Wie kamen die Pythagoreer zu dem Satz Euclid., Elem. II 5 ?

IIPAKTIKA THS AKAAHMIAZ AOHNON G3) Gian. PZABA,H. \aeR XYNEAPIA THE 16H MAÌOY 1968 ANAKOINQZEIZ MH MEAQN MAOHMATIKA.— Wie kamen die Pythagoreer zu dem Satz Eucl., Elem. II 5?*, öno Arpad Szabô**, “Avexowadty txd tot "Axaònnaizod x. DO. Bactretov. I. Der bisherige Stand der Forschung II. Meine These: II 5 ist ein Hilfssatz zu dem Beweis des hochwichtigen Satzes II 14 III. Elemente einer pythagoreischen Theorie über die Flächenbestandteile der Parallelogramme IV. Wie findet man zu einem gegebenen Rechteck das flächengleiche Quadrat? V. Zusammenfassung I. Man halt den Satz «Elem.» II 5 —nach den Ergebnissen jener historischen Forschung, die heute gewissermassen als consensus doctorum gilt — für einen Bestandteil der altpythagoreischen Mathematik, genauer: für einen Satz der sog. «geometrischen Algebra der Pythagoreer». Gewöhnlich wird nämlich dieser Satz zusammen mit dem unmittelbar nach ihm folgenden, dem Satz II 6 behandelt. Diese beiden besagen: II 5: «Teilt man eine Strecke sowohl in gleiche als auch in un- * ARPAD SZABO, Tlic ol Hubayépelor Eepbaaav els Thv medtacw II 5 tev «Zroxelwvn» to} EdxAelôov; ** Mathematisches Forschungsinstitut der Ungarischen Akademie der Wissenschaften - Budapest.

AKAAHMIAË AOHNQN gleiche Abschnitte, so ist das Rechteck aus den ungleichen Abschnitten der ganzen Strecke zusammen mit dem Quadrat über der Strecke zwischen den Teilpunkten dem Quadrat über der Hälfte gleich.» und 116: «Halbiert man eine Strecke und setzt man ihr irgendeine Strecke gerade an, so ist das Rechteck aus der ganzen Strecke mit Verlängerung und der Verlängerung, zusammen mit dem Quadrat über der Hälfte, dem Quadrat über der aus der Hälfte und der Verlängerung zusammengesetzten Strecke gleich.» Man liest in der heute massgeblichen historischen Darstellung der griechischen Mathematik über den Satz II 5 die Feststellung, dass dieser sich als ein geometrisches Äquivalent für unsere algebraische Formel bzw. für at—-b'=(a—b).(a+b) al=(a—b).(a+b) +b? auffassen lässt'. Aber eigentlich besagt dasselbe auch der Satz II 6. Wozu diese «seltsame doppelte Form»? — Es wurde versucht, dieses Rätsel folgendermassen zu erklären’: im Grunde wären II 5 und II6 nicht Sätze, sondern Lösungen von Aufgaben: es handelte sich in II 5 um die Konstruktion von zwei Strecken x und 2 deren Summe und Produkt gegeben sind, während in II 6 die Differenz und das Produkt gegeben sind. Unter «Aufgaben» — um deren Lösung es sich hier handeln soll — verstand man eigentlich «algebraische Aufgaben», die man erst nachträglich in geometrisches Gewand gekleidet hätte®. Ursprünglich hätten nämlich noch die Babylonier sich diese algebraischen Aufgaben gestellt und gelöst; * und die Pythagoreer hätten — wie es uns versichert wird — offensichtlich die babylonischen Regeln zur L,ösung der algebraischen Systeme geometrisch formuliert und bewiesen’. Ablehnen muss ich diese historische Interpretation aus den folgenden Gründen: 1. Selbst wenn wir glauben, dass es eine «babylonische Algebra» wirklich gegeben hatte — wie O. NEUGEBAUERS Forschungen uns davon überzeugen möchten —,auch dann hat man bisher noch mit gar keiner konkreten Angabe wahrscheinlich machen können, dass die Griechen in voreuklidischer Zeit eine solche Algebra wirklich gekannt hatten, geschweige denn, dass sıe dieselbe übernommen und geometrisiert hätten.

EYNEAPIA THE 16 MA'IT'OY 1968 (Die Griechen haben nicht einmal die positionelle Bezeichnungsart der Zahlen von den Babyloniern übernommen !) 2. Jene Sätze bei EUKLID, die man gewohnt ist — seit einer Arbeit von P. TANNERY ° — als «algebraische Sätze in geometrischem Gewand» anzusehen, haben mit der Algebra in der Wirklichkeit nur soviel zu tun, dass wir in der Tat sehr leicht unsere algebraischen Aquivalente für diese Sätze angeben können. Aber es kann gar keine Rede davon sein, dass diese Theoreme ursprünglich «algebraische Sätze», oder Lösungen für «algebraische Aufgaben» gewesen wären. Nein, diese sind alle — sowohl die Sätze, wie auch die Aufgaben — rein geometrischen Ursprungs. Auch II 5 ist ein rein geometrischer Satz. Wohl kann man diesen Satz in der modernen Interpretation mit einer «algebraischen Aufgabenlösung» vergleichen. Aber man nehme sich in acht, damit ein solcher Vergleich den ursprünglichen und echt geometrischen Sinn des Satzes nicht verdunkle! II. Nach meiner historischen Interpretation ist II 5 — wie man es im folgenden sehen wird — ein rein geometrischer Hilfssatz zu der Lòsung bzw. zu dem Lösungsbeweis jener ebenfalls rein geometrischen Aufgabe, die in dem Satz II 14 folgendermassen gestellt wird: «Ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Quadrat zu errichten». Dass der Satz II 5 in der Tat ein Hilfssatz su dem eben genannten II 14 ist, das ersieht man zunächst nicht bloss aus den modernen Ausgaben und Übersetzungen, in denen anlässlich des Satzes II 14 auf II 5 meistens zurückverwiesen wird, sondern noch mehr aus dem Wortlaut des Urtextes. Denn in dem Beweisteil des Satzes II 14 wird ja der Wortlaut von II 5 weitgehend wiederholt — zum Zeichen dessen, dass auch der antike Verfasser auf II 5 zurückverweisen wollte. Ja, denkt man an die komplizierte, schwerfällige sprachliche Form des II 5, so muss man sich unwillkürlich fragen: ist dieser Satz nicht sozusagen ein «Fertigbauteil» zu dem anderen (II 14)? Musste der antike Verfasser den II 5 nicht eben deswegen so kompliziert und schwerfällig formulieren, weil er im voraus wusste, dass er das betreffende Theorem eben in dieser, scheinbar schwerfälligen sprachlichen Form wird in dem Beweis des II 14 am bequemsten gebrauchen können?— Ich werde in dem fol-

AKAAHMIAS AQHNON genden zeigen, dass zwischen den beiden Sätzen — II 5 und Il 14—in der Tat eben dieser Zusammenhang besteht. Aber ich möchte hier nebenbei auch darauf hinweisen, dass offenbar eine ebensolche Erklärung auch noch für andere Sätze bei EUKLID gültig sein muss, die man bisher ähnlicherweise als Bestandteile einer «geometrischen Algebra» erklären wollte. Der oben zitierte Satz II 6 ist z. B. ein ebenso rein geometrischer Hilfssatz (ebenfalls ein «Fertigbauteil») zu dem Beweis des Satzes II 11, wie II 5 zu dem Beweis des Satzes II 14. Der Satz II 6 sieht nur darum als ein «Spezialfall» des II 5 aus, weil auch sein Hauptsatz, der hochinteressante II ıı (zu dessen Beweis II 6 benutzt wird) im Grunde nur ein Spezialfall des II 14 ist. Kein Wunder, dass eben deswegen auch die Hilfssätze —II 5 und 6— zu den beiden hochwichtigen Sätzen II 14 und II 11 als Spezialfälle voneinander aussehen. Ja, genau auf dieselbe Weise ein rein geometrischer Hilfssatz, ein «Fertigbauteil» ist auch der Satz II ro, den man ebenfalls zu der «geoınetrischen Algebra» hinzurechen wollte‘. Dass in der Wirklichkeit derselbe Satz (II ro) ein Hilfssatz ist, wird durch PROKLOS bezeugt‘. Wohl wurde in diesem Fall das betreffende altpythagoreische Theorem, zu dessen Beweis man II 10 benutzt hatte, in EUKLIDs «Elemente» nicht aufgenommen, aber die moderne Forschung vermochte dasselbe Theoüber jeden Zwei— lle — eben aufgrund der erwähnten PROKLOS-Ste rem fel zu rekonstruieren”. Ich möchte jedoch in diesem Zusammenhang einstweilen nur die Genesis des Satzes II 5 näher beleuchten. Darum muss ich in dem nächsten Kapitel vor allem an einige Elemente einer interessanten pythagoreischen Theorie über die Flächebenstandteile der Parallelogramme erinnern. III. Wir wollen zunächst von jener Szene in PLATONs Dialog «Menon» (32 B-85 E) ausgehen, wonach dem ungelernten Sklaven durch SOKRATES die Frage gestellt wird: wie verdoppelt man die Fläche jenes Quadrats (in Quadratform), dessen Seite 2 Fuss lang ist. Mit anderen Worten: wie lang wird die Seite jenes anderen Quadrats —als eine Zahl ausgedrückt—, dessen Fläche das Doppelte der Fläche des gegebenen mit 2 Fuss langer Seite darstellt? —Der Sklave glaubt zunächst, dass man, um

EYNEAPIA MA'I'OY 1968 207 die Fiäche des Quadrats zu verdoppeln, seine Seite verdoppeln müsste. Er möchte also das gesuchte Längenmass als die Zahl 4 angeben. Aber SOKRATES zeigt ihm, sogleich nach dieser ersten Antwort, dass durch die Verdoppelung der Seite die Fläche des Quadrats nicht verdoppelt sondern vervierfacht wird. (Die Flache des Quadrats mit 4 Fuss langer Seite besteht aus 16 kleinen Quadraten, wobei das Ausgangsquadrat aus 4 solchen bestand; siehe Abb. I). Der nächste Versuch des Sklaven — das Langenmass der gesuchten Quadratseite als eine Zahl zu bestimmen — gcht darauf hinaus, dass vielleicht das Quadrat mit 3 Fuss langer Seite die doppelte Fläche des Quadrats mit 2 Fuss langer Seite haben könnte. Aber SOKRATES zeigt —wieder vermittels einer Zeichnung (siehe Abb. 2) —, dass die Fläche des Quadrats mit 3 Fuss langer Seite aus g kleinen Quadraten besteht, also keineswegs das Doppelte der ursprünglichen Quadratfläche ist.—Es wird also in diesen beiden ersten Versuchen wohl angedeutet, dass die Seite des Quadrats, dessen Fläche das Doppelte eines anderen (kleineren) Quadrats mit zahlenmässig bestimmter Seite darstellt, sich nicht als eine Zahl angeben lässt. In der Tat ist die gesuchte Quadratseite — zu der Seite des gegebenen Quadrats — eine der Länge nach inkommensurable Grösse. Merkwürdigerweise wird jedoch das Problem der Inkommensurabilität in unserer PLATON-Szene ausdrücklich nicht erwähnt. Anstatt dessen zeigt SOKRATES — vermittels einer neuen Zeichnung (Abb. 3)—, dass die Diagonale die Fläche des Quadrats in zwei untereinander gleiche gleichschenklige auflöst, und dass man eben deswegen mit der Diagonale als Seite ein solches grösseres Quadrat konstruieren kann, dessen Fläche — wie die Zeichnung zeigt — gerade das Doppelte der ursprünglichen Quadratfläche ausmacht. Ich glaube, wir dürfen aufgrund dieser ‘Menon'-Szene zu rekonstruieren versuchen, wie einst die griechischen Mathematiker die lineare Inkommensurabilität entdeckt haben mögen. —Es tauchte zunächst in der Geometrie ein arithmetisches Problem auf. Man ging von einem Quadrat aus, dessen Seite als eine Zahl gegeben war, und man wollte die Seite des dazugehörigen anderen Quadrats mit gerade doppeltem Flächeninhalt ebenfalls als eine Zahl angeben. Aber diese Aufgabe erwies sich innerhalb der Arithmetik — unter Beachtung der grundlegenden Euklidischen Definition für die « Zahl » (VII def. 2) als unlòsbar. Interessant war jedoch dasselbe Problem auch von der Geometrie her betrachtet.

THE AKAAHMIAE AQHNOQN Nachdem man nämlich eingesehen hatte, dass die Fläche eines beliebigen Quadrats mit der Diagonale desselben als mit Seite eines grösseren Quadrats, sich verdoppeln lässt, und nachdem die Lange dieser Diagonale — im Verhältnis zu der Seite — sich zahlenmässig nicht bestimmen liess, musste man wohl bald dahinterkommen dass die Diagonale des Quadrats zu der Seite linear inkommensurabel ist, Die Entdeckung der linearen Inkommensurabilität ging jedoch Hand in Hand mit der Erkenntnis der quadratischen Aommensurabilität. Die Diagonale des Quadrats ist im Verhältnis zu der Seite nur der Länge nach unmmessbar; nachdem sie jedoch als Seite eines neuen Quadrats gerade die doppelte Fläche des ursprünglichen ergibt, ist sie quadratisch messbar.— Die Schwierigkeit der linearen Inkommensurabilität kann also auf dem Wege der quadratischen Kommensurabilität umgegangen werden. Noch interessanter wird dieselbe ‘Menon’-Szene von historischem Gesichtspunkt aus, wenn man bedenkt, dass das arithmetische Problem der Quadratverdoppelung mit dem Problem der Mittleren Proportionale zwischen einer Zahl und ihrem Doppelten Äquivalent ist'. Es muss in der Tat den pythagoreischen Aritlımetikern der folgende Satz bekannt gewesen sein: «Zwischen einer Zahl und ihrem Doppelten gibt es keine mittlere Proportionalzahl». Ich erschliesse die Kenntnis dieses Satzes aus dem noch stärkeren Satz Sectio canonis 3, der besagt: «Zwischen zwei Zahlen in überteiligem Verhältnis — also: (n+1):n — gibt es keine mittlere Proportionalzahl». Nun glaube ich — unter Berücksichtigung des eben angeführten arıthmetischen Satzes, sowie der vorlıin erwähnten ‘Menon’ - Szene— drei interessante Schritte in der Entwicklung der voreuklidischen Mathematik folgendermassen rekonstruieren zu dürfen: a.) Es tauchten zunächst in der Arithmetik Probleme auf, die man nicht lösen konnte. Man ist dann, auf dem Wege der genaueren Untersuchung, bald dahintergekommen, dass diesse Probleme in der Arithmetik entweder völlig unlösbar, oder nur unter gewissen Bedingungen lösbar sind. — Ein solches unlösbares Problem der Arithmetik war z. B. die mittlere Proportionalzahl (x) zwischen einer Zahl und ihrem Doppelten (also zwischen a und 2a). Es war natürlich eine grosse Errungenschaft, wenn man schon aussagen, und

EYNEAPIA THE 16 MA-T-OY 1968 auch begründen konnte: warum es eine solche Zahl nicht geben kann. ‘ 5.) Man hat wohl erst verhältnismässig später entdeckt, dass man dieselben unlösbaren (oder auch nur unter gewissen Bedingungen lösbaren) arithmetischen Probleme auf geometrischem Wege leicht lösen kann. Ist z.B. a nicht eine Zahl sondern eine beliebige gerade Strecke, so findet man die Mittlere Proportionale (x) zwischen a und 2a auf dem Wege, dass man mit a als Seite ein Quadrat konstruiert; die Diagonale (d) dieses Quadrats wird die gesuchte Mittlere Proportionale (d= x), nachdem a:d=d:2a ist. Man beweist die letztere Proportionalität mit Hilfe von ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken (siehe z.B. meine Abb. 3) — geseizt, dass die Verhältnisgleichheit (= Proportionalität) auch für inkommensurable Grössen definiert ist, wie z.B. in der sog. eudoxischen Definition bei EUKLID, «Elem.» V def. 5. — Man sieht also, dass auf dieser Entwicklungsstufe die geometrische Lösung derselben Aufgabe, die auf Stufe a.) arithmetisch unlösbar erschien, auf das engste verbunden ist — nicht nur mit der Kenntnis der Inkommensurabilitit, sondern auch mit derjenigen der eudoxischen Definition der Proportionalität. c.) Es gibt jedoch auch eine «mittlere Entwicklungsstufe» " zwischen a.) und 6.) Man kann nämlich die arithmetisch unlösbaren Probleme der Stufe a.) geometrisch auch so lösen, dass dabei weder das Problem der Kommensurabilitit (bzw. Inkommensurabilitât) noch die Frage der Proportionen berücksichtigt werden. Allerdings muss man dazu die ursprüngliche Aufgabe transformieren, Man fragt z.B. in dem vorhin behandelten Fall nicht nach der Mittleren Proportionale zwischen einer Zahl (oder Grösse) und ihrem Doppelten, sondern man fragt nach jener Strecke, mit deren Hilfe ein Quadrat mit gegebener Seite (a) sich verdoppeln lässt. Diese letztere Frage ist der vorigen (nach der Mittleren Proportionale) völlig gleichwertig; doch braucht man nach der Transformation sich gar nicht mehr um die Proportionen und um die Frage der Inkommensurabilität zu ktimmern. Die grosse Bedeutung dieser mittleren Entwicklungsstufe besteht eben darin, dass die Transformation der Aufgabe die Probleme der Proportionen und der Inkommensurabilität sozusagen ausschlatet. Vermutlich eben die Entdeckung dessen, dass die ange-

AKAAHMIAZ AOHNQN deutete Transformation möglich ist, hat den Ausbau jener interessanten pythagoreischen ‘Fldchengeometrie’ veranlasst, die ich in dem folgenden behandeln werde, und die man früher als «geometrische Algebra» interpretieren wollte. * Nun möchte ich hier vor allem darauf hinweisen, dass jene historische Entwicklung in drei Stufen, die ich (in den Punkten a., b. und e.) zu konstruieren versuchte, sich in der Tat mit zahlreichen Beispielen aus EUKLIDs «Elementen» illustrieren lässt. Es seien hier darum zunächst drei Beispiele dafür eingefügt. Erstes Beispiel Stufe a) Man denke an die folgenden arithmetischen Sätze in den «Elementen» : IX. 16: «Sind zwei Zahlen gegeneinander prim, so ist nicht möglich, dass, wie die erste zur zweiten, sich die zweite zu einer weiteren verhielte.» (Sind also a und 5 relativ prim, so gibt es keinex, woraufa:b= =b:x wäre). IX. 18: «Bei zwei gegebenen Zahlen zu prüfen, ob es möglich ist, zu ihnen eine Dritte Proportionale zu finden». (Also wie sollen die Zahlen a und 5 beschaffen sein, damit man eine x finden könne, worauf a:b=b:x ist?) IX. 19: «Bei drei gegebenen Zahlen zu prüfen, ob es möglich ist, zu ihnen eine Vierte Proportionale zu finden.» (Wie sollen die Zahlen a, è und c beschaffen sein, damit man eine x finden könne, worauf a:b=c:x ist?) Man ersieht aus diesen Sätzen, dass es zu jener Zeit, als diese abgefasst wurden, den Arithmetikern schon bekannt war: die Aufgabe, eine Dritte Proportionale zu zwei gegebenen Zahlen, a und b — oder eine Vierte Proportionale zu drei gebebenen Zahlen, a,b und c— zu finden, ist nur unter gewissen Bedingungen lösbar. Stufe 5.) Natürlich kann man dieselben in der Geometrie — wenn a, b und c keine Zahlen, sondern beliebige gerade Strecken sind — immer lösen. Eben dies wird bei EUKLID in den Sätzen VII 11 und 12 gezeigt. Doch werden die Konstruktionen der letzteren Sätze nur

SYNEAPIA THE 16 MA:I'OY 1968 aufgrund der eudoxischen Definition der Proportionalität gültig. Denn die gefundene Dritte bzw. Vierte Proportionale wird ja häufig eine inkommensurable Grösse, Stufe c.) Man kann jedoch dieselben Aufgaben — auf einer vermutlich mittleren Entwicklungsstufe — auch ohne Rücksicht auf Proportionen und Inkommensurabilität allgemeingültig lösen, wenn man die folgende Transformation vollzieht. Die Frage nach der Dritten Proportionale zu zwei gegebenen Zahlen oder Grössen (a:5=b:x) lässt sich auch so auffassen: gegeben ist das Quadrat bd’, und man sucht das flächengleiche Rechteck ax, dessen eine Seite (a) ebenfalls gegeben ist. Ähnlicherweise transformiert man die Frage nach der Vierten Proportionale (a:b==c:x): gegeben ist das Rechteck be, und man sucht das andere flächengleiche Rechteck mit der einen gegebenen Seite a. — Für beide Aufgaben gilt der Euklidische Satz: I 44: «An eine gegebene Strecke ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel anzulegen.» {Nur zuliebe einer grösseren Allgemeingültigkeit ist in dem Wortlaut dieses Satzes die gegebene Fläche, anstatt eines Rechtecks, ein «Dreieck»; und eben darum redet auch EUKLID anstatt des anderen Rechtecks von einem «Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel».) Das ist die bekannte parabolische Flächenanlegung der Pythagoreer, bei der die Inkommensurabilitàt und die Proportionen nicht berücksichtigt werden. Zweites Beispiel Stufe a.) Man beachte die beiden Sätze bei FUKLID:" VIII 18: «Zwischen zwei ähnlichen ebenen Zahlen gibt es eine Mittlere Proportionalzahl.» und VIII 20: «Lässt sich zwischen zwei Zahlen eine Mittlere Proportionalzahl einschalten, so müssen die Zahlen ähnliche ebene Zahlen sein,» (Zugrundeliegen beiden Sätzen die Definitionen: VII def. 16 und def. 21.) Im Sinne dieser beiden Sätze gibt es also zwischen zwei Zahlen, a undd, nur dann eine Mittlere Proportionalzahl, wenn eine solche Faktorenzerlegung möglich ist: a = cd und c:e=d:f b=ef, wobei ist. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, so findet man

AKAAHMIAZ AOHNON keine Mittlere Proportionalzahl zwischen den beiden gegebenen Zahlen, d.h. die betreffende Aufgabe ist arithmetisch unlösbar. Stufe b.) Sind jedoch a und è keine Zahlen sondern beliebige gerade Strecken, so findet man zu ilınen immer die Mittlere Proportionale nach dem Euklidischen Satz VI 13. Doch ist die Konstruktion des letzteren Satzes wieder nur aufgrund der eudoxischen Definition der Proportionalität gültig. Denn die gefundene Mittlere Proportionale wird ja häufig eine inkommensurable Grösse. Stufe c.) Man kann dasselbe Problem auf einer «mittleren Entwicklungsstufe» mit der folgenden Transformation lösen. Die Frage nach der Mittleren Proportionale zwischen zwei gegebenen Zahlen oder Grössen (a:x=x:b) ist gleichwertig mit dem Problem: gegeben ist das Rechteck ab, und man sucht dazu das flächengleiche Quadrat (x°). — Gerade diese Aufgabe wird bei EUKLID — ohne Proportionen und ohne Rücksicht auf die Inkommensurabilität— in dem Satz II 14 gelöst. Drittes Beispiel Stufe a.) Als drittes Beispiel möchte ich den sog. ‘pythagoreischen Lehrsatz’ selbst anführen. Wie bekannt, lässt sich dieser Satz arithmetisch nur dann verifizieren, wenn die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks sog. ‘pythagoreische Zahltripel’ (also etwa 3,4, 5; oder 7, 24, 25 etc.) sind. Es scheint, dass die Bahnbrecher der griechischen Mathematik in der Tat an dieser arithmetischen Verifikation interessiert waren. (Wohl darum hat man auch Regeln dafür ausgearbeitet, wie man solche “Tripel in unbeschränkter Anzahl herstellen kann!) Nun ist also die Verifikation des ‘pythagoreischen Lehrsatzes’ wohl auch eine solche Aufgabe, die in der Arithmetik nur unter sehr beschränkten Bedingungen lösbar ist. Stufe b.) Allgemeingültig beweist man den ‘pythagoreischen Lehrsatz’ meistens mit Hilfe von Proportionen, indem man von dem rechten Winkel auf die Hypotenuse das Lot fällt, und dadurch das gegebene rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere, sowohl untereinander wie auch zu dem ursprünglichen Dreieck ähnliche rechtwinklige Dreiecke auflöst. Nachdem die Seiten der Ähnlichen Dreiecke unter-

EYNEAPIA MA'TOY 1968 einander proportionell sind, kann man aus den 213 entsprechenden Proportionen die bekannte Formel a? + b*=c* leicht ableiten. — Wohl ist ein solcher Beweis bei EUKLID nicht überliefert worden. Da jedoch eine allgemeinere Form des ‘pythagoreischen Lehrsatzes’ auch bei EUKLID (VI 31) mit Proportionen bewiesen wird, kann man mit Recht vermuten, dass der Beweis mit Proportionen für die gewölinliche Form desselben Satzes auch schon in voreuklidischer Zeit wohl benutzt wurde. — Doch wird ein solcher Beweis mit Proportionen nur dann zwingend, wenn die Proportionalität auch fiir inkommensurable Grössen irgendwie schon definiert ist. (Diese Aufgabe erfüllt bei EUKLID die eudoxische Definition: V def. 5). Stufe c.) Bei EUKLID wird der ‘pythagoreische Lehrsatz’ (I 47) nicht mit Proportionen, sondern mit einer Art ‘Flachengeometrie’ bewiesen, fiir welche dasselbe charakteristisch ist, was auch in den beiden anderen Beispielen die Stufe c./kennzeichnet, dass sie nämlich die Proportionen und das Problem der Inkommensurabilität gar nich berücksichtigt. (Zu dem folgenden siehe Abb. 4) Verlängert man nämlich das Lot (CD) von dem rechten Winkel eines allgemeinen rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse, so wird dadurch — also durch DE — das Quadrat auf der Hypotenuse in die beiden Rechtecke «R,» und «R,» geteilt. Dass nun «R,» = «Q,» und «R.» = «Q,» ist, wird folgendermassen gezeigt. Die beiden schraffierten Dreiecke CAF und HAB (Abb. 5) sind offenbar kongruent; je zwei Seiten und ihr Winkel sind nämlich auf alle Fälle gleich. Das eine Dreieck (HAB) macht dabei die halbe Fläche von «Q,», während das andere (CAF) die halbe Fläche von «R,» aus (vgl. den Satz I 41 bei EUKLID). Darum müssen also auch die ganzen Flächen «Q,» und «R,» untereinander gleich sein. — Mit ebensolchen «Hilfsdreiecken» beweist man auch die Gleichheit von «O,» und «R,»; und addiert man dann die beiden Teilergebnisse für «R,» und «R,», so hat man damit den pythagoreischen Lehrsatz “flächengeometrisch’ bewiesen. Nun hoffe ich, sowohl mit dem ‘Menon’-Beispiel wie auch mit den danach angeführten anderen drei Beispielen im voraus wahrscheinlich gemacht zu Bestandteile haben, dass jene ,“Flachengeometrie’, deren elementare in folgenden zusammengestellt werden — also

IIPAKTIKA THE AKAAHMIAY AGHNON Stufen c.f—die Anwendung von Proportionen und das Problem der Inkommensurabilität zu beseitigen bestrebt war. * Wir werden die elementarsten Bestandteile jener ‘Flächengeometrie’, die bisher, nach einem Vergleich von P. TANNERY,’ als «geometrische Algebra» ausgelegt wurde, in drei Punkten überblicken. 1. Es wird sich lohnen, wieder von der Sklavenszene in PLATONs Dialog ‘Menon’ auszugehen. — SOKRATES zeigt dem Sklaven zunächst ein Quadrat mit 2 Fuss langer Seite. Das gezeichnete Quadrat bestcht also aus vier kleineren, nachdem die Seite zweigeteilt ist. Später wird durch SOKRATES auch darauf hingewiesen, dass die Diagonale die Quadratfläche halbiert. (Siehe Abb. 6 sowohl für die Auflösung der Quadratfläche in vier kleinere Quadrate, wie auch für die Halbierung mittels der Diagonale. Schon hier muss ich auch die triviale Tatsache hervorheben, dass die Strecken, die die Seiten halbieren, und die Diagonale sich in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt der Diagonale wird in dem folgenden eine wichtige Rolle spielen.) Nun sind die beiden Arten, die Quadratfläche in kleinere Bestandteile aufzulösen — also das Teilen mittels der Diagonale einerseits, und das Halbieren der Seiten andrerseits—, in je einer allgemeineren Form, auch als Euklidische Sätze überliefert worden. Denn bei EUKLID wird ja in dem Satz I 34 gerade dasselbe, was SOKRATES über die Quadratdiagonale ausspricht, auf Parallelogramme verallgemeinert: «das Parallelogramm wird durch seine Diagonale halbiert»s.— Noch interessanter ist die Euklidische Verallgemeinerung dessen, wie man das Quadrat durch Teilen der Seite in kleinere Flächenbestandteile auflöst. SOKRATES ging von jenem einfachsten Fall aus, dass die Seite des Quadrats halbiert wird; dies führt zu vier kleineren kongruenten Quadraten. Aber wie wird die Quadratfläche aufgelöst, wenn man die Seite in zwei beliebige Segmente teilt? Gerade dies wird bei Euklid in dem Satz II 4 behandelt: «Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Quadrat über der ganzen Strecke den Quadraten über den Abschnitten und zweimal dem Rechteck aus den Abschnitten zusammen gleich». Durch das Teilen der Quadratseite in zwei beliebige Segmente wird also die Quadratfläche selbst in die Summe von zwei verschiedenen Qua-

ZYNEAPIA MA'I'OY 1968 215 draten und von zwei kongruenten Rechtecken aufgelöst (siehe Abb. 7).— Wohl ist dieser Euklidische Satz das geometrische Aquivalent fiir unsere algebraische Formel fa + 6)? = a+ b' + 2ab, aber ich glaube nicht, dass man diese ‘Tatsache in dem Sinne auslegen dürfte, als ob hier die «nachträgliche Geometrisierung eines urspriinglich algebraischen Gedankenganges» vorlige. Denn erstens kann man aus der griechischen Uberlieferung der voreuklidischen und Euklidischen Zeit die Spuren von irgendwelchen echt algebraischen Gedankengängen gar nicht nachweisen. Und zweitens würde man durch die eben angedeutete historische Auslegung auch den grundlegenden Unterschied zwischen der angeführten algebraischen Formel und dem vorhin zitierten Euklidischen Satz unerlaubterweise verwischen. Schliesslich ist ja der Ausdruck (a+b)' in der Algebra viel allgemeingültiger als der entsprechende bloss-geometrische Satz bei EUKLID. (Der geometrische Satz ist nur eine mögliche Auslegung für die algebraische Formel, die jedoch keineswegs nur «Quadrate» und «Rechtecke» bedeuten kann!) 2. Es lässt sich zeigen, dass die Pythagoreer den eben zitierten Satz II 4— über die Auflösung der Quadratfläche durch das Teilen der Seite in zwei beliebige Segmente — auch auf Parallelogramme verallgemeinert hatten. Ihr alter Satz hiess etwa folgendermassen (siehe Abb. 8): «Zieht man durch einen beliebigen Punkt der Diagonale zwei Parallelen zu den beiden Seiten eines Parallelogramins, so wird dadurch die Fläche des Parallelogramms in insgesamt vier Flächenstücke zerlegt. Von diesen vier Flächenstücken sind zwei — die beiden ‘um die Diagonale liegenden Parallelogramnıe’ (die leergelassenen Flächenstücke in fbb. 8) — sowohl untereinander wie auch zu dem ursprünglichen Parallelogramm ähnlich, während die beiden anderen Flächenstücke — die sog. zaganınowmara (schraffiert in Abb. 8) — untereinander gleich sind». Wohl ist dieser Satz zunächst nur meine eigene Rekonstruktion. Man findet ihn bei EUKLID nirgends in dieser wiederhergestellten Form. Denn EUKLID musste ihn — offenbar aus kompositorischen Gründen — in zwei Sätze zerlegen, von denen den eine erst im Buch VI. der «Elemente» untergebracht werden konnte. In der Tat behandelt der Satz VI 24 die ITAA

THE AKAAHMIAS AOHNON Ahnlichkeit der ‘um die Diagonale liegenden Parallelogramme’; zu dem vollständigen Beweis dieses Satzes ist ja die eudoxische Definition der Proportionalität im V. Buch (V def. 5) unerlässlich nötig. — Dagegen konnte die andere Hälfte des rekonstruierten Satzes— über die Gleichheit der Ergänzungen’ (parapleromata) — auch schon im I. Buch behandelt werden {I 43), nachdem in diesem Fall die Proportionalitat und die Inkommensurabilität gar nicht berücksichtigt werden mussten. Der Beweis für diesen letzteren Satz wird einfach auf dem Wege von Subtraktion der überflüssigen Flächenstücke geführt. - Num muss ich hier nachdrücklich betonen, dass der von mir eben rekonstruierte Satz eine sehr wichtige Rolle in jener ‘pythagoreischen Flächengeometrie’ gespielt hatte, die nach P. TANNERY den unglücklichen und irreführenden Namen «geometrische Algebra» erhielt. Der Satz über die Gleichheit der ‘parapleromata’ hat z.B. jene parabolische Flächenanlegung der Pythagoreer '* ermöglicht, auf die ich hier nochmals hinweisen möchte. — Es wurde oben, anlässlich meines «ersten Beispiels», schon erwähnt, dass man die Suche nach der Vierten Proportionale zu drei gegebenen Zahlen oder Grössen (a:b =c:x) auch so auffassen kann: gegeben ist das Rechteck be, und man sucht dazu das andere flächengleiche Rechteck, dessen eine Seite (a) ebenfalls gegeben ist. Nun wird diese Aufgabe bei EUKLID in dem Satz I 44 aufgrund der folgenden Überlegung gelöst (siehe 465. 9 und 10): man fasst das gegebene Rechteck be als ein ‘parapleroma’ auf. Eine beliebige Seite des gegebenen Rechtecks fc oder 5) und die Strecke a ergeben im ersten Schritt das eine ‘um die Diagonale liegende Parallelogramm’ (ac oder ab). Die Verlängerung der Diagonale selbst und die Verlängerung der Rechteckseite (coder b) ergeben im zweiten Schritt auch das andere ‘um die Diagonale liegende Parallelogramm’ (bx oder ex). Nachdem man nun das eine ‘parapleroma’ und die beiden ‘um die Diagonale liegenden Parallelogramme’ gewonnen hat, muss man nur noch das andere ‘parapleroma’ bzw. seine gesuchte Seite x hinzufügen. (Parabolisch heisst diese Art Flächenanlegung deswegen, weil die gegebene Fläche bc an die gegebene Strecke a angelegt wird; vgl. das Wort zagaßuhkew). Aber es gibt auch einen anderen, wie mir scheint, noch wesentlicheren Beleg dafür, dass der vorhin rekonstruierte Satz eine sehr bedeu-

EYNEAPIA MA’IOY 1968 217 tende Rolle in der Geometrie der Pythagoreer gespielt haben muss. Fasse man nur noch einmal denselben Satz ins Auge. Man zieht durch einen beliebigen Punkt der Diagonale zwei Parallelen zu den beiden Seiten eines Parallelogramms; es wird dadurch die gegebene Fläche in zwei solche Flächenstücke zerlegt, die untereinander gleich, und in zwei andere, die untereinander (und zu dem ursprünglichen Parallelogramm) ähnlich sind.— Hat nicht eben diese, an und für sich einfache und doch schöne Entdeckung auch zu jener berühmten altpythagoreischen Aufgabe geführt, über die PLUTARCH bei einer Gelegenheit-(Symp. VIII 2,4) folgendermassen berichtet: «Es gibt unter den schönsten geometrischen Theoremen, oder eher Problemen, die folgende: gegeben sind zwei Figuren, und man soll eine dritte konstruieren, die der einen von den gegebenen gleich und der anderen von den gegebenen ähnlich auch, ist. Man sagt dass PYTHAGORAS in seiner Freude über diese Entdeckung sein berühmtes Opfer dargebracht hätte. Kein Zweifel, dieses Theorem ist in der Tat viel raffinierter und der Wissenschaft viel würdiger, als jenes andere, wonach das Quadrat auf der Hypotenuse der Summe der Quadrate auf den beiden Katheten gleich ist» '. 3. Zum Schluss muss ich unter den elementaren Bestandteilen der behandelten pythagoreischen ‘Flachengeometrie’ noch die Euklidische Definition für den geometrischen Begriff ‘Gnomon’ anführen: II def. 2: «In jedem Parallelogramm soll ein beliebiges der um seine Diagonale liegenden Parallelogramme zusammen mit den beiden Ergänzungen {parapleromata} ein Gnomon heissen». Wie man sieht, hat auch zu diesem Begriff die vorhin behandelte Vierteilung des Parallelogramıms geführt. Man zieht nämlich durch einen beliebigen Punkt der Diagonale zwei Parallelen zu den beiden Seiten des Parallelogramms. Aber diesmal werden von den insgesamt vier Flächenstücken, die auf diese Weise entstehen, drei — ein beliebiges der ‘um die Diagonale liegenden Parallelogramme’ und die beiden ‘parapleromata’ — als «Gnomon» zusammengefasst. Zur Illustrierung zeige ich als dbb. 11 den Gnomon eines Quadrats. Die drei Bestandteile des Gnomons wurden durch verschiedene Schraffierungen kenntlich gemacht. Ausserdem zeigt

AKAAHMIAE AGHNON diese Abbildung auch noch, dass das ursprüngliche Quadrat (x*) diesmal in die Summe des kleineren Quadrats (y°) und des Gnomons aufgelöst wurde. (Mit anderen Worten: subtrahiert man das kleinere Quadrat y° von dem grösseren x’, so bleibt ein Gnomon übrig). Wichtig ist nun die eben angedeutete Auflösung des Quadrats fx") in die Summe eines kleineren Quadrats (y°) und des Gnomons deswegen, weil man dabei den Gnomon selbst sehr leicht in ein Rechteck verwandeln kann. Ja, es gibt sogar zwei verschiedene Möglichkeiten für diese Verwandlung des Gnomons in flächengleiches Rechteck. Man kann nämlich entweder so verfahren, wie es unsere Abb. 12, oder so wie es die Abb. 13 zeigt. In dem einen Fall fAbb. 12) bleibt bloss das eine ‘parapleroma’ an seiner ursprünglichen Stelle; dagegen wird die Fläche, die aus dem ‘Parallelogramm um die Diagonale’ (dem kleinsten Quadrat, auf unserer Abbildung) und dem anderen ‘parapleroma’ besteht, dem an seiner Stelle belassenen ‘parapleroma’ als eine Art ‘Fortsetzung nach links zu’ hinzugefügt. — In dem anderen Fall (Abb. 13) bleiben dagegen das eine ‘parapleroma’ und das ‘kleinste Quadrat’ an ihren urspriinglichen Stellen, und bloss das andere ‘parapleroma’ wird ihnen als ‘Fortsetzung nach links zu? hinzugefügt. —In beiden Fällen wird die eine Seite des konstruierten Rechtecks, das dem Gnomon flächengleich ist (schraffiert in den Abb. 12 und 13): x + y. und die andere Seite: x— y. (Zu den Buchstaben x und y siehe auch Abb. 11). Ein Unterschied bestelt zwischen den beiden Fällen bloss insofern: was mit dem “kleinsten Quadrat’, dem Bestandteil des ursprünglichen Gnomons wird ? — In dem ersten Fall (Abd. 12) scheint dieses kleinste Quadrat dem konstruierten Rechteck zu fehlen (eine). Darum ist dies ein sog. elliptischer Fall der Flächenanlegung. — In dem anderen Fall (Abd. 13) shiesst dasselbe kleinste Quadrat über das Quadrat y’ hinaus («Überschuss» = OsepBo).ú). Darum ist dies ein Ayberbolischer Fall der Flächenanlegung. — Nun kann ich mich in diesem Zusammenhang mit der ‘Elleipsis’ und mit der ‘Hyperbole’ nicht eingehender beschäftigen”. Es sei hier nur darauf hingewiesen, dass bei EUKLID in der Konstruktion des Satzes II 5 eben die angedeutete elliptische Flächenanlegung, während in der Konstruktion des Satzes II 6 der Ayperbolische Fall zur Anwendung kommt.

ZYNEAPIA MA'TOY 1968 219 IV. Nun können wir zu dem Satz II 5, dessen Genesis hier erklärt werden soll, zurückkommen. Es wurde oben im Kapitel II. schon angedeutet, dass dieser ein Hilfssatz zu dem Beweis des anderen wichtigen Satzes, II 14 ist; er wird auch in dem Beweisteil des letzeren wörtlich zitiert. Darum fassen wir vor allem den Satz II 14 näher ins Auge. Die in ihm behandelte Aufgabe heisst: «Ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Quadrat zu errichten». EUKLID erstrebt immer die grösstmögliche Allgemeingültigkeit. Darum geht er nicht sogleich von einem Rechteck, sondern im allgemeinen von einer «geradlinigen Figur» aus. Zuerst wird — unter Hinweis auf den früheren Satz I 45 — die gegebene «geradlinige Figur» in Rechteck verwandelt, und erst dann kommt der wesentliche Inhalt des II 14, der sog. ‘tetragonismos = «das Verwandeln des Rechtecks in flächengleiches Quadrat». Ich habe oben, in meinem «zweiten Beispiel» schon darauf hingewiesen, dass das Verwanden eines Rechtecks in flächengleiches Quadrat der Aufgabe die Mittlere Proportionale zwischen zwei Zahlen oder Grössen zu finden, gleichwertig ist. Die Konstruktion der Mittleren Proportionale zu zwei geraden Strecken wird bei EUKLID in dem Satz VI 13 behandelt. Die beiden Sätze, VI 13 und II 14, führen also zu demselben Ergebnis '*, Uns interessiert jedoch diesmal eben der Unterschied der beiden Sätze. Das Überraschende and den Konstrukrionen in VI 13 und II 14 ist nämlich, dass die wichtigsten Schritte in beiden Fällen auf den ersten Anblick als völlig identisch aussehen (siehe Abb. 14). In beiden Fällen werden zunächst die Seiten des betreffenden Rechtecks — bzw. die Strecken a und b, zu denen man die Mittlere Proportionale sucht — einer geraden Linie entlang addiert. Dann halbiert man die Summe der beiden Strecken und man schlägt mit der halben Strecke den Jlalbkreis um den Halbierungspunkt. Und schliesslich errichtet man die Senkrechte in dem Berührungspunkt der beiden Strecken a und b bis zur Peripherie des Halbkreises; die so gewonnene Strecke d wird die gesuchte Mittlere Proportionale zwischen a und db, bzw. die Seite des dem ab flächengleichen Quadrats. Beachtet man bloss die eben zusammengefassten Schritte, so wäre

IIPAKTIKA THE AKAAHMIAE AOHNQN man zunächst geneigt, die beiden Konstruktionen VI 13 und II 14 für identisch zu halten. Und doch uuterscheidet sich der Sinn derselben Schritte in den beiden Fällen so vollkommen wie nur möglich! Die Gedankengänge der beiden Sätze, die sich hinter den «identischen Schritten» stecken, sind völlig verschieden. Man überlege sich nämlich zunächst, welchen Sinn die eben angedeuteten Schritte — von dem Gesichtspunkt des Satzes VI 13 aus — haben müssen. Man addiert die beiden Segmente a und è — zu denen die Mittlere Proportionale gesucht wird —, weil man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (AC, 46d. 14) bekommen will. (Man weiss dabei im voraus, dass a und b je für sich längere Kathete bzw. kürzere Kathete von zwei anderen rechtwinkligen Dreiecken werden!) Man halbiert das Segment AC, und man schlägt mit der halben Strecke den Halbkreis, weil man — im Sinne des thaletischen Satzes — zunächst die geometrischen Stellen aller jener rechtwinkligen Dreiecke sucht, deren Hypotenuse AC ist. Und schliesslich wird d die gesuchte Mittlere Proportionale zwischen a und b, weil sie kürzere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ABD, und zu gleicher Zeit längere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks BCD ist, wobei die Dreiecke ABD und BCD untereinander ähnlich sind.—Zweifellos bildeten eben diese Gedanken die Grundlage zu der Konstruktion in dem Satz VI 13. Aber man findet nichts von denselben Gedanken in der nur scheinbar identischen Konstruktion des Satzes II 14. — Versuchen wir in dem folgenden jene Gedankengänge zu reproduzieren, die zu der Konstruktion in dem Satz Il 14 geführt hatten '". Soll man ein gegebenes Rechteck ab — ohne Anwendung von Proportionen — in flächengleiches Quadrat verwandeln, so denkt man etwa folgendermassen. Wir haben sozusagen einen Weg hinter uns zu legen. Gegeben ist unser «Ausgangspunkt», das Rechteck ab. Das «Ziel», zu dem wir gelangen müssen, ist das dem Rechteck ab flächengleiche Quadrat, d’. — Man hat das Gefühl, dass «Ausgangspunkt» und «Ziel» ziemlich weit voneinander entfernt sind; es gibt sozusagen einen NiveauUnterschied zwischen den beiden. Könnten «Ausgangspunkt» und «Ziel» nicht irgendwie einander nähergebracht werden? Es wäre z.B. sogleich etwas gemeinsames in dem «Ausgangspunkt» und in dem «Ziel», wenn man sie beide als Zrgebnisse je einer geometrischen Operation auffassen könnte, Wie wird nun sowohl das gegebene Rechteck ab, wie auch das

ZYNEAPIA MA'TOY 1968 221 gesuchte Quadrat d’ zum «Ergebnis je einer Operation»? — Wir wollen es zunächst mit dem Rechteck versuchen. Man denke an die Subtraktion in den obigen Abbildungen 11 und 12, Subtrahiert man von einem grösseren Quadrat x’ ein kleineres y°, so bleibt ein “Gnomon? übrig, der jedoch sehr leicht in das Rechteck (x +y).(x— rv) verwandelt werden kann. — Unser Rechteck (ab) unterscheidet sich von dem letzteren bloss darin, dass hier anstatt der Quadrate, die man auseinander subtrahieren soll —a* und y’—, unmittelbar die Seiten des Rechtecks a und 6 gegeben sind. Aber selbstverständlich kann man aus den beiden Seiten des Rechtecks auch die Quadrate x* und y° bekommen : 2 xi ( >) __ 3 und y* = ¢ 3 >) . (Siehe die Abb. 12). Wir fassen also unseren «Ausgangspunkt», das Rechteck ab als die Differenz der deiden Quadrate ( + 2) (>) auf. So wird der «Ausgangspunkt» zu dem «Ergebnis einer geometrischen Operation». (Eigentlich wird eben diese Transformation des «Ausgangspunktes» durch den Hilfssatz II 5 im voraus zustandegebracht !) Ähnlich kann man auch das «Ziel», zu dem wir gelangen wollen, d’, als «Ergebnis einer anderen geometrischen Operation» auifassen. Ja, auch diese andere Operation kann eine Subtraktion sein. Denn für das rechtwinklige Dreieck in unserer 8). 15 gilt ja der ‘pythagoreische Lehrsatz’: «== y +d*, Subtrahiert man darum aus dem Quadrat der Hypotenuse das Quadrat der einen Kathete, so bekommt man das Quadrat der anderen Kathete : a° — y’=d?.— Hat man dies erkannt, so hat man die Lösung unserer Aufgabe — das Verwandeln des Rechtecks ab in flächengleiches Q uadrat — sozusagen schon in der Hand. Denn vorhin führte die Subtraktion der beiden Quadrate auseinander zu einem Rechteck, und jetzt führte dieselbe Subtraktion® zu einem + Quadrat. Will man also ein Rechteck ab in flächengleiches Quadrat verwandeln, so besteht die I,ösung daraus, dass man die beiden Ergebnisse ‘ a+k miteinander verbindet. Das grössere Quadrat ( > ):

AKAAHMIAZ AOHNON das kleinere subtrahiert, wird das Quadrat auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Dagegen wird das kleinere, das subtrahierte a—b\? . B . Quadrat (>) das Quadrat auf der einen Kathete. Aus den beiden Angaben: Hypotenuse = a b . - und eine Kathete a—b - 2 . soll man die andere Kathete des rechtwinkligen Dreiecks bekommen (siehe bb. 16). Das Quadrat auf dieser anderen Kathete (d) ist flächengieich dem gegebenen Rechteck ab. Das ist der Sinn der Konstruktion im Satz II 14. Man sieht also, dass das Addieren der beiden Seiten des Rechtecks (a-+b) in dieser Konstruktion (s. Abb. 16) in der Tat einem anderen Sinn hat, als in dem Satz VI 13 (siehe zu dem leztzeren die Abb. 14). Dort addierte man die beiden Strecken, weil die Summe a+ 5 Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks wurde, Diese Hypotenuse musste in VI 13 halbiert werden, um den thaletischen Satz anwenden zu können. — Dagegen haben dieselbe Addition und dieselbe Halbierung in Il 14 den Sinn, dass die halbe Summe der beiden Seiten des Rechtecks: a +b selber Hypotenuse eines anderen rechtwinkligen Dreiecks wird (4bb. 16). Es sei hier als eine interessante Tatsache noch hervorgehoben, dass in der Konstruktion des Satzes II 14 die Seite jenes kleineren Quadrats a —b\° ( 2 ): das von dem Quadrat der Hypotenuse a+ b\? CS) . subtrahiert 4 wird, gar nicht besonders konstruiert werden soll. Denn die Streche zwischen dem Halbierungspunkt von a + b und dem Berührungspunkt von a und b . a—b = y. ist eben: * Zum Schluss muss ich noch meine frühere Behauptung — dass nämlich der Satz II 5 nur einen Hilfssatz, sozusagen einen «Fertigbauteil» zu dem Beweis des Satzes II 14 darstellt — etwas näher begründen. Es sci vor allem darauf hingewiesen dass EUKLID den II 5 (den Wortlaut siehe oben am Anfang des I. Kapitels) an einer Zeichnung erklärt und beweist, die in allem wesentlichen meiner Abb. 12 entspricht. Mit dieser Abbildung habe ich veranschaulicht, wie die Pythagoreer eine beliebige Quadratfläche in die Summe eines kleineren Quadrats und eines

SYNEAPIA THE 16 MA:I-OY 1968 Gnomons, bzw. in diejenige eines Quadrats und eines Rechtecks auflösten. Es handelt sich im Grunde eben um dasselbe auch in dem Satz II 5. Allerdings geht EUKLID nicht von einem Quadrat, sondern von einer Strecke aus, die halbiert und in ungleiche Abschnitte geteilt wird. —Das Teilen in ungleiche Abschnitte ist offenbar nur die Umkehrung dessen, dass in II 14 die beiden Seiten des Rechtecks addiert werden. In II 14 macht man aus den beiden Seiten des Rechtecks eine Strecke, während in II 5 aus der gegebenen Strecke — durch beliebiges Teilen —ein Rechteck gemacht wird. — Die «Halbierungen» haben in beiden Sätzen — II 5 und II 14 — denselben Sinn: auf die halbe Strecke wird jenes grössere Quadrat errichtet, von dem ein kleineres subtrahiert werden soll. Aber noch interessanter ist das folgende. Ich habe schon hervorgehoben, dass zu der Anwendung des ‘pythagoreischen Lehrsatzes’ in II 14 auch die halbe Differenz der beiden Rechteckseiten ( =) nötig ist. (Das Quadrat auf dieser Strecke wird von dem Quadrat der Hypotenuse ( atb\? . . . . 3 ) subtrahiert.) Man braucht jedocli diese Strecke gar nicht besonders zu konstruieren; sie ist die «Strecke zwischen dem Halbierungspunkt von a+b und dem Berührungspunkt von a und b». Dasselbe Segment wird bei EUKLID in II 5 als die «Strecke zwischen den Teilpunkten» bezeichnet. — Auch diese sprachlich schwerfällige, beinahe unbeholfene Bezeichnungsart ist für mich ein schlagender Beweis dafür, dass der alte Geometer den Satz II 5 im Hinblick auf II 14 im voraus aufgestellt und bewiesen hatte. V. Man kônnte jene Ergebnisse der vorangestellten Untersuchung, die mir auch von dem Gesichtspunkt der weiteren Forschung aus als wichtig vorkommen, etwa in den folgenden Punkten zusammenfassen: 1. Der Satz II 5 ist ein rein geometrischer Hilfssatz zu dem Beweis des Satzes II 14. Es wäre irreführend, diesen Satz als «Lösung einer algebraischen Gleichung» aufzufassen. Die algebraische Auslegung — auch wenn sie dem Satz EUKLIDs Äquivalent ist— verdunkelt den wahren geometrischen Sinn dieses Satzes, und historisch erweckt sie den fal-

AKAAHNMIAY AOMNDN schen Schein, als hätten die Griechen in voreuklidischer Zeit in der Tat mit «algebraischen Gleichungen» operiert. 2. Ks wurde oben im Kapitel IT. auch darauf hingewiesen, dass auch die übrigen Sätze der sog. «geometrischen Algebra der Pythagoreer» sich als rein geometrische Sätze erklären lassen. Dagegen hat man Spuren von echt algebraischen Gedankengängen®' aus der voreuklidischen und Euklidischen Überlieferung bisher richt nachweisen können. 3. In einem Punkt werden jedoch die Gedanken von P. TANNERY, mit denen er die späteren Spekulationen über die angebliche «geometrische Algebra der Griechen» angeregt hatte’, beibehalten. P. TANNERY war nämlich der Ansicht, dass diese Art Geometrie ihr Entstehen der Entdeckung der Inkommensurabilität zu verdanken hat. Es wurde in der Tat auch in meiner Arbeit darauf hingewiesen, dass die behandelte ‘Flichengeometrie der Pythagoreer’ das Problem der Inkommensurabilität ausschaltet und die Benutzung von Proportionen konsequent vermeidet. 4. Jene Vermutungen, die die «geometrische Algebra der Pythagoreer» als Übernahme bzw. griechische Weiterentwicklung von urspriinglich babylonischen Gedankengängen auffassen wollten, waren voreilig. Der Zusammenhang dieser Art Kenntnisse mit der «babylonischen Wissenschaft» ist in der Wirklichkeit nirgends erwiesen. Im Gegenteil! Man hat eher den Eindruck, dass die hier behandelte ‘Flächengeometrie der Pythagoreer’ eine rein griechische Errungenschaft war.

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AKAAHMIAS AQHNQN ’ Anmerkungen to B.L. v.d. Waxnroen, Erwachende Wissenschaft, Basel-Stuttgart 1956 196. Ebd. 198. — Natürlich geht diese Erklärung auf H. G. Zeuvruex, bzw. noch i auf P. Taxxery zurück; siche unten meine Anm. 6. In diesem Siune wird II 5 natürlich auch bei Ty. L. Hearn, Euclid’s Elements vol. I 382 ff. (Dover Publication) behandelt, Darum redet Hari über eine «Geometrical solution of a quadratic equation», Der Unterschied gegen B.L. v.d. Warrpen besteht bloss darin, dass Hearn «Babylon» noch nicht erwähnt. Er hat ja seine Kompilation noch ror O. NEUGEBAUER zusammengestellt. Siehe die nächste Anm. Hingewiesen wird dabei gewöhnlich auf den Entdecker der sog. babylonischen Algebra: O. NEUGEBACER, «Zur geometrischen Algebra. Studien zur Geschichte der antiken Algebra III.», Quellen und Studien zur Gesch. d. Math. ete. B 3 1936 245 - 259. Das letztere nach B. L. v. d. WakrDEN, op. cit. 203. P. Tannery, «De la solution avant Fuclide», géométrique 1882 — Mémoires des ploblêmes Scientifiques I. Paris du second degré igt2. 254 -280.— H.G. ZeuruenN, dessen «Verdienste» um die Entdeckung der sog. «geometrischen Algebra der Griechen» durch 0. Neuvornaver (siehe oben meine Anti. 4) so übertrieben hervorgehoben wurden, hat in der Wirklichkeit in seinen beiden Werken («Die Lehre von den Kegelschnitten hagen 1886» und «Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, im Altertum, Kopen- Kopenhagen 1896»; ein Auszug aus dem letzteren Werk auch bei O. BECKER, «Zur Gesch. d. griech. Mathematik, Darmstadt, 1965» 18 ff.) — was die «geometrische Algebra» betrifft — nur den irreführenden Vergleich von P. TANNERY weitergebaut. (Man hätte sich nämlich erst einmal fragen müssen: inwiefern überhaupt erlaubt ist, im Zusammenhang mit Euxkııns geometrischen Konstruktio- Si Vgl B.L. v.d. WaERDEN, op. cit. 202. Nn nen über Lösungen von algebraischen Gleichungen zu reden !). Kommentar zu Praroxs Staat II. Kapitel 23 und 27. B.L. v.d. Warrven, op. cit. 206 ff. Wie bekannt, hat HrepoKratEs von Chios vorgeschlagen: man soll zwischen einer Zahl und ihrem Doppelten zwei Mittlere Proportionalen einfügen, und damit wird das Problem der Wiürfelverdoppelung gelöst; mathematische Denken der Antike, Göttingen vgl. O. Becker, Das 1957, 75.— Aber wie kam Hıprorratzs auf diesen glücklichen Einfall ? — Offenbar auf dem Wege, dass er wusste: die planimetrische Aufgabe der Quadratverdoppelung wird dadurch gelöst, dass man zwischen einer Zahl und ihrem Doppelten eine Mittlere Proportionale einfügt ; das verwandte stereometrische Problem der Würfelverdoppelung löst sich also wohl dadurch — so mag HippokRATES richtig geschlossen haben —, dass man anstatt einer einzigen zwei Mittlere Proportionalen

ZYNEAPIA MA TOY zwischen den. fraglichen Grössen (d.h. genauer; 1968 229 zwischen einer Grösse und ihrem Doppelten) einfügt. II. Ich will natürlich keineswegs behaupten, dass die Stufe e.) auch zeitlich der Stufe 6.) unbedingt vorangeheu muss. Die Stufen b.) und c.} könnten sehr wohl auch gleichaltrig sein. Wichtiger als die Frage der Chronologie — die sich hier nicht entscheiden lässt (denn schliesslich ist ja auch das nicht unbedingt sicher, dass die sog. «eudoxische Definition der Proportionalität» wirklich erst von Eupoxos stammt !) — scheint mir die Tatsache selbst, dass die Stufe c.) den Versuch zeigt, das hetreffende Problem ohne Rücksicht auf Proportionen und auf Inkommensurabilität zu lösen. 12. 13. Ich zitiere den Satz VIII 18 — Einfachheithalber — in verkürzter Form. Vgl. O. Becker, Das mathematische Denken der Antike, 52 ff. Siehe oben Anm. 6. Proclus in Rucl. (F) 419, 15-420, 23; aus der modernen Literatur siehe dazu Tu. L- Hearn, Euclid’s Elements vol. 1, 343 f. Ich kann mich mit dieser Aufgabe in dem vorliegenden Zusammenhang nicht eingehender beschäftigen. Man vergleiche jedoch dazu, wie diese in der historischen Forschung bisher behandelt wurde, einstweilen Tu. L. HRATH, Euclid’s Elements vol. 1, 343 ff. Siehe wieder die vorige Anmerkung! | Wie bekannt, hat J. L. Huermers (eMathematisches bei Aristoteles», Abhandlungen zur Gesch. d. math. Wissenschaften, 18. Heft, Leipzig 1904) Hinweis auf die beiden wichtigen ArisrotTeLes - Stellen, 13-20, und Metaph. B 2.996b 18-21, den Satz VI 13 unter De anima II 2.413a für den älteren und ursprünglicheren gehalten ; demgegenüber könnte— seiner Ansicht nach— I] 14 eine jüngere Variante sein. Derselben Ansicht hat sich auch Tu. L. Heatn («Mathematics in Aristotle», Oxford 1949 191-193) angeschlossen. — Ich muss in diesem Zusammenhang zwei Tatsachen festlegen: 1. der Satz II 14 ist aller Wahrscheinlichkeit nach altprthagoreisch; 2. die relative Chronologie der beiden Sätze VI 13 und Il 14 lässt sich nicht mit Bestimmtheit entscheiden. (Siehe auch oben meine Anmerkung 11.) Auch VI 13 kann altpythagoreisch sein, obwohl zu seinem Beweis bei Euknın allerdings die eudoxische Definition der Proportionalität nötig ist. Ich.möchte hier dankbar betonen, dass mein Leitfaden in der folgenden Rekonstruktion — wie auch sonst in der Rekonstruktion antiker mathematischer Gedankengänge sehr oft — das schöne Büchlein von G. Porva, «How to solve it? war. Ich bin überhaupt der Ansicht, dass nicht nur die mathematische Heuristik in den Dieust der historischen Forschung gestellt werden kann, sondern auch umgekehrt: die historische Forschung die keimende Wissenschaft der Heuristik fördern soll. Meine Buchstabierung in Abb. 15 wollte im den Leser erleichtern. voraus den Gedankengang für

ARAAHMIAT AOINON 4 25. Echt algebraisch ist z. B, die Interpretation von B. L. v. d. Wakrbkx für den Beweis des Satzes If 14 (Erwachende Wissenschaft 1956, 193; oder Science awakening 1963, 118). Anstatt von Flächen arbeitet hier der moderne Verfasser mit Produkten aus zwei Faktoren, bzw. mit Grössen zweiten Grades, wobei man die Gefahr läuft, dass in dem Leser der grundlegende Unterschied der Geometrie und der Algebra gar nicht bewusst wird. Natürlich ist auch der moderne Beweis von B. L. v. d. Warxpen tadellos. Aber mit dem antiken Gedankengang hat er in der Wirklichkeit gar nichts zu tun. 22. Vgl. oben meine Anmerkung 6. NEPIAH VIE TO zegtegduevov ris TagoVanz dvuxoiwwoems dururar và ouvoriodn eis tu esis onueta: ‘Ou lov, i) sig tà «otoryetu» tot Etrheidou zoóraous II 5, zui° fiv say evdvyoauuoy tuîua ty eis Tou 600v zal dvca uéon, TÜTE TO Ex TOv äviowv peody tot Ökov tuiuatos ÒoPordviov, Guot uetù TOÙ teroaydvou tot Ëzovrog mevoùv TO uetazù TOV BraroetizOv onuelov tuuu, ioolrar HE TO tetTOdyovov TO gov æhevoüuy TO fipuov tot Öhou tHipatog», GTOTEME yemueroizòv Anppa zoòs ardbeev tig neoaıteon els tà «ororzeta» tot Eùzieldov geoouévns xpotdceors II 14, za0° iy Cnteitar dawg eis «oder etdvvouupoy oyiua eboetlh Yoo’ TETOUYMVOY». Karta tov ovvyoapéa, eivan athdvy drws 1) aoôtaots II 14 éxluufiévnre, Gi > nodyua TO 6xotov zal cupBatver, ws N «&xthucis diyeBorziiz Eiadcews». ‘H diyeBari} aut) éxdoyy, Gv zat elvar laoddvanos uè thy modrao tod Etudefdou, ovoxzoticer tiv dAndij yewperounyy Evvorav tig zeordaews tattys, tatogimms dé mooxakel tiv Éopañuévnv Eyrunocıv, ds dy ol "Eiinves, eis tiv srooeuxdelderov exoyiiv, thoydoilov modypatt LE «diyeBorzàg ÉElouoeicr. “On 2ov, xui at kornal zoordoers tijs oÙTE xakovmévns eyeoperouiis “ALyéBous tov Iludayooriwv» dfov brag Eounverdoüv Os zuduoW; yEenperpizal ngotdSr ces. “Ort, dvrudéros, uézor onfueoov tyvy xabaod diyeBouxiis ozéyews 24 ni nooeuxherdelov zal Edbxhedelou nagaddcems dev zatéotn Svvarov và diantatodoby, "On, zaad tatra, 30v, moérer và Dewondotv etotavtotoa ai axdpers TOU P. TANNERY, aitives taezivyoay tiv metésterra Dewotauv zet öndev bardotews «yempetoisiis AÀvéBoas thy "Ekkrvov», ‘O P. TANNERY éxoéaBevev, Str nv yéveaty ıng À toravtn Pempetota @perdev eis thy draxdlvyw tay dovuuftowv. Kai els thv magotoay dvazolvmory trode xvbetal, rodyuati, sti |] yonowororydetoa

ZYNEAPIA MA'l'OY 1968 231 «Tewpetota (etegcews) éxipaverav tOv Iludayogelwv» Gnoxheler td agdpAnua THY AGUPLETOWY, ATOPEv'YOVEG GVGTHLATLADS tiv Yoav TOY üvaloyımv. “On, téhos, dov, at yevbuevai bxodécets, xa? dic À «yempetorzi) “AdyeBoa tov [udayogriwvr Erpere và Dewondh Os nagaingtetoa bro Tov “EAAijvov EE doyzòg Úzò tv BaPvioviwr yevouévwv oxéwpeov, À tolidyotov DS megaitégw on’ avrav dvantvyteioa, elvar tering äBdouot. Eis tv agayuarızömmra, oyégets ragouoiuv yvocewy u ta «Madyuatixad tov BaBviaviwve oùôanoÿ xatedely dn. "Avtıderws, Eper tig cag?) tiv Evibamor du A LÖW XONCLMOMOLOUUÉVN «Tempetoia (eboécems) éxipaveray Tov Tudayogeiwy» civar xabaod éatrevypa ELD nvusóv, | x ‘0 ’Azaòdnuuizò; x. DB. Baothelou zaoovordgov uv bs dvo dvaxolvwouw ec E IME TU EINS! r x m N ‘I xagotoa foyuoia tot xabnynro A’, SZABO, noére và ÉvrayÜn els TO athalovoy yevixwtéoas abtot émitvyots mooomabdeiac, Grmg dvuaozevdon vewrégus twas Vewglas, xurù tas Önotas À ovornuatizi) AT AYOYL À ragayoyizi) Madyward "Eruorfun tov deyatwy 'Eiinvov dù Eroere va tewondh ds Ev etdos OUVEZIGEUS À TEQUITÉOO dvarrisews mootragzyotons Èrtotnuovizij; zagakdceas Ögpedouêvns ei; tobs Bafvimvious, Uv ui eis atroùs rod; Atyvartous. To zeóBinua tis ovormuaruzijs draywyuijs Émotiuns tov doyalwv “Elvov evoioxetal, Todyuatt, xaTa TOUS teleuralori yodvoeus, els TO aQOGZI;ViOY THs ETLGTHMOVIRIS foeUvn:. Elvar dantés, Ott ai avaxadkuwers vai al foevvar tov tedheutatwy Sexaeti@y zutédertav Ore ta Madnuatizà twv Bapviwvioy youv zoÂù mequccdtegoy dveareyuéva mao’ doov doyuws EXLSTEVETO, Ste dè ot Baßulmvıoı, dAdzANQoV yihternpisa 200 tis Eppavioeos ts "Eiiyviris Matyuatiis “Emomiuns, Hoev eis x a Véow va EmAvouv rouzTix@s, oxeTix@s moAUmAOna nooBAnmara HE doxetà TedYuarı ixavomomntiay|y AOOGÉYYIGLY. e 20 ME tdiaitégay Suoz Eugaorv zefzer va towodii TO yeyovds, rt otdanot np sg ~ ou © a moe Anm , evoedy otorzeiov te aroderaviov ott ot BaBvidvior, 1 atroì ot Aîylatior, àxezeweddnoav Kür rote drwy ovvardyour Su tis xadaods Aoyutis tas MadnuaTLAUS HOOTKOELS TWY EX IOWIWV altaV doyov, Thv Aken covadtys Grobetxninis emyeronuarodoytas égevvyntat tives 204 N 4 © we ene ’ > we er a x ed oav va Deworoovv Gs Titnua dake wyys, toyvorbópevor, Gtr uehiovrixai Ts arm + LI “I ~ El bi La ki id doyarokoyixaì dvarakúwers Tous gégouv els gms mevotiyoia, Ör ta zodra Tyvy

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