Der mathematische Begriff und das sog. 'Geometrische Mittel'

Davs SAR, À: ta bs DER MATHEMATISCHE BEGRIFF öövauıs UND DAS SOG. 'GEOMETRISCHE MITTEL’ UEBERSICHT: ¡AAA 215 I. Der mathematische Gebrauch des Wortes duvanıg ............... 216 II. Die « Theaitetos s-Stelle (147 D - 148 B)....................... 219 III. Der Ursprung der Ausdrucksweise Bévaadar..................... 232 IV. Flächenumgestaltung und tetgayovonòg ........................ 240 V. tetgayoviopòg und ‘geometrisches Mittel’ ....................... 247 Schlussbemerkung ........................................... 252 Der Name fiir den Begriff der mathematischen Potenz — d.h. also: der Name fiir das ein- oder mehrmalige Multiplizieren einer Zahl (oder einer Grösse) mit sich selbst — ist in allen europäischen Sprachen eine missverstandene Lehniibersetzung. Denn italienisch potenza, deutsch Potenz, franzòsisch puissance, englisch power, holländisch macht u.a.m. gehen ja doch alle — über lateinisch potentia hindurch — auf griechisch ¿óvapeg zurück. Und man liest in der Tat in den Lexika, ¿úvagrs hiesse: « Vermögen, Kraft, Macht usw. ». Kein Zweifel, man hat eben diese Wortbedeutung zugrunde gelegt, als man versuchte, unseren Terminus in die einzelnen europäischen Sprachen zu übersetzen. Aber es ist auf der anderen Seite offenbar doch unmöglich, dass das Wort Súvapes in seinem ursprünglichen mathematischen Gebrauch gerade diesen Sinn gehabt hätte. Es wäre ja unerklärlich, wieso man eigentlich einen solchen sonderbaren Namen (« Kraft » oder « Macht ») einer Art Multiplikation hätte geben können. Natürlich hatte dieses Wort in seinem älteren mathematischen Gebrauch einen völlig anderen Sinn, nur man hat eben — wie mir scheint — diesen alten mathematischen Sinn, seitdem er schon im Altertum vergessen wurde, noch nicht wiederentdeckt. Ich glaube nun, dass es sich lohnen wird, den Ursprung dieses Terminus genauer zu beleuchten, da er — meiner Ansicht nach —

auch ein interessantes Kapitel der friihgriechischen Mathematikgeschichte in ein neues Licht zu stellen vermag. In dem folgenden will ich zunächst von jener Sammlung der matische Sinn des Wortes («zweite Potenz») auch dann noch, als 216 Belegstellen für das Wort Süvœuts ausgehen, die man am bequemsten in den Büchern von TH. L. HEATH nachschlagen kann (r). i, Vor allem wollen wir einfach den Sinn, die Wortbedeutung unseres Terminus an den Belegstellen überblicken — ohne dabei gleich auch nach der Herkunft der Namengebung zu fragen. Ueberblickt man nun die wichtigsten Belegstellen fiir unseren Terminus in der mathematischen Literatur, so fallen sogleich zwei Tatsachen auf. I Der mathematische Gebrauch des Wortes öbvapıs lässt sich mindestens von PLATON ab über die ganze Antike hindurch für jedes Zeitalter der griechischen Wissenschaft belegen. In den späten Jahrhunderten tauchen sogar, bei DIOPHANTOS von Alexandrien (2), plötzlich auch solche neuen mathematischen Termini auf, die aus unserem Wort (Süvauts) gebildet wurden, und die es früher gar nicht gab wie Z. B.: Suvapodivauic, Guvauéxufos usw (3). tischen Texten des Altertums immer nur die « zweite Potenz » (= Quadrat) und nie eine höhere bezeichnet (4). Massgebend war dieser mathe(1) Tu. L. HEATH, « Archimedes» (1. ed. 1897; 2. ed. with Supplement ae NEE — «The Thirteen Books of Euclid’s Elements I., 5 - 4 (1. ed. 1908; 2. ed. (2) Sieh sondes über gost ihniB. ann 1926; Dover licati me — i sis dois L. v. d. WAERDEN, Erwachende Wissenschaft, i Basel - (3) Tu. L. Heatu, A History... II 457-458. | (4) Bei Euxzip beginnt die 2. Definition im X. Buch der « Elemente x Ebdeia Suvdéper ovppetpoi elaw, Stav «tA. = 4 Strecken sind quadriert kommensurabel, wenn etc.» (C. THAER). — J. L. HXIBERG versuchte die zitierten Worte lateinisch folgendermassen zu übersetzen: « Rectae potentia commensurabiles sunt, ubi etc.» Irreführend ist hier das lateinische Wort: potentia. Mit Recht bemerkte gerade gegen derartige Uebersetzungen TH. L. HEATH: + Commensurable in square is in the Greek Suvdper otyperoos. In earlier translations (e. g. Williamson’s) duvdyer has been translated ‘in power’, but as the particular power represented by Súvauts in Greek geometry is square, I have ct os, it best to use the latter word throughout» 11). tenz» — so muss man einsehen, dass der Begriff öbvaynız mit unserem Begriff « Potenz » eigentlich auch gar nicht identisch ist. Es scheint eher, dass damals, als dieses griechische Wort der Mathematik mit lateinisch potentia, oder mit den modernen Varianten desselben lateinischen Wortes, wiedergegeben wurde, gleich auch der Begriff, der dahinter steckte, eine solche wesentliche Erweiterung erfuhr, wofür es aus der Antike gar kein Beispiel gibt (5). Nachdem wir nun die erste wichtige Tatsache über die Bedeutung unseres Wortes festgestellt hatten — dass nämlich Svvapis | 2. Die andere Beobachtung betrifft die Wortbedeutung selber. Es ist nämlich auffallend, dass das Wort Súvaptg in den mathema- Mathematics 1-11 », Oxford sa man jene neuen, eben erwähnten Termini gebildet hatte, denen wir bei DIOPHANTOS begegnen. Denn schliesslich heisst ja bei DIOPHANTOS Suvapodovauts «die vierte Potenz einer unbekannten Grösse » (xt = = xx), Die Verdoppelung selber zeigt, dass der ursprüngliche Terminus, öbvauıg, nur als « zweite Potenz » verstanden werden konnte. Nach demselben Prinzip gebildet ist auch der andere zitierte Terminus: Suvauéxufoc = «fünfte Potenz einer unbekannten Grösse» (xs, d.h. also «zweite Potenz» mal «dritte Potenz », divapis mal x0805). Denkt man nun an diese immer beibehaltene Bedeutung des griechischen mathematischen Terminus — dbvapıg = «zweite Po- (The Thirteen Books... immer nur die « zweite Potenz » und nie eine höhere bezeichnen kann — wollen wir auch jene Nuancen-Unterschiede der Wortbedeutung nicht aus dem Auge verlieren, die sich z.B. auch bei PLATON beobachten lassen — besonders wenn man einige Stellen untereinander vergleicht. Man begegnet z.B. einer der unsrigen sehr nahen Gebrauchsart dieses Wortes in dem “Staat” (6). Es werden an der betreffenden Stelle die Lustgefühle, die einerseits der König und andrerseits der Tyrann haben kann, zahlenmässig miteinander verglichen, und in diesem Zusammenhang gebraucht PLATON die Ausdrücke xatà Sivapiv und xatk pito» any. Die Interpretation der Stelle ist überhaupt nicht problematisch. Wie man mit Recht bemerken konnte, heisst hier xatà öbvanıv «nach der zweiten Potenz », und xatà tpityy adinv = "nach der dritten Potenz » (7). Interessant ist diese Stelle für uns nur deswegen, weil man aus dem Textzusammenhang auch jene Zahlen entnehmen kann, die mit den beiden eben zitierten - (5) Es wäre interessant zu wissen, bei wem und wo zuerst die mathematische potentia, nicht mehr bloss eine wörtliche Wiedergabe der griechischen düvas ist. Daselbst muss sie nämlich auch schon eine höhere (dritte, vierte usw.) Potenz bezeichnen können. — Mir ist die gesuchte Stelle zur Zeit noch nicht bekannt, (6) Resp. 587 D. (7) Vgl. dazu die Interpretation von Tu, L. HEATH, A History... I 297.

Ausdrücken angedeutet werden: es sind 87 und 729. PLATON bezeichchischen Denkweise gerecht werde, dann gebraucht man anstatt des Ausdruckes «zweite Potenz » eher einfach nur das Wort « Quadrat ». Das ist eben der genauere Wortsinn; Ÿ didperpog Ÿ ôuvapet ölmous heisst: « die Diagonale, die mit dem Quadrat (auf ihr) zwei Fuss 218 net also an dieser Stelle mit dem Wort divapic die zweite Potenz einer Zahl (9° = 81), eine Quadratzahl, dasselbe, was nach der bekannten Euklidischen Terminologie tetpdywvog derbuós heisst (8). Nicht genau denselben Sinn hat das Wort Súvajug an einer deren Stelle im Dialog « Politikos » (9). Hier liest man nämlich anden Ausdruck: N Öduerpos % duvduse dirove, wörtlich übersetzt: «die Diagonale, die mit ihrer zweiten Potenz (övvaneı) zwei Fuss (im Quadrat) ist.» Es handelt sich offenbar um die Diagonale (d) des Quadrats mit Seite a, wenn a = 1 Fuss (in Länge) ist; denn in diesem Fall ist: «die Diagonale mit ihrer zweiten Potenz » (7) dtéuetpos Suvapet) also nach unserer Bezeichnungsart: | d? = 2 Fuss. Nun heisst das Wort Güvauts — nach unserer Denkweise — auch in diesem letzteren Fall: «zweite Potenz einer Zahl », und zwar: « die zweite Potenz der Zahl V2 ». Aber nicht so ist es im Sinne der = chischen Mathematik! Nach der Euklidischen Definition griechischer Denkweise — gar keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergeben würde. Darum ist es auch irreführend, wenn Fall öövanız als «zweite Potenz » man in übersetzt. Denn überlege man sich nur: warum heisst es wohl, dass «die Diagonale mit ihrer zweiten Potenz (Suvdpet) 2 Fuss (im Quadrat ) ausmacht wenn die Seite des Quadrats a = I Fuss (in Lange) ist »? — Offenbar (&) g darum, weil das Quadrat auf der Diagonale (d*) der Quadratfläche a* ist (ro). gerade das dariiber die Rede, dass man die Zahl 9 «nach dem Quadrat» (= xatà Súveye) nimmt, und so bekommt man die Quadratzahl (= tergdywvog dots) 8. — Auf der anderen Seite versteht man auch leicht wieso ein Ausdruck für « Quadrat » (Sbvauxç) auch zu einer technischen Bezeichnung für «zweite Potenz » werden konnte. Auch heute ist noch oft das Wort «Quadrat » bloss ein synonymer Ausdruck für «zweite Potenz » — im Einklang damit, dass unsere Mathematik schon in viel höherem Masse «algebraisch » orientiert ist, als die Wissenschaft der Griechen war. (Elem VII. def. 2) ist nämlich Ÿ2gar keine Zahl. Es gibt überhaupt — nach unserem vorliegenden ist». — Dieser ursprünglichere mathematische Sinn des Terminus Suvapis = « Quadrat » (11) — passt natürlich sehr wohl auch in unsere erstere Platon-Stelle (Resp. 587 D) hinein. Denn dort war ja gerade as DDoppelte II. Nachdem wir nun wissen, dass der urspriinglichere mathematische Sinn des Terminus ¿uvas einfach nur « Quadrat » hiess, dürften wir jetzt wohl auch schon nach der Herkunft dieser Namengebung fragen. — Aber es sei doch erlaubt — bevor ich auf den eben erwähnten Punkt hinüberginge — bloss um einer gewissen « Vollständigkeit» willen, hier noch die Interpretation einer solchen PlatonStelle einzufügen, die teils unsere bisherigen Feststellungen, betrefis der Wortbedeutung von 5úvapis, erhärtet, und teils auch mindestens einige Fehler der früheren Erklärungen zurechtstellt. Es handelt sich um eine interessante und oft zitierte Stelle aus dem Dialog « Theaitetos », wo unser Terminus &övapız auch mehrmals nacheinander benutzt wird (r2). Will man nun diese — was unser Wort betrifft — sehr aufschlussreiche Stelle richtig verstehen, Soo so muss ınan sich von dem Textzusammenhang an folgendes erinnern. nl Will man also an unserer Stelle den Terminus ¿óvapig so übersetzen, dass man nicht nur einfach den mathematischen Sinn der Worte wiedergibt, sondern so, dass man dabei auch noch der grie(8) Elem. VII def. ro. (9) Politikos 266 B 3. dazu PLaton, , 1 (10) Vgl. À SOKRATES führt in diesem Dialog ein Gespräch mit dem jungen THEAITETOS in Anwesenheit des Lehrers von dem letzteren, des Mathematikers THEODoROS. Es wird das Problem der Wissenschaft, oder einfach nur: dasjenige des Wissens erörtert. « Was ist Wissen? » (11) Richtig schreibt also TH. L. HEATH (Archimedes p. CLXI): « övvapıs «Menon» 82 B-8 -35 D, und meinen i Aufsatz: ¢ Deiknymi, als math. Terminus fiir beweisen, Maia X 1958 106-131. expresses a square (literally a power) etc. è. (12) « Theaitctos» 147 D-148 B.

(nepi Cuvdpedy te hutv ... Eypape, 147 D 2 ff.), über dasjenige, dessen — ti oa Soxet elvar ¿motiun (146 C 3) —, auf diese Frage sollte Fläche drei Quadratfuss, und über dasjenige, dessen Fläche fünf THEAITETOS antworten. Aber der Junge erteilt auf die Frage des Quadratfuss ist (tig te telmodog rip. xal mevtémodog), indem er zeigte, SOKRATES zunächst eine unzulängliche, um nicht zu sagen: eine tôrichte Antwort. Anstatt dessen nämlich, dass er eine Definition des Wissens versuchte, antwortet er mit einer naiven Aufzählung, etwa dass diese der Länge nach zu dem einfüssigen nicht kommensurabel folgendermassen: Wissen ist alles das, was man von THEODOROS füssigen. Bei diesem hörte er dann auf». Wir wollen bei diesem Satz lernen kann (Geometrie, Astronomie, Musik, Rechenkunst etc.); ausserdem Wissen ist auch das Kônnen des Schumachers und dasjenige für einen Augenblick stehenbleiben, denn ich muss ja meine Uebersind (dropaivwv, ét: prxet où abpuerpor tH roûtala); und so nahm er jedes Quadrat, das eine nach dem anderen vor, bis zu dem siebzehnsetzung — mindestens in einigen Punkten — doch begründen. der übrigen Handwerker usw. usw. (146 C-D). — Natiirlich ist nun Ich habe in dem ersten Satz das Wort öbvanıs selbstverständlich SOKRATES mit dieser Antwort nicht zufrieden, und er macht auch mit « Quadrat » übersetzt, weil meiner Ansicht nach diese Uebersetzung den Jungen auf seinen Fehler aufmerksam. Er hatte ja nicht nach die einzig mögliche und richtige ist. Aber nicht so wird derselbe Satz einer Aufzählung der verschiedenen Arten des Wissens gefragt, sondern die Frage hiess: was ist Wissen tiberhaupt, also was ist es von den meisten Historikern der Mathematik übersetzt. Sie glauben auch in seinen verschiedensten Arten? Auch mit einem Beispiel über « Quadrate » sondern über « Quadratseiten » gelehrt, und darum illustriert er dann noch den eben begangenen Fehler des Jungen. Die Antwort des THEAITETOS auf die vorgelegte Frage war ebenso /4cherlich (147 B 10-11), als wenn man auf die Frage: «Was ist Lehm? » — mit einer Aufzählung der verschiedenen Lehmarten der einzelnen Handwerker antworten wiirde. Die richtige Antwort hiesse dagegen: Lehm ist eine Mischung von Erde und Wasser. Erst nach dieser Erklärung versteht überhaupt THEAITETOS den Sinn der vorigen Frage. Ja, jetzt wüsste er schon, wo SOKRATES mit seiner Frage hinaus wollte. Etwas änhliches ist ja ihm, THEAITETOS, und seinem eben anwesenden Freund, dem anderen (jungen) SOKRATES auch nach einer Mathematik-Stunde des THEODOROS ergangen. Darauf lässt nun der Führer des Dialoges, der ältere SOKRATES, als guter hiesse in unserem Satz Súvep:s auch nicht Pädagoge, selbstverständlich den Jungen erzählen, was seine «mathematische Erfahrung » war, ob diese in der Tat etwas mit der jetzigen mal eine andere « Lösung » vor: man sollte an der betreffenden Stelle Frage zu tun hätte. Erst daraus würde man nämlich doch ersehen Aber mit diesem neueren Irrtum hatte er schon weniger Glück; können, ob der Junge die Frage (diesmal) wirklich nämlich: THeoporos hätte seinen Schülern doch nicht bloss etwas «Quadrat», sondern «Quadratseite». Nun werde ich gleich zeigen, wie unhaltbar diese Auffassung ist. Das Wort öövapı; kann an unserer Stelle unmöglich den Sinn « Quadratsezte » haben. Aber es wird sich vielleicht lohnen, vor dieser Beweisführung früher noch daran zu erinnern, wer eigentlich an diesem konsequent begangenen Uebersetzungsfehler der namhaftesten Historiker der Mathematik schuld ist? Meines Wissens verfiel zu allererst P. TANNERY (i. J. 1876) auf den falschen Gedanken, dass das Wort èbvapis in dem Dialog « Theaitetos» den Sinn «Quadratwurzel» hätte (14). Acht Jahre später (1884) hat zwar TANNERY in einer anderen Arbeit (15) die Irrtümlichkeit seiner früheren Ansicht schon eingesehen, und er schlug diesdes « Theaitetos » das Wort öövanıg überall in Svvauévn verwandeln. verstanden die Historiker sind ihm nicht gefolgt (16). Nur seinem früheren Irrtum hätte (13). Das ist nun der Rahmen (jener) «mathematischen Stelle» — den er auch später (1889) umsonst abschwören wollte (17) — war im Dialog « Theaitetos », die wir in dem folgenden auch eingehender besprechen müssen. Der junge THEAITETOS schildert nämlich seine «mathematische Erfahrung » folgendermassen: « Dieser THEODOROS hat vor uns etwas über Quadrate illustriert (14) «Le nombre nuptial dans Platon», Revue philosophique 1876, I 170-188 = Mémoires Scientifique (J. L. HEIBERG - H. G. ZEUTHEN, ToulouseParis 1912) I 12-38. Die beiläufige Bemerkung, auf die ich oben hinwies, steht in Mém. Scient. I 33, 2. (15) «Sur la langue mathématique de Platon», Annales de la Faculté (13) Verfehlt und irreführend ist also die folgende Schilderung, der man bei Historikern der Mathematik häufig begegnet: « PLATON gibt im Dialog auch ein Beispiel einer mathematischen Untersuchung des jungen THEAITETOS (?). Das Beispiel ist ziemlich an den Haaren herbeigezogen (?): Es sollte als Einleitung zu einer philosophischen dazu (?); usw. usw. ». Diskussion dienen, passt aber nicht recht des lettres de Bordeaux 1884, I 95-105 - Mém. Scient. II 91-104. (16) Vgl. z.B. B. L. v. d. WAERDEN, op. cit. 234: «cs ist nicht nötig, mit TANNERY das Wort Sivapic durch duvapévyn (Erzeugende) zu ersetzen». (17) Es wird sich lohnen, aus der Arbeit von TANNERY (aus d. J. 1889, « L'hypothèse géométrique du Ménon de Platon», Archiv f. Gesch. d. Phi-

2arpuw Useuu bei den besten Vertretern unserer Wissenschaft ein langes und zähes Nachleben gesichert (18). Nun sei es hier vor allem kurz erklärt, warum an unserer Stelle öuvapıs nicht «Quadratseite» heissen kann. Ich habe dafür zwei gewichtige Argumente. 1. Ich kenne aus der mathematischen Literatur der Griechen gar keinen einzigen Beleg dafür, dass das Wort ôbvautc auch jemals den Sinn « Quadratseite » haben könnte. Soviel ich weiss, hat dieses Wort, als mathematischer Terminus, immer und ausschliesslich nur den Sinn: «Quadrat» (19). Natürlich ist der «andere» Sinn dieses Terminus — «zweite Potenz » — nur eine Modernisierung, sozusagen LIU HIDE SE VAS LOS coy Genitive, die AUR NI) Yi been Appositionen, rem auf sere ““bd'* Drm «Quadratseiien » me ar beziehen. Aber was besagt in diesem Fall der ganze Satz? — Etwa Folgendes: « THEODOROS hat vor uns etwas über Quadratsezéen illustriert, über die dreiund über die fünffüssige Quadratsezte, dass nämlich diese der Länge nach zu der einfüssigen Quadratseite nicht kommensurabel sind ». Aber das ist ja der reinste Unsinn! Warum sollten, um Gottes willen, die drei und fünd Fuss langen Quadratseiten zu der einfüssigen — d.h. also zu der 1 Fuss langen Quadratseite — inkommensurabel sein, wenn es heisst, dass sie drei bzw. fünf Fuss lang sind? Und doch ist eine andere Uebersetzung, als die eben versuchte — falls man Sbvapic als « Quadratseite » versteht —, grammatikalisch gar nicht eine « Algebraisierung » — meistens: unsererseits. 2. Auch grammatikalisch und inhaltlich kann unser Wort an der betreffenden Stelle (Theait. 147 D 3) richt den Sinn « Quadratseite » haben. Denn versuche man nur die Uebersetzung des fraglichen Ausdruckes mit « Quadratseite », und sofort wird dadurch die ganze Stelle sinnlos. Die problematischen Satzteile heissen nämlich griechisch: rep! öuvduewv ... Besöwpos Eypape, tHe te toinodog Tépt xal nevtéroôos ... Die Frage heisst nun, wie das Wort in Pluralis Genitivus (Suvauewv) zu übersetzen sei: ob «Quadrat », oder « Quadratseile »? — Aber es wird nicht überflüssig, schon im voraus — bevor man übersetzte — festzulegen, dass dieses problematische Wort in Plur. Gen. auch zwei Appositionen hat; denn tpirodos und nevtéroôos sind möglich (20). Denn heisst es über eine Quadratseite, dass sie « dreija eben deswegen singulare Genitive, weil sie Appositionen zu dem vorausgeschickten Plur. Gen. (6vvépewv) sind. Uebersetzt man also den Plur. Gen. mit « Quadratsezte », so muss man auch die singularen tikalisch, wie auch inhaltlich —, wenn man das Wort divas in seinem füssig » (tplroug) ist, so kann dies selbstverstándlich nur bedeuten, dass sie drei Fuss lang ist. Sagt man aber nicht über eine Quadratsezte sondern über ein Quadrat, dass es dasselbe Wort (tpirouc) dreifüssig » ist, so bedeutet hier etwas anderes — kein Lángenmass mehr sondern ein Flächenmass —, dass nämlich die Fläche des Quadrates drei Quadratfuss gross ist (wobei die Länge der Seiten natürlich unbestimmt, ja zahlenmässig unbestimmbar, inkommensurabel bleibt). Man sieht also, dass die Uebersetzung des Wortes ôbvaus mit «Quadratsezte » den Sinn der Stelle gefährdet, ja sogar — im Falle einer konsequenten Uebersetzung — zu einem unerklärbaren Unsinn führt. Aber tadellos wird der Sinn unserer Stelle — sowohl grammaauch sonst üblichen mathematischen Sinne (« Quadrat») nimmt, d.h. also, wenn man meiner am Anfang vorgeschlagenen Uebersetzung beipflichtet. losophie II 509-514 - Mém. Scient. II 400-406) die folgenden Worte zu zitieren; « Je citais même, comme exemple topique, le passage de Théétète, où Sivapig est employé dans le sens de racine carrée, tandis que dans la République... le même mot signifie au contraire carré. Mais depuis, la poursuite de mes études sur les variations qu’a pu subir la langue mathématique des Grecs, m'a conduit à des conclusions tout à fait opposées et je n'hésite plus dé- Ich möchte, anlässlich des eben behandelten griechischen Satzes, nur nebenbei noch zwei Tatsachen erwähnen: 1. I. BURNET hat aus dem Text das Verbum érogaivwv gestrichen, sormais etc. ». (18) Vgl. z.B. TH. L. Heatu, The Thirteen Books... II 288; A History... I 209 n. 2; oder auch B. L. v. d. WAERDEN, op. cit. 234, 272 u. a. m. (19) Also wohlgemerkt: irrtümlich sind alle modernen Erklärungen, die (20) Es ist geradezu haarstraubend, wie nachlässig und salopp man gewöhnlich unsere Stelle übersetzt! Auch die einfachsten Regeln jeder konsequenten Grammatik werden z. B. in der folgenden Verdolmetschung missachtet: « THEODORUS was proving to us a certain thing about square roots irgendeinen anderen Sinn als «Quadrat» diesem mathematischen Terminus zuzuschreiben versuchen, wie etwa « Quadratsetle », « Quadratwurzel » oder ähnliches; man vgl. zu dieser Behauptung von mir die Indizes (s. v.) in den Werken von Tu. L. HEATH, und auch den Index (svv. dtvapic, dtvactar) von square feet, namely that these roots are not commensurable in length with the F. Rupio, Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon sequente Uebersetzung — falls man duvápers als «square sides » (oder « roots y) und des Hippokrates, Leipzig 1907. versteht — notwendigerweise hätte führen miissen. (ôvvépec), I mean (the square roots, i. e. sides) of three square feet and of five foot-length etc. » (TH. L. HEATH, A History... I 203). — Natürlich kann man mit einer solchen Inkonsequenz jenen Unsinn vertuschen, zu dem die kon-

Der mathematische Begriff öbvapız und das sog. ‘geometrische Mittel’ 225 bloss weil es in einem unserer Manuskripte in der Tat fehlt (21). (Alle übrigen Manuskripte — also mindestens 6 an der Zahl — scheinen dasselbe Wort überflüssig, daran zu erinnern, dass man solche Quadratflächen am dennoch zu haben!) Der wahre Grund für das Streichen war eher wohl nur, einfachsten wohl mit der Hilfe des sog. pythagoreischen Lehrsatzes dass der Herausgeber sich über den mathematischen Inhalt der Stelle nicht gewinnt (25). völlig im klaren war. Allerdings wurde durch das Streichen der Sinn des Textes Dreiecks 1 und 2 Fuss lang, so ist die Flächensumme jener Quadrate, verstümmelt. 2. Sehr willkommen kam jedoch dieser verstümmelte Text dem Historiker TH. L. HEATH (22) aus dem folgenden Grunde. Tr. L. HEATH wollte Sind z.B. die beiden Katheten des rechtwinkligen die man auf die beiden Katheten errichtet, jener dritten Quadratfläche gleich, die man mit der Hypotenuse konstruieren kann: 1? + — ursprünglich in einem anderen Zusammenhang, und einem Irrtum von + 2? = 5. Auf diese oder auf eine ähnliche Weise kann man — J. L. Heiwere folgend (23) — nachweisen, dass an einer mathematisch inmit teressanten Aristoteles-Stelle (24) das Verbum yodgew den Sinn « beweisen » konstruieren, deren Flächenmasse beliebige ganzzahlige Quadratfüsse hätte. Für diese angebliche Wortbedeutung glaubte er in dem verstümmelten sind. Platon-Text einen Beleg zu finden. Denn es war ja doch die ¢ communis opinio » über unsere Stelle (Theait. 147 D), dass hier von irgendwelchen « Beweisen » Anwendung Nun des sind aber Pythagoreischen die Vierecke mit Lehrsatzes ganzzahligen — Quadrate Quadratfussdes THEODOROS die Rede sei. Aber durch welches griechische Wort sollte der Flächen in einer gewissen Hinsicht sehr interessant. Nehmen wir € Beweis» angedeutet sein? z.B. das Quadrat mit drei oder mit fünf Fuss Quadratfläche. Na- Streicht man mit BURNET ärogalvay aus dem Text, so bleibt nur noch ein Verbum in dem Satz, das vielleicht etwas mit türlich sind diese ihrem Flächenmass nach drei — bzw. fünfmal so « Beweis» zu tun haben gross, wie das Quadrat, dessen Flächenmass ı Quadratfuss ist. Ihr könnte: éyeage. Darum ist TH. L. HEATH dem Streichungsvorschlag von I. BURNET so bereitwillig gefolgt! — Aber natürlich ist diese Deutung des Wortes durch TH. L. HEATH ebenso unrichtig, Flächenmass lässt sich also mit einer ganzen Zahl angeben. Aber zu wie auch seine andere Behauptung: yoépeuw oder yodpeodaı hiesse bei ARCHIgleicher Zeit sind die Seiten derselben beiden Quadrate inkommen- MEDES manchmal « beweisen ». surabel zu der Seite des einfüssigen Quadrats, d.h. also: es gibt nach Nun habe ich die beiden eben erwähnten Fehler, sowohl denjenigen von BURNET, wie auch den anderen von HEATH, in meiner obigen Uebersetzung stillschweigend beseitigt. griechischer Denkweise gar keine Zahl für die Länge der Seiten dieser Quadrate, deren Flächenmass doch mit je einer ganzen Zahl ae drückt werden konnte. 2 Wichtiger jedoch als diese Einzelheiten wird es für uns sein, den mathe- Hat man nun diese merkwürdige Tatsache in einigen Fällen matischen Inhalt der behandelten Theaitetos-Stelle in ein möglichst erkannt, so heisst die nächste Frage: ob es wohl auch in anderen scharfes Licht zu stellen. Darum fassen wir noch einmal zusammen: Fällen so ist? Sind auch die Seiten anderer Quadrate — deren Fläwas wohl THEODOROS im Sinne der oben verdeutschten Sätze gelehrt chenmasse ganzzahlig sind — ebenso inkommensurabel? — Man haben mag? wird also auch andere ähnlichen Quadrate — auf die vorige Frage Es scheint vor allem, dass er sich mit solchen Quadraten behin ins Auge fassen. Es heisst in der Tat in unserem Text: THEODOROS schäftigte, deren Flächenmasse sich im ganzzahligen Quadratfüssen hätte «jedes Quadrat — man versteht darunter diesmal natürlich: ausdrücken lassen. Als Beispiele werden die Quadrate mit den Flächen jedes Quadrat mit ganzzahligem Flächenmass —, das eine nach dem von drei und fünf Quadratfüssen genannt. — Es wird zwar im Text anderen, bis zu dem siebzehnfüssigen vorgenommen ». Hätte nun selbst gar nichts darüber gesagt, aber es wird vielleicht doch nicht THEODOROS nur diejenigen Quadrate mit ganzzahligen Flächen prüfen wollen, deren Seiten inkommensurabel zu der Längeneinheit (21) Bibl. Oxoniensis, Platonis Opera recogn. I. Burnet, Tom. I. 1899 p- 147 D (Theaitet.) App. crit. (22) A History... I 203 n. 2. (23) J. L. HEIBERG, Mathematisches bei Aristoteles, Abhandlungen zur Gesch. d. math. Wissenschaften, 18. Heft, Leipzig 1904, 22; vgl. TH. L. HEATH, sind, so hätte er aus der siebzehnfachen Reihe seiner Demonstration selbstverständlich einige Fälle ausser acht lassen müssen. Denn es gibt ja unter den geprüften Quadraten auch solche, deren Seiten doch kommensurabel zu der Seite des Einheitsquadrats sind, z.B. das The Thirteen Books... II 120; derselbe: Mathematics in Aristotle, Oxford 1949 Quadrat mit der Fläche von I6 oder 9 Quadratfüssen. In der Tat p. 80. könnte die Tatsache, dass auch THEAITETOS nur das Quadrat mit 3 (24) Topik © 3,158 b 29 ff. — Mein kritischer Aufsatz über die bisherige und mit 5 füssigen Quadratflächen als Beispiele erwähnt — und Behandlung dieser Aristoteles-Stelle in der Fachliteratur konnte aus technischen Gründen, leider, noch nicht veröffentlicht werden. (25) Vgl. auch Tu. L. HEATH, A History... I 203 n. 2.

stillschweigend über das dazwischenliegende 4 füssige Quadrat hinnicht berichtet, wie THEODOROS den Beweis geführt hatte, aber man kann auch darüber sehr geistreiche Vermutungen aufstellen, wie seine Beweise aufeinander folgten, und warum THEODOROS gerade bei dem 17. Quadrat aufgehört hatte (29). 2. Die Lehre des THEODOROS sei durch THEAITETOS vervollkommnet worden. Ja, man glaubt sogar auch jenen Satz des THEAITETos aus dem PLATON-Text heraushören zu dürfen, in dem seine Vervollkommnung der Theodoros-Lehre kulminierte; dieser soll heissen: 226 weggeht — als ein Hinweis darauf aufgefasst werden: auch THEODOROS hätte nicht nur diesen sondern auch die ähnlichen Fälle (9 und 16) fortgelassen. — Beachtet man jedoch auch die Fortsetzung dessen, was THEAITETOS bei PLATON erzählt, so wird man doch vermuten müssen, dass THEODOROS auch die Fälle der kommensurablen Quadrate nicht fortliess. Im Gegenteil, er wird in seiner Demonstration bei diesen Fallen — 4, 9 und 16 — mit Nachdruck darauf hingewiesen haben, dass in diesen dic Seiten — abweichend von den übrigen « Strecken, die ein Quadrat erzeugen, dessen Flächeninhali wohl eine geprüften ganze Zahl, jedoch keine Quadratzahl ist, haben kein gemeinsames Mass mit der Längeneinheit » (30). Ist dann einmal dieser «Satz des Quadraten — kommensurabel sind. Bevor ich nun unseren Platon-Text weiter paraphrasierte, muss ich hier in kurzen Worten noch daran erinnern, wie die « mathematische Theaitetos-Stelle » von den meisten Historikern der griechischen Wissenschaft verstanden wird. Es war noch i.J. 1884 ein folgenschwerer Irrtum der nächste Satz von P. TANNERY: «On ne peut guère douter que dans tout ce THEAITETOS » wiederhergestellt, so ist es in dem folgenden schon ziemlich leicht, sich auf EUKLID, Elem. X. 9, bzw. auf jenes Scholion zu berufen (31), das über den letzteren Satz behauptet: tó dewpmua tobto Oearrírecóv Zottv signua. — Nun will ich mich in diesem Zusam- Man glaubt also, indem man dem eben angeführten TanneryZitat folgt, dass PLATON an unserer Stelle im wesentlichen wohl menhang mit der letzteren Frage — d.h. also mit der Frage der Glaubwürdigkeit des eben zitierten Scholions, oder anders formuliert: mit dem historischen Problem, ob es einen bedeutenden Mathematiker des platonischen Kreises, namens THEAITETOS, wirklich gegeben hatte, oder ob der « Mathematiker THEAITETOS » nicht bloss eine neuplatonische Legende des späteren Altertums ist — einstweilen gar nicht beschäftigen. Ich beschränke mich hier einzig und allein auf die Interpretation der sog. «mathematischen Stelle» in PLATONS Dialog « Theaitetos ». Denn diese ist in der Tat gründlich missverstanden worden. Ich bemerke zu den obigen zwei Punkten Folgendes: a) Ich glaube zwar gern, dass THEODOROS die Inkommensurabilität der meisten von ihm geprüften Quadratseiten (von 3 bis 77) über zwei Dinge berichte: in der Tat auch beweisen konnte. Denkt man daran, dass die griepassage PLATON ne fasse allusion à deux traités, l'un déjà ancien, de THÉODORE de Cyréne, l’autre probablement assez récent de son ami THEETETE. I] raconte la naissance d’une des idées fondamentales de ce dernier traité, et s’il fait concourir 4 la naissance de cette idée un jeune camarade de THEETETE, du nom de SOCRATE, il est assez probable que c'est lui-même qu'il désigne ainsi » (26). Mit diesen Worten begann die moderne Variante einer mathematischen « TheaitetosLegende » (27), die ich hier allerdings nur in einigen Punkten beriihren möchte. I. THEODOROS hätte die Irrationalität von V3, V5, ... bis Yı7 chischen Mathematiker schon zur Zeit des HIPPOKRATES von Chios bewiesen, ohne dass er eine allgemeine alles sorgfältig bewiesen hatten, was überhaupt zu beweisen war, Definition oder einen allgemeinen Satz über die Irrationalitäten hätte so wird man sich darüber gar nicht wundern, dass wohl auch THEODOaufstellen und beweisen können (28). (Es wird zwar Ros seine mathematischen Behauptungen jedesmal mit Beweis begleitete. — Aber bei PLATON ist doch nicht von den Beweisen des TuEoporos die Rede. Nicht nur die Beweise selbst bleiben hier unerwähnt, sondern auch kein Wort deutet auf sie hin. Die beiden Verba in dem Platonischen Text: ¿xozaívwv und éypape haben mit im einzelnen nacheinander bei PLATON (26) Siehe oben Anm. 15. - Mém. Scient. II 93. (27) K. REIDEMEISTER schrieb einmal («Das exakte Denken der Griechen », Hamburg 1949, 24): «... ich kann mich des Verdachts nicht erwehren, dass THEATET der Mathematiker nur eine Legende ist, die sich um den THEATET des Platonischen Dialogs kristallisiert hat.» — Je mehr ich die voreuklidische Mathematik der Griechen kennenlerne, umso berechtigter scheint mir dieser Zweifel. (29) Vgl. J. H. ANDERHUB, Joco-Seria, Aus den Papieren eines reisenden Kaufmannes (Ausgabe der Kalle-Werke, Wiesbaden 1941) und B. L. v. d. (28) TH. L. HratH, A History... I 203: «It does not appear, however, that he had reached any definition of a surd in general or proved any general WAERDEN, Op. Cit. 235. proposition about all surds etc.». (30) B. L. v. d. WAERDEN op. cit. 273. (31) Euclides, Elementa ed. J. L. HE£IBERG, Lipsiae 1888, V. p. 450.

Der mathematische Begriff öbvapız und das sog. "geometrische Mittel’ 229 « Beweis » bestimmt nichts zu tun (32). Der griechische Terminustechnicus für mathematischen « Beweis » war ja das Zeitwort Geixvupt, eigentlich nur eine passende Benennung, einen Namen dafür, was sie eben gelernt hatten. Aber in der Wirklichkeit werden sie nadas hier gar nicht vorkommt! Stellt man also in der Interpretation türlich nicht einen einzigen, sondern auf einmal zwei Namen finden dennoch die Beweise des THEODOROS in den Vordergrund, so verdreht man dadurch unwillkürlich den Sinn jenes Platon-Textes, der müssen — wie man es aus dem folgenden ersieht —, nachdem ja die Frage der Beweise eigentlich gar nicht berührt hatte. hatte, auch THEODOROS zweierlei Quadrate von 3 bis 17 ihnen vorgeführt 6) Noch weniger kann davon die Rede sein, dass THEAITETOS Aber wie hängt diese ganze Erzählung des THEAITETOS mit — also wohlgemerkt: jene Dialog-Gestalt bei PLATON, die diesen der vorigen Frage des SOKRATES zusammen? — Nun offenbar fol- Namen führt — die Lehre des THEODoROS vervollkommnet oder gendermassen: weitergeführt hätte. Nein, er hat diese Lehre einfach nur verstanden. — Auf die Frage des SOKRATES (« Was ist Wissen? ») hat THEAITE- Denn beachte man nur, wie der junge THEAITETOS seinen Bericht bei Tos zunächst mit einer Aufzählung der einzelnen Arten des Wissens PLATON fortsetzt. Im Anschluss daran, dass er erzählte: THEODOR OS hätte bei dem Quadrat mit der siebzehnfüssigen Fläche aufgehört, sagt er weiter: geantwortet. Aber SOKRATES war mit der Antwort nicht zufrieden, er wollte nicht eine Aufzählung der einzelnen Arten des Wissens «Wir dachten nun an Folgendes (uty oùv eloñAdé © totoUtov). Nachdem es scheinbar unendlich viele Quadrate gibt (tren drerpor To nAfdoc al Suviuers épaivovro), man sollte versuchen, diese in eins zusammenzufassen (neıpad var ouAlaBeiy eis Ev), womit wir alle Quadrate benennen könnten » (Str mácas txitag npooayopeboonev tac Suvduetg). THEAITETOS und sein Freund wissen also, dass es wohl unendlich viele solche Quadrate gibt, von denen THEODOROS nur einige vorgeführt hatte. Denn THEODOROS nahm ja eigentlich die Zahlen von 3 bis 17 vor, und einer jeden Zahl ordnete er je ein Quadrat, mit der Fläche von ebensovielen Quadratfüssen wie die betreffende Zahl selber, bei. Nachdem nun die Reihe der Zahlen unendlic h ist, wird auch die Reihe der ihnen auf die vorige Weise beigeordneten Quadrate unendlich sein. THEAITETOS und sein Freund wollen nun diese unendlich vielen Quadrate (mit ganzzahligen Flächenfüssen) zusammenfassend benennen. (Es wird dabei stillschweigend als etwas selbstverständliches angenommen, dass die den Zahlen beigcordneten unendlich vielen Quadrate wohl alle dieselben — zweierlei — Eigenschaften haben würden, die THEODOROS an dem Quadraten von 3 bis 17 gezeigt hatte). Die Schüler des THEODOROS suchen also (32) Es sei mir erlaubt, in diesem Zusammenhang »icht ausführlicher zu begründen, warum ich die beiden Verba folgendermassen übersetzte: « TH. hat vor uns etwas über Quadrate illustriert, ... indem er zeigle etc.» — Es liesse sich natürlich auch näher begründen, warum nur eine solche Uebersetzung die richtige sein kann. Da jedoch diese Beweisführung historisch auSee irrelevant ist, unterdrücke ich hier lieber den bloss philologische n urs. hören, sondern er bat um eine zusammenfassende Schilderung dessen, was Wissen überhaupt sei. (Auch auf die Frage — « Was ist Lehm? » — dürfte man nicht mit einer Aufzählung der einzelnen Lehmarten der Handwerker antworten, sondern man sollte zusammenfassend den Lehm schildern). — Ähnlich geschah es — bis zu einem gewissen Grade — auch bei THEODOROS. THEODOROS zeigte nämlich seinen Schülern die Quadrate mit ganzzahligem Flächenmass — von dem 3 quadratfüssigen bis zu dem 17 quadratfüssigen —, wobei er sie auf eine merkwürdige Eigenschaft dieser Quadrate (inkommensurable bzw. kommensurable Seiten) aufmerksam machte. Diese Demonstration war eine Art Aufzählung. Und nach der Aufzählung mussten die Schüler mit der zusammenfassenden Benennung der kennengelernten Quadrate dokumentieren, dass sie die Lehre des Meisters verstanden hatten. Es stimmt zwar, dass man nach den Worten des THEAITETOS bei PLATON zunächst den Eindruck bekommt, als handelte es sich hier mindestens um ein Körnchen eigener Initiative der Schüler des THEODOROS (Auiv odv eloñAde...). Als hätten diese jungen Leute mit der zwiefachen Benennung der kennengelernten Quadratseiten die Lehre des THEODOROS irgendwie doch ergänzt. Aber im Grunde hängt die Benennung doch so eng damit zusammen, was THEODOROS illustriert hatte, dass man nicht versteht: wie hätte überhaupt THEODOROS ohne jene Unterscheidung, die in den «nachgeholten » Benennungen des THEAITETOS zum Ausdruck kommt, seine Lehre auch nur für sich selbst formulieren können (33)? (33) Es ist übrigens interessant, dass auch P. Tannery selber — obwohl er unsere Stelle von Grund auf missverstanden, und so mit seinem Irrtum die moderne Variante der Theaitetos-Legende angeregt hatte — mindestens

THEAITETOS setzt nun seine Erzählung folgendermassen fort: « Wir haben alle Zahlen in zwei Arten geteilt. Diejenigen, die man als Produkte aus zwei gleichen Faktoren auffassen kann, nannten wir — indem wir sie mit der Quadratfigur verglichen — quadratisch und gleichseitig... Diejenigen Zahlen dagegen, die zwischen den eben genannten liegen — wie z.B. die 3, die 5, und alle Zahlen, die sich nicht in gleiche sondern nur in ungleiche Faktoren zerlegen lassen — verglichen wir mit der Rechtecksfigur und wir nannten sie: ungleichseitige (oblonge) Zahlen ». Mit dieser zwiefachen Benennung der Zahlen wird dann die zwiefache Benennung der Seiten der ihnen beigeordneten Quadrate parallelisiert. Wie es anschliessend heisst: « Diejenigen Strecken nun ($ca: uèv ypapyad...), die beim Quadrieren eine gleichseitige ebene Zahl hervorbringen, bezeichneten wir mit dem Wort ¡mxos (‘Lange’), diejenigen Strecken aber, die je eine ungleichseitige Zahl hervorbringen (34), bezeichneten wir als duvduers (= ‘Quadrate’ 1), nachdem diese letzteren Strecken ihrer Länge nach (uÿxe) mit den vorigen nicht kommensurabel sind, aber doch sind sie kommensurabel mit den vorigen Strecken nach jenen Flächen, die sie beim Quadrieren hervorbringen (35) ». Damit ist meine Paraphrase des Platon-Textes eigentlich auch schon fertig. (Jene hinzugefügte Bemerkung des THEAITETOS, wonach er und sein Freund eine ähnliche Benennung auch bei den Rauminhalten (oteped) versucht hätten, ist für uns in diesem Zuzammenhang belanglos). Ich muss die vorige Paraphrase nur noch in einem einzigen Punkt näher begründen. Wie man es aus dem obigen Text ersieht, benutzt THEAITETOS eine schwache Seite seiner Theorie spürte. Denn er musste sich doch fragen: woraus eigentlich die Leistung des (platonischen) THEAITETOS bestanden haben mag? In diesem Zusammenhang schrieb er die folgenden Worte: «le singulier, à nos yeux, est que cette généralisation, qui n’ofrait aucune difficulté sérieuse, n'ait pas élé faite par THÉODORE de Cyrène, que celui-ci se soit borné à montrer, sur un grand nombre de cas particuliers, comment se traitait la question de la commensurabilité ou de l‘incommensurabilité d’une racine. L'histoire des mathématiques offre d'autres exemples analogues, mais celui-là est incontestablement le plus saillant etc.» (Mém. Scient. II 96). (34) PLATONS Ausdrucksweise: «die Strecken, die je eine ungleichseitige Zahl hervorbringen... » — ist zweifellos sehr knapp, ja, beinahe ungenau, aber sie wird doch keinen denkenden Menschen irreführen! Offenbar kann nämlich dieser Satz nur folgendes meinen: die letzteren Strecken bringen beim Quadrieren solche Quadrate hervor, deren Flächen den sogenannten ungleichseitigen Zahlen entsprechen. (35) Den griechischen Text siehe: Theaitetos 148 A 6-9. Der mathematische Begriff Sbvayt; und das sog. ‘geometrische Mittel’ 231 tseiten. das Wort Súvepus auch als Bezeichnung für eine Art von Quadra enmasse 4, Die Seiten derjenigen Quadrate nämlich, deren Fläch 9, 16, 25, 36, ... Quadratfüsse sind, werden mit dem Wort pijxos (‘Lange’) bezeichnet, während die Seiten der anderen Art Quadrate,l atzah deren Flächeninhalt wohl eine ganze Zahl aber keine Quadr haben die ist, mit dem Wort öbvayıs bezeichnet werden. — Nun s gezogen, Historiker der Mathematik aus dieser Tatsache den Schlus dass das Wort öbvapıg mindestens in diesem Zuzammenhang den grössten Sinn «Quadratseite » haben müsste (36). — Zu meinemwidersp re- Bedauern muss ich auch diesmal auf das entschiedenste chen ! Denn man soll nur etwas aufmerksamer den griechischen Text Wort beachten, und sofort wird man einsehen müssen, dass das nicht Fall genden vorlie Sivauts seiner Bedeutung nach auch in dem t» Quadra « Sinn den tig « Quadratseite » heisst, sondern ganz eindeu bekommen ant die)?E man sich nur: WarumName nt Denn iiberlege von n pijxos (Länge — den THEAITETOS Art Quadratseiten komNun offenbar darum, weil diese auch der Länge nach (wie) ng menha Zusam m diese in mensurabel sind. Sehr richtig hat man Länge «der pog, obpper une: uck darauf hingewiesen, dass der Ausdr Elemente » nach kommensurabel » auch bei EuxLID im X. Buch der «Flato n-Lext en mnser in also ist pñxos benutzt wird (37). Das Wort x POS. OÚLLLET pixel uck Ausdr den für » form sozusagen nur eine «Kurz uck: Ausdr en ander den fiir auch ndlich Aber dasselbe gilt selbstversta gen Sbvauts. Die Seiten der anderen Art Quadrate bekommen deswe tig eindeu ommen vollk N PLATO bei auch dies diesen Namen — wie zwar (primer) erklärt wird —, weil diese Strecken der Länge nach nach jenen bel nsura komme ch denno sie aber sind, inkommensurabel man Quadraten (èvvéuets) sind, die man mit ihnen konstruiert, die nach also auf sie errichtet. Ebenso wie pimet odppetpos, « der Lange komkommensurabel », ist ja auch Buviper odppetpog (4 quadriert t, Quadra mensurabel », C. THAER; d.h. also: « kommensurabel nach jenem im X. das man auf sie errichtet») ein ganz gewöhnlicher Ausdruck s bedeutet Buch der Euklidischen « Elemente » (38). Das Wort Sdvaput », also an unserer Platon-Stelle keineswegs soviel wie « Quadratseite es ist und auch nicht etwa: «irrationale Quadratwwrzel », sondern dóvepas of THEAE(36) TH. L. HEATH, A History... I 209 n. 2: e... the are number, a non-squ a of root =erus's definition is undoubtedly the square surd o. — Ähnlich auch bei B. L. v. d. WAERDEN, op. Cit. 234. (37) B. L. v. d. WAERDEN, OP. cit. 234. (38) Vgl. oben Anm. 4.

Arpad Szabo 233 einfach nur eine « Kurzform » fiir den Ausdruck: Suvápe cipperpos = = «kommensurabel nach jenem Quadrat, das man auf sie errichtet ». — Der Sinn des Wortes öbvayıg heisst also auch an der eben behandelten das Partizip des letzteren: Suvauévn gebräuchlich sind. Mit Rücksicht Stelle im Dialog « Theaitetos » völlig eindeutig: « Quadrat ». exemple, le côté de ce carré est, dans la langue mathématique classique, auf diese Tatsachen schrieb er Folgendes: «Soit un carré dont l'aire soit déterminée, de trots pieds par la Suvauévn (la ligne qui peut) cette aire de trois pieds. Pouvoir une aire (Sbvactat tt ywotov) c'est, de même, pour une ligne droite limitée, être telle que le carré construit sur elle ait précisément cette aire » (40). II. Nun hat TANNERY insofern allerdings Recht, dass die Seite eines Nun hoffe ich in den beiden vorigen Kapiteln mindestens an Hand einiger Beispiele gezeigt zu haben, dass der mathematische solchen Quadrats, dessen Flächenmass genau angegeben ist, grie- Terminus dbvayig immer «Quadrat» heisst. Ich musste in diesem Zusammenhang die « Theaitetos »-Stelle nur deswegen so ausführlich mathematischen Sinn des Ausdruckes öövaotat tt ywgiov beschreibt behandeln, weil ich die Ansicht, wonach unser Terminus auch « Quadratseite » oder « Quadratwurzel » heissen könnte, widerlegen wollte. Man hat nämlich für diese angebliche Wortbedeutung (Súvapug = = « Quadratseite », « Quadratwwrzel ») bisher immer nur die « Theaitetos »-Stelle namhaft gemacht. Wäre also diese Stelle einmal von P. TANNERY nicht missverstanden worden, so wäre es wohl auch nie jemandem eingefallen, dass das Wort öbvaws in der Mathematik auch jemals etwas anderes als « Quadrat » heissen könnte. chisch in der Tat als Suvapévy bezeichnet werden kann. — Auch den er im grossen und ganzen richtig. — Aber ich muss doch gestehen, dass ich seine rätselhaften Worte: «la ligne qui peut» und « pouvoir une aire » lange Zeit hindurch gar nicht begreifen konnte. Ja, ich war schon nahe daran, zu bezweifeln, dass diese Worte überhaupt einen vernünftigen Sinn haben könnten. Beinahe zufällig entdeckte ich nur eine solche Auslegung der Worte von TANNERY, die dann auch für mich verständlich war. (Ob dabei diese Auslegung dem «Sinn » des französischen Originals gerecht ist, mag ruhig dahingestellt bleiben, Es fragt sich nun, warum wohl das «Quadrat », das « Viereck », wofür in der griechischen Geometrie sonst tetpéywvov der Terminus nachdem sie ja doch mindestens sinnvoll ist). war, auch als öövauıs bezeichnet werden konnte? Was ist der Ursprung von diesem auffallenden zweiten Terminus für dasselbe Ding eben angeführten Aufsatz von P. TANNERY ablehnend Stellung (41). (« Viereck »)? — Soviel ich weiss, hat man diese Frage bisher noch nicht beantworten können. Es gab zwar auch zwei verschiedene Verdie für mich so rätselhaft waren, und zwar folgendermassen: «la ligne qui peut » (für Suvapévn) wird als « Erzeugende », und das Wort Sivayts selbst als «erzeugende Kraft» verdeutscht. — Nun versteht man auf den ersten Anblick auch diese Erklärung nicht leicht. Aber sofort wird einem alles klar und verständlich, wenn man daran denkt, suche, den mathematischen Ausdruck dévaute irgendwie zu erklären, aber diese können doch unmöglich zutreffend sein. Diese Erklärungsversuche, die ich hier nur nebenbei registriere, stammen beide von P. TANNERY. Denn B.L. v. d. WAERDEN nahm in seinem Buch auch zu dem Daselbst scheint er beiläufig auch jene französischen Worte zu erklären, dass hier eigentlich #zcht der griechische Ausdruck, sondern seine lateinische — und wohl auch Tannery'sche — Entsprechung ausgelegt I. Den einen Versuch von P. TANNERY — den Ursprung des mathematischen Terminus Sôvauxç irgendwie zu erklären — liest man in derselben, oben schon zitierten Arbeit (39), in der er seinen zu impotentia) — auch schon früheren Irrtum (nämlich den Irrtum, dass das Wort öbvaws in dem Dialog « Theaitetos» der Name der « Quadratwurzel » wäre) schon aufgab. In seinem Versuch nun, den Sinn des mathematischen solchen Sinn in dem Griechischen des Altertums das Verbum divacdx Ausdruckes 3ivap:s verständlich zu machen, ging er von der Tatsache Erklärung von TANNERY sieht also eher nur als ein Scherz aus. aus, dass in der griechischen Fachsprache der Mathematik wurde. Denn wohl hatte im Lateinischen potentia (als Gegensatz nicht in der Mathematik, so doch mindestens in der Gemeinsprache, den Sinn: « Zeugungskraft, erzeugende Kraft». Aber nie hatten einen und das Hauptwort ôüvausç. — Diese erste, allerdings phantasievolle nicht nur das Hauptwort divas sondern auch das Verbum dévacdut, ja auch (40) Mém. Scient. II 93. (39) Siehe oben Anm. 15. in der klassischen Zeit —, wenn auch (41) Op. cit. 234.

Der mathematische Begriff Sivapi und das sog. ‘geometrische Mittel’ 235 2. Der zweite Versuch von TANNERY für die Erklärung des mathematischen Ausdruckes Sbvaptc ist scheinbar nie regelrecht entwickelt eher nur gelegentlich angedeutet worden. Und doch blieb Anregungen, wie auch sämtliche Irrtiimer von ihm scheinen in der Geschichte der antiken Wissenschaft unsterblich zu sein!). Wohl nur darum schrieb z.B. TH. L. HEATH: «In geometrical language it is the dative singular évvéue: which is mostly used; thus a straight line is said to be potentially equal, dvvdépet low, to a certain rectangle where the meaning is that the square on the straight line is equal to auch dieser nicht ohne Einfluss auf die spätere Forschung. — Der grösste Fehler dieses letzteren Versuches liegt, meiner Ansicht nach, in seiner Inkonsequenz. Denn es ist ja oben schon angedeutet worden, dass TANNERY mindestens seit dem Jahre 1884 wusste: ddvayi¢ kann nicht « Quadratwurzel » heissen (42). Und doch versuchte er später (i. J. 1902) eine solche Worterklärung, deren Voraussetzung war: Gbvauts hiesse griechisch: « Quadratwurzel » (43). In dieser späteren Arbeit schilderte nämlich Tannery das Näherungsverfahren der Griechen, womit diese die Quadratwurzel einer Nicht-Quadratzahl errechneten; in diesem Zusammenhang schloss er seine Worte mit der folgenden Bemerkung: the rectangle etc. » (45). — In diesem Zitat scheint mir der Ausdruck « potentially equal» nur ein schwaches und etwas verzerrtes Echo des eben erwähnten irrtümlichen Gedankens von P. TANNERY zu sein. (Lässt man übrigens eben diese beiden überflüssigen, ja eigentlich auch sinnlosen Worte weg, so hat TH. L. HEATH mit dem angeführten Zitat vollkommen Recht }). «.... en exprimant de plus en plus près la valeur de cette moyenne, si l’on ne peut la construire que géométriquement, si elle n’existe qu’en puissance, non en acte, pour employer le langage des Grecs » (44). - Uns interessieren aus diesem Zitat augenblicklich nur die beiden hervorgehobenen Worte. Man soll nämlich diese — nach dem ausdrücklichen Hinweis von P. TANNERY — ins Griechische zurückübersetzen, um die Andeutung überhaupt verstehen zu können. Also: puissance = Üüvaus, und acte = évépyea, évtedéyetx. Das heisst also mit anderen Worten: nach P. TANNERY hiesse die « irrazionale Quadratwurzel einer Zahl» deswegen Súvau:, weil man eine solche geometrisch zwar wohl konstruieren könnte, aber als «acte » (évteAéyeta) sie doch nicht existierte. — Nun erstens: ich bezweifle, dass diese Vermutung von P. TANNERY mit der Denkweise der frühgriechischen Mathematik überhaupt etwas zu tun hätte; und zweitens: verfehlt ist der Gedanke aus dem doppelten Grunde: a.) weil Sóvaut im Griechischen sie «irrationale Quadratwurzel » hiess; b.) weil der Ursprung des mathematischen Ausdruckes èivaus mit dem aristotelisierenden Gegensatz von öövapıg und évredéyeta gar nichts zu tun hat. Aber wie gesagt, blieb auch dieser Versuch von TANNERY nicht ohne Einfluss auf die spätere Forschung. (Sowohl die grossartigen (42) Siehe oben Anm. 15 und 17. (43) «Du röle de la musique grecque dans le d&veloppement de la mathématique pure», Bibliotheca mathematica, 3. Folge t. III 102, 161-175 - Nun erklart sich der Ursprung des mathematischen Ausdruckes öövapıg — meiner Ansicht nach = auf einem ganz anderen Wege, und zwar folgendermassen: des Hauptwortes Sivapic selber, sondern von ‘demjenigen des Verbums ¿úveoda: ausgehen. Ist nämlich einmal die Bedeutungsentwicklung dieses Zeitwortes erklärt worden, so versteht man spielend leicht auch die Bedeutungsentwicklung des parallelen Hauptwortes. Mir scheint dabei, dass die wichtigsten Belegstellen für den mathematischen Gebrauch des Verbums èivxota. ausgezeichnet zusammengestellt sind, in den folgenden Werken: F. Rupio : Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und Hippokrates, Leipzig 1907 (Index S. v.), Ta. L. HEATH: « Archimedes» p. CLXI, | und von demselben Verfasser: « A History of Greek Mathematics » (Index s. v.). Bei F. Rupio wird z. B. unser Verbum folgendermassen erklärt: «In der mathematischen Sprache bedeutet Súvacda gelten, wert sein, ausmachen, betragen, und gemeint ist wieder: im Quadraien. Ich musste an dieser Worterklärung nur soviel ändern, dass ich dabei den wichtigsten Ausdruck mit Nachdruck hervorhob: «7m Qua- Mém. Scient. III 68-89. (44) Mém. Scient. III 82. Man soll vor allem nicht von dem mathematischen Gebrauch (45) « Archimedes » p. CLXI.

drate wert sein». Ebenso heisst es auch bei TH. L. HEATH: «öbvacdeı, to be equivalent ‘in square’ to ... etc. ». Von den vielerlei Beispielen, die für diesen Wortsinn in den gennanten Werken angeführt werden, möchte ich diesmal nur eines hervorheben, namentlich die Wendung: taov öbvaraı tH neptexouévyp... . TH. L. HEATH schreibt darüber in seinem Archimedes-Buch an der eben zitierten Stelle Folgendes: «The verb 3úvacda: (with or without tcov) has the sense of being Suvdwer toa, and, when Súvacdo is used alone, it is followed by the accusative: thus the square (on a straight line) is equal to the rectangle contained by... is: (eb9eta) Toov Shvata TG TEPLEXOMEVY... . Ich glaube nun, dass diese letzteren Sätze von TH. L. HEATH die Tatsachen sehr genau und treffend beschreiben. Gleich werden sie uns auch auf die Spur leiten, woher der rätselhafte mathematische Ausdruck öbvach«: stammen mag. Wir wollen nur die eben angeführten griechischen Worte, die TH. L. HEATH vollkommen richtig übersetzte, auch in deutscher Paraphrase wiederholen. Sie stellen nämlich eine in der griechischen Geometrie ziemlich häufige Redewendung dar, und sie heissen: «eine gegebene Strecke (eü$ei«) ¿st (wenn man sie quadriert), gleichwertig (icov Sbvatat) dem folgenden Rechteck... (té meprexopévo...). Demnach hat also das Zeitwort dúvacda: als mathematischer Terminus in der untersuchten Redewendung den Sinn: «in quadrierter Form gleichwertig sein », oder: «in Quadrat den gleichen Wert haben, wie... ». Man liest z. B. einmal bei XENOPHON den folgenden Satz (46): 6 alyhog Sivatat ¿ra SBorods xal RurwPértcy "Artıxabg, das heisst also deutsch: «der oiylos (eine asiatische Münze, das hebräische Seckel) macht aus, gilt, oder: hat den Wert (öövaraı) von siebenundeinhalb attischen Obolen». — Genau dieselbe stilistische Wendung kehrt auch in dem folgenden Satz bei DEMOSTHENES wieder (47): 6 Kulınnvds 2öbvaro ênet xn’ Ôpaynds, das heisst also: «der Stater von Kyzikos hatte dort den Wert von 28 Drachmen ». — Und so könnte man noch zahlreiche Beispiele für diesen Gebrauch des Wortes Sbvacda aus der Umgangsprache der klassischen Zeit zitieren. Aber uns genügen auch schon diese beiden Fälle in sich. Wie man sicht, hatte das Verbum Sivayo in der Finanzsprache der Alten einen speziellen Sinn. Rechnete man nämlich eine Geldart in eine andere um, so gebrauchte man unser Zeitwort (öhvaodeı) zur Bezeichnung des Wertes. — Dieser spezielle Gebrauch jenes Wortes, das ursprünglich nur « stark sein» hiess, ist gar nicht überraschend, wenn man bedenkt, dass ähnliche stilistische Wendungen auch heute noch gebräuchlich sind. Denn auch heute sprechen wir noch von Valuten (valuta aus dem lat. valeo «stark sein »); auch heute hört man noch die Frage: « Wie stark ist der Dollar, oder der Rubel? — und auch heute redet man noch von festen Wahrungen etc. Aber nicht nur das Verbum, auch das Hauptwort dbvayis hatte in der Finanzsprache der Griechen einen ähnlichen speziellen Sinn. Man liest z. B. bei PLUTARCH über LYKURGOS (48): Súvapiv öAlynv TG Wir wollen jetzt — einstweilen nur als Arbeitshypothese — annehmen, dass gerade die eben verdeutschte Redewendung die älteste vopfopati ¿Swxe, das heisst also: «er liess das Geld nur einen &#leinen Wert (divapiv èAlynv) gelten». — Aber ich will die Beispiele nicht mathematische Gebrauchsform des Zeitwortes Sbvacha war. Und wir fragen — der Arbeitshypothese gemäss: welcher Zusammenhang weiter häufen. wohl zu diesem interessanten Gebrauch unseres Zeitwortes gefiihrt haben mag? — Der gesuchte Zusammenhang war offenbar der folgende: irgendein Rechteck wurde in Quadrat umgewandelt (umgerechnet) und tiber die Seite des (gefundenen) Quadrates sagte man, dass sie dem vorigen Rechteck in Quadrat gleichwertig ist (tcov öbvarar). Es wird fiir uns viel wichtiger, festzustellen, dass dieser spezielle Sinn des Zeit- und Hauptwortes keineswegs bloss auf die Finanzsprache beschränkt blieb (49). Bezeichnenderweise entstammt ja auch mein ältester Beleg für einen ähnlichen Sinn des Verbums Súvacdo gar nicht aus dem Bereiche der Geldumrechnung. Bei HE- Aber wie kam das Verbum Gbvxoa zu dieser merkwürdigen Bedeu- (46) Anab. I, 5, 6. tung? Schliesslich heisst ja öbvanaı gewöhnlich nur: «können, vermögen, stark sein» usw. Oder hat dasselbe Zeitwort in irgendeiner (47) Dem. 34, 23. Sphäre doch auch eine solche Bedeutung, aus der sich der eben untersuchte mathematische Sinn sehr leicht entwickeln konnte? Die mathematische Bedeutungsentwicklung des Zeitwortes öbvaodo erklärt sich aus einigen solchen Wendungen der griechischen Umgangsprache, die ich in dem folgenden eingehender untersuche. (48) Plut., Lyc. 9; vgl. Solon 15. (49) Offenbar aus der Finanzsprache entlehnt sind die Wörter Sévacdat und divapis auch als Termini der Grammatik. So heisst z.B. das Verbum Súvacdar, von Wörtern gesagt: «bedeuten v: ri Sdvarar de n Ati (vgl. das Pape-Wörterbuch s. v.). Als Terminus der antiken Phonetik heisst das Wort Súvayis « Lautwert »; z. B. PLATON, « Kratylos » 424 B-C: ororyeiov Suvdpe = «die Lautwerte der Buchstaben ». Auf diesen letzteren Terminus hat mich JANos BaLAzs freundlichst aufmerksam gemacht.

RODOT liest man nämlich (50): tornxdcrat dvôp@v yeveal Suvéctat pbpra Etes = « dreihundert Menschenalter haben den Wert von zehntausend Jahren ». Aber offenbar folgt diese Umrechnung der Generationen auf Jahre dem Vorbild des Geldumrechnens, nur darum konnte auch hier dasselbe Verbum gebraucht werden, das bei jenen anderen Operationen zur Bezeichnung des Wertes diente. Ich vermute nun, dass sich auch der mathematische Sinn — sowohl des Zeitwortes öövaod«ı, wie auch des Hauptwortes dúvap. ig — Der mathematische Begriff &vayus und das sog. ‘geometrische Mittel! 239 fremden Geldsorten in attische Münzen umgerechnet. Aber genau so verfuhr man auch in den übrigen griechischen Städten; auch dort hat man alle fremden Münzen, und darunter auch die attischen selber, in die eigenen umgerechnet. — Es gab also gar keine solche einheitliche Geldart, in die man alle übrigen Geldarten gewöhnlich umgerechnet hätte, um eben in dieser einzigen den Wert der übrigen zu bestimmen. Darum konnte sich auch die Bedeutung der Ausdrücke Sivacta. und diva: in der Finanzsprache nicht spezialisieren. Denn aus jenen Bedeutungen entwickelt hatte, die dieselben Ausdrücke es anderte sich ja von Fall zu Fall jene Geldart, in der man den Wert in der Finanzsprache besassen. Denn es handelte sich auch in der der übrigen bestimmte. Mathematik — mindestens in denjenigen Fällen, aus denen, der vorigen Arbeitshypothese gemäss, die Entwicklung unseres Ausdruckes ihren Anfang nehmen musste — um eine Art Umrechnung. Ich zitierte ja oben die Redewendung, wonach man irgendein Rechteck in ein Quadrat umwandelt, und über die Seite des gefundenen Quadrates feststellt, dass sie dem vorigen Rechteck «in Quadrat gleichwertig ist » (aov Öbvaraı). Aber es besteht doch auch ein sehr wesentlicher Unterschied zwischen den beiden Gebrauchsarten — das heisst also: zwischen dem, wie dieselben Ausdrücke in der Finanzsprache einerseits, und wie sie in der mathematischen Sprache andrerseits benutzt werden. Eben diesen Unterschied der Gebrauchsarten müssen wir jetzt näher ins Auge fassen. — Nach den obigen Beispielen hat nämlich das Zeitwort öbvaota: in der Finanzsprache nur den Sinn: « gelten, ausmachen, den Wert haben von...». Dementsprechend heisst auch das Hauptwort Súvapig in dem finanziellen Bereich bloss soviel, wie «Wert». — Dagegen haben dieselben beiden Worte in dem mathematischen Gebrauch einen genau umrissenen speziellen Sinn. Denn dbvactat heisst hier: «im Quadrat in der Geometrie: «der Quadratwert», drat» wert sein»; und Jóvapig ist oder das «Quaselber. — Wie erklärt sich nun diese Spezialisierung der Wortbedeutung in der Geometrie, wenn dieselben aus der Finanzsprache entlehnten Ausdriicke in ihrem urspriinglicheren Anwendungsbereich gar nicht spezialisiert waren? — Ich denke es mir folgendermassen: \ Die verschiedenen Geldarten wurden bei den Griechen je nach ökonomischen und politischen Gebietseinheiten selbstverständlich immer anders umgerechnet. Das heisst also: in Attika hat man sowohl das asiatische Seckel, den kyzikenischen Stater, wie auch alle (50) Her. II 142. Aber ganz anders war es — mindestens meiner Vermutung nach — in der Geometrie. Wollte man nämlich in der Geometrie irgendeine Fläche berechnen, d. h. also den Wert einer Flachet bestimmen, so hat man diese Fläche vor allem in ein Quadra umgestaltet. Das Quadrat war jene einheitliche Flächenform, in der die Werte aller anderen Flachenformen bestimmt werden mussien. Darum bekam das Zeitwort Súvacda: — das in der Finanzprache blossn den Sinn: «den Wert haben von ...» besass — in dem geometrische Gebrauch die spezielle Bedeutung: «in Qua drat den Wert haben ». Man kann also mit der Bedeutungsentwicklung des Ausdruckes maSúvachar in der Tat auch die Bedeutungsentwicklung des mathehatte Wort es letzter Dies n. erkläre leicht tischen Terminus dbvauç in der Finanzsprache ursprünglich den Sinn: «der Wert». »Diese Bedeutung hat sich dann in der Geometrie auf « Quadraiweri spezialisiert, und darum konnte man mit der Zeit auch das « Viereckda» selbst, das sonst terpdywvov hiess, als dbvape bezeichnen. Und man nun die Quadratfläche so berechnet, dass man die Seite mit sich selbst multipliziert, wurde divapu später auch die « Multiplikation einer Zahl (Grösse) mit sich selbst ». Diese letztere Bedeutung war schon ganz nahe bei unserem Begriff « Potenz ». Zu jener Zeit aber, als man den Terminus Sivepis mit dem lateinischen Wort des « potentia » übersetzte, war die wirkliche Bedeutungsentwicklung ursprünglichen griechischen mathematischen Begriffes (öövapıs = « Quadratwert ») nicht mehr gegenwärtig. Es darf zu dieser zusammenfassenden Schilderung der Bedeutungsentwicklung ergänzend vielleicht noch erwähnt werden, dass man in dem dargestellten Zusammenhang auch den Sinn des Terminus ôuvauévn leicht erklären kann: eddcia Suvapévy ist jene Strecke, die den gesuchten Quadratwert für ein Rechteck — also: das Quadrat, das dem untersuchten Rechteck gleichwertig ist —

ergibt. Man vgl. dazu bei EuxLID, Elem. X. in Def. 4: af Suvdépevat ... el pév terpáywva ein, abtal al mAevpai, el Sè Etegd tive evddsypauua , af tox abtotc tetedywva dvaypdpouoa. Mit dem Wort öuvduevar werden also in dieser Definition die Seiten der Quadrate bezeichnet; wenn es aber nicht von Quadraten, sondern von irgendwelchen anderen geradlinigen Figuren die Rede ist, so bezeichnet man mit demselben Wort die Seiten der den betreffenden geradlinigen Figuren gleichwertigen Quadrate. IV. Wie mir scheint, ist die obige Worterklärung nur noch in einem Punkte nicht hinreichend genug begriindet. Denn ich ging ja — scheinbar völlig willkürlich — von der Arbeitshypothese aus, dass gerade diejenige Gebrauchsart des Zeitwortes ¿úvacdo: in der Mathematik die älteste sei, die in einem ganz speziellen Fall zur Anwendung kam. Dieser Spezialfall soll derjenige sein, in dem es sich um die Umwandlung eines Rechtecks in ein Quadrat handelte, um das Flächenmass des Rechtecks in Quadrat ausdrücken zu können. — Es fragt sich nun: womit könnte man die vorige Arbeitshypothese wahrscheinlich machen? — Aber bevor wir die Antwort auf diese letztere Frage versuchten, möchte ich zunächst noch an zwei Beispielen auch jene andere mathematische Gebrauchsart des Zeitwortes Súvacda: illustrieren, die meiner Vermutung nach die spätere, die schon abgeleitete ist. Das eine Beispiel möge diejenige sprachliche Abfassung des Pythagoreischen Lehrsatzes sein, die man bei ATHENAIOS liest (51). Es heisst nämlich hier: tprydyvou ¿pdoywviov } thy ¿pd Ywviav bxotelvouca Isov Givatar taig meptexoboatg. Das heisst also: Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks hat in Quadrat den gleichen Wert (icov öbvaraı), wie die Katheten zusammen (d.h. also eigentlich genauer: wie die Quadrate der Katheten zusammen). — Es handelt sich also hier — wie man sieht — gar nicht um eine Flächenumgestaltung, wobei man mit dem Zeitwort Süvaoÿa den « Quadratwert » der geprüften Fläche bezeichnen würde. Ja, auch die Bedeutung unseres Terminus ist hier schon so weit entfernt von jener anderen Bedeutung, die — mindestens meiner Erklärung nach — die ältere aber schon mathematische Bedeutung sein musste, dass auch der Sinn des Wortes in den Wörterbüchern — gerade unter Berufung auf die eben zitierte Stelle — folgendermassen angegeben wird: dbvacda hiesse in der Mathematik «ein Quadrat ergeben », von Linien oder Eine der vorigen sehr ähnliche Gebrauchsart des Zeitwortes Sivactat begegnet auch in dem bekannten Bericht des SIMPLICIUS über die Móndchenquadrierung des HIPPOKRATES von Chios, wo es einmal heisst (53): % Gtduerpoc tetparidotov Suvatae tic too &Eaywviou (xAeupéc). Die sprachliche Abfassung des Satzes ist hier beinahe noch biindiger, als sie in dem Falle des pythagoreischen Lehrsatzes bei ATHENAIOS war. Denn das eben angefiihrte griechische Zitat hiesse ja wörtlich übersetzt: «Der Durchmesser hat den vierfachen Quadratwert der Sechseckseite ». Wir können heutzutage eine solche Formulierung beinahe nur deswegen richtig verstehen, weil wir wissen, dass (27)? = 4r* ist. Also die sinngemässe Uebersetzung des zuletzt zitierten Satzes hiesse doch: « Das Quadrat, das man auf den Durchmesser eines Kreises erhebt, ist viermal so gross, wie jenes andere Quadrat, das man auf die eine Seite des in denselben Kreis eingeschriebenen 7e gelmässigen Sechsecks erhebt ». "Bi e | Es zeigen also die eben behandelten beiden Fälle, dass das Zeitwort Sbvacda gar nicht mur in jener mathematischen. Redewendung gebräuchlich war, von der ich in dem vorigen Kapitel die Bedeutungsentwicklung des Terminus ableiten konnte. Ja, stellte man eine Statistik über die Häufigkeit der Fälle zusammen, in denen unser Terminus benutzt wird, so würde man wahrscheinlich viel weniger solche Vorkommnisse finden, in denen das Zeitwort Súvacda: den umgerechneten Quadratwert eines Rechtecks bezeichnet, und viel höher wäre die Anzahl jener anderen Fälle, in denen der Gebrauch desselben Verbums schon den zuletzt genannten beiden Beispielen bei ATHENAIOS und SIMPLICIUS ähnlich ist. — Aber mit welchem Recht darf man dann dennoch behaupten, dass gerade die selteneren Fälle die ältere Form der Gebrauchsart darstellen? Womit könnte man den Gedanken wahrscheinlich machen, dass der mathematische Terminus dévacda eigentlich dennoch von jener Praxis herrührt, die daraus bestand, dass man immer wieder Rechtecke in Quadrate umwandelte um ihr Flächenmass in Quadrat ausdrücken zu können? — Ich glaube, diese Vermutung wird durch die folgende Euklid-Analyse erhärtet. (52) Vgl. z.B. W. Pape, Griechisch-Deutsches Wörterbuch, Erster Band. Braunschweig, 1849. S. 577 S. v. (51) Ath. X 418 f. Zahlen gesagt (52). (53) F. Rupio, op. cit. 70, 15.

Am Ende des II. Buches der « Elemente » liest man den folgenden Satz: Il.14: «Ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Quadrat zu errichten » (54) (t@ Sodévu edduypdéppw iooy tetpéywvoy cvatijcaodat). Es ist in dieser Form eine rein theoretische Konstruktionsaufgabe, die man mit demselben Recht auch umgekehrt aufstellen könnte. Denn es ist ja von theoretischem Gesichtspunkt aus einerlei, welche man von den beiden Möglichkeiten wählt: 1) «gegeben ist eine beliebige Der mathematische Begriff &övayıs und das sog. "geometrische Mittel" 243 in der Tat über das llächengleiche Rechteck hindurch. Das muss selbstverständlich bei jeder Flächenberechnung einer beliebigen geradlinigen Figur so gemacht worden sein: zuerst wurde die betreffende geradlinige Figur in ein Rechteck umgerechnet, und dann bekam man das Flächenmass (= den Quadratwert) des Rechtecks durch eine weitere Umwandlung in ein Quadrat. — Deswegen glaube ich also, dass die älteste mathematische Gebrauchsart des Zeitwortes èivacda mit jener stereotypen Wendung verbunden war, die ich ist », oder: 2) «gegeben ist ein Quadrat, und man konstruiere eine oben (S. 236) folgendermassen paraphrasierte: «eine gegebene Strecke (edSeta) ist (wenn man sie quadriert), gleichwertig (isov Sbvatat) dem beliebige geradlinige Figur, die dem vorigen Quadrat gleich ist ». folgenden Rechteck (tH repieyopévp) ... ». geradlinige Figur, und man konstruiere ein Quadrat, das ihr gleich Aber wie kommt es dann, dass bei EUKLID doch nur die Variante 1), und nirgends die Variante 2), behandelt wird? — Ich glaube, der sehr einfache Grund hierfür ist die Tatsache, dass die «rein theoretische Konstruktionsaufgabe » in ihrem Ursprung doch auf etwas Praktisches zurückgeht. Denn es kam in der Praxis so gut wie nie vor, dass man ein Quadrat in eine andere ihm flächengleiche geradlinige Figur hätte umgestalten müssen. Der praktische Zweck + %* * Es wird sich lohnen, in einem kurzen Ueberblick auch noch jene wichtigsten Sätze zusammenzustellen, die bei EUKLID den eben behandelten Satz (17.14) vorbereiten. — Vor allem muss hier der Satz Elem. 1.45 erwähnt werden, der in dem ersten Schritt der Lödes Flächenmasses, und bei dem Quadrat ist das Flächenmass mit sung unserer Aufgabe auch unmittelbar benutzt wird: wie man nämlich ein flächengleiches Rechteck konstruiert. In EukLıps Forder Seite schon gegeben. — Aber umso häufiger kam in der Praxis mulierung heisst dieser Satz: dieser Flächenumgestaltungen war ja meistens doch die Berechnung auch folgendermassen formulieren können: « Wie berechnet man den 1.45: «Ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel zu errichten ». — Man sieht also, EuKLID erstrebt nicht nur eine Art «abstrakte Theorie», sondern immer auch den höchsten erreichbaren Grad der Allgemeingültigkeit. Darum redet er nicht einfach von einem Rechteck, sondern lieber von einem « Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel »; das Rechteck, das für die Flächenberechnungsprobleme als mittlerer Schritt einzig und allein in Betracht kommt, Quadratwert einer beliebigen geradlinigen Figur (= Fläche)? ». wird nur als Spezialfall miteinbegriffen. der andere Fall vor, dass man nämlich das Flächenmass einer beliebigen geradlinigen Figur berechnen musste. In diesem Fall hatte man gewöhnlich ein Quadrat zu errichten, das der betreffenden geradlinigen Figur gleich ist. — Ich glaube also, dass unser Satz (Elem. II.ı4) eigentlich eine in theoretische Form umkleidete Flächenberechnungsaufgabe ist. Hätte EUKLID nicht um jeden Preis eine Art «rein abstrakte Theorie » erstrebt, so hätte er unseren Satz gestellten Aufgabe. Denn das gesuchte Quadrat, das der gegebenen In der Lösung des zuletzt zitierten Satzes (1 .45) werden die ihm unmittelbar vorangehenden Sätze: /.42 und 1.44 benutzt. Diese geradlinigen Figur gleich ist, wird hier in zwei Schritten konstruiert. heissen: Noch lehrreicher ist für uns die Lösung der in Satz Elem. 11.14 Zuerst errichtet man ein flächengleiches rechtwinkliges Parallelogramm, also ein Rechteck (ouvestétw yap th edbuypduum ¿soy mapaddn- Aéypauuov ópdoywv:ov), und dann wird das Rechteck selbst in ein Quadrat umgestaltet. Man erreicht also die gesuchte Quadrat-Form 1.42: «Ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel zu errichten ». 1.44: «An eine gegebene Strecke ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm in einem gegebenen geradlinigen Winkel anzulegen ». (54) Der deutsche Text der Zitate aus EukLios « Elementen » immer nach C. THAER, Die Elemente von Euklid, I-V (Ostwald’s Klassiker der Exakten Wissenschaften 235, 236, 240, 241, 243), Leipzig 1933-1937. Natürlich werden auch diese beiden Sätze ihrerseits auf noch einfachere und ihnen verwandte vorangehende Sätze gebaut. Wollte ich nun alle diejenigen Theoreme und Aufgaben aufzählen, die mehr

Der mathematische Begriff divapi und das sog. ‘geometrische Mittel’ 245 oder weniger als Antezedenzien des Satzes JI .I4 gelten dürften, so kénnte ich beinahe das ganze erste Buch der «Elemen te » namhaft hatte EukLıp — nach der Erklärung von TH. L. HEATH — in diesem Satz (17.14) die Lösung einer noch übrigbleibenden Aufgabe — nämlich die Lösung dessen, wie man eine beliebige geradlinige Figur in ein Rechteck, und dieses in ein flächengleiches Quadrat umwandelt — machen. Denn schliesslich besteht ja doch gerade daraus EUKLIDS «systematischer Aufbau der Geometrie »: jede These wird auf ihr vorangehende Thesen gebaut. Nun will ich jedoch gar nicht in diesem Sinne einen sog. « vollständigen Stammbaum » unseres zusammenstellen. Ich berufe mich anstatt dessen sozusagen «nachgeholt » (55). nur auf solche Grade doch irreführend ist. Denn es handelt sich ja im Falle des Satzes 11.14 keineswegs bloss um eine «nachträgliche Ergänzung », also nicht um eine Art «Supplement ». Im Gegenteil! Dieser Satz sind nun — im Anschluss an die vorhin genann ten — noch die folgenden: (II.ı4) ist gerade die Vollendung und die Krönung einer ganzen Serie der ihm vorangehenden Sätze. Das heisst: alle Sätze der Flächen- 1.41: «Wenn ein Parallelogramm mit einem Dreieck dieselbe Grundlinie hai und zwischen denselben Parallelen liegt, ist das Parallelogramm doppelt so gross, wie das Dreiec k ». 1.38: «Auf gleichen Grundlinien zwischen denselb en Parallelen gelegene Dreiecke sind einander gleich ». «Auf derselben Grundlinie zwischen denselben Parallel gleichheit und Flachenumgestaltung hatten ihren Sinn — mindestens in der Praxis — eigentlich nur im Hinblick auf unseren Satz (II -14), also darin, dass sie diesen Satz vorbereitet hatten. — Fúr diese letztere Behauptung von mir spricht die folgende Ueberlegung. Man kann jene Gruppe der Sátze, von denen ich oben neun auch zitiert habe, als die «Lehre von der Fláchengleichheit und en gelegene Dreiecke sind einander gleich ». Flächenumgestaltung » charakterisieren. Der Name « Flächenumgestaltung » (transformation of areas, HEATH) ist jedoch nur eine moderne Umschreibung, die aus der Euklidischen Behandlung dieser Sätze 1.36: «Auf gleichen Grundlinien zwischen denselben Paralle len gelegene Parallelogramme sind einander gleich ». 1.35: «Auf derselben Grundlinie zwischen denselb en Parallelen nachträglich abstrahiert wurde. Ich glaube aber, dass jene ursprüngliche antike Bezeichnung, die man für dieselben Sätze in den vorgelegene Parallelogramme sind einander gleich », Ueberblickt man nun jene neun Euklidischen Sätze, die in diesem Kapitel zitiert wurden (I.35, 36, 37, 38, 41, 42, 44, 45 und II.14), so sieht man sofort, dass diese alle ohne Ausnahme das Problem der Flächengleichheit bzw. dasselbe der Flächenumgestaltung behandeln. Natürlich könnte man den Kreis dieser | Ich glaube nun, dass diese Erklärung bis zu einem gewissen früheren Sätze bei EUKLID, in denen die Proble me schon deutlich auf das Problem unseres Satzes nach vorne hinweis en, Solche Sätze 1.37: | Satzes (17.14) euklidischen Zeiten benutzt haben mag, viel konkreter war; sie hiess nämlich wohl: tetpxywwonés. Natürlich passt dieser Name vor allem eben auf denjenigen Satz (Eucl. Elem. 11.14), in dem ich gerade die Vollendung und die Krönung der ganzen « Lehre von der Flachenwandte Thesen, die man ebenfalls noch in den vorigen Kreis der gleichheit und Flächenumgestaltung » erblicken möchte. | Es braucht hier wohl nicht betont zu werden, eme wie grosse Rolle die beiden Termini tetpayovizery und terpaywvopós schon in der griechischen Mathematik des 5. vorchristlichen Jahrhunderts gespielt hatten. Wie bekannt, war ja die « Quadratur des Kreises » jetzt nur diejeni- (griechisch: 6 tetpaywvopds tod xúxlou) ein sehr populäres wissen- Sätze auch noch erweitern. Nicht bloss die aufgezählten neun Theoreme beschäftigen sich mit Flächengleichheit und Flächenumges taltung. Es gibt bei EUKLID in dem I. und II. Buch der «Elemente» auch andere ver- Sätze einbeziehen könnte. Aber ich wollte von diesen gen namhaft machen, die sozusagen unmitt elbar mit jenem Satz, Elem. II.ı4, zusammenhängen, von dem wir ausgegangen waren. — schaftliches Problem schon gegen das Ende des 5. Jahrhunderts (56). Ich muss in diesem Zusammenhang eher nur eine andere Seite der den übrigen Sätzen Frage mit Nachdruck hervorheben. Man versteht nämlich unter Es fragt sich nun: welche Rolle und Bedeutung unter der Flächengleichheit und Flächenumgestaltung unserem Satz, Elem. II.14, zukommt? terpaywvicuós gewöhnlich nur den terpayuviopds xbxAov, d. h. also die quadratura circuli, nachdem gerade dieses Problem wegen seiner Tu. L. HEATH erklärte in seinem Kommentar den Satz II.14 für eine Art « nachträgliche Ergänzung », sozusa gen für ein « Supple- (55) « The Thirteen Books... I 410: « As... are supplementary to... A 14 completes the theory of transformation of areas SO far as it can be carrie out without use of proportions... The problem still remaining unsolved etc. ». ment ». Nachdem nämlich alle übrigen Aufgab en der Flächenumgestaltung in verschiedenen vorangehenden Sätzen schon gelöst waren, (56) Vgl. z.B. B. L. v. d. WAERDEN, op. cit. 214 ff.

Unlôsbarkeit so beriihmt geworden ist. Aber die beiden Ausdrücke tetpaywvitetv und tetpaywwoués haben an und für sich mit dem Kreis selbstverständlich gar nichts zu tun. Ja, es war anfänglich überhaupt auch nicht der Kreis jene Figur, die man « viereckig machen », « quadrieren » wollte. Auch die Aristoteles-Stelle (De anima II. 2, 413 a 19), die ich in dem nächsten Kapitel ausführlicher besprechen werde, ist ein klarer Beweis dafür, dass man den tetpaywviopég auch auf beliebige geradlinige Figuren, besonders auf Rechtecke bezog. Man verwandelte nämlich alle geometrische Figuren (alle Flächen) in Quadrate — d. h. man machte sie viereckig (tetpxywvitew) —, weil man ihren «Quadratwert » (öbvauıc) bestimmen, also ihr Fláchenmass berechnen wollte. Und nachdem man schon sehr gut wusste, wie, auf welche Weise sich alle geradlinigen Figuren in Quadrate umgestalten lassen (vgl. Elem. 17.14), erst dann fragte man sich: ob sich nicht auch der Kreis in ein Quadrat umwandeln liesse, denn man wollte auch bei dem Kreis den « Quadratwert » wissen (57), d.h. man wollte auch sein Flächenmass berechnen. Ich vermute also, dass jene Sätze der Flächengleichheit und Flächenumgestaltung, die in den beiden ersten Büchern der Euklidischen « Elemente » in rein theoretischer Form erscheinen, eigentlich auf die praktische Aufgabe des tetpæywvioués zurückgehen. Ursprünglich hat man diese Sätze bei der Flächenberechnung, d.h. bei dem Bestimmen des Quadratwertes (ô6vaus) der verschiedenen Flächenfiguren benutzt. Als « Terminus anie quem » für diese Sätze bei EUKLID gelten also jene aus dem 5. Jahrhundert bekannten (57) Es sei hier nur nebenbei noch Folgendes erwähnt: ich hoffe oben gezeigt zu haben, dass der geometrische Terminus für den 4 Quadratwert » (öövzpız) aus der Finanzsprache entlchnt wurde. Nun ist es wohl kein Zufall, dass in dem Bericht des SimpLicius über die Kreisquadratur des ANTIPHON auch noch ein anderer sehr bezeichnender Ausdruck der Finanzsprache gebraucht wird: öunaväv. Der « Wert des Kreises in Quadrat » (= sein Flächenmass) wird durch die eingeschriebenen Polygone «verausgabi », «verbraucht » (vel. dazu F. Rupio, op. cit. Index s. v.). Man sagt nämlich das Verbum Saravàv in der Umgangsprache von «Geld ausgeben». — Dagegen ist der moderne Ausdruck, den man in diesem Zusammenhang bei so gut wie allen Historikern (z.B. auch in O. BECKERS ausgezeichnetem Büchlein: « Das mathematische Denken der Antike », Göttingen 1957 S. 93) wiederfindet: « Exhaustion ». Nun ist aber dieser letztere Ausdruck, leider, irreführend. Denn man sagt ja das lateinische Verbum exhaurire vor allem von « Flüssigkeiten, bes. Wasser schöpfen, ausschöpfen». Gewiss, heisst auch das griechische Zeitwort danaväv « erschöpfen », aber nie von Flüssigkeit und Wasser, immer nur von Geldausgaben gesagt! Der mathematische Begriff Súvapus und das sog. ‘geometrische Mitiel’ 247 Versuche, die sich schon das Quadrieren des Kreises zum Ziel gesetzt hatten (also ANTIPHON, HIPPOKRATES von Chios u. a. m.). * * * Am Ende dieses Kapitels möchte ich nachträglich noch auf eine interessante Tatsache aufmerksam machen. — Die Ausdrücke tetpayoviçav und terpaywvionös kommen nämlich in den Euklidischen « Elementen » überhaupt nirgends vor. Aber dasselbe gilt — mindestens bis zu einem gewissen Grade — auch für die Ausdrücke ¿úvazsda:, Sivapis und Suvapévn. Denn diese letzteren werden zwar in dem X. Buch der « Elemente », aber eben ausschliesslich nur in dem X. Buch und sonst nirgends in den « Elementen », benutzt. — Nun kann man die Tatsache — dass nämlich das X. Buch der « Elemente », was die Termini Sbvacdo, dóvapis und Svvapévy betrifft, eine Ausnahme bildet — sehr leicht folgendermassen erklären. Dieses Buch behandelt die sog. « Theorie der Irrationalitäten », und diese Theorie ist von den verhältnismässig neuen Begriffen: Suvape obppetpos | bzw. Svvdper dobyperpos (quadriert kommensurabel oder quadriert inkommensurabel) untrennbar. Auf der anderen Seite kann man jedoch diese Begriffe in dem Griechischen anders auch gar nicht ausdrücken. Der neue Begriff des « quadriert kommensurablen bzw. quadriert inkommensurablen » hat also — meiner Ansicht nach — auch den Gebrauch der sonst verpönten Ausdrücke ¿úvacdar, Güvaue und ôvvauéyn nach | sich gezogen. Ich vermute nämlich, dass die eben aufgezählten Ausdrücke (tetpaywvitev, terpaywvoyós, Sivacbat, Sbvauts, Svvapevy) alle von EukLID bewusst und mit Absicht vermieden wurden. Denn diese alle waren ja doch Termini der praktischen, sozusagen der angewandten Geometrie (58). Und selbstverständlich wollte jener EUKLID, der eine Art «rein abstrakte Theorie» erstrebt hatte, die Ausdrücke der angewandten Wissenschaft möglichst vermeiden. Y, Die vorangestellten Betrachtungen haben einen kurzen Einblick in jene voreuklidische Geometrie ermöglicht, deren Problem das «Quadrieren» (terpaywvißeıv) und das Berechnen des « Quadratwertes », d.h. also das Berechnen der Sivapts war. Denselben « angewand(58) Man vgl. zu der antiken Bewertung der «reinen » und der VII 525 C ff. ten» Wissenschaft unter vielen anderen z. B. PLATON, Resp.

Einblick kénnen wir jetzt mindestens Der mathematische Begriff Sivayr und das sog. ‘geometrische Mittel 249 in einer Richtung noch vertiefen. Es ist noch vermeiden wollte. Darum konstruierte er einen neuen Beweis für den alten Satz 11.14. nämlich schon längst bemerkt worden, dass _ Da ich glaube, dass die betreffende Aristoteles-Stelle fiir uns jene Konstruktion, die in dem zweiten Schritt der Lösung der Euklidischen Aufgabe //.r4 benutzt wird, auch noch ein zweites Mal in EUKLIDs « Elementen » vorkommt. — auch iiber die eben zusammengefasste Feststellung von J. L. HEIBERG hinausgehend — sehr aufschlussreich wird, will ich sie hier Wie ich oben darauf schon hingewiesen hatte, wird der Satz 11.14 («ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Quadrat zu ARISTOTELES behauptet nämlich an der fraglichen Stelle (61), dass das Definieren in zwei verschiedenen Formen möglich wäre. errichten +) in zwei Schritten gelöst; zuerst wird ein der gegebenen Figur gleiches Rechteck konstruiert, und dann — in dem zweiten Schritt der Lösung — verwandelt man das Rechteck in ein flächendefiniert — gleich auch das Wesentlichste an dem zu definierenden gleiches Quadrat. — Es handelt sich nun jetzt um jene Konstruktion, etwas eingehender behandeln. Entweder würde man den Begriff, der zu definieren ist, einfach nur seinem Sinne nach beschreiben, oder man könnte — indem man Begriff namhaft machen. Sein Beispiel für diese zwiefache Art des deren man sich in dem zweiten Schritt bedient, als das Rechteck in Definierens wird: wie man den Begriff « Quadrieren» erklärt. Die Quadrat zu verwandeln ist. Dieselbe Konstruktion nämlich, mit der hierbezüglichen Worte heissen in genauer Paraphrasc: man hier diese Aufgabe löst, kehrt bei EUKLID in dem VI. Buch der « Elemente » (V/.13) als Lösung der folgenden Aufgabe wieder: «Zu zwei gegebenen Strecken die Mittlere Proportionale zu finden» (Gio Godetcwy edtermy peony dvéloyov nposeupeiv). Ein Unterschied liegt nur in der Beweisführung, d.h. also in der Begründung der Richtigkeit der Konstruktion vor. Im VI. Buch wird der Satz mit Hilfe der Proportionenlehre bewiesen, während dieselbe Proportionenlehre in dem II. Buch noch konsequent vermieden wird. Es fragt sich nun, welcher wohl von den beiden Beweisen für dieselbe Konstruktion der ältere sei? — Erleichtert wird das Beantworten dieser Frage dadurch, dass eine beiläufige Bemerkung des ARISTO- TELES, die in seinen Werken auch zweimal wiederkehrt (59), sich gerade mit unserem Satz (17.14) zu beschäftigen scheint. — Nun hat J. L. HEIBERG, der die hierbezügliche Aristoteles-Stelle behandelte, die Frage — zweifellos richtig — folgendermassen gelöst (60): offenbar « Gewöhnlich sind die Definitionen Schlusssätzen ähnlich, 2. B.: was ist das Quadrieren (olov tí ¿at 6 tetpaywwopé;) — Das Gleichsein eines rechtwinkligen gleichseitigen (Vierecks) einem Rechteck (td ioov étepopimer ópdoyómov elvat Loömieupov) (62). Eine solche Definition ist ein Schlusssatz. — Wer aber behauptet: Quadricren sei das Auffinden der Mittleren Proportionale, derjenige macht auch den Grund der Sache namhaft » (6 32 Aéywv, dt: &oriv 6 terpaywviopòs tane ebgeais, Tod mpdypatos Ayer 1d aitıov). tes et dieser Stelle auch noch das Folgende aus i "Za e der Metaphysik (I 996 b 21): «Da es nämlich ein Wissen von einem und demselben Gegenstand in mehrfacher Bedeutung gibt, so schreiben wir demjenigen ein Wissen in héherem Sinne zu, der erkennt, was der Gegenstand ist... z.B. was ist das Quadrieren: dass es namlich das Auffinden der Mittleren Proportionale bedeutet » (olov ti éott To zerpaywvllerv Bu péons ebpeorc). kennt ARISTOTELES den Satz Eucl. II.r4 noch mit jener Beweisführung, die wir jetzt als Beweisführung des Satzes Eucl. VI.13 lesen. Dieser muss also der ursprünglichere Beweis sein, während « Aristoteles: Ueber die Seele » übers. v. W. THEILer, Akademie-Verlag. Berlin, jener andere, den man bei EukLiD anlässlich des Satzes 17.14 ken- 1959. nenlernt, erst eine nachträgliche Aenderung ist. Es scheint nämlich, dass EuKLID — oder jener Vorgänger von ihm, der die Sätze im II. Zweifel, wie der Verfasser den tergaywviouös (= das Quadrieren) verstand. Quadrieren ist nämlich — nach seinen Worten —, wenn man ein Rechteck (Écegéunxec) in ein ihm flächengleiches Quadrat (09doyóviow loörkevgov) um- Buch der « Elemente » in ihrer gegenwärtigen Reihenfolge zusammengestellt hatte — den Gebrauch der Proportionenlehre bei diesen Sätzen (59) De anima II. 2,413 a 19 und Metaph. 996 b zı. (60) J. L. HeiBerG, Mathematisches bei Aristoteles (vgl. oben Anm. 23) S. 20; vgl. TH. L. HEATH, The Thirteen Books... I 410. (61) Siehe oben Anm. 59. — Man vgl. zu der folgenden Paraphrase auch S. 26 und o) Man pa 109. a aus dem Wortlaut des Textes natürlich ohne jeden wandelt. Genau so wird diese Aufgabe auch bei EuxLID (Elem. II. 14) gelöst. Dagegen, dass hier zum Teil andere Termini als bei EUKLID benutzt werden, hätte man noch kaum etwas einzuwenden. Aber umso störender wirkt die nachlässige, ja beinahe unsaubere Formulierung des zitierten Satzes selber. Derjenige, der so formuliert, hatte sehr wenig Sinn für das Mathematische, ja überhaupt für die Form selber!

Arpdd Szabó Man erfahrt also aus den eben angefiihrten Worten des ARISTO- Man weiss, dass das Altertum nicht weniger als elf verschiedene TELES die folgenden drei wichtigen Tatsachen: Mittel gekannt hatte (64); aber wirklich alt waren von diesen eigentlich I. Unter « Quadrieren » (tetexywvitew) verstand man gewöhnlich gar nicht das « Quadricren des Kreises », sondern — wie ich es nur jene drei Mittel, die auch schon für die Pythagoreer des 5. vorchristlichen Jahrhunderts bezeugt sind. Unsere älteste Quelle über die Mittellehre der Pythagorcer ist ein Fragment des ARCHYTAS, das in dem Kommentar des PorPHyRIos (zu der Harmonielehre des PTOLEMAIOS) erhaltenblieb (65). Der erste Satz dieses Fragmentes auch schon in dem vorigen Kapitel betont hatte — einfach auch das « Viereckig-Machen von geradlinigen Figuren ». 2. Man hat das Quadrieren der geradlinigen Figuren immer über die Rechteckform hindurch erreicht. Das heisst: alle geradlinigen Figuren wurden beim Quadrieren zunächst in ein flächeng leiches Rechteck umgeändert, und erst danach hat man das Rechteck selbst quadriert. Natürlich konnten wir diese Tatsache oben auch schon aus dem Euklid-Text (Elem. 17,14) erschliessen; aber der vorige Schluss wird jetzt durch das ausdrückliche Zeugnis des ARISTOT ELES nur noch mehr erhärtet. Nur deswegen konnte man die beiden Begriffe, « Quadrieren » und « Aufinden der Mittleren Proporti onale », so eng miteinander verbinden, weil bei dem Quadrieren notwendi gerweise immer auch von einem Rechteck die Rede war. Keine andere Flächenfigur, nur das Rechteck, wird dadurch quadriert, dass man die Mittlere Proportionale der beiden Seiten sucht. 3. Man bediente sich bei dem Quadrieren des Rechtec ks offenbar jenes Satzes, den man in dem VI. Buch der Euklidis chen « Elemente» in der folgenden Form wiederfindet: VI.17: «Stehen drei Strecken in Proportion, so ist das Rechteck aus den äusseren dem Quadrat über der mittleren gleich » (av tpeis ebdetat dvéloyey Wow, to ind tav dxpwy nepteyéuevoy dpdoywvev isav heisst: «Es gibt drei Mittel in der Musik (pioxı GE evu tpis ta povotxa), einmal das arithmetische, zweitens das geometrische, und drittens das entgegengesetzte, das auch als das harmonische bezeichnet wird ». Nun meint ARISTOTELES in unserem vorigen Text von den drei Mitteln des ARCHYTAS offenbar das geometrische. — Aber woher haben die beiden ersten Mittel, die auch heute noch oft in derselben Form wie bei ARCHYTAS erwähnt werden, ihre merkwürdigen Namen: «arithmelisches Mittel» und «geometrisches Mittel»? — Ich glaube, man kann diese Namen sehr leicht erklären, wenn man an Folgendes denkt: I. Das sog. arithmetische Mittel ist — sowohl nach der Schilderung des ARCHYTAS, wie auch im Sinne der auch heute noch üblichen Praxis, dieses Mittel zu finden — gar nichts anderes als: die Mitte zwischen zweien Zahlen. Der griechische Name: péoy ägiduntrt; wird also wohl einfach nur «Mitte zweier Zahlen», d.h. also «Mitte zweier &pidpoi » heissen. 2. Anders erkläre ich den Ursprung der Benennung uéon yew- Eat TH and tio LÉOM tetoxywve). wetorxy). Man hat nämlich diese Art Mittel — nach dem vorigen Be- Nach dem Zeugnis des ARISTOTELES wurde also ein Rechteck mit den Seiten a und 5 auf dem Wege quadriert, dass man die Mittlere richt des ARISTOTELES — bei dem Quadrieren, also bei der Flächenberechnung benutzt. Ja, so wichtig war die Rolle von dieser Art Mittel in dem Quadrieren, dass nach ARISTOTELES das Wesentlichste Proportionale (x) der beiden Seiten suchte. Denn wenn a:x = x: b, dann gilt im Sinne des zuletzt zitierten Satzes (Elem. VI.17) die Gleichung: x? = ab. — Nun heisst die « Mittlere Proporti onale » bei EUKLID: 4 péoy dvéhoyov (63). Aber der oben zitierte AristotelesText bedient sich anstatt dieses Namens (uéoy &v&Aoyov ) einer einfacheren Ausdrucksweise; das « Auffinden der Mittleren Proporti onale » heisst nämlich bei ARISTOTELES: néons ebpeors. Der aufmerksame Leser wird durch diesen letzteren Ausdruck — péon — an die antike Mittellehre erinnert. (63) Leider, kann ich hier auf das sprachliche Erkläre n dieses wichtigen Ausdruckes nicht eingehen. Ich verweise einstweilen nur auf meinen vorbereitenden Aufsatz: 237-245. « Analogia» in Acta Ant. Acad. Scient. Hung. X. 1962 des Quadrierens gerade in dem Auffinden der Mitte (néons ebpeotç) bestand. Aber welche Form der Flächenberechnung mag wohl die älteste gewesen sein? — Nun diese älteste Form war bei den Griechen zweifellos das Feldmessen, die ionische yewperpía selbst — in dem ursprünglichen Sinne dieses Wortes. Das « geometrische Mittel » mag also seinen Namen wohldaher haben, dass diese Art Mittel besonders bei dem Feldmessen, in der yewuetpla benutzt wurde. — Der zweifellos alte Name: «geometrisches Mittel» scheint also aus derselben Zeit (64) Paut-Henri MicHEL, De Pythagore à Euclide, Paris 1950 365-411 (Les médiétés); vgl. dazu auch K. REIDEMEISTER, op. cit. 24 ff. (65) PorPH. in Ptol. harm. p. 92 (Dürıng) - H. DIELs-W. Kranz, Fragmente der Vorsokratiker 1? Archytas B fr. 2.

zu stammen, wie das verwandte tetpaywviCetv und divapis, also aus der Zeit der noch vorpythagoreischen yewustpta. Später, zur Zeit des Pythagoreers ARCHYTAS, rechnete man natiirlich auch schon das «geometrische Mittel» zu den musikalischen Mitteln. * * ok Am Ende dieser Arbeit môchte ich hier noch Folgendes mit Nachdruck hervorheben. Ich habe oben den wichtigen Euklidischen Satz, Elem. II.14, als den Satz des tetpaywvwopés erklärt. Er wurde — nach dem Zeugnis des ARISTOTELES — ursprünglich mit der Hilfe des geometrischen Mittels gelöst, und man benutzte ihn — meiner Vermutung nach — zu der Bestimmung des Quadraiwertes beliebiger geradliniger Flächenfiguren. — Nun soll aber derselbe Satz — nach manchen modernen Erklärungen (66) — die Lösung der quadratischen Gleichung x? = ab behandeln. — Man wird selbstverständlich nicht bestreiten können, dass das algebraische Aequivalent unseres Satzes in der Tat die eben zitierte Gleichung ist. Aber ich finde, dass der Hinweis auf die algebraische Form in diesem Fall dennoch irreführend ist. Denn sowohl EUKLIDs Satz (Elem. II.ı4), wie auch die oben behandelten Begriffe: Gbvauts, tetpaywnopés und uéon yewpezprx — sind ja doch rein geometrischen Ursprungs. ÁRPÁD SzaBé (66) Vgl. oben Anm. 54 (Bd. I. S. 86) und TH. L. HEATH, The Thirteen Books... I 410. IN. STAD. wa _ COMORE GENNARO PERROTTA