Eudoxus - Pytheos: elementare Massordnungen in der fruhen spharischen Astronomie und in der Architektur der Spatklassik

FrieDRICH Egbert, Eudoxos - Pytheos : elementare Massordnungen in der frü- Egbert Friedrich hen sphärischen Astronomie und in der Architektur der Spútklassik: Architectura 23 (1) 1993 1-13. | Vieles spricht dafür, dass das Masskonzept für den Himmelsglobus bei Eudoxos von Knidos und seinen Nachfolgern von Pytheos, einem der beiden Architekten des Maussolleions und Stadtplaner von Priene, aufgegriffen und in die Sphire der Baukunst umgesetzt wurde. Eudoxos — Pytheos Lia pa Elementare Maßordnungen in der frühen sphärischen Astronomie und in der Architektur der Spärklassik Anders als die übrigen pythagoreischen Lehren - [15004 MSN 7 i 42 tas von Tarenc*, finder sich zumindest zeitweise im Arithmetik, Geometrie und Harmonielehre — haben näheren Umkreis des karischen Satrapen Maussollos. die Anfange der griechischen Astronomie‘ bislang kaum eine Rolle gespielt, wenn es darum ging, den geistesgeschichtlichen Hintergrund der zeitgenössischen, »klassischen« Architekturtradition auf gedank- Zu diesem zählen an erster Stelle die Architekten und liche Parallelen zu untersuchen. Dies ist insofern erstaunlich, als die Astronomie um die Mitte des 4. Jahrhunderts zur Schlüsseldisziplin für den universalen Anspruch der pythagoreischen Zahlenlehre herangewachsen war, um letztlich deren vorläufiges Ende zu bewirken. Das homozentrische Weltmodell des Eudoxos, das schon unter Kallippos durch Ergänzungen immer komplizierter geworden war, wurde wegen grundlegender Mängel schließlich gegen Ende des 4. Jahrhunderts ganz verworfen. Die Einführung der Himmels- und der Erdkugel und sphärischer Bewegungsmodelle, den eigentiimlichsten Beiträgen der griechischen Astronomie, machte dreidimensionale Modelle unverzichtbar‘. Ungeachtet der äußeren Verwandtschaft der beiden häufigsten Varianten, »massiver« Globen und »gegliederter« Ringsphären, mit gleichartigen Bauweisen in der Architektur wird im folgenden vor allem danach gefragt, ob es der frühen griechischen Astronomie gelungen ist, ein geschiossenes Maßkonzept zu entwickeln, das sich für einen Vergleich mit entsprechenden Maßordnungen der zeitgenössischen Architektur eignet?. Bildhauer des Maussolleions, darunter auch Pytheos, Für den vorliegenden Beitrag wurde der auf der Tagung 1992 der Koldewey-Gesellschaft referierte Text weitgehend neu gefaßt und um einige Gedanken zur Orientierung des Stadtplans von Priene ergänzt. Für Unterstützung, Hinweise und Diskussion danke ich W.Breidert, W.Hoepfner, S. W. Krieg, C. Meckseper, W. Schirmer, H. Schmidt, W. Schnuchel, J. Tomlow und B. L. van der Waerden. Die abgekürzten Literaturhinweise entsprechen den Empfehlungen des Deutschen Archäologischen Insriturs (zuletzr: Archäologischer Anzeiger 1989, 721-728). * Zur griechischen Astronomie aus mathematikhistorischer Sicht: O. Neugebauer, A History of Ancient Mathematical Astronomy (1975), bes. 569-776; B.R. Goldstein, Theory and Observation in Ancient and Medieval Astronomy (1985); B.L. van der Waerden, Die Astronomie der Griechen (1988). — Altertumswissenschaftliche Arbeiten mit philosophisch-philologischem Zugang zum gleichen Thema: A.C. Bowen (Hrsg.), Science and Philosophy in Classical Greece (1991); K. von Fritz, Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft (1971); D.R. Dicks, Early Greek Astronomy to Aristotle (1970) sowie: A. Szabó - E. Maula, Enklima (1982), vgl. dazu die Rezension von B.L. van der Waerden, Gnomon 56, 1984, 176-177; ähnlich: A. Szabé, Das geozentrische Weltbild (1992); zur Astronomie vor Platon: F. Franciosi, Le origini scientifiche dell'astronomia greca (1990). to Auf die Unverzichtbarkeit von »Mimemata« für die astronomische Diskussion wird in Platons »Timaios« hingewiesen (40d). w Im vorliegenden Beitrag soll thesenartig aufgezeigt werden, daß dies für die Teilverhältnisse auf dem Himmelsglobus bei Eudoxos von Knidos und seinen (Marche), vgl. die Beiträge von F. Azzarita und G. Fantoni in: M. Fano Santi (Hrsg.), Archeologia e Astronomia, RdA Suppl.9, 1991. 96-99, Taf. XIX-XX u. 100-106, Taf. XI-XIII. Nachfolgern gelten kann, die nicht nur zeitlich dem rein gedanklichen Ansatz der pythagoreischen Zahlenlehre im Spatwerk Plarons nahe stehen. Eudoxos, Zum antiken Globus: A. Schlachter, Der Globus, Stoicheia 8 (1927). - Man kennt nur zwei instrumental — als Sonnenuhren - verwendete antike Globen, je ein Exemplar aus Prosymna (Argolis) und neuerdings aus Matelica lichkeit und zentrale Figur der griechischen Machema- In den Philosophenviren des Diogenes Laertios (VIII 86-91) erscheint Eudoxos als letzrer der Pythagoreer und nicht im anschließenden Kapitel der »vereinzelt dastehentik, selbst Pythagoreer und Schüler des pythagoreiund Meinungen berühmter Philosophen, Übers. v. O. zur Jahrhundertmitte eine hoch angesehene Persönschen Mathematikers und Musiktheoretikers Archyden« Philosophen (Zitate nach: Diogenes Laertios, Leben Apelt, 3. Aufl. 1990, hier: 153-156).

Egbert Friedrich Eudoxos — Pytheos Elementare Maßordnungen in der frühen sphärischen Astronomie und in der Architektur der Spätklassik Anders als die übrigen pythagoreischen Lehren - tas von Tarent*, findet sich zumindest zeitweise im Arıthmetik, Geometrie und Harmonielehre ~ haben näheren Umkreis des karischen Satrapen Maussollos. die Anfänge der griechischen Astronomie’ bislang Zu diesem zählen an erster Stelle die Architekten und kaum eine Rolle gespielt, wenn es darum ging, den Bildhauer des Maussolleions, darunter auch Pytheos, geistesgeschichtlichen Hintergrund der zeitgenössischen, »klassischen« Architekturtradition auf gedankliche Parallelen zu untersuchen. Dies ıst insofern erstaunlich, als die Astronomie um die Mitte des 4. Jahrhunderts zur Schlüsseldisziplin für den universalen Anspruch der pythagoreischen Zahlenlehre herangewachsen war, um letztlich deren vorläufiges Ende zu bewirken. Das homozentrische Weltmodell des Eudoxos, das schon unter Kallippos durch Ergänzungen immer komplizierter geworden war, wurde wegen grundlegender Mängel schließlich gegen Ende des 4. Jahrhunderts ganz verworfen. Die Einführung der Himmels- und der Erdkugel und sphärischer Bewegungsmodelle, den eigentiimlichsten Beitragen der griechischen Astronomie, machte dreidimensionale Modelle unverzichtbar”. Ungeachtet der Für den vorliegenden Beitrag wurde der auf der Tagung 1992 der Koldewey-Gesellschaft referierte Text weitgehend neu gefaßt und um einige Gedanken zur Orientierung des Stadtplans von Priene ergänzt. Für Unterstützung, Hinweise und Diskussion danke ich W.Breidert, W. Hoepfner, S.W. Krieg, C. Meckseper, W. Schirmer, H. Schmidt, W. Schnuchel, J. Tomlow und B.L. van der Waerden. Die abgekiirzten Literaturhinweise entsprechen den Empfehlungen des Deutschen Archäologischen Instituts (zuletzt: Archäologischer Anzeiger 1989, 721-728). * Zur griechischen Astronomie aus mathematikhistorischer Sicht: O. Neugebauer, A History of Ancient Mathematical Astronomy (1975), bes. 569-776; B.R. Goldstein, Theory and Observation in Ancient and Medieval Astronomy (1985); B.L. van der Waerden, Die Astronomie der Griechen (1988). — Altertumswissenschaftliche Arbeiten mit philosophisch-philologischem Zugang zum gleichen Thema: A.C. Bowen (Hrsg.), Science and Philosophy in Classical Greece (1991); K. von Fritz, Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft (1971); D.R. Dicks, äußeren Verwandtschaft der beiden häufigsten Varian- Early Greek Astronomy to Aristotle (1970) sowie: A. ten, »massiver« Globen und »gegliederter« Ringspha- Szabó - E. Maula, Enklima (1982), vgl. dazu die Rezension von B.L. van der Waerden, Gnomon 56, 1984, ren, mit gleichartigen Bauweisen in der Architektur wird im folgenden vor allem danach gefragt, ob es der 176-177; ähnlich: A. Szabó, Das geozentrische Weltbild frühen griechischen Astronomie gelungen ist, ein ge- (1992); zur Astronomie vor Platon: F. Franciosi, Le origini scientifiche dell’astronomia greca (1990). schlossenes Maßkonzept zu entwickeln, das sich für . einen Vergleich mit entsprechenden Maßordnungen der zeitgenössischen Architektur eignet?. ad Im vorliegenden Beitrag soll thesenartig aufgezeigt werden, daß dies für die Teilverhaltnisse auf dem Himmelsglobus bei Eudoxos von Knidos und seinen Nachfolgern gelten kann, die nicht nur zeitlich dem rein gedanklichen Ansatz der pythagoreischen Zahlenlehre im Spätwerk Platons nahe stehen. Eudoxos, zur Jahrhundertmitte eine hoch angesehene Persönlichkeit und zentrale Figur der griechischen Mathematik, selbst Pythagoreer und Schüler des pythagoreischen Mathematikers und Musiktheoretikers Archy- Auf die Unverzichtbarkeit von »Mimemata« für die astronomische Diskussion wird in Platons »Timaios« hingewiesen (40d). Zum antiken Globus: A. Schlachter, Der Globus, Stoicheia 8 (1927). - Man kennt nur zwei instrumental - als Sonnenuhren — verwendete antike Globen, je ein Exemplar aus Prosymna (Argolis) und neuerdings aus Matelica (Marche), vgl. die Beiträge von F. Azzarita und G. Fantoni in: M. Fano Santi (Hrsg.), Archeologia e Astronomia, RdA Suppl.9, 1991, 96-99, Taf. XIX-XX u. 100-106, Taf. XI-XIL A In den Philosophenviten des Diogenes Laertios (VIII 86-91) erscheint Eudoxos als letzter der Pythagoreer und nicht im anschließenden Kapitel der »vereinzelt dastehenden« Philosophen (Zitate nach: Diogenes Laertios, Leben und Meinungen berühmter Philosophen, Übers. v. O. Apelt, 3. Aufl. 1990, hier: 153-156).

seinerseits eine legendäre Gestalt der antiken Architen Weltmodell sein kann. Die Bedeutungslosigkeit tektur. empirischer Forschung auch in der Astronomie ver- Das Vorhaben, die Astronomie als Schlüsseldisziplin sucht Platon am Beispiel der Harmonielehre drastisch des pythagoreischen Zahlenkosmos auf das ihr zuvor Augen zu führen '°, grundeliegende Maßkonzept zu befragen, kann daher Dagegen ist der Kalenderzyklus des Pythagoreers in mehrfacher Hinsicht an den Versuch anknüpfen, Philolaos von Kroton*'* ein Versuch, gedankliche und den Anteil pythagoreischen Gedankengutes an mehr empirische Elemente zu verbinden. Der Zyklus des oder weniger sicher zuschreibbaren Werken des Py- Philolaos wird von den Zahlen 2, 59 und 729 betheos, vor allem am Stadtplan von Priene, erstmals stimmt, von denen nur 729 = 3° als eigentlich pythaverbindlich zu benennen®. Dies geschieht auch im goreisch bezeichnet werden kann, nämlıch als kleinste Hinblick darauf, daß in der Frage der Aktualität der ungerade Zahl, deren Einheiten sich zu einem Quadrat pythagoreischen Lehre um die Mitte des 4. Jahrhun- (33)* = 27° ebenso wie zu einem Würfel (3?)? = 9? derts eine gewisse Unsicherheit besteht, und seı es zusammenstellen lassen'?. Ob dieser Versuch, Zahdeshalb, weil die moderne Wissenschaftsgeschichte in lenlehre und nachprüfbare Wirklichkeit zu vereinen, der Regel die fortschrittlichen, nicht die traditionellen den anderen Zyklen des späten 5. Jahrhunderts (59 Elemente im Werk des Eudoxos würdigt’. Jahre = 730 Monate bei Oinopides von Chios, 19 Jahre = 235 Monate bei Meton) ‘? sowie dem achtjähriArithmetische Systeme und Kalenderzyklen. gen Zyklus zu 99 Monaten zeitlich vorausgeht, wie Astronomische Maße vor Eudoxos Der Schópfungsbericht des »Timaios« bei Platon”, die 5 vel. auch F Krafft in: K. Döring - G. Wohrle (Hrsg.), bekannteste Quelle zur pythagoreischen Astronomie, Vortrage des ersten Symposions des Bamberger Arbeitsbietet zwar eine Konstruktionsbeschreibung, die aber kreises »Antike Naturwissenschaft und ihre Rezeption« ohne Kommentar unverständlich bleibt und im übri- (1990) 33-63. > W. Hoepfner - E.-L. Schwandner, Haus und Stadt im gen als bloße Anwendung pythagoreischer Zahlenklassischen Griechenland, Wohnen in der klassischen lehre erscheint. Wenn dort ein baumeisterlicher »De- Polis 1 (1986) 247-256; W. Hoepfner, DiskAB 4 (o. J. [1984)) 13-23. Zu Pytheos auch W. Koenigs, DiskAB 4, miurg« sıch anschickt, den ıhm würdigsten aller Gegenstände, das Weltall, auf das Beste und Schönste 89-94. SI Die weitverbreitete, summarische Vorstellung eines Eudoxos, der als Lichtgestalt der frühen Wissenschaft dank rationaler Haltung beobachtend und rechnend die pythagoreische Spekulation überwindet, weicht zunehmend einer differenzierteren Sichtweise, vgl. B.R. Goldstein — A.C. Bowen, A New View of Early Greek Astronomy, do Platon, Timaios 27c-92c, bes. 35 b-36d (Zahlenverhälteinzurichten, dann folgt nicht etwa eine »Baubeschreibung« des Himmelsgebaudes, sondern eine Auswahl von Zahlen - die Folge der Zweier- und Dreierpotenzen I, 2, 3, 4, 9, 8 und 27-, deren Eignung, Mittelwerte zu bilden, ın allen pythagoreischen Disziplinen in: Isis 74, 1983, 330-340, bes. 332f. eine bestimmende Rolle spielt. Das Verhältnis dieser »Sphärenharmonie« zur Nachprüfbarkeit astronominisse). wo scher Tatsachen bleibt unausgesprochen. Eine derarvon Tonintervallen auf der Saite, bei der »die Ohren úber tige, rein gedankliche Astronomie, die den Nachvollzug der Schöpfung zum Gegenstand hat, nicht die Beobachtung unzusammenhängender Einzelphänomene - auch der Weltschöpfer bedarf keiner optischen Anregung - hatte Platon bereits im >Staat< gefordert?, wohl aus der Überzeugung heraus, daß auch die mit der Wirklichkeit übereinstimmende Einzelbeobachtung ohne metrische Grundlage keine Maße hervor- Platon, Politeia $28e-531c. Platon, Politeia 530d-531c, zur empirischen Festlegung den Verstand« gestellt seien (531b). Cel = Älterer (?) Zeitgenosse Platons, einer antiken Legende zufolge der Verfasser des Werkes über die Pythagoreer, dem Platon seine astronomischen Kenntnisse verdankt haben soll (Diogenes Laertios VIII 84f.). Im Zyklus des Philolaos enthalten 2 Monate 59 Tage, 2 Jahre entsprechen 729 Tagen. Das ergibt eine Zyklusdauer zu 59 Jahren bzw. 729 Monaten, vgl. Neugebauer (wie Anm. 1) 619. ‘3 Neugebauer (wie Anm. 1) 619-624; A.C. Bowen - B.R. bringt und somit weder zur Erkenntnis des Kosmos Goldstein, Meton of Athens and Astronomy in the Late Fifth Century B.C., in: A Scientific Humanist. Studies in verhilft noch ein Beitrag zu einem organisch geglieder- Memory of Abraham Sachs (1988) 39-81, bes. 41-51.

man es im Sinne einer Entwicklung vom Spekulativen bei Platon ~ diametral entgegen. Die für beliebige zum Empirischen erwarten kônnte, ist nicht unbe- Maße offene Bogen- oder Winkelteilung späterer Zeidingt sicher. Allen Zyklen gemeinsam ist die Beten oder die lückenlose Rechengenauigkeit der 360°- schrankung von Zahlenangaben auf die Verhältnisse Teilung können somit für die elementaren Himmelsvon Zeitspannen, namlich der Periodendauer der Kamodelle des 4. Jahrhunderts in keiner Weise vorausgelendergestirne. Dem kalendarischen Zweck entspresetzt werden'? — ebensowenig wie der wesentlich chend wird nur mit ganzzahligen Einheiten gerechnet, etwa Schaltmonaten bzw. Schalttagen, nicht aber mit Bruchteilen, etwa dem Tagüberschuß des Jahres über 365 ganze Tage. Das möglicherweise von Anaxagoras‘ erdachte sphärische Weltbild wird in den Weltentwürfen in Platons »Staat«'* und im »Timaios« zwar vorausgesetzt, aber nicht mit Maßen versehen: astronomische ‘4 Die antiken Legenden um Anaximander als Gründergestalt der Astronomie gelten heute als unhistorische Konstruktionen, vgl. D. Fehling, Das Problem der Geschichte des griechischen Weltmodells vor Aristoteles, in: Rheinisches Museum für Philologie N. F. 128, 1985, 195-231. '5 Politeia 614b-621d, vgl. W.R. Knorr, Plato and Eudoxus on the Planetary Motions, in: Journal for the History of Astronomy 21, 1990, 313-329. 18 Scheinbare Ausnahme ist der — auch bei Vitruv (9,7,4) so Zahlenverhältnisse bezeichnen bis auf Eudoxos von angegebene — Abstand der Wendekreise vom Aquator zu Knidos ausschließlich kosmische Distanzen ohne ireinem Fünfzehntel des Meridians, den K. von Fritz dem Oinopides zuschreibt (R.E. XVII s.v. Oinopides, Sp. 2260-2267). Die entsprechende Konstruktion eines 15Ecks findet sich erst bei Euklid (Elemente IV, 16). Die Kreisteilung in 15 Abschnitte steht isoliert auch zu den hier besprochenen sphärischen Maßen. ‘7 Eine völlig befriedigende Würdigung der Person und des Werks des Eudoxos fehlt bisher. Zu den verstreuten, hauptsächlich astronomischen Fragmenten und Zeugnissen der Globusbeschreibungen und der homozentrischen Sphären vgl. die Textausgabe von E Lasserre, Die Fragmente des Eudoxos von Knidos (1966). — Eine erste umfassende fachhistorische Wiirdigung der »homozentrischen« Spharen des Eudoxos gibt die Abhandlung des Mailánder Astronomen G. Schiaparelli, Die homocentrischen Spháren des Eudoxus, des Kallippus und des Aristoteles (aus dem Italienischen übersetzt von W. Horn), in: Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und Physik 1, gendeine empirische Grundlage oder das Verhältnis von Gestirnumlaufzeiten mit stärkerer Bindung an nachprüfbare Fakten, nicht aber Maße auf der Himmelskugel, mit denen die gegenseitigen Teilverhaltnısse der darauf befindlichen Kreise durch Zahlen beschrieben werden könnten *?. Im folgenden werden die Globusbeschreibungen des — heute vor allem wegen seines Systems homozentrischer Sphären '? gewürdigten — Eudoxos und seiner Nachfolger daraufhin befragt, ob deren sphärische Himmelsmodelle mit geschlossenen Maßkonzepten ausgestattet und wie lange diese in Gebrauch waren. Zuvor muß jedoch von den besonderen Bedingungen die Rede sein, denen das Festlegen von Maßen auf der Kugel unterliegt. Elementare Bedingungen für das Festlegen von Maßen auf der Kugeloberfläche Es scheint bei den frühesten sphärischen Maßen angebracht, von astronomischen Maßsystemen späterer Zeiten ın mehrfacher Hinsicht abzusehen. Das Regıstrieren von Himmelsphanomenen auf einer neutralen Mafigrundlage, die jede gewünschte Rechengenauigkeit erlaubt wie etwa die erst bei Hipparch und Hypsikles (2. Jahrhundert v.Chr.) eingeführte 360°-Teilung, steht der für den Pythagoreer Eudoxos maßgeblichen Leitvorstellung schöpferischer, organisch gegliederter Maßsysteme — vor allem in dem rein gedanklichen, pythagoreisch geprägten Ansatz im »Timaios« 1877, 101-198 u. Taf. 1-2 (Zeitschrift für Mathematik und Physik. Supplement zur historisch-literarischen Abtheilung des 22. Jahrgangs, 1877). — Neuere Arbeiten betonen im Sinne eines werkgerechten Zugangs die Verwendung »zeitgendssischer Mittel« bei der Konstruktion von Bahnkurven auf homozentrischen Spharen mittels »analemmatischer« Verfahren (Tafelprojektion), Zirkel und Lineal (O. Neugebauer, Astronomy and History (1983) 305-309, Erstpublikation: Scripta Mathematica 19, 1953, 225-229) oder bei dem Versuch, astronomische und mathematische Konzepte des Eudoxos (homozentrische Sphären, Würfelverdoppelung, Proportionstheorie) aufeinander zu beziehen (R. C. Riddell, Archive for History of Exact Sciences 20, 1979, 1-19). - Neuerdings: D. Fowler, Eudoxus’ Calendar and Its Relation to His Proportion Theory (Beitrag zum International Symposium on Early Greek Mathematics, Athen 1992. Tagungshinweis aus: Historia Mathematica 19, 1992, 430). 18 Euklid kennt zwar den Begriff des Winkels, nicht aber den Teilkreis zum Abgreifen oder Ablesen bestimmter Maße, vgl. A. Szabö, Das geozentrische Weltbild (1992)

astrologisch motivierte Wunsch nach mathematischer wenn er auf die Bewegungen der Gestirne blickt. Er Verfügbarkeit der Kugeloberflache. Eine vollkommen findet zwar, der Hımmel und alles in ihm sei von dem ausgebildete spharische Trigonometrie gibt es erst bei baumeisterlichen Schöpfer so schön gestaltet worden, Ptolemius!?, wie es bei solchen Werken nur möglich sei; aber das Von der Astronomie des spaten Platon und auch des Verhältnis der Nacht zum Tag und dieses zum Monat Eudoxos ist dagegen auch hinsichtlich des Mafkonund des Monats zum Jahr und der andern Gestirne zeptes eine gedankliche Reduktion der scheinbar unreuntereinander — wer da glaubt, dies alles geschehe gelhaften Himmelserscheinungen auf ein elementar immer in gleicher Weise und weiche niemals irgendwie geordnetes System zu erwarten, in dem ausschließlich ab, wo es sıch doch um körperhafte und sichtbare die unveränderlichen Maße Platz haben, wie sie etwa Gebilde handelt, den wird er für einen Toren halten zur Konstruktion eines Globus erforderlich sind — so und für törıcht, an ıhnen auf jede Art die Wahrheit wie die Entwurfsmaße eines Bauwerks selbstverständerfassen zu wollen... lich auf das Notwendige beschränkt sind. Als Übungsstoff also verwenden wir Geometrie wie Wie könnte nun ein derart elementares Maßsystem Astronomie, die Welt am Himmel aber lassen wir, für die Himmelskugel aussehen? wenn wir durch richtige Beschäftigung mit der Astro- Der Verzicht auf den Bogen- und Winkelbegriff führt nomie das wesenhaft Vernünftige in unserer Seele aus notwendig darauf, die Teilverhältnisse eines Hımunbrauchbarem melskreises auf einbeschriebene regelmäßige Polygone len.«?° Zustand brauchbar machen wolzu beziehen. Sollen darüber hinaus Teilverhältnisse Im vorliegenden Zusammenhang wird zu zeigen sein, von Kreisen unterschiedlicher Größe - etwa des Meriwie weit das astronomische Maßkonzept des Eudoxos dians und der Wendekreise — vergleichbar bleiben, von Knidos und seiner Schule dem hochgesteckten dann muß der Umfang eines jeden dieser Kreise auf Anspruch Platons nach geschlossener Formulierung eine gemeinsame Maßeinheit bezogen werden und das entgegenkommen konnte, ohne dabei die notwendiganzzahlige Vielfache dieser Einheit betragen. Das gen und aus spaterer Sicht selbstverstandlichen Zuge- Festlegen der Maßeinheit — eine Art geometrisch erstandnisse hinsichtlich einer Ubereinstimmung von zwungener Modul — könnte nun nach freiem Belieben maf stablicher Beschreibung und Himmelswirklicherfolgen und nur der Vorgabe unterworfen sein, die keit aus dem Auge zu lassen. entsprechenden Verhältnisse auf der Himmelskugel möglichst zutreffend zu beschreiben. Vor dem Hintergrund der gedanklichen Astronomie Platons müßte Die ältesten Maßverhältnisse auf der Kugeloberflache bei Eudoxos und Eratosthenes dies freilich als konzeptioneller Mangel gelten, denn Eudoxos und seine Nachfolger scheinen sich tatsach- Platon lehnt ein Ablesen von Verhältnissen auf der lich auf nur die beiden Angaben zu beschranken, die Himmelskugel grundsätzlich ab, wie die entsprezum Einrichten eines Himmelsglobus unbedingt notchende, vieldiskutierte Stelle im »Staat< zeigt: wendig sind: die Neigung der Himmelskugel über »,.. Also darf man dieses Himmelsgemalde nur als dem örtlichen Horizont wırd durch das Verhältnis des Beispiel gebrauchen um der Wissenschaft willen, die Tagabschnittes zum Nachtabschnitt auf dem Sommerzu Höherem führt; das ıst so, wie wenn jemand geometrische Körper fände, die von Daidalos oder einem anderen Künstler oder Maler sorgfältigst geformt sind. Ein kundiger Geometriker, der dies sähe, würde darin eine hervorragende Arbeit finden, aber lächerlich erschiene es ihm, sıe allen Ernstes dazu zu studieren, um darin die Wahrheit über das Gleiche, Doppelte oder sonst ein harmonisches Verhältnis zu erfassen... Ebenso wird es einem wahren Astronomen ergehen, 19 Der Satz des Menelaos entstand um 100 n.Chr., die Sehnentafeln des Almagest um 140 n. Chr. — Zur gegenseitigen Abhängigkeit astrologischer und mathematischer Konzepte demnächst ausführlich G. J. Toomer in seiner Hipparch-Monographie, vgl. vorläufig: ders., Hipparchus and Babylonian Astronomy, in: A Scientific Humanist. Studies in Memory of Abraham Sachs (1988) 353-362. 2° Platon, Politeia 529d—530b (Zitat nach der Übersetzung von K. Vretska. Platon, Der Staat, Stuttgart 1958).

EUDOXOS e EUDOXOS METON : EUKTEMON KALLIPPOS 1. Gegeniiberstellung der sphärischen Teilverhaltnisse (oben) bei Eudoxos (Teilung des Sommerwendekreises in einen größeren Tagabschnitt und einen kleineren Nachtabschnitt, 5:3 bzw. 12:7) und »Eratosthenes- (Kallipos? Verhältnis des Bogens zwischen den Wendepunkten zum gesamten Meridianumfang, 11:83) und der vermutlich zugrundeliegenden Kalenderzyklen (unten) des Eudoxos (8jahriger Zyklus), des Meton und des Euktemon (19jabriger Zyklus) und des Kallippos (76jähriger Zyklus). wendekreis festgelegt*', ein weiteres Teilverhältnis be- 21 Die spätere Übernahme dieser Praxis zur Definition der schreibt den Abstand der Wendekreise untereinander. geographischen Breite (wenig später auch durch das Verhältnis des Nachtgleicheschattens zur Gnomonhöhe oder ~ wie heute noch üblich - durch die Polhöhe) bedeutet Die folgenden Überlegungen sollen zeigen, daß zwangsläufig nur die aus der astronomischen Literanicht, daß schon bei Eudoxos ein geographischer Zusamtur überlieferten Maßverhältnisse entstehen können, menhang intendiert ist. In seinen geographischen Fragmenten gibt es keine entsprechenden Zahlenangaben. wenn man ihnen ein Konzept zugrundelegt, das von einer kalendarisch bestimmten Teilung der Wendekreise ausgeht. Abbildung ı zeigt die wenigen aus der astronomi- 22 In den Schriften des Eudoxos zum Himmelsglobus (Enoptron< »Phainomena:), fragmentarisch überliefert bei Hipparch, In Arati et Eudoxi Phaenomena Commentarii 1.3, 5-10 (Ed. Manitius 1894, 26-29); F. Lasserre, Eudoxos (wie Anm. 17) 52f. (F 67 u. 68); A.C. Bowen - 12:7)”, während das - nach Ptolemäus - von Erato- B. R. Goldstein, Proceedings of the American Philosophical Society 135, 1991, 233-254. - Neugebauers Vorschlag, das einheitlich überlieferte Verhaltnis 12:7 in 11:7 zu verbessern, ist zwar geographisch zutreffender, tiberzeugt aber gerade deshalb nicht, da im Kommentar Hipparchs (1.2.10, Manitius 28-29) eben jenes Verhältnis 12:7 als »fehlerhafte Bestimmung« der geographischen Breite Griechenlands kritisiert wird (Neugebauer [wie Anm. ı] sthenes »gefundene« Verhältnis 11:83 den Abstand 733 Anm. 28), schen Literatur bekannten Mafe schon im Zusammenhang mit ihrem vermuteten kalendarischen Bezug: zwei Mafvarianten des Eudoxos bezeichnen ausdrücklich nur das Verhältnis der Tag- und Nachtabschnitte auf dem Sommerwendekreis

der Wendekreise auf dem Meridian im Verhältnis zum Die Entstehung der Wendekreisteilungen in 8, 19 gesamten Meridianumfang nennt??. Ergänzt man dazu und 76 Abschnitte kann so auf die Kalenderzyklen jeweils den Wendekreisumfang, dann ergibt sich aus entsprechender Jahrdauer zurückgeführt werden, woden beiden Tag-Nacht-Verhältnissen unmittelbar ein mit die oben angesprochene Frage des Maßkonzepts Wendekreis, der 8 bzw. 19 Abschnitte enthalt, wahdurchaus im Sinne der platonischen Forderung nach rend der Meridianteilung 11:83 in sehr guter Nahe- Verzicht auf einfaches Ablesen von Verhältnissen auf rung ein Wendekreis mit 76 Abschnitten entspricht **. der Himmelskugel gelöst scheint. Die Notwendigkeit, Der hier auftretende Fehler zu Yoo des Meridianum- Erfahrungstatsachen in das sphärische Mafkonzept fanges kann vernachlässigt werden, da weder seine einfließen zu lassen, wird auf das Feststellen von Ka- Existenz noch Größenordnung mit den mathematilenderzyklen verlagert. schen Mitteln der Zeit faßbar waren. Auf derart »kalendarisch« geteilten Wendekreisen müssen dann schließlich die eigentlichen Teilverhält- Kalenderzyklus und Wendekreisteilung. Zur Systematik der sphärischen Maße Nun sind die oben als Wendekreisteilungen erwiesenen Zahlen 8, 19 und 76 seit langem aus einem schein- 23 Claudius Ptolemäus, Syntaxis mathematica (Almagest) Iı2 u. 14 (Ed. Heiberg 1898 u. 1903, 167f.). — Bisher dachte man sich die 11/83 als Ergebnis einer Antanairesis oder Wechselwegnahme in unterschiedlichen Entstehungsszenarien: P. Tannery, Recherches sur l’histoire de bar ganz anderen astronomischen Zusammenhang bel'astronomie ancienne (1893) 79; K.P. Moesgaard, Cenkannt: es handelt sich jeweils um die Jahrdauer der drei taurus 24, 1980, 51-96, bes. 83; B.L. van der Waerden, geläufigsten Kalenderzyklen der Antike. Der 8jährige 65f.; D. Rawlins, Isis 74, 1983, 259-265; D.H. Fowler, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (1983) Zyklus wird teils dem Kleostratos zugeschrieben, teils Isis Eudoxos selbst, der 19jährige Zyklus Meton und Eu- 561-562; B.R. Goldstein, Archives Internationales d’Hiktemon (Ende 74, 1983, 556-561; D. Rawlins, Isis 74, 1983, stoire des Sciences 33, 1983, 3-14. — Der Versuch, aus einer sprachlichen Unschärfe der Zuschreibung an Eratosthenes (Almagest I 12) die 11/83 mit philologischen Argumenten Prolemäus selbst zuzuweisen (H. Berger, Die geographischen Fragmente des Eratosthenes (1880) 131; 5. Jahrhundert), der 76jährige dem Kallippos, der das System der homozentrischen Spharen des Eudoxos erweitert hat (um 330)°5. Der Zusammenhang mit den zuvor genannten Wen- Th. Heath, Aristarchus of Samos (1913) 131 Anm.4; dekreisteilungen läßt sich zwanglos herstellen, wenn Ch. M. Taisbak, Centaurus 27, 1984, 165-167) wird von man die Gewohnheit antiker astronomischer Kalender G.J. Toomer, Ptolemy’s Almagest (1984) 63 Anm.75, überzeugend widerlegt durch den Verweis auf die Parallelstelle I 14. Dort kommentiert Ptolemäus sein in der Gradnotation gegebenes Bogenmaß für den Meridianabstand aufgreift, den Jahreswechsel stets mit der Sommersonnenwende zusammenfallen zu lassen*®. der Wendekreise: »according to the ratio 11:83, with which we agreed« (Toomer, a. a. O., 70), und weist damit die 11/83 wohl kaum als eigene Erfindung aus - die nach Dann bewirkt namlich der gegen Ende des Jahres anfallende Tagüberschuß im Laufe des Kalenderzyklus eine Teilung des Sommerwendekreises in ebenso- 300 Jahren Gradnotation auch ziemlich anachronistisch viele Abschnitte wie der Zyklus oder ein ganzjähriger ware. Teil davon Jahre enthält (Abb. ı unten); dies als Folge 24 76 = 83 cos £ = 83 cos (% : Ys, - 360°). Die »Schiefe der Ekliptik« ein der modernen Formel entspricht dem halben einer Übertragung der Kalenderrechnung auf den Bogen zwischen den Wendepunkten. Das antıke Verfahren müßte auf einem massıven Globus oder einer Hemisphäre von der 76teiligen Wendekreisteilung zu den 83 bzw. 11 Teilen auf dem Meridian geführt haben - durch Ausmessen mit einem Zirkel, der fest auf die Seitenlänge Himmelsglobus, auf dem selbstverständlich die kalendarische Beschränkung auf das Rechnen mit ganzen Tagen und Schalttagen nicht weiterhilft, sondern die Teilungen zuläßt, welche in einem einheitlich und des vom Wendekreis umschriebenen 76-Ecks eingestellt ist. Die Frage der Konstruierbarkeit der kalendarisch vorgegebenen 76-Teilung erscheint dabei nachrangig. Geminus, Elementa Astronomiae (Eisagoge) Cap. VIII (Ed. Manitius 1898, Nachdruck 1974, 100-123); Neugewiderspruchsfrei geordneten Kosmos auch überflüssig 26 Zu den astronomischen Kalendern vgl. van der Waerden Einführung einer den Jahreswechselpositionen des Zyklus entsprechenden Tagteilung auf dem Wendekreis erfordert — die, einmal festgelegt, keine weiteren wären. 2 bauer (wie Anm. 1) 622-624. (wie Anm. 1) 76-92.

nisse durch Vergleich mit den aktuellen Verhaltnissen Das Werk des Kallippos erscheint auch in dessen auf der Himmelskugel festgelegt werden. Die Wahl übrigen Leistungen als grundsätzlich ideenkonforme der Maßzahlen ist dann allerdings so stark einge- Fortsetzung und Verfeinerung der von Eudoxos vorschränkt, daß selbst ein überschlägiges Abschätzen gegebenen elementaren Konzepte. Die zur Verbessemit anspruchslosen Mitteln, etwa einfachen Auslaufrung des eudoxischen Weltmodells angestellten Beobgefäßen zur Zeitmessung, fast zwangsläufig auf die achtungen des Kallıppos, Anlaß für die letztlich abgenannten Literaturzahlen führt. Die Teilverhältnisse trägliche Komplizierung der homozentrischen Sphä- 5:3 und 12:7 des Eudoxos entsprechen zwar einer ren, waren offenbar so sorgfältig, daß sie das Weltmoetwas nördlicheren Gegend als der des mittleren Griedell, das mit ihnen erwiesen werden sollte, vor allem chenland (41° bzw. 42,5° statt richtig 36°- 39°), aber wegen ihrer unveränderten Gültigkeit überdauert hadie Größenordnung stimmt im Gegensatz zu den ben. Akzeptiert man die zuvor genannte Zuschreimöglichen Varianten 4:4 und 6:2 für den 8teiligen bung der 11/83 an Kallıppos, dann kann neben der Wendekreis bzw. 11:8 und 13:6 — das entspräche 29° gründlichen Bestimmung der Jahreszeitendauer und bzw. 51° geographischer Breite - für den roteiligen. der Einrichtung des 76jährigen kallippischen Zyklus Auf dem Meridian, der selbst 83 Teile des 76teiligen nun auch die Bestimmung des Abstandes der Wende- Wendekreises enthält, sind 10 Teile (43° 20’) als Maß kreise zu dessen — jedenfalls in antiker Zeit — bleibenfür den Abstand der Wendekreise deutlich zu klein, den Leistungen gezählt werden, wobei nur der für die 12 Teile (52°) eindeutig zu groß, dagegen entsprechen ursprüngliche Notation maßgebliche Wendekreisum- 11 Teile (47° 40’) recht genau dem damals aktuellen fang entfallen sein muß, bevor Eratosthenes Mitte des Verhältnis 47° 27’; der Fehler beträgt %» des Meri- 3. Jahrhunderts die 11/83 als Meridianabstand der dianumfanges. Im Gegensatz zu den Maßen des Eudo- Wendekreise für die Nachwelt schriftlich festhielt. xos kann dieses Verhältnis freilich nicht mit Hilfe von Wenn das Maßkonzept für den Himmelsglobus bei Auslaufuhren bestimmt werden, sondern erfordert ein Eudoxos von Knidos und seinen Nachfolgern tatsächim weitesten Sinne sphärisches Instrument, weniglich auf ein System konstruktiv notwendiger Maße stens einen ungeteilten Meridiankreis. zurückgeführt werden kann, denen eine kalendarisch Es liegt nahe, die Einführung des 76teiligen Wendebedingte Wendekreisteilung in 8, 19 bzw. 76 Abkreises und der davon abgeleiteten Meridianteilung schnitte zugrunde liegt, dann unterscheidet es sich 11/83 nicht wie Ptolemäus dem Eratosthenes zuzugründlich von späteren astronomischen Maßsysteschreiben, sondern Kallippos, auf den auch der 76jahmen, die beliebigen Maßen offenstehen und keinen rıge Kalenderzyklus zurückgeht. Der mehrere Geneschöpferischen Zusammenhalt zum Ausdruck brinrationen Jüngere Eratosthenes wäre demnach nicht als gen. Um die Mitte des 4. Jahrhunderts, in einem Zeit- »Erfinder< der 11/83 anzusehen, sondern als älteste raum von nur ein bis zwei Generationen - zuvor nicht Quelle für dieses Zahlenpaar, die Prolemáus oder zuund danach nicht wieder -, erscheint der Himmelsglovor schon Hipparch vorgelegen hat. Vermutlich ist mit bus dagegen gegliedert wie eine Architektur. Dies soll der entscheidenden Kritik am Prinzip der Homozen- Anlaß sein für einen Seitenblick auf zeitgenössische trik durch Autolykos (Ende 4. Jahrhundert) und dem Wunsch nach rechnerisch bequemeren und offeneren, Entwurfskonzepte im Bauwesen, vor allem im zunehmend besser bekannten Werk des Pytheos und dessen auf Grofkreise bezogenen Maßen, wie sie bei Arist- Nachwirkung bis auf Vitruv. arch (Anfang 3. Jahrhundert) vorliegen, auch das organische, aber starre Maßkonzept verlassen worden, das von Eudoxos noch ganz im Sinne pythagoreischer Astronomie - Architektur: Maßstruktur, Mafizablen, astronomische Orientierung Geschlossenheit eingerichtet und von Kallippos zur Die archäologische Bauforschung ist in den letzten Aufnahme des Meridians und des Wendekreisabstandes mit der kleinteiligeren Gliederung in 76 Abschnitte Jahren im Zusammenhang mit dem hippodamischen Städtebau, besonders aber an dem Stadtgrundrif von versehen worden war. Priene, dessen Zuschreibung an Pytheos erstmals ver-

bindlich formuliert wurde?”, aber auch bei einer Reihe falliges Grundmaß der Ringhalle, die man als Modul klassischer griechischer Tempel?* mehrfach auf die auffassen kann wie die Triglyphenbreite bzw. den pythagoreische Lehre gestoßen. Gelegentlicher Reser- (unteren) Säulendurchmesser bei Vitruv >’. viertheit gegenüber Organisationsform und »spekulativer« Weltanschauung der Pythagoreer entspricht der Verweis auf eigenständige, »rationale« Traditionen ım Kapitellteilung und Säulenhöhe der ionischen Ordnung bei Vitruv Bauwesen ”?. Ein Nachweis der kalendarischen Verhältnisse 8, 19 Neben den oben angesprochenen möglichen Paralleund 76 als Hauptverhältnisse bestimmter Bauglieder, len des sphärischen Maßkonzepts zu architektonidie der Architektur die Teilhabe am aktuellen Zahlenschen Gliederungsprinzipien stellt sich die Frage, ob kosmos sichern sollte, kann mit Aussicht auf Erfolg die Vorstellung eines geordneten Kosmos über eine derartige Verwandtschaft in Struktur und Metrik hinaus auch eine unmittelbar raumliche Zuordnung von 27 Hoepfner — Schwandner, Haus und Stadt (wie Anm. 6) 254-256. 28 Architektur und Himmelsgebaude zur Folge haben Tempelbaukunst des griechischen Westens in klassischer Zeit (1984); ders., DiskAB 4, 137-145. In beiden Arbeiten kann, die an den Bauten selbst nachweisbar sein ist freilich der Bezug auf die Pythagoreer noch nicht müßte. An erster Stelle wird man dabei an die Ausrichangesprochen. Gleiches gilt für die Beiträge zum Entwurf des Parthenon in: E. Berger (Hrsg.), Parthenon-Kongref Basel 1982 (1984). - Zur Frage der Akropolis-Fußmaße zuletzt: H. Bankel, AA 1991, 151-163. tung von Bauten auf die Haupthimmelsrichtungen denken, die ~ im Gegensatz zur einfachen sogenannten »Orientation« auf Horizontphinomene?° — nur mit 2 So Hilfe ausgesprochen astronomischer Verfahren mit wenigstens zwei zusammenhangenden Beobachtungen am Tag- oder Nachthimmel erfolgen kann. Die Suche nach Beispielen in der gebauten Architektur des 4. Jahrhunderts und bei Vitruv, denen eine Verwandtschaft mit dem zuvor aufgezeigten astronomischen Maßkonzept hinsichtlich der Struktur ihrer Maßgrundlage und möglicher Übernahmen sphärischer Maße in die Architektur unterlegt werden kann oder solcher, die eine astronomische Orientierung vermuten lassen, ergibt das folgende, möglicherweise unvollständige Bild: Rastergrundrisse Das Konzept einer organischen Teilung auf der Grundlage einer augenfälligen und konstruktiv sinnvollen Bezugsgröße (»Modul«), wie sie bei Vitruv für alle Bauwerke empfohlen wird, führt man gewöhnlich D. Mertens, Der Tempel von Segesta und die dorische Über »Maße und Proportionen in der griechischen Baukunst« berichtet W.Koenigs in: Polyklet. Ausst.-Kat. Frankfurt am Main 1990, 121-134, bes. 123. — Die Folgen der sparsam bemessenen intellektuellen Wertschätzung für das Bauhandwerk bei den griechischen Philosophen sind noch viel zu wenig untersucht. Wie weit diese sich mit dem gegenläufigen, ganz anders gearteten Eindringen der pythagoreischen Zahlenlehre in den Bauentwurf zusammenbringen läßt, muß einstweilen offen bleiben. Die dem sog. »Lehrsatz des Pythagoras« — zum Erzeugen von Zahlentripeln für die Seitenverhältnisse rechtwinkliger Dreiecke - gelegentlich zugewiesene Rolle als Maßgenerator am Bau scheint dann problematisch, wenn die offensichtlich bestimmenden Elemente einer Maßordnung als zufällige Resultate eines nachgeordneten Vorgangs bei der Bauausführung angesprochen werden. 3° Zu den Thesen von H. Nissen, Orientationen (1908), vgl. die Kritik bei A. von Gerkan, Griechische Städteanlagen (1924) 74-82. 31 Hoepfner - Schwandner, a.a.O., 254; W. Hoepfner in: W. Hoepfner — E.-L. Schwandner (Hrsg.), Hermogenes und die hochhellenistische Architektur (1990) 27. 32 Zum Entwurf des Zeus-Tempels vgl. Th. Thieme in: Architecture and Society in Hecatomnid Caria, Boreas 17 (1989) 77-90. bis auf die »Rastergrundrisse« des Pytheos zurück 3". 33 Einen ausführlichen Bericht gibt zuletzt: K. Jeppesen, JdI Der Zeus-Tempel in Labraunda?*, nicht zuletzt auf- 107, 1992, 59-102, bes. 90-96. 34 vgl. den Vorbericht der Untersuchungen am Athena-Tempel in Priene: W. Koenigs, IstMitt 33, 1983, 140-176. grund seiner Kapitellgliederung dem Pytheos zuschreibbar, hat im Gegensatz zu älteren 1onischen Umgangstempeln einheitliche Jochweiten, das Maussolleion in Halikarnassos 3 und der Athena-Tempel in Priene’*, die als sichere Werke des Pytheos gelten können, darüber hinaus die Plinthenbreite als augen- 35 Hoepfner — Schwandner, Haus und Stadt (wie Anm. 6) 192 Abb. 191. — P. Pedersen in: Boreas 17 (wie Anm. 32) 9-14, bes. 10. — Aufgrund der geringfügigen, konstruktiv begründeten Verbreiterung der Plinthen am Athena-Tempel in Priene (an jeder Seite um 4 mm oder “4c des Rastermaßes) und der offenen Frage gleicher oder ungleicher

EITTTIILELITTIILIIO nur im Falle der 19-Teilung gelingen, worin die jüngere 76-Teilung eingeschlossen wäre (wegen 4:19 = CT 23 [71 76). Weniger Hoffnung besteht bei der 8-Teilung, die ja leicht auch als Ergebnis bautypischen fortgesetzten [ Halbierens entstehen kann. Weil der Versuch, die Aufnahme astronomischer Maßverhältnisse in die Architektur zu behaupten, ohnehin problematisch ist, sei | hier lediglich zusammengetragen, was gesichert er- = scheint. Die roteiligen Baugliederungen bei Vitruv finden sich CMI an zwei Säulenhöhen und am Kapitell ionischer Ordús | 4 | nung. Beide Bemessungsvorschriften führen erneut in die Nahe der auf Pytheos zurückgehenden Tradition. TT Die Säulenhôhen des Systylos und des Eustylos ioni- . scher Ordnung betragen bei Vitruv 9% untere Säulendurchmesser, die obere Abakusbreite und -tiefe des Volutenkapitells übertreffen diesen um je “s, betragen | also jeweils :%s des unteren Durchmessers. Die Kapia _ È | In | | 4 | | u | | D tellhöhe einschließlich der Deckplatte enthält 9% ent- _ | a sprechender partes}°; Vitruv nennt für das Volutenkapitell noch weitere Kapıtellabmessungen mit halben === partes, so daß sich vermuten läßt, das Grundmaß des po Kapitells sei eine halbe vitruvianische pars. Vergleichbares gilt für die Staffelung der Säulenhôhen zu den ® [| fünf Säulenarten: ganze Einheiten ergeben sich auch hier, wenn man statt des ganzen Säulendurchmessers einen halben als Bezugsgröße einsetzt und damit Vitruvs Bemessung der dorischen Ordnungen nach moduli zu einer Triglyphenbreite bzw. einer halben Säu- 2. 19teilige Bauglieder bei Vitruv: Mafigertist des Volutenkapitells und Höhengliederung der Säule des tonischen Systylos und Eustylos (Maßeinheit: Y. pars bet Vitruv). lenstärke angleicht?”, Jochweiten am Maussolleion kann strenggenommen nicht von einem »Plinthenraster« gesprochen werden (am Athena-Tempel ist das Verhältnis von Plinthe zu Plinthenzwischenraum um 1% größer als bei Maßgleichheit). Die Plinthe dürfte wenigstens am Anfang des Entwurfsprozes- Ersetzt man bei den genannten Säulenhöhen und Kapitellmaßen jeweils eine halbe pars durch eine ganze Einheit und betrachtet dazu nach Art eines Werkplans nur eine Hälfte der Säule, dann erscheint die 19- ses aber doch das bestimmende Grundelement des Rasternetzes gewesen sein, die konstruktiv schlüssige Korrektur fällt für den optischen Eindruck kaum ins Gewicht. - Zur Definition des Säulendurchmessers zuletzt: B.F. Weber, IstMitt 41, 1991, 423-438. Der dort diskutierte »mittlere Durchmesser« spricht das gerade bei »systematischen« Architekturtheoretikern oft vernachlässigte Problem an, Verbindliches über die gemeinsame Verwendung verjüngter Säulen und unverjüngter Pilaster an ein und demselben Teilung sehr deutlich an wünschenswert prominenter Position am Bauwerk (Abb.2). Der mögliche Einwand, daß gerade beim Kapitell die überzeugend einfache Volutenproportionierung maßgeblich sei, erklärt nicht den Gang der Konstruktionsanleitung bei Vitruv, in den die Abakusmaße ausdrücklich einbezogen sınd. Ein unmittelbarer Bezug zu den Bauten des Pytheos ist bei der 19-Teilung des Kapitells freilich nicht gegeben. Zwar entspricht das einfache 1:2:3-Mafigeriist der Kapitelle (Höhe : Tiefe : Breite) an den oben Bauzusammenhang mitzuteilen. 36 Vitruv, De architectura 3,3,10 (Säulenhöhe). 3,5,5 (Kapıtell). Als modulus (in der Bedeutung: Bezugsgröße für Bauwerksmaße) wird bei Vitruv ausschließlich das Triglyphon dorischer Ordnungen bezeichnet mit Ausnahme des Eu-

genannten, sicheren wie zugeschriebenen Bauten des Pytheos weitgehend der Gliederung des Volutenkapibauen.« 4? ein solches Projekt abzustecken und auszutells bei Vitruv — am weitesten offenbar am Zeus- Die Abweichung von den Hauptrichtungen beträgt Tempel in Labraunda, wo die Hauptmaße bei Vitruv somit beim Athena-Tempel in Priene ungefähr 2’ als AchtelfufSmafse erkannt werden können (oder die oder “ooo des Horizontumfangs; bei der Cheops-Pyradoppelten Maßzahlen als Daktylen)3*-—, doch gerade mide# sind es im Mittel 3’, die 1980 teilweise freigedie Abakusmaße (Starke und Ausladung) sind an den legte Nord-Sud-Linie des monumentalen Marsfeldausgefiihrten Bauten deutlich kleiner als die bei Vitruv Gnomons in Rom, einer dezidiert astronomischen genannten 1' partes (hier: 3 Einheiten). Das schließt Anlage, weicht um etwa 15’ ab**. Der Stadtplaner aber nicht aus, daß in der Schrift des Pytheos über den von Priene muß also für die Bestimmung der Nord- Athena-Tempel in Priene ein solches Maß genannt richtung entweder einen Astronomen herangezogen war: gerade an den jüngeren Kapitellen, die in der oder selbst ein entsprechendes astronomisches Verfah- Tradition der Pytheos-Schrift entstanden sind, scheint ren gekannt haben, um die Planskulptur der Stadt entweder wenigstens die bei Vitruv gegebene Abakusdermaßen wohlorientiert auf den abschüssigen Felsenhöhe grund zu übertragen. eingehalten (Magnesia, Artemis-Tempel des Hermogenes) oder das Verhältnis 1:1 der Ausladung Unter den Astronomen des 4. Jahrhunderts, die ım zur Höhe (Athen, Attalos-Stoa)}?. Falle der Stadtanlage von Priene die nötigen Kennt- Die Teilung der Säulenhöhe in 19 Einheiten, die bei nisse persönlich oder durch ihre Schriften vermittelt Vitruv auffallenderweise gleich an zwei Säulenarten, haben könnten, kommt von der Biographie her allein Systylos (9% partes) und Eustylos (9% moduli), vor- Eudoxos von Knidos in Frage, wenngleich andere, kommt - wenn beim Systylos kein Uberlieferungsfehungleich weniger namhafte, nicht völlig ausgeschlosler vorliegt —, läßt sich im Werk des Pytheos, wenigsen werden können. Eine knappe Skizze zu Eudoxos stens einstweilen, nicht nachweisen. Nicht auszuund Pytheos, die beide im Umkreis des Maussollos schließen sind entsprechende Säulenverhältnisse beim Zeus-Tempel in Priene. Der im Grundri$ verwandte stylos, wo modulus das doppelte Maß, die Säulenstärke, meint. Alle anderen, in der neuzeitlichen Architekturtheorie ebenfalls unter dem Begriff »Modul« zusammengefaßten Bezugsgrößen heißen bei Vitruv schlicht pars, in den Kapiteleinführungen rata pars. Vitruvs eigenartige Bemessungspraxis für die Hallen hinter den Bühnenhäusern (5,9,4), wo beide Bezugsgrößen an einem Bauwerk nebeneinanderher bestehen, scheint ein Beleg für die Quellentreue der beiden vitruvianischen Begriffe. Als Indiz grundverschiedener Entwurfsprinzipien sieht sie dage- Zeus-Tempel (des Hermogenes?) in Magnesia gilt als Eustylos mit der von Vitruv genannten Grunddisposition von 4:9 und der zugehörigen Höhe von 9% Säulenstärken +. Zur Orientierung des Stadtplans von Priene Schließlich folgt die Stadtanlage von Priene, die Pytheos zugeschrieben wird, bemerkenswert genau den gen J.J. Coulton in: H. Geertman - J.J. de Jong (Hrsg.), Munus non ıngratum, BABesch Suppl. 2, 1989, 85-89. Haupthimmelsrichtungen, anders als der vorausge- Zum Volutenkapitell des Zeus-Tempels in Labraunda: Hoepfner - Schwandner, a. a. O., 192-195. - Zum klassischen Volutenkapitell zuletzt W. Hoepfner in: Bathron, Festschrift H. Drerup (1988) 225-232. hende Plan von Halikarnassos, der um 10° abweicht". G. Kummer, Vermessungsingenieur der Priene-Grabung, schreibt nach seiner Untersuchung des Stadtgebietes und des Athena-Tempels: 32 W. Hoepfner, AM 83, 1968, 213-234, bes. 215 u. 230. 4° Hoepfner — Schwandner, Hermogenes (wie Anm. 31) »Es ist ein staunenswertes und zugleich lehrreiches Zeichen für die Fahigkeit der Alten, einmal mit solcher Präcision die Nordrichtung herzustellen — die Tempelachse weicht auf 40 m Länge, wie durch scharfe Messung festgestellt worden ist, nur um 3cm, die Richtung der Achsen kaum um ıcm von Norden ab - ferner unter den schwierigsten Terrainverhältnis- IO 20-23. 4: von Gerkan, a. a. O., Abb. 7. 42 G. Kummer in: Th. Wiegand — H. Schrader, Priene (1904) 57-67, hier 61 u. 63. L. Borchardt in: Beiträge zur ägyptischen Bauforschung und Archäologie 1 (1937) 1-16, nach: R. Stadelmann, Die ägyptischen Pyramiden (1985) 108 Anm. 317. 44 R. Bill, Allgemeine Vermessungs-Nachrichten 90, 1983, 147-154, hier: 153.

nachgewiesen sind, soll daher den vorliegenden Beiund Bryaxis, in seinem Geburtsort und Alterssitz trag abschließen. Knidos - der einzige namentlich bekannte Knidier mit Kontakt zu Maussollos ist Eudoxos 5. Man kann da- Pytheos — Eudoxos her vermuten, daß dieser, wenn es ihm die Kürze Wie oben erwähnt, wird Pytheos - in durchaus bruchseines »Vorbeikommens« und die mögliche Zurückstückhafter Überlieferung — mit Satyros als Architekt haltung seines Gastgebers erlaubt haben, die am Mausdes Maussolleions in Halikarnassos genannt, ferner als solleion gerade tätigen Architekten und Bildhauer Verfasser einer Schrift über den Athena-Tempel in kennengelernt und sie später für mögliche Aufträge Priene*. Uber das sicher unvollständige Bild der weoder Ankäufe vorgeschlagen hat. nigen schriftlichen Nachrichten hinaus haben vor al- Bei Pytheos, einem der beiden Architekten (und lem Untersuchungen an der Bauskulptur und an den Bildhauer?) des Maussolleions, mag Eudoxos beson- Bauten selbst, die teilweise noch andauern +, zu weiteders nachhaltigen Eindruck hinterlassen haben: dieser ren Zuschreibungen geführt. Danach soll Pytheos besaß das gültige, zu bedeutenden Teilen auf ihn selbst auch den Stadtplan von Priene (und zuvor Halikarnaszurückgehende Wissen der Zeit, war in der Geometrie sos?) entworfen haben, ebenso den Zeus-Tempel in Schüler des Pythagoreers Archytas von Tarent und hat Labraunda, möglicherweise auch den in Priene”. Als demnach wohl auch dessen Musiktheorie gekannt. Zäsur und chronologischer Halt wird alleın der Tod Ferner galt Eudoxos mit seinem Modell homozentrides Maussollos im Jahre 353 v. Chr. gesehen. scher Sphären als Verfasser des seinerzeit gültigen, in Eudoxos von Knidos ging, so berichtet Diogenes seiner Geschlossenheit noch pythagoreischen Weltbil- Laertios*°, nach seiner ersten Athener Zeit und einem des. Seine Arbeiten auf dem Gebiet der Gnomonik einjährigen Ägyptenaufenthalt zunächst »nach Kyzibrachten, wie man vermuten darf, die früheste Ankos und der Propontis«, soll »aber auch bei Mausolos wendung des sphärischen Himmelsmodells auf die vorbeigekommen sein«*?, bevor er »darauf« wieder Zeitmessung +, Die Proportionenlehre des Eudoxos »nach Athen zurück(kehrte)«, um schließlich in Kniwar als erste für beliebige Größenverhältnisse konzidos als Gesetzgeber und Astronom tätig zu werden. piert (Zahlen, Die in der neueren Forschung bevorzugte »späte« wichte, Zeitabschnitte) 3. Strecken, Flächen, Volumina, Ge- Chronologie für Eudoxos hat ihren Fixpunkt in dem weist auf einen geschichtlichen Zusammenhang - die +5 Zu den Schriftquellen vgl. S. Hornblower, Mausolus (1982) 227 ff. - Unter den dort zurückhaltend bewerteten archäologischen Quellen ist das Labraunda-Kapitell als bisher überzeugendstes archäologisches Gegenstück zum Verdingung des Agesilaos als Schiffsführer bei Nekta- Volutenkapitell bei Vitruv noch nicht vertreten (310f. Empfehlungsschreiben des spartanischen Königs Agesilaos II. für Eudoxos an Pharao Nektanebos. Es vernebos -, an dem schon zu diesem frühen Zeitpunkt Maussollos beteiligt sei5°, und wird auf die Jahre nach Anm. 26), 4 oO 4 “di 254-256 (Stadtplan Priene). 4 a Todes des Maussollos in die Jahre nach 353 zu setzen. In Athen ist Eudoxos erneut Platon begegnet, also vor 349/348, vermutlich aber früher, denn offenbar nımmt Uber Eudoxos’ Aufenthalt bei Maussollos ist nichts Der folgende Zusammenhang nach Diogenes Laertios (wie Anm. 4) sowie Lasserre, Eudoxos (wie Anm. 17) 4f. (T 7) u. I4I. 49 Diogenes Laertios, a.a.O. $87: GAAG xai mapa MavowOV Aqpıreodaı. dessen letztes Werk, die »Nomoi«, noch Bezug auf die homozentrischen Sphären des Eudoxos*?. 6) Hoepfner — Schwandner, Haus und Stadt (wie Anm. 158-167 (Zeus-Tempel Priene), 192-195 (Labraunda), 365 datiert‘. Dadurch scheint es möglich, den zweiten Aufenthalt des Eudoxos in Athen als Folge des vgl. Anm. 33 und 34. Hornblower, a. a. O., 105. 5! G. de Santillana, Isis 32, 1940, 248-262. 52 Platon, Nomoi 822, b. 898a, b. 967; J. Mittelstraß, Die Rettung der Phanomene (1962) 136. bekannt als nur die genannte knappe Mitteilung und 53 Hornblower, a.a.O., 115. die Vermutung, es habe vor der Ägyptenreise einen 54 Unter den bei Vitruv (9,8,1) genannten Sonnenuhr-Erfinersten Kontakt gegeben, doch weiß man auch von den Werken zweier Bildhauer des Maussolleions, Skopas A Lu dern ist Eudoxos der älteste. Zur Proportionenlehre zuletzt: A. Thorup, Archive for History of Exact Sciences 45, 1992/1993, 1-16.

Der von Vitruv kritisierte Satz des Pytheos, »ein einem künstlichen Horizont oder Horizontalkreis die Architekt müsse in allen Zweigen der Kunst und Nord- bzw. Südausrichtung zu bestimmen, kann nur Wissenschaft mehr leisten kônnen als die, die einzelne bei entsprechend sorgfältiger Ausführung der bausei- Gebiete durch ihren Fleiß und ihre Tätigkeit zu hôchtigen Visierpunkte bzw. -kreise zum Erfolg führen. stem Glanz gefiihrt haben« 56, scheint jedenfalls in der Eine persônliche Beteiligung des Eudoxos bei der Nähe eines Universalgelehrten gut aufgehoben. Eudo- Gründung von Priene, etwa als Gesetzgeber wie bald xos von Knidos, der auch als Arzt, Philosoph und darauf in seinem Geburtsort Knidos®®, ist nicht auszu- Gesetzgeber genannt wird und damit die von Vitruv schließen, zumal wenn man Athen, wo Eudoxos hogeforderte enzyklopadische Bildung, encyclios discihes Ansehen genof, bei der Neugründung eine entplina 5”, wohl für sich in Anspruch nehmen konnte und scheidende Rolle zuweist®". geradezu verkörperte, könnte Pytheos auch persön- + lich eine solche Auseinandersetzung mit seinem Fächerkanon vermittelt und vielleicht dazu angeregt ha- Auf allzu weitreichende Hypothesen soll hier jedoch ben, ihn auf einem Gebiet zu übertreffen, das für verzichtet werden. Der vorliegende Beitrag versuchte Eudoxos, wıe das oben rekonstruierte Verfahren zum zu zeigen, daß es lohnend sein kann, bestimmten Festlegen sphärischer Maße nahelegt, offenbar keine elementaren Prinzipien der antiken Architektur auch eigene Qualität besaß: in der Praxis, ein gedankliches bei der Untersuchung von Struktur und Metrik der Konzept mit handwerklichen Mitteln möglichst gegerade beginnenden, noch organisch konstruierenden schlossen und ohne Einbußen in ein Werk umzusetzen sphärischen Astronomie des 4. Jahrhunderts nachzu- — für den Baumeister und Bildhauer im eigenen Metier gehen. eine größere Selbstverstandlichkeit als für den Mathe- Davon ausgehend können wiederum Parallelen in der matiker und Astronomen. zeitgenössischen Architektur verfolgt werden, die auf Für eine Begegnung des Eudoxos mit Pytheos spricht eine Verwandtschaft im weiteren Sinne hinauslaufen, letztlich vor allem die präzise astronomische Orientieetwa bei der zwangsläufigen modularen Maßordnung rung der gleichfalls nach dem Tod des Maussollos auf der Sphäre und dem ın den Plinthen der Ringhalle gegründeten Stadt Priene. Der Verfasser der Stadtansichtbar werdenden Rastergrundriß des Athena-Temlage verfügte neben der schon genannten astronomipels des Pytheos in Priene, oder die Frage aufwerfen, schen Kompetenz über Grundkenntnisse der pythawarum die kalendarische Gliederung in 19 Abschnitte goreischen, bis dahin vor allem von Archytas, dem auf dem Himmelsglobus des Eudoxos sich gerade dort Lehrer des Eudoxos, betriebenen Musiktheorie: die bei Vitruv findet, wo ein enger Bezug zu Pytheos wichtigsten Flächen im Stadtgrundriß von Priene haangenommen werden kann: an Säulenhöhe und Kapiben Seitenlangen, deren Proportion den drei Haupttellaufbau der ionischen Säule. Schließlich kann verharmonien der Musiktheorie entsprechen (Tempel mutet werden, daß der Stadtplan von Priene mit seiner 1:2, Agora 2:3, Insulae je 3:4)°°. Das Beibehalten pyramidengleichen, nur gedanklich faßbaren präzisen weiterhin ftir aktuell gehaltener altpythagoreischer Er- Orientierung das Ergebnis eines Zusammenspiels kenntnisse bei gleichzeitiger Erschließung weiterer Gebiete für die Mathematik kann als Grundzug im Gesamtwerk des Eudoxos gelten. Ihre Anwendung ın der Architektur, etwa bei dem von Vitruv genannten Verfahren zum Orientieren von Stadtanlagen 5, verlangt aber vor allem ausgesprochen bautechnische Fertigkeiten wie das Nivellieren der Bezugsebene und das lagegenaue Einrichten des Gnomons. Auch ein zweites Verfahren, durch Ausmitteln der Visuren zu Aufund Untergangen der Sonne oder zu Fixsternen auf 12 5° Vitruv 1,1,12. Zitat nach der lat.-dt. Ausgabe von C. Fensterbusch, Darmstadt 1964. 57 Vitruv a. a. O. - Auch die Aufstellung einzelner Wissensgebiete, deren Kenntnis Vitruv zuvor (1,1,3) den Architekten empfiehlt, deckt sich auffallend mit den von Eudoxos ausgeübten Disziplinen. 58 Hoepfner — Schwandner, a.a.O., 252 Abb. 255. 59 Vitruv 1,6,6f. und 1,6,12. 6° Lasserre a.a.O., 5 (T7 $88) u. 142. ®t Hoepfner- Schwandner, a. a. O., 142. 62 Vitruv 1,1,12.

astronomischer Kenntnisse und deren zielstrebiger unterstellt der Gedanke einer anonymen, jedenfalls Verwirklichung sein muß, ebenso wie die Anwendung unbekannten astronomischen Quelle für die Orientiemusikalischer Verhältnisse bei den Hauptelementen rung des Stadtplans von Priene der antiken Wissendes Stadtplans. schaft einen Organisationsgrad und eine Offentlich- Aus mehreren Griinden liegt es nahe, eine biographikeit, die kaum vorausgesetzt werden kônnen. sche Verbindung zwischen Eudoxos und Pytheos vor- Dem oben zitierten mutigen Satz des Pytheos über zuschlagen: eine derartige, hier durch Maussollos als die Fahigkeiten des Architekten geht bei Vitruv ein Bezugsperson gesicherte Konstellation eines Archianderer voraus, der die Strukturverwandtschaft der tekten und eines Mathematikers bzw. Astronomen - Disziplinen als Schlüssel enzyklopädischer Bildung zumal der jeweils namhaftesten Vertreter ıhres Faches formuliert°?. Gerade deshalb mag man eine direkte — kommt in der Antike bis auf den ro bis 8 v. Chr. in Vermittlung vorziehen und annehmen, daß auch der Rom eingerichteten Gnomon des Augustus nicht wietheoretische Anspruch des Pytheos nicht alleın Ausder vor. Der Himmelsglobus selbst war, wie bereits druck von Metierstolz ist, sondern im wesentlichen erwähnt, nur über einen sehr kurzen Zeitraum hinweg auf eine Auseinandersetzung mit Werk und Person des organısch gegliedert - von Eudoxos. Zum anderen Eudoxos zurückgeht. Abbildungen: Autor