Die geometrische Algebra

Lust ZET AEN AG. ZES AEN, H ra Inhaltsübersicht 1. Einleitung. Vorgeschichte der Mathematik .…….,.................…. Selte 2. Ägypter und Babylonier.............................. 1 8 Die griechische Mathematik. » i 1. Historischer Überblick ............... ............... 14 7A 2% €2. Die pythagoreische Mathematik ....................... 3. Die geometrische Arithmetik.......................,.. w-4&. Die geometrische Algebra ........................,... lye 3 | 5. Numerische quadratische Gleichungen; Ausziehen der 32 40 44 Quadratwurzel ...............,.........,..,........, 54 6. Das Unendliche .... ..............................., 64 7. Die Quadratur des Kreises.............,.............. 70 8. Dreiteilung des Winkels; Einschiebungen............... 79 9. 82 Verdoppelung des Würfels............................ 10. Probleme und Theoreme; Bedeutung der geometrischen 11. Konstruktion..........................,.......,..... Die analytische Methode; die analytisch-synthetische Dar- 88 stellungsform.........,..................,............ 92 12.- «Elemente»; analytische Hülfsmittel ................... 105 13. Überblick über Euklids Elemente; synthetisches Lehrgebäude .......................,.................... 108 14. Euklids geometrische Voraussetzungen ................. 115 15. Anmerkung über die Voraussetzungen der Geometrie.... 132 16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen; Euklids tes und 6tes Buch...... .......................,....... 139 17. Kommensurable Grössen und ihre Behandlung durch Zahlen; Euklids 7.—9. Buch .............,... Fa 155 N, GSSe_Wi Cate DER MM AUTERTUM ESD MUTTELRUTER,

272—274, 290—303, 317. — harmonische, 35. Rechenmaschinen 265. Protase, 98, 99, 101. Rechenpfennige 265—267. Ptolemäer 24, 31. Ptolemäus 29, 62, 229—235, 261, Rechentafeln 273. Proportionen, geometrische, 35. 287, 288, 295, 312-315, 321, Regel des falschen Ansatzes il, 247, 275, 277, 317. 328— 330. Ptolemäus Lagi 23. Regel der zwei falschen Ansätze 275, 307, 317, 318, 320, 326. Regel der Umkehrung 276, 277, Pyramide 163, 169 —171, 173. 317. Pythagoras 16, 34, 36, 39, 41, 64. Pythagoreer, 17, 18, 32—39, 42, Regiomontanus (J. Müller) 3%, 329, 330. 51, 64, 65, 242, 244, 311. Regula de tri 222, 275, 277, 278, Pythagoreischer Lehrsatz, 35, 37, Pyramidalzah) 44, 243, 244. 47—53, 59, 109, 113, 168. Quadratur des Kreises 69—78, 91, 228. — der Möndchen 72, 74, — der Parabel 26—178. Quadratrix 76—79, 91, 226, 237. Quadrattafeln 13, 62, 274, 302. Reihen, arithmetische 10, 36, 42— — 44, 182, 276, 317. geometrische, 10, 67, 146, 147, 158, 317, — unendliche 171—175, 181. Reihen von Quadratzahlen 182, 287, 812. Reihen von Kubikzahlen, 244, 287, Qvadratwurzel 51, 54—64, 110, 312. 227—230, 275, 280,. 305—307, Reihen von Biquadraten 312. 314, 316, 317. Quadratzahlen 13, 40—43, 71, 182, 249—255, 286, 287, 312, 318, 319. Quadrivium 322. Quotientenreihe, s. Reihen, geometrische. Resolution 99, 100, 101, 102, 107. Römer 31, 244, 265—269, 292, 295, 315, 316. Sammlungen, mathem. d. Pappus 31. Sandrechnung d. Archimedes 26, 58, 264, 270. Raumkurve 85, 86. Sanskrit 259. Rechenbrett 58, 265, 293. Rechenbuch 10, 315. Satz des Ptolemäus 230, 231. Schnitt, bestimmter 27, 215. Rechenkunst, arabische, 298. Schnitte am Kegel 196. — — griechische 29, 67, Schnittpunkte 58, 294. indische, 259—261, — zw. zwei Kegelschnitten 211. zw. Kreis und Ge-

Eine Pyramidalzahl ist die Summe einer Reihe v n-eckszahlen, anfangend mit 1. Die Vielecke denkt m sich über einander gelegt, so dass sie eine Pyrami (einen Kugelhaufen) bilden. 4, Die geometrische Algebra. Eine allgemeine, rationale oder irrationale Grö lässt sich erstens durch die Länge einer (geradlinig: Strecke darstellen. Addition und Subtraktion der in die Weise dargestellten Grössen findet statt durch Abtrag der einen Strecke auf der anderen oder auf ihrer V längerung. Ein Beispiel für die wirkliche Benutzung die Darstellung haben wir soeben gehabt in der Summati arithmetischer Reihen, die wir bei Archimedes kenr lernten. Sie lässt sich überhaupt benutzen zur Ver: schaulichung von Gleichungen ersten Grades mit gan? Koefficienten — oder nur mit rationalen, da sich di zu ganzen machen lassen. Multiplikation von zwei allgemeinen Grössen |! nach ihrer unmittelbaren Bedeutung keinen Sinn. M half sich indessen dadurch, dass man die geometris¢ Darstellung eines Produktes von zwei ganzen Zahlen, ‘ wir bereits kennen gelernt haben, auf allgemeine Gröst übertrug. Jedoch erweiterte man nicht, wie in der D dernen Mathematik, die arithmetischen Begriffe Multi] kation und Produkt, sondern statt von einem P: dukte der allgemeinen Grössen sprach man von d Rechteck aus den beiden Strecken, die die Faktoren d stellen, und mit diesem Rechteck nahm man die Ope tionen vor. Als Anleitung für die Behandlung kon! man indessen, wegen der hiermit gleichartigen Darstellu ven wirklichen Produkten ganzer Zahlen, beständig :

4. Die geometrische Algebra. arithmetische Behandlung dieser benutzen. Es kann deshalb nicht irreführend sein, wenn ich im Folgenden mit ab und a? das Rechteck aus a und 5 und das Quadrat über a bezeichne. Auf diese Weise hat man eine zweite geometrische Darstellung von Grössen erhalten, nämlich als Flächen, vorläufig von Rechtecken und Quadraten. Um sie addieren und subtrahieren zu können, musste man ihnen eine gemeinschaftliche Seite verschaffen, und zwar musste dies ohne Benutzung der Lehre von den Proportionen geschehen, denn diejenige, die man im 5ten Jahrhundert besass, war auf den ausschliesslichen Gebrauch von kommensurablen Grössen gegründet. Die Einführung einer neuen Seite in ein. Rechteck wurde mit Hülfe des folgenden Satzes vorgenommen. Ein Rechteck wird durch Parallelen zu den Seiten, die durch einen Punkt derselhen Diagonale gehen, in vier Rechtecke geteilt, von denen die beiden, durch welche die Diagonale nicht geht, gleich sind (vergl. im Folgenden die Figuren auf S. 46—48, wo man sich dann im gegenwärtigen Zusammenhange die Quadrate mit Rechtecken vertauscht denken muss). Ist das eine von diesen das gegebene, so ist es leicht, dem anderen eine gegebene Seite zu geben. Diese Konstruktion, welche der Division entspricht, ebenso wie die Konstruktion eines Rechtecks aus gegebenen Seiten der Multiplikation, hat den besonderen Namen Flächenanlegung (ragaßoA7) erhalten, oder einfache Flächenanlegung im Gegensatze zu der später folgenden elliptischen und hyperbolischen Flächenanlegung. Die hierfür benutzte Figur findet, wie wir bald sehen wer den, auch andere wichtige Anwendungen. Derjenige Teil der Figur, der aus den beiden gleich grossen Rechtecken und einem der beiden anderen besteht (z.B. CBEM in der Figur auf S. 47) heisst hier wie in der geometrischen Arithmetik Gnomon.

Der hier angeführte Satz findet sich, und zwar auf die angegebene Weise angewandt, bei Euklid I, 43—44, wo er jedoch in einer etwas allgemeineren Form auftritt, insofern die Rechtecke mit Parallelogrammen von gleich grossen Winkeln vertauscht sind. In Euklids 2tem Buche wird dagegen mit Rechtecken operiert. Eine Aufklärung über den Gebrauch, den man, gemäss den Mitteilungen über die Bekanntschaft der Pythagoreer mit Flächenanlegung, von den Sätzen dieses Buches lange vor Euklid gemacht haben muss, müssen wir indessen in seinem 6ten Buche suchen, wo die Anwendungen jedoch in einer verallgemeinerten Form vorkommen, die erst von Euklid oder seinen nächsten Vorgängern herührt!. Ein Rechteck, dessen Seiten selbst Summen sind, wird die Summe aller der Rechtecke, die ein Glied in jeder der gegebenen Summen zu Seiten haben. An Stelle der modernen Formel (a+b)? =a? +52 +2ab trat die nebenstehende Figur (Euklid II, 4): ab /’ / a’; VA 26° x 1 Nie Bedeutung der Verallgemeinerung wird in unserem 16ten erklärt werden.

Die geometrische Algebra. Die Aufgabe, die man jetzt durch die Gleichung ax — x? = b? (1) darstellen wiirde, driickten die Alten folgendermassen aus: An eine gegebene Strecke AB (= a) ein Rechteck AM gleich einem gegebenen Quadrat (b?) so anzulegen, dass das (am Rechteck ax über AB) fehlende Flächenstück ein Quadrat (BM—e?)wird. 4 € D È Diese Konstruktion, welche M“ ‘ die elliptischeFlächen- K pi anlegung (von Zilenpıs, VA der Mangel, das Auslassen) VA lg genannt wird, ergiebt sich, wenn man die Figur, durch welche die Aufgabe gelöst wird, auf die vorhergehende zurückführt. Ist nämlich C die Mitte von AB, und legt man das Rechteck CK an die Seite DB (als DE), so sieht man, dass das Rechteck AM gleich einem Gnomon wird, nämlich gleich der Differenz der Quadrate über BC und CD, oder in der Sprache unserer Algebra, dass b ano a) ) ax—x G 2 ze). Da nun & und CB—5 bekannt sind, so kann man CcD=5—# durch den pythagoreischen Lehrsatz finden, und dadurch +. Dass. man die Aufgabe etwa in dieser Weise gelär* hat, lässt sich aus Euklid VI, 28 schliessen, wo doch in einer allgemeineren Form vorkomm* benutzte Umformung ist aber schon bew

II, 5, wo gesagt wird, dass, wenn C die Mitte und D einen anderen Punkt von A B bedeutet, AD.DB+CD?=CB? ist. Dieser Satz giebt unmittelbar die Lösung derselben, aber in anderer Form ausgedriickten, Aufgabe, nämlich: Teile eine gegebene Strecke AB in zwei Abschnitte, die ein Rechteck von gegebenem Inhalt bilden (diesen Inhalt müssen wir uns jedoch vorläufig, um den pythagoreischen Lehrsatz anwenden zu können, in Form eines Quadrates 5? gegeben denken). Aus Euklids Data 85 können wir sehen, dass die Alten die Aufgabe auch in dieser Gestalt gekannt haben, in der sie die geometrische Form für die Aufgabe ist, zwei Grössen zu bestimmen, deren Summe und Produkt gegeben ist. Der Ubelstand, der mit der zuerst angeführten Darstellung der Aufgabe in Form einer elliptischen Flächenanlegung verbunden war, dass nämlich die Alten gewöhnlich nur die eine Lösung der Gleichung (1) mitteilen, fiel hierbei von selbst fort. Auf ganz dieselbe Weise giebt Euklid in II, 6 eine (in VI, 29 einbegriffene) Lösung der Gleichung | ax + x? =b?, (2) die die Alten folgendermassen ausdrücken: An eine gegebene Strecke A C B_D AB(=a)ein RechtA 7 x x / VA M = K eck einem AM gleich gegebenen Quadrat(b?)so anzulegen, dass das (über das Rechteck ax über AB) überschiessende Flächenstück BM ein Quadrat (b?) wird. Diese Konstruktion

Die geometrische Algebra. heisst die hyperbolische Flächenanlegung (von Öneo- Body, Überschuss). Ist die Aufgabe gelöst, und bedeutet C die Mitte von AB, so wird das Rechteck À M dadurch in einen Gnomon verwandelt, dass das Rechteck über AC in die Lage GM gebracht wird. Man findet hier, wo D ein Punkt der Verlängerung von AB ist, dass AD.BD=CD? —CB?. Diese geometrische Umformung stimmt überein mit der algebraischen, durch die man jetzt die Gleichung (2) vervelt) löst, nämlich cD(=S+e lässt sich dann mit Hiilfe des pythagoreischen Lehrsatzes bestimmen. Euklids Satz II, 6 enthält unmittelbar die Lösung derselben Aufgabe in einer anderen Form, nämlich derjenigen, zwei Strecken (A Dund BD) zu bestimmen, deren Differenz und deren Rechteck (gleich dem Quadrat 5?) gegeben sind, und diese ist wieder die geometrische Form für folgende: zwei Grössen zu bestimmen, deren Differenz und Produkt gegeben ist. Da die Aufgabe auch in dieser zweiten Form bei den Alten vorkam (vergl. Euklids Data 84), so ist es ohne Bedeutung, dass sich bei-ihnen keine Form findet, deren Wortlaut ebenso unmittelbar die Gleichung x? — ax—b? 6) wiedergiebt, wie die Flächenanlegungen die Gleichungen (1) und (2). Ob wir in unserer algebraischen Sprache die Gleichung (2) oder (3) erhalten, beruht nämlich nur

darauf, ob wir in unserer modernen Umschreibung von Euklid II, 6 BD=z oder AD=x setzen. Wir sehen also, dass die Alten alle Formen der Gleichung zweiten Grades behandelt haben, die positive Wurzeln ergeben, und von anderen konnte nicht die Rede sein, da negative Grössen ein unbekannter Begriff waren (sonst hätten sich II, 5 und II, 6 zu einem Satze vereinigen lassen). Wegen der hier mitgeteilten geometrischen LO sung setzten wir jedoch voraus, dass das gegebene Glied) das der Homogenität wegen in jedem Falle eine Fläch€ sein musste, in Form eines Quadrates gegeben wäre, und die Lösung wurde dann durch den sogenannten pythagoreischen Lehrsatz bewerkstelligt. Dieser, von welcher” wenigstens spezielle Fälle den Ägyptern bereits bekannt waren, wird dem Pythagoras zugeschrieben, ohne das® man jedoch etwas darüber weiss, wie er ihn bewiese™ hat. Der Beweis kann möglicherweise durch Benutzun& ähnlicher Dreiecke geführt worden sein, kann also mit der damals bekannten Lehre von den Proportionen nur exakt gewesen sein, wenn die Seiten kommensurabel warex®> denn die Einführung der allgemein gültigen geometrische? Begründungen hatte damals soeben begonnen, und der allgemein gültige Beweis bei Euklid (I, 47) soll, w3® ausdrücklich bemerkt wird, von ihm selbst herrührer?Da Euklid beweist, dass das Quadrat über einer Kathet® gleich dem Rechteck aus ihrer Projektion auf die Hypot£ € nuse und der ganzen Hypotenuse ist, so liegt es nicht fern anzunehmen, dass für den älteren Beweis, den € ersetzen will, die ihm entsprechenden Sätze über mittler® Proportionalen benutzt worden sind. Was dennächst die Verwandlung einer Figur in ei? Quadrat betrifft, die entweder benutzt worden sein mus®

a + b\? a — b\? Diese Umformung enthält die Lösung der rein quadra tischen Gleichung. Eine bestimmte geometrische Anwendung der Flächenanlegung wird den Pythagoreern zugeschrieben, nämlich die Konstruktion der Seite des regelmässigen Fünfecks (und Zehnecks). Diese hängt bekanntlich ab von der Gleichung x? =a(a— x), die sich umformen lässt in a? —x? + az; diese Gleichung wird durch hyperbolische Flächenanlegun8 gelöst. In II, 11 benutzt Euklid genau dieselbe UM formung der Gleichung in geometrischer Form für die Lösung der genannten Aufgabe. Die Sätze II, 5 und 6 werden nicht ausschliesslict für die Auflösung von Gleichungen zweiten Grades benutzt Wir haben bereits (S. 41) eine arithmetische Anwendun! erwähnt, die Euklid davon im 10ten Buche macht, up‘ soeben haben wir besprochen, wie sich die Benutzung de mittleren Proportionale auf diesem Wege vermeiden lass! Ein anderes Beispiel dafür, dass die geometrische AlgeD™ die Benutzung von Proportionen tiberfliissig macht, finde sich in Euklids Beweisen in III, 35—37 für die SätZ' über die Potenz eines Punktes mit Bezug auf einen Kreis Die Sätze II, 5 und 6 sagten aus (vergl. die Figuren s 47, 48), unter der Voraussetzung dass C die Mitte von AB und D ein Punkt auf AB oder ihrer Verlängerun8 ist, dass AD.DB=+(CB?—

Die geometrische Algebra. Sin d nun A und B die Schnittpunkte mit einem Kreise, dessen Mittelpunkt O, so erhält man durch den pytha#Oreischen Lehrsatz, dass CB? — CD? = 0 B? — OD?, Und damit sind die Potenzsätze bewiesen. Die Elemente der geometrischen Algebra, die hier dargestellt sind, umfassen indessen namentlich die Behandlung der Gleichungen zweiten Grades, also gerade das Ge biet, auf dem sich wegen des Auftretens der irrationalen Garssen die Notwendigkeit einer anderen Darstellung als durch Zahlen fühlbar gemacht hatte. Bei dieser Behandlung konnte man sich mit der Benutzung von Rechtecken Un A Quadraten begnügen, sofern nicht bereits eine schon Sessebene Grösse durch die Fläche einer anderen Figur dar gestellt war. Während der weiteren Entwickelung der Seo metrischen Algebra und ihrer Anwendung — namentchh auf die Lehre von den Kegelschnitten — wurde sie Jedaoch so erweitert, dass auch andere Figuren zur Dar- Stellung derjenigen Grössen dienten, mit denen operiert Wiarde. Es ist indessen klar, dass die geometrische AlgeTa. ausschliesslich in ihrer Anwendung auf Rechtecke Uma — da man in der geometrischen Algebra niemals @stimmte Einheiten einführt, also mit homogenen GleiChuangen operiert — Parallelogramme die geometrische Arithmetik mit einbegreift; denn nur dann können die mkte, die in der Arithmetik die Einer darstellen, mit Wadraten von gleicher Grösse oder mit kongruenten Pa rallelogrammen vertauscht werden. Die Dreieckszahlen LB. haben nichts mit dem Flächeninhalt des Dreiecks 7A thun, ein Missverständnis, das später die römischen Landmesser dahin gebracht hat, die Formel ern zur Berechnung des Inhaltes eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a zu benutzen.