (seule propriété commune avec le nombre), différenciation qualitative. Tant qu’on a considéré seulement l'intervalle comme lié au rapport, ses propriétés (ou plus généralement les lois de la musique) n’ont pas trouvé d’explication. Au contraire, les trois pro6 Qu'on s'accorde à considérer comme une sorte de «compromis» qui de toute évidence ne saurait répondre à la question des rapports théoriques exacts. 7 En fait non valable, ceci a déjà été démontré: dans [4] et [1] (plus spécialement pour la conception zarlinienne et la théorie des harmoniques), et dans Acustica (11), [2], [3] (soit pour l’ensemble des deux conceptions, soit plus spécialement pour la conception pythagoricienne). Un malheureux concours de circonstances a fait que la publication [2], dont les dernières épreuves n’ont pu être corrigées par l’auteur, contient d'importantes fautes qui rendent parfois le texte inintelligible. L'auteur tient des tirés & part corrigés à disposition de tout lecteur intéressé. priétés harmoniques et mélodiques de l'intervalle ne 3.2. Justesse harmonique et justesse mélodique Dans les conceptions traditionnelles, les intervalles de la gamme ont des valeurs exactes fixes, déterminées par un facteur unique. Il y a désaccord sur ce facteur, et par conséquent sur ces valeurs, selon les conceptions (principalement zarlinienne: valeurs tirées des harmoniques du son complexe; pythagoricienne: valeurs uniquement déterminées par des puissances de 2 et de 3 — cf. plus haut). La théorie psycharithmétique rejette cette idée d'une gamme juste fixe, commune aux conceptions traditionnelles malgré leur désaccord. Elle la rejette comme d’ailleurs la rejette déjà une simple analyse objective des données directes de la musique [11]. Dans cette théorie les valeurs dépendent des fonctions des notes et intervalles dans le contexte musical (par exemple fonction sous-dominante ou fonction septième de dominante pour la même note fa dans la gamme d’ut), et ces fonctions sont chaque fois déter-

Vol, 50 (1982) 5 un intervalle donne et dans un contexte donné, le tervalles (telle que 3/2 pour la quinte, 5/4 ou 81/64 pour la tierce, etc.). Cette réalité foncière, sentiment minées par les psycharithmes qui interviennent. Pour de justesse est déterminé par le évidemment, ne pouvait s’élucider lorsqu'on ne dis- Ilya cernait pas les deux composantes de la justesse. par suite deux facteurs de justesse: un facteur Mais, soulignons-le entre parenthèses, elle le pouvait harmonique, lié au psycharithme proprement encore moins en identifiant, de surcroît, «harmonipsycharithme et ses -jropriétés. dit avec sa propriété de complexité entrainant la que» à simultané. consonance (ce facteur intervient pour les sons si- Par contre, la justification théorique et expérimultanés el successifs) ; un facteur mélodique, mentale de tout ce qui précède est maintenant facile lié à la propriété secondaire de «grandeur» du psyà comprendre: s’il n’y avait pas Ja fonction harmocharithme. nique (distincte de la fonction mélodique comme ex- La justesse harmonique est satisfaite le rapport (a la valeur de marge fréquence de effectuée tolérance du lorsque correspond près) produit à la pliqué par les propriétés du psycharithme), s’il n’y avait pas, parallèlement, une justesse harmonique, dans son principe distincte de la justesse mélodique, orienté il n’y aurait aucune raison pour que les intervalles définissant le psycharithme?; la justesse de l'échelle musicale ne soient pas tous égaux, et la mélodique (grandeur du rapport de fréquence) est maximum lorsque Jes intervalles s’inscrivent dans une échelle réguliére (2”'12, avec n entier compris entre 1 et 12). La tolérance harmonique permet cette échelle réquestion des «valeurs théoriques exactes», depuis gulière. 3.3. La notion de «valeur théorique exacte des intervalles» Voici maintenant comment s’élucide la question Pantiquité, ne se serait même pas posée. 3.3.1. Exemples de provenance psycharithmétique des valeurs théoriques exactes des intervalles Pour concrétiser ce qui précède, voici quelques exemples de la provenance psycharithmétique des valeurs théoriques exactes des intervalles: a) Pour l'intervalle de quinte (ut-sol), rapport des «valeurs théoriques exactes» des intervalles. 3/2, provenant du psycharithme 3 -2”!. En pratique, la justesse harmonique et la justesse mélodique peuvent être considérées comme d'égale importance, car toutes deux font partie intégrante de b,) Pour la tierce (ut-mi), rapport 5/4 si le psycharithme qui intervient est le psycharithme 5-27?. la musique (comme les propriétés du psycharithme sont inséparables du psycharithme lui-même). Cependant, la justesse harmonique est expérimentalement principale en ce sens que l'harmonie est spécifiquement musicale; elle l’est aussi en théorie en ce sens qu’elle est directement reliée au psycharithme. La justesse mélodique est secondaire en ce sens que la fonction mélodique n’est pas de nature spécifiquement musicale (cf. arabesque dans le dessin, etc.), et que parallèlement elle ne dérive que d’une bs) Pour cette même tierce (ut-mi), rapport 81/64 (voisin de 5/4 = 80/64) dansl’éventualité de l’intervention d'un psycharithme 34-27, ou dans le cas? d’un enchainement de quatre psycharithmes 3*!-2”. bs) Pour la même tierce toujours, à la fois les deux rapports précédents (confondus en un seul sans que, pour autant, les psycharithmes cessent d’étre distincts), s’il y a phénomène d’«identification par tolérance» (voir plus loin Fig. 2; cf. également [11], et [2] réf. note précéd.). propriété secondaire (la «grandeur») non spécifique c) Même rapport 2 pour le psycharithme 2 (fonction octave de tonique) ou 371:3-2 (quinte de sousdu psycharithme. dominante) (voir plus loin.Fig. 1). C’est à la justesse harmonique (et non à la justesse tout court) qu'il faut rattacher la notion de «valeur théorique» exacte des ind,) Pour l’ensemble objectif ut-mib-sol, à partir de la fondamentale ut (accord parfait mineur dans 8 Sans quoi évidemment le psycharithme ne pourrait s'établir entre les deux fréquences (c'est-à-dire ne pourrait exister). Ce qu'il faut toutefois bien comprendre, c’est qu'ici (c’est-à-dire pour la fonction et justesse harmonique et In consonance) la valeur numérique de ce rapport en tant que grandeur n'intervient pas, mais seulement le fait que ce rapport soit tel que les deux fréquences se prêtent à être reliées par l'acte opératoire défini par le psycharithme. : notre musique), rapports 1, 6/5, 3/2, provenant des psycharithmes T, 3-571-2, 3-27. d,) Pour le même ensemble objectif, à partir de la fondamentale sol (accord parfait majeur dans la 9 C'est le cas du retour classique à la tonique (à partir d'une fondamentale mi en ut) par une «marche harmonique descendante» (fondamentales successives mi-la-ré-sol-ut) de quatre quintes (ou quartes), chacune do fonction 3-1 - 21 (n= 1 ou 2 alternativement) (cf. [2], pp. 338—339).

musique antique grecque), rapports 1,4/5, 2/3, Vol. 50 (1982) 3.4.1. Importance de la variabilité des provenant des psycharithmes T , 57!-2*, 371-2 (voir psycharithmes mis entre sons [4], 3" partie, et [13]) *, par Dans les deux derniers exemples, la rence de perception musicale diffe(accord objective des deux accords malgré cette différence (musicalement ou psychologiquement catégorique: caraciére «gai» du majeur — que ce soil pour les Grecs dans leur «langage» musical ou pour nous dans le nôtre — et «triste» du mineur) vient de ce que les rapports relatifs (issus des psycharithmes) évidemment sont les mémes dans les deux cas: par exemple, pour le rapport sol/mib: (3/2) / (6/5) (pour nous cf. d,) = 1/(4/5) (pour les Grecs cf. ds) =5/4. On voit ici à quel point l'important — l'essence même de la musique — est dans les psycharithmes et non dans les rapports. mentale ou en de leur syndes musiques radicalement différentes malgré mineur pour nous, majeur pour les Grecs) provient de la difference des psycharithmes; Pidentité le cerveau, thèse leur identité objective Si on ne comprend pas que tout, en musique, est dans les psycharithmes et non dans les rapports, que la musique différer selon même les si peut les rapports radicalement psycharithmes ou noles sont les mêmes, on ne peut à proprement parler rien comprendre au phénomène musical, même pas le plus facile, à savoir sa composante mélodique. Les Grecs, lorsqu'ils entendaient la suite de notes ut-mib-fa-sol (dessin mélodique ascendant pour nous) percevaient musicalement la même chose que nous lorsque nous entendons sol-mi-ré-ut (dessin mélodique descendant pour nous), c’est-à-dire que les 3.4. Liaisons psycharithmétiques différentes entre deux ou plusieurs sons objectifs donnés Grecs, lorsqu'ils entendaient vaient un ut-mib-fa-sol, percemouvement mélodique descendant (eten majeur de surcroit). (Cf. plus haut exemple d, qui ne se complique ici que de la présence Nous venons d’en voir plusieurs exemples: exemple c, le plus simple, d, plus compliqué mais ne soulevant pas de difficulté théorique particulière (ni exsupplémentaire de la note de passage fa. Cf. égalepérimentale: 60.) données historiques sur la musique grecque — cf. [4] et surtout [13]), enfin b, particulier et à mettre à part, parce qu'il fait intervenir le phénomène d’«identification par tolérance» (by). Nous reviendrons tout spécialement sur l’identification par tolérance el cet exemple bg . Avant cela, il faut considérer que la possibilité de liaisons psycharithmétiques différentes entre sons objectifs identiques est d’une telle importance, du point de vue de l'essence du phénomène musical, qu'elle mérite au moins qu’on s’y arrête un instant, et une ou deux illustrations supplémentaires. N.B. S'il n'y avait qu’une manière de relier les sons par des psycharithmes pour les faire devenir musique, l'importance de ces liaisons serait la même, car sans elles — qu’elles soient d’une sorte ou de plusieurs — il n’y aurait pas ment [4], 3" partie, et [13], notamment pp. +48 à Mais pour illustrer ce qui est ici expliqué, point n’est besoin d’invoquer les Grecs. I] suffit d’examiner ce qui se passe au sein de notre propre musique — en y ajoutant ou non ce qui se passerait si des Grecs étaient à notre place. Pour cela, on ne saurait mieux faire que de reprendre !! un exemple fort remarquable dans son extrême simplicité objective: celui des perceptions musicales possibles — quatre pour ne parler que des plus simples — d’un simple intervalle objectif de tierce, majeure ou mineure, ut-mi, ou mi-sol, ou mib-sol, etc. Choisissons de préférence mib-sol (ce qui d’une part nous rattachera à nouveau à l’exemple d, et de plus correspond au thème de la 5° symphonie de Beethoven). de musique. Voici ces quatre perceptions possibles: 1) simple L'importance particulière du second cas n'est que tierce majeure de tonique si la tierce objective mibsol est perçue en mib majeur; 2) accord parfait mid'ordre pratique ou psychologique, en ce qu’elle fait saisir de façon tangible cette genèse de la musique à partir de sons par eux-mêmes amusicaux. 10 Dans les exemples d; et de il est admis pour simplifier que la tierce majeure, pour nous ou les Grecs, correspond à l'un des deux psycharithmes 541 - 272, c'est-à-dire au cas by, et, par voie de conséquence, que la tierce mineure correspond aux psycharithmes 321 - 51. 241, Il en serait de façon analogue, pour la différence de perception musicale du même ensemble ut-mib-sol par les Grecs et par nous, si l'on supposait que les psycharithmes qui interviennent correspondent au cas be, ou encore ba. neur sans fondamentale (ut sous-entendu), si cette même tierce objective est perçue en ut mineur; 3) simple tierce majeure de tonique en système grec (c'est-à-dire avec sol, et non mib, comme fondamentale); 4) accord parfait mineur sans fondamentale (sib sous-entendu), si la tierce objective est perçue en sib mineur en systéme grec. La perception 2 correspond a la perception normale du théme de Beet- 11 Cf. [4], p. 85; cf. [1], pp. 85—88.

Vol, 50 (1982) hoven; la perception 1 est le cas le plus probable (car le plus simple) d’une personne qui entendrait la symphonie pour la première fois; les perceptions 3 et 4 (pour nous impossibles parce qu'inhibées par — ut L E physiques et physiologiques restent les chaque fois différents. Pour abréger nous laisserons lo fo mi F ut (NW) T par le nerf auditif. Mais les psycharithmes qui interviennent, le phénomène musical ou cérébral, sont ut (2) = | Grecs les équivalents respectifs de nos perceptions 1 et 2. Dans les quatre cas les sons entendus, les phémêmes jusqu'à l’oreille et transmission au cerveau (2X) sol notre culture musicale [4], [13]) sont pour les nomènes 7 Fig. 1. T: tonique: F: fondamentale; N: fréquence — 2: linison psycharithmétique des deux ut dans le premier au lecteur le soin d'établir quels sont ces psycharithaccord; 3-1-3-2: liaison psycharithmétique des deux mes dans les quatre cas mêmes ut au deuxième accord. Dans le premier accord, la (un seul psycharithme !? dans les cas 1 et 3, deux dans chacun des cas 2 et 4). Revenons maintenant à l’exemple b et plus particulièrement by, afin d’envisager intervention d'une identification par tolérance. Dans cet exemple b, (de même que b, et ba), nous nous étions naturellement placés (sans même le préciser) dans l’hypothèse la plus simple: celle où l'intervalle objectif considéré (tierce ut-mi) fail l’objet de la perception musicale la plus simple et la fondamentale est In tonique elle-même. La relation entre les deux ut, directe, est simplement le psycharithme 2. Dans le deuxième accord, la relation psycharithmétique entre les deux mêmes ut objectifs (fréquences N et 2N) passe pur la fondamentale F. Par suite, c'est la résultante de la fonction harmonique de cette fondamentale relativement à la tonique (soit 3-1 - 22), composée avec la fonetion dans l'accord de Put 2X relativement à cette même fondamentale (soit 3-2-1). Dans le deuxième accord, la fonction absolue ou relative à la tonique de l'ut 2X s'exprime donc au total par le psycharithme 371 - 3 - 2. plus spontanée, soit la perception d’une simple tierce majeure de tonique, en ut majeur. Cette perception correspond donc (à la transposition près de la tierce ut-mi à la tierce mib-sol) à la perception 1 de l'exemple précédent, à l’exelusion des perceptions 2, 3 et 4 que nous laisserons désormais de côté. Autrement dit, en revenant à l'exemple b et plus spécialement by pour l'identification par tolérance, nous allons maintenant reprendre le cas de cette perception 1 (simple tierce de tonique quelle que soit portance exceptionnelle de la tierce pour toutes les questions relatives à la justesse et aux rapports théoriques exacis, que cet intervalle a été choisi comme intervalle principal dans tous les groupes d’expériences el notamment celui qui va nous occuper. Pour expliquer cet exemple b (que complique la tolérance), il faut le ramener à un exemple de liaisons psycharithmétiques différentes sans intervenla tonalité), afin d'examiner de plus près ce qui s’y passe ou peut s’y passer. — (5/4)N # [mi] # (yo? -— 3.4.2. Intervention d’une identification par tolérance Cet exemple b — soit celui de liaisons psycharith- [5-27 3-78 métiques différentes entre deux notes à intervalle de tierce — est de première importance pour plusieurs raisons: rôle crucial de la tierce dans la conception de la gamme (débat pythagoricien-zarlinien) ; refus ut (N) de la théorie psycharithmétique de s’enfermer dans le pseudo-dilemme 5/4 ou (9/8)?, vu l'intervention possible — voire nécessaire dans certains contextes musicaux — des deux psycharithmes 5-27? et 31-278, ou du psycharithme 5-27? et d'un enchainement de Fig. 2. Identification par tolérance des deux valeurs théoriquatre psycharithmes 3*!-2* (cf. n. 9); enfin inter- (9/8)2, se prête aussi à la relation psycharithmétique 34- 2-6 vention d'une «identification par tolérance». C'est (* ou à une relation composée d'un enchainement de quatre pour toutes ces raisons, en un mol, à cause de l’imques 5/4 et (9/8)? en une tierce majeure musicalement unique. Le mi objectif, voisin dans la marge de tolérance du mi 5/4, se prête à la liaison psycharithmétique 5 - 2-2, Le méme mi objectif, voisin dans la marge de tolérance du mi psycharithmes 321 - 29, dans une «marche harmoniques classique par quintes, ascendante ou descendante). Les deux mi théoriques de valeur 5/4 et (9/8)* sont ainsi identifiés 12 Du moins l'admettra-t-on provisoirement, car cela est inexact si l'on tient compte de l'intervention possible d'une identification par tolérance. (V. sous-titre suiv.) en un seul. Mais les relations psycharithmétiques restent distinctes, comme dans le cas précédent

Vol, 50 (1982) tion de la tolérance, tel Pexemple c, qui y suffit et Pastérique de la légende); simplifié en ce sens même y excelle dans sa simplicité. qu'il n’explique nullement comment cette identifica- On peut ainsi, avec les deux schémas qui vont tion des mi 5/4 et (9/8)? est à la fois mathématiquesuivre (Fig. 1 pour l'ex. c; Fig. 2 pour Pex. b de la ment et psychologiquement possible. (Pour Pexplitierce), résumer en peu de mots tout ce qui a été ‘cation précise de ce processus psycho-mathématique longuement exposé dans des articles antérieurs. — bien plus subtil qu’il ne pourrait sembler a la (Pour l’«identification par tolérance» en général, seule vue de la Fig. 2 qui n’en indique que l’aboutisv. [11]. Pour ce même phénomène dans le cas sement — voir op. déjà cit:: [11], et [2] pp. 338 à particulier de la tierce qui nous intéresse, v. [2], 339 11.) pp. déjà cit.: 338 — 339.) 3.4.2.1. Liaisons psycharithmétiques différentes sans intervention de la tolérance (Ex. c) Oublions donc un instant la tolérance, et l’identi- 14 Comme il a été surabondamment montré ([4] et tout spécialement [1]), les harmoniques, leur «fusion» — ou au contraire leurs battements selon l'accordage et le système fication par tolérance qui peut en être la conséd'accordage — ne sont et ne pouvaient être à la base du phénomène musical. I] n'empêche que tout cela intervient quence. dans la qualité du son, de l'instrument et de l'exécution À un rapport donné correspondent par définition plusieurs psycharithmes possibles (théoriquement une infinité). Le psycharithme qui intervient est en général le moins complexe. Lorsque ce n’est pas le cas, l'intervention d’un psycharithme plus complexe est le plus souvent déterminé par le contexte musical. L'exemple très simple c (Fig. 1) est celui de l’intermusicale, et qu'en particulier les accordeurs se servent des battements pour l'accordage du piano et du clavecin. (Un tempérament quel qu'il soit est une nécessité, et tout tempérament entraîne des battements.) Cela dit, il n'est pas sans intérêt de noter ici que Kellner, dans un article récent [14], a proposé une reconstitution de la gamme bien tempérée de J.S. Bach, selon lui certaine, en tout cas extrêmement séduisante et plausible pour qui charithmes 2 et 371-3-2, correspondant tous deux n'est pas spécialement versé dans la numérologie mystique de l'époque (inséparable de vette question). Il est frappant de constater combien cette reconstitution de la gamme bien au méme rapport 2. tempérée d'une part, et d'autre part l'explication du phévention, dans deux accords successifs, des deux psynomène d'identification par tolérance dans le cadre de la 3.4.2.2. Liaisons psycharithmétiques différentes avec phénomène d’identification par tolérance (Ex. b) Cette même dualité (ou pluralité) de liaisons théorie psycharithmétique, pourtant parties de préoccupations pour ainsi dire complètement différentes, concordent. En particulier, il est remarquable que dans la tonalité centrale de ce système bien tempéré, celle d’ut, 4 quintes tempérées (ut-sol-ré-la-mi — tempérées à la valeur 1,4959 vai. sine de 3/2) remplissent la tierce, elle-même très voisine psycharithmétiques possibles entre deux sons donnés de 5/4 (et non de (9/8)? puisque tempérée à la valeur 1,2520 peut se réaliser dans des conditions un peu plus (qui se confond presque avec 5/4, alors que la tierce pythagoricienne correspond à 1,2656). Si tel a bien été le système compliquées, avec intervention d’une identification par tolérance. C’est ce qui se produit avec la tierce majeure ut-mi (Fig. 2), dont la valeur théorique exacte a prêté à tant de controverses depuis l’antiquité. Il faut noter que la Fig. 1 constituait simplement le schéma, si l’on peut dire fort «concret», d’un enbien tempéré de Bach — ou même seulement l'accordage de la tonalité centrale d’ut parmi toutes les autres — cela constituerait une illustration concrète de ce qui a étérexpliqué ici en theorie sur la double origine psycharithmétique de la tierce et l'identification par tolérance dans le cas de cet intervalle. (Bien entendu à supposer que telle n'ait pas été la gamme de Bach, cela ne change rien à ce qui est démontré dans le présent article ainsi que tous les | chainement d’accords tel qu’on peut le rencontrer textes cités. Mais il faut aussi remarquer que, quoi qu'il dans une partition musicale. en soit quant à Bach, l'idée de Kellner (bien qu'on puisse Par contre la Fig. 2 doit être considérée comme un schéma abstrait et simplifié: abstrait en ce sens qu'il peut s’appliquer, aussi bien qu’à une lui préférer le tempérament égal) est en soi ingénieuse, peut par suite se défendre indépendamment de Bach, et que des clavecinistes jouent, en toute satisfaction semble-t-il, depuis des années sur des instruments ainsi accordés.) simple tierce de sons simultanés (qu’il semble plus Il reste à souligner, à l'appui de la conception de Kellner. spécialement représenter), à une tierce entre fondaque celle-ci trouve, dans la théorie des psycharithmes commentales ou fondamentale et tonique plus ou moins éloignées (en particulier sous la forme rappelée par 13 Cet exposé, volontairement, explique le phénomène d'identification par tolérance indépendamment de toute théorie. On voit ainsi que ce n’est pas un accessoire nécessaire à la justification de la théorie psycharithmétique, mais une réalité qui s'impose même en dehors d'elle. plétée de l'explication du phénomène d'identification par tolérance, sa parfaite justification scientifique sur le plan musicologique général et essentiel de l’origine des intervalles {alors que cette même conception se heurte à la fois aux conceptions zarlinienne et pythagoricienne — ce qui n’est qu'à son avantage puisqu'elles ont été démontrées erronées). (Sur la même question des relations entre battements dans les accords et d'un point de vue plus général, v. égale. ment Janssens [15].)

Vol. 50 (1982) 9 4. Rappel des deux premiers groupes d’expériences constante entre les valeurs 5/4 et (9/8)?; justesse fondées sur la connaissance des psycharithmes décroissante en dega et au dela. (Cf. [2], Fig. 6, [3], Fig. 4 et 8.) 4.1. Expériences du 1° groupe: fonction et justesse harmoniques (principalement méthode «de 4.2. Expériences du 2* groupe: fonction et justesse courbe») mélodiques (méthode «de courbe») Le premier grand groupe d’expériences [2], rappelons-le, a été effectué sur la tierce majeure (ut-mi), son renversement de sixte mineure (mit-ut), en sons simultanés et successifs. Dans les quatre cas l’intervalle était exécuté sans contexte. I] faut au moins deux intervalles (successifs) 5 pour faire intervenir la justesse mélodique (régularité de Péchelle 1%), Ainsi, dans le 1% groupe d'expériences la fonction et justesse mélodiques n’intervenaient pas. On était donc assuré 17 que le résultat (intervalle préféré) était fonction et fonction seulement de la justesse harmonique (que ce soit en sons simultanés ou successifs 15) — c’est-à-dire significatif de la «valeur théorique» exacte 18, Ce premier groupe d’expériences a vérifié entièrement ce qui avait été prévu en théorie, notamment: 1) les deux provenances psycharithmétiques possibles (5-27? et 31-27 — ou du moins enchainement de 4 psycharithmes 19 31-2") de Vintervalle de tierce majeure (ut-mi); 2) qu’en conséquence la valeur exacte de la tierce n’était ni Ja valeur fixe zarlinienne 5/4, ni la valeur fixe pythagoricienne (9/8)?; 3) que dans certaines conditions de contexte classiques (marches harmoniques par quintes !°), il pouvait y avoir identification par tolérance entre les deux mi théoriques 5/4 et (9/8)?; 4) que la justesse harmonique de l'intervalle (définie seulement par le psycharithme) était indépendante de la simultanéité ou succession. Les expériences ont apporté en outre cet enseignement inattendu quoique tout à fait conforme à la Le deuxiéme groupe d'expériences [3] a eu pour objet la fonction mélodique, c’est-a-dire notamment: de montrer qu’il existait deux facteurs de justesse et non un seul comme le croyaient les écoles rivales: un facteur harmonique (issu des psycharithmes mêmes et déterminant de la «valeur théorique» exacte des intervalles: expériences du premier groupe), et un facteur mélodique, lié cette fois à la simple propriété banale et secondaire de «grandeur» des psycharithmes et tendant à l'égalité des intervalles. Ces expériences, qui procédaient entièrement par la méthode «de courbe», ont remarquablement confirmé ces vues théoriques: par exemple, dans une mélodie comportant les notes ut, ré et mi, et la justesse harmonique étant satisfaite pour les trois notes dans les limites de tolérance, en donnant au ré la valeur fixe 9/8 et en faisant varier le mi, on a obtenu une pointe de préférence (mélodique) très marquée pour le mi (9/8)?; mais en donnant au ré la valeur (5/4)Y2 (qui jusqu'alors n'avait jamais été expérimentee), le maximum de justesse mélodique du mi a été 5/4 (soit comme prévu chaque fois, pour la tierce ut-mi, le carré de ut-ré, ou l'égalité des intervalles ut-ré et ré-mi). On a même pu mettre en évidence, en expérimentant des ré< (5/4) !? et > 9/8, l’intervention antagoniste des deux facteurs de justesse, harmonique et mélodique. Par opposition à la «méthode de courbe», appeméthode «de choix» lons abréviativement l'identification par tolérance entre les la méthode type et plus ancienne consistant à exétierces 5/4 et (9/8)? n’est pas seulement un fait circuler un même morceau suivant différentes gammes constanciel, se ou échelles, et à demander leur préférence aux sujets. théorie: 5) réalisant dans des conditions de contexte particulières; c’est un phénomène constant, (Par extension et par opposition toujours à Ja méqui se produit même sans contexte. thode de courbe, nous désignerons également sous On a pu ainsi établir — et en toute généralité d’après 5 — que la justesse harmonique de la tierce correspondait à un graphique «en trapèze»: justesse maximum et l'étiquette generale de «méthode de choix» celle qui consiste à relever les intervalles exécutés par de bons musiciens sur des instruments à sons non fixes. En effet, dans cette dernière méthode, d’une part on n’établit pas non plus de courbe, d’autre part, au lieu de faire choisir des auditeurs, on laisse en quel- 35 Ci. plus haut, sous le sous-titre 3.1.1. 16 Cf. plus haut, sous 3.2. 17 Sous réserve s’entend de ne pas ignorer ni confondre les multiples facteurs de réponse (musicaux, acoustiques, psychologiques), dont les facteurs parasites et aléatoires, et de parvenir à des résultats significatifs. A ce sujet v. [2], pp. 336 — 337. 18 Cf. plus haut, sous 3.3. 19 Cf. n. 9, ainsi que légende Fig. 2. que sorte «choisir» l’exécutant, dans la liberté qu'il a de donner aux intervalles les valeurs qu'il veut.) En même temps qu’elles vérifiaient la théorie psycharithmétique, les expériences du deuxième groupe ont montré l'erreur d'interprétation des musicologues néo-pythagoriciens, qui avaient cru prouver, par des expériences «de choix», la justesse de la gamme

pythagoricienne: la préférence qu'ils avaient relevée pour celle gamme n’était pas due à la justesse de ses valeurs théoriques, mais seulement au fait que, dans Tableau I. Expérience principale. P: échelle pythagoricienne; T: échelle du tempérament égal; Z’: échelle antérieurement non expérimentée. celle gamme, les tons et demi-tons sont égaux. 5. Le 3° groupe d'expériences: Perreur d'interpréta- Choix entre tion des néo-pythagoriciens démontrée par leur propre méthode Val, 50 (1982) Z': uti, ré 5/4, T: uti, ré T, mi 5/4 mi T P: uti, ré 9/8, mi (9/8)? (reprise de la méthode ancienne <de choix > entre échelles) Ces expériences anciennes, nous l’avons vu, n’avaient pu être correctement interprétées parce que l’origine psycharithmétique des intervalles, et par suite les facteurs de justesse, étaient alors ignorés. Apres les expériences de courbe du deuxième groupe, et pour parachever la démonstration de l’erreur néo-pythagoricienne, il ne manquait donc que de «boucler la boucle», c’est-à-dire: revenir a l’ancienne méthode classique des expériences de choix, en l’appliquant à la même mélodie et aux mêmes intervalles (c’est-à-dire particulièrement au rapport (5/4)' pour la seconde majeure), et en possession cette fois, tant théorique qu’expérimentale, des facteurs de justesse musicale: ainsi s’établirait le recoupement avec les résultats bruts anciens, qui à l’époque n’avaient pu être élucidés. Au total, le but et l'intérêt de ces expériences de choix nouvelles étaient même triple: 1) Compléter les expériences de courbe par cette autre méthode et en Putilisant pour la première fois de façon scientifiquement intelligible (ce qui, si elles devaient réussir, aboutirait en quelque sorte à parachever toutes les expériences antérieures depuis les premières sur la justesse harmonique) ; 2) Démontrer par leur propre méthode l'erreur d'interprétation des néo-pythagoriciens; 3) Tenter des expériences dont le résultat théoriquement prévu semblait (v. ci-dessous) a priori carrément impossible selon les vues traditionnelles. Ce troisième groupe d’expériences a comporté une expérience principale, une «contre-expérience», et une expérience «complémentaire». Dans chacune d’elles on a fait choisir aux sujets entre deux ou plusieurs des échelles suivantes: Z (zarlinienne), P (pythagoricienne), T (tempérament égal), Z’ (échelle avec mi zarlinien mais avec ré (5/4)1/ au lieu de 9/8). Pour la cohésion de ces nouvelles expériences avec les expériences de courbe du deuxième groupe, on a utilisé comme dit plus haut le même motif musical, à savoir: la variante de «Au clair de la lune» 2° faisant intervenir la fonction harmonique de tierce majeure de tonique (ut-mi) et, très répétés, les dessins mélodiques ut-ré-mi et mi-ré-ut. 20 Cf. [3], Fig. 3. 3.1. Expérience principale Dans Pexpérience principale (Tableau 1), on a procédé à des expériences de choix entre l'échelle pythagoricienne, celle du tempérament égal, et ce que nous appellerons par commodité l'échelle «pseudo-Zarlin» (Z’ au lieu de Z dans les expériences de choix anciennes). L’interet de cette expérience principale, c'était d’essayer de vérifier qu’en remplaçant le ré de l'échelle zarlinienne par le ré V5/4 (c'est-à-dire en égalisant les intervalles ut-ré et ré-mi), onne retrouve pas la préférence de P sur Z qu’avaient trouvée les expérimentateurs antérieurs. En effet, si le but de l'expérience était atteint, cela prouverait bien que la préférence de P sur Z des expériences anciennes ne provenait pas de la justesse des rapports théoriques de l'échelle pythagoricienne, mais seulement de sa plus grande justesse mélodique par rapport à Z avec ses intervalles inégaux (car, l'égalité des intervalles étant le seul point commun des échelles P et Z’, et en même temps leur différence commune par rapport à Z, on ne voit pas comment expliquer autrement, à la fois, le résultat des expériences anciennes et le résultat escompté de l’expérience nouvelle). Mieux, supposons qu’on refuse l'explication précédente, qu’on persiste à croire pouvoir déduire, de la préférence de P sur Z, la justesse de l'échelle pythagoricienne. L’échelle Z’ est une échelle éminemment fantaisiste. Il ne viendrait à l'esprit de personne de prétendre qu’elle correspond à la vraie «gamme juste». Le résultat de Pexpérience, si elle réussissait, montrerait qu’à soutenir encore la justesse de l'échelle pythagoricienne, on pourrait aussi bien soutenir la justesse de l’échelle fantaisiste, C'est donc bien, avant tout, par cette expérience «principale» que le démenti à la conclusion des néopythagoriciens pouvait être apporté par leur propre méthode. Avant d'en exposer le résultat, quelques indications et remarques seront utiles, notamment sur le processus précis des expériences et sur la signification des différents résultats a priori possibles.

Vol. 50 (1982) 5.1.1. Difficulté inhérente riences de choix aux expé- Contrairement a ce qu’on pourrait croire, les expériences de choix sont beaucoup plus difficiles que les expériences de courbe. Il est bien entendu facile, dans des expériences de choix, mais illusoire, de se contenter de résultats statistiques moyens, sans connaître la cause des réponses individuelles, et donc encore moins la signification du résultat statistique. La raison de la difficulté réelle, c'est qu’en plus des deux facteurs de justesse, harmonique et mélodique, interviennent plusieurs facteurs parasites (eflet de contraste, intervention possible de la «consonance acoustique», caractère plus ou moins significatif ou aléatoire des réponses des sujets *!, etc. ...) qu'il 11 cipale. Les échelles sont groupées en six paires (par exemple P-T, P-Z’, etc.), numérotées 1-2, 3-4, ..., 11-12 (de façon a ce que le sujet, non seulement ignore quelle échelle il entend, mais ne puisse vérifier s’il se contredit d’une paire à une autre). Bien entendu on lui demande de choisir dans chaque paire. Pour augmenter le nombre d'épreuves et éviter au maximum qu'une échelle soit favorisée, l'expérience est répétée dans l’ordre inverse des échelles. Il est spécifié aux sujets (qui sans cela pourraient être enclins à choisir à tout prix) qu’il est également important de signifier leur indifférence s’ils n’ont pas de préférence, que d'indiquer leur préférence s’ils en ont une. 5.1.3. Impossibilité apparente du resultat théoriquement escompte serait trop long de détailler à nouveau ??. Disons seulement que, dans les expériences de courbe, ces L'intérêt de cette expérience, disions-nous au defacteurs intervenaient aussi. Mais ils intervenaient but, c'était d'essayer de vérifier qu’en remplaçant le de façon en gros constante, et, en faisant varier un ré de l'échelle zarlinienne par le ré (5/4), c’est-adire en rendant cette échelle mélodiquement aussi facteur de justesse toutes conditions égales d’ailleurs, on déclenchait un résultat fonction de ce facteur. juste que l'échelle pythagoricienne, on ne retrouve C’est ce qui explique le succès à la fois rapide et en pas la préférence de P sur Z qu'avaient trouvée quelque sorte «spectaculaire» des expériences de les courbe du deuxième groupe (sommets de courbe l'étaient devenus à la suite de ce résultat. parfaitement nets chaque fois aux endroits prévus en expérimentateurs, néo-pythagoriciens ou qui Il importe maintenant de souligner qu’on a ainsi théorie). Dans les expériences de choix, on n’a pas tenté une expérience qui, cette variation, et les facteurs parasites sont beaucoup plus difficiles à éliminer. (En outre, il y a une conceptions du traditionnelles, point de vue des semblait vouée d'avance à l’échec. En effet, dire qu’en remplaçant Z par Z’, on ne difficulté inhérente à Pexpérience indépendamment de tout facteur parasite, dont nous parlerons spédoit pas retrouver la préférence de P sur Z, cela cialement plus Join (sous 5.1.4.).) équivaut à dire (indirectement) que Z’ doit être C'est ainsi qu'il a fallu essayer successivement préférée à Z, et P et Z’ jugées égalequatre méthodes ?? avant d’arriver à des résultats individuels suffisamment cohérents, avec part aléaapparaît aberrant d'espérer qu’en faussani le ré à la toire suffisamment réduite. 5.1.2. Méthode précise adoptée De ces méthodes successives, précisons seulement la dernière (définitivement adoptée pour l’experience principale et les suivantes). On fait entendre la mélodie aux sujets, comme indiqué en échelles P, T et Z’ pour l’expérience prin- 21 Raison pour laquelle il est indispensable d'éprouver ment justes. Or, du point de vue zarlinien, il valeur (5/4) 1%, échelle puisse être jugée plus juste; du point de vue pythagoricien (qui soutient l’intervention exclusive des facteurs 2 et 3 dans la constitution de la gamme), il apparaît encore plus aberrant de prétendre qu’une échelle comportant déjà, pour la tierce, le rapport «faux» 5/4, et de plus et pour comble le rapport même pas rationnel (5/4) 1/* pour le ré, puisse soutenir la comparaison avec échelle de Pythagore. On ne pouvait donc guère concevoir plus forte mise à l’épreuve de la théorie psycharithmétique que la cohérence du sujet par la répétition de chaque interrogation dans une même expérience, et d'éliminer les sujets trop peu cohérents. 22 Cf. [2], réf. déjà eit.: pp. 336—337. V. également, périence, il faut y ajouter un facteur aléatoire ineviibid., p. 341. table, défavorable à sa réussite. par l'expérience entreprise — ce d’autant plus que, pour achever de poser la façon dont se présente l’ex- 23 En appelant ici méthode, dans le cadre général de la «methode de choix», la méthode précise utilisée: échelles désignées aux sujets par x, y, z, ou indifféramment numérotées dans l’ordre d'exécution; choix par paires d'échelles ou cotation correspondant à «bon», «assez bon», emauvais», etc. 5.1.4. Facteur harmonique aléatoire, défavorable à l’expérience Dans la conception pythagoricienne comme zarlinienne, le ré juste est le ré 9/8 (sans que la distinc-

tion soil faite entre justesse harmonique et justesse ACUSTICA Vol. SU (1982) n’ait aucune action, de toute façon, s’il n’existait pas, mélodique). Mais du point de la théorie psycharithà côté d'un facteur harmonique de justesse, un semétique, le ré harmoniquement juste est cond facteur ou facteur mélodique, comme il déaussi le ré 9/8 (psycharithme 32-23), quelle que coule de la théorie psycharithmétique, il n’y aurait soit la valeur du mi ou la justesse mélodique. Or le aucune raison, en aucun cas, pour que Z’ soit préré (5/4)! s’öcarte de 2,7 0 (1/10 de demi-ton) du ré 9/8. 11 est donc harmoniquement un peu faux. férée à Z*5, Autrement dit, si les vues théoriques exposées étaient fausses, Z devrait toujours être Par consequent (et du point de vue de la theorie toujours), pour que l'échelle Z’ soit préférée a préférée à Z’. Autrement dit encore, au lieu que la Péchelle Z (à cause de sa justesse mélodique), il teurs antérieurs disparaisse, comme escompté, en préférence de P sur Z relevée par les expérimentafaut encore que, pour le sujet, l'écart de 2,7 0 entre remplaçant Z par Z’, la préférence de P sur Z’ dedans la marge de tolérance harmonique du ré (ce vrait être encore plus grande que celle de P qui est très plausible cet écart étant assez petit, mais sur Z. non obligé l’intervalle n’étant pas négligeable). A supposer qu’il n’y entre pas, le sujet pourra préférer En conséquence de tout ce qui précède, à supposer que, pour la comparaison de Z et Z’, le résultat ex- Z à Z’ si la justesse harmonique (ré 9/8 de Z) l’empérimental soit la préférence de Z, Pexpérience ne porte sur la justesse mélodique (intervalles égaux prouve rien de Z’), ou encore le sujet n’aura pas de préférence teur aléatoire de justesse harmonique l’a emporté si les deux facteurs se compensent. sur le facteur de justesse mélodique, soit parce que Pour ne rien omettre, ajoutons enfin que parmi (ce peut être soit parce que le facce second facteur de justesse, tel qu’il découle de Ja les facteurs parasites (non spécifiquement musicaux), théorie psycharithmétique, n'existe pas); s’il y a la «consonance acoustique», qui ici coïncide avec la indifférence, l'expérience est déjà réussie «consonance musicale» 24 ques maximum pour l'intervalle 9/8, parfaite jusc'eút été impossible si le second facteur n'existait pas); enfin s’il y a préférence pour Z’, l'expérience tesse harmonique pour le même intervalle 9/8), peut, est réussie a l'extrême, «surprobante» si Pon peut pour certains sujets, agir dans le même sens que le ainsi s'exprimer (ce sera soit parce que le facteur facteur aléatoire dont il vient d’être question. C'est aléatoire n’est pas intervenu, soit parce que le faclà un facteur aléatoire de plus, défavorable à l’exteur mélodique l’a toujours emporté sur lui). («fusion» des harmonipérience, ou pouvant renforcer le précédent. Si donc Pexpérience réussissait malgré cela, elle serait a fortiori probante. (car Ce qui précède concerne la comparaison entre Z et Z’. Quant à la comparaison entre P et Z’ (directement possible dans cette expérience principale, ot figurent ces deux échelles), il n’y a aucune raison, . 5.1.5. Signification des différents résultats a priori possibles du point de vue de la théorie psycharithmétique elleméme, pour que Z’ soit préférée 4 P (au contraire dans l’hypothèse où le facteur aléatoire intervienselon ce résultat. Mais cette complication est en drait}; ce qui est attendu seulement, c'est l’égalité de justesse entre P et Z’, dans l'hypothèse plausible où le ré (5/4)1% serait harmoniquement toléré (et où par conséquent le facteur aléatoire harréalité beaucoup moins génante qu'il ne peut paraître monique n’interviendrait pas). Ce qui précéde peut sembler rendre bien difficile Pinterprétation du résultat de l’expérience, du moins à première vue. A supposer que P soit préférée a Z’, l'expérience En effet, que le facteur aléatoire intervienne ou ne prouve rien, ou plutôt, il suffit d’une minorité non, qu'il l'emporte sur la plus grande justesse mélonon négligeable de suffrages pour Z’, pour que l’exdique de Z’, qu’il la neutralise seulement ou qu’il périence puisse être considérée comme réussie quoique peu brillamment par rapport à ce que l’on pouvait théoriquement espérer (car si les vues théori24 Cf. [1]. spécialement pp. 88 et suiv. Il faut surtout ques exposées étaient fausses, P, à plus forte raison noter ici que — comme pour la consonance musicale quionoméne de fusion s'appliquent non seulement aux sons que Z selon les pythagoriciens, devrait toujours être préférée à Z’, c’est-à-dire qu’au total le nombre de suffrages pour Z’ devrait être nul ou quasi-nul simultanés mais aussi successifs (cf., ibid., p. 82 notamtenu compte des erreurs d’expérience). A supposer ment). qu'il y ait égalité entre P et Z’, l'expérience est parfaitement réussie. (Enfin, la troisième hypothèse cette que sur un plan psychophysiologique autre — les considérations relatives à la consonance acoustique ou au phé- 25 Inversement s’il n’existait que le facteur mélodique, n'importe quelle échelle à intervalles égaux serait appréciée comme juste. Cette seconde hypothèse d'un facteur,de justesse unique n'est donc même pas à envisager. fois, celle d’une préférence de Z’ sur P, est a priori exclue.)

Vol. 50 (1982) 5.1.6. Résultat de l’expérience — principale Le résultat de l'expérience est donné par le Ta- 13 que ce sont seulement des facteurs secondaires ou parasites, avec ou sans le facteur harmonique aléatoire, qui ont fait pencher tantôt pour P tantôt pour Z’, et au total un peu plus pour P. bleau II suivant. Les nombres indiquent Ja préférence relative pour Par l’expérience principale qui vient d’être dechaque échelle. La première ligne donne le résultat crite, on vérifie donc ce qui avait été théoriquement de la première épreuve, les groupes de réponses non prévu: en «faussant», dans Z, le ré à la valeur cohérentes de certains sujets ayant été éliminés. À la deuxième ligne, les réponses cohérentes manquanles expérimentateurs antérieurs, au lieu d’aug- (5/4) #2, la préférence de P sur Z qu’avaient trouvé tes, obtenues dans une deuxième épreuve passée par les sujets, sont ajoutées à celles de la première menter comme on eût pu le croire, disépreuve. Les deux résultats sont importants, le prechiffrent cette préférence de P sur Z pour les mélomier pour la spontanéité des réponses et l’egalite des dies par la proportion de 3 pour 1. Avec 20 ou 23 P conditions, le second pour l’égalité du nombre de pour 17 Z’, nous en sommes loin même si l’on reréponses pour tous les sujets. paraît. Notons que Van Esbroeck ei Montfort [5] fusait de considérer cette différence comme non On constate d’abord que l’échelle tempérée Pemsignificative, et surtout nous sommes loin, pour Z’, porte, ce qui n’est pas étonnant. Mais l’intéressant, du zéro ou nombre voisin qu’eussent prévu les pyc'est la comparaison de P et Z’. La légère supériorité de P sur Z’ (20 pour 17, et même 23 pour 17) n’est thagoriciens, ou qu’eüt exige la fausseté de la théorie psycharithmétique et de l’explication de leur erreur. pas significative, lenu compte seulement des conditions d’expérience (difficulté de l’expérience pour les sujets, facteurs parasites). Si l’on pouvait en douter, il resterait que si P était juste et Z’ faux, la différence devrait être beaucoup plus grande: comme il a été expliqué, Z’ devrait atteindre ou s'approcher de zéro. En outre, on constate, dans les réponses individuelles, que des sujets excellents musiciens et parfaitement cohérents ont préféré sans équivoque Z’ a P, ou même complètement rejeté P, comme d'autres au contraire ont préféré P. On est donc bien obligé de conclure: — principalement, que P et Z’ sont appréciés comme musicalement également justes et acceptables (l'expérience est donc parfaitement réussie — cf. plus haut) ; — Dans Ja «contre-expérience» (Tableau III), on a restitué au ré, dans la première des trois échelles, sa valeur zarlinienne, c’est-à-dire qu’on a refait tout simplement une expérience de choix entre échelles classiques, comme les expérimentateurs antérieurs (néo-pythagoriciens ou devenus tels). L'intérêt de cette contre-expérience, c'était d’abord de vérifier l'obtention de résultats analogues à ceux de ces expérimentateurs, puis surtout de confronter les résultats de Pexpérience principale et de la contreexpérience, effectuées dans des conditions rigoureusement identiques. Il va en effet sans dire que les conditions, pour les expérimentateurs antérieurs (expériences avec Z), secondairement, que, pour l’ensemble des sujets tout au moins, l'écart de 2,7 o du ré (5/4)! par rapport au ré 9/8 (facteur aléatoire défavorable) — 5.2. Contre expérience et pour l'expérience principale précédente (expérience avec Z') n'étaient pas les mêmes (morceaux de musique différents, sujets différents principalen’a pas excédé la marge de tolérance harmonique de la seconde ut-ré, et que c’est grâce à cette ment). circonstance que l’expérience a pu aboutir à un résultat significatif; du résultat prévu est indiscutablement probant en ce Si donc, dans l’expérience précédente, l’obtention qui concerne la comparaison (directe) de P et Z’, que pour certains sujets néanmoins, le facteur on peut considérer qu'il ne l’est pas pleinement en aléatoire a pu jouer en faveur de P; ce qui concerne la comparaison de Z et Z’ (indirecte, faisant appel pour Z aux résultats des expérimenta- Tableau IT. Expérience principale — Résultat du choix entre échelles Z', T et P. 1¢ épreuve (réponses cohérentes seulement) 1° épreuve + réponses manquantes obtenues dans une 2¢ épreuve YA T P 17 31 20 leurs antérieurs). Tableau ILI. Contre-expérience. Z: échelle zarlinienne; T: échelle du tempérament égal; P: échelle pythagoricienne. Choix entre 17 37 23 Z: T: P: uti, uti, uti, ré 9/8, réT, re 9/8

Vol. 50 (1982) L'identité des conditions de la contre-expérience, par rapport à l’expérience principale, a été poussée au maximum: même mélodie, mème succession des linienne; du point de vue pythagoricien, Z était déjà 24 échelles par paires au remplacement près de Z' à cause de lui, l'échelle Z’ sera jugée aussi juste que par Z, et même mêmes sujels. P, et plus juste que Z. 5.2.1. Résultat de la contre-expérience C'est bien ce résullat, incompréhensible sans la théorie psycharithmétique, qui a été vérifié. Voici le résultat de la contre-expérience (Tableau IV). fausse, et on la fausse encore davantage. Le résultat attendu était: en dépit de ce «faussage», et même 5.3. Expérience complémentaire Dans l'expérience principale, la comparaison entre Tableau 1V. Z’ et Z était indirecte, et faite dans des conditions Contre-expérience. Résultat du choix entre échelles Z, T non identiques (comparaison avec les résultats d’exet P. périmentateurs antérieurs, pour Z). Avec la contre-expérience, la comparaison entre 1° épreuve 1° épreuve complétée Z T P 13 13 31 41 20 30,5 Z et Z s'est faite dans des conditions identiques; mais elle restait indirecte (comparaison des résultats de deux expériences: expérience principale et contreexpérience). Cette fois la différence, entre P et Z, est grande: 20 pour 13 et 30,5 pour 13. On vérifie donc d’abord que la contre-expérience donne bien un résultat similaire à celui des expérimentateurs antérieurs. Mais comparons surtout avec l'expérience principale (Tableau V). Tableau Y. Comparaison des résultats de l'expérience principale et de la contre-expérience. Pour compléter les expériences précédentes, il ne manquait donc que de soumettre Z’ et Z à une comparaison directe, c’est-à-dire faite dans une seule et même expérience (Tableau VI). Cette expérience «complémentaire» devenait même très importante, puisque le résultat prévu en théorie (préférence de échelle Z’ 2°, faussee selon les zarliniens, deux fois fausse selon les pythagoriciens) était dans ces conditions encore plus nettement invraisemblable selon les conceptions traditionnelles, et qu’ainsi cette épreuve de la théorie, faite cette fois dans une seule et méme Expérience principale Contre-expérience VA Z T P T expérience, serait on ne peut plus concluante. P I] n’a pas été cette fois possible d’avoir, dans leur totalité, les mêmes sujets que pour les deux premières expériences. Mais cette circonstance est peu 1e épreuve 17 31 20 13 31 20 complétée 17 37 23 13 41 30,5 regrettable, puisque cette fois la comparaison des échelles se fait dans la même expérience. Les autres Nous avions à la première épreuve, pour l’experience principale, les résultats 17, 31, 20. A la contre-expérience, T et P gardent les mêmes chiffres. Mais Z (par rapport à Z’) descend de 17 à 13. Avec le complément de la deuxième épreuve, Z descend aussi de 17 à 13; en mème temps, P monte de 23 à 30,5. Les résultats sont donc entièrement conformes aux prévisions théoriques (et même «surprobants», tenu compte de la signification précise — cf. 5.1.5. — des différents résultats qui pouvaient s’envisager a priori). conditions sont restées les mêmes, sauf que le nombre de paires d’échelles expérimentées a été réduit de 12 à 8 (ce qui était amplement suffisant puisque chaque arrangement (Z-Z' par exemple) passe ainsi 4 fois, alors que dans les deux premières expériences, où intervenaient 3 échelles, chaque arrangement ne passait que 2 fois pour 12 paires). Tableau VI. Expérience complémentaire. a Choix direct entre Z: uti, = ut 1, ré 9/8, ré v57, mi 5/4 mi 5/4 Rappelons enfin — expérience et contre-expérience maintenant en regard — le paradoxe du résultat attendu. En passant de Z à Z’, on fausse l’échelle zar26 En espérant toujours, comme plausible (pour l'ensemble des deux expériences comme pour l'expérience principale), que le facteur aléatoire defavorable n'empécherait pas l'expérience ou ne In perturberait qu'assez peu. 27 Sauf toujours dans l'hypothèse, défavorable pour Z’, mais peu plausible surtout après les résultats antérieurs, où la légère fausseté harmonique du ré (5/4)*/2 n’entrerait pas dans la marge de tolérance harmonique pour la majorité des sujets, et compenserait ou surpasserait la supériorité de justesse mélodique de Z’ sur Z.

Vol, 50 (1982) 5.3.1. Résultat de l'expérience 15 Avec de nouveaux sujets ajoutés aux précédents, la préférence de Z’ sur Z a été d’une proportion complémentaire Avant d’énoncer les résultats, il importe, particulierement pour cette troisième expérience, de rappeler: 1) l’intervention possible du facteur harmonique aléatoire, défavorable a la réussite de l’experience **; 2) la difficulté de toutes les expériences de choix de ce genre: petitesse des inégalités d’intervalles, difficulté conséquente de choisir pour les sujets; 3) l'intervention quasi-certaine de facteurs parasites (non musicaux ou non spécifiquement musicaux), moindre Ÿ mais encore remarquable: nombre de suffrages pour Z de moitié supérieur (32 pour 21) à celui pour Z. Ce dernier résultat expérimental, comme les précédents, est donc à la fois: éminemment incompréhensible avec les conceptions traditionnelles, et plus que probant quant à la validité des prévisions de la théorie psycharithmétique. dont la «consonance acoustique» («fusion» des har- (Reçu le 15 août 1980.) moniques), susceptible pour certains sujets d’agir dans le même sens que le facteur aléatoire harmonique; 4) le fait qu'avec les conceptions traditionnelles, le nombre de préférences pour Z' devrait être voisin de zéro. D'où résultait ceci: à supposer que le résultat de l’expérience soit la préférence de Z, l’expérience ne prouverait rien (on pourrait l’imputer soit à une erreur de la prévision théorique, soit au facteur aléatoire de justesse harmonique — voire a ce facteur encore renforcé par la consonance acoustique); à supposer qu'il y ait égalité de préférence pour Z et Z’, l’expérience serait déjà réussie (car c'eút été impossible si le second facteur de justesse, mélodique, n’existait pas ?°); à supposer qu'il y ait préférence pour Z' — et ce malgré les facteurs aléatoires et parasites jouant ou pouvant jouer en sa défaveur — l’expérience serait «surprobante». [1] Tanner, R., Critique de la théorie de «la résonance». In coll, intern. CNRS «La Résonance dans les Echelles Musicales». Edt. CNRS, Paris 1963. [2] Tanner, R., Le problème des «deux tierces» (Pythagore ou Zarlino) — Sa solution psycharithmétique et expérimentale. Acustica 27 [1972], 335. [3] Tanner, R., La fonction et la justesse mélodiques des intervalles. Acustica 84 [1976], 259. [4] Tanner, R., Le problème des rapports simples — Notion de psycharithme. In colloque intern. CNRS n° LXXXIV: «Acoustique Musicale». Edt. CNRS, Paris 1959. [5] Van Esbroeck, G. et Monfort, F., Qu'est-ce que jouer juste ? Lumière, Bruxelles 1946. [6] Cornu, A. et Mercadier, E., C.R. Acad. Sci. (Paris) 8 et 22 février [1869], 1, 301—308, 424—427, 17 juillet [1871], 2. 178—183, 29 janvier [1872], 1, 321—323, 17 février [1873], 431 —434. Avec les mêmes sujets que ceux de l’expérience principale et de la contre-expérience Bibliographie (moins une petite minorité qu’on n’a pas pu réobtenir), le résultat a été une préférence pour Z double de celle pour Z (Tableau VII). Tableau VII. Expérience complémentaire — Résultat du choix direct entre échelles Z et Z’. Z VA Résultat 1er group de sujets 13 26 Résultat avec nouveaux sujets 21 32 28 Cf. note précéd. 29 A moins d'attribuer ce résultat au hasard, joint à la médiocrité des sujets, ce qui était pratiquement impossible vu: 1) le nombre de sujets et d'épreuves par sujet; 2) leur bonne cohérence moyenne (déjà prouvée), et l'excellente cohérence d’une partie d’entre eux. 30 En général les sujets nouveaux ont plus de peine à répondre et sont moins cohérents que les sujets ayant déjà fait des expériences similaires. [7] Barkechli, M., La gamme de la musique iranienne. Cah. d’Acoust., in Ann. Télécommunicat. 5 [1950], 196. [8] Barkechli, M., Mesure des intervalles harmoniques de la gamme à partir de la sensation subjective de consonance. Acustica 2 [1952], 242. [9] Barkechli, M., Quelques idées nouvelles sur la consonance. L'évolution de la gamme dans la musique orientale, In coll. intern. CNRS 84 « Acoustique Musicale», Edt. CNRS, Paris 1959, p. 21 et 39, [10] Barkechli, M., Les échelles régulières du cycle des quintes et leurs déformations occasionnelles. In coll. intern. CNRS «La Résonance dans les Echelles Musicales». Edt. CNRS, Paris 1963, p. 173. [11] Tanner, R., Le phénomène d'identification par tolérance; le préjugé de la gamme juste. Acustica 25 [1971], 158. [12] Tanner, R., La différenciation qualitative des psycharithmes et des intervalles musicaux. N° spec. Revue Musicale, Edt. Richard-Masse, Paris 1972. [13] Tanner, R., La Musique Antique Grecque, expliquée par une conséquence de la théorie psycharithmétique. N° spéc. Revue Musicale, Edt. Richard-Masse, Paris 1961. [14] Keliner, H. A., Eine Rekonstruktion der wohltemperierten Stimmung von Johann Sebastian Bach. Das Musikinstrument 1 [1977], 34. [15] Janssens, F., On the Relations of Beats within Tempered Triads. Acustica 40[1978], 200.