Un traite grec d'arithmetique anterieur a Euclide

Un traité grec d'arithmétique antérieur à Euclide, Par Paur Tannery. ') 1. L'ouvrage de Bortınus De institutione musica?) contient des données intéressantes pour l'histoire de l'arithmétique chez les Grecs, et n'a certainement pas été assez utilisé à cet égard. J'en mentionnerai deux exemples. Le premier n'a qu'une importance secondaire; cependant il concerne une indication qui permet d'aborder la solution d'une petite énigme. Aucun écrit ne parait avoir circulé dans l'antiquité sous le nom d’Hırrasus de Métaponte,*) pourtant, en dehors des légendes relatives à son rôle ou des opinions de physique que lui attribuent les doxographes, on trouve dans JAMBLIQUE sur NICOMAQUE 1) et dans Tinton de Smyrne?) des assertions concernant ses travaux sur larithmetique et sur la musique, assertions qui supposent une tradition écrite. On doit done se demander d'où vient cette tradition, et quelle peut en être la valeur. Or nous lisons dans BoetHIus (Mus. IL, 18, p. 250): „Sed EuBuLIDES atque Hırpasus alium consonantiarum ordinem ponunt“. Ce passage conduit à penser que l'opinion dont il s'agit et qui d'ailleurs n'a aucun intérêt 1) Quelquos semaines avant sa mort, PauL Tanwgry m'écrivit: J'ai sur le chantier pour vous un article faisant suite à celui que je vous ai envoyé sur la musique grecque. J'ai l'intention de démontrer que la xerarour xevóvos d'Eucrane n'est pas authentique, et j'ai exhumé de Boëce un fragment d’Ancuyras prouvant que déjà il faisait des démonstrations arithmétiques sur le type géométrique. Le manuscrit de cet article a été retrouvé par Madame M. Taxnenx parmi les papiers de son mari, et il a été mis à ma disposition. L'article n'est pas terminé, mais la partie se rapportant au fragment d'Ancnvras est achevée, ot elle est publiéo ici. G. Exesruòm, 2) Je citerai l'édition de Frigprem: Awıen Manin Tonquars Sevanivi Boeru De institutione arithmetica libri duo. De institutione musica libri quinque (Leipzig, ‘Teubner 1867). 3) Voir Laserıus Diocenrs, VII, 84. 4) Ed. Tesnutias (Arnheim 1668), p. 11: définition du nombre commo „premier paradigme de la formation du cosmos“! p. harmonique, auparavant 141—142: nom donné à la proportion appelée sous-contraire; p. 159: introduction des 4°, 5° et 6° médiétés. 5) Ed. Hırver (Leipzig, Teubner 1878), p. 59: oxpériences ucoustiques (passage suspect d'ailleurs). Bibliotheca Mathematica. III, Folge.

Paur, Tasneny, avait été défendue par un certain Eunovninr, qui l’aurait exposée comme le soit traduite, soit paraphrasée, et où la proposition en question porte réelle, identité une rations démonst deux les entre fond au No. 3. Or, il y a 226 étant d'Hippasus. Mais cet EuBOULIDE est évidemment l'auteur qualifié de pythagoricien dans les Theologumena arithmetices (sur Vhexade), et cité comme on va pouvoir en juger par la comparaison des deux textes. à côté d'ANDROCYDE ete., comme ayant raconté que Páme de Pyruagone _EucLmE xarat, xavóvos se reincarnait tous les 216 ans.1) Nous pouvons dès lors hardiment con- (Musici script. Gr. éd. Jan, p. 152). ARCAYTAS, d'après BOETHIUS. Sit superparticularis proportio clure que c'est à cet auteur (probablement aussi peu digne de foi qu ANDKOCYDE, et, comme lui, de la première période alexandrine) que l’on doit l'origine de la tradition écrite sur les travaux d’Ilırrasus en arithmétique et en musique. Il semble au reste l'avoir forgée sans grand talent d'invention, se contentant de lui faire prendre part aux découvertes de Lasos d’Hermione ou à celles d’Anciiyras (malgré l'anachronisme, en ce qui concerne ce dernier, qui vivait au moins un siècle après Hirrasus). Tout au plus, EUBOULIDE s'est-il avisé en outre de mettre au compte du disciple de PrruAGorE quelqu'une de ses fantaisies personnelles, comme celle qu'a “A. B, sumo in eadem proportione “minimos .C. DE. Quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione +: 0, DE. et sunt superparticulares, ' . „DE. numerus .6. numerum parte una sua eiusque transcendit. Sit hwe .D. Dico, quoniam . D. non erit numed'Arcuvras, laquelle semble bien offrir des caractères incontestables d'authenticité. Il s’agit de la proposition qu'un rapport épimore (e. a. d. de la forme n +1 ) ne peut être divisé en deux rapports égaux par l'intern calation d'aucun nombre. La particularité de cette proposition est une garantie évidente de son ancienneté. À la vérité, la marche de la démonstration est de nature à nous déconcerter quelque peu de prime abord; elle ne se comprend en effet que si on suppose déjà développée une suite de théorèmes assez considérable sur un plan analogue à celui du livre VII des Eléments euclidiens. Mais c'est précisément là ce qui fait à mes yeux l'importance historique de ce fragment d’Arcnyras, ce qui la rend presque égale, dans le domaine de l'arithmétique, à celle du célèbre fragment d'Hirrocrate de Chios, conservé par SIMPLICIUS d'après Eubimr. A la vérité encore, BOETHIUS dénigre lui-même la démonstration d'ARCHYTAS, „Nimium fluxa est“, dit-il en promettant d'en donner plus loin une meilleure. Mais celle-ci, il ’emprunte (Mus. IV, 2, p. 303, 19 à 304,6) à la un xararoıı) uayvos euclidienne, qu'il a presqu'entièrement 1) En sorte qu'après Eurnorse, au temps de la guerre de Troie, il y aurait eu seulement avant Pvruaconr, Ponrnvre (De vita Prrvacon.e, 45) en autro avatar compte trois, Alruarme, Hennoriux, Pvnnnos, probablement d'après une tradition plus récente. — Notre Eusourmr peut aussi être l'auteur mentionné incidemment par Laverres Dioa, II, 41 à propos de Socrate: Vi, 20 à propos de Drouèxe le cynique, pour deux assertions historiques plus ou moins contestables. t@ O tov HZ. .D. et pars est eius, qui est .DE., memieux mérité notre reconnaissance, en nous conservant (Mus. III, 11, p. 285—286) toute une démonstration tó BI, &ayıoro dé Ev tH alto Ady vots B, I Eotwoav ol 42, ©. obio: odv darò povádos povng ue roodyrat xowvod wéroov. dpede loov rus sed unitas. Si enim est numerus mentionnée Borrutus. 2. Mais ce dernier a beaucoup Eoto yao émpógiov didcrnua titur .D. numerus .DE. numerum; |. quocirea eb .E. numerum metietur, quo fit, ut .C. quoque metiatur. Ut“ ramque igitur .C. et „DE. numeros metietur .D. numerus, quod est impossibile, Qui enim sunt minimi in “ eadem proportione quibuslibet aliis "5" numeris, hi primi ad se invicem sunt ‘. [ek solam differentiam retinent unitete]. Unitas igitur est .D. Igitur 1 ‘.DE. numerus C numerum unitate | transcendit. Quocirea nullus incidit medius numerus, qui eam proportionem :equaliter scindat. Quo fit, ut nec inter eos qui eandem his proportionem tenent, medius possit numerus collocari, qui eandem proportionem :equaliter scindat. Kal éxel Expógiós got 6 AZ od O, jvrspoyi) 6 AH nowvòv pérgov roûre AZ nai tod O ¿ort: uoväs doa 6 AH: oùx doa éunecetrou eig tog AZ, © uédos ovdels. Ecru yao Ò éuntatwy tod AZ EAürrow, tod de O pelle, Gore ty povida drargeiodar, éxey ddivatoy. oùx doa éuxecettat eis tods AZ, O vg. door dé elg tods EAayloroug péoor dvadoyov &unintovan, Tooodroı xal Eis tods tov adtòv Adyoy Eyovrag dvádoyov durecodvra., obdeig di elg tods AZ, © éuneostrae’ ovôë (doa els tods B, I éuneoetrar, Analysons ces deux démonstrations. Arcuytas part d'une définition des nombres épimores qu'il faut supposer identique à celle de NiCOMAQUE,

Parr Tassenv. c'est à dire deux nombres tels que leur difference soit un sous-multiple en deux segments, HZ égal au sous-épimore, et 4H égal à l'unité. Dans le texte d'ARCHYTAS, une somme est au contraire représentée par deux lettres juxtaposées, dont chacune figure une partie de lu somme. Ainsi l'épimore est DE, D étant l'unite, et E étant égal au sous-épimore C. donné du plus petit (par conséquent soit un commun diviseur des deux nombres). Il prend Jes nombres minimi dans le même rapport (ef. EucLivE VII, 33) et il admet implicitement que dans ces minimi, la différence est le méme sous-multiple du plus petit que pour les nombres non minimi qui sont dans le mème rapport (ib. VII, 10 et 20). 1 sait enfin que les nombres minimi pour un rapport quelconque sont premiers entre eux (ib. VII, 21). Dès lors il lui est facile de démontrer que la différence de deux épimores minimi est l'unité. Cette partie de la démonstration est très circonstanciée. Dans la Divisio canons elle est très abrégée, ou plutôt, quoique dans les Eléments il ne soit jamais parlé de nombres épimores, la Divisio ‘suppose connu d'avance l'objet de cette démonstration. On aura remarqué dans Ja démonstration d’Arcıryras Popposition très nette entre l'unité et les nombres. Je n'insiste pas sur Vabsurdité du membre de phrase que j'ai mis entre crochets. Evidemment Borruius n'avait pas sous les yeux un texte exempt d'inter- 999 Ce système est plus simple, et tout à fait analogue à celui qu'emploie Arisrote. Il diffère d'ailleurs essentiellement de notre notution algébrique, ‘ en ce qu'il reste concret. La lettre remplace bien un nombre quelconque ’ ‚(ou un objet de la pensée), mais seulement lì où ce nombre est supposé placé; elle n'en symbolise pas la valeur et ne se prête pas aux opérations. # , Q a ¢ a C'est pour cela qu'ARCHVTAS ne prend pas € et CD pour les deux termes du rapport. Il va sans dire que nous devons naturellement supposer les Eléments arithmétiques existant avant ARCHYTAS, comme beaucoup moins parfaits que ceux d’Evciipr, mais ArcHyras lui-même et aussi Ecpoxe ont sans aucun doute contribué à les améliorer et à les développer, soit dans un intérèt purement arithmétique, soit dans leurs recherches relatives à la musique. polations. Dans la seconde partie de la démonstration, ARCHYTAS procède beaucoup plus rapidement, mais ce qu'il dit est parfaitement suffisant. Comme il ne peut y avoir de moyen entre deux nombres entiers consécutifs, il lui suffit d'invoquer une proposition qui est un cas particulier de celle d’EvcLipe VIII, 8. La Divisio au contraire démontre assez inutilement par l'absurde l'impossibilité d'intercaler aucun moyen; d'après la proportion précitée, elle conclut à l'impossibilité d'intercaler entre deux épimores non minimi soit un soit plusieurs moyens. Cette conclusion dépasse celle d'ARCHYTAS, en ce qu'elle montre l'impossibilité de diviser un intervalle (rapport) épimore en un nombre quelconque de rapports égaux, 8. La démonstration d'ARCHYTAS devait très probablement se trouver dans le traité dont NICOMAQUE nous a conservé le début et qui avait pour objet la théorie de la musique. Ce traité, le seul ouvrage mathématique d’ARCHYTAS qui ait circulé pendant l'antiquité classique, existait encore du temps de Porruyre; je ne crois pas que BOËTRIUS en ait vu le texte grec et je suppose qu'il a emprunté à APULÉE de Madaure le fragment reproduit ci-dessus. Comme je Vai dit, ce fragment me parait suffisant pour prouver l'existence dès le temps d’ArcuyTas, d'Eléments arithmétiques développés sous la forme que nous nommons euclidienne, peut-être même (si la traduction est fidèle) sans l'inutile représentation par des lignes. On sait en effet qu'EucLipe symbolise un nombre, somme de deux autres, par segment de droite divisé en deux autres. Ainsi, dans le texte grec reproduit plus haut, l'épimore est un segment AZ divisé au point H Lod. BeBe eaTecAea E MATA=aMAT ICR 3.6 x n